PAGE 22

KULIAH KE 5 : SEBARAN NORMAL

Tujuan Umum :

Mampu memahami sebaran peubah acak normal

Tujuan Khusus :1. Mampu menjelaskan pengertian peubah acak kontinyu, ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran peubah acak normal.

2. Mampu menjelaskan pengertian sebaran normal, menggunakan tabel Z untuk menghitung peluang pada sebaran normal.

5.1. Peubah Acak Kontinyu : Ukuran Pemusatan dan Penyebaran

Dalam Bab 4. dibahas sebaran contoh dari populasi dengan hanya dua macam individu, seperti ganjil atau genap, dan hidup atau mati. Contoh acak demikian akan menghasilkan sebaran binomium dan merupakan peubah diskret. Selanjutnya kita bicarakan populasi yang lain dimana individu diukur ciri lainnya, seperti tinggi atau beratnya dan menghasilkan peubah kontinyu dimana jumlah individu dengan ukuran berbeda dapat kita peroleh dengan jumlah tanpa batas.

1. Ukuran Pemusatan

Untuk peubah kontinu, harga rata-rata merupakan ukuran pemusatan atau nilai tengah peubah suatu populasi atau contoh. Sedang ragam merupakan ukuran penyebaran dari nilai-nilai peubah acak suatu populasi atau contoh tersebut. Besaran yang menentukan karateristik populasi, yaitu rata-rata dan ragam disebut parameter. Dalam praktek sehari-hari, jarang kita bekerja dengan data populasi. Kita bekerja atas dasar contoh.

Harga rata-rata ada beberapa macam, yaitu :

(a) Rata-rata hitung : diperoleh dengan cara menjumlah semua nilai peubah dibagi dengan banyaknya individu peubah tersebut. Misalkan tiga ekor ikan lemuru dengan uikuran 2, 3, 4 cm, maka :

Rata-rata hitung = (2 + 3 + 4) / 3 = 3 cm(b) Rata-rata ukur : diperoleh dengan cara mengalikan semua nilai peubah dibagi dengan banyaknya individu peubah tersebut. Misalkan ikan lemuru yang tertangkap dengan bantuan lampu kuat cahaya berbeda menghasilkan 2, 4 dan 8 ton per per 3 jam, maka Rata-rata ukur = = 4 ton

(c) Rata-rata harmonis (RH) : diperoleh dengan cara membalik nilai jumlah banyaknya individu dari peubah. Misalkan ikan lemuru yang ditangkap sore, malam dan pagi hari yang menyebar secara harmonis menurut gerakan terang bulan sebanyak 2, 3, dan 4 kwintal, maka rata-rata harmonis adalah : 1

Rata-rata harmonis = 1/RH = 1/3 . RH = 2,77 kwintal

(1/2 + 1/3 + 1/4)

2. Ukuran Penyebaran : Ragam Contoh

Ukuran penyebaran data didasarkan pada jumlah kwadrat simpangan (JK). Jumlah simpangan dan jumlah mutlak simpangan ternyata tidak dapat digunakan untuk mengukur penyebaran data, karena jumlah simpangan selalu = nol, sedangakan jumlah mutlak simpanagn untuk rata-rata yang sama menunjukkan hasil yang berbeda. Kita perhatikan Tabel 5.1. hasil pengamatan panjang 5 ekor ikan lemuru pada bulan April 2003, yaitu 10, 12, 14, 15, dan 14 cm. Rata-rata hitung = 13 cm.

Tabel 5.1. Tiga macam pengukuran sebaran data

Sebara DataSimpangan Simpangan

Jumlah Kwadrat

Mutlak

Simpangan

1010-13 = - 3

3

(-3)2 = 9

1212-13 = - 1

1

(-1)2 = 1

1414-13 = +1

1

(+1)2 = 1

1515-13 = +2

2

(+2)2 = 4

1414-13 = +1

1

(+1)2 = 1

Rata-rata = 13 Jumlah = 0 Jumlah = 8a) Jumlah = 16b)

Keterangan : a) untuk rata-rata sama dapat dihasilkan nilai simpangan mutlak berbeda. Berarti tidak konsisten.

b) nilai konsisten.

Kesimpulan :

Oleh karena itu, ukuran penyebaran (ragam) data untuk selanjutnya menggunakan jumlah kwadrat simpangan, yaitu : ( ( Xi ) 2., dimana Xi = nilai pengamatan ke i, dan = nilai rata-rata contoh. Adapun standard deviasi adalah sebagai berikut :

Standar deviasi = (= ( ( Xi ) 2

(5.1)

5.2. Sebaran Normal

Dalam kuliah ke 4, kita bahas garafik yang dihasilkan untuk sebaran bionomium dengan peluang 0,1, 0,5 dan 0,9. Dengan p = 0,5 dihasilkan grafik distribusi binomium berbentuk simetri. Pada tahun 1733 , 20 tahun setelah konsep sebaran binomium telah diselesaikan secara komprehensif oleh Bernoulli, De Moivre mengumumkan grafik distribusi normal (Snedecor dan Cochran, 1962). Kedua bentuk distribusi binomium dan normal jelas tidak ada kaitan, ditunjukkan di Gambar 5.1. Persamaan distribusi normal dinyatakan sebagai berikut :

(5.2)

Pada Gambar 5.1 (B) terlihat bahwa kurva f(y) dari persamaan (5.2) mula-mula hampir mendatar sampai pada titik (C) lalu menaik dengan kecepatan yang meningkat sampai setinggi 1/ ((. e pada titik (D), pada saat nilai y = (( - (). Kemudian kurva ini terus naik, dengan laju berkurang sampai setinggi 1/ (( pada titik (E), pada nilai y = (. Selanjutnya mulai turun kembali sampai titik 1/ (( e pada nilai y = (( + (). Ada tiga titik belok yang memerlukan perhatian, yaitu : (1) titik (( - (), (2) titik ( dan (3) titik (( + (). Jika nilai ( semakin besar, maka, titik belok akan semakin jauh dari y = ( dan nilai f(y) akan makin kecil, yang berarti puncak kurva semakin rendah. Jelas bahwa keragagaman peubayh acak y semakin besar jika ( semakin besar. Dengan demikian ( menjadi ukuran penyebaran suatu peubah acak.

Suatu yang menarik akan terjadi, jika ( dtetapkan = 0, dan (2 = 1, maka grafik menunjukkan dengan N(0,1) dan peubah acak normal ini dilambangkan dengan huruf besar Z dan ( digunakan sebagai lambang fungsi kepekatan sebagai pengganti f. Jika absis grafik digunakan standard ( = (y - () / (, maka terbentuk persamaan yang lebih sederhana pada persamaan 5.2.

15% -

y

Frekuensi

-

(%)

10% - ............ ................E.--0,4

-

--0,3

..................... D

5% -

--0,2 ( + 1,96(

- 2,5% --0,1 2,5%

............. C

. . . . . . . . . . . . .

0 15 20 25 30 35 ( -3( ( -2( ( -( ( (+( (+2( (+3( Jumlah yang berhasil

(A) (B)

Gambar 5.1. (A) Distribusi binomium jumlah kejadian berhasil, peluang p = 0,5

(B) Distribusi normal dengan rata-rata ( dan standar deviasi (

(5.3)

Persamaan y menjadi fungsi Z sebagai berikut :

(5.4)

Persamaan (5.3) disebut fungsi kepekatan normal baku. Kurva kepekatan normal baku tercantum pada Gambar 5.2.

5.3. Menghitung P(0 ( Z ( Z0)

Dengan dasar persamaan (5.3) dibuat tabel yang menunjukkan hubungan antara berbagai nilai ( dan berbagai luasan pada kurva normal. Selanjutnya dibuat sebaraan frekuensi normal komulatif. Suatu hal yang amat penting tentang fungsi kepekatan ini adalah bahwa luas daerah di bawah kurva antara nilai y = 0 sampai nilai y = z0 adalah suatu bilangan positif, telah dihitung dan disajikan dalam suatu daftar P(0 ( Z ( z0) untuk berbagai nilai z0. Sebaran frekuensi normal komulatif untuk n = 10.000 disajikan pada Tabel 5.2.

4 -

P(0 ( z ( z0)

3 -

2 -

1 -

-3 -2 -1 0 +1 z0 +2 +3

Gambar 5.2. Kepekatan normal baku

Tabel 5.2. Tabel frekuensi normal komulatif (Z) untuk n 10.000

z0P(0(Z(z0)z0P(0(Z(z0)z0P(0(Z(z0)

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0.0000

0,0398

0,0793

0,1179

0,1554

0,1915

0,2257

0,2580

0,2881

0,31591,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

0.3413

0.3643

0,3849

0,4032

0,4192

0,4332

0,4452

0,4554

0,4641

0,47132,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

3,1

3,2

3,3

3,4

3,6

3,90,4772

0,4821

0,4861

0,4893

0,4918

0,4938

0,4953

0,4965

0,4974

0,4981

0,4987

0,4990

0,4993

0,4995

0,4997

0,4998

5,0000

Sumber : Snedecor (1962) : Statistical Methods

1. Membaca Tabel

Tabel 5.2 hanya menggunakan satu digit dibelakang koma. Misalnya kita akan menghitung dua digit dibelakang koma, misalnya mencari untuk z0 = 1,52, caranya sebagai berikut :

1,52 terletak z0 antara 1,50 dan 1,60.

Cek nilai komulatif z0 masing-masing, yaitu 0,4332 dan 0,4452.

Nilai 1,52 bisa dihitung dengan perkiraan, yaitu :

(1,52-1,50)/ (1,60-1,50) (0,4452 0,4332) =0,0024.

2. Berapa besarnya nilai P(0(Z(1,52) ?Jawabannya :

P(0(Z(1,52)= 0,4332 + 0,0024 = 0,4356.

3. Tabel sebaran frekuensi komulatif adalah setangkup

Jika ada pertanyaan P(-1,56 ( Z( +1,56), jawabnya adalah = 2 x 0,4356 = 0,8712.

4. Angka khusus dan penting :

nilai Z antara -1 dan +1 adalah = 2 x 0,3413 = 68,26%;

nilai Z antara -2 dan +2 adalah = 2 x 0,4772 = 95,50%;

nilai Z antara -3 dan +3 adalah = 2 x 0,4987 = 99,74%;

Sebaran binomium, Poisson maupun normal, bukan berarti kita harus mengikuti salah satau dari ketiga peluang tersebut. Banyak lagi yang lain. Namun demikian, semua hukum peluang memiliki sifat berlaku umum, yaitu :

(5.5)

Untuk diperhatikan bahwa ada dua parameter utama yang mencirikan suatu peubah acak, yaitu : (1) rata-rata yang menggambarkan nilai pemusatan, dan (2) ragam yang menggambarkan penyebarannya. Besarnya nilai harapan rata-rata dengan simbul E(Y) dan nilai harapan ragam dengan simbul (y2 bergantung pada jenis peluangnya. Untuk peubah binomium, Poisson dan normal dapat diringkarkan kembali di persamaan (5.5) dalam box.

(5.6)

5.4. Fungsi Peluang Empirik

Adapun hukum peluang yang didasarkan pada data emperik dan tidak dapat diidasarkan pada humum peluang tersebut diatas masih banyak lagi. Misalnya sebaran peubah acak peternak ikan di Blitar. Peternak ini memiliki peluang sebagai berikut :

36/58, untuk y = 5,5

15/58, untuk y = 15,5

4/58, untuky = 25,5

P(Y = y) = 2/58, untuky = 35,5

(5.7)

1,58, untuky = 85,5

0,0 , untuky lainnya

Fungsi peluang (5.6) diperoleh dari data lapang, dan disebut sebagai fungsi peluang empirik. Nilai tengah E(Y) dan ragam ((y2) bagi fungsi peluang ini masing-masing adalah :

E(Y)= 36/58(5,5) + 15/58 (15,5) + 4/58 (25,5) + 2/58 (35,5) +

1/58 (85,5) = 11,90((y2)= 36/58 (5,5-11,9)2 + 15/58 (15,5-11,9)2 + 4/58 (25,5-11,9)2 +

2/58 (35,5-11,9)2 + 1/58 (85,5-11,9)2 = 154,13.

5.5. Tugas-Tugas

Tinggi badan mahasiswa Pascasarja Universitas Brawiajaya ternyata menyebar mendekati normal denagn nilai tengah 160 cm dan simpangan baku 6,25 cm

Pertanyaan :

1. Berapa persen mahasiswa Pascasarjana yang tinggi badannya lebih dari 165 cm.

2. Berapa persen mahsiswa pascasarjana yang tinggi badannya kurang dari 150 cm.

3. Kalau kita ingin memisahkan 5% mahasiswa pascasarjana yang tertinggi, berapa cm batas pemisah tinggi badan tersebut ?

4. Berapa persen mahsiswa pascasarjana yang tinggi badannya di antara 155 dan 170 cm.

Hukum Peluang

1. Fungsi peluang peubah acak tidak pernah negatif, antara 0 dan positif

2. Jumlah luas daerah di bawah kurva kepekatan peluang selalu = 1

1 2

Y = e - ( /2

EMBED Equation.3 (

2

( (z)= e - z /2

EMBED Equation.3 (

1 ( y-( ) 2

f(y) = e (2

( EMBED Equation.3 ( - ( ( y ( - (

Nilai harapan rata-rata dan ragam sebaran normal

E(Y)= ( yi/n

(y2= ( (yi-yr)2, yr = y rata-rata

_1151983038.unknown

_1151983074.unknown

_959111510.unknown

_1146924163.unknown

_959107769.unknown

_959108559.unknown

_958706999.unknown