-
1
1
KRIGAGEM UNIVERSAL (Metodologia geoestatística para dados não
estacionários)
Para a obtenção de um variograma é suposto que a variável
regionalizada tenha um comportamento fracamente estacionário, onde
os valores esperados, assim como sua covariância espacial, sejam os
mesmos por uma determinada área.
Assume-se, desse modo, que os valores dentro da área de
interesse não apresentem tendência (trend ou drift) que possam
afetar os resultados.
2
3
O variograma é utilizado para calcular os valores de variância,
para uma dada distância, os quais são necessários para a
organização do sistema de equações da krigagem.
4
-
2
Efeito pepita puro. Não há covariância espacial entre os
valores.
A Geoestatística não se aplica
5
Variograma indica tendência nos valores
6
A variável regionalizada não é estacionária mas apresentam uma
tendência e seus resíduos contém a hipótese intrínseca.
Uma variável regionalizada não estacionária pode ser considerada
como constituída por dois componentes: o trend que consiste no
valor médio ou esperado dessa variável dentro de uma certa
vizinhança e que varia sistematicamente, e o resíduo que é a
diferença entre os valores reais e o trend.
Se o trend for removido os resíduos poderiam ser estacionários e
a krigagem poderia ser aplicada. 7 8
-
3
Krigagem universal Krigagem dos resíduos
9
•Krigagem Universal •Define-se a tendência em função das
coordenadas dos pontos de controle, adotando-se geralmente
polinômios de baixo grau, ou seja, de primeira ou de segunda ordem.
•Se xi e yi forem as coordenadas dos pontos de controle de uma
certa vizinhança estabelecida pela análise variográfica, a
tendência T em um certo ponto P desconhecido será: Tp1 = a1xi +
a2yi, para uma tendência de 1ª ordem Tp2 = a1xi + a2yi + a3xi +
a4xiyi + a5yi , para uma tendência de 2ª ordem •Os desconhecidos
ponderadores λs, assim como o coeficiente de Lagrange () e os
coeficientes a's, são encontrados pela solução de um sistema de
equações lineares cujo resultado fornece o melhor estimador e a
mínima variância associada.
10
Sendo g(xi,xj) variâncias entre pontos estimadores; g(xi,x0)
variâncias entre o ponto i estimador e o ponto a ser estimado; xi e
yi as coordenadas dos pontos
A estimativa pontual (Z) em zi, na presença de tendência de grau
1 dos dados, requer para sua solução um conjunto de equações
normais simultâneas para a determinação dos i ponderadores; do
multiplicador de Lagrange, , introduzido para equilibrar a
restrição no sistema; e dos coeficientes i da tendência.
11
2
1
2
1
0,
0,2
0,1
21
21
,,1,
22,22,21,2
11,12,11,1
1
)(
)(
)(
000
000
000111
1)()()(
1)()()(
1)()()(
][
g
g
g
ggg
ggg
ggg
n
p
p
n
n
n
nnnnnnn
n
n
y
x
xx
xx
xx
yyy
xxx
yxxxxxxx
yxxxxxxx
yxxxxxxx
Ku
[] = [A]-1[B] 12
-
4
13
Existem críticas com relação à aplicação da Krigagem Universal,
pois embora seja matematicamente correta, surgem dificuldades para
separar o fenômeno em duas componentes, ou seja, uma tendência
determinística e uma flutuação casual baseada apenas na diferença
entre distâncias Opção, então, é pela Krigagem dos Resíduos.
Krigagem dos Resíduos: a) estimação linear do trend e sua
remoção; b) krigagem dos resíduos estacionários para a obtenção das
estimativas necessárias; c) resíduos estimados são combinados com o
trend para a obtenção da estimação da superfície real.
14
15
• Existem algumas diferenças entre a Krigagem Universal e a
Krigagem dos Resíduos.
• A KU apresenta estimativas tanto referente à tendência como
aos resíduos ao mesmo tempo. Isso significa que se esta ajustando a
tendência cada vez que a krigagem é efetuada num ponto e não
ajustando uma superfície global ao conjunto de dados.
• A outra diferença é que a variância da krigagem universal
inclui tanto a estimativa devida à tendência como aquela resultante
dos resíduos.
• Por outro lado, a krigagem dos resíduos, com posterior
correção pela adição da tendência, assume que não haveria erro
nessa operação.
A Krigagem Ordinária é um caso especial quando não ocorre uma
mudança constante na tendência.
16
Exemplo Seja uma situação, apresentada por Davis (1986:394-402),
em que se quer estimar a cota altimétrica de um determinado ponto
“p” do nível estático de um aqüífero a partir de dados obtidos em 3
poços. Preliminarmente, supor que essa variável não apresenta
deriva e desse modo o método a ser utilizado é o da krigagem
pontual. A análise estrutural, previamente feita, produziu um
semivariograma do tipo linear com uma inclinação de 4.0m/km dentro
de uma vizinhança de 20 km
5
4
3
2
1
1
0
0 2 3 4 5 6 7
1
2
3
120
142
115
p +
-
5
17
As coordenadas espaciais dos poços são as seguintes:
Poços Xi Yi Zi
1 3,0 4,0 120
2 6,3 2,4 115
3 2,0 1,3 142
p 3,0 3,0 ?
Dispondo esses valores num sistema de equações normais com 4
incógnitas e resolvendo-o para os i e , obtém-se os valores: 1 =
0,595; 2 = 0,097; 3 = 0,307; = -0,730 A cota do aqüífero no ponto
"p" é: Z(p)= 0,595(120)+0,097(103)+0,307(142) = 125,1m O desvio
padrão associado a tal estimativa é: Sk = 2,3 m Assumindo uma
distribuição gaussiana para esses dados, pode-se supor que o valor
estimado é da ordem de 125,1 4,6 m, com uma chance de erro de
5%.
18
Em seguida, uma outra situação na qual a hipótese é que os dados
apresentam uma tendência e, portanto, o método a ser utilizado é o
da krigagem universal; além disso, neste caso, para a determinação
do mesmo ponto anterior são adicionados mais dois valores obtidos a
partir dos poços 4 e 5:
Poços Xi Yi Zi
4 3,8 2,4 103
5 1,0 3,0 148
5
4
3
2
1
1
0
0 2 3 4 5 6 7
1
2
3
120
142
115
p +
5
4
148
103
19
Deslocando a origem do sistema para o ponto a ser estimado e
dispondo esses valores em matrizes para a solução dos i e dos
i:
1 = 0,412; 2 = -0,014; 3 = 0,093; 4 = 0,413; 5 = 0,096 = -0,725;
1 = 0,066 2 = 0,023 O valor estimado em p é:
Z(p)=0,412(120)-0,014(103)+0,093(142)+0,413(115)+0,096(148)=122,90m
Sk = 2,85m 20
• A diferença entre o valor encontrado por KU, da ordem de
122,9m, e o obtido por KO, 125,3m, não é muito grande e isso é
devido ao arranjo espacial dos poços em relação a “p”, o qual
localiza-se numa posição interna aos pontos conhecidos de
controle.
• A aplicação da krigagem universal torna-se evidente, porém,
quando é necessário que a estimativa deva ser feita, por
extrapolação, em uma situação externa e distante dos pontos de
controle.
• No presente caso, o nível estático mergulha de oeste para
leste, caindo por volta de 40m entre os poços 2 e 3 e se a
superfície mantiver essa tendência, ou deriva, é de se esperar
valores mais altos que 142m a oeste de "3" e valores menores que
103 a leste de "2".
• Seja, portanto, a estimativa de um valor situado na origem do
sistema de coordenadas, isto é, z(0,0) .
Nesta situação obtém-se, por krigagem pontual: 1 = -0,122; 2 =
0,011; 3 = 0,752; 4 = -0,031; 5 = 0,389; = 7,911 Z(0,0) =
-0,122(120)+0,011(103)+0,752(142)-0,031(115)+0,389(148) = 147m
Sk
2 = 17,31m2 ; Sk = 4,16m
-
6
21
Assumindo, em seguida, uma tendência de 1º grau, os coeficientes
i, e i encontrados pela krigagem universal são: 1 = -0,5594; 2 =
-0,3020; 3 = 1,3133; 4 = 0,1451; 5 = 0,4030 = 26,3832; 1 = -1,7940;
2 = -4,1795 Z(0,0) = 164,6m Sk
2 = 26,8m; Sk = 5,17m Neste caso as diferenças obtidas segundo
os dois métodos é bem maior (147,4 e 164,6), pois para a estimativa
foi levado em consideração a tendência do mergulho da superfície
dentro dos pontos de controle, a qual foi projetada para o ponto
z(0,0). Também o erro associado a tal estimativa é maior, pois o
valor encontrado incorpora tanto a incerteza da estimativa como a
própria estimativa da tendência.
Exemplo: 327 poços provenientes do aqüífero “High Plains”
no Estado norte-americano do Kansas.
Aqüífero constituído por areias aluviais e eólicas associadas a
depósitos de preenchimento de vales de uma drenagem que se dirige
de oeste para leste a partir das Montanhas Rochosas.
Nesses poços foram obtidas as coordenadas X e Y (milhas) e a
variável WTE (water table elevation)/cota do nível piezométrico
(pés)
(Olea, R.A. (1999) – Geostatistics for Engineers and Earth
Scientists: Kluwer Academic Publishers)
22
23
Cotas do nível piezométrico
Variograma indicando tendência
24
-
7
20 40 60 80 100 120 140
160
180
200
Superfície de tendência linear
25
20 40 60 80 100 120 140
160
180
200
-240
-220
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Resíduos positivos e negativos
26
Histogramas
27
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Distância h
0
500
1000
1500
2000
2500
Va
rio
gra
ma
Direction: 0.0 Tolerance: 90.0Resíduos
Variograma dos resíduos
28
-
8
Variograma modelado
29
Mapa dos resíduos obtido pela krigagem ordinária
20 40 60 80 100 120 140
160
180
200
-24
0
-22
0
-20
0
-18
0
-16
0
-14
0
-12
0
-10
0
-80
-60
-40
-20
020
40
60
80
10
0
30
Mapa dos desvios padrão da krigagem ordinária dos resíduos
20 40 60 80 100 120 140
160
180
200
04812
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
31
Estes resultados dizem respeito aos valores residuais, havendo
necessidade de uma correção.
Isso pode ser feito acrescentando ao mapa de krigagem o mapa de
tendência linear anteriormente obtido.
Para a obtenção desse mapa corrigido utilizar o SURFER.
Deve-se entrar em Grid e, em seguida, em Math e atribuir ao
input grid file A o arquivo que contém o mapa com os valores
krigados e atribuir ao input grid file B o arquivo que contém o
mapa de tendência.
Para a função C = f(A, B) estabelecer C = A + B, que origina o
arquivo com o mapa corrigido.
As dimensões dos arquivos A e B devem ser exatamente as
mesmas.
32
-
9
Mapa da configuração do nível piezométrico obtido pela krigagem
ordinária, após correção
20 40 60 80 100 120 140
160
180
200
20
00
21
00
22
00
23
00
24
00
25
00
26
00
27
00
28
00
29
00
30
00
31
00
32
00
33
00
34
00
35
00
36
00
37
00
38
00
39
00
33
Indício de tendência nos dados
SURFER
34
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Distancia h
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
180000
200000
220000
V a
r i o
g r a
m a
Direction: 0.0 Tolerance: 90.0 WTE
Krigagem universal
Tendência linear
35
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Distancia h
0
500
1000
1500
2000
2500
V a
r i o
g r a
m a
Direction: 0.0 Tolerance: 90.0 WTE
Mapa: valores estimados por krigagem universal
36
-
10
Desvios-padrão da krigagem universal
37 38
EXERCÍCIO 04: Regressão polinomial Com o auxílio do SURFER©
aplicar o algoritmo Polynomial Regression/Regressão polinomial aos
dados do Exercício 01. Calcular superfície de tendência linear e
respectivo mapa de resíduos para os tres metais pesados (cádmio,
cobre, chumbo). Os mapas de resíduos deverão ser obtidos pelo
algoritmos Inverse Distance to a Power/Inverso do Quadrado da
Distância e Natural Neighbor/Vizinho Natural. Verificar as zonas de
resíduos positivos de cada elemento e comparar com os respectivos
mapas de localização das amostras, com valores proporcionais às
magnitudes, obtidos no exercício 01.
