KVALITET SISTEMAKVALITET SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJAAUTOMATSKOG UPRAVLJANJAKod projektovanja ili ocene kvaliteta sistema p j jautomatskog upravljanja kao što jeautomatskog upravljanja kao što je regulisani elektromotorni pogon bitna su triregulisani elektromotorni pogon, bitna su tri k it ijkriterijuma:

3 kriterijuma stabilnost statička karakteristika statička karakteristika di ičk k kt i tik dinamička karakteristika Analiza prema redosledu i važnosti:

stabilnost, zatim ponašanje u stacionarnom stanju, i na kraju kvalitet prelaznog režima.

11

StabilnostStabilnost

• Teorema Ljapunova o stabilnostiTeorema Ljapunova o stabilnosti dinamičkih sistemadinamičkih sistema

č Алекса́ндрZa linearne dinamičke sisteme Александр Миха́йлович

Л ́

• Algebarski kriterijumi stabilnostiЛяпунов,

1856-1918Algebarski kriterijumi stabilnosti G f litički k it ij i t bil ti• Grafo-analitički kriterijumi stabilnosti Za stacionarne kontinualne fizički ostvarive linearne sisteme saZa stacionarne, kontinualne, fizički ostvarive, linearne sisteme sakoncentrisanim parametrima, potreban i dovoljan uslov zastabilnost jeste da svi koreni njegove karakteristične jednačineimaju negativne realne delove ili, što je isto, da leže u levoj

l i k l k lji [1]2

poluravni kompleksne promenljive p. [1].2

[1]. M. Stojić, Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, Naučna knjiga, Beograd

Kontinualni sistemiKontinualni sistemiSvi koreni karakteristične jednačine u levoj poloviniSvi koreni karakteristične jednačine u levoj polovini kompleksne ravni:

N pkompleksne ravni:

w

N pF p

D p

0n

D p

D 1 0 1 2... ... 0nn n nD p a p a p a a p p p p p p

Re( ) 0, 1,...,ip j n

U opštem slučaju, za kompleksna rešenja, uslov je p j , p j , jRe(pj)<0, j

U slučaju realnih rešenja karakteristične jednačine, uslov se svodi se na

pj <033

Diskretni sistemiDiskretni sistemiPotreban i dovoljan uslov za globalnu asimptotskuPotreban i dovoljan uslov za globalnu asimptotsku stabilnost linearnog digitalnog (diskretnog) sistemastabilnost linearnog digitalnog (diskretnog) sistema

1( ) ( )k kt t x A xje da sve nule svojstvenog polinoma matrice A,

k k

je da s e u e s ojs e og po o a a ce ,odnosno svi koreni karakteristične jednačine j

det( ) 0z I Adet( ) 0z I A

budu po modulu manji od 1 ili, što je isto, da se nalaze t j di ič k t k di tunutar jediničnog kruga sa centrom u koordinatnom

č tk i [1]početku z ravni [1].

44[1]. M. Stojić, Digitalni sistemi upravljanja, Nauka, Beograd

Statičke karakteristikeStatičke karakteristikePosmatrajmo sistem:

+u yW(p)

+ eW(p)

_

W p W pYF p p Y p U p 1 1wF p p Y p U p

U W p W p

Pretpostavimo da je sistem stabilan5

Pretpostavimo da je sistem stabilan.5

Greška je:1

j 1

1E p U p Y p U p

W

1p p p p

W p

0

lim lim lime e t u t y t pE p 0t t p

Odnosno: p U pOdnosno: 1

p U pe

W p

0

1p

W p

Uzmimo dalje da se W(p) u opštem slučaju može predstaviti u j (p) p j pobliku:

k P pW p

0

rW pp Q p

00 0 1P Q 0Q

r - je astatizam sistema66

Astatizam sistemaAstatizam sistema k P 00 0 1

k P pW p P Q

0

0rp Q

p Q p

ako je r = 0 (nulti astatizam),ako je r 0 (nulti astatizam),

li W k li 0W 2li 0W 0

lim ppW p k

0lim 0p

p W p

2

0lim 0p

p W p

ako je r = 1 (astatizam prvog reda),

limW p lim p W p k 2lim 0p W p 0

limp

W p

0

lim vpp W p k

0lim 0p

p W p

ako je r = 2 (astatizam drugog reda)ako je r = 2 (astatizam drugog reda),

2 0

limp

W p

0

limp

p W p

2

0lim up

p W p k

7

0p 0p 0p

K l ž j B i k k K b j 7Konstanta položaja Brzinska konstanta Konstanta ubrzanja

Sistem nultog astatizmak l ž j

Sistem nultog astatizma li W k k - konstanta položaja

0lim pp

W p k k

P t j i t k d l d d d k č i i lPosmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede odskočni signal:

00

uu t u h t U p 0 pp

0up 0

pupe

1 1

eW p k

0p0p

ako je r = 0, kp = k greška postoji e()=u0/(1+k)j , p g p j ( ) 0 ( )

za r > 0 k →∞ greška ne postoji e(∞)→0za r > 0, kp→∞ greška ne postoji e(∞)→0.88

Od i i t lti t tiOdziv sistema sa nultim astatizmom u vremenskom domenuu vremenskom domenu.

r > 0, kp→∞, greška ne postojip g p j

r = 0 k = k greška postojir 0, kp k greška postoji

99

Si t i t ti dSistemi sa astatizmom prvog reda li W k k b i k k

p g

0lim vp

pW p k k

- brzinska konstanta

Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede linearna funkcija os j o s s e d se u dovede e u c j(rampa): Primer soft start” 0( ) uU( p ) Primer „soft start

Konstantno ubrzanje. 00 2( ) uu t u t U p

p

u

jp

0uup

0

1upe

W p k

1 W p k

0p

0 0vr k e Greška se povećava.

1 /r k k e u k Greška ima konačnu vrednost. 01 /vr k k e u k

Greška ima konačnu vrednost.

1 0vr k e 10

Greška ne postoji.10

r = 0k = k greška postojikp = k, greška postoji

k 0 ( )kv = 0, e(∞) → ∞

V ki d i i t t ti lt dVremenski odziv sistema sa astatizmom nultog reda k d l d d “ ” f k ijkada se na ulaz dovede “rampa” funkcija.

1111

r = 1

kkpp

kv≠0v≠k =kkv=k

Vremenski odziv sistema sa astatizmom prvog redaVremenski odziv sistema sa astatizmom prvog redakada se na ulaz dovede “rampa” funkcijakada se na ulaz dovede rampa funkcija

1212

r = 2

kkp

k kv

Vremenski odziv sistema sa astatizmom drugog redaVremenski odziv sistema sa astatizmom drugog redakada se na ulaz dovede “rampa” funkcijakada se na ulaz dovede rampa funkcija

1313

Si t i t ti d dSistemi sa astatizmom drugog reda 2li W k k k b j

g g 2

0lim up

p W p k k

- konstanta ubrzanja

Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede polinomijalna funkcija os j o s s e d se u dovede po o j u c j(na pr. kvadratna):

2 0u( p ) 2 0

0 3( ) uu t u t U pp

up

Primer: zadavanje 02

u ciljne (referentne) pozicije kod sistema

2

0

1upe

W k

pozicije kod sistema za pozicioniranje. 1 W p k p j

0p

2 0ur k e Greška se povećava.

2 /r k k e u k Greška ima konstantnu vrednost. 02 /ur k k e u k

Greška ima konstantnu vrednost.

2 0ur k e 14

Greška ne postoji.14

r = 1k kp

r=1 k =kr=1 kv=kGreška je konstantnaGreška je konstantna

r=1k =0ku 0

Greška se ćpovećava

Odziv sistema kada se na ulaz dovede signal k d i i d 15sa kvadratnom zavisnosti od vremena 15

r = 2k kp

r=2 k r 2 kv

r=2 ku=k

Od i i t k d l d d i lOdziv sistema kada se na ulaz dovede signal sa k adratnom a isnosti od remena 16sa kvadratnom zavisnosti od vremena 16

St tičk šk k d i tStatička greška kod sistema sa gdva ulazadva ulaza

upyx –

uuyx+ F1(p) F2(p)u

– +1(p) F2(p)

u Upravljački ulazuu – Upravljački ulaz

u – Poremećajup – Poremećaj

1717

St tičk šk k d i tStatička greška kod sistema sa gdva ulazadva ulaza

lim lime u t y t p E p

0

lim limut pe u t y t p E p

uE p U p Y p

1( ) uX p F p U p Y p

1( )

( )up p p p

Y F X U 2 ( ) pY p F p X p U p

2Fy p F U p U p 21

1 21 u py p F U p U pF F

1 2

21 F 211 1u p

FE p U p U pF F F F

181 2 1 21 1F F F F

18

Uprošćeni primer regulisanog pogonap p g g p g

*

U p mmU p uU p

p pU p

p

uu(t) up(t)uu(t)ω*

up(t)mm

t t

mmm

1ω* ωme+–

kmp T

ω* e++k

mp– +

1919

Odloženo dejstvo poremećajaj p j

*

U p 0p tmmU p e uU p

p pU p e

p

uu(t) up(t)uu(t)ω*

up(t)mm

t tt0

mmm

1ω* ωme+–

kmp T

ω* e++k

mp– +

2020

Uprošćeni primer regulisanog pogona) P i l i l b i b d i

p p g g p ga) Proporcionalni regulator brzine, veoma brz odziv momenta,

Nj t j d čiNjutnova jednačina

( )F p k 1( )F p 211 1u p

FE p U p U pF F F F

1( )F p k 2 ( )

m

F pp T

1 2 1 21 1u pp p p

F F F F

*

0 li 0p

p

0mm 0

lim 01

p

pe k 1

mp T

* 1

mp * 1mmpp

lim m m

ppp p T mpe k k

0m 0

lim1 1

pe k k k

0mm

m mp T p T 2121

Uprošćeni primer regulisanog pogonab) P i l I l i l b i

p p g g p gb) Proporcionalno-Integralni regulator brzine,

b d i t Nj t j d čiveoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina

1 1( ) ip TF p k K K

1( )F p 1( ) p ii

F p k K Kp T p

2 ( )

m

F pp T

mmKp

1* ωm+–

p+ 1

p Tω* ωme+

+1 mp T– +1iK +i p

2222

Uprošćeni primer regulisanog pogonab) P i l I l i l b i

p p g g p gb) Proporcionalno-Integralni regulator brzine,

b d i t Nj t j d čiveoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina

1( ) ip TF p k

1( )F p 1( )i

F p kp T

2 ( )

m

F pp T

*

0 li 0p

p

0mm 0

lim 01 11p i

pe p Tk

1 i

i m

pkp T p T

* 1 0

i mp p * 1mmpp

0mm

lim 01 11 1m

ppp p Tpe T T

0

lim 01 11 11 1p i i

e p T p Tk k

i m i mp T p T p T p T 2323

Dinamičke karakteristikeDinamičke karakteristike

• Posmatramo sisteme drugog redaPosmatramo sisteme drugog redaPromena upravljačkog ulaza kao “step• Promena upravljačkog ulaza kao “step f ”funkcija”

• Dva različita slučaja:Dva različita slučaja:S k j k l k i l i– Sa konjugovano kompleksnim polovima.

– Sa realnim polovima (koji u opštem slučaju nisu jednaki, ali bi mogli biti).

2424

Dominantni konjugovano-kompleksni polovi

2

( ) nF y(t)u(t)2 2( )

2n

wn n

F pp p

F ( )

U(p) Y(p)n np p Fw(p)

00( ) ( ) ( ) uu t u h t U p 0( ) ( ) ( )p

p22

0( ) ( ) ( ) nuY p U p F p 2 2( ) ( ) ( )

2wn n

Y p U p F pp p p

1( ) £ ( ) ( )y t U p F p ( ) £ ( ) ( )wy t U p F p

211 cos 1n tu e t

0 21 cos 1

1nu e t

21

25 2arccos 1

25

Dominantni konjugovano-kompleksni polovij g p pKorišćene oznake:Korišćene oznake:

ω – prirodna (neprigušena) učestanostωn prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenjaζ – faktor relativnog prigušenja

preskok [%]π – preskok [%]i i jTs – vreme smirivanja

Tk – vreme kašnjenjak j j – period oscilacija period oscilacijaT vreme usponaTu – vreme usponaT dominantna remenska konstantaTd – dominantna vremenska konstantaTr – vreme reagovanja

2626

Dominantni konjugovano-kompleksni polovi1.6 T T

ymax

Td Ts

1.4ymax

1.2 T±5%

Ts1

t)

%(±2%)

0.8t), y

(t ( )

u(t

0.63 u00.6

0.63 u0Td0.4

d

0.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

27

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Vreme t [s] 27Vreme, t [s]

Dominantni konjugovano-kompleksni polovi1.6 T T

ymax

T10 T90

1.4ymax

1.2

1

t) T0.8t),

y(t Tr

u(t

T0.60.5 u0

Tk

0.40

T0.2 Tu

0 1 2 3 4 50

0 1 2 3 4 5

Vreme t [s] 28Vreme, t [s] 28

Dominantni konjugovano-kompleksni polovi1.6 t t

1 4ymax

t t τ1.4 max

1.2 π11

(t)

0.8

(t), y

(

0 6

u(

0.6

0.4

0 20.2

0 2 4 6 8 10 120

0 2 4 6 8 10 12

Vreme t [s] 29Vreme, t [s] 29

Dominantni realni polovi (dva realna pola)1p p

1 2 1( )

1 1wp pF p

p p p p T p T p

1 2 1 21 1p p p p T p T p

0( ) ( ) ( ) uu t u h t U p1 1T T 00( ) ( ) ( )u t u h t U p

p 1 2

1 2

T Tp p

p

( ) ( ) ( )Y U F

1 2p p

( ) ( ) ( )wY p U p F p y(t)u(t)

F (p)U(p) Y(p)

Fw(p) 1( ) £ ( ) ( )wy t U p F p ( ) ( ) ( )wy p p

p p 2 11 2

0 1 p t p tp pu e ep p p p

1 2 1 2p p p p

1 2/ /1 21 t T t TT Tu e e

300

1 2 1 2

1u e eT T T T

30

Dominantni realni polovi (dva realna pola)p ( p )Korišćene oznake:Korišćene oznake:

T – vreme smirivanjaTs vreme smirivanjaT – vreme kašnjenjaTk – vreme kašnjenjaT vreme usponaTu – vreme uspona

d i t k k t tTd – dominantna vremenska konstanta

fNe mogu se definisati:ωn – prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenja

k k [%]π – preskok [%]i d il ijτ – period oscilacija

T vreme reagovanja31

Tr – vreme reagovanja31

D i t i l i l i (d l l )Dominantni realni polovi (dva realna pola)1.6 T TTd Ts

1.4

1.2

±5%1

t)

%(±2%)T

0.8t), y

(t ( )Ts

u(t

0.63 u00.6

0.63 u0Td0.4

d

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

32

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vreme t [s] 32Vreme, t [s]

D i t i l i l i (d l l )Dominantni realni polovi (dva realna pola)1.6 T10 T90

1 4

10 90

1.4

1.2

11

y(t)

0.8

(t), y

0 6

u

Tk0.60.5 u0

Tk

0.4

0.2 T0.2 Tu

0 1 2 3 4 50

33Vreme, t [s] 33[ ]

Matlab/Simulnik modelMatlab/Simulnik model

34

2 1,558262,2 2.2 4 1 10,641472

34