Upload
dearest-rome
View
4.787
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Kuliah Kalkulus Sekolah Tinggi Ilmu Statistik
Citation preview
Fungsi Invers, Eksponensial, Logaritma,
dan Trigonometri
Tim Kalkulus I
1
JENIS-JENIS FUNGSIFungsi
F.PangkatF. PolinomF. LinierF. KuadratF. KubikF. Bikuadrat
Fungsi rasionalFungsi irrasional
Fungsi non-aljabar (transenden)
Fungsi aljabar
F. EksponensialF. LogaritmikF. TrigonometrikF. Hiperbolik
2
FUNGSI TRANSENDEN
• Fungsi invers• Fungsi logaritma dan eksponen• Turunan dan integral fungsi eksponen dan
logaritma• Fungsi invers trigonometri• Turunan dan integral fungsi invers trigonometri
3
Fungsi Invers
Definisi
Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi
untuk setiap x dalam domain g
untuk setiap x dalam domain f
Maka dikatakan bahwa f adalah invers dari g dan g adalah invers dari f,
Atau f dan g adalah fungsi-fungsi invers.
xxgf ))((
xxfg ))((
4
5
Definisi
Jika fungsi f mempunyai invers, maka dikatakan bahwa dapat diselesaikan untuk x sebagai fungsi dari y dan dikatakan
merupakan penyelesaian dari
untuk x sebagai fungsi y.
)(xfy
)(1 yfx )(xfy
6
Teorema
Jika f fungsi satu-satu, maka grafik dari
dan adalah pencerminan dari fungsi satu dengan fungsi yang lain terhadap garis
Contoh suatu fungsi dan inversnya:
)(xfy
)(1 xfy xy
7
9
10
11
Contoh:
Carilah invers dari
, kemudian x dan y ditukar
Maka
23)( xxf
23 xy
23 yx
232 yx
23
1 2 xy
0,23
1)( 21 xxxf
12
13
f(x) = x2
Syarat apa yang harus dipenuhi agar f mempunyai invers?
14
15
16
Latihan Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi di bawah ini mempunyai invers tentukan fungsi inversnya jika ada.
1.
2.
3.
4.
22)( xxxf
133)( 23 xxxxfxexf /1)(
1)(
2
3
x
xxf
17
Turunan fungsi invers
Andaikan dapat diturunkan, monoton murni pada interval I, dan bila f’(x) ≠ 0 pada suatu titik x dalam interval I, maka invers f dapat diturunkan di titik y = f(x) dan berlaku
)('
1)()'( 1
xfyf
dydxdy
dx
/
1
18
)!6(' tentukan maka
2)( Misal .2
)!4(' tentukan maka
12)( Jika 1.
1
3
1
5
f
xxf
f
xxxf
19
20
Fungsi Logaritma Natural
dan
Eksponensial Natural
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Fungsi Eksponensial Natural
30
31
32
33
34
35
FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONENSIAL UMUM
36
37
38
39
40
41
42
43
44
Fungsi Invers Trigonometri
Definisi
Fungsi invers sinus, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari fungsi
Fungsi invers cosinus, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari fungsi
Fungsi invers tangen, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari fungsi
Fungsi invers secan, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari fungsi
1sin
2/2/,sin xx1cos
xx 0,cos1tan
2/2/,tan xx
1sec
2/32/0,sec xatauxx
45
Teorema
2/3
1atau
2/0
1jikasecsec
2/2/jikatantan
0
11 jikacoscos
2/2/
11jikasinsin
1
1
1
1
y
x
y
xxyxy
y
xxyxy
y
xxyxy
y
xxyxy
46
Fungsi Domain Range Hubungan
x1sin 1,1 2/,2/ 2/2/jika)(sinsin 1 xxx
11jikasinsin 1 xxx
x1cos 1,1 ,0 xxx 0jika)(coscos 1
11jika)cos(cos 1 xxx
x1tan , 2/,2/ 2/2/jika)(tantan 1 xxx
xxx jika)tan(tan 1
x1sec ,11, 2/3,2/,0 2/3at2/0jika)(secsec 1 xxxx
1at1jika)sec(sec 1 xxxx
x1cot , ,0
x1csc ,11, 2/,02/,
xxx 0jika)(cotcot 1
xxx jika)cot(cot 1
2/0at2/jika)(csccsc 1 xxxx
1at1jika)csc(csc 1 xxxx
47
49
Turunan & Integral Fungsi Invers Trigonometri
Teorema
1
1csc
1
1sec
1
1cot
1
1tan
1
1cos
1
1sin
2
1
2
1
21
21
2
1
2
1
xxx
dx
d
xxx
dx
dx
xdx
d
xx
dx
dx
xdx
d
xx
dx
d
50
dx
du
uuu
dx
d
dx
du
uuu
dx
ddx
du
uu
dx
d
dx
du
uu
dx
d
dx
du
uu
dx
d
dx
du
uu
dx
d
1
1csc
1
1sec
1
1cot
1
1tan
1
1cos
1
1sin
2
1
2
1
21
21
2
1
2
1
51
Ca
u
aauu
duCu
uu
du
Ca
u
aua
duCu
u
du
Ca
u
ua
duCu
u
du
1
22
1
2
122
12
1
22
1
2
sec1
sec1
tan1
tan1
sinsin1
52
Contoh
Hitunglah
Substitusi
dx
e
ex
x
21
CeCuu
dudx
e
e
dxedueu
x
x
x
xx
)(sinsin11
,
11
22
53
Latihan
1. Carilah dy/dx dari
a.
b.
c.
2. a.
b.
)(sin 31 xy
)(sec 1 xey
yxxy 11 cos)(sin
dx
e
ex
x
21
3
1 1xx
dx
54