Készítette: Halász Gábor - hds.bme.hu · Valószínűségszámítás összefoglaló Esemény A kísérlet (bennünket érdeklő) eredménye Egyszerű (elemi) pl. izzólámpa élettartama

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi EgyetemGépészmérnöki Kar

Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék

1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334.Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91http://www.vizgep.bme.hu

Statisztikai módszerekBMEGEVGAT01

Készítette: Halász Gábor

2 Val.szám összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló

Történelem:o Görögöknél: nemo XVII. sz. szerencsejátékok , különösen

FranciaországbanÖtlet: a kor matematikusaihoz fordultakElső eredmények: PASCAL és FERMATSokáig ellentmondásos

o KOLMOGOROV (1933) axiomatikus megalapozás



VéletlenJelenséget (eseményt) meghatároz a körülmények, feltételek teljes halmazaHa mindent figyelembe veszünk: egyértelműHa csak egy részét (csak a lényegeseket) : véletlenszerű

Véletlen kísérlet (jelenség)Kimenetelét a figyelembe vett körülmények nem határozzák meg egyértelműen(Előállítjuk, vagy csak megfigyeljük)Pl: egy termék élettartamának megfigyelése, a Duna vízállásának megfigyelése, a hallgatóság vizsgaeredménye, infláció, kockadobálás



Esemény A kísérlet (bennünket érdeklő) eredménye Egyszerű (elemi) pl. izzólámpa élettartama É=1000 hÖsszetett pl. izzólámpa élettartama 1100h<É<1200hBiztos esemény É<1e6 hLehetetlen esemény É=-3h


Alapfogalmak

Gyakoriságn kísérletek száma k a bennünket érdeklő ESEMÉNY darabszáma, a gyakoriságpl: n=45 hallgató vizsgázott matematika A2-ből, közepest

kapott k=11 hallgatóA n és k összefüggRelatív gyakoriság

γ=k/n Relatív gyakoriság tulajdonságai

110

=≤≤

γγ

:esemény biztos


Relatív gyakoriság

Relatív gyakoriság és a kísérletek száma: γ=k/n

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

rel.g

yak

Ha n↑ → γ ingadozása ↓


Relatív gyakoriság

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Átlag

Berajzolható egy „átlag”, ami körül a rel.gyak ingadozikEz az átlag az esemény valószínűsége(mérnöki megfogalmazás)


Valószínűség

Hogy jutottunk ide?Véletlen → Kísérlet → Esemény →

→ Gyakoriság → Relatív gyakoriság → valószínűség

A valószínűség jelölése: A esemény, ennek valószínűsége: P(A)=p


Valószínűség

ValószínűségAz eseményhez rendelt számérték

P(A)=p;függvénykapcsolat

Pl. A={fej dobás szabályos érmével}; → P(A)=0.5A={3-as dobás kockával} → P(A)=1/6


Valószínűség

A valószínűség tulajdonságaiA relatív gyakoriság alapján

Legyen A véletlen esemény,

1.) 0 ≤ P(A) ≤ 1

2.) B legyen a biztos esemény, P(B)=1

pl. biztos eseményre: kockadobás eredménye legfeljebb 6

vizsgajegy 1 és 5 között van, stb.


Valószínűség

3. Ha A1 és A2 események egymást kizáróak, akkorP(A1 U A2) = P(A1) + P(A2)

Magyarázat: Legyen A1=1; A2=2;…A6=6 a kockadobás eredménye.Szabályos a kocka: P(A1)=1/6; …; P(A6)=1/6P(A1 U A4) = { 1 vagy 4} = 1/6 + 1/6 = 1/3


Valószínűség

Kolmogorov axiómáit:

Legyen A véletlen esemény,

1.) 0 ≤ P(A) ≤ 1

2.) B legyen a biztos esemény,

P(B)=1

3. Ha A1 és A2 események egymást kizáróak, akkor

P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2)


Valószínűségi változó

Determinisztikus változóA figyelembe vett körülmények egyértelműen meghatározzák a változó értékét:s út; t idő → a v sebesség v=s/tV térfogat; ρ sűrűség. → az m tömeg m= ρV

Valószínűségi változóA figyelembe vett körülmények nem határozzák meg egyértelműen a változó értékét:Sorozatgyártás (azonos körülmények): τ élettartamCélba lövés: r távolság a céltábla közepétőlMérési eredmény (hiba) ξJele általában görög betű.



Determinisztikus változó: v =10 m/s

Valószínűségi változóIngadozik: sokféle értéket vehet felLehet diszkrét: pl. kockadobás, meghibásodások száma, mobiltelefonra befutó hívások száma , stb.Lehet folytonos: holnapi középhőmérséklet, élettartam,

Hogyan jellemezhető?


Eloszlásfüggvény (folytonos változó)

x

≈ γx

F(x)

xF F

γx ≈P{ξ<x}


Eloszlásfüggvény (diszkrét változó)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

F(x)

x



x

F(x)

x

F(x)

Szavakban:

ξ valószínűségi változó F(x) eloszlás függvénye

A függvényérték annak az eseménynek a valószínűsége, hogy ξ x-nél kisebb

F(x)=P{ξ<x}



)()( 1212 xFxF xx ha ≥⇒>

Tulajdonságai

Monoton növekedő:

Határértékei:

Balról folytonos

x

F(x)

x

F(x)

1

0

=

=

+∞→

−∞→

)(lim

)(lim

xF

xF

x

x



F(x)

x

F(a)

a b

F(b)

)()()()()()()(

aFbFbaPbFbPaFaP

−=<<⎭⎬⎫

=<=<

ξξξ

Intervallumba - esés valószínűsége


Sűrűségfüggvény

ξ sűrűségfüggvényének nevezzük az f(x) függvényt, ha F(x) eloszlásfüggvény differenciálható és:

ebből következik

dxdFxf =)(

∫∞−

=x

dttfxF )()(



xa b

)(xf

a b

1)(xF Tulajdonságok

0)( ≥xf

∫∞

∞−

=1)( dxxf

∫=−b

a

f(x)dxF(a)F(b)


Alapfogalmak

Fontos fogalmak:

Véletlen esemény

Gyakoriság, relatív gyakoriság,

Valószínűség


Eloszlásfüggvény



Várható érték

Valószínűségi változó részleges jellemzése:

o az „ingadozás közepe”

várható érték

o az ingadozás mértéke

szórás


Várható érték

nξξξξ ,...,, 321 Megfigyelés sorozat, pl. testmagasságok

∑=

=n

iin 1

1 ξξ Átlag: az ingadozás közepe

Részintervallumokra bontás

145 2001+jj x x

j ννν 21 j

K

jjx

nνξ ∑

=

=1

1

gyakoriságok


Várható érték

Folytatás:

j

K

jjj

j

jK

jj

j

jjK

jjj

K

jj

xxfxxxn

x

xx

nxx

n

∆=∆∆

=

=∆∆

==

∑∑

∑∑

==

==

)(11

11

1

ν

ννξ

∫= dxxxfM )()(ξ


Várható érték

Összefoglalva:

Ki akartuk számolni a valószínűségi változó „ingadozásának” közepét. Ez a matematikai átlag. Ha „nagyon sok” elem átlagát vesszük, akkor

∫=⇒ dxxxfM )()(ξξ


Várható érték

( )( ) ( ) ( )

( )M

M M MM

ξ ξξ η ξ η

η ξ→ ⎫

+ = +⎬→ ⎭

Tulajdonságai:additív:

Lineáris

baMbaMMbaba

+=+=+=

)()()( , ;

ξξηξη konstans

Konstans várható értéke önmaga


Szórás

A valószínűségi változó várható értéke körüli ingadozását, „szóródását” méri a szórás, ennek négyzete a szórásnégyzet.

[ ]

00

0

2

2

222

=

≥

==−

=−

)(

)())((

))((

aD konstans a ha

DMM

MM

σ

ξσξξ

ξξ

Átlagos négyzetes eltérés = szórásnégyzet

A szórásnégyzet pozítiv négyzetgyöke a szórás


Szórás

Tulajdonságok:

Legyen: ( ) 22ξσξξ =D;

szórásaba += ξηKérdés:

( ) ( )ξξη 2222 DabaDD =+= )( ( ) ( )ξη DaD ⋅=

22 ; ; ηξ σσηξLegyen:

Kérdés: )( ηξ + szórása (ξ és η független)

( ) ( ) ( )ηξηξ 222 DDD +=+


Nevezetes eloszlások

Binomiális eloszlás:

kísérletnek két kimenetele lehet: A vagy Â. Jelöljük P(A)=p és P(Â)=1-pMagyarázat: egy szállítmányban p=3% selejt van. Kérdés, hogy n=25 darabot kiválasztva, pontosan 2 db selejtet találok.


Nevezetes eloszlások: egyenletes eloszlás

valószínűségi változó egyenletes eloszlású a [a,b] intervallumban, ha egyenlő valószínűséggel esik egyenlő hosszúságú részintervallumokba.

a=0 b=3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

-1 0 1 2 3 4

x

f(x)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 0 1 2 3 4

x

F(x)


Nevezetes eloszlások: egyenletes eloszlás

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

-1 0 1 2 3 4

x

f(x)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 0 1 2 3 4

x

F(x)

311

=−

=ab

xf )(

512

.

)()(

=+

=

== ∫ba

dxxxfMb

a

ξ

22 ( ) 3

12 434

b aσ

σ

−= =

=


Nevezetes eloszlások: normális eloszlás

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

F(x)

f(x)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

x

F(x)

sűrűségfüggvény:

2 m

exfmx

==

=−

−

σπσ

σ

;

)()(

22

1 2

2

2

m: várható érték

σ: szórás

eloszlásfüggvény:

∫∞−

=x

dttfxF )()(


Nevezetes eloszlások: normális eloszlás

Két paraméteres eloszlás: m és σJele: ξ єN(m, σ)

Ha m=0 és σ=1: standard normális eloszlás.

Standardizálás:

σξξ m

s−

=

Belátjuk, hogy ξs єN(0, 1)


Nevezetes eloszlások: standardizálás

Belátjuk, hogy ξs єN(0, 1)

0=−

=−

=−

=σξ

σξ

σξξ mMmMmMM s

)()()()(

12

2

2

222 ==

−=

−=

σξ

σξ

σξξ )()()()( DmDmDD s


Nevezetes eloszlások: standard normális eloszlás

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

f(x)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

F(x)

Standard normális eloszlás

m=0; σ=1


Nevezetes eloszlások: standard normális eloszlás

ξ єN(m, σ) ξs єN(0, 1)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

f(x)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

F(x)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

F(x)

f(x)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

x

F(x)


Nagy számok törvénye

n – kísérletek számak – kedvező esetek száma, p – az esemény valószínűsége

Bernoulli (1713)Nagy számú kísérlet esetén a relatív gyakoriság „tart” az esemény valószínűségéhez.

0=≥−∞→

)(lim εpnkP

n



p{{

εε

nk

n

0=≥−∞→

)(lim εpnkP

n

Sztochasztikus konvergencia



Átlag és várható érték kapcsolata

1 2 n, , . . .ξ ξ ξ

st mξ⎯⎯→

n

ii 1

1 n =∑ξ = ξ


Centrális határeloszlás tétel

)()...(lim21 xx

nmnP n

nΦ=<

⋅⋅−+++

∞→ σξξξ

duexx u

∫∞−

−

=Φ 2

2

21)(π

Az n darab független valószínűségi változó összegének eloszlása tart a normális eloszláshoz:

ahol:


Centrális határeloszlás tételxf1

1ξ

1xf2

21 ξξ +

1 2

1 2 3

xf3

321 ξξξ ++

31 2 4

xf4

4321 ξξξξ +++

Példa: Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó.


Fogalmak

Várható érték

Szórás

Binomiális eloszlás

Egyenletes eloszlás

Normális eloszlás

Standardizálás


Stochasztikus konvergencia

Centrális határeloszlás tétel

Documents

Készítette: Halász Gábor - hds.bme.hu · Valószínűségszámítás összefoglaló Esemény A kísérlet (bennünket érdeklő) eredménye Egyszerű (elemi) pl. izzólámpa élettartama