kuliah-01

Kuliah-1 / Hal 1

Material Kuliah IHG 1, 2005-2006

Persamaan Linier dan Non-Linier

Persamaan dengan 3 variabel:

12 321 =++ xxx

Salah satu solusi dari persamaan diatas:

312

3

2

1

−===

xxx

Secara umum, persamaan linier dengan n variabel:

(1)

dengan

naaa ,....,, 21 = koefisien (diketahui)

nxxx ,....,, 21 = variabel (tidak diketahui)

b = konstanta (diketahui)

Persamaan (1) dikatakan linier karena semua variabel pada

setiap suku berderajat 1 (satu).

bxaxaxa nn =+++ ....2211

Kuliah-1 / Hal 2


Contoh : 432 2211 =++ xxxx

43 22/1

1 =+ xx

0sin2 21

1 =+− xx

13 321 +=− xxx

solusi simultan:

321 =+ xx ………….(1)

121 =− xx …………..(2)

eliminasi 2x dari pers (2) dengan pers (1:)

321 =+ xx

42 1 =x

21 =x

substitusikan 1x ke pers (1) untuk mendapatkan 2x

32 2 =+ x

12 =x

solusi 21 =x dan 12 =x

dari prosedur diatas, perlu suatu prosedur sistematik untuk

sistem persamaan linier yang lebih kompleks.

Kuliah-1 / Hal 3


Soal :

12 321 =−+ xxx

22 321 =++ xxx

42 21 =+− xx

Carilah solusi persamaan diatas!

Kuliah-1 / Hal 4


Sistem Persamaan Linier / SPL (Generalisasi)

Sebuah sistem persamaan linier ( m x n ) adalah sistem

yang terdiri dari m persamaan dengan n variabel:

11212111 ..... bxaxaxa nn =+++

22222121 ..... bxaxaxa nn =+++

mnmnmm bxaxaxa =+++ .....2211

Contoh: SPL (3 x 3):

11212111 ..... bxaxaxa nn =+++

22222121 ..... bxaxaxa nn =+++

33232131 ..... bxaxaxa nn =+++

Secara umum, bisa dikatakan ada 2 proses dalam

memecahkan solusi SPL ( m x n ):

1. Reduksi sistem (eliminasi variabel-variabel)

2. Deskripsi kumpulan solusi

Kuliah-1 / Hal 5


Definisi 1

Dua buah SPL dengan n variabel dikatakan ekivalen

apabila kedua sistem tersebut mempunyai kumpulan solusi

yang sama.

Prosedur reduksi harus menghasilkan SPL baru yang

ekivalen

TEOREMA 1

Apabila salah satu operasi elementer berikut diterapkan

pada sebuah SPL akan diperoleh sistem baru yang

ekivalen:

1. Menukar letak diantara dua persamaan

2. Mengalikan sebuah persamaan dengan sebuah skalar

tidak nol

3. Menambahkan atau mengurangkan sebuah persamaan

yang telah dikalikan dengan sebuah konstanta dengan

satu persamaan lainnya.

Kuliah-1 / Hal 6


Untuk lebih jelasnya

NOTASI OPERASI ELEMENTER

ji EE ↔ Pertukaran letak pers. ke- i dengan ke j

ikE Pers. ke i dikalikan dengan skalar tidak nol k

jkEE +1 Pers. ke j yang telah dikalikan dengan skalar k

ditambahkan pada pers. ke i

Kuliah-1 / Hal 7


Contoh:

Gunakan operasi elementer SPL berikut:

12 32 −=+ xx

1553 321 =−+ xxx （a）

2242 321 =−+ xxx

31 EE ↔ 2242 321 =−+ xxx

1553 321 =−+ xxx （ｂ）

12 32 −=+ xx

12/1 E 2242 321 =−+ xxx

1553 321 =−+ xxx （ｃ）

12 32 −=+ xx

12 3EE − 12 321 =−+ xxx

22 32 −=−− xx （ｄ）

12 32 −=+ xx

Semua sistem persamaan di atas (a,b,c,d) adalah ekivalen !

Kuliah-1 / Hal 8


Soal:

642 321 =++ xxx

1x 22 3 =+ x

1073 321 =++ xxx

1. Pertukarkan letak dua persamaan

2. Kalikan sebuah persamaan dengan konstanta ≠ 0

3. Tambahkan hasil kali dari suatu persamaan dengan satu

konstanta pada persamaan lainnya.

Kuliah-1 / Hal 9


ELIMINASI GAUSS

Teknik ini merupakan teknik yang paling sederhana dan

terkenal dalam hal penyederhanaan SPL berdasarkan

operasi elementer.

Contoh:

Tentukan solusi SPL berikut:

22 321 =+− xxx

12 321 =−+ xxx

523 321 −=−+− xxx

12 2EE − , 13 3EE + 22 321 =+− xxx

335 32 −=− xx

15 32 =+− xx

23 EE + 22 321 =+− xxx

335 32 −=− xx

22 3 −=− x

Kuliah-1 / Hal 10


solusi

13 =x dari persamaan terakhir

02 =x substitusi 3x ke persamaan ke dua.

11 =x substitusi 2x dan 3x ke persamaan pertama

Catatan:

Tujuan dari Eliminasi Gauss adalah mereduksi sistem

persamaan asal menjadi sistem yang ekivalen yang

berbentuk “segitiga (triangular)”

Soal:

14321 =−++ xxxx

34321 =+−+− xxxx

22 4321 =−++− xxxx

Kuliah-1 / Hal 11


Eliminasi Gauss (pada sistem ( m x n )):

Step 1:

Bila perlu lakukan pertukaran persamaan pertama dengan

persamaan lainnya sehingga 1x akan tampak pada

persamaan pertama.

Step 2:

Eliminasi 1x pada persamaan-persamaan lainnya selain

persamaan pertama, dengan cara menambahkan

persamaan pertama yang telah dikalikan dengan konstanta

yang sesuai.

Step 3:

Untuk sementara, abaikan persamaan pertama. Perhatikan

persamaan sisanya (sistem ( m - 1) x n dengan variabel

( nxxx ,....,, 32 ). Ulangi prosedur (1) dan (2) untuk sistem

terakhir.

Kuliah-1 / Hal 12


Bentuk asal:

11212111 ..... bxaxaxa nn =+++

22222121 ..... bxaxaxa nn =+++

mnmnmm bxaxaxa =+++ .....2211

Dengan menggunakan step 1 dan step 2 menghasilkan:

1'

1'

212'

111' ..... bxaxaxa nn =+++

2'

2'

222' ..... bxaxa nn =++

mnmnm bxaxa ''22

' ..... =++

Sekarang kita lihat (m – 1) persamaan terakhir. Dengan

menggunakan step 1 dan step 2 diperoleh:

1'

1'

313'

212'

111' ..... bxaxaxaxa nn =++++

2''

2''

323''

222'' ..... bxaxaxa nn =+++

3''

3''

333'' ..... bxaxa nn =++

mnmnm bxaxa ''''31

'' ..... =++

dan seterusnya, sehingga diperoleh bentuk “triangular”

untuk m = n atau independent.

Kuliah-1 / Hal 13


Dalam hal m < n , akan diperoleh:

111212111 .......... dxcxcxcxc nnmm =+++++

222222 .......... dxcxcxc nnmm =++++

mnmnmmm dxcxc =++ .....

Kuliah-1 / Hal 14


Contoh:

Gunakan eliminasi Gauss untuk memecahkan:

a. 32 32 =+ xx

422 321 =++− xxx

1321 =+− xxx

31 EE ↔ 1321 =+− xxx

422 321 =++− xxx

32 32 =+ xx

12 2EE + 1321 =+− xxx

63 3 =x

32 32 =+ xx

32 EE ↔ 1321 =+− xxx

32 32 =+ xx

63 3 =x

solusi: 23 =x

2/12 =x

2/11 −=x

substitusi ke belakang!!

Kuliah-1 / Hal 15


ｂ. Gunakan eliminasi Gauss untuk memecahkan

32 321 =+− xxx

14 21 −=+− xx

1242 31 =+ xx

12 EE + 、 13 2EE − 32 321 =+− xxx

22 32 =+ xx

624 32 =+ xx

23 2EE − 32 321 =+− xxx

22 32 =+ xx

200 32 =+ xx

Tidak ada solusi atau nilai untuk 1x , 2x , 3x yang dapat

memenuhi persamaan ketiga. SPL tersebut tak

konsisten.

Documents

kuliah-01