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Kristallstruktur und Mikrostruktur
Vorlesungen
Teil I (Kristallographie)
montags, 9:15 – 10:30 Uhr (Hörsaal 2R4)
Vorlesungsbeginn 16.10.2017
Teil II (Einführung in der Erstarrung von metallichen Schmelzen)
montags, 9:15 – 10:30 Uhr (Hörsaal 2R4)
Vorlesungsbeginn 27.11.2017
Teil III (Erholung, Rekristallisation, Kornvergrößerung)
montags, 9:15– 10:30 Uhr (Hörsaal 2R4)
Vorlesungsbeginn 08.01.2018
Formal keine Anwesenheitspflicht
PD Dr. Nikolay Zotov,
3
Übungen
mittwochs, 15:30-17:00 Uhr, 2P4
Erste Übung: 25.10.2017
PD Dr. Nikolay Zotov (Teil I)
Dr. Ralf Schacherl (Teil II + Teil III)
Email: [email protected]
Die Übungen werden c.a 1 Woche vorher als
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Klausur
Montag 26.02.2018 2R4
Nachklausur
Montag 19.03.2018 2R4
4
Die Bedeutung der Kristallographie in der
Materialwissenschaft
Bergbau
Mineral-Erkundung
Zement-Industrie
Herstellung von Legierungen
Ermüdung
Die Endeckung von neuen
Medikamenten
5
Teil I (Kristallographie)
1 Koordinatensysteme, Das Raumgitter, Das reziproke Gitter, Der Metrik-Tensor
2 Abstrakte Gruppen, Symmetrieoperationen, Punktsymmetrie und Punktsymmetriegruppen
3 Translationssymmetrie, Transformationen des Gitters, Kombinationen von Translationen und
Punksymmetrieoperationen
4 1-, 2- und 3D Raumgruppen
5 Beispiele von Raumgruppen, einfache Kristallstrukturen
6 Symmetrie der Makroskopischen physikalischen Eigenschaften der Kristallen
6
Teil I
Vorlesung 1
Arten von Festkörper-Materialien
Kristallographie/ Ziele des Teils I
Hauptbegriffe
Koordinatensysteme
Der metrische Tensor
Der reziproke Raum
7
Festkörper Materialien
Obsidian
Flatglass
Amorphe Stoffe
(Teil II)Kristalline Stoffe
(Teil I)
Mineralien
Gesteine
StahlStents NiTi
9
Kristallographie ist die Lehre von den Kristallen, die Eigenschaften der
Kristallstrukturen und die Methoden ihrer Beschreibung.
Ziel der Vorlesungen (Teil I) - praktisches Verständnis der grundliegenden
Begriffe der Kristallographie mit Schwerpunkt
Symmetrie
Kristall
Struktur
Kristallstruktur
Der innerliche atomare Aufbau
10
Mineralogie
Kristallphysik
Kristallographie
Kristallchemie
Kristallstruktur
Das Gitter(1D, 2D- oder 3D-Anordnungen von
mathematischen Punkten)
Die Basis(Atome, Moleküle in der
Elementarzelle)
● ● ● ●
● ● ● ●
● ● ● ●
Kristall11
Arten von Gittern (Koordinatensystemen)
Kristallographisches Gitter
(geradlinige Koordinatenlinien)
Nicht-kristallographishes Gitter
Bethe lattice
Penrose Tiling
r
𝐫 = 𝑟1𝒂1 + 𝑟2𝒂2 + 𝑟3𝒂3 =
𝑖=1
3
𝑟𝑖𝒂𝑖
13
(1)
a1, a2 und a3 - Basisvektoren
Komponentenschreibweise
1 x 3 Matrix
r1, r2, r3 sind dimensionslos
1
2
3
r
r
r
0 a1
𝒂2
gekrümmte Koordinatensysteme
geradlinige Koordinatensysteme
orthogonalenicht-orthogonale
alle Basisvektoren sind
paarweise zueinander orthogonal:
a1 ┴ a2 ┴ a3
a1
a2
a1
a2
15
TiO2
RutilTitanit
CaTiSiO5
a3
Mindestens 2 Basisvektoren sind
nicht zueinander orthogonal:
16
ba
c
0,0,0
ab
Schiefwinkliges Koordinatensystem
Winkel (a,b) – g
Winkel (b,c) - a
Winkel (c,a) - b
Gitterparameter: a, b, c, a, ß, g
r
# Betrag r des Vektors r;
# Winkel zwischen 2 Vektoren r und r‘
# Abstand zwischen zwei Gitterpunkten
r‘
Gitterkonstanten:
a = │a│; b = │b│; c = │c│
Das kristallographische Gitter
Aufgaben der geometrischen
Kristallographie:
17
Beispiel:
Abhängigkeit der Gitterenergie von dem Ionenabstand
E = - Z2e2/[4pe0 r(A-B)] (2)
Z – Ionenladung
e0 – Dielektrizitätskonstante des Vakuums
NaCl: r(Na-Cl) = 2.82 Å
E = -766 kJ/mol
A
B
18
Der metrische Tensor (Metrik-Tensor) g
g
a a a b a c
b a b b b c
c a c b c c
metrischer Tensor
cos ,rr r r r r
Skalarprodukt
(3)
(4a)
a2 abcos(g) ac cos(ß)
ab cos(g) b2 bc cos(a)
ac cos(ß) bc cos(a) c2(4b)
Der Metrik-Tensor beschreibt vollständig die Symmetrie eines Gittres.
19
Metrik-Tensor
Orthogonales (kartesisches) Gitter
a = b = g = 90o
a.b = 0 a.c = 0 b.c = 0
2
2
2
0 0
0 0
0 0
a
b
c
(5)
Alle gemischte Skalarprodukten sind Null:
21
Anwendungen des Metrik-Tensors
Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren r1 und r2:
r1.r2 = (x1a + y1b + z1c).(x2a + y2b + z2c) = (7a)
1 2
1 2 1 2
2
1
1
2
T
T
g
x x
y y
z z
a a a b a c
r r b a b b b c
c a c b c c
r r
= 𝑥1𝑥2𝐚 ⋅ 𝐚 + 𝑥1𝑦2𝐚 ⋅ 𝐛 + 𝑥1𝑧2𝐚 ⋅ 𝐜+𝑦1𝑥2𝐛 ⋅ 𝐚 + 𝑦1𝑦2𝐛 ⋅ 𝐛 + 𝑦1𝑧2𝐛 ⋅ 𝐜+𝑧1𝑥2𝐜 ⋅ 𝐚 + 𝑧1𝑦2𝐜 ⋅ 𝐛 + 𝑧1𝑧2𝐜 ⋅ 𝐜
(7b)
(7c)
r1T = (x1 y1 z1)
22
Der Betrag r eines Vektors r : r = │r.r│½= ( rTgr)½ (8)
Der Winkelkosinus zwischen zwei Vektoren r und r´ :
r.r‘ = rr‘cos(r,r‘)
cos(r,r´) = rTgr´/ [( rTgr)½ ( r´Tgr´)½ ] (9)
Der Abstand zwischen zwei Gitterpunkten:
= [ (r-r´)Tg(r-r´)]½ (10) 2
r r r
Anwendungen des Metrik-Tensors
23
Anwendung des Metrik-TensorsAbstand zwischen Gitterpunkten
r = 1a + 1b + 1c;
r‘ = 0a + 1b + 2c;
r – r‘ = 1a + 0b + (-1)c
r2 = (1 0 -1)
2
2
2
0 0
0 0
0 0
a
a
a
10-1
= (1 0 -1) a2
0-a2
=2 a2 ; r = a2½
ab
c
2c
[111]
[012]
Orthogonales Gitter
r2 = (1 0 -1)
2
2
2
0 0
0 0
0 0
a
b
c
10-1
= (1 0 -1) a2
0-c2
= a2 + c2; r = (a2 + c2)½
Kubischeses Gitter
24
Anwendung des Metrik-Tensors
Winkelkosinusr = 1a + 1b + 1c;
r‘ = 0a + 1b + 0c;
r2 = (1 1 1)
2
2
2
0 0
0 0
0 0
a
a
a
111
= (1 1 1) a2
a2
a2
= 3a2 ; r = a3½
r‘2 = (0 1 0)
2
2
2
0 0
0 0
0 0
a
a
a
010
= (0 1 0) 0a2
0= a2 ; r‘ = a
Winkelcos(r,r‘) = (1 1 1)
2
2
2
0 0
0 0
0 0
a
a
a
010
(a23½ ) = a2/ a23½ = 0.5774
Winkel = 54.74o
Kubisches Gitter
25
Der reziproke Raum
Mathematik - Fourier Analysis
Festkörperphysik – Bandstruktur
Wellenvektoren
Kristallographie - Beugung
tttf 21 coscos)(
Max von Laue (1912)
Valenzband
Leitungsband
26
Das reziproke Gitter
formale Definition:
a* = b x c/V (11a)
b* = c x a/V (11b)
c* = a x b/V (11c)
V = (a x b).c (11d)
V* = (a* x b*).c* (11e) Vektor (Kreuz) produkt
e: Einheitsvektor senkrecht auf r, r
r, r, e bilden Rechtssystem
sin ,rr r r e r r (12)
27
Eigenschaften des reziproken Gitters I
1/ Das reziproke Gitter hat auch ein affines Koordinatensystem;
2/ Ghkl = ha* + kb* + lc* (13)
3/ a* ist senkrecht zu b und c, b* ist senkrecht zu a und c, c* ist senkrecht zu a und b
a*.b
29
Eigenschaften des reziproken Gitters I
4/ Das Raumgitter und das reziproke Gitter sind dual.
Wenn die Einheit von a, b und c Å ist, dann die Einheit von a*, b* und c* 1/Å ist.
Der Realraum
Der reziproke Raum
30
Das RealgitterDas reziproke Gitter
(15)(14)
a* = b x c/V
b* = c x a/V
c* = a x b/V
a = b* x c*/V*
b = c* x a*/V*
c = a* x b*/V*
Dualität
33
Eigenschaften des reziproken Gitters II
(v) Der Vektor Ghkl ist senkrecht auf der Netzebene mit Millerschen Indizes (hkl) wenn
h, k und l ganze Zahlen sind.
(vi) Der Betrag (die Länge) Ghkl des Vektors Ghkl ist proportional zum reziproken Abstand
der (hkl) Netzebene.
Ghkl = dhkl* = 1/dhkl
(21
dhkl = 1/Ghkl (16b)
Ghkl = |Ghkl|
(16a)
(210)
(hkl) = (210); G210 = 2a* + 1b* + 0c*
A
B
34
* * 2 * * 2 * * 2 * * *
2 2
* * * * * *
* * * * * *
* * *
*
*
* *
* *
( ) (
2
1/ )
2 2
hkl hkl
T
h k l kl hl h
G d
h h
k
l
k
k
l
a a b a c a
a b b b c b
a c b c c c
a a b b c c b c a c a b(17b)
Betrag von Ghkl
(17a)
36
Kubisches Gitter
a = b = c, a=ß=g=90 o
V = a3
a* = bc/V = a2/a3 = 1/a
b* = ac/V = 1/a
c* = ab/V = 1/a
1/a2 0 0
a* = ß* = g* = 90o; g* = 0 1/a2 0
0 0 1/a2
1/a2 0 0 h
Ghkl2 = (h k l) 0 1/a2 0 k ; Ghkl = (h2 + k2 + l2)1/2/a
0 0 1/a2 l
1/dhkl2 = Ghkl
2 = (h2 + k2 + l2)/a2
Ableitung von 1/dhkl
37
Orthorhombisches Gitter
V = abc, a=ß=g=90 o
a* = bc/V = bc/abc = 1/a
b* = ac/V = 1/b
c* = ab/V = 1/c
1/a2 0 0
a* = ß* = g* = 90o; g* = 0 1/b2 0
0 0 1/c2
1/a2 0 0 h
G2 = (h k l) 0 1/b2 0 k ; Ghkl = (h2/a2+ k2/b2 + l2/c2)1/2
0 0 1/c2 l
1/dhkl2= Ghkl
2 = h2/a2+ k2/b2 + l2/c2
Ableitung von 1/dhkl
38
Koordinatensysteme -
Bedeutung
Kristallphysikalische Koordinatensysteme Hilfskoordinatensysteme
kristallographische Koordinatensysteme Beschreibung von Kristallstrukturen,
Reziproke Gitter Beugungstheorie
Festkörperphysik
39
Literatur
P. Paufler, Physikalische Kristallographie, 1986
U. Müller, Anorganische Strukturchemie, Teubner Verlag, 1996
W. Kleber, Einführung in die Kristallographie, 1998
D. Schwarzenbach, Kristallographie, Springer Verlag, 2001
E.J. Mittemeijer, Fundamentals of Materials Science, Springer, 2010
C. Giacovazzo, Fundamentals of Crystallography, 1992
Th. Hahn, International Tables For Crystallography, Vol. A, 1995
http://www.iucr.org/education