Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes ...atomfizika.elte.hu/akos/tezisek/szd/bodoraron_bscszd.pdf · Kétrészecskés rendszerek szétesése Szakdolgozatom

Kétrészecskés rendszerek szétesésénekszámítógépes szimulációja

Szakdolgozat

Bodor Áron Csaba

ELTE TTK, Fizika BSc, Fizikus szakirány Témavezeto

Dr. Horváth ÁkosELTE TTK Atomfizikai tanszék

Budapest,2016

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 1

1.1. Neutron glóriával rendelkezo atommagok [1] . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Coulomb-disszociáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Kétrészecskés rendszerek szétesése 3

2.1. Kvantummechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1. Idofejlodés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2. Az állapotok térbeli reprezentálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3. A hely eltolása: impulzus sajátállapotok . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.4. Impulzus operátor és sajátállapotai helyreprezentációban . . . . 9

2.1.5. Várható értékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. A vizsgált rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. A rendszer Hamilton-operátora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2. Kötött és kontinuum állapotok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3. Reakciómodellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Numerikus módszerek 15

3.1. Tér és ido diszkretizációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Idoléptetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Diszkrét differenciák, impulzusoperátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4. Hamilton-operátor diszkrét tartományon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5. Többváltozós eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6. Operator splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.7. A numerikus algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK

4. Eredmények 22

4.1. Elöljáróban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.1. A rendszer idofejlodésének követése projekciókkal . . . . . . . . 24

4.1.2. A relatív sebesség várható értéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2. Szimulációk a VINT (r; t) modellben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.1. Állapot idofüggése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.2. Projekciók és relatív sebességek különbözo impakt paraméterek

esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.3. Felhasadás valószínusége és relatív sebességek széles (K, b) para-

métertartományon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3. Szimulációk a VINT (r,R) modellben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1. Állapot idofüggése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.2. Visszaszórt valószínuségsuruség leválasztása . . . . . . . . . . . 42

5. Diszkusszió 43

Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 3

1. fejezet

Bevezetés

1.1. Neutron glóriával rendelkezo atommagok [1]

Az izotóptérkép túlcsordulási vonalainak környezetében az atommagoknak különleges

szerkezete lehet. A modern magfizikai kutatások egyik fo célja ezen területek feltérké-

pezése. A könnyu, neutronban fajlagosan gazdag atommagok - a neutron túlcsordu-

lási vonal környékén - is ilyen atommagok. A magfizikai kutatások eredményeként

sikeresen elo lehet már állítani ilyen magok alkotta nyalábokat. Instabilitásuk miatt

ezeket csak szóráskísérletekben tudjuk vizsgálni. Ez megnehezíti a pontos szerkezet

meghatározását. Szóráskísérletek által bizonyított, hogy ezen könnyu egzotikus atom-

magoknak létezhet olyan szerkezete, ahol az utolsó neutron lazán (egy nagyságrend-

del kisebb kötési energiával) csatlakozik az atommaghoz. Emiatt ennek a neutronnak a

hullámfüggvénye kiterjedt. Ez egy glória elnevezésu magszerkezetet eredményez, ahol

a neutront - vagy neutronokat, esetleg neutron klasztereket - különállónak lehet tekin-

teni a atommagtól olyan értelemben mint egy elektront az atommagtól, ezért ezeket a

glóriaszerkezetet kialakító neutronokat valencia neutronoknak is szokták nevezni.

1.2. Coulomb-disszociáció

A Coulomb-disszociáció során az glóriás atommagok felhasadhatnak elektromágneses

tér hatására. Ez általában úgy realizálódik, hogy egy egzotikus atommagnyalábot ólom

céltárgyra lonek. Ekkor az ólom magok eros Coulomb-terében lehetségessé válik, hogy

az elektromágneses tér az atommagot kilökje a glória szerkezetbol. Ezen folyamat tehát

1

1. FEJEZET. BEVEZETÉS 1.2. COULOMB-DISSZOCIÁCIÓ

egy atommagot és egy, vagy több leszakadt neutront eredményez a vizsgált magtól

függoen. A Coulomb-disszociáció aktív kutatási terület és alkalmas eszköz nukleáris

asztrofizikai kérdések megválaszolására [2].

Szakdolgozatom célja, hogy egy idofüggo leírást adjak kétrészecskés nem relati-

visztikus kvantummechanikai rendszerek szétesésérol külso tér hatására. Ennek a mo-

tivációja, hogy a Coulomb-disszociáció során elofordulhat utógyorsítás. Ez azt jelenti,

hogy a Coulomb-tér hatására kiszakadt atommag és a neutron közötti relatív sebesség

eltér a nullától[7]. Feladatom ilyen jelenség kutatása egy egyszeru kvantummechanikai

modellben, amely alkalmas késobbi bovítésre.


2. fejezet

Kétrészecskés rendszerek szétesése

Szakdolgozatom célja kétrészecskés kvantummechanikai rendszerek szétesésének di-

namikai vizsgálata. Ehhez szükséges áttekinteni a felhasznált elmélet, a kvantumme-

chanikai alapjait és következményeit: a 2.1 rész a teljesség igénye nélkül számol be

ezekrol. Ezen részben, mivel lényegében oktatási anyagokat tartalmaz, nem hivatkoz-

tam az egyenleteket, összefüggéseket, itt jegyezném meg, hogy megírásában a vezér-

fonalat [3, 4, 5] muvek szolgálták. A 2.2. részben bevezetem a vizsgált rendszert és a

paramétereit, a kölcsönhatás két lehetséges modelljét.

2.1. Kvantummechanika

Az állapottér a C komplex számtest fölött értelmezett Hilbert-tér, jelöljeH. Az állapoto-

kat ebben az absztrakt térben a Dirac-féle "bra-ket" konvenció szerint jelöljük: |Ψ〉 ∈ H.

A Born-féle valószínuségi értelmezés miatt az állapotteret megszorítjuk az egy normá-

jú állapotokra: 〈Ψ|Ψ〉 != 1, így a különbözo állapotok halmaza a H-beli egységgömb

felülete, a teljes állapottéren pedig a |Φ〉 = c |Ψ〉 , c ∈ C fizikailag azonos állapotként

interpretálhatóak: |Φ〉 ∼ |Ψ〉. Ezt röviden úgy mondhatjuk, hogy egy állapotnak a

Hilbert-tér egy sugara felel meg, nem pedig egy vektora.

A fizikai mennyiségek a Hilbert-téren ható önadjungált (hermitikus) operátorok, ezek

szokásos jelölése: A, A† = A.

3

2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA

2.1.1. Idofejlodés

Hogy dinamikai leíráshoz jussunk, az állapottér elemeit az idovel paraméterezzük:

|Ψ(t)〉 ∈ H, t ∈ R. Az állapotok idobeli fejlodését szokásos az 2.1. ábrához hasonló

módon szemléltetni.

2.1. ábra. Az állapot idofejlodésének szokásos szemléltetése a H-beli egy-séggömbön.

Az állapotok idobeli fejlodésének leírásához vezessünk be egy idofejleszto operátort

a következo definiáló relációval és paraméterezéssel:

U : H → H, (2.1)

U(t, t0) |Ψ(t0)〉 = |Ψ(t)〉 , (2.2)

tehát U(t, t0) operátor a t0-beli állapotot a t-beli állapotba transzformálja. Az idofej-

leszto operátorra kiszabunk feltételeket, melyek teljesítése meghatározza az operátor

tulajdonságait:

F.1 az idofejlesztés legyen normatartó, tehát ne képezze az egység normájú állapoto-



kat nem egység normájú állapotokba:

〈Ψ(t)|Ψ(t)〉 = 〈Ψ(t0)|U†(t, t0)U(t, t0)|Ψ(t0)〉 != 〈Ψ(t0)|Ψ(t0)〉︸︷︷︸

=1

∀t, t0;

ennek a következménye, hogy az idofejleszto operátor egy unitér transzformáció:

U†(t, t0) = U−1(t, t0),

F.2 az idofejlesztés tartson az identikus transzformációhoz, ahogy a t ido paraméter

tart a t0 kezdopillanathoz:

limt→0U(t, 0) = I,

F.3 egymást követo idofejlesztések is legyenek idofejlesztések (csoport tulajdonság),

továbbá minden két idopont közötti idofejélesztést lehessen felbontani kisebb

idolépésekre:

U(t2, t1)U(t1, t0) = U(t2, t0),

F.4 zárt rendszerben teljesüljön az idoeltolási invariancia, tehát az idofejleszto operá-

tor csak az argumentumainak különbségétol függjön:

U(t2, t1) = U(t4, t3),{t1, t2, t3, t4

∣∣ |t2 − t1| = |t4 − t3|},

ilyenkor az U-val jelölt operátorokat át lehet paraméterezni, hogy csak egy argu-

mentumuk legyen:

t2 − t1 −→ t ⇒ U(t2, t1) −→ U(t),

tehát zárt rendszerben az F.3. feltétel alakja:

U(t′3 = t2 − t0 = t′2 + t′1) = U(t′2 = t2 − t1)U(t′1 = t1 − t0).



A F.2. és F.3 feltétel következménye, hogy:

U(0, t)U(t, 0) = U(0, 0) = I⇒ U−1(t, 0) = U†(t, 0) = U(0, t), (2.3)

tehát az idofejleszto operátorokon értelmezett adjungált megegyezik a fordított irányú

idofejlesztéssel. Fejtsük Taylor-sorba az U(t+ dt, t) infinitezimális idofejlesztést dt elto-

lásban elso rendig:

U(t+ dt, t) = U(t, t)︸︷︷︸=I

+dUdt

∣∣∣(t,t)

dt+O(dt2). (2.4)

A (2.4) egyenletben kihasználtuk a F.2. feltételt. Ahhoz, hogy (2.4) egyenletben az

operátor (dt rendben) unitér legyen a következo kell teljesüljön:

dUdt

∣∣∣(t,t)

= −iH(t)

~, H† = H, (2.5)

ahol bevezettük az idoeltolás generátorát, a Hamilton-operátort, amely hermitikus, te-

hát fizikai mennyiséghez rendelheto operátor. Zárt rendszerben az idoeltolás szimmet-

ria, ezért a Noether-tétel alapján a generátora egy megmaradó fizikai mennyiség. Az

idoeltoláshoz asszociált mennyiség az energia, ezért a H(t) operátor legyen az energia

operátora.

Sok esetben a vizsgált fizikai rendszernek ismertnek tekintjük a Hamilton-operátorát

és ennek függvényeként vagyunk kíváncsiak az idofejleszto operátorra, ezért érdemes

differenciálegyenletet írni rá, ugyanis ebben meg fog jelenni a Hamilton-operátor:

d |Ψ(t)〉dt

=dUdt

∣∣∣(t,t0)|Ψ(t0)〉 = lim

δt→0

(U(t+ δt, t0)− U(t, t0)

δt

)|Ψ(t0)〉 , (2.6)

amelybol U(t, t0)-t kiemelhetjük (F.3 feltétel miatt), így (2.4) egyenletet felhasználva:

d |Ψ(t)〉dt

= limδt→0

(U(t+ δt, t)− Iδt

)U(t, t0) |Ψ(t0)〉 =

−i~

H(t) |Ψ(t)〉 , (2.7)

ez a Schrödinger-egyenlet, amelyet átírhatunk az idofejleszto operátorra:

dUdt

∣∣∣(t,t0)

=−i~

H(t)U(t, t0). (2.8)



A (2.8) egyenlet megoldása zárt rendszer esetén(H(t) ≡ H

), illetve ha

[H(t1), H(t2)

]=

0, ∀ t1, t2 triviális:

U(t, t0) =

e−i~ H(t−t0) , ha H(t) ≡ H,

e

−i~

t∫t0

H(t′)dt′

, ha[H(t1), H(t2)

]= 0 ∀ t1, t2.

(2.9)

Ha a fenti feltételek egyike sem teljesül, akkor a megoldása az (2.8) egyenletnek:

U(t, t0) = Te

−i~

t∫t0

H(t′)dt′

, (2.10)

ahol Te az idorendezett exponenciálist jelöli, amelyet a következovel definiálunk:

Te

−i~

t∫t0

H(t′)dt′

= I +−i~

t∫t0

H(t′)dt′ +(−i~

)2t∫

t0

t′∫t0

H(t′)H(t′′)dt′′dt′ + ... (2.11)

Látható, hogy az idorendezésre azért van szükség, mert idotol függo, de a különbö-

zo idopontokban nem felcserélheto Hamilton-operátorok esetén, ha (2.9) egyenletben

felírt (második) képletet alkalmaznánk, az sértené a kauzalitást: az exponenciális sorát

kiírva lennének olyan tagok, ahol H(t′)H(t′′), t′′ ≥ t′. Ez azonban (ha a két Hamilton-

operátor nem felcserélheto) azt jelentené, hogy egy késobb levo idoeltolást egy koráb-

ban levo idoeltolás követ (az eltolási muveleteket jobbról balra kell "kiolvasni"), ez az

ami a kauzalitást sérti és emiatt kell kizárnunk az exponenciális függvény sorából eze-

ket a tagokat, és így jutunk az idorendezett exponenciális függvényhez.

2.1.2. Az állapotok térbeli reprezentálása

A helyt, mint fizikai mennyiséget, változót reprezentálja egy d-dimenziós euklideszi

vektortér, ezt jelöljük V-vel, dimV = d, elemei a helyvektorok: x ∈ V. Vezessük be

a helymérés vektoroperátorát: x, x† = x. Ez a helynek, mint fizikai mennyiségnek

megfelelo operátor. Az operátor sajátértékegyenlete:

x |x〉 = x |x〉 , (2.12)



〈x′|x〉 = δ(x′ − x) ortonormált sajátállapotok, valós sajátértékekkel. Ha a teljességi

reláció is teljesül: ∫ddx |x〉〈x| = I, (2.13)

akkor x sajátállapotai egy teljes ortonormált rendszert alkotnak, tehát ezeken az álla-

potokon kifejezhetjük a Hilbert-tér állapotait:

|Ψ〉 =

∫ddx 〈x|Ψ〉 |x〉 =

∫ddxψ(x) |x〉 . (2.14)

A (2.14) egyenletben bevezettük ψ(x) függvényt, amelyet a |Ψ〉 állapot helyreprezen-

tációjának nevezünk. A (2.14) egyenlet segítségével levezetheto a skalárszorzat repre-

zentációja:

〈Φ|Ψ〉 =

∫dx

∫ddx′ 〈Φ|x〉〈x′|Ψ〉〈x|x′〉 =

∫x

ddxφ∗(x)ψ(x). (2.15)

A normáltság miatt ψ(x)-szel jelölt függvényeknek is normáltnak kell lenniük, ezért

ezeket általában az V téren értelmezett négyzetesen integrálható függvények terébol,

L2(V)-bol választjuk. A x függvényei helyreprezentációban:

〈x′| x |Ψ〉 = x′ 〈x′|Ψ〉 = x′ψ(x′)⇒ 〈x′| f(x) |Ψ〉 = f(x′) 〈x′|Ψ〉 = f(x′)ψ(x′), (2.16)

tehát a x operátor a helyreprezentációban az adott hely koordinátáival való szorzás

muvelete, és emiatt az operátor függvényei az adott helyen vett függvényértékkel való

szorzás muveleteiként ábrázolódnak.

2.1.3. A hely eltolása: impulzus sajátállapotok

A V fizikai tér eltolása, mint transzformáció, unitér módon ábrázolódik aH-téren, tehát

a x helyoperátor eltoltja:

x′ = U†a x Ua = x + a, (2.17)

ahol a∈ V az eltolásvektor. Az unitér transzformációt egy hermitikus operátor "gene-

rálja", ezt jelöljük p-vel és a fizikai impulzusnak feleltetjük meg (hasonló módon, az

idoeltolásnál a H Hamilton operátort az energiának feleltettük meg). Ekkor a transzfor-



máció:

x′ = eipa~ x e

−ipa~ = x + a. (2.18)

Az (2.18) egyenletben, ha a transzformációkat valamilyen infinitezimális da paramé-

terel végezzük el, a Heisenberg-relációra jutunk:

x′ = x +i

~

[p, x

]da +O(da2) = x + da⇒ [pi, xj ] =

~iδij . (2.19)

A Heisenberg-reláció legfontosabb következménye, hogy x és p operátoroknak nincs

közös sajátállapot-rendszere, tehát nincs olyan bázisa, melyben tetszoleges A(x,p) fizi-

kai mennyiség diagonális.

2.1.4. Impulzus operátor és sajátállapotai helyreprezentációban

Általánosan a hullámmechanikában (helyreprezentációban) fontos jelentosége van, hogy

a választott reprezentáns függvénytér elemeire hogyan hat az impulzus operátor, to-

vábbá, hogy az absztrakt sajátállapotai milyen hullámfüggvénnyel írhatóak le. Az elso

kérdésre a választ az x-bel hullámfüggvény (infinitezimális) ∆x-szel való eltranszfor-

málása adja:

ψ(x + ∆x) = eip∆x

~ ψ(x) ≈ (I +−ip∆x

~)ψ(x)⇒ −i~∂ψ(x)

∂xi↔ pi, (2.20)

ahol az egyenlet bal oldalát Taylor-sorba fejtettük. Ez alapján impulzus operátor elso-

rendu differenciáloperátor L2-en. Az impulzus sajátállapotokra fennáll: p |p〉 = p |p〉,ezért reprezentációjuk:

〈x|p〉 = 〈eipx~ ψ(0)|p〉 = 〈0|e

−ipx~ p〉 = e

−ipx~ 〈0|p〉 , (2.21)

ahol kihasználtuk a projektorfelbontást: f(p) =∫

ddpf(p) |p〉〈p|. Az utolsó skalár-

szorzat szabadon rögzítheto, ezért legyen konvencionálisan

〈0|p〉 = (2π)−d/2. (2.22)

Látható tehát, hogy az impulzus sajátállapotok hullámfüggvénye:

〈x|p〉 = e−ipx

~ /(2π)d/2, (2.23)


2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER

tehát a bázistranszformáció az impulzus- és a helyreprezentáció között azonos a Fourier-

transzformációval, hiszen:

ψ(x) = 〈x|Ψ〉 =

∫ddp 〈p|Ψ〉〈x|p〉 =

∫ddp

(2π)d/2ψ(p) exp

(−ipx~)

= F−1{ψ(p)

},

(2.24)

ahol F a Fourier-transzformációt jelöli.

2.1.5. Várható értékek

Egy A=A† fizikai mennyiség várható értékét egy adott állapotban a következo össze-

függés definiálja:

〈A〉Ψ = 〈Ψ| A |Ψ〉 . (2.25)

A A |a〉 = a |a〉 sajátértékproblémával definiált{|a〉}

teljes ortonormált rendszert fel-

használva:

〈A〉Ψ =∑a,a′

〈Ψ|a′〉〈a′| A |a〉〈a|Ψ〉 =∑a

a | 〈a|Ψ〉 |2, (2.26)

tehát az | 〈a|Ψ〉 |2 pozitív definit, egyre normált mennyiséget megfeleltethetünk egy el-

oszlásnak:

ρΨ(a) = | 〈a|Ψ〉 |2 ⇔ A operátorral való mérési eredmény a ρ(a) valószínuséggel.

(2.27)

Ez a kvantumfizika mérési axiómája. Ez alapján | 〈x|Ψ〉 |2 annak az eloszlását adja, hogy

hol található a rendszer, amelynek állapotát Ψ jegyzi, ezt a hullámmechanikában Born-

féle interpretációnak nevezik, amelyre hivatkozva tettük meg a 〈Ψ|Ψ〉 = 1 megszorítást

ezen rész elején.

2.2. A vizsgált rendszer

Szakdolgozatom célja, hogy két részecskébol álló rendszereket vizsgáljak, melyek kez-

detben kötöttek, azonban adott külso behatásra felszakad ez a kötés. Ezeket a rendsze-

reket kvantumdinamikailag vizsgáltam, hogy az egyes átmenetek, folyamatok idobeli

lefolyásáról számot adhassak. Az alábbi általános feltételezésekkel éltem:

• a fizikai tér (V) egy dimenziós, dimV = d = 1, így a szabadsági fokok (f ) maxi-

mális száma: f = n× d = 2,



• a két részecske megkülönböztetheto,

• a rendszer térbeli és impulzusbeli reprezentációját vizsgáltam.

A rendszert Hamilton-operátora határozza meg, általános cél adott rendszerek Hamilton-

operátorának megtalálása (amennyire az meghatározható lehet). Egy szokásos eljárás

lehet ezen feladat teljesítésére az operátor "megsejtése" klasszikus analógiából, ebbol a

(2.7), vagy ezzel analóg egyenlet megoldása és fizikai mennyiségek (reakciókról beszél-

ve ez általában a hatáskeresztmetszet) kiszámítása.

A szakdolgozat célja a kétrészecskés rendszer felszakadásának vizsgálata volt kü-

lönbözo modellek szintjén, nem konkrét mérési eredmények magyarázata, ezért kü-

lönbözo, önkényesen1 megválasztott Hamilton-operátorok esetén vizsgáltam ezt. A

magfizikai motiváció leszukíti a választott paramétereket, kölcsönhatásokat kvalitatív

és kvantitatív módon.

2.2.1. A rendszer Hamilton-operátora

A rendszer belso viszonyait leíró Hamilton-operátorát a következoképpen választot-

tuk:

H(x1, p1, x2, p2) =p2

1

2m1+

p22

2m2+ VC

(|x1 − x2|

). (2.28)

A (2.28) operátort a nem relativisztikus kvantummechanikában szokásos kanonikus

kvantálás alapján választottuk meg: tartalmazza a két részecske kinetikus energiaope-

rátorát és a két részecskét összeköto centrális potenciált. Felhasználva a (2.20) össze-

függést, a (2.28)-beli operátor térbeli reprezentációja:

H(x1,−i~∂1, x2,−i~∂2) =−~2

2m1∂2

1 +−~2

2m2∂2

2 + VC(|x1 − x2|

). (2.29)

A tömegközéppont és a relatív koordináta (2.31) bevezetésével átírhatjuk a Hamilton-

operátort olyan alakba, hogy a szabadsági fokokat ne csatolja:

r = x1 − x2, x1 = R+µ

m1r, (2.30)

R =m1x1 +m2x2

m1 +m2, x2 = R− µ

m2r, (2.31)

1Az önkényesség itt azt jelenti, hogy fontosabb egy szemléltetheto képpel indokolni a Hamilton-operátor megválasztását, mint mérési eredményekkel.



ahol bevezettük a µ = m1m2m1+m2

redukált tömeget. A koordinátákhoz tartozó impulzus-

operátorokat kiszámíthatjuk az inverz transzformáció segítségével, ennek eredménye:

pr = µ( p1

m1− p2

m2

), (2.32)

pR = p1 + p2. (2.33)

Meggyozodhetünk arról, hogy (2.33) egyenletekben definiált impulzusoperátorok a

megfelelo (2.31)-beli helyoperátorokkal teljesítik az (2.19) kommutátoros relációkat. A

Hamilton-operátor, mint az új koordináták függvénye:

H(r,−i~∂r, R,−i~∂R) =−~2

2M∂2R +−~2

2µ∂2r + VC

(|r|), (2.34)

tehát két független "részecskére" bontottuk a Hamilton-operátort, a tömegközéppontra

és a relatív koordinátára.

2.2.2. Kötött és kontinuum állapotok

A Hamilton-operátor sajátértékegyenlete, ha az operátor nem idofüggo, ekvivalens az

exponenciális függvény képzésével a projektorfelbontás és (2.9) értelmében, másképp

mondva az operátor exponenciálisához ismernünk kell annak sajátállapotait. A két

részecskés rendszert leíró operátor nem idofüggo, ezért ebben az esetben is a megfe-

lelo Schrödinger-egyenlet a sajátértékegyenlet (idofüggetlen Schrödinger-egyenlet). A

(2.34)-beli operátort szétválaszthatjuk egy szabad részecske és a relatív koordináta ál-

tal reprezentált részecske összegére. Ilyenkor az állapottal ekvivalens hullámfüggvényt

szeparálhatjuk változóiban és egy szabad részecskét leíró és egy potenciálmozgást vég-

zo részecske Schrödinger-egyenletére jutunk:

H = Hr + HR, (2.35)

ansatz: ψ(r,R) = φ(r)χ(R), (2.36)

⇒ HRχ(R) = ERχ(R), (2.37)

⇒ Hrφ(r) = εrφ(r). (2.38)

A fentiek közül (2.37) megoldása egy impulzus sajátállapot ER(pR) = p2R/2M diszper-

zióval, (2.38) pedig egy potenciálmozgás, (2.34)-ben definiált potenciállal, ez lesz az,



amely a kezdofeltételeken kívül a fizikailag lényeges tartalmat meghatározza: a kötött

rendszer állapotát.

Egy potenciálmozgást kötöttnek nevezünk, ha a részecske εr energiájára r-ben aszimp-

totikusan: εr < V (r →∞), εr < V (r → −∞). Ha ez nem teljesül, akkor ez a részecske

is szabad mozgást végez εr(r, pr) = p2r/2µ + VC(|r|) diszperzióval. Ez alapján egy kö-

tött rendszer felszakadása azt jelenti, hogy a kötött energiás sajátállapotból a rendszer

valamilyen külso hatásra egy kontinuum állapotba kerül.

2.2.3. Reakciómodellek

A rendszert és a külso behatást írja le egy teljes Hamilton-operátor, amely teljesen álta-

lánosan lehet idofüggo. Ezt az operátort a következo alakúnak feltételeztük:

Htot(r,−i~∂r, R,−i~∂R; t) = H(r,−i~∂r, R,−i~∂R) + VINT (r,R; t). (2.39)

A VINT kölcsönhatási potenciáltól függ a probléma komplexitása. Ezt egy b impakt

paraméterrel regularizált Coulomb-potenciálnak vettem, amely csak az egyik, töltéssel

rendelkezo részecskére hat. Olyan eseteket vizsgáltam, ahol ez a potenciál a lehetséges

három argumentumából csak kettotol függ: r-tol és t-tol vagy r-tol és R-tol.

VINT (r; t) reakciómodell

Tételezzük fel, hogy a tömegközéppont egy klasszikus R(t) trajektória mentén mozog.

Ezáltal az R változó egy paraméter lesz, mely az idotol függ, nem operátor: nem vizs-

gáljuk ennek a fizikai mennyiségnek a |ψ(R)|2 eloszlását. A trajektóriát egyenes vonalú,

egyenletes mozgásnak feltételeztem, tehát:

R(t) = R0 +~KM

t, (2.40)

ahol K a tömegközépponthoz konjugált impulzus, R0 kezdofeltétel. Ezt felhasznál-

va, továbbá, ha feltételezzük, hogy a tér csak az m1 tömeggel és q1 töltéssel jellemzett

részecskével hat kölcsön, VINT (r; t) alakja:

VINT (r; t) =q1ZT e

2

4πε0

1√(R(t) + µ/m1r)2 + b2

, (2.41)



ahol ZT a kölcsönhatási potenciált kelto töltés nagysága (a T index a target-nek felel

meg), e az elemi töltés és ε0 a vákuum dielektromos állandója. Látható, hogy a (2.40)

behelyettesítésével (2.41)-be VINT expliciten idofüggo, tehát ebben az esetben a rend-

szer dinamikáját leíró idofejleszto operátort (2.10) formulával számíthatjuk ki. Ebben a

modellben tehát a rendszert leíró egyenlet:

ψ(r; t) = T exp

(−i~

t∫t0

dt′(−~2∂2

r

2µ+ VC(|r|) + VINT (r; t′)

))ψ(r; t0), (2.42a)

ψ(r; t0) = ψ0(r) kezdofeltétel, (2.42b)

ψ(r → ±∞; t) = 0 határfeltétel. (2.42c)

VINT (r,R) reakciómodell

Ha nem teszünk fel semmit a tömegközépponti mozgásról, akkor az ennek megfelelo

R mennyiségnek is figyelembe kell vennünk a dinamikáját. Mivel nem használunk fel

ekkor R(t) klasszikus trajektóriát, a kölcsönhatási potenciált így írhatjuk:

VINT (r,R) =q1ZT e

2

4πε0

1√(R+ µ/m1r)2 + b2

, (2.43)

tehát (2.41)-vel szemben itt két dinamikai változó van, viszont a potenciál maga nem

lesz idofüggo, így a rendszert és dinamikáját leíró egyenlet (2.9) felhasználásával:

ψ(r,R; t) = exp

(−i~

(t− t0)(−~2∂2

R

2M+−~2∂2

r

2µ+ VC(|r|) + VINT (r,R)

))ψ(r,R; t0),

(2.44a)

ψ(r,R; t0) = ψ0(r,R) kezdofeltétel, (2.44b)

ψ(r → ±∞, R; t) = 0 határfeltétel, (2.44c)

ψ(r,R→ ±∞; t) = 0 határfeltétel. (2.44d)

A (2.42) és (2.44) egyenletek az idofüggo Schrödinger-egyenlet formális megoldásai az

adott reakciómodellek esetén, ezt fogjuk kiszámítani numerikusan adott kezdofeltéte-

lekkel, közelíto módszereket alkalmazva. Ezekrol a következo fejezetben írok.


3. fejezet

Numerikus módszerek

A 2. fejezetben leírást adtam a szakdolgozatban kituzött feladatról, annak matematikai

és fizikai hátterérol. Az (2.42) és (2.44) egyenleteket numerikusan kezeltem, az ehhez

szükséges hátteret, felhasznált numerikus módszereket ebben a fejezetben vezetem be.

3.1. Tér és ido diszkretizációja

Numerikus számításokhoz át kell térni diszkrét és véges értelmezési tartományra:

tn = t0 + n∆t, n ∈ [0, Nt] ∩ Z, (3.1a)

rj = r0 + j∆r, j ∈ [0, Nr] ∩ Z, (3.1b)

Rk = R0 + k∆R, k ∈ [0, NR] ∩ Z. (3.1c)

Ezeken a rácspontokon értelmezzük függvények diszkretizációja:

ψ(r,R; t) −→ ψnjk = ψ(r0 + j∆r,R0 + ∆R; t0 + n∆t) ∈ CNt×Nr×NR . (3.2)

Látható tehát, hogy a (3.1) formulákkal definiált tartományon értelmezett függvények

komplex szám Nt × Nr × NR-esek. Természetesen ha nem függ minden változótól a

függvény ennek számtáblázatnak annál kevesebb indexe van.

15

3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.2. IDOLÉPTETÉS

3.2. Idoléptetés

A (3.1)-ben bevezetett tartományon értékeljük ki a (2.42) és (2.44) egyenleteket, ezt az

ido diszkretizációját kihasználva ∆t lépésenként tesszük meg. Ez (2.44) esetén egzaktul

megteheto, mivel itt a Hamilton-operátornak nincs explicit idofüggése. A (2.42) egyen-

letet úgy közelítjük, hogy az exponenciális argumentumában található integrált ∆t ido-

re végezzük el úgy, hogy erre az idolépésre az integrandust konstansnak vesszük, tehát:

t+∆t∫t

dt′f(t′) ≈ f(t)∆t (3.3)

közelítéssel élünk. Ezek figyelembevételével a következo idoléptetéseket alkalmazzuk:

ψ(r,R; t+ ∆t) = exp(−i∆t

~

(−~2∂2r

2µ+ VC(|r|) + VINT (r; t)

))ψ(r,R; t), (3.4)

ψ(r,R; t+ ∆t) = exp(−i∆t

~

(−~2∂2R

2M+−~2∂2

r

2µ+ VC(|r|) + VINT (r,R)

))ψ(r,R; t).

(3.5)

3.3. Diszkrét differenciák, impulzusoperátor

Az impulzus operátor, mint láttuk (2.20) alapján a helyreprezentációban arányos a de-

riválással. Diszkrét értelmezési tartományon a deriválás nem létezik, ezzel analóg fo-

galom a véges differencia. Vezessük be az egy változós elsorendu véges differenciákat

elso szomszéd közelítésben:

D+ψi =ψi+1 − ψi

∆, (3.6a)

D−ψi =ψi − ψi−1

∆, (3.6b)

D1/2ψi =ψi+1 − ψi−1

2∆, (3.6c)

ahol felhasználtuk, hogy az értelmezési tartomány ∆ lépéshosszú darabokra van fel-

osztva. Fel lehet tenni a kérdést, hogy ez az analitikus deriválást mennyire jól közelíti.


3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.4. HAMILTON-OPERÁTOR DISZKRÉT TARTOMÁNYON

Ehhez a folytonos ψ(x) függvény Taylor-sorát vizsgáljuk x ∆ sugarú környezetében:

ψ(x+∆) = ψ(x)+ψ′(x)∆+O(∆2)⇒ ψ(x+ ∆)− ψ(x)

∆≈ ψ′(x)⇒ ||ψ′(x)−D+u|| ∝ O(∆),

(3.7)

és hasonlóan a többi differenciasémára megmutatható, hogy ||ψ′(x)−D−ψ|| ∝ O(∆) és

||ψ′(x)−D1/2ψ|| ∝ O(∆2). Most fejezzük ki a centrális másodrendu véges differenciát

hasonlóképpen (3.6c) egyenlethez:

D(2)1/2ψi =

ψi+1 + ψi−1 − 2ψi∆2

. (3.8)

Itt is a vizsgált függvény Taylor-sorával meg lehet mutatni, hogy ||D(2)1/2ψi − ψ

′′(x)|| ∝O(∆2). Részletesebb leírás a véges differenciák módszerérol elérheto [6] jegyzetben.

Az impulzus operátor helyreprezentációban az elso deriváltat állítja elo (2.20) alap-

ján. Ha a helyreprezentáció diszkrét, akkor a deriválást a (3.6) egyenletekkel közelítjük.

A nem relativisztikus Hamilton-operátorok a részecskék szabad mozgását leíró részei

az impulzus operátorokban kvadratikusak, tehát diszkrét tartományon ezek kifejtése

(3.8) alapján történik.

3.4. Hamilton-operátor diszkrét tartományon

A numerikus számítások során a diszkrét függvényeket vektorokba rendezve kezel-

jük, ekkor a (3.6)-(3.8) egyenletekben bevezetett differencia-operációk mátrixszorzás-

ként írhatók fel. Olyan Hamilton-operátorokat vizsgáltam ((2.42) és (2.44) egyenletek),

melyekben az impulzus operátorok négyzeteitol és a helytol függo tagok vannak. A

helyfüggo tagok diszkréten is olyan operátorok, mint folytonos esetben, tehát (2.16)-

hoz hasonlóan:

f(xi)ψ(xi) = f(xi)ψ(xi) = fiψi. (3.9)

Ez azt jelenti, hogy a helytol függo függvények diagonális mátrixokba rendezhetoek:

f(x)→ f =

f(x1) 0 · · ·

0 f(x2) · · ·...

.... . .

. (3.10)


3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.5. TÖBBVÁLTOZÓS ESET

A (3.8)-beli véges differencia mátrixa:

D(2)1/2 = 1/∆2

−2 1 0 0 · · · 0 0 0 0

1 −2 1 0 · · · 0 0 0 0...

. . . . . . . . . · · ·...

......

...

0 0 0 0 · · · 0 1 −2 1

0 0 0 0 · · · 0 0 1 −2

. (3.11)

A (3.10) és (3.11) egyenletekkel arra jutottunk, hogy egyváltozós Hamilton-operátorok

diszkrét értelmezési tartományon mátrixos alakba rendezhetoek, erre tekintsük konk-

rét példaként (2.34)-beli operátor r relatív koordinátától függo részét:

Hr(r,−i~∂r) =−~2

2µ∂2r + VC

(|r|)→

→(Hr

)ij

=−~2

2µ∆r2(δi,i+1 + δi,i−1 − 2δi,j) + VC(|ri|)δi,j . (3.12)

3.5. Többváltozós eset

A korábbi részekben bemutattam diszkrét függvények és operátorok célszeru repre-

zentációját egyváltozós esetben. Ha több változó van az értelmezési tartomány ki-

bovül. Konkrétan a (3.1) képletekkel definiált tartományon értelmezett skalár értéku

függvények Nt × Nr × NR számot jelentenek, ezeket ilyen méretu hipermátrixban tá-

roltam a számítások során. A tér is ido változótól függo függvényeket (3.9) alapján

értelmezzük, ezért ezeket is elrendezhetjük Nt×Nr×NR alakú hipermátrixban. Ekkor

természetesen egy ilyen módon tárolt potenciál függvény állapotfüggvényre gyakorolt

hatását nem mátrixszorzással számítjuk ki, hanem elemenkénti szorzással. Természe-

tesen felmerül a kérdés, hogy hogyan lehet leírni a többváltozós véges differenciákat

mátrix alakban. Ha Nt × Nr × NR nagyságú oszlopvektorba rendezzük a skalárfügg-

vényeket, akkor (Nt ×Nr ×NR)× (Nt ×Nr ×NR) méretu mátrixra lenne szükségünk

a differenciaoperátorokhoz, tehát az értelmezési tartomány kibovítésével négyzetesen

no az ehhez szükséges memória, ezért ez nem optimális ábrázolása a differenciaoperá-

toroknak. Hogy kikerüljem a (fölöslegesen) memóriaigényes számítást egy közelítést

alkalmaztam, aminek segítségével elég csak skalárfüggvényeket használni a számítás

során, így a maximálisan felmerülo tömbméret Nt ×Nr ×NR.


3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.6. OPERATOR SPLITTING

3.6. Operator splitting

A vizsgált idoléptetések ((3.4) és (3.5)) kiértékeléséhez képeznünk kell a Hamilton-

operátorok exponenciálisát. Ez, mivel mindkét esetben a Hamilton két változótól függ,

az elozo részben leírtaknak megfeleloen egy (Nt ×Nr ×NR)× (Nt ×Nr ×NR) méretu

mátrix exponencializálását jelenti gyakorlatilag, ami számításigényes lehet Nt, Nr, NR

számok függvényében. Az exponencializálás helyett egy közelítést alkalmazok, ame-

lyet Operator splittingnek neveznek. Ennek bemutatására írjuk az idolépteto operátoro-

kat általánosan a következo alakba:

exp((

A(pr, pR) + B(r, R))∆t)

(3.13)

A Heisenberg-reláció miatt[A, B

]6= 0, tehát nem lehet felbontani az exponenciális

függvényt:

e

(A+B

)∆t 6= eA∆teB∆t, (3.14)

azonban, ha ∆t megfeleloen kicsi, a Taylor-sorok vizsgálatával arra jutunk, hogy:

e

(A+B

)∆t = I +

(A + B

)∆t+

(A2 + B2 +

{A, B

})∆t2

2+O(∆t3), (3.15)

eA∆teB∆t = I +(A + B

)∆t+

(A2 + B2 + 2AB

)∆t2

2+O(∆t3) = (3.16)

= e

(A+B

)∆t −

[A, B

]∆t22

+O(∆t3), (3.17)

tehát elso rendben jó becslés lehet az exponenciális függvény szorzatra bontása ("split-

telése"), ha az idolépés megfeleloen kicsi. Egy pontosabb (másodrendu) becslést ad a

következo szimmetrikus split-formula:

eB∆t/2eA∆teB∆t/2 = e

(A+B

)∆t +O(∆t3). (3.18)

Számításaim során a (3.18) felbontását használtam az idolépteto operátornak. Erre azért

volt szükség, mert így az egyes, r-tol és R-tol illetve pr-tol és pR-tol függo tagok kü-

lönválnak az idoléptetésben. Mivel ez a négy operátor páronként definiálja a hely- és

impulzustér bázisait, ezért az exponenciális függvények diagonálisak ezeken a bázi-

sokon kifejtve. A bázistranszformáció (2.24) alapján a Fourier-transzformáció, amit a

diszkrét reprezentációban Fast Fourier Transform (FFT) algoritmussal végeztem. Ennek


3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.7. A NUMERIKUS ALGORITMUS

a komplexitása O(N logN), ami sokkal kedvezobb a mátrix exponencializálás komple-

xitásánál.

3.7. A numerikus algoritmus

A fejezet összefoglalásaként felírom a numerikus algoritmust, az idoléptetést az egyes

reakciómodellek esetén. Hogy a képletek kiférjenek, bevezetem a következo rövidíté-

seket felhasználva a (3.1)-beli definíciót:

Anj = VINT (rj ; tn) + VC(|rj |), (3.19)

Bjk = VINT (rj , Rk) + VC(|rj |), (3.20)

Cj =(p2r)j

2µ, (3.21)

Djk =(p2r)j

2µ+

(p2R)k

2M. (3.22)

A VINT (r; t) reakciómodell esetén az állapotot ψnj ∈ CNt×Nr jelöli és Nt × Nr méretu

mátrixban tároltam, ahogyan Anj mennyiséget is, mivel ez diagonális a hely reprezen-

tációban. A Cj mennyiséget egy Nr méretu vektorban tároltam. A megfelelo idolépte-

tés (az FFT algoritmust F-fel jelöltem és csak az r változóra, tehát a második indexekre

vonatkozik):

ψn+1,j = exp(−i~∆t

2Anj

)F−1

{exp

(− i~∆tCq

)F{

exp(−i~∆t

2Ans

)ψns

}nq

}nj,

(3.23a)

ψ0j = (ψ0)j kezdofeltétel, (3.23b)

ψn0 = ψnNr = 0 határfeltétel. (3.23c)

A VINT (r,R) reakciómodell esetén a rendszer állapotát ψnjk ∈ CNt×Nr×NR kódolja,

amelyet egyNt×Nr×NR méretu hipermátrixban tároltam, aBjk ésDjk mennyiségeket

pedig Nr ×NR méretu mátrixokban. Jelölje F a két dimenziós FFT algoritmus mely az


3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.7. A NUMERIKUS ALGORITMUS

utolsó két indexre fut, tehát a térbeli részeket transzformálja. Az algoritmus:

ψn+1jk = exp(−i~Bjk∆t

2

)F−1

{exp

(− i~∆tDpq

)F{

exp(−i~Blm∆t

2ψnlm

)}npq

}njk,

(3.24a)

ψ0jk = (ψ0)jk kezdofeltétel, (3.24b)

ψn0k = ψnj0 = ψnNrk = ψnjNR= 0 határfeltételek. (3.24c)

A numerikus számításokhoz Python programozási nyelvet használtam a Spyder

IDE tudományos integrált fejleszto környezetben. Az adatok tárolására a numPy könyv-

tár több dimenziós struktúráit, a felmerülo sajátértékproblémák megoldására és Fourier-

transzformációk elvégzésére a SciPy eljárásait, az eredmények vizuális ábrázolásához

pedig a matplotlib könyvtárat használtam.


4. fejezet

Eredmények

4.1. Elöljáróban

A 3. fejezetben kifejeztem a kiértékelendo mennyiség numerikus alakját, lásd: (3.23)

és (3.24) egyenletek. Az eredmények értékeléséhez még szükséges pár konkrét dolgot

megjegyezni.

Minden eredmény megtekintheto a személyes oldalamon1. Ezt azért szükséges

megjegyezni, mert a szimulációkról mozgóképes ábrákat is készítettem.

Minden számítás során ~ = 14πε0

= 1 egyszerusítéssel éltem.

Az eredményeket, mennyiségeket nem dimenzionáltam, csak a numerikus értéke-

ket adtam meg, ennek oka, hogy nem kellett kísérleti eredménnyel összehasonlítani

oket, a kvalitatív tartalom pedig a tömeg arányokban és a potenciálok, illetve a kineti-

kus energiatagok nagyságában van. Utóbbiakat, ahogy a (3.11) formulában is látszik az

1/∆2 nagyságrend jellemzi, ahol ∆ az adott diszkretizált tartomány lépéshossza.

A VINT kölcsönhatási potenciálokban alkalmaztam levágást, egy olyan értéktol,

ahonnan a potenciál térben lassan változik és értéke kicsi a maximumához képest.

A kezdofeltételeket az eredményeknél feltüntetem, de általában a VINT (r; t) mo-

dellben a rendszer belso Vc(r) potenciáljának egy sajátállapota, a VINT (r,R) modellben

ugyanezen belso állapot szorzata egy R-tol függo hullámcsomaggal.

A határfeltételek biztosítása végett olyan tartományokon vizsgáltam a hullámfügg-

vényt (mind hely, mind impulzus térben), amelyeken a vizsgált hullámfüggvények le-

csengnek, a határokon a maximális értéke a normált |ψ|2 eloszlásoknak 0.01-nél kisebb

1http://baroncs1.web.elte.hu/BScDolgozat/Eredmenyek/eredmenyek.html

22

http://baroncs1.web.elte.hu/BScDolgozat/Eredmenyek/eredmenyek.html

4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN

volt.

A rendszer belso viszonyait jellemzo VC(r) potenciálnak a Wood-Saxon-függvényt

választottam, ennek alakja:

VC(r) =V0

1 + exp( |r|−r(0∗)

a

) , r(0∗) = r(0)M1/3, (4.1)

ahol M a vizsgált rendszer össztömege (ez magfizika esetén analóg a tömegszámmal),

V0, r(0), a a potenciál paraméterei. Látható, hogy a potenciál szimmetrikus r-ben, (4.1)

alapján elég lenne az r tartományt pozitívnak venni. Azonban VINT potenciálban szá-

mít az r elojele, ezért a tartomány negatív felét is figyelembe vesszük. V0 értékét meg-

szabva lehet beállítani, hogy a Hr = −~2∂2r

2µ +VC(r) Hamilton-operátornak hány negatív

energiás (kötött) sajátállapota legyen. V0 értékét úgy választottam meg, hogy a Hr ope-

rátornak két kötött állapota legyen, ekkor az elso gerjesztett állapotra⟨r2⟩> 0, tehát

az állapot nem nullára centralizált lesz, mint a legmélyebb energiaszint esetén. Ezt

összefoglalóan a 4.1. ábrán látható egy Wood-Saxon-potenciál és a paraméterezése.

4.1. ábra. Wood-Saxon-potenciál és két kötött állapota az ábrán jelölt pa-raméterezés mellet az adott tartományon.



4.1.1. A rendszer idofejlodésének követése projekciókkal

A rendszer belso viszonyait a Hr és HrR Hamilton-operátorok írják, melyek a követke-

zok:

Hr =−~2∂2

r

2µ+ VC(r) VINT (r; t) esetén, (4.2a)

HrR =−~2∂2

R

2M+ Hr VINT (r,R) esetén. (4.2b)

A ψ(r; 0) és ψ(r,R; 0) kezdofeltételeket úgy szabtam meg hogy azon (r∗, R∗) pontokra,

ahol ψ(r∗; 0) 6= 0 és ψ(r∗, R∗; 0) 6= 0 teljesüljön, hogy VINT (r∗; 0) = 0 és VINT (r∗, R∗) =

0. A VC(r) potenciált úgy választjuk, hogy a (4.2)-beli operátoroknak két negatív ener-

giás sajátállapota legyen r függvényében. Ezeket a következoképpen jelölöm:

HrψWS,0(r) = EWS,0ψWS,0(r), EWS,0 < 0, (4.3a)

HrψWS,1(r) = EWS,1ψWS,1(r), EWS,1 < 0, (4.3b)

ezen felül ψK(R) = 〈R|K〉 = exp (−iKR)√(2π)

jelöléssel (lásd (2.21)):

HrRψWS,0(r)ψK(R) = (EWS,0 +K2

2M)ψWS,0(r)ψK(R), (4.4a)

HrRψWS,1(r)ψK(R) = (EWS,1 +K2

2M)ψWS,1(r)ψK(R). (4.4b)

A (4.3) és (4.4) egyenletekben bevezetett sajátállapotokra levetítve aψ(r; t) és aψ(r,R; t)

függvényeket kifejezhetjük, hogy a rendszer mekkora valószínuséggel van a kötött ál-

lapotokban bármelyik idopontban.Ezek a projekciók a VINT (r; t) modellben:

P0(t) =

∫drψ∗WS,0(r)ψ(r; t) →

Nr∑j=0

ψ∗WS,0jψj∆r, (4.5a)

P1(t) =

∫drψ∗WS,1(r)ψ(r; t) →

Nr∑j=0

ψ∗WS,1jψj∆r, (4.5b)

Pcont(t) = 1− P1(t)− P0(t), (4.5c)

ahol Pcont a kontinuum állapotok valószínuségét jelöli, ami ekvivalens a felhasadás

valószínuségével (lásd 2.2.2. alfejezetet). A projekciók elvégzéséhez VINT (r,R) mo-



dellben fejtsük ki az állapotot a HrR által meghatározott sajátállapotokon:

ψ(r,R; t) =∑kl

ckl(t)ψWS,k(r)ψKl(R), (4.6)

amibol a megfelelo projekciók:

P0(t) =∑l

|c0l|2, (4.7a)

P1(t) =∑l

|c1l|2, (4.7b)

Pcont(t) = 1− P1(t)− P0(t). (4.7c)

A cmn(t)együtthatók kiszámítása:

cmn(t) =

∫ ∫drdRψ∗WS,mψ

∗Kn

(R)ψ(r,R; t), (4.8)

amelyet a következoképpen végeztem numerikusan:∫drψ∗WS,m(r)ψ(r,R; t) = fm(R; t)→ cmn(t) = FR

{fm(R; t)

}n

= fm(Kn; t), (4.9)

tehát a projekciók (n a t, j az r, m az R, k a K változókat indexelik):

P0n =

NR∑k=0

∣∣F{ Nr∑j=0

∆rψ∗WS,0jψjmn}k

∣∣2, (4.10a)

P1n =

NR∑k=0

∣∣F{ Nr∑j=0

∆rψ∗WS,1jψjmn}k

∣∣2. (4.10b)

4.1.2. A relatív sebesség várható értéke

Az eredmények kiértékelésekor kiszámítottam a relatív sebességek várható értékét. Eh-

hez érdemesebb a (4.3) és a (4.4) egyenletek által definiált sajátállapotok rendszere

helyett az r-beli függést is ψk(r) = 〈r|k〉 = exp (−ikr)√(2π)

sajátállapotokon felírni, termé-

szetesen a relatív sebesség: v = k/µ. A k-nak, a relatív impulzus operátor hatása a



ψ(k) = F{ψk(r)

}és ψ(k,R) = Fr

{ψk(r)ψK(R)

}függvényekre:

〈k| k |Ψ〉 = k 〈k|Ψ〉 = kψ(k), (4.11a)

〈k| 〈R| k |Ψ〉 = k 〈k| 〈R|Ψ〉 = kψ(k,R), (4.11b)

tehát a k/µ várható értéke:

⟨k/µ

⟩=⟨v(t)

⟩=

∫dkk

µ|ψ(k; t)|2, (4.12a)

⟨k/µ

⟩=⟨v(t)

⟩=

∫ ∫dkdRψ∗(k,R; t)

k

µψ(k,R; t) =

∫dkk

µ

∫dR|ψ(k,R; t)|2,

(4.12b)

melyek numerikusan kifejezve a következo alakot öltik (n az idot, m az r koordinátát,

j a k impulzust, p az R koordinátát indexeli):

⟨v⟩n

=

Nr∑j=0

∆r

2π

kjµ|F{ψnm

}nj|2, (4.13a)

⟨v⟩n

=

Nr∑j=0

NR∑p=0

∆R∆r

2π

kjµ|Fr{ψnmp

}njp|2. (4.13b)


4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A VINT (R;T ) MODELLBEN

4.2. Szimulációk a VINT (r; t) modellben

4.2.1. Állapot idofüggése

Tartomány Paraméterek

lépések száma kezdopont végpont érték érték

r Nr = 769 r0 = −8.0 rNr = 16 q1 3 m1 6t Nt = 180 t0 = 0.0 tNt = 0.9 ZT 82 m2 1

V0 30 a 0.08

levágás 50 r(0) 0.2b 0.4

Kezdeti értékek

R0 4K −100, −120

ψ(r; 0) ψWS,1(r)

A szimulációt két K értékre végeztem el, adott b = 0.4 impakt paraméterrel. K =

−100 esetén a szimuláció eredménye, a |ψ(r; t)|2 függvény a 4.2. ábrákon látható kü-

lönbözo idopontokban. Megállapítható az ábrákról, hogy a külso tér a legnagyobb

megközelítés elott a pozitív r irányba tolja az eloszlás pozitív felét, majd a legnagyobb

megközelítést követoen a negatív r tartomány felé tolja az eloszlást. A végállapotnál

látható, hogy az eloszlásnak lesz egy csúcsa r ≈ 0 környezetében és két kiterjedt csú-

csa a VC(r) potenciálgödrön kívülre centralizálva. Ezen szemrevételezés alapján azt

mondhatjuk hogy a külso potenciál a rendszert valamilyen arányban legerjesztette az

alapállapotba, egy részét pedig felhasította, amely ettol kezdve szabad részecskeként

viselkedik. Mindezt alátámasztják a 4.3. ábrák, ahol a Hr operátorra vett projekciók

láthatóak, mind a K = −100, mind a K = −120 esetben. Látható, hogy valóban a

legnagyobb megközelítést (t ≈ 0.29 és t ≈ 0.25) követoen az inicializált elso állapot

projekciója lecseng.



(a) t = 0.260 (b) t = 0.340

(c) t = 0.470 (d) t = 0.535

4.2. ábra. |ψ(r; t)|2 (fent), V (r; t) = VC(r) + VINT (r; t) és kötött állapotok energiája (lent) külön-bözo idopontok esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban is elérheto a http://baroncs1.web.elte.huoldalon.


http://baroncs1.web.elte.hu/BScDolgozat/Eredmenyek/1/proj.gif


(a) K = −100

(b) K = −120

4.3. ábra. Projekciók a Hr alap és elso gerjesztett állapotára (??) alapján és a felszakadás valószínusége.



4.2.2. Projekciók és relatív sebességek különbözo impakt paraméterek esetén



r Nr = 1154 r0 = −14.0 rNr = 22 q1 3 m1 6t Nt = 540 t0 = 0.0 tNt = 2.7 ZT 82 m2 1

V0 30 a 0.08

levágás 50 r(0) 0.2b 0.4, 0.6, 0.7, 0.8

Kezdeti értékek

R0 4K −100

ψ(r; 0) ψWS,1(r)

Megvizsgáltam, hogy az elozo alrészhez hasonló paraméterezés esetén hosszú fu-

tási ido mellett hogyan alakulnak a projekciók az impakt paraméter (b) függvényében.

4.4. ábra. Projekciók különbözo impakt paraméterek esetén.

Eredményeim a 4.4. ábrán vannak. Látható, hogy minél kisebb impakt paraméter,

annál többet változik a rendszer a folyamat végéig. Az ábráról leolvasható továbbá,



hogy b = 0.4 és b = 0.6 esetén a végállapot közel azonos, de az átmenet idobeli alkulása

különbözik.

Vizsgáltam a relatív sebesség várható értékét (4.13a) összefüggés alapján, az ered-

mények a 4.5. ábrán láthatók. Megállapítható, hogy a kisebb impakt paraméter ese-

tén nagyobb a maximális sebesség. A sebesség maximuma a legnagyobb megközelítés

környezetében van. A kapott ábra elso, felgyorsuló, majd lelassuló szakaszát könnyen

értelmezhetjük. A pozitív tartományból (R0 > 0) indított rendszer (m1, q1) részecské-

jére tolópotenciál hat, ami a tömegközéppont mozgásával ellentétes, tehát azt a pozitív

irányba tolja. Emiatt, mivel a relatív koordinátát r = r1−r2 módon vezettük be, a hozzá

tartozó relatív sebesség a pozitív értéku lesz. A legnagyobb megközelítést követoen a

tolópotenciál a negatív irányba tolja az 1 indexu részecskét. A 4.6. ábrán a legnagyobb

megközelítés környezete kinagyítva látható.

4.5. ábra. Relatív sebesség várható értéke.

A 4.5. ábrán látható, hogy t > 0.5 idokre a relatív sebesség várható értéke oszcillál.

Ezt az oszcillációt az okozza, hogy a vizsgált rendszer állapotában jelen vannak a kötött

állapotok is, olyan amplitúdóval, melyek abszolút érték négyzete a 4.4. ábrán is látha-

tó. Hogy ezt alátámasszam és meghatározzam, hogy mekkora a relatív sebesség ha a

rendszer teljes bizonyossággal felhasad, a két kötött állapotot projekciók segítségével

levontam a hullámfüggvénybol és bevezettem egy redukált, ψbu(r; t) hullámfüggvényt,



4.6. ábra. Relatív sebesség várható értéke a maximum környezetében.

mely a felhasadt állapotokat írja le. Ennek eloállítása:

ψbu(r; t) = ψ(r; t)−∫

dr′ψ∗WS,0(r′)ψ(r′; t)−∫

dr′ψ∗WS,1(r′)ψ(r; t). (4.14)

Ellenorzésképpen megvizsgáltam, és teljesül, hogy |ψbu(r; t)|2 = Pcont(t), tehát az új

hullámfüggvény normája azonos a ψ(r; t) kontinuum állapotokra vett projekciójával.

A ψbu(r; t) hullámfüggvényt ezt követoen normáltam a√Pcont(t)-vel. Az így eloállított

ψbu(r; t) állapotokkal elvégeztem a (4.13a) összefüggésben leírt analízist, hogy kiszá-

mítsam a⟨vbu(t)

⟩relatív sebességet a kontinuum állapotokra vonatkozólag. A 4.7. áb-

rán látható. Szürkével jelöltem rajta 4.5. ábráról származó⟨v(t)

⟩mennyiségeket. Ész-

revehetjük, hogy a hullámfüggvény megszorításával olyan várható értékeket kaptunk,

melyek nem oszcillálnak, ezzel alátámasztva, hogy a 4.5. ábrán látható oszcillációt az

alapállapotok jelenléte okozza. Másrészt az újonnan kiszámolt⟨vbu(t)

⟩mennyiségbol

meg lehet határozni felhasadás esetén, adott impakt paraméter és bejövo impulzus (K)

mellett mekkora lesz a relatív sebesség végso értéke. Ez a magfizikában, Coulomb-

disszociáció vizsgálatában egy fontos mennyiség [7]. Erre a 5. fejezetben visszatérek.



4.7. ábra. A relatív sebesség várható értéke csak a ψbu(r; t) felhasadt állapotokkal kiszámítva.

4.2.3. Felhasadás valószínusége és relatív sebességek széles (K, b) paraméter-tartományon



r Nr = 769 r0 = −8.0 rNr = 16.0 q1 3 m1 6t Nt = 180 t0 = 0.0 tNt = 2.0 ZT 82 m2 1

V0 30 a 0.08

levágás 50 r(0) 0.2

Kezdeti értékek

R0 4ψ(r; 0) ψWS,1(r)

Megvizsgáltam (K, b) ∈ [−20,−240]× [0.2, 2.4], 20× 20 lépéssel felbontott paramé-

tertartományon a felszakadás valószínuségét, ezt most jelölje a Pbu(K, b). Ez azt jelenti,

hogy az adott paraméterezés mellett lefuttattam a szimulációt és vizsgáltam a végso

állapotok valószínuségét. Eredményeim a 4.8. ábrán láthatóak. A legnagyobb valószí-

nusége a felszakadásnak a (K, b) = (−20, 0.2) értékeknél van. A kis energiás rendszerek



(K2/2M kicsi) felszakadása úgy interpretálható, hogy a potenciál az (m1, q1) részecskét

visszaszórja a pozitív tartományba, míg a rendszer tömegközéppontja a (2.40) alapján

mozog, tehát az (m2, q2) részecske tovább halad azR < 0 tartomány felé a tömegközép-

ponttal. A kis impakt paraméteru eredményeknél látható, hogy a b→ min(b) irányban

Pbu(K, b) egyre meredekebben növekszik K2/2M → min(K2/2M) esetén.

4.8. ábra. Felhasadás valószínusége széles paramétertartományon.

A (4.14) muvelet elvégzésével kiszámíthatjuk a relatív sebességek ψbu(r; t) hullám-

függvénnyel vett várható értékének végso értékét minden (K, b) pontra. Ez látható a

4.9. ábrán. Megfigyelhetjük, hogy ahogy K-val és b-vel a kis értékek felé haladunk, an-

nál nagyobb (negatívabb) értéku lesz a relatív sebesség állandósult nagysága. Ezt úgy

interpretálhatjuk egy klasszikus fizikai kép segítségével, hogy a kölcsönhatási potenci-

ál a bejövo rendszerre a tömegközéppont mozgásával ellentétes erot fejt ki mivel ekkor

a kötött rendszerben az (m1, q1) részecskével hat kölcsön. Ha részecskék közötti kötés

felhasad, az (m2, q2) részecskét nem éri több erohatás, ellenben az (m1, q1) részecskével,



akire ugyanúgy hat a kölcsönhatás, de a tömege kisebb lett a felhasadás óta. Amíg a

kölcsönhatási potenciál erot fejt ki az 1-es részecskére, az gyorsul, így növelve a most

már szabadon mozgó 2-es részecskével szembeni sebességét.

4.9. ábra. Relatív sebességek várható értéke a ψbu(r; t) hullámfüggvénnyel. Az ábrán a végsebességekszerepelnek.


4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A VINT (R,R) MODELLBEN

4.3. Szimulációk a VINT (r, R) modellben

4.3.1. Állapot idofüggése



r Nr = 769 r0 = −8.0 rNr = 16.0 q1 3 m1 6R NR = 872 R0 = −12.0 RNR

= 5.0 ZT 82 m2 1t Nt = 180 t0 = 0.0 tNt = 0.9 V0 30 a 0.08

levágás 50 r(0) 0.2b 0.4

Kezdeti értékek

R(0) 4σR 0.1K0 −100,−120

ψ(r,R; 0) NψWS,1(r) exp( (R−R(0))2

2σR+ iK0R

)A szimulációt ugyanazon két K0 értékre végeztem el, mint a VINT (r; t) modell ese-

tén K-ra, azonban itt K0 szerepe megváltozik. Mivel R dinamikai mennyiség, a hozzá

konjugált impulzus, K eloszlását eltolja K0 a K-térben. A kezdeti hullámcsomag ido-

fejlodését vizsgáljuk. Mivel ez aK-térben (is) szétfolyik, ezért az eloszlást nem fogjaK0

jól jellemezni, az idofejlodés során⟨K⟩6= K0. A 4.10. ábrán látható a vizsgált kölcsön-

hatási és belso potenciál. A 4.11. ábrán látható az állapot idobeli fejlodése K = −100

esetén négy idopontban. Egybol szembetunik, hogy ha az R változót nem szorítjuk

meg egy trajektóriára, akkor lehetséges lesz a R-beli visszaszórás is. Ha megfigyeljük

a rendszert nagyobb kezdeti energiával (K0 = −120), akkor azt találjuk, hogy nem lesz

visszaszórás, lásd 4.12. ábrát.



4.10. ábra. A rendszer belso viszonyait meghatározó VC(r) és a külso VINT (r,R) potenciálok.

Az (4.10) alapján meg lehet határozni a belso Hr operátor sajtállapotaira vett pro-

jekciókat. Ezeket az 4.13. és 4.14. ábrán lehet megtekinteni. Itt is megfigyelheto az

az effektus, hogy a kölcsönhatás "visszapumpálja" a rendszert az alapállapotba. Látha-

tó, hogy a nagyobb K0 esetén az átmenetek hamarabb végbemennek. Ezek kvalitatíve

hasonlók a VINT (r; t) modellben vizsgált átmenetekhez.

A (4.13b)-ben közölt eljárás alapján ki lehet számítani a relatív sebesség várható

értékét ebben a modellben is. A 4.15. ábrán ezt láthatjuk a K0 = −100 esetre. Meg-

állapíthatjuk, hogy a visszaszórt valószínuségsuruség - mivel pozitív r irányba terjed

- pozitív irányba tolja el a várható értéket, az azonos paraméterekkel kapott VINT (r; t)

modellbeli relatív sebességekhez képest (lásd 4.5. ábra). A 4.16. ábrán látható ugyanez

a mennyiség K0 = −120 esetben. Mivel itt nincs visszaszórás, kvalitatíve 4.5. ábrához

hasonló eredményre jutunk.



(a) t = 0.260 (b) t = 0.340

(c) t = 0.470 (d) t = 0.535

4.11. ábra. |ψ(r,R; t)|2 idofejlodése K = −100 esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban iselérheto a http://baroncs1.web.elte.hu oldalon.




(a) t = 0.260 (b) t = 0.340

(c) t = 0.470 (d) t = 0.535

4.12. ábra. |ψ(r,R; t)|2 idofejlodése K = −120 esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban iselérheto a http://baroncs1.web.elte.hu oldalon.




4.13. ábra. Projekciók a Hr kötött állapotaira és a felhasadás valószínusége, K = −100.

4.14. ábra. Projekciók a Hr kötött állapotaira és a felhasadás valószínusége, K = −120



4.15. ábra. A relatív sebesség várható értéke K = −100 esetén.

4.16. ábra. A relatív sebesség várható értéke K = −120 esetén.



4.3.2. Visszaszórt valószínuségsuruség leválasztása

A visszaszórt valószínuségáram pozitív R irányba halad. Ez azt jelenti, hogy K impul-

zusnak az eloszlása az idofejlodés során kiterjed a pozitív K értékekre is. A szimuláció

eredményeként kapott ψ(r,R; t) állapotból a visszaszórt valószínuséget úgy szurtem

ki, hogy a ψ(r,K; t) Fourier-spektrumában a pozitív K értékek amplitúdóját nullával

tettem egyenlové, tehát:

ψ(r,K > 0; t) = 0. (4.15)

Végrehajtva ezen muveleteket, az eljárás helyességét úgy ellenoriztem, hogy a vissza-

transzformáltψ′(r,R; t) függvény normáját összehasonlítottam az eredetiψ(r,R; t) függ-

vény normájával R < 0 tartományon. A ketto egyezett.

4.17. ábra. A relatív sebesség várható értéke K = −100 esetén a visszaszórt valószínuség kiszurésével.


5. fejezet

Diszkusszió

Szakdolgozatom során kétrészecskés kvantummechanikai rendszerek szétesését vizs-

gáltam az idofüggo Schrödinger-egyenlet megoldásával. Sikerült a magfizikai moti-

váció által fontosnak tartott⟨v(t)

⟩relatív sebességet megállapítanom. Ez mutatta az

utógyórsítás jelenségét (lásd 4.7., 4.9., 4.15., 4.17. és 4.16. ábrák), a végállapotokban

a relatív sebességek várható értéke nem nulla. Távlati célunk témavezetommel a té-

mával kapcsolatban, hogy a bemutatott kvantummechanikai rendszert kiterjesszük há-

rom dimenzióssá és a lehetséges mageroket alkalmasabb potenciálokkal modellezzük,

ebben az esetben már alkalmasak lennénk összevetni ezen számításokat kísérleti ered-

ményekkel, például a Nakamura et al. [8] által vizsgált utógyorsítási effektussal 11Be

Coulomb-felhasadása esetén.

43

Köszönetnyilvánítás

Szeretném megköszönni témavezetomnek, Dr. Horváth Ákosnak segítségét, belém ve-

tett bizalmát és a felajánlott témát. Szeretném továbbá megköszönni családomnak és

barátaimnak, hogy támogattak az egyetemi évek során.

44

Irodalomjegyzék

[1] C.A. Bertulani. Nuclear Physics in a Nutshell. Princeton Uniersity Press, 2007.

[2] R. Izsák, Á. Horváth, Á. Kiss, Z. Seres, A. Galonsky, C.A. Bertulani, Zs. Fülöp, T.

Baumann, D. Bazin, K. Ieki, C. Bordeanu, N. Carlin, M. Csanád, F. Deák, P. DeYo-

ung, N. Frank, T. Fukuchi, A. Gade, D. Galaviz, C. Hoffman, W.A. Peters, H. Sche-

lin, M. Thoennessen and G.I. Veres Determining the 7Li(n,γ) cross section via Coulomb

dissociation of 8Li. Physical Review C, 88 (2013) 065808.

[3] J.J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley Pub. Co., 1994.

[4] Jakovác Antal. A kvantummechanika speciális fejezetei. Egyetemi jegyzet, 2013. http:

//jakovac.web.elte.hu/Documents/kvantspec.pdf

[5] Steven Weinberg. Lectures on quantum mechanics. Cambridge University Press, 2013.

[6] Horváth Róbert, Izsák Ferenc, Karátson János. Parciális differenciálegyenletek numeri-

kus módszerei számítógépes alkalmazásokkal. Egyetemi jegyzet, 2013. http://www.cs.

elte.hu/~izsakf/numpde/pdnm_vegleges_2013.pdf

[7] Yasuyuki Suzuki, Rezso G. Lovas, Kazuhiro Yabana, Kálmán Varga. Structure and

reactions of light exotic nuclei. Taylor & Francis, 2003.

[8] T. Nakamura, S. Shimoura, T. Kobayashi, T. Teranishi, K. Abe, N. Aoi, Y. Doki, M.

Fujimaki, N. Inabe, N. Iwasa, K. Katori, T. Kubo, H. Okuno, T. Suzuki, I. Tanihata,

Y. Watanabe, A. Yoshida, M. Ishihara. Coulomb dissociation of a halo nucleus 11Be at

72A MeV. Physics Letters B 331 (1994) 296-301.

45

http://jakovac.web.elte.hu/Documents/kvantspec.pdf

http://jakovac.web.elte.hu/Documents/kvantspec.pdf

http://www.cs.elte.hu/~izsakf/numpde/pdnm_vegleges_2013.pdf

http://www.cs.elte.hu/~izsakf/numpde/pdnm_vegleges_2013.pdf