Kronig-Penney - UNAM

Curso Propedutico de Fsica Moderna IInstituto de Ciencias Fsicas UNAM

Semana 3 :Principios de mecnica Cuntica Antonio M. Jurez Reyes, Instituto de Ciencias Fsicas

Curso propedutico, Fsica moderna 2008


Temario, semana 6Curso propedutico, Fsica moderna 2008 ESTADO SLIDO

6.1 Estructura de slidos, estructura cristalina *

6.2 Energa de un tomo en una malla cristalina, afinidad electrnica y nmero de Mandelung

6.3 Capacidad Calorfica de Slidos

6.4 Teora de bandas. Teora de conductores

6.5- Distribucin de Fermi-Dirac

6.6 Teora de semiconductores.


6.3 Capacidad Calorfica de SlidosCurso propedutico, Fsica moderna 2008Qu tan buena es la aproximacin, para los gases ideales?La aproximacin es bastante buena!

Monatomic gasCV, m (JK1mol1)CV, m/RHe12.51.50Ne12.51.50Ar12.51.50Kr12.51.50Xe12.51.50


6.3 Capacidad Calorfica de SlidosCurso propedutico, Fsica moderna 2008Compliquemos las cosas: Qu ocurre con las molculas diatmicas?R.- Aqu tenemos que considerar otros grados de libertad: Rotaciones y vibraciones. Energa rotacionalEnerga vibracionalClsicaCuntica


6.3 Capacidad Calorfica de SlidosCurso propedutico, Fsica moderna 2008EN una molcula diatmica, existen:

3 grados de libertad translacional

3 grados de libertad rotacional

1 grado de libertad vibracional(1 alrededor del eje principal es Muy pequeo y puede despreciarse)En total hay 6 grados de libertad


6.3 Capacidad Calorfica de SlidosCurso propedutico, Fsica moderna 2008-- Los 3 grados vibracionales contribuyen con R/2 en energa molar total-- Los 2 grados rotacionales contribuyen con R/2 cada uno-- el vibracional con R (R/2 por el trmino cintico y R/2 por el potencial)

TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5RQu se ve en la realidad?

Diatomic gasCV, m (J K1 mol1)CV, m / RH220.182.427CO20.22.43N219.92.39Cl224.12.90Br232.03.84


6.3 Capacidad Calorfica de SlidosCurso propedutico, Fsica moderna 2008TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5REnerga vibracionalClsicaCunticaqu valores se obtienenSi uno considera el osciladorCuntico?



6.3 Capacidad Calorfica de SlidosCurso propedutico, Fsica moderna 2008TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R(clsico)TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) = 5R/2 = 2.5R(cuntico)Ms cercano!Por qu funciona mejor con molculas ligeras que grandes?



6.3 Capacidad Calorfica de SlidosCurso propedutico, Fsica moderna 2008Modelos para slidosClsico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819)- El producto del calor especfico por el peso atmico del elemento slido es independiente del elemento

Cuntico: Modelo de Einstein (1906) (Notas)-empleando el oscilador cuantizado y la distribucun de boltzmann se obtienen acuerdos con calores especficos a alta y baja temperaturas.

Modelo clsico de conductividad de Drude

Estadstica de Fermi-Dirac. Partculas idnticas.

Modelo de metales de Sommerfeld


6.3 Capacidad Calorfica de SlidosCurso propedutico, Fsica moderna 2008Modelos para slidosClsico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819)El producto del calor especfico por el peso atmico del elemento slido es independiente del elemento

1.- Se modela un slido como un conjunto de tomos ligadosPor resortes, con un acoplamiento dbil. 2.- Se sabe que el oscilador armnico lineal contribuye con R unidades al calor especfico molar3.-El modelo de slido es un oscilador en 3 dimensiones, ergo: Cv = 3R = 5.96 Cal/mol oCRichards 1893):


6.3 Capacidad Calorfica de SlidosCurso propedutico, Fsica moderna 2008Modelos para slidosEn general hubo poca concordancia de la prediccin de D-P aunque para algunos slidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumpleRazonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas)


6.3 Capacidad Calorfica de SlidosCurso propedutico, Fsica moderna 2008Modelos para slidosEn general hubo poca concordancia de la prediccin de D-P aunque para algunos slidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumpleRazonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas)Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrollUn modelo de slido, para evaluar el calor especfico:


6.3 Capacidad Calorfica de SlidosCurso propedutico, Fsica moderna 2008Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrollUn modelo de slido, para evaluar el calor especfico: PREMISAS1. Cada tomo en la latiz es un oscilador armnico cuantizado 2. Los tomos vibran a la misma frecuencia


Temario, semana 6Curso propedutico, Fsica moderna 2008 ESTADO SLIDO La Prxima semana




6.4Teora clsica de conduccin (Modelo de Drude)










6.6 Modelo de Sommerfeld Capacidad calorfica de Metales









6.6 Teora de semiconductores. Modelo de Kronig-Penney


Teora de BandasCurso propedutico, Fsica moderna 2008En un sistema atmico, los valores permitidos de energa estn cuantizadosEn un material slido, los niveles de energa forman bandas1 tomoMuchos tomos


Teora de BandasCurso propedutico, Fsica moderna 2008por qu se forman bandas al asociar tomos?Recordemos cmo se forma una molcula al sumar dos tomos: Sumando dos tomos en estado 1S se tienen dos combinaciones posiblesUna simtrica y otra antisimtrica:


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Energticamente


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Para 3 molculas, la combinacin lineal de orbitales da lugar a 3 niveles: 10 tomos:


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Para un nmeroGrande de tomos losNiveles desaparecenY en su lugar aparecenBandas.


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Para justificar de manera ms formal la aparicin de bandas, revisaremosEl modelo de Kronig-Penney, para evaluar los niveles de energa permitidosEn un material. 1.- Consideramos un modelo unidimensional, en el que un electron sufre la influencia de los iones de la latiz

2 .- Modelamos un cristal como una serieDe potenciales peridicos de separacin dLa regin I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones.


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008La regin I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones. La dinmicaDel electrn estdada por:V(r) = V(r + a)


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Las soluciones en estas regiones son:


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Se determinan a partir de condiciones de continuidadEn las fronteras de las regiones, en particular para Psi y paraSu derivada, as como de la normalizacin de PSIEC1


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Sin embargo, estas son solo soluciones para las regiones I y II, mientras queNosotros buscamos soluciones para toda la malla. Con el fin de encontrar la solucin general, recurrimos al teorema de Bloch:


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008TEOREMA DE BLOCH Si x es un vector cualquiera en una latiz peridica e infinita, y es solucin a la ecuacin de schroedinger para un potencial V(r), entonces, para una latiz que satisfaga V(r)=V(r+t) existe un vector de onda k en la latiz inversa, y una Funcin peridica uj(k) tales que: Tiene la misma periodicidad del potencialSe puede ver de la ecuacin 1 que: Es decir, la funcin de onda en x es igual a aquella desplazada en aUnidades, ms un cambio de fase exp(ika)


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Evaluando lafuncin de onda en d y en a, tenemos:


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Y de las derivadas, se puede probar que:


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: (1)(2)(3)


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: (1)(2)(3)Para que este sistema tenga una solucin no trivial, el determinante debeSer cero. Esto lleva a la siguiente condicin


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Para que este sistema tenga una solucin no trivial, el determinante debeSer cero. Esto lleva a la siguiente condicinEsta condicin establece constricciones sobre las energas posibles en el potencial, y los vectores de onda posibles.


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Para que este sistema tenga una solucin no trivial, el determinante debeSer cero. Esto lleva a la siguiente condicinSoluciones vlidasNo hay soluciones que satisfagan el teoremaDe Bloch.


Modelo de Kronig PenneyCurso propedutico, Fsica moderna 2008Algunas soluciones numricas


Curso propedutico, Fsica moderna 2008NOTAS

La tareas se subir hoy en la tarde



Dependiendo de el valorDel gap de energa se tienen conductores, semiconductoresY aislantes.



La tarea de toda esta seccion se subir el da de maana. -


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