MODUL 2KONSEP-KONSEP DASAR ANALISIS RUNTUN WAKTU

Definisi Runtun waktu merupakan serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan interval waktu tetap ( konstan ).Analisis Runtun Waktu (ARW) merupakan salah satu prosedur statistika yang diterapkan untuk meramalkan struktur probabilistic keadaan yang akan terjadi dimasa yang akan datang dalam rangka pengambilan keputusan untuk sebuah perencanaan tertentu.

CIRI-CIRI OBSERVASI MENGIKUTI ARW : Interval waktu antar indeks waktu t dapat dinyatakan dalam satuan waktu yang

sama (identik) Adanya ketergantungan antara pengamatan dengan yang dipisahkan

oleh jarak waktu k kali ( Lag k )

TUJUAN UTAMA ARW : Meramalkan kondisi dimasa mendatang berdasarkan pengamatan saat

sekarang Mengetahui hubungan antara variable yang terlibat Mengetahui adanya kontroling proses

BEBERAPA KONSEP PENTING DALAM ARW :1. KONSEP STOKASTIK2. KONSEP STASIONERITAS3. KONSEP DIFFRENCING4. KONSEP TRANSFORMASI BOX-COX5. KONSEP FUNGSI AUTOKORELASI6. KONSEP FUNGSI PARTIAL AUTOKORELASI7. KONSEP WHITE NOISE8. KONSEP PARSIMONY

1. KONSEP STOKASTIK

Dalam ARW terdapat 2 model, yakni Model Deterministik dan Model Stokastik (Probabilistik). Dalam fenomena model stokastik banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, misal : model keuangan, perdagangan, industri dan lain-lain.Dalam ARW , data disimbolkan dengan yang mengikuti proses stokastik. Suatu urutan pengamatan dari variable random dengan ruang sampel dan satuan waktu t dikatakan sebagai proses stokastik.

2. KONSEP STASIONERITAS

Suatu proses dalam ARW dikatakan stasioner, jika dalam proses tersebut tidak terdapat perubahan kecenderungan baik dalam rata-rata maupun dalam variansi. Misal pengamatan sebagai sebuah proses stokastik. Varabel random

dikatakan stasioner orde ke k jika n fungsi distribusi :

Jika kondisi tersebut berlaku untuk m = 1,2,…, n, maka dinamakan stasioner kuat. Untuk melihat stasioneritas dapat dilakukan dengan PLOTING TS (MINITAB). Salah satu ciri proses telah stasioner, ditandai dengan hasil PLOTING TS yang grafiknya sejajar dengan sumbu waktu t (biasanya sumbu x, sedang sumbu y merupakan sumbu yang memuat data hasil pengamatan).

3. KONSEP DIFFERENCING

Konsep differencing dalam ARW adalah penting, karena berfungsi untuk mengatasi persoalan pemodelan jika terdapat proses yang tidak stasioner dalam mean (terdapat kecenderungan) . Ide dasar Differencing adalah mengurangkan anatara pengamatan

dengan pengamatan sebelumnya . Secara matematis dapat diformulasikan sebagai berikut:

dan dst ( biasanya sampai orde 2 ). Selain itu untuk melakukan differencing dapat digunakan operator BACKSHIFT B Bd Zt = Zt-d - Wt = (1-B)d Zt ( d = 1,2 ).

4. KONSEP TRANSFORMASI BOX-COX

Konsep ini merupakan konsep yang juga penting dalam ARW, terutama jika proses tidak stasioner dalam varian. Untuk mengatasinya digunakan Transformasi B-C :

, dengan

Dalam praktek biasanya data yang belum stasioner dalam varian juga belum stasioner dalam mean, sehingga untuk menstasionerkan diperlukan proses Transformasi data kemudian baru dilakukan proses Differencing. Tepatnya TBCD.

Suatu proses yang stasioner, mempunyai konstan

(Homoscedesitas) dan yakni fungsi dari perbedaan waktu |t-s|. Dalam ARW Kovariansi ( Fungsi autokovariansi ) antara dengan pengamatan

dinyatakan sebagai dan Sedang Korelasi (fungsi autokorelasi) antara antara dengan pengamatan dinyatakan

sebagai dengan catatan . Untuk

proses stasioner berlaku ketentuan sebagai berikut : 1. dan 2. dan

Sifat-Sifat Variansi :1. Var (a+bX) = b2Var(X)2. Var (X + Y ) = Var (X) + Var (Y) + 2 Cov(X,Y)3. Jika X, Y bebas maka Var (X+Y) = Var (X) + Var (Y)4. Var (X) = E(X2) – (E(X))2

5. Var (X – Y) = Var (X) + Var (Y) – 2Cov (X,Y)

Sifat- Sifat Covariansi :1. Cov (X,X) = Var (X)2. Cov (X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y)3. Jika X,Y bebas maka Cov (X,Y) = 04. Cov(a+bX,c+dY) = bd Cov(X,Y)5. Cov (X,Y+Z) = Cov(X,Y) + Cov (X,Z)6. Cov (X,Y) = Cov (Y,X)

MODUL 3

5. KONSEP FUNGSI AUTOKORELASI

Dalam ARW Konsep Fungsi Autokorelasi (ACF) memegang peran penting, khususnya untuk mendeteksi awal sebuah model.dan kestasioneran data. Jika diagram ACF cenderung turun lambat atau turun secara linier maka dapat disimpulkan bahwa data belum stasioner dalam mean.

Definisi :Fungsi Autokorelasi adalah suatu fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi (hubungan linier ) antara pengamatan pada waktu t saat sekarang dengan pengamatan pada waktu-waktu sebelumnya ( t-1, t-2, …, t-k ).Nilai Autokorelasi sampel lag k dirumuskan sebagai :

=

Sedang Taksiran kesalahan baku dari dinyatakabn sebagai :

6. KONSEP FUNGSI PARSIALAUTOKORELASI

Dalam ARW Konsep Fungsi PartialAutokorelasi ( PACF ) memegang peran penting, khususnya untuk mendeteksi awal sebuah model. PACF digunakan untuk mengukur keeratan antara dan apabila pengaruh dari lag waktu t = 1,2,3,…, k-1 dianggap terpisah

Definisi :Fungsi Partial Autokorelasi adalah suatu fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi parsial ( hubungan linier secara terpisah ) antara pengamatan pada waktu t saat sekarang dengan pengamatan pada waktu-waktu sebelumnya ( t-1, t-2, …, t-k ).Nilai Partial Autokorelasi sampel lag k dirumuskan sebagai : Nilai dapat ditentukan dari persamaan Yule Walker sbb :

kjkkkjkkjkjkj 112211 , kj ,,2,1

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :

Dengan menggunakan Cramer’s rule penyelesaian untuk ,,2,1 k berturut-turut didapatkan :

111 , untuk k = 1

1

1

1

1

1

21

1

22

= 21

212

1

, untuk k = 2

sehingga

1

1

1

1

1

1321

2311

1221

1321

2311

1221

kkk

kk

kk

kkkk

k

k

kk

Secara matematis dapat diformulasikan dalam bentuk formulasi Durbin (1960) sbb :

dengan untuk j = 1,2,…, k-1

Sedang taksiran kesalahan baku dari adalah :

Contoh :

Misalkan diberikan data hasil penelitian seperti dalam table berikut : t Zt-3 Zt-2 Zt-1 Zt Zt+1 Zt+2 Zt+3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

* * * 13 8 15 4 4 12 11

* * 13 8 15 4 4 12 11 7

* 13 8 15 4 4 12 11 7 14

13 8 15 4 4 12 11 7 14 12

8 15 4 4 12 11 7 14 12 *

15 4 4 12 11 7 14 12 * *

4 4 12 11 7 14 12 * * *

Jumlah Total 40

Dari table dapat dihitung: Selanjutnya akan dihitung:

Dengan cara yang sa,a diperoleh dan Sedang dengan menggunakan rumus Durbin (1960) PACF untuk k = 1,2 dan 3 dapat dihitung sebagai berikut :

Sehingga nilai dari

7. KONSEP WHITE NOISE

Dalam ARW White Noise biasanya identik dengan galat (dalam regresi) dan disimbulkan dengan yang merupakan variable random berdistribusi iid yang tidak saling berkorelasi dengan . Sedang nilai

Dari pengertian tersebut WN adalah stasioner dengan sifat-sifat sebagai berikut:

Dengan demikian suatu proses dikatakan WN jika mean dan variannya konstan dan saling bebas

8. KONSEP PARSIMONY

Prinsip parsimony ini mencari parameter yang minimal tetapi dapat menjelaskan model secara baik (model dengan jumlah parameter yang sedikit). Biasanya prinsip ini digunakan setelah melakukan proses identifikasi model awal secara tentative, kemudian melihat apakah model yang dihasilkan tersebut sudah baik (valid) atau belum. Untuk mendeteksi model valid tidaknya dapat dilakukan melalui tahap-tahap berikut:

1. Uji signifikansi parameter2. Uji white niose3. Uji normalitas 4. Uji MSE, IAC, SBC5. Uji Parsimony

Dari ke delapan konsep tersebut , dapat digunakan untuk pembentukan model ARIMA Box- Jenkins, yakni : Identifikasi Model, Penaksiran parameter, Pemeriksaan Diagnostik dan Peramalan.

MODUL 4

MODEL-MODEL ARW STASIONER

Macam-Macamnya :A. Autoregressive orde p AR(p)B. Moving Avarage orde q MA(q)C. Autoregressive Moving Avarage orde p dan q ARMA (p,q)

Secara umum model ARW dinyatakan sebagai model:ARIMA(p,d,q) yang mempunyai bentuk umum sbb:

order diff non season dengan :

Polynomial AR(p)

Polynomial MA(q)

Untuk penyederhanaan model, maka model di atas dapat disajikan :

,

A. Model Autoregressive orde p

Bentuk Umum:

Biasanya dalam praktek model AR hanya terjadi pada lag 1 dan lag 2.

Jika p = 1, maka diperoleh AR(1), yang mempunyai persamaan

Supaya Stasioner dan invertible maka nilai parameter ACF dan PACF

masing-masing adalah :

Dari nilai-nilai ACP dan PACF di atas dapat disimpulkan bahwa pada AR(1) nilai ACF turun secara eksponensial dan nilai PACF hanya muncul pada lag 1 saja (pada lag 1 signifikan berbeda dengan nol)

Contoh : (PAKAI SOFT WARE SPLUS)Simulasikan :

0 20 40 60 80 100 120

-2

02

4

Simulasikan :

Contoh : Dalam Soft Ware MINITAB Dengan n = 121

Index

C2

1351201059075604530151

1050

1040

1030

1020

1010

1000

990

980

970

960

Time Series Plot of C2

Lag

Auto

corr

elation

35302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for C2(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Lag

Partial A

uto

correlation

35302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Partial Autocorrelation Function for C2(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Jika p = 2, maka diperoleh AR(2), yang mempunyai persamaan

Supaya Stasioner dan invertible maka akar-akar dari persamaan

harus berada diluar lingkaran satuan. Atau dapat ditunjukkan bahwa : nilai-nilai kedua

parameter tersebut adalah sebagai berikut :

ACF dan PACF masing-masing adalah :

Dari nilai-nilai ACP dan PACF di atas dapat disimpulkan bahwa pada AR(2) nilai ACF turun secara eksponensial dan nilai PACF hanya muncul pada lag 1 dan lag 2 saja ( pada lag 1 dan lag 2 signifikan berbeda dengan nol )

Contoh : Simulasikan : (1-0.2B-0.5B2

)Zt = a

t

Lag

Part

ial A

CF

0 5 10 15 20

0.0

0.2

0.4

Series : z

Contoh : Simulasikan : (1+0.5B-0.2B2)Zt = at

Lag

AC

F

0 5 10 15 20

-0.5

0.0

0.5

1.0

Series : u

Contoh : Dalam MINITAB Untuk n = 149

Index

C1

12010896847260483624121

9

8

7

6

5

4

3

2

Time Series Plot of C1

Lag

Auto

correlation

30282624222018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for C1(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Lag

Partial A

utoco

rrelation

30282624222018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Partial Autocorrelation Function for C1(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

MODUL 5MODEL-MODEL ARW STASIONER

B. Moving Avarage orde q MA(q)

Bentuk Umum :

Biasanya dalam praktek model MA hanya terjadi pada lag 1 dan lag 2.

Jika q = 1, maka diperoleh MA(1), yang mempunyai persamaan:

Supaya Stasioner dan invertible maka akar polinomial dari MA(1):

terletak diluar lingkaran satuan sehingga syarat MA(1) invertible adalah :

Secara umum ACF dan PACF model MA(1) merupakan bentuk lain seperti dalam

AR(1), yakni ACF muncul pada lag 1 saja, artinya setelah lag 1 nilai mendekati nol

(terpotong setelah lag 1 ) sedang nilai PACF nya turun secara eksponensial.

ACF dan PACF masing-masing adalah :

Contoh : Hasil Simulasi dengan Zt = (1+0.8)at

Contoh 2 : Hasil simulasi dengan Zt = (1-0.8)a

t

Jika q = 2, maka diperoleh MA(2), yang mempunyai persamaan

Supaya Stasioner dan invertible maka akar polinomial dari MA(2) :

terletak diluar lingkaran satuan sehingga syarat MA(1) invertible adalah :

dengan :

Nilai ACF dan PACF model MA(2) adalah sebagai berikut :

Dari formulasi di atas terlihat bahwa dalam model MA(2), nilai ACF pada lag 1 dan lag 2 signifikan berbeda dari nol (terpotong setelah lag 2). Sedang nilai PACF turun secara eksponensial

Contoh: Simulasikan Zt = (1-0.3B-0.5B2)at

:

Contoh: Simulasikan Zt = (1-0.3B+0.5B2)at

C. Model Autoregressive Moving Avarage orde p dan q ARMA (p,q)Bentuk Umum: dengan :

Polynomial AR(p)

Polynomial MA(q)

Agar proses invertible maka akar-akar polynomial AR(p) berada diluar lingkaran satuan. Demikian juga supaya proses stasioner, maka akar-akar polynomial MA(q) juga harus berada diluar lingkaran satuan. Secara khusus proses ARMA (p,q) dapat dinyatakan dalam model AR maupun model MA dengan orde tak terhingga.

ARMA AR

ARMA MA

ACF Model ARMA (p,q) dapat diuaraikan sebagai berikut : ..........*)

Jika kedua ruas dikalikan dengan dan diambil nilai ekspektasinya diperoleh :

Karena = 0 maka nilai autokovariansinya adalah :

Sehingga nilai ACF model ARMA (P,Q) adalah :

Sedang nilai PACFnya untuk model ARMA secara umum seperti diformulasikan dalam Durbin (1960). Dalam praktek biasanya yang sering dijumpai adalah model ARMA (1,1), model ARMA(1,2), model ARMA(2,1) dan model ARMA (2,2).Untuk memudahkan langkah awal dalam identifikasi model-model ARW yang stasioner, dapat digunakan pedoman dalam tabel berikut :

Contoh : Simulasikan model (1+0.7B)Zt = (1-0.5B)at

Lag

AC

F0 5 10 15 20

-0.5

0.0

0.5

1.0

Series : b

TABEL KHUSUS UNTUK IDENTIFIKASI MODEL ARWModel ACF PACF

AR(p)Turun secara eksponensial menuju nol sejalan dengan bertambahnya k

(Dies down )

Terpotong setelah lag p(cut off after lag p )

MA(q)Terpotong setelah lag q

(cut off after lag q)Turun secara eksponensial menuju nol sejalan dengan

bertambahnya k

ARMA(p,q)Turun secara eksponensial menuju nol sejalan dengan bertambahnya k

Turun secara eksponensial sejalan dengan bertambahnya k

BEBERAPA PROGRAM SIMULASI PAKAI SPLUS 2000 Arima.sim(n, model=list(ar=…,ma=…)) - ARMA (1,1) Arima.sim(n, model=list(ar=…, ndiff=…, ma=…)) ARIMA (1,1,1) Arima.sim(n,model=list(ar=c(s,t,ma=u,v))) ARMA (2,2)

PROGRAM MINITAB / SPSS:

Pada umumnya untuk menjalankan program MINITAB / SPSS, minimal sudah tersedia data minimal 50 data. Sebab jika data kurang dari 50, maka hasil output belum menunjukkan hasil yang maksimal.

MODUL 6MODEL ARW NON STASIONER

Secara umum model ARWNS dinyatakan sebagai model :ARIMA(p,d,q) yang mempunyai bentuk umum sbb :

order diff non seasondengan:

Polynomial AR(p)

Polynomial MA(q)

Order ARWNS dalam realita maksimum 2 baik diff, order AR maupun order q.

Macam-Macam Ketakstasioneran :a). Non stasioner dalam meanb). Non stasioner dalam varian

Jika suatu proses tidak stasioner dalam varian, biasanya proses tersebut juga tidak stasioner dalam mean, tetapi tidak sebaliknya.

Ciri data tidak stasioner dalam mean antara lain pola diagramnya terdapat adanya trend naik dan atau turun. Untuk menstasionerkan selalu digunakan operator differencing ( d=1,2 ). Jika struktur pola data terdapat indikasi ketidakstasioneran dalam varian, maka untuk menstasionerkan dapat digunakan pendekatan Transformasi Box-Cox.

Macam-Macam ARWNS dalam Mean maupun Varians: ARIMA (p,d,q), FARIMA ( -1 < d < 1 ) ARI (p,d) IMA(d,q) Random Walk ( Model AR dengan nilai parameter sama dengan satu ) ARCH, CHARMA GARCH, FIGARCH, IGARCH, EGARCH, DAR, DMA DARMA, dan lain-lain== Perkembangan TS tidak pernah berakhir

Contoh: Simulasi Model ARIMA(1,1,0) (1-0.8B)(1-B)Zt = at

TSPLOT:

PLOT ACF

PLOT PACF

Contoh 2: Simulasi Model ARIMA (0,1,1) (1-B)Zt = (1-0.75)at

TSPLOT

PLOT ACF

PLOT PACF

Contoh 3: Simulasi Model ARIMA(1,1,1)

(1-0.9B)(1-B)Zt = (1-0.5B)at

TSPLOT

PLOT ACF

PLOT PACF

Jika model nonstasioner (1-0.8b)(1-b)zt = at dinyatakan sebagai model stasioner, maka wt = (1-b)zt sehingga model menjadi : (1-0.8b)wt = at ==== model AR(1)TSPLOT Wt

ACFPLOT Wt

PACFPLOT Wt

Contoh : Simulasi (1-B)Zt = at

TSPLOT

ACFPLOT

PACFPLOT

Secara umum jika proses ditengarahi tidak stasioner baik dalam mean maupun dalam varians, maka untuk membuat proses menjadi stasioner dapat dilakukan beberapa cara, antara lain :

Lakukan transformasi Box-Cox untuk statabilisasi varians Lakukan differencing untuk stabilisasi mean Plot TS, ACF dan PACF, dst sampai diperoleh sebuah model yang valid sesuai

asumsi pembuatan model terbaik Lakukan peramalan data ke depan.

MODUL 7

ESTIMASI PARAMETER

Dalam analisis statistik estimasi parameter merupakan bagian dari inferensi statistik, yang berfungsi untuk menaksir besaran parameter populasi yang biasanya tidak diketahui . Untuk menaksir biasanya digunakan besaran statistik yang bersifat tidak bias dan mempunyai variansi yang minimum serta bersifat konsisten.

Dalam ARW estimasi parameter adalah mutlak, karena untuk kontribusi pembentukan model yang baik syaratnya adalah parameter model harus signifikan, artinya nilai probabilitas estimatornya kurang dari 5% ( P value < 5 % ). Atau t hitungnya lebih besar dari t tabel ( th > ttabel )

METODE ESTIMASI :a. Metode Momentb. Metode Least Squarec. Metode Maximum Likelihoodd. Dan lain-lain

METODE MOMENT (MM) : Metode Paling Sederhana

Prinsip MM adalah menyamakan Momen Sampel dengan Momen Populasi --

dan

ESTIMASI PARAMETER MODEL AR

Jika kedua ruas dikalikan dengan dan diambil nilai ekspektasinya diperoleh :

Karena maka nilai autokovariansinya adalah :

Sehingga nilai ACF model ARMA (P,0) adalah :

Jika persamaan ini disederhanakan untuk k = 1,2,3,...,p maka diperoleh persamaan

Yule Walker sebagai berikut :

Karena secara teoritis nilai-nilai tidak diketahui, maka, diganti nilai

taksirannya yakni atau nilai sampelnya Selanjutnya jika persamaan Yule Walker diselesaikan maka diperoleh nialai taksirannnya sebagai berikut :

Untuk AR(1) :

Untuk AR(2) : dan

ESTIMASI PARAMETER MODEL MA Jika kedua ruas dikalikan dengan dan diambil nilai ekspektasinya diperoleh :

Jika diselesaikan maka diperoleh

Nilai ini bergantung dari k, sel;anjutnya jika k = 0, maka akan diperoleh :

atau: atau

( Varian proses MA )

Dengan cara yang sama jika k = 1 diperoleh :

Dengan memperhatikan struktur di atas, maka secara umum dapat diformulasikan sebagai berikut :

Sehingga Autokorelasi untuk lag k adalah :

Dengan demikian jika q = 1, maka diperoleh : MA(1)

Jika persamaan ini diselesaikan maka diperoleh :

Dengan cara yang sama taksiran untuk MA(2) adalah sebagai berikut :

dan = Metode iteratif Nraps

ESTIMASI PARAMETER MODEL ARMA

Seperti model AR dan MA di atas estimasi model ARMA mempunyai cara yang sama sebagai berikut:

Jika kedua ruas dikalikan dengan dan diambil nilai ekspektasinya diperoleh :

Karena = 0 maka nilai autokovariansinya adalah :

Jika k < q maka galat sebelumnya dan Zt-k akan berkorelasi dan aotukovariansinya dipengaruhi oleh bagian proses MA. Secara khusus untuk ARMA (1,1) estimasinya adalah sebagai berikut :

Jika k = 0, maka diperoleh :\ -------------------(1)

Jika k = 1, maka diperoleh : ----------------------------------(2)

Jika persamaan (1) dan (2) disederhanakan, maka diperoleh :

dan

Dengan demikian Fungsi Autokorelasi untuk lag 1 dan lag 2 adalah :

.........*)

Sehingga diperoleh nilai taksiran untuk ARMA (1,1) adalah :

kemudian nilai-nilai ini disubtitusikan kedalam

Persamaan *) sehingga nilai dapat ditentukan dengan mudah.

Proses ini dapar diperluas untuk model ARMA(p.q) namun dengan proses metode iteratif Newton Raphson (NR).