1. Tentukan interval dari fungsi f(x) = x2 – 6x jika fungsinya :a. naikb. turun

Jawab;f(x) = x2 – 6xf '( x ) = 2x – 6a. Fungsi naik jika f

'( x ) > 0.2x – 6 > 02x > 6x > 3

Jadi fungsi naik pada interval x > 3.b. Fungsi turun jika f

'( x ) < 0.2x – 6 < 02x < 6x < 3

Jadi fungsi turun pada interval x > 3.

2. Diketahui f(x) = 3x5 – 5x3, tentukan :a. interval dimana f(x) naikb. interval dimana f(x) turunc. titik stasioner dan jenisnya

Jawab:f(x) = 3x5 – 5x3

f '( x ) = 15x4 – 15x2

a. Fungsi naik f '( x ) > 015x4 – 15x2 > 0

Pembuat nol : 15x4 – 15x2 = 0 15x2(x2 – 1) = 0

15x2(x – 1)(x + 1) = 0 x = 0 x = 1 x = -1

Titik uji:

+ - - + -1 0 1

Untuk x < -1, misal x = -2 f'(-2) = 15(-2)2(-2 – 1)(-2 + 1) > 0

Untuk -1 < x < 0, misal x = − 1

2 f'(−1

2 ) = 15(−1

2 )2(−1

2 – 1)( − 1

2 + 1) < 0

Untuk 0 < x < 1, misal x =

12 f

'(

12 ) = 15(

12 )2(

12 – 1)(

12 + 1) < 0

Untuk x > 1, misal x = 2 f'(2) = 15(2)2(2 – 1)(2 + 1) > 0

Jadi fungsi naik pada interval x < -1 atau x > 1.

b. Fungsi turun f '( x ) < 0Fungsi turun pada interval -1 < x < 0 atau 0 < x < 1.

c. Syarat stasioner f '( x ) = 0Diperoleh pembuat nol : x = -1, x = 0, x = 1Untuk x = -1 f(-1) = 3(-1)5 – 5(-1)3 = -3 + 5 = 2 (-1, 2) titik maksimumUntuk x = 0 f(0) = 3(0)5 – 5(0)3 = 0 (0, 0) titik belokUntuk x = 1 f(1) = 3(1)5 – 5(1)3 = 3 - 5 = 2 (1, -2) titik minimum

Cara lain:f(x) = 3x5 – 5x3

f '( x ) = 15x4 – 15x2

f ' ' ( x )= 60x3- 30xNilai stasioner tercapai jika f

'( x ) = 0.15x4 – 15x2 = 0

15x2(x2 – 1) = 0 15x2(x – 1)(x + 1) = 0 x = 0 x = 1 x = -1

Titik stasionernya :x1 = 0 y = f(0) = 3(0)5 – 5(0)3 = 0 (0, 0)x2 = 1 y = f(1) = 3(1)5 – 5(1)3 = 3 - 5 = 2 (1, -2)x3 = -1 y = f(-1) = 3(-1)5 – 5(-1)3 = -3 + 5 = 2 (-1, 2)

Jenisnya :x1 = 0 f

' '(0) = 60(0)3 – 30(0) = 0 (0, 0) titik belok

x2 = 1 f' '

(1) = 60(1)3 – 30(1) = 30 > 0 (1, -2) titik balik minimumx3 = -1 f

' '(-1) = 60(-1)3 – 30(-1) = -30 < 0 (-1, 2) titik balik maksimum

Penggunaan Maksimum / MinimumContoh:1. Tinggi h meter suatu roket setelah t detik adalah : h(t) = 500t – 5t2.

a. Setelah berapa detik roket mencapai tinggi maksimum?b. Berapa meter tinggi maksimum itu?

Jawab:h(t) = 500t – 5t2

h' ( t ) = 500 – 10t

a. Roket mencapai tinggi maksimum h' ( t ) = 0

500 – 10t = 010t = 500t = 50

Jadi roket mencapai tinggi maksimum setelah 50 detik.

b. t = 50 h(50) = 500(50) – 5(50)2

= 25.000 – 12.500 = 12.500

Jadi tinggi maksimum = 12.500 m.

2. Fungsi y = x2 + 2x -

1m mempunyai minimum 2. Carilah m !

Jawab:

y = x2 + 2x -

1m

y ' = 2x + 2

Minimum dicapai y' = 0

2x + 2 = 02x = -2x = -1

y = 2 x = -1 2 = (-1)2 + 2(-1) -

1m

3 = -

1m

m = − 1

3Tentukan turunan dari fungsi dibawah ini :

1. f(x) = 32. f(x) = 2x3. f(x) = 3x2

4. f(x) =

12

x4+5x3−7 x+1

5. f(x) = 3√ x6. f(x) = (2x + 5)(x3- 3x + 5)

7. f(x) =

x+35−x2

8. f(x) = (10x3 – 2x)5

PENYELESAIAN

1. f(x) = 3 f’(x) = 0

2. f(x) = 2x f’(x) = 23. f(x) = 3x2 f’(x) = 6x

4. f(x) =

12

x4+5x3−7 x+1 f’(x) = 2x3 + 15x2 - 7

5. f(x) = 3√ x f(x) = 3x12 f’(x) = x

−12

32√ x

6. f(x) = (2x + 5)(x3- 3x + 5) f(x) = 2x4 – 6x2 + 10x + 5x3 – 15x + 25 f(x) = 2x4 + 5x3 – 6x2 – 5x + 25 f’(x) = 8x3 + 15x2 - 12x - 5

7. f(x) =

x+35−x2 U = x + 3 , V = 5 – x2

U’ = 1 dan V’ = -2x

f’(x) =

U ' V −V ' UV 2

f’(x) =

1(5−x2 )−(−2 x )( x+3)(5−x2)2

f’(x) =

5−x2+2 x2−6x25−10 x2+ x4

f’(x) =

x2−6 x+5x4−10 x−25

8. f(x) = (2x3 – 3)8 U = 2x3 - 3 U’ = 6x2

f’(x) = n.Un-1.U’ = 8(2x3 – 3 )7. 6x2

= 8(6x2)(2x3 – 3)7

= 48x2 (2x3 – 3)7

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

1. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 8x – 9. Tentukan interval x ketika fungsi f(x) naik dan fungsi f(x) turun. Jawab: f(x) = x2 – 8x – 9 f’(x) = 2x – 8 fungsi naik : f’(x) = 0 2x – 8 = 0 2x = 8 x = 4 jadi fugsi naik intervalnya : x > 4 Fungsi turun : f’(x) < 0 2x < 8 maka fugsi turun intervalnya : x < 4

2. Diketahui fungsi f(x) = x3 – 6x2 – 36x + 30 . Tentukan interval x ketika fungsi f(x) naik dan fungsi f(x) turun. Jawab : f(x) = x3 – 6x2 – 36x + 30

+++++ ++++++++------------------+++++++++++ₒₒ -26

f’(x) = 3x2 – 12x – 36 f”(x) = x2 – 4x – 12 fungsi naik : f’(x) > 0 x2 – 4x – 12 = 0 (x – 6)(x + 2) = 0 x = 6 atau x = -2

Fungsi naik : x < -2 atau x > 6Fungsi turun : -2 < x < 6

Tentukan nilai stasioner , titik stasioner dan jenis titik stasioner dari fungsi berikut :

1. f(x) = 2x2 + 5x - 3

2. f(x) =

13 x3 – 2x2 – 21x + 7

Penyelesain :

1. f(x) = 2x2 + 5x – 3syarat stasioner f’(x) = 0 4x + 5 = 0

4x = -5 x = -

54

Nilai stasioner : f(-

54 ) = 2.( -

54 )2 + 5. -

54 - 3

= -

498

Titik stasioner : (-

54 , -

498 )

jenis stasioner : titik balik minimum

2. f(x) =

13 x3 – 2x2 – 21x + 7

syarat stasioner f’(x) = 0x2 – 4x – 21 = 0(x - 7 )(x + 3 ) = 0 x = 7 atau x = -3

Nilai stasioner : f(7) =

13 .(7)3 – 2(7)2 – 21.(7) + 7

= 43

f(-3) =

13 (-3)3 – 2(-3)2 – 21.(-3) + 7

= -

3713

Titik stasioner : ( 7, 43) atau ( -3, -

3713 )

Jenis stasioner : f’’(x) > 0 titik balik minimum f’’(x) < 0 titik balik maksimun 2x – 4 = 2. -3 – 4

= - 10 f’’(x) < 0 maka x = -3 adalah titik balik maksimum ( -3, -

3713 )

2x – 4 = 2.7 – 4 = 14 – 4 = 10 f’’(x) > 0 maka x = 7 adalah titik balik minimum (7, 43)