Künstliche Intelligenz - Intelligente Agentenhk/KI_28Feb2008_Wiehl.pdf · • Modus Tollens wenn p, dann q nicht q Heiner Klocke, 28.02.2008 Künstliche Intelligenz ‐Intelligente

29.02.2008

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Künstliche Intelligenz - Intelligente Agenten

1. Was ist, was kann Künstliche Intelligenz?

Neugierig werden. Ein bisschen philosophieren.

2. Logisches Schließen

Der Mensch macht beim Schließen Fehler

3. Repräsentation von Wissen durch Logik

C ? ?

Heiner Klocke, 28.02.2008 KI/1Künstliche Intelligenz ‐ Intelligente Agenten

Unser Wissen im Computer? Wie geht das?

4. Mit Logik programmieren – Programming in Logic

Ist das möglich? Ja, z.B. mit Prolog

1. Was ist, was kann künstliche Intelligenz?

Können Maschinen denken?

Werden Maschinen eines Tages denken können?g

• Was ist eine Maschine?

• Was ist Denken?

• Was ist der Mensch?

Heiner Klocke, 28.02.2008 KI/2Künstliche Intelligenz ‐ Intelligente AgentenMarvin Minsky Alan TuringJohn McCarthyJoseph Weizenbaum

ELIZA

MIT – Massachusetts Institute of Technology

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Das Experiment von Alan Turing (mit Menschen)

Drei Spieler, ein Mann (A), eine Frau (B) und ein männlicher oder weiblicher Fragesteller (C).

A

B

CA männlich?

B weiblich?


Erschwerte Situation: A will verhindern, dass C ihn erkennt.Spielerin B will dem Fragesteller C helfen, die richtige Antwort zu geben.

Das Experiment von Alan Turing (mit Computer)

Person A wird durch ein Computerprogramm ersetzt.

A

B

CA Computer?

B Computer?


Turing-Test: Nachweis der Intelligenz eines Computers?

Loebner-Preis: Bestes Turing-Test-Programm.2007: Robert Medeksza: Ultra HAL Assistant (digitaler Sekretär)

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Visueller Turing-Test im Web

Challenge-response-Test: Mensch oder Programm?

Visueller Test: CAPCHA „ Completely Automated Public Turing test to tell Computers and Humans Apart"


Menschliche Intelligenz (intellegere – verstehen)

Natürliche Intelligenz„Fähigkeit zum Erkennen von Zusammenhängen und zum Fi d ti l P bl lö “Finden optimaler Problemlösungen“

• Abstraktionsvermögen• Erkenntnisfähigkeit• …

Daniel Goleman: „Emotionale Intelligenz“


• Reale Selbsteinschätzung

• Selbstkontrolle

• Erkennen der eigenen Stärken und Schwächen

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Strömungen der „Künstlichen Intelligenz“ (KI)

KI als KognitionswissenschaftFunktionen des Gehirns entschlüsseln.

KI als InformatikdisziplinZiel: Intelligentere Computersysteme entwickeln

Software mit Problemlösefähigkeiten entwickeln, als

Natürliche Intelligenz verstehen und nachbauen


Ergänzung natürlicher Intelligenz

Starke und schwache KI

• Ziel der starken KI:"Eine Intelligenz zu erschaffen, die wie der Mensch nachdenken und Probleme lösen kann und die sich

• Ziel der schwachen KI:Imitation von intelligentem Verhalten ohne Anspruch auf

nachdenken und Probleme lösen kann und die sich durch eine Form von Bewusstsein ... auszeichnet.„Nachdenken und Probleme lösen.

• Es ist umstritten ob starke KI überhaupt möglich ist


Imitation von intelligentem Verhalten ohne Anspruch auf Bewusstsein oder ähnliches.

• Lösung konkreter Anwendungsprobleme• Schwache KI wird bereits im täglichen Leben eingesetzt

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Neuronale Netze

• Grundidee: Modellierung des menschlichen Gehirns durch künstliche Neuronen

• Vor-und Nachteile• Können ihre Entscheidungen nicht

begründen• Funktionalität schwer prüfbar

Neuronen

• Auswahl der Netzwerktopologie ist schwierig


p g g

• Sehr gut für Bilderkennung geeignet• Sehr hohe Ausfallsicherheit• Extrem schnelle Hardware-Implementation möglich

Neuron, künstlichen Neurons, künstliches neurales Netz


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Genetische Algorithmen

• Die Natur löst äußerst komplexe AufgabenAlles was sie dazu braucht ist:• Alles was sie dazu braucht ist:• Genetischer Code• Zufällige Veränderung: Mutation,

Cross-Over• Selektion• Fitness (Bewertungsfunktion)


t ess ( e e tu gs u t o )

Evolutionäre Algorithmen

• Genetische Algorithmen sind zu allgemein, daher Probleme mit der RechenzeitRechenzeit

• Evolutionäre Algorithmen nutzen• Problemspezifische Gendarstellung

(nichtlinear!)• Problemspezifische Cross-Over-

/Mutationsoperationen• Dadurch wird viel Rechenzeit


• Dadurch wird viel Rechenzeit gespart

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Vor- und Nachteile

• Extrem anpassbar• Problem muss nicht analytisch

erfasst/verstanden werden!erfasst/verstanden werden!• Immer noch großer Rechenzeitbedarf• Problem mit lokalem und globalem

Maximum • Wie wählt man die Gendarstellung und wie

die Mutations- und Bewertungsfunktionen?


Populationsgröße?

Einsatz heute vor allem bei komplexen Such- und Optimierungsproblemen.

Starke KI

• “according to strong AI, the computer is not merely a tool in the study of the mind; rather the appropriately

• Grundlegender Gedanke der starken KI ist die „substrate independence“

mind; rather, the appropriately programmed computer really is a mind“

John Searle


• Nachdenken und Probleme lösen• Bewusstsein und Selbstbewusstsein• Emotionen

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Künstliches Leben (MIT-Projekt Kismet-Roboter)

• Erforschung von Fragen zur• Selbstidentität

W h h th i

Kismet

• Absichtlichkeit der EntscheidungenE ti d E fi d

• Wahrnehmungstheorie• Autobiografisches Gedächtnis• Selbsterkennung / Erkennung

anderer

Mark II

DAVID


• Emotionen und Empfindung• Persönlichkeit• Freundschaft• Ethik

Gesichtsroboter: Erforschung der Verständigung zwischen Mensch und Maschine

Teilgebiete der KI

• Sprachliche KI: Verstehen, Übersetzen und Erzeugen von Texten oder gesprochener Sprache

• Visuelle KI: Erkennen von Bildern

• Rationale KI:• Logisches Schließen

• Entscheiden

• Handeln


Handeln

• Mensch-Computer Interaktion:

• Softwareagenten

• Roboter

Global Hawk

Androide ASIMO

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Symbolische und Subsymbolische KI

• Grundproblem der KI: Wie denken Menschen?

• Symbolische KI geht das Problem von „oben“ an und betrachtet logisches Schließen als Grundlage. Dabei wird in Symbolen gearbeitet

• Subsymbolische oder neuronale KI geht das Problem von „unten“ an und simuliert Gruppen von Neuronen. Zentrale Elemente sind das Modell der Neuronen und die Struktur der Verbindungen.


gDaher auch Konnektionismus.

KI – Arbeitsgebiete der Informatik

• Wissensbasierte Systeme

• Lernfähige und erkennende Systeme

• Sprachverstehen

• Funktionale (Lisp) u. deskriptive Sprachen (Prolog)

• Robotik

• Fuzzy-Systeme

G ti h Al ith


• Genetische Algorithmen

• Philosophische Probleme

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Intelligente Agenten

In der KI-Forschung und der Kognitionswissenschaft werden Menschen, Tiere und künstliche Wesen als Agenten bezeichnetAgenten bezeichnet.

Ein vollständiger Agent ist ein natürliches oder künstliches System, das ständig mit seiner Umwelt über Sensoren interagiert.

Das sensorische System ist eng mit dem motorischen S t k lt


System gekoppelt.

Software-Agent

… ein Computerprogramm, das weitgehend unabhängig von Benutzereingriffen arbeitet.

Es löst Aktionen aufgrund eigener Initiative aus (proaktiv), reagiert auf Änderung der Umgebung (reaktiv), es kommuniziert mit anderen Agenten (Multi-Agenten) und lernt aufgrund zuvor getätigter Entscheidungen bzw. Beobachtungen.


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Dimensionen der Künstlichen Intelligenz

Nachbildung menschlicher Leistung

Rationalität

Denkprozesse

Systeme, die wie Menschen denken

Systeme, die rational denken

Systeme, die rational denken


Systeme, die wie Menschen agieren

Systeme, die rational agieren

Verhalten

Menschliches Denken – kognitive Modellierung

• festlegen, wie ein Mensch denkt

• in die Arbeitsweise des menschlichen Gehirn gelangen

– Introspektion, eigene Gedanken auffangen, während sie entstehen

– durch psychologische Experimente


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Rationales Denken: Denkregeln

• unwiderlegbare Prozesse für logisches Denken festlegen

• Aristoteles: Syllogismus stellt Muster für Argumentations-strukturen bereit die immer zu korrekten Schlüssen führenstrukturen bereit, die immer zu korrekten Schlüssen führen, wenn ihnen korrekte Prämissen übergeben werden

– Sokrates ist ein Mensch; alle Menschen sind sterblich; deshalb ist Sokrates sterblich

• Denkregeln sollten die Vorgehensweise des Verstandes beherrschen; ihre Untersuchung führt zum Gebiet der Logik.

1 P bl i f ll d i h Wi f h


• 1. Problem: informelles und unsicheres Wissen aufnehmen und es formalisieren

• 2. Problem: unterschiedliche Fähigkeit, ein Problem „im Prinzip“ zu lösen und dies auch in der Praxis zu tun.

Rationales Handeln – rationaler Agent

• Ein Agent ist etwas, das agiert (lat. agere, tun handeln machen)

• Softwareagenten unterscheiden sich von herkömmlichen“Softwareagenten unterscheiden sich von „herkömmlichen Programmen durch

– selbstständige Steuerung

– Wahrnehmung ihrer Umgebung

– Persistenz über einen längeren Zeitraum

– Anpassungen an Änderungen und die Möglichkeit, die


p g g g ,Ziele eines anderen weiterzuführen

• Ein rationaler Agent ist ein Agent, der sich so verhält, dass er das beste Ergebnis erzielt, oder, falls es Unsicherheiten gibt, das beste erwartete Ergebnis.

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Rationalität und Allwissenheit

• Ein allwissender Agent weiß das Ergebnis seiner Handlungen, er kann „in die Zukunft schauen“ und kann dementsprechend handeln, aber in der Realität ist Allwissenheit unmöglich.

• Rationalität ≠ Perfektion

• Perfektion ist aus unserer Sicht eines rationalen Agenten ausgeschlossen, da die rationale Wahl nur von der bisherigen Wahrnehmung abhängt.


• Beispiel

Agent überquert Straße, keine Autos sind zu sehen, er wird von einem herabstürzenden Flugzeugreifen erschlagen. Entscheidung rational oder perfekt?

2. Logisches Schließen

Viele Denk- und Entscheidungsprozesse des Menschen basieren auf Logik, wobei es verschiedene Formen der Logik gibt, z.B.gibt, z.B.

• Aussagenlogik (operiert nur mit Konstanten)

• Prädikatenlogik (verwendet Variablen und Quantoren)

• Modallogik (verwendet Modalbegriffe wie möglich, notwendig, …)

• Fuzzylogik (kann mit unsicherem Wissen umgehen)


• Fuzzylogik (kann mit unsicherem Wissen umgehen)

Zwei wichtige Schlussfiguren,

• Modus Ponens • Modus Tollens

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Modus Ponens (zur Verifikation)

Aus zwei Prämissen wird eine bejahende Aussage hergeleitet:

1 Prämisse P Q1. Prämisse: P → Q

2. Prämisse: P

Schluss: QQ

PQP ,→

AusW t i d di St ß “


„Wenn es regnet, wird die Straße nass“und

„Es regnet“

folgt logisch: „Die Straße wird nass“

Modus Tollens (zum „Betrüger schnappen“)

Aus zwei Prämissen wird eine verneinende Aussage hergeleitet:

1 Prämisse P Q1. Prämisse: P → Q

2. Prämisse: ¬P

Schluss: ¬QQ

PQP¬

¬→ ,

AusW t i d di St ß “


„Wenn es regnet, wird die Straße nass“und

„Es regnet nicht“

folgt logisch: „Die Straße wird nicht nass“

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Der Modus Ponens und der Modus Tollens

M d P

Zwei formale Regeln für logisches Schließen sind

W J h hl i t d• Modus Ponenswenn p, dann qpes folgt q

• Modus Tollensd

Wenn John schlau ist, dann wächst die Erdbevölkerung.John ist schlau.Die Bevölkerung der Erde wächst.

Wenn Liz die Mörderin war, dann b it t Si i B il


wenn p, dann qnicht qes folgt nicht p

besitzt Sie ein Beil.Liz besitzt kein Beil.Liz war nicht die Mörderin.

Aufgabe

Wenn es regnet, trägt John einen Regenschirm.John trägt keinen Regenschirm.?

Frage 1: Welche Schlussregel muss angewendet werden?

?

• Modus Ponenswenn p, dann qp

• Modus Tollenswenn p, dann qnicht q

Heiner Klocke, 28.02.2008 30Künstliche Intelligenz ‐ Intelligente Agenten

es folgt q es folgt nicht p

Frage 2: Wie lautet die Schlussfolgerung?

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Experiment 1

4 E 7 K

Jede Karte hat eine Zahl auf der einen und einen Buchstaben auf der anderen Seite. Welche Karten müssen Sie aufdecken,

f l d A üf ?

4 E 7 K


um folgende Aussage zu prüfen?

"Wenn eine Karte auf der einen Seite einen Vokal hat, dann steht auf der anderen Seite eine gerade Zahl"

Lösung Experiment 1

4 E 7 K

"Wenn eine Karte auf der einen Seite einen Vokal hat, dann steht auf der anderen Seite eine gerade Zahl"

Sie müssen die Karten E und 7 aufdecken.

Karte E. Es wird die Bestätigung der Regel durch Anwendung des

4 E 7 K


Modus Ponens geprüft. Man sagt auch: die Aussage wird verifiziert. Unproblematisch.

Karte 7. Hier wird der Modus Tollens angewendet: wenn p (Vokal) dann q (gerade), nicht q (7 ist nicht gerade), also nicht p (p darf kein Vokal sein). Hier wird ein Regelverstoß überprüft (Falsifikation).

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Erklärung Experiment 1

4 E 7 K"Wenn eine Karte auf der einen Seite einen Vokal hat, dann steht auf der anderen da s e au de a de eSeite eine gerade Zahl"

Wie kommt es, dass in 80% der Antworten ein falscher Schluss „E und 4“ gezogen wird?

Richtig: Bei der Antwort „E“ muss geprüft werden, ob die Regel stimmt.


d e ege s

Falsch: Bei der Antwort „4“ wird (fälschlicherweise) die Regel umgedreht, d.h. gerade Zahl → Vokal.

Richtig: Korrekt ist es, zu prüfen, ob die Regel verletzt ist, also „7“

Experiment 2

Sie überprüfen in einer Poststation, ob Briefe zu gering frankiert worden sind: Geschlossene Briefe kosten 1 DM, offene Briefe kosten 80 Pfennig.offene Briefe kosten 80 Pfennig.

Überprüfen Sie, ob die Briefe nicht zu niedrig frankiert sind.


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Erklärung Experiment 2

Woran liegt es, dass das Briefporto-Problem einfacher zu lösen ist?lösen ist?

Der Kontext im zweiten Experiment ist vertrauter als der abstrakte Kontext im ersten Experiment.

Offensichtlich liefert der Kontext


auch Lösungshinweise.

3. Repräsentation von Wissen durch Logik

Was ein Agent in seiner Welt (Universum, Domäne) weiß oder glaubt, kann wahr, falsch oder unbekannt sein.

Die Welt des Agenten kann z.B. durch Prädikatenlogikbeschrieben werden. So kann eine Beziehung (Relation) zwischen Objekten wahr oder falsch sein.

Mit der Sprache der Prädikatenlogik können Objekte und Beziehungen zwischen ihnen beschrieben werden.

Di P ädik l ik i i i b h ib d


Die Prädikatenlogik ist somit eine beschreibende (deklarative) Sprache. Im Gegensatz dazu sind Lisp eine funktionale und Java eine prozedurale Sprache.

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Syntax der Prädikatenlogik

Sentence → Atomic Sentence| (Sentence Connective Sentence)| Quantifier Variable, … Sentence| ¬ Sentence

AtomicSentence → Predicate(Term, …) | Term = TermTerm → Function(Term, …) | Constant | Variable

Constants StadtWiehl, 2, ... Predicates Mutter, >,...Functions Bruder, LinkesBein,...


, ,Variables x, y, a, b,...Connectives ¬, ⇒, ∧, ∨, ⇔ (Negation, Implikation, Konjunktion, Disjunktion, gdw.)

Equality = (Gleichheit)

Quantifiers ∀, ∃ (für alle, es existiert)

Sätze in Prädikatenlogik

• Bruder(Richard, John)

• Verheiratet(Vater(Richard), Mutter(John))

• ¬Bruder(LinkesBein(Richard), John)

• Bruder(Richard,John) ∧ Bruder(John,Richard)

• König(Richard) ∨ König(John)

• ¬König(Richard) ⇒ König(John)


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Allquantor ∀ – „für alle … gilt“

Die Prädikatenlogik enthält zwei Quantoren:

∀ - universell

∃ - existentiell

Mit dem Allquantor ∀ können Eigenschaften ganzer Objektsammlungen ausgedrückt werden. Die Objekte müssen nicht mit ihrem Namen aufgelistet werden. Der Allquantor trifft somit Aussagen über jedes Objekt.


Beispiele: ∀ x König(x) ⇒ Person(x)

∀ x SchlülerGymWiehl_12c(x) ⇒ BesuchFH_28Feb(x)

Existenzquantor ∃ – „es gibt …“

Mit dem Existenzquantor ∃ kann eine Aussage zu einem bestimmten Objekt im Universum (= Welt des Agenten) gemacht werden ohne es per Namen zu nennengemacht werden, ohne es per Namen zu nennen.

Um beispielsweise zu sagen, dass König John eine Krone auf dem Kopf hat, schreiben wir:

∃x Krone(x) ∧ AufDemKopf(x, John)


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Verschachtelte Quantoren

Einfacher Fall: alle Quantoren vom selben Typ:

∀x ∀y Bruder(x,y) ⇒ Geschwister(x,y)

Gemischte Fälle:

„Jeder liebt jemanden“ bedeutet, dass es für jede Person jemanden gibt, den diese Person liebt.

∀x ∃y Liebt(x,y)

E ibt j d d j d li bt i d“


„Es gibt jemanden, der von jedem geliebt wird“:

∃y ∀x Liebt(x,y)

Es kommt also auf die Reihenfolge der Quantoren an.

… noch ein paar Beispiele

Wenn sich zwei Terme auf dasselbe Objekt beziehen, so wird das Gleichheitssymbol verwendet.

V t (J h ) HVater(John) = Henry

Um auszudrücken, dass Richard mindestens zwei Brüder hat, schreiben wir:

∃x, y Bruder(x, Richard) ∧ Bruder(y, Richard) ∧ ¬(x = y)

Die Ver andtschafts Domäne


Die Verwandtschafts-Domäne:

∀x, y Sibling(x,y) ⇔ x ≠ y ∧ ∃p Parent(p,x) ∧ Parent(p,y)

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4. Mit Logik programmieren – Programming in Logic

Eine Wissensbasis in Prädikatenlogik besteht aus Fakten und Regeln. Beispiel:

Fakten: bruder(rita, manfred)bruder(ulrich, ben)bruder(lisa, rolf)bruder(tom, jim)

Regeln: ∀ X Y bruder(X Y) ⇒ geschwister(X Y)


Regeln: ∀ X, Y bruder(X,Y) ⇒ geschwister(X,Y)

Allquantor

Variablen

Prämisse

Implikation

Schlussfolgerung

Die Verwandtschaftsdomäne: Eltern und Geschwister

Fakten: vater(rita, max) mutter(rita, lisa)vater(jim, tom) mutter(jim, franka)vater(brigitte, max) mutter(brigitte, lisa)vater(klara, max) mutter(klara, andrea)vater(marit, max) mutter(marit, lisa)vater(max, hans) mutter(max, lisa)vater(andrea, herbert) mutter(andrea, renate)


Regeln: ∀ X, Y, Z vater(X,Y), mutter(X,Z) ⇒ eltern(X,Y,Z)∀ X, Y, V, M eltern(X, V, M), eltern(Y, V, M), X ≠ Y

⇒ geschwister(X,Y)

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Das Wissen über Verwandtschaft in Prolog

Fakten: vater(rita, max). mutter(rita, lisa).vater(jim, tom). mutter(jim, franka).…

Regel: ∀ X, Y, Z vater(X,Y), mutter(X,Z) ⇒ eltern(X,Y,Z)Prolog: eltern(X, Y, Z) :- vater(X,Y), mutter(X,Z).

Regel: ∀ X, Y, V, M eltern(X, V, M), eltern(Y, V, M), X ≠ Y


⇒ geschwister(X,Y)

Prolog: geschwister(X,Y) :- eltern(X, V, M),eltern(Y, V, M),X \== Y.

Klausel

Eine Anfrage an die Wissensbasis

vater(brigitte, max).vater(klara, max).…mutter(brigitte, lisa).mutter(klara, lisa).…eltern(X, Y, Z) :-

vater(X,Y),mutter(X,Z).

geschwister(X,Y) :-eltern(X, V, M),eltern(Y, V, M),X \== Y.

grosseltern(Z, Gv, Gm) :-eltern(Z, V, M),(eltern(V, Gv, Gm);

eltern(M, Gv, Gm)).


?- geschwister(brigitte, klara).Yes.

Anfrage oder Goal

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Das 8-Damenproblem

Die Königin ist die mächtigste Schachfigur. Sie kann in Reihen und Spalten ziehen. Zusätzlich kann sie sich auf den Diagonalen bewegen. Kann man 8 Damen so auf ein 8 x 8 Brett stellen, g ,dass sie sich nicht gegenseitig bedrohen?

Wenn ja, wie viele Möglichkeiten gibt es?


Die Türme von Hanoi

Das Spiel besteht aus drei Stäben A, B und C, auf die mehrere gelochte Scheiben gelegt werden, alle verschieden groß. Zu Beginn liegen alle Scheiben auf Stab A, der Größe nach geordnet, mit der

ößt S h ib t d d kl i t b Zi l d S i l i tgrößten Scheibe unten und der kleinsten oben. Ziel des Spiels ist es, den kompletten Scheiben-Stapel von A nach C zu versetzen.Bei jedem Zug darf die oberste Scheibe eines beliebigen Stabes auf einen der beiden anderen Stäbe gelegt werden, vorausgesetzt, dort liegt nicht schon eine kleinere Scheibe. Folglich sind zu jedem Zeitpunkt des Spieles die Scheiben auf jedem Feld der Größe nach geordnet.


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Das „Türme von Hanoi“-Problem ist praktisch unlösbar

Anzahl Scheiben Benötigte Zeit5 31 Sekunden5 31 Sekunden

10 17,1 Minuten20 12 Tage30 34 Jahre40 348 Jahrhunderte60 36,6 Milliarden Jahre64 585 Milli d J h


64 585 Milliarden Jahre

Und jetzt ein paar kleine Beispiele in Prolog


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Geschwister

bruder(rita, manfred).bruder(ulrich, ben).bruder(lisa, rolf).bruder(tom, jim).bruder(ben, jim).

geschwister(X,Y) :- bruder(X,Y).


Großeltern

vater(rita, max).vater(jim, tom).vater(brigitte, max).vater(klara, max).

mutter(marit, andrea).mutter(rita, lisa).mutter(jim, franka).mutter(brigitte, lisa).

vater(max, hans).vater(andrea, herbert).

mutter(max, lisa).tt ( d t )vater(marit, max).

vater(helena, heiner).vater(sebastian, heiner).vater(heiner, josef).vater(renate, gero).

mutter(klara, lisa).mutter(helena, renate).mutter(sebastian, renate).mutter(renate, ulla).mutter(heiner, thea).

mutter(andrea, renate).

eltern(X, Y, Z) :- vater(X,Y), mutter(X,Z).


geschwister(X,Y) :- eltern(X, V, M), eltern(Y, V, M), X \== Y.

grosseltern(Z, Gv, Gm) :- eltern(Z, V, M), (eltern(V, Gv, Gm); eltern(M, Gv, Gm)).

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Das 8-Damen-Problem

queens(N,Qs) :- range(1,N,Ns), permutation(Ns,Qs), safe(Qs).

range(M,N,[M|Ns]) :- M < N, M1 is M+1, range(M1,N,Ns).(N N [N])range(N,N,[N]).

permutation(Xs,[Z|Zs]) :- select(Z,Xs,Ys), permutation(Ys,Zs).permutation([],[]).

safe([Q|Qs]) :- safe(Qs), not(attack(Q,Qs)).safe([]).


attack(X,Xs) :- attack(X,1,Xs).attack(X,N,[Y|Ys]) :- X is Y+N.attack(X,N,[Y|Ys]) :- X is Y-N.attack(X,N,[Y|Ys]) :- N1 is N+1, attack(X,N1,Ys).

Die Türme von Hanoi

transportiere(EtagenZahl, Von, Nach, Hilfsplatz) :-EtagenZahl > 1,ObereEtagen is EtagenZahl - 1,transportiere(ObereEtagen, Von, Hilfsplatz, Nach),transportiere(1, Von, Nach, Hilfsplatz),transportiere(ObereEtagen, Hilfsplatz, Nach, Von).

transportiere(1, Von, Nach, _) :-write('Transportiere oberste Etage von'-Von-'nach'-Nach),nl.


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Das Färbe-Problem


Das Färbe-Problem

karte(A,B,C,D,E,F) :-nachbar(A,B),nachbar(A,E),nachbar(B C)

Goals:?‐ karte(X1,X2,X3,X4,X5,X6).?‐ karte(rot,X2,X3,X4,X5,X6).k ( )nachbar(B,C),

nachbar(B,E),nachbar(C,D),nachbar(C,E),nachbar(C,F),nachbar(D,E),nachbar(D,F),nachbar(E,F).

?‐ karte(rot,X2,X3,X4,X5,rot).?‐ karte(rot,X2,X3,X4,rot,rot).?‐ karte(rot,X2,X3,rot, X5,rot).No


nachbar(rot,blau). nachbar(rot,gelb). nachbar(rot,gruen).nachbar(blau,rot). nachbar(blau,gelb). nachbar(blau,gruen).nachbar(gruen,rot). nachbar(gruen,gelb). nachbar(gruen,blau).nachbar(gelb,rot). nachbar(gelb,blau). nachbar(gelb,gruen).

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