Kvantitativne Metode u EiM

Naziv djela: KVANTITATIVNE METODE U EKONOMIJI I MENADŽMENTU

Autori:

Prof. dr Rabija Somun-Kapetanović Mr Almira Arnaut-Berilo

Ensar Šehić Elma Kahvić-Begić

Izdavač:

Ekonomski fakultet u Sarajevu

Glavni i odgovorni urednik: Dekan, prof. dr Veljko Trivun

Recenzenti:

Prof. dr Ksenija Dumičić, redovni profesor Ekonomskog fakulteta u Zagrebu Emir Veledar, PhD Assistant Professor, Emory University, Atlanta, USA

DTP:

Mešanović Engin

Lektor: Softić dr Aiša

Štampa:

VMG Grafika, Mostar

Tiraž:500

Godina izdanja: 2009.

CIP – Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo Somun-Kapetanović, Rabija...(et al.) Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu Rabija Somun-Kapetanović... (et al.) - Sarajevo: Ekonomski fakultet, 2009. – ISBN COBISS.BH-ID

KVANTITATIVNE METODE U EKONOMIJI I MENADŽMENTU

Prof. dr Rabija Somun-Kapetanović Mr Almira Arnaut-Berilo

Ensar Šehić Elma Kahvić-Begić

SARAJEVO, 2009.

5

Predgovor Kvantitativne metode u ekonomiji su uvijek imale veliki značaj, a sa razvojem ekonomskih istraživanja, baziranim na empirijskim podacima, i razvojem informacionih tehnologija njihova uloga je postala nezaobilazna. Primjena kvantitativnih metoda u ekonomiji ima niz prednosti koje doprinose kvalitetu ekonomskih istraživanja. Pretpostavke istraživanja treba da budu precizno, jasno i eksplicitno definisane kako bi se mogle izraziti odgovarajućim matematičkim i statističkim instrumentarijem. Kvantitativni pristup istraživanju olakšava analizu dobijenih rezultata i formulisanje prijedloga za donošenje odluka. Na taj način, primjenom kvantitativnih metoda i odgovarajućih algoritama, mogu se efikasnije i precizni-je izučavati složene ekonomske pojave i procesi te njihove međuzavisnosti. Uvođenjem metoda matematičke analize u ekonomiju ekonomska nauka je u svojim savremenim obli-cima postala kvantitativna nauka. Ovaj udžbenik ima za cilj da obradi i predstavi odabrane kvantitativne metode. Sadržaj je koncipiran prema nastavnom programu predmeta Kvantitativne metode u ekonomiji i me-nadžmentu koji se izučava na drugoj godini Ekonomskog fakulteta u Sarajevu. To je uslovilo izbor metoda koje će se obrađivati. Udžbenik je sastavljen iz četiri poglavlja sa sljedećim naslovima: 1. Osnovne ekonometrijske funkcije, 2. Tehnike mrežnog planiranja, 3. Input-output analiza i 4. Linearno programiranje. Svako poglavlje koncepcijski predstavljaju jednu oblast, odnosno grupu metoda koje pripa-daju toj oblasti, a koje se koriste u izučavanju ekonomskih fenomena. U svim poglavljima je primijenjen jedinstven metodološki pristup s ciljem da se na jasan i za korisnike razum-ljiv način obradi prezentovani sadržaj. U udžbeniku je sadržaj obrađen sa ekonomsko-teorijskog i kvantitativnog aspekta formali-zacijom obrađenih ekonomskih kategorija matematičkim instrumentarijem. Teorijske analize i matematičke formulacije potom su primijenjene na odabranim numeričkim primje-rima koji su kompletno riješeni. Na taj način je omogućena direktna veza između teorijskih izlaganja i formalizacija i aplikacije stečenih znanja na primjerima. U primjerima se, pored aplikacije metoda, te istraživanja međuzavisnosti analiziranih pojava i relacija, insistira i na interpretaciji dobijenih rezultata kao bazi za donošenje odgovarajućih odluka. Za neke primjere aplikacija je ilustrovana i u MS Excelu. Poslije teorijske i aplikativne obrade predstavljene materije, pripremljena su teorijska pitanja za ponavljanje, a zatim i zadaci za vježbu sa kratkim rješenjima. Nadamo se da će specifičnost i originalnost ovog metodološkog pristupa obradi i prezento-vanju tematskih jedinica budućim korisnicima omogućiti savladavanje i primjenu metoda obrađenih u udžbeniku.

6

Udžbenik je namijenjen studentima dodiplomskog studija ekonomskih fakulteta, ali i osta-lim zainteresovanim studentima i ekonomistima koji primjenjuju kvantitativne metode u svom radu. Iskrenu zahvalnost izražavamo dr Želimiru Vučkoviću, profesoru emeritusu Univerziteta u Sarajevu, za zajednički rad na predmetu Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu i njegov doprinos razvoju ovog predmeta. Znanja koja smo sticali tokom dugogodišnje sara-dnje sa profesorom Vučkovićem čine osnovu ovog udžbenika koji je nastao kao rezultat nastavnog, istraživačkog i pedagoškog iskustva autora iz oblasti kvantitativne ekonomije. Udžbenik Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu je rezultat kontinuiranog rada na poboljšanju i unapređenju nastavnog sadržaja predmeta za koji je napisan. Posebnu zahvalnost izražavamo recenzentima prof. dr Kseniji Dumičić, redovnom profesoru Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, i Emiru Veledaru, PhD Assistant Professor, Emory University, Atlanta, USA. Njihove primjedbe i prijedlozi su nam bili vrlo korisni i značajno doprinijeli poboljšanju teksta. Autori ostaju odgovorni za eventualne greške i propuste nastale u tekstu. Zahvaljujemo i našoj kolegici Merimi Balavac, asistentici, koja je pažljivo pročitala rukopis i učestvovala u tehničkim korekcijama. Svima koji su doprinijeli da ova knjiga bude napisana i objavljena iskreno zahvaljujemo. Sarajevo, oktobra 2009. godine

Autori

7

Sadržaj

1. EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

1.1. UVOD .........................................................................................................................13

1.2. UKUPNA, GRANIČNA I PROSJEČNA FUNKCIJA I NJIHOVI ODNOSI .................................................................................................14 1.2.1. Osnovna ukupna funkcija ................................................................................14 1.2.2. Granična funkcija ............................................................................................15 1.2.3. Prosječna funkcija ...........................................................................................17 1.2.4. Analiza odnosa ukupne, granične i prosječne funkcije ...................................19

1.3. ELASTIČNOST.........................................................................................................35 1.3.1. Apsolutne promjene ........................................................................................35 1.3.2. Relativne promjene..........................................................................................36 1.3.3. Koeficijenti elastičnosti – kvantitativni izraz međuzavisnosti

između ekonomskih pojava .............................................................................38 1.3.4. Osobine elastičnosti.........................................................................................42 1.3.5. Koeficijent parcijalne elastičnosti ...................................................................44

1.4. OCJENA EKONOMSKIH FUNKCIJA METODAMA REGRESIONE ANALIZE .......................................................................................45 1.4.1. Kriterij izbora regresione prave i metod najmanjih kvadrata..........................45 1.4.2. Pretpostavke o osobinama stohastičnosti modela ...........................................48

1.5. FUNKCIJA TRAŽNJE .............................................................................................56 1.5.1. Agregatna funkcija tražnje ..............................................................................56 1.5.2. Individualna funkcija tražnje...........................................................................59 1.5.3. Analitički oblici funkcije tražnje.....................................................................62 1.5.4. Koeficijenti elastičnosti tražnje .......................................................................62

1.6. FUNKCIJA PRIHODA.............................................................................................80 1.6.1. Funkcija prihoda za konstantnu (determinisanu) cijenu..................................80 1.6.2. Elastičnost prihoda kod konstantne cijene ......................................................82 1.6.3. Agregatni prihod..............................................................................................83 1.6.4. Veza između graničnog prihoda i elastičnosti tražnje.....................................88 1.6.5. Elastičnost prihoda ..........................................................................................89

8

1.7. FUNKCIJA TROŠKOVA.......................................................................................102 1.7.1. Ukupni troškovi ............................................................................................102 1.7.2. Granični troškovi ..........................................................................................103 1.7.3. Prosječni troškovi ..........................................................................................103 1.7.4. Elastičnost troškova.......................................................................................107 1.7.5. Funkcija agregatnih troškova ........................................................................109

1.8. FUNKCIJA DOBITI ...............................................................................................124 1.8.1. Funkcija dobiti kod determinisane cijene......................................................125 1.8.2. Funkcija agregatne dobiti u odnosu na količinu ...........................................130 1.8.3. Funkcija agregatne dobiti u odnosu na cijenu ..............................................135

1.9. FUNKCIJA PONUDE.............................................................................................146 1.9.1. Funkcija agregatne (tržišne) ponude .............................................................146 1.9.2. Funkcija individualne ponude .......................................................................148 1.9.3. Određivanje individualne funkcije ponude iz funkcije troškova...................151 1.9.4. Tržišna ravnoteža (ekvilibrij) ........................................................................154

1.10. FUNKCIJE PROIZVODNJE .................................................................................170 1.10.1. Osobine funkcija proizvodnje .......................................................................171 1.10.2. Granična funkcija proizvodnje ......................................................................173 1.10.3. Prosječna funkcija proizvodnje .....................................................................174 1.10.4. Vertikalni i horizontalni presjeci proizvodne površine .................................175 1.10.5. Granična stopa supstitucije faktora proizvodnje ...........................................178 1.10.6. Elastičnost funkcije proizvodnje ...................................................................180 1.10.7. Prava troškova proizvodnje – izocost prava..................................................181 1.10.8. Optimalna kombinacija faktora proizvodnje.................................................182 1.10.9. Oblici funkcija proizvodnje...........................................................................185

1.11. PITANJA ZA PONAVLJANJE .............................................................................196 1.12. ZADACI ZA VJEŽBU ............................................................................................204 1.13. RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU................................................................211 LITERATURA.........................................................................................................229

2. TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

2.1. UVOD .......................................................................................................................233

2.2. OSNOVNI POJMOVI U MREŽNOM PLANIRANJU .......................................234 2.2.1. Projekt ...........................................................................................................234

9

2.2.2. Aktivnost .......................................................................................................234 2.2.3. Događaj .........................................................................................................236 2.2.4. Matrica međuzavisnosti.................................................................................237 2.2.5. Mrežni dijagram ............................................................................................237

2.3. PRIMJENA TEHNIKA MREŽNOG PLANIRANJA .........................................239

2.4. ANALIZA STRUKTURE .......................................................................................241

2.5. ANALIZA VREMENA ...........................................................................................250 2.5.1. Metoda kritičnog puta (CPM)..........................................................................250

2.5.1.1. Određivanje najranijeg početka i najranijeg završetka aktivnosti .........................................................................................251 2.5.1.2. Određivanje najkasnijeg početka i najkasnijeg završetka aktivnosti .........................................................................................252

2.5.2. Vremenske rezerve ..........................................................................................253 2.5.3. PERT-TIME metoda........................................................................................261

2.6. ANALIZA TROŠKOVA .........................................................................................270 2.6.1. PERT-COST metoda .......................................................................................270

2.7. PITANJA ZA PONAVLJANJE .............................................................................280 2.8. ZADACI ZA VJEŽBU ............................................................................................284 2.9. RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU................................................................291 2.10. ANALIZA SLUČAJA PRIMJENOM MS PROJECT-a......................................310 LITERATURA.........................................................................................................326

3. INPUT-OUTPUT ANALIZA

3.1. UVOD .......................................................................................................................329 3.1.1. Input-output analiza i proizvodni sistem.......................................................332

3.2. KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA ......................................................334 3.2.1. Formiranje količinske input-output tabele ....................................................335 3.2.2. Koeficijenti količinskih input-output odnosa ................................................339 3.2.3. Analiza proizvodnog sistema ........................................................................344

3.3. VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA ...................................................369 3.3.1. Formiranje vrijednosne input-output tabele ..................................................370 3.3.2. Strukture vrijednosti u transakcionoj input-output tabeli..............................374 3.3.3. Koeficijenti vrijednosnih input-output odnosa..............................................377

10

3.3.4. Analiza proizvodnog sistema u vrijednosnoj strukturi..................................384 3.3.5. Analiza cijena u proizvodnom sistemu i uticaja njihove promjene...............388


4. LINEARNO PROGRAMIRANJE

4.1. UVOD .......................................................................................................................153

4.2. MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA .....................................................456 4.2.1. Opšti polazni primalni model LP-a ...............................................................458 4.2.2. Standardni (opšti) model LP-a ......................................................................466

4.3. BAZNE TEOREME LINEARNOG PROGRAMIRANJA .................................472

4.4. TEORIJA DUALNOSTI U LINEARNOM PROGRAMIRANJU .....................478 4.4.1. Osnovne karakteristike ..................................................................................478 4.4.2. Formulisanje dualnog modela .......................................................................479 4.4.3. Teoreme dualnosti .........................................................................................482 4.4.4. Ekonomsko tumačenje optimalnih vrijednosti dualnih varijabli...................486

4.5. METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA ...............................................................................................489 4.5.1. Grafička metoda ............................................................................................489 4.5.2. Simplex metoda.............................................................................................528

4.6. SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA......559 4.6.1. Transportni problem......................................................................................559 4.6.2. Asignacija......................................................................................................592


Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu Ekonometrijske funkcije Uvod Ukupna, granična i prosječna funkcija i njihovi odnosi Elastičnost Ocjena ekonomskih funkcija metodama regresione analize Funkcija tražnje Funkcija prihoda Funkcija troškova Funkcija dobiti Funkcija ponude Funkcije proizvodnje Pitanja za ponavljanje Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Literatura

1.

1.1. 1.2.

1.3. 1.4. 1.5.

1.6. 1.7. 1.8. 1.9.

1.10. 1.11. 1.12. 1.13.

13

1.1. Uvod

U prvom poglavlju knjige Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu su obrađene i prezentovane osnovne ekonometrijske funkcije. U samom naslovu ovog poglavlja termin „ekonometrijske“ ukazuje da će osnovne ekonomske funkcije biti obrađene i analizirane sa ekonometrijskog aspekta. Ovaj pristup obradi funkcija podrazumijeva da se u njihovoj ana-lizi i prezentaciji primijenjuju ekonomske, matematičke i statističke tehnike i metode. Pojedinačno posmatrane, navedene discipline nisu dovoljne za analizu i predviđanje kom-pleksnih ekonomskih fenomena na bazi empirijskih podataka.

Ekonometrija se kao posebna naučna disciplina i fundamentalna grana ekonomije pojavila u modernoj formi oko 1930. godine.1 Iskustvo je pokazalo da je potrebna istovremena prim-jena ekonomsko-teorijskog, statističkog i matematičkog pristupa kako bi se istraživale kvantitativne relacije u ekonomiji i menadžmentu. Jedinstvo ova tri pristupa čini sastavne dijelove ekonometrije, stoga ekonometrija predstavlja instrumentarij za mjerenje ekonom-skih fenomena, provjeru valjanosti ekonomske teorije i predviđanje kretanja ekonomskih pojava i procesa.

Pošto se termin „ekonometrija“ sastoji od dvije grčke riječi, ekonomija i mjerenje, često su se kvantitativna istraživanja nazivala ekonometrijskim što nije tačno, jer se na taj način ekonometrija proširuje na sve kvantitativne metode od kojih neke i koristi, ali se od ostalih razlikuje. Mi smo u sljedeća tri poglavlja ove knjige obrađivali i primjenjivali neke od dru-gih kvantitativnih metoda i predstavili njihovu primjenu u ekonomiji i menadžmentu.

U ovom poglavlju smo, primjenjujući ekonometrijski pristup, obradili i analizirali funkcije tražnje, prihoda, troškova, dobiti, ponude i funkciju proizvodnje. Analizi pojedinih funkcija prethodi opšte razmatranje o odnosima ukupne, prosječne i granične veličine. Pored toga, u opštem slučaju je definisana i analizirana elastičnost kao mjera međuzavisnost ekonomskih veličina. Ekonometrijski pristup podrazumijeva i ocjenu parametara analiziranih funkcija. Regresiona analiza pruža odgovarajući instrumentarij za ocjenu parametara modela i mate-matičko izražavanje ekonomskih zavisnosti pojava koje se istražuju. U tom cilju je obrađen metod najmanjih kvadrata i ilustrovana njegova primjena u MS Excelu. Analiza rezultata dobijenih u outputu MS Excela treba biti usmjerena na provjeru zadovoljavanja ekonom-skih, statističkih i ekonometrijskih kriterija2, a zatim na kompletiranje ocijenjenog modela analizirane funkcije.

1 Ove godine su Frich, R., Roos, O., i Ficher, I. osnovali Ekonometrijsko društvo. Prema ignon, V., (2008). 2 Detaljnije u Somun-Kapetanović, R., (2008), str. 111-151.

14

1.2.

Ukupna, granična i prosječna funkcija i njihovi odnosi

Da bi se mogle analizirati ekonomske pojave i procesi neophodno je definisati pojmove osnovne (ukupne), prosječne i granične veličine, odnosno funkcije, i analizirati odnose me-đu njima.

Prisjetimo se definicije funkcije:

Ako imamo dva neprazna skupa D i K među kojima je uspostavljeno pravilo (zakon, relaci-ja) po kojem se svakom x iz D pridružuje tačno jedan ( )y f x= iz K, kažemo da je zadana

funkcija jedne varijable ( ):f D K→ . Funkcija može biti zadata algebarski, tabelarno ili grafički. Prelazak sa jednog oblika zada-ne funkcije na drugi predmet je matematsko statističke analize. 1.2.1. Osnovna (ukupna) funkcija Posmatrajmo dvije mjerljive ekonomske pojave X i Y. Ako je utvrđeno pravilo kojim se svakoj vrijednosti obilježja X pridružuje neka vrijednost obilježja Y, kažemo da je zadana osnovna ekonomska funkcija.

Funkcionalna međuzavisnost obilježja X i Y može biti izražena algebarski, i to eksplicitno i implicitno.

Ako se zavisna varijabla Y posmatra kao funkcija nezavisne varijable X, kažemo da je Y eksplicitno izraženo preko X i pišemo

Y = f(X), odnosno Y = Y(X) ili (1.1) X = g(Y), odnosno X = X(Y)

ako se zavisna varijabla X posmatra kao funkcija nezavisne varijable Y.

Zavisnost se može izraziti i u implicitnom obliku i tada pišemo

F(X, Y)=0 (1.2)

Za konkretne vrijednosti3 X i Y možemo napisati eksplicitan izraz za zavisnost varijable Y od varijable X kao ( )y f x= , ili implicitan izraz F(x, y)=0.

Varijabla X ima svoju jedinicu mjere4 (jm X) i osnovna funkcija Y ima svoju jedinicu (jm Y).

3 Prema konvenciji uobičajenoj u ekonomiji, varijabla, odnosno pojava koja se posmatra, označava se veli-

kim slovom , a konkretne vrijednosti varijable malim slovom. 4 Za jedinicu mjere će se koristiti skraćenica jm.

UKUPNA, GRANIČNA I PROSJEČNA FUNKCIJA I NJIHOVI ODNOSI

15

Ako se zavisna varijabla Y izražava eksplicitno kao funkcija više nezavisnih varijabli pišemo:

Y=F(X1, X2, ..., Xn) (1.3)

Najčešći oblik izražavanja funkcionalne zavisnosti obilježja X i Y je tabelarni prikaz. Kod mjerenja ekonomskih pojava podaci se prikupljaju u tabelu a kasnije se statističkom anali-zom određuje odgovarajući algebarski oblik.

X x1 x2 . . . xn Y y1 y2 . . . yn

Za uočavanje karakterističnih veza među ekonomskim pojavama i detaljniju analizu koris-tićemo grafički prikaz funkcije. Grafički, funkcija jedne varijable predstavlja skup tačaka u ravni, dok funkcija više varijabli (n varijabli) predstavlja skup tačaka u 1n + dimenzional-nom prostoru (hiperpovrš).

1.2.2. Granična funkcija U ispitivanju ekonomskih pojava osim statičke analize - analize trenutnog stanja na tržištu, veoma je važna i dinamička analiza – analiza promjena koje nastaju mijenjanjem nekih uslova na tržištu.

Stepen promjene određene varijable y, koja zavisi samo od x, pri nekoj promjeni varijable x može biti izražen kvalitativno i kvantitativno. Kvalitativno, zanima nas da li sa porastom x dolazi do porasta ili smanjivanja y-a i kvantitativno, zanima nas kolika je ta promjena.

Grafikon 1. Grafička interpretacija pvog izvoda funkcije

x

y

0

β

Δx

f (x0 + Δx)

x0 x0 + Δx

Δx

ΔyΔy f (x0)

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

16

Ukoliko x promijeni svoju vrijednost od 0x do 0x x+ Δ , tada y mijenja svoju vrijednost od

( )0f x do ( )0f x x+ Δ . Stepen promjene y po jedinici promjene x je

( ) ( )0 0f x x f xyx x

+ Δ −Δ=

Δ Δ.

Ako je β ugao označen na slici, vidimo da je ytgx

β Δ=Δ

.

Ako postoji ( )0 000

( ) ( )limx

f x x f x f xxΔ →

+ Δ − ′=Δ

, kažemo da je funkcija diferencijabilna u tač-

ki 0x (odnosno da ima izvod u 0x ). Izvod funkcije u 0x označavamo sa ( )0'f x .

Pišemo još i

0lim 'x

y dy yx dxΔ →

Δ= =

Δ, odnosno, y dy

x dxΔ

≈Δ

za malo xΔ (1.4)

Geometrijski gledajući, prvi izvod funkcije f u tački 0x (dakle, ( )0'f x ) jednak je koefici-

jentu pravca tangente na krivu ( )y f x= u tački ( 0x , f( 0x )).

Prvi izvod nam određuje smjer promjene funkcije. Ako je ( )0' 0f x > , tu je promjena pozi-

tivna (ako x raste onda i y raste), a ako je ( )0' 0f x < , tu je promjena negativna (s rastom x opada y).

Granična ili marginalna ekonomska funkcija se definiše kao prvi izvod ukupne funkcije i izražava se u sljedećem obliku:

' '( ) ( )dYY f X XdX

φ= = = (1.5)

Ova funkcija ima svoju jedinicu mjere i izražava se u jedinicama mjere varijable Y u odno-su na jedinice mjere varijable X ( / )jmY jmX .

Za konkretne vrijednosti varijabli X i Y izraz za graničnu funkciju se može pisati kao prvi izvod ukupne funkcije:

0 0

( ) ( )' '( ) lim limx x

y f x x f x dyy f x tgx x dx

βΔ → Δ →

Δ + Δ −= = = = =

Δ Δ (1.6)

Značenje granične funkcije u ekonomiji proizilazi iz značenja i objašnjenja prvog izvoda funkcije. Granična funkcija pokazuje promjenu zavisne varijable Y uzrokovanu infinitezi-malnom, odnosno beskonačno malom promjenom nezavisne varijable ( 0)X xΔ → . Često se pretpostavlja da je infinitezimalna promjena jedinična zbog jednostavnijeg objašnjenja.


17

Dakle, ako se nezavisna varijabla X promijeni za jednu jednu jedinicu mjere u kojoj je izražena, granična funkcija pokazuje da će se zavisna varijabla promijeniti za y' jedinica mjere u kojima je izražena zavisna varijabla Y. Jednostavnije, može se reći da jedinična promjena varijable X uzrokuje promjenu zavisne varijable Y za y' jedinica.

Granična funkcija funkcije više varijabli određuje se kao parcijalni izvod po svakoj od varijabli, uz pretpostavku da ostale varijable ostaju nepromijenjene:

( )1 2, ,...,, 1,..., .n

i i

F X X XY i nX X

∂∂= =

∂ ∂ (1.7)

Značenje: Ukoliko se nezavisna varijabla Xi poveća za jednu svoju jedinicu mjere, a ostale varijable ostanu nepromijenjene ( )0jX za j iΔ = ≠ , zavisna varijabla Y će se promijeniti

za i

YX∂∂

jedinica mjere. Napomenimo da se i ovdje u tumačenju beskonačno mala promjena

zamjenjuje sa jediničnom promjenom, što znači da će objašnjenje biti preciznije što je jedi-nična promjena manja. U tom slučaju se greška aproksimacije smanjuje.

1.2.3. Prosječna funkcija

Prosječna funkcija (veličina) se dobija kada se ukupna funkcija podijeli sa nezavisnom vari-jablom:

( ) ( )Y f XY f XX X

= = = (1.8)

i izražava se u jedinici mjere Y po jedinici mjere nezavisne varijable koju smo u ovom slu-čaju označili sa X ( / )jmY jmX .

Značenje: Prosječna funkcija pokazuje koliko u prosjeku po svakoj jedinici nezavisne vari-jable X dolazi jedinica zavisne varijable Y = f (X). Za konkretnu vrijednost x varijable X i konkretnu vrijednost y varijable Y, prosječna funkci-ja se može izraziti u sljedećem obliku:

( ) ( )y f xy f xx x

= = = (1.9)

Vrijednost prosječne funkcije se na grafiku može odrediti kao tangens ugla kojeg zaklapa radijus vektor svake tačke na grafiku osnovne funkcije sa pozitivnim dijelom x – ose. Na grafikonu 2 smo pomenuti ugao označili sa α .


18

yy tgx

α= =

Grafikon 2. Grafička interpretacija prosječne funkcije

Ukoliko je radijus vektor istovremeno i tangenta na krivu ( )y f x= , onda prosječna funkci-ja ima ekstrem (maksimum ili minimum).

Grafikon 3. Ekstremne vrijednosti prosječne funkcije

Na grafikonu 3. tačka B određuje minimum prosječne funkcije, a tačka C određuje maksimum prosječne funkcije. Odnosno, prosječna funkcija y će za vrijednost nezavisno promjenjljive xB

imati minimalnu vrijednost, a za vrijednost x = xC imati maksimalnu vrijednost.

Prosječna funkcija (veličina) funkcije više varijabli se određuje kao odnos ukupne funkcije i jedne od varijabli, uz pretpostavku da ostale varijable ostaju nepromijenjene.

1 2( , ,..., ) , 1,..., .i i

nX X

i i

F X X XYY F i nX X

= = = = (1.10)

x

y

0 αB

xB xC

C

B

x

y

0 α

y0

x0

Af (x0) = y0


19

1.2.4. Analiza odnosa ukupne, granične i prosječne funkcije

Granična i prosječna funkcija su jednake (njihovi grafici se sijeku) u vrijednosti nezavisne varijable X u kojoj prosječna funkcija ima stacionarnu tačku (minimum, maksimum ili pre-voj), ili za x = 0 ako je 0 element definicionog područja funkcije. Ova tvrdnja se dokazuje na sljedeći način:

za 0

' '' kada je 0, odnosno za 0 i/ili ' 0

yy xx

y y xy y x y

y y y' x x y

= ∀ ≠

= ⋅= ⋅ +

⇒ = ⋅ = = =

Odredimo odnose između granične i prosječne funkcije za pozitivne vrijednosti nezavisno promjenjljive X. Razlog ovakvog izbora je što su ekonomske pojave koje mjerimo i koje nam najčešće predstavljaju nezavisnu promjenjljivu nenegativne ili pozitivne veličine (koli-čina proizvoda, cijena, utrošak materijala, utrošak vremena, itd.).

2

za 0

0 za '' '' 0 za '

0 za '

yy xx

y yy x y y yy y y

x xy y

= ∀ >

> >⎧⋅ − − ⎪= = = =⎨

⎪< <⎩

(1.11)

Iz izvedenog izraza zaključujemo:

Kada je prvi izvod prosječne funkcije pozitivan, odnosno kad prosječna funkcija raste, gra-nična funkcija je veća od prosječne funkcije ⇒ grafik granične funkcije nalazi se iznad grafika prosječne funkcije.

Kada je pri izvod prosječne funkcije jednak nuli, prosječna funkcija ima ekstremnu vrijed-nost. U ekstremnoj vrijednosti prosječne funkcije granična i prosječna funkcija su jednake ⇒ grafici granične i prosječne funkcije se sijeku za tu vrijednost.

Kada je prvi izvod prosječne funkcije manji od nula, odnosno kad prosječna funkcija opada, granična funkcija je manja od prosječne funkcije ⇒ grafik granične funkcije se nalazi ispod grafika prosječne funkcije.

Na sljedećem grafikonu je predstavljen i detaljno analiziran tok jednog opšteg oblika ukup-ne funkcije. Funkcija ima ekstrem maksimum. Na grafikonu se može posmatrati tok funkcije i uslovi uz koje se postižu rastući i opadajući prinosi, kao i tok funkcije kada ubr-zano opada i usporeno opada. Na grafikonu su označene i prevojne tačke i izrazi za njihovo utvrđivanje.


20

0 Rastući prinos

Funkcija ubrzano raste

y’ > 0

y’’ > 0

Opadajući prinos

Funkcija usporeno raste

y’ > 0

y’’ < 0

Funkcija ubrzano opada

y’ < 0

y’’< 0

Funkcija usporeno opada

y’ < 0

y’’ > 0

Tačka prevojay’ > 0y’’ = 0

Tačka ekstrema

Maksimumy’ = 0y’’ < 0

Tačka prevojay’ < 0y’’ = 0

Grafikon 4. Tok ukupne funkcije

Sa grafika ukupne funkcije možemo nacrtati grafik prosječne i granične funkcije, pri tome vodeći računa da:

Kad ukupna funkcija raste, granična funkcija je veća od prosječne i obratno, kad uku-pna funkcija opada, granična funkcija je manja od prosječne.

Kad ukupna funkcija ubrzano raste ⇒ granična funkcija je pozitivna i raste, a kad ukupna funkcija usporeno raste ⇒ granična funkcija je pozitivna i opada.

Kad ukupna funkcija ubrzano opada ⇒ granična funkcija je negativna i opada, a kad ukupna funkcija usporeno opada ⇒ granična funkcija je negativna i raste.

Prosječna funkcija ( )y f xy tgx x

β= = = predstavlja tangens ugla kojeg zaklapa prava, po-

vučena iz koordinatnog početka sa svakom tačkom na krivoj, i pozitivnim dijelom X ose. Odavde zaključujemo da prosječna funkcija ima vrijednost 0 u istoj tački u kojoj nulu ima i


21

osnovna funkcija, a ekstremne vrijednosti ćemo dobiti u tačkama u kojima prava tangira grafik funkcije.

Na grafikonu 5. su prikazani grafici ukupne, granične i prosječne funkcije.

Posmatrajući uporedo ove tri funkcije mogu se analizirati sljedeći odnosi:

Ukupna funkcija postiže ekstremnu vrijednost kada je granična funkcija jednaka 0, odnosno ukupna funkcija ima ekstremnu vrijednost u tački u kojoj je njen prvi izvod jednak 0. Na grafiku je to tačka C.

U intervalu ubrzanog rasta funkcije ( ' 0, '' 0)y y> > , odnosno od tačke 0 do tačke A, granična funkcija raste, ima pozitivnu vrijednost i veća je od prosječne.

U intervalu usporenog rasta funkcije ( ' 0, '' 0)y y< > , odnosno od tačke A do tačke B, granična funkcija opada, ima pozitivnu vrijednost i veća je od prosječne.

0 A

0 A

B

B C

C

D

D

Prosječna funkcija

Granična funkcija

Maksimum granične funkcije

Maksimum granične funkcije

Mak

sim

um

pros

ječn

e fu

nkci

je

Mak

sim

um

pros

ječn

e fu

nkci

je

Maksim

um

osnovne funkcije

Maksim

um

osnovne funkcije

Minimum granične funkcije

Grafikon 5. Odnosi ukupne, granične i prosječne funkcije


22

U tački B, prosječna funkcija ima maksimum i grafici granične i prosječne funkcije se sijeku.

U intervalu usporenog rasta funkcije ( ' 0, '' 0)y y< > , odnosno od tačke B do tačke C, granična funkcija opada, ima pozitivnu vrijednost i manja je od prosječne.

U intervalu ubrzanog pada funkcije ( ' 0, '' 0)y y< < , odnosno od tačke C do tačke D, granična funkcija opada, ima negativnu vrijednost i manja je od prosječne.

U intervalu usporenog pada funkcije ( ' 0, '' 0)y y< > , odnosno od tačke D do tačke E, granična funkcija raste, ima negativnu vrijednost i manja je od prosječne.

Dodavanje fiksne vrijednosti ukupnoj funkciji ne utiče na graničnu funkciju. Ukupna veli-čina je izražena u jedinicama zavisne varijable Y, prosječna i granična veličina su izražene

u sljedećoj mjernoj jedinici: jedinica mjere jedinica mjere X

Y .

Grafikon 6. Ukupna, granična i prosječna funkcija

0 x

y

A

f(x)

C

xA xC

f’(x)

y F

••

0 x

y’ ,

A’’

f(x)x

C’

xA xC

xy


23

Na grafikonu 6. također se mogu posmatrati i analizirati odnosi ukupne, prosječne i granič-ne funkcije. Ovo je slučaj kad je ukupna funkcija rastuća i kada prosječna funkcija ima minimum.

Na grafikonu su označene dvije karakterisične tačke xA i xC. U tački xA ukupna funkcija ima prevoj, a granična funkcija dostiže minimum. Do ove tačke granična funkcija f ′ opada a osnovna funkcija ( )xf ima usporen rast, a nakon ove tačke funkcija f ′ raste a osnovna funkcija ( )xf ima ubrzan rast. U tački xC prosječna funkcija ima ekstrem, i to minimum. U ovoj tački granična funkcija siječe prosječnu i ove dvije funkcije su jednake. Do tačke xC prosječna funkcija opada i granična funkcija je manja od prosječne. Grafikon prosječne funkcije se nalazi iznad grafikona granične funkcije. Poslije tačke xC prosječna funkcija raste i manja je od granične funkcije. Grafik granične funkcije se nalazi iznad grafika pros-ječne funkcije.

Primjer 1.1. Kroz ovaj primjer ćemo se prisjetiti nekih elementarnih funkcija i ponoviti njihove osobine.

Linearna funkcija u implicitnom obliku je data sa:

ax+by+c=0 (a,b,c∈R),

a u eksplicitnom obliku sa:

y=kx+n (k,n∈R; k = -a/b)

Grafik linearne funkcije je prava.

Grafikon 1.1. Oblici linearne funkcije

x

y

0

k > 0

k < 0

k = 0

k = -a/b

k < 0 funkcija opada,

k = 0 funkcija je konstantna,

k > 0 f unkcija je rastuća.


24

Kvadratna funkcija ( )y f x= je funkcija oblika:

2 ; , , Ry ax bx c a b c= + + ∈ .

Grafik kvadratne funkcije je parabola.

Grafikon 1.1.a. Oblici kvadratne funkcije

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika

y = ax (a ∈ R+\{1})

Kako je 0xy a= ≥ , to je grafik osnovne eksponencijalne funkcije uvijek iznad x ose.

Grafikon 1.1.b. Oblici eksponencijalne funkcije

0 < a < 1

x

y

0

Za 0 < a < 1 funkcija je opadajuća

(usporavajući negativan prinos).

Za a > 1 funkcija je rastuća

(ubrzavajući pozitivan prinos).

a < 0 D > 0

a > 0 D > 0

a > 0 D < 0 a > 0

D = 0

a < 0 D = 0 a < 0

D < 0

x

y

1

2

3

4

5 6

Diskriminanta acbD 42 −=

Za 0>D imamo dvije realne nule parabole 1 i 6.

Za 0=D imamo jednu realnu nulu parabole 3 i 4.

Za 0<D nemamo realnih nula parabole 2 i 5.

a > 1


25

Logaritamska funkcija je funkcija oblika:

y = logax (a∈R+\{1})

Logaritamska funkcija je inverzna eksponencijalnoj funkciji pa je definisana samo za pozitivne vrijednosti x, te se grafik osnovne logaritamske funkcije nalazi u I i IV kva-drantu.

Grafikon 1.1.c. Oblici logaritamske funkcije

Primjer 1.2.

Ispitati i na istom grafiku nacrtati funkcije: 2 5y x= − + i 2 5x y= − , a zatim odrediti koordinate presječne tačke.

Rješenje:

Odsječci sa osama: Za 2 5y x= − + imamo: 0 5

502

x y

y x

= ⇒ =⎧⎪⎨

= ⇒ =⎪⎩

;

Za 2 5x y= − imamo: 502

0 5

x y

y x

⎧ = ⇒ =⎪⎨⎪ = ⇒ = −⎩

Presječna tačka: ( )1, 3 1; 3x y M= = ⇒

Varijabla y eksplicitno izražena preko x : 52 52

xx y y += − ⇒ =

0 < a < 1

a > 1

Za 0 < a < 1 funkcija je opadajuća

(usporavajući negativan prinos)

Za a > 1 funkcija je rastuća

(usporavajući pozitivan prinos)

x

y

0


26

Grafikon 1.2. Funkcije y i x

Primjer 1.3.

Na istom grafiku prikazati funkcije: 2 2 21500; 200 4 ; 5 200 1500C q P q q D q q= + = − = − + −

Odrediti njihove zajedničke tačke, intervale u kojima su funkcije pozitivne, maksi-malne vrijednosti.

Rješenje: Odredimo karakteristične tačke svake od posmatranih kvadratnih funkcija:

Funkcija 2 1500C q= + je parna funkcija sa minimumom. Nule: 20 1500C q= ⇒ = − ⇒ nema nula

Minimum: ( )

0 2 0 00 1500

C q qC′ = ⇒ = ⇒ = ⇒⎧⎪

⎨ =⎪⎩

Funkcija 2200 4P q q= − je funkcija sa maksimumom. Nule: ( )2

1 20 200 4 0 4 50 0 0; 50;P q q q q q q= ⇔ − = ⇔ ⋅ − = ⇒ = =

Maksimum: ( )

0 200 8 0 2525 2500

P q qP′ = ⇒ − = ⇒ =⎧⎪

⎨ =⎪⎩

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x

y

x = 2y-5

y = -2x+5


27

Funkcija 25 200 1500D q q= − + − je funkcija sa maksimumom Nule: 2

1 20 5 200 1500 0 10; 30D q q q q= ⇒ − + − = ⇒ = =

Maksimum: ( )

0 10 200 0 2020 500

D q qD′ = ⇒ − + = ⇒ =⎧⎪

⎨ =⎪⎩

Presjeci C i P : 1 210; 30C P q q= ⇒ = = Na sljedećem grafikonu su predstavljeni grafici funkcija:

2 2 21500; 200 4 ; 5 200 1500C q P q q D q q= + = − = − + −

Grafikon 1.3. Funkcije C, P i D

Primjer 1.4.

Na grafiku funkcije ( )y f x= označiti:

y

0 x

f(x)

D

P

C

-7500

-5500

-3500

-1500

500

2500

4500

6500

0 10 20 30 40 50 60 70

q


28

a) nule funkcije i vrijednost funkcije za 0x = ; b) intervale rasta i pada funkcije; c) in-tervale ubrzavajućeg i usporavajućeg rasta i pada; d) minimuma/maksimuma prosječne funkcije; e) minimuma/maksimuma granične funkcije, a zatim na osnovu datog grafika skicirati njegovu graničnu i prosječnu funkciju

Rješenje:

Grafikon 1.4. Karakteristične vrijednosti funkcije

a) Nula funkcije ( )y f x= je tačka u kojoj grafik funkcije ( )y f x= siječe x - osu. Na grafiku 1.4. ova tačka je označena sa 0x . Vrijednost funkcije za 0x = je tačka u kojoj grafik funkcije ( )y f x= siječe y - osu. Na grafikonu 1.4. ova tačka je označena sa 0y .

b) Tok funkcije zavisi od njenog prvog izvoda. Sa grafika se vidi da funkcija raste pa opada i onda ponovo raste.

Ako maksimum funkcije ( )y f x= označimo sa 1x ( )( )1 0f x′ = , a minimum sa

2x ( )( )2 0f x′ = onda njen tok možemo zapisati na sljedeći način:

Za ( ) ( )1 2, ,x x x∈ −∞ ∪ +∞ funkcija raste, odnosno je ( ) 0f x′ >

Za ( )1 2,x x x∈ funkcija opada, odnosno je ( ) 0f x′ <

c) Brizna rasta, odnosno pada funkcije zavisi od njenog drugog izvoda. Ako tačku prevoja označimo sa 3x ( )( )3 0f x′′ = , onda dobijamo:

y0

x0 x4 x1 x3 x2 x50

y

f(x)

•

•

x


29

Za ( )1,x x∈ −∞ vrijedi: ( ) 0f x′ > i ( ) 0f x′′ < ⇒ usporavajući pozitivan prinos (opadajući prinos)

Za ( )1 3,x x x∈ vrijedi: ( ) 0f x′ ⇒ usporavajući negativan prinos

Za ( )2 ,x x∈ +∞ vrijedi: ( ) 0f x′ > i ( ) 0f x′′ > ⇒ ubrzavajući pozitivan prinos

d) Maksimum/minimum prosječne funkcije ( )f xyx

= se može odrediti tako što se

odredi najveći/najmanji koeficijent pravca prave ( ( )tanf x

xφ = ) koja spaja koor-

dinatni početak sa tačkama na krivoj ( )y f x= . Najveći/najmanji koeficijent pravca će imati tangente povučene iz koordinatnog početka na funkciju

( )y f x= .

Na grafikonu su to tačke 4 5( ) ( )max minf x f xx za y i x za yx x

= =

e) Granična funkcija ( )y f x′ ′= ima ekstrem u tački prevoja 3x ( )( )3 0f x′′ = .

Kako je ( ) 0f x′′ < za ( )3,x x∈ −∞ (što znači da ( )y f x′ ′= opada) i ( ) 0f x′′ >

za ( )3,x x∈ +∞ (što znači da ( )y f x′ ′= raste), tačka 3x predstavlja minimum

funkcije ( )y f x′ ′= .

Grafikon 1.4.a. Prosječna i granična funkcija

0 x0 x4 x1 x3 x2 x5 x

y' y f'(x)

•

y

• ••

•


30

Napomena: Grafovi granične i prosječne funkcije se sijeku u onoj vrijednosti nezavi-sno promjenjljive x u kojoj prosječna funkcija ima stacionarnu tačku (minimum, maksimum ili prevoj), ili za x = 0 ako je 0 element definicionog područja funkcije.

Primjer 1.5.

Data je funkcija 0,210 xy e= ⋅

a) Nacrtati grafik funkcije, b) Odrediti njenu graničnu i prosječnu funkciju i prikazati ih u istom koordinatnom

sistemu. Rješenje: a)

Grafikon 1.5. Grafik funkcije 0,210 xy e= ⋅

b) Granična vrijednost funkcije: 0,25 xy e′ = ⋅ i prosječna vrijednost funkcije: 0,210 xey

x⋅

=

0

10

20

30

40

50

60

70

-10 -5 0 5 10 15

y (x )

x


31

Grafikon 1.5.a. Prosječna i granična funkcija

Primjer 1.6.

Nacrtati grafik funkcije ( ) 2 332 12V y y y y= − + , a zatim grafike granične V’(y) i

prosječne funkcije ( )V y .

Rješenje:

Kubna funkcija ( ) 2 332 12V y y y y= − + ima tri nule: 1 2 30; 4; 8y y y= = = , dvije ek-

stremne tačke Max (1.63; 24.63) i Min (6.3; -24.63) i jednu prevojnu tačku ( )4,0 . Kreće iz -∞ a završava u +∞.

Grafikon 1.6. Grafik funkcije ( ) 2 332 12V y y y y= − +

0 1,63 4 6,3 8 x

400

24,63

-24,63

-400

V

-10 -2 0 5 12 5 x

50

10

-50


32

Prosječna i granična funkcija su parabole i njihove karakteristične tačke su minimum i nule:

23 24 32V y y′ = − + ima minimum u (4, -16) i nule u 1 21,69; 6,31;y y= = 2 12 32V y y= − + ima minimum u (6, -4) i nule u 1 24; 8;y y= =

Istaknimo da se ove dvije funkcije sijeku u minimumu prosječne funkcije i u tački y = 0.

Grafikon 1.6.a. Grafik funkcije ;V V′

Primjer 1.7.

Prikazati u nenegativnom koordinatnom sistemu 0xyz površ yxyxz

+⋅

= . Odrediti “ver-

tikalni presjek po x” i “vertikalni presjek po y”, odnosno odrediti nivovske linije funkcije z - za x =2, x = 3, x = 4

- za y =2, y = 3, y = 4

Rješenje:

Grafički prikaz površi yxyxz

+⋅

= u I oktantu prostora 0xyz je dat na grafikonu 1.7.

0 1,63 4 6, 6,3 8 12 x

30

20

10

-16

-20


33

Grafikon 1.7. Grafik funkcije , 0, 0xyz x yx y

= ≥ ≥+

Vertikalne presjeke po x, dobijamo kao presjek površi ( )yxFz ,= i ravni x = const. Konkretno uzimajući da je x = 2, x = 3, x =4 dobijamo sljedeće nivovske linije:

;44;

33;

22

yyz

yyz

yyz

+⋅

=+⋅

=+⋅

=

Analogno, dobijamo vertikalne presjeke po y:

;44;

33;

22

xxz

xxz

xxz

+⋅

=+⋅

=+⋅

=

i grafički prikaz vertikalnih presjeka je dat na grafikonu 1.7.a.

Grafikon 1.7.a. Vertikalni presjeci po x, i vertikalni presjeci po y

x = 2 x = 3 x = 4

y = 2 y = 3 y = 4


34

Primjer 1.8.

Odrediti i grafički prikazati “horizontalne presjeke po z” površi yxyxz

+⋅

= za 2=z ,

3=z , 4=z .

Rješenje Horizontalne presjeke dobijamo kao presjek površi ( )yxFz ,= i ravni z = const.

Grafik 1.8. Horizontalni presjeci po z: Presjeci ravni z = ai sa datom površi

Konkretno uzimajući da je z = 2, z = 3, z =4 dobijamo horizontalne presjeke po z:

;4

4;3

3;2

2−⋅

=−⋅

=−⋅

=x

xzx

xzx

xy i njihovi grafici su dati na grafikonu 1.8.a.

Grafikon 1.8.a. Horizontalni presjeci po z

ELASTIČNOST

35

1.3. Elastičnost Elastičnost u ekonomiji se mjeri koeficijentom elastičnosti koji se naziva i koeficijent osjet-ljivosti i predstavlja kvantitativni izraz međuzavisnosti između ekonomskih pojava. Jedan od osnovnih zadataka u ekonomiji je predviđanje. Predviđanje kretanja neke ekonomske varijable na osnovu kretanja neke druge ekonomske varijable sa kojom je ona međuzavisna moguće je samo na osnovu kvantitativno izražene međuzavisnosti između tih varijabli.

U funkciji analize elastičnosti potrebno je definisati apsolutne i relativne promjene.

1.3.1. Apsolutne promjene U opštem slučaju definišu se dvije ekonomske varijable X i Y. Pretpostavlja se da varijabla Y zavisi od varijable X. U tom slučaju, varijabla Y je zavisna ili endogena varijabla, a vari-jabla X nezavisna ili egzogena varijabla. Matematski, ovaj funkcionalni odnos se može zapisati u obliku sljedećeg izraza:

( )Y f X= (1.12)

Pretpostavlja se da promjena varijable X utiče na promjenu varijable Y. Taj uticaj je jači ukoliko je varijabla Y osjetljivija na promjene varijable X. Zbog toga je potrebno kvantifici-rati tu osjetljivost, odnosno odrediti kvantitativni izraz međuzavisnosti ekonomskih varijabli Y i X. Polazi se od pretpostavke da promjena varijable X za ΔX uslovljava prom-jenu varijable Y za ΔY. Kada se podijele apsolutne promjene varijable Y i varijable X dobija se izraz za prosječnu apsolutnu promjenu:

YX

ΔΔ

(1.13)

Apsolutna vrijednost izraza (1.13) pokazuje osjetljivost promjene varijable Y na promjenu varijable X. U zavisnosti od vrijednosti ovog izraza mogu se analizirati sljedeći slučajevi:

1 XYΔ

>Δ

. U ovom slučaju promjena varijable Y je veća od promjene varijable X. To znači

da varijabla Y relativno jako reaguje na promjenu varijable X, odnosno varijabla Y je osjet-ljiva na promjenu varijable X.

1 XYΔ

<Δ

. Promjena varijable Y je manja od promjene varijable X. Varijabla Y je manje os-

jetljiva na promjene varijable X, odnosno slabo reaguje na promjene varijable X.


36

Ako se uvede pojednostavljena pretpostavka da je promjena varijable X jedinična, odnosno

da je ΔX=1, tada izraz YX

ΔΔ

pokazuje za koliko će se promijeniti varijabla Y ako se varijabla

X promijeni za jednu jedinicu. To znači da izraz YX

ΔΔ

mjeri osjetljivost promjene varijable Y

na jediničnu promjenu varijable X.

Ukoliko se pretpostavi da su promjene varijable X beskonačno male, to jeste da 0XΔ → , što se pretpostavlja uvijek kada je međuzavisnost varijabli data neprekidnom funkcijom, tada se izraz (1.13) može zapisati u sljedećem obliku:

0limX

Y dYX dXΔ →

Δ=

Δ (1.14)

Izraz (1.14) pokazuje za koliko jedinica će se promijeniti varijabla Y ako se varijabla X promijeni za jednu beskonačno malu (infinitezimalno malu) jedinicu. Stoga izraz (1.14) predstavlja graničnu veličinu ili graničnu promjenu varijable Y.

1.3.2. Relativne promjene Ako se apsolutne promjene ΔX i ΔY podijele ukupnim vrijednostima varijabli X i Y respek-

tivno, dobijaju se relativne promjene: iX YX YΔ Δ . Za konkretnu vrijednost varijabli mogu se

napisati izrazi za relativnu promjenu varijable X i relativnu promjenu varijable Y.

xxr

xΔ

= (1.15)

yyr

yΔ

= (1.16)

Ove veličine su neimenovani brojevi i tumače se u procentima.

Primjer 1.9. Prije septembarskog ispitnog roka, ispit iz statistike je položilo 200 studenata I godine. Nakon septembarskog roka ukupan broj studenata koji su položili statistiku je 250.

a) Kolika je promjena broja studenata koji su položili ispit? b) Kolika je relativna promjena? c) Objasnite relativnu promjenu iz b).

ELASTIČNOST

37

Rješenje: a) Promjena vrijednosti x:

Δx = xnovo – xstaro Promjena broja studenata je Δx = 250 – 200 = 50 b) rx – relativna promjena vrijednosti x

novo starox

staro

x xxrx x

−Δ= =

Relativna promjena iznosi: rx = 50/200 = 0,25 i tumači se u %. c) Broj studenata koji su položili statistiku nakon septembarskog roka je za 25% ve-

ći nego prije septembarskog ispitnog roka.

Primjer 1.10. Broj studenata I godine koji su stekli uslov da upišu narednu godinu prije septembar-skog roka bio je 160, a nakon tog roka 180.

a) Kolika je relativna promjena broja upisanih studenata? b) Koliko je na tu promjenu uticala promjena prolaznosti iz statistike?

Rješenje: a) Relativna promjena upisanih studenata ry je:

Δy/y = (180-160)/160 = 20/160 = 0,125 Nakon septembarskog ispitnog roka broj studenata koji su upisali narednu godinu

je 12,5% veći nego prije.

b) Porast prolaznosti iz statistike je 25% a ukupna prolaznost je porasla za 12,5%. Možemo reći da u prosjeku na svakih 1% porasta prolaznosti iz statistike raste i broj upisanih za 0,5%.

Kroz ova dva prakična primjera prisjetili smo se pojma i tumačenja relativne promjene i uvidjeli potrebu da se posmatraju odnosi (količnici) dviju relativnih promjena i to nas do-vodi do pojma elastičnosti.


38

1.3.3.

Koeficijenti elastičnosti – kvantitativni izraz međuzavisnosti između ekonomskih pojava

Koeficijent odnosa relativnih promjena varijabli označava se sa Ey,x i naziva koeficijent elastičnosti varijable Y u odnosu na varijablu X.

,y

y xx

yr x yyE xr y x

x

ΔΔ

= = = ⋅Δ Δ

(1.17)

Koeficijent elastičnosti se može analizirati na luku između dvije tačke i u jednoj tački.

Koeficijent elastičnost na luku Ako je zavisnost varijable Y od varijable X izražena prekidno, odnosno diskontinuirano, od tačke do tačke, elastičnost se mjeri na luku između dvije tačke. Tada je riječ o koeficijentu elastičnosti na luku.

,y

y xx

yr x yyE xr y x

x

ΔΔ

= = = ⋅Δ Δ

(1.18)

Ukoliko tačke na luku označimo sa (i) i (i+1), koeficijent elastičnosti na luku ima sljedeći izraz:

1

1,

1 1

i i

y i i i iy x

i ix i i i

i

y yyr y x y yyE x x xr y x x

x x

+

+

+ +

−Δ−

= = = = ⋅Δ − −

(1.19)

gdje su ( ) ( )1 1, ,i i i ix y i x y+ + koordinate tačaka na luku.

Vrijednost koeficijenta elastičnosti na luku objašnjava se na sljedeći način:

„A posteriori“ - xi je prethodna, a 1i i ix x x x+ = + Δ > je posmatrana vrijednost varijable

X. Ako je vrijednost varijable X iz tačke i u tačku (i+1) porasla za 100%i

xxΔ

⋅ , a od-

govarajuća vrijednost varijable Y se promijenila za 100%i

yyΔ

⋅ , to znači da se u

ELASTIČNOST

39

prosjeku na svaki 1% unutar 100%i

xxΔ

⋅ porasta vrijednosti varijable X, varijabla Y

promijenila za . %.y xE

„A priori“ - xi je sadašnja vrijednost varijable, a 1i i ix x x x+ = + Δ > buduća vrijednost.

Ako vrijednost varijable X iz tačke i u tačku (i+1) poraste za 100%i

xxΔ

⋅ odgovarajuća

vrijednost Y će se promijeniti za 100%i

yyΔ

⋅ . To znači da će se u prosjeku na svaki 1%

unutar 100%i

xxΔ

⋅ porasta vrijednosti varijable X, varijabla Y promijeniti za . %.y xE

Vrijednost koeficijenta elastičnosti na luku ima sljedeće značenje: ako je vrijednost vari-

jable X iz tačke i u tačku (i+1) porasla za %i

xxΔ , odgovarajuća vrijednost Y će se

promijeniti za %i

yyΔ

⋅ To znači da se u prosjeku na svaki 1% porasta vrijednosti varijable X,

varijabla Y mijenja za Ey,x %.

Postoje i druge mjere stepena međuzavisnosti ekonomskih varijabli, kao što su koeficijent determinacije i koeficijent korelacije. Koeficijent elastičnosti je najpogodnija mjera kvanti-tativne međuzavisnosti dvije ili više ekonomskih varijabli i ne zavisi od jedinice mjere analiziranih varijabli. Koeficijent elastičnosti je relativna mjera međuzavisnosti koja zbog te osobine ima jednostavno objašnjenje i ekonomsko značenje i vrlo veliku primjenu u eko-nomiji.

Navedena objašnjenja koeficijenta elastičnosti na luku pretpostavljaju da je luk pravolinij-skog oblika i zanemaruju tok luka između dvije posmatrane tačke. Što luk više odstupa od pravolinijskog oblika, greška u objašnjenju koeficijenta elastičnosti na luku je veća. Ukoli-ko je luk pravolinijskog oblika, greška tumačenja će biti jednaka nuli. Greška će težiti nuli ukoliko promjene nezavisne varijable X teže nuli 0XΔ → .

Na sljedećim grafikonima će se ilustrovati postupak smanjenja greške koja nastaje pri mje-renju elastičnosti na luku. Pitanje koje se postavlja je: Kako smanjiti ovu grešku mjerenja?


40

Grafikon 7. Elastičnost na luku

Elastičnost na luku za ove dvije funkcije je jednaka jer zanemaruje tok kretanja pojave iz-među dvije posmatrane tačke. Greška mjerenja elastičnosti na luku se smanjuje kada su promjene varijable X manje. Greška će težiti ka nuli kada su, kao što je prethodno već na-vedeno, promjene varijable X beskonačno male i teže nuli, odnosno kada se na prethodnim grafikonima tačke A i B poklope. U tom slučaju definiše se elastičnost u tački.

Elastičnost u tački Ako je zavisnost varijable Y od varijable X izražena neprekidno, odnosno kontinuirano, elastičnost se mjeri u svakoj tački razmaka u kome je međuzavisnost definisana. Tada je riječ o koeficijentu elastičnosti u tački koji se definiše sljedećim izrazom:

, 0 0lim lim 'y x x x

x y x y x dy xE yy x y x y dx yΔ → Δ →

Δ Δ= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

Δ Δ (1.20)

Koeficijent elastičnosti je relativna mjera stepena međuzavisnosti varijabli, što znači da ne zavisi od jedinica mjere analiziranih varijabli. Koeficijent elastičnosti u tački pokazuje rela-tivnu promjenu varijable Y koja je rezultat relativne promjene varijable X. Veća vrijednost koeficijenta elastičnosti znači da je varijabla Y elastičnija ili osjetljivija na promjenu varija-ble X. Analogno tome, manja vrijednost koeficijenta elastičnosti ukazuje na manju elastičnost, odnosno osjetljivost promjene varijable Y na promjenu varijable X.

Značenje koeficijenta elastičnosti u tački: ako se vrijednost nezavisne varijable X poveća za 1%, tada će se vrijednost zavisne varijable Y promijeniti za Ey,x % u zavisnosti od zna-ka koeficijenta elastičnosti.

Koeficijent elastičnosti varijable Y na promjene varijable X se može izraziti i kao odnos granične i prosječne promjene varijable Y:

A

B

x1 x2

y1

y2

A

B

x1 x2

y1

y2

ELASTIČNOST

41

,''y x

x y yE y yy yx

′= ⋅ = = (1.21)

Koeficijent elastičnost može uzimati vrijednosti od -∞ do +∞, što se može ilustrovati na sljedeći način:

Vrijednosti koeficijenta elastičnosti se mogu vrlo pregledno predstaviti u tabelarnom obliku.

Tabela 1. Vrijednosti koeficijenta elastičnosti i njihovo značenje

Koeficijent elastičnosti

Značenje promjene zavisne varijable Y u odnosu na 1% porasta nezavisne varijable X

EY,X = + ∞ Savršeno elastična promjena + ∞ > EY,X > 1 Elastična promjena EY,X = 1 Jedinično elastična promjena 1 > EY,X > 0 Neelastična promjena EY,X =0 Savršeno neelastična promjena 0 > EY,X > - 1 Neelastična promjena EY,X = - 1 Jedinično elastična promjena - 1 > EY,X > - ∞ Elastična promjena EY,X = - ∞ Savršeno elastična promjena

-∞ +∞ 0-1 1

Elastičnost Elastičnost Neelastičnost Neelastičnost

Savršena neelastičnost Savršena elastičnost Indiferentna elastičnost

Savršena elasti-čnost Indiferentna elastičnost


42

1.3.4. Osobine elastičnosti EY,X funkcije Y=f(X) Elastičnost konstante je jednaka nuli: Y = C = const. ⇒ EY·X = 0

Dokaz:

' ', 0 0Y X

X X XE Y CY C C

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = (1.22)

Elastičnost stepene funkcije je jednaka stepenu date funkcije: Y = a·Xb ⇒ , .Y XE b const= =

Dokaz:

' 1,

1b bY X b b

X X XE Y a b X a b X bY a X a X X

−= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

(1.23)

Elastičnost eksponencijalne funkcije: ln( )XY XY a b E X b⋅⋅= ⋅ ⇒ = ⋅

Dokaz:

, ln( ) ln( )XY X X

X XE Y a b b X bY a b

⋅′= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅

(1.24)

Elastičnost inverzne funkcije je jednaka recipročnoj vrijednosti koeficijenta elastičnosti osnovne funkcije. Proizvod između koeficijenta elastičnosti inverzne i osnovne funkcije je jednak jedinici.

, , ,,

1 1X Y X Y Y XY X

E E EE

= ⇒ ⋅ =

Dokaz:

',

,

1 1 1X Y

Y X

Y Y dXE X X dYX X dY EY dX

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = (1.25)

Elastičnost složene funkcije jednaka je proizvodu posmatranih funkcija, odnosno za ( )Z Z Y X= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⇒ EZ,X = EZ,Y · EY,X,

ELASTIČNOST

43

Dokaz:

[ ]

, ,

,

( ) ; ( ) ;

( ) ( )

Y X Z Y

Z X

X dY Y dZY f X E Z g Y EY dX Z dY

X dZZ g f X X EZ dX

φ

= ⇒ = ⋅ = ⇒ = ⋅

= = ⇒ = ⋅

, , ,Z Y Y X Z XY dZ X dY X dZE E EZ dY Y dX Z dX

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = (1.26)

Odnos elastičnosti prosječne i ukupne funkcije:

,, 1Y XY XE E= − (1.27)

, , 1Y X Y XE E= + (1.28)

Iz izraza (1.27) se zaključuje da je elastičnost prosječne funkcije jednaka elastičnosti ukupne funkcije umanjene za jedinicu. Iz izraza (1.28) slijedi da je koeficijent elastič-nosti ukupne funkcije jednak koeficijentu elastičnosti prosječne funkcije uvećanom za jedinicu.

Dokaz: ' 2 '

',, 2( ) ' 1 1Y XY X

X X Y X Y X Y XE Y Y EYY X Y X YX

⎛ ⎞⋅ −⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Za analizu elastičnosti zbira, razlike, proizvoda i količnika potrebno je definisati slje-deće opšte izraze:

Y = f(X) Y1 = f1(X) Y2 = f2(X)

,Y XXE YY

′= ⋅ 1

', 1

1Y X

XE YY

= ⋅ 2

', 2

2Y X

XE YY

= ⋅

gdje funkcija Y = f(X) može biti odgovarajuća algebarska kombinacija funkcije Y1 = f1(X) i funkcije Y2 = f2(X).

Elastičnost proizvoda dvije funkcije je jednaka zbiru elastičnosti ove dvije funkcije:

Y = Y1·Y2 ⇒1 2, , ,Y X Y X Y XE E E= + (1.29)


44

Dokaz:

( ) ( )

1 2

' ' ', 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

' ' ' '1 2 1 2 1 2 , ,

1 2 1 2 1 2

Y X

Y X Y X

X X XE Y Y Y Y Y Y YY Y Y Y Y

X X X XY Y Y Y Y Y E EY Y Y Y Y Y

′= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = +⋅ ⋅

Osobina proizvoda se može generalizirati i primijeniti i za n funkcija.

Elastičnost količnika:

1

2

YYY

= ⇒1 2, , ,Y X Y X Y XE E E= − (1.30)

Dokaz:

( ) 1 2

' ' '' '1 2 1 2 1 2

, 1 2 , ,21 2 1 1 22

2

Y X Y X Y XY X Y Y Y Y YX X X XE Y Y Y E EYY Y Y Y YY

Y

⎛ ⎞ ⋅ ⋅ − ⋅′= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Elastičnost zbira/razlike je jednaka sljedećem izrazu:

1 2Y Y Y= ± ⇒ ( )1 2, 1 , 2 ,1

Y X Y X Y XE Y E Y EY

= ⋅ ⋅ ± ⋅ (1.31)

Dokaz:

( ) ( )

( )1 2

' ' ' ' '1 2, 1 2 1 2 1 2

1 2

1 , 2 ,1

Y X

Y X Y X

Y YX X X X XE Y Y Y Y Y Y YY Y Y Y Y Y Y

Y E Y EY

′= ⋅ = ⋅ ± = ⋅ ± = ⋅ ⋅ ± ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ± ⋅

1.3.5. Koeficijent parcijalne elastičnosti Ukoliko se obilježje Y posmatra kao funkcija više nezavisnih varijabli

( )1 2 3, , ,..., nY F X X X X= , onda se definiše koeficijent parcijalne elastičnosti:

, 1,..., .i

iY X

i

X YE za i nY X

∂= ⋅ =

∂ (1.32)

Koeficijent parcijalne elastičnosti pokazuje postotak promjene zavisne varijable Y koji je rezultat povećanja nezavisne varijable Xi za 1%, uz uslov da ostale varijable ostaju nepro-mijenjene. Ukoliko se nezavisna varijabla Xi poveća za 1%, a ostale varijable ostanu nepromijenjene, zavisna varijabla će se promijeniti za , (%).

iY XE

OCJENA EKONOMSKIH FUNKCIJA METODAMA REGRESIONE ANALIZE

45

1.4.

Ocjena ekonomskih funkcija metodama regresione analize

Kada se pomoću statističkih metoda istražuje jedna pojava nezavisno od ostalih, radi se o jednodimenzionalnoj statističkoj analizi. Statističkim metodama mogu se analizirati i me-đusobni odnosi više pojava. U tom slučaju se radi o višedimenzionalnoj analizi. Ovim metodama se ne analiziraju uzroci ni posljedice pojava, već zavisnost pojava i njihovih promjena. Veze među pojavama mogu biti funkcionalne i stohastičke. Statistička analiza odnosa između dvije ili više pojava se vrši metodama deskriptivne i inferencijalne statisti-ke. Stepen statističke povezanosti između pojava se istražuje metodama korelacione analize. Za određivanje analitičkog odnosa među pojavama primjenjuju se regresioni mode-li. Veza među pojavama je funkcionalna ako su vrijednostima jedne pojave u potpunosti određene vrijednosti druge pojave. U tom slučaju za svaku vrijednost nezavisne varijable se može precizno odrediti vrijednost zavisne varijable. Funkcionalne veze su najčešće u priro-dnim naukama i u manjoj mjeri u društvenim naukama. Kada jednoj vrijednosti nezavisno promjenljive X, odgovara više vrijednosti zavisno promjenljive Y, kažemo da je njihova veza stohastička.

Opšti oblik regresionog modela se može napisati u sljedećem obliku::

1 2( , ,...., )nY f X X X ε= + (1.33)

gdje je Y zavisna promjenljiva, Xi (i = 1,..., n) su nezavisne promjenljive i parametar ε slu-čajno odstupanje. Ovaj model se naziva model višestruke regresije ili višedimenzionalni regresioni model.

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu promjenljivu naziva se model jednostavne reg-resije ili jednodimenzionalni regresioni model. Model jednostavne regresije ima sljedeći oblik:

( )Y f X ε= + (1.34)

Zadatak regresione analize je istraživanje analitičkog oblika veze između pojava kojem se najviše približavaju promjene analiziranih pojava. Zadatak korelacione analize je utvrđiva-nje stepena i smjera povezanosti pojava.

1.4.1. Kriterij izbora regresione prave i metod najmanjih kvadrata Pretpostavimo da je veza zavisne varijable Y i nezavisne varijable X linearna. Y je varijabla koju treba objasniti pomoću varijable X. Polazni model linearne regresije za skup od n vri-jednosti (xi, yi) varijabli X i Y se može napisati u sljedećem obliku:


46

, i 1,2,..., .i i iy x nα β ε= + + = (1.35)

Potrebno je izvršiti ocjenu parametara .iα β Ocijenjene vrijednosti parametara će se označiti sa a i b , te se model može napisati u sljedećem obliku:

, i 1,2,..., .i i iy a bx e n= + + = (1.36)

Označimo sa

î iy a bx= + (1.37)

funkcionalni dio modela gdje su a i b ocijenjeni parametri. Podaci su dati kao n posmatra-nih parova (xi, yi), a îy predstavlja ocijenjene vrijednosti Y na osnovu posmatranih vrijednosti xi od X. Na osnovu izraza (1.36.) i (1.37) može se napisati relacija:

ˆ i i iy y e= + (1.38)

iz koje se izražava slučajno ili rezidualno odstupanje ei kao razlika između posmatranih i ocijenjenih vrijednosti varijable Y:

ê e

i i i

i i i

y yy a bx

= −= − −

(1.39)

Rezidualno odstupanje je predstavljeno na sljedećem grafikonu:

Grafikon 8. Rezidualna odstupanja

xi

yi

y

iy

• • •

• •

• •

•

•

•

iii yye ˆ−=

x

ii bxay +=ˆ


47

Cilj je primijeniti metod za ocjenu parametara regresionog modela koji će minimizirati re-zidualna odstupanja. Pitanje koje se postavlja je izbor kriterija koji će obezbijediti minimizaciju slučajnih odstupanja.

Kriterij koji omogućava izbor najbolje regresione prave je minimiziranje zbira kvadrata rezidualnih odstupanja:

2

1

minimumn

ii

e=∑ (1.40)

Na ovom kriteriju je baziran metod najmanjih kvadrata. Minimiziranje zbira kvadrata rezi-dualnih odstupanja:

2 2 2

1 1 1

ˆ( ) ( )n n n

i i i i ii i i

e y y y a bx= = =

= − = − −∑ ∑ ∑ (1.41)

je moguće uz potrebne uslove koji zahtijevaju da parcijalni izvodi ovog zbira po paramet-rima a i b budu jednaki nuli:

2

1

12 ( )( 1) 0

n

i ni

i ii

ey a bx

a=

=

∂= − − − =

∂

∑∑

2

1

12 ( )( ) 0

n

i ni

i i ii

ey a bx x

b=

=

∂= − − − =

∂

∑∑

Iz ova dva uslova slijedi sistem normalnih jednačina:

1 1

n n

i ii i

y na b x= =

= +∑ ∑

2

1 1 1

n n n

i i i ii i i

x y a x b x= = =

= +∑ ∑ ∑

Rješavanjem ovog sistema normalnih jednačina dobijaju se izrazi za ocjenu parametara a i b:

1 1

n n

i ii i

y xa b

n n= == −∑ ∑

(1.42)

a y bx= − (1.43)

Zamjenom izraza za izračunavanje parametra a u drugu normalnu jednačinu dobija se izraz za izračunavanje parametra b:


48

2

1 1 1

( )n n n

i i i ii i i

x y y bx x b x= = =

= − +∑ ∑ ∑

2

1 1 1 1

n n n n

i ii i i ii i i i

x y y x bx x b x= = = =

= − +∑ ∑ ∑ ∑

2

1 1 1 1

n n n n

i ii i i ii i i i

x y y x b x x x= = = =

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

1 1

2

1 1

n n

i i ii i

n n

i ii i

x y y xb

x x x

= =

= =

−=

−

∑ ∑

∑ ∑ (1.44)

Parametar b se može izraziti i u sljedećem obliku:

1

2 2

1

n

i ii

n

ii

x y n x yb

x nx

=

=

− ⋅ ⋅=

−

∑

∑

odnosno,

1

2 2

1

1

1

n

i ii

n

ii

x y x ynb

x xn

=

=

− ⋅=

−

∑

∑ (1.45)

1.4.2. Pretpostavke o osobinama stohastičnosti modela Regresioni model izražen regresionom pravom:

, i 1,2,..., .i i iy x nα β ε= + + = (1.46)

je sastavljen iz dva dijela. Prvi dio modela ixα β+ predstavlja funkcionalnu vezu pri kojoj je Y linearno zavisna od X ako su drugi faktori konstantni. Drugi, stohastički dio modela ( )iε predstavlja slučajne varijacije, kojima se uzima u obzir djelovanje promjena drugih vari-jabli koje nisu eksplicitno uključene u model. Pod uslovom da specifikacija modela odgovara ekonomskoj relaciji u stvarnosti, i da bismo probleme mjerenja ekonomskih relacija preveli u probleme statističkog ocjenjivanja parametara rasporeda vjerovatnoće, neophodno je navesti pretpostavke o osobinama stohastičnosti linearnog regresionog modela:


49

1. ( ) 0iE ε = , (očekivana vrijednost stohastičkog člana je jednaka nuli) 2. 2 2( )iE ε σ= , (konstantna zajednička varijansa) 3. ( , ) 0i jE ε ε = , za svako i, j; i≠j; (nezavisnost)

4. ( )2: 0,i Nε σ , (normalnost)

5. ( , ) 0i jE Xε = , za sve i, j; (nezavisnost od Xj).

Da bi se ocijenila statistička pouzadanost ocijenjenog modela potrebno je izračunati stan-dardnu grešku regresionog modela prema formuli:

2

1ˆ

ˆ( )n

i ii

y

y y

nσ =

−=∑

kao i koeficijent varijacije regresionog modela5: ˆˆ

yVyk

yσ

=

Ocjena parametara jednostruke i višestruke ili multiple linearne regresije se može izvršiti primjenom Microsoft Excela. Objasnićemo kako se primjenom Microsoft Excela ocjenjuju parametri modela linearne regresije. Faze u primjeni su sljedeće:

1. U izborniku Excela odabire se opcija Tools

5 Pored navedenih, postoje i drugi pokazatelji kvaliteta pouzdanosti ocijenjenih parametara. Detaljnija anali-

za ovih pokazatela je predstavljena u Somun - Kapetanovć, R. (2008), str.111-145.


50

2. U izborniku opcije Tools odabire se opcija Data Analysis

3. U izborniku Data Analysis odabire se procedura Regression

4. Odabirom procedure Regression otvara se sljedeći prozor


51

u koji se unose vrijednosti zavisne varijable Y i nezavisne varijable X. Ukoliko model ne sadrži konstantu, potrebno je označiti kvadrat Constant is Zero. Kada model sadrži konstan-tu, ovaj kvadrat ne treba označavati. U izlaznim opcijama (Output options) se označi mjesto gdje se žele upisati dobijeni rezultati. Preporučuje se Output Range i izbor ćelije gdje želi-mo da upišemo dobijene rezultate. Od opcija Residuals mogu se odabrati sve ili neke od njih, u zavisnosti od cilja analize.

U narednom primjeru ćemo ilustrovati primjenu Microsoft Excela za ocjenu regresione prave primjenom metode najmanjih kvadrata. Detaljnija analiza ocijenjene regresione prave koja predstavlja funkciju tražnje će biti urađena u dijelu 1.5., Primjer 1.14. Ovdje ćemo na tom primjeru ocijeniti metodom najmanjih kvadrata, primjenom Excela, linearnu funkciju tražnje koja najbolje aproksimira dati skup podataka.

Unesu se podaci za zavisnu i nezavisnu varijablu. U ovom slučaju su unesene ćelije sa na-zivima podataka i zato je potrebno označiti kvadratić Labels i primijeniti postupak koji je prethodno objašnjen.

Prodate količine frižidera «Super» (q) i cijene po jedinici proizvoda (p) date su u tabeli:

q (kom.) 36 32 30 28 24 17 13 12 10

p (KM/kom.) 400 600 700 800 1000 1300 1500 1800 2000

Ukoliko se ne unesu ćelije sa nazivom varijabli, ne treba označavati kvadrat Labels, kao što se vidi na sljedećoj slici.


52

Odabire se komanda OK i dobiju sljedeći rezultati:

Na osnovu dobijenih rezultata kompletira se jednačina regresione prave:

q = 41,55-0,017p

koja predstavlja traženu funkciju tražnje. Standardna greška, t – statistika i p vrijednost po-kazuju da je dobijena ocjena parametra b uz varijablu cijena p statistički pouzdana.


53

Postoji i drugi način ocjene parametara regresionog modela koji se može primijeniti u Excelu. Postupak je sljedeći:

Nacrtati dijagram rasipanja (XY Scatter).

Kliknuti na pozadinu dijagrama rasipanja.

U traci izbornika će se umjesto izbornika Data pojaviti izbornik Chart. Kliknuti na izbornik Chart i odabrati opciju Add Trendline.


54

U opciji Add Trendline odabire se tip grafika Type i otvara komanda Options na kojoj se označavaju dvije opcije: Display equation on chart da bismo dobili jednačinu regresionog modela i opcija Display R-squared value on chart kako bi se dobila vrijednost koeficijenta determinacije.

Na dijagramu rasipanja se dobija ucrtana ocijenjena jednačina regresionog modela i ocjena koeficijenta determinacije koji pokazuje koji postotak varijacije zavisne varijable je ocijenjen varijacijom nezavisne varijable. Ovaj koeficijent pokazuje procenat varijacije zavisne varijab-le objašnjene modelom u ukupnoj varijaciji zavisne varijable.6

6 Op. cit., str. 126-128.


55

Kao što je vidljivo na gornjoj slici, dobijena je jednačina tražnje kao u prethodnom slučaju:

q = 41,551-0,017p.

56

1.5. Funkcija tražnje U teorijskoj i empirijskoj analizi razlikuju se individualna i agregatna tržišna tražnja. U prvom dijelu će se definisati, prezentovati i analizirati agregatna tržišna tražnja, a zatim i individualna tržišna tražnja za nekim dobrom. 1.5.1. Agregatna funkcija tražnje Tražnja nekog dobra predstavlja količinu tog dobra7 koja se može prodati na određenom tržištu u određeno vrijeme. Tražnja za nekim dobrom zavisi od velikog broja faktora. Naj-značajniji faktori od kojih zavisi tražnja za nekim dobrom su: cijena tog dobra, cijene ostalih dobara, prvenstveno komplemenata i supstituta, dohodak potrošača, vrijeme, broj potrošača, ukus i preferencije potrošača i niz drugih faktora koji posredno ili neposredno mogu uticati na tražnju. Ako se navedeni faktori posmatraju kao promjenljive veličine, tra-žnja za nekim dobrom se izražava kao funkcija više promjenljivih u sljedećem obliku:

( )1 2, , ,..., , , ,kq F p p p p d t r= (1.47) gdje su:

q količina tražnje određenog dobra , p cijena tog dobra, 1 2, ,..., kp p p cijene ostalih dobara na tržištu , d dohodak (budžet) potrošača, t vrijeme, r ostali faktori koji utiču na tražnju za određenim dobrom (broj potrošača, ukus i pre-

ferencije potrošača, itd.).

Izraz (1.47) predstavlja opšti oblik funkcije tražnje, odnosno tražnju u širem smislu. Istraži-vanje, ekonometrijska ocjena i analiza funkcije tražnje preko relacije (1.47) je složen zadatak. Svi faktori od kojih zavisi tražnja za nekim dobrom ne mogu se izmjeriti i na adekvatan način kvantificirati. Stoga se analiza pojednostavljuje smanjivanjem broja faktora koji se uključuju kao nezavisne varijable. Tražnja se analizira kao funkcija određenog broja faktora koji imaju dominantan uticaj pretpostavljajući konstantnost ostalih faktora.

Na tražnju za nekim dobrom najveći uticaj ima cijena tog dobra. Polazeći od te činjenice, traž-nja se može definisati u užem smislu kao funkcija cijene posmatranog dobra, uz pretpostavku da su ostali faktori od kojih zavisi tražnja konstantni i napisati u sljedećem obliku:

( )( ),q f p odnosno q q p= = (1.48)

7 Kao sinonim za dobro koristiće se termin proizvod.

FUNKCIJA TRAŽNJE

57

gdje je: q tražnja za nekim određenim dobrom, p cijena tog dobra.

Odnos između količine tražnje za nekim dobrom i cijene tog dobra dat relacijom (1.48) naziva se Cournot-ov zakon tražnje. Definisanje relacije (1.48), pored polazne pretpostavke o funkcionalnom odnosu tražnje i cijene, uz konstantnost ostalih faktora, implicira i pretpo-stavke tržišta potpune konkurencije. Te pretpostavke su:

a) Homogenost dobara ili identičnost dobara koja ih čini međusobno savršenim supstitu-tima.

b) Prisustvo velikog broja kupaca i prodavaca od kojih ni jedan pojedinačno svojom tra-žnjom i ponudom nije u stanju da promijeni nivo cijene. Cijena se javlja kao nezavisna promjenljiva u odnosu na svakog učesnika. Postoji, dakle, objektivno data cijena po kojoj se vrši promet dobara i koja se mijenja kao posljedica aktivnosti svih prodavaca i kupaca tog dobra.

c) Svi kupci i prodavci su potupno informisani o stanju na tržištu. d) Svi kupci i prodavci slobodno stupaju u kupoprodajne odnose i mogu kada želi ući na

tržište i izaći sa tržišta.

Da bi relacija (1.48) predstavljala funkciju tražnje, moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:

1. Nenegativnost8 zavisne i nezavisne varijable: 0, 0q p≥ ≥ . Oblast definisanosti fun-kcije tražnje se nalazi u intervalu:

0

0p p

q q

+

+

≤ ≤

≥ ≥

gdje p+ označava maximalnu cijenu do koje postoji tražnja na tržištu, a q+ označava nivo zasićenja, odnosno nivo tražnje kad bi cijena bila 0.

2. Zakon normalnosti tražnje, kojim se izražava osobina da je tražnja opadajuća funkcija cijene, matematički se izražava negativnom vrijednošću prvog izvoda funkcije tražnje

( ) 0.dqq f pdp

′ ′= = <

3. Tražnja je neprekidna funkcija 0 .q′< < +∞

Pretpostavlja se da su potrošači racionalni i da će sa rastom cijene nekog dobra i tražnja za tim dobrom opadati. Ova pretpostavka se odnosi na normalna dobra. Postoje odstupanja, odnosno izuzeci od zakona normalnosti tražnje koji su definisani kao Giffenov paradoks, Veblenov efekat i slučaj špekulacije9.

8 Termin nenegativnost se uzima jer se pri matematskoj analizi ovih funkcija uzima da je q ≥ 0 i p ≥ 0 iako

cijena p=0 nema ekonomski smisao. 9 Jurin, S., Šohinger, J., (1990), str. 47-48.


58

Pošto se tražnja prema zakonu normalnosti mijenja obrnuto proporcionalno sa promjenom cijene, grafički prikaz funkcije tražnje (1.48) u opštem slučaju se predstavlja na sljedećem grafikonu:

p2

q+

0

q

q1

q2

p+p1 p Grafikon 9. Funkcija tražnje

Uz pretpostavku da je funkcija tražnje diferencijabilna u posmatranom intervalu, koji mora biti konačan i približno jednak intervalu raspoloživih empirijskih vrijednosti, uslov normal-nosti tražnje kazuje da tražnja opada sa rastom cijene i da je u normalnim uslovima tražnja opadajuća funkcija cijene.

Iz relacije (1.48) izvodi se inverzni oblik funkcije tražnje:

)(odnosno),( qppqp == ϕ (1.49)

kojim se cijena p izražava kao funkcija količine tražnje q . Inverzni oblik funkcije tražnje (1.49) određuje se rješavanjem relacije (1.48) po cijeni p. Inverzna funkcija tražnje, kao i direktni zakon tražnje, treba da zadovolji sljedeće uslove:

1. Nenegativnost zavisne i nezavisne varijable, tj. inverzna funkcija tražnje p i količina q treba da budu nenegativne: 0, 0q p≥ ≥ . Oblast definisanosti funkcije tražnje se nalazi u intervalu:

00

p pq q

+

+

≤ ≤

≥ ≥

2. Inverzna funkcija tražnje je monotono opadajuća što se matematički izražava nega-

tivnom vrijednošću prvog izvoda funkcije inverzne tražnje: ( ) .0)( <′==′ qdqdpqp ϕ

3. Inverzni zakon (funkcija) tražnje je neprekidna funkcija 0 .p′< < +∞

FUNKCIJA TRAŽNJE

59

1.5.2. Individualna funkcija tražnje Individualna funkcija tražnje je funkcija tražnje pojedinačnog potrošača za određenim dob-rom. Ovaj oblik funkcije tražnje predstavlja odnos između cijene dobra i količine tražnje za tim dobrom koju iskazuje potrošač tog dobra na tržištu. Individualna funkcija tražnje se može posmatrati u širem i užem smislu. Za označavanje individualne funkcije tražnje koris-tit ćemo simbol x.

U širem smislu, to je funkcija većeg broja faktora koji mogu uticati na individualnu tražnju:

( )rtdppppFx k ,,,,...,,, 21= (1.50)

gdje su:

x individualna tražnja za određenim dobrom, p cijena tog dobra, 1 2, ,..., kp p p cijene ostalih dobara na tržištu, d dohodak potrošača, t vrijeme, r ostali faktori koji utiču na tražnju za određenim dobrom (broj potrošača, ukus i pre-

ferencije potrošača, itd.).

Individualna funkcija tražnje za nekim dobrom u užem smislu se definiše kao funkcija cije-ne tog dobra:

( )x x p= (1.51)

gdje je:

x individualna tražnja za nekim određenim dobrom, p cijena tog dobra.

Individualna funkcije tražnje mora zadovoljiti, kao i agregatna funkcija, sljedeće osobine da bi mogla biti funkcija tražnje:

1. Nenegativnost zavisne i nezavisne varijable, odnosno nenegativnost tražnje i cijene: 0, 0x p≥ ≥ . Oblast definisanosti funkcije tražnje se nalazi u intervalu:

00

p px x

+

+

≤ ≤

≥ ≥

2. Zakon normalnosti tražnje kojim se izražava osobina da je tražnja opadajuća funkci-ja cijene. Matematski, prvi izvod funkcije tražnje ima negativnu vrijednost:

( ) 0.dxx f pdp

′ ′= = <


60

3. Individualna funkcija tražnja je neprekidna funkcija '0 .x< < +∞

Funkcija agregatne tražnje se dobija kao zbir svih individualnih tražnji na određenom tržiš-tu u određenom vremenu za nekim dobrom u oblasti njihove definisanosti. Oblast definisanosti qD agregatne tražnje predstavlja uniju oblasti definisanosti svih individualnih tražnji xD :

∪i

xi

i iDppxpq ∈=∑ ;)()( . (1.52)

Zapis ix

i

p D∈∪ znači da na tržištu postoji tražnja sve dok je barem jedan potrošač spre-

man da kupi predmetno dobro. Prema tome, maksimalna cijena do koje postoji agregatna tražnja je max( )i

ip p+ += , a nivo agregatnog tržišnog zasićenja je ;i

iq x+ +=∑

U sljedećem opštem slučaju ćemo ilustrovati kako na osnovu dvije individualne funkcije tražnje određujemo agregatnu funkciju tražnje.

Neka su poznate funkcije individualnih tražnji dva proizvođača: 1 1 2 2( ), ( )x x p x x p= = . Pretpostavimo da su u pitanju linearne funkcije i da je funkcija individualne tražnje

1 1( )x x p= definisana za p∈(0, p1+); x1∈(0, x1

+) i funkcija individualne tražnje 2 2 ( )x x p= definisana za p∈(0, p2

+); x2∈(0, x2+).

Bez ograničenja opštosti, možemo uzeti da je granična cijena p2+ veća ili jednaka od grani-

čne cijene p1+ ( )2 1p p+ +≥ i da je nivo zasićenja 2x+ veći ili jednak od nivoa zasićenja

1x+ ( )2 1x x+ +≥ . Na grafikonu 10 je dat prikaz ovih funkcija individualnih tražnji.

Grafikon 10. Funkcije individualnih tražnji

p1+ p2

+ p

x2

x(p)

x1+

x2+

x1

FUNKCIJA TRAŽNJE

61

Na osnovu pretpostavke ( )2 1p p+ +≥ slijedi da je agregatna tražnja definisana za 20,p p+⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦ . Na tržištu su prisutna oba potrošača ako je cijena predmetnog dobra manja ili jednaka od

1p+ , odnosno ako je 10,p p+⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦ . Ako je cijena predmetnog dobra veća od 1p+ , potrošač 1x

odustaje od tražnje i za cijenu ( )1 2,p p p+ +∈ na tržištu će biti prisutan samo 2x . Odavde je zakon agregatne tražnje definisan sa:

(1 2 1

2 1 2

0,( )

,

x x za p pq p

x za p p p

+

+ +

⎧ ⎡ ⎤+ ∈⎣ ⎦⎪= ⎨⎤∈⎪ ⎦⎩

.

Nivo zasićenja 1 2q x x+ + += + , a granična cijena p+ = p2+ (p2

+ > p1+). Grafički prikaz agrega-

tne tražnje, te individualnih tražnji i agregatne tražnje zajedno dat je na grafikonima 11 i 12.

Grafikon 11. Funkcija agregatne tražnje Grafikon 12. Funkcija agregatne tražnje

Postupak utvrđivanja agregatne funkcije tražnje se može uopštiti i primijeniti u slučajevima kada se agregatna tražnja određuje na osnovu individualnih tražnji N potrošača. U riješenim primjerima će se predstaviti takvi slučajevi. Ilustracija ovog postupka određivanja agregat-ne funkcije tražnje je prezentovana u primjerima sa rješenjima koji slijede poslije teorijskog dijela.

p1+ p2

+=p+ p

x1+x2

x2

q(p)

q+ = x1+ + x2

+

p1+ p2

+= p+ p

x1+x2

Δ x1

Δ x1

x(p), q(p)

q+= x1++x2

+

x1+

x2+

x2


62

1.5.3. Analitički oblici funkcije tražnje Funkcija tražnje kojom se određuje zavisnost tražnje nekog dobra od cijene tog dobra može imati različite analitičke oblike. Najčešći analitički oblici koji se mogu koristiti za ocjenu funkcije tražnje su sljedeći:10

1. q a bp= − 2. 2q a bp= − 3. 2( )q a bp= −

4. bq ap

= +

5. ;aq bp c

= −+

6. bpq ae−= 7. bq ap c−= + 8. q bp a c= − + 9. 2q a p b p c= ⋅ − ⋅ + 10. ( )a b p cq p e− += ⋅

Uslovi koje svaka od navedenih funkcija treba zadovoljiti da bi bila funkcija tražnje su: 0; 0; 0a b c> > > . Za sve navedene direktne zakone tražnje mogu se formulisati inverzni

zakoni tražnje.11

Lista predstavljenih analitičkih oblika funkcije tražnje nije egzostivna i u empirijskim ana-lizama se mogu ocijeniti i drugi oblici funkcije tražnje u zavisnosti od prikupljenih empirijskih podataka.

1.5.4. Koeficijenti elastičnosti tražnje Za funkciju tražnje se može definisati više koeficijenata elastičnosti. Definisaće se i analizi-rati koeficijent elastičnosti tražnje na luku, zatim koeficijent elastičnosti tražnje u tački kao i dva koeficijenta parcijalne elastičnosti tražnje: koeficijent elastičnosti tražnje posmatranog

10 U analizi funkcije tražnje, i kasnije funkcija prihoda i dobiti, koristićemo osobinu neprekidnosti funkcija

tražnji i pretpostavku da je ( ) 0q p+ = . Ovaj uslov ne umanjuje opštost analize, ali olakšava matematičku in-terpretaciju i razumijevanje osobina navedenih ekonometrijskih funkcija. Navedeni analitički oblici i uslovi postavljeni za parametre zadovoljavaju osobinu ( ) 0q p+ = ,

11 Vidjeti u : Vučković, Ž., (2004), str. 59-60.

FUNKCIJA TRAŽNJE

63

dobra u odnosu na dobro k, odnosno koeficijent unakrsne elastičnosti i koeficijent doho-dovne elastičnosti tražnje.

Koeficijent elastičnosti tražnje u prekidnom slučaju se definiše polazeći od opšteg izraza za koeficijent elastičnosti u prekidnom slučaju:

,q

q pp

qr p qqE pr q p

p

ΔΔ

= = = ⋅Δ Δ

(1.53)

U neprekidnom slučaju koeficijent elastičnosti se može napisati u sljedećem obliku:

,0 0 0lim lim limq pp p p

p q p q p dq pE qq p q p q dp q→ → →

Δ Δ ′= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅Δ Δ

(1.54)

Koeficijent elastičnosti tražnje pokazuju procentualno smanjenje tražnje ,( )q pE izazvano povećanjem cijene za 1%. Ukoliko se cijena posmatranog dobra poveća za 1%, koeficijent ekastičnosti ,q pE pokazuje za koliko % će se smanjiti funkcija tražnje.

Pošto funkcija tražnje u intervalu definisanosti ima opadajući tok, koeficijent elastičnosti tražnje će se kretati u intervalu , 0.q pE−∞ ≤ ≤

Vrijednosti koje uzima koeficijent elastičnosti tražnje se mogu predstaviti tabelarno (tabela 2),

Tabela 2. Koeficijent elastičnosti direktnog zakona tražnje

p Eq,p Elastičnost

p = 0 Eq,p =0 Savršeno neelastična tražnja

0 Eq,p > - 1 Neelastična tražnja

p = p1 Eq,p = - 1 Jedinično elastična tražnja

p1 Eq,p > - ∞ Elastična tražnja

p = p+ Eq,p = - ∞ Savršeno elastična tražnja

pri čemu se cijena p+, za koju je q (p+) = 0, i cijena p1, za koju je Eq, p1 = -1, određuje u svakom konkretnom primjeru.

Polazeći od izraza (1.47) za agregatnu tražnju u širem smislu može se pomoću koeficijenta parcijalne elastičnosti utvrditi relativna promjena tražnje koja je uslovljena relativnom promjenom bilo koje nezavisne promjenljive. Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje može se utvrditi u odnosu na cijenu tog dobra, cijene ostalih dobara, dohodak potrošača i ostale faktore.


64

Koeficijenti parcijalne elastičnosti tražnje Polazeći od izraza za agregatnu funkciju tražnje (1.47) može se pomoću koeficijenta parci-jalne elastičnosti utvrditi relativna promjena tražnje koja je uslovljena relativnom promjenom bilo koje nezavisne promjenljive. Koeficijenti parcijalne elastičnosti tražnje se mogu utvrditi u odnosu na cijenu tog dobra, cijene ostalih dobara, dohodak potrošača i osta-le faktore.

Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje u odnosu na cijene ostalih dobara koje utiču na tražnju za posmatranim dobrom se definiše u obliku sljedećih izraza u prekidnom i nep-rekidnom obliku i naziva i koeficijent unakrsne elastičnosti tražnje:

, k

kq p

k

p qEq p

Δ= ⋅

Δ (1.55)

, k

kq p

k

p qEq p

∂= ⋅

∂ (1.56)

Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje u odnosu na cijenu nekog drugog dobra, ili koefi-cijent unakrsne elastičnosti, ukazuje na odnos posmatranog dobra i nekog drugog dobra k i može se predstaviti u sljedećoj tabeli:

Tabela 3. Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje

Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje

Odnos posmatranog dobra i dobra k

, 0kq pE > Supstitutski

, 0kq pE = Nezavisan

, 0kq pE < Komplementaran

Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje u odnosu na dohodak potrošača Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje u odnosu na dohodak potrošača se naziva koefici-jent dohodovne elastičnosti tražnje i definiše sljedećim izrazima, u zavisnosti od toga da li se izračunava na luku između dvije tačke ili u tački:

,q dd qEq d

Δ= ⋅

Δ (1.57)

,q dd qEq d

∂= ⋅

∂ (1.58)

FUNKCIJA TRAŽNJE

65

Pomoću ovog koeficijenta vrši se klasifikacija dobara na normalna i inferiorna. Ukoliko je vrijednost koeficijenta dohodovne elastičnosti pozitivna ,( 0)q dE > radi se o normalnom dobru, a ukoliko je negativna ,( 0)q dE < o inferiornom dobru.

Koeficijent elastičnosti (fleksibilnosti) cijene u odnosu na tražnju Polazeci od inverznog zakona tražnje p=p(q) može se definisati koeficijent elastičnosti (fleksibilnosti) cijene u odnosu na tražnju sljedećim izrazom:

, 0p qqE pp

′= ⋅ ≤ (1.59)

Značenje koeficijenta fleksibilnosti cijene u odnosu na tražnju je sljedeće: Ukoliko se traž-nja sa datog nivoa poveća za 1%, tada će se cijena za datim proizvodom smanjiti za 1%. Tabelarna i grafička analiza se vrše na isti način kao za koeficijent elestičnosti tražnje u odnosu na cijenu.

U sljedećoj tabeli je prezentovan pregled intervala fleksibilnosti cijene u odnosu na tražnju.

Tabela 4. Koeficijent elastičnosti inverznog zakona tražnje

q Ep,q Elastičnost

q = 0 Ep,q =0 Savršena neelastičnost

0 < q < q1 0 > Ep,q > - 1 Neelastičnost

q = q1 Ep,q = - 1 Jedinična elastičnost

q0 < q < q+ - 1 > Ep,q > - ∞ Elastičnost

q = q+ Ep,q = - ∞ Savršena elastičnost

pri čemu se nivo zasićenja q+,za koji vrijedi q (0) = q+, i nivo q1, za koju je 1, 1p qE = − od-

ređuje u svakom konkretnom primjeru.

Koeficijent elastičnosti individualne funkcije tražnje u užem i širem smislu se može odrediti i analizirati na isti način kao koeficijenti elastičnosti agregatne tražnje. U izraze za izračunavanje koeficijenata elastičnosti treba uvrstiti odgovarajuće simbole za individualnu tražnju, odrediti ih i analizirati na analogan način kao koeficijente agregatne tražnje.

Primjer 1.11. Date su funkcije agregatne tražnje u zavisnosti od cijene p :

1) ( ) 9 2q p p= −


66

2) 7( ) 11

q pp

= −+

3) 2( ) 100 4q p p= −

4) 158)( 2 +−= pppq .

a) Za koje cijene p ove funkcije tražnje imaju ekonomskog smisla i predstaviti ih grafički.

b) Odrediti algebarske izraze funkcije elastičnosti datih funkcija tražnje uz grafički i tabelarni prikaz.

Rješenje: a) Definiciono područje funkcije tražnje q = q(p) je: 0; ( ) 0; ( ) 0p q p q p′≥ ≥ <

1) ( ) 9 2q p p= −

[ ]0

( ) 9 2 0 4,5 0,4.5( ) 2 0

pq p p p pq p

≥ ⎫⎪= − ≥ ⇒ ≤ ⇒ ∈ ⇒⎬⎪′ = − < ⎭

p+ = 4,5 (maksimalna cijena do koje postoji tražnja),

q+ = q(0) = 9 (q+ nivo zasićenja).

Funkcija ( ) 9 2q p p= − je linearna ⇒ grafik je prava 0 9

( ) 9 20 4.5

p qq p p

q p= ⇒ =⎧

= − ⇒ ⎨ = ⇒ =⎩

Grafikon 1.11.a. Funkcija tražnje ( ) 9 2q p p= −

4,5 p

9 8 7 6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

)( pq

FUNKCIJA TRAŽNJE

67

2) 6( )1pq p

p−

=+

;

[ ] ( ) [ ]

2

06( ) 0 6 0 6 0, 6 6 6 0, 6 ;

17( ) 0

( 1)

ppq p p p p p q q

p

q pp

+ +

⎫⎪≥ ⎪⎪−

= ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≤ ⇒ ∈ ⇒ = ∧ = ⇒ ∈⎬+ ⎪⎪−′ = < ⎪

+ ⎭

Funkcija 7( ) 11

q pp

= −+

je hiperbolična funkcija. Njene asimptote su:

1p = − (Vertikalna asimptota jer je ( )1

limp

q p→−

= +∞ )

( ) 1q p = − (Horizontalna asimptota jer je ( )lim 1p

q p→+∞

= − )

Ograničili smo je u oblasti definisanosti funkcije tražnje p∈(0, 6), q∈(0, 6) pa je njen grafik oblika:

Grafikon 1.11.b. Funkcija tražnje 7( ) 1

1q p

p= −

+

3) 2( ) 100 4q p p= −

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 p

q(p)7

6

5

4

3

2

1


68

( )

[ ] [ ]2 2

2 2

0100 4 0 25 5 5 0 0,5 5, 10 0,10

8 4( ) 02 100 4 100 4

pp p p p p p q q

p pq p pp p

+ +

⎫⎪≥ ⎪⎪− ≥ ⇒ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ∧ ≥ ⇒ ∈ ⇒ = = ⇒ ∈⎬⎪− −′ ⎪= = < ∀⎪− − ⎭

Funkcija 2( ) 100 4q p p= − je korjena funkcija koju smo ograničili u oblasti defini-sanosti tražnje za [ ]5,0∈p .

Grafikon 1.11.c. Funkcija tražnje 2( ) 100 4q p p= −

4) 2( ) 8 15q p p p= − +

( ] [ )

[ ) ( ] [ ){ } ( )

2

0;( ) 8 15 0 ( 3)( 5) 0 ,3 5,( ) 2 8 0 4

0, ,3 5, , 4

pq p p p p p pq p p p

p

≥⎧⎪ = − + ≥ ⇒ − − ≥ ⇒ ∈ −∞ ∪ +∞⎨⎪ ′ = − < ⇒ <⎩

∈ +∞ ∩ −∞ ∪ +∞ ∩ −∞

;

0 3 4 5

FUNKCIJA TRAŽNJE

69

p∈[0, 3], q∈[0, 15]; p+ =3, q+ =15.

Funkcija 158)( 2 +−= pppq je parabola sa minimumom koju smo ograničili u ob-lasti definisanosti funkcije tražnje za p∈[0, 3].

Grafikon 1.11.d. Funkcija tražnje 158)( 2 +−= pppq

b) Funkcija elastičnosti tražnje u odnosu na cijenu 0)(, <′⋅= pqqpE pq

1) ,2( 2) 0

9 2 9 2q pp pE

p p−

= ⋅ − = <− −

; definisana za p ∈ [0, 4.5)

,q pE = 0 za p = 0;

p = 4,5 vertikalna asimptota

, 2

18( ) 0(9 2 )q pE

p−′ = < ⇒−

opadajuća funkcija

,21 1 2 9 2 4 9 2,25

9 2q ppE p p p pp

−= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

−

-5

0

5

10

15

20

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

p

q (p )


70

p ,q pE Tip

elastičnosti

p = 0 ,q pE = 0 Savršena neelastičnost

0 ,q pE > -1 Neelastičnost

p = 2,25 ,q pE = -1 Jedinična

elastičnost

2,25 < p < 4,5 ,q pE < -1 Elastičnost

p = 4,5 ,q pE = -∞ Savršena

elastičnost

Grafikon 1.11.a’. Funkcija elastičnosti tražnje ( ) 9 2q p p= −

2) , 2

7 7 06 ( 1) (6 )( 1)1

q pp pE p p p p

p

− −= ⋅ = <

− + − ++

definisana za p∈[0, 6)

,q pE = 0 za p = 0 p = 6 vertikalna asimptota

[ ]

2

, 214( 3)( ) 0

(6 )( 1)q p

pEp p

− +′ = <− +

opadajuća funkcija

2, 1,21 2 6 0 1 7; 1 7 (0,6); 1 7 1,65q pE p p p p p= − ⇒ + − = ⇒ = − ± = − − ∉ = − + ≈

p ,q pE Tip

elastičnosti

p = 0 ,q pE = 0 Savršena neelastičnost



elastičnost

1,65 < p < 6 ,q pE < -1 Elastičnost

p = 6 ,q pE = -∞ Savršena

elastičnost

Grafikon 1.11.b’. Funkcija elastičnosti tražnje 7( ) 1

1q p

p= −

+

0 1,65 p 6

Eq, p

0 -1

2,25 4,5 p

Eq,p

FUNKCIJA TRAŽNJE

71

3) 2

, 22 2

4 4 0100 4100 4 100 4

q pp p pE

pp p− −

= ⋅ = <−− −

definisana za p∈[0, 5)

,q pE = 0 za p = 0

p = 5 vertikalna asimptota

, 2 2

800( ) 0(100 4 )q p

pEp

−′ = <−

opadajuća funkcija

2 2 2 2, 1 4 100 4 8 100 12,5 12,5 3,53q pE p p p p p= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ≈

p ,q pE Tip elastičnosti

p = 0 ,q pE = 0 Savršena

neelastičnost



elastičnost

3,53 < p < 5 ,q pE <-1 Elastičnost


elastičnost

Grafikon 1.11.c’. Funkcija elastičnosti tražnje 2( ) 100 4q p p= −

4) 2

, 2 2

2 8(2 8) 08 15 8 15q pp p pE p

p p p p−

= ⋅ − = <− + − +

definisana za p∈[0,3)

,q pE = 0 za p = 0

p = 3 vertikalna asimptota 2

, 2 2

4( 2 15 30)( ) 0( 8 15)q p

p pEp p− + −′ = <

− + opadajuća funkcija

0 5 3,53 p

Eq, p

-1


72

2, 1,2

16 761 3 16 15 0 ;6

16 76 16 76(0,3); 1, 26 6

q pE p p p

p p

±= − ⇒ − + = ⇒ =

+ −= ∉ = ≈

p ,q pE Tip elastičnosti

p = 0 ,q pE = 0 Savršena

neelastičnost



elastičnost

1,2 < p < 3 ,q pE < -1 Elastičnost


elastičnost

Grafikon 1.11.d’. Funkcija elastičnosti tražnje 158)( 2 +−= pppq

Primjer 1.12.

Neka su date funkcije tražnje iz primjera 1.11.

a) Naći funkcije inverznog zakona tražnje i grafički ih predstaviti. b) Odrediti fleksibilnosti cijena u odnosu na potraživanu količinu q = 5 u svim slu-

čajevima i protumačiti rezultate.

Rješenje: a) Inverzni zakon agregatne tražnje ( )p p q= definisan za 0 0 ( ) 0q p p q′≥ ∧ ≥ ∧ < .

Pri skiciranju grafika inverznih zakona tražnje, iskoristit ćemo već nacrtane grafike u prethodnom primjeru i činjenicu da su grafici inverznih funkcija simetrični u odnosu na simetrali I i III kvadranta, tj. u odnosu na pravu q = p.

1. 9( ) 9 2 2 9 ( )2

qq p p p q p p q −= − ⇒ = − ⇒ = =

Inverzna tražnja je definisana za [ ] [ ] 10,9 ; 0, 4.5 ( ) 02

q p p q −′∈ ∈ ∧ = < .

0 3 1,2 p

Eq, p

-1

FUNKCIJA TRAŽNJE

73

Grafikon 1.12.a Funkcija inverznog zakona tražnje 9( )

2qp q −

=

2) 6 6( ) ( 1) 6 6 ( )1 1p qq p q p p qp p q p q

p q− −

= ⇒ + = − ⇒ + = − ⇒ =+ +

Inverzna tražnja je definisana za p∈[0,6]; q∈[0, 6]. U ovom primjeru su funkcije direktnog i inverznog zakona agregatne tražnje jedna te ista funkcija, pa su njihovi grafici isti.

3) 2 2 2 2 2 21( ) 100 4 100 4 4 100 1002

q p p q p p q p q= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ± − .

Kako moraju biti zadovoljeni uslovi 0 0 ( ) 0q p p q′≥ ∧ ≥ ∧ < , to za funkciju tražnje

uzimamo funkciju 21 1002

p q= − definisanu za q∈[0, 10] ∧ p∈[0,5].

Grafikon 1.12.c. Funkcija inverznog zakona tražnje 21( ) 1002

p q q= −

p 6 5 4 3 2 1

q0 2 4 6 8 10

p

4,5

q0 9


74

4) 2 2

1,2 1,28 64 4(15 )

( ) 8 15 8 15 0 4 12

pq p p p p p q p p q

± − −= − + ⇒ − + − = ⇒ = ⇒ = ± +

Zbog uslova ( ) 0p q′ < funkcija 4 1p q= + + ne može biti funkcija tražnje jer vrijedi:

1( ) 02 1

p qq

′ = >+

.

Odavde zaključujemo da je funkcija ( ) 4 1p q q= − + funkcija inverznog zakona tra-žnje i ona je definisana za p∈[0, 3], q∈[0, 15].

Grafikon 1.12.d. Funkcija inverznog zakona tražnje ( ) 4 1p q q= − +

b) Funkcija fleksibilnosti cijene u odnosu na tražnju ,,

1( ) 0( )p q

q p

qE p qp q E

′= ⋅ = <

1) Fleksibilnost cijene u odnosu na tražnju q = 5 možemo računati kao

, 55 (5)(5)p qE p

p= ′= ⋅

, 55 5 1 5(5)(5) 2 2 4p qE p

p=−′= ⋅ = ⋅ = − ili izračunamo 5 = 9 – 2p ⇒ p = 2;

, 2 , 52 4 5( 2)5 5 4q p p qE E= == ⋅ − = − ⇒ = − .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-5 0 5 10 15 20

FUNKCIJA TRAŽNJE

75

Ako tražnju sa nivoa q = 5 povećamo za 1%, cijena će se sa nivoa p = 2 smanjiti za 1,25 %.

2) , 55 5 7 35(5) 0,971(5) 36 36

6

p qE pp=

− −′= ⋅ = ⋅ = ≈ − .

Ako tražnju sa nivoa q = 5 povećamo za 1%, cijena će se sa nivoa 1 0,1676

p = ≈

smanjiti za približno 0,97%.

3) , ,1 5 2,5 3 175 3 4,33 ( 2) 3 0,582 2 5 3q p p qp E E −

= = ≈ ⇒ = ⋅ − = − ⇒ = ≈ − .

Ako tražnju sa nivoa q = 5 povećamo za 1%, cijena će se sa nivoa p ≈ 4,33 smanjiti za približno 0,58 %.

4) , 55 5 1(5) 0,66(5) 4 6 2 6p qE p

p=−′= ⋅ = ⋅ ≈ −

−.

Ako se tražnja sa nivoa q = 5 poveća za 1%, cijena će se sa nivoa 4 6 1,55p = − ≈ smanjiti za približno 0,66 %.

Primjer 1.13.

Na nekom tržištu postoje tri potrošača sa individualnim zakonima tražnje:

1

2

3

4 0,556 1,5

x px px p

= −= −= −

a) Definisati svaku od funkcija individualne tražnje uz grafički prikaz, b) Odrediti funkciju agregatne tražnje uz grafički prikaz, c) Za koju cijenu je elastičnost agregatne tražnje jedinična, d) Odrediti elastičnost tražnje za cijenu p = 6 i protumačiti rezultat.

Rješenje: a) Definiciono područje funkcije individualne tražnje je 0 0 0p x x′> ∧ ≥ ∧ ≤ . Odav-de su definiciona područja individualnih tražnji data na grafikonu 1.13. i algebarski određena sa:

[ ] [ ]1 1 14 0,5 0 8 0,8 ; 0, 4 0,5 0x p p p x x′= − ≥ ⇒ ≤ ⇒ ∈ ∈ ∧ = − < .


76

[ ] [ ]2 2 25 0 5 0,5 ; 0,5 1 0x p p p x x′= − ≥ ⇒ ≤ ⇒ ∈ ∈ ∧ = − < .

[ ] [ ]3 3 36 1,5 0 4 0, 4 ; 0,6 1,5 0x p p p x x′= − ≥ ⇒ ≤ ⇒ ∈ ∈ ∧ = − < .

Grafikon 1.13. Funkcije individualnih tražnji

b) Agregatna tražnja je zbir svih individualnih tražnji u oblasti njihove definisanosti.

[ )[ )

[ )[ )[ ]

1 2 3

1 2

1

(0,4) 15 3 0,4( ) 4,5 9 1,5 4,5

5,8 4 0,5 5,8

x x x za p p za pq p x x za p p za p

x za p p za p

⎧⎧ + + ∈ − ∈⎪ ⎪= + ∈ = − ∈⎨ ⎨⎪ ⎪∈ − ∈⎩ ⎩

.

p+ = 8 (granična cijena); q+ = 15 (nivo zasićenja)

Kako je agregatna tražnja q(p) sastavljena od tri linearne funkcije definisane u različi-tim intervalima, to ćemo za izradu grafičkog prikaza agregata ove tri linearne funkcije koristiti rubne tačke intervala njihove definisanosti.

Za p∈[0, 4), prava koja prolazi kroz tačke (0, 15), (4,3).

Za p∈[4, 5), prava koja prolazi kroz tačke(4, 3), (5, 1.5).

Za p∈[5, 8], prava koja prolazi kroz tačke (5, 1.5), (8, 0).

0 4 5 8 x1+ x2 + x3 x1

p x1+ x2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 p

4

x1

5

x2

6

x3

p p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

FUNKCIJA TRAŽNJE

77

Grafikon 1.13.a. Funkcija agragatne tražnje

c) Jedinična elastičnost agregatne tražnje , 1q pE = − . Računamo je za svaki izraz fun-kcije tražnje u oblasti njene definisanosti.

Za p ∈[0, 4), q(p) = 15 –3p, pa je

[ ), 1 ( 3) 1 3 15 3 6 15 2,5 0,415 3q p

pE p p p pp

= − ⇒ ⋅ − = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ∈−

.

Za p ∈[4, 5), q(p) = 9 – 1,5p, pa je

[ ), 1 ( 1,5) 1 1,5 9 1,5 3 9 3 4,59 1,5q p

pE p p p pp

= − ⇒ ⋅ − = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ∉−

.

Za p∈[5, 8), q(p) = 4- 0,5p, pa je

[ ], 1 ( 0,5) 1 0,5 4 0,5 4 5,84 0,5q p

pE p p pp

= − ⇒ ⋅ − = − ⇒ = − ⇒ = ∉−

.

Ako cijenu sa nivoa p = 2,5 povećamo 1%, tražnja će se sa nivoa q(2,5) = 7,5 također smanjiti za 1%.

d) Za p = 6∈[5, 8], q(p) = 4 – 0,5p = 1, pa je , 66 ( 0,5) 31q pE = = ⋅ − = − .

Ako se cijena sa nivoa p = 6 poveća za 1%, tražnja će se sa nivoa q = 1 smanjiti za 3%.

p

15 q(p)

0

3

1,5

4 5


78

Primjer 1.14. Prodate količine frižidera «Super» (q) i cijene po jedinici proizvoda (p) date su u tabeli:

Q (kom.) 36 32 30 28 24 17 13 12 10

P (KM/kom.) 400 600 700 800 1000 1300 1500 1800 2000

a) Metodom najmanjih kvadrata odrediti linearnu funkciju tražnje koja najbolje ap-roksimira dati skup podataka,

b) Predvidjeti kolika bi bila potraživana količina frižidera za cijenu p = 2200, c) Odrediti koliki bi bio koeficijent elastičnosti tražnje za cijenu p = 700 i objasniti

dobijeni rezultat, d) Odrediti fleksibilnost cijene za nivo q = 15 kom.

Rješenje: a) Traži se linearna funkcija ( )q p ap b= + , odnosno treba ocijeniti metodom najma-njih kvadrata koeficijente a i b koji omogućavaju da odstupanje ocijenjenih vrijednosti tražnje [ ]q(p) ap b= + od vrijednosti datih u tabeli budu minimalna.

Kompletira se radna tabela:

pi qi pi qi pi2

400 36 14400 160000 600 32 19200 360000 700 30 21000 490000 800 28 22400 640000

1000 24 24000 1000000 1300 17 22100 1690000 1500 13 19500 2250000 1800 12 21600 3240000 2000 10 20000 4000000

∑ 10100 ∑ 202 ∑ 184200 ∑ 13830000

Formira se sistem normalnih jednačina:

2

i i

i i i i

q a p b n

q p a p b p

= + ⋅

= +∑ ∑∑ ∑ ∑

(i = 1,2…9 = n).

Uvrštavajući odgovarajuće vrijednosti iz gornje tabele u sistem normalnih jednačina dobija se:

202 10100 9184200 13830000 10100

a ba b

= +⎧⎨ = +⎩

FUNKCIJA TRAŽNJE

79

Rješavajući gornji sistem jednačina dobijaju se vrijednosti koeficijenata a i b: 0,017; 41,551a b= − = .

Funkcija tražnje je: ( ) 0,017 41,551q p p= − + . Procijenjena funkcija tražnje se definiše na sljedeći način:

0 ( ) 0,017 41,551 0 2444,2 ( ) 0,017 0p q p p p q p′> ∧ = − + > ⇒ < ∧ = − <

p∈(0, 2444); q∈(0, 41,551). U Microsoft Excelu se dobija ista linearna funkcija koja najbolje aproksimira dati skup podataka. Postupak određivanja funkcije koja najbolje aproksimira dati skup podataka upotrebom Excela je objašnjen ranije i u ovom slučaju ćemo ga primijeniti.

y = -0.017x + 41.551R2 = 0.9668

0 5

10 15 20 25 30 35 40

0 500 1000 1500 2000 2500 Grafikon 1.14. Funkcija tražnje

b) Za cijenu p = 2200, potraživana količina bi bila q = -0,017⋅ 2200 + 41,551= 4,151≈ 4 kom.

c) , 700700 700( 0,017) ( 0,017) 0,4(700) 29,65q pE

q= = ⋅ − = ⋅ − = − .

Ako se cijena sa nivoa p = 700 nj poveća za 1%, tražnja će se smanjiti za približno 0,4%.

Ili ,700 2 0,4630 100q p

p qEq p

Δ −= ⋅ = ⋅ ≈ −

Δ.

d) Za q = 15 kom., p ≈ 1562,

, 1562 , 151562 1( 0,017) 1,77 0,56

15 1,77q p p qE E= == ⋅ − ≈ − ⇒ = − ≈ − .

Ako se tražnja sa nivoa q = 15 kom. poveća za 1%, cijena će se smanjiti za približno 0,56%.

80

1.6. Funkcija prihoda

Prihod proizvođača odražava realizaciju nekog dobra na tržištu zavisno od prodajne cijene i količine. Ako se količina tražnje za nekim dobrom koja se realizuje na tržištu pomnoži sa cijenom tog dobra dobije se ukupan prihod proizvođača.

Funkcija ukupnog prihoda se definiše kao proizvod između cijene nekog dobra i tražnje za tim dobrom koja je realizovana na tržištu. Funkciju prihoda ćemo analizirati za slučajeve konstantne i varijabilne tržišne cijene. 1.6.1. Funkcija prihoda za konstantnu (determinisanu) cijenu Ako je cijena p nekog dobra na tržištu konstantna, ukupan prihod će biti funkcija prodate količine, tj. funkcija tražnje.

. ( )P p yp const P P y= ⋅= ⇒ =

(1.60)

Kod determinisane tržišne cijene p=const.>0, prodata količina ne može biti veća od odgo-varajuće agregatne tražnje q niti od ponuđene količine y na tržištu. Zbog toga između tražnje q na tržištu i ponuđene količine y mogu nastupiti sljedeći odnosi: 0 , 0 , 0y q y q y q≤ < ≤ = > ≥

U zavisnosti od odnosa y i q ukupan prihod kod konstantne, odnosno determinisane cijene može se napisati na sljedeći način:

00

p y y qP

p q y q⋅ ≤ ≤⎧

= ⎨ ⋅ > ≥⎩ (1.61)

Funkcija ukupnog prihoda P za konstantnu cijenu je predstavljena na sljedećem grafikonu:

Grafikon 13. Funkcija ukupnog prihoda kod konstantne cijene

P

0 y q

p

FUNKCIJA PRIHODA

81

Za ponuđenu količinu y koja je manja od maksimalne tražnje na tržištu pri konstantnoj cije-ni p, prihod je jednak proizvodu između te cijene p i količine y. Za ponuđenu količinu y, koja je veća od tržišne tražnje q, ukupan prihod je jednak proizvodu između konstantne cijene i tražnje na tržištu koja je realizovana, dakle P p q= ⋅ .

Pošto je cijena p konstantna sa rastom realizovane količine y raste i ukupan prihod P, pa slijedi da je ukupan prihod maksimalan kada realizovana količina y dostigne maksimalnu količinu tražnje: (max) (max ) .P p y p q= ⋅ = ⋅

Granični prihod kod determinisane cijene se može napisati sljedećim izrazima, u zavis-nosti od odnosa y koji predstavlja količinu koja se nudi na tržištu i maksimalne tražnje q koja se može realizovati na tržištu pri cijeni p.

( )' "0 0( ) , 0

0 0p const za y q

P y P yza y q

= > ≤ ≤⎧= =⎨ > ≥⎩

(1.62)

Na sljedećem grafikonu je predstavljena funkcija graničnog prihoda.

Grafikon 14. Funkcija graničnog prihoda

Grafički prikaz funkcije graničnog prihoda pokazuje, kao i izvedeni izrazi za granični pri-hod, da je granični prihod jednak konstantoj cijeni p do iznosa količine tražnje realizovane na tržištu. Za ponuđene količine koje su veće od tražnje na tržištu prihod je jednak nuli.

Ako je tražnja na tržištu dovoljno velika da se može realizovati sva ponuđena količina, tj. y q≤ , tada je funkcija graničnog prihoda jednaka cijeni koja je konstantna.

' 0qdPP p constdq

= = = > (1.63)

P'

q y

p

q y

p

0


82

Prosječni prihod kod determinisane cijene Funkcija prosječnog prihoda kod detereminisane cijene se može napisati u sljedećem obli-ku:

0 0

0

p y p z a y qy

Pp q za y q

y

⋅⎧ = > ≤ ≤⎪⎪= ⎨ ⋅⎪ > ≥⎪⎩

(1.64)

i predstaviti na grafikonu.

Grafikon 15. Funkcija prihoda kod detereminisane cijene

Ako je tražnja na tržištu dovoljno velika da se može realizovati sva ponuđena količina, tj. y q≤ , tada je funkcija prosječnog prihoda također jednaka konstantnoj cijeni.

0P p qP p constq q

⋅= = = = > (1.65)

1.6.2. Elastičnost prihoda kod konstantne cijene Za funkciju prihoda kod konstantne cijene

0( )

0p y y q

P yp q y q⋅ ≤ ≤⎧

= ⎨ ⋅ > ≥⎩

elastičnost prihoda je definisana sljedećim izrazom

, 'P yyE PP

= ⋅ (1.66)

Ρ

q y

p

0

FUNKCIJA PRIHODA

83

i može imati dvije sljedeće vrijednosti:

, 1% 0P y const za y qΕ = = ≤ ≤

, 0% 0P y const za y qΕ = = > ≥

Zaista, ( )

,

1 0'

0 0P y

y p y qp yyE P

yP p q y qp q

⎧ ⋅ = ≤ ≤⎪ ⋅⎪= ⋅ = ⎨′⎪ ⋅ ⋅ = > ≥

⎪ ⋅⎩.

Elastičnost prihoda u odnosu na količinu y će biti jedinična ili indiferentna ukoliko se y nalazi u intervalu 0 y q≤ ≤ . Ako se ponuđena (u ovom slučaju i realizovana) količina po-veća za 1% i ukupan prihod će se povećati za 1%.

Ako se ponuđena količina y q> (koja u ovom slučaju nije realizovana, jer je realizovano samo q) poveća za 1% i ukupan prihod se neće promijeniti (EP,y = 1%).

Elastičnost prihoda će biti savršeno neelastična za vrijednosti y iz intervala 0y q> ≥ .

Grafikon 16. Elastičnost prihoda kod determinisane cijene

1.6.3. Agregatni prihod Kada je cijena na tržištu varijabilna, odgovarajuća funkcija prihoda nema konstantan pravac pa samim tim ova funkcija nema isti grafik kao funkcija prihoda sa konstantnom tržišnom cijenom.. Odredimo oblik funkcije prihoda kod se cijena mijenja po nekom zakonu tražnje:

Neka je ( )q q p= funkcija tražnje za predmetnim dobrom na određenom tržištu. Pretposta-vimo da za različite cijene 1 2 3, , ,..., np p p p vrijedi sljedeći odnos:

1 2 30 ... .np p p p p+< < < < < <

y,ΡΕ

q y

1

0


84

Neka su 1 2 3, , ,..., nq q q q maksimalne tražnje kod posmatranih cijena, respektivno. Zbog za-kona normalnosti tražnje vrijedi odnos 1 2 3 ... nq q q q> > > > .

Grafikon 17. Funkcija tražnje za odgovarajuće cijene

Svakoj mogućoj varijanti tržišne cijene (0,ip p+ ⎤∈ ⎦ možemo pridružiti odgovarajuću fun-

kciju prihoda [ ]0, 1, 2,3,...,i i iP p y za y q i n= ⋅ ∈ = .

Funkcije prihoda ; 1, 2,3,...,i iP p y i n= ⋅ = grafički predstavljaju duži. Krajnje tačke duži su tačke ( )0, 0 i ( ), ; 1, 2, 3, ,i i ip p q i n= … , odnosno tačke koje odgovaraju cijeni 0 i cijeni pi.

Kada se spoje tačke u kojima se ostvaruju maksimalni prihodi, tj. tačke ( ), ; 1, 2, 3, ,i i ip p q i n= … kod svih posmatranih cijena pi, dobije se tipičan oblik funkcije ukupnog prihoda u slučaju varijabilne cijene .

Grafikon 18. Funkcija ukupnog prihoda kod varijabilne cijene

0 p1 p2 p3 . . . pn p+

q(p) p3 q3 p2 q2

p1 q1 pn qn

0 p1 p2 p3 . . . pn p+

q(p) q1 q2 q3

.

.

. qn

FUNKCIJA PRIHODA

85

Varijabilna tržišna cijena prati zakon agregatne tražnje izražen kao direktni ( )q q p= ili kao inverzni zakon ( )p p q= pa se funkcija ukupnog prihoda kod varijabilne cijene može izraziti kao funkcija cijene p ili kao funkcija količine q. Napomenimo da je funkcija agregatnog prihoda definisana samo za one vrijednosti nezavi-sno promjenjljive (p ili q) za koje je definisana tražnja.

Polazeći od direktnog zakona agregatne tražnje q=f(p), odnosno q = q(p) dobijamo funkci-ju prihoda kao funkciju cijene:

( ) ( ) ( )pP p q p f p p q p P P p= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = za 0 p p+≤ ≤ (1.67)

ili kao funkciju količine polazeći od inverznog zakona tražnje p = p(q):

( ) ( ) ( )qP p q q q p q q P P qφ= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = za 0 q q+≤ ≤ (1.68)

Funkcija ukupnog prihoda jednaka je nuli uz sljedeće uslove12:

0 ( ) 0 odosno0

0 ( ) 0 odosnop ili q q p p p

P p q zaq ili p p q q q

+

+

⎧ = = = =⎪= ⋅ = ⎨= = = =⎪⎩

Maksimalni agregatni prihod se ostvaruje za tražnju max Pq q= ako su zadovoljeni sljedeći uslovi:

' '

max ( )

( ) 0 0 0"( ) 0

Pp

P P P

P

P P q

P P q za q q i p pP q

+

+ +

=

= = ≤ ≤ ≥ ≥<

Analogno, maksimalni agregatni prihod se ostvaruje za cijenu max Pp p= ako su zadovoljeni sljedeći uslovi:

' '

max ( )

( ) 0 0 ( ) 0"( ) 0

Pp

P P

P

P P p

P P p za p p i q q pP q

+

+ +

=

= = ≤ ≤ ≥ ≥<

Granični prihod P' kod varijabilne cijene Funkcija graničnog prihoda se izvodi iz funkcije ukupnog prihoda. Funkcija graničnog pri-hoda je jednaka prvom izvodu funkcije ukupnog prihoda.

12 Iskorištena je pretpostavka da kod funkcije tražnje q=q(p), vrijedi q(p+)=0 i p(q+)=0.


86

Granični prihod kao funkcija cijene

Granični prihod kao funkcija cijene 'pP se izražava u novčanoj jedinici prihoda po novčnoj

jedinici cijene i pokazuje za koliko novčanih jedinica će se promijeniti ukupan prihod ako se cijena na tržištu poveća za jednu novčanu jedinicu.

Znak graničnog prihoda definiše rast ili pad funkcije ukupnog prihoda. Kada je granični prihod veći od nule, ukupan prihod raste, odnosno prihod raste za cijenu 0 Pp p< < . Uku-pan prihod dostiže maksimum kada je granični prihod jednak nuli, odnosno za cijenu

Pp p= . Kada je granični prihod manji od nule, ukupan prihod opada, i to za cijenu

Pp p p+< ≤ .

'

0 00

0

P

P P

P

za p pP za p p

za p p+

⎧> < <⎪= =⎨⎪< <⎩

Pošto je ukupni prihod izražen kao funkcija cijene relacijom (1.67), granični prihod kao funkcija cijene se može napisati u obliku sljedećeg izraza:

[ ]' ( ) ( ) ( )pdPP p f p f p p f p q pqdp

′ ′ ′= = ⋅ = + ⋅ = + (1.69)

0 0q q i p p+ +≤ ≤ ≤ ≤

Granični prihod kao funkcija količine

Kada se ukupan prihod izrazi kao funkcija količine relacijom (1.68) granični prihod se ta-kođer može izraziti kao funkcija tražnje, odnosno količine q

[ ]' ( ) ( ) ( )qdPP q q q q q p qpdq

φ φ φ′ ′ ′= = ⋅ = + = + (1.70)

0 0q q i p p+ +≤ ≤ ≤ ≤

Granični prihod pokazuje promjenu ukupnog prihoda izazvanu jediničnom promjenom tra-žnje, odnosno količine realizovane na tržištu. Dakle, granični prihod pokazuje promjenu ukupnog prihoda koja je rezultat porasta tražnje za jednu količinsku jedinicu. Jedinica mje-re je novčana jedinica po količinskoj jedinici. Granični prihod i u ovom slučaju može da raste, stagnira ili opada u zavisnosti od tražnje q, što se predstavlja sljedećim izrazom:

'

0 00

0

P

q P

P

za q qP za q q

za q q q+

⎧> ≤ <⎪= =⎨⎪< < <⎩

FUNKCIJA PRIHODA

87

Značenja i objašnjenja graničnog prihoda se mogu rezimirati na sljedeći način:

Ukoliko se prihod posmatra kao funkcija cijene, granični prihod će također biti izražen kao funkcija cijene i pokazivaće promjenu ukupnog prihoda izazvanu jediničnom promjenom cijene. Značenje: ukoliko se cijena datog proizvoda poveća za jednu novčanu jedinicu po količinskoj jedinici, ukupan prihod će se promijeniti za onoliko novčanih jedinica koliko

iznosi granični prihod. Jedinica mjere graničnog prihoda u ovom slučaju je njnj kj

.

Ukoliko se ukupni i granični prihod izraze kao funkcija tražnje, odnosno tražene količine, tada granični prihod pokazuje promjenu ukupnog prihoda koja je rezultat jedinične prom-jene tražnje. Značenje: ukoliko se tražnja promijeni za jednu količinsku jedinicu, granični prihod pokazuje za koliko će se novčanih jedinica promijeniti ukupan prihod. Jedinica mjere graničnog prihoda u ovom slučaju (nj/kj).

Kada je poznata funkcija graničnog prihoda ukupna prihod se utvrđuje kao integral te fun-kcije, u zavisnosti od toga da li se prihod analizira kao funkcija cijene ili količine:

0 0

( ) ( )p q

P P p dp ili P q dq′ ′= ⋅ ⋅∫ ∫ (1.71)

Prosječan prihod kod varijabilne cijene Prosječan prihod se može izraziti kao funkcija količine dijeleći ukupan prihod sa cijenom, ili kao funkcija cijene dijeleći ukupan prihod sa količinom, što je predstavljeno u izrazima (1.72) i (1.73).

Pri datom nivou cijena, u prosjeku na svaku jediničnu cijenu dolazi pP prihoda. Prosječan prihod, izražen kao funkcija cijene, je pokazatelj osvarenog prihoda po jediničnoj cijeni datog proizvoda. U izrazu (1.72) vidimo da prosječan prihod predstavlja funkciju tražnje.

( )( )p

P pP q p qp

= = = (1.72)

Pri datom nivou tražnje, u prosjeku na svaku količinsku jedinicu tražnje dolazi qP prihoda. Prosječan prihod u ovom slučaju je pokazatelj ostvarenog prihoda po jedinici realizovanog proizvoda. U izrazu (1.73) vidimo da prosječan prihod predstavlja funkciju inverzne tražnje

( )( )q

P qP p q pq

= = = (1.73)


88

Na sljedećim grafikonima su predstavljeni ukupni, granični i prosječni prihod kao funkcija količine i kao funkcija cijene.

Na ova dva grafikona mogu se posmatrati i analizirati odnosi koji postoje između ove tri fukcije primjenjujući rezultate analize koji su prezentovani u opštem slučaju u dijelu 1.2., a odnose se na veze i odnose između ukupne, granične i prosječne veličine.

0

qmax

q+

0 qmax q+

Pmax

0 pmaxp+

Pmax

0

pmax

p+

p+q+

Grafikon 19. Ukupni, granični i prosječni prihod kao funkcija količine q i kao funkcija cijene p

Ukupan prihod dostiže maksimum u tački u kojoj je granični prihod jednak nuli. Ukupan prihod raste u intervalu u kojem je granični prihod pozitivan, a opada u intervalu u kojem je granični prihod negativan. Analizirane funkcije prihoda su definisane u oblasti definisanosti tražnje.

1.6.4. Veza između graničnog prihoda i elastičnosti tražnje

Proširivanjem izraza (1.69) i njegovim sređivanjem dobije se veza između graničnog priho-da i elastičnosti tražnje:

FUNKCIJA PRIHODA

89

2

,' ( ) (1 ) (1 )p q pq q pq q pP q pq q q q Eq q q q

′′ ′= + ⋅ = + = + ⋅ = + (1.74)

Veza između graničnog prihoda kao funkcije cijene i elastičnosti tražnje se može predstavi-ti u sljedećem obliku:

( )( )( )

, ,

', ,

, ,

0 1 0 0 1 0 ,

0 1 0 1 ,

0 1 0 1 , , 0

q p q p P P

p q p q p P P

q p q p P P

za E E za p p q q q

P za E E za p p q q

za E E za p p p q q

+

+

⎧> + > ⇔ > > − < < > >⎪⎪= + = ⇔ = − = =⎨⎪< + < ⇔ − > > −∞ < < > >⎪⎩

Odavde vidimo da ukupan prihod raste ako je tražnja neelastična u odnosu na cijenu. Uku-pan prihod je maksimalan ako je elastičnost tražnje jedinična i ako je tražnja elastična na promjenu cijene, ukupan prihod opada.

Proširivanjem izraza (1.70) i sređivanjem dobija se veza izeđu graničnog prihoda kao fun-kcije količine i elastičnosti (fleksibilnosti) cijene u odnosu na tražnju:

2'

,( ) (1 ) (1 )q p qp p qp p qP p qp p p p Ep p p p

′′ ′= + ⋅ = + = + ⋅ = + (1.75)

Veza između graničnog prihoda kao funkcije tražnje, odnosno količine i elastičnosti cijene se može predstaviti u sljedećem obliku:

( )( )( )

, ,

, ,

, ,

0 1 0 0 1 0 ,

' 0 1 0 1 ,

0 1 0 1 , 0

p q p q P P

q p q p q P P

p q p q P P

za E E za q q p p p

P za E E za q q p p

za E E za q q q p p

+

+

⎧> + > ⇒ > > − ≤ < > >⎪⎪= + = ⇒ = − = =⎨⎪< + < ⇒ − > > −∞ < < > >⎪⎩

Analogno ranijem, zaključujemo da prihod opada ako je inverzna tražnja elastična a raste ako je inverzna tražnja neelastična. 1.6.5. Elastičnost prihoda

Elastičnost prihoda se može analizirati u odnosu na količinu i u odnosu na cijenu. Koefici-jent elastičnosti prihoda u odnosu na količinu pokazuje za koliko postotaka će se promijeniti ukupan prihod ako se tražnja poveća za 1% i po definiciji je jednak:

''

,q

P q qq

PqE PP P

= ⋅ = (1.76)


90

Ako se u gornjoj relaciji 'qP zamijeni izrazom (1.75), dobija se veza između elastičnosti

ukupnog prihoda i elastičnosti (fleksibilnosti) cijene:

', , ,(1 ) 1P q q p q p q

q qE P p E EP p q

= ⋅ = ⋅ + = +⋅

(1.77)

Elastičnost prihoda u odnosu na tražnju je jednaka elastičnosti cijene u odnosu na tražnju uvećanu za 1.

Koeficijent elastičnosti prihoda u odnosu na cijenu se definiše kao % promjene ukupnog prihoda koji je rezultat 1% porasta cijene:

''

,p

P p pp

PpE PP P

= ⋅ = (1.78)

Ako se u relaciji (1.78) 'pP zamijeni sa izrazom (1.74), dobija se veza između elastičnosti

prihoda kao funkcije cijene i elastičnosti tražnje:

', , ,(1 ) 1P p p q p q p

p pE P q E EP p q

= ⋅ = ⋅ + = +⋅

(1.79)

Elastičnost prihoda u odnosu na cijenu jednaka je elastičnosti tražnje u odnosu na cijenu uvećanu za 1.

Elastičnost prihoda i veza između elastičnosti prihoda u odnosu na cijenu i elastičnosti traž-nje u odnosu na cijenu su predstavljeni u tabeli koja slijedi.

Tabela 5. Elastičnost prihoda i elastičnost tražnje

p ,P pE ,q pE

p = 0 ,P pE =1 (jedinična elastičnost) ,q pE = 0 (savršena neelastičnost)

0 < p < pP 0< ,P pE <1 (neelastičnost) -1 < ,q pE < 0 (neelastičnost)

p = pP ,P pE 0 (savršena neelastičnost) ,q pE = -1 (jedinična elastičnost)

p2< p < p+ -1< ,P pE <0 (neelastičnost) -2 < ,q pE < -1 (elastičnost)

p = p2

,P pE = -1 (jedinična elastičnost) ,q pE = - 2 (elastičnost)

p2 < p < p+ ,P pE <-1 (elastičnost)

,q pE < -2 (elastičnost)

gdje je p2 cijena za koju je ,P pE = -1 .

FUNKCIJA PRIHODA

91

Na analogan način se može definisati i tabelarno predstaviti veza, između elastičnosti pri-hoda u odnosu na količinu i elastičnosti cijene u odnosu na tražnju, definisanu relacijom (1.77).

Osim u izvođenju 1. 77. vezu između elastičnosti ukupnog i prosječnog prihoda možemo dobiti koristeći opšte veze između elastičnosti ukupne i prosječne funkcije izvedene u dijelu 1.2. sljedećim izrazima:

, ,, ,1 1P p P qP p P qE E ili E E= + = +

u zavisnosti od toga da li se prihod izražava kao funkcija cijene ili količine.

Prosječan prihod je funkcije tražnje (direktne ili inverzne).

Elastičnost prihoda je za 1 veća od elastičnosti tražnje.

, 1P qE ≤ jer je , 0p qE ≤ , odnosno , 1P pE ≤ jer je , 0q pE ≤

Jedinična elastičnost tražnje se postiže u tački maksimalnog prihoda.

Primjer 1.15. Poznata je funkcija agregatne tražnje oblika 12q p= − . a) Odrediti algebarski i grafički funkciju prihoda ako su poznate sljedeće tržišne ci-

jene: p = 4 nj/kj, p = 6 nj/kj, p = 8 nj/kj.

b) U sva tri slučaja izvesti algebarske izraze za granični i prosječni prihod i grafički ih predstaviti.

c) Pronaći elastičnost prihoda u odnosu na ponuđenu količinu predmetnog dobra.

Rješenje: a) S obzirom da je cijena p = const. radi se o prihodu kod determinisane tržišne cijene

( )0py y q

P ypq y q

≤ ≤⎧= ⎨ ≥⎩

.

Prihod je definisan u oblasti definisanosti funkcije tražnje ( 0, 0, 0)q p q′≥ ≥ < ;

U ovom slučaju: 1 0q′ = − < ∧ q =12 – p > 0 ⇒ p < 12, pa je područje definisanosti prihoda i tražnje p∈(0,12).


92

Za postavljene cijene ima smisla tražiti funkciju prihoda. U slučaju 1) za cijenu p = 4 bilo bi q = 12 – 4 = 8 količinskih jedinica, pa bi funkcija prihoda bila:

(1) ( )4 0 832 8

y yP y

y≤ ≤⎧

= ⎨ ≥⎩.

Analogno, u slučaju 2) za cijenu p = 6 tražnja bi bila q = 12 – 6 = 6 količinskih jedi-nica i za cijenu p = 8 tražnja bi bila q = 12 – 8 = 4 pa bi funkcija prihoda bila:

(2) ( )6 0 636 6

y yP y

y≤ ≤⎧

= ⎨ ≥⎩, odnosno (3) ( )

8 0 432 4

y yP y

y≤ ≤⎧

= ⎨ ≥⎩.

Grafikon 1.15. Funkcije prihoda kod cijena p= 4, p = 6, p=8

U sva tri slučaja funkcija prihoda grafički predstavlja pravu kroz tačke (0, 0) i tačku ( ),q pq koja predstavlja maksimum prihoda za određenu cijenu p i to u slučaju 1) kroz tačku (4, 32), u slučaju 2) kroz tačku (6, 36) i u slučaju 3) kroz tačku (8, 32).

b) Za ponuđenu količinu manju ili jednaku određenoj tražnji predmetnog dobra (y ≤ q) imamo da su funkcije graničnog prihoda ' ( ) ( )P y py p′= = i prosječnog prihoda

( ) pyP y py

= = konstantne i jednake cijeni dobra.

P(y)

32

y

36

0 4 6 8

(1)

(2)

(3)

FUNKCIJA PRIHODA

93

Ukoliko je y > q, imamo da je granični prihod nula ( ) 0P y = , a prosječni prihod je

jednak ( ) pqP yy

= .

Na sljedećem grafikonu su dati grafički prikazi ovih funkcija:

Grafikon 1.15.a. Funkcije graničnog i prosječnog prihoda kod determinisane

cijene p = 4; p = 6, i p = 8

c) Elastičnost prihoda u odnosu na y q≤ ima vrijednost '

, ( ) 1( )P yy yE P y p

P y py= ⋅ = ⋅ = , tj. ima indiferentnu (jediničnu) elastičnost dok je za

0y q> ≥ elastičnost jednaka 0.

Primjer 1.16. Poznata je funkcija agregatne tražnje oblika 12q p= − .

a) Odrediti algebarski i grafički funkciju agregatnog prihoda, te odrediti za koju ci-jenu i količinu se ostvaruje maksimalan prihod i koliko iznosi.

b) Odrediti granični i prosječni prihod i dati njihov grafički prikaz c) Odrediti funkciju elastičnosti prihoda i tražnje u odnosu na cijenu dobra uz gra-

fički i tabelarni prikaz, a zatim protumačiti elastičnost prihoda i tražnje za cijenu p = 8.

P

y

P

0 4 6 8 0

4

6

8

8 y 0 4 6

4

6

8 (1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)


94

Rješenje: a) S obzirom da funkcija ukupnog (agregatnog) prihoda odražava realizovanu pro-daju nekog dobra ovisno o prodanoj količini i cijeni, smatrajući funkciju potražnje kao relaciju koja odražava prodaju, funkciju ukupnog prihoda ćemo dobiti kada fun-kciju tražnje ( )q f p= pomnožimo cijenom dobra tj. ( )P p q p= ⋅ .

Funkcija ukupnog prihoda je definisana u oblasti definisanosti funkcije tražnje, odno-sno za ( )0, 0, 0p q q′> ≥ ≤ .

U našem slučaju: 1 0q′ = − < ∧ q =12 – p > 0 ⇒ p < 12 ⇒ p∈(0,12) .

Analizom funkcije ukupnog prihoda ( ) 2( ) 12 12P p q p p p p p= ⋅ = ⋅ − = − imamo:

Oblast definisanosti: ( ) 2( ) 12 12P p q p p p p p= ⋅ = ⋅ − = − definisan je za p∈(0,12).

Nule: Prihod ( )0 ( ) 12 0 0 ( ) 0P p q p p p p q p= ⇒ ⋅ = ⋅ − = ⇒ = ∨ = , prihod je jed-nak nuli ako je p = 0 i p = p+ = 12.

Maksimum: Da bi odredili maksimalan prihod, potražimo stacionarnu tačku, odnosno granični prihod izjednačimo sa 0 i imaćemo

' 0 12 2 0 6P p p= ⇒ − = ⇒ = .

(Kako je " 0P < ⇒ za p = 6 prihod ima maksimum).

Dakle, za cijenu p = 6, tražena količina je q =12 – 6 = 6 i maksimalan prihod je

P+ = P(6) = 6⋅6 =36 n.j.

b) Ukupan prihod 212P p p= − ; granični prihod ' 12 2P p= − ; prosječan prihod

12PP p qp

= = − = .

Na narednim grafikonima su dati prikazi funkcija ukupnog prihoda, te funkcije grani-čnog i prosječnog prihoda.

Grafici su prikazani jedan ispod drugog zbog uočavanja karakterističnih veza između ukupne vrijednosti neke funkcije i njenih prosječnih i graničnih veličina.

FUNKCIJA PRIHODA

95

Grafikon 1.16.a. i b. Funkcija agregatnog prihoda P (p) i funkcije graničnog i prosječnog prihoda

Dakle, funkcija graničnog prihoda je linearna i prolazi kroz tačke (0,12) i (6,0).

Za cijenu 0< p <6 granični prihod je pozitivan, što znači da ukupan prihod raste, za p = 6 granični prihod je 0 gdje je maksimalan ukupan prihod i za cijenu 6< p <12 granični prihod je negativan što ima za posljedicu da ukupan prihod opada.

Funkcija prosječnog prihoda je funkcija tražnje, također linearna, prolazi kroz tačke ( )0,12 i ( )12,0 .

c) ',

12 2( ) (12 2 )( ) (12 ) 12P pp p pE P p p

P p p p p−

= ⋅ = ⋅ − =− −

funkcija elastičnosti prihoda.

Analizirajući ovu funkciju, dobivamo:

, 0P pE = za p = 6

p = 12 vertikalna asimptota

( ), 2

12 2 12 012 (12 )P p

pEp p

′′ ⎛ ⎞− −= = <⎜ ⎟− −⎝ ⎠

opadajuća funkcija

, 1P pE = za p = 0 i , 1P pE = − za p = 8.

P(p) P(p)

0

36

6 12 p

PP ,'

0

12

6 12 p

P′ P


96

Napomena: Iz odnosa elastičnosti prosječne i osnovne funkcije imamo

, ,, 1 1P p q pP pE E E= + = +

Dakle, funkciju elastičnosti prihoda i njene vrijednosti možemo izvesti iz funkcije elastičnosti tražnje i njenih vrijednosti i obrnuto, tj. elastičnost prihoda je za 1 veća od elastičnosti tražnje u odnosu na istu cijenu.

Grafikon 1.16.c. Funkcije elastičnosti prihoda i tražnje

Tabelarni pregled elastičnosti:

p ,P pE ,q pE

p = 0 ,P pE =1 (jedinična elastičnost) ,q pE = 0 (savršena neelastičnost)

0 < p < 6 0< ,P pE <1 (neelastičnost) -1 < ,q pE < 0 (neelastičnost) p = 6 ,P pE = 0 (savršena neelastičnost)

,q pE = -1 (jedinična elastičnost) 6 < p < 8 -1< ,P pE <0 (neelastičnost) -2 < ,q pE < -1 (elastičnost) p = 8 ,P pE = -1 (jedinična elastičnost)

,q pE = - 2 (elastičnost) 8 < p <1 2 , pEΠ <-1 (elastičnost)

,q pE < -2 (elastičnost)

Iz tabele i grafikona se konstatuje, da ako se cijena p sa nivoa p = 8 poveća za 1%, prihod će se smanjiti za 1%, a tražnja za 2 %.

1

0 -1

6 8 12

pPE , pqE ,

1

0-1

6 8 12

-2

FUNKCIJA PRIHODA

97

Primjer 1.17. Data je nepotpuna funkcija graničnog prihoda 4p A p′Π = − . a) Odrediti parametar A ako je granična cijena p+ = 8 nj/kj; b) Za cijene p = 2, p = 4, p = 6 izračunati granični prihod i protumačiti rezultate; c) Odrediti algebarski i grafički funkciju prihoda u zavisnosti od cijene; d) Odrediti algebarski i grafički funkciju prihoda u zavisnosti od tražnje; e) Odrediti elastičnost prihoda i tražnje za cijenu p = 6 i protumačiti rezultate.

Rješenje:

a) ' 2( ) ( ) ( 4 ) 2P p P p dp A p dp Ap p const= = − = − +∫ ∫

Kao što znamo, prihod je jednak 0 kada je p = 0 ili p = p+, to imamo P (0) = 0 ⇒ const = 0 i P(8) = 0 ⇒ 8A – 128 = 0 ⇒ A = 16.

Dobijamo da je 2( ) 16 2P p p p= − .

b) ' 16 4pP p= − ; Za p = 2 računamo ' (2) 16 4 2 8pP = − ⋅ = . Ako se cijena sa nivoa p = 2 poveća za jedinicu, ukupan prihod će se povećati za 8 novčanih jedinica. Slično, ' (4) 16 4 4 0pP = − ⋅ = . Ako se cijena sa nivoa p = 4 poveća za jedinicu, prihod će ostati nepromijenjen.

' (6) 16 4 6 8pP = − ⋅ = − . Ako se cijena sa nivoa p = 6 poveća za jedinicu, prihod će se smanjiti za 8 novčanih jedinica.

c) Već smo odredili funkciju prihoda u zavisnosti od cijene 2( ) 16 2P p p p= − .

Analizom ove kvadratne funkcije imamo:

1. 2( ) 16 2 (16 2 ) ( )

( ) 16 2P p p p p p p q p

q p p= − = − = ⋅

⇒ = −

def. za p ∈(0, 8). 2. P(p) = 0 ⇔ p = 0 ∨ p = p+ =8. 3. ' 16 4 0 4pP p p= − = ⇒ = pa je maksimalan

prihod {(4) 4 8 32P+ = = ⋅ = .

Grafikon 1.17. Funkcija prihoda u zavisnosti od cijene

32

0 4 8

p

P(p)


98

d) Iz inverznog zakona tražnje 16 2 2 16 82qq p p q p= − ⇒ = − ⇒ = − def. za q ∈(0, 16)

Odavde je 2

( ) ( ) (8 ) 82 2q qP q q p q q q= ⋅ = − = − algebarski izraz prihoda u zavisnosti

od tražnje.

Analizom ove kvadratne funkcije imamo:

1. ( ) ( ) 0

0 ( ) 0 0 16P q q p qq p q q q

= ⋅ = ⇒= ∨ = ⇒ = ∨ =

.

2. P´(q) = 0 ⇒ 8 – q = 0 ⇒ q = 8; pa je P+ (8) = 32,

(primjetimo da je za cijenu p = 4 potra-živana količina q = 16 – 8 = 8).

Grafikon 1.17.a. Funkcija prihoda u zavisnosti od tražnje

e) , 616 4 16 4 6(16 4 ) 2

(16 2 ) 16 2 16 2 6P pp pE p

p p p=− − ⋅

= ⋅ − = = = −− − − ⋅

; , 6 , 6 1 3q p P pE E= == − = − .

Ako se cijena p sa nivoa p = 6 nj poveća za 1%, prihod će sa nivoa P(6) = 24 smanjiti za 2%, a tražnja sa nivoa q(6) = 4 će se smanjiti za 3%.

Primjer 1.18.

Data je nepotpuna funkcija agregatnog prihoda 2( ) ( )P q q A q= ⋅ − . a) Odrediti nepoznat parametar A ako se zna da je elastičnost prihoda EP,q = -3 za

q =6 kj; b) Protumačiti vrijednost EP,q = -3 za q = 6 kj; c) Grafički predstaviti funkciju prihoda uz analizu karakterističnih tačaka.

Rješenje:

a) ', 2

3( ) ( )( 3 )( ) ( )P qq q A qE P q A q A q

P q q A q A q−

= ⋅ = ⋅ − − =− −

.

32

0 4 8 q

P(q)

12 16

FUNKCIJA PRIHODA

99

Iz uslova zadatka računamo

18 3 18 3 18 4 36 96

A A A A AA−

= − ⇒ − = − + ⇒ = ⇒ =−

.

Dakle, funkcija prihoda je 2( ) (9 )P q q q= ⋅ − .

b) Za q = 6 ⇒ P(6) = 54 n.j.

Ako se tražnja sa nivoa q = 6 poveća za 1%, prihod će sa nivoa P(6) = 54 nj smanjiti za 3%.

c)

Analizom funkcije se dobija:

Definisanost: 2( ) (9 )P q q q= ⋅ − definisana za q∈ (0,9).

Nule: 2( ) (9 )P q q q= ⋅ − = 0 za q = 0 i q+ = 9.

Ekstremi '

1 2"

"

"

( ) (9 )(9 3 ) 0 9 3

( ) 6 (6 ) 0 6 (6,54)(3) 18 0 maksimum (3,108)(9) 18 0 minimum (9,0)

P q q q q qP q q q prevojPP MP N

= − − = ⇔ = ∨ =

= − ⋅ − = ⇔ = ⇒

=− < ⇒

= > ⇒

Grafikon 1.18. Funkcija prihoda u zavisnosti od tražnje

Primjer 1.19.

Na tržištu određenog tipa robe nalaze se dva potencijalna potrošača sa individualnim zakonima tražnje: x1 = 4 - 0,5p; x2 = 5 – p. a) Odrediti funkciju agregatne tražnje i agregatnog prihoda uz grafički prikaz; b) Odrediti za koju cijenu je ukupan prihod maksimalan i koliko iznosi; c) Odrediti elastičnost prihoda za cijene p = 2 i p = 6. Protumačiti rezultate.

54

0 3

M

q 9 6

108 P(q)

P

N


100

Rješenje: a) Definiše se funkcija individualne tražnje:

(p ≥ 0, x ≥ 0, x´< 0)

x1´= -0,5 < 0 i x1 = 4 - 0,5p >0 ⇒ p < 8 ⇒ p∈(0, 8).

x2´= -1 < 0 i x2 = 5 - p >0 ⇒ p < 5 ⇒ p∈(0, 5).

Funkcija agregatne tražnje je:

[ )[ )[ ]

1 2

1

(0,5) 9 1,5 0,5( )

5,8 4 0,5 5,8x x za p p za p

q px za p p za p+ ∈ ⎧ − ∈⎧ ⎪= =⎨ ⎨∈ − ∈⎪⎩ ⎩

.

Kako je agregatni prihod Π(p) = p⋅ q(p), funkcija agregatnog prihoda je:

[ )[ ]

2

2

9 1,5 0,5( )

4 0,5 5,8p p za p

P pp p za p

⎧ − ∈⎪= ⎨ − ∈⎪⎩.

1) Za p∈(0,5) ( )

( )1 29 1,5 0 0 6 . .

0 9 3 0 3 . . 3 13,5

p p p i p d p

P p p d p P P+

⋅ − = ⇒ = = ∉⎧⎪⇒ ⎨′ = ⇒ − = ⇒ = ∈ ⇒ = =⎪⎩

2) Za p∈[5,8) ( ) 1 24 0,5 0 0 . . 8

0 4 0 4 . .p p p d p i pP p p d p⋅ − = ⇒ = ∉ =⎧⎪⇒ ⎨′ = ⇒ − = ⇒ = ∉⎪⎩

Grafikon 1.19. Funkcija agregatne tražnje

q(p) 9

0 5 8 p

1,5

FUNKCIJA PRIHODA

101

Grafikon 1.19.a. Funkcija agregatnog prihoda

b) Ukupan prihod je maksimalan za cijenu p = 3 i iznosi 13,5 nj c)

, 2

, 6

3(9 3 ) 0,5(9 1,5 ) 6

(4 ) 2(4 0,5 )

P p

P p

pE pp p

pE pp p

=

=

= ⋅ − = =−

= ⋅ − = −−

P (2)= 2⋅6 = 12 nj i P(6) = 6⋅1= 6 nj

Ako se cijena sa nivoa p = 2 nj poveća za 1%, prihod će se sa nivoa P= 12 nj povećati za 0,5%.

Ako se cijena sa nivoa p = 6 nj poveća za 1%, prihod će se sa nivoa P = 6 nj smanjiti za 2%.

P(p) 13,5

0 3 6 8 p

7,5

102

1.7. Funkcija troškova

Proizvodnja novih dobara ili učinaka uslovljena je trošenjem odgovarajućih faktora proizvodnje (rad, sredstva rada, predmeti rada itd.). Pored količinskog izražavanja (kg, kom, sat), utrošeni faktori se mogu iskazati i u zajedničkom imenitelju, tj. u novčanom izrazu. Vrijednosni izraz faktora utrošenih u proizvodnju novih proizvoda ili ostvarenje učinaka naziva se troškovima. U daljem tekstu će se analizirati vrste troškova i njihovi međusobni odnosi i osobine.

1.7.1. Ukupni troškovi C Ukupni troškovi C zavise od obima proizvodnje y, cijene i kvaliteta faktora proizvodnje, tehničkih uslova proizvodnje itd. Ako se pretpostavi da su svi faktori, osim obima proizvo-dnje, konstanti, ukupni troškovi se mogu izraziti kao funkcija obima proizvodnje.

( ), odnosno ( )C f y C C y= = (1.80)

Da bi matematska funkcija (1.80) predstavljala funkciju troškova mora ispuniti sljedeće uslove:

1. Uslov nenegativnosti nezavisne i zavisne promjenljive: 0, 0y C≥ ≥ . 2. U posmatranom intervalu funkcija treba da bude diferencijabilna. Prvi izvod treba da

bude pozitivan ( ) 0C C y′ ′= ≥ što održava zakonitost da se rastom obima proizvodnje y rastu i troškovi C . Funkcija ukupnih troškova C je rastuća funkcija u odnosu na obim proizvodnje y.

Da bi neka funkcija bila funkcija ukupnog troška mora zadovoljiti sljedeće uslove:

0; ( ) 0; ( ) 0y C y C y′≥ ≥ ≥ .

Podjela troškova se vrši sa raznih stanovišta uzimajući u obzir različite kriterije. U ovom dijelu će se analizirati podjela troškova prema stepenu njihovog reagovanja na promjene obima proizvodnje. S obzirom na ovaj kriterij, oni se dijele na:

1. Fiksne troškove F 2. Varijabilne troškove V , koji mogu biti

2.1. Proporcionalni 2.2. Neproporcionalni

Fiksni troškovi F su konstantni i ne zavise od obima proizvodnje. Utvrđuje se uz pretpos-tavku da je obim proizvodnje jednak nuli (y=0). Prema tome, kad se ne proizvodi, tj. kada je y = 0, ukupni troškovi C su jednaki fiksnim troškovima F , odnosno (0)C f F= = .

Varijabilni troškovi reaguju na svako povećanje ili smanjenje obima proizvodnje. Varijabilni trškovi mogu biti proporcionalni i neproporcionalni u zavisnosti od reakcije troškova na kre-

FUNKCIJA TROŠKOVA

103

tanje obima proizvodnje. Proporcionalni troškovi se mijenjaju proporcionalno, odnosno sra-zmjerno, a neproporcionalni nesrazmjerno sa promjenom obima proizvodnje. Rast ukupnih troškova C je posljedica rasta varijabilnih troškova jer su fiksni troškovi konstantni.

Na osnovu navedene podjele, funkcija ukupnih troškova se može zapisati kao zbir fiksnih i varijabilnih troškova:

( ) ( )C C y F V y= = + (1.81) 1.7.2. Granični troškovi C′ Granični troškovi se dobiju deriviranjem funkcije ukupnih troškova C i predstavljaju prvi izvod funkcije ukupnih troškova.

0 0

( ) ( )( ) lim limy y

C C y y C y dCC yy y dyΔ → Δ →

Δ + Δ −′ = = =Δ Δ

(1.82)

Granični troškovi su pokazatelj prirasta ukupnih troškova C koji je uslovljen jediničnim povećanjem obima proizvodnje y.

Kada se funkcija ukupnih troškova napiše u obliku izraza ( ) ( )C C y F V y= = + i odredi funkcija graničnih troškova zaključuje se da je funkcija graničnih troškova jednaka funkciji graničnih varijabilnih troškova ( )V y′ pošto je izvod fiksnih troškova (konstante) jednak nuli 0F ′ = .

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0

C y F V yC y F V yC y V y jer je F

= +′ ′ ′= +′ ′ ′= =

(1.83)

Kada je poznata funkcija graničnih troškova, funkcija ukupnih troškova se utvrđuje primje-nom neodređenog integrala:

*( ) ( ) ( )C y C y dy C y K′= = +∫ (1.84)

Ovim izrazom se određuje „familija“ funkcija kojoj pripada ova funkcija. Da bi se odredio ukupni trošak potrebno je odrediti konstantu K, a za njeno određivanje je potrebno pozna-vati još jedan podatak, naprimjer ( )0C F= . 1.7.3. Prosječni troškovi proizvodnje Prosječni fiksni troškovi se dobijaju dijeljenjem ukupnih fiksnih troškova sa obimom pro-izvodnje y:


104

( ) 0F yFy

= > (1.85)

i pokazuju fiksne troškove po jedinici proizvodnje. Posmatrani u odnosu na jedinicu proiz-voda, fiksni troškovi su promjenljivi i smanjuju se sa porastom obima proizvodnje. Prosječni fiksni troškovi su pozitivni i izražavaju se u nj/kj. Ovi troškovi imaju usporavaju-ći negativan prinos ( ) 0, ( ) 0F y F y′ ′′< > i dvije asimptote, i to Y i X osu.13

Prosječni varijabilni troškovi proizvodnje se definišu kao varijabilni troškovi po jedinici proizvodnje. Pokazuju koliko u prosjeku po svakoj jedinici proizvodnje dolazi varijabilnih troškova. Jedinica mjere ovih troškova je novčana po količinskoj jedinici (nj/kj).

( ) ( ) 0V yV V yy

= = > (1.86)

Sa rastom nivoa proizvodnje rastu ukupni varijabilni troškovi i tada su prosječni varijabilni troškovi pozitivni :

0 ( ) 0 ( ) 0y V y i V V y> ⇒ > = > . Ukupni varijabilni troškovi se mijenjaju zavisno od promjene obima proizvodnje. Prosječni varijabilni proporcionalni troškovi su konstantni za svaki nivo proizvodnje. Prosječni vari-jabilni neproporcionalni troškovi mogu da opadaju ili rastu, zavisno od toga da li je rast troškova slabijeg ili jačeg intenziteta u odnosu na rast obima proizvodnje14.

Prosječni ukupni troškovi proizvodnje Prosječni troškovi su troškovi po jedinici proizvoda. Dobiju se dijeljenjem ukupnih troško-va sa količinom proizvedenih jedinica:

( ) ( ) 0C yC C yy

= = > (1.87)

Kada se funkcija ukupnih troškova napiše u obliku izraza ( ) ( )C C y F V y= = + , funkcija prosječnih troškova će biti jednaka zbiru prosječnih fiksnih i prosječnih varijabilnih troškova:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )C y F y V yC F y V yy y

+= = = + (1.88)

Funkcija prosječnih troškova je razlomljena funkcija, što znači da, zavisno od funkcije ukupnih troškova C, funkcija prosječnih troškova može da opada, stagnira i raste. Tok fun-kcije prosječnih troškova zavisi od konkretne funkcije ukupnih troškova. Prosječni troškovi

13 Dokaz vidjeti u: Vučković, Ž., (2004), str. 95. 14 Dokaze vidjeti u: Ibid., str. 96 - 97.

FUNKCIJA TROŠKOVA

105

se izražavaju u novčanoj po količinskoj jedinici (nj/kj). Pokazuju koliko u prosjeku po sva-koj proizvedenoj jedinici dolazi ukupnih roškova.

(0)0 (0)0 0

0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )

F V FZa y C

Za y C y F y V y C y F y i C y V y

+⎧ = = = = ∞⎪⎨⎪ > = + > ⇒ > >⎩

Funkcija prosječnih troškova ima vertikalnu asimptotu i to je koordinatna osa C . Na osno-vu gornjeg izraza zaključuje se da će se grafik funkcije prosječnih troškova nalaziti iznad grafika prosječnih fiksnih i prosječnih varijabilnih troškova. Ako iskoristimo činjenicu da prosječni fiksni troškovi opadaju sa porastom obima proizvodnje, imamo sljedeću vezu:

( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim lim limy y y y y

F FC y V y V y V yy y→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠,

koja nam govori da se prosječni ukupni troškovi i prosječni varijabilni troškovi asimptotski približavaju kad obim proizvodnje beskonačno povećava.

Za granične i prosječne troškove vrijede odnosi koji su definisani i analizirani u dijelu 1.2. za odnose prosječne i granične veličine. Ovi odnosi se mogu analizirati pomoću sljedeće relacije:

2 2 0

Cy CyC C y C C CC za y

y y y y

⎛ ⎞′ −′ ⎜ ⎟′ ′⎛ ⎞ − −⎝ ⎠′ = = = = ∀ >⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.89)

000

za C CC CC za C C

yza C C

′⎧< >′ ⎪−′ ′= = =⎨

⎪ ′> >⎩

Dok funkcija prosječnih troškova opada, granični troškovi su veći od prosječnih. U mi-nimumu prosječnih troškova granični i prosječni troškovi se sijeku. Kada prosječni trošak raste, granični troškovi su veći od prosječnih.

Analiza ekonomičnosti

Funkcija prosječnih troškova se koristi kao pokazatelj ekonomičnosti. Niži prosječni troš-kovi ukazuju na ekonomičniji nivo proizvodnje. Najekonomičniji nivo proizvodnje se ostvaruje u minimumu prosječnih troškova. Rješenje relacije 0C′ = daje nivo ye koji preds-tavlja najekonomičniji nivo proizvodnje:


106

2 0

0/ :0

C C y CCy y

C y C yC CC C

′′⎛ ⎞ −′ = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠′ − =

′ − =

′ =

(1.90)

Za nivo proizvodnje za koji su prosječni troškovi najniži, tj. za najekonomičniji nivo, prosječni troškovi su jednaki graničnim troškovima. Najekonomičniji nivo proizvodnje ćemo označavati sa ye.

Ukupni, prosječni i granični troškovi imaju različit tok razvoja počev od nultog pa do mak-simalnog obima proizvodnje. Pri nultom obimu proizvodnje ukupni troškovi su jednaki fiksnim troškovima. Povećanjem obima proizvodnje pojavljuju se pored fiksnih i varijabilni troškovi koji rastu sa rastom obima proizvodnje.

Grafička ilustracija razvojnog toka ukupnih prosječnih i graničnih troškova je predstavljena na sljedećim grafikonima:

0 y

C

M1

C(y)

V(y)

M’

E1

V1

yM

yV ye

C’=V’

FF

•

•

•

•

0 y

M

E

V

CC ′,

C

V

yeyV

yM

yFF =

Grafikon 20. Razvojni tok i odnosi ukupnih, varijabilnih, fiksnih i graničnih i prosječnih ukupnih, varijabilnih i fiksnih troškova

FUNKCIJA TROŠKOVA

107

Ukupni i ukupni varijabilni troškovi rastu sa porastom obima proizvodnje y. Ukupni fiksni troškovi su konstantni. Granični troškovi dostižu minimum u tački yM koja je tačka prevoja ukupnih troškova. U tački yB prosječni varijabilni troškovi dostižu minimum i to je tačka u kojoj se sijeku granični i prosječni varijabilni troškovi. Granični troškovi sijeku prosječne troškove u minimumu prosječnih troškova, tj u tački yE i ta vrijednost predstavlja najeko-nomičniji nivo proizvodnje. Prosječni fiksni troškovi imaju opadajući tok.

1.7.4. Elastičnost troškova Elastičnost fiksnih troškova Elastičnost ukupnih fiksnih troškova je jednaka nuli:

, ( ) 0 0( )F yyE F y za y

F y′= ⋅ = ≥ (1.91)

jer je prvi izvod fiksnih troškova koji su konstantni jednak nuli.

Elastičnost prosječnih fiksnih troškova je jednaka

2 2

, 2 2

0 1 0 0( )F yy y F y F y FE F za yFF y y F y F y

y

′⎛ ⎞ − −′= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = − < ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.92)

Isti rezultat bi se dobio ako bi se primijenila veza između elastičnosti ukupne i prosječne funkcije koja je izvedena i analizirana u dijelu 1.2.:

, ,

,,

1 1 1 0

1 0 1 1

F y F y

F yF y

E E

iliE E

= + = − + =

= − = − = −

Elastičnost varijabilnih troškova Elastičnost varijabilnih troškova je jednaka odnosu graničnih i prosječnih varijabilnih troš-kova i može uzimati sljedeće vrijednosti:

,

0 0( )( )( ) ( ) 1 ( ) ( )V y

za yy V yE V yV y V y za V y V y

≥ ≥⎧′′= ⋅ = ⎨ ′= =⎩

(1.93)

Elastičnost prosječnih varijabilnih troškova je prema izrazu za koeficijent elastičnosti jednaka:


108

, ( )( )V yyE V y

V y′= ⋅ (1.94)

Na osnovu veze između elastičnosti ukupne i prosječne funkcije može se zapisati:

, ,

,,

1

1V y V y

V yV y

E E

E E

= +

= −

Elastičnost prosječnih varijabilnih troškova će se kretati u sljedećem intervalu:

,1 V yE− ≤ < +∞ .15

Elastičnost ukupnih troškova Po definiciji, elastičnost ukupnih troškova je jednaka odnosu graničnih i prosječnih troško-va, i pozitivna je, što znači da se može kretati u intervalu od nula do plus beskonačnosti.

, 0C yy CE CC C

′′= ⋅ = > (1.95)

Koje vrijednosti će uzimati koeficijent elastičnosti ukupnih roškova zavisi od konkretnog oblika funkcije troškova. Zavisno od vrijednosti y utvrđuje se savršena neelastičnost

,( 0)C yE = , interval neelastičnosti ,(0 1)C yE< < , jedinična elastičnost ,( 1)C yE = , interval elastičnosti ,(1 )C yE< < +∞ i slučaj savršene elastičnosti ,( )C yE = +∞ .

Navedeni tipovi elastičnosti funkcije troškova mogu se predstaviti tabelarno i grafički.

Tabela 6. Elastičnost troškova

y EC,y Tip elastičnosti y = 0 EC,y =0 neelastičnost 0 < y < ye 0<EC,y <1 interval neelastičnosti y = ye EC,y =1 jedinična elastičnost ye < y < +∞ 1<EC,y <+∞ interval elastičnosti

Kada su granični troškovi jednaki prosječnim troškovima, a to se postiže u najekonomični-jem nivou prizvodnje, elastičnost ukupnih troškova je jednaka jedinici. Zbog toga rješenje jednačine EC,y =1 predstavlja najekonomičniji nivo proizvodnje.

Elastičnost prosječnih troškova je, po definiciji, jednaka:

15 Dokaz vidjeti u : Vučković, Ž., (2004), str. 105-106.

FUNKCIJA TROŠKOVA

109

2

,, 2( ) 1 1( ) C yC yy y C y C y C yE C y C ECC y y C y C

y

′′⎛ ⎞ ⋅ −′ ′= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠. (1.96)

U gornjoj relaciji je napisan, po definiciji, izraz za koeficijent elastičnosti prosječne funkci-je i izvedena veza između elastičnosti prosječnih i ukupnih roškova.

Iz izvedene relacije slijedi da je elastičnost ukupnih troškova jednaka elastičnosti prosječnih troškova uvećanim za jedinicu:

, , 1C y C yE E= +

Koeficijent elastičnosti ukupnih troškova pokazuje za koliko postotaka će se povećati (smanjiti) ukupni troškovi ( ), %C yE ako se nivo proizvodnje y poveća (smanji) za 1%.

1.7.5. Funkcija agregatnih troškova Ako se pretpostavi da se agregatna količina q datog dobra ostvaruje uz odgovarajuće zbirne troškove C, može se definisati funkcija agregatnih troškova proizvodnje.

( ) ( ) 0, '( ) 0 0C C q F V q C q za q= = + > ≥ ≥ (1.97)

Funkcija prosječnih troškova

( ) ( ) ( ) ( ) ( )C q F q V qC F q V qq q

+= = = +

Funkcija graničnih troškova

( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 '( ) ( ) 0 0C C q F V q V q V q C q V q za q′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = + = + = > ⇒ = ≥ ≥

Kompletna analiza i prezentacija koja je izvršena za funkciju individualnih troškova može se izvršiti i za funkciju agregatnih troškova na analogan način. Zbog toga se neće ponavljati i posebno prezentovati.

Primjer 1.20. Neka je C(y) = 25 + 2y + y2 funkcija ukupnog troška jednog proizvođača gdje je y ≥ 0 nivo proizvodnje. a) Odrediti i u istom koordinatnom sistemu grafički prikazati funkcije ukupnog, fik-

snog i varijabilnog troška.


110

b) Odrediti i u istom koordinatnom sistemu prikazati funkcije graničnog i prosječ-nog ukupnog i varijabilnog troška.

c) Da li se veća ekonomičnost proizvodnje ostvaruje za nivoe y = 2 ili y = 4? Za te nivoe odrediti granični trošak i protumačiti dobijene vrijednosti.

d) Tabelarno i grafički prikazati elastičnost ukupnih troškova.

Rješenje: a) Da bi jedna funkcija bila funkcija ukupnog troška, mora zadovoljiti sljedeće uslove:

0; ( ) 0; ( ) 0y C y C y′≥ ≥ ≥ .

Potrebno je provjeriti da li data funkcija ispunjava navedene uslove. Provjerava se da li je funkcija nenegativna: C(y) > 0 ⇒ 25 + 2y + y2 > 0 za ∀y (jer je koeficijent is-pred kvadratnog člana pozitivan, a diskriminanta negativna D = 4 – 100 = - 96 < 0),

Provjerava se C´ (y) = 2 + 2y > 0 za y ≥ 0.

Na osnovu provjerenih uslova zaključuje se da data funkcija može predstavljati fun-kciju troška za svako y ≥ 0.

Potrebo je odrediti fiksni i varijabilni trošak. Fiksni trošak je trošak koji postoji i kada je obim proizvodnje jednak nuli, odnosno F = C(0) = 25 je funkcija fiksnih troškova.

Varijabilni trošak predstavlja razliku ukupnog troška i fiksnog troška, pa funkcija va-rijabilnog troška ima sljedeći oblik V(y) = C(y) – F = 2y + y2.

Funkcije ukupnih i varijabilnih troškova su kvadratne funkcije sa minimumom (U oblik). Ove funkcije su na osnovu definicionog područja u prvom kvadrantu uvijek rastuće dok je funkcija fiksnih troškova konstantna (prava paralelna sa horizontalnom osom).

Grafički prikaz ovih funkcija je dat na grafikonu 1.20. (Na osnovu definicionog pod-ručja nas interesuje samo prvi kvadrant.)

Funkcija varijabilnog troška V (y) grafički predstavlja parabolu sa polaznom tačkom u I kvadrantu (0, 0), ograničenu u oblasti definisanosti troška. Minimum ove funkcije je y = -1 a ovo ne pripada oblasti definisanosti funkcije troška.

Funkcija ukupnog troška je također grafički parabola sa polaznom tačkom (0, 25); tj. translirani grafik funkcije varijabilnog troška za fiksne troškove F = 25.

FUNKCIJA TROŠKOVA

111

Grafik 1.20. Funkcije ukupnih,varijabilnih i fiksnih troškova

b) Potrebno je odrediti granični i prosječni trošak:

C´(y) = V´(y) = 2 + 2y (granični ukupni i granični varijabilni su uvijek jednaki)

( )225 2 25 25( ) 2 ; ( ) 2 .y yC y y V y V y y

y y y+ +

= = + + = + = +

Prosječni varijabilni i prosječni ukupni troškovi se asimptotski približavaju kada obim proizvodnje teži beskonačno.

Određuje se najekonomičniji nivo proizvodnje ye – nivo za koji se prosječni troškovi minimiziraju, tj.

( ) 0 eC y y y′ = ⇒ = .

2 22

2 2

(2 2 ) 25 2 25( ) 0 25 0 5.ey y y y yC y y y

y y+ − − − −′ = = = ⇒ − = ⇒ =

( ) ( ) 12e eC y C y′= = . (Iz odnosa prosječne i granične funkcije).

Analizirajući funkciju prosječnog troška, određuju se:

1. Pozitivnost: 225 2( ) 0y yC y

y+ +

= > ,

2. Vertikalna asimptota je y = 0,

3. Kosa asimptota

V(y )

F(y ) = 25

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4 5 6 7

y

C, V, F


112

2

2

2

25 2lim 1

25 2lim 2

: 2 ( ).

y

y

y yky

y yn yy

KA ky n y V y

→+∞

→+∞

+ += =

⎛ ⎞+ += − =⎜ ⎟

⎝ ⎠+ = + =

Grafici funkcija graničnog i prosječnog ukupnog troška sijeku se za nivo nejekono-mičnije proizvodnje ye = 5.

Funkcije graničnog i varijabilnog troška su jednake za y = 0.

Grafik 1.20.a. Funkcije prosječnih i graničnih troškova

c) Ekonomičnost proizvodnje se mjeri nižim prosječnim ukupnim troškovima.

Računa se:

(2) 16,5; (4) 12,25C C= =

U prosjeku, na svaku jedinicu proizvodnje sa nivoa y = 2, dolazi 16,5 novčanih jedi-nica troška, a sa nivoa y = 4 dolazi 12,25 novčanih jedinica troška. Dakle, veća ekonomičnost se postiže za nivo proizvodnje y = 4.

(2) 6(4) 10

CC′ =′ =

Na svaku dodanu jedinicu proizvodnje y sa nivoa y = 2 ukupni trošak će se povećati za 6 novčanih jedinica, a sa nivoa y = 4 ukupni trošak će se povećati za 10 novčanih jedinica.

E (5; 12)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y

C

V

C'

FUNKCIJA TROŠKOVA

113

2

, 2

2 2( ) 0.( ) 2 25C yy y yE C y

C y y y+′= ⋅ = ≥

+ +

Analizira se funkcija elastičnosti ukupnih troškova u odnosu na nivo proizvodnje y.

d) 1) Ispituje se monotonost ove funkcije:

2 2 2

, 2 2 2 2

(4 2)( 2 25) (2 2 )(2 2) 2 100 50 0( 2 25) ( 2 25)C y

y y y y y y y yEy y y y

+ + + − + + + +′ = = >+ + + +

, za y ≥ 0.

2) Horizontalna asimptota ,lim 2C yE = .

3) Za y = 0, , 0C yE = .

4) Iz odnosa , , 1 0 1 1C ye C yeE E= + = + = se konstatuje da je jedinična elastičnost ukup-nih troškova uvijek u nivou najekonomičnije proizvodnje: y = ye= 5.

5)

y EC,y Tip

elastičnosti

y = 0 EC, y = 0 Savršena neelastičnost

0 < y < 5 0 < EC, y < 1 Neelastičnost

y = 5 EC, y = 1 Jedinična

elastičnost

y > 5 1 < EC, y < 2 Elastičnost

y → +∞ EC, y = 2 Savršena

elastičnost

Grafikon 1.20.b. Funkcija elastičnosti ukupnog troška

Primjer 1.21.

Kod nekog proizvođača poznata je nepotpuna funkcija ukupnih troškova 5 AyC e= . a) Odrediti parametar A ako je najekonomičniji nivo proizvodnje 5ey = a zatim od-

rediti algebarske izraze za funkcije ukupnih, prosječnih i graničnih troškova. b) Algebarski, tabelarno i grafički odrediti elastičnost troškova u odnosu na količinu

proizvodnje ,C yE .

yCE ,

3 0 y

2

1


114

Rješenje:

a) '

5 5

( ) ( )

5 1 155

Aye

e eAy

Ay

C e y

C y C ye e A A Ay y

= =

=

= ⋅ ⇒ = ⇒ =

/5

/5

' /5

55

y

y

y

C eeCy

C e

=

=

=

b) ' /5, /55 5

yC y y

y y yE C eC e

= ⋅ = ⋅ =

,

,

,

0 0

1 1 55

5

C y

C y

C y

E yyE y

yE y

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

= +∞ ⇒ = +∞ ⇒ = +∞

y ,C yE

y = 0 ,C yE =0

0 < y < 5 0< ,C yE <1

y = 5 ,C yE =1

5< y <+∞ 1< ,C yE <+∞

y → +∞ EC, y →∞

Grafikon 1.21. Funkcija elastičnosti ukupnog troška

Primjer 1.22.

Neki proizvođač ima graničnu funkciju troškova: ( ) 23 18 30C y y y′ = ⋅ − ⋅ + i najeko-nomičniji nivo proizvodnje ye = 9. a) Pronaći njegovu funkciju ukupnog troška. b) Na istom grafiku prikazati funkcije , ,C C V′ , uz isticanje karakterističnih vri-

jednosti (tačke: M, V, E).

y

yCE ,

5

1

FUNKCIJA TROŠKOVA

115

c) Odrediti koeficijent elastičnost prosječnih troškova u nivou ye i objasniti značenje dobijene vrijednosti.

Rješenje:

a) 2 3 2( ) (3 18 30) 9 30C y y y dy y y y F= − + = − + +∫ .

Iz uslova ( ) ( ) (9) (9)e eC y C y C C′ ′= ⇔ = dobivamo F = 729

Dakle, 3 2( ) 9 30 729.C y y y y= − + +

b) 2

3 2

2

( ) 3 18 30,9 30 729( ) ,

( ) 9 30.

C y y yy y yC y

yV y y y

′ = − +

− + +=

= − +

Pronađimo karakteristične tačke M, V, E:

( ) ( ) 0 6 18 0 3, (3) 3 (3,3)min

( ) ( ) 0 2 9 0 4,5, (4,5) 9,75 (4,5, 9,75)min

( ) (9) (9) 111 (9,111)min

y

y

y

M C y C y y C M

V V y V y y V V

E C y C C E

′ ′ ′ ′= ⇒ = ⇒ − = ⇒ = = ⇒

′= ⇒ = ⇒ − = ⇒ = = ⇒

′= ⇒ = = ⇒

Grafikon 1.22. Funkcije graničnog i prosječnog ukupnog troška i

prosječnog varijabilnog troška uz karakteristične tačke M, V, E

y

M

V

E 111

9,75

3

0 3 4,5 9

VCC ,, ′


116

Funkcije graničnog i prosječnog ukupnog troška se sijeku u tački E, odnosno u mini-mumu prosječnih troškova.

E: ye = 9, (9) (9) 111C C′= =

Funkcije graničnog i prosječnog varijabilnog troška sijeku se u tački V, odnosno u minimumu prosječnih varijabilnih troškova.

V: yv = 4,5, (4,5) (4,5) (4,5) 9,75V V C′ ′= = =

c) , 0EC yE = jer je ( ) 0EC y′ = .

Tumačenje: Ako nivo proizvodnje y = yE povećamo za 1%, vrijednost prosječnih ukupnih troškova se neće promijeniti.

Primjer 1.23.

Kod nekog proizvođača poznata je funkcija troškova: 0,254 yC e= . a) Odrediti nivo najekonomičnije proizvodnje i za taj nivo odrediti vrijednosti

( ) ( ), ,eC y e eE C y i C y′ i objasni njihovo značenje;

b) Na istom grafiku prikazati funkcije ,C C i V′ .

Rješenje: a) Nivo najekonomičnije proizvodnje se određuje iz uslova:

( ) ( ) ( )0e e eC y ili C y C y′ ′= = .

( )0,250,25

2

44 0 4y

e

e yeC C yy y

−′= ⇒ = = ⇒ =

Odavde je nivo najekonomičnije proizvodnje 4ey =

Vrijednosti: , , 1 1e eC y C yE E= + =

( ) ( ) 2,78e eC y C y e′= = ≈

Objašnjenja:

, 1eC yE = ⇒ ako obim proizvodnje poraste sa nivoa y = 4 kj za 1% ukupni troškovi će

porasti za 1% (indiferentna elastičnost).

( ) 2,78eC y e= ≈ ⇒ ako je obim proizvodnje y = 4 kj u prosjeku na svaku količinsku jedinicu y dolazi e novčanih jedinica troška.

FUNKCIJA TROŠKOVA

117

( ) 2,78eC y e′ = ≈ ⇒ na svaku dodanu količinsku jedinicu y sa nivoa y = 4 kj ukupni trošak će se povećati za e nj.

b) Kod funkcije prosječnih troškova tačka minimuma je bila označavana sa E. Na os-novu razmatranja pod a) slijedi:

0,254 (4, )yeC E e

y= ⇒

Tačka minimuma funkcije graničnih troškova je označavana sa M, a kako je ova fun-kcija rastuća, njen minimum se postiže za y = 0, odnosno:

0,25 (0, 1)yC e M′ = ⇒

Za određivanje funkcije prosječnih varijabilnih troškova mora se prvo odrediti vrijed-nost fiksnih troškova, a nakon toga formirati funkcija:

( )( )0,25

0,25

0 4

4 14 4

yy

C F F

eV e V

y

= ⇒ = ⇒

−= − ⇒ =

Minimalna vrijednost prosječnih varijabilnih troškova se u ovom slučaju određena je

pomoću ( )0,25

0

4 1lim 1 (0, 1)

y

y

eV

y→

−= ⇒

Grafikon 1.23. Funkcije graničnog i prosječnog ukupnog troška

i prosječnog varijabilnog troška

y

V

E e

1

0 4

VCC ,, ′ C

C ′


118

Primjer 1.24. Na sljedećem grafikonu su predstavljene funkcije prosječnih, graničnih ukupnih i va-rijabilnih troškova. a) Sa grafikona odrediti karakteristične tačke M, V, E. b) Ako se pretpostavi da je granični trošak linearna funkcija, treba, na osnovu grafi-

ka, odrediti matematske funkcije graničnog i ukupnog troška.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 10 20 30 40 50 60 70 80

88

8 •

•

•

•

Grafikon 1.24. Funkcije graničnog i prosječnog

troška i prosječnog varijabilnog troška

Rješenje: a) Iz grafika pročitamo tražene vrijednosti:

min( ) (0, 8)min( ) (0, 8)min( ) (10, 88)

M C MV V VE C E

′= ⇒

= ⇒

= ⇒

.

b) Pretpostavljajući linearnost funkcije graničnog troška ( )C y ky n′ = + (grafik je prava koja prolazi kroz dvije tačke (0, 8) i (10,88)) postavlja se sistem jednačina:

888 10

nk n

== +

Rješavajući se dobija: k = 8, n = 8.

( ) 8 8C y y′ = + . 2( ) (8 8) 4 8C y y dy y y F= + = + +∫ .

FUNKCIJA TROŠKOVA

119

Kako je 400 80(10) 88 88 400.10

FC F+ += ⇒ = ⇒ =

Funkcija ukupnog troška je jednaka: 2( ) 4 8 400C y y y= + + .

Primjer 1.25. Poznata je funkcija prosječnih varijabilnih troškova preduzeća cementa

2( ) 15V q q= + i nivo najekonomičniji nivo proizvodnje qe = 10 tona. a) Odrediti funkciju ukupnih troškova, varijabilnih i fiksnih troškova i prikazati ih

grafički. b) Grafički prikazati funkcije ukupnih prosječnih troškova, graničnih troškova i pro-

sječnih varijabilnih troškova. c) Koliki je koeficijent elastičnosti ukupnih troškova za nivo proizvodnje q = 5 to-

na?

Rješenje: a) Ukupni varijabilni troškovi imaju oblik:

3 2( ) ( ) 15 ( 15) 0; 0V q q V q q q q q q= ⋅ = + = + ≥ ≥ .

Kako su granični ukupni i granični varijabilni troškovi uvijek isti, vrijedi sljedeća re-lacija: 2( ) ( ) 3 15 0C q V q q′ ′= = + >

Ukupni troškovi su 3( ) ( ) 15C q V q F q q F= + = + + , a prosječni 3 15( ) q q FC q

q+ +

= .

Potpun algebarski oblik ovih funkcija se dobija ako se odredi vrijednost fiksnih troš-kova. Iz uslova qe = 10 i odnosa prosječne i granične funkcije troška postavlja se sljedeća jednačina:

(10) (10)C C′= , pa se uvrštavanjem oblika prosječne i granične funkcije dobija: 3

210 15 10 3 10 15 1000 150 3150 200010

F F F+ ⋅ += ⋅ + ⇒ + + = ⇒ = .

3( ) 15 2000C q q q= + + .

Funkcija varijabilnih troškova V(q) je kubna funkcija (neparna, rastuća, ima prevoj u 0), ograničena u intervalu definisanosti q ≥ 0.

Grafik funkcije ukupnog troška C(q) je dobiven translacijom grafika varijabilnih troš-kova za fiksne troškove F = 2000.


120

Grafikon 1.25. Funkcije varijabilnog, fiksnog i ukupnog troška

b) Za grafički prikaz odredimo algebarske oblike ovih funkcija: 2( ) 15V q q= +

2( ) ( ) 3 15C q V q q′ ′= = + 3 15 2000( ) q qC q

q+ +

= .

Funkcije 2( ) 15V q q= + i 2( ) 3 15C q q′ = + su parabole sa minimumom u tački (0, 15)M V=

Funkcija 3 15 2000( ) q qC q

q+ +

= je racionalna funkcija i ima minimum u tački

(10, 315)E i u toj tački siječe grafik funkcije ( )C q′ .

Vertikalna asimptota je fukcije ( )C q je q = 0, a nema horizontalne i kose asimptote, osim toga pozitivna je za q > 0.

0 q

F

V

C

2000

FUNKCIJA TROŠKOVA

121

Grafikon 1.25.a. Funkcije prosječnih ukupnih i varijabilnih

troškova i graničnog troška

c) , 55 9( ) 90 0,2

( ) 2200 44C qqE C q

C q= ′= ⋅ = ⋅ = ≈

Ako se nivo proizvodnje q = 5 kj poveća za 1%, ukupni troškovi će se sa nivoa C = 2200 nj povećati za 0,2 %.

Primjer 1.26. Dat je koeficijent elastičnosti ukupnih troškova:

, 2

2 ( 1)2 10C q

q qEq q

+=

+ + gdje je sa q označen nivo proizvodnje.

a) Za koje vrijednosti q ova funkcija elastičnosti ima smisla? b) Odrediti nivo najekonomičnije proizvodnje. c) Izvesti funkciju elastičnosti ukupnih prosječnih troškova. d) Grafički i tabelarno obraditi funkciju elastičnosti ukupnih troškova. e) Odrediti funkciju ukupnih troškova ako se zna da je fiksni trošak F = 100.

Rješenje: a) Funkcija elastičnosti ukupnih troškova je uvijek pozitivna, pa slijedi:

, 2

2 ( 1) 0 02 10C q

q qE qq q

+= ≥ ⇒ ≥

+ +

0

15

315

10 q

V

CC ′

E

M, V


122

Uz uslov da je 2 2 10 0 ( )q q q+ + > ∀ .

b) U nivou najekonomičnije proizvodnje je elasitčnost ukupnih troškova jednaka 1, pa se dobija:

2 2, 2

2 ( 1) 1 2 2 2 10 102 10C q e

q qE q q q q qq q

+= = ⇔ + = + + ⇔ =

+ +.

c) Elastičnost prosječnih troškova je za 1 manja od elastičnosti ukupnih troškova, pa iz ove osobine slijedi:

2

,, 2

1012 10C qC q

qE Eq q

−= − =

+ +.

d) Analizira se funkcija elastičnosti ukupnih troškova:

1. , 2

2 ( 1) 0; 02 10C q

q qE qq q

+= ≥ ≥

+ +

2. 2

2 ( 1)lim 22 10q

q qq q→+∞

+=

+ +, horizontalna asimptota EC, q = 2.

3.2

, 2 2

20 10 0( 2 10)C qq qEq q+ +′ = >+ +

za q ≥ 0, funkcija elastičnosti raste.

q ,C qE

q = 0 ,C qE =0

0 < q < 10 0 < ,C qE <1

q = 10 ,C qE =1

q > 10 1< ,C qE <2

q → +∞ EC, q =2

Grafikon 1.26. Elastičnost troškova

0 10 q

1

2

qCE ,

FUNKCIJA TROŠKOVA

123

e) Ako je poznata funkcija elastičnosti ukupnih troškova, kako naći funkciju ukupnih troškova? Rješavanjem linearne diferencijalne jednačine separacijom varijabli dobija se:

,

2 2

2 ( 1) ( ) 2( 1)2 10 ( ) 2 10

C qqE CC

q q q C q q dqC dqC q q C q q q

′= ⋅

′+ +′⋅ = ⇒ =+ + + +∫ ∫

Rješavajući ove integrale dobija se: 2 2ln ( ) ln( 2 10) ln ( ) ( 2 10)C q q q K C q K q q= + + + ⇒ = + + .

Iz uslova da je fiksni trošak F = 100 slijedi da je za q = 0 ukupni trošak jednak fik-snom trošku: C = F = 100, odnosno: 100 = 10K⇒ K =10.

Funkcija ukupnog troška, čija je funkcija elastičnosti data u primjeru, ima oblik: 2 2( ) 10( 2 10) 10 20 100C q q q q q= + + = + + .

124

1.8. Funkcija dobiti Uporedna analiza funkcije prihoda i funkcije troškova omogućava određivanje intervala proizvodnje u kojem se ostvaruje dobit s obzirom na tržišne i proizvodne uslove. Dobit se definiše kao razlika između ukupnog prihoda i ukupnih troškova i izražava u novčanim jedinicama (nj):

D P C= − (1.98)

Ukupan prihod P je određen pomoću funkcije tražnje i tržišnim uslovima. Funkcija ukupnih troškova odražava tehničko-tehnološke uslove proizvodnje. Cilj definisanja funkcije dobiti je integralna analiza proizvodnih i tržišnih uslova. Funkcija dobiti se koristi za analizu ren-tabilnosti.

U zavisnosti od odnosa prihoda i troškova dobit može biti pozitivna, jednaka nuli i negativna. U analizi rentabilnosti razlikuju se tri sljedeća slučaja:

Ukoliko je prihod veći od troškova dobit će biti pozitivna i poslovanje rentabilno jer se ostvaruje dobitak od D novčanih jedinica:

( ) 0P C D P C> ⇒ = − > .

U intervalu rentabilnog poslovanja nalazi se najrentabilniji nivo proizvodnje. Najrenta-bilniji nivo se određuje nalaženjem prvog izvoda funkcije dobiti. Znakom drugog izvoda potvrđuje se da se radi o maksimumu funkcije:

'

'

000

D P CD P CD za P CD

= −

′ ′= − =

′ ′= =′′ <

(1.99)

Najrentabilniji nivo proizvodnje se ostvaruje za nivo proizvodnje za koji je prvi izvod jednak nuli, a drugi izvod manji od nule, odnosno kada je granični prihod jednak graničnom trošku.

Kada je prihod jednak troškovima, poslovanje je na granici rentabilnosti i ne ostvaruje se ni dobitak ni gubitak:

( ) 0P C D P C= ⇒ = − =

Ako je prihod manji od troškova, poslovanje je nerentabilno i ostvaruje se gubitak 0D < :

( ) 0P C D P C< ⇒ = − <

Pošto je funkcija prihoda analizirana i prezentovana u slučaju konstantne i u slučaju varija-bilne cijene i u analizi funkcije dobiti će se obrađivati ova dva slučaja.

FUNKCIJA DOBITI

125

1.8.1. Funkcija dobiti kod determinisane cijene Kada su poznati: determinisana cijena proizvoda na tržištu p=const.>0, agregatna tražnja q=q(p)= const 0≥ . i 0y ≥ količina proizvoda koja je namijenjena prodaji, funkcija dobiti se definiše sljedećim izrazima:

( ) ( ) ( )( )( )

, 0

, 0

p y C y y qD y P y C y

p q C y y q

⋅ − ≤ ≤⎧⎪= − = ⎨⋅ − ≥ ≥⎪⎩

(1.100)

Definisana funkcija dobiti ima dva dijela. Prvi dio predstavlja slučaj kada je agregatna traž-nja dovoljno velika da se sva količina dobra koja se nudi može prodati y q≤ . Drugi dio predstavlja funkciju dobiti u slučaju kada se na tržištu može prodati količina q y≤ , a osta-će nerealizovana količina 0y q− > .

U nastavku ćemo detaljno analizirati samo prvi slučaj, odnosno slučaj kad je na tržištu za-dovoljena tražnja i realizovana sva ponuđena količina.16

Funkcija dobiti, ukoliko su poznati ( ), ,p const q const q q p const= = = = i 0 ( )y q q p≤ ≤ = , se definiše sljedećim izrazom:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )D y P y C y p y C y y p C y za y q q p⎡ ⎤= − = ⋅ − = − ≤ ≤ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.101)

Na osnovu izvedenog izraza (1.101) može se izvršiti analiza rentabilnosti i prezentovati u sljedećem obliku:

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0 0 0 0 0

0 . ( )

0 . ( )

0 . ( )

F ako je y jer je tada i C F

ako je P y C y tj p C yD y

ako je P y C y tj p C y

ako je P y C y tj p C y

⎧= − < = Π = =⎪> > >⎪⎨= = =⎪⎪< < <⎩

(1.102)

odakle zaključujemo:

Ako se ne proizvodi, dobit je jednaka fiksnim troškovima i ostvaruje se gubitak.

Kada je prihod veći od troškova, odnosno konstantna cijena veća od prosječnih troškova, poslovanje je rentabilno.

Granice rentabilnosti se određuju za nivo proizvodnje za koji su prihod i troškovi jednaki, odnosno za koji je cijena jednaka prosječnim troškovima.

Ukoliko je konstantna cijena na tržištu manja od prosječnih troškova, prihod će biti manji od troškova i dobit negativna, što znači da je takvo poslovanje nerentabilno.

16 Za drugi dio analize vidjeti Vučković, Ž., (2004), str. 121 – 122.


126

U zavisnosi od oblika funkcije dobiti (1.101) mogu se pojaviti pojedini slučajevi definisani u izrazu (1.102). Na grafikonu 21 predstavljene su tri funkcije troškova sa odgovarajućim fiksnim troškovima F1, F2, F3 (F1 < F2 <F3 i istim varijabilnim troškovima) i funkcija prihoda za konstantnu cijenu.

D, P, C

y0

P

y2yDy1

F

P = C1

P = C1F1

F2

F3

-F1

-F2

-F3

P = C2

C1

C2

C3

D1

D2

D3

D, P, C

y0

P

y2yDy1

F

P = C1

P = C1F1F1

F2F2

F3F3

-F1-F1

-F2-F2

-F3-F3

P = C2

C1

C2

C3

D1

D2

D3 Grafikon 21. Funkcije prihoda, troškova i dobiti

Za prvu funkciju troškova grafički su određene granice rentabilnosti y1 i y2 i najrentabilniji nivo proizvodnje yD. Interval ( )1 2,y y y∈ je interval rentabilnosti. Intervali nerentabilnosti su za [ ) ( )qyyy ,,0 21 ∪∈ .

Za drugu funkciju troškova postoji samo jedna tačka ( )Dy u kojoj je prihod jednak troško-vima i dobit je u toj tački jednaka nuli. Za ostale nivoe proizvodnje dobit je negativna. Kada se ne bi proizvodilo dobit bi bila jednaka negativnim fiksnim troškovima (-F2). U ovom slučaju se nivo ( )Dy poklapa sa granicama rentabilnosti, što znači da je intenrval nerentabilnog poslovanja [ ) ( )qyyy DD ,,0 ∪∈ .

Sa trećom funkcijom troškova prihod nema presječnih tačaka. Troškovi su veći od prihoda i dobit je negativna. Ukoliko se ne bi proizvodilo, dobit bi bila jednaka fiksnim troškovima i iznosila (-F3). Nivo proizvodnje Dy je i dalje nivo kod kojeg se maksimizira funkcija dobiti, ali u ovom slučaju ne koristimo termin najrentabilniji nivo proizvodnje (jer je poslovanje nerentabilno), već kažemo da Dy nivo proizvodnje kod kojeg se minimizira gubitak.

FUNKCIJA DOBITI

127

Funkcija granične dobiti kod determinisane cijene je određena sljedećim izrazima: '

' ''

( ); 0( ) ( ) ( )

( ); 0p C y y q

D y P y C yC y y q

⎧ − ≤ ≤⎪′⎡ ⎤= − = ⎨⎣ ⎦ − > ≥⎪⎩ (1.103)

U nastavku ćemo detaljno analizirati prvi slučaj, odnosno slučaj kada je na tržištu tražnja dovoljno velika da se realizuje sva ponuđena količina. Funkcija granične dobiti, ukoliko su poznati ( ), ,p const q const q q p const= = = = i 0 ( )y q q p≤ ≤ = , se definiše sljedećim izrazom:

' ' '( ) ( ) ( ) ( ) 0D y P y C y p C y za y q′⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − ≤ ≤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.104)

Funkcija granične dobiti jednaka je razlici između graničnog prihoda i graničnih troškova, odnosno razlici između determinisane cijene i graničnih troškova. Odnos determinisane cijene i graničnih troškova određuje tok funkcije ukupne dobiti.

Pošto se funkcije dobiti, prihoda i troškova izražavaju kao funkcije nivoa proizvodnje y, u sljedećem izrazu, zbog jednostavnosti prezentacije, nećemo svaki put naglašavati da su to funkcije od y.

'

' '

'

0 .0 .0 .

ako je P C tj p C D rasteD P C ako je P C tj p C D ima ekstrem

ako je P C tj p C D opada

′ ′⎧> > > ⇒⎪

′ ′ ′ ′= − = = = ⇒⎨⎪ ′ ′< = = ⇒⎩

Iz gornjeg izraza slijedi da u zavisnosti od odnosa cijene i graničnog troška, odnosno od odnosa graničnog prihoda i graničnog troška, koja određuje vrijednost granične dobiti, uku-pna dobit može da raste, stagnira ili opada.

Nivo proizvodnje za koji je granična dobit jednaka nuli se označava sa yD, odnosno imamo da vrijedi:

'

'

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) . ( )( ) 0

D D D D

D

D y P y C y p C yD y za P y C y tj za p C yD y

′ ′ ′= − = −

′ ′ ′= = =′′ <

(1.105)

Nivo proizvodnje yD je nivo za koji se ostvaruje maksimalna dobit ako je ( ) 0DD y > i tada se yD naziva najrentabilnijim nivoom proizvodnje. To je nivo u kojem su granični prihod i granični troškovi jednaki, odnosno u kojem su konstantna cijena i granični trošak jednaki.

Nivo proizvodnje yD je nivo za koji se minimizira gubitak ako je ( ) 0DD y < .

Funkcija granične dobiti ima sljedeće ekonomsko značenje: Funkcija granične dobiti poka-zuje za koliko novčanih jedinica će se promijeniti ukupna dobit ako se nivo proizvodnje


128

poveća za jednu količinsku jedinicu. Jedinica mjere u kojoj je izražena granična dobit je novčana jedinica po količinskoj jedinici (nj/kj).

Kada je poznata funkcija granične dobiti, funkcija ukupne dobiti se određuje primjenom neodređenog integrala:

KyDdyyDyD +=⋅′= ∫ )()()( * (1.106)

Ovim izrazom se određuje „familija“ funkcija kojoj pripada ova funkcija. Da bi se odredila ukupna dobit potrebno je odrediti konstantu K, a za njeno određivanje je potrebno poznava-ti još jedan podatak, naprimjer ( ) FD −=0 .

Funkcija prosječne dobiti kod determinisane cijene je definisana sljedećim izrazima:

( )( ), 0

( ), 0

p C y y qD y pq C y y q

y

−

−

⎧ − ≤ ≤⎪= ⎨

− ≥ ≥⎪⎩

(1.107)

Za analizu prosječne dobiti će se detaljno analizirati prvi slučaj kada je na tržitu tražnja dovoljno velika da se realizuje sva ponuđena količina. Funkcija prosječne dobiti, ukoliko su poznati ( ), ,p const q const q q p const= = = = i 0 ( )y q q p≤ ≤ = , se definiše sljedećim izrazom:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0D y P y C y P y C yD y P y C y p C y y qy y y y

− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = − = − = − ≤ ≤⎣ ⎦⎣ ⎦ (1.108)

Funkcija prosječne dobiti jednaka je razlici funkcija prosječnog prihoda i prosječnih troš-kova, odnosno razlici između konstantne cijene i prosječnog troška. Analiza funkcije prosječne dobiti se može predstaviti sljedećim izrazom:

0 ( ) 0 . ( )( ) 0 ( ) 0 . ( )

0 ( ) 0 . ( )

kada je D y tj p C yD y kada je D y tj p C y

kada je D y tj p C y

⎧> > >⎪= = =⎨⎪< < <⎩

Na osnovu ovog izraza mogu se izvesti sljedeći zaključci: Kada je cijena veća od prosječnog troška, prosječna i ukupna dobit su pozitivne i ostvaruje se rentabilno poslovanje. Ako je konstantna cijena jednaka prosječnim troškovima, prosječna i ukupna dobit su jednake nuli i za taj nivo proizvodnje se ostvaruju granice rentabilnosti. Kada je cijena manja od prosječnog troška, prosječna i ukupna dobit su negativne i poslovanje je nerentabilno.

Funkcija prosječne dobiti je pokazatelj dobiti po jedinici realizovanog proizvoda. Funkcija prosječne dobiti pokazuje koliko se u prosjeku po svakoj jedinici proizvedenog dobra os-tvari jedinica ukupne dobiti. Ukoliko je ukupna dobit pozitivna, ostvaruje se prosječan dobitak po jedinici proizvoda. Kada je ukupna dobit negativna, ostvaruje se prosječan gubi-

FUNKCIJA DOBITI

129

tak. Jedinica mjere u kojoj se izražava prosječna dobit je novčana jedinica po količinskoj jedinici (nj/kj).

Za analizu i grafičko predstavljanje funkcije prosječne dobiti potrebno je odrediti i analizi-rati tok funkcije prosječne dobiti. Analiza toka je predstavljena u sljedećem obliku:

0 ( ) 0 0

( ) ( ) 0 ( ) 0

0 ( ) 0

e

e

e

kada je C y za y yD y C y kada je C y za y y

kada je C y za y y

′⎧> < < <⎪

′ ′ ′= − = = =⎨⎪ ′< > >⎩

(1.109)

Ako prosječni troškovi opadaju, prosječna dobit raste. U najekonomičnijem nivou proizvo-dnje imamo maksimalnu vrijednost funkcije prosječne dobiti. Prosječna dobit opada kada prosječni troškovi rastu.

Ako se nivo proizvodnje za koji se maksimizira prosječna dobit označi sa Dy , prosječna dobit će biti maksimalna ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

( ) 0

( ) 0D

D

D y

D y

′ =

′′ <

Iz ovog i iz izraza (1.109) slijedi da kod funkcije dobiti sa konstantnom cijenom vrijedi jednakost eDy y= . To znači da je nivo proizvodnje kod kojeg se maksimizira prosječna dobit jednak najekonomičnijem nivou proizvodnje.

Različiti slučajevi funkcija prihoda, troškova i dobiti su predstavljeni i analizirani u primje-rima sa kompletnim rješenjima na kraju.

Elastičnost kod konstantne cijene

Funkcija elastičnosti dobiti u slučaju kada je cijena p constantna se određuje primjenom definisanog izraza za koeficijent elastičnosti na sljedeći način:

, ( )( )D yyE D y

D y′= ⋅ (1.110)

odnosno,

,( ) ( )( )

( ) ( ) ( )D yy D y p C yE D y

D y D y p C y′ ′−′= ⋅ = =

− (1.111)

Ekonomsko značenje koeficijenta elastičnosti dobiti je sljedeće: Ako se količina y poveća za 1% tada će se dobit/gubitak promijeniti (povećati ako je koeficijent elastičnosti pozitivan i smanjiti ako je koeficijent elastičnosti negativan) za ⏐ED,q %⏐. Napomenimo da se pri interpretaciji značenja koeficijenta elastičnosti funkcije dobiti u konkretnoj tački mora vo-


130

diti računa o vrijednosti funkcije dobiti u toj tački. Ako je vrijednost funkcije negativna-koristit ćemo termin gubitak, a ako je pozitivna - koristit ćemo termin dobitak17.

Koeficijent elastičnosti prosječne dobiti se određuje pomoću sljedećeg izraza:

, ( )( )D yyE D y

D y′= ⋅ (1.112)

Koeficijent elastičnosti prosječne dobiti ima sljedeće objašnjenje: ukoliko se količina y po-veća za 1%, tada će se prosječna dobit/gubitak promijeniti (povećati ako je koeficijent elastičnosti pozitivan i smanjiti ako je koeficijent elastičnosti negativan) za onoliko posto-taka koliko iznosi koeficijent elastičnosti prosječne dobiti.

Veza izmedu elastičnosti ukupne i prosječne dobite se izražava, koristeći opšti odnos izme-đu elastičnosti ukupne i prosječne funkcije, sljedećim izrazima:

, ,, ,1 1D y D yD y D yE E ili E E= + = − 1.8.2. Funkcija agregatne dobiti u odnosu na količinu D=D(q) Polazeći od funkcije agregatnog prihoda u slučaju varijabilne cijene i od funkcije ukupnih troškova, koji su analizirani u prethodnim dijelovima ovog poglavlja, može se definisati funkcija dobiti. Funkcija dobiti je definisana kao razlika između funkcije ukupnog prihoda i funkcije ukupnih troškova.

)()()( qCCqPqqpqpP ==⋅=⋅= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D q P q C q p q q C q P q C q= − = ⋅ − = − (1.113)

Funkcija dobiti D(q) se izražava kao funkcija agregatne tražnje i definisana je za 0 q q+≤ ≤ .

Pošto odražava proizvodne i tržišne uslove dobit se koristi u analizi rentabilnosti. U zavis-nosti od odnosa prihoda i troškova definišu se intervali rentabilne i nerentabilne proizvodnje i granice rentabilnosti.

Kada je prihod veći od troškova, dobit je pozitivna i sve vrijednosti nivoa proizvodnje q za koje je dobit pozitivna određuju interval rentabilnosti.

Ako je prohod jednak troškovima, dobit je jednaka nuli. Nivoi proizvodnje za koje je dobit jednaka nuli predstavljaju granice rentabilnosti.

Treći slučaj je negativna dobit. Za sve nivoe proizvodnje q za koje je prihod manji od troš-kova dobit će biti negativna i za takve vrijednosti q imamo interval nerentabilnosti.

17 Obrazloženje vidjeti u : Vučković, Ž. (2004), str. 24. i str. 134.

FUNKCIJA DOBITI

131

Odnosi između ukupnog prihoda i ukupnih troškova te dobit koja se određuje iz tih odnosa su predstavljeni sljedećim izrazom:

0 ( ) 0, ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0, ( ) ( )

0 ( ) 0, ( ) ( )

D q P q C qD q P q C q D q P q C q

D q P q C q

> ⇒ > >⎧⎪= − = ⇒ = =⎨⎪< ⇒ < <⎩

(1.114)

Na sljedećim grafikonima predstavljena su tri slučaja za analizu funkcije dobiti.

F

0

-F

C, P, D C

P

D

qq+

P+ P=C

P=C

D+

q2qDq1

Grafikon 22. Funkcije prihoda, troškova i dobiti

Na grafikonu 22. je predstavljen slučaj kad funkcije prihoda i troška imaju dvije zajedničke tačke. Nivoi proizvodnje q1 i q2 su nivoi za koje je funkcija troška jednaka funkciji prihoda i predstavljaju granice renabilnosti. Za nivo qD se maksimizira dobit i to je najrentabilniji nivo proizvodnje. U najrentabilnijem nivou proizvodnje je najveća razlika između prihoda i troškova. Interval ( )1 2,q q q∈ je interval rentabilnosti. Intervali nerentabilnosti su za

[ ) ( )1 20, , .q q q q+∈ ∪

Na grafikonu 23. je predstavljen slučaj kada funkcije prihoda i troškova imaju samo jednu zajedničku tačku, tačka qD je tačka u kojoj je funkcija troškova jednaka funkciji prihoda. U ovom slučaju maksimalna dobit je jednaka nuli za nivo prizvodnje qD, a za sve ostale nivoe proizvodnje dobit je negativna jer su troškovi veći od prihoda.


132

F

0

-F

C

P

D

qq+

P+

P = C

D+

qD

C, P, D

F

qP


U slučaju kada su troškovi veći od prihoda, poslovanje je nerentabilno i dobit je, kao što je predstavljeno na grafikonu 24. uvijek negativna. Nivo prizvodnje qD je nivo proizvodnje gdje sa minimizira gubitak.

F

0

-F

C

Π

D

qq+

P+

D+qD

C, P, D

F

qP


Funkcija agregatne granične dobiti se definiše kao prvi izvod funkcije ukupne dobiti:

0 0

( ) ( )'( ) lim limq q

D D q q D q dDD qq q dqΔ → Δ →

Δ + Δ −= = =

Δ Δ (1.115)

FUNKCIJA DOBITI

133

Granična dobit pokazuje za koliko novčanih jedinica će se promijeniti funkcija ukupne do-biti ako se nivo proizvodnje q poveća za jednu količinsku jedinicu. Dakle, svaka dodatna jedinica povećanja nivoa proizvodnje će rezultirati u promjeni ukupne dobiti za onoliko novčanih jedinica koliko iznosi granična dobit.

Funkcija granične dobiti jednaka je razlici između graničnog prihoda i graničnih troškova, odnosno:

D P C= − 'D P C′ ′= − (1.116)

Zavisno od vrijednosti funkcije granične dobiti, ukupna dobit može da raste, stagnira ili opada:

'

' '

'

0; ( ) ( ), ( )( ) ( ) ( ) 0; ( ) ( ), ( )

0; ( ) ( ), ( )

P q C q D q rasteD q P q C q P q C q D q ima ekstrem

P q C q D q opada

′⎧> >⎪

′ ′ ′= − = =⎨⎪ ′< <⎩

(1.117)

Maksimalna dobit, odnosno najrentabilniji nivo proizvodnje se ostvaruje kada je granična dobit jednaka nuli, odnosno kada je granični prihod jednak graničnim troškovima. Najren-tabilniji nivo proizvodnje se označava sa qD.

( ) 0, ( ) 0D DD q D q′ ′′= < : '

'

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )D D D

D D

D q P q C qP q C q

′ ′= − =

′= (1.118)

Kada je poznata funkcija agregatne granične dobiti, funkcija ukupne agregatne dobiti se određuje primjenom neodređenog integrala:

*( ) ( ) ( )D q D q dq D q K′= ⋅ = +∫ (1.119)

Ovim izrazom se određuje „familija“ funkcija kojoj pripada ova funkcija. Da bi se odredila ukupna dobit potrebno je odrediti konstantu K, a za njeno određivanje je potrebno poznava-ti još jedan podatak, a taj podatak je da je dobit u nuli jednaka negativnim fiksnim troškovima ( )0D F= − .

Funkcija agregatne prosječne dobiti ( )D q je pokazatelj dobiti po jedinici realizovanog proizvoda.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )D q P q C q P q C qD q P q C q p q C qq q q q

−= = = − = − = − (1.120)

Funkcija prosječne dobiti jednaka je razlici funkcija prosječnog prihoda i prosječnih troškova.


134

Ukoliko je (0)0, tada je (0)0 0

D Fq D −= = = = −∞ , što znači da funkcija ima vertikalnu

asimptotu.

Analiza funkcije prosječne dobiti se može predstaviti sljedećim izrazom za vrijednosti 0 q q+< ≤ :

0 ( ) 0 . ( ) ( )

( ) 0 ( ) 0 . ( ) ( )

0 ( ) 0 . ( ) ( )

kada je D q tj P q C q

D q kada je D q tj P q C q

kada je D q tj P q C q

⎧> > >⎪⎪= = =⎨⎪< < <⎪⎩

(1.121)

Nivo kod kojeg se maksimizira prosječna dobit se označava sa ( 0)Dq > . Da bi agregatna prosječna dobit bila maksimalna treba da budu zadovoljeni sljedeći uslovi:

( ) 0

( ) 0D

D

D q

D q

′ =

′′ <

Za nivo ( 0)Dq > , za koji se maksimizira prosječna dobit, prosječna i granična dobit su jed-nake. Pošto se prvi izvod prosječnih troškova za nivo ( 0)Dq > nalazi u intervalu opadanja prosječnih troškova tada je ( )eDq q≤ . To znači da nivo proizvodnje u kojem se maksimizi-ra prosječna dobit nije jednak najekonomičnijem nivou proizvodnje.18 Odnos ova dva nivoa proizvodnje u slučaju agregatne dobiti je različit od njihovog odnosa u slučaju dobiti kod konstantne cijene koji smo analizirali i predstavili u dijelu 1.8.1.2. pod naslovom Funkcija prosječne dobiti kod determinisane cijene.

Agregatna prosječna dobit se izražava u novčanoj jedinici po količinskoj jedinici i pokazuje koliko se u prosjeku po svakoj količinskoj jedinici proizvodnje ostvari novčanih jedinica dobiti. Nivo kod kojeg se maksimizira prosječna dobit se označava sa ( 0)Dq >

Elastičnost agregatne dobiti se definiše sljedećim izrazom:

, ( )( )D qqE D q

D q′= ⋅ (1.122)

i daje nam informaciju o procentualnoj promjeni funkcije dobiti ako se količina proizvodnje q poveća za 1%.

Elastičnost dobiti se može izraziti i kao odnos granične i prosječne dobiti:

,( )( )

( ) ( )D qq D qE D q

D q D q′

′= ⋅ = (1.123)

18 Dokaz i izvođenje vidjeti u : Vučković, Ž., (2004), str. 153.

FUNKCIJA DOBITI

135

Elastičnost prosječne dobiti se računa kao:

, ( )( )D qqE D q

D q′= ⋅ (1.124)

i daje nam informaciju o procentualnoj promjeni funkcije prosječne dobiti ako se količina proizvodnje q poveća za 1%.

Veza izmedu elastičnosti ukupne i prosječne dobiti se izražava koristeći opšti odnos između elastičnosti ukupne i prosječne funkcije sljedećim izrazima:

, ,, ,1 1D q D qD q D qE E ili E E= + = −

U numeričkim primjerima sa rješenjema analizirane su i predstavljene veze i odnosi koji su prezentovani u ovom dijelu. 1.8.3. Funkcija agregatne dobiti u odnosu na cijenu D=D(p) Ako se u funkciju agregatne dobiti D=D(q) uvrsti funkcija direktnog zakona tražnje q=q(p), dobija se agregatna funkcija dobiti kao funkcija cijene:

D=D(p) koja je definisana za cijene: 0 , ( 0) 0p p p p q+ +≤ ≤ = = > (1.125)

Mogu se definisati funkcija granične dobiti

( )pD D p′ ′= (1.126)

i funkcija prosječne dobiti

( )( )pD pD D p

p= = (1.127)

U ovom slučaju kada je dobit definisana kao funkcija prodajne cijene, može se izvršiti ana-liza rentabilnosti, kao i ostale analize, koje su izvršene u slučaju agregatne dobiti izražene kao funkcija količine.

Primjer 1.27. Neko dobro na tržištu se prodaje po cijeni p = 35 nj/kj Proizvođač tog dobra ima fun-kciju troškova 2( ) 2 10 50C y y y= + + . a) Odrediti algebarski izraz funkcije dobiti i analizirati karakteristične tačke; b) Grafički predstaviti funkcije prihoda, troška, dobiti;


136

c) Odrediti funkcije , , ,P C P C′ ′ uz grafički prikaz ;

d) Odrediti elastičnost dobiti ,D yE za nivoe proizvodnje y = 2, y = 5, y = 8, y = 12 uz tumačenje rezultata;

e) Ako bi cijena tog dobra bila p = 25 nj/kj, a ista funkcija troškova proizvođača, kako bi se to odrazilo na dobit proizvođača? Obrazložiti uz grafički prikaz fun-kcija.

Rješenje: a) Funkcija dobiti je razlika ukupnog prihoda i ukupnog troška i kod determinisa-ne cijene vrijedi:

D(y) = P(y) - C(y) = py – C (y).

Kako je cijena p = 35, to je prihod P(y) = 35 y, pa je algebarski izraz funkcije dobiti 2 2( ) 35 2 10 50 2 25 50D y y y y y y= − − − = − + − .

Primjetimo da je D(0) = - F = - 50 (startni gubitak).

Analizom ove funkcije dobijaju se:

1)

granice rentabilnosti:

11,2

2

2,525 625 400 25 15( ) 0104 4

yD y y

y=− ± − − ±

= ⇔ = = ⇔=− −

interval rentabilnosti: ( ) 0 (2,5; 10)D y y> ⇔ ∈

intervali nerentabilnosti: ( ) 0 (0; 2,5) (10; )D y y< ⇔ ∈ ∪ +∞

2) ( ) 0 4 25 0 6,25DD y y y′ = ⇔ − + = ⇔ =

nivo najrentabilnije proizvodnje

3) 225( ) (6,25) 28,1258DD D y D+ = = = =

maksimalan dobitak

FUNKCIJA DOBITI

137

b)

Grafikon 1.27. Funkcije prihoda, troška i dobiti

c) Potrebno je odrediti algebarske izraze ovih funkcija

' 35P P= = ;

4 10C y′ = + ; 22 10 50y yC

y+ +

= .

i njihove presjeke:

0 6,25DP C D y y′ ′ ′= ⇔ = ⇔ = = .

1 20 2,5 10P C D y y= ⇔ = ⇔ = ∧ = .

2

2

2

( ) 0(4 10) (2 10 50) 0

2 50 0 5.(5) (5) 30.

e

C C Cy y y y

yy y y

C C

′ ′= ⇔ =

+ − + +⇔ =

⇔ − = ⇔ = =

′ = =

Karakteristične tačke su: nivo najrentabilnije proizvodnje yD = 6,25 (tačka presjeka ' ,P C′ ) nivo najekonomičnije proizvodnje ye = 5 ( (5) (5) 30C C′ = = )

y D

C

P

50 28.125

0 -50 2.5 6.25 10

C, P, D


138

granice rentabilnosti y1 = 2,5 i y2 = 10. interval rentabilnosti (2,5, 10) P C>

Grafikon 1.27.a. Funkcije prosječnog i graničnog prihoda

i prosječnog i graničnog troška

d) Elastičnost dobiti u odnosu na nivo proizvodnje

, 2( ) ( 4 25)( ) 2 25 50D yy yE D y y

D y y y′= ⋅ = ⋅ − +

− + −.

Računa se:

y = 2 ⇒ D(2) = − 8; ,17 4,254D yE = − = − ;

Ako se nivo proizvodnje y = 2 poveća 1%, gubitak od 8 nj će se povećati za 4,25%. y = 5 ⇒ D(5) = 25; , 1D yE = ;

Ako se nivo proizvodnje y = 5 poveća za 1%, dobitak od 25 nj će se povećati također 1%.

y = 8 ⇒D(8) = 22; ,28 2,511D yE = − ≈ − ;

Ako se nivo proizvodnje y = 8 kj poveća za 1%, dobitak od 22 nj će se smanjiti za približno 2,5%.

y =12 ⇒ D(12)= − 38; ,138 7,2619D yE = − ≈ − ;

y

C'

C

35PP ' ==

10

30

0 -50 2.5 6.25 10

C', C , 'PP =

35

5

FUNKCIJA DOBITI

139

Ako se nivo proizvodnje y = 12 kj poveća za 1%, gubitak od 38 nj će se povećati za približno 7,26%.

e) Ako je cijena p = 25, tada je funkcija dobiti proizvođača

2 2( ) 25 2 10 50 2 15 50D y y y y y y= − − − = − + − .

Određuju se granice rentabilnosti, odnosno nule funkcije:

( ) 1,215 225 4000

4D y y R− ± −

= ⇒ = ∉−

, odnosno nema realnih nula.

Grafikon 1.27.b. Funkcije prihoda, troška i dobiti pri cijeni p = 25

Funkcija dobiti je uvijek negativna ( ( ) ( )0D y y< ∀ jer nema realnih nula i D''<0, pa se zaključuje da proizvođač nerentabilno posluje, odnosno proizvođač posluje sa gu-bitkom. Grafički, funkcija dobiti se nalazi u IV kvadrantu. Potrebno je odrediti na kojem nivou proizvodnje y će proizvođač imati najmanji gubitak.

15( ) 0 4 15 0 3,754DD y y y y′ = ⇒ − + = ⇒ = = = i iznosi (3,75) 21,875D = − .

Trošak proizvođača je uvijek veći od njegovog prihoda, odnosno grafik funkcije troš-ka je iznad grafika funkcije prihoda pa je proizvođač u gubitku D<0. Proizvođač na nivou yD=3,75 ima najmanji gubitak od 21,875 n.j.

y D

C

P

50

-21.875 0

-50

3.75

115.625

10

C, P, D

93.75


140

Grafikon 1.27.c. Funkcije prosječnog i graničnog prihoda i prosječnog

i graničnog troška pri cijeni p=25

Cijena p=25 = P < minC = 30, to je D<0 ⇒ nerentabilno poslovanje.

Primjer 1.28.

Poznata je funkcija agregatne tražnje 1 903

q p= − + i funkcija ukupnih prosječnih

troškova 20252C qq

= + .

a) Pronaći funkciju ukupne dobiti D (q) i grafički prikazati funkcije prihoda, troška i dobiti uz određivanje intervala rentabilnosti, najrentabilnije proizvodnje i maksi-malne dobiti.

b) Pronaći funkcije granične i prosječne dobiti uz njihov grafički prikaz i istaći od-nos nivoa najrentabilnije proizvodnje Dq i nivoa Dq gdje je maksimum prosječne dobiti.

c) Odrediti elastičnost dobiti i prosječne dobiti na nivou q = 50 i objasniti rezultat.

Rješenje: a) Zakon inverzne tražnje je algebarskog oblika:

1 90 3 270 270 33

q p q p p q= − + ⇒ = − + ⇒ = − .

Odavde je funkcija prihoda izražena preko količine q, oblika:

25P' ==P

y

C'

C

10

30

0 -50 2.5 6.25 10

C', C , 'PP =

35

5

FUNKCIJA DOBITI

141

2( ) 270 3P q p q q q= ⋅ = −

Karakteristične vrijednosti za funkciju prihoda, a samim tim i za funkciju dobiti, su: područje definisanosti (def. za p>0, q>0, 0q′ < ) ⇒ -3q > - 270 ⇒ q < 90 tj. q∈(0,90). Ove krajnje tačke su istovremeno i nule funkcije prihoda ( )P q . Maksima-

lan prihod računamo iz ' ( ) 270 6 0 45; pa je (45) 6075P q q q P+= − = ⇔ = = .

Funkciju troška računamo iz funkcije prosječnih troškova, odnosno: 2( ) 2 2025C q C q q= ⋅ = + .

Funkcija troška je rastuća funkcija i njena najmanja vrijednost su fiksni troškovi, od-nosno F=2025. Ovo nam govori da se prilikom grafičkog prikaza funkcije troška koristi onaj dio parabole koji se nalazi u I kvadrantu i koji raste.

Sada možemo izračunati i funkciju dobiti 2( ) ( ) ( ) 5 270 2025D q P q C q q q= − = − + − .

Analizirajmo funkciju dobiti: 1. D=0 ⇒ q1 = 45, q2 = 9 granice rentabilnosti 2. D> 0⇒ q∈(9, 45) interval rentabilnosti 3. 0 10 270 0 27; (27) 1620DD q q D D+′ = ⇒ − + = ⇒ = = =

(najrentabilniji nivo proizvodnje i maksimalna dobit)

Grafikon 1.28. Funkcije prihoda, troška i dobiti

q

D

C

P

2025 1620

0

-2025

9 45 90

C, P, D

27

6075


142

b)

10 270D q′ = − + ; 25 270 2025q qD

q− + −

= .

Pronađimo njihov presjek, tačku u kojoj se maksimizira prosječna dobit. 202510 270 5 270 405 20,1DD D q q q

q′ = ⇔ − + = − + − ⇔ = ≈ .

(20,1) (20,1) 69D D′= ≈ .

Zaključujemo; 1 2D Dq q q q< < < .

Grafikon 1.28.a. Funkcije granične i prosječne dobiti

c) , 50 2

( 10 270) 50 ( 230) 11,225 270 2025 1025D q

q q qE DD q q=

− + ⋅ −′= = = ≈− + − −

.

,, 1 10, 22D qD qE E= − = .

Ako se q sa nivoa 50 kj poveća 1%, gubitak D = -1025 nj, će se povećati za 11,22%, a prosječan gubitak od 20,5 nj/kj će se povećati za 10,22%.

Primjer 1.29. Neko poljoprivredno poduzeće Agropro proizvodi y - (tona) pšenice i ostvaruje dobit od D(y) (stotina KM).

Statistički podaci su dati u sljedećoj tabeli:

q

D'

20,01

69

0

-2025

9 45

D', D

27

270

D

FUNKCIJA DOBITI

143

Y 0 4 5 10 12

D(y) -20 10 20 30 25

a) Metodom najmanjih kvadrata odrediti funkciju dobiti 2( )D y ay by c= + + koja najbolje aproksimira funkciju dobiti.

b) Odrediti za dobijenu funkciju interval rentabilnosti, nivo najrentabilnije proizvo-dnje i najveću dobit.

c) Kolika se dobit predviđa za 15 tona pšenice? d) Odrediti koeficijent elastičnosti za nivo proizvodnje y = 4 tone i y =15 tona. e) Na istoj slici grafički prikazati empirijske podatke i dobijenu krivu.

Rješenje: a) Napravimo radnu tabelu:

yi Di Diyi yi2 Diyi

2 yi3 yi

4 0 -20 0 0 0 0 0 4 10 40 16 160 64 256 5 20 100 25 500 125 625

10 30 300 100 3000 1000 10000 12 25 300 144 3600 1728 20736

Σ 31 Σ 65 Σ 740 Σ 285 Σ 7260 Σ 2917 Σ 31617

Postavljaju se normalne jednačine: 2

i i iD a y b y cn= + +∑ ∑ ∑ 3 2

i i i i iD y a y b y c y⋅ = + +∑ ∑ ∑ ∑ 2 4 3 2

i i i i iD y a y b y c y⋅ = + +∑ ∑ ∑ ∑ (i = 1,2..,5 = n).

Zamijenjujući u gornji sistem vijednosti iz posljednjeg reda gornje tabele dobija se sljedeći sistem jednačina: 65 285 31 5740 2917 285 317260 31617 2917 285

a b ca b c

a b c

= + += + += + +

Rješavajući ovaj sistem dobijaju se vrijednosti koeficijenata:

0,55; 10,49; 20,505.a b c= − = = −

Funkcija dobiti ima sljedeći oblik: 2( ) 0,55 10,49 20,505.D y y y= − + −


144

b) Analizom funkcije dobiti dobijaju se sljedeći rezultati:

D(y) = 0 ⇔ y1 = 2,21; y2 = 16,79. ⇒ y∈ (2,21; 16,79) interval rentabilnosti.

( ) 0 1,1 10,49 0 9,5.DD y y y′ = ⇔ − + = ⇔ = nivo najrentabilnije proizvodnje.

(9,5) 29,5D D+ = = maksimalna dobit (2950 KM).

c) D(15)=13,1. Za 15 tona predviđa se dobit od 1310 KM.

d)

, 44 6,05 1,93

12,56D yE = = ⋅ = .

Ako se nivo proizvodnje y = 4 poveća 1% ,dobit će se sa nivoa D=12,56 povećati 1,93%.

, 1515 ( 6,01) 6,88

13,1D yE = = ⋅ − = − .

Ako se nivo proizvodnje y =15 t poveća 1%, dobit će se sa nivoa D=13,1 KM smanji-ti za 6,88%.

e) U Microsoft Exelu se dobija kvadratna funkcija koja najbolje aproksimira skup po-dataka u ovom primjeru.

Regressiony = -0,5542x2 + 10,499x - 20,505R2 = 0,9924

-30-20

-100

1020

3040

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Grafikon 1.29. Funkcija dobiti

FUNKCIJA DOBITI

145

Primjer 1.30. Na tržištu je prisutna cijena nekog proizvoda: p =15 nj/kg. Tražnja za tim proizvodom je ∞. Za konkretnog proizvođača ovog proizvoda funkcija graničnih troškova je

2 2C y′ = + i nivo najekonomičnije proizvodnje je ye = 6 kg. a) Odrediti funkcije: troška, prihoda i dobiti za datog proizvođača; b) Odrediti intervale rentabilnog poslovanja, nivo najrentabilnije proizvodnje; c) Grafički prikazati funkcije prosječnog i graničnog prihoda i troška, uz naznača-

vanje karakterističnih tačaka.

Rješenje:

a)

( ) ( )

( )( )

2

2

2

2 2 22 36

6 6 2 2 2 36

15

13 36

C y C y y FC y yFC C y y F

yP y y

D y P C y y

′ ⎫= + ⇒ = + +⎪⇒ = + +⎬′ = ⇒ + = + + ⇒ = ⎪⎭

=

= − = − + −

b) Interval rentabilnosti: ( )1 20 4; 9 4, 9D y y IR y= ⇒ = = ⇒ ∈ Nivo najrentabilnije proizvodnje: 0 2 13 0 6.5D y y′ = ⇒ − + = ⇒ =

c)

' 15362

2 2

P P

C yy

C y

= =

= + +

′ = +

Grafikon 1.30. Funkcije prosječnog, graničnog prihoda i prosječnog, graničnog troška

9 YD = 6,5 0

C′

VA

C

y Ye = 6 4

15=Π′=Π B D E

A

146

1.9. Funkcija ponude Ponuda je konačan stadij procesa proizvodnje u tržišnoj privredi. Količina nekog dobra (proizvoda) koja se nudi na tržištu po određenoj cijeni predstavlja ponudu tog dobra. U us-lovima slobodnog djelovanja ekonomskih zakonitosti ponuda zavisi od tržišne cijene proizvoda p i od cijena ostalih proizvoda koji mogu biti u vezi sa tehničko-tehnološkim uslovima proizvodnje. To se odnosi na cijene, količine i kvalitet utrošenih faktora proizvo-dnje, tj. na troškove proizvodnje fC . Ponuda zavisi i od vremena t , od geografskog područja G , sezone s , itd. Na ovaj način definisana ponuda predstavlja funkciju ponude u širem smislu, koja se izražava kao funkcija više promjenljivih:

ˆ ( , , , , )fq F p C t G s= (1.128)

Ako funkcija ponude ima izvod po p u intervalu posmatranja taj izvod mora biti veći od

nule ˆ

0qp∂

>∂

, što znači da je ponuda rastuća funkcija u odnosu na cijenu p . Ostali parcijalni

izvodi mogu biti različitog znaka zavisno od uticaja pojedinih faktora na ponudu posmatra-nog dobra.

Pošto najveći uticaj na ponudu nekog dobra ima cijena tog dobra ponuda se definiše u užem smislu kao funkcija jedne nezavisne varijable, a to je cijena tog dobra:

ˆ ˆ ˆ( ), ( )q f p odnosno q q p= = (1.129)

Razlikuju se individualna i agregatna ili tržišna ponuda. Funkcija individualne ponude (po-nude pojedinačnog proizvođača) pokazuje kolika je količina nekog dobra koje individualni proizvođač nudi na prostorno i vremenski definisanom tržištu po određenoj cijeni. Funkcija agregatne ponude predstavlja ukupnu količinu nekog dobra koju nude svi ponuđači tog do-bra na određenom tržištu u određenom vremenskom periodu. Agregatna ponuda se dobije sabiranjem individualnih funkcija ponude. U analizi koja slijedi prvo će biti predstavljena funkcija agregatne, a zatim i funkcija individualne ponude.

1.9.1. Funkcija agregatne (tržišne) ponude Funkcija agregatne ponude predstavlja količinu nekog dobra koja se nudi na prostorno i vremenski definisanom tržištu po određenoj cijeni. Funkcija agregatne ponude se dobija kao zbir količina nekog proizvoda koje nude različiti individualni proizvođači na određe-nom tržištu u određeno vrijeme i može se izraziti sljedećom relacijom:

FUNKCIJA PONUDE

147

1

ˆ ˆN

ii

q x=

= ∑ . (1.130)

u kojoj simbol q predstavlja agregatnu funkciju ponude, a ˆ , 1,..., .ix i N= individualne funkcije ponude N ponuđača na tom tržištu.

Da bi neka matematska funkcija mogla biti funkcija agregatne ponude treba da budu zado-voljeni sljedeći uslovi:

1. Uslov nenegativnosti na zavisnu i nezavisnu varijablu, što znači da ponuda i cijena treba da budu nenegativne: ˆ0, 0p q> ≥ . Ako se sa p- označi minimalna cijena za ko-ju postoji ponuda, a sa x− ponuda kod minimalne cijene, tada se oblast definisanosti ponude nalazi u sljedećim granicama ˆ ˆ0 , 0 ,p p x x− −< ≤ ≤ ≤

ˆ ˆ0 , 0p p q q− −< ≤ ≤ ≤ 2. Funkcija ponude je u intervalu definisanosti neprekidna ˆ0 q≤ < +∞ 3. Funkcija agregatne ponude je diferencijabilna i prvi izvod funkcije ponude mora biti

pozitivan ˆ ˆ 0dq q

dp′= > .

Funkcija agregatne ponude je monotono rastuća funkcija i ima pozitivan prinos. To znači da će sa rastom cijene nekog dobra u normalnim uslovima rasti i njegova ponuda. Od ovog opšteg pravila postoje i izuzeci, a u daljoj analizi se polazi od pretpostavke da su normalni opšti uslovi o zavisnosti cijene i ponude ispunjeni.

Najčešći analitički oblici funkcije ponude za su za: 0, 0a b≥ > 19

( ) 0;lnˆ0;ˆ

)(ˆ

ˆ

ˆ

2

2

≥−⋅+=

≥+⋅+−=

−=

+−=

+−=

ddpbaqddpbaq

bpaq

bpaq

bpaq

Ovi analitički oblici funkcije ponude zadovoljavaju osobinu da je p- >0 i da je 0ˆ =−q što teorijski i ne mora biti slučaj, ali u primjerima koje ćemo mi analizirati ova osobina je za-dovoljena.

19 Vidjeti osobine u Vučković, Ž., (2004), str. 172.


148

Elastičnost funkcije agregatne ponude

Za agregatnu funkciju ponude izraz za koeficijent elastičnosti se definiše, analogno izrazu za koeficijent elastičnosti individualne ponude, koristeći odgovarajući simbol za agregatnu funkciju ponude:

ˆ, ˆ 0.ˆq ppE qq

′= ⋅ > (1.131)

za ˆ ˆ0, 0, 0p q q′> ≥ > .

Elastičnost ponude je uvijek pozitivna pošto su cijena i ponuda pozitivne i prvi izvod fun-kcije ponude pozitivan. Koeficijent elastičnosti ponude pokazuje za koliko postotaka (%) će se povećati ponuda ako se cijena poveća za 1%.

Elastičnost funkcije ponude je pozitivna i njene vrijednosti se mogu tabelarno predstaviti na sljedeći način.

Tabela 7. Elastičnost funkcije ponude

p ˆ ,q pE Tip elastičnosti

p = p- ˆ ,q pE = +∞ Savršena elastičnost

p- ˆ,q pE > 1 Elastičnost p > p1 1 > ˆ,q pE >0 Neelastičnost

1.9.2. Funkcija individualne ponude Ako se učini simplifikacija, kao kod funkcije tražnje, pretpostavljajući da je uticaj ostalih faktora na ponudu relativno mali u poređenju sa cijenom p dobra koje se nudi, funkcija individualne ponude se definiše u užem smislu kao funkcija cijene:

ˆ ˆ( )x x p= (1.132)

Da bi funkcija (1.132) mogla biti funkcija ponude, mora ispuniti sljedeće uslove:

1. Uslov nenegativnosti na zavisnu i nezavisnu varijablu kod individualne funkcije po-nude: ˆ0, 0p x> > . Ako se sa p- označi minimalna cijena za koju postoji ponuda i sa

x− minimalna količina ponuđena pri toj cijeni, tada se obast definisanosti ponude može napisati:

ˆ ˆ0 , 0p p x x− −< ≤ ≤ ≤ .

FUNKCIJA PONUDE

149

2. Funkcija ponude je u intervalu definisanosti neprekidna ˆ0 x≤ < +∞ . 3. Funkcija ponude je diferencijabilna i prvi izvod funkcije ponude mora biti pozitivan, tj.

ˆ ˆ 0dx x

dp′= >

Ovo znači da je funkcija ponude monotono rastuća funkcija (ima pozitivan prinos), odnos-no da će sa rastom cijene nekog dobra u normalnim uslovima rasti i njegova ponuda.

Neka je poznata linearna funkcija individualne ponude 1 1ˆ ˆ ( )x x p= , definisana za

( )1 1 ,p p−∈ +∞ ; ( )+∞∈ ,0ˆ1x i neka je poznata linearna funkcija individualne ponude

)(ˆˆ 22 pxx = definisana za ( )+∞∈ − ,22 pp ; ( )+∞∈ ,0ˆ2x

Minimalne cijene za koje su definisane ponude su −1p i −

2p i neka je −− ≤ 21 pp . Prikažimo na istom grafiku ove dvije funkcije ponude pa onda odredimo funkciju agregatne ponude i prikažimo je grafički.

Grafikon 25. Funkcije individualnih ponuda

Agregatna ponuda je zbir svih individualnih ponuda u oblasti njihove definisanosti, pri če-mu oblast definisanosti

iqD ˆ agregatne ponude predstavlja oblast definisanosti svih

individualnih ponuda ixD ˆ :

∪i

xi

i iDppxpq ˆ;)(ˆ)(ˆ ∈=∑ .

0 p1- p2

- p

1x

2x

( )px


150

Zapis ∪i

xiDp ˆ∈ nam govori da na tržištu postoji ponuda kad je barem jedan ponuđač prisu-

tan na tržištu, odnosno minimalna cijena za koju postoji agregatna ponuda je )min( −− = ii

pp .

U ovom primjeru imamo da je agregatna ponuda definisana za ( )+∞∈ − ,1pp , jer smo pret-

postavili odnos −− ≤ 21 pp . Za cijenu ( ]−−∈ 21 , ppp na tržištu je prisutan samo jedan ponuđač sa ponudom 1x , dok ponuđač sa ponudom 2x ulazi na tržište ako je cijena veća od −2p . Za cijenu ( )+∞∈ − ,2pp na tržištu su prisutna oba ponuđača sa ponudama 1x i 2x .

(( )

1 1 2

1 2 2

ˆ ,ˆ( )

ˆ ˆ ,

x za p p pq p

x x za p p

− −

−

⎧ ⎤∈ ⎦⎪= ⎨+ ∈ +∞⎪⎩

Minimalna cijena je: −p = −1p ( −

1p < )−2p .

Grafikon 26. Funkcije individualnih ponuda i agregatne ponude

Grafikon 27. Funkcija agregatne ponude

Elastičnost funkcije individualne ponude Elastičnost funkcije individualne ponude je određena sljedećim izrazom:

ˆ, ˆ ˆ ˆ0, 0, 0, 0ˆx ppE x za p x xx

′ ′= ⋅ > > > > (1.133)

p 0 p1-

( )pq

( ) 21 ˆˆˆ xxpq +=

0 p1- p2

-p

1x

2x

2xΔ

2xΔ

( )pq ( )pq

FUNKCIJA PONUDE

151

Koeficijent elastičnosti ponude pokazuje za koliko postotaka (%) će se povećati ponuda posmatranog proizvoda ako se cijena tog proizvoda na tržištu poveća za 1%. Ako se cijena proizvoda poveća za 1%, ponuda tog proizvoda će se povećati za ˆ, %.x pE Elastičnost ponu-de je uvijek pozitivna pošto su cijena i ponuda pozitivne i prvi izvod funkcije ponude pozitivan. Analiza elastičnosti ponude se može predstaviti tabelarno i grafički. Tabelarna prezentacija je predstavljena u analizi agregatne ponude i na isti način se primjenjuje i za individualnu funkciju ponude. Grafičke prezentacije funkcije ponude će biti predstavljene u primjerima sa rješenjima.

1.9.3.

Određivanje individualne funkcije ponude iz funkcije troškova

Cilj ponuđača je da maksimizira dobit, odnosno da ponudi onu količinu dobra koja će mu, pri datoj tržišnoj cijeni, obezbijediti najveću dobit. Upravo na ovoj činjenici, i uz pretpos-tavku da je u pitanju tržište savršene konkurencije na kojem pojedinac ne utiče na cijenu izvodi se funkcija individualne ponude.

Dobit pojedinca pri tržišnoj cijeni p se računa: ( ) ( ) ( ) ( )D y P y C y p y C y= − = ⋅ − , a nivo y za koju se maksimizira dobit se određuje kad se granična dobit izjednači sa nulom, odnos-no:

( ) '( ) ( ) ( ) 0( )

D y P y C y p C yp C y′ ′ ′= − = − =

′= (1.134)

Iz gornjeg izraza se zaključuje da će ponuđač ostvariti najveću dobit ukoliko cijena na tržiš-tu bude jednaka graničnim troškovima. Zbog toga se iz jednačine )(yCp ′= može eksplicitno izraziti y i dobiti direktni zakon ponude:

)(ˆˆ pxxy == .

Za konkretnu cijenu p > 0 ponuda )(ˆˆ pxx = predstavlja rješenje jednačine pxyC ==′ )ˆ( .

Zakon individualne ponude u užem smislu )(ˆˆ pxx = je inverzna funkcija funkcije grani-čnih troškova )(yCC ′=′ za dato p.

Na sljedećem grafikonu su predstavljene funkcije prosječnih ukupnih troškova, prosječnih varijabilnih troškova, graničnih troškova, graničnog prihoda, prosječnog prihoda i konstan-tne cijene p. Na grafikonu je istaknuta konstantna cijena p koja je jednaka prosječnom i graničnom prihodu pri toj cijeni.

Prije analize samog grafika, analizirajmo funkciju dobiti pri konstantnoj cijeni:


152

Poslovanje je rentabilno ako je tržišna cijena (prosječan prihod) veća od prosječnog troška, što se vidi iz izraza (1.135). Poslovanje je nerentabilno ako je tržišna cijena (prosječan pri-hod) manja od prosječnog troška, a ako je je tržišna cijena jednaka prosječnom trošku poslovanje je na granici rentabilnosti.

( ) ( ) CpyCpyDyCypyCyPyDy >

<

>

<

>>

<=⇔=−=⇔=−⋅=−= 00)()()()(

0:

(1.135)

Grafikon 28. Određivanje funkcije ponude iz funkcije troškova

Na grafikonu su označene tri karakteristične tačke M, V i E. Tačka M predstavlja minimum graničnih troškova, tačka V minimum prosječnih varijabilnih troškova i tačka E minimum prosječnih ukupnih troškova.

Na horizontalnoj osi su prikazane količine y sa jedinicama mjere kj, a na vertikalnoj osi su date cijene, prosječan i graničan prihod, prosječan i graničan trošak i sve mjereno u nj/kj. Tržišna cijena p jednaka je prosječnom i graničnom prihodu i na grafikonu se vidi da posto-ji interval kod kojeg je prosječan prihod veći od prosječnog troška. To znači da se pri ovoj tržišnoj cijeni može ostvariti dobitak, odnosno postoji interval rentabilnog poslovanja.

Sa pu je označena ulazna cijena. Ta cijena je jednaka prosječnim, odnosno graničnim troš-kovima u najekonomičnijem nivou proizvodnje yE. Sa grafikona se vidi da, ako je tržišna cijena jednaka ulaznoj cijeni pu, onda se prosječan prihod (koji je tada jednak pu) i prosječan trošak sijeku u jednoj tački, pa interval rentabilnosti ne postoji i najbolje poslovanje je na granicama rentabilnosti, u našem slučaju najbolja ponuda je ponuda yE. Na osnovu prethodnog i izraza (1.135) zaključujemo: ako je cijena na tržištu veća od pu

PPconstppu ===< '. ostvaruje se dobit 0>D i poslovanje je rentabilno jer je cijena p

C’

0 y

y’ ,

M

E

V

yM yV yE

x

y

C

V p=Ρ’ =Ρ

pu

pi

FUNKCIJA PONUDE

153

veća od ukupnih prosječnih troškova .Cp > Za cijenu p = C' se maksimizira dobit kao što je pokazano u relaciji (1.134).

Kada je cijena jednaka prosječnim troškovima Cpp u == ostvaruju se granice rentabil-nosti, a ako je cijena manja od prosječnih troškova upCp =< dobit je negativna D<0 i poslovanje nerentabilno.

Sa pi je označena izlazna cijena. Ta cijena je jednaka prosječnim varijabilnim, odnosno graničnim troškovima u nivou kod kojeg su minimalni prosječni varijabilni troškovi yV.

Ukoliko je nivo proizvodnje y = 0, tada je dobit negativna

[ ] 0)0()0()0( <−==−=== FyCyPyD .

Ostvaruje se tzv. polazni gubitak koji je jednak fiksnim troškovima.

U slučaju kada je cijena na tržištu jednaka prosječnim varijabilnim troškovima ipp = ta-kođer se ostvaruje polazni gubitak kao u prethodnom slučaju.

[ ] [ ] FyDyVypyyVpyVp −=→<−⋅→⋅=−→= )(0)(/0)()( .

Ukoliko se tržišna cijena nalazi u granicama ui ppp << tada vrijedi:

[ ] [ ] FyDyVypyyVpyVp −>→>−⋅→⋅>−→> )(0)(/0)()( .

To znači da ponuđač i dalje može ostati na tržišu jer se njegov gubitak izražen fiksnim troš-kovima smanjuje za [ ] 0)( >−⋅=Δ yVypD . To znači da, ukoliko se cijena nalazi u granicama ui ppp << , ponuđač ima interes da ostane na tržištu jer smanjuje gubitak.20

Ako je cijena manja od cijene pi, odnosno

[ ] [ ] 0)(0)(/0)()( <−=→<−⋅→⋅<−→< FyDyVypyyVpyVp ponuđač nema inte-resa da ostane na tržištu jer tada posluje sa gubitkom, odnosno polazni gubitak koji je bio jednak fiksnim troškovima se povećava za [ ])(yVypD −⋅=Δ .

Rezimirajmo: Proizvođač će ući na tržište ukoliko je cijena na tržištu veća ili jednaka od cijene pu (tzv. ulazna cijena). Za tržišnu cijenu veću od pu proizvođač će ostvariti dobitak. Što je cijena veća ponuđač će ostvarivati veću dobit.

Ako je tržišna cijena manja od pu ( )upp < proizvođač ima interes da kratkoročno ostane na tržištu ukoliko je cijena veća od tzv. izlazne cijene pi. Ta cijena je jednaka graničnim troško-vima u nivou kod kojeg su minimalni prosječni varijabilni troškovi yV. Dakle kod cijene

ui ppp << proizvođač ostaje na tržištu jer smanjuje gubitak izražen fiksnim troškovima.

20 Vučković, Ž. , (2004), str. 178-181.


154

Za cijenu ( )ipp < ponuđač nema interesa da ostane na tržištu jer tada posluje sa gubitkom.

Zakon inverzne ponude je, za cijenu jednaku ili veću od pi, jednak funkciji graničnog tro-ška, kao što je pokazano u izrazu (1.134).

1.9.4. Tržišna ravnoteža (ekvilibrij) Na tržištu savršene konkurencije ravnoteža nastaje kada je agregatna ponuda nekog dobra jednaka agregatnoj tražnji za tim dobrom. Cijena za koju su funkcija ponude i funkcija tra-žnje jednake naziva se ravnotežna cijena. Ravnotežna cijena se određuje izjednačavanjem funkcije tražnje i ponude:

qq ˆ= (1.136)

Za ravnotežnu cijenu količina dobra koja se nudi će biti jednaka količini dobra koja se traži na određenom tržištu u određeno vrijeme. Određivanje tržišne ravnoteže je obrađeno u primjerima sa rješenjima.

Primjer 1.31. Date su funkcije ponude: 1) 23)(ˆ 2 +−= pppq

2) 12)(ˆ −= ppq

3) 3)(ˆ 1 −= −pepq

4) 2

ln)(ˆ ppq = .

a) Za koje cijene p ove funkcije imaju ekonomskog smisla? Grafički predstaviti date funkcije.

b) Za funkcije ponude 1) i 2) odrediti algebarske izraze funkcije elastičnosti uz gra-fički i tabelarni prikaz.

Rješenje: a) Definiciono područje funkcija ponude 0)(ˆ;0)(ˆ;0 >′>> pqpqp . 1) p>0, ( ) ( ) ( ) ( )+∞∪∞−∈⇒>−⋅−⇒>+−= ,21,021023)(ˆ 2 ppppppq , 2/3032)(ˆ >⇒>−=′ pppq ,

FUNKCIJA PONUDE

155

Odavde je definiciono područje ponude: ( )+∞∈ ,2p . Minimalna cijena je 2=−p

Funkcija ponude je parabola sa minimumom i definisana je za:

0ˆ,2 >> qp

Grafikon 1.31. Funkcija ponude 23)(ˆ 2 +−= pppq

2) p - 1>0 ⇒ p >1, 0)(ˆ >pq , 01

1)(ˆ >−

=′p

pq , p- =1, q- = 0.

Funkcija ponude je korjena funkcija u oblasti definisanosti

0ˆ;1 >> qp

Grafikon 1.31.a. Funkcija ponude 12)(ˆ −= ppq

q

0 1 p

q

0 1 2 p

2

0 1 1,5 2


156

3) p>0, epppeepq pp 3ln13ln3ln13030)(ˆ 11 >⇒+>⇒>−⇒>⇒>−⇒> −− ,

0)(ˆ 1 >=′ −pepq ; za ep 3ln=−

Funkcija ponude je eksponenci-jalna funkcija definisana za

0ˆ;3ln1 >+> qp

Grafikon 1.31.b. Funkcija ponude 3)(ˆ 1 −= −pepq

4) p>0, 0)(ˆ >pq ⇒ 212

02

ln >⇒>⇒> ppp ; 021)(ˆ >=′p

pq ;

Funkcija ponude je logaritam-ska funkcija koju smo ograničili u oblasti definisanosti ponude:

0ˆ;2 >> qp

Grafikon 1.31.c. Funkcija ponude 2

ln)(ˆ ppq =

q

0 2 p

q

0 1 p

1+ln 3

FUNKCIJA PONUDE

157

b) Funkcija elastičnosti ponude u odnosu na cijenu p je uvijek pozitivna i računa se iz:

0)(ˆ)(ˆ,ˆ >′⋅= pq

pqpE pq .

1) 23)(ˆ 2 +−= pppq

– 023

32)32(23 2

2

2,ˆ >+−

−=−⋅

+−=

ppppp

pppE pq definisana za p > 2

– 0)23(683)( 22

2,ˆ <

+−

−+−=′

ppppE pq za p > 2 (opadajuća funkcija)

– 2lim ,ˆ =+∞→ pqp

E (horizontalna asimptota)

– 2lim ,ˆ2

=⇒+∞=→

pE pqp

(vertikalna asimptota)

– ..22123

321 22

2,ˆ pdpp

ppppE pq ∉=⇒=⇒=+−

−⇒=

p pqE ,ˆ Elastičnost

p>2 +∞> pqE ,ˆ >2 Elastičnost

Grafikon 1.31.d. Funkcija elastičnosti ponude 23)(ˆ 2 +−= pppq

pqE ,ˆ > 2 što znači da je funkcija ponude elastična.

2) ˆ( ) 2 1q p p= −

– 0)1(21

112,ˆ >

−=

−⋅

−=

pp

pppE pq definisana za p > 1

2 p

pqE ,ˆ

2

1


158

– p = 1 (vertikalna asimptota)

– 21lim ,ˆ =

+∞→ pqpE (horizontalna asimptota)

– 0)1(2

1)( 2,ˆ <−−

=′p

E pq (opadajuća funkcija)

– 2221,ˆ =⇒−=⇒= pppE pq (jedinična elastičnost)

p pqE ,ˆ elastičnost

p = 1 pqE ,ˆ = ∝ savršena

elastičnost

1 >∞ pqE elastičnost

p = 2 pqE ,ˆ =1 jedinična

elastičnost

p >2 1> pqE ,ˆ >1/2 neelastičnost

Grafikon 1.31.e. Funkcija elastičnosti ponude 12)(ˆ −= ppq

Primjer 1.32. Na tržištu određenog tipa robe prisutna su tri proizvođača sa zakonima individualne ponude:

,6ˆ,15,0ˆ

,3ˆ

3

2

1

−=−=

−=

pxpx

px

a) Definisati funkcije individualnih ponuda i grafički ih predstaviti. b) Odrediti zakon agregatne ponude na tržištu i prikazati je grafički. c) Ako je q = 5 – 0,5p zakon agregatne tražnje, odrediti tačku ravnoteže. d) Odrediti elastičnost ponude za ravnotežnu cijenu i protumačiti rezultat.

Rješenje: a) Definišimo svaku od navedenih funkcija individualne ponude: 0ˆ,0,0ˆ >′>> xpx .

01ˆ;3030ˆ 11 >=′>⇒>−⇒> xppx , ponuda prvog proizvođača je definisana za p >3.

0 1 2 p

pqE ,ˆ

1

1/2

FUNKCIJA PONUDE

159

05,0ˆ;2015,00ˆ 22 >=′>⇒>−⇒> xppx , ponuda drugog proizvođača je definisa-na za p >2 .

01ˆ;6060ˆ 33 >=′>⇒>−⇒> xppx , ponuda trećeg proizvođača je definisana za cijenu p >6.

Grafikon 1.32. Funkcije individualnih ponuda

b) Sada odredimo funkciju agregatne ponude:

Agregatna ponuda je zbir svih individualnih ponuda u oblasti njihove definisanosti.

( ]( ]

( ]( ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−∈−∈−

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

>++∈+

∈=

6,105,26,3,45,13,2,15,0

6;ˆˆˆ6,3;ˆˆ

3,2;ˆ)(ˆ

321

12

2

pppppp

pxxxpxx

pxpq .

1x 2x 3x

0 6 p

0 2 p

0 3 p

2x 12 ˆˆ xx + 312 ˆˆˆ xxx ++


160

Grafikon 1.32.a. Funkcija agregatne ponude

c) Tačka ravnoteže R(pR, qR) je tačka u kojoj je ponuda jednaka tražnji )(ˆ)( pqpq = .

Definišimo datu funkciju tražnje: (p >0, q >0, q´< 0);

q = 5 – 0,5p > 0 ⇒ p < 10, q´= -0,5 < 0. Dakle, tražnja je definisana za p∈(0, 10) i q∈(0, 5). Rješavajući jednačinu 1,5p – 4 = 5 – 0,5p ⇒ 2p = 9 ⇒ pR = 4,5 i qR = 2,75. Dakle, R = (4.5, 2.75).

Grafikon 1.32.b. Funkcije agregatne ponude i tražnje i njihova ravnoteža

0 2 3 4,5 6 10 p

qq ˆ,

5

2.75

0.5

R

0 2 3 6 p

q

5

0.5

FUNKCIJA PONUDE

161

d) 45,25,175,25,4

5,4,ˆ =⋅==pqE .

Ako cijenu p sa ravnotežne cijene pR = 4,5 povećamo za 1%, ponuda sa ravnotežnog nivoa 2,75 će se povećati za približno 2,45 %.

Primjer 1.33. Preduzeće « Hlaaa », koje proizvodi hladnjake, izvršilo je analizu tržišta i dobilo slje-deći grafikon:

Grafikon 1.33. Funkcije ponude i tražnje za hladnjacima

a) Definisati tražnju i ponudu za hladnjacima. b) Odrediti ravnotežnu cijenu i ravnotežnu količinu hladnjaka. c) Pretpostavljajući linearnost funkcija pronaći njihove oblike. d) Ako vlada odredi da se ne smiju prodavati hladnjaci po cijeni većoj od 150$, šta

će to značiti za preduzeće? e) Kako će jedinično povećanje cijene hladnjaka uticati na tražnju i ponudu?

Rješenje: a) Zna se da je funkcija tražnje u zavisnosti od cijene opadajuća, a funkcija ponude u zavisnosti od cijene rastuća funkcija. Sa grafikona se uočava:

Tražnja q(p) definisana za p∈ (0, 300) i q(p)∈(0, 30);

Ponuda )(ˆ pq definisana za p > 90.

0 90 160 300

30 14

.)(ˆ, komqq


162

b) Tačka ravnoteže je tačka u kojoj se sijeku funkcije tražnje i ponude; (sa grafikona P.3.1.). Ravnotežna cijena je pR = 160 $, a ravnotežna količina qR = 14 kom.

c) Funkcija tražnje je linearna funkcija pa je oblika: q(p) = ap + b.

Sa grafikona se određuje da je granična cijena do koje tražnja postoji p+ =300, q = 0 i nivo zasićenja q+ = 30, p = 0.

Rješavajući sistem jednačina, dobija se:

0 = 300⋅a + b

30 = a⋅0 + b ⇒ b = 30, a = -1/10 = -0,1. Funkcija tražnje je q(p) = -0,1p + 30.

Funkcija ponude je linearna funkcija pa je oblika )(ˆ pq = cp + d.

Sa grafikona se određuje da je najniža cijena za koju ponuda postoji p- = 90, )(ˆ pq =0; i za p = 160, )(ˆ pq =14. Uvrštavajući ove vrijednosti u funkciju ponude )(ˆ pq = cp + d dobija se sistem jednačina:

0 = 90c + d

14 = 160c + d

Rješavanjem ovog sistema određuju se vrijednosti koeficijenata: c = 0,2, d = -18, od-nosno funkcija ponude je )(ˆ pq = 0,2p – 18.

d) Za cijenu p < 150 $ tražnja je veća od ponude, što znači da će preduzeće sve hlad-njake prodati.

e) Kako je q´(p) = - 0,1 i )(ˆ pq′ = 0,2, to će za jedinično povećanje cijene tražnja opasti za 0,1, a ponuda porasti za 0,2 kom.

Primjer 1.34. Za konkretnog proizvođača nekog proizvoda poznata je funkcija troškova

C(y) = 6y2 + 6y + 96. a) Odrediti njegovu funkciju ponude i količinu ponude kod poznate tržišne cijene p =30 b) Da li je njegovo poslovanje rentabilno? c) Odrediti ulaznu cijenu pu i ulaznu količinu yu iznad koje naš proizvođač izlazi sa

ponudom na tržište, izlaznu cijenu pi i izlaznu količinu yi ispod koje bi naš proiz-vođač odustao od ponude; grafički predstaviti funkcije prosječnog ukupnog i varijabilnog troška, graničnog troška i ponude.

FUNKCIJA PONUDE

163

Rješenje: a) Vodeći se kriterijem rentabilnosti, cilj je ostvariti maksimalnu dobit

D´= 0 ⇒ C´ = P´ ⇒ C´ = p (inverzno) ⇒ )(ˆ px .

C´(y) = 12 y +6 = p ⇒ y = 12

6−p⇒ )(ˆ px =

126−p ; definisana za p > 6.

Proizvođačeva ponuda pri cijeni p =30 bi bila: ..2)30(ˆ jkx =

b) D(y) = P(y) – C(y) = 30y – 6y2 – 6y – 96 = - 6y2 + 24y – 96.

D(2) = -72 < 0 nije rentabilan pri cijeni p = 30 KM.

c) Određuju se funkcije graničnog, prosječnog ukupnog i varijabilnog troška:

C´= V´= 12y + 6.

yyyC 9666 2 ++

=

66 += yV .

Uvode se sljedeće standardne oznake:

E(yE, pE) - tačka minimuma prosječnih ukupnih troškova,

V(yV, pV) - tačka minimuma prosječnih varijabilnih troškova,

M(yM, pM) - tačka minimuma graničnih troškova.

Odredimo najekonomičniji nivo proizvodnje yE (minimum prosječnih ukupnih troš-kova). Iz jednačine

49669666612 22

=⇒=⇒++

=+⇒=′ Eyyy

yyyCC 54)4()4( ==′ CC .

Kako su funkcije graničnog troška i prosječnog varijabilnog troška rastuće linearne funkcije, to će imati minimalnu vrijednost za y = 0.

Dakle, karakteristične tačke su E = (4, 54) i V=M = (0, 6) .


164

Grafikon 1.34. Funkcije prosječnog ukupnog troška, prosječnog varijabilnog troška i granič-

nog troška

Grafikon 1.34.a. Funkcija ponude proizvođača (grafik funkcije ponude je inverzan grafiku

funkcije graničnog troška)

Kako je pPP ==' , to iz grafika vidimo da je za p > pE = 54 prosječni prihod veći od prosječnog troška, pa bi proizvođač bio rentabilan, ostvaruje dobit i izlazi na tržište sa svojom ponudom, što znači ulazna cijena pu = pE = 54 i ulazna količina yu = yE = 4.

Nadalje, za cijenu pV < p < pE prosječni prihod je manji od prosječnog troška, proiz-vođač nije rentabilan, ima gubitak koji je manji od gubitka za fiksne troškove, izlazi sa ponudom i minimizira gubitak. Za p < pV proizvođač odustaje od ponude, što znači izlazna cijena pi = pV = 6 i izlazna količina yi = yV = 0.

Primjer 1.35.

Kod nekog proizvođača poznata je funkcija prihoda 2330)( qqqP −= i nepotpuna funkcija troškova 22)( qqAqC ++= . a) Odrediti vrijednost parametra A ako se zna da je najekonomičniji nivo proizvod-

nje kjqe 24= . b) Odrediti algebarski izraz funkcije dobiti i dati grafički prikaz, uz obilježavanje

karakterističnih tačaka i intervala nerentabilnosti. c) Odrediti funkciju proizvođačeve ponude, oblast definisanosti i grafički je preds-

taviti.

E

V

30

6

VCC ,,′

0 2 4 y

54

0 6 30 54 p

x

42

FUNKCIJA PONUDE

165

Rješenje: a)

2401020)(

24;2)(;330)(

2

'2''

22

=⇒=−⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=⇒=

=++=−=

AqA

qqqACqC

kjqqqAqCqqqP

e

e

b)

)6,1(6,1

),6()1,0(6,1:

0242840)(24284)(

)242(330)()()()(

21

21

2

2

22

∈==

∞+∪∈==

=−+−⇒=

−+−=

++−−=

−=

qqq

qqqNule

qqqDqqqD

qqqqqDqCqPqD

24)60,2/7(max

60245,3285,34)5,3()(2/70288

0)24284()(: '2'

=

=−⋅+⋅−===

=+−=−+−=

FD

DqDqq

qqqDekstrem

D

D

Grafikon 1.35. Funkcija dobiti Grafikon 1.35.a. Funkcija ponude

c)

0 2 p

x

Dmax(3,5;60)

0 q

D(q)

qD=3,5

60

-F

1 6

Interval nerentabilnosti


166

( )∞+∈

−=⇒−=

=+=

,2..

121ˆ1

2122)('

pPD

pxpq

pqponudefunkcijainverznapqC

Primjer 1.36. Grafička kuća „Book“ je procijenila troškove štampanja i uvezivanja kompleta knjiga za potrebe Gradske biblioteke. Utvrđeno je da su fiksni troškovi F = 400 KM. U tabe-li su bilježeni varijabilni troškovi proizvodnje jednog kompleta knjiga i metodom najmanjih kvadrata procijenjena je funkcija varijabilnih troškova:

Broj knjiga 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Varijabilni trošak 0 12 30 60 95 140 190 255 320 400 480 570 670 780 890 1020 1150

V = 4y2 +8yR2 = 1

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 5 10 15 20y

V

a) Koliko kompleta knjiga treba proizvesti da bi se minimizirali prosječni troškovi proizvodnje?

b) Ako je tržišna cijena kompleta knjiga 120 KM, koliko kompleta bi bilo najbolje štampati? Zašto?

c) Da li bi poslovanje bilo rentabilno ako biste pri ovoj cijeni p = 120 KM ponudili 10 kompleta knjiga?

d) Odrediti najmanju cijenu pri kojoj bi optimalna ponuda obezbijedila grafičkoj ku-ći «Book» rentabilno poslovanje? Odgovor obrazložiti uz grafički prikaz.

FUNKCIJA PONUDE

167

Rješenje: a) C(y) = 4y2 +8y + 400 funkcija ukupnog troška;

Funkcije graničnog i prosječnog troška su: y

yyCyyC 40084)(;88)( ++=+=′ .

Da bi našli minimum prosječnih troškova proizvodnje:

10100040040)( 22 =⇒=⇒=−⇒=′ Eyy

yyC .

Dakle, najekonomičnije bi bilo štampati 10 kompleta knjiga.

b) Ako je p =120 KM jednog kompleta, tada bi prihod Π(y) =120y, pa bi funkcija do-biti bila D(y) = Π(y) – C(y) = - 4y2 +112y – 400.

D´(y)= -8y + 112 = 0 ⇒ yD =14 .

Najbolje bi bilo štampati 14 kompleta knjiga, jer bi tada grafička kuća ostvarila mak-simalnu dobit.

c) D(y) = 0 ⇒ y1 = 4,2; y2 = 23,8. D(y) > 0 za y∈(4,2; 23,8), tj. poslovanje grafičke kuće bi bilo rentabilno ako bi štampali između 4 i 24 kompleta knjiga. Ako bi ponudi-li 10 kompleta, bili bi rentabilni.

d) Najmanja cijena pri kojoj bi optimalna ponuda obezbijedila grafičkoj kući renta-bilno poslovanje je pE = C´(yE) = 88 KM.

Grafikon 1.36. Funkcije ukupnog prosječnog troška, prosječnog varijabilnog troška,

graničnog troška i prosječnog , graničnog prihoda uz karakteristične tačke

120 A D B

88 E

8 0 4.2 10 14 23.8

C' C V


168

(A, B) : 120== CP ⇒

(4,2; 23,8) - interval rentabilnosti

D: 120' =′= CP ⇒

yD = 14 – najrentabilniji nivo proizvodnje

E: CC =′ = 88 ⇒

YE = 10 – najekonomičniji nivo proizvodnje

Primjer 1.37.

Poznata je funkcija ponude jednog proizvođača 12)(ˆ −= ppx . a) Odrediti funkciju ukupnog troška ovog proizvođača ako se zna da je najekonomi-

čniji nivo njegove proizvodnje ye = 10 k.j. b) Odrediti funkcije prosječnog ukupnog i varijabilnog troška, graničnog troška i

grafički ih predstaviti uz obilježavanje karakterističnih tačaka (yu, yi, pu, pi). Pri kojoj cijeni bi ovaj proizvođač bio rentabilan?

c) Izračunati elastičnost ponude za cijenu p = pu i objasniti rezultat.

Rješenje: a) Definiše se funkcija ponude:

p - 1>0 ⇒ p >1, 0)(ˆ >px , 01

1)(ˆ >−

=′p

px , p- =1, q- = 0.

Označva se sa y = 0)(ˆ >px nivo proizvodnje ovog proizvođača koji će ponuditi na tržištu.

)(14

14

12

1222

yCpypypypy ′==+⇒−=⇒−=⇒−= .

Dakle, funkcija graničnog troška je 14

)(2

+=′ yyC . Treba odrediti funkciju ukupnog

troška: FyydyyyC ++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫ 12

14

)(32

.

Kako je poznat nivo najekonomičnije proizvodnje ye = 6, to je 10)6()6( =′= CC do-biva se:

FUNKCIJA PONUDE

169

366061263

=⇒=++ FF ; 3612

)(3

++= yyyC .

b) 14

)(2

+=′ yyC ; y

yyC 36112

)(2

++= ; 112

)(2

+=yyV .

Analiza funkcija troškova:

1. Funkcije )(yC ′ i )(yV su pozitivne kvadratne funkcije koje imaju za y ≥ 0 mini-malnu vrijednost 1 za y =0 ⇒ M = V = (0, 1).

2. Funkcija )(yC je pozitivna funkcija čija je vertikalna asimptota y = 0, i ima mini-mum za y = ye = 6 čija vrijednost iznosi 10 ⇒ E = (6, 10).

Grafikon 1.37. Funkcije prosječnog ukupnog i varijabilnog

troška i graničnog troška

Ulazna cijena pu = 10 novčanih jedinica i ulazna količina yu = 6 kj iznad koje naš pro-izvođač izlazi sa ponudom na tržište, ostvaruje dobit, tj. rentabilan je;

Izlazna cijena pi je 1 novčana jedinica ispod koje bi naš proizvođač odustao od ponu-de yi = 0.

c) 55,095

1810

)1(211

1210,ˆ ≈==−

=−

⋅−

== pp

pppE pq .

Ako se cijena sa nivoa p = 10 poveća za 1%, ponuda će se sa nivoa 6 povećati za pri-bližno 0,55%.

0(yi) 6 (yu) y

(pu) 10

(pi) 1

C ′ C

V

170

1.10. Funkcije proizvodnje Funkcije proizvodnje su, kao instrumenti ekonomske analize, prvo definisane na mikroni-vou kao relacije između utrošaka pojedinih faktora proizvodnje i obima proizvodnje, gdje su utrošci i obim proizvodnje izraženi u količinskim jedinicama. Proizvodna funkcija kao instrument mikroekonomske analize može se, uz izvjesne modifikacije, primijeniti na nivou većih privrednih cjelina, pa i na nivou cijele privrede.

«Sve dok se na neki način može izmjeriti masa proizvodnih utrošaka, s jedne, i količina različitih gotovih proizvoda i usluga, s druge strane, i sve dok se između tih dvaju kategori-ja mogu uspostaviti izvjesne analitičke veze, proizvodna funkcija može da posluži kao pogodan i efikasan instrument u teoriji proizvodnje i na nivoima koji su viši od nivoa pre-duzeća. Od velikog je značaja činjenica da proizvodna funkcija primenjena na celu privredu ima ista analitička svojstva kao i proizvodna funkcija na nivou preduzeća, a njena ekonom-ska interpretacija na tom znatno višem nivou potpuno je analogna njenoj interpretaciji na najnižem nivou, tj. na nivou jednog proizvodnog procesa ili nekog homogenog, i zato rela-tivno malog, proizvodnog kompleksa».21

Funkcije proizvodnje se kao instrument ekonomske analize primjenjuju na makronivou, uz pretpostavku da relacije između posmatranih agregata održavaju tehnologiju date privrede, kao što odgovarajuće relacije na mikronivou odražavaju tehnologiju datog proizvodnog procesa.

Funkcije proizvodnje predstavljaju analitički izraz proizvodnje koji specificira tehnološke relacije između proizvodnje i faktora koji su utrošeni u tu proizvodnju. Ove funkcije defini-šu vezu koja postoji između angažovanih inputa i izraz su tehnoloških znanja koja egzistiraju u određenom skupu proizvodnih procesa i koja definišu sve kombinacije gotovih proizvoda, koje se mogu dobiti na osnovu odgovarajućih kombinacija faktora proizvodnje, kao i kombinacije svih faktora proizvodnje koje rezultiraju u određenoj kombinaciji gotovih proizvoda.

Polazeći od pretpostavke da se faktori proizvodnje koriste na najefikasniji način, ovim fun-kcijama se izražava maksimalan output kao funkcija varijabilnih inputa. Iako je funkcija proizvodnje osnovni analitički instrument u kvantitativnoj analizi rasta, ona je pre-dmet brojnih kontraverzi u pogledu opravdanosti njene primjene.22

21 Madžar, Lj., (1976), str. 131. 22 Vidjeti detaljnije u Bazler-Madžar, M., (1975).

FUNKCIJE PROIZVODNJE

171

1.10.1. Osobine funkcija proizvodnje Funkcija proizvodnje se analitički izražava sljedećom relacijom:

),,...,( 21 nXXXFQ = 0,Q ≥ 0≥iX , i = 1,2,…n. (1.137)

uz pretpostavku da su faktori proizvodnje Xi i proizvodnja Q kontinuirane varijable i da postoji mogućnost supstitucije faktora proizvodnje.

Iz ekonomske teorije proizilaze poželjne osobine funkcija proizvodnje, koje se za funkciju (1.137) mogu izraziti na sljedeći način:

1. Prva poželjna osobina funkcija proizvodnje se odnosi na granične proizvode. Granični proizvodi funkcija proizvodnje moraju biti nenegativni u relevantnom intervalu proizvod-nje:

0≥∂∂

iXQ , i = 1,2,…,n. (1.138)

To znači da u tom intervalu, pri povećanom angažovanju bilo kod faktora proizvodnje, uz zadržavanje nepromijenjenog nivoa ostalih faktora proizvodnje, proizvod ne smije biti umanjen, odnosno mora se povećati ili ostati nepromijenjen. Ova osobina se matematički izražava nenegativnoću parcijalnih izvoda funkcije proizvodnje.

2. Druga osobina se odnosi na zakon opadajućih prinosa kao poseban slučaj zakona varija-bilnih proporcija. Zakon varijabilnih proporcija implicira promjene proizvodnje koje nastaju kao rezultat povećanja utroška samog jednog faktora, ako su količine ostalih faktora nepromijenjene.

Proizvodnja se, zavisno od promjena varijabilnog faktora, mijenja različito, ali poslije izvjesne granice («iza neke tačke») marginalni prirast će početi opadati. To je rezultat či-njenice da se stalnim povećanjem utroška samo jednog faktora, uz fiksni nivo ostalih faktora, kombinacija utrošaka sve više udaljava od tehnološki efikasnog područja proizvod-nje.

Zakon opadajućih prinosa se formuliše «za onaj interval varijacije promjenljivog utroška, u kome njegova sukscesivna povećanja daju sukscesivno opadajuće priraste proizvodnje».23

Zakon opadajućih prinosa važi u sljedećim uslovima: « (1) tehnika proizvodnje je data i u posmatranom trenutku vremena se ne mijenja; (2) utrošak bar nekih proizvodnih usluga je konstantan; (3) postoji mogućnost variranja proporcija utroška, jer inače bi marginalni proi-zvod bio stalno jednak nuli i (4) «iza neke tačke» znači iza utroška koji se obično

23 Madžar, Lj., (1972), str. 31.


172

postizava».24 Ovaj zakon se matematički izražava kao smanjivanje marginalnih proizvoda negativnom vrijednošću drugog parcijalnog izvoda funkcije proizvodnje:

02

2

<∂∂

iXQ

, i = 1,2,...,n. (1.139)

3. Treća poželjna osobina funkcija proizvodnje pretpostavlja postojanje konačne granice za granični proizvod ako se jedan faktor beskonačno povećava, a ostali faktori ostaju nepromi-jenjeni. To znači da se ne može sva proizvodnja ostvariti ulaganjem u samo jedan faktor proizvodnje. Ova osobina će biti zadovoljna ako važi relacija:

lim 0ix

i

Qx→∞

∂≤

∂, i = 1, 2, …, n. (1.140)

0 A

0 A

B

B C

C

Prosječna funkcija

Granična funkcija

xi

Područje neracionalnih odluka

xi

Područje racionalnih odluka

ixQ

ixQ′

Proizvodna funkcija( )

{ }ijconstxxQQ

j

i≠∀=

=,

Zakon opadajućih prinosa

Grafikon 29. Funkcija proizvodnje Q = Q(xi)

24 Horvat, B., (1972), str. 16.


173

U daljoj analizi će se koristiti dvofaktorska funkcija proizvodnje:

Q = F (R, K), Q>0, R>0, K>0 (1.141)

u kojoj Q predstavlja nivo proizvodnje, a R i K faktore rad i kapital angažovane u proizvod-nom procesu. Da bi funkcija proizvodnje Q = F (R, K) zadovoljila tri navedene poželjne osobine funkcije proizvodnje, moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:

1. 0,QR∂

≥∂

0QK∂

≥∂

(1.142)

2. 2

2 0QR∂

<∂

, 2

2 0QK∂

>∂

, (1.143)

3. 0lim ≤∂∂

∞→ RQ

R

0lim ≤∂∂

∞→ KQ

K (1.144)

1.10.2. Granična funkcija proizvodnje Granična funkcija proizvodnje se definiše kao prvi izvod funkcije proizvodnje po svakom od analiziranih faktora proizvodnje, uz pretpostavku da ostali faktori proizvodnje ostanu konstantni.

Za funkciju ),,...,( 21 nXXXFQ = ,0≥Q 0≥iX , i = 1,2,…n. granična funkcija ili granič-ni proizvod se određuju pomoću parcijalnog izvoda na sljedeći način:

0, 1, 2,..., .ix

i

Q Q i nX∂ ′= > =∂

(1.145)

Ekonomsko objašnjenje prethodnog izraza je sljedeće: ukoliko se utrošak faktora Xi poveća za jednu jedinicu mjere u kojoj je faktor izražen, a ostali faktori ostanu konstantni, nivo ukupne proizvodnje Q će se povećati za onoliko jedinica koliko iznosi granični proizvod, tj. za

ixQ′ jedinica.

Može se izračunati onoliko graničnih funkcija proizvodnje koliko ima faktora koji su uklju-čeni u funkciju proizvodnje. Za prethodnu funkciju se može odrediti n graničnih funkcija proizvodnje.

Za dvofaktorsku funkciju proizvodnje Q = F (R, K) mogu se odrediti dvije funkcije granič-ne proizvodnje i to granična proizvodnja po faktoru R i granična proizvodnja po faktoru K.

Granična proizvodnja u odnosu na faktor rad je jednaka:

0RQ QR∂ ′= >∂

(1.146)


174

i pokazuje da će se ukupna proizvodnja povećati za RQ′ jedinica ukoliko se faktor rad pove-ća za jednu jedinicu, a faktor kapital ostane nepromijenjen.

Granična proizvodnja u odnosu na faktor kapital se određuje sljedećim izrazom:

0KQ QK∂ ′= >∂

(1.147)

i njeno značenje je sljedeće: ukoliko se faktor kapital poveća za jednu jedinicu, a faktor rad ostane nepromijenjen, ukupna proizvodnja će se povećati za onoliko jedinica koliko iznosi granična proizvodnja, dakle za KQ′ jedinica.

1.10.3. Prosječna funkcija proizvodnje

Prosječna funkcija proizvodnje se za funkciju ukupne proizvodnje:

),,...,( 21 nXXXFQ = ,0≥Q 0≥iX , i = 1,2,…n., definiše sljedećim izrazom:

1, 2,..., .ix

i

QQ i nX

= = (1.148)

U slučaju gore navedene funkcije proizvodnje može se odrediti n prosječnih funkcija proiz-vodnje jer je funkcija proizvodnje definisana kao funkcija n faktora proizvodnje. Prosječna funkcija proizvodnje pokazuje koliko se u prosjeku po svakoj jedinici angažovanog faktora

iX ostvari jedinica ukupne proizvodnje uz pretpostavku da ostali faktori proizodnje ostaju nepromijenjeni.

Za dvofaktorsku funkciju proizvodnje Q = F (R, K) mogu se odrediti dvije funkcije prosje-čne proizvodnje, i to prosječna proizvodnja u odnosu na faktor R i prosječna proizvodnja u odnosu na faktor K.

Prosječna funkcija proizvodnje u odnosu na faktor rad je jednaka:

, .RQQ K constR

= = (1.149)

Prosječna funkcija proizvodnje u odnosu na faktor rad pokazuje koliko se u prosjeku po svakoj utrošenoj jedinici faktora rad ostvari jedinica ukupne proizvodnje uz pretpostavku da je faktor kapital ostao konstantan. Ova funkcija naziva se i funkcijom produktivnosti rada.

Prosječna funkcija proizvodnje u odnosu na faktor kapital je jednaka:


175

, .KQQ R constK

= = (1.150)

Prosječna funkcija proizvodnje u odnosu na faktor kapital pokazuje koliko se u prosjeku po svakoj utrošenoj jedinici faktora kapital ostvari jedinica ukupne proizvodnje uz pretpostav-ku da je faktor rad ostao konstantan. Ova funkcija naziva se i funkcijom produktivnosti, odnosno efikasnosti kapitala. 1.10.4. Vertikalni i horizontalni presjeci proizvodne površine

Proizvodnu površinu, vertikalne i horizontalne presjeke proizvodne površine dvofaktorske funkcije proizvodnje Q = F(R,K), koja ispunjava poželjne osobine, predstavljamo na slje-dećim grafikonima:25

Na grafikonu 30. su prikazani vertikalni presjeci proizvodne površine, odnosno presjeci proizvodne površine Q = F(R,K) i ravni K = const (prikazani su presjeci sa tri ravni: K = K1, K = K2, K = K3). Vertikalni presjeci proizvodne površine su krive koje pokazuju kako se mijenja proizvodnja u zavisnosti od promjene R kada je K fiksirano.

( )), constKRFQ == .

Grafikon 30. Vertikalni presjeci proizvodne površine funkcije

proizvodnje Q = F (Ri, K).

25 Somun-Kapetanović, R., (1986), str. 43 - 44.


176

Grafikon 31. Vertikalni presjeci proizvodne površine funkcije

proizvodnje Q = F (R, Ki).

Vertikalni presjeci prikazani na grafiku 31. su presjeci proizvodne površine Q = F(R,K) i ravni R = const (prikazani su presjeci sa tri ravni: R = R1, R = R2, R = R3). Vertikalni pres-jeci su krive koje pokazuju kako se mijenja proizvodnja u zavisnosti od promjene faktora K kada je faktor R fiksiran: ( )( )KconstRFQ ,== .

Grafikon 32. Proizvodna površina dvofaktorske funkcije proizvodnje Q = F (R, K)


177

Na grafikonu 32. su prikazani horizontalni presjeci proizvodne površine, odnosno presjeci proizvodne površine i ravni 0QQ = . Istaknuta je kriva koja predstavlja horizontalni presjek (kriva sa krajnjim tačkama AB) i dio te krive koji zadovoljava poželjne osobine funkcije proizvodnje (kriva sa krajnjim tačkama CD). Interval u kojem su zadovoljene osobine fun-kcije proizvodnje nazivamo interval racionalnih odluka.

Na sljedećem grafikonu su predstavljeni horizontalni presjeci proizvodne površine za razne nivoe proizvodnje Q.

Grafikon 33. Horizontalni presjeci proizvodne površine funkcije

proizvodnje Q = F (R, K)

Krive horizontanih presjeka proizvodne površine pokazuju sve kombinacije utrošaka fakto-ra proizvodnje koji daju istu količinu proizvodnje. Te krive se nazivaju izokvantama.

Izokvanta se algebarski može izraziti implicitnom funkcijom:

0( , )F R K Q= gdje je Q = const. = 0Q (1.151)

Izokvanta se može izraziti i eksplicitnom funkcijom polazeći od opšteg oblika funkcije pro-izvodnje Q=F (R, K). Uz pretpostavku da je nivo proizvodnje konstantan, faktor K se izražava eksplicitno kao funkcija konstantnog nivoa proizvodnje Q0 i faktora R. Analitički oblik izokvante u ovom slučaju je dat sljedećim izrazom:

0 0( , ), ( ), .K F R Q K f R Q const= = =

(1.152)

Totalnim diferenciranjem jednačine ),( KRFQ = dobija se relacija:

Q QdQ dR dKR K∂ ∂

= ⋅ + ⋅∂ ∂

(1.153)


178

Uz pretpostavku da je 0. =⇒= dQconstQ i dobija se sljedeći izraz

0R KQ dR Q dK′ ′⋅ + ⋅ =

(1.154)

iz kojeg se nalazi nagib izokvante ),( 0QRfK = :

0.R

K

QdKdR Q

′= − <

′ (1.155)

Parcijalni izvodi na desnoj strani jednačine predstavljaju granične proizvode funkcije. Gra-nični proizvodi funkcije imaju pozitivne vrijednosti u oblasti racionalnih odluka, pa je nagib izokvante negativan. Izokvante su, prema tome, opadajuće krive.

Spajanjem tačaka u kojima nagibi izokvanti imaju istu vrijednost dobiju se krive koje se nazivaju izokline. Algebarski izraz izokline dat je jednačinom:

kQQ

dRdK

K

R −=′′

−=

K

R

QQk′′

= (1.156)

u kojoj je k nagib izokline. Za pozitivne vrijednosti nagiba izokline k definisano je područje racionalnih odluka, odnosno područje u kome su granični proizvodi faktora pozitivni.

U tom području povećanje utroška jednog faktora izaziva smanjenje utroška drugog faktora da bi ukupna proizvodnja ostala nepromijenjena.

Izokline za k = 0 i k = + ∞ predstavljaju granične slučajeve jer omeđuju područje racionalnih odluka u kome su ispunjene poželjne osobine funkcija proizvodnje i nazivaju se linije grebena proizvodne površine (g1 i g2 na grafikonu 32.).

Izokvante karakterišu i sljedeće osobine: izokvante koje su više udaljene od koordinatnog početka odgovaraju većem nivou proizvodnje jer je funkcija proizvodnje rastuća. Izokvante se ne sijeku i konveksne su u odnosu na koordinatni početak.26

1.10.5. Granična stopa supstitucije faktora proizvodnje

Nagib izokvatne koji je izveden u prethodnom dijelu i izražen relacijom (1.155) predstavlja graničnu stopu supstitucije faktora proizvodnje (R i K). Granična stopa supstitucije faktora proizvodnje se definiše kao količnik graničnih proizvoda funkcije proizvodnje:

26 Dokaz za ove osobine vidjeti u Vučković, Ž., (2004), str. 210 - 220.


179

0<′′

−==K

R

QQ

dRdKS (1.157)

Granična stopa supstitucije pokazuje kvantitativne odnose između faktora proizvodnje (R i K) i njihove infinitezimalne promjene pri kretanju na izokvanti i ima preciznu ekonomsku interpretaciju. Granična stopa supstitucije izražena relacijom (1.157) predstavlja graničnu stopu supstitucije kapitala radom i pokazuje za koliko jedinica treba smanjiti utrošak kapi-tala K ako dođe do jediničnog povećanja utroška rada R, da bi proizvodnja ostala nepromijenjena.

Recipročna vrijednost izraza (1.157) predstavlja graničnu stopu supstitucije rada kapitalom:

0K

R

QdRSdK Q

= = − < (1.158)

Ova granična stopa supstitucije pokazuje za koliko jedinica treba smanjiti utrošak rada R ako se utrošak kapitala K poveća za jednu jedinicu mjere u kojoj je izražen kapital da bi nivo proizvodnje Q ostao konstantan.

Granična stopa supstitucije je negativna (1.157) jer je, u intervalu racionalnih odluka, izok-vanta opadajuća kriva, što znači da povećanjem ulaganja u jedan faktor proizvodnje treba smanjiti drugi faktor da bi proizvodnja ostala ista. U intervalu racionalnih odluka, izokvanta je konveksna prema koordinatnom početku (zakon opadajućih prinosa) što znači da se sve teže faktori supstituiraju sa porastom ulaganja u jedan faktor proizvodnje. Na grafikonu 34 je prikazano da se granična stopa supstitucije po apsolutnoj vrijednosti smanjuje kako se krećemo niz izokvantu, jer se zbog djelovanja zakona opadajućih prinosa teže supstituira faktor K faktorom R ako manje ulažemo u K a više u R.

Grafikon 34. Granična stopa supstitucije

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 R

K

A

BC D E

ΔR

ΔR

ΔK1

ΔK2 ΔK3

ΔR ΔR


180

Kombinacije ulaganja faktora proizvodnje u tačkama A, B, C, D, E daju isti nivo proizvod-nje, ali nemaju istu stopu supstitucije. Pomjerajući se iz tačke A u tačku B, vidimo da povećanje ulaganje u faktor R (za 1 kj) zahtijeva smanjenje ulaganja u faktor K za ΔK1. Dalje povećanje ulaganja u faktor R za 1 kj, zahtijevalo bi sve manje smanjivnje ulaganja u faktor K (....< ΔK3 < ΔK2 < ΔK1).

1.10.6. Elastičnost funkcije proizvodnje Elastičnost funkcije proizvodnje se određuje pomoću sljedećih izraza za koeficijent elastič-nosti funkcije više varijabli:

, 1, 2,..., .i

iQ x

i

X QE i nQ X

∂= ⋅ =

∂ (1.159)

Ovaj koeficijent pokazuje za koliko postotaka (%) će se povećati ukupna proizvodnja ako se utrošak faktora Xi poveća za 1%, a utrošci ostalih faktora ostanu nepromijenjeni.

Za funkciju proizvodnje Q = F(R, K) određuju se dva koeficijenta elastičnosti, i to koefici-jent elastičnosti u odnosu na faktor rad i koeficijent elastičnosti u odnosu na faktor kapital.

Koeficijent elastičnosti u odnosu na faktor rad pokazuje za koliko postotaka (%) će se po-većati ukupna proizvodnja ako se utrošak faktora rad poveća za 1%, a utrošak faktora kapital ostane nepromijenjen i određuje sljedećom formulom:

,Q R RR Q RE QQ R Q

∂ ′= ⋅ = ⋅∂

(1.160)

Gornji izraz za koeficijent elastičnosti se može napisati u obliku odnosa granične i prosječ-ne funkcije proizvodnje:

,R R

Q R RR

Q QRE Q QQ QR

′ ′′= ⋅ = = (1.161)

Koeficijent elastičnosti u odnosu na faktor kapital se određuje sljedećom formulom:

,Q K KK Q KE QQ K Q

∂ ′= ⋅ = ⋅∂

(1.162)

Ovaj koeficijent pokazuje za koliko postotaka (%) će se povećati ukupna proizvodnja ako se utrošak faktora kapital poveća za 1%, a utrošak faktora rad ostane konstantan. Koeficijent elastičnosti proizvodnje u odnosu na faktor kapital se može napisati u obliku odnosa odgovarajuće granične i prosječne funkcije proizvodnje:


181

,K K

Q K KK

Q QKE Q QQ QK

′ ′′= ⋅ = = . (1.163)

1.10.7. Prava troškova proizvodnje – izocost prava Za funkciju proizvodnje ),,...,( 21 nXXXFQ = ,0≥Q 0≥iX , i = 1,2,…n., funkcija troš-kova se može definisati sljedećom relacijom

1 2( , ,..., ) ( ) 0, 1,..., .n iC C X X X C X i n= = ≥ = (1.164)

Da bi se odredili troškovi potrebno je poznavati cijene faktora proizvodnje. Analiza i odre-đivanje troškova proizvodnje će biti predstavljeno za funkciju Q = F (R, K).27 Ako se cijena faktora R označi sa pR, a fakotra K sa pK, funkcija ukupnih troškova, uz pretpostavku da se zanemare fiksni troškovi definiše se sljedećim izrazom:

( , ) ; 0, 0.R K R KC F R K p R p K p p= = ⋅ + ⋅ > >

(1.165)

Za dati nivo utrošaka dva posmatrana faktora proizvodnje ostvario bi se nivo proizvodnje Q ≥ 0 uz odgovarajuće troškove C ≥ 0. Uz pretpostavku da su troškovi poznati i konstantni (C=const.,) definiše se izocost prava. To je prava na kojoj svaka kombinacija utrošaka faktora za rezultat ima iste troškove proizvodnje:

.R K CC p R p K C const= ⋅ + ⋅ = =

(1.166) Diferenciranjem gornjeg izraza se dobija izraz za koeficijent smjera, tj. nagib funkcije troškova:

0R K

R K

R

K

dC p dR p dKp dR p dK

pdKdR p

= ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅

= −

(1.167)

Nalaženjem presjeka sa koordinatnim osama može se nacrtati grafik funkcije troškova, od-nosno izocost prave:

.C R KC C p R p K const= = ⋅ + ⋅ =

(1.168)

Presjeci sa osama su:

27 Po analogiji izocost prava se može izvesti i za bilo koju drugu dvofaktorsku funkciju proizvodnje u kojoj

su faktori označeni drugim simbolima kao npr. Q=F(X1, X2) .


182

0 0

0 0

CC R

R

CC K

K

CK C p R RpCR C p K Kp

= ⇒ = ⋅ ⇒ = >

= ⇒ = ⋅ ⇒ = > (1.169)

K

R

K

CpC

R

CpC0

Grafikon 35. Izocost prava

Svaka izocost prava ima sljedeće osobine:

1. Negativan nagib K

R

pp

dRdK

−=

2. Za veći nivo troškova izocost prava se udaljava paralelno sama sebi od koordinatnog početka jer su za veći iznos troškova presjeci sa koordinatnim osama K i R veći kod deter-minisanih cijena za ova dva faktora proizvodnje. 1.10.8. Optimalna kombinacija faktora proizvodnje U određivanju optimalne kombinacije faktora proizvodnje mogu se javiti dva slučaja.

Prvi slučaj je određivanje minimalnih troškova proizvodnje kod zadatog nivoa proizvodnje. Za ostvarenja iste količine proizvodnje potrebno je, između različitih kombinacija ulaganja faktora proizvodnje, odbrati kombinaciju faktora koja će rezultirati u najnižim troškovima proizvodnje.

Drugi slučaj je određivanje maksimalnog nivoa proizvodnje kod zadatih troškova proizvo-dnje. U ovom slučaju potrebno je odrediti kombinaciju faktora proizvodnje koja će, uz zadate troškove, omogućiti ostvarenje maksimalnog nivoa proizvodnje.


183

Postupak za utvrđivanje optimalne kombinacije faktora proizvodnje je sljedeći. Upoređuju-

ći izraze za graničnu stopu supstitucije 0<′′

−==K

R

QQ

dRdKS koja predstavlja nagib

izokvante i izraz za nagib izocost prave 0<−=K

R

pp

dRdK konstatuje se da su im lijeve stra-

ne jednake. Izjednačavajući desne strane ova dva izraza dobija se uslov za izračunavanje optimalne kombinacije faktora proizvodnje:

R R

K K

Q pQ p′=

′ (1.170)

Optimalna kombinacija faktora proizvodnje se postiže onda kada je odnos graničnih proiz-voda jednak odnosu cijena utrošenih faktora proizvodnje, tj. kada je granična stopa tehnološke supstitucije jednaka graničnoj stopi ekonomske supstitucije.

Određivanje minimalnih troškova za poznati nivo proizvodnje

Ukoliko je nivo proizvodnje poznat i konstantan za određivanje najnižih troškova uz koje se taj nivo proizvodnje može realizovati, potrebno je riješiti sistem sljedeće dvije jednačine:

1. ( , ) .

2.

C

R R

K K

Q R K Q cons tQ pQ p

= =′=

′ (1.171)

Određivanje optimalne kombinacije u ovom slučaju se može predstaviti na sljedećem grafikonu:

R

QC=const.

R

K

C1

C2

C3

PK

0 R

QC=const.

R

K

C1

C2

C3

PK

0

Grafikon 36. Određivanje minimalnih troškova za konstantan nivo proizvodnje


184

Na grafikonu su predstavljene tri izocost prave C3 > C2 > C1 i izokvanta Qc koja predstavlja određeni konstantni nivo proizvodnje.

Optimalna kombinacija faktora koja minimizira troškove za dati nivo proizvodnje se posti-že u tački u kojoj je zadovoljen uslov da je koeficijent smjera (nagib) izokvante jednak koeficijentu smjera (nagibu) izocost prave, tj.

K

R

K

R

pp

QQ

−=′′

−.

To je tačka u kojoj je izocost prava C2 tangenta na izokvantu QC = const. Na grafikonu je ta tačka označena sa P. Nivo proizvodnje QC se ne bi mogao realizovati uz troškove C1, jer ove dvije funkcije nemaju zajedničkih tačaka. Nivo proizvodnje QC ima presječne tačke sa izocost pravom C3 što znači da bi se mogao realizovati uz ove troškove. Međutim, to bi značilo da se nivo proizvodnje QC ostvaruje uz veće troškove (troškove C3) što nije opti-malno, jer se nivo proizvodnje QC može proizvesti uz niže troškove, troškove C2.

Određivanje maksimalnog nivoa proizvodnje uz zadate troškove

U ovom slučaju potrebno je odrediti kombinaciju faktora proizvodnje koja će, uz zadate troškove, omogućiti ostvarenje maksimalnog nivoa proizvodnje.

Optimalna kombinacija se u ovom slučaju određuje rješavanjem sistema od sljedeće dvije jednačine:

1. ( , ) .

2.

C

R R

K K

C R K C constQ pQ p

= =′=

′ (1.172)

Iz gornjeg uslova slijedi da će se optimalna kombinacija ostvariti u tački u kojoj izocost prava bude tangenta na jednu od izokvanti koje predstavljaju različite nivoe proizvodnje. Određivanje maksimalnog nivoa proizvodnje za zadate troškove će biti ilustrovano i objaš-njeno na sljedećem grafikonu. Na grafikonu 37. su predstavljena tri različita nivoa proizvodnje Q3 > Q2 > Q1 i izocost prava CC .

Optimalna kombinacija faktora koja maksimizira proizvodnju uz zadate troškove postiže se u tački u kojoj je zadovoljen uslov da je koeficijent smjera (nagib) izokvante jednak koefi-cijentu smjera (nagibu) izocost prave, tj.

K

R

K

R

pp

QQ

−=′′

−.


185

R

Q2

R

K

CC

PK

Q3

Q1

R

Q2

R

K

CC

PK

Q3

Q1

Grafikon 37. Određivanje maksimalne proizvodnje uz zadate troškove

To je tačka u kojoj je izocost prava tangenta na izokvantu Q2. Na grafikonu ta tačka je oz-načena sa P. Nivo proizvodnje Q3 se ne bi mogao realizovati uz zadate troškove jer nemaju zajedničkih tačaka sa izocost pravom. Nivo proizvodnje Q1 ima presječne tačke sa izocost pravom što znači da bi se mogao realizovati. Međutim, bilo bi neracionalno uz zadate troš-kove proizvoditi manji nivo proizvodnje Q1, jer se za iste troškove može proizvesti veći nivo proizvodnje, nivo Q2.

1.10.9. Oblici funkcija proizvodnje Oblici funkcija proizvodnje mogu da budu različiti jer mnoge algebarske funkcije zadovo-ljavaju ekonomsko-tehnološke karakteristike. Pored poželjnih osobina, mnoge funkcije proizvodnje imaju i specifične karakteristike, pa izbor konkretnog oblika funkcije proizvo-dnje zavisi od proizvodnog procesa koji se istražuje i analizira.

Najpoznatija i najčešće primjenjivana od svih funkcija proizvodnje je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje28 koja ima sljedeći oblik:

Q AR Kα β= (1.173)

1,0,0,0,0 =+>>>> βαKRAQ

u kojem Q predstavlja proizvodnju, R i K faktore proizvodnje, parametar A predstavlja pa-rametar efikasnosti, a α i β su parametri koje treba ocijeniti, a koji predstavljaju koeficijente elastičnosti proizvodnje u odnosu na faktor rad i faktor kapital.

28 Ovu funkciju su (uz ograničenje α+ β = 1) 1927. godine predložili i empirijski testirali Cobb, C. W. i Do-

uglas, P. H.


186

Ukoliko je zbir koeficijenata elastičnoti proizvodnje u odnosu na faktore R i K jednak jedi-nici 1=+ βα , funkcija proizvodnje je linearno homogena i može se napisati u sljedećem obliku:

1Q AR Kβ β−= (1.174)

iz kojeg se može izvesti prosječna funkcija proizvodnje po faktoru R, koja se naziva i fun-kcija produktivnosti

1Q AR Kq AR KR R

β ββ β

−−= = = (1.175)

Funkcija produktivnosti se može napisati kao funkcija kapitalne opremljenosti rada:

( )Kq A AcR

β β= = (1.176)

Ukoliko se u funkciju uvede kao treći faktor tehnički progres, funkcija (1.173) dobija slje-deći oblik

tQ AR K eα β γ= (1.177) Funkcija produktivnosti sa uključenim tehničkim progresom je jednaka

1 ttQ AR K eq AR K e

R R

β ββ β γ

− ϒ−= = = (1.178)

odnosno,

( ) t tKq A e Ac eR

β γ β γ= = . (1.179)

U primjerima koji slijede poslije ovih teoretskih analiza i obrazloženja su predstavljeni i analizirani različiti tipovi funkcija proizvodnje.

Primjer 1.38.

Da li opšti oblik funkcije βα KRAQ ⋅⋅= gdje 10,10,0 <<<<> βαA ima po-željne osobine?

Rješenje:

a) 00)1( >>⋅⋅⋅=∂∂ −− αα βα zaKRA

RQ

00)1( >>⋅⋅⋅=

∂∂ −− ββ βα zaKRAKQ


187

Zadovoljen uslov pozitivnog prinosa.

b) ( ) 101 22

2<<⋅⋅−⋅−=

∂∂ ααα za

RQA

RQ

( ) 101 22

2<<⋅⋅−⋅−=

∂∂ βββ za

KQA

KQ

Zadovoljen uslov opadajućeg graničnog prinosa.

c) 01limlim 11 =⋅⋅⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⋅−∞→−∞→ α

βα

βαα

RKA

RKA

RR

01limlim 11 =⋅⋅⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⋅−∞→−∞→ α

αα

βαβ

KKA

RKA

KK

Proizvodnja ne može beskonačno rasti sa porastom utroška samo jednog faktora proizvodnje. Iz prethodnog se može zaključiti da navedena funkcija ima poželjne osobine za 1010 <<<< βα i .

Primjer 1.39.

Data je funkcija proizvodnje KRQ ⋅⋅= 8 . Potrebno je utvrditi i grafički prikazati a) izokvante za 16=Q i 32=Q , b) izoklinu za 2=k , c) linije grebena za proizvodne površine.

Rješenje:

Iz navedene funkcije KRQ ⋅⋅= 8 slijedi da KRQ ⋅⋅= 642 , pa je

RQK⋅

=64

2 jednačina izokvante.

Za 16=Q → R

K⋅

=64162

→ R

K 4= .

Za 32=Q → R

K⋅

=64322

→ R

K 16= .


187

Zadovoljen uslov pozitivnog prinosa.

b) ( ) 101 22

2<<⋅⋅−⋅−=

∂∂ ααα za

RQA

RQ

( ) 101 22

2<<⋅⋅−⋅−=

∂∂ βββ za

KQA

KQ

Zadovoljen uslov opadajućeg graničnog prinosa.

c) 01limlim 11 =⋅⋅⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⋅−∞→−∞→ α

βα

βαα

RKA

RKA

RR

01limlim 11 =⋅⋅⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⋅−∞→−∞→ α

αα

βαβ

KKA

RKA

KK

Proizvodnja ne može beskonačno rasti sa porastom utroška samo jednog faktora proizvodnje. Iz prethodnog se može zaključiti da navedena funkcija ima poželjne osobine za 1010 <<<< βα i .

Primjer 1.39.

Data je funkcija proizvodnje KRQ ⋅⋅= 8 . Potrebno je utvrditi i grafički prikazati a) izokvante za 16=Q i 32=Q , b) izoklinu za 2=k , c) linije grebena za proizvodne površine.

Rješenje:

Iz navedene funkcije KRQ ⋅⋅= 8 slijedi da KRQ ⋅⋅= 642 , pa je

RQK⋅

=64

2 jednačina izokvante.

Za 16=Q → R

K⋅

=64162

→ R

K 4= .

Za 32=Q → R

K⋅

=64322

→ R

K 16= .


189

Rješenje:

a) KRRKRQ ⋅⋅+−⋅+⋅= 334 2

( ) 2413 RRQKR +⋅−=⋅+⋅

( )RRRQK

+⋅+⋅−

=13

4 2

predstavlja jednačinu za izokvantu.

Za 6=Q imamo sljedeći izraz: ( )RRRK

+⋅+⋅−

=13

46 2

.


+⋅+⋅−

=13

49 2

.


+⋅+⋅−

=13

415 2

.

b) Prvi parcjalni izvodi su KRQR ⋅+⋅−= 324 i RQK ⋅+= 33

Prema tome, za 1==K

R

QQk vrijedi sljedeći izraz ( ) 1

13324

=+⋅

⋅+⋅−=

RKRk .

To znači da ( )RKR +⋅=⋅+⋅− 13324 , odnosno ( ) RRK ⋅+−+⋅=⋅ 24133 → ( )

32413 RRK ⋅+−+⋅

= → 3

2341 RRK ⋅+−+= →

35

31 RK ⋅+−=

Iraz3

531 RK ⋅+−= predstavlja funkciju izokline oblika ( )RfK = .

c) Iz relacije ( ) ∞=+⋅

⋅+⋅−R

KR13

324 , slijedi ( ) 0 13 =+⋅ R . Prema tome, 1−=R preds-

tavlja prvu liniju grebena.

Iz relacije ( ) 013

324=

+⋅⋅+⋅−

RKR , slijedi 0 324 =⋅+⋅− KR . Prema tome,

32

34 RK ⋅+−= predstavlja drugu liniju grebena.

Sve izokvante imaju asimptote iste krivulje 3

135 RK ⋅+−= i 1−=R .


190

d) Dvije linije grebena definišu područje racionalnih odluka za datu funkciju proiz-

vodnje. Granice tog područje su nejednačine 3

234 RK ⋅+−≥ i 1−≥R . Međutim, u

ovom području racionalnih odluka nisu ispunjeni svi uslovi koji se odnose na nenega-tivnost faktora proizvodnje. Prema tome, sljedeće nejednačine predstavljaju stvarno područje racionalnih odluka:

32

34 RK ⋅+−≥ , 0 >R , 0 >K .

Grafikon 1.40. Linije grebena proizvodne površine

Primjer 1.41.

Data je funkcija proizvodnje 5,05,010 KRQ ⋅⋅= .

Cijena jednog radnog sata je 10 nj. ( )10=Rp . Cijena jednog mašinskog sata je 20 nj. ( )20=Kp . Fiksni troškovi su 60 nj ( )60=F . a) Pronađite funkciju ukupnih troškova oblika )(RfK = . b) Pronađite funkciju ukupne proizvodnje oblika )(RfK = . c) Potrebno je izračunati koja kombinacija proizvodnih utrošaka predstavlja najniže

troškove proizvodnje ako se poznate izokvante 5035,25 321 === QiQQ je-dinica finalnog proizvoda.

d) Grafički predstaviti kompletno rješenje.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 R

32

34 RK ⋅+−=

K

R = -1


191

Rješenje:

a) Prvo treba da odredimo funkciju ukupnih troškova: ( ) 602010, +⋅+⋅== KRKRCC .

Langrange-ova funkcija i parcijalni izvodi su sljedeći:

( )QKRKR −⋅⋅⋅−+⋅+⋅= 5,05,010602010L λ

010

0520

0510

5,05,0

5,05,0

5,05,0

=⋅⋅−=∂∂

=⋅⋅⋅−=∂∂

=⋅⋅⋅−=∂∂

−

−

KRQL

KRKL

KRRL

λ

λ

λ

Iz prethodnog sistema jednačina slijedi

( ) ( )0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

10 5 2 0 2

20 5 0

20 10 20 510 55 5

2 1 0,5

R K

R K

R K R KR K R K

R K R K

K K RR

λ

λ

λ λ

λ λλ λ

−

−

− −

− −

− −

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅ =

− ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅=

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

⋅= → = ⋅

Prethodna relacija predstavlja liniju ekspanzije po kojoj vrijedi da za svaku jedinicu proizvodnog utroška M koristimo dvije jedinice proizvodnog utroška K. Provjeravamo da li su zadovoljene osobine funkcije proizvodnje za

5,05,010 KRQ ⋅⋅= :

05 5,05,0 >⋅⋅=∂∂ − KR

RQ

05 5,05,0 >⋅⋅=∂∂ −KRKQ

5,005,2 5,05,12

2=<⋅⋅−=

∂∂ − αzaKR

RQ


192

105,2 5,15,02

2<<⋅⋅−=

∂∂ − βzaKRK

Q

b) Funkcija ukupnih troškova oblika )(RfK = za fisknu vrijednost C ima sljedeći oblik:

( ) 602010, +⋅+⋅== KRKRCC → 20

1060 RCK ⋅−−= → RCK ⋅−

−=

21

2060

Ovaj izraz predstavlja izocost pravu.

c) Funkcija ukupne proizvodnje oblika )(RfK = za određenu vrijednost Q ima sljede-ći oblik:

( ) 5,05,010, KRKRQQ ⋅⋅== → 5,0

5,0

10 RQK⋅

= → R

QK⋅

=100

2

Ovaj izraz predstavlja izokvantu.

Izocost prave i izokvante imaju sljedeće zajedničke tačke:

Za 251 =Q i za datu liniju ekspanzije ( RK ⋅= 5,0 ): R

K⋅

=100

252

→ 5,125,05,12 ⋅== KiR


K⋅

=100

352

→ 5,245,05,24 ⋅== KiR


K⋅

=100

502

→ 505,050 ⋅== KiR

Odgovarajući troškovi, koji ujedno i predstavljaju najniže troškove, za date nivoe pro-izvodnje se mogu jednostavno izračunati.

Za 251 =Q , 5,125,05,12 ⋅== KiR , 10 12,5 20 0,5 12,5 60 131C = ⋅ + ⋅ ⋅ + =

Za 351 =Q , 5,245,05,24 ⋅== KiR , 10 24,5 20 0,5 24,5 60 159C = ⋅ + ⋅ ⋅ + =

Za 501 =Q , 505,050 ⋅== KiR , =+⋅⋅+⋅= 60505,0205010C 201


193

d)

Grafikon 1.41. Izokvante i putanja ekspanzije

Primjer 1.42. a) Ocijenite u MS Excel-u funkciju proizvodnje tipa Cobb-Douglas ( βα LKAQ ⋅⋅= )

na osnovu sljedećeg uzorka za 24 preduzeća tekstilne industrije. b) Interpretirati rezultate ocijenjenog modela.

Preduzeće Output (Q) Kapital (K) Radna snaga (L) 1 200 200 200 2 202 200 210 3 224 214 220 4 244 228 236 5 248 244 246 6 244 262 232 7 286 276 250 8 304 298 266 9 302 326 276

10 252 352 242 11 310 370 280 12 318 396 288 13 306 416 290 14 354 432 304 15 368 452 308 16 338 472 298 17 378 488 308 18 450 532 364 19 454 596 392 20 446 670 400 21 436 732 386 22 462 774 386 23 358 814 294 24 480 834 322

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R

K

Q=25 Q=35

Q=50

K=0,5R

8

7

6

5

4

3

2

1


194

Rješenje: a) Zavisna varijabla je Output (Q). Nezavisne varijable su dva faktora proizvodnje: Kapital (K) i Radna snaga (L). Tri parametra koja treba ocijeniti su A, α i β .

Jasno nam je da Cobb-Douglas funkcija nije linearna funkcija. Prema tome, ne mo-žemo direktno ocijeniti tu funkciju u MS Excel-u. Naime, potrebno je prvo preformulisati datu funkciju tako da se može ocjena izvršiti u MS Excel-u. To podra-zumijeva linearizaciju date forme Cobb-Douglas funkcije:

L KA = Q βα ⋅⋅ → L + K + A =(Q))L( + )(K + A =(Q)

)L K(A = (Q)

lnlnlnlnlnlnlnln

lnln

⋅⋅

⋅⋅

βα

βα

βα

Na Grafikonu 0.0. prve četiri kolone pokazuju sirove podatke koje smo dali u pretho-dnoj tabeli. Ovo kolone predstavljaju četiri varijable (Preduzeće, Output, Kapital, Radnu snagu). Sljedeće tri kolone predstavljaju odgovarajuće ln vrijdnosti za zavisnu varijablu i dvije nezavisne varijable. U MS Excelu-u komanda =ln(broj ćelije) nam jednostavno izračuna ln vrijednost.


195

U sljedećem koraku koristimo komandni niz Tools → Data analysis → Regression da bi uradili regresionu analizu, odnosno ocijenili Cobb-Douglas funkciju za date podatke. Slijedi output iz MS Excel-a:

Iz datog outputa možemo formirati Cobb-Douglas funkciju u linearizovanom obliku:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )LKQ

LKAQLKAQ

ln870,0ln207,0394,0lnlnlnlnln

⋅+⋅+−=⋅+⋅+=

⋅⋅=βα

βα

Možemo zapaziti da Intercept = ln A = -0.394. Prema tome, 0,674394,0 == −eA .

Zaključujemo da ocijenjena Cobb-Douglas funkcija u multiplikativnoj formi izgleda ovako: 870,0207,0674,0 LKQ ⋅⋅=

Vrijednost parametra 207,0=α znači da ukoliko se vrijednost kapitala (K) poveća za 1%, cēterīs paribus ,ukupna količina proizvodnje (Q) će se povećati za približno 0,21%. Vrijednost parametra 870,0=β znači da ukoliko se vrijednost radne snage (L) pove-ća za 1%, cēterīs paribus, ukupna količina proizvodnje (Q) će se povećati za 0,87%. Vrijednost konstante (presjek sa y osom) je 0,674 i predstavlja količinu proizvodnje (Q) koja ne zavisi od nivoa kapitala i od nivoa radne snage.

196

1.11. Pitanja za ponavljanje 1) Zaokružite faktor koji ne predstavlja determinantu individualne tražnje u širem smislu:

a) cijena predmetnog dobra b) cijena supstitutskog dobra c) dohodak pojedinca d) ponuda predmetnog dobra e) cijena komplementarnog dobra f) godišnje doba

2) Definisati koeficijent elastičnosti na luku i napisati izraz za njegovo izračunavanje.

3) Izvesti izraz za elastičnost stepene funkcije.

4) Izvesti izraz za elastičnost inverzne funkcije.

5) Izvesti izraz za elastičnost proizvoda.

6) Izvesti izraz za elastičnost količnika.

7) Dokazati vezu između elastičnosti prosječne i ukupne funkcije.

8) Izvedite vezu između elastičnosti prosječne dobiti i elastičnosti ukupne dobiti.

9) Definisati koeficijent elastičnosti u tački i napisati izraz za njegovo izračunavanje.

10) Ako je elastičnost ukupne funkcije jednaka 2%Y XE ⋅= , izračunati odgovarajuću vrijed-

nost elastičnosti inverzne funkcije ( )X g Y= .

11) Zaokružiti samo tačne tvrdnje:

( ) ( ) ( )( ) ( )

ˆ, , ,

, ,

a) 0 b) 0 c) 0

d) 1 e) 0

q p q p C x

P q D x

E p R E p R E x R

E q R E x R

+ + +

+ +

≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ ≥ ∀ ∈

≤ ∀ ∈ ≥ ∀ ∈

12) U ''prvom kvadrantu'' na luku ''negativnog prinosa'' funkcije ( )XfY = :

a) Koji je znak njene elastičnosti XYE . ? b) Objasniti značenje izraza XYE . iz a).

PITANJA ZA PONAVLJANJE

197

13) Ako visina budžeta poraste za 1%, a ostale determinante tražnje ostanu nepromijenje-ne, onda će se prethodni nivo tražnje smanjiti za Eq, B %. Ova situacija će se desiti ako se radi o:

a) Luksuznom dobru, b) Normalnom dobru, c) Inferiornom dobru, d) Nužnom dobru.

14) Neka je C=C(Y) funkcija troškova. Šta predstavlja rješenje sljedeće jednačine 1, =yCE ? Odgovor obrazložiti.

15) Firma „Luzer“ posluje s gubitkom i utvrđeno je da elastičnost u nivou proizvodnje 20 komada iznosi ED, 20 = -5. Objasniti značenje dobijene vrijednosti:

16) Porast proizvodnje sa nivoa 20 za 1% uzrokuje

a) Porast dobiti za 5%, b) Smanjenje dobiti za 5%, c) Porast gubitka za 5%, d) Smanjenje gubitka za 5%.

17) Ako cijena komplementarnog dobra poraste za 1%, a ostale determinante tražnje osta-nu iste, tražnja za predmetnim dobrom će:

a) opasti za Eq,pk%, b) porasti za Eq,pk%, c) opasti za 1%, d) porasti za 1%.

18) Da bi matematska funkcija q = a - bp bila funkcija tražnje trebaju biti zadovoljeni uslovi:

a) p>o; q>0; a>0; b<0, b) p>o; q<0; a<0; b>0, c) p>o; q>0; a<0; b<0.

19) Neka je C=C(Y) funkcija troškova. Šta predstavlja riješenje sljedeće jednačine 0

.=

YCE ? Odgovor obrazložiti.

20) Grafička kuća „Book“ je procijenila da štampanjem 6 kompleta knjiga dnevno ostvaruje najmanji prosječan trošak. Utvrđeno je da prosječan trošak po kompletu knjiga iznosi 60 KM. Odrediti visinu graničnog troška za proizvodnju 6 kompleta knjiga:

a) 10 KM/kompletu, b) 360 KM/kompletu,


198

c) 60 KM/kompletu, d) 0 KM/kompletu.

21) Da bi matematska funkcija q = a + bp bila funkcija ponude trebaju biti zadovoljeni uslovi:

a) p>o; q>0; a>0; b<0, b) p>o; q>0; a<0; b>0, c) p>o; q<0; a<0; b>0, d) p>o; q>0; a<0; b<0.

22) Ocijenjena funkcija prihoda je P = 0,95.q0,2. Izrazite funkcije tražnje p = p(q).

23) Data je funkcija dobiti D (x) = – 5x2 + 20x – 30. Odrediti xr i objasni značenje te količine.

24) Koja od osobina ne vrijedi u granicama rentabilnosti?

a) D = 0 b) CP = c) 0=D d) CP ′=′

25) Zaokružiti samo tačne izjave:

( ) ( ) ( )xCxCxC

EE

xee

xeCxeC

0

,,

mind)0c)

1b)0a)

≥==

==

26) Napisati vezu između elastičnosti prihoda i elastičnosti tražnje.

27) Koja od sljedećih funkcija

a) ppX 225)(1 −= b) ppX 21)(2 += c) ppX 21)(3 −−=

može da bude funkcija tražnje u individualnom smislu? Odgovor detaljno obrazložiti.

28) Kod neke funkcije troškova ( )YCC = , ako je Y= 4 kg, C=10 KM i EC.Y=7? Objasniti značenje navedene elastičnosti.

29) Neka je C=C(Y) funkcija troškova. Šta predstavlja rješenje sljedeće jednačine 0, =yCE ? Odgovor obrazložiti.


199

30) Ako je y e najekonomičniji nivo proizvodnje, zaokružite tačne izraze:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )eeeee yCyCyDyCyC 'd)0c)1b)0a) ==′=′=′

31) Koja od sljedećih funkcija

a) ppX 225)(1 −= b) ppX 21)(2 += c) ppX 21)(3 −−=

može da bude funkcija ponude u individualnom smislu? Odgovor detaljno obrazložiti.

32) Kod funkcije proizvodnje ( )KRQQ ,= zaokružiti tačne osobine izokvante.

a) Dvije njene razne izokvante se nikad ne sijeku. b) U intervalu ''racionalnih odluka'' luk izokvante je neopadajući. c) U intervalu ''racionalnih odluka'' luk izokvanta koja pripada višem nivou proizvo-

dnje udaljenija je od x ose). d) Grafik izokvante leži u prvom kvadrantu

33) Osobina funkcije proizvodnje Q''ff < 0 označava:

a) rast proizvodnje pri svakoj dodatoj jedinici faktora, b) opadajuće prinose, c) ostvarenje cjelokupne proizvodnje nije moguće ulaganjem u samo jedan i to jefti-

niji faktor proizvodnje.

34) Kod funkcije proizvodnje ( )KRQQ ,= granična stopa supstitucije faktora R sa fakto-rom K iznosi 25.0, =KRS . Kolika je granična stopa supstitucije faktora K sa faktorom R? Objasniti njeno značenje.

35) Dokazati da je u intervalu ''racionalnih odluka'' izokvanta opadajuća kriva.

36) Ocjenjena funkcija potražnje za pamukom 8,0756,0 −⋅= qp u periodu 1915.–1929. u SAD nam daje i sljedeću informaciju o prihodu:

a) Ako se potražnja za pamukom poveća za 1%, prihod od prodaje pamuka će b) opasti za 0,2 %, c) porasti za 1,756 %, d) porasti za 0,2 %, e) opasti za 1,8 %.


200

37) Ako za ( )00 >> oo YX elastičnost prosječne funkcije je 3Y XE ⋅= %, izračunati odgova-

rajuću vrijednost elastičnosti inverzne funkcije ( )YgX = .

38) Neka je C=C(Y) funkcija troškova. Ako je za Y1=5kg C(Y1)=120 KM i za Y2=7kg C(Y2)=130 KM, koji nivo proizvodnje je ekonomičniji?

39) Utvrđeno je da granični trošak u proizvodnji 100 kom stolnih lampi firme „Alfa“ izno-si 4 KM/kom. Ovaj podatak nam govori da porast proizvodnje za 1 komad uzrokuje

a) Porast graničnog troška za 4%, b) Porast graničnog troška za 4 KM, c) Porast ukupnog troška za 4 %, d) Porast ukupnog troška za 4 KM.

40) Firma „AV“ je procijenila funkciju troškova u proizvodnji hrane za pse kao C=16+x2. Odrediti koji obim proizvodnje je najekonomičniji:

a) q = 10, b) q = 3, c) q = 4, d) q = 5.

41) Ako je Dy najrentabilniji nivo proizvodnje, a Dy nivo proizvodnje kod kojeg se mak-simizira prosječna dobit, zaokružite tačne izraze:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a) 0, b) 0, c) 0, d) .D D D D DC y D y D y D y D y′ ′ ′= = = =

42) Firma „ Menadžer“ posluje s gubitkom i utvrđeno je da elastičnost u nivou proizvodnje 20 komada iznosi ED, 20 = -5. Objasniti značenje dobijene vrijednosti.

43) Porast proizvodnje sa nivoa 20 za 1% uzrokuje

a) porast dobiti za 5%, b) Smanjenje dobiti za 5%, c) Porast gubitka za 5%, d) Smanjenje gubitka za 5%.

44) Poznata je funkcija granične proizvodnje .7 5,025,0 −=′ RKQR Odrediti za koliko će se povećati proizvodnja ako se angažovanje sredstava K poveća za 1%.

45) Poznata je funkcija produktivnosti rada: RKQR 100= Odrediti nivo proizvodnje koji

se ostvaruje angažovanjem 64 jedinice R i 256 jedinica K.


201

46) Za funkciju prihoda P(q) = 8q – 3q2 izračunati ( )1P i protumačiti značenje dobijene vrijednosti.

47) Definisati izokost pravu i navesti barem dvije njene osobine.

48) Ako je 25)( pppP −= funkcija prihoda, odrediti odgovarajuću funkciju tražnje.

49) Ako je funkcija prihoda prihoda P = 0.86q0.4, kolika je elastičnost tražnje?

Ep,q = 0.4 b) Ep,q = 0.4– 1 c) Ep,q = 0.4+ 1 d) Ep,q = 0. 86

50) Ako je 10)3()3( ==′ DD , tada je nivo proizvodnje q = 3:

a) nivo najrentabilnije proizvodnje, b) nivo najekonomičnije proizvodnje, c) nivo u kojem se postiže maksimalna prosječna dobit.

Zaokružite tačan odgovor.

51) Ako su P, C i D funkcije prihoda, troškova i dobiti redom, koji od navedenih grafikona bi mogli odgovarati ovim funkcijama?

a) b) c)

52) Ako je ),...,,( 21 nxxxQQ = neka funkcija. Navesti barem tri uslova koja mora zadovo-ljavati funkcija Q da bi bila funkcija proizvodnje.

53) Data je funkcija Q=Q (R,K). Napišite izraze koje bi ova funkcija trebala zadovoljiti da bi bila funkcija proizvodnje.

54) Različita kombinacija utrošaka faktora proizvodnje kojim se ostvaruje isti nivo proiz-vodnje naziva se: a) izoklina, b) izokost prava, c) izokvanta, d) granična stopa supstitucije.

C

D

C

D

P

DC

PP


202

55) Poznata je funkcija prosječne proizvodnje: 21

21

50 RKQK

−= . Odredite funkciju ukupne

proizvodnje Q.

56) Data je funkcija proizvodnje ( )KRQQ ,= . Napišite izraze za funkcije granične proiz-vodnje i objasnite jednu od njih.

57) Poznata je funkcija produktivnosti rada: 21

21

50−

= RKQR . Odredite graničnu funkciju Q’R.

58) Kod funkcije proizvodnje ( )KRQQ ,= zaokružiti tačne osobine izokvanti.

a) Dvije se njene razne izokvante uvijek se sijeku. b) U intervalu ''racionalnih odluka'' kriva izokvante je neopadajuća. c) U intervalu ''racionalnih odluka'' izokvanta koja pripada višem nivou proizvodnje

je udaljenija od koordinatnog početka. d) Grafik izokvante leži u drugom kvadrantu. e) Grafik izokvante leži u prvom kvadrantu.

59) Koje osobine treba da zadovolji funkcija )(ˆˆ pqq = da bi bila funkcija ponude?

60) Koje osobine treba da zadovolji funkcija pq +−= 2ˆ da bi bila funkcija ponude?

61) Ukoliko je elastičnost ukupnih troškova jedinična, u kakvom se odnosu nalaze prosje-čni i granični troškovi? Napišite odgovarajući izraz.

62) Ako su date funkcija tražnje q= 4 – p i funkcija ponude pq 520ˆ +−= , ravnoteža se postiže za cijenu: a) p=5, b) p=4, c) p=1, d) p=0.

63) Odrediti tačku ravnoteže na tržištu ako su poznate funkcije tražnje i ponude: q = 4 – p2 i pq +−= 2ˆ .

64) Utvrđeno je da je poslovanje firme „Luzer“ uvijek nerentabilno. Koji od grafičkih pri-kaza funkcija prihoda, troška i dobiti odgovara poslovanju ove firme?

a) b) c)

C

P

D

C

P

D

C

P

D


203

65) Ako je ey najekonomičniji nivo proizvodnje, kod nivoa proizvodnji eo yy > zaokružiti tačan odnos između vrijednosti prosječnih ( )oo yCC = i graničnih ( )oo yCC ′=′ troš-kova:

a) ( ) ( )oo yCyC ′= b) ( ) ( )oo yCyC ′> c) ( ) ( )oo yCyC ′<

66) Proizvodna funkcija za industriju u BiH 1955. godine je ocijenjena sa 390,0587,08.2 KRQ ⋅= gdje je Q - društveni proizvod, K – fiksni fondovi, R – broj

zaposlenih radnika. Koliko procenata bi bio veći društveni proizvod 1955. godine da su fiksni fondovi bili veći za 10%?

a) 28 %, b) 5,87 %, c) 3,90 %, d) 9,77 %.

204

1.12. Zadaci za vježbu Zadatak 1.1.

Nacrtati grafik funkcije: ppy

+−

=88

Zadatak 1.2.

Data je funkcija tražnje 14424)( 2 +−= pppq . a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tražnje i algebarski izraz funkcije prihoda Π(p). b) Za koju cijenu se maksimizira prihod. Grafički predstaviti funkciju prihoda. c) Odrediti elastičnost tražnje pqE , i prihoda pPE , za cijenu p =5 i protumačiti rezultat.

Zadatak 1.3.

Zadana je nepotpuna funkcija graničnog prihoda P'p = α - 6p.

a) Odredi parametar α ako se prihod maksimizira za cijenu p = 4,5 nj/kj. b) Odrediti algebarske izraze funkcija agregatnog prihoda P = P(p), graničnog prihoda

P'=P'(p) i agregatne tražnje. c) Algebarski, tabelarno i grafički odrediti elastičnost prihoda u odnosu na cijenu EP,p d) Ako je tržišna cijena p = 4,5 nj/kj, kolika je elastičnost tražnje Eq,p. Protumačiti re-

zultat. Zadatak 1.4. Na tržištu određenog tipa robe nalaze se tri potencijalna potrošača sa individualnim zako-nima tražnje:

pXpXpX 5,03;9;312 321 −=−=−= . a) Odrediti funkciju agregatne tražnje i agregatnog prihoda na ovom tržištu uz grafički

prikaz ovih funkcija. b) Za koju cijenu se maksimizira ukupni prihod i koliko on iznosi? c) Odrediti elastičnost agregatne tražnje Eq,p za cijenu p u kojoj se prihod maksimizira.

Objasniti rezultat. Zadatak 1.5.

Data je nepotpuna funkcija graničnih troškova: ( ) ybyC ⋅⋅=′ 2 a) Odrediti parametar b ako je najekonomičniji nivo proizvodnje 4 kj, a fiksni troškovi

proizvodnje su 32 nj. b) Kakvi su algebarski izrazi funkcija ( ) ( ) ( )yCCyCCyCC =′=′= ,, ?

ZADACI ZA VJEŽBU

205

c) Algebarski, tabelarno i grafički obraditi elastičnost ukupnih troškova EC,y. d) Kolika je elastičnost ukupnih C = C(y) i prosječnih ( )yCC ′=′ troškova kod naje-

konomičnijeg nivoa proizvodnje. Dati ekonomsko tumačenje dobijenih rezultata? Zadatak 1.6.

Poznata je funkcija granične dobiti qqD 210)( −=′ . Odrediti algebarske izraze funkcije dobiti D(q)

a) ako je maksimalna dobit D+ = 0, b) ako su fiksni troškovi proizvodnje F= 30, c) Grafički predstaviti obje funkcije uz isticanje karakterističnih tačaka.

Zadatak 1.7. Neko dobro se na tržištu prodaje po cijeni p =7 nj/kj. Tražnja za tim dobrom je beskonačna. Proizvođač tog dobra ima funkciju troškova 10)( 2 += yyC .

a) Odrediti funkciju dobiti, analizirati je i grafički prikazati b) Odrediti njenu funkciju elastičnosti u nivoima y =1, y = 3, y = 4, y = 6 uz tumačenja.

Zadatak 1.8.

Firma « Smiley » proizvodi jednu vrstu igračaka. Kretanje troškova proizvodnje je dato sljedećom funkcijom 808)( 2 ++= qqqC ; gdje je q mjesečna proizvodnja tih igračaka. Ako je q(p) = 36 – p funkcija mjesečne tražnje za tim igračkama treba:

a) Odrediti algebarski i grafički prikazati funkciju mjesečne dobiti ove firme. b) Odrediti elastičnost dobiti za nivo q = 3 kom. i protumačiti rezultat. c) c) Za koju cijenu će dobit ove firme biti maksimalna?

Zadatak 1.9.

Data je nepotpuna funkcija agregatne tražnje pAq31

−= i funkcija agregatne ponude

pq322ˆ += .

a) Odrediti vrijednost parametra A ako se zna da je ekvilibrij cijena kjnjp /10= . b) Odrediti algebarski izraz inverznog zakona agregatne tražnje )(qpp = , a zatim od-

rediti, algebarske izraze funkcija ukupnog prihoda )(qPP = i graničnog prihoda )('' qPP = u zavisnosti od tražnje.

c) Algebarski, tabelarno i grafički odrediti elastičnost prihoda u odnosu na tražnju qPE , .


206

Zadatak 1.10. Na tržištu određenog tipa robe posmatrana su tri proizvođača sa individualnim zakonima ponude:

pX

pX

pX

5,19ˆ4ˆ

5,01ˆ

3

2

1

+−=

+−=

+−=

a) Izvesti zakon tržišne ponude )(ˆˆ pqq = uz algebarsklo određivanje oblasti definisa-nosti i grafički je predstaviti.

b) Ako je poznat zakon tržišne tražnje ppq 425)( −= odrediti ekvilibrij cijenu i ekvilibrij količinu uz grafički prikaz i obilježavanje karakteristične tačke.

c) Za koju cijenu je elastičnost tražnje jedinična? Zadatak 1.11.

Neki proizvođač ima funkciju ponude: 43

4ˆ −+=px .

a) Pronaći njegovu funkciju ukupnih troškova ako je najekonomičniji nivo proizvodnje ye = 8.

b) Odrediti koeficijent elastičnost ukupnih troškova u nivou ye i objasniti značenje do-bivene vrijednosti.

Zadatak 1.12.

Poznate su funkcije graničnog prihoda qP 12100' −= i graničnih troškova qC 8=′ . Za nivo proizvodnje q = 10 kj ukupni troškovi proizvodnje iznose 560 nj.

a) Izračunati nivo najekonomičnije proizvodnje. b) Izračunati nivo najrentabilnije proizvodnje.

Zadatak 1.13.

Kod nekog proizvođača poznata je nepotpuna funkcija ukupnih troškova AyeC 5= . a) Odrediti parametar A ako je najekonomičniji nivo proizvodnje 5=ey , a zatim od-

rediti algebarske izraze za funkcije ukupnih prosječnih i graničnih troškova, kao i granične i prosječne varijabilne troškove uz grafički prikaz ovih funkcija.

b) Odrediti funkciju prizvođačeve ponude, a zatim iiuu yipteyip .

ZADACI ZA VJEŽBU

207

Zadatak 1.14.

Kod nekog proizvođača poznata je funkcija prihoda 2330)( qqqP −= i nepotpuna funkcija troškova 22)( qqAqC ++= .

a) Odrediti vrijednost parametra A ako se zna da je najekonomičniji nivo proizvodnje kjqe 24= .

b) Odrediti algebarski izraz funkcije dobiti i dati grafički prikaz uz obilježavanje karak-terističnih tačaka i intervala nerentabilnosti.

c) Odrediti funkciju proizvođačeve ponude, oblast definisanosti i grafički je predstaviti. Zadatak 1.15. Na tržištu je prisutna cijena p = 29 KM za jedinicu određenog proizvoda. Za konkretnog

proizvođača tog proizvoda imamo poznatu funkciju prosječnih troškova: y

yC 1004 ++=

(pretpostavićemo da je potražnja za proizvodom beskonačna i da pojedinac ne utiče na trži-šnu cijenu). Treba odrediti:

a) Funkcije ukupnih troškova, prihoda i dobiti datog proizvođača. b) Nivoe najekonomičnije i najrentabilnije proizvodnje i dati grafički prikaz funkcija

ukupnih troškova, prihoda i dobiti datog proizvođača. c) Odrediti funkciju ponude za datog proizvođača, količinu ponude pri zatečenoj tržiš-

noj cijeni i tržišnu cijenu kod koje bi naš proizvođač odustao od proizvodnje.

Zadatak 1.16.

Date su funkcije tržišne ponude 22ˆ −⋅= pq i potražnje 8421 2 +⋅−⋅= ppq .

a) Odrediti za koje cijene su definisane funkcije ponude i potražnje; b) Odrediti ravnotežnu cijenu i količinu; c) Elastičnost tražnje u tački ravnoteže i objasniti značenje dobijene vrijednosti.

Zadatak 1.17.

Poznata je nepotpuna funkcija agregatne tražnje ( ) pApqq ⋅−== 2 . a) Odrediti parametar A i odgovarajuću funkciju inverznog zakona tražnje ( )qpp =

tako da fleksibilnost cijene bude 1, −=qpE za q = 8 kj. b) Za nađeno A dati grafički prikaz funkcije tražnje, odrediti definiciono područje i za

cijenu p = 6nj/kj odrediti i protumačiti značenje elastičnosti pqE , . c) Tabelarno i grafički obraditi elastičnost pqE , .


208

Zadatak 1.18.

Data je funkcija produktivnosti rada 5,05,0100 KRQR ⋅⋅= − . a) Odredite funkciju proizvodnje ),( KRQQ = . b) Izračunati graničnu stopu supstitucije rada kapitalom za 4=R i 9=K .

Zadatak 1.19.

Poznata je funkcija proizvodnje nekog proizvođača 3/13/250 KRQ = . Rad R se mjeri u rad-nim satima, kapital K u kapitalnim satima i nivo proizvodnje Q u tonama. Za nivo proizvodnje 5000=Q tona pronaći funkciju izokvante )(RfK = i nacrtati je za vrijednost

2500 ≤≤ R . a) Formirati funkcije granične proizvodnje '

RQ i prosječne proizvodnje RQ za ksKirsR 216125 == , odrediti njihove vrijednosti i objasniti ekonomsko značenje

datih funkcija. b) Ako je cijena angažovanja 1 radnog sata njpR 20= i cijena angažovanja 1 kapital-

nog sata njpK 160= , odrediti optimalnu kombinaciju faktora proizvodnje (R,K) kojom će se ostvariti maksimalan nivo proizvodnje uz novčana sredstva

njC 000.24= . Zadatak 1.20.

Poznata je funkcija proizvodnje nekog proizvođača 3/13/125 MRQ = (pri čemu se rad R mjeri u radnim satima, mašine M u kapitalnim satima i nivo proizvodnje Q u tonama).

a) Odrediti koliko mašinskih sati treba da bi se uz angažovanje R=216 radnih sati os-tvario nivo proizvodnje od 1050 tona.

b) Odrediti funkciju izokline M=f(R) za k=2 i grafički je predstaviti. c) Ako je cijena angažovanja 1 mašinskog sata njpK 25= i cijena angažovanja 1 rad-

nog sata njpR 10= , odrediti optimalnu kombinaciju faktora proizvodnje (K,R) tako da se nivo proizvodnje 250=Q tona ostvari pod minimalnim troškovima C. Utvr-diti iznos minimalnih troškova i prikazati krivu minimalnih troškova.

Zadatak 1.21.

Poznata je funkcija proizvodnje nekog proizvođača 2/12/1100 KRQ = (pri čemu se rad R mjeri u radnim satima, kapital K u kapitalnim satima i nivo proizvodnje Q u komadima).

a) Odrediti koliki nivo proizvodnje se može ostvariti angažovanjem 196 radnih sati i 256 kapitalnih sati.

b) Ako je ..150..300 skKisrR == odrediti graničnu stopu supstitucije (s) i dati eko-nomsko značenje.

ZADACI ZA VJEŽBU

209

c) Ako je cijena angažovanja 1 radnog sata njpR 10= i cijena angažovanja 1 kapital-nog sata njpK 640= , odrediti optimalnu kombinaciju faktora proizvodnje (K,R) tako da se nivo proizvodnje 800.12=Q komada ostvari pod minimalnim troškovima C. Utvrditi iznos minimalnih troškova i prikazati krivu minimalnih troškova.

Zadatak 1.22.

Poznata je funkcija proizvodnje nekog proizvođača 2/14/136 KRQ = (pri čemu se rad R mjeri u radnim satima, kapital K u kapitalnim satima i nivo proizvodnje Q u komadima).

a) Odrediti elastičnost proizvodnje u odnosu na kapital i dati ekonomsko značenje. b) Odrediti linije grebena proizvodnje. c) Ako je cijena angažovanja 1 radnog sata njpR 5= i cijena angažovanja 1 kapitalnog

sata njpK 200= , odrediti optimalnu kombinaciju faktora proizvodnje (R,K) kojom će se ostvariti maksimalan nivo proizvodnje uz novčana sredstva od 30.000 nj.

Zadatak 1.23.

Poznata je funkcija proizvodnje nekog proizvođača 428 RKQ ⋅⋅= (pri čemu se rad R mjeri u radnim satima, mašine M u mašinskim satima i proizvod Q u tonama).

a) Za nivo proizvodnje Q = 560 t pronaći funkciju izokvante K=f(R) i nacrtati je za vri-jednosti 12000 ≤≤ R .

b) Ako je cijena angažovanja 1 kapitalnog sata pK = 640 nj i cijena angažovanja 1 rad-nog sata pR = 16 nj, kako će izgledati optimalna kombinacija faktora proizvodnje (K, R) pa da se nivo proizvodnje Q=560 ostvari pod minimalnim troškovima C. Utvrditi iznos minimalnih troškova i prikazati krivu minimalnih troškova na grafiku pod a)

c) Na izokvanti Q = 560 odrediti onu vrijednost (K, R) u kojoj 1 mašinski sat supstitui-ra 20 radnih sati.

Zadatak 1.24.

Poznata je funkcija proizvodnje nekog proizvođača KRQ ⋅⋅= 64 (pri čemu se rad R mjeri u radnim satima, kapital K u kapitalnim satima i proizvod Q u tonama).

a) Odrediti koliko kapitalnih sati treba da bi se uz angažovanje 3600 radnih sati ostva-rio nivo proizvodnje od 34 560 tona.

b) Formirati funkciju izokvante ( )RfK = za Q = 34560 t i i nacrtati je za vrijednosti 36000 ≤≤ R .

c) Ako je cijena angažovanja 1 kapitalnog sata pK = 270 nj i cijena angažovanja 1 rad-nog sata pR = 30 nj, odrediti maksimalan nivo proizvodnje koji se može ostvariti uz novčana sredstva C = 97200 nj. Kako će izgledati optimalna kombinacija faktora proizvodnje (K, R)?


210

Zadatak 1.25.

Poznata je funkcija proizvodnje nekog proizvođača KRQ ⋅⋅= 436 (pri čemu se rad R mjeri u radnim satima, kapital K u kapitalnim satima i proizvod Q u tonama).

a) Odrediti koliko kapitalnih sati treba da bi se uz angažovanje 1296 radnih sati ostva-rio nivo proizvodnje od 2592 tone.

b) Formirati funkcije KK QiQ′ i na osnovu datih podataka iz a) odrediti vrijednosti i ekonomsko značenje datih funkcija.

c) Ako je cijena angažovanja 1 kapitalnog sata pK = 180 nj i cijena angažovanja 1 rad-nog sata pR = 10 nj, kako će izgledati optimalna kombinacija faktora proizvodnje (K, R) pa da se nivo proizvodnje Q=2592 t ostvari pod minimalnim troškovima C? Utvrditi iznos minimalnih troškova i prikazati krivu minimalnih troškova.

Zadatak 1.26.

Poznata je funkcija prizvodnje nekog proizvođača 2/12/116 KRQ = (pri čemu se rad R mjeri u radnim satima, mašine K u mašinskim satima i nivo proizvodnje Q u komadima).

a) Odrediti koliko radnih sati treba da bi se uz angažovanje K=256 kapitalnih sati os-tvario nivo proizvodnje od Q = 512 komada.

b) Ako je 230115 == KiR , odrediti graničnu stopu supstitucije (s) i dati ekonomsko značenje.

c) Ako je cijena angažovanja 1 kapitalnog sata njpK 20= i cijena angažovanja 1 rad-nog sata njpR 5= , odrediti optimalnu kombinaciju faktora proizvodanje (K,R) tako da se nivo proizvodnje 320=Q komada ostvari pod minimalnim troškovima C. Utvrditi iznos minimalnih troškova.

211

1.13. Rješenja zadataka za vježbu Rješenje 1.1.

Grafikon 1.1. Prosječna funkcija 88

pyp

−=

+

Rješenje 1.2.

Definiciono područje funkcije tražnje je p∈(0, 12); q∈(0, 144).

a) Prihod 3 2 2( ) ( ) 24 144 ( 12)P p p q p p p p p p= ⋅ = − + = − ; definisan za p∈(0, 12).

b) Da bi odredili za koju cijenu je prihod maksimalan, potreban uslov je 0)(' =pP ;

256,40)4(

12;401444830)("

212'

==⇒<

==⇒=+−⇒=+PpP

pppppP

Grafikon 1.2. Funkcija prihoda

256

12 8 4

-20 -10 0 10 p

y 20

10

-20


212

c) , 5

, 5 , 5

10 1,437

1 0,43

q p

p q p

E

E E

=

Π = =

−= ≈ −

= + ≈ −

Ako se cijena sa nivoa p = 5 poveća za 1 %, tražnja će opasti za približno 1,43 %, a prihod opasti za približno 0,43 %.

Rješenje 1.3.

a) Za cijenu za koju se maksimizira prihod vrijedi uslov 0)(' =pP za p = 4,5 ⇒ α -6⋅4,5=0⇒α = 27.

b)

2( ) (27 6 ) 27 3P p p dp p p= − = −∫ ; ' ( ) 27 6P p p= − ; ( ) 27 3P p p= − .

c)

,27 627 3P p

pEp

−=

−;

Grafikon 1.3. Funkcija elastičnosti prihoda

d) , 4,5 , 4,5 1 0 1 1q p pE E= Π == − = − = − . Rješenje 1.4.

a)

( )[ )[ )

24 4,5 ; 0,4( ) 12 1,5 ; 4,6

9 ; 6,9

p za pq p p za p

p za p

⎧ − ∈⎪= − ∈⎨⎪ − ∈⎩

( )[ )[ )

2

2

2

24 4,5 ; 0,4( ) 12 1,5 ; 4,6

9 ; 6,9

p p za pP p p p za p

p p za p

⎧ − ∈⎪= − ∈⎨⎪ − ∈⎩

.

-1

1

9 9 6 4,5

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

213

b) Prihod je maksimalan za cijenu 83

p = i iznosi P+ = 32.

c)

8 8, ,3 3

1 0 1 1q p P p

E E= == − = − = − . (Jedinična elastičnost tražnje za cijenu za koju je prihod

maksimalan). Rješenje 1.5.

a) 2( ) 2C y bydy by F= = +∫ ; Iz uslova

16 32( ) ( ) (4) (4) 8 24e e

bC y C y C C b b+′ ′= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

b)

2

2

( ) 2 32( ) 4

2 32( )

C y yC y y

yC yy

= +′ =

+=

c) 2

, 2

2 016C y

yEy

= ≥+

Grafik 1.5 Funkcija elastičnosti ukupnih troškova

d)

0

1

,

,

=

=

e

e

yC

yC

E

E

; Ako nivo najekonomičnije proizvodnje povećamo za 1%, ukupni troškovi će se pove-ćati također 1 % (jedinična elastičnost), a prosječni ukupni troškovi se neće promijeniti.

4

2

1


214

Rješenje 1.6.

a) 50210;0)( =⇒=−=⇔=′ dd qqqqqD (nivo najrentabilnije proizvodnje),

FqqdqqqD −−=−= ∫ 210)210()( ;

2510)(

2525500)(2 −+−=

=⇒−−=⇒=+

qqqDFFqDD d

b) 3010)( 2 −+−= qqqD . Rješenje 1.7. a) 107)( 2 −−= yyyD .

Interval rentabilnosti (2, 5); nivo najrentabilnije proizvodnje yd =3,5; Maksimalna

dobit D+= 2,5.

b) y =1 ⇒ ED,y = -1,25. Ako nivo proizvodnje y =1 povećamo za 1%, gubitak D = -4 će se smanjiti za 1,25 %.

y =3 ⇒ ED,y = 1,5. Ako nivo proizvodnje y =3 povećamo za 1%, dobit D = 2 će se povećati za 1,5 %.

y =4 ⇒ ED,y = -2. Ako nivo proizvodnje y = 4 povećamo za 1%, dobit D = 2 će se smanjiti za 2 %.

y =6 ⇒ ED,y = 7,5. Ako nivo proizvodnje y =6 povećamo za 1%, gubitak D = -4 će se povećati za 7,5 %. Rješenje 1.8. a) p(q) = 36-q inverzni zakon agregatne tražnje;

80282808)36()()()( 22 −+−=−−−−=−= qqqqqqqCqPqD .

Interval rentabilnosti (4, 10); nivo najrentabilnije proizvodnje qD = 7; maksimalna do-bit D+=18.


215


b)

43,3724

3, −≈−

==qDE.

c) p = 29. Rješenje 1.9.

a) Iz uslova tržišne ravnoteže .12)10(ˆ)10( =⇒= Aqq

b)

qqPqqqqpqP

qqp

636)(336)()(

336)(

'

2

−=

−==

−=

c) q

qE qP 336636

, −−

=

q qPE ,

q=0 qPE , =1 0<q<6 0< qPE , <1 q=6 qPE , =0 6<q<8 -1< qPE , <0 q=8 qPE , =-1 8<q<12 qPE , <-1

-80

10 7 4

18


216

Rješenje 1.10. a)

605,19:ˆ404:ˆ205,01:ˆ

funkcijerastućalinearne0ˆ,0ˆ,0:

3

2

1

'

>⇒>+−⇔

>⇒>+−⇔

>⇒>+−⇔

⇒>>>

ppX

ppX

ppX

XXpDP

Grafikon 1.10 Funkcija ponude

b)

( ) ( )

( )2

2

( ) 25 425ˆ0, ( ) 0, ( ) 0 25 4 0 i4

4 2( ) 0 0;6, 252 25 4 25 4

. . 2;6, 259ˆ( ) ( ) 25 4 5 1,5 25 4 25 154

9 11 0 0 . .4

9 4411 4,9 5 1,5 4,9 2,34 9 E

q p p

p q p q p p p

q p p pp p

D P p

q p q p p p p p p

p p p D P

p p q

= −

> > < ⇒ − > ⇒ <

− −′ = = < ∀ ⇒ ∈⋅ − −

∈

= ⇒ − = − + ⇒ − = − +

⇒ − = ⇒ = ∉

= ⇒ = ≈ ⇒ = − + ⋅ =

c) 6251, =⇒−= pE pq .

p

2PR=44/9

4 6

1

0

7/3

4

R


217

Rješenje 1.11.

a) )( yCp ′= ;

60243)(6024343

4 22 +−=′⇒+−=⇒−+= yyyCyyppy .

2566012)(

256)8()8(

6012)60243()(

23

232

++−=

=⇒=′

++−=+−= ∫

yyyyC

FCC

FyyydyyyyC

b) , 1EC yE = .

Rješenje 1.12.

a) 2( ) 8 4C q qdq q F= = +∫ ; (10) 560 160C F= ⇒ = .

10216048)()(2

=⇒+

=⇒=′ eee qq

qqqCqC .

b) '0 100 12 8 5dD P C q q q′ ′= ⇔ = ⇒ − = ⇒ = .

Rješenje 1.13.

a) '

5 5

( ) ( )

5 1 155

Aye

e eAy

Ay

C e y

C y C ye e Ay y

= =

=

= ⋅ ⇒ = ⇒ =

yeV

eVCy

eC

eC

y

y

y

y

)1(5

55

5

5/'

5/

5/

−=

=′=

=

=

1

5

C′ CV

e

Grafikon 1.13. Funkcije graničnog i prosječnog ukupnog troška i prosječnog varijabilnog troška


218

b)

pxpypy

peype

ponudefunkcijainverznapyCy

ln5ˆln5ln5

lnln5

ln)(

5/

'

=⇒=⇒=

=

=

=

' '

( , )5

0 ( ) (0) 1 1

u u

u e

i i i

E y py p ey C y C p= ⇒ =

= ⇒ = = ⇒ =

Grafikon 1.13.a. Funkcija ponude

Rješenje 1.14.

a)

2 2

'2' '

2

( ) 30 3 ; ( ) 2 ; 24

2( ) 0 0 1 0 24

e

e

P q q q C q A q q q kj

A q q AC q C Aq q

= − = + + =

⎛ ⎞+ += ⇒ = = ⇒ − = ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

b)

2 2

2

2

1 2

1 2

( ) ( ) ( )( ) 30 3 ( 2 24)( ) 4 28 24( ) 0 4 28 24 0

: 1, 6(0,1) (6, ) interval rentabilnosti1, 6 granice rentabilnosti(1,6) interval rentabilnosti

D q P q C qD q q q q qD q q qD q q q

Nule q qqq qq

= −

= − − + +

= − + −

= ⇒ − + − == =

∈ ∪ +∞= =∈

' 2 ': ( ) ( 4 28 24) 08 28 0

7 / 2( ) (3,5) 4 3,5 28 3,5 24 60max (7 / 2,60)

24

D

D

ekstrem D q q qq

qD q DDF

= − + − =− + =

== = − ⋅ + ⋅ − =

=


Dmax(3,5;60)

0 q

D(q)

qD=3,5

60

-F

1 6

Interval nerentabilnosti

5

e 1

E


219

c)

( )

' ( ) inverzna funkcija ponude2 2

1 1ˆ1 12 2

. . 2,

C q pq p

q p x p

D P p

=+ =

= − ⇒ = −

∈ ∞

Grafikon 1.14. a. Funkcija ponude

Rješenje 1.15. a)

b)

c)

2

2

( ) ( ) 4 100( ) 29( ) ( ) ( ) 25 100

C y y C y y yP y yD y P y C y y y

= ⋅ = + +=

= − = − + −

Nivo najekonomičnije proizvodnje:

2

( ) 01001 0 10

e

e

C y y y

yy

′ = ⇒ =

− = ⇒ =

Nivo najrentabilnije proizvodnje:

( ) 02 25 0 12,5

d

d

D y y yy y′ = ⇒ =

− + = ⇒ =

Interval rentabilnosti: (5, 20);Maksimalna dobit D+ = 56,25.

Izlazna cijena pi = pv = 4.


p

x

2 -1

-100 D

C P

20 12,5 5


220

Rješenje 1.16.

a) D. P. ponude:

( )∞∈⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

>′>>

,10ˆ0ˆ

;0p

qqp

D. P. potražnje:

( ) ( )( )

( )4,04,0

,44,00

∈⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

∞−∈⇒<′∞+∪∞−∈⇒>

>p

pqpq

p

D. P. tržišta ( )4,1∈p

b)

( ) ( )21 2

1ˆ 4 8 2 2 2 1, 4 10 1, 42

q q p p p p i p= ⇒ − + = − ⇒ = ∈ = ∉

Tačka ravnoteže je R (2, 2)

c) ( )

( ), 22

24 21 442

q pp pE p

pp= = ⋅ − = = −

−−

Ako se cijena sa nivoa p=2 poveća za 1%, agregatna tražnja će se sa nivoa q = 2 sma-njiti za 2%.

Rješenje 1.17.

a) 2

)( qAqp −=

,

, 8

( )( )2 1( ) 1 8 8 16

2

p q

p q

qE p qp q

qE A AA q=

′= ⋅

= ⋅ − = − ⇒ = − ⇒ =−

b) ppq 216)( −= ; definisana za p∈(0, 8); q∈(0, 16).

c) , 6 3q pE = = −

Ako se cijena sa nivoa p = 6 poveća za 1%, tražnja sa nivoa q = 4 će se smanjiti za 3%.

Grafikon 1.17. Funkcija tražnje

16

8


221

Rješenje 1.18.

a) 0,5 0,5( , ) 100Q Q R K R K= = ⋅ ⋅ b) 94

s = −

Rješenje 1.19.

a) 3/13/250 KRQ ⋅= 2/3 1/3

32/3 1/3

22

5000 50

10010000001000000

R K

R K

R K KR

= ⋅

= ⋅

= ⋅ ⇒ =

Izokvanta Q=5000 ima oblik

2

1000000R

K =

Grafikon 1.19. Izokvanta

60125

21650505050

4015600

1253216100

3100

3250

50;125;216

3

3

3

33/13/1

3/13/2

3

3

3

33/13/1'

3/13/2

===⋅==⋅

=

====⋅⋅=

⋅===

−

−

RKKRQ

RKRQ

RKKRQ

KRQRK

R

R

U prosjeku se po svakom rs faktora R ostvaruje 60 t proizvodnje. b)

1/3 1/3

'

'2/3 2/3

24000 20 16025020 1 23 161160 850

3

C R K

R R

K K

C p R p K R K

R Kp Q K Rp Q RR K

−

−

= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅

⋅ ⋅= ⇒ = = ⇒ = =⇒ =

⋅ ⋅

32/3 1/3 2 3max

max

24000 20 160 24000 20 16 160480 24000

50ˆ ˆ50 16 50 800

50 30 800 509524,41

R K K KKK

K R

Q R KQ

= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ +==

= = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

=

0

K

250 R


222

Rješenje 1.20.

a)

1/3 1/3

1/3 1/3

1/3 1/3

216; 105025

1050 254274088

74088 74088 343216

Q 1050 t i R 216 r.s. 343k.s.

R QQ R M

R MR M

R M

MR

M

= =

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅= ⋅

= = =

= = ⇒ =

b

'

'

2/3 1/3

1/3 2/3

2

12532 125

32

R

M

Qk k SQ

R M MRR M

M R

−

−

= ⇒ = − =

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅

=

c)

;10;25250;25 3/13/1

njpnjpQMRQ

RK ===⋅⋅=

20ˆ4002/5

100010001010

25250

502025ˆ

25

25102510

3125

3125

2510

2

3

3/13/1

3/13/1

3/23/1

3/13/2

=⇒=⋅

===

⋅=

⋅⋅=

=⋅=⇒⋅=

=

=

⋅⋅⋅=′

⋅⋅=′=

⇒′′

=

−

−

MMMRR

M

MRMR

RMR

MRRM

MRQ

MRQ

QQ

pp

M

R

M

R

M

R

R

MM=2R

50 R

20

M

C

Grafikon 1.20. Izoklina k=2

Grafikon 1.20.a. Optimalna kombinacija kaktora


223

Najniži troškovi kojim se može ostvariti nivo proizvodnje Q=250 tona iznose:

100020255010ˆˆ =⋅+⋅=⋅+⋅= MpRpC MR , a izotroškovna prava:

2005210002510 =+⇒=⋅+⋅ MRMR . Rješenje 1.21.

a) 22400256196100100.;.256;..196 2/12/1 =⋅⋅=⇒⋅⋅=⇒== QKRQskKsrR

b)

2/1300150

21100

21100

150;300

2/12/1

2/12/1

'

'

−=−=−=⋅⋅⋅

⋅⋅−=⇒−=

==

−

−

RK

KR

KRS

QQS

KR

K

R

Ukoliko se rad poveća za jednu rs, kapital je potrebno smanjiti za 1/2 ks da bi nivo proizvodnje Q ostao konstantan.

c)

;10;64012800;100 2/12/1

njpRnjpKQKRQ

===⋅⋅=

KRRK

KRQ

KRQ

QQ

pp

K

R

K

R

K

R

6401064010

21100

21100

64010

2/12/1

2/12/1

=

=

⋅⋅⋅=′

⋅⋅=′=

⇒′′

=

−

−

16ˆ2566416384

)64(128

10012800

10241664ˆ64

22

22/12/1

2/12/1

=⇒=⇒=

⋅=

⋅⋅=

=⋅=⇒=

KKK

KK

KR

RKR

Najniži troškovi kojim se može ostvariti nivo proizvodnje Q=12800 komada iznose:

njKpRpC KR 2448016640102410ˆˆ =⋅+⋅=⋅+⋅= , a izotroškovna prava:

2448642448064010 =+⇒=⋅+⋅ KRKR .


224

Rješenje 1.22.

a)

5,021

2136

36),(2/14/1

2/14/1'

, ==⋅=⋅= −KRKR

KQKRQ

KE KKQ

Ukoliko se utrošak K promijeni za 1%, Q će se povećati za 0,5%.

b) '

'

3/4 1/2

1/4 1/2

13640 0 1 236

2

R

K

Qk SQ

R K KkRR K

−

−

= − =

⋅ ⋅= ⇒ = =

⋅ ⋅

c)

grebenalinijaRza

RKk

grebenalinijaKzaR

K

02

02

0

==∞⇒∞=

==

njpRnjpKCKRQ

5;20030000;36 2/14/1

===⋅⋅=

3/4 1/2'

'1/4 1/2

1/4 1/2 4max

max

30000 5 2001365 14 201200 40 236

2

30000 5 200 30000 5 20 200300 30000

100ˆ ˆ100 20 100 2000

36 36 2000 1002407,47

C R K

R

K

C p R p K R K

R KQpR K R KpK Q RR K

R K K KK

K

K R

Q R KQ

−

−

= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅

⋅ ⋅= ⇒ = = ⇒ = =⇒ =

⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ +=

=

= = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= kom


225

Rješenje 1.23.

a) 24 4560 28 20

400400

K R K R

K R KR

= ⋅ ⇒ = ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ =

Izokvanta Q=560 ima oblik R

K 400=

Grafikon 1.23. Optimalna kombinacija

b) ⇒⋅⋅=⇒⋅⋅= 41

21

4 2828 RKQRKQ

43

21

7−

⋅⋅=′ RKQR i 41

21

14 RKQK ⋅⋅=′−

Optimalnu kombinaciju dobijamo rješavanjem sljedećeg sistema jednačina:

1 32 4

1 12 4

2

7 16 1640 2 4014400 400560

ˆ20 20ˆ20 400 20 160000 400

R R

K K

K RQ p RQ p KK R

K RQ KR

R K K

K K K K R

−

−

⎧⋅ ⋅⎪′⎧ ⎧== =⎪⎪ ⎪′ ⋅⇒ ⇒ ⇒⋅ ⋅⎨ ⎨ ⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⋅ == ⎩⎩ =⎪⎩

⎧⎧ = ⇓ =⎪ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨⋅ = ⇒ ⋅ = =⎪ ⎪⎩ ⎩

Najniži troškovi kojim se može ostvariti nivo proizvodnje od Q = 560 kj. iznose: 192002064040016ˆˆ =⋅+⋅=⋅+⋅= KpRpC KR nj. Izotroškovna prava jednaka je:

1200401920064016 =+⇒=⋅+⋅ KRKR .

c) Granična stopa supstitucije mašina radom iznosi -20 20−=′′

−=⇒R

K

QQ

s ;

Odnosno, KRKR 10202

=⇒= . Na izokvanti Q=560 ova kombinacija izgleda:

0 400

K

1200 R

Q=560

3020

C=19200


226

22002201016

160000104001040033

2

⋅=⇒⋅=⇒⋅=

⇒=⋅⇒=⋅⇒=⋅

RKK

KKKKRK

2400

220

⋅=

⋅=

R

K

Rješenje 1.24.

a)

b)

34560 64 3600

540 60 9 81

K

K K K

= ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅ ⇒ = ⇒ =

2

34560 64 540540 291600

R K

R K K KRR

= ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅ ⇒ = ⇒ =

Grafikon 1.24. Izokvanta c)

' 1/2 1/2

' 1/2 1/2

' 1/2 1/2

' 1/2 1/2

270 30 97200

32 30 1 932 270 9

32 270 270 97200

32 540 97200ˆ ˆ180 1620

R K C

R R

K K

R

K

p R p K C K R

Q p R K K R KQ p R K R

Q R K K KQ R K K

K R

−

−

−

−

⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

= + =

= =

= =

3456054064

29160064162018064

max

max

=⋅=⋅=⋅⋅=

QQ

243

162 81

K

1800 1200 3600 R


227

Rješenje 1.25.

a) 2

424

3636 36

Q QQ R K K KR R

= ⇒ = ⇒ =

Za Q=2592 t i R=1296 r.s.⇒ K= 144 k.s.

b) 1 4 4

4 21 18 18 129636 92 12K

RQ R KK

−′ = ⋅ ⋅ = = =

Ukoliko K=144 ks povećamo za 1 ks, a R Grafikon 1.25. Optimalna kombinacija

ostane nepromijenjeno, onda će se Q povećati za 9 t.

18

1441296363636 444

====K

RK

KRQK

Na nivou ulaganja K= 144 ks i R= 1296 rs u prosjeku svaki kapitalni sat daje 18 t out-puta.

c) Q=2592 t

KR4362592 =

KRR

K

KR

KRpp

QQ

K

R

K

R 9181

218010

18

9

21

41

21

43

=⇒=⇒=⋅

⋅⇒=

′′

−

−

..144ˆ9362592 4 skKKK =⇒= i R =9⋅144=1296 r.s.

KpRpC KR ⋅+⋅= ⇒Cmin = 10⋅1296+180⋅144= 38800n.j.

1296 R

144

K

C


228

Rješenje 1.26.

a) 1/2 1/2 1/2

1/2 1/2

256; 512 16 512 16 25632 16 2 4

K Q Q R K RR R R

= = ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

b) Za Q = 512 t i K = 256 k.s. ⇒ R = 4 r.s.

1/2 1/2'

'1/2 1/2

116115 2302 21230 115162

R

K

R KR Q KS SK Q RR K

−

−

⋅ ⋅= ⎫⇒ = − ⇒ = − = − = − = −⎬= ⎭ ⋅ ⋅ ⋅

Jedan radni sat radnika mijenja dva sata rada kapitala, ili ako rad povećamo sa nivoa 115 za 1 rs, K se treba smanjiti za 2 ks da bi proizvodnja ostala na istom nivou.

c) Optimalnu kombinaciju dobijamo rješavanjem sljedećeg sistema jednačina:

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2320 16 40020 ˆ 105 ˆ 4 10 40420

R R

K K

R K R K KRKp Q K

RR Kp Q R

⎫= ⋅ ⋅ ⎧ = ⋅ ⎧ ⎧ ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒′ ⎬ ⎨ ⎨ ⎨= = = ⋅ =⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎩=′ ⎩⎩⎭

Najniži troškovi kojim se može ostvariti nivo proizvodnje Q=320 iznose:

4001020405ˆˆ =⋅+⋅=⋅+⋅= KpRpC MR nj, a izotroškovna prava:

804400205 =+⇒=⋅+⋅ KRKR .

229

Literatura

Andrijić, S., (2002), Matematički modeli i metode programiranja u gospodarskom društvu, treće izdanje, Synopsis, Zagreb – Sarajevo

Babić, M., (1989), Makroekonomski modeli, četvrto izdanje, Narodne novine, Zagreb

Babić, M., (1997), Mikroekonomska analiza, IV. izmijenjeno i dopunjeno izdanje, Mate, Zagreb

Babić, M., (2004), Makroekonomija, XIV. dopunjeno i izmijenjeno izdanje, Mate, Zagreb

Bahovec, V., Erjavec, N., (2009), Uvod u ekonometrijsku analizu, Element, Zagreb

Bazler-Madžar, M., (1975), „Proizvodna funkcija u kembridžskoj kontraverzi“, Ekonomska analiza, br. 1-2, Beograd

Blanchard, O., (2005), Makroekonomija, Mate, Zagreb

Chiang, A.C., (1996), Osnovne metode matematičke ekonomije, treće izdanje, Mate, Zag-reb

Cobb, C. W., Douglas, P. H., (1928), „A Theory of Production, „American Economic Review, (Suppl), vol. 18, str. 139-165

Gujarati, D.N., (2004), Econometrie, Traduction de la 4e edition americaine par Bernard Bernier, De Boeck, Bruxxelles

Horvat B., (1972), Ekonomska analiza I, Proizvodnja i tehnološki progres, Oeconomica, Beograd

Jurin, S., Šohinger, J., (1990), Teorija tržišta i cijena, Globus, Zagreb

Jovanović, A., Madžar, Lj., (2000), Osnovi teorije razbvoja i planiranja, Savremena admi-nistracija, Beograd

Madžar Lj., (1972), Osnovi teorije proizvodnje, PFV Oeconomica, Beograd

Madžar Lj., (1976a), Optimizacija u teoriji proizvodnje i privrednog rasta, Savremena ad-ministracija, Beograd

Martić, Lj., (1976b), Primjena matematičkih metoda u ekonomskoj analizi, II izdanje, In-formator, Zagreb

Madžar, Lj., (1982), Teorija i modeli agregatne tražnje, Informator, Zagreb

Mankiw, N.G., (2006), Osnove ekonomije, treće izdanje, Mate, Zagreb

Martić, Lj., (1972a), Matematičke metode za ekonomske analize I, Informator, Zagreb

Martić, Lj., (1972b), Matematičke metode za ekonomske analize II, Informator, Zagreb

230

Mignon, V., (2008), Econometrie, Theorie et application, Economica, Paris

Samuelson, Paul A., Nordhaus, William D., (2007), Ekonomija, XVIII izdanje, Mate, Zagreb

Somun-Kapetanović, R., (1986), „Doprinosi faktora proizvodnje privrednom razvoju Bosne i Hercegovine - ekonometrijski pristup i analiza“, Doktorska disertacija, Ekonomski fakul-tet, Sarajevo

Somun-Kapetanovć, R., (2008), Statistika u ekonomiji i menadžmentu, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo

Stojanović,D., (1975), Matematičke metode u ekonomiji preduzeća, Savremena administra-cija, Beograd

Vučković, Ž., Somun-Kapetanović, R., (1990), Zbirka zadaka iz Matematičkih metoda u ekonomskim istraživanjima, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo

Vučković, Ž., (2004), Ekonometrijske funkcije, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo

Vujković, T., (1976), Ekonometrijske metode i tehnike, Informator, Zagreb

Žugaj, M., et all., (2006) Temelji znanstvenoistraživačkog rada, Metodologija i metodika, Fakultet organizacije i informatike, Varaždin.

Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu Tehnike mrežnog planiranja Uvod Osnovni pojmovi u mrežnom planiranju Primjena tehnika mrežnog planiranja Analiza strukture Analiza vremena Analiza troškova Pitanja za ponavljanje Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Analiza slučaja primjenom MS Project-a

2.

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9.

2.10.

233

2.1. Uvod Povećavanje broja različitih projekata, koje je potrebno realizovati, a koji su sve složeniji i kompleksniji, uslovilo je potrebu za istraživanjem i nalaženjem metoda za njihovo optimal-no rješavanje. U prvoj fazi razvoja metoda koje omogućuju preglednost procesa realizacije projekta je dizajniran gantogram. Prvi gantogram dizajnirao je H. L. Gantt između 1910.-1915. godine. Gantogram ilustruje početni i završni datum nekih nepromjenjivih i sažetih elemenata. Sa povećanjem broja aktivnosti projekt se usložnjava, što može prouzrokovati nepreglednost i nečitljivost grafikona. To je jedan od nedostataka gantograma koji ograni-čava njegovu primjenu. Zbog toga se javila potreba za razvojem novih metoda i tehnika koje će omogućiti odgovarajući grafički prikaz kompleksnih i složenih projekata i njihovo rješavanje. Krajem pedesetih godina, razvijene su nove metode planiranja koje se nazivaju tehnike mrežnog planiranja. Ove metode se baziraju na primjeni teorije grafova, moderne algebre i statistike. Primjenom ovih metoda moguće je jednostavnije i pouzdanije pratiti odvijanje projekta, koordinirati aktivnosti na realizaciji projekta i otkrivati poteškoće koje mogu usporiti njegovu realizaciju. Osnovna prednost ovih metoda je mogućnost odvajanja pojedinih faza u njihovoj primjeni.

U osnovi razvoja tehnika mrežnog planiranja su bila dva odvojena istraživačka projekta. Metoda kritičnog puta (Critical Path Method – CPM), ili jednostavnije CPM metoda, razvi-jena je 1957. godine za potrebe hemijske industrije. Cilj razvoja ove metode je bio da se izvrši planiranje, održavanje i izgradnja fabrike hemijskih proizvoda. CPM metoda primje-njuje planiranje i realizaciju projekata kod kojih se vrijeme trajanja pojedinih aktivnosti može precizno i deterministički odrediti. U okviru istraživačkog projekta razvoja raketnog sistema Polaris, za potrebe američke mornarice 1958. godine razvijena je metoda za reali-zaciju i unapređenje upravljanja projektom. Ova metoda je poznata pod nazivom Metoda evaluacije i revizije programa (Program Evaluation and Review Technique - PERT), ili jednostavnije PERT metoda. Ova metoda je posebno značajna za planiranje projekata čije vrijeme trajanja aktivosti nije moguće deterministički odrediti.

Postoji veliki broj modifikacija ovih metoda koje se razlikuju metodološki i mogu se prila-goditi za rješavanje različitih projekata.1 Najčešće se koristi kombinacija CPM i PERT metode uz podršku različitih programskih alata, kao što je naprimjer MS Project i drugi.

Tehnika mrežnog planiranja „je naročito efikasna kada se planiraju procesi koji se jednok-ratno odvijaju, tako da se prvenstveno koristi pri planiranju naučnoistraživačkih i razvojnih projekata, osvajanju novih proizvoda, projektovanju investicionih objekata, investicione opreme (brodogradnja, velike mašine, energetska postrojenja, postrojenja za procesnu indu-striju itd.), građevinskih radova, integracionih procesa, sve do organizacije kongresa, konferencija, savjetovanja i drugih društvenih aktivnosti.“2

1 Detaljan pregled modifikovanih metoda je predstavljen u : Petrić, J., (1983), str. 4 - 5. 2 Ibid., str. 5.

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

234

2.2. Osnovni pojmovi u mrežnom planiranju Da bi se prezentovale osnovne metode u Tehnici mrežnog planiranja potrebno je definisati osnovne pojmove i kategorije i načine njihovog označavanja. Osnovni pojmovi koji će biti predstavljeni su projekt, aktivnost, događaj, matrica međuzavisnosti i mrežni dijagram.

2.2.1. Projekt Projekt se u Tehnici mrežnog planiranja definiše kao skup ekonomskih, organizacionih, tehničkih i drugih poslova usmjerenih ka realizaciji određenog složenog posla. Ekonomske mjere se odnose na troškove realizacije pojedinih aktivnosti i projekta u cjelini. Organizaci-one mjere su načini koordinacije predviđenih aktivnosti kako bi se projekt završio u predviđenom roku. Tehničke mjere podrazumijevaju tipove i obim sredstava koji se anga-žuju za izvršenje pojedinih aktivnosti istraživanog projekta.

U Tehnici mrežnog planiranja pod projektom se mogu podrazumijevati: naučno istraživački i razvojni projekti, kao naprimjer planiranje novih proizvoda, obrada istraživačkih tema, privredni projekti, planiranje kadrova i upravljanje ljudskim resursima, društveni i kulturni projekti itd. Sve je više složenijih projekata, što je posljedica ubrzanog razvoja i uvođenja novih tehnologija. Ove projekte, od kojih su mnogi izuzetno značajni kako za pojedince, tako i za društvo u cjelini, treba na efikasan i ekonomičan način realizovati. Zbog toga veli-ki značaj ima upravljanje projektima, koje podrazumijeva ne samo određivanje trajanja aktivnosti već i praćenje procesa njihove realizacije i poduzimanja određenih mjera kako bi se projekt realizovao na optimalan način.

2.2.2. Aktivnost „Aktivnost je određena etapa radnog procesa, kojom se obezbjeđuje nužan preduslov za start jedne ili više narednih aktivnosti pripadnog projekta, ili finalizira rezultat predviđen pripadnim projektom.“3 Aktivnost predstavlja dio projekta koja se posmatra kao posebna cjelina i mora biti definisana tako da se može odrediti trajanje aktivnosti, početak i završe-tak aktivnosti, kao i sredstva neophodna za njenu realizaciju. Postoji više podjela aktivnosti. Kriteriji za podjelu aktivnosti mogu biti složenost, utrošak vremena i sredstava, kritičnost i položaj u mrežnom dijagramu.

Prema složenosti, aktivnosti se dijele na složene i proste.

3 Vučković, Ž., (2003), str. 3.

OSNOVNI POJMOVI U MREŽNOM PLANIRANJU

235

Prosta aktivnost se ne može razložiti na još prostije aktivnosti. Ona se obavlja samo jednim nedjeljivim sredstvom.

Složena aktivnost zahtijeva angažovanje više različitih sredstava, pa se takva aktiv-nost može raščlaniti na više prostih aktivnosti koje se obavljaju pojedinim sredstvima. Složena aktivnost predstavlja određeni potprojekt u okviru cijelog projekta. Može se reći i da je sam projekt složena aktivnost jer se sastoji od niza prostih aktivnosti.

Prema angažovanju vremena i sredstava, aktivnosti se dijele na tri grupe: prave aktiv-nosti, aktivnosti čekanja i fiktivne aktivnosti.

Prava aktivnost je dio radnog procesa za čiju je realizaciju potrebno angažovanje sredstava i protok vremena za njihovo korištenje.

Aktivnost čekanje traži samo protok vremena (ali ne angažovanje bilo kakvih sreds-tava). Kao primjeri aktivnosti čekanje se obično navode hemijski ili biološki procesi koji se moraju odvijati poslije odgovarajućih pravih aktivnosti.

Fiktivna aktivnost je aktivnost koja ne traži angažovanje i sredstava i vremena. Ova aktivnost stvarno ne postoji jer nema vremenskog trajanja i nema troškova realizacije. Ove aktivnosti se uvode da bi se mrežni dijagram pravilno konstruisao i predstavile prave međuzavisnosti između aktivnosti. Ove aktivnosti se još nazivaju vještačke ili prividne aktivnosti.

Aktivnosti se prema kriteriju kritičnosti dijele u dvije grupe: kritične aktivnosti i nekriti-čne aktivnosti.

Kritična aktivnost mora početi u tačno određenom trenutku, mora se završiti u odre-đenom narednom trenutku i vrijeme njenog trajanja treba da bude jednako vremenskom razmaku između ova dva navedena trenutka.

Nekritična aktivnost ima trajanje kraće od vremenskog razmaka između najranijeg mogućeg početka aktivnosti i najkasnijeg mogućeg završetka aktivnosti.

Aktivnosti se dijele prema mjestu u toku izvođenja projekta na tri grupe: polazne aktiv-nosti, završne aktivnosti i ostale aktivnosti.

Polazna aktivnost ne traži prethodni završetak ni jedne druge aktivnosti u okviru is-tog projekta, pa ona može odmah početi u trenutku otpočinjanja analiziranog projekta. Sve polazne aktivnosti u projektu mogu da počnu zajedno u trenutku počet-ka projekta.

Završna aktivnost ne prethodi ni jednoj drugoj aktivnosti u istom projektu. Njenim završetkom nije uslovljeno otpočinjanje ni jedne druge aktivnosti u okviru istog pro-jekta.

Ostale aktivnosti, koje nisu ni polazne ni završne, nalaze se između odgovarajućih prethodnih i narednih aktivnosti u projektu.


236

2.2.3. Događaj Događaj je trenutak početka ili završetka jedne ili više aktivnosti. Događaj se može defini-sati i kao „vremenska koordinata, trenutak kada počinje jedna aktivnost ili istovremeno počinje više aktivnosti, odnosno trenutak kada završava jedna ili više aktivnosti.“ 4 Događaj ne zahtijeva ni utrošak sredstava ni protok vremena. Pošto je događaj vremenski trenutak, on nema vrijeme trajanja, što znači - nema aktivnosti. Kada se odredi datum događaja on predstavlja rok dešavanja događaja, odnosno rok početka ili završetka aktivnosti ili cijelog projekta.

Razlikuje se više vrsta događaja u zavisnosti od kriterija po kojem se dijele. Najčešće se koriste dva kriterija i to kriterij pozicije, odnosno položaja događaja u toku izvođenja pro-jekta i kriterij kritičnosti.

Prema položaju u toku izvođenja projekta, događaji se dijele u tri grupe: početni doga-đaj, završni događaj i ostali događaji.

Početni događaj projekta je trenutak kada otpočinje projekt, odnosno početni doga-đaj početne ili početnih aktivnosti u projektu. Početni događaj projekta je tako istovremeno početni događaj jedne ili više polaznih aktivnosti koje mogu otpočeti sa početkom projekta. Prije početnog događaja nema drugih aktivnosti u tom projetku.

Završni događaj projekta je trenutak kada završava projekt, odnosno završni događaj jedne ili više aktivnosti koje se zadnje završavaju u projetku. Poslije završnog doga-đaja nema drugih aktivnosti u tom projektu.

Ostali događaji u projektu su događaji koji su istovremeno kod pojedinih prethodnih aktivnosti završni događaji, a kod odgovarajućih narednih aktivnosti početni događaji.

Svaka aktivnost ima svoj početak i kraj, samim tim i početni i završni događaj. Početni do-gađaj je trenutak kada počinje aktivnost, a završni je trenutak kada završava. Više aktivnosti može imati zajednički početni događaj, pa mogu startati u isto vrijeme. Više ak-tivnosti može imati i zajednički završni događaj, pa se mogu završiti u istom trenutku. Može se desiti da završni događaj neke ili više aktivnosti predstavlja ujedno početni doga-đaj druge ili više aktivnosti. Svaka aktivnost, pa tim i projekt, mogu imati samo jedan početni i jedan završni događaj.

Prema kritičnosti, događaji se dijele na dvije grupe: kritični događaji i nekritični događaji.

Kritični događaj je događaj u projektu koji se mora desiti tačno u određenom trenut-ku. Ne može se desiti ni prije ni poslije tog određenog trenutka.

Nekritični događaj je događaj kod koga se razlikuju najraniji trenutak kada se događaj može desiti i najkasniji trenutak kada se događaj mora desiti. To je događaj u projektu čiji je trenutak u kojem se on može najranije desiti ispred trenutka do kojeg se on mora najkasnije desiti.

4 Radulović A., Radojević M., (1988), str. 12.

OSNOVNI POJMOVI U MREŽNOM PLANIRANJU

237

2.2.4. Matrica međuzavisnosti Matrica međuzavisnosti služi za pregledniji prikaz svih uslovljenih međusobnih neposre-dnih redoslijeda odgovarajućih aktivnosti u projektu. Njeno kompletiranje olakšava izradu mrežnog dijagrama projekta. Matrica međuzavisnosti je kvadratnog oblika i ima onoliko redova, odnosno kolona koliko ima aktivnosti u projektu.

Kvalitetno upravljanje složenim projektima zavisi o pažljivom planiranju svih aktivnosti koje je potrebno realizovati u projektu. U projektu aktivnosti mogu biti brojne, a poče-ci/završeci pojedinih aktivnosti mogu imati različite odnose (neke aktivnosti čekaju kraj prethodne aktivnosti da bi se otpočele, a druge aktivnosti počinju istovremeno s tom ak-tivnošću).

2.2.5. Mrežni dijagram Mrežni dijagram predstavlja grafički model analize strukture projekta. Sastavljen je od krugova povezanih dužima orijentisanim strelicama i konstruiše se po određenim pravilima za konstrukciju mrežnog dijagrama. Krugovi u dijagramu predstavljaju događaje, a orijenti-sane duži aktivnosti.

Mrežni dijagram se prikazuje kao usmjereni graf. Pri modeliranju mrežnih dijagrama aktiv-nosti se mogu prikazivati u granama ili u čvorovima. Osim jednostavnih informacija o slijedu pojedinih aktivnosti i njihovom trajanju, na grafovima se mogu upisivati i dodatne informacije o vremenima početka i završetka aktivnosti, najranijem početku i završetku aktivnosti i slično. Primjer jednog jednostavnog mrežnog dijagrama sa aktivnosti u grana-ma je predstavljen na grafikonu 1.

Grafikon 1. Jednostavni mrežni plan sa aktivnostima u granama

1 2

3

4

5


238

Mrežni dijagram može biti orijentisan aktivnostima ili orijentisan događajima. Dijagram orijentisan aktivnostima se češće primjenjuje, jer ima određene prednosti koje prozilaze iz definicije projekta. Zadana aktivnost u projektu mora biti ostvarena i zadatak jedne ili više aktivnosti mora biti postignut. Prije nego bilo koja aktivnost počne, sve prethodne već mo-raju biti završene. Sve aktivnosti i događaji unutar projekta povezani su dužima orijentisanim strelicama, odnosno strelicama. Dužina duži nema poseban značaj, a smjer strelice ukazuje na tok odvijanja projekta. Na grafikonu 2. je predstavljen mrežni dijagram orijentisan strelicama. U ovom poglavlju će se konstruisati mrežni dijagrami orijentisani aktivnostima.

Grafikon 2. Mrežni dijagram

Duži na grafikonu 2. koje su označene punim linijama predstavljaju prave aktivnosti i ak-tivnosti čekanja. Duži označene isprekidanim linijama predstavljaju fiktivne aktivnosti. Događaji su numerisani brojevima. Numeracija događaja se vrši rastućim redoslijedom sa lijeva na desno i odozgo prema dolje. Aktivnosti su označene nazivima aktivnost, velikim slovom, ili događajima koje povezuju.

Put u mrežnom dijagramu projekta je svaki niz vremenski neposredno nasljeđivanih aktivnosti koji povezuje početni i završni događaj.

239

2.3. Primjena tehnika mrežnog planiranja Tehnike mrežnog planiranja se primjenjuju za rješavanje problema organizacije određenih poslova koji su obično veoma složeni jer zahtijevaju obavljanje velikog broja različitih ak-tivnosti za čiju realizaciju je potrebno angažovanje i/ili utrošak različitih sredstava kao što su: rad, kapital, sirovine, alati, mašine itd. Kod optimalnog rješavanja ovakvog problema obično se nastoje ostvariti dva cilja. Prvi bi bio realizacija projekta u najkraćem roku ukoli-ko su troškovi unaprijed poznati. Drugi cilj bi mogao biti nalaženje najnižih troškova realizacije projekta za unaprijed određeno vrijeme trajanja. U prvom slučaju bi se radilo o najproduktivnijem, a u drugom najekonomičnijem rješenju problema. Da bismo pronašli optimalnu realizaciju jednog složenog posla, moraju se imati u vidu i određena ograničenja prilikom rješavanja datog problema. Neka od njih su sljedeća:5

a) Tokom takvog posla treba obaviti veliki broj različitih aktivnosti; b) Za takve aktivnosti treba imati odgovarajuća sredstva; c) Trajanje svake pojedine aktivnosti zavisi od angažovane vrste i obima takvih sredsta-

va; d) Za otpočinjanje svake od tih aktivnosti, pored potrebnih sredstava, trebaju biti obezbi-

jeđeni i drugi preduslovi, koji su najčešće rezultat jedne ili više drugih prethodnih aktivnosti u okviru ovakvog istog složenog posla;

e) Potrebno je odrediti međusobno uslovljene neposredne redoslijede odgovarajućih ak-tivnosti u okviru istog složenog posla (koja ili koje moraju biti završene da bi posmatrana aktivnost mogla otpočeti);

f) Aktivnosti koje nemaju međusobno uslovljeni neposredni ili posredni redoslijed mo-gu se vremenski paralelno obavljati, što omogućava bržu realizaciju cijelog pripadnog složenog posla.

Kako bi se složeni poslovi definisani projektom mogli realizovati, neophodno je izraditi projektni plan. Izrada projektnog plana podrazumijeva obavljanje sljedećih ativnosti:

a) Izrada strukture mrežnog plana koja obuhvata definisanje aktivnosti i modelizaciju njihovih zavisnosti;

b) Utvrđivanje resursa koji će se koristiti; c) Planiranje datuma za završetak aktivnosti u projektu; d) Utvrđivanje vremena trajanja projekta i određivanje kritičnog puta; e) Analiza troškova realizacije projekta.

Složeni poslovi, koji imaju navedene osobine, mogu se optimalno programirati primjenom tehnika mrežnog planiranja (TPM) za četiri vrste analiza koje se realizuju kao četiri faze, odnosno etape u primjeni ovih metoda. To su:

5 Vučković, Ž., (2003), str. 1-2.


240

analiza strukture, analiza vremena, analiza troškova, analiza resursa.

Navedene analize se ne obavljaju odvojeno, već kombinovano, jer se ne može znati koliko će trajati neka aktivnost ako se prethodno ne zna koja će sredstva biti angažovana za izvr-šenje određene aktivnosti. Troškovi koji će uslijediti kod izvršavanja pojedine aktivnosti zavise od vrste, obima i vremena angažovanja odgovarajućih sredstava. Analiza strukture je prva faza, ona se obavlja odvojeno od ostalih analiza i prethodi svim ostalim fazama koje je potrebno obaviti kako bi se utvrdilo optimalno rješenje.

241

2.4. Analiza strukture Analiza strukture je prva faza u primjeni tehnika mrežnog planiranja. Ova faza se sastoji iz sljedećih postupaka:

definisanje i izrada liste aktivnosti koje je potrebno završiti da bi se projekt realizovao; utvrđivanje međuzavisnosti definisanih aktivnosti; konstrukcija mrežnog dijagrama; kontrola mrežnog dijagrama.

Definisanje i izrada liste aktivnosti

Tehnika mrežnog planiranja spada u savremene naučne metode analitičke procjene realiza-cije složenih zadataka i poslova. Ove tehnike se zasnivaju na cjelovitom predstavljanju detaljno planiranih zadataka određenog projekta pomoću mrežnog dijagrama.

Prilikom primjene tehnike mrežnog planiranja projekt se, kao složen posao, razlaže na po-jedinačne sastavne poslove i zadatke. Svaki pojedinačan posao se naziva akivnost.

Prvi korak u analizi strukture je proučavanje projekta, podataka o projektu, njegovih karak-teristika, ograničenja uz koje se projekt realizuje a koji bi trebali omogućiti utvrđivanje poslova i zadataka vezanih za projekt, sastavljanje liste aktivnosti neophodnih za realizaciju projekta i utvrđivanje njihovog logičkog redoslijeda. Često se pretpostavlja da je lista ak-tivnosti neophodnih za realizaciju nekog projekta poznata na osnovu prethodnih istraživanja i iskustava. Kada to nije slučaj, neophodno je detaljno proučiti projekt i sastavi-ti listu aktivnosti od kojih se projekt sastoji. Projekt se može razložiti na osnovne etape, a zatim se svaka etapa dalje raščlanjuje na jednostavnije poslove za čiju realizaciju se zatim definišu aktivnosti. Za definisanje i sastavljanje liste aktivnosti neophodno je koristiti iskus-tva stručnjaka iz pojedinih oblasti za koje se projekt realizuje.

Međuzavisnost aktivnosti

Kada se sastavi lista aktivnosti, potrebno je utvrditi međuzavisnost aktivnosti i logički redo-slijed njihove realizacije. Osnova za konstrukciju mrežnog dijagrama je lista aktivnosti i njihova međuzavisnost. Međuzavisnost aktivnosti se obično predstavlja u matrici međuza-visnosti što olakšava konstrukciju mrežnog dijagrama.

Matrica međuzavisnosti je definisana kao pregledan prikaz svih međusobno uslovljenih neposrednih redosljeda odgovarajućih aktivnosti u projektu. Ona je kvadratnog oblika i ima onoliko redova i kolona koliko ima aktivnosti u projektu. U zaglavlju kolona i redova mat-rice se stavljaju nazivi aktivnosti.


242

Pravilo zapisivanja zavisnosti je sljedeće: aktivnosti navedene u zaglavlju kolona zavise od aktivnosti navedenih u zaglavlju redova. Zavisnost neke aktivnosti u koloni j od neke druge aktivnosti u redu i zapisujemo kao X u ćeliji i-j.

Tabela 1: Matrica međuzavisnosti

Aktivnosti A B C … A X X B X X C …

Iz matrice jednostavnije uočavamo polazne i završne aktivnosti kao i odnose zavisnosti između ostalih aktivnosti u projektu. Hronološki redosljed aktivnosti je najlakše napraviti upotrebom matrice međuzavisnosti. Sve međuzavisnosti aktivnosti se trebaju nalaziti iznad dijagonale matrice međuzavisnosti. Ukoliko se neka zavisnost nalazi ispod dijagonale, to je znak da aktivnosti nisu hronološki zapisane, pa treba promijeniti redosljed aktivnosti, ili da je projekat nemoguć. Ako se ne može napraviti redosljed aktivnosti kod koga bi se sve za-visnosti nalazile iznad dijagonale, onda to znači da u projektu imamo petlju i da se takav projekat ne može realizovati.6

Konstrukcija mrežnog dijagrama

Aktivnosti se u mrežnom dijagramu, kao što je već rečeno, označavaju linijama orijentisa-nim strelicama i povezuju događaje označene krugom i numerisane rastućim redoslijedom sa lijeva na desno i odozgo prema dolje. Ovaj način grafičkog prikazivanja omogućuje da se aktivnosti jednostavnije pronalaze u mrežnom dijagramu i vrši njihova kontrola.

Oznake za aktivnost i događaj u mrežnom dijagramu su sljedeće:

Aktivnost:

Događaj:

6 Primjer petlje je tzv. kružno definisanje zavisnosti: A zavisi od B, B zavisi od C, a C zavisi od A.

ANALIZA STRUKTURE

243

Dva događaja, događaj i i događaj j, na donjem grafikonu su povezana aktivnošću Aij. Ak-tivnost koja povezuje događaj i i događaj j se može označiti i kao aktivnost (i–j).7

Pri konstrukciji mrežnog dijagrama treba primjenjivati odgovarajuća pravila. Osnovna pra-vila za konstrukciju mrežnog dijagrama su:

1. Svaka aktivnost mora početi i završiti događajem. 2. Svaka aktivnost, kao i cijeli projekt, imaju jedan početni i jedan završni događaj. 3. Ako neka aktivnosti ne može početi prije nego što se završi neka druga aktivnost, ta-

da se te dvije aktivnosti moraju predstaviti kao redosljedni niz aktivnosti. Završni događaj prethodne aktivnosti će biti identičan sa početnim događajem naredne aktiv-nosti.

4. Ako više aktivnosti treba biti završeno da bi naredna aktivnost mogla otpočeti, tada se sve prethodne aktivnosti moraju završiti u jednom događaju koji je istovremeno poče-tni događaj naredne aktivnosti.

5. Ako više aktivnosti može otpočeti kada se završi prethodna aktivnost, tada je završni događaj te prethodne aktivnosti identičan sa početnim događajem svih narednih ak-tivnosti.

6. Dvije ili više aktivnosti ne mogu imati zajednički početni i završni događaj. Da bi se omogućilo poštovanje ovog pravila, u mrežni dijagram se uvode fiktivne aktivnosti. Uvođenje fiktivnih akivnosti osigurava jednoznačno označavanje aktivnosti i zadovo-ljenje pravila da dvije ili više aktivnosti mogu imati zajednički početni ili završni događaja, a ne mogu imati zajednički i početni i završni događaj, što je ilustrovano na sljedeći način:

Postoji više načina za uvođenje fiktivne aktivnosti. Preporučuje se uvođenje fiktivne

aktivnosti na početku niza jer to olakšava analizu vremena. 7. Ako jednim događajem završava i počinje više aktivnosti koje nisu međusobno uslov-

ljene, tada se prave zavisnosti predstavljaju pomoću fiktivnih aktivnosti. 8. Dva uzastopna događaja mogu biti povezana aktivnošću samo u jednom smjeru. 9. Aktivnost se u projektu može realizovati samo jednom. Ovo pravilo isključuje ponav-

ljanje istih aktivnosti i pojavu petlji u mrežnom dijagramu.

7 Za označavanje aktivnosti će se koristiti dvije sljedeće oznake: Aij ili (i–j).

i j i < j

B

C


244

Primjer 2.1. Formirati matricu međuzavisnosti i skicirati mrežni dijagram za sljedeće projekte:

a) Projekt se sastoji od dvije aktivnosti A i B, pri čemu aktivnost B zavisi od aktivnosti A.

U matrici međuzavisnosti navedena zavisnost se predstavlja na sljedeći način:

A B A X B

Svaka aktivnost mora početi i završiti događajem. Završetkom aktivnosti A uslovljen je početak aktivnosti B. Dakle, završni događaj aktivnosti A je istovremeno početni događaj aktivnosti B. Aktivnost B treba završiti završnim događajem. U svakom pro-jektu ima samo jedan početni i jedan završni događaj.

Na kraju numerišemo događaje:

Grafikon 2.1.a. Mrežni dijagram projekta a

b) Projekt se sastoji od aktivnosti A, B, C, D, E pri čemu aktivnostima B i C neposre-dno prethodi aktivnost A, aktivnosti D neposredno prethodi aktivnost B a aktivnosti E neposredno prethodi aktivnost C.

Matrica međuzavisnosti je oblika:

A B C D E A X X B X C X D E

1 2 3 A B

A B

ANALIZA STRUKTURE

245

Broj praznih kolona u matrici nam govori koliko imamo i koje su to polazne aktivnos-ti u projektu. Polazna aktivnost je aktivnost A.

Broj praznih redova u matrici nam govori koje su to završne aktivnosti u projektu, pa vidimo da su završne aktivnosti D i E.

U svakom projektu ima samo jedan početni i jedan završni događaj.

Grafikon 2.1.b. Mrežni dijagram projekta b

c) Projekt se sastoji od tri aktivnosti A, B i C. Međusobna neposredna zavisnost je sljedeća: B i C zavise od A.

U matrici međuzavisnosti tražena zavisnost je izražena:

A B C A X X B C

Da bi počele aktivnosti B i C aktivnost A se treba završiti. Završni događaj aktivnosti A je istovremeno početni događaj aktivnosti B i C. Aktivnost A započinje početnim događajem, a aktivnosti B i C su završne aktivnosti i njihov kraj je završni događaj.

Na narednom grafikonu je prikazan nezavršen mrežni dijagram, jer ne mogu biti dva završna događaja.

1 2

3

4

5 A

B

C

D

E


246

Grafikon 2.1.c. Nepotpun mrežni dijagram projekta c

Mrežni dijagram ćemo kompletirati uvođenjem fiktivne aktivnosti. Već je naglašeno da ove aktivnosti ne zahtijevaju novac niti protok vremena već se pojavljuju da bi se zadržala isprvna informacija o svakoj aktivnosti. Fiktivna aktivnost se na mrežnom dijagramu označava isprekidanom linijom.

Uvođenjem fiktivne aktivnosti u prethodni mrežni dijagram, dobićemo mrežni dijag-ram projekta:

Grafikon 2.1.c’. Nepotpun mrežni dijagram projekta c

d) Projekt se sastoji od tri aktivnosti A, B i C. Međusobna neposredna zavisnost je sljedeća: C zavise od A i B.

Završetkom aktivnosti A i B uslovljen je početak aktivnosti C što se u matrici među-zavisnosti predstavlja na sljedeći način:

A B C

A X B X C

1 2

3

4 A

B

C

f

1 2

3

4

A

B

C

ANALIZA STRUKTURE

247

Iz matrice vidimo da postoje dvije polazne aktivnosti (A i B) dok je završna aktiv-nost, aktivnost C. Aktivnost C zavisi i od A i od B što znači da aktivnosti A i B imaju isti početak i završetak.

Grafikon 2.1.d. Neispravan mrežni dijagram projekta d

Da bi se izbjeglo da dvije različite aktivnosti imaju i isti početak i isti završetak uvo-dimo fiktivnu aktivnost tako što jednu aktivnost (npr B) podijelimo i posmatramo kao da je fiktivna aktivnost njen neposredni prethodnik. Sada mrežni dijagram poprima oblik:

Grafikon 2.1.d’ Mrežni dijagram projekta d

Napomenimo da se fiktivna aktivnost mogla uvesti i kod aktivnosti A i ekvivalentan mrežni dijagram bi bio:

Grafikon 2.1.d’’. Mrežni dijagram projekta d

e) Projekt se sastoji od četiri aktivnosti: A, B, C, D. Međusobna neposredna zavisnost je sljedeća: C zavisi od A, D zavisi od A i B.

4 1

2

3

A

B C

f

4 1

2

3

A

B

C

f

1 2

A

B C 3


248

Matrica međuzavisnosti ima oblik:

A B C D A X X B X C D

Projekt ima dvije polazne aktivnosti: A i B i dvije završne aktivnosti: C i D.

Grafikon 2.1.e. Nepotpuni mrežni dijagram projekta e

Pošto je početak aktivnosti C uslovljen završetkom aktivnosti A, a početak aktivnosti D završetkom aktivnosti A i B postavlja se pitanje iz kojeg događaja treba krenuti ak-tivnost D? Mora se uvesti fiktivna aktivnost. Završetak aktivnosti A se fiktivno prenosi u završni događaj aktivnosti B. Završni događaj aktivnosti A i B je početni događaj aktivnosti D.

Grafikon 2.1.e'. Nepotpuni mrežni dijagram projekta

1

2

3

4

A

B

C

D

1

2

3

4

A

B

C

D ??

ANALIZA STRUKTURE

249

U mrežnom dijagramu se obično nalazi više puteva odnosno načina da se od početnog dođe do završnog događaja u projektu. Put u mrežnom dijagramu projekta je svaki niz vremensko neposredno nasljeđivanih aktivnosti koji povezuje početni i završni doga-đaj. Svaki od tih puteva ima svoje vrijeme trajanja koje se najčešće razlikuje od puta do puta. U kasnijoj analizi će nam posebno značajan biti put sa najdužim trajanjem.

Kontrola mrežnog dijagrama

Kontrolom mrežnog dijagrama se provjerava da li je dijagram pravilno konstruisan i nume-risan. Kontrola mrežnog dijagrama se vrši primjenom određenih postupaka kojim se provjerava da li su aktivnosti i događaji pravilno određeni, da li je međuzavisnost ispravno prikazana na dijagramu i da li su osnovna pravila za konstrukciju mrežnog dijagrama zado-voljena.

250

2.5. Analiza vremena Analiza strukture definiše prvu fazu primjene tehnike mrežnog planiranja i predstavlja teh-nološki model realizacije projekta. Analiza strukture predstavlja uslov i osnovu za analizu vremena i analizu troškova i nužno im prethodi. Značajna specifičnost tehnika mrežnog planiranja, u odnosu na klasične tehnike planiranja, je mogućnost potpunog razdvajanja analize strukture od analize vremena. „Razdvojenošću ovih dvaju faza obezbjeđuje se po-seban kvalitet planiranja, koji omogućuje postizanje optimalnog odnosa između tehnologije i vremena izvršenja plana, što do sada nijedna poznata klasična metoda planiranja nije omogućavala, bar ne na jedan egzaktan način kakav je primenjen u tehnici mrežnog plani-ranja“8

Analiza vremena podrazumijeva utvrđivanje vremena trajanja svake aktivnosti, izračunava-nje početaka i završetaka aktivnosti i vremena realizacije cijelog projekta.

Analiza vremena se izvodi potpuno odvojeno od analize strukture projekta, bez obzira koja metoda se primjenjuje za analizu vremena. To je značajna prednost tehnike mrežnog plani-ranja jer se izrada analize strukture, koja predstavlja tehnološki model projekta, može povjeriti stručnjacima iz date oblasti koji će ovu fazu stručno i kvalitetno realizovati. Anali-za vremena predstavlja primjenu odgovarajućih postupaka, odnosno algoritama, koju mogu izvoditi obučeni kadrovi primjenom računara. Naglasimo da sva vremena trajanja aktivnosti moraju biti izražena u istoj vremenskoj jedinici.

Za analizu vremena najčešće se primjenjuju dvije metode:

Metoda kritičnog puta CPM, PERT-TIME metoda.

2.5.1. Metoda kritičnog puta (CPM) Metoda kritičnog puta spada u determinističke metode. Da bi se primijenila ova metoda, vremena trajanja aktivnosti treba da budu tačno određena, odnosno deterministička. Vre-mena trajanja aktivnosti se određuju primjenom određenih standarda i normativa i u modelu se predstavljaju kao egzaktno mjerljiva veličina.

Za primjenu metode kritičnog puta potrebno je definisati sljedeće pojmove i simbole koji se koriste za njihovo označavanje:

Najraniji početak aktivnosti (i–j): )0(

it

Najkasniji početak aktivnosti (i–j): )1(it

8 Martinović M., Stefanović D., (1969), str. 74.

ANALIZA VREMENA

251

Najraniji završetak aktivnosti (i–j): )0(jt

Najkasniji završetak aktivnosti (i–j): )1(jt

Na sljedećem grafikonu su za aktivnost (i-j) uneseni defisani pojmovi:

Grafikon 3. Označavanje karakterističnih veličina u CPM metodi

Aktivnost (i–j) povezuje događaje i i j. Vrijeme trajanja aktivnosti (i–j) se označava se tij .

2.5.1.1. Određivanje najranijeg početka i najranijeg završetka aktivnosti

Najraniji početak aktivnosti (i–j) se označava sa )0(it . Aktivnost (i–j) može otpočeti poslije

dešavanja događaja i. Ako događaju i prethodi više aktivnosti, događaj i će se desiti kada se završi aktivnost koja najduže traje. To znači da, ukoliko u događaj i ulazi više puteva, do-gađaj se može desiti poslije završetka puta sa najdužim trajanjem. Najraniji početak aktivnosti (i–j) )0(

it će biti određen vremenom trajanja najdužeg puta koji ulazi u događaj i, odnosno vremenom trajanja one prethodne aktivnosti za čiju realizaciju je potrebno najduže vrijeme. Postupak određivanja najranijih početaka se vrši prema rastućoj numeraciji doga-đaja od početnog do završnog događaja u projektu.

Ako do događaja j vodi više puteva, tada se najraniji početak bilo koje aktivnosti koja ima j kao početni događaj9 izračunava pomoću sljedećeg izraza:

(0) (0) (0)1max ( ), 0j i ij

it t t t= + = (2.1)

gdje je: 1 ≤ i < j ≤ n, j = 2, 3, ..., n.

Najraniji završetak aktivnosti (i–j) se označava sa (0)jt i izračunava kao zbir najranijeg

početka te aktivnosti )0(it i vremena trajanja aktivnosti tij:

(0) (0)j i ijt t t= + (2.2)

9 Ovdje se može koristiti i termin najraniji trenutak u kojem se događaj j može desiti.

j )0(

it)1(

it )0(jt

)1(jt

i ?

ijt j i


252

Izraz (2.2) omogućava da se poslije određivanja najranijeg početka bilo koje aktivnosti od-redi njen najraniji završetak pošto su poznata vremena trajanja aktivnosti. Najraniji počeci aktivnosti i najraniji završeci aktivnosti se izračunavaju postepeno, polazeći od prvog do n-tog događaja u projektu i uz pretpostavku da je najraniji početak 0)0(

1 =t . Najraniji zavr-šetak cijelog projekta se označava sa )0(

nt i predstavlja najraniji trenutak dešavanja završnog događaja u projektu.

2.5.1.2. Određivanje najkasnijeg početka i najkasnijeg završetka aktivnosti

Kada se odrede najraniji počeci i najraniji završeci pojedinih aktivnosti i cijelog projekta, mogu se određivati najkasniji početak i najkasniji završetak pojedinih aktivnosti i projekta u cjelini. Najkasniji početak aktivnosti (i–j) se označava sa )1(

it , a najkasniji završetak sa )1(

jt . Da bi se odredile ove vrijednosti polazi se od pretpostavke da je u završnom događaju projekta trenutak najranijeg dešavanja događaja jednak trenutku najkasnijeg dešavanja do-gađaja tj.

)1()0(nn tt = .

Polazeći od završnog ka polaznom događaju u projektu za izračunavanje najkasnijeg počet-ka aktivnosti koristi se sljedeći izraz:

( )(1) (1) (0) (1)min ,i j ij n nj

t t t t t= − = (2.3)

gdje je 1 ≤ i < j ≤ n, i = n-1, n-2,...,2, 1.

Primjenom izraza (2.3) određuje se najkasniji završetak bilo koje aktivnosti koja prethodi događaju i. Najkasniji početak bilo koje aktivnosti (i–j) se izračunava primjenom sljedećeg izraza:

ijji ttt −= )1()1(

(2.4)

koji predstavlja specifičan slučaj izraza (2.3).

Vrijeme trajanja aktivnosti se može kretati između najranijeg početka i najkasnijeg završet-ka te aktivnosti. To vrijeme se naziva maksimalno dozvoljeno trajanje aktivnosti (i–j) i određuje se kao razlika )0()1(

ij tt − .

ANALIZA VREMENA

253

2.5.2. Vremenske rezerve Trajanje aktivnosti može da bude jednako ili manje od maksimalno dozvoljenog trajanja aktivnosti. Ukoliko je vrijeme trajanja aktivnosti jednako maksimalno dozvoljenom trajanju aktivnosti, vremenska rezerva ne postoji. Ako postoje aktivnosti kod kojih je vrijeme trajaja aktivnosti manje od maksimalno dozvoljenog vremena trajanja aktivnosti, tada te aktivnosti imaju vremensku rezervu. Postoje aktivnosti koje nemaju vremensku rezervu jer one mora-ju početi i završiti u tačno određenom trenutku i aktivnosti koje imaju vremenske rezerve. Vremenske rezerve su izuzetno značajne sa aspekta troškova realizacije projekta, ukoliko postoje vremenske rezerve vrijeme realizacije aktivnosti se može pomjeriti i time smanjiti troškovi. Postoje četiri vrste vremenskih rezervi:

a) Ukupna vremenska rezerva, b) Slobodna vremenska rezerva, c) Nezavisna vremenska rezerva, d) Uslovna (zavisna) vremenska rezerva.

Svaku od navedenih vremenskih rezervi ćemo definisati i napisati izraz za njeno izračuna-vanje, a zatim ih uporediti na šematskom prikazu.

a) Ukupna vremenska rezerva10

Ukupna vremenska rezerva se izračunava pomoću sljedećeg izraza kao razlika između naj-kasnijeg završetka i najranijeg početka i vremena trajanja aktivnosti (i–j):

( )(1) (0)( ) 0 za , 1,..., 1; 2,..., .U ij j i ijS t t t i j i n j n⎡ ⎤= − − ≥ < = − =⎣ ⎦ (2.5)

Ukupna vremenska rezerva pokazuje za koliko se vremenskih jedinica može pomjeriti izvr-šenje aktivnosti (i–j), ili za koliko se vremenskih jedinica može produžiti trajanje aktivnosti (i–j) ako njene neposredno prethodne (h- i) i neposredno naredne (j–k) aktivnosti, s obzirom na ovo produženje, zauzimaju najpovoljnije položaje )0(

it i )1(jt , a da se ne promjeni vrije-

me trajanja projekta. To znači da je ukupna vremenska rezerva jednaka vremenu za koje se može odgoditi ili produžiti izvršenje neke aktivnosti, a da to nema uticaja na završetak pro-jekta.

b) Slobodna vremenska rezerva

Kada se izračuna razlika između najranijeg završetka i najranijeg početka aktivnosti (i–j) i umanji za vrijeme trajanja aktivnosti tij, dobija se slobodna vremenska rezerva:

10 Ovdje će biti obrađeno izračunavanje vremenskih rezervi polazeći od simbola koji se koriste u CPM metodi.

Vremenske rezerve se na isti način određuju i kod PERT-TIME metode ali je potrebno koristiti odgovarajuće simbole PERT-TIME metode.


254

( )(0) (0)( ) 0 za , 1,..., 1; 2,..., .S ij j i ijS t t t i j i n j n⎡ ⎤= − − ≥ < = − =⎣ ⎦ (2.6)

Slobodna vremenska rezerva pokazuje za koliko se vremenskih jedinica može pomjeriti najraniji početak aktivnosti (i–j), ili za koliko se vremenskih jedinica može produžiti traja-nje aktivnosti (i–j), a da to ne utiče na najranije početke svih neposrednih narednih aktivnosti (j–k). To znači da je slobodna vremenska rezerva jednaka vremenu za koje se može pomjeriti rok najranijeg početka aktivnosti, a da to ne utiče na najranije moguće po-četke narednih aktivnosti. Ukoliko je ukupna vremenska rezerva za neku aktivnost jednaka 0, onda je i slobodna rezerva jenaka 0.

c) Nezavisna vremenska rezerva

Nezavisna vremenska rezerva pokazuje za koliko se vremenskih jedinica može pomjeriti rok najkasnijeg dozvoljenog početka aktivnosti (i–j), ili za koliko se vremenskih jedinica može produžiti trajanje aktivnosti (i–j), a da to ne utiče na najranije početke svih narednih aktivnosti (j–k). „Sve dok se ne iscrpi ova vremenska rezerva ijNS )( - dok ne postane = 0 - neće se javiti nikakav uticaj na vremenske odnose ostalih aktivnosti u MD projekta."11

Nezavisna vremanska rezerva se izračunava kao razlika između najranijeg završetka i naj-kasnijeg početka aktivnost (i–j) i vremena trajanja aktivnosti (i–j):

( )(0) (1)( ) , 1,..., 1; 2,..., .N ij j i ijS t t t za i j i n j n⎡ ⎤= − − < = − =⎣ ⎦ (2.7)

d) Zavisna (uslovna) vremenska rezerva

Zavisna (uslovna) vremenska rezerva se izračunava samo kod događaja. Za događaj j se izračunava prema izrazu:

( )(1) (0)( ) , 1,..., .Z j j jS t t j n= − = (2.8)

Iz navedenog izraza može se zaključiti da postoje događaji kod kojih je najraniji trenutak dešavanja događaja j jednak najkasnijem trenutku dešavanja događaja j: )1()0(

jj tt = , odnosno da postoje događaji kod kojih je zavisna vremenska rezerva jednaka nuli: ( ) 0z jS = . Ovak-ve događaje nazivamo kritični događaji.

Na sljedećem grafikonu su predstavljene ukupna, slobodna, nezavisna i uslovna vremenska rezerva:

11 Vučković, Ž., (2003), str. 24.

ANALIZA VREMENA

255

Grafikon 4. Šematski prikaz vremenskih rezervi

Grafikon 4. naglašava razlike navedenih vremenskih rezervi. Naime, ukupna vremenska rezerva, predstavljena SU elementom, pokazuje za koliko se vremenskih jedinica može pomjeriti izvršenje aktivnosti (i–j), a da to ne utiče na najranije moguće početke narednih aktivnosti. Slobodna vremenska rezerva, predstavljena SS elementom, pokazuje za koliko se vremenskih jedinica može pomjeriti najraniji početak aktivnosti (i–j), a da to ne utiče na najranije moguće početke narednih aktivnosti. Slobodna vremenska rezerva je manja od ukupne vremenske rezerve. Nezavisna vremenska rezerva, predstavljena SN elementom, pokazuje za koliko se vremenskih jedinica može pomjeriti rok najkasnijeg dozvoljenog po-četka aktivnosti (i–j), a da to ne utiče na najranije početke svih narednih aktivnosti u projetku. Nezavisna vremenska rezerva je manja od slobodne vremenske rezerve. Zavisna vremenska rezerva, predstavljena SZ elementom, predstavlja razliku između najranijeg po-četka i najkasnijeg početka aktivnosti (i–j) a odnosi se na konkretan događaj i, odnosno j.

i ijt

Najraniji

početak

aktivnosti

(i–j)

(0)it

(1)it

j (0)jt (1)

jt

(0)it

(0)it

(0)it

Najkasniji

početak

aktivnosti

(i–j)

Najraniji

završetak

aktivnosti

(i–j)

Najkasniji

završetak

aktivnosti

(i–j)

US

SS

NS

ijt

ijt

ijt(1)it

(0)jt (1)

jt

(1)jt

(0)it (1)

it( )iZS ( )jZS

(0)jt (1)

jt

(0)jt (1)

jt


256

Kritične aktivnosti i kritičan put

Aktivnost kod koje su sve vremenske rezerve jednake nuli je kritična aktivnost. Kritična aktivnost mora početi u tačno određenom trenutku i mora se završiti u određenom nared-nom trenutku i svako kašnjenje utiče na realizaciju projekta. Da bi aktivnost bila kritična treba da zadovolji sljedeće uslove:

(0) (1) (0) (1)i i j jt t i t t= = (2.9)

)0()0(ijij ttt −= (2.10)

Potreban uslov je da kritična aktivnost povezuje dva kritična događaja, što je definisano izra-zom (2.9). Kritični događaj je događaj u kome su trenuci najranijeg i najkasnijeg početka jednaki. Ako je vrijeme trajanja aktivnosti tij jednako razlici između najranijeg završetka ak-tivnosti i najranijeg početka aktivnosti slobodna vremenska rezerva je jednaka nuli (2.10). To je dovoljan uslov da bi aktivnost bila kritična.

Kako je ukupna vremenska rezerva najveća od svih rezervi (ako je ona jednaka nuli onda su i ostale rezerve jednake nuli), to se za aktivnost kaže da je kritična ako je njena ukupna vre-menska rezerva jednaka 0. Dakle, potreban i dovoljan uslov da bi aktivnost bila kritična je:

(1) (0)ij j it t t= − (2.11)

Vrijeme trajanja aktivnosti tij je jednako razlici između najkasnijeg završetka aktivnosti i najranijeg početka aktivnosti tj. maksimalno dozvoljeno vrijeme trajanja aktivnosti (i-j) je jednako njenom vremenu trajanja.

Aktivnosti koje ne zadovoljavaju uslove (2.9) i (2.10), odnosno uslov (2.11) nisu kritične aktivnosti.

Put u mrežnom dijagramu projekta je svaki niz vremenski neposredno nasljeđivanih aktiv-nosti koji povezuje početni i završni događaj. Put koji povezuje početni i završni događaj u projektu, a koji je sastavljen od kritičnih aktivnosti, predstavlja kritični put. U mrežnom dijagramu obično ima više puteva. Svaki od tih puteva ima svoje vrijeme trajanja koje se najčešće razlikuje od puta do puta. Kritični put u mrežnom dijagramu ima najduže vrijeme trajanja koje je jednako najbržoj realizaciju projekta.

Na sljedećim primjerima će biti ilustrovana analiza strukture i analiza vremena po CPM metodi.

Primjer 2.2.

Projekat »Alfa« se sastoji od šest aktivnosti: A, B, C, D, E i F. Uslovljena su otpoči-njanja sa završecima: C sa A i B; D sa A i B; E sa C; F sa D.

Vremena trajanja u danima su data u tabeli:

ANALIZA VREMENA

257

aktivnost A B C D E F tij 8 10 10 15 4 8

Kompletirati analizu strukture projekta, odrediti kritični put i odrediti najbržu realiza-ciju datog projekta.

Rješenje: Formirajmo matricu međuzavisnosti:

A B C D E F A + + B + + C + D + E F

Iz matrice vidimo da su A i B polazne aktivnosti, a E i F su završne aktivnosti. Skicirajmo mrežni dijagram i numerišimo događaje:

Grafikon 2.2. Mrežni dijagram projekta «Alfa»

Vrijeme trajanja svake aktivnosti unesimo u mrežni dijagram.

Grafikon 2.2.a. Mrežni dijagram projekta «Alfa» sa unešenim determinističkim

vremenima trajanja aktivnosti

2

1

4

3 5 610 B

C

15

8D F-

6 1

2

3

A

B

Cf

4

5 D


258

Vrijednost )(it

0 za početni događaj je uvijek nula. Da bi se odredila vrijednost )(

jt 0 za

svaki naredni događaj sabiraju se )(it

0 i ijt svake aktivnost koja povezuje događaj i i

događaj j. Ukoliko je događaj j povezan sa više neposredno prethodnih događaja i, onda se uzima veći zbir )(

it0

i ijt kao vrijednost )(jt 0 . Ovo pravilo je iskazano formu-

lom (2.1). Grafikon 2.2.b. predstavlja rezultat primjene ovog pravila.

Grafikon 2.2.b. Mrežni dijagram projekta «Alfa» sa unešenim

determinističkim vremenima trajanja.

Već sad sa nepotpunom analizom vremena, možemo utvrditi kolika je najkraća reali-zacija projekta. Taj podatak je dat u ( ) 330

6 =t , odnosno trenutak dešavanja završnog

događaja. Vrijednost )(jt 1

za završni događaj je uvijek jednaka vrijednosti )(jt 0 za za-

vršni dograđaj, pa je ( ) 3316 =t . Da bi se odredila vrijednost )(

it1

za svaki prethodni događaj potrebno je vrijeme trajanja aktivnosti koja povezuje događaj i i događaj j,

ijt , oduzeti od najkasnijeg završetka aktivnosti (i-j), odnosno od )(jt 1 . Ukoliko je do-

gađaj j povezan sa više neposredno prethodnih događaja i, onda se uzima manja razlika )(

jt 1 i ijt kao vrijednost )(

jt 0 . Grafikon 2.2.c. predstavlja rezultat primjene ovog pravila.

2

1

4

3 5 610 B

C

15 8D F

0

8

10

20

3

25 33

ANALIZA VREMENA

259

Grafikon 2.2.c. Mrežni dijagram projekta «Alfa» sa završenom analizom vremena

Na grafikon 2.2.c. smo označili kritični put. Za navedeni primjer, trajanje kritičnog puta je ( ) dana3306 =t , odnosno najbrža realizaciju projekta je 33 dana. Kritični put je put koji po-

vezuje sljedeće događaje: 1–3–5–6, ili put koji je sastavljen od sljedećih aktivnosti: B-D-F.

Primjer 2.3. Za realizaciju projekta «Beta», treba izvršiti slijedeće aktivnosti: A, B, C, D, E, F i G. Uslovljena su otpočinjanja sa završecima: B, D i F sa C; G sa B; E sa D i F; A sa E i G.

Vremena trajanja u mjesecima su data u tabeli:

aktivnost A B C D E F G

tij 4 1 3 3 4 2 5

Kompletirati analizu strukture projekta, odrediti kritični put i odrediti najbržu realiza-ciju projekta.

Rješenje: Odredimo prvo matricu međuzavisnosti:

A B C D E F G A B + C + + + D + E + F + G +

2

1

4

3 5 610

B

C

15 8

D F 0 0

-

8 10 1

10 10

1

20 29

3

25 25

333 33

5


260

Iz matrice vidimo da nisu sve međuzavisnosti aktivnosti iznad dijagonale i da bi tre-balo izmijeniti redoslijed aktivnosti. U novu matricu, ćemo zapisati prvo polazne aktivnosti, odnosno one aktivnosti koje odgovaraju praznim kolonama u matrici me-đuzavisnosti. Vidimo da je to aktivnost C. Zatim dolaze one aktivnosti kole neposredno zavise samo od C, a to su aktivnosti B, D i F. U nastavku mogu doći one aktivnosti koje zavise od prethodno napisanih, itd. Hronološki ispravan redosljed ak-tivnosti u projektu je dat u sljedećoj matrici:

C B D F G E A

C + + + B + D + F + G + E + A

Kao i u predhodnom primjeru, sad trebamo konstruisati mrežni dijagram, unijeti vremena i izračunati najbržu realizaciju projekta. Nakon popunjavanja mrežnog dijagrama potrebno je označiti i kritičan put. Pomenute aktivnosti su zabilježene na grafikonu 2.3.

Grafikon 2.3. Mrežni dijagram projekta «Beta» sa izvršenom analizom vremena

Kritični put (KP): 1-2-5-6-7 ili C-D-E-A ( ) mjeseci14=07t ⇒ Najbrža realizacija projekta je 14 mjeseci.

G 5

1 B

C 3

D 3

A 4

2 3 3

1

1 0 0

-

3 4 5

2

5 6 6

2

6 10 10 5

E 4

f F 2

4

5 6 2

7 14 14

6

ANALIZA VREMENA

261

2.5.3. PERT-TIME metoda PERT-TIME metoda se primjenjuje za analizu vremena u TMP u slučajevima kada se ne mogu tačno odrediti trajanja aktivnosti u posmatranom projektu. PERT-TIME metoda je stohastička metoda i primjenjuje se kod projekata kada se vremena trajanja aktivnosti ne mogu deterministički odrediti, ali se može procijeniti interval u kojem će se aktivnost vje-rovatno realizovati. Analiza vremena po PERT-TIME metodi se, kao i po CPM metodi, sastoji iz tri koraka:

1) Određivanje vremena trajanja aktivnosti u projektu, 2) Određivanje vremena dešavanja događaja i 3) Određivanje vremena trajanja projekta.

Razlika u primjeni PERT-TIME metode u odnosu na CPM metodu je u prvom koraku. Za razliku od CPM metode, za koju su vremena trajanja aktivnosti deterministički određena, u primjeni PERT-TIME metode potrebno je procijeniti tri vremena trajanja aktivnosti i na osnovu njih izračunati očekivano vrijeme trajanja aktivnosti. To vrijeme se realizuje uz odgovarajuću vjerovatnoću. Drugi i treći korak se primjenjuju na isti način, ali je neophod-no uvesti nove simbole kako bi se korektno označili očekivani počeci i završeci aktivnosti, odnosno odredili očekivani trenuci dešavanja događaja.

Na osnovu iskustva mogu se procijeniti tri vremena trajanja aktivnosti i to:

aij – najkraće moguće ili optimističko trajanje aktivnosti (i–j). Ovo je najkraće vrije-me za obavljanje aktivnosti. Vjerovatnoća da će se neka aktivnost završiti za vrijeme kraće od optimističkog je jednaka nuli.

mij – najvjerovatnije (modalno) trajanje aktivnosti (i–j). To je vrijeme za koje bi se aktivnost najvjerovatnije izvršila ako bi se ponavljala više puta pod istim uslovima. Ovo vrijeme ima veću vjerovatnoću izvršenja nego bilo koje od druga dva procijenje-na vremena.

bij – najduže moguće ili pesimističko trajanje aktivnosti. Ovo je najduže vrijeme izvr-šavanja aktivnosti. To je vrijeme za koje će se aktivnosti izvršiti pod najnepovoljnijim uslovima.

Iz definicija i objašnjenja optimističkog, najvjerovatnijeg i pesimističkog vremena trajanja aktivnosti slijedi odnos među analiziranim vremenima:

aij ≤ mij ≤ bij .

Optimističko vrijeme je kraće od najvjerovatnijeg koje je kraće od pesimističkog.

Pretpostavlja se da se navedena vremena trajanja aktivnosti ponašaju po β distribuciji vje-rovatnoće. Osnovna karakteristika β distribucije je da se sve vrijednosti trajanja aktivnosti nalaze u intervalu [aij, bij ]. β distribucija je predstavljena na sljedećem grafikonu:


262

Grafikon 5. β distribucija vjerovatnoća

Na osnovu tri procijenjena vremena izračunava se očekivano vrijeme trajanja aktivnosti (i-j), (te)ij, kao aritmetička sredina β distribucije vjerovatnoće:12

( )4

6ij ij ij

e ij

a m bt

+ ⋅ += (2.11)

Primjenjući izraz za varijansu β distribucije izračunava se varijansa da će aktivnost (i–j) realizovati u očekivanom vremenu (te)ij:

22

6ij ij

ij

b aσ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.12)

Izračunata varijansa predstavlja mjeru sigurnosti da će se aktivnost (i–j) izvršiti u očekiva-nom vremenu (te)ij. Varijansa aktivnosti (i–j) se definiše i kao „mjera grubosti definisanosti polaznih podataka (aij, mij, bij) za svaku aktivnost (i–j) određenog MD. “13 Manja vrijednost varijanse znači veću vjerovatnoću da će se aktivnost (i–j) realizovati za vrijeme (te)ij.

U drugom koraku primjene PERT-TIME metode za analizu vremena utvrđuju se najraniji očekivani počeci i završeci i najkasniji očekivani počeci i završeci aktivnosti (i–j). Za prim-jenu PERT-TIME metode se koriste odgovarajući simboli koji su unešeni u grafikon:

12 Detaljan izvod izraza je predstavljen u Petrić, J., (1983), str. 57-61. 13 Ibid., str. 61.

aij mij bij tij

β(tij)

(te)ij

ANALIZA VREMENA

263

Grafikon 6. Označavanje karakterističnih veličina u PERT-TIME metodi

Pošto se radi o stohastičkim vremenima trajanja aktivnosti uvode se sljedeći termini i sim-boli da bi se označili najraniji i najkasniji očekivani počeci i završeci:

iET )( najraniji očekivani početak aktivnosti (i–j), iLT )( najkasniji očekivani početak aktivnosti (i–j), jET )( najraniji očekivani završetak aktivnosti (i–j), jLT )( najkasniji očekivani završetak aktivnosti (i–j).

Utvrđivanje trenutaka dešavanja događaja i očekivanih početaka i završetaka pojedinih ak-tivnosti i cijelog projekta se vrši na isti način kao kod CPM metode. Razlika je u simbolici kako bi se napravila razlika između determinističkog i stohastičkog vremena trajanja aktiv-nosti.

Utvrđivanje najranijeg očekivanog završetka se vrši prema formuli:

max , 0

za 1 2 ...,

E j E i e ij E ii

(T ) (T ) (t ) (T )

i j n, j , n

⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

≤ < ≤ = (2.13)

Za utvrđivanje najkasnijeg očekivanog početka primjenjuje se formula:

( )

( ) min ( ) ( ) , ( ) ( )

za 1 1 ,...,1.

L i L j e ij L j E jj

T T t T T

i j n, i n

⎡ ⎤= − =⎣ ⎦

≤ < ≤ = − (2.14)

Određivanje vjerovatnoće nastupanja događaja

Primjena PERT-TIME kao stohastičke metode omogućava i procjenu vjerovatnoće ispunje-nja planiranih rokova realizacije projekta. Ako se pretpostavi da dešavanje događaja ima

i iET )(

( )ijetjET )(iLT )( jLT )( j

? i


264

zakon normalne distribucije i sa ( ) jST označi planirani rok dešavanja događaja j, tada se odgovarajući faktor vjerovatnoće zj izračunava pomoću izraza:

( ) ( )2

S Ej jj

iji j

T Tz

σ<

−=

∑ (2.15)

gdje je: zj faktor vjerovatnoće, ( ) jST planirani rok dešavanja događaja j, ( ) jET najraniji

očekivani trenutak dešavanja događaja j i ∑< ji

ij2σ zbir varijansi svih aktivnost koje prethode

događaju j, a nalaze se na putu sa najdužim trajanjem. Faktor vjerovatnoće zj je raspoređen po standardizovanoj normalnoj distribuciji zj ~ N(0, 1).

Faktor vjerovatnoće zj predstavlja vjerovatnoću da će događaj j desiti u vremenu (Ts)j i mo-že se odrediti za sve događaje u projektu. Određivanje faktora vjerovatnoće predstavlja prvi korak u određivanju vjerovatnoće. Drugi korak se sastoji u određivanju vjerovatnoće ispu-njenja postavljenih rokova na bazi izračunatih faktora vjerovatnoće. Veličina zj se aproksimativno ponaša po teorijskom zakonu normalne distribucije, pa se vjerovatnoća nastupanja događaja j u vremenu (Ts)j računa kao P(zj) iz tabela normalnog rasporeda.

Kriva vjerovatnoće P, izražena kao funkcija faktora vjerovatnoće zj, je definisana izrazom: 2

21( )2

z x

P z e dxπ

−

−∞

= ∫ (2.16)

i predstavljena na sljedećem grafikonu:14

Grafikon 7.

14 Prema: Petrić, J., (1983), str. 65 – 69. i Vučković, Ž., (2003), str. 36 – 42.

-3 -2 -1 0 1 2 3

P(z) 1,0 0,5

ANALIZA VREMENA

265

Tabela 2. Vjerovatnoće P(z)

P(z) z P(z) z P(z) z P(z) -3,0 0,0013 -1,5 0,0668 0 0,5000 1,5 0,9332 -2,9 0,0019 -1,4 0,0808 0,1 0,5398 1,6 0,9452 -2,8 0,0026 -1,3 0,0968 0,2 0,5793 1,7 0,9554 -2,7 0,0035 -1,2 0,1151 0,3 0,6179 1,8 0,9641 -2,6 0,0047 -1,1 0,1357 0,4 0,6554 1,9 0,9713 -2,5 0,0062 -1,0 0,1587 0,5 0,6915 2,0 0,9772 -2,4 0,0082 -0,9 0,1841 0,6 0,7257 2,1 0,9821 -2,3 0,0107 -0,8 0,2119 0,7 0,780 2,2 0,9861 -2,2 0,0139 -0,7 0,2420 0,8 0,7881 2,3 0,9893 -2,1 0,0179 -0,6 0,2743 0,9 0,8159 2,4 0,9918 -2,0 0,0228 -0,5 0,3085 1,0 0,8413 2,5 0,9938 -1,9 0,0287 -0,4 0,3446 1,1 0,8643 2,6 0,9953 -1,8 0,0359 -0,3 0,3821 1,2 0,8849 2,7 0,9965 -1,7 0,0446 -0,2 0,4207 1,3 0,9032 2,8 0,9974 -1,6 0,0548 -0,1 0,4602 1,4 0,9192 2,9 0,9981

3,0 0,9987

Funkcija P(z) se najčešće predstavlja u obliku tabličnih vrijednosti u zavisnosti od vrijed-nosti faktora z. U prethodnoj tabeli su predstavljene vrijednosti P(z) za vrijednosti faktora vjerovatnoće 33 ≤≤− z .

Najčešće se određuju vjerovatnoće dešavanja događaja od 25%, 50%, 75% i 100% i one se dobivaju za sljedeće vrijednosti z:

Vjerovatnoća dešavanja događaja j će biti minimalno 25 % ukoliko je z ≥ -0,675, Vjerovatnoća dešavanja događaja j će biti minimalno 50 % ukoliko je z ≥ 0, Vjerovatnoća dešavanja događaja j će biti minimalno 75 % ukoliko je z ≥ 0,675, Vjerovatnoća dešavanja događaja j će biti približno jednaka 100 % ukoliko je z ≥ 3. Za određivanje roka dešavanja događaja j uz poznatu vjerovatnoću P(z) koristi se sljedeća formula:15

( )( ) ( ) ( ){ }

10 za 1

, 1 .

S

S S e hii h hih

T i

T Max T t z h i j nσ

= =

⎡ ⎤= + + ⋅ ≤ < ≤ ≤⎣ ⎦ (2.17)

15 Prema Vučković, Ž., (2003), str 42.


266

gdje je ( )[ ]hihie zt σ⋅+ trajanje aktivnosti (h-i) sa unaprijed zadatom vjerovatnoćom P(z), a ( )hST je realizacija događaja h, koji neposredno prethodi događaju i, sa unaprijed zadatom vjerovatnoćom P(z). U tablici se za poznato P(z) nalazi odgovarajući faktor vjerovatnoće za svaki i-ti događaj koji prethodi događaju j i primjenom gornje formule određuje se odgovarajući najkraći rok dešavanja događaja j.

Rezimirajmo: Analiza vremena omogućava da se odredi ukupno vrijeme trajanja projek-ta, da se odredi kritični put i najkraće vrijeme trajanja projekta. Pored toga, analiza vremena omogućava utvrđivanje kritičnih i nekritičnih aktivnosti i određivanje vremen-skih rezervi.

Razlikujemo CPM i Pert Time metodu za analizu vremena.

Primjer 2.4.

Za realizaciju nekog projekta treba izvršiti sljedeće aktivnosti: A, B, C, D, E, F i G. Us-lovljena su otpočinjanja sa završecima: B, D i F sa C; G sa B; E sa D i F; A sa E i G.

Stohastička vremena trajanja su data u tabeli

Aktivnost A B C D E F G

aij 7 3 2 7 4 4 9 mij 8 5 4 7 8 5 10 bij 9 7 24 7 12 12 11

a) Koja je očekivana najbrža realizacija projekta?

Odgovor na ovo pitanje ćemo dobiti ako odredimo mrežni dijagram i uradimo analizu vremena sa očekivanim vremenima.

Prvo izračunajmo očekivana vremena i standardnu devijaciju za svaku aktivnost u projektu. To radimu upotrebom formula

( )6

4 ijijijije

bmat

+⋅+= i

22

6 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= ijij

ijab

σ odnosno ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

6ijij

ijab

σ .

Rezultirajuća očekivana vremena i standardne devijacije su dati u sljedećoj tabeli:

ANALIZA VREMENA

267

A B C D E F G (te)ij 8 5 7 7 8 6 10 σij 2/6 4/6 22/6 0 8/6 8/6 2/6

Odredimo matricu međuzavisnosti:

A B C D E F G A B + C + + + D + E + F + G +

Hronološki redoslijed i odgovarajući mrežni dijagram datog projekta su dati u nared-noj matrici i na grafikonu 2. 4.

C B D F G E A C + + + B + D + F + G + E + A

Grafikon 2.4. Mrežni dijagram projekta

f

C B

D

F

E A

G


268

Očekivana vremena ( )ijet upisujemo u mrežni dijagram i onda na isti način ako i kod

CPM metode određujemo najbržu očekivanu realizaciju projekta.

(TE)7 = 30 ⇒ Očekivana realizacija projekta je 30 dana.

Vjerovatnoća da će projekt trajati 30 dana je, u skladu sa formulom (2.15), 50%.

b) Koji su kritični putevi?

Projekat ima dva kritična puta i to:

KP1: 1-2-3-6-7 ili C-B-G-A KP2:1-2-5-6-7 ili C-D-E-A

c) Da li bi smjeli potpisati rok realizacije projekta od 35 dana uz vjerovatnoću ostva-renja 75% bez dodatnih ulaganja?

Dešavanja svih događaja u projektu su procjenjena sa vjerovatnoćom 50%, a sada je potrebno dešavanja tih događaja procijeniti sa 75% sigurnošću.

Koristit ćemo formulu (2.17) uz napomenu da je z = 0.675 faktor vjerovatnoće P(z) = 0,75.

(Ts)7 = 35 dana

[ ]{ }hiohiehhis ztTsT σ⋅++= )()(max)(

G 10 2/6

5 B 4/6

C 7

22/6

D 7

0

A 8 2/6

2 7 7

1

1 0 0

-

3 12 12

2

5 14 14

2

6 22 22

3,5

E 8 8/6

f F 6 8/6

4 13 14

2

7 30 30

6

ANALIZA VREMENA

269

1

2

3

4

5

1 0 ( ) 02 1 0 7 0,675 22 / 6 9,475 ( ) 9,4753 2 9,475 5 0,675 4 / 6 14,925 ( ) 14,9254 2 9,475 6 0,675 8 / 6 16,375 ( ) 16,375

2 9,475 7 0,675 0 16,475 ( ) 16,4755

4 16,375 0 0,67

i h Tsi h Tsi h Tsi h Ts

h Tsi

h

= = ⇒ == = ⇒ + + ⋅ = ⇒ == = ⇒ + + ⋅ = ⇒ =

= = ⇒ + + ⋅ = ⇒ =

= ⇒ + + ⋅ = ⇒ ==

= ⇒ + +

6

7

5 0 16,375

3 14,925 10 0,675 2 / 6 25,15 ( ) 25,3756

5 16,475 8 0,675 8 / 6 25,3757 6 25,375 8 0,675 2 / 6 33,6 ( ) 33,6

h Tsi

hi h Ts

⎧⎨ ⋅ =⎩

= ⇒ + + ⋅ = ⇒ =⎧= ⎨ = ⇒ + + ⋅ =⎩= = ⇒ + + ⋅ = ⇒ =

Najkraća moguća realizacija projekta uz vjerovatnoću 75% je 33,6 dana. Pošto je po-nuđeni rok od 35 dana veći od izračunatog to znači da bismo smjeli prihvatiti rok za realizaciju projekta od 35 dana uz vjerovatnoću 75%.

b) Odrediti ukupnu vremensku rezervu aktivnosti F i objasniti značenje dobijene vri-jednosti.

( )( ) (( ) ( ) )

( ) (14 7) 6 1U ij L j E i e ij

U F

S T T t

S

= − −

= − − =

Aktivnost F može kasniti ili trajati jedan dan duže a da to ne utiče na najraniji završe-tak projekta.

270

2.6. Analiza troškova

Analiza troškova u Tehnici mrežnog planiranja obuhvata istraživanje zavisnosti troškova pojedinih aktivnosti od vremena njihovog trajanja i troškova projekta o vremenu realizacije projekta. Za svaku pravu aktivnost, dakle aktivnost koja zahtijeva i utrošak vremena i utro-šak sredstava, treba odrediti troškove njene realizacije. Troškovi se u ovoj analizi posmatraju kao funkcija vremena, a ostali faktori kao parametri. Najpoznatija i najčešće primjenjivana metoda za analizu troškova je PERT-COST metoda.

2.6.1. PERT-COST metoda PERT-COST je metoda za analizu troškova realizacije projekta. Uz praćenje vremena tra-janja aktivnosti, neophodno je pratiti i troškove pojedinih aktivnosti, ali i projekta u cjelini. PERT-COST metoda obuhvata planiranje i praćenje direktnih troškova po aktivnostima, po nosiocima i po planskim vremenskim periodima. Osnovna ideja PERT-COST metode je detaljno planiranje potrebnih troškova, praćenje njihovog izvršenja i stalne intervencije radi svođenja na minimum eventualnih prekoračenja.16 Za primjenu PERT-COST metode i utvrđivanje kvantitativnog oblika međuzavisnosti troš-kova i vremena potrebno je definisati sljedeća četiri pojma i njihove simbole:

Normalni trošak predstavlja apsolutno najniži trošak kojim se može realizovati aktiv-nost (i–j) i označava se sa N

ijC . Normalno trajanje aktivnosti (i–j) je najkraće trajanje te aktivnosti uz normalne troš-

kove. Simbol za normalno trajanje aktivnosti je Nijt .

Usiljeno trajanje aktivnosti (i–j) predstavlja apsolutno najbržu moguću realizaciju ak-tivnosti (i–j) i označava se sa U

ijt . Usiljeni trošak je minimalni trošak sa kojim se može ostvariti usiljeno trajanje aktiv-

nosti (i–j). Usiljeni trošak se označava sa UijC .

Normalnom vremenu trajanja aktivnosti Nijt odgovaraju normalni troškovi N

ijC . Usiljenom

vremenu trajanja aktivnosti Uijt odgovaraju usiljeni troškovi U

ijC .

Funkcija troškova ( )ijij tCC = proste aktivnosti (i–j) i definisana vremena i troškovi su preds-

tavljeni na sljedećem grafikonu:

16 Radulović, A., Radojević, M., (1988), str.136.

ANALIZA TROŠKOVA

271

Grafikon 8.

Na grafikonu su predstavljene dvije ekstremne tačke N i U. Tačka N na grafikonu predstav-lja tačku čije su koordinate normalno vrijeme trajanja aktivnosti i normalni troškovi realizacije aktivnosti ( N

ijt ; NijC ).

Tačka U predstavlja tačku čije su koordinate usiljeno vrijeme trajanja aktivnosti i usiljeni troškovi realizacije aktivnosti ( U

ijt ; UijC ). Oblik veze između troškova i vremena između

tačaka N i U može da bude različit: linearan, kvadratni, eksponencijalni, stepeni i zavisi o prirodi aktivnosti i projekta koji se istražuje. Funkcija ( )ijij tCC = može imati različite obli-

ke. Zbog jednostavnosti izlaganja i objašnjenja pretpostavlja se da je veza između troškova i vremena između tačaka N i U linearna, odnosno pravolinijska i da se funkcija troškova za ak-tivnost (i–j) može napisati u sljedećem obliku:

Nij

Uijijij tttbaC ≤<⋅+= 0,

Prava troškova prolazi kroz tačke N i U, pa će jednačina ove linearne funkcije biti:

( ) ( )N Uij ijU U

ij ij ij ijN Uij ij

C CC C t t

t t−

− = ⋅ −−

N U N Uij ij ij ijU U

ij ij ij ijN U N Uij ij ij ij

C C C CC C t t

t t t t⎡ ⎤− −

= − ⋅ + ⋅ ⇒⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

0N U U Nij ij ij ij ijN U N Uij ij ij ij ij

C C C C Cb

t t t t t− − Δ

= = − = − <− − Δ

(2.18)

0

CijU

← Δtij →

↑ΔCij

↓

Cij

CijN

tijU tij

N

tij

U

N


272

Kod linearne funkcije troškova koja povezuje tačke N i U apsolutna vrijednost koeficijenta b predstavlja prosječni prirast troškova.

Razlika između normalnog i usiljenog vremena za aktivnost (i–j) pokazuje za koliko se vremenskih jedinica može maksimalno skratiti normalno trajanje N

ijt te aktivnosti

( ) 0≥−= Uij

Nijij tttΔ .

Razlika između usiljenih i normalnih troškova ( ) 0U Nij ij ijC C CΔ = − ≥ aktivnosti (i–j)

predstavlja minimalan priraštaj troškova kod navedenog skraćenja aktivnosti (i–j) za NijtΔ

vremenskih jedinica.

Određivanje jediničnog prirasta troškova

Na osnovu definisanih usiljenih i normalnih vremena trajanja pojedinih aktivnosti i usilje-nih i normalnih troškova potrebnih za realizaciju tih aktivnosti izračunava se jedinični ili prosječni prirast troškova. Jedinični prirast troškova za aktivnost (i–j) se izračunava primje-nom sljedeće formule:

0, , 1,..., -1, 2,..., .U N

ij ij ijN U

ij ij ij

C C Ci j i n j n

t t tΔ −

= ≥ < = =Δ −

(2.19)

Jedinični prirast troškova pokazuje da će, po svakoj vremenskoj jedinici skraćenja trajanja

aktivnosti, troškovi u prosjeku porasti za ij

ij

tCΔ

Δ novčanih jedinica.

Može se izraziti i recipročna vrijednost jediničnog prirasta troškova:

0, 1,..., -1, 2,..., .N U

ij ij ijU N

ij ij ij

t t ti j, i n j n

C C CΔ −

= ≥ < = =Δ −

(2.20)

Izvedeni izraz predstavlja jedinični prirast trajanja i pokazuje za koliko je prosječno potreb-no produžiti trajanje aktivnosti (i–j) po svakoj novčanoj jedinici smanjenja troškova.17

Ukupni troškovi realizacije projekta su jednaki zbiru svih troškova potrebnih za realizaciju aktivnosti u posmatranom projektu:

Nij

i jC C

<

= ∑ (2.21)

17 Vučković, Ž., (2003), str 53.

ANALIZA TROŠKOVA

273

Normalnom vremenu realizacije projekta odgovaraju normalni troškovi. U analizi troškova i iznalaženju optimalnih odnosa između vremena i troškova pojedinih aktivnosti i cijelog projekta mogu se definisati dva zadatka. Prvi bi bio realizacija projekta u određenom vre-menu uz minimalne troškove. Drugi zadatak bi bio da se za poznate troškove odredi najbrža moguća realizacija projekta.

Da bi se realizovali navedeni zadaci, potrebno je izvršiti skraćivanje trajanja projekta tako da se troškovi što manje povećaju.

Postoji nekoliko kriterija koje je pri skraćivanju potrebno primijeniti i koji će biti ilustrova-ni na numeričkim primjerima. To su:

Skraćivati vrijeme trajanja aktivnosti na kritičnom putu, sve dok ne dođe do prenoše-nja kritičnosti na neki drugi put;

Prednost pri skraćivanju dati aktivnostima koje imaju najmanji jedinični prirast troš-kova;

Kod mrežnih dijagrama koji imaju više kritičnih puteva vršiti skaraćivanje svakog od tih puteva za isti broj vremenskih jedinica;

Ukoliko se traži najbrža moguća realizacija projekta skraćivati vrijeme trajanja do ro-ka čija je donja granica usiljeno vrijeme kritičnih aktivnosti na kritičnom putu na kojem se taj rok prvo ostvari.

Na sljedećim primjerima će biti predstavljena primjena PERT-COST metode za analizu troškova u Tehnici mrežnog planiranja.

Primjer 2.5. Za realizaciju nekog projekta treba izvršiti sljedeće aktivnosti: A, B, C, D, E i F. Us-lovljena su otpočinjanja sa završecima: B i F sa E; C sa B; D sa B i F; A sa C i D.

Poznati su i sljedeći podaci:

A B C D E F Nijt 5 6 10 14 10 5 mjeseci

NijC 20 30 25 15 20 20 1000 KM Uijt 3 2 8 4 5 4 mjeseci UijC 32 50 33 45 30 23 1000 KM

Prvo treba da kompletiramo analizu strukture projekta: matricu međuzavisnosti i mre-žni dijagram


274

A B C D E F A B X X C X D X E X X F X

Hronološki poredane aktivnosti date su u sljedećoj matrici međuzavisnosti:

E B F C D A E X X B X X F X C X D X A

Odgovarajući mrežni dijagram je oblika:

U skicirani mrežni dijagram za svaku aktivnost unesemo podatke o normalnom i usi-ljenom trajanju. Ovi podaci se upisuju iznad stralice i odvajamo ih sa «;». Dakle, za svaku aktivnost upisujemo U

ijNij tt ; . Ispod strelice koja prezentuje aktivnost upisuje-

mo jedinični prirast troškova.

Jedinični prirast troškova računamo iz formule (2.19) pa imamo da je:

Aktivnosti ΔC/Δt A 6 B 5 C 4 D 3 E 2 F 3

E

f

B

F

D

C

A

ANALIZA TROŠKOVA

275

Način računanja najranijih i najkasnijih trenutaka otpočinjanja aktivnosti je isti kao i kod CPM metode ali se za polazni dijagram, odnosno za realizaciju projekta koja najmanje košta, koriste normalna vremena.

Grafikon 2.5. Mrežni dijagram projekta

Troškovi najekonomičnije realizacije projekta:

NijC 20 30 25 15 20 20 1000 KM

∑<

=ji

NijCC = 20.000 KM + 30.000 KM + 25.000 KM + 15.000 KM + 20.000 KM +

+20.000 KM = 130.000 km

Trajanje najekonomičnije realizacije projekta: ( ) mjeseci3506 =t

Kritični put je 1–2–3–4–5–6, odnosno E–B–f–D–A.

Ukoliko treba da optimalno programiramo realizaciju projekta uz određena finansij-ska sredstva, ili za određeni period, onda moramo skraćivati kritične aktivnosti u projektu. Prilikom skraćivanja aktivnosti potrebno je posebno navesti koja skraćiva-nja se vrše, redoslijed skraćivanja, za koliko vremenskih jedinica (u ovom slučaju mjeseci) se skraćuje pojedina aktivnost, kao i priraštaj troškova pri svakom skraćiva-nju.

Ako je zadatak da optimalno programiramo realizaciju projekta uz finansijska sred-stva od 157.000 KM, to znači da možemo ubrzati projekat jer imamo dovoljno finansijskih sredstava. Ubrzanje projekta ćemo postići skraćivanjem kritičnih aktiv-nosti. Postupak je sljedeći:

1 0 0

-

E 10; 5

2

6 35 35 5

3 16 16 2

2 10 10 1

4 16 16 3

5 30 30 4

f 0

B 6; 2 5

F 5; 4

3

D 14; 4

3

C 10; 8 6

A 5; 3

6


276

Odredimo sve puteve u projektu i dužine njegovih trajanja. U projektu imamo tri puta i unavešćemo njihova vremena trajanja, normalna i usiljena. Napomenimo da je nor-malno trajanje puta, najbrže trajanje uz finansijska sredstva 130.000 KM a usiljeno trajanje puta je apsolutno najbrže vrijeme za koje se aktivnosti na putu mogu izvršiti.

⎩⎨⎧

=+++=++/+/

=−−−−

⎩⎨⎧

=+++=+/++/

=−−−−

⎩⎨⎧

=++++=+/++/+/

=−−−−−

183825252631510601

65321

163445252934541501

65421

1434025252630355410601

654321

55

105

1055

III

II

I KP

Na kritičnom putu, najmanji prirast troškova ima aktivnost E, pa ćemo nju prvu skra-titi.

Kratimo aktivnost E (A12) za 5 mjeseci. Prirast troškova pri ovom skraćivanju je

ΔC1 = 5 ⋅ 2 = 10 ⇒ 10 ⋅ 1.000 =10.000 KM

Skraćivanjem aktivnosti E, skratili smo sve puteve u projektu a i sam projekat za 5 mjeseci. Sada projekat traje 30 mjeseci, a na shemi iznad vidimo da put II traje 29 mjeseci i put III traje 26 mjeseci.

Aktivnost E se ne može više skratiti.

Na kritičnom putu sa najmanjim prirastom je sada aktivnost D. Iako se ova aktivnost može skratiti za 10 mjeseci (14 – 4), ovim skraćivanjem se nabi postiglo skraćenje projekta od 10 mjeseci jer put III neće biti skraćen, a on traje 26 mjeseci.

Odavde se zaključuje da je potrebno aktivnost D skratiti ali samo onoliko mjeseci ko-liko će to uticati na projekat, odnosno za 4 mjeseca (30 – 26).

Kratimo aktivnost D (A45) za 4 mjeseca. Prirast troškova pri ovom skraćivanju je

ΔC2 = 4 ⋅ 3 = 12 ⇒ 12 ⋅ 1.000 =12.000 KM

Ovim skraćivanjem naš projekat traje 26 mjeseci i dobili smo dva puta koji traju 26 mjeseci, dakle imamo dva kritična puta.

Troškovi ubrzanja projekta do 26 mjeseci iznose:

C = 130.000 + 10.000 + 12.000 = 152.000 KM

ANALIZA TROŠKOVA

277

Možemo nastaviti sa skraćivanjem. Na raspolaganju imamo 157.000 – 152.000 = 5.000 KM.

Za nastavak kraćenja biramo aktivnosti koje omogućuju skraćivanje oba puta a istov-remeno najmanje koštaju. Biramo aktivnost B, jer se njegovim kraćenjem krate i oba kritična puta. Jedeinični priraštaj kod aktivnosti B je 5.000 KM/mj, pa to znači da je potrebno skratiti ovu aktivnost samo za 1 mjesec.

Kratimo aktivnost B (A23) za 1 mjesec. Prirast troškova pri ovom skraćivanju je

ΔC3 = 1 ⋅ 5 = 5 ⇒ 5 ⋅ 1.000 =5.000 KM

Ukupni priraštaj troškova je ΔC = 10.000 KM + 12.000 KM + 5.000 KM = 27.000 KM

Vrijeme realizacije projekta je 25 mjeseci.

Nakon ovog posljednjeg skraćivanja projekta, projekat sadrži 3 kritična puta:

1–2–3–4–5–6, 1–2–4–5–6 i 1–2–3–5–6 .

Apsolutno najbrža realizacija projekta je 18 mjeseci. Nime, put III se ne može izvršiti za vrijeme kraće od 18 mjeseci pa znači da ni projekat ne može trajati manje od 18 mjeseci.

Primjer 2.6. Kod nekog projekta aktivnosti su: A, B, C, D, E, F i G. Uslovljena su otpočinjanja sa završecima: B i E sa F i G; A sa B; D sa E; C sa A i D.


A B C D E F G Nijt 6 5 5 3 10 7 4 dana Uijt 6 2 3 2 5 4 2 dana

NijC 20 12 18 15 10 5 16 100 KM UijC 20 18 26 18 20 20 24 100 KM


278

a) Treba odrediti najekonomičniju realizaciju projekta (troškove realizacije projekta, vrijeme izvršenja i kritične puteve), i:

A B C D E F G

A + B + C D + E + F + + G + + A B C D E F G

Ct

ΔΔ - 2 4 3 2 5 4

( ) dana2507 =t

C = 9.600 KM KP: F–E–D–C

b) Treba odrediti realizaciju projekta za 20 dana (troškove realizacije i kritične pu-

teve).

7 5 6 5 23; 21; 201 3 4 6 7

4 2 6 3 15

7 10 3 5 25; 23; 21; 201 3 5 6 7

4 5 2 3 14

4 0 5 6 5 20; 18; 171 2 3 4 6 7

2 0 2 6 3 13

4 0 10 3 5 22; 20; 18; 171 2 3 5 6 7

2 0 6 2 3 13

KP

I

II

III

IV

+ + + =⎧− − − − = ⎨ + + + =⎩

+ + + =⎧− − − − = ⎨ + + + =⎩

+ + + + =⎧− − − − − = ⎨ + + + + =⎩

+ + + + =⎧− − − − − = ⎨ + + + + =⎩

F G B E A D C F + + G + + B + E + A + D + C

3 7 7

1

4 12 14

3

5 17 17

3

7 25 25 6

6; 6 A -

D 3;2 3

7; 4 F 5

B 5; 2

2

C 5; 3

4 0; 0

f -

1 0 0

-

2 4 7

1

6 20 20

5

E 10; 5

2

G 4; 2

4

ANALIZA TROŠKOVA

279

Kratimo E (A35) na KP (jer ima najniži prirast troškova) za 2 dana

⇒ ΔC1 = 2 ⋅ 2 = 400 KM

Dobili smo dva kritična puta: put II i put I. Sada imamo dvije alternativne najjeftinije varijante:

Opcija 1: Kratimo C (A67) za 2 dana ⇒ ΔC2 = 2 ⋅ 4 = 800 KM i

kratimo B i E (A34 i A35) za 1 dan ⇒ ΔC3 = 1 ⋅ (2+2) = 400 KM .

Opcija 2: Kratimo B i E (A34 i A35) za 3 dana ⇒ ΔC2 = 3 ⋅ (2+2) = 1.200 KM

Projekat traje 20 dana. Kraćenje ja završeno.

KP1: 1-3-5-6-7 KP2: 1-3-4-6-7 ( ) dana20*07 =t C*= 9.600 + 400 + 1.200 = 11.200 KM

c) Kolika je slobodna vremenska rezerva aktivnosti B i šta nam ona govori?

(Ss) = 12-5-7 = 0

Aktivnost B ne smije kasniti sa najranijim početkom jer bi to ugrozilo najranije otpo-činjanje narednih aktivnosti.

280

2.7. Pitanja za ponavljanje 1) Koje su osnovne etape u primjeni Tehnike mrežnog planiranja?

2) Napišite formulu za izračunavanje jiet ,)( ?

3) Šta je to ''početni događaj'' u projektu ?

4) Definišite projekt, aktivnost, događaj.

5) Nabrojte kriterije za podjelu aktivnosti i vrste aktivnosti.

6) Koji su potrebni i dovoljni uslovi da bi aktivnost Aij bila kritična?

7) Navesti dvije osnovne metode za analizu vremena u Tehnici mrežnog planiranja i ob-jasniti osnovne razlike između njih i kada se koja koristi.

8) Napisati izraz za izračunavanje trenutka najranijeg završetka aktivnosti Aij.

9) Napisati izraz za izračunavanje trenutka najkasnijeg početka aktivnosti Aij

10) Objasnite sljedeći izraz: ( )(1) (0)( ) 0 zaU ij j i ijS t t t i j⎡ ⎤= − − ≥ <⎣ ⎦

11) Ako se rok realizacije nekog događaja ''j'' određuje s vjerovatnoćom 1,00, koja se vri-jednost za oZ stavlja u test nejednačinu oj ZZ ≥ ?

12) Kako na osnovu matrice međuzavisnosti u TMP-u možemo saznati koje su završne aktivnosti?

13) Šta u TMP predstavlja izračunata vrijednost 2, jiσ ?

14) Objasnite sljedeći izraz: ( )(1) (0)( ) , 1,...,Z k k kS t t k n= − =

15) Ako je PERT-TIME metodom procijenjeno da projekt traje 30 dana, tada je vjerovat-noća izvršenja projekta za 33 dana:

a) veća od 50 %, b) manja od 50%, c) veća od 75%, d) manja od 75%.

16) Ukoliko je varijansa vremena trajanja aktivnosti (i–j) izračunata i iznosi σij2 = 0, onda

za ocijenjena vremena aij i bij vrijedi:

a) aij > bij, b) aij < bij, c) aij = bij.


281

17) Objasnite izraz ( ) jET ?

18) Šta predstavlja izračunata vrijednost ( ) jLT ?

19) Šta predstavlja izraz ( )iLT u TMP-u?

20) Da bi bili sigurni da je neki projekat u TMP-u ''izvodljiv'', kakva mora biti njegova ''matrica međuzavisnosti'' ?

21) Napisati formulu za određivanje vrijednosti ( )iLT .

22) Definišite kritični put ?

23) Da li svaki projekt mora imati barem jedan kritični put i zašto ?

24) U kakvom su odnosu dužina trajanja aktivnosti na kritičnom putu i dužina trajanja projekta ?

25) Napisati formulu za određivanje vrijednosti ( ) jET .

26) Napišite formulu za izračunavanje vjerovatnoće da će događaj j nastupiti u vreme-nu ( ) jST .

27) Napišite izraz za izračunavanje ukupne vremenske rezerve i objasnite ga.

28) Napišite izraz za izračunavanje slobodne rezerve i objasnite ga.

29) Koja je razlika između ukupne i slobodne vremenske rezerve ?

30) Napišite izraz za izračunavanje nezavisne vremenske rezerve i objasnite ga.

31) Definišite zavisnu (uslovnu) vremensku rezervu i objasnite je.

32) Napišite izraz za izračunavanje jediničnog prirasta troškova.

33) Objasnite izraze: CijU i tij

U i napišite kada i gdje ih koristite.

34) Slobodna vremenska rezerva aktivnosti A nam daje informaciju koliko vremenskih jedinica može:

a) kasniti otpočinjanje aktivnosti A da se ne ugrozi dužina trajanja projekta, b) produžiti aktivnost A da se ne ugrozi najranije otpočinjanje naredne aktivnosti, c) kasniti otpočinjanje aktivnosti A da se ne ugrozi najkasnije otpočinjanje naredne

aktivnosti.

35) Za svaku vremensku jedinicu skraćenja aktivnosti Aij troškovi realizacije projekta će se povećati za:

a) Δ C, b) Cij

N,


282

c) CijU,

d) Δ C/Δ t. 36) Šta je karakteristično za početni i završni događaj projekta:

a) uvijek su poznate njihove vrijednosti najranijeg i najkasnijeg otpočinjanja, b) vremenske rezerve tih događaja su pozitivne, c) u pitanju su kritični događaji, d) početni događaj ima veću vremensku rezervu nego završni događaj?


38) Objasnite sljedeće izraze: CijN, tij

N i napišite kada i gdje ih koristite.

39) Koje od spomenutih tvrdnji vezanih za kritični put projekta su tačne:

a) Vremenske rezerve na kritičnom putu su uvijek veće od nula. b) Kritični put je najkraći put u projektu. c) Može postojati najviše jedan kritični put u svakom projektu. d) Može postojati barem jedan kritični put u svakom projektu.

40) Koja od spomenutih izjava vezanih za kritični put projekta nije tačna:

a) Vremenske rezerve na kritičnom putu su nula. b) Kritičan put je najduži put u projektu. c) Svi događaji na kritičnom putu su kritični. d) Može postojati najviše jedan kritičan put u svakom projektu. e) Mora postojati barem jedan kritičan put u svakom projektu.

41) Ako se aktivnost A nalazi na kritičnom putu, onda su njene rezerve:

a) veće od jedan, b) sve iste i jednake vremenu trajanja aktivnosti A, c) sve su 0, d) manje od jedan.

42) Slobodna vremenska rezerva aktivnosti A nam daje informaciju koliko vremenskih jedinica može:

a) kasniti otpočinjanje aktivnosti A da se ne ugrozi dužina trajanja projekta, b) produžiti aktivnost A da se ne ugrozi najranije otpočinjanje naredne aktivnosti, c) kasniti otpočinjanje aktivnosti A da se ne ugrozi najkasnije otpočinjanje naredne

aktivnosti.

43) Šta je karakteristično za početni i završni događaj projekta:

a) uvijek su poznate njihove vrijednosti najranijeg i najkasnijeg otpočinjanja, b) vremenske rezerve tih događaja su pozitivne,


283

c) u pitanju su kritični događaji, d) početni događaj ima veću vremensku rezervu nego završni događaj?




47) Da bi bili sigurni da je neki projekt u TMP-u izvodljiv, kakva mora biti njegova matri-ca međuzavisnosti?

48) Kada se u TMP-u primjenjuje PERT-TIME metoda?

49) Kada se primjenjuje CPM metoda u TMP-u?

50) Kako na osnovu matrice međuzavisnosti u TMP-u možemo saznati koje su završne aktivnosti?

51) Šta predstavlja izračunata vrijednost ( ) jiet , ?

52) Napisati formulu za izračunavanje 2, jiσ ?

53) Šta predstavlja vrijednost 2, jiσ u TMP-u ?

54) Koja je razlika između CPM i PERT-TIME metode?

55) Koja je vremena potrebno poznavati za primjenu PERT-TIME metode u TMP-u?

56) Napisati formulu za izračunavanje vjerovatnoće da će događaj j nastupiti u vremenu ( ) jST .

57) Šta predstavlja izraz CijN u TMP-u?

58) Šta predstavlja izraz CijU u TMP-u?

59) Kada se koristi izraz tijU u TMP-u ?

60) Kojim troškovima odgovara vrijeme tijN u TMP-u ?


284

2.8. Zadaci za vježbu

Zadatak 2.1. Za realizaciju nekog projekta treba uraditi sljedeće aktivnosti: A, B, C, D, E, F, G i H. Uslov-ljena su otpočinjanja sa završecima: E sa B; G sa D i F; H sa F; C sa G i H; A sa C i E.

Vremena trajanja i troškovi su dati u tabeli:

Aktivnost A B C D E F G H Nijt 8 8 6 13 19 5 8 14 dana Uijt 5 6 6 7 13 3 6 14 dana

NijC 10 20 15 10 12 10 16 8 100 KM UijC 19 30 15 34 24 22 22 8 100 KM

Odrediti najekonomičniju realizaciju projekta (troškove realizacije projekta, vrijeme izvrše-nja projekta i kritične puteve).

Zadatak 2.2.

Kod nekog projekta aktivnosti su: M, N, O, P, R, S i V. Uslovljena su otpočinjanja sa zavr-šecima: N i R sa S i V; M sa N; P sa R; O sa M i P.


Aktivnost M N O P R S V Nijt 3 2,5 2,5 1,5 5 3,5 2 dana Uijt 3 1 1,5 1 2,5 2 1 dana

NijC 10 6 9 7,5 5 2,5 8 100 $ UijC 10 9 13 9 10 10 12 100 $

Treba odrediti:

a) Najekonomičniju realizaciju projekta (troškove realizacije projekta, vrijeme izvršenja i kritične puteve).

b) Realizaciju projekta za 10 dana (troškove realizacije i kritične puteve). c) Koliko dana bi trajala apsolutno najbrža realizacija projekta?

ZADACI ZA VJEŽBU

285

Zadatak 2.3. Za projekat iz zadatka 2.1.

a) Optimalno programirati realizaciju projekta sa novčanim sredstvima 12.000 KM. b) Koliko je tada trajanje projekta i koji su putevi kritični? c) Koliko dana bi trajala apsolutno najbrža realizacija projekta?

Zadatak 2.4.

Za realizaciju nekog posla treba uraditi sljedeće aktivnosti: A, B, C, D, E, F, G, H i I. Us-lovljena su otpočinjanja sa završecima: B, C, D sa A; E sa B i C; F sa C; G sa F; H sa D i F; I sa E, G i H. Poznata su i stohastička vremena trajanja ovih aktivnosti:

Aktivnosti A B C D E F G H I aij

8 4 5 13 3 9 4 7 3 dana mij

9 5 5 15 10 12 6 10 4 dana bij 10 12 5 23 11 15 8 13 11 dana

a) Kompletirati analizu strukture projekta, odrediti najkraće očekivano trajanje projekta i njegove kritične puteve.

b) Koji bi rok ostvarenja smjeli potpisati uz vjerovatnoću 100 % (bez dodatnih ulaganja)? c) Odrediti ukupnu vremensku rezervu aktivnosti B i objasniti značenje dobijene vrijed-

nosti.

Zadatak 2.5. Za realizaciju nekog posla treba uraditi sljedeće aktivnosti: A, B, C, D, E, F i G. Uslovljena su otpočinjanja sa završecima: C i A sa D; F sa A i C; E sa A; G sa B.

Poznata su i stohastička vremena trajanja ovih aktivnosti:

Aktivnosti A B C D E F G aij

5 12 5 6 3 2 2 dana mij

10 13 7 8 3 3 6 dana bij 15 20 9 10 3 4 16 dana

a) Kompletirati analizu strukture projekta, odrediti najkraće očekivano trajanje projekta i njegove kritične puteve.

b) Koji bi rok ostvarenja smjeli potpisati uz vjerovatnoću 99 % (bez dodatnih ulaganja)? c) Odrediti nezavisnu vremensku rezervu aktivnosti C i objasniti značenje dobijene vri-

jednosti.


286

Zadatak 2.6. Kod nekog projekta uočene su sljedeće aktivnosti: A, B, C, D, E, F i G. Uslovljena su otpo-činjanja sa završecima: B i C sa A; D sa B; E sa C; F sa C i D; G sa E.


Aktivnosti A B C D E F G Normalno vrijeme 8 4 6 7 9 10 8 dana Normalni trošak 4 0 2 10 13 10 10 100 KM Usiljeno vrijeme 6 4 2 7 2 5 4 dana Usiljeni trošak 12 0 18 10 20 20 30 100 KM

a) Nacrtati mrežni dijagram i odrediti vrijeme trajanja projekta koji ima najniže troško-

ve. Naznačiti kritični put (ili kritične puteve), vrijeme i troškove ove realizacije. b) Optimalno programirati realizaciju projekta sa novčanim sredstvima 6.000 KM. Koli-

ko je tada trajanje projekta i koje aktivnosti su tada kritične? c) Koliko dana bi trajala apsolutno najbrža realizacija projekta?

Zadatak 2.7. Za realizaciju nekog projekta treba izvršiti sljedeće aktivnosti: A, B, C, D, E, F i G. Uslov-ljena su otpočinjanja sa završecima: B, D i F sa C; G sa B; E sa D i F; A sa E i G.

Poznata su i stohastička vremena trajanja ovih aktivnosti:

Aktivnost A B C D E F G aij

3,5 1,5 1 3,5 2 2 4,5 mij

4 2,5 2 3,5 4 2,5 5 bij 4,5 3,5 12 3,5 6 6 5,5

a) Koja je očekivana najbrža realizacija projekta i vjerovatnoća da će se ona stvarno de-

siti i koji su kritični putevi? b) Da li bi smjeli potpisati rok realizacije projekta od 20 dana uz vjerovatnoću ostvare-

nja 75% bez dodatnih ulaganja? c) Kompletirati analizu strukture projekta i odgovarajuće podatke unijeti u mrežni dijag-

ram projekta. d) Odrediti ukupne i nezavisne vremenske rezerve nekritičnih aktivnosti.

Zadatak 2.8. Za realizaciju nekog projekta treba uraditi sljedeće aktivnosti: A, B, C, D, E, F i G. Uslov-ljena su otpočinjanja sa završecima: D i G sa E; B sa D; A i F sa G; C sa A i F.

ZADACI ZA VJEŽBU

287

Stohastička vremena trajanja aktivnosti su data u tabeli:


5 9 3 2 4 1 1 dana mij

7 10 3 4 5 2 4 dana bij 9 11 3 6 12 3 7 dana

a) Koja je očekivana najbrža realizacija projekta, koja je vjerovatnoća da će se ona

stvarno desiti i koji su kritični putevi? b) Da li bi smjeli potpisati rok realizacije projekta od 15 dana bez dodatnih ulaganja i

velikog rizika (vjerovatnoća ≥25%)? c) Odrediti ukupne vremenske rezerve nekritičnih aktivnosti. Objasniti značenje jedne

od njih.

Zadatak 2.9.

Kod nekog projekta poznate su aktivnosti: A, B, C, D, E, F i G. Uslovljena su otpočinjanja sa završecima: B sa A; C i G sa B i D; D sa E; F sa C i G.


Aktivnost A B C D E F G Nijt 4 8 10 3 8 10 5 mjeseci Uijt 2 4 5 3 6 5 1 mjeseci

NijC 10 4 2 0 10 5 4 1.000 KM UijC 20 20 12 0 22 20 12 1.000 KM

a) Kompletirati analizu strukture projekta. Optimalno programirati najekonomičniju rea-

lizaciju projekta (troškove realizacije projekta, vrijeme izvršenja i kritične puteve). b) Optimalno programirati apsolutno najbržu realizaciju projekta. Koliki su troškovi i

vrijeme potrebno za tu realizaciju? c) Vremena realizacije unijeti u poseban mrežni dijagram.

Zadatak 2.10. Za realizaciju nekog projekta treba uraditi sljedeće aktivnosti: A, B, C, D, E, F i G. Uslov-ljena su otpočinjanja sa završecima: C i F sa G; E i B sa F; D sa E i B; A sa E.

Stohastička vremena trajanja aktivnosti su data u tabeli:


288


6 8 9 2 2 1 3 dana mij

7 10 9 3 3 3 4 dana bij 8 12 9 10 4 5 9 dana

a) Koja je očekivana najbrža realizacija projekta, koja je vjerovatnoća da će se ona

stvarno desiti i koji su kritični putevi? b) Koji bi rok realizacije projekta smjeli potpisati uz vjerovatnoću 75% (bez dodatnih

ulaganja)? c) Odrediti i objasniti slobodne vremenske rezerve nekritičnih aktivnosti.

Zadatak 2.11. Kod nekog projekta poznate su aktivnosti: A, B, C, D, E, F, G i H. Uslovljena su otpočinja-nja sa završecima: C i D sa A; E sa C; F sa E i D; G sa B i C; H sa F i G.


Aktivnost A B C D E F G H Nijt 7 8 10 12 5 11 16 7 dana Uijt 7 4 5 6 5 8 11 3 dana UijC 40 30 40 32 0 40 55 50 100 $ NijC 40 22 20 14 0 37 20 26 100 $

a) Kompletirati analizu strukture projekta. b) Optimalno programirati najekonomičniju realizaciju projekta (troškove realizacije

projekta, vrijeme izvršenja i kritične puteve). c) Ako na raspolaganju imamo 20.900 $, za koliko dana se posao može najranije završiti

uz data sredstva?

Zadatak 2.12. Za realizaciju nekog posla treba uraditi sljedeće aktivnosti: A, B, C, D, E, F, G, H i I. Us-lovljena su otpočinjanja sa završecima: B, C, D sa A; E sa B i C; F sa C; G sa F; H sa D i F; I sa E, G, H. Poznata su i stohastička vremena trajanja ovih aktivnosti:

ZADACI ZA VJEŽBU

289

Aktivnost A B C D E F G H I Optimističko vrijeme 8 4 5 13 3 9 4 7 3 dana

Najvjerovatni-je vrijeme 9 5 5 15 10 12 6 10 4 dana

Pesimističko vrijeme 10 12 5 23 11 15 8 13 11 dana

a) Kompletirati analizu strukture projekta, odrediti najkraće očekivano trajanje projekta i

njegove kritične puteve. b) Koji bi rok ostvarenja smjeli potpisati uz vjerovatnoću 100 % (bez dodatnih ulaganja)? c) Odrediti ukupnu vremensku rezervu aktivnosti B i objasni značenje dobijene vrijed-

nosti.

Zadatak 2.13. Kod nekog projekta aktivnosti su: A, B, C, D, E, F i G. Uslovljena su otpočinjanja sa zavr-šecima: E sa A; F sa B i E; D sa F; C sa F i G.


Aktivnost A B C D E F G Nijt 3 2 8 7 3 4 10 dana Uijt 1 2 4 5 3 2 5 dana UijC 26 15 24 20 14 8 16 100 € NijC 20 15 8 16 14 6 6 100 €

Treba odrediti:

a) Najekonomičniju realizaciju projekta (troškove realizacije projekta, vrijeme izvršenja i kritične puteve);

b) Realizaciju projekta za 15 mjeseci (troškove realizacije i kritične puteve). c) Koliko mjeseci bi trajala apsolutno najbrža realizacija projekta?

Zadatak 2.14. Za realizaciju nekog posla treba uraditi sljedeće aktivnosti: A, B, C, D, E, F, G, H i I. Us-lovljena su otpočinjanja sa završecima: B, C, D sa A; E sa C i D; F sa D; H i G sa B i E; I sa F, G, H. Poznata su i stohastička vremena trajanja ovih aktivnosti:


290

Aktivnost A B C D E F G H I aij

8 13 5 3 3 9 4 8 3 dana mij

9 15 5 5 10 12 6 10 4 dana bij 10 23 5 7 11 15 8 12 11 dana

a) Prvo treba da kompletiramo analizu strukture projekta i odredimo najkraće očekivano

trajanje projekta, kao i njegove kritične puteve. b) Koji bi rok ostvarenja smjeli potpisati uz vjerovatnoću 75 % (bez dodatnih ulaganja)? c) Odrediti slobodnu vremensku rezervu aktivnosti E i objasniti značenje dobijene vrije-

dnosti.

291

2.9. Rješenja zadataka za vježbu

Rješenje 2.1.

A B C D E F G H

A B + C + D + E + F + + G + H +

Aktivnost A B C D E F G H Nijt 8 8 6 13 19 5 8 14 dana Uijt 5 6 6 7 13 3 6 14 dana

NijC 10 20 15 10 12 10 16 8 100 KM UijC 19 30 15 34 24 22 22 8 100 KM

tCΔΔ 3 5 - 4 2 6 3 -

B D F E G H C A B + D + F + + E + G + H + C + A

Zavisi od A C, E B - C G, H D - E B F - G D, F H F

Zavisi od B - D - F - E B G D, F H F C G, H A C, E


292

( )07 35 danat = C = 10.100 KM KP1: 1-3-6-7 ili B-E-A

KP2: 1-4-5-6-7 ili D-G-C-A Rješenje 2.2. a)

M N O P R S V M + N + O P + R + S + + V + +

tCΔΔ

- 2 4 3 2 5 4

( )07 12,5 danat = C = 4.800 $ KP: S–R–P–O

S V N R M P O S + + V + + N + R + M + P + O

3 3,5 3,5

1

4 6 7

3

5 8,5 8,5 3

7 12,5 12,5

6

M 3; 3 -

P 1,5; 1 3

S 3,5; 2 5

N 2,5; 1

2

O 2,5; 1,5

4 0; 0

f -

1 0 0

-

2 2 3,5

1

6 10 10

5

R 5; 2,5

2

V 2; 1 4

4 13 13

1

5 21 21

4

3 8 8

1

7 35 35

6

6; 6 C -

B 8;6 5

13; 7 D 4

G 8; 6

3

A 8; 5

3 F

5; 3 6

0; 0

f -

1 0 0

-

2 5 7

1

6 27 27

3,5

E 19; 13

2

H 14; 14

-


293

b)

⎩⎨⎧

=++++=++++

=−−−−−

⎩⎨⎧

=++++=++++

=−−−−−

⎩⎨⎧

=+++=+++

=−−−−

⎩⎨⎧

=+++=+++

=−−−−

65,115,2015,8;10;115,25,1502

765321IV

5,65,131015,8;105,235,202

764321III

75,115,2210;5,11;5,125,25,155,3

76531II

5,75,131210;5,115,235,25,3

76431I

KP

1. Kratimo R (A35) za 1 dana ⇒ ΔC1 = 1 ⋅ 2 ⇒ 200 $ 2. Opcija 1: Kratimo N i R (A34 i A35) za 1,5 dana ⇒ ΔC2 = 1,5 ⋅ (2+2) ⇒ 600 $

Opcija 2: Kratimo O (A67) za 1 dana ⇒ ΔC2 = 1 ⋅ 4 � 400 $ zatim kratimo N i R (A34 i A35) za 0,5 dan ⇒ ΔC3 = 0,5 ⋅ (2+2) ⇒ 200 $ .

KP1: 1-3-5-6-7 KP2: 1-3-4-6-7 ( )0 *7 10 danat = C*= 4.800 + 200 + 600 = 5.600 $

c) Apsolutno najbrža realizacija projekta je 7,5 dana.

Rješenje 2.3. a) C = 12.000 KM

⎩⎨⎧

=+++=+++

=−−−−

⎩⎨⎧

=++++=++++

=−−−−−

⎩⎨⎧

=+++=+++

=−−−−

⎩⎨⎧

=++=++

=−−−

285614330;3386145

76521IV

205660324;2786805

765421III

2456673032;3586813

76541II

24513630;32;358198

7631I

KP

KP


294

1. Kratimo A (A67) za 3 dana ⇒ ΔC1 = 3 ⋅ 3 ⇒ 900 KM 2. Kratimo E i G (A36 i A45) za 2 dana ⇒ ΔC2 = 2 ⋅ (2+3) ⇒ 1.000 KM Σ ΔC = 1.900 KM ( ) dana30*0

7 =t

Kritični putevi: KP1: 1-3-6-7 ili B-E-A KP2: 1-4-5-6-7 ili D-G-C-A KP3: 1-2-5-6-7 ili F-H-C-A

C* = C + Σ ΔC =10.100+1.900 = 12.000KM c) Apsolutno najbrža realizaciju projekta bi trajala 28 dana.

Rješenje 2.4.

a) A B C D E F G H I

A + + + B + C + + D + E + F + + G + H + I

(te)ij 9 6 5 16 9 12 6 10 5 σij 2/6 8/6 0 10/6 8/6 1 4/6 1 8/6


295

b) P(z0) = 1 ⇒ z0 = 3

[ ]{ }

hiohiehhis ztTsT σ⋅++= )()(max)(

E 8(T ) 41dan

: 1 2 3 5 6 7 8A C F f H IKP

=

1 02 1 0 9 3 1/ 3 103 2 10 5 3 0 15

2 10 6 3 4/ 3 204

3 15 0 3 0 155 3 15 12 3 1 30

2 10 16 3 5/ 3 316

5 30 0 3 0 30

4 20 9 3 4/ 3 337 5 30 6 3 2/ 3 38

6 31 10 3 1 448

i hi hi h

hi

hi h

hi

hh

i hh

i

= == = ⇒ + + ⋅ == = ⇒ + + ⋅ =

= ⇒ + + ⋅ =⎧= ⎨ = ⇒ + + ⋅ =⎩= = ⇒ + + ⋅ =

= ⇒ + + ⋅ =⎧= ⎨ = ⇒ + + ⋅ =⎩

= ⇒ + + ⋅ =⎧⎪= = ⇒ + + ⋅ =⎨⎪ = ⇒ + + ⋅ =⎩

= 7 44 5 3 4/ 3 53h = ⇒ + + ⋅ =

0)( 1 =⇒ Ts 10)( 2 =⇒ Ts

3( ) 15Ts⇒ =

20)( 4 =⇒ Ts

30)( 5 =⇒ Ts 31)( 6 =⇒ Ts

44)( 7 =⇒ Ts

53)( 8 =⇒ Ts

Sa vjerovatnoćom 100 % smjeli bi prihvatiti realizaciju projekta od 53 dana.

c) ( )( ) (( ) ( ) ) ( ) (27 9) 9 9U ij L j E i e U BijS T T t S= − − = − − =

Aktivnost B može trajati 9 dana duže ili kasniti sa otpočinjanjem 9 dana, a da se time ne ugrozi očekivano trajanje projekta od 41 dan.

Rješenje 2.5.

a) A B C D E F G

A + + B + C + D + + E F G


296

B D G A C E F (te)ij σij

B + 14 8/6 D + + 8 4/6 G 7 14/6 A + + 10 10/6 C + 7 4/6 E 3 0 F 3 2/6

E 6(T ) 21 dan

: 1 3 6

: 1 2 4 6

: 1 2 4 5 6

B GKP

D A EKP

D A f FKP

=

b) P(z0) = 0,99 ⇒ z0 = 3

[ ]{ }


2 8 8 1

C 7 2/3

D 8 2/3

A 10

5/3

E 3 0

3 F 1/3

1 0 0 -

B 14

4/3

4 18 18 2

3 14 14 1

5 18 18 4

6 21 21 3,4,5

G 7 7/3

f


297

32)(293/133255

28033254323/737183

6

25)(25030254

193/2371025

25)(253/5310102418)(183/431401310)(103/2380120)(01

6

5

4

3

2

1

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅++⇒==⋅++⇒==⋅++⇒=

=

=⇒⎩⎨⎧

=⋅++⇒==⋅++⇒=

=

=⇒=⋅++⇒===⇒=⋅++⇒===⇒=⋅++⇒===⇒==

Tshhh

i

Tshh

i

TshiTshiTshiTshi

c) (SN)C = 3

Aktivnost C može trajati 3 dana duže, ili kasniti sa otpočinjanjem 3 dana, a da se time ne ugroze vremanske rezerve narednih aktivnosti.

Rješenje 2.6.

a) A B C D E F G

A X X B X C X X D X E X F G

tCΔΔ 4 - 4 - 1 2 5

( )07 31 danat = C = 4.900 KM Kritičan put: 1–2–4–6–7

1 0 0

-

3 12 14

2

2 8 8

1

4 14 14

2

5 19 21

3

6 23 23

4

7 31 31

6

A 8; 6 4

4; 4 -

f

C 6; 2

4

D 7; 7-

E 9; 2

1

G 8; 4

5

10; 5 2 B

F


298

b) C =6.000 KM ⇒ CΔ = 11.00 KM Putevi I: 1 –2 –3 –5 –7=

⎩⎨⎧

=+++=+++225746

26;2910748

II: 1 –2 –4 –5 –7=⎩⎨⎧

=+++=+++

13502621;2410068

III: 1 –2 –4 –6 –7=⎩⎨⎧

=+++=+++

14422626;29;318968

Kraćenja: Kratimo aktivnost A46 za 2 dana ⇒ 2121 =⋅=ΔC Kratimo istovremeno aktivnosti A57 i A46 za 3 dana⇒ 9332 =⋅=ΔC ( ) dana26*07 =t Kritični putevi: 1-2-3-5-7 i 1-2-4-6-7

c) Apsolutno najbrža realizacija projekta je 22 dana.

Rješenje 2.7.

a) A B C D E F G

A B + C + + + D + E + F + G +

C B D F G E A C + + + B + D + F + G + E + A

Zavisi od C - B C D C F C G B E D, F A E, G

Zavisi od A E, G B C C - D C E D F C G B


299


3,5 1,5 1 3,5 2 2 4,5 mij

4 2,5 2 3,5 4 2,5 5 bij 4,5 3,5 12 3,5 6 6 5,5 (te)ij 4 2,5 3,5 3,5 4 3 5 σij 1/6 2/6 11/6 0 4/6 4/6 1/6

P = 50% (TE)7 = 15 dana KP1: 1-2-3-6-7 ili C-B-G-A KP2: 1-2-5-6-7 ili C-D-E-A

b)

(Ts)7 = 20 dana [ ]{ }


11 0 ( ) 0i h Ts= = ⇒ =

22 1 0 3.5 0,675 11/ 6 4,7375 ( ) 4,7375i h Ts= = ⇒ + + ⋅ = ⇒ =

33 2 4,7375 2,5 0,675 2 / 6 7,4625 ( ) 7,4625i h Ts= = ⇒ + + ⋅ = ⇒ =

44 2 4,7375 3 0,675 2 / 6 7,9625 ( ) 7,9625i h Ts= = ⇒ + + ⋅ = ⇒ =

55 2 4,7375 3,5 0,675 0 8,2375 ( ) 8,23754 7,9625 0 0,675 0 7,9625

i h Tsh

= = ⇒ + + ⋅ = ⇒ =

= ⇒ + + ⋅ =

6

6 3 7, 4625 5 0,675 1/ 6 12,5755 8, 2375 4 0,675 4 / 6 12,6875 ( ) 12,6875

i hh Ts

= = ⇒ + + ⋅ == ⇒ + + ⋅ = ⇒ =

77 6 12,6875 4 0,675 1/ 6 16,8 ( ) 16,8i h Ts= = ⇒ + + ⋅ = ⇒ =

(Ts)7 = 20 > 16,8 = (TE)7 ⇒ prihvatamo projekat c)

( ) (( ) ( ) ) ( )

( ) (7 3,5) 3 0,5U ij L j E i e ij

U F

S T T tS

= − −

= − − =

03)5,35,6()(

)())()(()(

=−−=

−−=

FN

ijEiLjEijN

S

tTTS

G 5 1/6

C 3,5

11/6

D 3,5

0

A 4

1/6 2

3,5 3,5 1

1 0 0

-

2 5 10

1

3 6 6

2

5 7 7

2

6 11 11

3,5

E 4 4/6

f 4 6,5 7

2

2,5 B 2/6

F 3 4/6

7 15 15 6


300

Rješenje 2.8. a)

A B C D E F G zavisi od E D G A F B C A + E - E + + B D E D + C G E G + + D + A G A + E + + F G F + F + B D B G + + C A, F C


5 9 3 2 4 1 1 mij

7 10 3 4 5 2 4 bij 9 11 3 6 12 3 7 (te)ij 7 10 3 4 6 2 4 σij 4/6 2/6 0 4/6 8/6 2/6 6/6

(TE)7 = 20 dana P=50% KP1: 1-2-3-7 ili E-D-B KP2: 1-2-4-6-7 ili E-G-A-C

b) (Ts)7=15 dana [ ]{ }


B 10 2/6

4 D 4/6

E 6 8/6

G 4

1

C 3 0

2 6 6

1

1 0 0

-

2 5 10

1

3 10 10

2

4 10 10

2

6 17 17

4 5

12 174

A 7 4/6

f F 2 2/6

7 20 20

3,6


301

⎩⎨⎧

=⋅−+⇒==⇒=⋅−+⇒=

=

⎩⎨⎧

=⋅−+⇒==⇒=⋅−+⇒=

=

=⇒=⋅−+⇒===⇒=⋅−+⇒===⇒=⋅−+⇒===⇒=⋅−+⇒===⇒==

975,170675,03975,146425,18)(425,186/2675,01065,83

7

2,100675,002,105975,14)(975,146/4675,07425,84

6

2,10)(2,106/2675,02425,845425,8)(425,81675,041,52465,8)(65,86/4675,041,5231,5)(1,56/8675,06012

0)(01

7

6

5

4

3

2

1

hTsh

i

hTsh

i

TshiTshiTshiTshiTshi

(Ts)7 < (TE)7 nećemo prihvatiti projekat ( )( ) (( ) ( ) )

( ) (17 10) 2 5U ij L j E i e ij

U F

S T T t

S

= − −

= − − =

Aktivnost F može kasniti ili trajati pet dana duže a da to ne utiče na najraniji završetak projekta.

Rješenje 2.9.

A B C D E F G zavisi od A E B D C G F ∆C/∆t

A + A - A + 5 B + + E - E + 6 C + B A B + + 4 D + + D E D + + - E + C B, D C + 2 F G B, D G + 2 G + F C, G F + 3

7 32 32

6

G 5; 1

2 1

0 0 -

6 22 22

5

2 4 4

1

f 0; 0 -

E 8; 6

6

3; 3 D -

F 10; 5

3

3 8 9

1

4 12 12

2

5 22 22

4 10; 5 C 2

B 8; 4

4 4; 2 A 5


302

( )07 32 mjesecat =

C* = 10.000 + 4.000 + 2.000 + 0 + 10.000 + 5.000 + 4.000 = 35.000 KM KP: A-B-C-f-F b)

⎩⎨⎧

=+++=+++

=−−−−

⎩⎨⎧

=++++=++++

=−−−−−

⎩⎨⎧

=+++=+++

=−−−−

⎩⎨⎧

=++++=++++

=−−−−−

15513619;21;2610538

76531IV

195053619;21;26;311001038

765431III

12514219;21;22;2710584

76421II

165054219;21;22;27;321001084

765421IKP

1. Kratimo C (A45) za 5 dana ⇒ ΔC1 = 5 ⋅ 2 = 10 ⇒ 10.000 KM 2. Kratimo F (A67) za 5 dana ⇒ ΔC2 = 5 ⋅ 3 = 15 ⇒ 15.000 KM 3. Kratimo B (A24) za 1 dan ⇒ ΔC3 = 1 ⋅ 4 = 4 ⇒ 4.000 KM 4. Kratimo B i E (A24

i A13) za 2 dana ⇒ ΔC4 = 2 ⋅ (4+6) = 20 ⇒ 20.000 KM Σ ΔC = 49 ⇒ 49.000 KM

( )0 *7 19 mjesecat =

C* = 84.000 KM c)

7 19 19

6

G 5; 1

1

0 0 -

6 14 14

4,5

2 4 4

1

E 6; 6

3; 3 D

F 5; 5

3 6 6

1

4 9 9 2,3

5 14 14

4 B 5; 4 4; 2

A

5; 5 C

f 0


303

Rješenje 2.10.

a) A B C D E F G zavisi od G F B E C A D

A G - E + + B + F G D + + C B F G + D E F A + + E + + C G F F + + A E B G + + D B, E C


6 8 9 2 2 1 3 dana mij

7 10 9 3 3 3 4 dana bij 8 12 9 10 4 5 9 dana (te)ij 7 10 9 4 3 3 4,7 σij 2/6 4/6 - 8/6 2/6 4/6 1

P = 50% (TE)6 = 21,7 dan KP: 1-2-3-5-6 ili G-F-B-D

[ ]{ }hiohiehhis ztTsT σ⋅++= )()(max)(

C 9 -

A 7 2/6

2 4,7 4,7

1

1 0 0

-

3 7,7 7,7

2

4 10,7 14,7

3

5 12 17

4

E 3 2/6

B 10 4/6

5 17,7 17,7

3

D 4 8/6

F 3 4/6

f -

G 4,7 1

6 21,7 21,7

5


304

a)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅++⇒==⋅++⇒=

=⇒=⋅++⇒==

⎩⎨⎧

=⋅++⇒==⇒=⋅++⇒=

=

=⇒=⋅++⇒===⇒=⋅++⇒===⇒=⋅++⇒===⇒==

175,246/8675,04275,195275,196/2675,0705,124

175,24)(375,140675,09375,526

05,120675,0005,124275,19)(275,196/4675,010825,83

5

05,12)(05,126/2675,03825,834825,8)(825,86/4675,03375.523375.5)(375.51675,07.4012

0)(01

6

5

4

3

2

1

hh

Tshi

hTsh

i

TshiTshiTshiTshi

Rok realizacije projekta koji bi smjeli potpisati uz vjerovatnoću 75% je 24,175 dana.

c)

( )ijeiEjEijS tTTS −−= ))()(()(

( ) (21,7 10,7) 7 4( ) (21,7 4,7) 9 8( ) (10,7 7,7) 3 0

s A

s C

s E

SSS

= − − == − − == − − =

Rješenje 2.11.

A B C D E F G H ∆C/∆t A + + - B + 2 C + + 4 D + 3 E + - F + 1 G + 7 H 6

( ) dana40=07t C =17.900 KM KP1: A-C-E-F-H KP2: A-C-f-G-H

7 40 40

6

B 8; 4

2

1 0 0

- 6

22 225

3 17 17

2

D 12; 6 3

f 0; 0 -

A 7; 7 -

H 7; 3

6

2 7 7

1

4 22 22

3

6 33 33

4,5

C 10; 5

4

E 5; 5 -

G 16; 11 7

F 11; 8 1

5 17 17

3


305

b)

⎩⎨⎧

=++=++

=−−−

⎩⎨⎧

=++++=++++

=−−−−−

⎩⎨⎧

=++++=++++

=−−−−−

⎩⎨⎧

=+++=+++

=−−−−

18311428;317168

7651IV

2631105734;37;407160107

765321III

283855734;37;407115107

764321II

24386734;37711127

76421I

KP

KP

1. Kratimo C (A23) za 3 dana ⇒ ΔC1 = 3 ⋅ 4 = 12 ⇒ 1.200 $

2. Kratimo H (A67) za 3 dana ⇒ ΔC2 = 3 ⋅ 6 = 18 ⇒ 1.800 $ Σ ΔC = 30 ⇒ 3.000 $

( ) dana34=*07t C* = 17.900 + 3.000 = 20.900 $

Rješenje 2.12.

a) A B C D E F G H I

A + + + B + C + + D + E + F + + G + H + I

A B C D E F G H I (te)ij 9 6 5 16 9 12 6 10 5 σij 2/6 8/6 0 10/6 8/6 1 14/6 1 8/6


306

(TE)8 = 41 dan

8I7H6f5F3C2A1:KP

b) 1

2

3

4

5

010 9 1 103

10 5 0 15410 6 3 20

max 315

15 12 3 30

T

T

T

T

T

=

= + + ⋅ =

= + + =

⎧ + + ⋅ =⎪= ⎨⎪⎩

= + + =

6

7

8

30 0 30max 510 6 3 31

3420 9 3 3362max 30 6 3 383

31 10 3 44

444 5 3 533

T

T

T

+ =⎧⎪= ⎨

+ + ⋅ =⎪⎩⎧ + + ⋅ =⎪⎪⎪= + + ⋅ =⎨⎪

+ + =⎪⎪⎩

= + + ⋅ =

Rok od 53 dana. c)

( ) 27 9 6 12

Aktivnost B može kasniti 12 dana a da pri tome ne ugrozi završetak projekta.

U BS = − − =

4 15 27

2

7 36 36

6

8 41 41

7

6 26 26

5

3 14 14

2

5 26 26

3

2 9 9

1

1 0 0

-

A 9

2/6 D

16 10/6

C 5 0

E 9 8/6

6 B 8/6

F 12 9

G 6 4/6

I 5 8/6

10 H 1

f 0

0


307

Rješenje 2.13.

a)

A B C D E F G ΔC/Δt A + 3 B + - C 4 D 2 E + - F + + 1 G + 2

b)

3 3 4 7 17; 15I 1 2 3 4 6

1 3 2 5 11

3 3 4 0 8 18; 16; 15II 1 2 3 4 5 6

1 3 2 0 4 10

2 4 7 13; 11III 1 3 4 6

2 2 5 9

2 4 0 8 14; 12IV 1 3 4 5 6

2 2 0 4 8

10 8 18; 16; 15V 1 5 6

5 4 9

+ + + =⎧− − − − = ⎨ + + + =⎩

+ + + + =⎧− − − − − = ⎨ + + + + =⎩

+ + =⎧− − − = ⎨ + + =⎩

+ + + =⎧− − − − = ⎨ + + + =⎩

+ =⎧− − = ⎨ + =⎩

A B G E F D C ΔC/Δt A + 3 B + - G + 2 E + - F + + 1 D 2 C 4

1

2

3 4

5

6 0 0

-

3 31

6 62

10 103

18 185

10 10 1;4

B 2; 2-

A 3;1 3

E 3; 3 -

G 10;5

2

D 7; 5 2

C 8; 4 4

F 4; 2

f


308

a)

( ) isecmje18=06t

C= 8.500 € KP1: 1–2–3–4–5–6 KP2: 1–5–6

1. Kratimo F i G

F i G

može za 2 ⇒ kratimo i F i G za 2 ⇒ ΔC1 = (1 + 2) ⋅ 2 = 6 ⇒ 600 €

smije za 2 2. Kratimo C

C može za 4

⇒ kratimo C za 1 ⇒ ΔC2 = 1 ⋅ 4 = 4 ⇒ 400 €

smije za 1

( ) mjeseci15=*06t C*= 8.500 + 600 + 400 = 9.500 €

Apsolutno najbrža realizacija projekta je 11 mjeseci.

Rješenje 2.14.

A B C D E F G H I (te)ij σij A + + + 9 1/3 B + + 16 5/3 C + 5 0 D + + 5 2/3 E + + 9 4/3 F + 12 1 G + 6 2/3 H + 10 2/3 I 5 4/3

(TE)8 = 40 dan : 1 2 5 7 8A B H IKP

;3


309

b) P(z0) = 0,75 ⇒ z0 = 0,675

[ ]{ }


1

2

3

4

1 0 ( ) 02 1 0 9 0,675 1/ 3 9,225 ( ) 9,2253 2 9,225 5 0,675 2/ 3 14,675 ( ) 14,675

2 14,675 0 0,675 0 14,675 ( ) 14,6754

3 9,225 5 0,675 0 14,225

2 9,225 16 0,675 5/ 3 26,355

i h Tsi h Tsi h Ts

h Tsi

hh

i

= = ⇒ == = ⇒ + + ⋅ = ⇒ == = ⇒ + + ⋅ = ⇒ =

= ⇒ + + ⋅ = ⇒ =⎧= ⎨ = ⇒ + + ⋅ =⎩

= ⇒ + + ⋅ = ⇒= 5

6

7

( ) 26,354 14,675 9 0,675 4/ 3 24,575

6 5 26,35 6 0,675 2/ 3 32,8 ( ) 32,83 14,675 12 0,675 1 27,35

7 5 26,35 10 0,675 2/ 3 36,8 ( ) 36,86 32,8 0 0,675 0 32,8

8 7 36,8 5 0,675 4

Tsh

i h Tsh

i h Tsh

i h

=⎧⎨ = ⇒ + + ⋅ =⎩

= = ⇒ + + ⋅ = ⇒ =

= ⇒ + + ⋅ =⎧⎪= = ⇒ + + ⋅ = ⇒ =⎨⎪ = ⇒ + + ⋅ =⎩

= = ⇒ + + ⋅ 8/ 3 42,7 ( ) 42,7Ts= ⇒ =

Sa vjerovatnoćom 75 % smjeli bi prihvatiti realizaciju projekta od 42,7 dana. c) 29)1425()( =−−=EsS

Aktivnost E može trajati 2 dana duže ili kasniti sa početkom dva dana, a da time ne ugrozi najranije početke narednih aktivnosti.

310

2.10. Analiza slučaja primjenom MS Project-a

U narednom dijelu ćemo predstaviti kratko uputstvo namijenjeno studentima Ekonomskog fakulteta u Sa-rajevu koje sadrži samo najosnovnije odrednice za samostalan rad u MS Project-u.18

MS Project spada u Office grupu i zbog toga je kori-snička podloga (engl. user interface) dijelom već poznata korisnicima aplikacija MS Word i MS Excel. Korisničke opcije su organizovane u meniji-ma, a one koje se češće koriste su dostupne preko trake s alatima. Korisnička podloga se može prilago-diti svakom korisniku u skladu sa njegovim načinom rada.

Nakon što pokrenemo MS Project, možemo kreirati novi projekt ili nastaviti s uređivanjem već postoje-ćeg projekta kojeg smo uredno pohranili. Novi projekt otvaramo izborom opcije New iz File menija, a nakon toga Blank Project iz okvira sa zadacima (nalazi se uz lijevu ivicu ekrana). Pored otvaranja novog, u potpunosti praznog projekta, možemo se odlučiti da iskoristimo odgovarajući primjer projekta (engl. Template).19

Nakon što počnemo novi projekt, možemo iskoristiti čarobnjaka koji se pojavljuje u okviru sa zadacima. Svrha čarobnjaka je da nam pomogne u definisanju projekta. Ukoliko želimo promijeniti parametre koje smo unijeli prilikom definisanja projekta, to svakako možemo naknadno uraditi u samom procesu planira-nja projekta.

U svakom trenutku možemo pohraniti projekt, na isti način kako to radimo u drugim MS Office progra-mima: File > Save. Datoteke u koje MS Project sprema podatke imaju ekstenziju .mpp.

18 Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci je kreirao za svoje studente veoma koristan priručnik za MS Project.

Taj priručnik nam je zbog svog efikasnog pristupa u objašnjavanju ovog programa bio vodič u kreiranju ovog dijela poglavlja.

19 Lukarić, S., (2006)

Grafikon 9.

ANALIZA SLUČAJA PRIMJENOM MS PROJECT-a

311

Prvi korak je da u ovoj početnoj fazi upišemo datum početka projekta ili krajnji rok za završe-tak projekta. To ćemo uraditi kroz sljedeće opcije: Project > Project Information > Start date ili Project > Project Information > Finish date. Grafikon 10. predstavlja prethodne opcije.

Grafikon 10.

Generalne postavke projekta dostupne su nam iz menija Tools > Options. Važno je ne mijenjati postavke za koje nismo sigurni kakav efekat ima-ju na projekt na kojem upravo radimo. Inicijalno se MS Project pokreće s uključenim prikazom gantograma. Međutim, uvijek se možemo vratiti na ovaj prikaz preko menija View > Gantt Chart. Radna površina podijeljena je na dva dijela. S lijeve strane nalazi se tablica namijenjena za uno-šenje podataka: aktivnosti i resursa. S desne strane je prostor s vremenskom linijom u kojem se kreira gantogram. Radne dane, kao i radno vri-jeme, možemo jednostavno postaviti iz menija Tools > Change Working Times. Grafikon 11.


312

Grafikon 12. Aktivnosti unosimo direktno u tablicu. Naime, kliknemo na praznu ćeliju u koloni „Task Name“ i upišemo konkretan naziv aktivnosti.

U posljednjoj lijevoj koloni po-javljuje se identifikator aktivnosti koji se pojavljuje automatski. Procijenjeno trajanje aktivnosti upisujemo u kolonu „Duration“. Sve dok sami ne definišemo tra-janje aktivnosti, MS Project upisuje pretpostavljenu vrijednost „1 day?“. Početak pojedinačnih aktivnosti program izračunava “na temelju početnog ili konač-nog datuma i trajanja prethodnih aktivnosti.” Ako kliknemo dvaput na aktivnost, onda ćemo otvoriti prozor za detaljnije postavke (gra-fikon 13. Grafikon 13.


313

Resurs u kontekstu MS Project-a može biti osoba, imovina, materijal, informacija ili kapital koji se može koristiti za postizanje cilja.

Grafikon 14.

Nakon povezivanja resursa i aktivnosti možemo dati odgovore na sljedeća pitanja:

Ko i kada radi na određenoj aktivnosti? Raspolažemo li sa količinom resursa koja odgovara obimu projekta? Očekujemo li da resurs obavlja određenu aktivnost za vrijeme kada nije na raspolaga-

nju za rad na projektu? Jesmo li resursu pridružili više aktivnosti nego što radni kapacitet tog resursa dopušta?

Raspoloživost resursa (maximum units) određuje kada i koliko određeni resurs može učes-tvovati u određenim aktivnostima. Na samom početku se postavlja vrijednost od 100%, što znači da je resurs na raspolaganju cijelo radno vrijeme. Ovaj slučaj je predstavljen za dvije osobe Senadu i Adu na grafikonu 15.


314

Grafikon 15.

Raspoloživost resursa se može prilagoditi po potrebi, kao što je to pokazano na grafikonu 16. za osobu Dado. Jediničnu cijenu definišemo ukoliko želimo izračunati iznos koštanja određenog resursa.

Grafikon 16.

MS Project će se primjeniti na konkretan problem u narednom dijelu ovog poglavlja. Mrež-ni dijagram i Gantt dijagram će biti konstruisani na osnovu skupa aktivnosti koje će se predstaviti u analizi slučaja.

Analiza slučaja Centar za zdravstvenu zaštitu porodice, Bosna i Hercegovina

Dr. Dino Dinović, zamjenik direktora Centra za zdravstvenu zaštitu porodice, dobio je za-datak za podučavanje pet timova terenskih radnika koji će implementirati obrazovne i druge


315

aktivnosti koje su dio većeg projekta koji ima za cilj prikazati prihvatljivost nove metode zaštite od virusnih infekcija.

Ovi radnici već su prošli obuku vezanu za edukaciju o virusnim infekcijama, ali moraju proći specifičnu obuku koja se odnosi na novi metod terapije. Potrebno je, također, pripre-miti i dva tipa materijala: (1) za podučavanje radnika i (2) za distribuciju na terenu. Potrebno je organizovati prevoz i smještaj učesnika, te dovesti predavače na obuku.

Dr. Dinović je sazvao sastanak administrativnog osoblja. Zajedno su odredili koje se aktiv-nosti moraju provesti, njihov redosljed i vrijeme provođenja. Zaključci sastanka su prikazani u tabeli 2.

Tabela 2. Aktivnosti Centra za planiranje porodice

Aktivnost Predhodna aktivnost

Vrijeme (radni dani)

Potrebno osoblje

A. Odrediti predavače i njihov raspored - 5 2 B. Dogovoriti transport do baze - 7 3 C. Odrediti i prikupiti materijal za tre-

ning - 5 2

D. Dogovoriti smještaj A 3 1 E. Odrediti timove A 7 4 F. Dovesti timove B, E 2 1 G. Prevesti predavače do baze A, B 3 2 H. Odštampati programski materijal C 10 6 I. Dostaviti programski materijal H 7 3 J. Upravljanje trening programom D, F, G, I 15 0 K. Održavanje treninga J 30 0

Jasmin, pomoćnik rukovodioca, je zabilježio da će projekat biti završen tokom 60 dana. Računajući na svom kalkulatoru, direktor Centra je došao do podatka da je potrebno vrije-me 64 dana i zaključio da je projekat nemoguć "zadatak".

Dr. Dinović je imao drugo mišljenje: "neki zadaci se mogu obavljati istovremeno". "Onda budi oprezan", upozorio je direktor Centra, "nema mnogo ljudi koji rade na ovom projektu. Samo nas je 10". "Ja mogu provjeriti imamo li dovoljno resursa. Pažljivo sam isplanirao svaku aktivnost", dr. Dinović je odgovorio. "Dalje, imam odobrenje od Ministarstva za fi-nansije da upotrijebim određena sredstva kako bih ubrzao aktivnosti, dok god mogu da dokažem da će to biti urađeno sa najmanjim potrebnim troškovima. Možeš li mi pomoći da to dokažem? Ovdje su troškovi aktivnosti koje smo mi planirali i troškovi i vremena ako ih smanjimo na minimum".


316

Tabela 3. Minimalna trajanja aktivnosti i troškovi aktivnosti

Normalno Minimum Aktivnost

Vrijeme Troškovi Vrijeme Troškovi

Prosječna ušteda troš-

kova po danu (KM)

A. Odrediti predavače i njihov raspored 5 400 2 2 700 100 B. Dogovoriti transport do baze 7 1000 4 1450 150 C. Odrediti i prikupiti materijal za obuku 5 400 3 500 50 D. Dogovoriti smještaj 3 2500 1 3000 250 E. Odrediti timove 7 400 4 850 150 F. Dovesti timove 2 1000 1 2000 1000 G. Prevesti predavače do baze 3 1500 2 2000 500 H. Odštampati programski materijal 10 3000 5 4000 200 I. Dostaviti programski materijal 7 200 2 600 80 J. Upravljanje programom 15 5000 10 7000 400 K. Održavanje obuke 30 10000 20 14000 400

Pitanja za diskusiju

a) Neki od zadataka u ovom projektu mogu biti urađeni istovremeno. Pripremiti dijag-ram koji pokuzuje zahtijevanu mrežu aktivnosti i definiši kritičan put.

b) Koje je trajanje projekta? c) Koji je najmanji iznos koji Dr. Dinović može potrošiti da bi implementirao zacrtani

raspored ako je kritični put duži od 60 dana? d) Da li projekat može biti izveden sa 10-članim timom?

Rješenja pitanja za diskusiju A,B,C su početne aktivnosti; D zavisi od A; E zavisi od A; F zavisi od B i E; G zavisi od A i B; H zavisi od C; I zavisi od H; J zavisi od D, F,G i I; K zavisi od J. Završna aktivnost je K. Za analizu strukture, odredit ćemo matricu međuzavisnosti i mrežni dijagram, a za analizu troškova odredit ćemo jedinični prirast troškova.


317

Tabela 4. Matrica međuzavisnosti

A B C D E F G H I J K A + + + B + + C + D + E + F + G + H + I + J + K

Tabela 5. Jedinični prirast troškova

A B C D E F G H I J K tij

N 5 7 5 3 7 2 3 10 7 15 30 Cij

N 400 1000 400 2500 400 1000 1500 3000 200 5000 10000 tij

U 2 4 3 1 4 1 2 5 2 10 20 Cij

U 700 1450 500 3000 850 2000 2000 4000 600 7000 14000

tCΔΔ 100 150 50 250 150 1000 500 200 80 400 400

Grafikon 17. Mrežni dijagram prije kraćenja (ukupno trajanje projekta 67 dana)

1 0 0

-

2 5 5

1

3 5 13

1

4 7 19

1

5 12 20 3

7 22 22

6

6 15 15

2

8 37 37

7

9 67 67

8

K 30;20

400

J 15;10

400

I 7; 2

80 D 3; 1

250 E 7; 4

150

H 10; 5

200

C 5; 3

50

G 3; 2

500

B 7; 4

150

A 5; 2

100 F 2; 1

1000 f1 0

f2 0


318

Kritični put (KP): 1 – 2 – 6 – 7 – 8 – 9

Kritični put čine sljedeće aktivnosti: odrediti i prikupiti materijal za obuku, odštampati prog-ramski materijal, dostaviti programski materijal, upravljanje programom te održavanje obuke. ( ) dana6709 =t

Najbrža realizacija projekta je 67 dana. ∑<

==ji

NijCC KM 25.400

U sljedećoj tabeli se predstavljaju ukupne i slobodne vremenske rezerve za sve aktivnosti u projetku, prije kraćenje aktivnosti.

Tabela 6.

SU SS

A 8 0 B 12 0 C 0 0 D 17 17 E 8 0 F 8 8 G 12 12 H 0 0 I 0 0 J 0 0 K 0 0


319

I (KP): 1 – 2 – 6 –7 –8 – 9 = 5 + 10 + 7 + 15 + 30 = 67 65 60 3 + 5 + 2 +10 + 20 = 40 II: 1 – 3 – 7 – 8 – 9 = 5 + 3 + 15 + 30 = 53 2 + 1 + 10 + 20 = 33 III: 1 – 3 – 5 – 7 – 8 – 9 = 5 + 7 + 2 + 15 + 30 = 59 2 + 4 + 1 + 10 + 20 = 37 IV: 1 – 4 – 7 – 8 – 9 = 7 + 3 + 15 + 30 = 55 4 + 2 + 10 + 20 = 36 V: 1 – 3 – 4 – 5 – 7 – 8 – 9 = 5 + 0 + 0 + 2 + 15 + 30 = 52 2 + 0 + 0 + 1 + 10 + 20 = 33 VI: 1 – 3 – 4 – 7 – 8 – 9 = 5 + 0 + 3 + 15 + 30 = 53 2 + 0 + 2 + 10 + 20 = 34 VII: 1 – 4 – 5 – 7 – 8 – 9 = 7 + 0 + 2 + 15 + 30 = 54 4 + 0 + 1 + 10 + 20 = 35

Kratimo aktivnost C: može se skratiti za 2 dana, smije se kratiti za 2 dana = 2 ⋅200 = 400 KM

Kratimo aktivnost I: može se skratiti za 5 dana, smije se skratiti za 5 dana = 5 ⋅80 = 400 KM

Realizacija za 60 dana će koštati: 25.400 KM + 800 KM = 26.200 KM

Grafikon 18. Mrežni dijagram (ukupno trajanje projekta skraćeno na 60 dana)

1 0 0

-

2 3 3

1

3 5 6

1

4 7 12

1

5 12 13

3

7 15 15

6

6 13 13

2

8 30 30

7

9 60 60

8

K 30;20

400

J 15;10

400

I 2

80 D 3; 1

250 E 7; 4

150

H 10; 5

200

C 3

50

G 3; 2

500

B 7; 4

150

A 5; 2

100 F 2; 1

1000 f1 0

f2 0


320

U sljedećoj tabeli se predstavljaju ukupne i slobodne vremenske rezerve za sve aktivnosti u projetku, nakon kraćenja aktivnosti.

Tabela 7.

SU SS

A 1 0 B 5 0 C 0 0 D 7 7 E 1 0 F 1 1 G 5 5 H 0 0 I 0 0 J 0 0 K 0 0

Ukupne vremenske rezerve za aktivnosti C, H, I, J i K iznose nula. Prema tome, te aktiv-nosti se ne mogu pomjeriti a da pri tome se ne utiče na najranije moguće početke njihovih narednih aktivnosti. Ostale aktivnosti imaju pozitivne ukupne vremenske rezerve i mogu se pomjerati za broj dana koliko iznose njihove odgovarajuće ukupne vremenske rezerve.

Slobodne vremenske rezerva za aktivnosti A, B, C, E, H, I, J i K iznose nula. Shodno tome, najraniji počeci tih aktivnosti se ne mogu pomjeriti a da to ne utiče na najranije moguće početke narednih aktivnosti. Ostale aktivnosti imaju pozitivne slobodne vremenske rezerve i njihovi počeci se mogu pomjeriti za broj dana koliko iznose njihove odgovarajuće slobod-ne vremenske rezerve.

U nastavku ćemo dati rješenje datog slučaja, upotrebom MS Project-a.

Aktivnosti su unijete u kolonu "Task Name", trajanja aktivnosti su unijete u kolonu "Durati-on", i početak prve aktivnosti je unijet u odgovarajuću ćeliju u koloni "Start" u kolonu "Predecessors". Potrebno je unijeti redoslijed aktivnosti.

Početak svake aktivnosti, MS Project automatski odredi u skladu sa početkom prve aktivnos-ti. Također, MS Project automatski odredi kraj svake aktivnosti u skladu sa pojedinačnim trajanjem aktivnosti. Kada se unesu zavisnosti među aktivnostima, odnosno njihov redosljed u projetku, onda dolazi do automatske izmjene u početku i kraju svake aktivnosti. Drugim riječima, datumi u kolonama "Start" i "Finish" se promjene u skladu sa releventnim informa-cijama za aktivnosti, njihova trajanja i međuzavisnosti. Sve neophodne informacije koje su unešene u radnu stranicu u MS Project-u su prikazane na sljedećoj tabeli.


321

Tabela 8. Aktivnosti Centra za zdravstvenu zaštitu porodice

Na osnovu datih informacija, u MS Project-u je napravljen mrežni dijagram na kojem su aktivnosti i njihove osobine prikazane u elementima pravougaonog oblika. Poređenjem mrežnih dijagrama na grafikonima 17. i 19., primjećujemo da je prikaz aktivnosti i događa-ja drugačiji. Pravougaoni element na grafikonu 19. predstavlja i aktivnost i događaje (početak i kraj aktivnosti), a strelica prikazuje međuzavisnost. Broj pravoukaonika na po-četku pokazuje broj polaznih aktivnosti. Grafikon 19. predstavlja mrežni dijagram za ukupno trajanje projekta 67 dana. Grafikon 20. predstavlja Gantt dijagram za ukupno traja-nje projekta 67 dana.

Gra

fikon

19.

Mre

žni d

ijagr

am (u

kupn

o tra

janj

e pr

ojek

ta 6

7 da

na)

G

rafik

on 2

0. G

antt

dija

gram

(uku

pno

traja

nje

proj

ekta

67

dana

)

2

3

2

1

4

6

2

1

3

0

0

7

14

1210

13

0

7

6 3

0

324

Na osnovu informacija iz tabele 9. potrebno je odrediti da li projekat moguće izvesti sa 10-članim timom.

Tabela 9. Potrebno osoblje za izvršenje aktivnosti Centra za planiranje porodice

Aktivnost Potrebno osoblje A. Odrediti predavače i njihov raspored 2 B. Dogovoriti transport do baze 3 C. Odrediti i prikupiti materijal za obuku 2 D. Dogovoriti smještaj 1 E. Odrediti timove 4 F. Dovesti timove 1 G. Prevesti predavače do baze 2 H. Odštampati programski materijal 6 I. Dostaviti programski materijal 3 J. Upravljanje trening programom 0 K. Održavanje obuke 0

Iz grafikona 20., koji predstavlja Gantt dijagram za ukupno trajanje projekta 67 dana, se može zaključiti da projekat nije moguće izvesti sa 10-članim timom bez korištenja informacije o vremenskoj rezervi. Naime, u periodu od srijede, 06. 01. 2010. god. do ponedjeljka, 11. 01. 2010. god. potrebno je više od 10 osoba za izradu datih aktivnosti. U tom periodu, za istov-remeno kompletiranje aktivnosti B, D, E i H (odnosno, dogovoriti transport do baze, dogovoriti smještaj, odrediti timove i odštampati programski materijal) potreno je 14 osoba. Za istovremeno kompletiranje aktivnosti D, E, G i H (odnosno, dogovoriti smještaj, odrediti timove, prevesti predavače do baze i odštampati programski materijal) potrebno je 13 osoba. Za istovremeno kompletiranje aktivnosti E, G i H (odnosno, odrediti timove, prevesti preda-vače do baze i odštampati programski materijal) potrebno je 12 osoba.

Treba provjeriti da li vremenske rezerve aktivnosti dozvoljavaju da projekat završi 10 osoba.

Znamo da aktivnost E (odrediti timove) zahtjeva 4 osobe i da je vremenska rezerva aktiv-nosti 8 dana. Ukoliko se aktivnost E pomjeri za 5 dana, projekat može završiti 10 osoba.

Dalje, ako se aktivnost E pomjeri za 5 dana (njen najraniji početak, ponedjeljak, 11. 01. 2010. god.), onda se aktivnost F mora pomjeriti za 5 dana (njen najraniji početak, ponedjeljak, 18. 01. 2010. god.). Na osnovu vremenskih rezervi obje aktivnosti vidimo da to možemo uraditi. Pomenutim pomjeranjem bi se projekat mogao izvesti sa 10–članim timom.

Ako je ukupno trajanje projekta skraćeno na 60 dana, potrebno je provjeriti da li projekat može biti izveden sa 10-članim timom? Studentima za dalju analizu slučaja ostavljamo da daju odgo-vor na ovo pitanje, detaljnijim istraživanjem alata u MS Projectu ili analizom grafikona 21.

Gra

fikon

21.

Gan

tt di

jagr

am (u

kupn

o tra

janj

e pr

ojek

ta sk

raće

no n

a 60

dan

a)

326

Literatura


Backović, M., Vuleta, J., (2004), Ekonomsko-matematički metodi i modeli, Ekonomski fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd

Chatfield, C., (2003), Microsoft Office Project 2003 Step by Step, Microsoft Press

Kennemer, B., (2004), Show Me: Microsoft Office Project 2003, QUE Publishing

Lukarić, S., (2006), Microsoft Project osnovne upute, Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka

Marmel, E., (2004), Microsoft Office Project 2003 Bible, Wiley Publishing, Inc.

Martinović M., Stefanović D., (1969), Tehnika mrežnog planiranja, Institut za organizaciju rada i automatizaciju poslovanja, Beograd

Petrić, J., (1983), Mrežno planiranje i upravljanje, Informator, Zagreb

Vučković, Ž., Somun – Kapetanović, R., (1990), Zbirka riješenih zadataka iz Matematičkih metoda u ekonomskim istraživanjima, peto izdanje, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo

Vučković, Ž., (2003), Tehnike mrežnog planiranja, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo

Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu Input-output analiza Uvod Količinska input-output analiza Vrijednosna input-output analiza Pitanja za ponavljanje Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Literatura

3.

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

329

3.1. Uvod Input-output analizu je razvio Wassily Leontief1 kome je Akademija Kraljevine Švedske dodijelila Nobelovu nagradu 1973. godine za razvoj input-output metode i njenu primjenu u rješavanju značajnih ekonomskih problema. Leontief je 1919. i 1929. godine izradio input-output tabele za privredu SAD-a.2

Teoretska razmišljanja o input-output analizi datiraju prije Leontijeva. U 18. stoljeću fran-cuski ekonomista Francois Quesnay3 je koristio svoje čuvene „ekonomske tabele“ kako bi ilustrovao relacije koje postoje između poljoprivrednog i drugih sektora. Stotinu godina kasnije Karl Marx4 je analizirao veze između industrijskih grana koje su proizvodile inves-ticijska dobra i onih koji su proizvodili dobra za potrošnju. Francuski ekonomista Leon Walras5 je u formulisanju generalne ravnoteže u jednoj ekonomiji koristio koncept koji je blizak konceptu tehničkih koeficijenata proizvodnje koje je koristio Leontief. Brojni mate-matičari su se bavili input-output analizom.

Leontief je isticao da „vrijednost jednog teoretičara počinje samo onda kada je on u stanju dobro formulisati svoju teoriju i kada je sposoban da pokaže da ona može biti primijenjena u ekonomiji“6. Njegov najznačajniji doprinos razvoju input-output analize je da se koefici-jenti koji izražavaju vezu između sektora mogu statistički mjeriti i da budu dovoljno stabilni kako bi se mogli primijeniti u komparativnoj analizi čiji cilj je da evaluira efekte različitih ekonomskih politika. Značajan doprinos poboljšanju osnove za empirijske eko-nomske analize dao je i Richard Stone7 koji je 1984. godine nagrađen Nobelovom nagradom za ekonomiju za doprinos Sistemu nacionalnih računa.

U pojednostavljenom obliku input-output tabele, zasnovanom na otvorenom sistemu priv-rede koji je razradio Leontief, tabela input-output koeficijenata u svakoj koloni predstavlja tehniku proizvodnje po kojoj je proizveden samo jedan proizvod. Zbog ove pojednostavlje-ne pretpostavke tabela međusektorskih transakcija (odnosno tabela intermedijarne potrošnje) mora biti ne samo kvadratna nego i simetrična. Model zasnovan na ovoj tabeli se naziva simetričan input-output model. Upotreba input-output modela baziranog na ovim pretpostavkama može se opravdati pretpostavkom da se tehnika proizvodnje u kratkom periodu ne mijenja. Input-output tabela u teoriji može biti izražena u količinskim ili mone-tarnim jedinicama, ili istovremeno u obje jedinice.

1 Wassily Leontief (1906. -1999.), dobitnik Nobelove nagrade za 1973. godinu. 2 Objavljene u radu: The Structure of the American Economie 1919-1929, Harvard University Press, 1941. 3 Francois Quesnay (1694. - 1774.) 4 Karl Marx (1818. - 1883.) 5 Leon Walras (1834. -1910.) 6 Roux, D., (2002.), str. 87. 7 Richard Stone (1913. – 1991.)

INPUT-OUTPUT ANALIZA

330

U okviru input-output analize definišu se tri vrste tabela i to:8

1. Tabele ponude i upotrebe odnosno tabele stvaranja dobara i usluga i njihove raspodjele; 2. Tabele koje povezuju tabele ponude i upotrebe sa sektorskim računima; 3. Simetrične input-output tabele.

U tabelama ponude i upotrebe se prezentuju proizvodni procesi i finansijske transakcije nacionalne privrede prema djelatnostima i proizvodima. Zadatak ovih tabela je da prikažu strukturu troškova proizvodnje i dohodak koji se realizuje u procesu proizvodnje, tokove dobara i usluga koji se proizvedu u nacionalnoj privredi, kao i tokove dobara i usluga sa inostranstvom.

Ponuda dobara i usluga prema proizvodu i vrsti dobavljača (domaći i inostrani) se prikazuje u pojednostavljenoj tabeli ponude.

Tabela 1. Pojednostavljena tabela ponude

Ponuda Djelatnosti Inostranstvo Ukupno 1. 2. 3.

Proizvodi 1. Proizvodnja po proizvodu i po djelatnosti

Uvoz po proizvodu Ukupna ponuda po proizvodu

Ukupno 2. Ukupna proizvodnja po djelatnosti

Ukupni uvoz Ukupna ponuda

Pojednostavljena tabela upotrebe dobara i usluga prema proizvodu i vrsti upotrebe prikazu-je se u sljedećem obliku:

Tabela 2. Pojednostavljena tabela upotrebe

Upotrebe Djelatnosti Inostranstvo

Finalna potrošnja

Bruto investicije u

kapital

Ukupno

1. 2. 3. 4. 5. Proizvodi 1. Intermedijarna potrošnja

po proizvodu i po djelatnosti

Izvoz Izdaci za finalnu

potrošnju

Bruto investicije u kapital

Ukupna upotreba po proizvodu

Komponente dodane

vrijednosti

2. Dodana vrijednost po komponentama i po

djelatnosti

Ukupno 3. Ukupni input po djelatnosti

8 Prema: Europski sustav nacionalnih računa ESA 1995, (1998), str. 263 - 265.

UVOD

331

U ovoj tabeli upotreba dobara i usluga je dezagregirana na intermedijarnu, odnosno proiz-vodnu potrošnju, izvoz, finalnu potrošnju koja se također može dalje dezagregirati, i bruto investicije u kapital. Pored toga ova tabela pokazuje i osnovne komponente bruto dodane vrijednosti koje se mogu u zavisnosti od nivoa analize dalje dezagregirati. Bruto dodana vrijednost se može dekomponirati na plaće zaposlenima, porezne subvencije umanjene za subvencije na proizvodnju, neto mješoviti dohodak, neto operativni višak i potrošnju fik-snog kapitala.

Između tabela ponude i upotrebe vrijede dvije vrste identiteta - identitet po djelatnosti i identitet po proizvodu. Identitet po djelatnosti pokazuje da je output po djelatnosti jednak inputu po djelatnosti. To znači da bi ukupna proizvodnja po djelatnosti iz tabele 1 trebala biti jednaka ukupnom inputu po djelatnosti iz tabele 2. Za svaku djelatnost zbir intermedi-jarne potrošnje i dodane vrijednosti je jednak outputu. Identitet po proizvodu znači da je ukupna ponuda po proizvodu jednaka ukupnoj upotrebi po proizvodu. To znači da se reali-zovana proizvodnja treba utrošiti, odnosno upotrijebiti. Posmatrajući ovaj identitet u dvije prethodno prezentovane tabele konstatuje se da se output i uvoz svakog proizvoda raspodje-ljuju na četiri kategorije: intermedijarnu potrošnju, izvoz, finalnu potrošnju i bruto investicije. Ukupna ponuda po proizvodu u tabeli 1. treba da bude jednaka ukupnoj upotrebi po proizvodu u tabeli 2. Ove dvije grupe tabela predstavljaju bazu za konstrukciju i analizu tabela po djelatnostima. Pored toga, tabele ponude i upotrebe sve tokove iskazuju u računima dobara i usluga, raču-nu proizvodnje i računu stvaranja dohotka. Tabele ponude i upotrebe se mogu prikazati u obliku jedne kombinovane tabele koja je kompleksnija i pruža sve informacije koje se odnose na ponudu i upotrebu, odnosno na stvaranje i raspodjelu outputa.

Tabela 3. Pojednostavljena kombinovana tabela ponude i upotrebe

Proizvodi Djelatnosti Inostran-stvo

Finalna potrošnja

Bruto investi-cije u kapital

Ukupno

1. 2. 3. 4. 5. 6. Proizvodi 1. - Interme-

dijarna potrošnja

Izvoz Izdaci za finalnu

potrošnju


Ukupna upotreba po proizvodu

Djelatnosti 2. Proizvodnja - - - - Ukupna proizvodnja

po djelatnostiKomponente dodane vrijednosti

3. - Dodana vrijednost

Inostranstvo 4. Uvoz - Ukupno 5. Ukupna

ponuda po proizvodu

Ukupni input po djelatnosti


332

Pored gore navedene kombinovane tabele ponude i upotrebe dobara i usluga, kompletira se, zbog praktičnih razloga, i simetrična input-output tabela iz koje je vidljivo da ukupna po-nuda po proizvodu treba, na osnovu prethodno analiziranog identiteta po proizvodu, biti jednaka ukupnoj upotrebi po proizvodu. To znači da i ukupna ponuda treba biti jednaka ukupnoj upotrebi kao što je zapisano u polju (4,5) ove tabele.

Tabela 4. Pojednostavljena simetrična input-output tabela po proizvodima

Proizvodi Inostra-nstvo

Finalna potrošnja


Ukupno

1. 2. 3. 4. 5. Proizvodi 1. Intermedijarna

potrošnja Izvoz Izdaci za

finalnu potrošnju


Ukupna uporaba po proizvodu

Komponente dodane vrijednosti

2. Dodana vrijednost

- - - -

Inostranstvo 3. Uvoz - - - - Ukupno 4. Ukupna ponuda

po proizvodu - - - Ukupna ponuda

= ukupna upotreba

Simetrična input-output tabela se može kompletirati i kao tabela, odnosno matrica prema djelatnostima (djelatnost x djelatnost)9. Treba istaknuti razliku koja postoji između kombi-novane tabele ponude i upotrebe i simetrične input-output tabele. U tabelama ponude i upotrebe se povezuju proizvodi sa djelatnostima, a u simetričnim input-output tabelama proizvodi sa proizvodima i djelatnosti sa djelatnostima, odnosno koriste se klasifikacija po proizvodima ili klasifikacija po djelatnostima unutar tabele kako bi se evidentirali ukupna ponuda i upotreba po proizvodu ili po djelatnosti. Ove tabele omogućavaju praćenje struk-ture ukupne proizvodnje i njenu raspodjelu na nivou ukupne privrede jedne zemlje, na regionalnom nivou kao i na nivou preduzeća. 3.1.1. Input-output analiza i proizvodni sistem Input-output analiza, poznata i pod nazivom Međusektorska analiza, spada u oblast kvanti-tativnih ekonomskih analiza. Bazira se na upotrebi linearnih formi i linearnih transformacija koji su nužni preduvjet za razumijevanje ove oblasti.

U osnovi, posmatra se jedan otvoreni proizvodni sistem kojeg sačinjavaju proizvodni sekto-ri, tj. proizvođači povezani međusobnim isporukama i nabavkama sirovina, poluproizvoda, 9 Djelatnost puta djelatnost znači djelatnosti po vrstama i kolonama.

UVOD

333

energije i proizvodnih usluga u samom sistemu, ali i nabavkama izvana. Proizvodni sistem je, dakle, povezan sa okruženjem putem finalnih isporuka i nabave dobara izvana, za proiz-vodnu potrošnju. Međusobnim isporukama sektora unutar samog proizvodnog sistema ostvaruju se proizvodne veze sektora koje uzrokuju promjene proizvodnje direktno putem direktnih nabava i isporuka, ili indirektno putem nabava i isporuka drugih sektora.

Proizvodni sektor mora predstavljati zaokruženu tehnološko - ekonomsku cjelinu koja proi-zvodi samo jedan tip proizvoda. Svaki tip proizvoda se klasificira u samo jedan proizvodni sektor. Prva pretpostavka implicira potpunu homogenost proizvodnih sektora, a druga pot-punu jednoznačnost klasifikacije proizvoda koje oni proizvode.

U praksi se ove dvije pretpostavke ne mogu uvijek ostvariti što utiče na pouzdanost anali-tičkih rezultata dobivenih primjenom input-output modela. Kako bi se dobili pouzdaniji analitički rezultati i zadovoljile pretpostavke homogenosti i jednoznačnosti proizvoda, proi-zvodni sistem se dezagregira, odnosno raščlanjuje na veći broj proizvodnih sektora.

Osnovni zadatak input-output analize je utvrđivanje, analitičko raščlanjivanje, kvantificira-nje proizvodnih međuzavisnosti direktnih i indirektnih veza proizvodnih sektora, ispitivanje veza unutar strukture proizvodnog sistema te složenih veza sa okruženjem. Time se osigu-rava praćenje promjena unutar samog sistema, kao i praćenje uticaja vanjskih promjena na sistem.

Proizvodni sistem, sa stanovišta korištenja metoda input-output analize međusobnih odnosa može biti privreda jedne zemlje ili jedne regije, kao i preduzeće. U prvom slučaju se radi o primjeni input-output analize na makronivou, a u drugom o primjeni na mikronivou. Na makronivou input-output tabele predstavljaju sastavni dio Sistema nacionalnih računa.

U daljem izlaganju će se analizirati proizvodni sistem sastavljen od dva i više proizvodnih sektora za određeni proizvodni period. Analiza i zaključci koji se budu odnosili na posmat-rani prošli period vrijediće i primjenjivaće se i na istovrsni budući proizvodni period.

U prvom dijelu će se razmatrati i analizirati količinski odnosi proizvodnog sistema koji se predstavljaju u obliku količinske input-output tabele. Ova tabela je baza za odgovarajuće analize međuzavisnosti proizvodnog sistema koje će rješavati primjenom odgovarajućeg input-output modela i njegovim rješavanjem. U drugom dijelu će se istraživati vrijednosni ili transakcioni odnosi predstavljeni u obliku vrijednosne ili transakcione input-output tabe-le. Rješavanjem odgovarajućeg modela analizirati će se kompleksne međuzavisnosti koje postoje u okviru proizvodnog sistema.

334

3.2. Količinska input-output analiza Kvantitativne vrijednosti elemenata proizvodnog sistema i veličina koje ga povezuju sa okruženjem mogu se predstaviti pregledno u tabelarnom obliku. Tabela sadrži potpune in-formacije o tokovima proizvedenih dobara u proizvodnom sistemu, njihovim tokovima u odnosima sa okruženjem izraženim količinama proizvoda u njihovim jedinicama.10

Posmatra se proizvodni sistem P sastavljen od n proizvodnih sektora (proizvođača): 1 2, ,..., nP P P .

Dio proizvoda svakog proizvođača se koristi u proizvodnoj, tj. reprodukcionoj potrošnji11 tog i ostalih proizvođača kao interni input, a dio se troši izvan proizvodnog sistema kao finalne potrošnje (finalne isporuke ili neto proizvodnje).12

Za predstavljanje, analizu i kompletiranje količinske input-output tabele uvode se sljedeći pojmovi i simboli:

Bruto proizvodnja (ukupna proizvodnja, output) proizvođača Pi koja će se označavati sa Xi gdje i uzima vrijednost od 1 do n: ( )1,...,i n= .

Finalna potrošnja proizvođača Pi označava se sa Yi i izražava za svih n proizvodnih sekto-ra: ( )1,...,i n= .

Interni input Qij predstavlja dio proizvodnje proizvođača Pi koji se utroši kao interni rep-romaterijal u proizvodnji proizvođača Pj

13 gdje i i j uzimaju vrijednosti od 1 do n: ( ) ( )1,..., ; 1,...,i n j n= = .

U proizvodnom sistemu P koriste se kao repromaterijali i inputi izvan sistema jer ne postoji proizvodni sistem koji sve potrebne repromaterijale proizvodi sam. Neka se sa 1 2, ,..., mS S S označi m eksternih snabdjevača izvan sistema čiji se proizvodi koriste za reprodukcionu potrošnju u sistemu P.

( ) ( )1,..., ; 1,...,e m j n= = .

Prethodno definisani pojmovi se mogu zapisati u matričnom obliku na sljedeći način:

10 Prema Vučković, Ž., (2003), str.1-7. 11 Termini proizvodna potrošnja, reprodukciona potrošnja i intermedijarna potrošnja će se u tekstu upotreb-

ljavati kao sinonimi. 12 Termini finalna potrošnja, finalna isporuka, neto proizvodnja, izvoz će se u tekstu upotrebljavati kao sino-

nimi. 13 Proizvodna potrošnja proizvođača Pj proizvoda proizvođača Pi ili utrošak proizvoda proizvođača Pi u

proizvodnoj potrošnji proizvođača Pj .

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

335

Vektor bruto proizvodnji (outputa) proizvođača [ ]1

21

; 0i in

n

XX

X X

X

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ≥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Vektor finalnih potrošnji proizvođača [ ]1

21

; 0i i in

n

YY

Y Y X

Y

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ≤ ≤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matrica internih inputa

11 12 1

21 22 2

1 2

; 0

n

nij ij in n

n n nn

Q Q QQ Q Q

Q Q X

Q Q Q

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = ≤ ≤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

……

…

Vektor ukupnih eksternih inputa (uvoza) u sistem [ ]1

21e m

m

UU

U

U

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matrica eksternih inputa

11 12 1

21 22 2

1 2

; 0

n

nej ej em n

m m mn

W W WW W W

W W U

W W W

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = ≤ ≤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3.2.1. Formiranje količinske input-output tabele

Na osnovu prethodno definisanih pojmova, simbola i veličina u matričnom obliku komple-tira se sljedeća količinska input-output tabela.


336

Tabela 5. Količinska input-output tabela

Sektori primaoci Pj P1 P2 … Pn

Sektori davaoci

Pi ijQ⎡ ⎤⎣ ⎦ ijj

Q∑ Yi Xi

P1 Q11 Q12 … Q1n 1 jj

Q∑ Y1 X1

P2 Q21 Q22 … Q2n 2 jj

Q∑ Y2 X2

Pn Qn1 Qn2 … Qnn njj

Q∑ Yn Xn

Se ejW⎡ ⎤⎣ ⎦ e ejj

U W= ∑

S1 W11 W12 … W1n 1 1 jj

U W= ∑

S2 W21 W22 … W2n 2 2 jj

U W= ∑

Sm Wm1 Wm2 … Wmn m mjj

U W= ∑

Količinska input-output (I-O) tabela predstavlja prikaz raspodjele ukupne proizvodnje sva-kog sektora (duž redova) na reprodukcionu potrošnju i finalnu potrošnju. Duž kolona predstavljena je struktura reprodukcione potrošnje svakog sektora raščlanjena na interne i eksterne inpute.

Količinska input-output tabela se može predstaviti u pojednostavljenom obliku gdje se jed-nostavno u prvom redu predstavlja raspodjela ukupne proizvodnje, odnosno bruto proizvoda na ukupne interne inpute u sistemu i finalne isporuke. U prvoj koloni su preds-tavljene reprodukciona potrošnja sistema iz internih inputa kao i reprodukciona potrošnja sistema iz eksternih inputa u sistemu. U drugoj koloni tabele 6. su predstavljeni ukupni in-terni inputi u sistem te ukupni uvozi u sistem od eksternih dobavljača.


337

Tabela 6. Pojednostavljena količinska input-output tabela

Reprodukciona potrošnja sistema (interni inputi)

Ukupni interni inputi u sistemu

Finalne isporuke

Bruto proizvod

Reprodukciona potrošnja sistema (eksterni inputi)

Ukupni uvoz u sistem

Značenje i objašnjenje sastavnih dijelova količinske input-output tabele Kod svake količinske input-output tabele potrebno je definisati značenje njenih sastavnih dijelova.

1) Sadržaj duž redova gornjeg dijela tabele pokazuju strukturu raspodjela bruto proizvo-dnje 0iX > pripadnih proizvođača iP na njene dijelove: reprodukcionu potrošnju u sistemu 0ij

jQ ≥∑ i finalne potrošnje 0iY ≥ proizvođača Pi.

Proizvođač Pi je proizveo ukupno 0iX > količinskih jedinica (kj) svog outputa i ras-podijelio ga na reprodukcionu potrošnju direktno: 1iQ kj proizvođaču P1, 2iQ kj proizvođaču P2, Qii kj u vlastitu proizvodnju, …, Qin kj proizvođaču Pn; odnosno ukupno 0ij

jQ ≥∑ kj u sistem i na finalnu potrošnju Yi ≥ 0 kj.

2) Sadržaj duž redova donjeg dijela tabele pokazuju strukturu raspodjela pojedinih uvoza 0eU > proizvođačima Pj.

Od eksternog snabdjevača Se je uvezeno u sistem ukupno 0eU > količinskih jedinica i direktno raspoređeno We1 kj proizvođaču P1, We2 kj proizvođaču P2, ..., Wen kj proi-

zvođaču Pn, odnosno ukupno 1

n

e e jj

U W=

= ∑ količinskih jedinica.

3) Sadržaj duž kolona tabele pokazuje strukturu kompletiranja potrošnji proizvođača Pj. Kako se veličine duž kolona j odnose na različite inpute, one su izražene u različitim količinskim jedinicama pa se ne mogu međusobno sabirati.

Proizvođač Pj u proizvodnji svog outputa 0jX > kj direktno je utrošio: interne repromaterijale (gornji dio tabele) iz sistema: Q1j kj dobijenog od proizvođača

P1, Q2j kj od proizvođača P2,..., Qjj kj iz vlastite proizvodnje,. .., Qnj kj od proizvođača Pn.

eksterne repromaterijale (donji dio tabele) izvan sistema: W1j kj od snabdjevača S1, W2j kj od snabdjevača S2,…, Wmj kj od snabdjevača Sm.

Iz formiranja količinske input-output tabele na temelju njenih redova mogu se napisati jed-načine raspodjele bruto proizvodnje svakog pojedinog proizvodnog sektora kao i jednačine raspodjele ukupnog eksternog inputa svakog pojedinog snabdjevača.


338

Jednačina raspodjele bruto proizvodnje proizvodnih sektora Raspodjela bruto proizvodnje sektora i se može izraziti sljedećom jednačinom:

1

1,..., .n

i ij ij

X Q Y i n=

= + =∑ (3.1)

Ukupna proizvodnja sektora Pi označena sa Xi raspodjeljuje se na dio koji se troši kao rep-rodukciona potrošnja ili interni input u sistemu P i dio koji predstavlja finalnu potrošnju sektora i. Pošto je sistem P sastavljen od n proizvodnih sektora, jednačina (3.1) predstavlja i-tu jed-načinu linearnog sistema od n jednačina:

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

....

...............................................

n

n

n n n nn n

X Q Q Q YX Q Q Q Y

X Q Q Q Y

= + + + += + + + +

= + + + +

(3.2)

sa 2n+n2 varijabli: n varijabli Xi, n varijabli Yi i n2 varijabli Qij.

Opšta jednačina (3.1) sistema (3.2) predstavlja strukturu raspodjele bruto proizvodnje (outputa) pripadnog proizvođača Pi na dva dijela i to:

10

n

ijJ

Q=

≥∑ za reprodukcione potrošnje u sistemu i Yi ≥ 0 za finalne potrošnje proizvođača

Pi.

Jednačina raspodjele ukupnih eksternih inputa Jednačina raspodjele ukupnih eksternih inputa se izražava u obliku sljedeće jednačine:

11,..., .

n

e ejj

U W e m=

= =∑ (3.3)

Jednačina (3.3) predstavlja e-tu jednačinu linearnog sistema od m jednačina:

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

.........................................

..

n

n

m m m mn

U W W WU W W W

U W W W

= + + += + + +

= + + +

(3.4)

sa m+mn varijabli i to m varijabli Ue i mn varijabli Wej.


339

Opšta jednačina (3.3) sistema (3.4) predstavlja strukturu raspodjele ukupnog eksternog inputa (eksternog repromaterijala) Ue na proizvođače Pj.

Sistemi jednačina (3.2) i (3.4) imaju veći broj nepoznatih nego jednačina, što znači da nemaju jednoznačno rješenje, tj. kod svakog (n+m)-dimenzionalnog proizvodnog sistema P (n proizvođača i m snabdjevača) može se kompletirati neograničen broj raznih njegovih koli-činskih input-output tabela, i svaka se odnosi na njegov drugačiji proizvodni program.14 Smanjenje broja nepoznatih vodi ka pojednostavljenju sistema jednačina, tj. egzogeno se utvrde neke količine, a primjenom input-output modela određuju ostale količine.

3.2.2. Koeficijenti količinskih input-output odnosa Na osnovu formirane količinske input-output tabele 5 će se definisati i objasniti koeficijenti količinskih input-output odnosa. To su: tehnički koeficijenti internih inputa, tehnički koefi-cijenti eksternih inputa i koeficijenti raspodjele.

Tehnički koeficijenti internih inputa ija⎡ ⎤⎣ ⎦

Ako je proizvodni sektor15 Pj utrošio Qij proizvoda proizvodnog sektora Pi da bi proizveo Xj

jedinica proizvodnje, znači da je za svaku jedinicu proizvodnje prosječno utrošio ij

j

QX

proi-

zvoda proizvođača Pi. Na ovaj način definisan koeficijent se naziva tehnički koeficijent internog inputa iz Pi ka Pj. Tehnički koeficijent je koeficijent direktnog utroška i pokazuje prosječan utrošak proizvoda proizvođača Pi po jedinici proizvodnje proizvođača Pj. Teh-nički koeficijent internih inputa se izražava sljedećom relacijom:

0ijij

j

Qa

X= ≥ (3.5)

jedinice mjere i

j

kj Pkj P

.

Tehnički koeficijenti internih inputa treba da zadovolje osobine zapisane u sljedećem izrazu:

0 1:

0ii

ijij

i j aa

i j a= ⇒ ≤ <⎧

⎨ ≠ ⇒ ≥⎩ . (3.6)

14 Vučković, Ž., (2003), str. 7. 15 Za proizvodni sektor u tekstu će se koristiti kao sinonim, zbog pojednostavljenja u objašnjavanju, termin

proizvođač.


340

Tehnički koeficijent internih inputa ija ima sljedeće značenje: proizvođač Pj po svakoj kj svog outputa 0jX > direktno utroši ija kj proizvodnje proizvođača Pi.

Iz objašnjenja tehničkog koeficijenta internih inputa slijedi i objašnjenje osobina, odnosno ograničenje na ove koeficijente. Ako bi neki dijagonalni element bio jednak jedinici ( 1iia = ), to bi značilo da bi proizvođač Pi za proizvodnju jedne količinske jedinice proizvo-dnje kao repromaterijal direktno koristio jednu količinsku jedinicu vlastite proizvodnje što ekonomski nije logično niti opravdano. Tada bi reprodukciona potrošnja proizvođača Pi dobivena iz vlastite proizvodnje bila jednaka ukupnoj proizvodnji proizvođača Pi: ii iQ X= . Slijedeći istu logiku konstatuje se da tehnički koeficijenti internih inputa ne mogu biti veći od jedinice jer bi tada Qii >Xi što je nemoguće. Vrijednost svih tehničkih koeficijenata treba da zadovolji uslov nenegativnosti koji je ekonomski logičan.

Tehničkih koeficijenata internih inputa ima koliko i odgovarajućih internih inputa Qij. Zbog toga se može formirati matrica tehničkih koeficijenata internih inputa dimenzije n redova i n kolona:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nij n n

n n nn

a a aa a a

A a

a a a

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (3.7)

Elementi matrice A treba da zadovolje osobinu nenegativnosti, a dijagonalni elementi mat-rice A, pored osobine nenegativnosti, treba da zadovolje osobinu da su manji od jedinice, što smo prethodno zapisali u obliku izraza (3.6).

Vektor kolona bruto proizvodnji [ ]1

21i n

n

XX

X

X

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

koju smo prethodno definisali se može

transformisati u dijagonalnu matricu

1

2

0 00 0ˆ

0 0

j

n

XX

X

X

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Primjenom osobine množenja matrica i relacije (3.5) dobijamo:

îj ij jQ a X⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.8)


341

jednačinu koja se koristi za izračunavanje matrice internih inputa Qij kada su poznate matri-ca tehničkih koeficijenata i ukupne proizvodnje proizvodnih sektora.

Iz jednačine (3.8) se može eksplicitno izraziti matrična jednačina za izračunavanje matrice tehničkih koeficijenata internih inputa. Obje strane jednačine (3.8) se sa desne strane množe

matricom 1ˆ

jX−

⎡ ⎤⎣ ⎦ :

1 1ˆ ˆ îj j ij j jQ X a X X

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅ ⋅ ⇒⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1îj ij ja Q X

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.9)

gdje je

1

1

2

1 0 0

10 0ˆ

10 0

j

n

X

XX

X

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

inverzna matrica dijagonalne matrice ukupnih

proizvodnji ˆjX⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Tehnički koeficijenti eksternih inputa ejα⎡ ⎤⎣ ⎦

Proizvodni sektori kao inpute u svojoj proizvodnji koriste i repromaterijal nabavljen od eks-ternih dobavljača. Ako je proizvođač Pj utrošio Wej kj eksternog repromaterijala od snabdjevača Se u svojoj proizvodnji Xj, to znači da je za svaku jedinicu svoje proizvodnje pro-

sječno utrošio ej

j

WX

eksternog inputa (uvoza) od snabdjevača Se. Tako definisan koeficijent se

naziva tehnički koeficijent eksternog inputa od Se ka Pj i zapisuje u obliku sljedećeg izraza:

0ejej

j

WX

α = ≥ (3.10)

jedinice mjere e

j

kj Skj P

.

Značenje tehničkoga koeficijent eksternog inputa definisanog gornjim izrazom je sljedeće: Proizvođač Pj po svakoj količinskoj jedinici svog outputa 0jX > direktno utroši ejα kj eksternog inputa nabavljenog od eksternog dobavljača Se.


342

Pošto tehničkih koeficijenata eksternih inputa ejα ima koliko i eksternih inputa Wej, može se formirati matrica tehničkih koeficijenata eksternih inputa dimenzije m redova i n kolona:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nej m n

m m mn

α α αα α α

α α

α α α

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (3.11)

Na osnovu izraza (3.10) može se napisati matrična jednačina pomoću koje se izračunava matrica eksternih inputa ukoliko su poznati tehnički koeficijenti eksternih inputa i ukupne proizvodnje sektora:

êj ej jW Xα ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.12)

Matrica ukupnih eksternih inputa se izračunava kao proizvod matrice tehničkih koeficijena-ta eksternih inputa i dijagonalne matrice ukupnih proizvodnji sektora.

Množenjem gornje jednačine sa desne strane sa1ˆ

jX−

⎡ ⎤⎣ ⎦ dobija se

1 1ˆ ˆ êj j ej j jW X X Xα

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅ ⋅ ⇒⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1êj ej jW Xα

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.13)

jednačina za izračunavanje matrice tehničkih koeficijenata eksternih inputa ukoliko su poz-nati eksterni inputi u sistem i ukupne proizvodnje sektora.

Koeficijenti raspodjele ijr⎡ ⎤⎣ ⎦

Koeficijent raspodjele rij se definiše kao količnik između internog inputa Qij iz sektora i u sektor j i ukupne proizvodnje Xi sektora i:

0ijij

i

Qr

X= ≥ (3.14)

kod kojih se jedinica mjere skrati tj. i

i

kj Pkj P

.

Na osnovu gornjeg definicionog izraza za koeficijent raspodjele zaključuje se da ovaj koe-ficijent nema jedinice mjere i da je dakle neimenovan broj. Koeficijent raspodjele se, kao i svi neimenovani brojevi, može izražavati u procentima.


343

Ako je proizvođač Pi iz svoje bruto proizvodnje Xi>0 raspodijelio Qij ≥ 0 kj direktno proiz-vođaču Pj, tada odnos internog inputa Qij i matičnog outputa Xi predstavlja koeficijent raspodjele iz Pi u Pj .

Značenje koeficijenta raspodjele rij je sljedeće: proizvođač Pi je raspodijelio rij⋅100% svoje ukupne proizvodnje proizvođaču Pj.

Koeficijenata raspodjele ima koliko i koeficijenata internih inputa Qij. Zato se i koeficijenti raspodjele mogu zapisati u matričnom obliku:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nij n n

n n nn

r r rr r r

r

r r r

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (3.15)

Matrica ijr⎡ ⎤⎣ ⎦ je dimenzije n redova i n kolona jer je u sistemu definisano n proizvodnih sektora Pi.

Na osnovu definicionog izraza za koeficijent raspodjele može se napisati sljedeća matrična jednačina:

1îj i ijr X Q

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ . (3.16)

Iz gornje matrične jednačine se može izraziti matrica internih inputa ijQ kao proizvod dija-gonalne matrice ukupnih proizvodnji i matrice koeficijenata raspodjele:

îj i ijQ X r⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ . (3.17)

Ako se jednačina raspodjele bruto proizvodnji (3.1) 1

; 1,...,n

i ij ij

X Q Y i n=

= + =∑ podijeli sa

pripadnim Xi dobija se izraz koji omogućava izračunavanje raspodjele ukupne proizvodnje svakog sektora izražene u procentima:

1

1 1

1

n

ij n nj iji i i i

ij ij ji i i i i i

QQY Y Y Yr r

X X X X X X=

= =

= + = + = + = +∑

∑ ∑ . (3.18)

Vrijednost 100%ir ⋅ pokazuje koliko je procentualno iz bruto proizvodnje Xi proizvođača Pi raspoređeno na reprodukcionu potrošnju u sistemu, a vrijednost

100%i

i

YX

⋅ pokazuje koliko je procentualno iz te proizvodnje raspoređeno na njegovu

finalnu potrošnju Yi.


344

3.2.3. Analiza proizvodnog sistema Na osnovu prethodno definisanih pojmova i relacija u količinskoj input-output tabeli u na-rednim dijelovima knjige će se istraživati i analizirati odnosi i relacije u proizvodnom sistemu. Relacije koje će biti izvedene i formulisane predstavljaju osnovne jednačine za rješavanje input-output modela. Zavisnost finalnih potrošnji od bruto proizvodnji Kada su poznate, odnosno egzogeno utvrđene bruto proizvodnje svakog sektora (proizvo-đača) finalne potrošnje svakog sektora se mogu utvrditi rješavanjem jednačine input-output modela kojom se izražava zavisnost finalnih potrošnji od bruto proizvodnji. Da bi se riješio ovaj model potrebno je poznavati sve elemente matrice tehničkih koeficijenata A za koju se pretpostavlja da se ne mijenja u toku posmatranog proizvodnog procesa. Uvrštavajući u jednačinu raspodjele bruto proizvodnji (3.1)

1

; 1,...,n

i ij ij

X Q Y i n=

= + =∑

izraz za utvrđivanje internih inputa ij ij jQ a X= dobija se u opštem obliku jednačina za bruto proizvodnju Xi sektora Pi:

1

; 1,...,n

i ij j ij

X a X Y i n=

= + =∑ (3.19)

odnosno sistem jednačina koji se zapisuje u sljedećem obliku:

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

......

...............................................................

n n

n n

n n n nn n n

X a X a X a X YX a X a X a X Y

X a X a X a X Y

= + + + += + + + +

= + + + +

(3.20)

ili u matričnom obliku:

1 11 12 1 1 1

2 21 22 2 2 2

1 2

n

n

n n n nn n n

X a a a X YX a a a X Y

X a a a X Y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (3.21)

Gornji izraz se jednostavnije i može napisati i u sljedećem obliku:

X = A·X + Y (3.22)


345

Rješavajući gornju matričnu jednačinu (3.22) po Y dobija se:

Y = X – A·X Y = (I – A)·X (3.23)

gdje je I jedinična matrica iste dimenzije kao i matrica A.

Ako se uvede smjena L = (I – A) dobija se matrična jednačina:

Y = L·X (3.24)

koja predstavlja jednu od osnovnih zavisnosti u input-output modelu. Njenim rješavanjem se utvrđuju finalne potrošnje ukoliko su poznate bruto proizvodnje sektora i matrica tehnič-kih koeficijenta internih inputa iz koje se izračunava matrica Leontiefa.

Matrica L se naziva matrica tehnologije, ili matrica Leontiefa, i može se zapisati u sljede-ćem obliku:

11 12 1 11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2 21 22 2

1 2 1 2 1 2

11 0 010 1 0

10 0 1

n n n

n n nij n n

n n nn n n nn n n nn

l l l a a a a a al l l a a a a a a

L l

l l l a a a a a a

×

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= = = − =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − − −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Jednačina (3.24) se može napisati u obliku:

[ ] 1 1i ij jn n n nY l X

× × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.25)

Ukoliko se izvuče jedan red (i-ti red) iz matrične jednačine (3.25), dobija se izraz:

1

n

i ij jj

Y l X=

= ⋅∑ . (3.26)

Računajući parcijalne izvode prethodnog izraza dobija se koeficijent matrice Leontiefa.

iij

j

YlX∂

=∂

(3.27)

koji ima sljedeće značenje:

Ako se želi samo bruto proizvodnja Xj proizvođača Pj povećati za jednu količinsku jedinicu, (uz pretpostavku da proizvodnje ostalih sektora ostanu nepromijenjene) tada finalnu potrošnju Yi proizvođača Pi treba promijeniti za ijl količinskih jedinica.

Navedeno objašnjenje za koeficijent matrice L tehnologije ili matrice Leontiefa vrijedi i za svaku dodatnu količinsku jedinicu povećanja bruto proizvodnje, pa se analogno izrazu (3.27) može napisati sljedeći izraz:


346


× × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = ⋅ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ tj. Y L XΔ = ⋅Δ . (3.28)

Koeficijenti matrice Leontiefa (L) treba da zadovolje osobine predstavljene u sljedećem izrazu:

0 (1 ) 1:

0ii ii

ijij ij

i j l al

i j l a= ⇒ < = − ≤⎧

⎨ ≠ ⇒ = − ≤⎩ . (3.29)

Dijagonalni elementi matrice treba da budu jednaki ili manji od jedinice, a vandijagonalni elementi negativni. Ove osobine proizilaze iz konstrukcije matrice Leontiefa i osobina mat-rice tehničkih koeficijenata A.

Zavisnost bruto proizvodnji od finalnih potrošnji Za analizu proizvodnog sistema je vrlo značajno utvrditi veličine bruto proizvodnji sektora sistema kada su poznate finalne potrošnje, odnosno plan finalnih isporuka pojedinih sektora sistema.

U izvođenju relacije kojom se izražava zavisnost bruto proizvodnji od finalnih potrošnji polazi se od jednačine koju smo označili sa (3.25):


× × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Množeći gornju jednačinu sa 1

ij n nl

−

×⎡ ⎤⎣ ⎦ sa lijeva dobija se:

1

ij n nl

−

×⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ] 1 1i jn n

Y X× ×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

odnosno

[ ] 11j ji i nn n nX b Y

×× ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.30)

gdje se sa 1

ji ijb l−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , odnosno B = L-1 označava matricu ukupnih utrošaka internih inputa. Jednačina (3.30) se može zapisati jednostavnije u sljedećem obliku:

X=B·Y (3.31)

gdje je 1B L−= inverzna matrica matrice Leontiefa L.

Rješavanjem gornje jednačine input-output modela izračunavaju se bruto proizvodnje poje-dinih sektora kada je poznat plan finalnih potrošnji.

Napiše li se jedan red iz sistema jednačina (3.30), dobija se jednačina:


347

1

; 1,...,n

j ji ii

X b Y j n=

= ⋅ =∑ (3.32)

iz koje se, računajući parcijalne izvode, dobija koeficijent matrice ukupnih utrošaka internih inputa:

0jji

i

Xb

Y∂

= ≥∂

. (3.33)

Koeficijent matrice ukupnih utrošaka internih inputa definisan gornjim izrazom ima sljede-će značenje:

Ako se želi samo finalna potrošnja Yi ≥ 0 povećati za jednu količinsku jedinicu, uz pretpostavku da finalne potrošnje ostalih sektora ostanu nepromijenjene, bruto proizvodnju 0jX > treba povećati za 0jib ≥ količinskih jedinica.

Koeficijenti matrice ukupnih utrošaka internih inputa treba da zadovolje sljedeće osobine:

; 1:

; 0ii

jiji

i j bb

i j b= ≥⎧

⎨ ≠ ≥⎩ . (3.34)

Dijagonalni elementi matrice B treba da budu jednaki ili veći od jedan, a vandijagonalni elementi nenegativni.

Objasniće se osobina (3.34)16:

Na osnovu jednačine . ( )Y L X tj Y I A X X A X Y= ⋅ = − ⋅ ⇒ − ⋅ = množeći posljednju jed-načinu slijeva redom matricama I, A, A2, A3, … slijedi beskonačan niz matričnih jednačina:

2

2 3 2

3 4 3

...............................

I X A X I YA X A X A YA X A X A YA X A X A Y

⋅ − ⋅ = ⋅

⋅ − ⋅ = ⋅

⋅ − ⋅ = ⋅

⋅ − ⋅ = ⋅

Sabirajući gornje jednačine (poslije poništavanja na lijevoj strani) dobija se matrična funkcija: 2 3( ...) .X I A A A Y= + + + + ⋅

Upoređujući ovu jednačinu sa jednačinom (3.31) jedno od mogućih rješenja je:

2 3

2

... . ( ) s

sB I A A A tj B I A A

+∞

=

= + + + + = + +∑


348

Kako je proizvod nenegativnih matrica nenegativna matrica, to su elementi matrica As ne-negativni, pa se za elemente matrice B dobija:

; (1 ) 1

; (0 ) 0

sii ii ii

ss

ji ji jis

i j b a a

i j b a a

⎧ = = + + ≥⎪⎨≠ = + + ≥⎪

⎩

∑∑

.

Kada smo govorili o direktnim proizvodnim međuzavisnostima, rekli smo da tehnički koe-ficijent ija pokazuje direktnu proizvodnu međuzavisnost sektora i i sektora j, tj. tehnički koeficijent ija smo definisali kao tehničku relaciju koja pokazuje veličinu proizvodnje sek-tora i koja se troši kao interni input u proizvodnji sektora j. Zbir elemenata u j-toj koloni

matrice tehničkih koeficijenata A, 1

; ( 1,..., )n

iji

a j n=

=∑ pokazuje udio internih inputa cijelog

proizvodnog sistema u jedinici proizvodnje sektora j . Međutim, uticaj povećanja proizvodnje j-tog sektora, namijenjenog finalnim isporukama, ne iscrpljuje se samo tim direktnim efektima. Ukupni efekt jediničnog povećanja finalnih isporuka sektora j na nivo proizvodnje sektora i, tj. 0ijb ≥ , može se rastaviti na direktni

efekt ija i sumu indirektnih efekata. Razlika ( )ij ijb a− predstavlja sumu svih indirektnih efekata jediničnog povećanja finalnih isporuka sektora j na nivo proizvodnje sektora i. Su-mu svih indirektnih efekata jediničnog povećanja finalnih isporuka sektora i na nivo njegove proizvodnje, naći ćemo tako da od ukupnog efekta tog povećanja iib oduzmemo (1+ iia ).

Da bi sektor i proizveo jedinicu svoje proizvodnje za finalne isporuke, mora osim te jedini-ce proizvesti i reprodukcioni materijal za vlastitu potrošnju u veličini koeficijenta iia . Prema tome, direktni efekt jedinice finalnih isporuka tog sektora je 1 iia+ . Razlika

( )(1 )ii iib a− + predstavlja sumu njegovih indirektnih efekata. Zato su elementi na glavnoj dijagonali matrice B, 1iib ≥ , a svi ostali vandijagonalni 0ijb ≥ .

Efekt jedinice povećanja finalnih isporuka sektora j na ukupnu proizvodnju sistema je

1

n

iji

b=∑ . Pošto je direktni efekt jedinice finalnih isporuka sektora j na proizvodnju čitavog

sistema 1

1n

iji

a=

+∑ , to je suma indirektnih efekata 1 1

(1 )n n

ij iji i

b a= =

− +∑ ∑ .

Objašnjenje koje smo dali za značenje elemenata matrice B primjenjuje se i za svaku doda-nu jedinicu povećanja finalne potrošnje i-tog sektora pa vrijedi relacija:


349

[ ] 11j ji i nn n nX b Y

×× ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = ⋅ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.35)

odnosno

1; 1,...,

n

j ji ii

X b Y j n=

Δ = Δ =∑ . (3.36)

Zavisnost uvoza od bruto proizvodnji

Utvrđivanje zavisnosti proizvodnog sistema o nabavama dobara izvana za proizvodnu pot-rošnju je sljedeće bitno područje u analizi strukture proizvodnog sistema.

Utvrđivanje zavisnosti proizvodnog sistema o nabavama dobara izvana za proizvodnu pot-rošnju je sljedeće bitno područje u analizi strukture proizvodnog sistema.

U utvrđivanju zavisnosti uvoza od bruto proizvodnji polazi se od sljedeća dva već definisa-

na izraza: 1

n

ej ej j e ejj

W X i U Wα=

= =∑ i dobija se:

1 1 2 21 1

.. ; 1,...,n n

e ej ej j e e en nj j

U W X X X X e mα α α α= =

= = = + + + =∑ ∑ . (3.37)

Gornji izraz se može zapisati u matričnom obliku:

[ ] 1 1e ej jm m n nU Xα

× × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.38)

Iz jednačine (3.38) dobijaju se odgovarajući parcijalni izvodi na osnovu kojih se objašnjava značenje matrice tehničkih koeficijenata eksternih inputa:

0eej

j

UX

α∂= ≥

∂. (3.39)

Tehnički koeficijent eksternih inputa ejα u odnosu na gornju jednačinu ima sljedeće značenje. Ako se samo bruto proizvodnja Xj proizvođača Pj želi povećati za jednu količinsku jedinicu, a bruto proizvodnje ostalih sektora ostanu nepromijenjene, tada se ukupni eksterni input od Se treba povećati za ejα količinskih jedinica.

Ovo objašnjenje vrijedi i za svaku dodanu jedinicu bruto proizvodnje. To se može izraziti sljedećim relacijama:


350

1

n

e ej jj

U Xα=

Δ = Δ∑ (3.40)

[ ] 1 1e ej jm m n nU Xα

× × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = ⋅ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.41)

Zavisnost uvoza od finalnih potrošnji Da bi se definisala i formalizirala zavisnost uvoza od finalnih isporuka pojedinih sektora sis-tema polazi se od sljedećih jednačina koje su u prethodnim dijelovima analize već definisane:

ej ej jW Xα= i 1

; 1,..., .n

j ji ii

X b Y j n=

= =∑

Uvodeći odgovarajuće smjene dobija se:

1 1( ) ; 1,..., , 1,..., .

n n

ej ej ji i ej ji ii i

W b Y b Y e m j nα α= =

= = = =∑ ∑ (3.42)

Iz gornje relacije se mogu napisati parcijalni izvodi:

0ejej ji

i

Wb

Yα

∂= ≥

∂ (3.43)

koji imaju sljedeće značenje:

Ako se želi samo finalna potrošnja Yi i-tog sektora povećati za jednu količinsku jedinicu, a finalne potrošnje ostalih sektora ostaju nepromijenjene, tada se eksterni input Wej od Se ka Pj treba povećati za ej jibα količinskih jedinica.

Dato objašnjenje se primjenjuje i za svaku dodatnu jedinicu finalne potrošnje proizvođača Pi, pa vrijedi izraz:

1

( ) ; 1,..., , 1,...,n

ej ej ji ii

W b Y e m j nα=

Δ = Δ = =∑ . (3.44)

Kako je ukupni uvoz od snabdjevača Se:

1 1 1 1 1 1 1

n n n n n n n

e ej ej j ej ji i ej ji i ei ij j j i i j i

U W X b Y b Y Yα α α β= = = = = = =

⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3.45)

gdje je 1

n

ei ej jij

bβ α=

=∑ .


351

Izraz (3.45) se može napisati u matričnom obliku:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1;e ei i ei ej jim m n n m n m n n n

U Y bβ β α× × × × × ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.46)

gdje je β = α⋅B matrica ukupnih utrošaka eksternih inputa.

Računajući parcijalne izvode iz izraza (3.45), dobija se:

0eei

i

UY

β∂= ≥

∂. (3.47)

Značenje izraza (3.47) je sljedeće: ako se želi povećati samo finalna potrošnja Yi za jednu količinsku jedinicu, a da finalne potrošnje ostalih sektora ostanu nepromijenjene, ukupni eksterni input od snabdjevača Se treba se povećati za βei količinskih jedinica.

Navedeno objašnjenje koeficijenta ukupnih eksternih utrošaka vrijedi i za svaku dalje doda-tnu jedinicu finalne potrošnje što se može zapisati sljedećim izrazom:

[ ] [ ] [ ]1 1e ei im m n nU Yβ

× × ×Δ = ⋅ Δ (3.48)

odnosno

1

n

e ei ii

U Yβ=

Δ = Δ∑ . (3.49)

Primjer 3.1. Za protekli proizvodni period proizvodnog sistema poznata je sljedeća nekompletna

količinska input-output tabela:

P1 P2 P3

ijQ⎡ ⎤⎣ ⎦ ijj

Q∑ iY iX

P1 ? ? ? ? 100 100 kom. P2 ? 0 100 400 ? 500 m3 P3 10 ? 50 60 140 ? kg

ejW⎡ ⎤⎣ ⎦ eU

S1 300 500 100 ? kwh S2 300 ? 120 600 l


352

a) Kompletirati datu količinsku tabelu i objasniti njene sastavne dijelove; b) Izračunati matricu tehničkih koeficijenata internih inputa A= ija⎡ ⎤⎣ ⎦ i objasniti

značenje njenih elemenata; c) Izračunati matricu tehničkih koeficijenata eksternih inputa ejα α⎡ ⎤= ⎣ ⎦ i objasniti

značenje njenih elemenata; d) Izračunati matricu tehnologije (Leontijefa) ijL l⎡ ⎤= ⎣ ⎦ i objasniti značenje njenih

elemenata; e) Izračunati matricu ukupnih utrošaka internih inputa jiB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ i objasniti značenje

njenih elemenata; f) Izračunati matricu ukupnih utrošaka eksternih inputa [ ]eiβ β= i objasniti znače-

nje njenih elemenata; g) Tabelarno predstaviti strukturu raspodjele proizvodnje.

Rješenje:

a) Primjenom jednačine raspodjele internih inputa 1

n

i ij ij

X Q Y=

= +∑ (i =1,…, n) i jed-

načine raspodjele eksternih inputa 1

n

e ejj

U W=

= ∑ (e = 1,..., m), popunjava se tabela:

P1 P2 P3


Q∑ iY iX

P1 0 0 0 0 100 100 kom. P2 300 0 100 400 100 500 m3 P3 10 0 50 60 140 200 kg


S1 300 500 100 900 kwh S2 300 180 120 600 l

Objašnjenje sastavnih dijelova tabele:

Po redovima:

Proizvođač P1 je svoju bruto proizvodnju X1 = 100 komada kompletno raspore-dio na finalne isporuke Y1 = 100 kom. i proizvodnja proizvođača P1 se ne koristi u reprodukcijskoj potrošnji sistema.


353

Proizvođač P2 je svoju bruto proizvodnju X2 = 500 m3 rasporedio na sljedeći način: 300 m3 proizvođaču P1, u vlastitu proizvodnju ništa, 100 m3 proizvođaču P3 i 100 m3 na svoju finalnu potrošnju Y2.

Proizvođač P3 je svoju bruto proizvodnju X3 = 200 kg rasporedio: 10 kg proiz-vođaču P1, proizvodi ovog proizvođača se ne koriste kao inputi u proizvodnji proizvođača P2, 50 kg u vlastitu proizvodnju i 140 kg na finalnu potrošnju Y3.

Od eksternog snabdjevača S1 u sistemu se koristi U1 = 900 kwh i to: 300 kwh proizvođaču P1, 500 kwh proizvođaču P2 i 100 kwh proizvođaču P3.

Od eksternog snabdjevača S2 u sistemu se koristi U2 = 600 l i to: 300 l proizvo-đaču P1, 180 l proizvođaču P2 i 120 l proizvođaču P3.

Po kolonama: Proizvođač P1 u proizvodnji je direktno utrošio 300 m3 od proizvođača P2 i 10

kg od proizvođača P3 kao interne inpute. Pored toga, direktno je utrošio 300 kwh od eksternog snabdjevača S1 i 300 l od eksternog snabdjevača S2 kao eks-terne inpute.

Proizvođač P2 ne troši interne inpute iz sistema, a utrošio je 500 kwh eksternog inputa od snabdjevača S1 i 180 l od snabdjevača S2.

Proizvođač P3 ne troši kao input proizvode proizvođača P1, 100 m3 internog in-puta proizvođača P2 i 50 kg iz vlastite proizvodnje, 100 kwh eksternog inputa od snabdjevača S1 i 120 l od eksternog snabdjevača S2.

b) Tehnički koeficijenti internog inputa iz Pi u Pj ( )( )

ij iij

j j

Q kj PaX kj P

= = i vrijedi 0 1

0ii

ij

i j ai j a= ⇒ ≤ <⎧

⎨ ≠ ⇒ ≥⎩ .

1ˆ îj ij j ij ij jQ a X a Q X

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⇒ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ gdje je

1

2

0 00 0ˆ

0 0

j

n

XX

X

X

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i

1

1

2

1 0 0

10 0ˆ

10 0

j

n

X

XX

X

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.


354

Izračunava se matrica A:

1 0 0 0 0 01000 0 01 1300 0 100 0 0 3 0

500 210 0 50 1 11 00 0

10 4200

ijA a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = ⋅ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Objašnjenje elemenata matrice tehničkih koeficijenata internih inputa A: Proizvođač P1 u proizvodnji svakog komada svog proizvoda direktno utroši:

11 0a = kom. vlastite proizvodnje, 21 3a = m3 proizvodnje proizvođača P2,

311

10a = kg proizvodnje proizvođača P3.

Proizvođač P2 u proizvodnji svakog m3 svog proizvoda ne troši repromaterijal iz sistema 12 22 320; 0; 0a a a= = = .

Proizvođač P3 u proizvodnji svakog kg svoje proizvodnje ne troši kao reproma-

terijal proizvode proizvođača P1 jer je 13 0a = kom., a direktno utroši 2312

a = m3

proizvodnje proizvođača P2 i 3314

a = kg iz vlastite proizvodnje.

c) Tehnički koeficijenti eksternog inputa iz Se u Pj: ( ) 0( )

ej eej

j j

W kj SX kj P

α = = ≥ .

1ˆ êj ej j ej ej jW X W Xα α

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⇒ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Izračunava se matrica α:

1 0 01100 3 1300 500 100 1 20 0

9 3300 180 120 500 31 25 50 0

200

ejα α

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.


355

Objašnjenje elemenata matrice tehničkih koeficijenata eksternih inputa α:

Proizvođač P1 u proizvodnji svakog komada svog proizvoda direktno troši 11 3α = kwh od eksternog snabdjevača S1 i 21 3α = l od eksternog snabdjevača S2.

Proizvođač P2 u proizvodnji svakog m3 svog proizvoda direktno troši eksternog

inputa 12 1α = kwh od S1 i 22925

α = l od S2.

Proizvođač P3 u proizvodnji svakog kg svog proizvoda direktno troši eksternog

inputa 1312

α = kwh od S1 i 2335

α = l od S2.

d) L = I – A predstavlja zavisnost finalnih isporuka od bruto proizvodnje Y = L⋅X

0 0 0 1 0 01 0 01 10 1 0 3 0 3 12 2

0 0 1 1 1 1 30 010 4 10 4

L

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

iij

j

YlX∂

=∂

i vrijedi 0 1

0ii

ij

i j li j l= ⇒ < ≤⎧

⎨ ≠ ⇒ ≤⎩.

Objašnjenje elemenata matrice L u odnosu na gornju relaciju: Ako se samo bruto proizvodnja X1 želi povećati za 1 kom., tada se mora finalna

isporuka Y1 povećati za 1 kom. ( 11 1l = ), finalna isporuka Y2 smanjiti za 3 m3

( 21 3l = − ), finalna isporuka Y3 smanjiti za 1/10 kg ( 311

10l −

= ).

Ako se samo bruto proizvodnja X2 želi povećati za 1 m3, tada finalna isporuka Y1 treba ostati nepromijenjena ( 12 0l = ), finalna isporuka Y2 se treba povećati za 1 m3 ( 22 1l = ) i finalna isporuka Y3 ostati nepromijenjena ( 32 0l = ).

Ako se samo bruto proizvodnja X3 želi povećati za 1 kg, tada finalna isporuka Y1 treba ostati nepromijenjena ( 13 0l = ), finalna isporuka Y2 se treba smanjiti za 12

m3 i finalna isporuka Y3 povećati za 34

kg ( 3334

l = ).

e) B=L-1 predstavlja zavisnost bruto proizvodnje od finalne isporuke X = B⋅ Y. Izračunavanje matrice B ćemo izvršiti primjenom sljedeće dvije metode.


356

Prvo, polazeći od formule za izračunavanje inverzne matrice: 14

1 1 1 ( )det det

TL L LL L

− ∗= ⋅ = ⋅ .

izračunava se determinanta matrice L: 11 3 13122det 1 0 0 11 33 00 1010 44

3 3 1 1 1 31 0 0 3 0 0 14 4 10 2 10 4

L−− −−

= ⋅ − ⋅ + ⋅ =−−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞== ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Zatim se izračunavaju kofaktori kako bi se kompletirala matrica kofaktora.

K11= + 11

11 323 404

K−

= = 12

139 1 232

1 3 4 20 1010 4

K− −

⎛ ⎞= − = − − − =⎜ ⎟⎝ ⎠−

13

3 11

1 10010

K−

= + =−

21

1 0030

4K = − = 22

1 03

1 3 410 4

K = + =−

23

1 01

1 232

K = − =− −

31

11 323 404

K−

= + = 32

1 001 0

10K = − =

− 33

1 01

3 1K = + =

−

Matrica kofaktora je jednaka:

*

3 23 14 10 10

30 0410 12

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

14 Za adjungovanu matricu matrice A koristit ćemo oznaku ( )* TA . Za označavanje ove matrice može se

koristiti i A . Ova oznaka predstavlja transponovanu matricu kofaktora.


357

Iz matrice kofaktora formira se adjungovana matrica:

*

3 0 0423 3 1( )10 4 21 0 1

10

TL

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i inverzna matrica je jednaka:

1

3 0 0 1 0 044 23 3 1 46 213 10 4 2 15 3

1 2 40 1 010 15 3

L B−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Matrica B se može odrediti i Gaussovom metodom:

31/10

(4/3) (1/2)

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 03 1 1/ 2 0 1 0 0 1 1/ 2 3 1 0

1/10 0 3/ 4 0 0 1 0 0 3/ 4 1/10 0 1

1 0 0 1 0 00 1 1/ 2 3 1 00 0 1 2/15 0 4/ 3

Ivrsta IIvrstaIvrsta IIIvrsta

IIIvrsta IIIvrsta IIvrsta

• +• +

• • +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯ →⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 0 0 1 0 00 1 0 46/15 1 2/ 30 0 1 2/15 0 4/ 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎯⎯ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Dakle, matrica 1 0 0

46 /15 1 2 / 32 /15 0 4 / 3

B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

jji

i

Xb

Y∂

=∂

i vrijedi 10

ii

ji

i j bi j b= ⇒ ≥⎧

⎨ ≠ ⇒ ≥⎩.

Objašnjenje elemenata matrice B u odnosu na gornju relaciju: Ako se želi samo finalna isporuka Y1 povećati za 1 kom., tada se trebaju: bruto

proizvodnja X1 povećati za 1 kom.(b11 =1), X2 povećati za 46/15 m3 (b21 = 46/15) i X3 povećati za 2/15 kg (b31 = 2/15).

Ako se želi samo finalna isporukaY2 povećati za 1 m3, tada trebaju: bruto proi-zvodnja X1 ostati nepromijenjena (b12 = 0), X2 se povećati za 1m3 (b22 = 1) i X3 ostati nepromijenjena (b32 = 0).


358

Ako se želi samo finalna isporuka Y3 povećati za 1 kg, tada trebaju: bruto proi-zvodnja X1 ostati nepromijenjena (b13 = 0), X2 se povećati za 2/3 m3 (b23 = 2/3) i X3 povećati za 4/3 kg (b33 = 4/3).

f) Matrica Bβ α= ⋅ predstavlja zavisnost ukupnog eksternog inputa Ue od finalnih isporuka Yi tj. Ue =β⋅ Y.

Izračunava se matrica Bβ α= ⋅ :

1 0 0 368 41 13 146 2 75 32 1

9 3 2339 9 2625 332 425 5 625 25 250

15 3

β

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

0eei

i

UY

β ∂= ≥∂

.

Objašnjenje elemenata matrice β u odnosu na gornju relaciju: Ako se želi samo finalna isporuka Y1 povećati za 1 kom., tada treba povećati

ukupni eksterni input U1 za 368/75 kwh (β11 = 368/75) i ukupan eksterni input od S2 U2 za 2339/625 l (β21 = 2339/625).

Ako se želi samo finalna isporuka Y2 povećati za 1m3 tada treba povećati ukup-ni eksterni input U1 za 1kwh (β12 = 1) i ukupan eksterni input od S2 U2 za 9/25 l (β22 = 9/25).

Ako se želi samo finalna isporuka Y3 povećati za 1 kg, tada treba povećati uku-pni eksterni input U1 za 4/3 kwh (β13 = 4/3) i ukupan eksterni input od S2 U2 za 26/25 l (β23 = 26/25).

g) Koeficijenti raspodjele su definisani sljedećim izrazom: 1îj

ij ij j iji

Qr r X Q

X−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ .

1 0 0 0 0 0100 0 0 01 3 10 0 300 0 100 0

500 5 510 0 501 1 10 0 0

200 20 4

ijr

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.


359

Strukturna raspodjela bruto proizvodnji proizvođača je predstavljena u sljedećoj tabeli:

100%ijr ⋅ 100%ir ⋅∑ 100%i

i

YX

⋅

P1 0 0 0 0 100 P2 60 0 20 80 20 P3 5 0 25 30 70

Objašnjenje: Proizvođač P1 je kompletno svoju bruto proizvodnju rasporedio na finalnu pot-

rošnju 100%.

Proizvođač P2 je svoju bruto proizvodnju rasporedio 20% na finalnu potrošnju i 80% na interne inpute u sistem i to 60% proizvođaču P1 i 20% proizvođaču P3.

Proizvođač P3 je svoju bruto proizvodnju rasporedio 70% na finalnu potrošnju i 30% na interne inpute u sistem od čega je 5% proizvođaču P1 i 25% u vlastitu proizvodnju.

Primjer 3.2. Kod nekog složenog proizvodnog sistema poznate su sljedeće matrice:

ija⎡ ⎤ =⎣ ⎦

0 1 1,50 0 0,750 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i 0, 2 0 00,1 0 0,5ejα⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

U1→kwh, U2→l.

a) Kompletirati odgovarajuću količinsku I-O tabelu ako su bruto proizvodnje X1 = 500 kom., X2 = 200 kg i X3 = 100 m3.

b) Kako će se promijeniti bruto proizvodnje ΔXj i eksterni inputi ΔUe ako se finalne potrošnje žele promijeniti za ΔYi = {50, -25, 0}.

c) Odrediti i objasniti elemente b13, β13.

Rješenje: a)

0 1 1,5 500 0 0 0 200 1500 0 0,75 0 200 0 0 0 750 0 0 0 0 100 0 0 0

jij ijQ a X∧

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.


360

500 0 00, 2 0 0 100 0 0

0 200 00,1 0 0,5 50 0 50

0 0 100ej ej jW Xα

∧⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Količinska I-O tabela

P1 P2 P3 ij

jQ∑ Yi Xj

P1 0 200 150 350 150 500 P2 0 0 75 75 125 200 P3 0 0 0 0 100 100 S1 100 0 0 100 S2 50 0 50 100

b) Kako vrijedi:

X B YU Yβ

Δ = ⋅ΔΔ = ⋅Δ

prvo je potrebno izračunati matrice B =L-1 = (I – A)-1 i β = α⋅ B.

1 0 0 0 1 1,5 1 1 1,50 1 0 0 0 0,75 0 1 0,750 0 1 0 0 0 0 0 1

L− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Polazeći od formule za izračunavanje inverzne matrice:

1 1 ( )det

TL LL

− ∗= ⋅ .

izračunava se determinanta matrice L:

1 0,75 0 0,75 0 1det 1 1 1,5 1 (1 0) 1 (0 0) 1,5 (0 0) 1

0 1 0 1 0 0L

− −= ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − =

Zatim se izračunavaju kofaktori i kompletira sljedeća matrica kofaktora:

*

1 0 01 1 0

2, 25 0,75 1L

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.


361

Iz matrice kofaktora formira se adjungovana matrica:

*

1 1 2, 25( ) 0 1 0,75

0 0 1

TL⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i inverzna matrica je jednaka:

1

1 1 2, 25 1 1 2, 251 0 1 0 0 1 0,75

0 0 1 0 0 1L B−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Kako je inverzna matrica matrice L matrica B, to primjenom Gaussovog metoda za određivanje inverza matrice dobija se:

(2,25)(0,75)

1 1 1,5 1 0 0 1 0 2,25 1 1 00 1 0,75 0 1 0 0 1 0,75 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 1 2,250 1 0 0 1 0,750 0 1 0 0 1

Ivrsta IIvrsta

IIIvrsta IvrstaIIIvrsta IIvrsta

+

⋅ +⋅ +

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎯⎯⎯⎯⎯→ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Dakle, matrica 1 1 2, 250 1 0,750 0 1

B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

1 1 2, 25 50 250 1 0,75 25 250 0 1 0 0

X⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ = ⋅ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

;

Bruto proizvodnja X1 će se povećati za 25 kom., bruto proizvodnja X2 će se smanjiti za 25 kg, bruto proizvodnja X3 će ostati ista.

1 1 2, 250, 2 0 0 0, 2 0, 2 0,05

0 1 0,750,1 0 0,5 0,1 0,1 0,725

0 0 1β

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.


362

500, 2 0, 2 0,05 5

250,1 0,1 0,725 2,5

0U

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥Δ = ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

;

Ukupan eksterni input U1 će se povećati za 5 kwh, a U2 će se povećati 2,5 l.

c) 113

3

2, 25XbY

∂= =∂

;

Ako se želi samo finalna isporuka Y3 proizvođača P3 povećati za 1 m3, tada bruto pro-izvodnju X1 proizvođača P1 treba povećati za 2,25 kom.

113

3

0,05UY

β ∂= =∂

;

Ako se želi samo finalna isporuka Y3 proizvođača P3 povećati za 1 m3, tada ukupan eksterni input U1 snabdjevača S1 treba povećati za 0,05 kwh.

Primjer 3.3. Kod nekog proizvodnog sistema poznate su sljedeće matrice:

16 47 78 167 7

B

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i

114

5 37 7

β

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

; U1→ m, U2→kom.

a) Kompletirati odgovarajuću količinsku I-O tabelu, ako je plan bruto proizvodnji X1 = 192 kg i X2 = 208 m2

b) Utvrditi i objasniti značenje elemenata 21 21a i α .

Rješenje: a) B = L-1⇒ L = B-1

Određuje se matrica L kao inverzna matrica matrice B:

1 1 ( )det det

TL B BB B

∗= ⋅ = ⋅ .


363

*

16 8 16 4 1 1224 7 7 7 7 2 8det ; ( )

4 16 8 16 1 1497 7 7 7 4 2

1 12 81 14 21 1

192 702 8208 561 1

4 2

TB B B L

A I L

Y L X

∗

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥

= − = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

71 1 1 01164 2 8

5 3 1 11 17 7 4 84 2

Iz B Lβ α α β

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1192 0 96 262 8

0 208 48 1041 14 2

jij ijQ a X∧

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

7 0 192 0 84 0161 1 0 208 48 264 8

ej ej jW Xα∧

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Količinska I - O tabela

P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 96 26 122 70 192 P2 48 104 152 56 208 S1 84 0 84

S2 48 26 74


364

b) 2121

1

14

QaX

= = ⇒ Proizvođač P1 u proizvodnji svakog kg outputa X1 direktno utroši

14

m2 internog inputa od proizvođača P2.

2121

1

14

WX

α = = ⇒ Proizvođač P1 po svakom kg svog outputa X1 direktno utroši 14

komada eksternog inputa od snabdjevača S2.

Primjer 3.4. Poznata je sljedeća input-output tabela jednog proizvodnog sistema:

P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 45 60 105 75 180 P2 90 40 130 110 240 S1 20 30 S2 0 60

a) Ako se u narednom periodu planiraju nove finalne potrošnje Y1 = 60 kg, Y2 =

120 m3, a ostali tehnološki uslovi se ne mijenjaju, sastaviti novu količinsku I-O tabelu.

b) Izračunati i prezentirati strukturu raspodjele proizvodnje za naredni period.

Rješenje: a) X =B·Y

L = I – A; L-1 = B.

Iz poznate količinske I- O tabele izračunavaju se matrice tehničkih koeficijenata in-

ternih i eksternih inputa. Primjenom formula ijij

j

Qa

X= , odnosno ej

ejj

WX

α = ili

1îj ij ja Q X

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , odnosno

1êij ej jW Xα

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ dobijaju se tražene matrice:

1 14 41 12 6

A

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i

1 19 8

104

α

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


365

1

3 1 5 114 4 3 2det

1 5 32 12 6 2

5 160 1603 2

120 240312

L I A B L L B

X B Y

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

ˆ

1 4 1 4 160 0 40 601 2 1 6 0 240 80 40

ij ej j

ij

Q X

Q

α ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ˆ

1 9 1 8 160 0 17.8 300 1 4 0 240 0 60

eij ej j

ej

W X

W

β ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Količinska I-O tabela u narednom periodu bi bila sljedeća:

P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 40 60 100 60 160 P2 80 40 120 120 240 S1 17,8 30 47,8 S2 0 60 60

b) Matrica koeficijenata raspodjele je:

1 34 81 13 6

ijr

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Strukturna raspodjela je predstavljena u sljedećoj tabeli:

100%ijr ⋅ 100%ir ⋅∑ 100%i

i

YX

⋅

P1 25 % 37,5 % 62,5 % 37,5 % P2 33,3 % 16,7 % 50 % 50 %


366

Primjer 3.5. Poznate su matrice tehnologije jednog proizvodnog sistema i tehničkih koeficijenata eksternih inputa:

1 1 1 02 6 2

1 11 14 64 3

L α

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

U1→ l, U2→ kom.

a) Ako je količina internog inputa koju proizvođač P1 koristi od proizvođača P2 50 m, a finalne isporuke proizvođača P1 50 kg, sastaviti odgovarajuću količinsku input-output tabelu.

b) Ako bi se planiralo povećanje finalnih isporuka za 20%, kako bi se promijenili ukupni outputi proizvođača i ukupni eksterni inputi snabdjevača?

Rješenje:

a)

1 1 1 11 0 2 6 2 60 1 1 1 1 2

4 3 4 3

A I L

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤

= − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Poznato je 21 150 ; 50Q m Y kg= =

Izračunava se:

2121 1

1 1

1 50 2004

Qa X kgX X

= ⇒ = ⇒ = .

11 1111 11

1

1 100 .2 200

Q Qa Q kgX

= ⇒ = ⇒ =

12 1 11 1 200 100 50 50Q X Q Y kg= − − = − − = .

1212 2

2 2

22 2222 22

2

1 50 300 .62 200 .3 300

Qa X mX XQ Qa Q mX

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

1 0 200 0 100 021 1 0 300 50 504 6

ejW

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

.


367

Sada se kompletira količinska I-O tabela:

P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 100 50 150 50 200

P2 50 200 250 50 300

S1 100 0 100

S2 50 50 100

b) ΔX= B⋅ ΔY; 1010

Y ⎡ ⎤Δ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦; B = L-1.

det L= 1/6 – 1/24= 1/8 ⇒ 8 43 32 4

B⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

.

8 4 10 403 3

10 602 4X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥Δ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

;

Povećanje finalnih isporuka oba proizvođača za 20%, tj. za 10 kj, uzrokovat će pove-ćanje outputa proizvođača P1 za 40 kg, a proizvođača P2 za 60 m, što iznosi povećanje njihovih outputa također za 20%.

ΔUe =β⋅ΔY; β = α⋅B.

1 8 4 4 202 3 3 3 31 1 2 4 1 14 6

β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

;

4 2 10 203 3

10 201 1eU

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥Δ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Ukupni eksterni inputi koje koriste proizvođači će se također povećati za 20%.

ΔUe =β⋅ΔY; β = α⋅B.


368

1 8 4 4 202 3 3 3 31 1 2 4 1 14 6

β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

4 2 10 203 3

10 201 1eU

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥Δ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Ukupni eksterni inputi koje koriste proizvođači će se također povećati za 20%.

369

3.3. Vrijednosna input-output analiza Kvantitativne vrijednosti svih elemenata proizvodnog sistema i veličina koje ga povezuju, kao i tokovi proizvedenih dobara u samom proizvodnom sistemu i njegovom okruženju mogu se pregledno i jasno predstaviti vrijednosno, u monetarnim odnosno novčanim poka-zateljima. U tako izraženoj strukturi proizvoda su uključene cijene. Vrijednosna tabela, za razliku od količinske, ima veću informacijsku i analitičku vrijednost. Svakoj količinskoj input-output tabeli može se pridružiti odgovarajuća vrijednosna input-output tabela kojoj su pojedinačne i zbirne količine izražene vrijednosno u istim novčanim jedinicama. U vrijednosnoj tabeli je, pored sabiranja elemenata duž redova, dozvoljeno i sabiranje elemenata duž kolona. Zbog toga vrijednosna input-output tabela pruža potpunije i kompleksnije informacije o poslovanju istraživanog složenog proizvodnog sistema u pos-matranom periodu. Vrijednosna input–output tabela omogućava sagledavanje transakcija između proizvodnih sektora pa se naziva i transakciona input-output tabela. Da bi se u proizvodnom sistemu mogle ostvariti proizvodnje moraju se obezbijediti prihodi, odnosno novac kojim će platiti interne i eksterne repromaterijale, amortizaciju opreme, lič-ne dohotke, doprinose i poreze, vraćanje kredita i slično.

Cijene u vrijednosnoj input-output tabeli Za konstrukciju vrijednosne input-output tabele skup cijena predstavlja najkompleksniji izraz direktne i indirektne međuzavisnosti u proizvodnom sistemu i njegovom okruženju, u njegovoj vrijednosnoj strukturi i raspodjeli. Posmatra se proizvodni sistem P sa n proizvođača: P1, P2, …, Pn.

Definišu se sljedeći pojmovi i simboli koji će biti korišteni u formiranju vrijednosne input-output tabele:

Tržišna (finalna) cijena po kojoj sektor Pi prodaje finalne potrošnje Yi: ( 1,..., ).ip i n=

Interna (proizvodna) cijena po kojoj proizvođač (sektor) Pi obračunava svoju proizvodnju Xi i njene dijelove: finalnu potrošnju Yi i interne inpute Qij: ( 1,..., ).i i nπ =

Nabavna cijena je cijena po kojoj se obračunavaju uvozi, odnosno eksterni repromaterijali izvana nabavljeni od snabdjevača Se: , ( 1,..., ).ec e m=

Tri definisane vrste cijena se mogu zapisati u matričnom obliku:

Vektor tržišnih cijena: [ ]1

2i

n

pp

p

p

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

; Vektor internih cijena: [ ]1

2i

n

ππ

π

π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

;


370

Vektor nabavnih cijena: [ ]1

2e

m

cc

c

c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3.3.1. Formiranje vrijednosne input-output tabele U svrhu kompletiranja vrijednosne input-output tabele i rješavanja input-output modela definišu se sljedeći pojmovi i odgovarajući simboli. U vrijedonosnoj input-output tabeli simbolu količine se dodaje gore desno znak “+„ kojim se označava novčana vrijednost pri-padnih količina tj. proizvod pripadne cijene i odgovarajuće količine.

Vektor vrijednosti bruto proizvodnji se naziva i vektorom prihoda i definiše se sljede-ćim izrazom:

[ ]1 1 11

2 2 22i i

n n nn

XXXX

X

XX

ππ

π

+

++

+

Π ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Π ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = Π = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Π ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Matrica vrijednosti internih inputa se dobija kada se matrica internih inputa izraženih u količinskim jedinicama mjere pomnoži sa internim cijenama:

1 11 1 12 1 111 12 1

2 21 2 22 2 221 22 2

1 21 2

nn

nnij i ij n nn n

n n n n n nnn n nn

Q Q QQ Q QQ Q QQ Q Q

Q Q

Q Q QQ Q Q

π π ππ π π

π

π π π

+ + +

+ + ++

××

+ + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Vektor vrijednosti internih raspodjela se dobija sabiranjem internih inputa koje koris-te sektori u sistemu P:

11

21

1

1

n

jj

nn

jjij

j

n

njj

Q

QQ

Q

+

=

++

==

+

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑∑

∑

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

371

Vektor vrijednosti finalnih potrošnji (finalnih isporuka)

[ ]1 11

2 22i i i

n nn

YYYY

Y Y

YY

ππ

π

π

+

++

+

⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Vektor vrijednosti ukupnih eksternih inputa, odnosno uvoza u sistem se dobija mno-ženjem vektora ukupnih eksternih efekata količinski izraženih sa nabavnim cijenama.

[ ]1 11

2 22e e e

m mm

c UUc UU

U c U

c UU

+

++

+

⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Matrica vrijednosti eksternih inputa se kompletira množenjem matrice eksternih inpu-ta izraženih u količinskim jedinicama sa nabavnom cijenom.

1 11 1 12 1 111 12 1

2 21 2 22 2 221 22 2

1 21 2

nn

nnej e ej m nm n

m m m m m mnm m mn

c W c W c WW W Wc W c W c WW W W

W c W

c W c W c WW W W

+ + +

+ + ++

××

+ + +

⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Vektor vrijednosti eksternih raspodjela se dobija sabiranjem duž redova vrijednosti eksternih inputa od pojedinih eksternih dobavljača utrošenih u sistemu P.

11

1

221

1

1

n

jj

nn

jjej e

j

m n

mjj

WU

WUW U

UW

+

=+

+++ +

==

+

+

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑∑

∑

Unoseći definisane elemente u tabelu kompletira se sljedeća vrijednosna input-output tabela:


372

Tabela 7. Opšti oblik vrijednosne (transakcione) input-output tabele Sektori primaoci

Pj P1 P2 … Pn

Sektori davaoci Pi ijQ +⎡ ⎤⎣ ⎦

1

n

ijj

Q +

=∑ Yi

+ Xi+

P1 11Q + 12Q + … 1nQ + 1 j

jQ +∑ Y1

+ X1+

P2 21Q + 22Q + … 2nQ + 2 jj

Q +∑ Y2+ X2

+

Pn 1nQ + 2nQ + … nnQ + njj

Q +∑ Yn+ Xn

+

1

n

iji

Q +

=∑ 1i

iQ +∑

2ii

Q +∑ … ini

Q +∑ 1 1

n n

ijj j

Q R+ +

= ==∑∑ Y+ X+

Se ejW +⎡ ⎤⎣ ⎦ 1

n

e ejj

U W+ +

== ∑

S1 11W + 12W + … 1nW + 1 1 jj

U W+ += ∑

S2 21W + 22W + … 2nW + 2 2 jj

U W+ += ∑

Sm 1mW + 2mW + … mnW + m mjj

U W+ += ∑

1

m

eje

W +

=∑

1e

eW +∑

2e

eW +∑ … en

eW +∑

1

m

ee

U U+ +

== ∑

Mj M1 M2 … Mn 1

n

jj

M M=

= ∑

Vj V1 V2 … Vn 1

n

jj

V V=

= ∑

Πj Π1 Π2 … Πn 1

n

jj=

Π = Π∑

Vrijednosna tabela predstavlja informativnu osnovu za analizu strukture vrijednosti proizvo-dnog sistema. U vrijednosnoj tabeli su sadržane sljedeće osnovne specifične skupine elemenata:


373

Matrica elemenata Qij+ koje izražavaju vrijednost reprodukcione potrošnje svakog

sektora (proizvođača), detaljno raščlanjenu po sektorima davaocima.

Kolona vrijednosti interne raspodjele od n sektora davaoca 1

n

ijj

Q +

=∑ .

Kolona Yi+ vrijednosti finalnih potrošnji (finalnih isporuka). Svaka od finalnih potro-

šnji, se može specificirati po pojedinačnim potrošačima, korisnicima ili specifičnim oblicima potrošnje ukoliko postoji potreba za detaljnijom analizom i dekompozicijom ove veličine. Tako, npr. u sistemu narodne privrede, vrijednost finalnih isporuka se može raščlaniti na investicije, ličnu potrošnju, opštu i zajedničku potrošnju, porast za-liha i izvoz. U tom slučaju, umjesto kolone, formirala bi se tabela vrijednosti finalnih isporuka.

Kolona vrijednosti bruto proizvoda (prihoda) svakog sektora Xi+ .

Red reprodukcione potrošnje svakog od sektora 1

n

iji

Q +

=∑ , reprodukciona potrošnja cije-

log sistema 1 1

n n

iji j

Q R+ +

= ==∑∑ , ukupna vrijednost finalne potrošnje cijelog sistema Y+ i

ukupna vrijednost bruto proizvodnje X+ cijelog sistema. Skup elemenata vrijednosti nabave izvana Wej

+ koji pokazuju vrijednosti eksterne po-trošnje po sektorima.

Kolona vrijednosti eksterne raspodjele od snabdjevača u sistem e ejj

U W+ += ∑ .

Red ukupne eksterne potrošnje po sektorima eje

W +∑ i ukupan uvoz u sistem U+ .

Red materijalnih troškova Mj po sektorima i ukupan materijalni trošak cijelog sistema M su izraženi kao zbirovi vrijednosti internih i eksternih inputa, odnosno reprodukci-one potrošnje domaćeg i uvoznog porijekla za svaki sektor i za cijeli sistem.

Red dodane vrijednosti Vj po sektorima i ukupna dodana vrijednost cijelog sistema V. Red dodane vrijednosti se može raščlaniti na sastavne dijelove: amortizaciju, lične dohotke, višak proizvoda itd. U slučaju dekompozicije dodane vrijednosti na sastavne dijelove red dodane vrijednosti bi bio transformisan u tabelu dodane vrijednosti.

Red prihoda svakog sektora Πj i ukupan prihod u sistemu Π.

Svakom sektoru (proizvođaču) u vrijednosnoj tabeli pripada red u kojem je predstavljena namjenska raspodjela vrijednosti ukupne proizvodnje svakog sektora i proizvodnog sistema u cijelosti. Za svaki proizvodni sektor i za cijeli proizvodni sistem u kolonama je predstav-ljeno formiranje strukture vrijednosti ukupne proizvodnje svakog sektora, kao i cijelog sistema. U tabeli treba biti ispunjen osnovni bilansni uslov prema kome vrijednost ostvare-ne ukupne proizvodnje u sistemu treba da bude jednaka vrijednosti raspodijeljene ukupne proizvodnje. To znači da treba da ostvarena jednakost zbirova odgovarajućih redova i kolo-na to jest:

i i j jX X+ +Π = = = Π .


374

3.3.2. Strukture vrijednosti u transakcionoj input-output tabeli U vrijednosnoj input-output tabeli moguće je posmatrati i analizirati osnovne strukture vri-jednosti. Duž redova se analiziraju strukture raspodjele ukupne proizvodnje, a duž kolona strukture stvaranja ukupne proizvodnje. Strukture raspodjele

Struktura raspodjele vrijednosti proizvodnje svakog sektora je predstavljena duž re-dova vrijednosne input-output tabele i zapisuje se u obliku sljedeće jednačine raspodjele:

1; 1,..., .

n

i i ij ij

X Q Y i n+ + +

=Π = = + =∑ (3.50)

Gornja jednačina pokazuje strukturu raspodjele vrijednosti proizvodnje (prihoda) sek-tora Pi .

Struktura raspodjele vrijednosti proizvodnje (prihoda) cijelog sistema P je u input-output tabeli predstavljena u odgovarajućem redu i ima sljedeći oblik

1 1 1 1

n n n n

i ij ii i j i

X X Q Y R Y+ + + + + +

= = = =Π = = = + = +∑ ∑∑ ∑ (3.51)

gdje je :

1 1

n n

iji j

Q R+ +

= ==∑∑ vrijednost reprodukcijskih potrošnji cijelog sistema (vrijednost utroše-

nog internog repromaterijala u ostvarenju ukupne proizvodnje, tj. realizovanog prihoda).

1

n

ii

Y Y+ +

==∑ vrijednost finalnih potrošnji (izvoza) cijelog sistema.

Struktura raspodjele vrijednosti eksternih inputa snabdjevača izvan sistema se zapisu-je u sljedećem izrazu:

; 1,..., .e ejj

U W e m+ += =∑ (3.52)

Struktura raspodjele vrijednosti svih uvoza u sistem

1 1 1

m m n

e eje e j

U U W+ + +

= = == =∑ ∑∑ (3.53)

Struktura materijalnih troškova proizvodnih sektora

1 1; 1,...,

n m

j ij eji e

M Q W j n+ +

= == + =∑ ∑ (3.54)


375

Struktura materijalnih troškova u cijelom sistemu P predstavlja vrijednost svih inter-nih i eksternih repromaterijala utrošenih u proizvodnji sistema P.

1

n

jj

M M R U+ +

== = +∑ (3.55)

Struktura raspodjele dodane vrijednosti na sektore (proizvođače)

j j j j jV X M M+= − = Π − (3.56)

Struktura raspodjele dodane vrijednosti u sistemu P

1

n

jj

V V M=

= = Π −∑ (3.57)

Struktura raspodjele ukupnog prihoda u sistemu P

1 1

n n

j ij i= =

Π = Π = Π∑ ∑ . (3.58)

Strukture formiranja vrijednosti proizvodnje U vrijednosnoj input-output tabeli moguće je duž kolona pratiti strukturu formiranja vrijed-nosti bruto proizvodnje pojedinih sektora i cijelog sistema.

Struktura formiranja vrijednosti bruto proizvodnje (prihoda) proizvođača Pj

1 1; 1,..., .

n m

j j j j ij ej ji e

X M V Q W V j n+ + +

= =

⎛ ⎞= Π = + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ (3.59)

Bruto proizvodnja sektora j se formira kao zbir materijalnih troškova i dodane vrijed-nosti. Materijalni troškovi se sastoje od materijalnih troškova za reprodukcionu potrošnju iz sistema, dakle internih inputa i materijalnih troškova iz uvoza, odnosno eksternih inputa. Za svaki sektor u sistemu se može kompletirati i analizirati jednači-na formiranja vrijednosti bruto proizvodnje.

Struktura formiranja vrijednosti svih proizvodnji u sistemu

1 1 1 1 1 1( )

n n n n m n

j ij ej jj j i j e j

X M V R U V Q W V+ + + + +

= = = = = == Π = Π = + = + + = + +∑ ∑∑ ∑∑ ∑ (3.60)

Bruto proizvodnja cijelog sistema je jednaka prihodu u cijelom sistemu i dobija se sa-biranjem materijalnih troškova i dodane vrijednosti u sistemu.

Struktura vrijednosti finalnih porošnji u sistemu

1

n

ii

Y Y+ +

==∑ (3.61)


376

Finalna potrošnja sistema je jednaka zbiru finalnih potrošnji n sektora sistema.

Struktura vrijednosti bruto proizvodnje u sistemu

1

n

ii

X X+ +

== = Π∑ (3.62)

Bruto proizvodnja sistema je jednaka zbiru bruto proizvodnji n sektora sistema i jed-naka prihodu proizvodnog sistema P.

Ravnoteža u input-output modelu U jednačini raspodjele vrijednosti proizvodnje sektora Pj (3.50) pokazano je kako se vrijed-nost proizvodnje raspodjeljuje na pojedine kategorije potrošnje. U jednačini vrijednosne strukture (3.59) pokazano je kako se vrijednost bruto proizvoda sektora Pj sastoji od materi-jalnih troškova i dodane vrijednosti. Osnovno računovodstveno pravilo je da se svaka veličina dva puta knjiži, i to jednom na prihodnoj strani i jednom na rashodnoj strani. Ove dvije strane prihodna i rashodna moraju biti jednake. To pravilo vrijedi i u input-output tabeli, što u slučaju bruto proizvodnje zapisujemo sljedećim izrazom Xi

+ = Xj+ za i = j. Vri-

jednost bruto proizvodnje koja je stvorena može se raspoređivati na različite kategorije potrošnje.

Kada se izraze jednačina raspodjele vrijednosti proizvodnje i jednačina strukture vrijednosti proizvodnje za istog proizvođača Pk dobija se jednakost:15

kj k ik ek kj i e

Q Y Q W V+ + + ++ = + +∑ ∑ ∑ . (3.63)

Ako se odvoji dio vrijednosti proizvodnje proizvođača Pk koju je raspodijelio u vlastitu potrošnju, tj.

kk kj k kk ik ek kj k i k e

Q Q Y Q Q W V++ + + + +

≠ ≠+ + = + + +∑ ∑ ∑

dobija se sljedeća jednačina

kj k ik ek kj k i k e

Q Y Q W V+ + + +

≠ ≠+ = + +∑ ∑ ∑ (3.64)

Lijeva strana jednačine (3.64) predstavlja dio vrijednosti proizvodnje proizvodnog sektora (proizvođača) Pk koju je raspodijelio na reprodukcionu potrošnju drugih sektora i na njego-vu finalnu potrošnju. Desna strana jednačine predstavlja dio vrijednosti proizvodnje proizvođača Pk koji je zbir vrijednosti internih repromaterijala utrošenih od ostalih proizvo-đača, vrijednosti utrošenih eksternih repromaterijala i dodane vrijednosti.

15 Prema Vučković, Ž., (2003), str. 70-73.


377

Ovi identiteti vrijede ne samo za pojedine proizvodne sektore (proizvođače) već i za cijeli proizvodni sistem. Sabirajući po i =1,...,n jednačine raspodjele vrijednosti proizvodnje pro-izvođača i po j =1,...,n jednačine formiranja vrijednosti proizvodnji proizvođača dobija se:

1 1 1 1

n n n n

i ij ii i j i

X X Q Y R Y+ + + + + +

= = = =Π = = = + = +∑ ∑∑ ∑

1 1 1 1 1 1

n n n n m n

j ij ej jj j i j e j

M V Q W V R U V+ + + +

= = = = = =Π = Π = + = + + = + +∑ ∑∑ ∑∑ ∑

Izjednačavanjem desnih strana dvije gornje jednačine slijedi:

R Y R U V+ + + ++ = + + (3.65)

Y U V+ += +

V Y U+ += − (3.66)

Jednačina (3.66) predstavlja ravnotežu vrijednosti bruto proizvoda cijelog proizvodnog sistema tj. vrijednost finalnih isporuka umanjena za vrijednost uvoza je jednaka dodanoj vrijednosti sistema.

3.3.3. Koeficijenti vrijednosnih input-output odnosa Za analizu vrijednosnih odnosa proizvodnog sistema primjenjivaće se vrijednosni koefici-jenti. Ovi koeficijenti će biti formirani i analizirani po analogiji sa količinskim koeficijentima koji su definisani i analizirani u slučaju količinske input-output tabele. Sve osobine koje su definisane za količinske koeficijente vrijede i za odgovarajuće vrijednosne koeficijente. Razlika je što se vrijednosni koeficijenti izražavaju u novčanim jedinicama mjere. Pored količinskih koeficijenata koji su formirani i analizirani u slučaju količinske input-output tabele, vrijednosna input-output tabela pruža mogućnost definisanja dodatnih koeficijenata koji zbog prirode jedinice mjere nisu mogli biti definisani u slučaju količinske input-output tabele. Vrijednosni koeficijenti internih inputa Vrijednosni koeficijent internog inputa pokazuje da proizvođač Pj po svakoj novčanoj jedi-nici (nj)17 svog outputa direktno troši ija + novčanih jedinica proizvodnje proizvođača Pi:

0; , 1,..., .ij i ij iij ij

j j j j

Q Qa a i j n

X Xπ ππ π

++

+

⋅= = = ⋅ ≥ =

⋅ (3.67)

Vrijednosni koeficijent internog inputa se može objasniti i na sljedeći način:


378

U svakoj novčanoj jedinici vrijednosti bruto proizvodnje proizvođača Pj nalazi se ija + novčanih jedinica vrijednosti proizvodnje proizvođača Pi.

Po analogiji, i uz ista objašnjenja koja su data za formiranje matrice količinskih koeficijena-ta, formira se i matrica vrijednosnih koeficijenata internih inputa [ ija + ]nxn tj.

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nij n n

n n nn

a a aa a a

A a

a a a

+ + +

+ + ++ +

×

+ + +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

za čije elemente vrijedi 0 1ija +≤ < 18.

I u slučaju vrijednosne input-output tabele vrijede sljedeći odnosi:

îj ij jQ a X+ + +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.68)

1îj ij ja Q X

−+ + +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.69)

Iz formule (3.67) dobija se veza sa tehničkim koeficijentima ija⎡ ⎤⎣ ⎦ količinskih odnosa napi-sanim u matričnom obliku:

[ ] 1ˆ îj i ij ja aπ π

−+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3.70)

odnosno

[ ] 1ˆ îj i ij ja aπ π− +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ . (3.71)

Napomena: Iz formule (3.67) slijedi da su dijagonalni elementi (i = j) matrica A i A+ jednaki.

Ako se sa 1

0 1n

j iji

a a+ +

=

≤ = <∑ označe zbirovi elemenata matrice A+ duž kolona, tada se

može objasniti značenje elementa ja + .

Kod proizvođača Pj po jednoj novčanoj jedinici njegovog prihoda dolazi ja + novčanih jedinica vrijednosti internog repromaterijala utrošenog iz sistema.

18 Na osnovu formule (3.59) i relacije (3.67) brojnik πi ⋅ Qij ≥ 0 je dio nazivnika πj ⋅Xj > 0, uz poželjnu

pretpostavku da je Vj >0, pa je Qij+ < Xj

+. To vrijedi i za zbirove duž kolona matrice A+.


379

Kada je kod nekog proizvođača Pk zbir 1

n

k iki

a a+ +

=

=∑ bliži jedinici, znači da je taj proizvo-

đač u većem stepenu primalac repromaterijala proizvedenih u sistemu njegova proizvodnja je više zavisna od repromaterijala iz sistema.

Vrijednosni koeficijenti eksternih inputa Vrijednosni koeficijent eksternih inputa pokazuje zavisnost vrijednosti bruto proizvodnje pojedinih sektora od vrijednosti eksternih inputa utrošenih u toj proizvodnji i koliko je pot-rebno utrošiti αej

+ novčanih jedinica vrijednosti eksternog inputa od snabdjevača Se da bi se proizvela jedna novčana jedinica vrijednosti bruto proizvodnje sektora Pj. Ovaj koeficijent se dobija množenjem količinskog koeficijenta eksternih inputa sa odgovarajućim cijenama.

0; 1,..., , 1,..., .ej e ej eej ej

j j j j

W c W c e m j nX X

α απ π

++

+

⋅= = = ⋅ ≥ = =

⋅ (3.72)

Značenje vrijednosnog koeficijenta eksternih inputa se može objasniti na sljedeći način: Svaka novčana jedinica vrijednosti bruto proizvodnje proizvođača Pj sadrži αej

+ novčanih jedinica vrijednosti eksternog inputa od snabdjevača Se.

Matrica vrijednosti eksternih inputa ej m nα +

×⎡ ⎤⎣ ⎦ se zapisuje u sljedećem obliku

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nej m n

m m mn

α α αα α α

α α

α α α

+ + +

+ + ++ +

×

+ + +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i za njene elemente vrijedi 0 ≤ ejα + < 119.

Sljedeće dvije relacije vrijede i primjenjuju se u analizi i rješavanju input-output modela:

êj ej jW Xα+ + +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.73)

1êj ej jW Xα

−+ + +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .(3.74)

Iz formule (3.72) se dobija veza sa tehničkim koeficijentima eksternih inputa količinskih odnosa u matričnom obliku:

[ ] 1ˆ êj e ej jcα α π

−+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3.75)

19 Na osnovu formule (3.59) i relacije (3.72) brojnik ce ⋅ Wej ≥ 0 je dio nazivnika πj ⋅Xj > 0, uz poželjnu

pretpostavku Vj >0, pa je Wej+ < Xj

+.To vrijedi i za zbirove duž kolona matrice α+.


380

odnosno

[ ] 1ˆ êj e ej jcα α π− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.76)

Ako se sa 1

0 1; ( 1,..., )m

j eje

j nα α+ +

=

≤ = < =∑ označe zbirovi elemenata matrice α+ duž ko-

lona, tada element jα + ima sljedeće značenje:

Kod proizvođača Pj po jednoj novčanoj jedinici njegovog prihoda dolazi jα + novčanih jedinica vrijednosti utrošenog eksternog repromaterijala dobijenog van sistema.

Vrijednosni koeficijenti raspodjele Vrijednosni koeficijenti raspodjele se definišu sljedećim izrazom:

0; , 1,..., .ij i ij ijij ij

i i i i

Q Q Qr r i j n

X X Xππ

++

+

⋅= = = = ≥ =

⋅ (3.77)

To su, kao što je već objašnjeno u slučaju količinskih koeficijenata raspodjele, neimenovani brojevi koji se izražavaju u procentima.

Značenje vrijednosnog koeficijenta raspodjele je sljedeće: Proizvođač Pi je raspodijelio (rij⋅100%) vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvođaču Pj.

Vrijednosni koeficijenti raspodjele se mogu zapisati i u matričnom obliku:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nij ij n nn n

n n nn

r r rr r r

r r

r r r

+

××

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Pri rješavanju input-output modela mogu se koristiti sljedeće relacije: 1ˆ

ij i ijr X Q−

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3.78)

îj i ijQ X r+ +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.79)

Za zbirove duž redova matrice koeficijenata raspodjele vrijedi:


381

1

0 1; 1,..., .n

ij ij

r r i n=

≤ = ≤ =∑ (3.80)

Vrijednost 100%ir ⋅ pokazuje koliko procentualno je vrijednosti bruto proizvodnje Xi

(prihoda) proizvođača Pi ostvareno u sistemu.

Ako je kod nekog proizvođača Pk zbir 1

n

k kjj

r r=

= ∑ duž k-tog reda matrice ijr⎡ ⎤⎣ ⎦ bliži jedinici,

to je taj proizvođač u većem stepenu davalac repromaterijala proizvodnjama u sistemu.

Koeficijenti dodane vrijednosti Količinski koeficijent dodane vrijednosti u prihodu proizvođača Pj se definiše sljede-ćim količnikom:

0; 1,..., .jj

j

Vv j n

X= > = (3.81)

Koeficijenti dodane vrijednosti se mogu zapisati u vektorskom obliku:

1

2j

n

vv

v

v

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Značenje koeficijenata dodane vrijednosti je sljedeće: Po svakoj količinskoj jedinici svog bruto proizvoda proizvođač Pj je ostvario vj novčanih jedinica dodane vrijednosti Vj.

Vrijednosni koeficijent dodane vrijednosti u prihodu proizvođača Pj se definiše sljede-ćim izrazom

0; 1,...,jj

j

Vv j n

X+

+= > = . (3.82)

Za koeficijente zapisane u vektorskom obliku


382

1

2j

n

vv

v

v

+

++

+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i vrijedi uslov 0 1jv +< < 20.

Vrijednosni koeficijent dodane vrijednosti ima sljedeće značenje: Po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti bruto proizvoda proizvođaču Pj se ostvaruje vj

+ novčanih jedinica dodane vrijednosti Vj.

Veza između količinskog i vrijednosnog koeficijenta dodane vrijednosti proizilazi iz formu-la (3.81) i (3.82):

j jj

j j j

V vv

Xπ π+ = =

⋅. (3.83)

Vrijednosni koeficijenti materijalnih troškova Vrijednosni koeficijenti materijalnih troškova se definišu za pojedine sektore i za cijeli sis-tem kao odnos materijalnih troškova i vrijednosti bruto proizvodnje:

; 1,..., .jj

j

Mm j n

X+

+= = (3.84)

U vektorskom obliku koeficijent materijalnih troškova se zapisuje sljedećim izrazom:

1

2j

n

mm

m

m

+

++

+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i vrijedi 0 1jm +≤ < 21.

Vrijednosni koeficijent materijalnih troškova pokazuje da je u svakoj novčanoj jedinici vrijednosti bruto proizvoda proizvođača Pj udio materijalnih troškova mj novčanih jedinica.

20 U razlomku (3.82) brojnik Vj je dio nazivnika Xj

+, pa za sve vrijedonosne koeficijente dodane vrijednosti vrijedi ovo ograničenje.

21 U razlomku (3.84) brojnik Mj je dio nazivnika Xj+, pa za sve vrijedonosne koeficijente materijalnih troško-

va vrijedi ovo ograničenje.


383

Pošto su materijalni troškovi jednaki zbiru vrijednosti utrošenih internih i eksternih repro-materijala

1 1; 1,...,

n m

j ij eji e

M Q W j n+ +

= == + =∑ ∑

dijeleći gornji izraz sa Xj+ dobija se:

1 1

n mij ej

ji ej j

Q Wm

X X

+ ++

+ += =

= +∑ ∑

odnosno

1 1

1,..., .

n m

j ij eji e

j j j

m a

m a j n

α

α

+ + +

= =

+ + +

= +

= + =

∑ ∑ (3.85)

U prethodnom izrazu koeficijent materijalnih troškova je izražen kao zbir zbirova elemena-ta matrice A+ duž kolona i zbirova elemenata matrice α+ duž kolona.

Koeficijent materijalnih troškova pokazuje da se u svakoj novčanoj jedinici vrijednosti bruto proizvoda proizvođača Pj nalazi mj

+ novčanih jedinica vrijednosti utrošenog repromaterijala iz sistema i od eksternih dobavljača.

Strukture jediničnih vrijednosti bruto proizvodnji Ako se jednačina (3.59) formiranja vrijednosti prihoda Πj = Xj

+ proizvođača Pj

1 1; 1,...,

n m

j ij ej ji e

Q W V j n+ +

= =Π = + + =∑ ∑

odnosno

j j i ij e ej jj e

X Q c W Vπ π= ⋅ + ⋅ +∑ ∑

podijeli sa pripadnim prihodom Πj = Xj+ dobija se:

1 11

n mij ej j

i ej j j

Q W VX X X

+ +

+ + += =

= + +∑ ∑

ili

1 11

1 1,...,

n m

ij ej ji e

j j j

a v

a v j n

α

α

+ + +

= =

+ + +

= + +

= + + =

∑ ∑ (3.86)

dakle,


384

1 j jm v+ += + (3.87)

Jednačina (3.86) predstavlja strukturu formiranja jedinične vrijednosti bruto proizvodnje (prihoda) proizvođača Pj.

Objašnjenje jednačine je da se svaka novčana jedinica vrijednosti bruto proizvoda proizvo-đača Pj sastoji od:

1

n

j iji

a a+ +

== ∑ novčanih jedinica vrijednosti internog repromaterijala,

1

m

j eje

α α+ +

== ∑ novčanih jedinica vrijednosti eksternog repromaterijala,

jv + novčanih jedinica dodane vrijednosti.

odnosno iz jednačine (3.87) slijedi objašnjenje da se svaka novčana jedinica vrijednosti bruto proizvoda proizvođača Pj sastoji od:

jm + novčanih jedinica materijalnih troškova,

jv + novčanih jedinica dodane vrijednosti.

Strukture jediničnih vrijednosti proizvodnje ostaju nepromijenjene sve dok se ne mijenjaju interne cijene, nabavne cijene, tehnički koeficijenti internih inputa, tehnički koeficijenti eksternih inputa. Jedinične vrijednosti proizvodnje ne zavise od nivoa bruto proizvodnji Xj.

3.3.4. Analiza proizvodnog sistema u vrijednosnoj strukturi Zavisnosti vrijednosti bruto proizvodnji, vrijednosti finalnih potrošnji i uvoza U poglavlju 3.2.3. predstavljena je analiza proizvodnog sistema izraženog u količinskim odnosima, kao i međuzavisnosti između određenih kategorija u količinskoj input-output analizi. Ovdje će se predstaviti i analizirati analogne veze između kategorija u vrijednosnoj input-output analizi i tumačenje njihovih elemenata. Dokaze i izvođenja zavisnosti vrijed-nosti bruto proizvoda od vrijednosti finalnih potrošnji i vrijednosti uvoza te zavisnost vrijednosti finalnih potrošnji od vrijednosti bruto proizvoda i uvoza u sistem neće se pono-vo prezentovati jer su već predstavljeni za količinske odnose. Po analogiji ove zavisnosti se izvode i za vrijednosne odnose.

Zavisnost vrijednosti finalnih potrošnji od vrijednosti bruto proizvodnje:

;Y L X L I A+ + + + += ⋅ = − (3.88)

Zavisnost vrijednosti bruto proizvoda od vrijednosti finalnih potrošnji:


385

1; ( )X B Y B L+ + + + + −= ⋅ = (3.89)

Zavisnost uvoza od bruto proizvodnji:

U Xα+ + += ⋅ (3.90)

Zavisnost uvoza od finalnih potrošnji:

,U Y Bβ β α+ + + + + += ⋅ = ⋅ . (3.91)

U analizi navedenih međuzavisnosti u proizvodnom sistemu u vrijednosnom obliku koriste se: matrica tehnologije, matrica ukupnih utrošaka internih inputa i matrica ukupnih utrošaka eksternih inputa vrijednosno izražene. Značenja ovih matrica se daju po analogiji sa objaš-njenjima koja su predstavljena u dijelu 3.2.3. za ove matrice u količinskom izrazu. Predstaviće se elementi navedenih matrica vrijednosno izraženi i objasniti njihovo značenje.

Element matrice tehnologije u vrijednosnom izrazu se zapisuje u sljedećem obliku:

iij

j

YlX

++

+

∂=∂

i vrijedi 0 (1 ) 1

0ii ii

ij ij

i j l ai j l a

+ +

+ +

⎧ = ⇒ < = − ≤⎪⎨ ≠ ⇒ = − ≤⎪⎩

(3.92)

i ima sljedeće značenje:

Ako se želi samo vrijednost bruto proizvodnje Xj+ proizvođača Pj povećati za jednu

novčanu jedinicu, a vrijednosti bruto proizvodnji ostalih proizvođača ostanu nepromijenjene, tada vrijednost neto proizvodnje Yi

+ proizvođača Pi treba promijeniti za ijl + novčanih jedinica.

Element matrice ukupnih utrošaka internih inputa vrijednosno izražen:

jji

i

Xb

Y

++

+

∂=∂

i vrijedi ; 1; 0

iiji

ji

i j bb

i j b

++

+

⎧ = ≥⎪= ⎨ ≠ ≥⎪⎩. (3.93)

Pokazuje da ako se želi samo vrijednost finalna potrošnja Yi+ ≥ 0 povećati za jednu

novčanu jedinicu, a finalne potrošnje ostalih sektora ostanu nepromijenjene, vrijednost bruto proizvodnje Xj

+ ≥ 0 treba povećati za 0jib + ≥ novčanih jedinica.

Element matrice eksternih inputa vrijednosno izražen:

0eej

j

UX

α+

++

∂= ≥

∂. (3.94)


386

Znači da ako se samo vrijednost bruto proizvodnje Xj+ proizvođača Pj poveća za jednu

novčanu jedinicu, a vrijednosti bruto proizvodnji ostalih proizvođača ostanu nepromijenjene, tada se vrijednost ukupnog eksternog inputa od Se treba povećati za ejα + novčanih jedinica.

Element matrice ukupnih utrošaka eksternih inputa vrijednosno izražen:

0eei

i

UY

β+

++

∂= ≥

∂. (3.95)

Elementi ove matrice imaju sljedeće značenje: Ako se želi povećati samo vrijednost finalne potrošnje Yi

+ za jednu novčanu jedinicu, a da vrijednosti finalnih potrošnji ostalih sektora ostanu nepromijenjene, treba vrijednost ukupnog eksternog inputa (uvoza) od snabdjevača Se povećati za βei

+ novčanih jedinica.

Zavisnost dodane vrijednosti Vj proizvođača Pj od finalnih isporuka Yi proizvođača Pi

Kako je ; 1,...,j j jV v X j n= ⋅ = u matričnom obliku zapisano:

1 1 1

2 2 2

1 1

0 00 0

0 0n n nn n n n

V v XV v X

V v X× × ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1ˆj j jn n n n

V v X× × ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Kako je j ji iX b Y⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ dobija se

[ ]

1 1 11 12 1 1

2 2 21 22 2 2

1 21 1

11

0 00 0

0 0

ˆ

n

n

n n n n nn nn n n n n n

j j ji i nn n n n n

V v b b b YV v b b b Y

V v b b b Y

V v b Y× × × ×

×× × ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


387

Ako se označi

1 11 1 12 1 1

2 21 2 22 2 2

1 2

ˆ

n

nji j jin n

n n n n n nn

v b v b v bv b v b v b

d v b

v b v b v b

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

22

dalje se može pisati

[ ] 11j ji i nn n nV d Y

×× ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.96)

Izvuče li se j–ti red iz prethodne matrične jednačine dobija se:

1; 1,..., .

n

j ji ii

V d Y j n=

= ⋅ =∑ (3.97)

Računajući parcijalne izvode iz prethodne jednačine dobija se izraz za koeficijent dji

0jji j ji

i

Vd v b

Y∂

= = ≥∂

(3.98)

koji ima sljedeće značenje:

Ako se samo finalna potrošnja Yi proizvođača Pi poveća za jednu količinsku jedinicu, a

ostale finalne potrošnje ostanu nepromijenjene, dodana vrijednost proizvođača Pj će se povećati za dji

novčanih jedinica.

Naime, element bji pokazuje veličinu proizvodnje j-tog sektora koja je direktno i indirektno uslovljena količinskom jedinicom finalnih isporuka i-tog sektora. Ako se veličinu proizvo-dnje j- tog proizvođača pomnoži veličinom dodane vrijednosti tog proizvođača koju on ostvaruje po količinskoj jedinici svoje proizvodnje, dobit će se veličina dodane vrijednosti tog proizvođača uslovljena količinskom jedinicom finalnih isporuka i-tog proizvođača (sek-tora).

Analogno, može se pokazati zavisnost dodane vrijednosti Vj proizvođača Pj od vrijednosti finalne potrošnje Yi

+ proizvođača Pi.

Pošto je ; 1,...,j j jV v X j n+ += ⋅ = , gdje je vj+ vrijednosni koeficijent dodane vrijednosti, u

matričnom obliku se može zapisati

1 1ˆj j jn n n n

V v X+ +

× × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Uvrštavanjem j ji iX b Y+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ u gornji izraz se dobija 22 Matrica ˆji j jid v b⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ predstavlja matricu ukupnih koeficijenata dodane vrijednosti.


388

1 1ˆ .j j ji in n n n n n

V v b Y+ + +

× × × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ako se označi

1 11 1 12 1 1

2 21 2 22 2 2

1 2

ˆ

n

nji j jin n

n n n n n nn

v b v b v bv b v b v b

d v b

v b v b v b

+ + + + + +

+ + + + + ++ + +

×

+ + + + + +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

23

može se napisati

1 1j ji in n n nV d Y+ +

× × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.99)

Izvuče li se j–ti red iz prethodne matrične jednačine, dobija se:

1

; 1,..., .n

j ji ii

V d Y j n+ +

=

= ⋅ =∑ (3.100)

Računajući parcijalne izvode iz prethodne jednačine dobija se koeficijent u vrijednosnom izrazu:

0jji j ji

i

Vd v b

Y+ + +

+

∂= = ⋅ ≥

∂ (3.101)

koji ima sljedeće objašnjenje:

Ako se samo vrijednost finalne potrošnje Yi+ proizvođača Pi poveća za jednu novčanu

jedinicu, a ostale finalne potrošnje ostaju nepromijenjene, dodana vrijednost u prihodu proizvođača Pj će se povećati za dji

+ novčanih jedinica.

3.3.5. Analiza cijena u proizvodnom sistemu i uticaja njihove promjene Cijene veličina koje se nalaze u proizvodnom sistemu se mijenjaju, a time i cijene proizvo-dnje. Zbog toga može doći do narušavanja ravnoteže između potražnje i ponude proizvoda jednog ili više sektora. Za analizu cijena u proizvodnom sistemu i praćenja uticaja njihove promjene polazi se od pretpostavke da proporcije svakog sektora ostaju konstantne, tj. koe-ficijenti njihovih odnosa se ne mijenjaju uslijed promjena cijena.

23 Matrica ˆji j jid v b+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ predstavlja matricu ukupnih vrijednosnih koeficijenata dodane vrijed-

nosti.


389

Veza finalnih i internih cijena Proizvođači Pi, i = 1,...,n prodaju finalne potrošnje Yi po odgovarajućim tržišnim cijenama pi. Na taj način proizvodni sistem ostvaruje ukupan prihod po formuli:

1

n

i ii

p Y=

Π = ⋅∑ . (3.102)

Ako je proizvođač Pi proizveo Xi > 0 količinskih jedinica ukupne proizvodnje, on ostvaruje odgovarajući prihod Πi > 0. Ako je kod tog proizvođača Yi = 0, onda je piYi = 0, što znači da piYi nije prihod tog proizvođača jer su u njegovoj proizvodnji i dijelovi trošeni u repro-dukcijskoj potrošnji sistema. Pojedinačni prihod svakog proizvođača se ostvaruje vrijednošću bruto proizvodnje obračunate po internim cijenama, dakle Πi = πiXi.24

Ukupan prihod sistema je 1 1

n n

i i i ii i

p Y Xπ= =

Π = ⋅ = ⋅∑ ∑ .

Iz ravnotežne jednačine vrijednosti bruto proizvoda i odnosa Y = L·X slijedi:

1 1 1 1 1 1 1( ) ( )

n n n n n n n

j j j i i i ij j i ij jj j i i j j i

X p Y p l X p l Xπ= = = = = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Π = Π = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ,

Iz gornjeg izraza upoređujući 1

n

j jj

Xπ=

⋅∑ sa 1 1

( )n n

i ij jj i

p l X= =

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ dobija se

1; 1,..., .

n

j i iji

p l j nπ=

= ⋅ =∑ (3.103)

Ovaj sistem od n linearnih jednačina (j =1,...,n) se može napisati u matričnom obliku:

[ ] 11

T

j ij i nn n nl pπ

×× ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.104)

Jednačina (3.104) omogućava da se na osnovu određenih, poznatih finalnih cijena i poznate matrice tehnologije sistema odrede interne cijene po kojima se obračunavaju bruto proizvo-di i njegovi dijelovi kod pojedinih proizvođača.

Iz jednačine (3.103), računajući parcijalne izvode, dobija se:

jij

i

lpπ∂

=∂

; 0 (1 ) 1

0ii ii

ij ij

i j l ai j l a= ⇒ < = − ≤⎧

⎨ ≠ ⇒ = − ≤⎩. (3.105)

24 Vučković, Ž., (2003), str. 45.


390

Koeficijent lij iz gornjeg izraza ima sljedeće značenje: Ako se tržišna cijena pi poveća za jednu novčanu jedinicu, a ostale tržišne cijene ostanu nepromijenjene, tada internu cijenu πj treba promijeniti za lij novčanih jedinica.

Navedeno objašnjenje vrijedi i za svaku dodatnu promjenu tržišnih cijena, tj.

[ ] 11

T

j ij i nn n nl pπ

×× ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = ⋅ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.106)

Rješavajući jednačinu (3.104) po vektoru finalnih cijena, tj. množeći je sa inverznom matri-com matrice LT, odnosno matricom BT sa lijeve strane, dobija se:

[ ] 1 1

T

i ji jn n n np b π

× × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.107)

Ako se iz ovog sistema od n linearnih jednačina izdvoji i-ta jednačina, dobija se:

1

; 1,...,n

i j jij

p b i nπ=

= ⋅ =∑ . (3.108)

Iz jednačine (3.108), računajući parcijalne izvode, slijedi izraz za koeficijent bji

iji

j

p bπ∂

=∂

i vrijedi ; 1; 0

iiji

ji

i j bb

i j b= ≥⎧

= ⎨ ≠ ≥⎩. (3.109)

Koeficijent bji iz gornjeg izraza ima sljedeće značenje: Ako se interna cijena πj želi povećati za jednu novčanu jedinicu, a da ostale interne cijene ostanu nepromijenjene, tržišna cijena pi bi se trebala povećati za bji novčanih jedinica.

Pitanje koje ostaje otvoreno za diskusiju je da li se finalna potrošnja na tržištu može reali-zovati po cijenama koje su planirali proizvođači, a koje su u analizi označene kao tržišne ili finalne cijene.

Zavisnost koeficijenta dodane vrijednosti od internih i nabavnih cijena

Ako se jednačina strukture vrijednosti proizvodnje proizvođača Pj:

j j i ij e ej ji e

X Q c W Vπ π⋅ = ⋅ + ⋅ +∑ ∑ podijeli sa nivoom proizvodnje Xj, dobija se:

1 1

n mi ij e ej j

ji ej j j

Q c W VX X X

ππ

= =

⋅ ⋅= + +∑ ∑


391

odnosno

1 1

n m

j i ij e ej ji e

a c vπ π α= =

= ⋅ + ⋅ +∑ ∑ . (3.110)

Iz izraza (3.110) slijedi

1 1

n m

j j i ij e eji e

v a cπ π α= =

= − ⋅ − ⋅ =∑ ∑1

m

j j jj i ij e ejj i e

a a cπ π π α≠ =

− ⋅ − ⋅ − ⋅ =∑ ∑

1(1 ) ( )

m

j jj i ij e ejj i e

a a cπ π α≠ =

⋅ − + ⋅ − − ⋅ =∑ ∑1

m

j jj i ij e ejj i e

l l cπ π α≠ =

⋅ + ⋅ − ⋅ =∑ ∑ 1 1

n m

i ij e eji e

l cπ α= =

⋅ − ⋅∑ ∑ .

Za j =1,...,n dobija se sistem od n linearnih jednačina:

1 1

n m

j i ij e eji e

v l cπ α= =

= ⋅ − ⋅∑ ∑ (3.111)

koji se može zapisati u matričnom obliku:

[ ] [ ]T T

j ij i ej ev l cπ α⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.112) Iz (3.111) slijede parcijalni izvodi:

jij

i

vl

π∂

=∂

za koje 0 (1 ) 1

0ii ii

ij ij

i j l ai j l a= ⇒ < = − ≤⎧

⎨ ≠ ⇒ = − ≤⎩ (3.113)

0jej

e

vc

α∂

= − ≤∂

.(3.114)

Značenje parcijalnog izvoda (3.113) je sljedeće: Ako se samo interna cijena πi poveća za jednu novčanu jedinicu, a sve ostale interne cijene, kao i cijene nabave ostanu nepromijenjene, koeficijent dodane vrijednosti kod proizvođača Pj će se promijeniti za lij novčanih jedinica.

Značenje parcijalnog izvoda (3.114) je sljedeće: Ako se samo nabavna cijena ce poveća za jednu novčanu jedinicu, a ostale cijene nabavne, kao i interne cijene, ostanu nepromijenjene, koeficijent dodane vrijednosti kod proizvođača Pj će se smanjiti za αej novčanih jedinica.

Prethodna dva objašnjenja vrijede i za svaku dodanu promjenu:

[ ] [ ]T T

j ij i ej ev l cπ α⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = ⋅ Δ − ⋅ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.115)


392

Množeći jednačinu (3.112) sa lijeve strane sa matricom T

jib⎡ ⎤⎣ ⎦ dobija se:

[ ] [ ]T T T

i ji j ji ej eb v b cπ α⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ odnosno

[ ] [ ] [ ]; , 1,..., ; 1,..., .T T

i ji j ei eb v c i j n e mπ β⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.116)

Iz sistema (3.116) može se napisati i – ta jednačina:

1 1

n m

i j ji e eij e

v b cπ β= =

= ⋅ + ⋅∑ ∑ . (3.117)

Računajući parcijalne izvode iz jednačine (3.117), dobija se:

iji

j

bvπ∂

=∂

i vrijedi ; 1; 0

iiji

ji

i j bb

i j b= ≥⎧

= ⎨ ≠ ≥⎩. (3.118)

0iei

ecπ β∂

= ≥∂

. (3.119)

Značenje koeficijenta bji zapisanog u izrazu (3.118) je sljedeće: Ako se koeficijent dodane vrijednosti vj želi povećati za jednu novčanu jedinicu, a da svi ostali koeficijenti dodane vrijednosti ostanu isti, kao i nabavne cijene, internu cijenu πi kod pripadnog proizvođača treba povećati za bji novčanih jedinica.

Značenje koeficijenta βei zapisanog u izrazu (3.119) je sljedeće: Ako se samo nabavna cijena ce poveća za jednu novčanu jedinicu, a da sve ostale nabavne cijene ostanu iste, kao i koeficijenti dodanih vrijednosti, internu cijenu πi kod proizvođača Pi treba povećati za βei novčanih jedinica.

Struktura jedinične vrijednosti proizvodnje i njena dekompozicija na uvoz i dodanu vrijednost Pokazana je polazna struktura vrijednosti jedinice proizvodnje j – tog proizvođača (sektora) jednačinom (3.86):

1 11

1 ; 1,..., .

n m

ij ej ji e

j j j

a v

a v j n

α

α

+ + +

= =

+ + +

= + +

= + + =

∑ ∑

Jedinica vrijednosti proizvodnje j-tog sektora formira se tako što jediničnim vrijednosnim utrošcima internih i eksternih repromaterijala, dakle jediničnim materijalnim troškovima, doda dodana vrijednost koja se ostvaruje u jediničnoj vrijednosti proizvodnje j-tog sektora.


393

Na isti način može se izračunati struktura jediničnih vrijednosti proizvodnje za svakog pro-izvođača (j = 1,...,n), pa se dobija sistem od n linearnih jednačina:

( ) ( )11 21 1 11 21 1 11 .. ..n ma a a vα α α+ + + + + + += + + + + + + + +

( ) ( )12 22 2 12 22 2 21 .. ..n ma a a vα α α+ + + + + + += + + + + + + + + ………………………………………………………… (3.120)

( ) ( )1 2 1 21 .. ..n n nn n n mn na a a vα α α+ + + + + + += + + + + + + + +

Gornji sistem jednačina se može zapisati u matričnom obliku:

[ ] [ ] [ ]1 1 1 11 1 1

T T

jn n mn n n m nA vα+ + +

× × ×× × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.121)

transponovanjem jednačine (3.121) dobija se:

[ ] [ ] [ ]1 1 1 11 1 1 jn n mn n m n n

A vα+ + +× × ×× × ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3.122)

Jednačina (3.122) se može napisati u obliku:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1

jn n mn n m n n

jn mn n m n n

jn mn n m n n

A v

I A v

L v

α

α

α

+ + +× × ×× × ×

+ + +× ×× × ×

+ + +× ×× × ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⋅ = ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − = ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Množeći prethodnu jednačinu sa desne strane sa [L+] –1 = B+ dobija se:

[ ] [ ]1 1 11 1 jn m m n n n n n n

B v Bα + + + +× × × × × ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

odnosno, pošto je α+B+ = β+, slijedi

[ ] [ ]1 1 11 1 jn m m n n n n

v Bβ + + +× × × × ×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (3.123)

Izdvoji li se j- ta kolona matrične jednačine (3.123), dobija se:

1 1

1 1

1

1

1

m n

ej i ije im n

ej ije i

j j

v b

d

d

β

β

β

+ + +

= =

+ +

= =

+ +

= + ⋅

= +

= +

∑ ∑

∑ ∑ . (3.124)


394

Jednačina (3.124) predstavlja dekomponiranu strukturu vrijednosti proizvodnje i izražena je kao zbir vrijednosti uvoza svih proizvođača (sektora) uvjetovanih jedinicom vrijednosti finalnih isporuka j-tog proizvođača i dodane vrijednosti koja se formira u svim sektorima, a sadržana je u jedinici vrijednosti, finalnih isporuka j- tog proizvođača25.

Istaknimo da relacije (3.86) i (3.124) pokazuju jediničnu strukturu vrijednosti proizvodnje sektora (proizvođača). U relaciji (3.86) jedinična struktura vrijednosti proizvodnje se izra-žava kao zbir direktnih vrijednosnih utrošaka internih i eksternih repromaterijala i dodane vrijednosti, sadržanih u jedinici vrijednosti proizvodnje, a relacija (3.124) pokazuje jedinič-nu strukturu vrijednosti proizvodnje kao zbir ukupnih vrijednosnih utrošaka vanjskih nabavki i dodane vrijednosti, sadržanih u jedinici vrijednosti finalnih potrošnji.

Na temelju ovako dekomponirane strukture vrijednosti pojedinog proizvođača (sektora) moguće je kvantificirati složene efekte što ih na promjenu cijena proizvoda pojedinog sek-tora vrši egzogena promjena uvoznih (nabavnih) cijena proizvoda ili promjena elementa dodane vrijednosti bilo kog proizvodnog sektora.

Primjer 3.6. Poznata je količinska input-output tabela jednog proizvodnog sistema

P1 P2 P3


Q∑ iY iX

P1 0 0 0 0 100 100 kom. P2 300 0 100 400 100 500 m3 P3 10 0 50 60 140 200 kg


S1 300 500 100 900 kwh S2 300 180 120 600

kao i finalne cijene (cijene izvoza): p1 = 23 KM/kom., p2 = 3 KM/m3, p3 = 10 KM/kg i nabavne cijene c1 = 0,5 KM/kwh, c2 = 0,2 KM/l.

a) Formirati odgovarajuću transakcionu input-output tabelu i objasniti njene sastav-ne dijelove;

b) Odrediti vrijednosne matrice internih i eksternih inputa ij eja i α+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ i objasniti značenje elemenata ovih matrica;

25 Andrijić, S.,(2002.) str. 229.


395

c) Tabelarno predstaviti strukturu jediničnih vrijednosti proizvodnje; d) Tabelarno predstaviti vrijednosnu strukturu raspodjele pojedinih proizvodnji.

Rješenje: a) Prvo se izračunavaju interne cijene po kojima se obračunavaju pojedine proizvod-nje i njihovi dijelovi (interni inputi i izvoz).

[ ]T

j ij il pπ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 0 0 0 0 01000 0 01 1300 0 100 0 0 3 0

500 210 0 50 1 11 00 0

10 4200

ijA a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = ⋅ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

0 0 0 1 0 01 0 01 10 1 0 3 0 3 12 2

0 0 1 1 1 1 30 010 4 10 4

ijL l

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = − = − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

11 3 23 13100 1 0 3 3

1 3 10 602 4

jπ

−⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Množeći proizvodnje proizvođača odgovarajućim internim cijenama dobija se odgo-varajuća transakciona (vrijednosna) input-output tabela:


396

P1 P2 P3 ijQ+

ijj

Q+∑ iY + iX +

P1 0 0 0 0 1300 1300 P2 900 0 300 1200 300 1500 P3 60 0 300 360 840 1200

iji

Q+∑ 960 0 600 R+=1560 Y+=2440 X+=4000

ejW + ej

jW +∑

S1 150 250 50 450 S2 60 36 24 120

eje

W +∑ 210 286 74 U+=570

Mj 1170 286 674 M=2130 Vj 130 1214 526 V=1870 Πj 1300 1500 1200 Π=4000

Objašnjenje elemenata tabele po redovima: Proizvođač P1 je ostvario prihod X1

+ = 1300 KM samo kroz prodaju svoje fi-nalne isporuke.

Proizvođač P2 je ostvario prihod X2+ = 1500 KM, i to 300 KM kroz prodaju

svoje finalne isporuke i 1200 KM u reprodukcijskoj potrošnji u sistemu, od toga kroz proizvodnju proizvođača P1 900 KM i kroz proizvodnju proizvođača P3 300KM.

Proizvođač P3 je ostvario prihod X3+ = 1200 KM, i to 840 KM kroz prodaju

svoje finalne isporuke i 360 KM u reprodukcijskoj potrošnji u sistemu, od toga kroz proizvodnju proizvođača P1 60 KM i kroz vlastitu proizvodnju 300 KM.

Zbirno u sistemu je ostvaren prihod X+ = 4000 KM, i to kroz vrijednost izvoza Y+ = 2440KM i vrijednost reprodukcijske potrošnje u sistemu R+ = 1560KM.

;iji j

R Q X R Y+ + + + += = +∑∑ .

U sistem je uvezen eksterni input od snabdjevača S1 u vrijednosti 450KM, i to kroz proizvodnje proizvođača P1 150 KM, P2 250 KM i P3 50 KM.

U sistem je uvezen eksterni input od snabdjevača S2 u vrijednosti od 120KM i to kroz proizvodnje proizvođača P1 60 KM, P2 36 KM i P3 24 KM.

Zbirno u sistem je uvezeno 570 KM, vrijednosti eksternog repromaterijala i to kroz proizvodnje proizvođača P1 210 KM, P2 286 KM, P3 74KM.


397

Materijalni troškovi sistema iznose M = 2130 KM i to kod proizvođača P1 1170 KM, P2 286 KM i P3 674 KM.

Dodana vrijednost u prihodu sistema je V = 1870 KM i to kod P1 130 KM, P2 1214 KM i P3 526 KM.

Ukupan ostvaren prihod u sistemu je Π = 4000 KM i to proizvođača P1 1300 KM, P2 1500 KM i P3 1200 KM.

Objašnjenje elemenata tabele po kolonama: Kod proizvođača P1 prihod je Π1 = 1300 KM i predstavlja zbir materijalnih tro-

škova M1 = 1170 KM koji je zbir 960 KM vrijednosti internog repromaterijala (900 KM dobijenog od P2 i 60 KM dobijenog od P3) i 210 KM vrijednosti eks-ternog repromaterijala (150 KM dobijenog od S1 i 60 KM dobijenog od S2) i dodane vrijednosti V1 = 130KM.

Kod proizvođača P2 prihod je Π2 = 1500 KM i predstavlja zbir materijalnih tro-škova M2 = 286KM samo kao vrijednost eksternog repromaterijala (250 KM dobijenog od S1 i 36KM dobijenog od S2) i dodane vrijednosti V2 = 1214 KM.

Kod proizvođača P3 prihod je Π3 = 1200 KM i predstavlja zbir materijalnih tro-škova M3 = 674 KM koji je zbir 600 KM vrijednosti internog repromaterijala (300 KM dobijenog od P2 i 300 KM kroz vlastitu proizvodnju) i 74 KM vrijed-nosti eksternog repromaterijala (50 KM dobijenog od S1 i 24 KM dobijenog od S2) i dodane vrijednosti V3 = 526 KM.

U sistemu je ostvaren prihod Π = 4000KM i predstavlja zbir materijalnih troš-kova sistema M = 2130 KM koji je zbir vrijednosti reprodukcijske potrošnje u sistemu R+ = 1560 KM i vrijednosti uvoza u sistem U+ = 570 KM i dodane vri-jednosti sistema V = 1870 KM.

Napomena: M = R+ + U+; Π = M + V.

b) Računa se

1 0 0 0 0 013000 0 01 9 1ˆ 900 0 300 0 0 0

1500 13 460 0 300 1 3 10 0 0

1200 65 4

ij ij ja Q X+ + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.


398

Objašnjenje elemenata vrijednosne matrice koeficijenata internih inputa: Po svakoj novčanoj jedinici (KM) vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvo-đač P1 nije direktno utrošio vrijednosti svoje proizvodnje 11 0a+ = , 21 9 /13a+ = vrijednosti proizvodnje proizvođača P2 i 31 3 / 65a+ = vrijednosti proizvodnje proizvođača P3.

Po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvođač P2 nije utrošio ništa vrijednosti internog repromaterijala iz sistema.

Po svakoj novčanoj jedinici (KM) vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvo-đač P3 nije direktno utrošio vrijednosti proizvodnje proizvođača P1 13 0a+ = , utrošio je 23 1/ 4a+ = vrijednosti proizvodnje proizvođača P2 i 33 1/ 4a+ = vrijed-nosti svoje proizvodnje.

Računa se 1 0 0

3 1 11300150 250 50 1 26 6 24ˆ 0 060 36 24 3 6 11500

1 65 25 500 01200

ej ej jW Xα+ + +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Objašnjenje elemenata vrijednosne matrice koeficijenata eksternih inputa: Po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvođač P1

je direktno utrošio vrijednosti eksternog repromaterijala α11+ = 3/26 od S1 i α21

+ = 3/65 od S2.

Po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvođač P2 je direktno utrošio vrijednosti eksternog repromaterijala α12

+ = 1/6 od S1 i α22+=

6/25 od S2. Po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvođač P3

je direktno utrošio vrijednosti eksternog repromaterijala α13+ = 1/24 od S1 i

α23+= 1/50 od S2.

c) Tabela strukture jediničnih vrijednosti proizvodnji:

Iz jednačine strukture jediničnih vrijednosti proizvodnji svakog proizvođača

1 11

1 ; 1,2,3

n m

ij ej ji e

j j j

a v

a v j

α

α

+ + +

= =

+ + +

= + +

= + + =

∑ ∑


399

P1 P2 P3

P1 0 0 0 P2 9/13 0 1/4 P3 3/65 0 1/4 ∑ 48/65 0 1/2 S1 3/26 1/6 1/24 S2 3/65 6/25 1/50 ∑ 21/130 61/150 37/600

mj+ 117/130 61/150 337/600

vj+ 13/130 89/150 263/600 1 1 1

Objašnjenje:

Proizvođač P1 u svakoj novčanoj jedinici (KM) vrijednosti bruto proizvodnje obračunava 48/65 KM vrijednosti ukupnog internog repromaterijala i 21/130 KM vrijednosti eksternog repromaterijala, tj. ukupno 117/130 KM materijalnih troškova i 13/130 KM dodane vrijednosti.

Proizvođač P2 u svakoj svojoj KM vrijednosti bruto proizvoda obračunava 61/150 KM vrijednosti eksternog repromaterijala i time isto materijalnih troš-kova i 89/150 KM dodane vrijednosti.

Proizvođač P3 u svakoj novčanoj jedinici (KM) vrijednosti bruto proizvodnje obračunava 1/2 KM vrijednosti ukupnog internog repromaterijala i 37/600 KM vrijednosti eksternog repromaterijala, tj. ukupno 337/600 KM materijalnih troš-kova i 263/600 KM dodane vrijednosti.

d) Kako je ij ijr r+⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎣ ⎦ i iz izračunate matrice

0 0 03 105 51 1020 4

ijr

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

slijedi:

100%ijr+ ⋅ 100%ir+ ⋅ 100%i

i

YX

+

+ ⋅

P1 0 0 0 0 100 P2 60 0 20 80 20 P3 5 0 25 30 70


400

Objašnjenje: Proizvođač P1 je svoj prihod kompletno rasporedio na vrijednost svoje finalne

potrošnje. Proizvođač P2 je svoj prihod rasporedio 20% na vrijednost finalne potrošnje i 80%

na vrijednost interne raspodjele - 60% proizvođaču P1 i 20% proizvođaču P3. Proizvođač P3 je svoj prihod rasporedio 70% na vrijednost finalne potrošnje i 30%

na vrijednost internih inputa, i to 5% proizvođaču P1 i 25% u vlastitu proizvodnju.

Primjer 3.7. Kod jednog proizvodnog sistema poznate su sljedeće matrice:

0, 2 0,10,1 0,4ijA a+ + ⎡ ⎤⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0,05 0,04

0 0,1ejα α+ + ⎡ ⎤⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a) Ako su planirane finalne potrošnje Y1 = 14 0kg i Y2 = 125 m3 i poznate interne cijene π1= 10 nj/kg i π2 = 8 nj/m3 kao i cijene uvoza c1 = 5nj/kwh i c2 = 4 nj/l kompletirati odgovarajuću transakcionu tabelu.

b) Kompletirati odgovarajuću količinsku I-O tabelu.

c) Ako se cijene uvoza povećaju za 1nj kolike trebaju biti interne cijene da bi doda-ne vrijednosti oba proizvođača ostale iste?

Rješenje:

a) 10 140 14008 125 1000

Y + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1;

0,8 0,10,1 0,6

0,6 0,147 100det0,1 0,8100 47

X B Y B L

L I A

L B

−+ + + + +

+ +

+ +

⎡ ⎤= ⋅ = ⎣ ⎦−⎡ ⎤

= − = ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎡ ⎤

= ⇒ = ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦

0,6 0,1 1400 20001000,1 0,8 1000 200047

0,2 0,1 2000 0 400 200ˆ0,1 0,4 0 2000 200 800ij ij j

X B Y

Q Xα

+ + +

+ + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


401

0,05 0,04 2000 0 100 80ˆ0 0,1 0 2000 0 200ij ej jW Xα+ + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Transakciona input-output tabela:

b) Količinska I-O tabela:

P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 40 20 60 140 200 P2 25 100 125 125 250 S1 20 16 36 S2 0 50 50

c) * * *j j j j j ij j ej e

i eV M X Q W cπ π⎢ ⎥= Π − = ⋅ − ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ;

gdje su πj* nove interne cijene po kojima se obračunavaju bruto proizvodnje i njeni

dijelovi i ce* nove cijene nabave.

Rješavanjem sistema jednačina dobija se:

P1 P2 ijj

Q+∑ iY +

iX +

P1 400 200 600 1400 2000 P2 200 800 1000 1000 2000

iji

Q+∑ 600 1000 1600 2400 4000

S1 100 80 180 S2 0 200 200

eje

W +∑ 100 280 380

M 700 1280 1980 V 1300 720 2020 P 2000 2000 4000


402

* * *1 1 2

* * *2 1 2

* *1 2

* *1 2

*1*2

1300 200 40 25 20 6 0 5

720 250 20 100 16 6 50 5

284 32 5

533 10 75

10.42

9.88

π π π

π π π

π π

π π

π

π

⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎣ ⎦

= ⋅ − ⋅

= − ⋅ + ⋅

=

=

Dakle, ako se cijene uvoza povećaju za 1nj, interne cijene bi se povećale 1π za 0,42 nj, a 2π za 1,88 nj.

Primjer 3.8. Poznata je nepotpuna vrijednosna input-output tabela, kao i vektori internih cijena

25 /15 /

nj komnj m

π⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

i nabavnih cijena 10 /20 /

nj kwhc

nj kom⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

P1 P2

ijQ+

ijj

Q+∑ iY + iX +

P1 0 1250 2500 P2 600 2100 3000

iji

Q+∑

ejW +

ejjW +∑

S1 0 100 S2 1200 160

eje

W +∑

Mj Vj Πj

a) Kompletirati vrijednosnu I-O tabelu. b) Napisati jednačinu raspodjele vrijednosti proizvodnje u sistemu. c) Koliko proizvođač P1 direktno utroši u svojoj proizvodnji internog inputa proiz-

vođača P2 ? d) Formirati količinsku input-output tabelu.


403

e) Izračunati matrice vrijednosnih koeficijenata internih i eksternih inputa i objasniti vrijednost elementa 12 12,a α+ + .

f) Odrediti koliko po jednoj nj proizvođač P2 ostvaruje dodane vrijednosti.

Rješenje: a) Vrijednosna I-O tabela

P1 P2 ijQ+

ij

jQ+∑ iY +

iX +

P1 0 1250 1250 1250 2500 P2 300 600 900 2100 3000

iji

Q+∑ 300 1850 2150 3350 5500 ejW +

ej

jW +∑

S1 0 100 100 S2 1200 160 1360

eje

W +∑ 1200 260 1460 Mj 1500 2110 3610 Vj 1000 890 1890 Πj 2500 3000 5500

b) 2 2 2

1 1 15500 2150 3350ij i

i j iX Q Y R Y+ + + + +

= = =

Π = = + = + ⇒ = +∑∑ ∑ .

c) 2121

2

300 2015

QQ mπ

+

= = = .

d) Dijeleći vrijednosti internih i eksternih inputa proizvođača sa odgovarajućim inter-nim i nabavnim cijenama, dobijamo količinsku I- O tabelu:

P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 0 50 50 50 100 P2 20 40 60 140 200 S1 0 10 10

S2 60 8 68


404

e) 1

1 50 00 1250 2500 12ˆ3 1300 600 1025 53000

ij ij ja Q X−

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

1

1 10 00 100 2500 30ˆ1200 160 1 12 40

3000 25 75

ij ej jW Xα−

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

12 125 1;

12 30a α+ += =

.

U svakoj novčanoj jedinici vrijednosti proizvodnje proizvođač P2 direktno utroši 512

vrijednosti proizvodnje proizvođača P1 i 130

vrijednosti uvoza od snabdjevača S1.

f) 22

2

890 0,2963000

VvX

++= = ≈ .

Primjer 3.9. Kod jednog proizvodnog sistema u tekućem periodu poznate su matrice:

1 140018 4 , 0 ,

1 1 60044 3

A Xα+ + +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

a) Kompletirati odgovarajuću vrijednosnu I- O tabelu proizvodnog sistema ; b) Izračunati vrijednosnu matricu koeficijenata ukupnih eksternih inputa [β+] i ko-

mentarisati vrijednosti koeficijenata direktnih i ukupnih utrošaka eksternih inputa za sektor P2;

c) Izračunati vrijednosne direktne i ukupne koeficijente dodane vrijednosti [v+] i [d+] i komentirati dobivene rezultate za sektor P2 ;

d) Napisati vrijednosnu strukturu jedinične proizvodnje za svaki sektor pomoću di-rektnih koeficijenata (polaznu strukturu), a zatim pomoću ukupnih koeficijenata (dekomponiranu strukturu).


405

Rješenje: a) Izračunavaju se:

1 1400 0 50 1508 4ˆ

1 1 0 600 100 2004 3

ij ij jQ Xα+ + +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]400 01ˆ 0 100 00 6004ej ej jW Xα+ + + ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Dobija se vrijednosna I-O tabela:

P1 P2 ijQ+

ij

jQ+∑ iY +

iX +

P1 50 150 200 200 400 P2 100 200 300 300 600

iji

Q+∑ 150 350 500 500 1000

ejW +

ejjW +∑

S1 100 0 100 Mj 250 350 600 Vj 150 250 400 Πj 400 600 1000

b) β+ = α+·B+; B+ = (L+)-1.

Računa se matrica B+:

7 18 4( )1 2

4 325det48

32 121 25 25( )

12 42det25 25

L I A

L

B LL

+ +

+

+ ++

−⎡ ⎤⎢ ⎥

= − = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


406

Sada matrica

32 121 8 325 250

12 424 25 2525 25

β +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Iz dobivenih matrica traženi direktni vrijednosni koeficijent eksternih inputa za proiz-vođača P2 je 12 0α+ = i pokazuje da proizvođač P2 u svojoj proizvodnji ne troši vrijednost eksternog repromaterijala.

Nadalje 112

2

325

UY

β+

++

∂= =

∂ pokazuje da jedinica vrijednosti finalne isporuke proizvođa-

ča P2 uvjetuje potrošnju eksternog repromaterijala kod svih proizvođača u vrijednosti od 3/25 nj.

c) Iz 3 58 12

jj

j

Vv v

X+ +

+

⎡ ⎤= ⇒ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

32 12 12 93 025 25 25 508ˆ12 42 1 75025 25 5 1012

d v B+ + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

To znači da je direktni vrijednosni koeficijent dodane vrijednosti proizvođača P2

25

12v+ = i pokazuje da se u jednoj novčanoj jedinici vrijednosti proizvodnje proizvo-

đača P2 nalazi 5/12 nj dodane vrijednosti.

Dalje, ukupni vrijednosni koeficijent dodane vrijednosti proizvođača P2 je

2 12 229 7 2250 10 25

d d d+ + += + = + = i pokazuje da jedinica vrijednosti finalne isporuke pro-

izvođača P2 sadrži 22/25 nj dodane vrijednosti formirane u svim sektorima proizvodnog sistema i to: u prvom 9/50 nj, u drugom 7/10 nj.

d) Struktura vrijednosti jediničnih proizvodnji:

1 11

1 ; 1, 2.

n m

ij ej ji e

j j j

a v

a v j

α

α

+ + +

= =

+ + +

= + +

= + + =

∑ ∑

Za sektor P1: 1 1 1 3( ) 18 4 4 8+ + + =


407

U jednoj novčanoj jedinici proizvodnje sektora P1 se nalazi 3/8 nj vrijednosti utroše-nog internog repromaterijala, ¼ vrijednosti utrošenog eksternog repromaterijala i 3/8 nj dodane vrijednosti.

Za sektor P2: 1 1 5( ) 0 14 3 12+ + + =

U jednoj novčanoj jedinici proizvodnje sektora P2 se nalazi 7/12 nj vrijednosti utroše-nog internog repromaterijala, ništa vrijednosti eksternog repromaterijala i 5/12 nj dodane vrijednosti.

Dekomponirana struktura vrijednosti jediničnih proizvodnji:

1 1

1 1

1 ;

1 ;

1

m n

ej i ije im n

ej ije i

j j

v b

d

d

β

β

β

+ + +

= =

+ +

= =

+ +

= + ⋅

= +

= +

∑ ∑

∑ ∑

Za sektor P1: 8 12 1 8 17( ) 125 25 5 25 25

+ + = + =

U jednoj novčanoj jedinici proizvodnje sektora P1 se nalazi 8/25 nj vrijednosti ekster-nih inputa i 17/25 nj dodane vrijednosti formirane u sistemu, a sadržanih u jedinici vrijednosti izvoza ovog sektora.

Za sektor P2: 3 9 7 3 22( ) 125 50 10 25 25

+ + = + =

U jednoj novčanoj jedinici proizvodnje sektora P2 se nalazi 3/25 nj vrijednosti ekster-nih inputa i 22/25 nj dodane vrijednosti formirane u sistemu, a sadržanih u jedinici vrijednosti izvoza ovog sektora.

Primjer 3.10. Kod nekog proizvodnog sistema poznate su sljedeće matrice

4 103 92 203 9

jib +

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 0254 125 30

ejα +

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


408

a) Ako su poznate cijene π1 = 50KM/kg; π2 = 30KM/m; c1 = 20KM/l; c2 = 40KM/kom. i ako je plan vrijednosti finalnih potrošnji Y1

+ = 2000KM i Y2+ =

2100KM formirati odgovarajuću količinsku I -O tabelu. b) Odrediti matricu eiβ +⎡ ⎤⎣ ⎦ i objasniti značenje elementa 12β + c) Koliko se u 1KM vrijednosti proizvodnje proizvođač P1 ostvaruje dodane

vrijednosti?

Rješenje:

a)

4 102000 50003 9

2 20 2100 60003 9

X B Y+ + +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )1 1I A B A I B

− −+ + + +− = ⇒ = −

( )

( ) 1

20 1020 9 9det ; *

2 493 3

20 10 119 9 9 2

3 32 42010 53 3

102

3 210 5

TB B

L B

A I L

+ +

−+ +

+ +

⎡ ⎤−⎢ ⎥= = ⇒⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = ⋅ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥

⇒ = − = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Izračunava se:

10 5000 0 0 30002ˆ3 2 0 6000 1500 2400

10 51 0 5000 0 200 025ˆ4 1 0 6000 800 200

15 30

ij ij j

ej ej j

Q X

W X

α

α

+ + +

+ + +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


409

Transakciona I-O tabela

P1 P2 ijj

Q+∑ iY +

iX +

P1 0 3000 3000 2000 5000 :50 P2 1500 2400 3900 2100 6000 :30

iji

Q+∑ 1500 5400 6900 4100 11000 S1 200 0 200 :20 S2 800 200 1000 :40

eje

W +∑ 1000 200 1200 Mj 2500 5600 8100 Vj 2500 400 2900 Xj

+ 5000 6000 11000


P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 0 60 60 40 100 P2 50 80 130 70 200 S1 10 0 10 S2 20 5 25

b)

112

2

1 4 10 4 2025 3 9 75 454 1 2 20 53 3425 30 3 9 225 135

245

ei ej jib

UY

β α

β

+ + +

++

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂= =∂

Ako se vrijednost izvoza od P2 želi povećati za 1KM, tada vrijednost uvoza od S1 tre-

ba povećati za 245

KM.

c) v1+ = 2500/5000 = 0,5.

U 1KM proizvodni sektor P1 ostvaruje 0,5KM dodane vrijednosti.


410

Primjer 3.11. U proteklom periodu poznata je vrijednosna input-output trosektorska tabela jedne privrede (u milionima $):

Industrija Poljoprivreda Tturizam

ijQ+ ij

jQ+∑ iY +

iX +

Industrija 150 100 50 300 200 500 Poljoprivreda 50 120 80 250 150 400 Turizam 0 0 100 100 200 300

iji

Q+∑ 200 220 230 R+=650 Y+=550 X+=1200 ejW +

ejjW +∑

S(uvoz) 200 100 50 350 Mj 400 320 280 M=1000 Vj 100 80 20 V=200 Πj 500 400 300 Π=1200

a) Odrediti matricu vrijednosnih koeficijenata internih inputa A+ i objasniti njene elemente;

b) Odrediti zbirove iji

a +∑ i objasniti njihove vrijednosti ;

c) Odrediti matricu B+ i objasniti njene elemente; d) Izračunati indirektne efekte vrijednosti finalnih isporuka svakog sektora na vrije-

dnost outputa čitavog sistema; e) Ako se planira da se vrijednost finalnih isporuka drugog sektora (poljoprivrede)

poveća za 50 miliona, a da vrijednosti finalnih isporuka ostalih sektora ostanu nepromijenjene, kako će to uticati na vrijednost ukupne proizvodnje pojedinih sektora te privrede, kao i na vrijednost uvoza privrednog sistema?

Rješenje:

a) 1

1 3 1 10 0500 10 4 6150 100 50

1 1 3 4ˆ 50 120 80 0 0400 10 10 15

0 0 100 1 10 0 0 0300 3

ij jA Q X−

+ + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


411

ili primjenom relacije ijij

j

Qa

X

++

+= objašnjava se:

Sektor industrije po svakom milionu vrijednosti outputa direktno utroši:

113

10a + = miliona vrijednosti vlastite proizvodnje, 21

110

a + = miliona vrijednosti

proizvoda poljoprivrede, 31 0a + = ništa od vrijednosti koju daje sektor turizma.

Sektor poljoprivrede po svakom milionu vrijednosti outputa direktno utroši:

1214

a + = miliona vrijednosti proizvoda prvog sektora (industrije), 223

10a + = mili-

ona vrijednosti vlastite proizvodnje, 32 0a + = ništa od vrijednosti koju daje sektor turizma.

Sektor turizma po svakom milionu vrijednosti svog outputa direktno utroši:

1316

a + = miliona vrijednosti proizvoda sektora industrije, 234

15a + = miliona vri-

jednosti proizvoda poljoprivrede, 3313

a + = miliona vrijednosti vlastitog outputa.

b) iji

a +∑ pokazuje vrijednosni utrošak interne proizvodnje (reprodukcione potrošnje)

sistema u jedinici vrijednosti outputa sektora j.

Iz matrice A+ sabirajući elemente po kolonama imamo:

14 0,4

10ii

a + = =∑ ;

U milionu vrijednosti outputa sektora 1 (industrije) nalazi se 0,4 miliona vrijed-nosti interne reprodukcione potrošnje sistema, ili u vrijednosti outputa sektora industrije učešće vrijednosti domaće ili interne potrošnje je 40%.

211 0,5520i

ia + = =∑ ;

U milionu vrijednosti outputa sektora poljoprivrede nalazi se 0,55 miliona vrijed-nosti interne potrošnje sistema.

323 0,7730i

ia + = ≈∑ ;

U milionu vrijednosti outputa sektora turizma nalazi se 0,77 miliona vrijednosti interne potrošnje sistema.

1 1( ) ( )B L I A+ + − + −= = − .


412

7 1 110 4 6

1 7 4( )10 10 15

20 03

I A+

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥− = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Pronađimo inverznu matricu tj. 1 ( )det

B LL

+ ++=

*

7 1 7 1 11015 15 15 6 60

31 1 7 1 7 21det ; (( ) ) 0100 6 15 15 15 100

11 21 93 930 060 100 200 200

T

TL L L+ + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

140 50 5593 93 93 1,51 0,54 0,5920 140 21 0, 22 1,51 0,6893 93 31

0 0 1,530 02

B+

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ≈ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

jji

i

Xb

Y

++

+

∂=∂

predstavlja zavisnost vrijednosti outputa sektora j uslovljena jediničnom

promjenom vrijednosti finalnih isporuka (izvoza) sektora i.

Objašnjenje: Ako povećamo vrijednost izvoza samo sektora 1(industrije) za milion, tada će se

njegova bruto vrijednost povećati za 11 1,51b + = miliona, bruto vrijednost sektora 2 (poljoprivrede) za 21 0, 22b + = miliona, a bruto vrijednost sektora 3 (turizma) će os-tati ista 31 0b + = ;

Ako povećamo vrijednost izvoza samo sektora 2 (poljoprivrede) za milion, tada će se bruto vrijednost sektora 1 (industrije) povećati za 12 0,54b + = miliona, vlastita bruto vrijednost za 22 1,51b + = miliona i bruto vrijednost sektora 3 (turizma) se ne-će promjeniti 32 0b + = ;


413

Ako povećamo vrijednost izvoza samo sektora 3 (turizma) za milion, tada će se bruto proizvodnje sektora industrije povećati za 0,59 miliona, sektora poljoprivre-de za 0,68 miliona i vlastita bruto vrijednost za 1,5 miliona.

d) (1 )ji jij j

b a+ +− +∑ ∑ 26

Suma indirektnih efekata prvog sektora: (1,51+0,22+0)-(1+0,3+0,1+0) = 0,33

Suma indirektnih efekata drugog sektora: (0,54+1,51+0)-(1+0,25+0,3+0)=0,5

Suma indirektnih efekata trećeg sektora: (0,59+0,68+1,5)-(1+0,77)=1.

Vidi se da najmanji indirektni efekt (putem međusobnih procesa u sistemu) ima sek-tor industrije, a najveći sektor turizma.

e) X B Y+ + +Δ = ⋅Δ

X +Δ =1,51 0,54 0,59 0 270, 22 1,51 0,68 50 75,5

0 0 1,5 0 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vrijednost outputa sektora industrije bi se povećao za 27 miliona, sektora poljopriv-rede za 75,5 miliona, a vrijednost outputa sektora turizma bi ostao isti.

U Yβ+ + +Δ = ⋅Δ 2 1 15 4 6

β + ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

02 1 1 50 12,55 4 6

0U +

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥Δ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Uvoz u sistem bi se povećao za 12,5 miliona.

26 U elementu jib + sadržan je ukupni efekat što ga na vrijednost outputa sektora j putem složenog sistema

čini jedinica vrijednosti izvoza sektora i, stoga se formira iz direktnih i indirektnih efekata. Direktni efekt je predstavljen sa jia + , stoga je jib + - jia + (i≠j), odnosno iib + -(1+ iia + ) predstavlja veličinu indirektnih

efekata. Kako suma jij

b +∑ predstavlja efekat jedinice vrijednosti finalnih isporuka (izvoza) sektora i na

vrijednost outputa čitavog sistema to (1 )ji jij j

b a+ +− +∑ ∑ predstavlja sumu indirektnih efekata izvoza

sektora i na vrijednost outputa čitavog sistema.


414

Primjer 3.12. Neka je u nekom proteklom proizvodnom periodu poznata transakciona I-O tabela je-dnog proizvodnog sistema (u $), kao i interne cijene proizvodnji i nabavne cijene:

1020iπ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, 105ec ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Transakciona I-O tabela:

P1 P2 ijQ+

ij

jQ+∑ iY +

iX +

P1 0 1000 1000 3000 4000 P2 2000 1000 3000 3000 6000

iji

Q+∑ 2000 2000 4000 6000 10000 ejW +

ej

jW +∑

S1 1000 500 1500 S2 0 500 500

eje

W +∑ 1000 1000 2000 Mj 3000 3000 6000 Vj 1000 3000 4000 Πj 4000 6000 10000

a) Prikazati dekomponiranu strukturu jedinične vrijednosti proizvoda za oba proiz-

vođača. b) Ako se samo cijena uvezenog materijala c1 od snabdjevača S1 poveća za 20%, a

ostale cijene ostanu nepromijenjene, kako će se promijeniti dodane vrijednosti kod proizvođača te ukupna dodana vrijednost u prihodu sistema.

c) Ako se samo cijena uvezenog materijala c1 od snabdjevača S1 poveća za 20%, za koliko će se povećati cijene proizvoda proizvođača P1, P2 ako svaki proizvođač može povećanje svojih troškova u cijelosti prebaciti na svoje potrošače (dodane vrijednosti u prihodima proizvođača ostaju iste).

d) Kako bi se uvođenje novog poreza na proizvod drugog proizvođača, kojima se njegova dodana vrijednost u prihodu povećava za 10%, odrazilo na cijene proiz-voda proizvođača, ako drugi proizvođač to dodatno opterećenje može prebaciti na druge sektore, a oni mogu to dodatno opterećenje prebaciti u potpunosti na potro-šače?


415

Pod tim uvjetom sastaviti novu transakcionu I-O tabelu.

Rješenje: a) Izračunavaju se matrice:

1 11 10 16 64 12; ;

1 1 1 1 502 6 12 2 6

A L I Aα+ + + +

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

= = = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) 1

10 2 1 19 9 3 6; ;2 4 1 13 3 18 9

B L Bβ α−+ + + + +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]1 1 ; 2,5 104 2

v v+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1

1 1

1 ;

1 ;

1

m n

ej i ije im n

ej ije i

j j

v b

d

d

β

β

β

+ + +

= =

+ +

= =

+ +

= + ⋅

= +

= +

∑ ∑

∑ ∑

5 118 181 23 3

ijd +

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Za proizvođača P1:

1 11 1 5 1 7 111 ( ) ( )3 18 18 3 18 18

dβ= + = + + + = +.

Proizvođač P1 po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti proizvodnje obračunava 7/18 novčanih jedinica vrijednosti uvezenog repromaterijala uzrokovanih jedinicom izvoza i 11/18 novčanih jedinica dodane vrijednosti formirane u sistemu, a sadržanih u jedi-nici vrijednosti finalne isporuke (izvoza).


416

Za proizvođača P2:

2 21 1 1 2 5 131 ( ) ( )6 9 18 3 18 18

dβ= + = + + + = +.

Proizvođač P2 po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti proizvodnje obračunava 5/18 novčanih jedinica vrijednosti uvezenog repromaterijala uzrokovanih jedinicom izvoza i 13/18 novčanih jedinica dodane vrijednosti formiranih u sistemu, a sadržanih u nov-čanoj jedinici izvoza.

b) Obzirom da su poznate cijene proizvodnji i nabavne cijene, kompletiramo odgova-rajuću količinsku I-O tabelu:

P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 0 100 100 300 400 P2 100 50 150 150 300 S1 100 50 150 S2 0 100 100

Odrede se sve matrice količinskih odnosa:

( ) 1

1 1 1 10 13 4 6 3; ;

1 1 1 1 504 6 3 4 6

10 4 1 19 9 3 3; ;1 4 1 43 3 9 9

A L I A

B L B

α

β α−

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vrijedi 111

1

0, 25vc

α∂= − = −

∂.

Kako je ovo jedinična promjena, a cijena 1c se povećala 20%, to je 1 2cΔ = , pa će se prethodni koeficijent dodane vrijednosti 1v = 2,5 smanjiti za 2⋅0,25 = 0,5, tj. novi ko-eficijent dodane vrijednosti proizvođača P1 će biti 1v′= 2,5 – 0,5 = 2, a dodana vrijednost proizvođača P1: 1V ′= 2⋅ 400 = 800.

Dodana vrijednost proizvođača se smanjila za 800100% 100% 20%1000

− ⋅ = .


417

Do ovog rezultata smo mogli doći i ovako: 1V ′ = 4000 -(2000 + 100⋅12) = 800.

Kako je 212

1

16

vc

α∂= − = −

∂, to će se prethodni koeficijent dodane vrijednosti proizvo-

đača P2 smanjiti za 1/3, tj. biće 10-1/3 = 29/3, računa se 2V ′ = 29/3⋅ 300 = 2900.

To znači da se dodana vrijednost proizvođača P2 smanjila za 2900100% 100% 3,33%3000

− ⋅ = .

c) Iz odnosa 111

1

13c

π β∂= =

∂ i kako je ovo jedinična promjena, a 1 2cΔ = , to će se cije-

na proizvoda proizvođača P1 povećati za 2⋅1/3 = 2/3, odnosno nova interna cijena proizvođača P1 će biti 1 10 0,67 10,67π ′ = + = , tj, povećat će se za 6,67%.

Slično, 212

1

13c

π β∂= =

∂, pa će se cijena proizvoda proizvođača P2 povećati za 2/3, tj.

biće 2 20 0,67 20,67π ′ = + = . Dakle, povećat će se za 3,33%.

Do istog rezultata se moglo doći rješavajući sistem jednačina:

1 2

2 1 2

1000 400 (100 1200)3000 300 (100 50 50 12 100 5)

π ππ π π′ ′= − +′ ′ ′= − + + ⋅ + ⋅

.

d) 121

2

1 0,333

bvπ∂

= = ≈∂

te će se nova interna cijena povećati za 0,33 novčane jedini-

ce, biće 1 10 0,33 10,33π ′ = + = . Procentualno povećanje je za 3,33%.

222

2

4 1,333

bvπ∂

= = ≈∂

, nova interna cijena povećat će se za 1,33 novčane jedinice, biće

2 20 1,33 21,33π ′ = + = . Procentualno povećati će se za 6,6%.

Do ovih rezultata moglo se doći rješavajući sistem jednačina:

1 2

2 1 2

400 100 1000 1000300 100 50 1000 3300

π ππ π π′ ′= + +′ ′ ′= + + +

.


418

Nova transakciona tabela bi bila :

P1 P2 ijQ+

ij

jQ+∑ iY +

iX +

P1 0 1033,3 1033,3 3100 4133,3 P2 2133,3 1066,7 3200 3200 6400

iji

Q+∑ 2133,3 2100 4233,3 6300 10533,3

ejW +

ejjW +∑

S1 1000 500 1500 S2 0 500 500

eje

W +∑ 1000 1000 2000 Mj 3133,3 3100 6233,3 Vj 1000 3300 4300 Πj 4133,3 6400 10533,3

419

3.4. Pitanja za ponavljanje

1) Objasniti značenje izraza 21

50n

jj

Q kg=

=∑ .

2) Napisati jednačinu strukture jedinične vrijednosti proizvodnje proizvođača jP .

3) Šta predstavlja izraz1

n

iji

a+

=∑ ?

4) Šta se može zaključiti ako je zbir 1

n

oj iji

a a+ +

== ∑ bliži jedinici ?

5) Objasniti značenje vrijednosti 25 20W KM+ = .

6) Napisati jednačinu strukture formiranja vrijednosti proizvodnje proizvođača jP ?

7) Šta predstavlja izraz 1 1

m m

e ej eje e

C W W +

= =⋅ =∑ ∑ ?

8) Koje vrijednosti mogu imati elementi matrice jib⎡ ⎤⎣ ⎦ ?

9) U matričnoj funkciji [ ] [ ]?j ipπ⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ koju konkretnu matricu treba napisati umjesto mat-

rice [ ]? ?

10) Kako se određuju i koje je značenje veličina e ejU i W+ + u vrijednosnoj input-output tabeli?

11) Koja od sljedećih jednačina predstavlja jednačinu strukture jedinične vrijednosti proiz-vodnje proizvođača jP .

a) 1 1

0n m

ij ej ji e

a vα+ + +

= =

+ + =∑ ∑

b) 1 1

1n m

ij ej ji e

a vα= =

+ + =∑ ∑

c) 1 1

1n m

ij ej ji e

a vα+ + +

= =

+ + =∑ ∑


420

12) U matričnoj funkciji [ ] [ ]?j iX Y⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ koju matricu treba upisati umjesto matrice [ ]?

13) Napisati čemu je jednak element iil matrice ijl⎡ ⎤⎣ ⎦ .

14) Napisati značenje izraza 1 1

n n

iji j

Q+

= =∑∑ u vrijednosnoj input-output tabeli .

15) Napisati izraz za izračunavanje izraza ijQ+

u vrijednosnoj input-output tabeli.

16) Koje je značenje vrijednosti izraza i

k

pπ∂∂

?

17) U vrijednosnoj input-output tabeli, koja oznaka predstavlja finalne cijene:

a) ip b) iπ c) eC d) iY

18) Napisati simbol (oznaku) za interne cijene u vrijednosnoj input-output tabeli:

19) Napisati simbol (oznaku) za nabavne cijene u vrijednosnoj input-output tabeli.

20) Napisati izraz za ukupan prihod u input-output tabeli.

21) Izraz ijQ+⎡ ⎤⎣ ⎦ predstavlja:

a) matricu vrijednosti internih inputa, b) vektor vrijednosti neto proizvodnji, c) vektor vrijednosti bruto proizvodnji, d) matricu vrijednosti eksternih inputa.

22) Napisati šta predstavlja izraz [Yi+].

23) Izraz [Xi+] predstavlja:

a) matricu vrijednosti internih inputa, b) vektor vrijednosti bruto proizvodnji, c) vektor vrijednosti finalnih potrošnji, d) matrica vrijednosti eksternih inputa.


421

24) Napisati šta predstavlja izraz [Wej+] .

25) Izraz [Ue+] predstavlja:

a) vrijednost ukupnog uvoza u sistem, b) vektor vrijednosti eksternih inputa, c) dodanu vrijednost, d) ukupan prihod sistema.

26) Napisati izraz za materijalne troškove proizvođača Pj.

27) Napisati izraz za materijalne troškove cijelog sistema P.

28) Napisati izraz za strukturu vrijednosti proizvodnje Xj proizvođača Pj.

29) Napisati osobine matrice tehničkih koeficijenata internih inputa ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

30) Napisati osobine matrice Leontijeve ijL l⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

31) Napisati osobine matrice ukupnih utrošaka internih inputa jiB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

32) Definisati koeficijent raspodjele ijr+.

33) Objasniti direktne veze između:

a) 39 50W + = KM i 3 0U + > , b) 39 50W + = KM i 9 0X + >

34) Objasniti značenje vrijednosti 31

400m

ee

W +

=

=∑ KM .

35) Objasniti značenje vrijednosti 42 3 kwhkg

α = .

36) Objasniti vrijednost 48 3 kombt

= u odnosu na matričnu jednačinu [ ]j ji iX b Y⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

37) Koja od navedenih matrica može predstavljati matricu L i zašto?


422

3 0.1 0 0.4 0.10 0 0.6 0 00.1 0.2 0.3

a) 0.5 1 0 b) 0.1 0.2 0 c) 0.1 0.8 0 d)0 0 0.2

0.2 0.2 1.2 0.2 0.4 0 0.2 0.4 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

38) Objasniti direktne veze između

a) 32 100Q = kom i 3 0X > , b) 32 100Q = kom i 2 0X >

39) Objasniti značenje vrijednosti 1 1

5000n n

iji j

Q+

= ==∑∑ KM .

40) Objasniti značenje vrijednosti 42 0.3α+ = .

41) Riječima i matematički objasniti vrijednost 28 0.5 lt

β = u odnosu na matričnu jednači-

nu [ ] [ ] [ ]e ei iU Yβ= ⋅

42) Koja od navedenih matrica može predstavljati matricu B i zašto?

3 0.1 0 0.4 0.10 0 0.6 0 00.1 0.2 0.3

a) 0.5 1 0 b) 0.1 0.2 0 c) 0.1 0.8 0 d)0 0 0.2

0.2 0.2 1.2 0.2 0.4 0 0.2 0.4 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

43) Riječima objasniti direktne veze između

a) 32 150W = kom i 3 0U > , b) 32 150W = kom i 2 0.X >

44) Riječima objasniti značenje vrijednosti 1 1

4000m n

eje j

W +

= ==∑∑ KM.

45) Riječima objasniti značenje vrijednosti 42 0,5.a+ =

46) Napisati izraz za jednačinu raspodjele proizvođača (sektora davaoca) Pi u količinskoj input-output tabeli.

47) Riječima i matematički objasniti vrijednost 28 0.3 lt

α = u odnosu na matričnu jednači-

nu [ ]e ej jU Xα⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

48) Napisati relaciju kojom se izražava matrica tehničkih koeficijenata internih inputa .


423

49) Šta se može zaključiti ako je zbir 1

n

i ijj

r r+ +

=

= ∑ bliži jedinici ?

50) U matričnoj funkciji [ ] [ ]?j iX Y⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ koja je vrijednost za jX ?

a) 1

n

j ji ii

X r Y=

= ⋅∑

b) 1

n

j ji ii

X a Y=

= ⋅∑

c) 1

n

j ji ii

X Yα=

= ⋅∑

d) 1

n

j ji ii

X b Y=

= ⋅∑

51) 51. Čemu je jednak elementi iil u matrici ijl⎡ ⎤⎣ ⎦ ?

a) ii iil a= − b) 1ii iil a= − c) 1ii iil a= + d) ii iil a=

52) U “vrijednosnoj input-output“ analizi koje je značenje zbira 1 1

n n

iji j

Q+

= =∑∑ ?

a) To je dio proizvodnje iX prizvođača iP koji je dobijen od eksternih snabdjevača. b) To je ukupna količina eU uvoza od snadbjevača eS koja je raspodijeljena na rep-

rodukcionu potrošnju u cijelom sistemu P. c) To je vrijednost ''interne reprodukcione potrošnje'' u cijelom sistemu P. d) To je dio proizvodnje iX prizvođača iP koji je raspodijeljen na reprodukcionu po-

trošnju u cijelom sistemu P.

53) Koja od sljedećih izjava predstavlja tumačenje za broj jv ?

a) Po svakoj vrijednosnoj jedinici bruto proizvodnje, proizvođač Pj ostvaruje vj nov-čanih jedinica dodane vrijednosti.

b) Po svakoj vrijednosnoj jedinici bruto proizvodnje, proizvođač Pj ostvaruje vj pri-hoda.


424

c) Po svakoj količinskoj jedinici bruto proizvodnje, proizvođač Pj ostvaruje vj priho-da.

d) Po svakoj količinskoj jedinici bruto proizvodnje, proizvođač Pj ostvaruje vj nov-čanih jedinica dodane vrijednosti.

54) U '' vrijednosnoj input-output'' analizi kako se računa ijQ+ ?

a) ijQ+ = i ijQπ +⋅

b) ijQ+ = i ijc Q⋅

c) ijQ+ = i ijp Q⋅

d) ijQ+ = i ijQπ ⋅

55) Koja od sljedećih matrica može biti matrica tehnologije jednog proizvodnog sistema:

a) 1 0,51,3 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

b) 1 0,51,3 0,2

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

c) 1 0,5

1,3 0−⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

56) Ako je poznato u jednom proizvodnom sistemu da je bruto proizvodnja jednog proiz-vođača 500kg, i da je 10 % svoje bruto proizvodnje raspodijelio na reprodukcijsku potrošnju u sistemu, kolika je njegova finalna potrošnja?

a) 50 kg b) 450 kg c) 500 kg.

57) Šta predstavlja izraz 1 1

n m

j i ij e eji e

Q c Wπ= =

Π − ⋅ − ⋅∑ ∑ ? Objasniti dijelove.

58) Ako je poznato 23 0,1a + = i 23Q+ = 150KM, koliki je prihod proizvođača P3 ?

a) 15 KM, b) 1500 KM , c) 149,9 KM.


425

59) Iz matrične jednačine [ ] [ ]T T

j ij i ej ev l cπ α⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ je dobijeno 2

3

5vc∂

= −∂

. Objasniti

značenje vrijednosti tog parcijalnog izvoda i napisati koji element predstavlja ova vri-jednost.

60) Iz matrične jednačine [ ] [ ]T T

j ij i ej ev l cπ α⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ je dobijeno 2

3

2vπ∂

= −∂

. Objasniti

značenje vrijednosti tog parcijalnog izvoda i napisati koji elemenat predstavlja ova vri-jednost.

61) Objasniti vrijednost d21 = 3 u odnosu na matričnu jednačinu [ ]j ji iV d Y⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

62) Napisati dekomponiranu strukturu vrijednosti jedinične proizvodnje proizvođača Pj.

63) Napisati jednačinu ravnoteže vrijednosti proizvodnje u međusektorskom modelu.

64) Koje informacije o proizvodnom sistemu sadrže kolone u vrijednosnoj input-output tabeli?

65) Koje informacije o proizvodnom sistemu sadrže vrste u vrijednosnoj input -output ta-beli?

66) Iz matrične jednačine [ ] [ ] [ ]T Ti ji j ei eb v cπ β⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ je dobijeno 3

2

0,5vπ∂

=∂

. Objas-

niti značenje vrijednosti tog parcijalnog izvoda i napisati koji element predstavlja ova vrijednost.

67) Iz matrične jednačine [ ] [ ] [ ]T Ti ji j ei eb v cπ β⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ je dobijeno 2

2

2.cπ∂

=∂

Objasniti

značenje vrijednosti tog parcijalnog izvoda i napisati koji element predstavlja ova vri-jednost.

68) Napisati vezu između tehničkih koeficijenata i vrijednosnih koeficijenata internih inpu-ta i navesti razlike.

69) U proizvodnji svakog kg bruto proizvodnje proizvođač P3, između ostalog, treba direk-tno utrošiti 3m proizvodnje proizvođača P5. Broj 3 je vrijednost koeficijenta:

a) 35a b) 53a


426

c) 35α d) 53l

70) Ako se planira samo finalna isporuka proizvođača P3 povećati za 1kg, između ostalog, mora se bruto proizvodnja proizvođača P5 povećati za 10m. Broj 10 je vrijednost koe-ficijenta:

a) 35a b) 53l c) 53b

71) Zaokružite faktor koji ne predstavlja determinantu individualne tražnje u širem smislu:

a) cijena predmetnog dobra b) cijena supstitutskog dobra c) dohodak pojedinca d) ponuda predmetnog dobra e) cijena komplementarnog dobra f) godišnje doba

72) Definisati koeficijent elastičnosti na luku i napisati izraz za njegovo izračunavanje.

73) Izvesti izraz za elastičnost stepene funkcije.

74) Izvesti izraz za elastičnost inverzne funkcije.

75) Izvesti izraz za elastičnost proizvoda.

427

3.5. Zadaci za vježbu Osnovni matrični račun Zadatak 3.1.

Sastaviti matricu 3 3ijQ q×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ za čije elemente vrijedi

( ) 1010

ij

ii

i j q i ji j q

≠ ⇒ = + ⋅⎧⎨ = ⇒ =⎩ ;

a zatim pronaći 3 3

13 31 33 3 11 1

, , , ,i ji j

q q q q q= =∑ ∑ , TQ .

Zadatak 3.2.

Date su matrice [ ]1 3 1 3 2; ; ; 3 2

2 4 2 5 3A B C D

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Izračunati: A +B; A ⋅ B; B ⋅ A; A ⋅ C; C ⋅ D; D ⋅ C; A-1. Zadatak 3.3. Odrediti inverzne matrice matrica

1 0 12 3 40 1 2

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, 1

2

3

0 00 00 0

xD x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Zadatak 3.4.

Date su matrice 2 0 1 3

;0 3 2 1

A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Riješiti matrične jednačine: a) A⋅X⋅B = I b) A⋅X+X = B c) X⋅A = B-2X. Zadatak 3.5. Preduzeće PHONTELE prodaje dva tipa telefona: super i compact, preko dva prodajna mjesta P1 i P2. Vrijednost prodaje u $, za septembar i oktobar, date su u matricama A i B redom:


428

1

2

sup18000 3500025000 27000

septembarA er compactPP

1

2

sup20000 4000030000 25000

oktobarB er compactPP

a) Kolika je ukupna prodaja preduzeća u ta dva mjeseca po pojedinom prodajnom mjestu i pojedinom tipu telefona?

b) Koliko je povećanje prodaje u oktobru u odnosu na septembar po pojedinom prodajnom mjestu i tipu telefona? Komentirajte.

c) Ako je provizija na prodaju 5%, izračunajte proviziju za svako prodajno mjesto po po-jedinom tipu telefona za mjesec septembar.

d) Ako je porez na prihod u septembru bio 3%, a u oktobru 3,2%, izračunajte ukupan po-rez preduzeća po pojedinom prodajnom mjestu i tipu telefona.

Zadatak 3.6. Neko preduzeće proizvodi tri tipa frižidera: super, compact i delux. Svaki tip mora proći kroz tri različita postrojenja P1- proizvodnja dijelova, P2-sklapanje dijelova i P3- pakovanje. Trajanje tih prolaza (u satima) po jedinici proizvoda data su u tabeli

super compact delux P1 0,4 0,5 0,5 P2 0,25 0,3 0,4 P3 0,2 0,2 0,2

Postrojenja P1, P2 i P3 raspolažu sedmičnim kapacitetom odredom 37, 25, 16 sati respektivno. Koliko se frižidera mora sedmično proizvoditi da bi preduzeće radilo punim kapacitetom? Input-output analiza Zadatak 3.7.

U tekućem proizvodnom periodu poznata je količinska I-O tabela proizvodnog sistema

Proizvođači Ukupno Y X

P1 0 50 50 50 100 t

P2 20 40 60 140 200 kom

S1 0 10 10 m

S2 20 5 25 kg

ZADACI ZA VJEŽBU

429

a) Ako se u narednom periodu planiraju finalne potrošnje Y1 = 90 t i Y2 = 162 kom, kom-pletirati novu količinsku I-O tabelu.

b) Objasniti značenje elemenata b21 i a21 . c) Ako su poznate finalne cijene p1 = 30 KM/t i p2 = 40 KM/kom, kao i nabavne cijene c1

= 10 KM/m i c2 = 10 KM/kg odrediti u kojem periodu će se ostvariti veća dodana vrije-dnost, tekućem ili planiranom.

Zadatak 3.8. Kod nekog složenog proizvodnog sistema P poznate su matrice :

1 0,3 0,1 00,5 0,6 0,2 0,025ij ejl α

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a) Ako je plan finalne potrošnje Y1 = 40 kg i Y2 = 70 t, formirati odgovarajuću količinsku I-O tabelu.

b) Ako su poznate finalne cijene p1 = 100 nj/kg i p2 = 100 nj/t, a nabavne cijene c1 = 20 nj/kom i c2 = 40 nj/m3, kompletirati odgovarajuću transakcionu I-O tabelu i odrediti mat-rice [aij

+ ] i [αej

+].

Zadatak 3.9.

Kod nekog proizvodnog sistema poznate su sljedeće matrice 1040

3 15 40

ija +

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 625 100

3050

ejα +

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a) Ako su poznate interne cijene π1 = 5 KM/kg; π2 = 10 KM/m, kao i nabavne cijene c1 = 2 KM/l i c2 = 4 KM/kom, odrediti matrice ij eja i α⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

b) Ako je plan bruto proizvodnje X1 = 100 kg i X2 = 400 m, kompletirati odgovarajuću transakcionu tabelu.

c) Odrediti vektor vrijednosnih koeficijenata dodane vrijednosti [vj+] i objasniti značenje

elementa v1+.

Zadatak 3.10. Kod nekog proizvodnog sistema poznati su sljedeći podaci:

16 515 94 425 3

B+

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1030

12 425 75

α+

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

5030

π⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

2040

c ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦


430

a) Ako je plan neto proizvodnje Y1 = 50t i Y2 = 140kom., kompletirati odgovarajuću tran-sakcionu I-O tabelu

b) Kompletirati količinsku I-O tabelu c) Ako su uslijedile promjene cijena uvoza: Δc1=10 nj i Δc2 =10 nj, kolike treba da budu

interne cijene π1 nj/t i π2 nj/kom pa da proizvođači P1 i P2 ostvaruju iste dodane vrijed-nosti kao u a).

d) Objasniti značenje elemenata α12+ i b12

+.

Zadatak 3.11. Kod nekog proizvodnog sistema poznate su matrice

16 47 78 167 7

B

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i

114

5 37 7

β

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a) Ako je plan bruto proizvodnji X1 = 192 kg i X2 = 208 m2, sastaviti odgovarajuću koli-činsku I-O tabelu

b) Ako su poznate finalne cijene p1 = 32 nj/kg, p2 = 24 nj/m2 i cijene nabave c1 =3 nj/kwh, c2 = 2 nj/m3, sastaviti odgovarajuću transakcionu I-O tabelu

c) Koliki su koeficijenti 21a+ i 21α+ . Objasniti njihovo značenje.

Zadatak 3.12. Kod nekog proizvodnog sistema poznate su matrice

1 12 61 14 3

ijL l

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

i 0,1 00,2 0,25ejα α⎡ ⎤

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

a) Ako je plan finalne potrošnje Y1= 50 kom, Y2 = 50 kg, kompletirati odgovarajuću koli-činsku I-O tabelu.

b) Ako su poznate interne cijene π1 = 50 nj/kom i π2 = 30 nj/kg, kao i cijene nabave c1= 20 nj/m2 i c2 = 6 nj/kwh kompletirati transakcionu tabelu.

c) Ako se bruto proizvodnja prvog proizvođača poveća za 100 kom, a kod drugog ostane nepromijenjena kako će se promijeniti finalne isporuke i uvoz u sistem?

Zadatak 3.13.

Kod nekog složenog proizvodnog sistema poznate su matrice

ZADACI ZA VJEŽBU

431

ija⎡ ⎤ =⎣ ⎦

0 1 1,50 0 0,750 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i 0, 2 0 00,1 0 0,5ejα⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

a) Ako su finalne cijene p1 = 10 nj/kom, p2 = 20 nj/kg, p3 = 60 nj/m3 i nabavne cijene c1 = 2 nj/l i c2 = 3 nj/kwh, kolike su interne cijene{π1, π2, π3} ?

b) Ako su finalne potrošnjeY1 =150 kom,Y2 =125 kg, Y3 =100 m3 kompletirati odgovara-juću količinsku I-O tabelu,

c) Kompletirati odgovarajuću vrijednosnu (transakcionu) tabelu.

Zadatak 3.14. Poznata je sljedeća nekompletna količinska I-O tabela.

Proizvođači Ukupno Finalne isporuke

Ukupna proizvodnja

P1 0 60 40

P2 50 130 70

Uvoz 20 5

a) Ako se u narednom periodu planira izvoz Y1 = 60 kg i Y2 = 150 kom, kompletirati od-govarajuću količinsku I – O tabelu.

b) Ako su poznate finalne cijene p1 = 50 $/kg i p2 = 30 $/kom, i nabavna cijena c1 = 20 $/l. Odrediti ukupan prihod sistema u tekućem i narednom periodu, kao i njihove dodane vrijednosti u sistemu.

c) Ako bi bruto proizvodnju prvog proizvođača povećali za 1kg, kako bi se trebali promi-jeniti izvoz proizvođača i uvoz u sistem?

Zadatak 3.15. Poznate su matrice tehnologije jednog proizvodnog sistema i uvoza u sistem:

[ ]1 0,1 0, 20 0,8 0, 4 ; 50 20 00 0 0,5

L U− −⎡ ⎤

⎢ ⎥= − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(kwh)

a) Ako je ukupni output prvog sektora 100 kom., finalne isporuke drugog sektora 50 kg i finalne isporuke trećeg sektora 100 l, sastaviti količinsku I-O tabelu.

b) Koliko je potrebno kwh eksternog repromaterijala od snabdjevača da bi se proizveo kg proizvodnje drugog proizvođača?


432

Zadatak 3.16. Poznata je nepotpuna transakciona tabela u tekućem proizvodnom periodu (u KM):

P1 P2 ∑Q+ij Y+

i X+i

P1 25000 25000 75000 P2 6000 12000 30000

∑Q+ij 93000

S1 1250 750 2000 M V P 100000 30000 130000

kao i cijene 1

50; 10

30cπ

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

.

a) Kompletirati datu tabelu. b) Ako se planiraju novi izvozi u vrijednosti Y1

+ = 90000, Y2+ = 30000, odrediti materijal-

ne troškove proizvođača, kao i dodane vrijednosti u prihodima proizvođača c) Koliko bi se po jednoj količinskoj jedinici proizvodnje proizvođača ostvarivalo dodane

vrijednosti proizvođača u narednom periodu? d) Ako se nabavna cijena poveća za jedinicu, a interne cijene ostanu nepromijenjene, kako

će se to odraziti na koeficijente dodane vrijednosti proizvođača?

433

3.6. Rješenja zadataka za vježbu Rješenje 3.1.

10 30 4030 10 5040 50 10

Q⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

13 31 3340, 41, 10,q q q= = = 3

3 13 23 331

40 50 10 100ii

q q q q=

= + + = + + =∑ ,

3

1 11 12 131

10 30 40 80jj

q q q q=

= + + = + + =∑ .

Matrica Q je simetrična pa je TQ Q= .

Rješenje 3.2.

1 ( 1) 3 ( 3) 0 0

2 2 4 5 4 9A B

+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

1 ( 1) 3 2 1 ( 3) 3 5 5 122 ( 1) 4 2 2 ( 3) 4 5 6 14

A B⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

7 15

12 26B A

− −⎡ ⎤⋅ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦.

1 2 3 3 112 2 4 3 16

A C⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

6 49 6

C D ⎡ ⎤⋅ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦.

[ ] [ ]3 2 2 3 12D C⋅ = ⋅ + ⋅ = .

1 1det

A AA

− = ; *( )TA A= , pa računamo det A= 1⋅ 4 - 2⋅ 3= - 2.

* 1

324 2 4 3 4 31 23 1 2 1 2 1 12 1

2

A A A−

⎡ ⎤−⎢ ⎥− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−= ⇒ = ⇒ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

.


434

Rješenje 3.3. Koristićemo Gausov metod pronalaženja inverzne matrice.

( 2)

( 3)

1 0 1|1 0 0 1 0 1| 1 0 02 3 4|0 1 0 0 3 2| 2 1 00 1 2|0 0 1 0 1 2| 0 0 1

1 0 1| 1 0 0 1 0 1 | 1 0 00 1 2| 0 0 1 0 1 2 | 0 0 10 3 2| 2 1 0 0 0 4|

IIvrstazamjenjena

Ivrsta IIvrsta IIIvrstom

IIvrsta IIIvrsta

• − +

• − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

lim( 4)

( 1)( 2)

2 1 3

1 0 1| 1 0 0 1 0 0|1/ 2 1/ 4 3 / 40 1 2| 0 0 1 0 1 0| 1 1/ 2 1/ 20 0 1|1/ 2 1/ 4 3 / 4 0 0 1|1/ 2 1/ 4 3 / 4

IIIrstudije osa

IIIvrsta IvrstaIIIvrsta IIvrsta

−

• − +⋅ − +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎯⎯⎯→⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Dakle, 1

1/ 2 1/ 4 3 / 41 1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 4 3 / 4A−

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

D je dijagonalna matrica pa je njena inverzna matrica

1

1

2

3

1 0 0

10 0

10 0

x

Dx

x

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Rješenje 3.4.

a) A⋅X⋅B=I (množimo sa A-1 slijeva i B-1 zdesna) ⇒ X = A-1⋅ B-1.

Kako je 1 11/ 2 0 1/ 5 3 / 5;

0 1/ 3 2 / 5 1/ 5A B− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ imamo da je

1/10 3 /102 /15 1/15

X−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦.

b)

(A+I) ⋅X = B ⇒ X = (A+I)-1⋅B = 1/ 3 0 1 3 1/ 3 1

0 1/ 4 2 1 1/ 2 1/ 4⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

c)

X⋅A + 2X = B ⇒ X⋅(A+2I) = B ⇒ X = B⋅(A+2I)-1 = 1/ 4 3 / 51/ 2 1/ 5⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.


435

Rješenje 3.5. a) A+B;

b) 2000 50005000 2000

B A ⎡ ⎤− = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

što znači da prodajno mjesto P2 gubi 2000 $ vrijednosti prodaje

compact telefona u odnosu na septembar. c) 0,05A; d) 0,03A+0,032B.

Rješenje 3.6. x1- broj super frižidera, x2- broj compact frižidera, x3- broj delux frižidera. Naš zadatak se svodi na rješenje sistema jednačina u matričnom obliku A⋅X=B, gdje je

1

2

3

0, 4 0,5 0,5 370, 25 0,3 0, 4 ; ; 250, 2 0, 2 0, 2 15

xA X x B

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

pa je rješenje

1

302525

X A B−

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Mora se proizvoditi 30 super, 25 compact i 25 delux frižidera da bi preduzeće radilo punim kapacitetom. Rješenje 3.7.

a)

11 00204 ;

1 1 1 15 5 5 40

A α

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

X=B·Y; B=L-1 = (I-A)-1

16 115 34 4

15 3

B

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

; 150240

X ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 0 60 60 90 150 P2 30 48 78 162 240 S1 0 12 12 S2 30 6 36


436

0 0,3;

0,5 0,4

10 150 0 0 604ˆ1 1 0 240 30 485 5

10 150 0 0 1220ˆ1 1 0 240 30 65 40

ij ij j

ej ej j

A I L

Q X

W X

α

α

⎡ ⎤= − = ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

b) 214

15b = ;

Ako neto proizvodnju Y1 povećamo za 1 t, bruto proizvodnju X2 treba povećati za

214

15b = kom.

2115

a = ;

Po svakoj toni proizvođač P1 direktno utroši 2115

a = komada proizvodnje proizvođača P2.

c) Izračunavaju se interne cijene po kojima se obračunavaju proizvodnje i njeni dijelovi.

[ ]11 30 225

1 4 40 24,54 5

T

j ij il pπ

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

U tekućem periodu V = 4180 KM, u planiranom V = 5469 KM.

Rješenje 3.8.

a)

1

4 23 3; ;

10 209 9

100200

X B Y B L

X

−

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⋅ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦


437

0 0,3;

0,5 0,4

0 0,3 100 0 10 0ˆ0,5 0,4 0 200 20 5

0,1 0 100 0 0 60ˆ0,2 0,025 0 200 50 80

ij ij j

ej ej j

A I L

Q a X

W Xα

⎡ ⎤= − = ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⇒

b)

[ ]11 100 502

3 3 100 3010 5

T

j ij il pπ

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Množeći dijelove proizvodnje internim cijenama i uvoz nabavnim cijenama dobijamo tran-sakcionu tabelu ovog proizvodnog sistema:

P1 P2 ∑ Y+ X+

P1 0 3000 3000 2000 5000 P2 1500 2400 3900 2100 6000 ∑ 1500 5400 6900 4100 11000 S1 200 0 200 S2 800 200 1000 ∑ 1000 200 1200 Mj 2500 5600 8100 Vj 2500 400 2900 Xj

+ 5000 6000 11000

1 00 0,5 250,3 0,4 4 1

25 30

A α+ +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

.

P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 0 60 60 40 100

P2 50 80 130 70 200

S1 10 0 10

S2 20 5 25


438

Rješenje 3.9. a) Primjenom formula:

[ ] [ ]1 1ˆ ˆ ˆ îj i ij j ij i ij ja a a aπ π π π− −+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]1 1êj e ej j ej e ej jc cα α π α α π− −+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dobijaju se

1 1 10 0 05 05 40 201 3 1 0 10 3 10

10 5 40 10 40

ija

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 3 1 31 0 5 025 50 5 1021 3 0 10 30 0 04 50 20

ejα

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

b) X1= 100kg ⇒ 1 100 5 500X KM+ = ⋅ = ; X2 = 400m ⇒ 2 400 10 4000X KM+ = ⋅ =

10 500 0 0 100403 1 0 4000 300 1005 40

ijQ+

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⇒ 2 6

500 0 40 24025 1003 0 4000 0 2400

50

ejW +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

c) [vj+] = [ ]1 2

1 2

160 3320 0.32 0.83500 4000

V VX X+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

U jednoj KM vrijednosti proizvodnje P1 dolazi v1

+=0,32 KM dodane vrijednosti.

P1 P2 ∑ Y+ X+

P1 0 100 100 400 500P2 300 100 400 3600 4000∑ 300 200 500 4000 4500S1 40 240 280 S2 0 240 240 ∑ 40 480 520 Mj 340 680 1020 Vj 160 3320 3480 Xj

+ 500 4000 4500


439

Rješenje 3.10.

a) 25004200

Y + ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

;

16 52500 500015 9

4 4 4200 600025 3

X B Y+ + +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

1

5 51 012 12( )

3 4 3 125 5 25 5

L B A I L+ + − + +

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = ⇒ = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

50 5000 0 0 2500123 1 0 6000 600 120025 5

ijQ +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

êj ej jW Xα+ + +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0,1 0 5000 0 0 2000,2 0.025 0 6000 2400 320ejW + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Transakciona I-O tabela

P1 P2 ∑ Y+ X+

P1 0 2500 2500 2500 5000 P2 600 1200 1800 4200 6000 ∑ 600 3700 4300 6700 11000 S1 0 200 200 S2 2400 320 2720 ∑ 2400 520 2920 Mj 3000 4220 7220 Vj 2000 1780 3780 Xj

+ 5000 6000 11000 b) Dijeleći ostvarene vrijednosti proizvodnje i njenih dijelova proizvođača sa odgovaraju-ćim internim cijenama i uvoz sa nabavnim cijenama, dobijamo količinsku I-O tabelu:


440


P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 0 50 50 50 100 P2 20 40 60 140 200 S1 0 10 10 S2 60 8 68

c) 2000 = 100π1 – (0π1 + 20π2+0+ 3000) 1780 = 200π2 – (50π1 + 40π2 +300 + 400) 5000 = 100π1 -20π2 2480 = -50π1 + 160π2 π1 = 57,31; π2 = 36,53.

d) 12130

α+ =

Proizvođač P2 po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje proizvodnje direktno utroši 1/30 novčane jedinice vrijednosti eksternog repromaterijala od snabdjevača S1.

Ili 112

2

130

UX

α+

++

∂= =∂

Ako povećamo samo vrijednost proizvodnje proizvođača P2 za jednu novčanu jedinicu, tada će se vrijednost uvoza od S1 povećati za 1/30 novčanih jedinica.

1259

b+ =

Ako želimo vrijednost izvoza proizvođača P2 povećati za jednu novčanu jedinicu, tada mo-ramo vrijednost proizvodnje proizvođača P1 povećati za 5/9 novčanih jedinica.

Rješenje 3.11.

a) B = L-1⇒ L = B-1 1 1

224 2 8det1 1494 2

B L

⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⇒ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

1 12 81 14 2

A I L

⎡ ⎤⎢ ⎥

= − = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


441

1 1192 702 8208 561 1

4 271 1 1 01

164 2 85 3 1 11 17 7 4 84 2

Y L X

Lα β

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⋅ = ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1192 0 96 262 8

0 208 48 1041 14 2

ijQ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

7 0 192 0 84 0161 1 0 208 48 264 8

ejW

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦


P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 96 26 122 70 192 P2 48 104 152 56 208 S1 84 0 84 S2 48 26 74

b) Transakciona IO tabela

P1 P2 ∑Q+ij Y+

i X+i

P1 960 260 1220 700 1920 P2 384 832 1216 448 1664 ∑Q+

ij 1344 1092 2436 1148 3584 S1 252 0 252 S2 96 52 148 ∑W+

ej 348 52 400 M 1692 1144 2836 V 228 520 748 P 1920 1644 3584


442

21 21384 960,2; 0,05

1920 1920a α+ += = = = c)

Proizvođač P1 po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje bruto proizvodnje direktno ut-roši 0,2 nj vrijednosti proizvodnje od P2 i 0,05 nj vrijednosti eksternog inputa od S2.

Rješenje 3.12.

a) X =B·Y B = L-1

îj ij jQ a X⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 2 1 6 200 0 100 501 4 2 3 0 300 50 200ijQ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

êj ej jW Xα ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0.1 0 200 0 20 00.2 0.25 0 300 40 75ejW ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⇒ Količinska I-O tabela

P1 P2 ∑Qij Yi Xi

P1 100 50 150 50 200 P2 50 200 250 50 300 S1 20 0 20 S2 40 75 115

8 3 4 31det2 48

1 12 61 24 3

8 3 4 3 50 2002 4 50 300

L B

L I A A I L

X B Y

⎡ ⎤= ⇒ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥

= − ⇒ = − = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


443

b) Transakciona I-O tabela

P1 P2 ∑Q+ij Y+

i X+i

P1 5000 2500 7500 2500 10000 P2 1500 6000 7500 1500 9000

∑Q+ij 6500 8500 15000 4000 19000

S1 400 0 400 S2 240 450 690

∑W+ej 640 450 1090

M 7140 8950 16080 V 2860 50 2910 P 10000 9000 19000

c)

1000

1 2 1 6 100 501 4 1 3 0 25

0.1 0 100 100.2 0.25 0 20

X

Y L X

Y

U X

U

α

⎡ ⎤Δ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦Δ = ⋅Δ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Δ = ⋅Δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Rješenje 3.13.

a) [ ]T

j ij il pπ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ L= I – A

1 0 0 0 1 1,5 1 1 1,50 1 0 0 0 0,75 0 1 0,750 0 1 0 0 0 0 0 1

1 0 01 1 0

1,5 0,75 1

T

ij

L

l

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦


444

1

2

3

1 0 0 10 101 1 0 20 10

1,5 0,75 1 60 30j

ππ π

π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = − ⋅ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b) [ ]j ji iX b Y⎡ ⎤= ⋅⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

( )

( )

( )

1 1 *det

1 1 1,5 1 0 0det 0 1 0,75 1 * 1 1 0

0 0 1 2,25 0,75 1

1 1 2,25 1 1 2,25* 0 1 0,75 0 1 0,75

0 0 1 0 0 1

Tji ij

Tji

b l LL

L L

L b

−⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

− − ⎡ ⎤⎢ ⎥= − = = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]1 1 2, 25 150 5000 1 0,75 125 2000 0 1 100 100

j ji iX b Y⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

îj ij jQ a X⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 1 1,5 500 0 0 0 200 1500 0 0,75 0 200 0 0 0 750 0 0 0 0 100 0 0 0

ijQ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

êj ej jW Xα ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

500 0 00, 2 0 0 100 0 0

0 200 00,1 0 0,5 50 0 50

0 0 100ejW

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦


445

Količinska I-O tabela:

P1 P2 P3 Qij

2

1jWej

=∑ Y i X i

P1 0 200 150 350 150 500 10 /kom nj kom⋅

P2 0 0 75 75 125 200 10 /kg nj kg⋅

P3 0 0 0 0 100 100 3 330 /m nj m⋅

Se Wej 2

1jWej

=∑

S1 100 0 0 100 2 /l nj l⋅

S2 50 0 50 100 3 /kwh nj kwh⋅

c) Transakciona I-O tabela

P1 P2 P3 ∑Q+ij Y+

i X+i

P1 0 2000 1500 3500 1500 5000 P2 0 0 750 750 1250 2000 P3 0 0 0 0 3000 3000

∑Q+ij 0 2000 2250 4250 5750 10000

S1 200 0 0 200 S2 150 0 150 300

∑W+ej 350 0 150 500

M 350 2000 2400 4000 V 4650 0 600 6000 P 5000 2000 3000 10000

Rješenje 3.14.

a)


Ukupna proizvodnja

P1 0 60 60 40 100

P2 50 80 130 70 200

Uvoz 20 5 25


446

[ ]

1

0 0,3; 0,2 0,025

0,5 0,4

1 0,30,5 0,6

4 23 3

10 209 9

A

L

B L

α

−

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

180400

X B Y ⎡ ⎤= ⋅ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

îj ij jQ a X⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 0,3 180 0 0 1200,5 0,4 0 400 90 160ijQ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

êj ej jW Xα ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]180 00,2 0,025 36 10

0 400ejW ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦


Ukupna proizvodnja

P1 0 120 120 60 180

P2 90 160 250 150 400

Uvoz 36 10 46

[ ]11 50 352

3 3 30 310 5

T

j ij il pπ

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Ukupan prihod u sistemu u tekućem periodu iznosi 4100$, a u narednom periodu 7500$. Dodane vrijednosti za tekući period 4100- 2990 =1110, za naredni 7500-5870 =1630.


447

c) 1 211 21

1 1

111

1; 0,5

0,2

Y Yl lX XUX

α

∂ ∂= = = = −

∂ ∂∂

= =∂

Ako bi povećali bruto proizvodnju prvog proizvođača za jedan kg, onda bi njegovu finalnu potrošnju morali povećati također za 1 kg, finalnu potrošnju drugog proizvođača smanjili za 0,5 kom, a uvoz povećali za 0,2 l.

Rješenje 3.15.

a) 0 0,1 0, 20 0, 2 0, 40 0 0,5

A I L⎡ ⎤⎢ ⎥= − = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

;

[ ]2 3

2 2 3

3 3

0 0,1 0, 2 100 0 0 0 0,1 0, 20 0, 2 0, 4 0 0 0 0, 2 0, 40 0 0,5 0 0 0 0 0,5

X XQ X X X

X X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Iz jednačine raspodjele bruto proizvodnji dobijamo sistem tri jednačine sa tri nepoznate: 0,1X2 + 0,2X3 +Y1 =100 0,2X2 +0,4X3 + 50 = X2 0,5X3 +100 = X3 Rješavanjem dobijamo: X3 = 200, X2 = 162,5, Y1 = 43,75. Sada možemo kompletirati traženu količinsku IO tabelu:

Proizvođači Uku-pno

Finalne isporuke

Ukupna proizvodnja

P1 0 16,25 40 56,25 43,75 100

P2 0 32,5 80 112,5 50 162,5

P3 0 0 100 100 100 200

Uvoz 50 20 0 70

b) 1220 0,1231

162,5α = ≈ .

Potrebno je približno 0,1231 kwh uvoza da bi se proizveo kg proizvodnje proizvođača P2.


448

Rješenje 3.16.

a) P1 P2 ∑Q+

ij Y+i X+

i

P1 25000 0 25000 75000 100000 P2 6000 6000 12000 18000 30000

∑Q+ij 31000 6000 37000 93000 130000

S1 1250 750 2000 M 32250 6750 39000 V 67750 23250 91000

P 100000 30000 130000

b)

1 01 14 ;

3 1 80 4050 5

A α+ +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4 0 1200003 ,1 5 46500

10 4

X B Y

B X

+ + +

+ +

=

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]

1 0 12000 0 30000 04ˆ3 3 0 46500 7200 9300

50 412000 01 140ˆ 1500 1162,5

0 4650080

ij ij j

ij ej j

Q X

W X

α

α

+ + +

+ + +

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M1 = 38700; M2 = 10462,5; V1 = 81300; V2 = 36037,5.

c) [ ]1 2

1 2

33,875 23, 25V VvX X

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Proizvođač P1 po svakoj količinskoj jedinici svoje proizvodnje ostvari 33,875 KM dodane vrijednosti, a proizvođač P2 po svakoj količinskoj jedinici svog proizvoda ostvari 23,25 KM dodane vrijednosti.


449

d) [ ] 50 01 1 25 15ˆ 100 3080 40 4 2jcα α π+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

1 2

1 1

25 15;4 2

jej

e

v v vc c c

α∂ ∂ ∂

= − ⇒ = − = −∂ ∂ ∂

.

Ako se nabavna cijena poveća za jedinicu, koeficijent dodane vrijednosti prvog proizvođa-ča će se smanjiti za 6,25 KM, a kod drugog proizvođača za 7,5 K


450

Literatura


Babić, M., (1978), Osnove Input-output analize, Narodne novine, Zagreb

Babić, M., (1989), Makroekonomski modeli, četvrto izdanje, Narodne novine, Zagreb

Babić, M., (2004), Makroekonomija, XIV. dopunjeno i izmijenjeno izdanje, Mate, Zagreb

Europski sustav nacionalnih računa ESA 1995., (1998), Eurostat, Prevod: Državni zavod za statistiku Republike Hrvatske, Zagreb

Roux, D., (2002): Nobel en economie, Economica, Paris

Sustav nacionalnih računa 1993, (1997), UN, Svjetska banka, Washington D.C. Prevod:

Državni zavod za statistiku Republike Hrvatske, Zagreb

Vučković, Ž., (2003), Input-output analiza, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo

Vučković, Ž., Somun –Kapetanović, R., (1990), Zbirka zadataka iz Matematičkih metoda u ekonomskim istraživanjima, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo

Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu Linearno programiranje Uvod Model linearnog programiranja Bazne teoreme linearnog programiranja Teorija dualnosti u linearnom programiranju Metode za rješavanje problema linearnog programiranja Specifični oblici problema linearnog programiranja Pitanja za ponavljanje Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Literatura

4.

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9.

4.10.

453

4.1. Uvod

O pojmu matematičkog programiranja

Iz potrebe za optimizacijom rješenja, koja je oduvijek bila prisutna u ljudskoj svijesti, razvi-la se oblast matematičkog programiranja. Problemi programiranja se bave efikasnošću korištenja ili alokacije ograničenih resursa s ciljem da se zadovolji objektivnost. Ove prob-leme karakteriše veliki broj rješenja koja zadovoljavaju bazične uslove svakog problema.

Počeci matematičkog programiranja datiraju iz vremena II svjetskog rata, kad je jedan od osnovnih problema bio kako da se rasporedi ograničena količina vojnog materijala i ljudi za određene vojne operacije na što djelotvorniji način. Nakon rata postalo je jasno da se ma-tematičko programiranje može uspješno primijeniti i u mnogim drugim oblastima: u ekonomiji, vazduhoplovstvu, tehničkim naukama i industriji.

Najpoznatiji ekonomski problemi koji se rješavaju matematičkim programiranjem su: odre-đivanje optimalnog proizvodnog plana, optimalno vođenje zaliha, optimalni izbor investicijskog projekta, problem optimalnog transporta, optimalne alokacije resursa, opti-malne raspodjele kadrova na radne zadatke, problem trgovačkog putnika, problem optimalnog otpada itd. Razne metode matematičkog programiranja postale su posebne nau-čne discipline. Među najpoznatijim su: linearno programiranje, dinamičko programiranje, višekriterijalno programiranje, stohastičko programiranje i analiza omeđivanja podataka. Danas se ove metode preklapaju i sa mnogim drugim područjima kao što su teorija aprok-simacija, teorija vjerovatnoće, klasična mehanika i račun varijacija.

Najznačajnija imena u oblasti linearnog programiranja

Matematski model linearnog programiranja konceptualno je postavljen prije II svjetskog rata od strane poznatog sovjetskog matematičara Leonida Kantorovicha. Njegov rad “Ma-tematički metodi organizacije i planiranja proizvodnje” iz 1939.g. se smatra začetkom ubrzanog razvoja ovog modela, kao i ekonomsko-matematičkih modela uopšte.

George Dantzing, Marshall Wood i saradnici pri US odjelu vazdušnih snaga 1947. godine, u projektu pod nazivom SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs), daju ma-tematičku osnovu i razvijaju metodu (simplex metoda ili Dantzingov algoritam) za rješavanje problema linearnog programiranja sa velikim brojem varijabli. Dantzingov ori-ginalni primjer na kojem je pokazao primjenu simplex algoritma je pronalaženje najboljeg načina rasporeda 70 ljudi na 70 radnih mjesta. Iste godine (1947), povezujući teoriju linear-nog programiranja i teoriju ''matričnih igara'', J. Von Neumann razvija teoriju dualnosti. Teorija dualnosti u linearnom programiranju omogućava i postoptimalnu analizu i parame-tarsko linearno programiranje.

LINEARNO PROGRAMIRANJE

454

Za formiranje i upotrebu algoritama koji omogućavaju brzo rješavanje problema linearnog programiranja uz pomoć računara važan je bio dokaz da su problemi linearnog programira-nja rješivi u polinomskom vremenu. Za ovaj dokaz zaslužan je Leonid Khachiyan 1979. godine. Veliki proboj u teorijskom i praktičnom smislu u ovom polju vežemo za ime indij-skog matematičara Narendra Karmarkera koji je razvio algoritam za rješavanje problema linearnog programiranja u polinomskom vremenu. On je uveo novi metod (interior point method) za rješavanje ovih problema.

U ovom kratkom pregledu najznačajnijih imena iz oblasti linearnog programiranja spome-nimo i matematičara i ekonomistu Tjallinga Koopmansa koji je 1975. godine podijelio Nobelovu nagradu iz ekonomije sa ruskim matematičarem Leonidom Kantorovichem. Ko-opmans je nagradu dobio za svoj doprinos u teoriji optimalne alokacije resursa.

Matematičko okruženje kod linearnog programiranja

Matematički, osnovni problem linearnog programiranja je pronalaženje uslovnog ekstrema (minimuma ili maksimuma) određene linearne funkcije više promjenljivih (funkcija: cilja ili kriterija ili optimuma), tako da odabrana kombinacija vrijednosti tih promjenljivih zado-volji skup ograničavajućih uslova datog problema (nehomogeni sistem linearnih jednačina).

Prisjetićemo se osnovnih matematskih pojmova koje ćemo koristiti u opisu i rješavanju problema linearnog programiranja.

Vektorski prostor V nad poljem realnih brojeva je preslikavanje

f: R x V → V; f (α, x) = α x (α ∈ R, x ∈ V) sa osobinama:

( ) ( )( )

( )( )VyxRxx

yxyxxxx

xx

∈∀∈∀=⋅⋅+⋅=+⋅⋅+⋅=⋅+

⋅⋅=⋅⋅

,;,1 βαβααβαβα

βαβα

gdje je (V, +) Abelova grupa.

Realna matrica je preslikavanje A: I x J → R gdje su I = {1, 2, ..., m} i J = {1, 2, ...,n}. Poš-to se I x J može napisati u m redova i n kolona, matrica se najčešće identifikuje sa tabelom:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

mnmm

n

n

ij

aaa

aaaaaa

aA

…

……

21

22221

11211

i kaže se da matrica A ima dimenziju m x n ili da je tipa m x n .

UVOD

455

Skup svih matrica dimenzije n x 1 nad poljem realnih brojeva čini jedan vektorski prostor nad poljem R. Taj vektorski prostor označit ćemo sa Vn, a elemente tog prostora (matrice tipa n x 1) zvaćemo vektorima (vektor kolone).

Skup vektora { } { } ,1AA ..., ,A ,A jn21 nj == je linearno nezavisan ako je 1

0n

j jj

Aα=

=∑ samo

za realne brojeve α1 = α2 =. .. = αn = 0. U suprotnom, taj skup je linearno zavisan.

Konveksna kombinacija elemenata A1, A2, ..., An iz vektorskog prostora Vn je element A= α1A1 + α2A2 + ...+ αnAn gdje su αi skalari, takvi da je 0 i 1i i

iα α≥ =∑ .

Podskup K skupa Vn je konveksan skup ako i samo ako za svaki par elemenata iz K vrijedi da je i njihova konveksna kombinacija također u K. Elemente skupa K zvaćemo tačkama.

Svaka tačka na segmentu koji povezuje dvije tačke skupa K može se izraziti kao konveksna kombinacija tih tačaka, i obrnuto1. (1)

Tačka konveksnog skupa K koja se ne može izraziti kao konveksna kombinacija bilo kojih drugih različitih tačaka u K naziva se ekstremna tačka skupa K.

Gass S. (1970), poglavlje 2, teorema 1 i teorema 2.

456

4.2. Model linearnog programiranja Linearno programiranje predstavlja skup metoda i postupaka kojima se određuju ekstremne vrijednosti takve linearne funkcije čije područje definicije određuje sistem linearnih jedna-čina ili nejednačina.

Matematski zapisano, problem linearnog programiranja glasi: naći ono nenegativno rješenje (x1, x2, …, xn), (xi ≥ 0, i = 1, 2, …, n) sistema linearnih nejednačina (ograničenja, uvjeta)

za koje funkcija cilja ili funkcija kriterija

f = f(x1, x2, …, xn) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

dostiže ekstremnu vrijednost, pri čemu su mmnn dddaaccc ,,,,,;,,, 211121 ……… poznate, a x1, x2, …, xn nepoznate vrijednosti u modelu.

Rješenje (x1, x2, …, xn) u primjenama najčešće ima značenje plana ili programa (proizvod-nje, transporta), pa je otuda ovaj problem dobio naziv "programiranje", a naziv "linearno programiranje" potiče od toga što su ograničenja varijabli, kao i funkcija cilja, linearni.

Proizvoljno rješenje sistema nejednačina predstavlja tačku n-dimenzionalnog prostora, to jest (x1, x2, …, xn) ∈ Rn. Nenegativno rješenje sistema nejednačina S naziva se dopustivim ili mogućim rješenjem. U zavisnosti od oblika skupa mogućih rješenja, za problem linearnog programiranja vrijedi jedna od sljedećih osobina:

1. Ima konačno optimalno rješenje (jedinstveno ili ne) ako je skup mogućih rješenja S ograničen konveksan skup.

2. Optimalno rješenje je beskonačno (optimalan program je neizvediv). Ovo se može desiti (ali i ne mora, zavisi od funkcije cilja) u slučaju da je skup mogućih rješenja neograničen.

3. Nema optimalnog rješenja ako je skup mogućih rješenja prazan skup.

S

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≥≤ d1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≥≤ d2

. . . . .

. . . . .

am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≥≤ dm

MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA

457

Za problem linearnog programiranja reći ćemo da ima rješenje ako veličina fmax (fmin) ima konačnu vrijednost na skupu S dopustivih rješenja, a nema rješenja ako je skup S prazan skup, ili ako veličina fmax (fmin) nema konačnu vrijednost.

Linearnim programiranjem može se riješiti svaki problem koji se može predstaviti odgova-rajućim modelom linearnog programiranja.

Osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja2

Linearnost: Pretpostavka linearnosti podrazumijeva postojanje linearnih zavisnosti između promjenljivih u zadatku linearnog programiranja. Ova pretpostavka zadovoljena je tako što su funkcija cilja i ograničavajući uslovi u modelu linearnog programiranja izraženi linear-nim funkcijama. Kao posljedica linearnosti u modelu linearnog programiranja zadovoljene su također dvije osnovne pretpostavke: proporcionalnost i aditivnost.

Izvjesnost: Svi parametri modela linearnog programiranja su unaprijed jednoznačno odre-đeni, što znači da su koeficijenti funkcije cilja i sistema ograničenja deterministički određeni i ne mijenjaju se u toku rješavanja modela. S obzirom na ovu osobinu, model line-arnog programiranja smatramo determinističkim modelom.

Djeljivost: Ova pretpostavka podrazumijeva da promjenljive u modelu linearnog programi-ranja ne moraju biti cijeli brojevi. Prema tome, u opštem obliku modela linearnog programiranja ne postavlja se tzv. uslov cjelobrojnosti rješenja, što znači da vrijednosti promjenljivih mogu biti izražene i u obliku decimalnih brojeva. Ukoliko se, međutim, iz određenih razloga zahtijeva cjelobrojnost promjenljivih, onda je u pitanju specijalan oblik zadatka - model cjelobrojnog linearnog programiranja.

Nenegativnost: Uslov nenegativnosti promjenljivih predstavlja jednu od osnovnih pretpos-tavki modela linearnog programiranja. Ova pretpostavka ima svoj metodološki i suštinski (ekonomski) značaj. Naime, kako opšti algoritam rješavanja modela linearnog programira-nja predstavlja simplex metod, to je za primjenu ovog metoda neophodno zadovoljenje uslova nenegativnosti promjenljivih, što čini metodološki aspekt uslova nenegativnosti promjenljivih. S druge strane, kako promjenljive u modelu linearnog programiranja, koji se koristi za određene ekonomske analize, predstavljaju određene ekonomske veličine, jasno je da one ne mogu biti negativne. Jasno je, naprimjer, da ukoliko korištenjem modela line-arnog programiranja želimo da odredimo optimalan program proizvodnje nekog preduzeća, promjenljive modela pokazuju vrijednost (količinu) proizvodnje određenih proizvoda koja ne može biti negativna. Zbog toga uslov nenegativnosti, pored funkcije cilja i sistema ogra-ničenja (predstavljenih u vidu nejednačina i jednačina), predstavlja jedan od osnovnih elemenata modela linearnog programiranja.

2 Prema: Backović, M., Vuleta, J. (2008), str. 197-198.


458

Navedene pretpostavke predstavljaju osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja i one moraju biti uvijek zadovoljene. Ukoliko, međutim, bilo koja od navedenih pretpostav-ki nije zadovoljena, onda se radi ili o specijalnom obliku modela linearnog programiranja, ili postavljeni model ne predstavlja model linearnog programiranja.

Osnovni elementi modela linearnog programiranja su funkcija cilja, sistem ograničenja i uslovi nenegativnosti.

Polazni model koji odgovara konkretnom problemu LP-a nazivaćemo primalnim mode-lom. U nastavku ćemo detaljno izložiti dijelove polaznog primalnog modela LP-a u formama: Opšti polazni primalni model LP-a, i to u njegovim sljedećim oblicima:

ekstezivni (razvijeni) oblik, kondenzovani oblik, matrični oblik

i objasnit ćemo kako se iz opšteg polaznog primalnog modela formira simetrični model.

Standardizovani primalni model LP-a u sljedećim oblicima:

ekstezivni (razvijeni) oblik, kondenzovani oblik, matrični oblik.

4.2.1. Opšti polazni primalni model LP-a Funkcija cilja u problemu LP-a izražava osnovni cilj, odnosno ono što želimo postići rješa-vanjem modela i mora biti unaprijed definisana (npr. maksimizirati prihod).

Označimo sa Rxxx n ∈,,, 21 … nepoznate veličine u problemu linearnog programiranja (npr. količine proizvoda koje trebamo proizvesti, ili resursa koje trebamo rasporediti) i neka su Rccc n ∈,,, 21 … poznati parametri koji karakterišu fukciju cilja (npr. prihod ili trošak po jedinici proizvoda ili resursa koji određujemo). Kako je zadatak linearnog programiranja određivanje ekstremne vrijednosti funkcije (funkcije cilja), uz dati skup linearnih ograniče-nja (sistem ograničenja i uslovi nenegativnosti), to ustvari znači da trebamo odrediti one vrijednosti nepoznatih nxxx ,,, 21 … kojima bi se maksimizirala/minimizirala linearna kombinacija vektora [ ] [ ]np xxxxX …21== i vektora [ ] [ ]np cccc …21= .

Odavde je polazni oblik primalne funkcije cilja ˝f ˝ oblika:

nn xcxcxcfMinMax

+++= ...)..( 2211


459

ili ˝kondenzovano˝ ∑=

=n

ppp xcf

MinMax

1)

..(

i matrično: [ ] [ ]pT

p xcfMinMax

⋅=)..(

Varijable Rxxx n ∈,,, 21 … nazivamo polazne primalne varijable i usvojićemo da je nji-hov broj n .

Sistem ograničenja se sastoji od određenog broja linearnih nejednačina. U opštem slučaju ograničenja koja se javljaju u nejednačinama mogu biti tipa:

≤ (npr. maksimalna količina novca koju imamo na raspolaganju) i ovo ograničenje nazi-vamo ograničenjem «I tipa».

≥ (npr. minimalna količina proizvoda koju trebamo nabaviti) i ovo ograničenje nazivamo ograničenjem «II tipa».

= (npr. moraju se iskoristiti svi resursi) i ovo ograničenje nazivamo ograničenjem «III tipa».

Polaznih ograničenja tipa ≤ može biti više, npr K∈No, pa skup svih polaznih primalnih ograničenja I tipa možemo zapisati:

KnnKKK

nn

nn

dxaxaxa

dxaxaxadxaxaxa

≤+++

≤+++

≤+++

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

.....................................................

......

ili ˝kondenzovano˝

k

n

ppkp dxa ≤∑

=1

za Kk ,1=

Parametri kpa su poznate veličine koje karakterišu ograničenje kd .

Polaznih ograničenja tipa ≥ može biti više, npr. L∈N0, pa skup svih polaznih primalnih ograničenja II tipa možemo zapisati:

LKnnLKLKLK

KnnKKK

KnnKKK

dxaxaxa

dxaxaxadxaxaxa

++++

++++

++++

≥+++

≥+++

≥+++

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

................................................................

......


460


l

n

pplp dxa ≥∑

=1 za LKKl ++= ,1 .

Parametri lpa su poznate veličine koje karakterišu ograničenje ld .

I ograničenja tipa „=“ može biti više, npr. R∈N0, pa skup svih polaznih primalnih ograni-čenja III tipa možemo zapisati:

RLKnnRLKRLKRLK

LKnnLKLKLK

LKnnLKLKLK

dxaxaxa

dxaxaxadxaxaxa

++++++++

++++++++

++++++++

=+++

=+++

=+++

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

...........................................................................

......


r

n

pprp dxa =∑

=1 za RLKLKr ++++= ,1 .

Parametri rpa su poznate veličine koje karakterišu ograničenje rd .

Opšti uslovi nenegativnosti se odnose na polazne primalne varijable Rxxx n ∈,,, 21 … i predstavljaju činjenicu da količine ne mogu biti negativni brojevi.

Opšte uslove nenegativnosti zapisujemo u ekstenzivnom obliku

0,,0,0 21 ≥≥≥ nxxx … , odnosno u kondenzovanom 0≥px za np ,1= i u matričnom

10p n

x×

⎡ ⎤ ≥⎣ ⎦ .

Na osnovu prethodnog, matematski zapisi opšteg primalnog modela LP-a imaju sljedeće forme:

Opšti polazni primalni oblik LP-a – ekstezivni oblik

∑=

=n

ppp xcf

MinMax

1)

..(

KnnKKK

nn

nn

dxaxaxa

dxaxaxa

dxaxaxa

≤+++

≤+++

≤+++

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

.....................................................

...

...


461

LKnnLKLKLK

KnnKKK

KnnKKK

dxaxaxa

dxaxaxadxaxaxa

++++

++++

++++

≥+++

≥+++

≥+++

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

................................................................

...

...

(4.1)

RLKnnRLKRLKRLK

LKnnLKLKLK

LKnnLKLKLK

dxaxaxa

dxaxaxa

dxaxaxa

++++++++

++++++++

++++++++

=+++

=+++

=+++

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

...........................................................................

...

...

0≥px za np ,1=

gdje su aip, di, cp ∈ R poznate konstante, za minp ,1i,1 == i gdje je ukupan broj ogra-ničenja RLKm ++= i n ukupan broj polaznih primalnih varijabli.

Usvojimo da su svi di ≥ 0, što se može množenjem –1 spornih polaznih jednačina u (i) uvi-jek obezbijediti.

Opšti polazni primarni oblik LP-a u kondenzovanom obliku je dat sa:

R) L(K ; m,n p " x

RL),(Kl)(K r " dxa III

L,KK l " dxa II

,K k za dxa I

xcfMin.Max.

p

n

prprp

n

plplp

n

pkpkp

n

ppp

++==≥

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++++==⋅

++=≥⋅

=≤⋅

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

1 0

1

1

1

1

1

1

1

(4.1')

Ako poznate parametre u funkciji cilja i polazne primalne varijable zapišemo kao n-dimenzionalne vektore

1p nc

×⎡ ⎤⎣ ⎦ i

1p nx

×⎡ ⎤⎣ ⎦ , te poznate koeficijente u ograničenjima kao nm x

- dimenzionalnu matricu [ ] nmipa x , a sva ograničenja kao [ ] 1i md

× vektor ograničenja, onda

se može dati i matrični oblik opšteg polaznog primalnog modela LP-a:


462

[ ] [ ]1

1 )

..( np

Tnp xcf

MinMax

⋅=

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

)(

III

II

I

1 1

1 1

1 1 RLKm

dxa

dxa

dxa

RrnpRnrp

LlnpLnlp

KknpKnkp

++=⎯→⎯

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⋅

≥⋅

≤⋅

(4.1'')

10p n

x×

⎡ ⎤ ≥⎣ ⎦

gdje je 1p n

x×

⎡ ⎤⎣ ⎦ vektor polaznih primalnih varijabli, 1p n

c×

⎡ ⎤⎣ ⎦ vektor parametara koji karakte-

rišu funkciju cilja, [ ] 1i md

× vektor ograničenja i

xip m nA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ matrica koeficijenata u

ograničenjima.

Kod problema maksimizacije prirodno je očekivati barem jedno ograničenje tipa ≤ („odoz-go”) jer bi u suprotnom optimalna vrijednost bila beskonačno velika i analogno kod problema minimizacije, ako nemamo „donjeg” ograničenja (tipa ≥ ), optimum bi bio u nuli (zbog uslova nenegativnosti). Upravo iz ovih razloga se često u literaturi kao polazni model linearnog programiranja uzima tzv. simetričan model.

Za model ćemo reći da je simetričan ako funkcija cilja i skup ograničenja zadovoljavaju sljedeće osobine:

funkcija cilja je fmax , a sva ograničenja u modelu su tipa ≤ , odnosno I tipa. funkcija cilja je fmin , a sva ograničenja u modelu su tipa ≥ , odnosno II tipa.

Kad polazni model nije simetričan možemo ga, jednostavnim transfomacijama skupa ogra-ničenja, pretvoriti u simetričan. Postupak je opisan u nastavku:

Kod funkcije cilja fmax , potrebno je transformisati skup ograničenja tako da sva ograni-čenja u modelu imaju oblik ≤ . To znači da ograničenja I tipa nećemo transformisati, ograničenja II tipa ćemo množiti sa (-1), dok ćemo ograničenja tipa „=“ razdvojiti na dvije jednačine sa istim oblikom, samo što jedna jednačina ima oblik ≤ , a druga oblik ≥ .

Postupak transformacije opšteg polaznog primalnog modela 4.1' (opšteg modela datog u kondenzovanom obliku) sa ciljem fmax u simetrični model:


463

SLUČAJ (Max.)f

1 1

1 1

( .) ( .)

n n

p p p pp p

n n

kp p k kp p kp p

lp p l

Max f c x Max f c x

I a x d a x d k

II a x d

= =

= =

= ⋅ → = ⋅

⋅ ≤ → ⋅ ≤ ∀

⋅ ≥

∑ ∑

∑ ∑

1 1

1

1

1

(

n n

lp p lp p

n

rp p rnp

rp p r np

rp p rp

(-a ) x - d l

a x d rIII a x d

a ) x d

= =

=

=

=

⎧⎪

→ ⋅ ≤ ∀⎨

⎧ ⋅ ≤ ∀⎪⎪⋅ = → ⎨⎪ − ⋅ ≤ −⎪⎩

∑ ∑

∑∑

∑0 0 p p x x p

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

≥ → ≥ ∀

odnosno, model 4.1'. u slučaju maksimuma ima svoj ekvivalentan simetričan oblik:

1

11

0 1

n

p pp

n

ip p ip

p

(Max.)f c x

a x d , i ,m , m m R

x p ,n

=

∗ ∗ ∗ ∗

=

= ⋅

⋅ ≤ = = +

≥ =

∑

∑ (4.1''')

gdje su:

[ ] [ ] 2m m R (K L R) R K L R∗ = + = + + + = + +

1

1

1

1 1

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=−=−

=++++==

=++=−=−

====

=

∗

∗

∗

∗

∗

R,mm i " " " dd " a

r i RLK,LK r " " d d " a

l i L,KK l " " d " d a

k i ,Kk ,n p za dd i a

a

rirp

mrirp

lilp

kikp

ip

pa se ovaj simetričan model 4.1'''. može posmatrati kao polazni model LP-a.


464

Kod funkcije cilja fmin , potrebno je transformisati skup ograničenja tako da sva ograni-čenja u modelu imaju oblik ≥ . To znači da ograničenja I moramo transformisati i to tako što ćemo ovaj tip ograničenja pomnožiti sa (-1). Ograničenja II tipa ćemo prepisati, dok ćemo ograničenja tipa „=“ razdvojiti na dvije jednačine sa istim oblikom, samo što jedna jednačina ima oblik ≤ , a druga oblik ≥ .

Slučaj (Min.)f

0 0

(

-) (-

.)( .)(

1

1

1

1 1

1 1

11

p x x

dx)a

r dxa dxa III

l dxa dxa II

k dxa dxa I

xcfMinxcfMin

pp

n

prprp

n

prprpn

prprp

n

p

n

plplplplp

n

p

n

pkpkpkpkp

n

ppp

n

ppp

∀≥→≥

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−≥⋅−

∀≥⋅

→=⋅

∀≥⋅→≥⋅

∀≥⋅→≤⋅

⋅=→⋅=

∑

∑∑

∑ ∑

∑ ∑

∑∑

=

=

=

= =

= =

==

odnosno, model 4.1'. u slučaju minimuma ima svoj ekvivalentan simetričan oblik:

1

1

(

1

0 1

n

p pp

n

ip p ip

p

Min)f c x

a x d , i ,m , m m R

x p ,n

=

∗ ∗ ∗ ∗

=

= ⋅

⋅ ≥ = = +

≥ =

∑

∑ (4.1''''.)

[ ] [ ] RLKRR)L(KRmm

:

2

su gdje

++=+++=+=∗


465

1 1

1

kp i k

ip lp i l

rp

a i d d za p ,n k ,K i k

a a " d d " " l K ,K L i l

a

∗

∗ ∗

− = − = = =

= = = + + =

1

1

i r m

rp i r

" d d " " r K L ,K L R i r

a " d d " " " i m ,m R

∗

∗

⎧

⎨

⎧ = = + + + + =⎪⎨⎪− = − = + +⎩

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎩

.

Na osnovu prethodnog izvođenja vidimo da se (uz naglašavanje izvedenih transformacija) simetrični modeli mogu uzimati za polazne modele linearnog programiranja, što brojni au-tori i rade.

Primjer 4.1.

Dat je opšti polazni model LP-a

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

1 2 3

min 80 120 80I 2 3 1000

2 200100

, , 0

f x x xx x x

x xx x x

x x x

= + ++ + ≤

ΙΙ + ≥ΙΙΙ + − =

≥

transformisati dati model u simetričan, pa ga zapisati u matričnom obliku.

Rješenje: Kako je u pitanju min f, to se sva ograničenja moraju svesti na oblik ≥ , što znači da ćemo transformisati ograničenja I i ograničenje III datog modela:

100032100032 321321 −≥−−−⇔≤++Ι xxxxxx

⎩⎨⎧

≥−+−≥+−−

⇔⎩⎨⎧

≥−+≤−+

⇔=−+ΙΙ100

100100100

100I321

321

321

321321 xxx

xxxxxxxxx

xxx

Odnosno, ekvivalentan simetričan zapis polaznog modela LP-a ima oblik:

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min 80 120 802 3 1000

2 200100100

, , 0

f x x xx x x

x xx x xx x x

x x x

= + +

Ι − − − ≥ −

ΙΙ + ≥ΙΙΙ − − + ≥ −

+ − ≥

≥


466

Definišimo matrice:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

=

111111120312

A ;

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

100100

2001000

d ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

8012080

c i ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

xxx

x

Matrični zapis modela bi sada izgledao ovako:

0

min

≥≥⋅

⋅=

xdx A

xcTf.

4.2.2. Standardni (opšti) model LP-a Navedene opšte oblike modela linearnog programiranja ćemo kompletirati definisanjem standardnog modela LP-a, koji je neophodan za razvoj i upotrebu algoritama kojima se rješavaju problemi linearnog programiranja.

Polazni model LP-a 4.1. se prevodi u ekvivalentan standardni oblik tako što se sva ograni-čenja transformišu u jednačine. To se postiže tako što se svakom ograničenju I i II tipa pridruži po jedna nova varijabla koja će omogućiti izravnanje ograničenja. Ove varijable se nazivaju izravnavajuće varijable (dopunske ili oslabljene) i njihov broj jednak je broju og-raničenja I i II tipa (odnosno K + L u opštem modelu). Izravnavajuće varijable ispunjavaju uslov nenegativnosti i njihove vrijednosti ne smiju uticati na vrijednost funkcije cilja. Zbog toga su koeficijenti uz izravnavajuće varijable u funkciji cilja jednaki 0.

Uvođenjem izravnavajućih varijabli je omogućena transformacija ograničenja tipa «≤» i tipa «≥» u jednakost, ali za potpuno formiranje standardnog modela i primjenu simplex algoritma za rješavanje problema LP-a neophodno je matricu ograničenja [ ] nmipaA x =

proširiti sa jediničnom matricom, odnosno svakom ograničenju (pa i ograničenju tipa «=») moramo dodati neku novu varijablu.

Varijable koje se uvode u model isključivo da bi se dobila jedinična matrica kao dio proši-rene matrice ograničenja A nazivamo vještačkim (umjetnim, eng. artificial) varijablama. Vještačke varijable nemaju ekonomsko značenje i u optimalnom rješenju problema LP-a ove varijable moraju imati vrijednost 0. Da bi se obezbijedila vrijednost 0 za sve vještačke varijabe u modelu, potrebno je ovim varijablama dodijeliti koeficijente u funkciji cilja koji će ih učiniti inferiornim i u optimalnom slučaju im obezbijediti uvijek vrijednost 0. Ovo ćemo postići ako svim vještačkim varijablama dodijelimo dovoljno mali broj za maksimum, označimo ga sa –M i dovoljno veliki broj za minimum, označimo ga sa +M, +∈ RM .


467

U nastavku ćemo objasniti način uvođenja novih varijabli u polazni model i njihovo značenje.

Polaznom modelu LP-a dodajemo dvije vrste varijabli:

Izravnavajuće varijable (dopunske ili oslabljene) za koje mora vrijediti uslov nenegativ-nosti i koje imaju ekonomsko značenje;

Vještačke varijable (umjetne, eng. artificial), koje nemaju ekonomsko značenje i u opti-malnom slučaju moraju imati vrijednost 0.

Kod svih ograničenja I tipa (≤) imamo manju vrijednost na lijevoj strani u ograničenju, pa dodajemo neku pozitivnu vrijednost, odnosno uvodimo izravnavajuću varijablu sa znakom (+1). Izravnavajuća varijabla pridružena ograničenju k označava se sa knx + i mjeri se u istoj jedinici mjere kao i ograničenje (naziv: izravnavajuća I tipa3 ili neiskorištena ili oslab-ljena varijabla, eng. slack).

Npr., da bi izvršili standardizaciju kod 3. ograničenja I tipa u opštem modelu 4.1. LP-a

3,322,311,3 ... dxaxaxa nn ≤+++

moramo dodati izravnavajuću varijablu 03 ≥+nx , pa bi sad ograničenje 3 poprimilo oblik:

33,322,311,3 ... dxxaxaxa nnn =++++ + .

Varijabla 03 ≥+nx označava koliko u ponuđenom rješenju (ne mora biti optimalno) nedos-taje jedinica ograničenja 3 da bi se ovo ograničenje potpuno iskoristilo.

Kod svih ograničenja II tipa (≥) imamo veću vrijednost na lijevoj strani nejednakosti u og-raničenju, pa da bi izravnali ograničenje oduzimamo neku pozitivnu vrijednost, odnosno uvodimo izravnavajuću varijablu sa znakom (-1) i jednu vještačku sa znakom (+1).

Izravnavajuća varijabla pridružena ograničenju l označava se sa lnx + i mjeri se u istoj jedi-nici mjere kao i ograničenje (izravnavajuća II tipa ili suvišak, eng. surplus), dok se vještačka varijabla označava sa *

lnx + i nema ekonomsko značenje (vještačka II tipa, eng. artificial)

Npr., da bi izvršili standardizaciju kod petog ograničenja koje je II tipa:

5,522,511,5 ... dxaxaxa nn ≥+++

uvodimo izravnavajuću varijablu 5+nx i vještačku *5+nx na sljedeći način:

5*

55,522,511,5 ... dxxxaxaxa nnnn =+−+++ ++ ,

pa je ovim izvršena standardizacija petog ograničenja.

3 Vučković, Ž., (1989), str. 6.


468

Prilikom standardizacije ograničenja III tipa, odnosno kod ograničenja tipa =, vidimo da nema potrebe za uvođenjem izravnavajuće varijable jer je ograničenje već izravnato, ali se uvodi vještačka varijabla sa znakom (+1) i označava sa *

rnx + (vještačka varijabla III tipa).

U funkciji cilja, izravnavajuće varijable imaju koeficijent 0, dok vještačke imaju koeficijent M± (+M ako je cilj min f i –M ako je cilj max f) gdje je M jako veliki realni broj.

Napomenimo još jedanput da vještačke varijable II i III tipa nemaju ekonomsko tumačenje i u optimalnom rješenju problema LP-a njihove vrijednosti uvijek moraju biti 0. Prilikom uvođenja i tumačenja dualnih varijabli vidjećemo da se vještačka varijabla III tipa koristi pri izračunavanju njene dualne vrijednosti.

Izravnavajuće (slack) varijable pridružene ograničenju tipa „≤” u ograničenjima imaju koe-ficijent +1, pa će one činiti dio jedinične matrice u standardnom modelu LP-a. Međutim, izravnavajuće (surplus) varijable pridružene ograničenju tipa „≥” će u ograničenjima imati koeficijent -1 (oduzimamo od lijeve strane nejednakosti) i one neće biti dio jedinične matri-ce. Upravo vještačke varijable koje su pridružene ograničenjima II i III tipa omogućavaju kompletiranje jedinične matrice, odnosno proširenje matrice ograničenja [ ] nmipaA x = sa

jediničnom matricom.

Na osnovu izloženog imamo da je standardizovani polazni model LP-a u kondenzovanom obliku dat sa:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )rlkpxxxxx

dxxa

dxxxa

dxxa

xMxMxxxCfMinMax

lnrnlnknp

rrrnn

pprp

lllnlnn

pplp

kkknn

ppkp

l rrn

llnln

kkn

n

ppp

,,,,0;0,0;0;03

2

00..1

*

,1

,*

1

,1

*

1

∀==≥≥≥

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+⋅ΙΙΙ

=+−⋅ΙΙ

=+⋅Ι

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++++

∀+=

∀++=

∀+=

∀ ∀+

∀++

∀+

=

∑

∑

∑

∑ ∑∑∑∑ ∓∓

odnosno, kraće:


469

( ) mnRLKnNNsx

RLKmmidxa

xcfMinMax

s

i

N

ssis

N

sss

+=+++=←=≥

++=←==⋅

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∑

∑

=

=

,10

,1,1

1

(4.2)

i u matričnom obliku:

[ ] [ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ] ( )

[ ] ( ) dim1"dim"0dim1"

dim1

−⋅→−⋅→≥−⋅→=⋅

−⋅→⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

mdNmax

Nxdxa

NjecxcfMinMax

i

iss

sisis

Tss

Ts

, (4.2')

gdje je matrica [ ]isa proširena matrica koeficijenata u ograničenjima po već opisanom pravilu.

Rezimirajmo, standardizacija polaznog primalnog modela se vrši tako što se skup polaz-nih varijabli proširuje i uvode se dva tipa varijabli: izravnavajuće ( )1, ,n ix i K L+ = +… i vještačke ( )* 1, ,n jx j K m+ = + … .

Kod ograničenja I tipa (tipa ≤) uvodimo jednu izravnavajuću varijablu sa koeficijentom +1.

Kod ograničenja II tipa (tipa ≥) uvodimo jednu izravnavajuću varijablu sa koeficijentom -1 i jednu vještačku varijablu sa koeficijentom +1.

Kod ograničenja III tipa (tipa =) uvodimo jednu vještačku varijablu sa koeficijentom +1.

Izravnavajuće varijable su nenegativne i imaju svoje ekonomsko značenje, dok vještačke varijable nemaju ekonomsko značenje i njihova vrijednost mora biti 0. Izravnavajuća va-rijabla n ix + nam govori koliko nedostaje da se zadovolji ili koliki je suvišak u ograničenju i .

U funkciji cilja, izravnavajuće varijable imaju koeficijent 0, dok vještačke varijable imaju koeficijent M± (gdje je M neki veliki realni broj), i to M− kod cilja max f i M+ kod cilja min f .


470

Primjer 4.2. Dat je opšti polazni model LP-a

0,,

1002002100032I8012080min

321

321

32

321

321

≥

=−+ΙΙΙ≥+ΙΙ≤++++=

xxx

xxxxxxxx

xxxf

Izvršiti standardizaciju modela pa ga zapisati u matričnom obliku.

Rješenje: Standardizacija ograničenja:

Ograničenje I tipa:

100032 321 ≤++ xxx (4.2. a)

Da bi izravnali ovo ograničenje, potrebno je dodati lijevoj strani nejednakosti (4.2. a) neki pozitivan broj, označimo ga sa 4x . Varijabla 4x predstavlja izravnavajuću va-rijablu I tipa (neiskorištena ili oslabljena varijabla, eng. slack), a ograničenje (4.2. a) poprima ekvivalentan oblik (4.2. a'):

0,,,632

4321

4321

≥=+++

xxxxxxxx

. (4.2. a')

Ograničenje II tipa:

2002 32 ≥+ xx (4.2. b)

gdje je 0,, 321 ≥xxx .

U ovom slučaju imamo višak na lijevoj strani nejednakosti (4.2. b). Da bi izravnali ograničenje, potrebno je oduzeti od lijeve strane nejednakosti (4.2. b) neki pozitivan broj, označimo ga sa 5x . Varijabla 5x predstavlja izravnavajuću varijablu II tipa (suvišak varijabla, eng. surplus). Osim izravnavajuće, moramo dodati i vještačku va-rijablu *

5x , a ograničenje (4.2. b) poprima ekvivalentan oblik (4.2. b''):

0;0,,,

2002*

55321

*5532

=≥

=+−+

xxxxx

xxxx. (4.2. b'')

Ograničenje III tipa:


471

100321 =−+ xxx (4.2. c)

gdje je 0,, 321 ≥xxx .

U ovom slučaju uvodimo samo jednu vještačku varijablu III tipa, označimo je sa *6x ,

i ograničenje (4.2. c) poprima ekvivalentan oblik:

100*6321 =+−+ xxxx (4.2. c)

Kako je cilj min f, to se u funkciji cilja vještačkim varijablama dodjeljuje koeficijent +M, a izravnavajućim koeficijent 0.

Nakon uvođenja izravnavajućih i vještačkih varijabli u model koji je dat u primjeru 4.2, dobićemo sljedeću ekvivalentnu interpretaciju modela:

* *1 2 3 4 5 5 6

1 2 3 4*

2 3 5 5

*1 2 3 6

* *1 2 3 4 5 5 6

min 80 120 80 0 0I 2 3 1000

2 200

I 100

, , , , 0; 0

f x x x x x M x M xx x x x

x x x xx x x x

x x x x x x x

= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ + + =

ΙΙ + − + =

ΙΙ + − + =

≥ = =

Odnosno, u matričnoj interpretaciji:

[ ] [ ]

[ ] 0

100200

1000

100011101101200001312

008012080min

*6

*554321

*6

*5

5

4

3

2

1

*6

*554321

≥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⋅=

Τ

Τ

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxMMf

472

4.3. Bazne teoreme linearnog programiranja Navešćemo osnovne teoreme na bazi kojih je definisan način rješavanja problema i osnov-ne osobine modela linearnog programiranja.4 U navođenju osnovnih teorema koristićemo standardizovani opšti model LP-a dat u jednom od sljedeća dva ekvivalentna zapisa:

0

Tf c XAX

X

⎧ =⎪ =⎨⎪ ≥⎩

d (4.3)

1

1

0 1,

N

j jj

N

j jj

j

f c x

A x

x j N

=

=

⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ ≥ =⎪⎩

∑

∑ d (4.4)

gdje su [ ]Τ= Ncccc …21 ; [ ]Τ= mddd …21d ; [ ]Τ= mjjjj aaaA …21 i

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

mNm

N

aa

aaA

1

111 poznati koeficijenti u modelu, a

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Nx

xX

1 nepoznat vektor u modelu.

Teorema 4.3.1: Skup K svih mogućih rješenja problema linearnog programiranja je konveksan skup.

Dokaz: Treba pokazati da je bilo koja konveksna kombinacija mogućeg rješenja LP-a također moguće rješenje istog LP-a.

Neka su X1 i X2 dva razna moguća rješenja problema (1), a to znači da X1 i X2 zadovo-ljavaju uslove:

AX1 = d i AX2 = d

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0.

X1 ∈ VN X2 ∈VN.5

4 Arnaut-Berilo A., (2000) 5 VN (skup svih N-dimenzionalnih vektora) predstavlja vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

BAZNE TEOREME LINEARNOG PROGRAMIRANJA

473

Neka je X = αX1 + (1-α)X2, α∈ [0, 1]

slijedi AX = A(αX1 + (1-α)X2) = αAX1 + (1-α)AX2 = αd + (1-α)d = d,

odnosno X∈ K. Dakle, konveksna kombinacija bilo koja dva elementa iz K je element iz K, tj. K je konveksan skup♦

Označili smo konveksan skup rješenja LP-a sa K. Pošto je K određeno sa presjekom konač-nog broja ograničenja, to skup K može biti ili prazan skup, ili konveksan poligon, ili konveksna regija koja je neograničena sa jedne strane. Ukoliko je K prazan skup, problem LP-a nema ni jedno rješenje. Ukoliko je K konveksan poligon, problem LP-a ima rješenje sa konačnom vrijednošću objektivne funkcije f. Ukoliko je K konveksna regija koja je neo-graničena sa jedne strane, to problem LP-a može imati konačno ili beskonačno rješenje.

U nastavku ćemo pretpostaviti da je K konveksan poligon.

Teorema 4.3.2:

Objektivna funkcija f postiže svoju optimalnu vrijednost (minimum ili maksimum) u ekstremnim tačkama konveksnog poligona K. Ako se desi da f prima optimalnu vrije-dnost za više od jedne ektremne tačke, onda će problem LP-a imati optimalnu vrijednost za svaku konveksnu kombinaciju tih ekstremnih tačaka. Dokaz: Uzet ćemo da je u pitanju minimum (analogno zaključivanje bi izvršili i za maksimum).

Prema pretpostavci, skup K je konveksan poligon. Slijedi da K ima konačno mnogo ekstremnih tačaka, recimo p. Označimo te ekstremne tačke sa : pXXX ,...,, 21 sa

odgovarajućim vrijednostima funkcije cilja: ( ) ( ) ( )pXfXfXf ,...,, 21 .

Neka ekstremnu vrijednost funkcija cilja ima u tački X0, odnosno min f(X) = f(X0), sli-jedi

f (X0) ≤ f (X), za sve X∈ K. Ako je X0 ekstremna tačka poligona K, onda je prvi dio teoreme dokazan.

Pretpostavimo da X0 nije ekstremna tačka skupa K. Tada se X0 može napisati kao konveksna kombinacija ekstremnih tačaka poligona K:

10,11

0 =≥= ∑∑==

p

eee

p

eee iXX ααα (4.5)


474

Odavde ćemo imati:6

( ) ( )∑=

=p

eee XfXf

10 α (4.6)

Neka je

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )min min 0 min min1, 1

minp

i e ee p ef X f X f X f X f X f X f Xα

==

= ⇒ ≥ ⇒ ≥ =∑ (4.7)

Iz (4.6) i (4.7) imamo da je f (X0) = f (Xmin), što znači da se u ektremnoj tački Xmin mi-nimizira funkcija cilja. Prvi dio teoreme je dokazan.

Neka je npr. ( ) ( ) ( ) fXfXfXf q ==== ...21 (q ≤ p), odnosno neka funkcija cilja

dostiže minimalnu vrijednost f u ekstremnim tačkama qXXX ,...,, 21 . Pokazaćemo da je za svaku konveksnu kombinaciju ovih q vektora vrijednost funkcije cilja mini-malna. Neka je X proizvoljna konveksna kombinacija elemenata: qXXX ,...,, 21 , tada je

10,11

=≥= ∑∑==

q

eee

q

eee iXX ααα (4.8)

Uvrštavanjem prethodnog u funkciju cilja f imaćemo:

( ) ( )1 1

ˆ ˆq q

e e ee e

f X f X f fα α= =

= = =∑ ∑

Ovim je teorema dokazana ♦

Za sljedeću teoremu koristit ćemo model linearnog progamiranja u obliku (4.4). Napome-nimo da kolone matrice A predstavljaju m – dimenzionalne vektore, označili smo ih sa Ai, i da je d također m – dimenzionalan vektor sastavljen od elemenata di ≥ 0.

Teorema 4.3.3:

Ako postoji podskup { }k21 P ..., ,P ,P od k ≤ m linearno nezavisnih vektora skupa { }N21 A ..., ,A ,A , takvih da je

x1P1 + x2P2 +. .. + xkPk = B i xi ≥ 0 (∀i = 1,.., k)

6 Iskorištena je činjenica da VN predstavlja vektorski prostor.


475

tada je tačka X = (x1, x2,. .. ,xk, 0,.. ., 0) ekstremna tačka skupa mogućih rješenja. Ovo znači da je X jedan N – dimenzionalni vektor kod kojeg su zadnjih N – k elemenata jednaki 0.

Dokaz: Teorema pretpostavlja da vektor X zadovoljava uslove (i) i (ii) modela (4.4), pa je ta-kvo X moguće rješenje problema LP-a (X ∈ K).

Pretpostavimo da X nije ekstremna tačka skupa K. To znači da X može biti napisana kao linearna kombinacija druge dvije tačke X1 i X2 iz K :

X = αX1 + (1 - α)X2 za 0 < α <1

Kako vrijedi da je 1 > α > 0 i (1 - α) > 0 i da su svi elementi xi vektora X nenegativni, imamo da je posljednjih (n – k) elemenata u X1 i u X2 također jednako 0.

Pošto X1, X2 ∈ K slijedi ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1 1 11 1 1 2 2

2 2 22 1 1 2 2

1 2 1 2 1 21 2 1 1 1 2 2 2

odnosno . . .

odnosno . . . 1

A X 0 odnosno . . . 0

k k

k k

k k k

AX x P x P x P

AX x P x P x P

X x x P x x P x x P

⎫= + + + = ⎪+⎬= + + + = ⋅ − ⎪⎭

− = − + − + + − =

d d

d d

zbog linearne nezavisnosti vektora Pi imamo da su ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212

21

22

11

1 ...;; kk xxxxxx ===

Ovo znači da se X ne može izraziti kao konveksna kombinacija dvije različite tačke iz K, pa X mora biti ekstremna tačka u skupu K. Time je teorema dokazana ♦

Teorema 4.3.4:

Ako je X = (x1, x2,. .. ,xn) ekstremna tačka skupa mogućih rješenja K, tada m – di-menzionalni vektori P1, P2,.. ., Pk koji su asocirani7 sa pozitivnim koeficijentima xi čine linearno nezavisan skup. Odavde slijedi da je najviše m od ovih xi pozitivno.

Dokaz: Neka su nenulti xi prvih k koeficijenata u X, to na osnovu teoreme 4.3.3 imamo

7 Za vektore Pi, i = 1..k, ćemo reći da su asocirani sa xi ako vrijedi x1P1 + x2P2 + . . . + xkPk = P0 i xi > 0


476

d=∑=

k

iii Px

1.

Pretpostavimo suprotno, da su vektori P1, P2,.. ., Pk linearno zavisni, to znači da ima-mo :

d1P1 + d2P2 +.. .+ dkPk = 0 i bar jedan di ≠ 0. (4.9)

Iz pretpostavke teoreme slijedi:

x1P1 + x2P2 +. .. + xkPk = d (4.10)

Za neko d > 0 imamo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) d

d=++++++=−++−+−

kkk

kkk

PddxPddxPddxPddxPddxPddx

...

...

222111

222111

Izaberimo d > 0 dovoljno malo tako da je :

(x1 – dd1) > 0; (x2 – dd2) > 0;. . .(xk – ddk) > 0 pa imamo da su

X1 = (x2 – dd2, x2 – dd2,.. ., xk – ddk) i X1 = (x2 + dd2, x2 + dd2,.. ., xk + ddk)

dva različita moguća rješenja problema LP-a, odnosno da X1, X2∈ K;

Odavde je 21 21

21 XXX += , što je u suprotnosti sa pretpostavkom da je X ektremna

tačka. To znači da skup vektora P1, P2,.. ., Pk mora biti linearno nezavisan.

Kako je svaki skup od (m+1) vektora u m – dimenzionalnom prostoru linearno zavi-san, ne može postojati više od m pozitivnih xi, i=1,...,n. Time je teorema dokazana♦

Možemo, bez gubitka opštosti, pretpostaviti da u skupu vektora {A1 ,A2,. .. ,An} uvijek pos-toji podskup od m linearno nezavisnih vektora. (Ukoliko to ne bi bio slučaj, onda možemo proširiti skup {A1 ,A2,. .. ,An} vektora dok ne dobijemo da su linearno nezavisni i tražiti rje-šenje proširenog problema.)

Kao posljedicu prethodnih teorema imamo sljedeći korolar:

Korolar 4.3.1: Asociran sa svakom ekstremnom tačkom iz skupa mogućih rješenja, K je podskup od m linearno nezavisnih vektora iz pripadnog skupa {A1 ,A2,. .. ,An}. Kao rezultat prethodnih teorema imamo:


477

Postoji ektremna tačka skupa K u kojoj funkcija cilja f uzima optimalnu vrijed-nost;

Svako bazično moguće rješenje odgovara ekstremnoj tački u K; Svaka ektremna tačka u K ima m linearno nezavisnih vektora iz datog skupa od

n asociranih sa njom.

Iz ranije navedenog možemo zaključiti da trebamo provjeriti samo ektremne tačke, a

to znači da treba provjeriti najviše ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛mn

vrijednosti. Kako m i n mogu biti jako veliki,

to su razvijene tehnike za rješavanje problema linearnog programiranja.

Tehnike za rješavanje LP problema:

Dvije familije tehnika za rješavanje LP-a danas su u širokoj upotrebi. Ove tehnike uzimaju kao input samo modele LP-a u standardnoj formi i određuju rješenje vezano za standardizirani model LP-a. Ove tehnike se zasnivaju na progresivnom unapređivanju rješenja dok se ne postigne rješenje koje zadovoljava uslove za optimum. Simplex metode, koje je uveo Dantzig pedesetih godina, koriste bazično rješenje, odnosno ekstremne tačke skupa mogućih rješenja i krećući se po tim tačkama dolazimo do optimalnog rješenja. Za razliku od simleks, barrier ili interior-point metoda koristi tačke unutar skupa mogućih rješenja. Ove tehnike su se razvile iz tehnika nelinearnog programiranja, koje su razvili i popu-larizirali šezdesetih godina XX stoljeća Fiacco i McCormick, a njihova aplikacija u linearnom programiranju potiče od Karmarkarove analize iz 1984.godine. Upotrebom računara, problemi linearnog programiranja od nekoliko hiljada varijabli i uslova su regularno rješivi. Softveri za rješenje problema LP-a su rađeni za Pentium PC i nekoliko varijanti za Unix. Najpoznatiji softveri (free - kodovi) bazirani na ksimplex metodi su: lp_solve, koji može (po autoru) riješiti modele od 30 000 varijabli i 50 000 uslova (pisan u C-u). Verzija 3.0 je dostupna pod Lesser GNU Public License. LP – Optimizer je simplex baziran kod za linearno i integer programiranje. SoPlex je orijentisan za primjenu primalnog i dualnog simplex algoritma (dostupni su besplatni source kodovi za ne-komercijalne i akademske institucije). Najpoznatiji programi (free - kodovi) bazirani na inter-point metodi su: PCx, (dostu-pan besplatno, Fortran ili C verzija, za bilo koju verziju Windowsa); BPMPD (za linearno i konveksno kvadratne programe, za Linux operativni sistem); HOPDM (za LP i konveksne QP, Fortran verzija dostupna, ali C verzija nije). Kod MATLAB, mogu se koristiti korisni optimizacijski paketi: Optimization Toolbox; TOMLAB Optimization Enviroment; milp.m; LPMEX.

478

4.4. Teorija dualnosti u linearnom programiranju U teoriji optimizacije princip dualnosti nam govori da se svaki problem optimizacije može posmatrati sa dva aspekta - kao primalni problem ili kao dualni problem.

Teoriju dualnosti u linearnom programiranju je razvio John Von Newman 1947. godine. Problem linearnog programiranja se ne može u potpunosti razumjeti, niti se značaj informa-cija koje dobijamo određujući optimalno rješenje može pravilno sagledati bez upotrebe teorije dualnosti. Osnovna ideja je da se optimizacijski problem može uvijek sagledati sa dva aspekta, na dva ekvivalentna načina sa suprotno definisanim optimizacijskim ciljevima. Ideja za razvoj i matematičko definisanje dualnih problema kod linearnog programiranja je nastala proučavanjem konkurentskih matričnih igara dva igrača suma nula, gdje je jednom igraču cilj maksimum, a drugom cilj minimum.

U nastavku ćemo dati osnovne karakteristike dualnih modela, vezu između dualnog i pri-malnog modela, načine označavanja i tumačenje dualnih varijabli. Osim toga, biće izložene (jedan dio sa dokazima) osnovne teoreme dualnosti kao matematska osnova osobina i rela-cija koje vrijede između primalnih i dualnih problema.

4.4.1. Osnovne karakteristike Da bismo lakše razlikovali polazni (primalni) model od odgovarajućeg dualnog modela usvojimo sljedeće:

Varijable u dualnom modelu ćemo označavati sa y, a varijable u primalnom modelu sa x.

Uopšteno, primalni model linearnog programiranja ima:

Funkciju cilja u dualnom modelu ćemo označavati sa g, a u primalnom modelu sa f. linearnu funkciju cilja označenu sa f sa zadatkom Max. f ili Min. f, pri čemu smo sa

[ ]1nxpcc = označili vektor koeficijenata u funkciji cilja;

n polaznih varijabli koje moraju biti nenegativne ) ,1 ,0( npx p =≥ ;

sistem od m polaznih ograničavajućih linearnih (ne) jednačina ),1( mi = , pri čemu smo sa [ ] nmipaA

Χ= označavali matrica koeficijenata u ograničenjima, a sa

[ ] 1Χ= midd vektor ograničenja;

m izravnavajućih varijabli ) ,1 ,0( mix in =≥+ , po jedna za svako od m navedenih polaznih primalnih ograničavajućih nejednačina;

Polazni primalni model ne mora biti simetričan;

TEORIJA DUALNOSTI U LINEARNOM PROGRAMIRANJU

479

Odgovarajući (opšti) dualni model linearnog programiranja ima:

Linearnu funkciju cilja označenu g suprotnog optimizacijskog cilja od funkcije f: Max. f ↔ Min. g, odnosno Min. f ↔ Max. G, dok su koeficijenti u funkciji cilja dati

sa [ ] 1Χ= midd , odnosno ograničenja u polaznom modelu predstavljaju koeficijente u funkciji cilja u dualnom modelu;

m polaznih varijabli označenih sa ) ,1 ,( miy in =+ , po jednu pridruženu odgovaraju-ćoj i-toj primalnoj polaznoj (ne)jednačini. Jedinica mjere polazne dualne varijable

iny + je jm funkcije ciljajm ograničenja

i ove varijable ne moraju biti nenegativne;

sistem od n ograničavajućih linearnih (ne) jednačina ),1( np = , pri čemu je

[ ] mnipaA ΧΤΤ = matrica odgovarajućih koeficijenata u ograničenjima kod dualnog

modela a [ ]1Χ= npcc vektor ograničenja;

n izravnavajućih varijabli ) ,1 ,0( npy p =≥ , po jedna za svako od n navedenih po-laznih dualnih ograničavajućih nejednačina;

dualni model LP-a mora biti simetričan. 4.4.2. Formulisanje dualnog modela Kod simetričnog polaznog primalnog modela LP-a sa ciljem max f

,1 , 0

,1 ,1 ,

.

1

1

npx

miymidxa

xcfMax

p

inn

pipip

n

ppp

=≥

=←=≤

=

+=

=

∑

∑

odgovarajući polazni dualni model LP-a je

,1 , 0

,1 ,

.

1

1

miy

npcya

ydgMin

in

m

ipinip

m

iini

=≥

=≥

=

+

=+

=+

∑

∑

Ograničenju i pridružu-jemo odgovarajuću dualnu varijablu yn+ i


480

a odgovarajući standardni dualni model LP-a je

0 0

,1 ,

0 .

1

11

iypy

npcyay

ydygMin

inp

m

ipinipp

m

iini

n

pp

∀≥∀≥

==+−

+⋅=

+

=+

=+

=

∑

∑∑

Napomenimo da se u standardizovanom dualnom modelu obično ne uvode vještačke vari-jable. Od ovog pravila odstupamo jedino u slučaju da koristimo dualni model kao primalni8 pri rješavanju nekog problema linearnog programiranja.

Kod simetričnog polaznog primalnog modela LP-a sa ciljem min. f

,1 , 0

,1 ,

.

1

1

npx

ymidxa

xcfMin

p

inn

pipip

n

ppp

=≥

←=≥

=

+=

=

∑

∑

odgovarajući polazni dualni model LP-a je

,1 , 0

,1 ,

.

1

1

miy

npcya

ydgMax

in

m

ipinip

m

iini

=≥

=≤

=

+

=+

=+

∑

∑


0 0

,1 ,

0 .

1

11

iypy

npcyay

ydygMax

inp

m

ipinipp

m

iini

n

pp

∀≥∀≥

==++

⋅+⋅=

+

=+

=+

=

∑

∑∑

8 Dual se može rješavati kao polazni model samo kad je odgovarajući primalni model simetričan. Pogledati

teoreme dualnosti.

Ograničenju i pridružuje-mo odgovarajuću dualnu varijablu yn+ i


481

Kod opšteg polaznog primalnog modela LP-a

)( ; ,1 , 0

)(,1)( za III

,1 za II

,1 za I

varijabledualne polazne

1

1

1

1

RLKmnpx

yRLKLKrdxa

yLKKldxa

yKkdxa

xcfMin.Max.

p

rnrn

pprp

lnln

pplp

knkn

ppkp

n

ppp

++==≥

←++++==

←++=≥

←=≤

⇓

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

+=

+=

=

∑

∑

∑

∑

odgovarajući polazni dualni model LP-a je dat sa

rl,k,yyy

npcYayaya

ydydydgMaxMin

rnlnkn

K

kp

RLK

LKrrnrp

LK

Kllnlpknkp

RLK

LKrrnr

LK

Kllnl

K

kknk

∀=≥≤

≤≥

=≤≥

++

++=

≥

≤+++

=

++

++=+

+

+=++

++

++=+

+

+=+

=+

∑ ∑∑

∑∑∑

, 0 0 0

,1 ,

)..(

1 11

111


k,l,rpyyyy

npcyayayay

ydydydygMaxMin

rnlnknp

kp

rrnrp

llnlpknkpp

rrnr

llnl

kknk

n

pp

, , 0 0 0 0

,1 ,

0)..(

1

∀=≥≤

≤≥

≥

==+++±

+++⋅=

≥

≤+++

+++

+++=

∑ ∑∑

∑∑∑∑


482

4.4.3. Teoreme dualnosti9

Teorema 4.4.3.1. Kod mogućeg rješenja (opšeg) dualnog modela LP-a, dualne varijable moraju imati sljedeće uslove (pred)znaka:

Polazne dualne varijable Tip ograničenja

Izravnavajuće dualne varijable

gMinfMax .. ↔ gMaxfMin .. ↔

r

l

k

ddd

=≥≤

""

"" p y p

0 ∀≥

r y

l yk y

rn

ln

kn

∀

∀≤∀≥

><+

+

+

0

00

r y

l yk y

rn

ln

kn

∀

∀≥∀≤

><+

+

+

0

00

Dokaz Posmatrajmo opšti standardni primarni model LP-a i svakom ograničenju pridružimo odgovarajuće dualne varijable:

p,k,l,r x x x x

r y d x xaIII

l yd x xaII

k yd x xa I

xMxxxcfMinMax

rnlnknp

n

prnrrnprp

n

plnllnplp

n

pknkknpkp

rrn

lln

kkn

n

ppp

∀≥≥≥

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∀←=⋅+⋅

∀←=⋅−⋅

∀←=⋅+⋅

⋅+⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≥<+++

=++

=++

=++

∀+

∀+

∀+

=

∑

∑

∑

∑∑∑∑

0000

1

1

1

)(00...

1

1

1

1

∓

Sada opšti polazni dualni model LP-a ima oblik:

9 Prema: Vučković Ž., (1989), str. 179-231.


483

r M

-M y

l y

k y

,n , p c y ayaya

y dy dydf.Max.Min.

rn

ln

kn

p

RLK

LKrrnrp

LK

Kllnlp

K

kknkp

RLK

LKrrnr

LK

Kllnl

K

kknk

∀+≤

≥⋅

∀≤≥

⋅−

∀≤≥

⋅

=≤≥

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

+

+

++

++=+

+

+=+

=+

++

++=+

+

+=+

=+

∑∑∑

∑∑∑

1

01

01

1 111

111

pa iz posljednjih K+L+R nejednakosti imamo dokazanu tvrdnju teorema, odnosno:

( ) ( ) ( );0;0;0 r yl yk y rnlnkn ∀∀≥≤

∀≤≥ ≥

<+++

što je i trebalo dokazati.

Teorema 4.4.3.2. Samo kod simetričnog polaznog primarnog modela LP-a dual od njegovog duala je primal jer je i dual od duala također simetričan polazni model LP-a.

Dokaz: Dokaz ove teoreme je posljedica prethodne teoreme, odnosno činjenice da kod simet-ričnog primalnog modela odgovarajuće polazne dualne varijable moraju biti nenegativne, pa se dualni model može posmatrati kao polazni model (primal).

Polazni (alternativni) simetrični primarni model LP-a je:

,n p x

,m id xa

xcfMin.Max.

p

ip

n

pip

n

ppp

10

11

1

=≥

=≥≤

⋅

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∑

∑

=

=

(3)

(2)

(1)


484

Polazni dualni model LP-a:

1

1

1

1 1

0 1

m

i n ii

m

ip n i pi

n i

Min. g d y / (- )Max.

a y c p ,n / (- )

y i ,m

+=

+=

+

⎛ ⎞ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

≥⋅ = ⋅

≤

≥ =

∑

∑

Polazni dualni model, nakon množenja sa (-1), postaje:

1

1

( ) ( )

( ) ( ) 1

m

i n ii

m

ip n i pi

Max. g d y Min.

a y c p ,n

+=

+=

⎛ ⎞ − = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

≤− ⋅ − =

≥

∑

∑0 1n iy i ,m+ ≥ =

Dualni model prethodnog modela LP-a je:

1

1

( ) ( ) / (-1)

( ) ( ) 1 / (-1)

0

n

p pp

n

ip p ip

p

Min. f c xMax.

a x d i ,m

x

=

=

⎛ ⎞ − = − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

≥− ⋅ − = ⋅

≤

≥

∑

∑ 1 p ,n=

Odnosno, množenjem sa (-1) dobićemo pokalazni model.

Ostale teoreme navodimo bez dokaza.

Teorema 4.4.3.3.

Ako su f ′ i g ′ neke moguće vrijednosti a f i g optimalne vrijednosti, funkcija ci-lja primala i duala istog problema LP-a:

g 'gff 'Max.gMin.f

g 'gf f 'Min.fMax.f

≥≥≥↔

≤≤≤↔

ˆˆ jeuvijek odnosa kod b)

ˆˆ jeuvijek odnosa kod )a


485

Teorema 4.4.3.4. Ako jedan od modela (primalni ili dual) istog problema LP-a ima neograničenu opti-malnu vrijednost svoje funkcije cilja, drugi njemu odgovarajući model nema ni jedno moguće rješenje.

Teorema 4.4.3.5. Ako jedan od modela (primal ili dual) istog problema LP-a ima svoje optimalno rje-šenje, tada

a) i drugi model ima svoje optimalno rješenje, kao i

b) optimalne vrijednosti funkcije cilja su im jednake: gf ˆˆ =

Teorema 4.4.3.6. U odnosu na opšti (standardni) primarni model LP-a i njemu odgovarajući opšti (standardni) dualni model LP-a, optimalne vrijednosti odgovarajućih dualnih varijabli su:

⎪⎩

⎪⎨⎧

↔≥−

↔≥−−==∀

⎪⎩

⎪⎨⎧

↔=+−−

↔=−−−==∀

⎩⎨⎧

↔≥↔≤

−=−==∀

⎩⎨⎧

↔≤↔≥

=−−==∀

≥<+++

≥<+++

+

++++

++++

Max.g Min.ffc

Min.gMax.ffcyps

Max.g Min.ffMfc

Min.gMax.ffMfcy rs

Max.g Min.fMin.gMax.f

f)f(cyls

Max.gMin.fMin.gMax.f

f)f (cy ks

pp

ppp

rnrnrn

rnrnrnrn

lnlnlnln

knknknkn

kod 0)ˆ(

kod 0)ˆ( ˆ :

kod 0 ˆ)ˆ(

kod 0 ˆ)ˆ( ˆ :

kod 0 kod 0ˆˆ ˆ :

kod 0 kod 0ˆˆˆ :

Teorema 4.4.3.7. “Princip oslabljene komplementarnosti” Uvijek je optimalno:

N1, za ==⋅ syx ss 0ˆˆ


486

Teorema 4.4.3.8. Ako je optimalno primalno rješenje bazično nedegenerisano, tada je optimalno dualno rješenje jednoznačno.

Ako je optimalno primalno rješenje bazično degenerisano, tada optimalno dualno rje-šenje nije jednoznačno.

Ove izjave vrijede obratno (dual → primal).

Teorema 4.4.3.9.

Ako se usvoje sljedeće primjedbe:

1. Elementi optimalnog rješenja su kod optimalnog standardnog:

{ } { }{ } { } z iyziypy

z ixzixpx

zninp

zninp

=≠∀∀

=≠∀∀

++

++

za ˆ ,ˆ ,ˆ :a-LP modela dualnog -

za ˆ ,ˆ ,ˆ :a-LP modela primalnog -

2. Ako neko polazno primalno ograničenje zi = pomnožimo sa nekom konstantom 0≠zH dobićemo transformirani „i“ polazni primalni model LP-a uz sigurnu je-

dnakost .ˆˆ f f i = 3. Elementi optimalnog rješenja su kod transformiranog standardnog

{ }{ }{ } { } z iy, ziy,py

z ix,zix,pxi

zni

inip

izn

iin

ip

=≠∀∀

=≠∀∀

++

++

za ˆˆ ˆ :a-LP modela dualnog -

za ˆ ˆ ˆ :a-LP modela primalnog -

uvijek vrijede sljedeće (optimalne) jednakosti:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zi

znzni

ininipp

i

zi

znzni

ininipp

i

Hyyziyynpyygg

Hxxzixxnpxxff

⋅=≠∀====

=≠∀====

++++

++++

ˆˆ ;ˆˆ ,,1ˆˆ ,ˆ

duala kod - B

:ˆˆ;ˆˆ,,1ˆˆ,ˆ

primala kod-A

4.4.3. Ekonomsko tumačenje optimalnih vrijednosti dualnih varijabli Kako za optimalnu vrijednost dualnih varijabli dobijamo optimalnu vrijednost funkcije cilja i kod primala, to imamo da vrijedi:

fydgm

iini ˆˆˆ

1=⋅=∑

=+


487

a odavde je inii

ydf

dg

+=∂∂

=∂∂ ˆ

ˆˆ. (4.11)

Na osnovu tumačenja parcijalnog izvoda dobićemo značenje optimalne vrijednosti polaz-ne dualne varijable:

Ukoliko se ograničenje i poveća za jednu svoju jedinicu ( idi jedinica1=Δ ), a ostala og-raničenja se ne mijenjaju, optimalna vrijednost funkcije cilja će se promijeniti za iny +ˆ . Drugim riječima, varijabla iny +ˆ nam govori koliki uticaj na optimalnu vrijednost funkci-je cilja ima jedinična promjena ograničenja i.

Na osnovu principa oslabljene komplementarnosti (teorema 4.4.3.7) imamo da je za 0ˆ >+iny ili za 0ˆ <+iny odgovarajuća primalna varijabla inx +ˆ obavezno jednaka 0

( )0ˆ =+inx . Primalna varijabla inx +ˆ predstavlja izravnavajuću varijablu vezanu za ograni-čanje i, pa kako je 0ˆ =+inx , to znači da je ograničenje i potpuno iskorišteno, odnosno «usko grlo» programa. Dakle, poboljšanje optimalne vrijednosti funkcije cilja f se može postići ukoliko se mijenjaju ograničenja koja predstavljaju uska grla programa. Efe-kat koji na f ima «pomjeranje uskog grla programa» za jednu njegovu jedinicu mjere iznosit će iny +ˆ . Ukoliko je odgovarajuće 0ˆ =+iny , onda pomjeranje uskog grla programa za og-raničenje i neće uticati na popravak funkcije cilja, pa se ovo ograničenje ne bi trebalo mijenjati.

Također, iz principa oslabljene komplementarnosti imamo da u slučajevima kad neko ogra-ničenje i nije u potpunosti iskorišteno, tj. 0ˆ >+inx , odgovarajuća dualna varijabla iny +ˆ mora biti jednaka nuli 0ˆ =+iny , pa je jasno da se pomjeranjem ovog ograničenja ne može popraviti funkcija cilja.

Napomenimo da se iz 4.6. može pročitati i jedinica mjere za dualnu varijablu iny +ˆ :

ijmjm

aogranicenjciljafunkcije

.

Pogledajmo sada kakvu nam informaciju daju optimalne vrijednosti izravnavajućih dualnih varijabli.

Iz principa oslabljene komplementarnosti imamo da je u slučajevima kad je polazna pri-malna varijabla ušla u program, tj. 0ˆ >px odgovarajuća dualna varijabla jednaka nuli

0ˆ =py , pa možemo reći da kad je 0ˆ =py , odgovarajuće px je konkurentno da uđe u program. Termin konkurentno da uđe u program smo iskoristili jer se može desiti da je i

0ˆ =px i 0ˆ =py , a to bi značilo da je px ušlo u program, ali ima vrijadnost 0, pa imamo


488

degenerisano rješenje ili da px nije ušlo u ponuđeni optimalni program, ali imamo još jed-no optimalno rješenje.

U slučaju 0ˆ >py 10 imamo da je 0ˆ =px , pa odgovarajuća varijabla nije ušla u program. Ako varijabla nije ušla u program, to znači da nije bila dovoljno konkurentna, odnosno da vrijednost njenog koeficijenta pc u funkciji cilja nije bila dovoljno velika (kod cilja max f), ili dovoljno mala (kod cilja min f).

Ako želimo da uključimo varijablu px u program, postavlja se pitanje kako se treba promi-jeniti koeficijent u funkciji cilja da bi to mogli uraditi.

Na osnovu teoreme 4.4.3.6. imamo da je

⎪⎩

⎪⎨⎧

↔≥−

↔≥−−=

Max.g Min.ffc

Min.gMax.ffcy

pp

ppp

kod 0)ˆ(

kod 0)ˆ( ˆ ,

pa ako želimo da odgovarajuća 0ˆ * >px , mora odgovarajuće 0ˆ * =py . Kod max f je

( ) 0ˆˆ0ˆˆ 0)ˆ(ˆ ≤−+⇔≤+−⇒≤−=− ppppppppp fycyfcfcy

Ako želimo da promijenimo koeficijent pc , onda ta promjena mora biti takva da odgovara-

juće 0ˆ * =py , odnosno iz prethodnog imamo:

( ) 0ˆˆˆ * =−=−+ pppp yfyc

pa za odgovarajući koeficijent ppp ycc ˆ* += imamo da vrijedi:

0ˆˆ ** =−=− ppp yfc

Analogno bi se u slučaju min f dobilo ppp ycc ˆ* −= i 0ˆˆ ** ==− ppp yfc .

Iz prethodnog razmatranja vidimo da je pppp yccc ˆ* =−=Δ , pa imamo sljedeće tumače-nje izravnavajuće dualne varijable:

0ˆ >py nam daje informaciju za koliko bi se najmanje trebao promijeniti koeficijent pc u funkciji cilja (povećati ako je cilj maximum, a smanjiti ako je cilj minimum) da bi od-govarajuća px bila konkurentna da uđe u program.

10 0ˆ <py se ne može desiti po definiciji izravnavajućih dualnih varijabli.

489

4.5.

Metode za rješavanje problema linearnog programiranja

U nastavku će teorijski i praktično biti izložene najčešće korištene metode za rješavanje problema linearnog programiranja:

1. Grafička metoda; 2. Simplex metoda; 3. Transportni problem; 4. Asignacija.

4.5.1. Grafička metoda Grafička metoda linearnog programiranja obično se primjenjuje kada polazni oblik modela linearnog programiranja sadrži 2 promjenljive {x1; x2}, ili se može svesti na dvije promjenj-ljive. Ako model sadrži 3 promjenljive {x1; x2; x3}, onda primjena grafičke metode zahtijeva upotrebu nacrtne geometrije (predstavljanje 3-dimenzionalnog prostora u ravni).

Ova metoda nam omogućava da lakše shvatimo:

Oblast svih mogućih rješenja; Kada je neko ograničenje suvišno; Šta je jednoznačno, a šta višeznačno rješenje; Postojanje ’’uskih grla’’ kod optimuma i sl.

Grafička metoda rješavanja problema linearnog programiranja se sastoji od grafičkog pri-kaza cijelog modela LP u 2-dim koordinatnom sistemu x10x2. Uslovne jednačine su predstavljene pravcima, a uslovne nejednačine poluravnima. Funkcija kriterija je predstav-ljena jednoparametarskom familijom pravaca.


490

Opšti polazni model LP kod grafičke metode

( ) 2211..1 xcxcf

MinMax

⋅+⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( )

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

1,1 1 1,2 2 1

2,1 1 2,2 2 2

,1 1 ,2 2

1,1 1 1,2

2

K K K

K K K

K K K

K L K L K L

K L K L

a x a x da x a x d

I K ograničenja I tipa

a x a x d

a x a x da x a x d

L ograničenja II tipa

a x a x d

a x a x

+ + +

+ + +

+ + +

+ + + +

⋅ + ⋅ ≤ ⎫⎪⋅ + ⋅ ≤ ⎪⎬⎪⎪⋅ + ⋅ ≤ ⎭

⋅ + ⋅ ≥ ⎫⎪⋅ + ⋅ ≥ ⎪ΙΙ ⎬⎪⎪⋅ + ⋅ ≥ ⎭

⋅ + ⋅

ΙΙΙ

2 1

2,1 1 2,2 2 2

,1 1 ,2 2

K L

K L K L K L

K L R K L R K L R

da x a x d

R ograničenja III tipa

a x a x d

+ +

+ + + + + +

+ + + + + +

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪ = ⎫⎪ ⎪⋅ + ⋅ =⎪ ⎪

⎬⎪⎪⎪⎪⎪ ⋅ + ⋅ = ⎭⎩

( ) 0;03 21 ≥≥ xx ili kondenzovano:

( ) 2211..1 xcxcf

MinMax

⋅+⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++++==⋅+⋅

++=≥⋅+⋅

=≤⋅+⋅

RLKLKrdxaxaIII

LKKldxaxaII

KkdxaxaI

rrr

lll

kkk

,1

,1

,1

2

2211

2211

2211

(4.12)

( ) 0;03 21 ≥≥ xx

Grafička interpretacija ograničenja

Na osnovu baznih teorema linearnog programiranja, imamo da je skup svih mogućih rješe-nja problema linearnog programiranja konveksan skup i da se optimalna vrijednost nalazi u rubnoj tački tog konveksnog skupa.

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

491

Upotreba grafičke metode je zasnovana na tome da se predstavi skup mogućih rješenja (kon-veksan skup) datog problema u koordinatnom sistemu x10x2, a zatim da se od svih mogućih rješenja izabere ono najbolje, odnosno da se izabere rubna tačka koja predstavlja optimum.

Pogledajmo sada kako se grafički prikazuju razni tipovi ograničenja. Kod svih ograničenja trebamo prikazati poluravni određene linearnim nejednačinama datim u modelu (4.12), od-nosno trebamo prvo prikazati pravu koja predstavlja rub poluravni pa izabrati poluravan. Napomenimo da se zbog uslova nenegativnosti posmatra samo I kvadrant u koordinatnom sistemu x10x2.

Ograničenje I tipa „≤”: kkk dxaxa ≤⋅+⋅ 2211 (4.13.)

Potrebno je prikazati pravu koja predstavlja rub poluravni pa izabrati koji dio ravni zadovo-ljava ograničenje.

Ako je 00 21 >> kk aia , onda su odsječci na koordinatnim osama:11

1 2 2 12 1

0 0 ; 0 0k k

k k

d dx x x xa a

= ⇒ = > = ⇒ = >

i prava koja predstavlja rub poluravni 4.4.je opadajuća prava. Kako koordinatni početak, tj. tačka ( )0,0 zadovoljava nejednačinu kkk dxaxa ≤⋅+⋅ 2211 za 00 21 >> kk aia , to ogra-ničenje I tipa predstavlja sljedeću poluravan12:

0 x1

x2

2k

kad

1k

kad

Ograničenje I tipa

Skup mogućih rješenja za dato ograničenje

Grafikon 1. Skup mogućih rješenja za ograničenja

kkk dxaxa ≤⋅+⋅ 2211 i 00 21 >> kk aia i 0, 21 ≥xx

11 Već smo ranije istakli da smatramo da je dk ≥ 0. 12 Biramo onu poluravan koja sadrži koordinatni početak.


492

Ako je 00 21 >< kk aia , onda su odsječci na koordinatnim osama:

00

00

112

221

<=⇒=

>=⇒=

k

k

k

k

ad

xx

ad

xx

i prava koja predstavlja rub poluravni 4.4 je rastuća prava. Kako koordinatni početak, tj. tačka ( )0,0 zadovoljava nejednačinu kkk dxaxa ≤⋅+⋅ 2211 za 00 21 >< kk aia , to ogra-ničenje I tipa predstavlja sljedeću poluravan:13

0 x1

x2

1k

kad

Ograničenje I tipa


2k

kad


kkk dxaxa ≤⋅+⋅ 2211 i 00 21 >< kk aia i 0, 21 ≥xx

Ako je 00 21 <> kk aia , onda su odsječci na koordinatnim osama:

00

00

112

221

>=⇒=

<=⇒=

k

k

k

k

ad

xx

ad

xx

13 Uključili smo i uslove nenegativnosti, odnosno posmatramo samo I kvadrant.


493

i prava koja predstavlja rub poluravni je rastuća prava. Kako koordinatni početak, tj. tačka ( )0,0 zadovoljava nejednačinu kkk dxaxa ≤⋅+⋅ 2211 za 00 21 <> kk aia , to ograničenje I tipa predstavlja sljedeću poluravan:

0 x1

x2

1k

kad

Ograničenje I tipaSkup mogućih rješenja za dato ograničenje

2k

kad


kkk dxaxa ≤⋅+⋅ 2211 i 00 21 <> kk aia i 0, 21 ≥xx

U slučaju da je 00 21 == kk ailia imaćemo prave paralelne sa koordinatnim osama 0x2 ili 0x1 respektivno, i ponovnim uvrštavanjem koordinatnog početka ( )0,0 vidjeti koju polu-ravan biramo.

0 x1

x2

Ograničenje I tipa


2k

kad

0 x1

x2

Ograničenje I tipa


1k

kad

Grafikon 4. Skup mogućih rješenja kod 01 =ka Grafikon 5. Skup mogućih rješenja kod 02 =ka


494

Ukoliko je 0=kd , onda ograničavajuća prava prolazi kroz koordinatni početak, pa za iz-bor odgovarajuće poluravni treba uvrstiti neku tačku koja se ne nalazi na pravoj, npr. bilo koja tačka sa koordinatnih osa.

Može se pokazati da je, zbog uslova nenegativnosti, skup mogućih rješenja u slučaju 0=kd i 00 21 >> kk aia prazan skup, dok u slučajevima 0=kd i 00 21 >< kk aia

ili 0=kd i 00 21 <> kk aia imamo sljedeće poluravni:

0 x1

x2

Ograničenje I tipa


0 x1

x2

Ograničenje I tipa


Grafikon 6. Moguća rješenja kod 00 21 <> kk aia Grafikon 7. Skup mogućih rješenja kod

00 21 >< kk aia

Ograničenje II tipa „≥”: lll dxaxa ≥⋅+⋅ 2211 (4.14.)

Ako je 00 21 >> ll aia , onda su odsječci na koordinatnim osama:

00

00

112

221

>=⇒=

>=⇒=

l

l

l

l

ad

xx

ad

xx

i prava koja predstavlja rub poluravni 4.5. je opadajuća prava. Kako koordinatni početak, tj. tačka ( )0,0 ne zadovoljava nejednačinu lll dxaxa ≥⋅+⋅ 2211 za 00 21 >> ll aia , to ograničenje II tipa predstavlja sljedeću poluravan14:

14 Biramo onu poluravan koja ne sadrži koordinatni početak.


495

0

x2

2l

lad

1l

lad

Ograničenje II tipa


x1


lll dxaxa ≥⋅+⋅ 2211 i 00 21 >> ll aia i 0, 21 ≥xx

Izgled skupa mogućih rješenja ograničenja 4.5. u slučaju rastućih ograničavajućih pravih ili u slučaju da je 0=ld se određuje analogno ranije opisanom postupku, pa kod ograničenja II tipa može imati i sljedeće oblike:

0

x2

2l

lad

1l

lad


Skup mogućih rješenja za dato

ograničenje

x10;0;0 21 ><> lll daa

0

x2

2l

lad

1l

lad



ograničenje

x10;0;0 21 >>< lll daa

0

x2

2l

lad

1l

lad



ograničenje

x10;0;0 21 =<> lll daa

0

x2

2l

lad

1l

lad



ograničenje

x10;0;0 21 =>< lll daa

Grafikon 9. Skup mogućih rješenja za ograničenja lll dxaxa ≥⋅+⋅ 2211


496

Ograničenje III tipa „=”: rrr dxaxa =⋅+⋅ 2211 (4.15)

Kod ovog tipa ograničenja, skup mogućih rješenja su samo one tačke u I kvadrantu koje se nalaze na pravoj rrr dxaxa =⋅+⋅ 2211 .

Ako je 00 21 >> rr aia , onda je skup mogućih rješenja oblika:

0

x2

2r

rad

1r

rad

Ograničenje III tipa

x1


rrr dxaxa =⋅+⋅ 2211 i 00 21 >> rr aia

0 x1

Ograničenje I tipa’’≤’’

Ograničenje II tipa’’≥’’

Ograničenje III tipa’’=’’

Skup mogućih riješenja predstavlja duž BC.

A (I∩II)C (II∩III)

B (I∩III)

x2

Grafikon 11. Skup mogućih rješenja za sistem ograničenja

02,1,2,1,2,1

2211

2211

2211

>

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅+⋅≥⋅+⋅≤⋅+⋅

rrllkk

rrr

lll

kkk

aaaaaa

dxaxadxaxadxaxa


497

Grafički se skup mogućih rješenja polaznog modela 4.3. dobije kada se odredi presjek svih ograničavajućih poluravni i pravaca datih u modelu.

Ukoliko bi model 4.3. imao samo tri ograničenja, i to ona data na grafikonima 1, 8 i 10., onda bi skup svih mogućih rješenja modela imao oblik prikazan na grafikonu 11.

Na osnovu baznih teorema, sigurno je optimalna ili tačka B ili točka C, zavisno od funkcije cilja što je predstavljeno na grafionu 12.

Ako je cilj max f, biramo onu tačku koja će dati najveću vrijednost, odnosno grafički bira-mo onu pravu na pravcu funkcije cilja koja je najudaljenija od koordinatnog početka. Obratno, ako je cilj min f, biramo onu tačku koja će dati najmanju vrijednost funkciji cilja, odnosno onu tačku koja je najbliža koordinatnom početku.

0

x2

Ograničenje I tipa’’≤’’

Ograničenje II tipa’’≥’’

Ograničenje III tipa’’=’’

Skup mogućih riješenja predstavlja duž BC.

A (I∩II)C (II∩III)

B (I∩III)

f0

translacija

f0

x2

Pravac funkcije cilja

Grafikon 12. Skup mogućih rješenja i pravac funkcije cilja

Kroz ovaj uopšteni prikaz rješavanja problema LP-a grafičkom metodom, a na osnovu baz-nih teorema LP-a, možemo istaći sljedeće:

Ukoliko je presjek svih ograničenja u modelu prazan skup, onda model LP-a nema rješenja.

Ukoliko je presjek svih ograničenja u modelu zatvorena površ (konveksan poligon), model LP-a ima konačno optimalno rješenje bez obzira da li je cilj min f ili max f.

Ukoliko su dvije tačke konveksnog poligona optimalne, onda je optimalna i svaka tačka između te dvije tačke, odnosno pravac funkcije cilja je paralelan sa ograničenjem koje sadrži optimalne tačke i tada imamo beskonačno mnogo optimalnih rješenja.


498

Ukoliko je presjek svih ograničenja otvorena konveksna površ, onda model ima konačno rješenje ako je cilj min f, a nema rješenja, odnosno rješenje je beskonačno ako je cilj max f.

Tačka koja predstavlja optimalno rješenje problema LP-a nam, osim informacije o optimalnom planu, daje i informaciju o ograničenjima koja će biti potpuno iskorištena u optimalnom slučaju tzv. uskim grlima programa.

Kad se odredi optimalno rješenje problema LP-a pod datim uslovima, postavlja se pitanje koliko je to rješenje stabilno, odnosno koliko je osjetljivo (eng. sensitive) na promjenu po-jedinih parametara u problemu. Analiza promjena parametara u modelu spada u tzv. postoptimalnu ili senzitivnu analizu. Dio te analize će biti praktično prikazan kroz upotrebu dualnog modela, ali napomenimo da se sa grafikona može vidjeti kad će promjena ograni-čenja ili pravca funkcije cilja uticati na promjenu optimalnog rješenja.

Na osnovu prethodnih razmatranja vidimo da se grafički metod određivanja rješenja zadat-ka linearnog programiranja sastoji od sljedećih aktivnosti:

1. Formulisanje problema u obliku zadatka linearnog programiranja; 2. Grafičko predstavljanje pravih koje reprezentuju (ne)jednačine sistema ograničenja; 3. Identifikacija skupa mogućih rješenja za koja su zadovoljene sve (ne)jednačine siste-

ma ograničenja i opšti uslov nenegativnosti; 4. Određivanje prave koja reprezentuje pravac funkcije cilja – f0; 5. Translacija prave funkcije cilja slijeva udesno ili obratno (zavisno od funkcije cilja),

sve dok ne ucrtamo jednu takvu pravu koja sa skupom mogućih rješenja ima samo je-dnu zajedničku tačku;

6. Utvrđivanje optimalnih vrijednosti promjenljivih x1 i x2 u vidu koordinata ekstremne tačke skupa mogućih rješenja najudaljenije, odnosno najbliže koordinatnom početku u zavisnosti od cilja. Utvrđivanje optimalnih vrijednosti se može uraditi identifikaci-jom sa grafikona ili rješavanjem sistema jednačina pravih na čijem presjeku se tačka nalazi;

7. Određivanje vrijednosti funkcije cilja za optimalne vrijednosti promjenljivih.

Pogledajmo na primjerima kako se koristi grafički metod u rješevanju problema linearnog programiranja.

Primjer 4.3. Neka kompanija proizvodi dobra A i B. Mašine koje se koriste u proizvodnji imaju maksimalan mjesečni kapacitet 24 000 sati (ms – mašinski sati). Jedinica dobra A može se izraditi za 3 sata, a jedinica dobra B za 2 sata rada mašina.

Mjesečno se može računati sa najviše 35 000 radnih sati radnika (rs). Potrebno vrije-me za izradu jedinice dobra A je 2,5 sata, a jedinice dobra B je 5 sati.


499

Istraživanje tržišta kazuje da se mjesečno može prodati najviše 6 000 jedinica dobra A i 5 000 jedinica dobra B.

Dobit po jedinici dobra A je 140 KM, a dobra B je 80 KM.

Cilj je ostvarenje maksimalne dobiti za kompaniju, pa treba:

a) formirati model LP-a; b) izračunati optimalan program proizvodnje; c) izvršiti analizu optimalnog programa.

Rješenje: Rješavanjem zadatka trebamo dati odgovor na pitanje: Koliko jedinica dobra A i dob-ra B treba proizvoditi mjesečno da bi se time maksimizirala dobit? Koliko iznosi ta maksimalna mjesečna dobit?

Nepoznate vrijednosti u zadatku (modelu) su: x1 mjesečni broj jedinica dobra A i x2 mjesečni broj jedinica dobra B.

Funkcija cilja: Cilj je maksimizirati dobit. Iz postavke zadatka vidimo da je dobit po jedinici dobra A KM140 , a dobra B KM80 . Ako proizvodimo x1 jedinica dobra A dobit će biti 1140 x⋅ , dok će dobit za proizvodnju x2 jedinica dobra B iznositi 280 x⋅ .

Ako istovremeno proizvodimo x1 jedinica dobra A i x2 jedinica dobra B, dobit će iz-nositi 21 80140 xx +

Odavde funkcija cilja ima oblik:

21 80140max xxf +=

Odredimo sad ograničenja u modelu. Iz teksta zadatka vidimo da su mjesečni kapaci-tet rada mašina i radnika unaprijed dati i da bez dodatnih ulaganja ove vrijednosti mjesečno ne mogu biti veće. Također se vidi da je unaprijed poznata maksimalna pot-ražnja za proizvodima A i B na tržištu, pa se bez promjene osobina proizvoda ili bez osvajanja novih tržišta ova količina ne bi trebala prekoračiti (stvaraju se dodatne zali-he i time povećavaju troškovi, odnosno smanjuje dobit i ovaj zadatak se mijenja).

Ograničenje I: Mašinski kapacitet (max 24 000 mašinskih sati)

Jedinica dobra A može se izraditi za 3 sata, a jedinica dobra B za 2 sata rada maši-na. Ako se izradi x1 jedinica dobra A, mašine moraju raditi 13 x⋅ sati, a ako se uradi x2 jedinica dobra B, mašine moraju raditi 22 x⋅ sati. Ako izradimo istovremeno x1 je-dinica dobra A i x2 jedinica dobra B, mašine moraju raditi 21 23 xx ⋅+⋅ sati. Odavde se dobije prvo ograničenje:


500

I 0002423 21 ≤⋅+⋅ xx (m. s.)15

Ograničenje II: Radni kapacitet radnika (max 35 000 radnih sati)

Potrebno vrijeme za izradu jedinice dobra A je 2,5 sata, a jedinice dobra B je 5 sati. Ako se izradi x1 jedinica dobra A, radnici moraju raditi 15,2 x⋅ sati, a ako se uradi x2 jedinica dobra B, radnici moraju raditi 25 x⋅ sati. Ako izradimo istovremeno x1 jedi-nica dobra A i x2 jedinica dobra B, radnici moraju raditi 21 55,2 xx ⋅+⋅ sati. Odavde se dobije drugo ograničenje:

II 0003555,2 21 ≤⋅+⋅ xx (r. s.)

Ograničenje III: Plasman proizvoda A na tržištu (max 6 000 kom)

Istraživanje tržišta kazuje da se mjesečno može prodati najviše 6000 jedinica dobra A. Odavde je treće ograničenje dato sa:

III 00061 ≤x (kom A)

Ograničenje IV: Plasman proizvoda B na tržištu (max 5 000 kom)

Istraživanje tržišta kazuje da se mjesečno može prodati najviše 5 000 jedinica dobra B. Odavde je treće ograničenje dato sa:

IV 00052 ≤x (kom B)

Uslovi nenegativnosti: 0;0 21 ≥≥ xx

Na osnovu prethodnih razmatranja, model linearnog programiranja (LP-a) koji odgo-vara postavljenom problemu ima oblik:

( )

( )

( ) 0,300050006

.).(0003555,22.).(0002423

80140max1

21

2

1

21

21

21

≥≤Ι≤ΙΙΙ≤+ΙΙ≤+Ι

+=

xxBkomxVAkomx

srxxsmxx

xxf

(odgovor pod a) Napomena: Dati model LP-a je simetričan16.

15 Jedinica mjere nepoznatih x1 i x2 je komad. Potrebni mašinski sati za izradu kom. A ili B imaju jedinicu

mjere ms/kom, pa je ogrančenje I izraženo u ms (mašinskim satima). 16 Simetričan model: Cilj max i sva ograničenja su ≥ , ili cilj min i sva ograničenja su ≤ .


501

Kako u modelu postoje samo dvije nepoznate, to se u koordinatnoj ravni 210xx može prikazati skup mogućih rješenja određenih ograničenjima (2) i uslovima nenegativ-nosti (3) i najbolje rješenje, određeno funkcijom cilja (1).

Ograničenja I, II, III i IV predstavljaju poluravni u koordinatnom sistemu 210xx i od-ređena su pravima: 0002423 21 =⋅+⋅ xx ; 0003555,2 21 =⋅+⋅ xx ; 00061 =x ;

00052 =x

Prikažimo u koordinatnom sistemu 210xx ograničenje I: 0002423 21 ≤⋅+⋅ xx (m s).

Presječne tačke prave 0002423 21 =⋅+⋅ xx sa koordinatnim osama su: x1 = 0 ⇒ x2 =12000 x2 = 0 ⇒ x1 = 8000, pa grafikon prave 0002423 21 =⋅+⋅ xx izgleda:

Grafikon 4.3.a. Prava 0002423 21 =⋅+⋅ xx

Prava 0002423 21 =⋅+⋅ xx dijeli ravan 210xx na dvije poluravni i ako želimo oda-brati baš onu poluravan za koju vrijedi I 0002423 21 ≤⋅+⋅ xx izabraćemo proizvoljnu tačku iz jedne poluravni i provjeriti da li je zadovoljena nejednačina I.

Najlakše je uzeti koordinatni početak ( )0,0),( 21 =xx , pa uvrštavanjem u I imamo: 000240000240203 ≤⇒≤⋅+⋅ što je tačno. Dakle, u pitanju je poluravan koja sa-

drži koordinatni početak.

Ako pri grafičkoj interpretaciji uzmemo u obzir uslove nenegativnosti (3) (tj. posmat-ramo samo prvi kvadrant), onda skup svih mogućih tačaka koje zadovoljavaju ograničenje I i uslove nenegativnosti (3) možemo prikazati kao osjenčenu površinu na grafikonu 4.3.a´.

12 000

I 0 x1 8000

x2


502

Grafikon 4.3.a´. Poluravan I 0002423 21 ≤⋅+⋅ xx

Dodajmo prethodnom drugo ograničenje u modelu. Odnosno, grafički trebamo odre-diti skup tačaka koje istovremeno zadovoljavaju i I i II ograničenje. Ovaj skup tačaka ustvari predstavlja sve one odluke o količini mjesečne proizvodnje proizvoda A i B za koje imamo dovoljno i radnika (mjesečni kapacitet 35 000 radnih sati) i mašina (mje-sečni kapacitet 24 000 mašinskih sati).

Prikažimo u koordinatnom sistemu 210xx ograničenje II: 0003555,2 21 ≤⋅+⋅ xx

Na analogan način, kao i ranije, odredit ćemo grafički prikaz prave 0003555,2 21 =⋅+⋅ xx , a zatim odabrati koja poluravan odgovara ograničenju II 0003555,2 21 ≤⋅+⋅ xx .

Presječne tačke prave 0003555,2 21 =⋅+⋅ xx sa koordinatnim osama su: x1 = 0 ⇒ x2 = 7 000 x2 = 0 ⇒ x1 = 14 000 pa je grafikon prave dat na slici 4.3. b, dok je poluravan II data na slici 4.3. b´.

Grafikon 4.3.b. Prava 1 22,5 5 35 000x x⋅ + ⋅ = Grafikon 4.3.b´. Poluravan 1 22,5 5 35 000x x⋅ + ⋅ ≤

7 000

II 0

x1

14 000

x2

7 000

II0

x1

14 000

x2

I x1 0

12 000

8000


503

Ako se oba ograničenja prikažu zajedno, onda se na grafiku 4.3. c vidi skup svih mo-gućih tačaka (osjenčen) koje zadovoljavaju ograničenje I i II.

Grafikon 4.3.c. Skup rješenja I∩II

U nastavku bismo trebali uključiti i ograničenja III i IV, te ove poluravni presjeći sa poluravnima I i II.

Prikažimo u koordinatnom sistemu 210xx ograničenja III: 00061 ≤x i IV: 00052 ≤x

Prave 00061 =x i 00052 =x su paralelne sa koordinatnim osama 20x i 10x res-pektivno, a poluravni III i IV su date na sljedećim grafikonima:

Grafikon 4.3.d. Poluravan 00061 ≤x Grafikon 4.3.e. Poluravan 00051 ≤x

Ako bismo sva ograničenja prikazali na istom grafikonu i odredili presjek, dobili bi skup mogućih rješenja datog modela LP-a, odnosno svaka tačka u osjenčenom šesto-

IV

0

x1

5 000

x2 III

0

x1

6 000

x2

7 000

II 0

x1

14 000

x2

I

12 000

8 000


504

uglu MNCDEO na grafikonu 4.3.f predstavlja izvodljivu (moguću) kombinaciju mje-sečne proizvodnje proizvoda A i B.

Grafikon 4.3.f. Skup mogućih rješenja modela LP 1

Od svih mogućih rješenja trebamo izabrati ono najbolje. Vidjeli smo da sva moguća rješenja dobijemo presjekom svih ograničenja u modelu i uslova nenegativnosti, a najbolje rješenje zavisi od funkcije cilja.

Po teoremi17, optimalno rješenje će biti jedna od tačaka M, N, C, D, E, O, a koja od njih - to zavisi od funkcije cilja.

Vrijednost funkcije cilja u tački O (0, 0) je 0 KM, dok je u tački E(0, 5000) njena vri-jednost 400 000 KM. U nekoj drugoj tački iz skupa mogućih rješenja vrijednost funkcije cilja će biti drugačija. Ono što je sigurno, jeste da je vrijednost funkcije cilja veća što je ona (prava koja predstavlja pravac funcije cilja) udaljenija od koordinat-nog početka. Nas zanima najveća vrijednost funkcije cilja, odnosno najudaljenija tačka po pravcu funkcije cilja.

Odaberimo proizvoljno tačku P koja pripada skupu mogućih rješenja i odredimo koli-ka je vrijednost funkcije cilja u toj tački. Uzmimo da su koordinate tačke P (3 000, 2 000), pa je vrijednost funkcije cilja:

( ) 0005802000,3000 21 === xxf ,

odnosno prava koja pripada pravcu funkcije cilja i prolazi kroz tačku P ima jednačinu:

17 Teorema 4.3.2: Funkcija cilja f dostiže svoju optimalnu vrijednost u ekstremnim tačkama konveksnog sku-

pa mogućih rješenja. Ako se desi da f prima optimalnu vrijednost za više od jedne ekstremne tačke, onda će problem LP-a imati optimalnu vrijednost za svaku konveksnu kombinaciju tih ekstremnih tačaka.

7 000

II 0

x1

14 000

x2

I

12 000

8 000 6 000 III

5 000 IV

M

N

CD E


505

00058080140 210 =⋅+⋅≡ xxf

a njen grafički prikaz dat je na grafikonu 4.3. g. Koordinate tačaka kroz koje prolazi

prava f0 su: ⎩⎨⎧

=⇒==⇒=

2000300025070

21

21xx

xx

Paralelnim pomjeranjem prave f0 od koordinatnog početka vidimo da je tačka N naju-daljenija tačka u skupu svih mogućih rješenja i stoga ova tačka predstavlja optimalno rješenje (grafikon 4.3.h).

Grafikon 4.3.g. Skup mogućih rješenja i pravac funkcije cilja

Grafikon 4.3.h. Skup mogućih i optimalno rješenje

7 000

II 0

x1

14 000

x2

I

12 000

8 000 6 000 III

5 000 IV

M

N

CD E

P

7250

II

x1

7 000

0

x2

I

8 000 6 000

III

5 000 IV

M

CD E

P

7250

f0

fN


506

Koordinate tačke N dobijamo kao presjek prave I i III, odnosno rješavanjem sistema:

⎩⎨⎧

==⋅+⋅

60000002423

1

21x

xx

odakle se dobije 3000ˆ;6000ˆ 21 == xx i ove vrijednosti predstavljaju optimalan plan proizvodnje.18 Vrijednost funkcije cilja je u ovoj tački veća od njene vrijednosti u svakoj drugoj tački skupa mogućih rješenja i iznosi:

KMf 00008013000806000140ˆ =⋅+⋅=

Provjerimo koliko iznosi vrijednost funkcije cilja u ostalim rubnim tačkama skupa mogućih rješenja:

( ) KMMfM

000840)0,6000(

=

( ) KMEfE

000400)5000,0(

=

{ }

( ) KMCf

Cxxxx

IIIC

0000601

)4500,5000(0003555,20002423

21

21

=

⇒⎩⎨⎧

=+=+

⇒∩=

{ }

( ) KMDf

Dxxx

IVIID

000960

)5000,4000(0003555,2

0005

21

2

=

⇒⎩⎨⎧

=+=

⇒∩=

Vidimo da je zaista najveća vrijednost funkcije cilja u tački N i na osnovu prethodne analize možemo ponuditi sljedeći optimalan plan proizvodnje:

Uz ponuđena ograničenja optimalna mjesečna proizvodnja iznosi 6 000 komada proi-zvoda A i 3 000 komada proizvoda B ( 3000ˆ;6000ˆ 21 == xx ). Maksimalna mjesečna dobit iznosi KM0000801 (odgovor pod b).

Pod analizom optimalnog plana podrazumijevaćemo analizu ispunjenosti ograniče-nja, iako se pod ovim pojmom može raditi i puno šira analiza.

Ograničenje I: Mašinski kapacitet (max 24 000 mašinskih sati, mjesečno) je potpuno iskorišten u optimalnom planu. Za ovo ograničenje kažemo da predstavlja „usko grlo“ programa.

18 Oznaku ˆ koristimo ukoliko smo odredili optimalan plan.


507

I 000243000260003 =⋅+⋅ (m. s.)

Ograničenje II: Radni kapacitet radnika (max 35 000 radnih sati mjesečno) nije u potpunosti iskorišten. Po optimalnom programu proizvodnje mjesečno ostaje 5 000 radnih sati radnika neiskorišteno.

II 00035000303000560005,2 ≤=⋅+⋅ (r. s.)

Ograničenje III: Plasman proizvoda A na tržištu (max 6 000 kom, mjesečno) preds-tavlja „usko grlo“ programa, odnosno tržište će biti u potpunosti zadovoljeno proizvodima A.

III 00060006 = (kom A)

Ograničenje IV: Plasman proizvoda B na tržištu (max. 5 000 kom) nije u potpunosti zadovoljen. Na tržištu se može plasirati još 2000 komada proizvoda B mjesečno.

IV 00050003 ≤ (kom B)

Napomena: Uska grla programa se mogu vidjeti direktno sa grafikona 4.8, jer one prave (ograničenja) koje određuju optimalnu tačku istovremeno predstavljaju usko gr-lo programa. Kod nas su to prave I i III.

Primjer 4.4. Kompjuterska koorporacija MSA prizvodi dva modela mini kompjutera Alfa 4 i Beta 5. Firma zapošljava 5 tehničara. Svaki od njih radi 160 sati mjesečno na montaži.

Za sklapanje kompjutera Alfa 4 potrebno je 20 sati rada tehničara, dok je za model Beta 5 potrebno 25 sati rada. U narednom mjesecu MSA želi proizvesti barem 10 kompjutera Alfa 4 i barem 15 kompjutera Beta 5.

Svaki kompjuter Alfa 4 ostvaruje profit od 1200 USD, a Beta 5 profit od 1800 USD.

a) Odrediti najprofitabilniji broj mini kompjutera koje treba proizvesti u narednom mjesecu.

b) Napisati odgovarajući standardni model i odrediti značenje optimalne vrijednosti izravnavajućih varijabli.

c) Formirati dualni model datog problema LP-a i odrediti optimalne vrijednosti du-alnih varijabli.

d) Koliko bi primanje još jednog radnika unaprijedilo funkciju cilja?


508

Rješenje: a) Označimo varijable:

x1 – broj kompjutera Alfa 4

x2 – broj kompjutera Beta 5

I ograničenje: Firma zapošljava 5 tehničara. Svaki od njih radi 160 sati mjesečno na montaži. Ovo znači da imamo na raspolaganju 800 radnih sati montažera mjesečno. Za sklapanje kompjutera Alfa 4 potrebno je 20 sati rada tehničara, dok je za model Beta 5 potrebno neophodno 25 sati rada. Odavde je prvo ograničenje dato sa:

I 8002520 21 ≤⋅+⋅ xx (rs)

II ograničenje: U narednom mjesecu MSA želi proizvesti barem 10 kompjutera Alfa 4.Odavde je II ograničenje dato sa:

II 101 ≥x (kom)

III ograničenje: U narednom mjesecu MSA želi proizvesti barem 15 kompjutera Beta 5. Odavde je III ograničenje dato sa:

III 152 ≥x (kom)

Funkcija cilja: Svaki kompjuter Alfa 4 ostvaruje profit od 1200 USD, a Beta 5 profit od 1800 USD. Proizvodnjom 1x komada kompjutera Alfa 4, ostvaruje se dobit od

11200x a proizvodnjom 2x komada kompjutera Beta 5, ostvaruje se dobit od

21800x . Odavde je funkcija cilja data sa:

21 18001200max xxf +=

Ako još uključimo i uslove nenegativnosti, onda je model problema 4.4.dat sa:

0,

15108002520

18001200max

21

2

1

21

21

≥

≥≥≤+

+=

xx

xIIIxII

xxIxxf

Odredimo grafički skup mogućih rješenja:


509

I: Presječne tačke prave

8002520 21 =⋅+⋅ xx

sa koordinatnim osama:

⎩⎨⎧

====

⇒40;032;0

12

21xxxx

II: Paralelna sa 2x osom

III: Paralelna sa 1x osom

Grafikon 4.4.a. Skup mogućih rješenja za LP 2

Odredimo pravac funkcije cilja:

Izaberimo proizvoljnu tačku iz skupa mogućih rješenja19. Neka je to tačka P (15, 15).

Pravu f0 koja prolazi kroz ovu tačku, a paralelna je funkciji cilja, određujemo uvršta-vanjem koordinata tačke P u funkciju cilja:

( ) 0004515180015120015;15 21 =⋅+⋅=== xxf

Odavde je jednačina prave f0:

0004518001200 210 =+≡ xxf

Napomenimo da vrijednost funkcije cilja u tački P govori da bi mjesečni profit firme bio 45000 USD ako bi u narednom mjesecu planirali proizvesti 15 kompjutera Alfa 4 i 15 kompjutera Beta 5. Ovo očito nije najbolje rješenje.

Sa grafikona 4.4.b vidimo da je tačka C optimalna. Odredimo koordinate ove tačke:

I ∩ II ⇒

⇒⎩⎨⎧

==+108002520

1

21x

xx

x1 = 10; x2 = 24 ⇒

20055241800101200ˆ =⋅+⋅=f 19 Izabrana tačka ne mora biti u skupu mogućih rješenja jer nam je potrebna samo zbog određivanja pravca

funkcije cilja, ali se radi bolje preglednosti najčešće bira tačka iz skupa mogućih rješenja.

10 x1I 40 0

15

32

B

C

A

x2

II

III


510

Presječne tačke prave

0004518001200 210 =+≡ xxf

sa koordinatnim osama:

⎩⎨⎧

====

⇒5,37;0

25;0

12

21xxxx

Grafikon 4.4.b. Skup mogućih rješenja, pravac funkcije cilja i optimalno rješenje

Odgovor pod a)

Najprofitabilniji broj mini kompjutera koje treba proizvesti u narednom mjesecu je 10ˆ1 =x kompjutera Alfa 4 i 24ˆ2 =x kompjutera Beta 5. Očekivani najveći profit iz-

nosit će: USDf 20055ˆ = .

Sa grafikona vidimo da su ograničenja I i II uska grla programa, odnosno mjesečni broj radnih sati montažera i ugovoreni minimalan broj kompjutera Alfa 4 predstavlja-ju ograničenja zbog kojih se ne može ostvariti veća vrijednost funkcije cilja. Ova analiza nam govori da, ako bismo željeli unaprijediti funkciju cilja, onda bismo mora-li mijenjati ograničenja I ili II, ali ne i ograničenje IV.

b) Prilikom formiranja standardnog modela LP-a moramo uvesti određen broj dopun-skih varijabli - izravnavajućih i vještačkih20.

Standardni model ovog problema LP-a ima oblik:

20 Kod ograničenja ≤ uvodimo jednu izravnavajuću sa koeficijentom +1, kod ograničenja ≥ uvodimo jednu

izravnavajuću sa koeficijentom -1 i vještačku sa koeficijentom +1, dok kod ograničenja = uvodimo jednu vještačku sa koeficijentom +1. U funkciji cilja izravnavajuće varijable imaju koeficijent 0, dok vještačke imaju koeficijent M± u zavisnosti od funkcije cilja (+M kod cilja min f i –M kod cilja max f).

10 x1 I 40 0

15

32

B

C

A

x2

II

III

f0

foptimalno


511

0,;0,,,,

15

10

800252000018001200max

*5

*454321

*552

*441

321

*55

*44321

=≥

=+−

=+−

=++⋅−⋅+⋅−⋅+⋅++=

xxxxxxx

xxxIII

xxxII

xxxIxMxxMxxxxf

Kako su nam već izračunate optimalne vrijednosti polaznih primalnih varijabli u modelu 10ˆ1 =x i 24ˆ2 =x , to su odgovarajuće optimalne vrijednosti izravnavajućih primalnih varijabli u modelu: 0ˆ3 =x , 0ˆ4 =x i 9ˆ5 =x

Izravnavajuće varijable 3x , 4x su vezane za uska grla programa, pa je njihova vrije-dnost 0. Ako je vrijednost izravnavajuće varijable jednaka nula, onda je ograničenje kojem izravnavajuća varijabla pripada ustvari usko grlo programa.

Varijabla 5x je vezana za treće ograničenje u modelu, odnosno za minimalno potre-ban broj mini kompjutera Beta 5, pa 9ˆ5 =x nam govori da se 9 kompjutera tipa Beta 5 proizvodi više od minimalno potrebne količine.

c) Dualni model polaznog primalnog modela određujemo tako da svakom ograničenju i pridružimo odgovarajuću polaznu dualnu varijablu iny + :

0,

15108002520

18001200max

21

52

41

321

21

≥

⇐≥⇐≥

⇐≤++=

xx

yxIIIyxIIyxxI

xxf

Na osnovu osobina duala21 formiraćemo odgovarajući dualni model.

Funkcija cilja u dualu: Označimo odgovarajuću dualnu funkciju sa g. Kako je u primalu cilj max f, to je u dualu cilj min g. Koeficijenti u ograničenjima kod primala nalaze se u funkciji cilja kod duala:

543 1510800min yyyg ++= 21 Dualni model je simetričan; Matrica A koja se nalazi u ograničenjima primalnog modela je transponovana

u ograničenjima kod dualnog modela; Cilj max f kod primala ⇒ min g kod duala i min f kod primala ⇒ max g kod duala; Polazne dualne varijable ne moraju biti ≥ 0.


512

Ograničenja: Kako je dual simetričan, a cilj je min g, to su sva ograničenja u dualu ≥. Ograničenja u dualu imamo onoliko koliko u primalu imamo polaznih varijabli, tj. dva ograničenja.

Prvo ograničenje određujemo tako da gledamo sve koeficijente uz 1x u polaznom primalnom modelu, a granicu tako što gledamo koeficijent uz 1x u funkciji cilja:

120020 43 ≥+ yy

Analogno, za drugo ograničenje gledamo koeficijente uz 2x :

180025 53 ≥+ yy

Znak polaznih dualnih varijabli iny + zavisi od znaka u ograničenju i kojem je prid-ružena odgovarajuća varijabla iny + . Ako znak u ograničenju primala odgovara simetričnom modelu22, onda je dualna varijabla 0≥+ iny , u suprotnom je 0≤+ iny . Dakle, imamo:

0;0;0 543 ≤≤≥ yyy

Na osnovu prethodnog razmatranja, odgovarajući dualni model ima oblik:

0;0;0

180025120020

1510800min

543

53

43

543

≤≤≥

≥+≥+

++=

yyy

yyyy

yyyg

Za određivanje optimalnih vrijednosti dualnih varijabli potrebno je izvršiti standardi-zaciju dualnog modela i iskoristiti princip oslabljene komplementarnosti23.

Prilikom strandardizacije dualnog modela uvodimo izravnavajuće varijable iy koje obavezno moraju biti nenegativne (vještačke dualne varijable nije potrebno uvoditi). Standardni dualni model ima oblik:

0;0;0;0,

180025120020

1510800min

54321

532

431

543

≤≤≥≥

=++−=++−

++=

yyyyy

yyyyyy

yyyg

22 Za cilj max f ograničenje traba biti ≤ , a za cilj min f ograničenje treba biti ≥. 23 ( )miyx ii ,1;0ˆˆ =∀=⋅


513

Na osnovu principa oslabljene komplementarnosti i optimalnih vrijednosti svih pri-malnih varijabli, imamo:

0ˆ10ˆ 11 =⇒= yx ; 0ˆ24ˆ 22 =⇒= yx ?ˆ0ˆ 33 =⇒= yx , ?ˆ0ˆ 44 =⇒= yx i 0ˆ9ˆ 55 =⇒= yx

Iz prethodnog sistema, možemo odrediti vrijednost ostalih nepoznatih dualnih vari-jabli, odnosno vrijednost 43 ˆˆ yiy .

240ˆ,72ˆ180025

12002043

3

43 −==⇒⎭⎬⎫

=

=+yy

yyy

Jedinice mjere i značenje optimalnih vrijednosti dualnih varijabli:

Polazne dualne varijable iny + su vezane za ograničenje i , te nam govore koliko će se promijeniti funkcija cilja ukoliko se ograničenje i promijeni za jednu svoju jedini-

cu mjere. Jedinice mjere za polazne dualne varijable iny + su ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡iaogranicenjjm

ciljafunkcijejm .

Izravnavajuće dualne varijable iy su vezane za koeficijente u funkciji cilja uz pri-malne varijable ix . Govore nam koliko se najmanje mora promijeniti koeficijent u funkciji cilja uz ix da bi varijabla ix „ušla” u program, odnosno da bi ix bilo >0. Je-dinica mjere iy je ista kao i jedinica mjere koeficijenta ic , koji se nalazi uz ix u

funkciji cilja primala, dakle ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ixjmciljafunkcijejm

Konkretno, dualne varijable 0ˆ;0ˆ 21 == yy govore da su u optimalnom rješenju 0ˆ,ˆ 21 >xx (»ušle u program«).

Varijabla 0ˆ5 =y nam govori da povećanjem ograničenja III za 1 kom. ne bismo promijenili funkciju cilja.

Varijabla 72ˆ3 =y nam govori da bi se, pomjeranjem ograničenja I za 1 rs (kad bi imali mjesečno na raspolaganju 801 rs), funkcija cilja povećala za 72 USD.

Varijabla 240ˆ4 −=y nam govori da bi se, pomjeranjem ograničenja II za 1 kom. (kad bismo morali mjesečno proizvesti najmanje 11 komjutera Alfa 4), funkcija cilja sma-njila za 240 USD.


514

d) Primanje još jednog radnika će direktno uticati na I ograničenje. Primanjem jednog novog radnika broj radnih sati montažera će se povećati za 160, odnosno I ograniče-nje će imati oblik:

9602520 21 ≤⋅+⋅ xx

Na grafikonu vidimo da će skup mogućih rješenja promijeniti (prava I će se pomjeriti prema “gore”) i optimalna tačka C će se pomjeriti u tačku C´. Kako se pravac funkci-je cilja nije promijenio, to će novo rješenje biti x1=10; x2=30,4, odnosno funkcija cilja će se povećati za 11 520 USD.

Grafikon 4.4.c. Skup mogućih rješenja, pravac funkcije cilja

i optimalno rješenje kod promjene ograničenja I

Do istog ovog rezultata smo mogli doći da smo iskoristili vrijednost i značenje dualne varijable 72ˆ3 =y . Povećanjem granice I za 160 rs, funkcija cilja će se povećati za

USD5201172160 =⋅ , odnosno nova vrijednost funkcije cilja će biti USDf 720665201120055ˆ =+=′

Napomena: Kako se nova optimalana vrijednost u stvarnosti ne može realizovati (pro-izvodnja 30,4 komada kompjutera Beta 5 nije moguća), mi ćemo uzeti cjelobrojno rješenje najbliže optimalnom koje se nalazi u skupu mogućih rješenja.

400

15

32

10

B

C´

A

x1

x2

III

I

C

II

I´


515

Primjer 4.5 Napraviti standardizirani model modela LP iz primjera 4.3. i pronaći optimalne vrije-dnosti svih varijabli. Objasniti njihovo značenje.

Rješenje: ( )

( )

( ) 0,,,300050006

.).(0003555,22.).(0002423

000080140max1

,65,43,21

62

51

421

321

654321

≥=+Ι=+ΙΙΙ=++ΙΙ=++Ι

+++++=

xxxxxxBkomxxVAkomxx

srxxxsmxxx

xxxxxxf

Optimalne vrijednosti izravnavajućih varijabli su:

x3 = 0; Značenje: raspoloživi mašinski sati su “usko grlo” programa;

x4 = 5000; Značenje: 5000 neiskorištenih radnih sati u optimalnom programu proiz-vodnje;

x5 = 0; Značenje: tržište je zasićeno proizvodom A, “usko grlo” programa;

x6 = 2000; Značenje: može se plasirati još 2000 jedinica dobra B na tržištu;

Primjer 4.6. Napraviti odgovarajući dualni model modela LP iz primjera 4.3. pa odrediti optimal-ne vrijednosti dualnih promjenjljivih i objasniti njihovo značenje.

Rješenje:

Primal:

( )

( )

( ) 0,300050006

.).(0003555,22.).(0002423

80140max1

21

62

51

421

321

21

≥⇐≤Ι⇐≤ΙΙΙ⇐≤+ΙΙ⇐≤+Ι

+=

xxyBkomxVyAkomxysrxxysmxx

xxf


516

Dual:

0;;;

80521405,23

000500060003500024min

6543

643

543

6543

≥

≥++≥++

+++=

yyyy

yyyyyy

yyyyg

Standardizacija duala:

0;;;;;

80521405,23

000500060003500024min

654321

6432

5431

6543

≥

=+++−=+++−

+++=

yyyyyy

yyyyyyyy

yyyyg

Pomoću principa oslabljene komplementarnosti:

0ˆ2000ˆ0ˆ

0ˆ5000ˆ0ˆ

0ˆ3000ˆ0ˆ6000ˆ

66

5

44

3

22

11

=⇒==

=⇒==

=⇒==⇒=

yxx

yxx

yxyx

sistem 4.6. poprima oblik: 20ˆ;40ˆ802

140353

3

53 ==⇒⎭⎬⎫

==+

yyy

yy

Polazne dualne varijable 0ˆ4 =y i 0ˆ6 =y nam govore da ograničenja II i IV nisu do kraja iskorištena, pa pomjeranjem ovih ograničenja nećemo promijeniti funkciju cilja.

Polazna dualna varijabla 3ˆ 40 KMyms

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ nam govori da će se funkcija cilja povećati za

40 KM ako se ograničenje I poveća za 1 mašinski sat.

Polazna dualna varijabla 5ˆ 20 KMykomA⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

nam govori da ako na tržištu uspijemo plasi-

rati još jedan dodatni komad proizvoda tipa A, funkcija cilja će se povećati za 20 KM.

Izravnavajuće dualne varijable 0ˆ1 =y i 0ˆ2 =y nam govore da se koeficijenti u fun-kciji cilja (dobit po jedinici proizvoda A i dobit po jedinici proizvoda B) ne moraju mijenjati da bi 21 xix ušle u optimalan plan.


517

Primjer 4.7. U proizvodnom pogonu firme mogu se proizvoditi dva proizvoda (P1, P2). Strojevi prvog pogona (S1) imaju mjesečni kapacitet 450 sati, a drugog (S2) kapacitet od 600 sati. Potreban broj sati rada strojeva u proizvodnji jedinice proizvoda je sljedeći:

S1 S2 P1 2 2 P2 1 2

Na temelju analize troškova zna se da treba proizvesti najmanje 100 jedinica P1.

Ako je prihod po jedinici P1 10 KM i po jedinici P2 također 10 KM, treba odrediti op-timalan plan proizvodnje koji omogućava maksimalan prihod.

Rješenje: x1 – broj proizvoda P1; x2 – broj proizvoda P2

Funkcija cilja: 21 1010max xxf +=

Ograničenja: Strojevi prvog pogona (S1) imaju mjesečni kapacitet 450 sati. Za x1 jedinica proizvo-da P1 potrebno je 2 x1 sati, a za x2 jedinica proizvoda P2 potrebno je 1 x2 sati.

121 .).(45012 Ssmxx ≤+Ι

Strojevi drugog pogona (S2) imaju mjesečni kapacitet 600 sati. Za x1 jedinica proiz-voda P1 potrebno je 2 x1 sati, a za x2 jedinica proizvoda P2 potrebno je 2 x2 sati.

221 .).(60022 Ssmxx ≤+ΙΙ

Na temelju analize troškova zna se da treba proizvesti najmanje 100 jedinica P1.

11 1001 Pkomx ≥ΙΙΙ

Model:

( )

( )

( ) 0,31001

.).(600222.).(45012

1010max1

21

11

221

121

21

≥≥ΙΙΙ≤+ΙΙ≤+Ι

+=

xxPkomx

SsmxxSsmxx

xxf

Za grafički prikaz vidimo da prava I siječe ose u 450;22502

01 == xx , te da prava II

siječe ose u 300;30002

01 == xx .


518

Skup mogućih rješenja je četverougao ABCD na grafikonu 4.7.

Grafikon 4.7.a. Skup mogućih rješenja, pravac funkcije cilja i optimalno rješenje

Pravac funkcije cilja:

Proizvoljno, tačka P (100, 100) ⇒ ( ) 2000100,100 =f , odavde je prava koja prolazi kroz P, a paralelna je sa funkcijom cilja, data sa: 00021010 210 =+≡ xxf (na gra-fikonu je prikazana isprekidanom linijom).

Paralelnim pomjeranjem vidimo da se pravac funkcije cilja podudara sa pravcem og-raničenja II, a da obje najudaljenije rubne tačke skupa mogućih rješenja (kandidati za optimum) pripadaju ograničenju II.

To znači da su optimalne i tačka B (150, 150) i tačka C (100, 200). Vrijednost funkci-je cilja u ovim tačkama je ista i iznosi f(C) = f (B) = 3 000.

Ako postoji više od jednog optimalnog rješenja, onda optimalnih rješenja ima besko-načno. U našem slučaju optimalne su tačke C i B, ali i svaka tačka na duži BC. Sva ostala optimalna rješenja se dobijaju kao linearna konveksna kombinacija rubna dva.

Elementi optimalnog plana 1:

Mjesečna proizvodnja 150 kom P1 i 150 kom P2, uz maksimalan prihod od 3 000 KM.

Elementi optimalnog plana 2:

Mjesečna proizvodnja 100 kom P1 i 200 kom P2, uz maksimalan prihod od 3 000 KM.

Elementi svih ostalih optimalnih rješenja:

f0 I

III foptimal- 0 x1

x2

B (I∩II)

225II

300

300

450

100

C (II∩III)

D A

P 100


519

( ) [ ]1,0200100

1150150

ˆˆ

2

1 ∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡λλλ

xx

Primjer 4.8. Preduzeće koristi tri stroja, S1, S2, S3, da bi proizvelo dva tipa plastične mase - P1, P2. Jedan sat rada stroja S1 košta 10 KM, S2 košta 7 KM i S3 košta 12 KM.

Svake sedmice preduzeće mora proizvesti barem 7 kg plastične mase tipa P1 i barem 4 kg mase tipa P2.

Podaci o obradi plastičnih masa u jednom satu dati su u sljedećoj tabeli:

P1 P2 S1 1 kg 2 kg S2 1 kg 1 kg S3 2 kg 1 kg

a) Sastaviti odgovarajući model LP-a za minimalne sedmične troškove, b) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti duala i primala, c) Protumačiti značenje varijabli: 44 ˆˆ xiy .

Rješenje: a) x1 – broj radnih sati S1

x2 – broj radnih sati S2

x3 – broj radnih sati S3

Funkcija cilja: 321 12710min xxxf ++=

Ograničenja: Zahtjevi za minimalnom potrebnom količinom plastičnih masa P1 i P2.

4272

321

321≥++≥++

xxxIIxxxI

Model:

0;0;0

4272

12710min

321

321

321

321

≥≥≥

≥++≥++

++=

xxx

xxxxxx

xxxf


520

Standardizovani oblik modela je.

0;0;0;0;0

4272

0012710min

54321

5321

4321

54321

≥≥≥≥≥

=−++=−++

++++=

xxxxx

xxxxxxxx

xxxxxf

b) U modelu imamo tri polazne primalne varijable i klasični grafički model se ne može primijeniti. Međutim, analizirani model je simetričan i ima osobinu „dual duala je primal“, odnosno možemo prvo riješiti odgovarajući dualni model, pa iz njega pro-čitati optimalne vrijednosti primalnih varijabli. Odgovarajući dualni model je:

0;0

042072

12710min

21

5321

4321

321

≥≥

≥←≥++≥←≥++

++=

xx

yxxxyxxx

xxxf

⇒

0;0

1227102

47max

54

54

54

54

54

≥≥

≤+≤+≤+

+=

yy

yyyyyyyyg

Na grafikonu 4.8.a. vidimo da je skup mogućih rješenja petougao ABCOD i da je op-timalno rješenje tačka A.

Koordinate rubnih tačaka skupa mogućih rješenja: A: II ∩ III = (5, 2); B: III ∩ I = (4, 3); C (6, 0); D (0, 5); O (0, 0);


Proizvoljna tačka M (4, 2):

7·4 + 4·2 = 36 ⇒

g0: 7·y4 + 4·y5 = 36 ⇒ (y4 = 0 ⇒ y5 = 9)

Optimalno rješenje:

gmax = g (A) = 43 za ;2ˆ;5ˆ 54 == yy


Izravnavajuće dualne: ;0ˆ;0ˆ;1ˆ 321 === yyy

II

10

III I

0

5

12

B

A

C

M

g0

gmax7

7 6 D

y4

y5


521

Po principu oslabljene komplementarnosti imamo da su vrijednosti odgovarajućih primalnih varijabli: ;0ˆ;0ˆ;0ˆ 541 === xxx

Sa ovim vrijednostima, vraćajući se u standardizovani model, imamo:

2 3

2 3

2 3

2 74

ˆ ˆ1; 3

x xx x

x x

+ =+ =

= =

Odgovor: Minimalni sedmični troškovi iznose 43 KM, a optimalan plan korištenja strojeva za proizvodnju plastičnih masa P1 i P2 je 1 sat koristiti S2 i 3 sata koristiti S3. Stroj S1 se neće koristiti.

c) kg

KMy 5ˆ4 = govori da će se funkcija cilja povećati za 5 KM ako se ograničenje I

poveća za 1 kg.

kgx 0ˆ4 = govori nam da je ograničenje I usko grlo programa, odnosno da će se u op-timalnom planu proizvesti minimalno potrebna količina plastične mase P1.

Primjer 4.9. Trgovinsko preduzeće ima na raspolaganju 25 000 $ koje namjerava potrošiti na TV rek-lamu. Svi spotovi bi se emitovali na jednoj TV stanici. Relevantni su sljedeći podaci:

Vrijeme emitovanja Troškovi Broj potencijalnih gledalaca

7:00 – 18:00 1200 $ 15 000 18:00 – 23:00 2500 $ 25 000 23:00 – 02:00 1500 $ 18 000

TV stanica neće emitovati više od 15 spotova u svim terminima zajedno.

a) Napraviti model datog problema LP-a u cilju maksimizacije broja potencijalnih kupaca koji će vidjeti spotove;

b) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti duala; c) Protumačiti značenje dualnih varijabli. Rješenje: a) x1 – broj spotova od 7:00 do 18:00 x2 – broj spotova od 18:00 do 23:00 x3 – broj spotova od 23:00 do 02:00


522

Funkcija cilja: 321 180002500015000max xxxf ++=

Ograničenja: Maksimalan broja spotova koji će se emitovati ⇒ 15321 ≤++ xxx

Troškovi za reklamu, maksimalno 25 000$ ⇒ 25000150025001200 321 ≤++ xxx

Model:

0;0;0

025000150025001200015

180002500015000max

321

5321

4321

321

≥≥≥

≥←≤++≥←≤++

++=

xxx

yxxxyxxx

xxxf

b) Simetričan primal ⇒ „ dual duala je primal“

Dualni model:

0;0

180001500250002500

1500012002500015min

54

54

54

54

54

≥≥

≥+≥+≥+

+=

yy

yyyyyy

yyg

Koordinate presječnih tačaka:

A: I ∩ III = (3, 10) B: III ∩ II = (7, 7.5) C (25, 0) D (0, 12.5)

Pravac funkcije cilja: M (10, 10) 15·10 000 + 25 000·10 = 400 000g0: 15·y4 + 25 000·y5 = 400 000 ⇒ (y4 = 0 ⇒ y5 = 16)


gmin = g (B) = 292 500 KM za ;5,7ˆ;7ˆ 54 == yy


III 25

I II0

10

12,5

B

C

M g0

gmin

12

18 15

D

y4 u hiljadama KM

y5

(1000)

A


523

Odgovarajuće izravnavajuće dualne varijable imaju vrijednosti: ;0ˆ;0ˆ;1000ˆ 321 === yyy . Odavde su primalne varijable: ;0ˆ;0ˆ;0ˆ 541 === xxx a

iz modela 4.1.8 imamo:

2 3

2 3

2 3

152500 1500 25000

ˆ ˆ2.5; 12.5

x xx x

x x

+ =⋅ + ⋅ =

= =

c)

1000ˆ1 =y govori da bi se gledanost u terminu 7:00 do 18:00 trebala povećati za 1000 da bi se u optimalnom planu izabralo emitovanje spotova u tom terminu.

7000ˆ4 =y nam govori da bi se broj potencijalnih gledalaca (vrijednost funkcije cilja) povećao za 7 000 ukoliko bismo povećali planirani broj spotova za 1 (ograničenje 1).

5,7ˆ5 =y nam govori da bi se broj potencijalnih gledalaca (vrijednost funkcije cilja) povećao za 7,5 ukoliko bismo povećali novac planiran za oglašavanje za 1$ (ograni-čenje 2).

Primjer 4.10. Poljoprivredno dobro proizvelo je 1000 t jabuka i prodavaće ih u gradovima A, B i C po cijenama: tnj /25 u gradu A, tnj /30 u gradu B i tnj /28 u gradu C.

Troškovi proizvodnje po toni jabuka iznose nj10 , a transportne cijene su: tnj /5 do grada A, tnj /2 do grada B i tnj /3 do grada C.

Proizvedenu količinu jabuka treba kompletno prodati.

U gradu C se može prodati maksimalno 50% jabuka, dok se u gradovima A i B može prodati zbirno maksimalno 600 t jabuka.

U gradu A već je ugovorena prodaja od minimalno 150 t jabuka.

a) Naći optimalan plan prodaje proizvedene količine koji će biti najrenatabilniji za proizvođača;

b) Napraviti dualni model datog problema LP-a i naći optimalne vrijednosti dualnih varijabli;

c) Protumačiti značenje optimalnih dualnih varijabli 76 ˆˆ yiy .


524

Rješenje: a)

x1-tone jabuka u A (transportovane i prodate)⇒ dobit od prodaje u A: 25-(10+5) = 10 nj

x2-tone jabuka u B (transportovane i prodate) ⇒ dobit od prodaje u B: 30-(10+2) = 18 nj

x3-tone jabuka u C (transportovane i prodate) ⇒ dobit od prodaje u C: 28-(10+3) = 15 nj

Funkcija cilja: maximalna dobit ⇒ 321 151810max xxxf ++=

Ograničenja:

Proizvedenu količinu treba kompletno prodati ⇒ 1000) 321 =++ xxxI

U gradu C se može prodati maksimalno 50% jabuka ⇒ 5003 ≤x

U gradovima A i B može se prodati zbirno maksimalno 600 t jabuka ⇒ 60021 ≤+ xx

U gradu A već je ugovorena prodaja od minimalno 150 t jabuka ⇒ 1501 ≥x

Model:

150600

5001000

151810max

1

21

3

321

321

≥≤+

≤=++

++=

xIVxxIII

xIIxxxI

xxxf

;0;0;0 321 ≥≥≥ xxx

U pitanju je model koji ima tri nepoznate. Model nije simetričan, ali postoji jedno og-raničenje trećeg tipa (tipa =) i ono nam omogućava da model transformišemo u model sa dvije nepoznate.

Transformacija se vrši za svako ograničenje i to na sljedeći način:

Iz 10000)(1000 21213 ≤+⇒≥+−=⇒ xxxxxI ;

Iz 500500)(1000500 21213 ≥+⇒≤+−⇒≤⇒ xxxxxII ;

Iz )(60021 istoostajexxIII ≤+⇒

Iz )(1501 istoostajexIV ≥⇒

Iz ( ) 15000351000151810151810max 212121321 ++−=−−⋅++=++= xxxxxxxxxf


525

Na osnovu spomenutih transformacija polazni model poprima oblik:

0;0

1506005001000

150003´5max

21

1

21

21

21

21

≥≥

≥′≤+′≥+′≤+′

++−=

xx

xVIxxIIIxxIIxxI

xxf

Pravac funkcije cilja možemo odrediti ako izaberemo proizvoljnu tačku (iz skupa mogućih rješenja ili ne) i uvrstimo u izraz 1500035max 21 ++−= xxf , odnosno na isti način kao i ranije. Međutim, kako je funkcija cilja rastuća funkcija (znak – ispred jedne nepoznate) i kako ima konstantni član (15 000), najlakši način za određivanje pravca je da izraz max f izjednačimo sa 0. Na ovaj način smo pravac funkcije cilja iz-razili funkcijom f0, odnosno sa:

{ ( ) ( ) 5000;3000150003501500035

21210

21−==⇒=−≡

=++−xxxxf

xx

Sa grafikona 4.10.a. se vidi da je skup mogućih rješenja ABCD i da je optimalna tačka A.


Elementi optimalnog rješenja su: A (150, 150) i f (A) =15 600, odnosno:

;700)150150(1000ˆ;150ˆ;150ˆ 321 =+−=== xxx

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

I

IIIII

IV

f 0

f max

D

A

B

C


526

Odgovor: Optimalan plan prodaje jabuka je 150 t u gradu A, 150 t jabuka u gradu B i 700 t jabuka u gradu C i sa ovim planom će se ostvariti maksimalna dobit od 15 600 KM.

b) Odgovarajući dualni model ima oblik:

151810

1506005001000min

54

64

764

7654

≥++≥++≥++

+++=

yyyy

yyyyyyyg

;0;0;0;0 7654 ≤≥≥≥≤ yyyy

Po principu oslabljene komplementarnosti i iz gornjeg sistema imamo:

8ˆ0ˆ0ˆ400ˆ3ˆ0ˆ0ˆ450ˆ

0ˆ100ˆ0ˆ150ˆ15ˆ0ˆ0ˆˆ

7733

6622

5511

44

−=→==→=

=→==→==→==→=

=→==⋅

yxyxyxyx

yxyxyxyx ii

Optimalna vrijednost funkcije cilja primala 15600ˆ =f i duala 15600ˆ =g

c)

tnjdftnj

df /8/3

43−=

∂∂

=∂∂

Pomjeranjem ograničenja III za 1 tonu, funkcija cilja će se povećati za 3 KM.

Pomjeranjem ograničenja IV za 1 tonu, funkcija cilja će se smanjiti za 8 KM.

Primjer 4.11. Preduzeće proizvodi tri vrste tkanina: A, B, C. Za njih su potrebne tri vrste vune: cr-vena, bijela i plava. Za 1 m tkanine A potrebno je 2 kg crvene, 1 kg plave i 1 kg bijele vune; za 1m tkanine B potrebno je 4 kg crvene i 4 kg bijele vune, dok je za tkaninu C potrebno 6 kg crvene, 2 kg plave i 4 kg bijele vune.

Može se utrošiti maksimalno 48 kg crvene i 32 kg bijele vune, dok je potrebno utroši-ti tačno 18 kg plave vune. Treba odrediti onu kombinaciju proizvodnje tkanina koja će obezbijediti najveći prihod preduzeću ako je prihod po metru tkanine A 10 KM, tkanine B 20 KM i tkanine C 10 KM.


527

a) Slobodno izabranom metodom pronaći optimalno rješenje i izvršiti analizu ispu-njenja ograničenja;

b) Formirati odgovarajući dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih.

Rješenje: a) x1 – kg tkanine A; x2 – kg tkanine B; x3 – kg tkanine C

Funkcija cilja: maximalan prihod ⇒ 321 102010max xxxf ++=

Ograničenja:

I: Može se utrošiti maksimalno 48 kg crvene vune ⇒ 48642 321 ≤++ xxx

II: Može se utrošiti maksimalno 32 kg bijele vune ⇒ 3244 321 ≤++ xxx

III: Potrebno utrošiti tačno 18 kg plave vune ⇒ 182 31 =+ xx

Model:

;0;0;0

182324448642

102010max

321

31

321

321

321

≥≥≥

=+≤++≤++

++=

xxx

xxxxxxxxxxxf

Ponovo vidimo da postoji jedno ograničenje trećeg tipa (III ograničenje) i ono nam omogućava da imodel transformišemo u model sa dvije nepoznate na sljedeći način:

( )( ) 142432441823244

1224486418224864290182182

32323321

32323321

33131

≤+⇒⇒≤+++−⇒≤++⇒≤+⇒⇒≤+++−⇒≤++⇒

≤⇒≥+−=⇒=+⇒

xxxxxxxxIIxxxxxxxxI

xxxxxIII

……

Iz ovih transformacija vidimo da je ograničenje II suvišno (jer I i II imaju iste lijeve strane), pa se skup mogućih rješenja može dobiti iz ograničenja I i III.

Ako u funkciji cilja zamijenimo 1x sa , 182 3 +− x , onda će funkcija cilja poprimiti oblik:

1801020max 32 +−= xxf

Funkcija cilja je rastuća funkcija i trebamo odrediti njen pravac. Međutim, ako pogle-damo oblast mogućih rješenja datih na grafikonu 4.10, vidimo da se koordinate tjemena mogu pročitati sa grafikona i optimalna je jedna od tačaka A (0, 6) ili B (3, 0). Uvrštavanjem u funkciju cilja vidimo da je optimalna tačka B.


528

0123456789

10

0 1 2 3 4

x2

x3 f (B) = f (3, 0) = 240

f (A) = f (0, 6) = 120 Odavde je optimalno rješenje: x2 = 3 i x3 = 0; Ako se vratimo u polazni model iograničenje III, imaćemo da je x1= 18. Odavde vidimo da je optimalnokoristiti 18 kg tkanine A, 3 kgtkanine B i 0 kg tkanine C. Maksimalan prihod 240 KM.

Grafikon 4.11.a. Moguća rješenja

4.5.2. Simplex metoda Na osnovu baznih teorema linearnog programiranja vidjeli smo da se optimalno rješenje nalazi u nekoj od rubnih tačaka konveksnog skupa koji predstavlja skup mogućih rješenja. Grafičkim prikazom skupa mogućih rješenja se mogu vidjeti rubne tačke i pojedinačnom provjerom vidjeti koja od njih daje optimalno rješenje. Kod problema sa velikim brojem varijabli nije moguće grafički prikazati skup mogućih rješenja (u pitanju su n dimenzionalni prostori), ali je koncept isti.

Simplex metoda predstavlja opšti algoritam koji se koristi za rješavanje svih oblika zadata-ka linearnog programiranja. Ovaj metod omogućava sistematsko ispitivanje rubnih tačaka n-dimenzionalnog poliedrona koji predstavlja skup mogućih rješenja sve dok se ne pronađe optimalno rješenje. U pitanju je iterativni postupak baziran na istom skupu procedura defi-nisanih algebarskim operacijama nad matricama gdje se svakom narednom iteracijom dobija vrijednost bliža optimalnom rješenju. Ovo ustvari znači da simplex metoda omogu-ćava najkraći put do optimalnog rješenja i da se ne moraju ispitati sve rubne tačke.

Za upotrebu simplex metode moramo koristiti standardni primalni model problema linear-nog programiranja koji smo prethodno označili sa (4.2):

Nsx

midxa

xcfMinMax

s

iN

ssis

N

sss

,10

,1,1

1

=≥

==⋅

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∑

∑

=

=

A

B


529

gdje je m broj svih ograničavajućih linearnih jednačina; )( RLKm ++= , a N je broj svih primalnih varijabli.

Da bismo objasnili suštinu simplex metode i način izračunavanja optimalnog rješenja za-datka linearnog programiranja moramo standardni primalni model izraziti u matričnom obliku ranije označenom sa (4.2'):

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] 0

Ts s

is s i

s

Max f c xMin

a x d

x

⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ =

≥

Kolone matrice [ ]isa označimo kao vektore sA , a vektor ograničenja [ ]id označimo sa A. Kako su vektori A i ( )NsAs ,...,1, = m – dimenzionalni, to je skup ograničenja, pa i cijeli problem LP-a, smješten u m - dimenzionalan vektorski prostor Vm. Naš zadatak je da odre-dimo vektore koji će predstavljati bazu tog vektorskog prostora.

Uvođenjem ovih oznaka skup ograničenja u modelu 4.2 se može zapisati kao linearna kom-binacija vektora sA :

∑=

⋅=N

sss AxA

1 (4.16)

pri čemu je ( )Nsxs ,...,10 =∀≥

Ako pretpostavimo da sistem ograničavajućih jednačina ima rang m i time barem jedno rješenje, onda se iz skupa { }NAAA ,,, 21 … može izabrati barem jedna kombinacija od m vektora, označimo ih sa bA , koji su linearno nezavisni i koji predstavljaju rješenje sistema 4.16. Ovi vektori mogu predstavljati bazu vektorskog prostora Vm. Bazu vektorskog prosto-ra Vm označimo sa B.

Ako postoji baza { }bAB = vektorskog prostora Vm, onda se može pronaći m bazičnih vari-jabli 0≠bx za koje vrijedi:

∑ ⋅=b

bb AxA (4.17)

Bazične varijable 0≠bx čine m baznih komponenti vektora [ ]sx , dok su ostale komponen-te ovog vektora jednake nuli bsxs ≠∀= ;0 . Vektor bazičnih varijabli označimo sa XB.

Na osnovu teoreme 4.3.3, imamo da je ovaj vektor XB ekstremna tačka skupa mogućih rje-šenja, a odgovarajuća vrijednost funkcije cilja za XB iznosi:


530

∑∑=

⋅=⋅=N

sss

bbb xcxcf

1 (4.18)

Za vrijednost f kažemo da predstavlja vrijednost vektora A manifestovanog u odgovaraju-ćoj bazi.24

Kako je { }bAB = baza vektorskog prostora Vm, to znači i da se svaki vektor iz skupa { }NAAA ,,, 21 … može izraziti kao linearna kombinacija vektora iz baze:

∑ ⋅=b

bbss AKA (4.19)

a vrijednost vektora sA koju manifestuje u datoj bazi je data sa:

∑ ⋅=b

bsbs Kcf (4.20)

Na osnovu (4.20) imamo da sf predstavlja vrijednost vektora sA izraženog preko baze B, dok je sc vrijednost vektora sA kad je on uzet kao bazični vektor. Odavde imamo da izraz:

∑ ⋅−=−b

bsbsss Kccfc

predstavlja doprinos funkciji cilja ukoliko bi vektor sA ušao u bazu sa vrijednošću 1=sx .

Iz ovih uvodnih napomena je vidljivo da je ispitivanje rubnih tačaka konveksnog poliedro-na, koji predstavlja skup mogućih rješenja, ekvivalentno pronalasku odgovarajuće baze vektorskog prostora Vm, pa u suštini simleks metoda predstavlja izbor baznih vektora iz skupa { }NAAA ,,, 21 … i prelazak sa jedne baze na drugu, sve dok sa ne dobije optimalno rješenje.

Objasnimo suštinu simplex metode na standardnom primalnom modelu LP-a.

Kao prvo, matrica [ ]isa sigurno ima m linearno nezavisnih kolona jer smo pri standardizaciji dodali izravnavajuće (ograničenjima I tipa) i vještačke varijable (ograničenjima II i III tipa) i time proširili matricu ograničenja sa jediničnom matricom ranga m.

Odavde se vidi da će polazna baza biti sastavljena od K izravnavajućih vektora

KkknA ,...,1, =+ i od L+R vještačkih vektora RLKKllknA +++=++ ,...,1,*

24 Vučković Ž., (1989), str 103.


531

To znači da polazno bazno rješenje XB ima oblik:

( )mB ddX 100= , odnosno bazne varijable imaju vrijednost jednaku vrijed-nosti ograničavajućih faktora [ ]sd .

Uopšteno, možemo uzeti da polazno bazično rješenje ima oblik

[ ]0021 mbbbB xxxX =

i neka su iz skupa { }NAAA ,,, 21 … odabrani odgovarajući bazni vektori

{ }mbvb AAAB ,,,,

1= ,

pri čemu nam indexi mibi ,...,1, = govore o kojim varijablama je konkretno riječ, odnos-no u pitanju su konkretni indeksi iz skupa { }N,,2,1 …

Ako u ovoj bazi vektor vA želimo zamijeniti sa nekim nebaznim vektorom uA , dobićemo novu bazu vektorskog prostora Vm :

{ }mbub AAAB ,,,,

1=′ ,

kojoj odgovara novo bazično moguće rješenje:

[ ]0021 mbbbB xxxX ′′′=′

Zadatak simplex metode je da odredi pravilo (proceduru) kako se transformišu elementi modela ako smo napravili prelazak iz baze B u bazu B′ . Iz izraza (4.17) vrijedi:

mmi bbvvm

ibbbib AxAxAxAxA ⋅++⋅++⋅=⋅=∑

=111

(4.21.)

Svaki vektor sA se može izraziti kao linearna kombinacija baznih vektora, pa i vektor uA , odnosno iz (4.19) slijedi:

mmii bsbvvsm

ibsbbsbs AKAKAKAKA ⋅++⋅++⋅=⋅=∑

=111

(4.22.)

mmii bubvvum

ibubbubu AKAKAKAKA ⋅++⋅++⋅=⋅=∑

=111

(4.23.)

Ako jednačinu (4.23). pomnožimo sa nekim θ ≥0 i oduzmemo od jednačine (4.21), dobi-ćemo relaciju:


532

( ) ( ) ( )( ) u

m

ibubib

ububbvvuvbubb

AAKx

AAKxAKxAKxA

ii

mmm

⋅+⋅⋅−=

=⋅+⋅−++⋅⋅−++⋅⋅−=

∑=

θθ

θθθ

1

111

(4.24)

a odavde vidimo da je

[ ]0θ011 ubbvuvubbB mm

KxKxKxX ⋅−⋅−⋅−= θθθ

moguće rješenje modela.

Zbog uslova nenegativnosti u modelu imamo da ( )iKx ubb ii∀≥⋅− 0θ , odakle slijedi da je:

mizaK

x

ub

b

i

i ,...,10 =≤<θ (4.25)

Pošto ovo novo rješenje mora biti bazično, to jedna pozitivna komponenta vektora XB' treba da uzme vrijednost 0. Izaberemo θ takvo da odgovara najmanjem od svih količnika (4.25), odnosno neka je

miK

x

ub

b

bi

i

i

,,1,min …=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=θ , (4.26)

i ako je samo jedan ovakav θ , onda će bazno rješenje imati m nenegativnih veličina i mN − vrijednosti će biti 0.25

Pretpostavimo da najmanja vrijednost θ odgovara indeksu v i tada je 0=⋅− vuv Kx θ novo bazno rješenje:

[ ]0021 mbbbB xxxX ′′′=′

i njegove komponente su oblika:

vu

vu

iubvu

vbb

Kxx

ubzaKKxxx

iii

=′

≠⋅−=′

(4.27)

a odavde je =′vx 0 .

sa novim sistemom baznih vektora: { }mbub AAAB ,,,,

1=′

25 U slučaju da imamo više istih minimalnih θ, onda bi se pojavio degenarisani problem LP-a i postoji opas-

nost da simpleks algoritam ne pronađe optimalno rješenje u konačnom broju koraka.


533

Odredimo sada komponente vektora sA u novoj bazi. Iz (4.23) izražavamo vektor vA :

m

mb

vu

ubb

vu

ubu

vuv A

K

KA

K

KA

KA ⋅−−⋅−= …

111

i uvrštavamo ga u (4.22) pa nakon sređivanja dobijamo:

uvu

vs

ubbvs

vu

ubsb

bvsvu

ubsbsbu

vu

vsbvs

vu

ubsbs

AKK

AKK

KK

AKK

KKKA

KK

AKK

KKA

ii

ii

mm

mm

⋅+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−++⋅++⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

∑≠

11

1

odnosno, koeficijenti vektora sA u novoj bazi B′ se izražavaju sljedećim relacijama:

vu

vsbu

vsvu

bubsbs

KK

K

ubzaKKK

KK

=′

≠⋅−=′

(4.28)

Element vuK se naziva bazni element i primijetimo da iz relacije (4.28). vrijedi da bazni element vuK u novoj bazi B′ ima vrijednost 1.

Pogledajmo sada kako se mijenja funkcija cilja sa promjenom baze. Koristit ćemo izraze (4.18) i (4.20), odnosno:

∑=

⋅=⋅++⋅++⋅+⋅=m

ibbbbvvbbbb iimm

xcxcxcxcxcf1

2211… (4.29)

∑=

⋅=⋅++⋅++⋅+⋅=m

isbbsbbvsvsbbsbbs iimm

KcKcKcKcKcf1

2211… (4.30)

gdje smo uzeli da je vbi = za neko i .

Iz (4.30) imamo da je:

∑=

⋅=⋅++⋅++⋅+⋅=m

iubbubbvuvubbubbu iimm

KcKcKcKcKcf1

2211… (4.31)

U novoj bazi B′ je bazni vektor vA zamijenjen sa nebaznim vektorom uA , odnosno iz

skupa baznih indeksa { }mbbb ,,, 21 … je izbačen indeks v , a uvršten je indeks u . U zapisu


534

formula oznaka ( )mibi ,,1…= se odnosi na sve polazne bazne indekse, dok se oznaka ubi ≠ odnosi na sve bazne bez dodatog indeksa u .26 Vrijednost funkcije cilja u novoj bazi

je data sa

( ) uub

ubbbb

bib cKxcxcfi

iiii

i⋅+⋅−⋅=′⋅=′ ∑∑

≠θθ , (4.32)

i u novoj bazi nema vektora vA . S obzirom da je θ izabran tako da vrijedi:

0=⋅− vuv Kx θ , odavde je i

( ) 00 =⋅⋅−⋅⇔=⋅−⋅ vuvvvvuvv KcxcKxc θθ (4.33)

Transformacijom izraza (4.32) i uvrštavanjem (4.33) dobijamo:

( )

( )uum

iubbu

m

iubbu

m

ibb

vuvvvuub

ubbub

bbuub

ubbb

fcfKccfKccxc

KcxccKcxccKxcf

iiiiii

iii

iii

iiii

−⋅+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅+=⋅⋅−⋅+⋅=

=⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅−⋅=⋅+⋅−⋅=′

∑∑∑

∑∑∑

===

≠≠≠

θθθθ

θθθθθ

111

Odnosno, veza između vrijednosti funkcije cilja u novoj i staroj bazi je data sa:

( )uu fcff −⋅+=′ θ (4.34)

Iz izraza (4.34). imamo da, zbog 0>θ , vrijednost ( )uu fc − pokazuje smjer promjene fun-kcije cilja, dok izraz ( )uu fc −⋅θ pokazuje njen intenzitet. Dakle, ako je ( ) 0>− uu fc , vrijednost funkcije cilja će biti veća u novoj bazi nego u staroj i to za ( ) 0>−⋅ uu fcθ , odnosno biće manja za ( )uu fc −⋅θ ako je ( ) 0>− uu fc .

Izraz (4.34) nam omogućava određivanje kriterija za ulazak novog vektora u bazu:

Ako je cilj max f, a postoji neki nebazni vektor sA kod kog je ( ) 0>− ss fc , onda će se vrijednost funkcije cilja povećati za ( ) 0>−⋅ ss fcθ , pa su samim tim svi sA sa ovom

osobinom korisni vektori za ulazak u bazu, gdje je miK

x

sb

b

bi

i

i

,,1,min …=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=θ .

26 Ne mora se naglasiti vbi ≠ jer je zbog (4.33) ovo svakako 0).


535

Ako je cilj min f, a postoji neki nebazni vektor sA kod kog je ( ) 0<− ss fc , onda će se vrijednost funkcije cilja smanjiti za ( ) 0>−⋅ ss fcθ , pa su samim tim svi sA sa ovom

osobinom korisni vektori za ulazak u bazu, gdje je miK

x

sb

b

bi

i

i

,,1,min …=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=θ .

Najkorisniji je onaj vektor koji će najviše popraviti funkciju cilja, odnosno od svih korisnih sA tražimo onaj sa najvećim ( )ss fc −⋅θ .

Opišimo sada algoritam simplex metode:

1) Odredimo bazu B vektorskog prostora Vm. 2) Izračunamo vrijednosti baznih varijabli, odnosno odredimo bazni vektor BX :

Iz izraza (4.17) imamo BXAxA Bb

bb ⋅=⋅= ∑ , odnosno ABX B ⋅= −1

3) Izračunamo vrijednost nebaznih vektora sA u datoj bazi B , odnosno transformaciju kolone b polazne matrice ograničenja [ ]isa u bazi B .

Iz izraza (4.19) imamo [ ] 1Χ⋅=⋅=∑ mbsb

bbss KBAKA , odnosno [ ] sbs ABK ⋅= −1

4) Izračunamo vrijednost funkcije cilja i vrijednost vektora sA u trenutnoj bazi

∑∑=

⋅=⋅=N

sss

bbb xcxcf

1∑ ⋅=b

bsbs Kcf

5) Za sve nebazne sA odredimo vrijednosti ( )ss fc − 6) Ako je cilj max f i

Postoji neko s sa osobinom ( ) 0>− ss fc za neko s (koristan vektor), odredi-

mo ,min⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=bs

bb

s Kx

θ a onda biramo da u bazu ulazi onaj koristan vektor uA

koji ima najveću vrijednost ( )sss fc −⋅θ

( ) ( )sfc ss ∀≤− 0 dobili smo optimalno rješenje i optimalna vrijednost prog-rama je BX u trenutnoj bazi. Algoritam se zaustavlja i dobijamo optimalno rješenje.

7) Ako je cilj min f i


536

Postoji neko s sa osobinom ( ) 0<− ss fc (koristan vektor), odredimo

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=bs

bb

s Kx

minθ , a onda biramo da u bazu ulazi onaj koristan vektor uA koji

ima najveću vrijednost ( )sss fc −⋅θ

( ) ( )sfc ss ∀≥− 0 dobili smo optimalno rješenje i optimalna vrijednost prog-rama je BX u trenutnoj bazi. Algoritam se zaustavlja i dobijamo optimalno rješenje.

8) Na osnovu uθ izaberemo vektor Av koji izlazi iz baze i formiramo novu bazu.

vA je onaj bazni vektor koji ima osobinu da je ,min⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=bu

bb

u Kx

θ

9) U novoj bazi računamo vrijednosti baznih varijabli kao:

vu

vu

buvu

vbb

Kx

x

ubzaKKx

xx

=′

≠⋅−=′

i komponente vektora As kao:

vu

vsbu

vsvu

bubsbs

KK

K

ubzaKKK

KK

=′

≠⋅−=′

10) Vraćamo se na korak 4.

Simplex tabela

Algoritam simplex metode se može pojednostaviti upotrebom simplex tabele. Tabela omo-gućava jednostavniji prikaz toka rješavanja modela i jednostavniji račun.

Vrijednosti pojedinih koeficijenata koje smo računali u simplex algoritmu su smješteni u tabelu i svaka iteracija, odnosno prelazak na novu bazu se prikazuje novom tabelom. Opšti oblik simplex tabele je dat u sljedećoj tabeli.


537

Tabela 1. Opšti oblik simplex tabele

← Cs →B A ← As →

↑Cb

↓

↑Ab

↓

↑Xb

↓

↑← Kbs →

↓

f ← (Cs-fs) →

← Cs →B A ← As →

↑Cb

↓

↑Ab

↓

↑Xb

↓

↑← Kbs →

↓

f ← (Cs-fs) →

pri čemu se pojedini elementi u tabeli računaju po formulama (4.17) – (4.20).

Prva simplex tabela se sastavlja na osnovu standardnog polaznog modela linearnog prog-ramiranja.

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )rlkpxxxxx

dxxa

dxxxa

dxxa

xMxMxxxCfMinMax

lnrnlnknp

rrrnn

pprp

lllnlnn

pplp

kkknn

ppkp

l rrn

llnln

kkn

n

ppp

,,,,0;0,0;0;03

2

00..1

*

,1

,*

1

,1

*

1

∀==≥≥≥

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+⋅ΙΙΙ

=+−⋅ΙΙ

=+⋅Ι

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++++

∀+=

∀++=

∀+=

∀ ∀+

∀++

∀+

=

∑

∑

∑

∑ ∑∑∑∑ ∓∓

Vektora As imamo onoliko koliko imamo polaznih, izravnavajućih i vještačkih varijabli.

Kbs su elementi proširene matrice [ ]isa , odnosno elementi koji se nalaze uz odgovarajuće varijable.

Bazne vektore Ab čine sljedeći vektori:


538

( )KkAk ,1, = (koji odgovaraju izravnavajućim varijablama), ( )LKKlA l ++= ,1,* (koji

odgovaraju vještačkim varijablama II tipa) i ( )RLKLKrA r ++++= ,1,* (koji odgova-raju vještačkim varijablama III tipa).

Komponente baznog mogućeg rješenja bx su elementi ograničenja A, odnosno u kolonu Xb

upisujemo vrijednosti: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

md

d1.

Ostale elemente u tabeli računamo iz formula (4.17) – (4.20).

Sada iz algoritma trebamo:

Odrediti korisne vektore (po kriteriju); Izabrati vektor koji ulazi u bazu i vektor koji napušta bazu; Napraviti novu simplex tabelu pomoću formula:

vu

vu

buvu

vbb

Kx

x

ubzaKKx

xx

=′

≠⋅−=′

vu

vsbu

vsvu

bubsbs

KK

K

ubzaKKK

KK

=′

≠⋅−=′

i formula (4.17) – (4.20).

Istaknimo:

Kriterij ulaska vektora u bazu: Korisne vektore određujemo na osnovu pravila

0 je ako biti tadaćejer 0)(:f max. Cilj

'''''' >>>− jjj Xfffc

0 je ako biti tadaćejer 0)(:f min. Cilj

'''''' ><>− jjj Xfffc

Za svaki “korisni” vektor As:


539

Treba izračunati m količnika mizaK

x

sb

b

i

i ,...,1=

Vrijednost θj ne smije biti veća ni od jednog navedenog količnika, a mora biti jednaka bar jednom (za b = v) od tih količnika i mora biti pozitivna. To će biti ako je ispunjen uslov:

min , 1, ,i

ii

b

bb s

xi m

Kθ

⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

… za svaki koristan vektor As

Kriterij izlaska vektora iz baze: Određivanje najkorisnijeg para vektora zamjene (Av, Au): Za sve korisne vektore za ulazak u bazu Au treba izračunati priraštaj funkcije cilja:

( ) )( sssvs fCfff −⋅=−′=Δ θ

i prednost dati onom vektoru kod kojeg je apsolutna vrijednost priraštaja najveća.

Kod max. f u bazu ulazi vektor kod kojeg je vrijednost [ ])( 'jjj fC −⋅θ maksimalno po-

zitivna.

Kod min. f u bazu ulazi vektor kod kojeg je vrijednost [ ])( 'jjj fC −⋅θ maksimalno ne-

gativna. Optimalno rješenje je dobijeno ako u simplex tabeli : vrijednosti svake od N varijabli Xs zadovoljavaju uslove nenegativnosti; vrijednost funkcije cilja je konačna i ako su:

Kod cilja max.f sve razlike 0)( ' <− ss fC ;

Kod cilja min.f sve razlike 0)( ' >− ss fC .

Primjer 4.12. Riješiti problem LP iz primjera 4.3. simplex metodom.

Rješenje: Zadatak je bio da se odredi broj jedinica dobra A i broj jedinica dobra B koje treba proizvoditi sa ciljem maksimizacije mjesečne dobiti. Spomenuti problem LP-a ima dvije nepoznate i mi smo ga rješavali grafičkom metodom. Da bi se na polazni model LP-a mogao primijeniti simplex algoritam, potrebno je prethodno napraviti standardni


540

model datog problema. Kako su i model i standardizacija ranije detaljno objašnjeni27, sada ćemo samo napisati navedene modele:

Polazni model:

( )

( )

( ) 0,300050006

.).(0003555,22.).(0002423

80140max1

21

2

1

21

21

21

≥≤Ι≤ΙΙΙ≤+ΙΙ≤+Ι

+=

xxBkomxVAkomx

srxxsmxx

xxf

Standardni model:

0,,,,,0005100010000601000100035001055,200024000123

000080140max

654321

654321

654321

654321

654321

654321

≥

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+++++=+++++=+++++=+++++

+++++=

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf

Simplex tabela omogućava prikaz svih vektora As (sastavljanih od koeficijenata uz nepoznatu Xs) i vektora ograničenja A0 (sastavljnog od vrijednosti ograničenja u sva-koj jednačini) izraženih u odabranoj bazi u m – dimenzionalnom vektorskom prostoru.

U našem slučaju mi ćemo prikazati vektore A1, A2, A3, A4, A5, A6 i vektor A0 u četve-rodimenzionalnom prostoru. Napomenimo da svaki vektor koji bude odabran za bazni u ovom prostoru mora imati jedan od sljedećih oblika:

;

1000

;

0100

;

0010

;

0001

4321

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= eeee

27 Primjer 4.3. i Primjer 4.4.


541

Polazna simplex tabela ima sljedeći oblik:

Koeficijenti u funkciji cilja uz varijable xs C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6

Koefici-jenti u funkciji cilja uz bazne varijable

Bazne varijable (Ab)

Vrijednost ograniče-nja u datoj bazi (xb)

Vrijed-nost vektora A1 u datoj bazi


... ... ...


Vrijednost funkcije cilja u

datoj bazi

(Cs – fs) – Doprinos vektora As promjeni vrijednosti funkcije cilja izražen u datoj bazi B

odnosno popunjena tabela ima sljedeći oblik:

Tabela 4.12.a. Polazna simplex tabela

140 80 0 0 0 0 C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6

0 A3 24000 3 2 1 0 0 0 0 A4 35000 2,5 5 0 1 0 0 0 A5 6000 1 0 0 0 1 0 0 A6 5000 0 1 0 0 0 1

Posljednji red u simplex tabeli se sastoji od vrijednosti funkcije cilja u datoj bazi (zapisuje se u koloni A0) i doprinosa koji svaki vektor daje promjeni funkcije cilja (zapisuje se u kolonama As i označava se sa cs – fs).

Vrijednost funkcije cilja u datoj bazi se određuje iz formule ∑ ⋅=b

bb xcf , odnosno

05000060000350000240000 =⋅+⋅+⋅+⋅=f

Doprinos vektora As promjeni funkcije cilja se određuje iz ∑ ⋅−=−b

bsbsss Kccfc

gdje je Kbs komponenta b vektora As, odnosno


542

( )( )

( )( )( )( ) 0100000000

000100000000000100000000000100

80000050208014000105,2030140

66

55

44

33

22

11

=⋅+⋅+⋅+⋅−=−=⋅+⋅+⋅+⋅−=−=⋅+⋅+⋅+⋅−=−=⋅+⋅+⋅+⋅−=−=⋅+⋅+⋅+⋅−=−=⋅+⋅+⋅+⋅−=−

fcfcfcfcfcfc

Uvrštavanjem ovih vrijednosti u tabelu (4.11a) dobićemo popunjenu prvu simplex ta-belu.

Tabela 4.12.b. Prva simplex tabela problema LP 4.11

140 80 0 0 0 0 C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6

0 A3 24000 3 2 1 0 0 0 0 A4 35000 2,5 5 0 1 0 0 0 A5 6000 1 0 0 0 1 0 0 A6 5000 0 1 0 0 0 1

0 140 80 0 0 0 0

Dalje ćemo koristiti osobinu da je kod baznih vektora vrijednost (Cs – fs) uvijek jed-naka nuli28.

Iz prve tabele vidimo da bi vrijednost funkcije cilja u trenutnoj bazi (A3, A4, A5, A6) bila 0. U posljednjem redu prve simplex tabele gledamo koliki doprinos funkciji cilja daje svaki nebazni vektor. Ukoliko je doprinos cs – fs pozitivan, kod cilja maximum, kažemo da je vektor As koristan i analogno, kod cilja minimum korisni su oni vekto-ri koji imaju negativne doprinose cs – fs.

U našem primjeru korisni vektori su A1 i A2. Podatak (c1 – f1) = 140 govori da bi „ula-skom“ vektora A1 u bazu sa vrijednošću X1 = 1, funkcija cilja se povećala za 140 KM, dok podatak (c2 – f2) = 80 govori da bi „ulaskom“ vektora A2 u bazu sa vrije-dnšću X2 = 1, funkcija cilja se povećala za 80 KM.

28 Dokaz je vrlo lagan, potrebno je samo u ∑ ⋅−=−

bbsbsss Kccfc uvrstiti da je s = b i iskoristiti činje-

nicu da je bb

bbb cKc =⋅∑ jer je Kbb =1.


543

Određivanje vektora koji će napustiti bazu i vektora koji ulazi u bazu Za formiranje naredne simplex tabele trebamo izabrati koji od korisnih vektora „uba-citi“ u bazu i koji bazni „izbaciti“. Za određivanje najboljeg para (ulazni, izlazni) vektora, kriterij je najveći „popravak“ funkcije cilja uz osiguravanje nenegativnosti baznih (svih) varijabli.

Maksimalnu vrijednost koju nebazna varijabla Xs može imati pri ulasku u bazu ozna-čićemo sa θs i računamo je kao θs = Min(Kbs/Xb) za sve b iz B.

U našem primjeru imamo:

θ1 = Min (24000/3; 35000/2.5; 6000/1; -)29 = Min (8000; 14000; 6000; -) = 6000.

Veličina 6000 odgovara trećem elementu u koloni, što znači da je treći element u tre-nutnoj bazi kandidat za izlazak.

θ2 = Min (24000/2; 35000/5; -; 5000/1) = Min (12000; 7000; -; 5000) = 5000.

Veličina 5000 odgovara četvrtom elementu u koloni, što znači da je četvrti element u trenutnoj bazi kandidat za izlazak.

Vrijednost θ1 daje informaciju da je najveća vrijednost koju vektor A1 može poprimiti pri ulasku u bazu jednaka X1 = θ1 = 6000 i da će se u tom slučaju funkcija cilja pove-ćati za:

θ1 ⋅(c1 – f1) = 6000 ⋅140 = 840 000 KM

Vrijednost θ2 daje informaciju da je najveća vrijednost koju vektor A2 može poprimiti pri ulasku u bazu jednaka X2 = θ2 = 5000 i da će se u tom slučaju funkcija cilja pove-ćati za:

θ2 ⋅(c2 – f2) = 5000 ⋅80 = 400 000 KM

Iz ovih razmatranja zaključujemo da je bolje u bazu uključiti vektor A1 i da u tom slučaju iz baze izlazi vektor A5.

Druga simplex tabela se dobije transformacijom prve tabele tako što se u bazu ubaci najkorisniji vektor, a iz baze izbaci vektor koji smo odredili preko θ.

Transformacija prve (prethodne) simplex tabele je ekvivalentna Gausovoj metodi transformacije nad redovima matrice. Cilj transformacije je obezbijediti da novi bazni vektor (vektor koji „ulazi“ u bazu) ima bazne koordinate.

U našem slučaju transformacije se moraju izvršiti sa ciljem da vektor A1 poprimi ob-lik:

29 Dijeljenje sa 0 nije moguće, a sa negativnim vrijednostima nije dozvoljeno jer se gubi nenegativnost varijabli.


544

;

0100

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′A

Tabelarna interpretacija elementarnih transformacija nad matricom u prethodnoj simplex tabeli se može iskazati na sljedeći način:

I Red koji odgovara izlaznom vektoru (bazni red) podijelimo sa elementom (bazni element) koji se nalazi na presjeku baznog reda i kolone koja odgovara ulaznom vektoru (bazna kolona) (Tabela 4.11c).

U našem slučaju, bazni element je 1 i bazni red se prepiše.

II Bazna kolona je bazni vektor, što znači da su joj svi elementi jednaki 0, osim baznog koji mora biti 1.

III Sve ostale elemente u matrici ćemo dobiti „kružnom“ transformacijom:

bvbs

usuvuv K

KK

KK ⋅−=′ , gdje je Kbs bazni element a Kus element u baznoj koloni i Kbv

element u baznom redu.

Konkretno, vrijednosti pojedinih elemenata u tabeli su:

Kolona A0:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅−=′

=⋅−=′

=⋅−=′

50006000105000

20000600015,235000

600060001324000

6

4

3

X

X

X

Tabela 4.12b'. Prva simpex tabela problema LP 4.1.1 sa označenim baznim redom, kolo-nom i elementom

140 80 0 0 0 0 C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6

0 A3 24000 3 2 1 0 0 0 0 A4 35000 2,5 5 0 1 0 0 0 A5 6000 1 0 0 0 1 0 0 A6 5000 0 1 0 0 0 1

0 140 80 0 0 0 0


545

Kolona A2:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅−=′

==′

=⋅−=′

=⋅−=′

10101

0

55,2105

23102

42

3232

22

12

K

KK

K

K

Kolona A5:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅−=′

==′

−=⋅−=′

−=⋅−=′

01100

1

5,25,2110

33110

45

3535

25

15

K

KK

K

K

Kolone (vektori) A3, A4, A1 i A6 su bazne i one imaju oblik (respektivno):

;

1000

;

0100

;

0010

;

0001

6143

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′ AAAA

Ove transformacije možemo zapisati u drugu simplex tabelu 4.2. 1. c u kojoj ostaje još da se izračuna posljedni red.

Tabela 4.12.c. Druga simplex tabela problema LP 4.11

140 80 0 0 0 0 C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6

0 A3 6000 0 2 1 0 -3 0 0 A4 20000 0 5 0 1 -2,5 0

140 A1 6000 1 0 0 0 1 0 0 A6 5000 0 1 0 0 0 1

Vrijednost funkcije cilja u datoj bazi

84000050000600014020000060000 =⋅+⋅+⋅+⋅=f

Doprinos vektora As promjeni funkcije cilja tj. :ss fc −

( )( )( )

1 1

2 2

3 3

0

80 0 2 0 5 140 0 0 1 80

0

c f bazni

c f

c f bazni

− =

− = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

− =


546

( )( ) ( )( )

( )

4 4

5 5

6 6

0

0 0 3 0 2,5 140 1 0 0 140

0

c f bazni

c f

c f bazni

− =

− = − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ + ⋅ = −

− =

Kompletirajmo drugu simplex tabelu i, na osnovu vrijednosti ss fc − , vidimo da je koristan samo jedan vektor i to A2 ( 022 >− fc ).

Određivanjem odgovarajućih vrijednosti θ, dobićemo

θ2 = Min {6000/2; 20000/5; -; 5000/1} = Min {3000; 4000; -; 5000} = 3000, pa je vektor A3, vektor koji izlazi iz baze.

Odavde vidimo da je I red bazni (određuje ga izlazni vektor A3), a II kolona bazna (određena sa ulaznim vektorom A2). Bazni element je 2 (presjek I reda i II kolone)

Tabela 4.12.c'. Druga simplex tabela problema LP 4.11

140 80 0 0 0 0 C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6

0 A3 6000 0 2 1 0 -3 0 0 A4 20000 0 5 0 1 -2,5 0

140 A1 6000 1 0 0 0 1 0 0 A6 5000 0 1 0 0 0 1

840000 0 80 0 0 -140 0

Postupak transformisanja simplex tabele nastavljamo sve dok se ne dobije tabela u kojoj nema više korisnih vektora.

U trećoj tabeli podijelimo bazni red sa 2.

Kolone koje odgovaraju bazi popunimo odgovarajućim jediničnim vektorima:

;

1000

;

0100

;

0010

;

0001

6142

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=″

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′′ AAAA

Sa preostalim elementima radimo „kružnu“ transformaciju: bvbs

usuvuv K

KK

KK ′⋅′′

−′=′′


547

Kolona A0:

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅−=′′

=⋅−=′′

=⋅−=′′

=′′

200012

60005000

600002

60006000

500052

600020000

3000

6

1

4

2

X

X

X

redbazniX

Kolona A3:

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=⋅−=′′

=⋅−=′′

−=⋅−=′′

=′

=′′

211

210

01200

251

250

21

2

43

33

23

1313

K

K

K

redbazniKK

Kolona A5:

( )

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−⋅−=′′

=−⋅−=′′

=−⋅−−=′′

−=′

=′′

233

210

13201

53255,2

23

2

45

35

25

1515

K

K

K

redbazniK

K

Odredimo i posljednji red tabele:

Vrijednost funkcije cilja u datoj bazi 000080120000600014050000300080 =⋅+⋅+⋅+⋅=f

Doprinos vektora A3 i A5 promjeni funkcije cilja:

20230114050

23800

402100140

250

21800

55

33

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅+⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−=−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⋅−=−

fc

fc

Odavde vidimo da nemamo više korisnih vektora i da smo dobili posljednju, optimal-nu simplex tabelu.

Tabela 4.12.d. Treća i završna simpleks tabela problema LP 4.11

140 80 0 0 0 0 C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6

80 A2 3000 0 1 1/2 0 -3/2 0 0 A4 5000 0 0 -5/2 1 5 0

140 A1 6000 1 0 0 0 1 0 0 A6 2000 0 0 -1/2 0 3/2 1

1080000 0 0 -40 0 -20 0


548

Optimalne vrijednosti funkcije cilja primala i duala su iste (ako optimum postoji) i iz-nose:

KMgf 0000801ˆˆ ==

Optimalne vrijednosti primalnih varijabli čitamo iz kolone A0, odnosno:

;2000ˆ;0ˆ;5000ˆ;0ˆ;3000ˆ;6000ˆ 654321 ====== xxxxxx

Optimalne vrijednosti dualnih varijabli čitamo iz posljednjeg reda u optimalnoj simplex tabeli, i odavde je:

;0ˆ;20ˆ;0ˆ;40ˆ;0ˆ;0ˆ 654321 ====== yyyyyy 30

Primjer 4.13. Preduzeće proizvodi tri proizvoda A, B, C koji se obrađuju u dva pogona. Tehničko-tehnološki uslovi proizvodnje su dati u tablici:

Sati potrebni za izradu jedinice Proizvodni po-

goni A B C Raspoloživi

fond sati P1 6 5 2 6000 P2 4 5 6 9000

Po jedinici dobra A, B i C ostvaruju se dobiti od 20, 25 i 12 KM

a) Odrediti optimalan program proizvodnje kojom se ostvaruje maksimalna dobit. b) Formirati dualni model i riješiti ga.

Rješenje: a) x1 – broj jedinica dobra A x 2 – broj jedinica dobra B x 3 – broj jedinica dobra C

Model koji odgovara ovom problemu je:

max f = 20 x 1 + 25 x 2 + 12 x 3

6 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 ≤ 6000 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 ≤ 9000

x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0 30 Znak dualne promjenljive zavisi od ograničenja za koje je vezana dualna varijabla, s tim da su sve izravna-

vajuće dualne varijable nenegativne.


549

Standardizacijom polaznog modela dobijamo sljedeću tabelu:

max f = 20 x 1 + 25 x 2 + 12 x 3 + 0x4 + 0x5

6 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 + x4 = 6000

4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 + x5 = 9000

x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0; x4 ≥ 0; x 5 ≥ 0

Zadatak ćemo riješiti pomoću simplex algoritma. Iz standardizovanog modela formi-raćemo prvu simplex tabelu:

20 25 12 0 0 C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A5 0 A4 6000 6 5 2 1 0 0 A 3 9000 4 5 6 0 1

0 20 25 12 0 0

Ponovo je cilj maximum, pa su korisni vektori A1, A2 i A3. Za svaki od njih treba od-rediti odgovarajuće θ:

θ1 = Min{6000/6; 9000/4} = 1000

θ2 = Min{6000/5; 9000/5} = 1200

θ3 = Min{6000/2; 9000/6} = 1500

Vrijednost θ1 daje informaciju da je najveća vrijednost koju vektor A1 može poprimiti pri ulasku u bazu jednaka x1 = θ1 = 1000 i da će se u tom slučaju funkcija cilja pove-ćati za:

θ1 ⋅(c1 – f1) = 1000 ⋅20 = 20 000 KM


θ2 ⋅(c2 – f2) = 1200 ⋅25 = 30 000 KM


θ3 ⋅(c3 – f3) = 1500 ⋅12 = 18 000 KM

Iz ovih razmatranja zaključujemo da je najbolje u bazu uključiti vektor A2 i da u tom slučaju iz baze izlazi vektor A4.


550

Bazni element iznosi Kbs' = 5 i bazni red je prvi red, što znači da bazni red dijelimo sa

5. Bazna kolona je druga kolona, pa su njene koordinate ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛01

.

Ranije opisanim »kružnim» transformacijama dobićemo narednu simplex tabelu:

20 25 12 0 0 C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A5 25 A2 1200 6/5 1 2/5 1/5 0 0 A5 3000 -2 0 4 -1 1

Cs – fs 30000 -10 0 2 -5 0

Iz tabele vidimo da je koristan samo jedan vektor, i to vektor A3, i odgovarajuće θ3 iz-

nosi θ3 = 7504

3000;52

1200=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Min , što znači da u bazu ulazi vektor A3, a iz baze

izlazi vektor A5 i ukupna vrijednost funkcije cilja će se povećati za ( ) 15002750333 =⋅=−⋅ fcθ .

Bazni element iznosi Kbs'' = 4 i bazni red je drugi red, što znači da bazni red dijelimo

sa 4. Bazna kolona je treća kolona, pa su njene koordinate ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

.

Ponavljamo opisane korake iteracije i dobijemo treću simplex tabelu, u kojoj nemamo pozitivnih vrijednosti ss fc − pa to znači da nemamo više korisnih vektora, odnosno dobili smo optimalnu simplex tabelu.

20 25 12 0 0 C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A5

25 A2 900 8/5 1 0 3/10 -1/10 12 A3 750 -1/2 0 1 -1/4 1/4

Cj-fj 31500 -14 0 0 -4,5 -0,5

Optimalne vrijednosti funkcija cilja duala i primala pročitamo iz tabele:

Primal:

750ˆ900ˆ0ˆ

3

2

1

===

xxx

0ˆ0ˆ

5

4==

xx

3150ˆ =f


551

Optimalno bi bilo proizvoditi 900 jedinica proizvoda B i 750 jedinica proizvoda C, i tada bi maksimalna dobit iznosila 3150 KM. Kako su izravnavajuće varijable jednake nuli, zaključujemo da su kapaciteti potpuno iskorišteni.

Dual:

0;

126225552046

90006000min

54

54

54

54

54

≥

≥+≥+≥+

+=

yy

yyyyyy

yyg

0ˆ0ˆ14ˆ

3

2

1

===

yyy

5,0ˆ5,4ˆ

5

4

==

yy

3150ˆ =g

Primjer 4.14. Preduzeće proizvodi dva tipa proizvoda A i B. Trošak za izradu jedinice proizvoda A je 24 nj, a proizvoda B je 25 nj. Da bi se izradila 1 jedinica proizvoda A potrebno je 1 sat rada mašine i 4 sata rada radnika, dok je za izradu jedinice proizvoda B potrebno 5 sati rada mašine i 1 sat rada radnika. Dnevno se maksimalno može koristiti 10 sati ra-da mašine, a minimalno 12 sati rada radnika.

Treba odrediti onu kombinaciju dnevne proizvodnje da se pri datim uslovima mini-miziraju troškovi proizvodnje.

a) Formirati model datog problema; b) Simplex metodom pronaći optimalno rješenje datog problema; c) Formirati odgovarajući dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih

promjenljivih i objasni značenje dualne promjenljive y4.

Rješenje: a) x1 – broj jedinica A

x2 – broj jedinica B

min f = 24x1 + 25x2

x1 + 5x2 ≤ 10

4x1 + x2 ≥ 12

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0


552

b) Standardizacija

min f = 24x1 + 25x2 + 0 x 3 + 0 x 4 + M x *4

x 1 + 5 x 2 + x 3 = 10

4 x 1 + x 2 - x 4 + x *4 = 12

x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0; x 4 ≥ 0; x *4 = 0

Prva simplex tabela:

24 25 0 0 M C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A*4 0 A3 10 1 5 1 0 0 M A*4 12 4 1 0 -1 1

Cs-fs 12M 24 - 4M 25 - M 0 M 0

U ovoj simplex tabeli se pojavio parametar M. Za njega smo rekli da predstavlja jako veliki pozitivan broj, pa ćemo ga i u svim algebarskim izrazima u kojima se pojavlju-je tako i tretirati. U problemu 4.13. cilj je minimum, te se za korisne vektore uzimaju negativne vrijed-nosti cs – fs, pa imamo: Korisni vektori za ulazak u bazu su A1 i A2. Odgovarajuće θ1 = Min{10/1; 12/4} = 3, odnosno θ2 = Min{10/5; 12/1} = 2. Ulaskom vektora A1 u bazu, iz baze bi izašao vektor A4

* i funkcija cilja bi se promi-jenila za θ1 ⋅(c1 – f1) = 3 ⋅(24 – 4M) = 72 – 12M. Ulaskom vektora A2 u bazu, iz baze bi izašao vektor A3 i funkcija cilja bi se promije-nila za θ2 ⋅(c2 – f2) = 2 ⋅(25 – M) = 50 – 2M Korisniji nam je onaj vektor kod koga je negativnije ( )ss fc −⋅θ , a u našem slučaju to je vektor A1, pa bi naredni korak u iteraciji simplex tabele imali kad u bazu «uđe» vektor A1, a iz baze «izađe» vektor A4

*.

Druga simplex tabela:

24 25 0 0 M C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A*4 0 A3 7 0 19/4 1 1/4 -1/4 24 A1 3 1 1/4 0 -1/4 1/4

Cs-fs 72 0 19 0 6 M-6


553

Nemamo više korisnih vektora, pa je ova tabela istovremeno i optimalna i odgovara-juće optimalne vrijednosti polaznog modela su:

0ˆ;0ˆ;7ˆ;0ˆ;3ˆ;72ˆ 4*

4321 ====== xxxxxf

Minimalni troškovi proizvodnje iznose 72 KM i ostvaruju se pri proizvodnji 3 jedini-ce dobra A, dok dobro B ne moramo proizvoditi. Provjerom uslova vidjećemo da su zadovoljene pretpostavke zadatka.

Izravnavajuća varijabla x3 = 7 nam govori da prvo ograničenje nije u potpunosti isko-rišteno.

c) Dualni model

max g = 10 y 3 + 12 y 4

y 3 + 4 y 4 ≤ 24

5 y 3 + y 4 ≤ 25

y 3 ≤ 0; y4 ≥ 0

72ˆ6ˆ;0ˆ;19ˆ;0ˆ 4321

=====

gyyyy

Na osnovu vrijednosti izravnavajuće dualne varijable 19ˆ2 =y vidimo da je potrebno troškove po jedinici proizvoda B smanjiti za najmanje 19 KM da bi proizvod B ušao u optimalan plan proizvodnje.

Na osnovu vrijednosti polazne dualne varijable 6ˆ4 =y vidimo da je drugo ograniče-nje usko grlo programa (minimalan broj radnih sati radnika dnevno) i da bi se povećanjem ovog ograničenja za 1 rs, funkcija cilja povećala za 6 KM.

Primjer 4.15. Fabrika duhana proizvodi tri vrste cigareta: light (L), superlight (SL), ultralight (UL), koje kao gotovi proizvodi prolaze kroz dva procesa: P1 – kontrola i P2 – pakiranje. Tehničko- tehnološki uslovi ova dva procesa obrade, kao i raspoloživi sedmični fond sati, dati su u tabeli:

Kutija (20 cigareta) L SL UL Raspoloživi fond sati

P1 1 1 5 1200 r.s. P2 3 1 1 900 r.s.


554

Ako je prihod po kutiji (L), (SL), (UL) redom 15 KM, 6 KM i 10 KM treba:

a) Formirati model ako je cilj maksimizirati prihod fabrike. b) Upotrebom solvera u Excelu odrediti optimalno rješenje modela. c) Za koliko će se povećati prihod ako fond sati pakiranja P2 povećamo za 1 rs?

Rješenje: a) x1 – broj kutija L

x2 – broj kutija SL

x3 – broj kutija UL

max f = 15x1 + 6x2 + 10x3

x1 + x2 + 5x3 ≤ 1200

3x1 + x2 + x3 ≤ 900

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0

b) Za rješavanje zadataka linarnog programira-nja putem Excel koristi se opcija Solver. Ukoliko Solver nije korišten ranije, potrebno ga je instalirati na sljedeći način:

Na meniju “Tools” treba izabrati “Add-Ins”

Na otvorenom prozoru Add-Ins, selektira-ti kvadratić do reda gdje piše “Solver Add-in” i kliknuti OK.

Pojaviće se poruka da Solver Add-in nije trenutno instaliran na vašem kompjuteru, i treba izabrati opciju “Yes” da ga instalira-te.

Ponovnim izborom Tools na glavnom meniju vidjećemo da se u sub-meniju nalazi opcija “Solver”.

Kada je Solver instaliran, potrebno je unijeti sve podatke o konkretnom problemu u Excel stranicu.


555

Nakon postavljenog modela (što uključuje jasno napisane zavisne varijable, fun-kciju cilja i sva ograničenja), otvorite opciju Solver.

U otvorenom prozoru treba izabrati Options, te u novom prozoru Options selekti-rati redove “Assume linear” i “Assume nonnegative”. Time je zadovoljen uslov nenegativnosti.

Nakon selektiranja, kliknite OK i automatski se vraćate na prozor Solvera.

Na mjestu gdje piše “Set Target Cell”, potrebno je oz-načiti ćeliju u kojoj će biti upisana optimalna vrijednost funkcije cilja.

Kod opcije “Equal To”, treba označiti da li je funkcija cilja minimum, maksimum ili tač-no određena vrijednost.

U polju “By Changing Cells” treba izabrati ćelije u radnom sheetu koje Excel treba mije-njati (po principu simleks tabele), da bi došao do optimalnog rješenja. U ovim će-lijama će se nalaziti optimalne vrijednosti polaznih varijabli.

Na mjestu “Subject To Constraints” se upisuju sva ograničenja na način da se no-va dodaju putem “Add”, a već unesena se eventualno mijenjaju putem “Change”. Ovdje je važno znati da se vrijednosti koeficijenata u ograničenjima moraju upisa-ti u odgovarajuće ćelije i da se vrijednosti ograničenja moraju nalaziti u konkretnim ćelijama.

Ako dodajete novo ograničenje, kada kliknete Add, otvara vam se novi prozor. Na “Cell Reference” unosite cell iz modela koji označava lijevi dio vašeg ograniče-nja. Desno od Cell Reference unosite kojeg tipa je ograničenje, s tim da “int” znači integer i podrazumijeva da rezultat ograničenja mora biti cijeli broj. Na kra-ju, “Constraint” označava desni dio vašeg ograničenja. Kada unesete sve potrebne podatke, kliknite OK i automatski se vraćate na prozor Solvera.

Kada ste unijeli sva ograničenja, kliknite “Solve” i, ukoliko su svi podaci tačno uneseni, Excel će naći optimalno rješenje problema.

Primijenićemo gore opisani niz koraka na naš konkretan problem. Na odabranoj rad-noj stranici unijet ćemo koeficijente u funkciji cilja, koeficijente u ograničenjima i ograničenja na sljedeći način:


556

Napomenimo da su naslovi dati pojedinim ćelijama da bi se lakše moglo pročitati op-timalno rješenje. Prije pristupa rješavanju zadatka potrebno je koeficijente iz modela unijeti u odabrane ćelije u excel sheetu (polja C7:E7, za funkciju cilja i C9:E10, za ograničenja).

Za optimalne vrijednosti (bazne varijable) u modelu odabrali smo ćelije C4:E4.Funkcija SUMPRODUCT, koja se nalazi u ćelijama F9, F10, mjeri iskorište-nost kapaciteta u datoj bazi, dok funkcija SUMPRODUCT, koja se nalazi u ćeliji F7, mjeri vrijednost funkcije cilja u datoj bazi (C4: E4).

Pokretanjem opcije Solver, popuniti o Opcijama: “Assume linear” i “Assume nonne-gative” i u prozoru solvera izabrati ćeliju u kojoj će biti rezultat (maksimalna vrijednost funkcije cilja). Kod nas je to ćelija F7.


557

U polju “By Changing Cells” izabrati ćelije koje Excel treba mijenjati (baza), a to su u C4:E4.U ovim ćelijama će se na kraju nalaziti optimalne vrijed-nosti polaznih primalnih varijabli.

Na mjestu “Subject To Constra-ints” trebamo odabrati ograni-čenja. Ovdje se podrazumijeva vrijednost ograničenja u datoj bazi (F9 i F10) i njihov odnos (veće ili manje) prema zadatoj granici (H9 i H10).

Dodavanje ograničenja se vrši pokretanjem opcije Add.

Nakon unosa svih potrebnih pa-rametara možemo pokrenuto postupak rješavanja (opcija Sol-ver). Pojaviće nam se prozor sa upitom o prikazivanju rješenja i odgovarajućim izborom (npr. Keep Solver Solution) dobiće-mo ispis optimalnog rješenja. U ovom prozoru se može tražiti i izvještaj o granicama u kojima se kreću optimalne vrijednosti, ispunjenje ograničenja ili o vri-jednosti dualnih varijabli (senzitivna analiza).

Izgled optimalnog rješenja je prikazan na narednoj slici i vidimo da je maksimalna vrijednost prihoda 5700 KM sedmično i da je optimalan plan proizvoditi 825 kutija superlight i 75 kutija ultralight cigareta sedmično. Po ovom planu ne bismo prizvodili light cigarete.

Sedmični kapaciteti su u potpunosti iskorišteni.


558

Slika 4.15.a. Optimalno rješenje problema 4.14

Sensitivity Report za ovaj zadatak je dat u tabeli 4.14b. i u njemu su date optimalne vrijednosti polaznih dualnih varijabli (kolona Shadow Price) i optimalne vrijednosti izravnavajućih dualnih varijabli (kolona Reduced Cost).

Kolone Allowable Increase i Allowable Decrease nam pokazuju dozvoljeno poveća-nje ili smanjenje koeficijenata u funkciji cilja (gornji dio tabele), odnosno ograničenja (donji dio tabele), a da se optimalno rješenje ne promijeni.

Tabela 4.15.b. Microsoft Excel 10.0 Sensitivity Report

Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease

$C$4 vrijednosti varijabli broj kutija L 0 -1 15 1 1E+30

$D$4 vrijednosti varijabli broj kutija SL 825 0 6 4 0,285714286

$E$4 vrijednosti varijabli broj kutija UL 75 0 10 2 4

Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease $F$9 I Iskorištenost kapaciteta 1200 1 1200 3300 300 $F$10 II Iskorištenost kapaciteta 900 5 900 300 660

559

4.6. Specifični oblici problema linearnog programiranja 4.6.1. Transportni problem Transport robe od određenog broja proizvođača do određenog broja potrošača izaziva obič-no velike troškove distribucije i prevoza. Stoga minimizacija ovih troškova predstavlja jedan od uslova efikasne organizacije i finansijskog uspjeha poslovanja velikog broja pre-duzeća. Ovaj zahtjev, s obzirom na direktni uticaj transportnih troškova na cijenu proizvoda, predstavlja interes i proizvodnih i prometnih preduzeća, kao i krajnjih potrošača.

Problemi poput ovog se veoma efikasno mogu modelirati i rješavati upotrebom modela linearnog programiranja Kao osnovni zahtjev optimizacije transporta robe najčešće se pos-tavlja problem minimizacije ukupnih troškova prevoza i na taj način funkcija cilja izraža-vala bi ukupne troškove prevoza robe, dok bi sistem ograničenja izražavao ograničeni iznos ponude homogene vrste robe različitih proizvođača (ponuđača), odnosno iznos tražnje po-jedinih odredišta (potrošača).

Ovaj specifičan problem linearnog programiranja, koji u opštom slučaju i ne mora biti for-mulisan isključivo kao problem minimizacije, naziva se transportni problem i postoje različiti algoritmi prilagođeni za rješavanje upravo ovakvih problema.

Formulacija modela transporta

Pretpostavimo da postoji konačan broj mjesta ponude (ishodišta) koja raspolažu sa određe-nom homogenom vrstom robe za čije korištenje je izražena tražnja u konačno mnogo mjesta tražnje (odredišta). Transportni problem je dio problema linearnog programiranja koji rješava problem prijevoza (transporta) istovrsnog tereta iz više ishodišta ( ( )miI i ,,2,1, …= ) u više odredišta ( ( )njO j ,,1, …= ), odnosno iz m ishodišta u n odre-dišta.

Ishodišta imaju fiksnu ponudu ai, ( )mi ,,2,1 …= , dok odredišta imaju fiksnu potražnju bj, ( )nj ,,2,1 …= .

Označimo sa cij trošak prijevoza po jedinici tereta od ishodišta Ii do odredišta Oj i ove veli-čine su nam unaprijed poznate.

Nepoznate količine transporta na relaciji i – j, odnosno od ishodišta i do odredišta j označi-mo sa xij.

Zadatak transportnog problema je minimizacija troškova prijevoza na relacijama između ishodišta i odredišta, uz uslov da se zadovolje potrebe odredišta i u potpunosti iskoriste po-nude ishodišta.


560

Matematička formulacija funkcije cilja transportnog problema izgleda ovako:

mnmnmmmm

nn

nn

xcxcxc

xcxcxcxcxcxcf

⋅++⋅+⋅+

+⋅++⋅+⋅++⋅++⋅+⋅=

…

……

2211

2222222121

1112121111min

(4.35a)

dok se ograničenja u modelu mogu zapisati:

x11 + x12 + . . . +x1n = a1 x11 + x21 + . . . +xm1 = b1 x21 + x22 + . . . +x2n = a2 x12 + x22 + . . . +xm2 = b2

. . . . . . . .

(4.35b)

. . . . . .

xm1 + xm2 + . . . +xmn = am x1n + x2n + . . . +xmn = bn

i uslovi nenegativnosti: 0≥ijx ( )mi ,,2,1 …= , ( )nj ,,2,1 …= (4.35c)

Puno jednostavnije je model transporta prikazati u kondenzovanom obliku:

( )

( )

( ) ( )

1 1

1

1

min

1,2, ,

1,2, ,

0 1,2, , ; 1,2, ,

n m

ij ijj i

n

ij ij

m

ij ji

ij

f c x

x a i m

x b j n

x i m j n

= =

=

=

= ⋅

= =

= =

≥ = =

∑∑

∑

∑

…

…

… …

(4.36)

Istaknimo da, iako je razvoj ovakvih specifičnih modela zasnovan na ideji minimizacije troškova transporta, postoji i niz drugih problema koji se mogu interpretirati kao problemi transporta, a da im nije cilj minimizacija transpotrnih troškova. Ako bi, naprimjer, vrijed-nosti cij predstavljale zaradu za jedinicu transporta iz mjesta i do mjesta j, onda bi cilj bio napraviti takav transport kojim bi se maksimizirala zarada i zadovoljila transportna ograni-čenja.

Prema tome, opšti oblik modela transporta se može zapisati u obliku:

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

561

( )

( )

( ) ( )

1 1

1

1

minmax

1,2, ,

1,2, ,

0 1,2, , ; 1,2, , .

n m

ij ijj i

n

ij ij

m

ij ji

ij

f c x

x a i m

x b j n

x i m j n

= =

=

=

= ⋅

= =

= =

≥ = =

∑∑

∑

∑

…

…

… …

(4.37)

Mi ćemo u nastavku izlaganja pretpostaviti da je cilj u modelu minimalna vrijednost tran-sportnih troškova i, ukoliko bude potrebno, izdvojiti zaključivanja koja su različita kod cilja min f i kod cilja max f . Transportni problem se može zapisati u obliku tabele sa m redova (koji predstavljaju isho-dišta) i n kolona (koji predstavljaju odredišta) i u toj tabeli se unose podaci o cijenama transporta i količini transporta.

Tabela 2. Tablični izgled transportnog problema

O1 O2 . . . On ai

I1 x11 c11

x 12 c12

. . . x 1n c1n

a1

I2 x 21 c21

x 22 c22

. . . x 2n c2n

a2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Im x m1 cm1

x m2 cm2

. . . x mn cmn

am

bj b1 b2 . . . bn

U donji desni ugao transportne tabele se upisuju podaci o cijenama transporta (troškovima transporta po jedinici tereta) na relaciji i – j, dok se u gornji lijevi ugao upisuju količine transporta.

Općeniti primjer transportnog problema moguće je prikazati i pomoću mreže koja sadrži m ishodišta, n odredišta te nm ⋅ veza između pojedinih ishodišta i odredišta.


562

Grafikon 13. Grafički prikaz transportnog problema

Kao što se vidi iz sistema jednačina (4.36), transportni problem je problem linearnog prog-ramiranja koji se sastoji od m + n jednačina i od nm ⋅ varijabli. U nastavku ćemo navesti, sa dokazima, teoreme koje daju uslove za rješavanje problema transporta.

Osnovne teoreme transportnog modela

Teorema 4.6.1.1. Transportni problem ima rješenje ako i samo ako je

1 1

m n

i ji j

a b= =

=∑ ∑ , (4.38)

odnosno, ako je ukupna ponuda jednaka ukupnoj potražnji.

Dokaz Pretpostavimo da je 0ijx ≥ ( )1,2, ,i m= … , ( )1,2, ,j n= … jedno rješenje transportnog problema i pokažimo da tada mora vrijediti uslov (4.37). Ukoliko u ograničenjima u modelu (4.36) saberemo prvih m jednačina i posljednjih n jednačina imaćemo:

1 1 1

m n m

ij ii j i

x a= = =

=∑∑ ∑ , (4.39)

odnosno,

.

.

.

.

.

.

a1 a2 . . . am

b1 b2 . . . bn

ISHODIŠTA c11, x11

ODREDIŠTA


563

1 1 1

n m n

ij jj i j

x b= = =

=∑∑ ∑ . (4.40)

Kako su lijeve strane u izrazima (4.39) i (4.40) jednake, to moraju biti jednake i desne strane, odnosno mora vrijediti:

( )1,2, ,i m= …

Ovim smo pokazali da je uslov (4.38) potreban da bi model transporta bio rješiv.

Pokažimo da je ovaj uslov i dovoljan, odnosno da, ako vrijedi (4.38), onda se može pronaći barem jedno rješenje transportnog problema (4.36).

Neka je

1 1

i j i jij m n

i ji j

a b a bx

a b= =

⋅ ⋅= =∑ ∑

, ( )1,2, ,i m= … , ( )1,2, ,j n= … (4.41)

pokazaćemo da (4.41) predstavlja moguće rješenje modela (4.36)

Jasno je, iz nenegativnosti količina koje su u ishodištima ili u odredištima, da moraju vrijediti uslovi nenegativnosti, odnosno sigurno vrijedi:

0ijx ≥ ( )1,2, ,i m= … , ( )1,2, ,j n= …

Uvrštavanjem vrijednosti (4.41) u ograničenja u modelu (4.36) imamo da vrijedi:

1 1 1 1

1 1 1

1m m m mi j jij i j i jm m m

i i i ii i i

i i i

a b bx a b a b

a a a= = = =

= = =

⋅= = ⋅ ⋅ = ⋅ =∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

odnosno,

1 1 1 1

1 1 1

1n n m ni j iij i j j in n n

j j i jj j j

j j j

a b ax a b b ab b b= = = =

= = =

⋅= = ⋅ ⋅ = ⋅ =∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

i odavde vidimo da ijx definisano kao (4.41) zadovoljava ograničenja u modelu, od-nosno vidimo da predstavlja moguće rješenje problema. Time je teorema dokazana ♦

Vidimo da je ( )1,2, ,i m= … potreban i dovoljan uslov za postojanje rješenja transportnog problema. Transportni problem kod kojeg vrijedi relacija (4.38) se naziva zatvoreni prob-lem transporta. Model transporta ima m + n jednačina, ali se postavlja pitanje koliko tih jednačina je line-arno zavisno, odnosno postavlja se pitanje koliko imamo baznih varijabli. Naredna teorema nam daje tu informaciju.


564

Teorema 4.6.1.2. Broj linearno nezavisnih jednačina sistema ograničenja zatvorenog transportnog mo-dela (4.36) je m + n – 1.

Dokaz Da bi dokazali tvrdnju teoreme, potrebno je pokazati da svako rješenje koje zadovo-ljava proizvoljnih m + n – 1 jednačina u skupu ograničenja modela transporta (4.36), zadovoljava i ono koje je preostalo.

Bez ograničenja opštosti, možemo pretpostaviti da je 0ijx ≥

( )1,2, ,i m= … , ( )1,2, ,j n= …

takav skup vrijednosti koji zadovoljava sva ograničenja u modelu (4.36), osim prvog. Trebamo pokazati da on onda mora zadovoljavati i prvo ograničenje, odnosno da vri-jedi:

1 11

n

jj

x a=

=∑ (4.42)

Iz pretpostavke o zatvorenosti modela imamo:

( )1,2, ,i m= … ,

odnosno, izražavanjem 1a :

11 2

n m

j ij i

a b a= =

= −∑ ∑ , (4.43)

Iz pretpostavke da su 0ijx ≥ ( )1,2, ,i m= … , ( )1,2, ,j n= … rješenja ostalih m + n – 1 je-dnačina u skupu ograničenja imamo da vrijedi:

( )

( )

1

1

2, ,

1,2, ,

n

ij ij

m

ij ji

x a i m

x b j n

=

=

= =

= =

∑

∑

…

… (4.44)

Uvrštavanjem (4.44) u (4.43) dobićemo:

1 11 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1

n m n m m n n m n m n m m n

j i ij ij ij ij ij ij jj i j i i j j i j i j i i j

a b a x x x x x x x= = = = = = = = = = = = = =

⎛ ⎞= − = − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ i time smo

pokazali da vrijedi (4.42), odnosno dokazali smo teoremu♦

Navedena teorema je ekvivalentna sa sljedećom teoremom:


565

Teorema 4.6.1.3. Matrica koeficijenata sistema ograničenja našeg zatvorenog transportnog problema (4.36) ima rang m + n – 1 ♦

Vidjeli smo da model transporta ima rješenja ako je zatvoren, ali šta u slučajevima da mo-del transporta nije zatvoren? Da li to znači da takvi modeli transporta nemaju rješenje?

Problemi transporta koji ne zadovoljavaju relaciju (4.38) se nazivaju otvoreni problemi transporta.

Otvoreni transportni problem

Otvoreni transportni problem je transportni problem kod kojeg suma kapaciteta ishodišta nije jednaka sumi kapaciteta odredišta.

i ji j

a b≠∑ ∑

Višak koji se javlja moguć je na strani ishodišta ili na strani odredišta, te se prema tome može reći da postoje dvije vrste otvorenog transportnog problema, a to su:

1) otvoreni transportni problem sa viškom u ponudi, 2) otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji.

Kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi, višak se javlja na strani ishodi-šta, odnosno suma kapaciteta ishodišta veća je od sume potražnje odredišta.

i ji j

a b>∑ ∑

Model ovog otvorenog transportnog problema je dat sa:

mnmnm xcxmcmxmc

nxncxcxcnxncxcxcf

⋅++⋅+⋅+

+⋅++⋅+⋅+

+⋅++⋅+⋅=

…

……

2211

2222222121

1112121111min

(4.45a)

Ograničenja za ishodišta:

(4.45b)

x11 + x12 + . . . + x1n ≤ a1

x21 + x22 + . . . + x2n ≤ a2

. . . . . . . . . .

xm1 + xm2 + . . . + xmn ≤ am


566

Ograničenja za odredišta:

Uslovi nenegativnosti:

0≥ijx ( )mi ,,2,1 …= , ( )nj ,,2,1 …= (4.45c)

Da bi bilo moguće riješiti ovaj tip otvorenog transportnog problema potrebno je otvoreni transportni problem pretvoriti u zatvoreni transportni problem. Drugim riječima, potrebno je dodati „fiktivno“ odredište (Of) čiji je kapacitet (bf) onoliki koliko je veća ponuda od potražnje.

1

n

f i ji j

b a b=

= −∑ ∑

Jedinični troškovi prijevoza su nula i dobili smo zatvoreni transportni problem. Tabelarni prikaz bi tada izgledao:

Tabela 3. Otvoreni transportni problem sa viškom u ponudi nakon zatvaranja

O1 O2 . . . On Of ai

I1 x11 c11

x 12 c12

. . . x 1n c1n

x1,f 0

a1

I2 x 21 c21

x 22 c22

. . . x 2n c2n

x2,f 0

a2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Im x m1 cm1

x m2 cm2

. . . x mn cmn

xm,f 0

am

bj b1 b2 . . . bn bf

Sada je moguće napisati „dopunjeni“ originalni oblik koji izgleda ovako:

x11 + x21 + . . . +xm1 = b1 x12 + x22 + . . . +xm2 = b2

. . . . . . . . . x1n + x2n + . . . +xmn = bn


567

mfmnmnm

f

f

xxcxmcmxmc

xnxncxcxc

xnxncxcxcf

⋅+⋅++⋅+⋅+

+⋅+⋅++⋅+⋅+

+⋅+⋅++⋅+⋅=

0211

02222222121

01112121111min

2

2

1

…

…

…

(4.46a)

Ograničenja za ishodišta: Ograničenja za odredišta:

(4.46b)

Uslovi nenegativnosti

0≥ijx ( )mi ,,2,1 …= , ( )nj ,,2,1 …= (4.46c)

Otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji je problem kod kojeg je suma ishodiš-ta manja od sume odredišta, što znači da je ponuda manja od potražnje,

∑∑ <j

ji

i ba .

Originalni oblik ove vrste transportnog problema izgleda ovako:

mnmnm xcxmcmxmc

nxncxcxcnxncxcxcf

⋅++⋅+⋅+

+⋅++⋅+⋅+

+⋅++⋅+⋅=

…

……

2211

2222222121

1112121111min

(4.47a)

Ograničenja za ishodišta:

(4.47b)

x11 + x12 + . . . +x1n + x1f = a1 x11 + x21 + . . . + xm1 = b1 x21 + x22 + . . . +x2n + x2f = a2 x12 + x22 + . . . + xm2 = b2

. . . . . .

. . . . . . xm1 + xm2 + . . . +xmn + xmf = am x1n + x2n + . . . + xmn = bn x1f +x2f + . . . + xmf = bf

x11 + x12 + . . . + x1n = a1

x21 + x22 + . . . + x2n = a2

. . . . . . . . . .

xm1 + xm2 + . . . + xmn = am


568

Ograničenja za odredišta:


0ijx ≥ ( )1,2, ,i m= … , ( )1,2, ,j n= … (4.47c)

Jednako kao i u prethodnom slučaju, kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi, i otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji potrebno je pretvoriti u zatvo-reni transportni problem, a to se postiže dodavanjem „fiktivnog“ ishodišta (If) čiji kapacitet (af) je onoliki kolika je razlika između ponude i potražnje, a jedinični troškovi prijevoza jednaki su nuli.

1

m

f j ij i

a b a=

= −∑ ∑

Tabelarni prikaz transportnog problema ovog tipa izgleda ovako: Tabela 4. Otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji nakon zatvaranja

O1 O2 . . . On ai

I1 x11 c11

x 12 c12

. . . x 1n c1n

a1

I2 x 21 c21

x 22 c22

. . . x 2n c2n

a2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Im x m1 cm1

x m2 cm2

. . . x mn cmn

am

If x f1 0

x f2 0

. . . x fn 0

af

bj b1 b2 . . . bn

Sada, kada su kapaciteti ishodišta i odredišta izjednačeni, original zatvorenog problema izgleda ovako:

x11 + x21 + . . . +xm1 ≤ b1 x12 + x22 + . . . +xm2 ≤ b2

. . . . . . . . . x1n + x2n + . . . +xmn ≤ bn


569

fnff

mnmnm

xxxxcxmcmxmc

nxncxcxcnxncxcxcf

⋅++⋅+⋅+

+⋅++⋅+⋅+

+⋅++⋅+⋅+

+⋅++⋅+⋅=

000211

2222222121

1112121111min

21

2 …

……

(4.48a)

Ograničenja za ishodišta: Ograničenja za odredišta:

(4.48b)


0ijx ≥ ( )1,2, ,i m= … , ( )1,2, ,j n= … (4.48c)

Rezimirajmo:

Problem transporta se može riješiti ako i samo ako je zatvoren.

U sistemu ograničenja modela transporta imamo m + n jednačina, ali je samo m + n – 1 nezavisnih, pa zbog toga rješenje problema transporta mora sadržavati m + n – 1 pozi-tivnih vrijednosti xij.

Bazično rješenje problema transporta ima m + n – 1 pozitivnih vrijednosti:

Ako neko od rješenja transportnog problema sadrži manje od m + n – 1 pozitivnih vri-jednosti xij tada je to rješenje degenerisano31.

Ukoliko je problem transporta otvoren, potrebno je model zatvoriti da bi se mogao rje-šavati.

Da bi odredili optimalno rješenje našeg transportnog problema, neophodno je prvo od-rediti početni program transporta (početno bazično rješenje), a zatim se korištenjem metoda optimizacije ovo rješenje mora popraviti.

31 Degenerisano rješenje potrebno je nadopuniti tako da ono postane nedegenerisano, što će biti objašnjeno u

primjerima.

x11 + x12 + . . . +x1n = a1 x11 + x21 + . . . + xm1 + x f 1 = b1 x21 + x22 + . . . +x2n = a2 x12 + x22 + . . . + xm2 + x f 2 = b2

. . . . . .

. . . . . . xm1 + xm2 + . . . +xmn = am x1n + x2n + . . . + xmn+ xfn = bn xf1 +xf2 + . . . + xfn = af


570

Polazno bazično rješenje transporta se određuje nekom od sljedećih metoda:

a) Metoda gornji lijevi ugao, b) Metoda jediničnih koeficijenata, c) Vogelov metoda.

Sve ove metode omogućavaju pronalazak m + n -1 pozitivnih vrijednosti transporta koji zadovoljavaju sistem mogućih rješenja.

Određivanje optimalnih vrijednosti transporta se realizuje iterativnim postupkum, pri čemu je svako naredno rješenje bolje od prethodnog i nakon konačnog broja koraka pronalazimo optimum. Metode za popravak ili unapređenje početnog bazičnog rješenja su:

1) Stepping stone metoda, 2) MODI – metoda.

Pojedinačne metode za određivanje početnog bazičnog rješenja, kao i metode za unapređe-nje bazičnog rješenja, objašnjene su kroz sljedeći primjer.

Primjer 4.16.

Odrediti početno bazično rješenje transportnog problema ako su u tabeli date tran-sportne cijene, te količine ponuda (bj) raznih ishodišta Ij i količine potreba (ai) raznih odredišta Oi.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 Ponude ai I1 3 8 13 6 7 19 30 I2 12 11 8 7 18 10 40 I3 13 9 11 23 6 5 10 I4 7 17 10 6 4 11 70

Potrebe bj 50 20 15 30 5 30 150

Rješenje: Iz tabele vidimo da imamo šest odredišta i četiri ishodišta, te da su ukupne tražnje is-hodišta iste kao i ukupne ponude odredišta (150)32.

Broj c11 = 3, koji se nalazi u prvom redu i prvoj koloni, govori kolika je cijena tran-sporta jedinice predmetnog dobra od ishodišta I1 do odredišta O1, analogno broj c31 = 13, koji se nalazi u trećem redu i prvoj koloni, govori nam kolika je cijena transporta jedinice predmetnog dobra od ishodišta I3 do odredišta O1. Broj 40 iz kolone «Ponu-

32 Zatvoren model


571

de», govori kolika je ukupna količina koju ishodište I2 može isporučiti, a broj 15 iz reda «Potrebe» govori kolika je količina predmetnog dobra koja treba odredištu O3.

Prilikom obavljanja transporta sa konkretnog ishodišta i do konkretnog odredišta j mi ćemo u tabeli popuniti konkretno polje (i-j) i popunjenu vrijednost zvati transport xij. Radi lakšeg označavanja mi ćemo i polje na koje stavljamo transport označavati sa xij.

Metode za određivanje polaznog bazičnog rješenja u transportnom problemu su: me-tod gornji lijevi ugao, metod jediničnih koeficijenata i Vogelov metod. Svaki od ovih metoda ima zadatak da «popuni» određenom količinom transporta najviše (m + n – 1) polja u tabeli33.

a) Metoda gornji lijevi ugao

Ovaj metod se sastoji u tome da se ponude i potrebe zadovoljavaju polazeći od polja x11, odnosno od «gornjeg lijevog ugla», pa sve dok se ne iscrpe sva ishodišta i zado-volje sva odredišta. Napominjemo da se zbog jednakosti suma svih potreba i svih ponuda (150) ovo može uraditi.

Ako krenemo od polja x11, vidimo da ishodište I1 nudi 30 jedinica predmetnog dobra, dok odredište O1 traži 50 jedinica tog dobra. Na polje x11 upisujemo manji broj, dakle 30.

Kao rezultat ove odluke, ishodište I1 će biti potpuno iscrpljeno. Na osnovu ove činje-nice, ni jedan drugi transport u prvom redu tabele više nije moguć.

Prilikom rješevanja zadatka to možemo zapisati sjenčenjem polja na kojima transport više nije moguć:

Tabela 4.16.a. Ispražnjeno ishodište I1 a u odredištu O1 imamo nezadovolje-nu tražnju od 20 jedinica predmetnog dobra.

O1 O2 O3 O4 O5 O6 Ponude

ai I1

30 3

8 13 6 7 19 30

I2 12 11 8 7 18 10 40 I3 13 9 11 23 6 5 10 I4 7 17 10 6 4 11 70

Potrebe bj 50 20 15 30 5 30 150

Sljedeće polje koje treba popuniti je polje x21. Vidimo da odredište O1 nije zadovoljilo svoju potražnju i da mu nedostaje 20 jedinica predmetnog dobra. S druge strane, isho-

33 (m + n – 1) je maksimalan broj nenultih vrijednosti transporta xij od ishodišta i do odredišta j. Ukoliko je

broj nenultih varijabli xij manji od (m + n – 1), onda je u pitanju degenerisano rješenje. (m je broj ishodišta a n je broj odredišta).


572

dište I2 nudi 40 jedinica predmetnog dobra. Transport koji se može obaviti na ovom po-lju je manja vrijednost, dakle x21 = 20 i u ovom slučaju odredište O1 je zadovoljeno.

Tabela 4.16.b. Ispražnjeno ishodište I1 i zadovoljeno odredište O1. U ishodi-štu I2 je preostalo 20 jedinica predmetnog dobra.


ai I1

30 3

8 13 6 7 19 30

I2 20

12 11 8 7 18 10 40 I3 13 9 11 23 6 5 10 I4 7 17 10 6 4 11 70

Potrebe bj 50 20 15 30 5 30 150

Sljedeće prazno polje (gornji lijevi ugao) je polje x22. Vidimo da odredište O2 traži 20 jedinica, a u ishodištu I2 je preostalo 20 jedinica predmetnog dobra. Transport koji se može obaviti na ovom polju je x22 = 20 i u ovom slučaju i odredište O2 i ishodište I2 je zadovoljeno (tabela 4.16.c.).

Ukoliko se u određivanju polaznog bazičnog rješenja u transportu u isto vrijeme za-dovolje i ponuda konkretnog ishodišta i potražnja konkretnog odredišta, a nije kompletiran cjelokupan transport (kao što je slučaj u tabeli 4.16a), onda se pojavljuje degenerisano polazno bazično rješenje.

Postupak opisan ranije nastavljamo dok se ne iscrpe sva ishodišta i ne zadovolje sva odredišta. Polazno bazično rješenje dobijeno metodom «gornji lijevi ugao» je prika-zano u tabeli 4.15d, a odgovarajuće vrijednosti transporta su:

x11 = 30; x21 = 20; x22 = 20; x33 = 10; x43 = 5; x44 = 30; x45 = 5; x46 = 30

Tabela 4.16.c. Zadovoljena odredišta O1 i O2 ,a ispražnjena ishodišta I1 i I2.


ai I1

30 3 8 13 6 7

19 30

I2 20

12 20

11 8 7 18 10 40 I3 13 9 11 23 6 5 10 I4 7 17 10 6 4 11 70

Potrebe bj 50 20 15 30 5 30 150


573

Tabela 4.16.d. Zadovoljena sva odredišta, a ispražnjena sva ishodišta.


ai I1

30 3 8 13 6 7

19 30

I2 20

12 20

11 8 7 18 10 40 I3 13 9

10 11 23 6 5 10

I4 7 175

1030

65

430

11 70 Potrebe

bj 50 20 15 30 5 30 150

Ako pogledamo broj «punih» polja u tabeli 4.16.d., vidimo da smo napravili ukupno 8 transporta, a broj polja koja bi trebala biti popunjena je m + n -1 = 6 + 4 – 1.

Odgovarajuća vrijednost funkcije cilja je:

f =30·3 + 20·12 + 20·11 + 10·11 + 5·10 + 30·6 + 5·4 + 30·11 = 1240

b) Metoda jediničnih koeficijenata Nedostatak metode «gornji lijevi ugao» je što nam daje isto polazno rješenje bez ob-zira da li je cilj transportnog problema minimum ili maksimum. Bolje polazno rješenje se postiže metodom «jediničnih koeficijenata», pri čemu pod terminom «bo-lje» podrazumijevamo manju ili (veću) vrijednost funkcije cilja. U našem zadatku se u tabeli nalaze cijene transporta svih kombinacija ishodišta do svih kombinacija odre-dišta, pa samim tim nama je cilj ostvariti što manje transportne troškove.

Metod jediničnih keficijenata se sastoji u tome da se u cijeloj tabeli pronađe polje sa najmanjom cijenom cij (odnosno, polje sa najvećom cijenom cij ako je cilj max f) i na to polje postavimo najveći mogući transport. Postupak se ponavlja dok se ne popune sva odredišta i ne iscrpe sva ishodišta.

Ako pogledamo polaznu tabelu 4.16.a. vidimo da je najmanji element u njoj c11 = 3 i na ovo polje trebamo napraviti najveći mogući transport. Ponuda ishodišta I1 je 30, a potražnja odredišta O1 je 50 jedinica predmetnog dobra. Najveći transport koji mo-žemo napraviti je x11 = 30. Ovom odlukom smo iscrpili ishodište I1, pa se red 1 više ne uzima u razmatranje (tabela 4.16.a.).

U nastavku potražimo najmanju transportnu cijenu u preostalim kolonama i redovima tabele. Najmanji element je c45 = 4 i na ovo polje trebamo napraviti najveći mogući transport. Ponuda ishodišta I4 je 70, a potražnja odredišta O5 je 5 jedinica predmetnog dobra. Najveći transport koji možemo napraviti je X45 = 5. Ovom odlukom smo iscrpi-li odredište O5, pa se kolona 5 više ne uzima u razmatranje (tabela 4.16.e.).


574

Tabela 4.16.e. Ispražnjeno ishodište I1 i odredište O5


ai I1

30 3

8 13 6 7 19 30

I2 12 11 8 7 18 10 40 I3 13 9 11 23 6 5 10 I4 7 17 10 6

5 4 11 70

Potrebe bj 50 20 15 30 5 30 150

Po prethodno opisanoj proceduri, naredni element je x36 = 10 (jer je c36 = 5), zatim x44 = 30 (jer je c44 = 6), zatim x41 = 20 (jer je c41 = 7), zatim x23 = 15 (jer je c23 = 8), zatim x26 = 20 (jer je c26 = 10), zatim x22 = 5 (jer je c22 = 11) i na kraju je x42 = 15.

Polazno bazično rješenje dobijeno metodom «jediničnih koeficijenata» je dato u tabe-li 4.16.f.

Tabela 4.16.f. Polazno bazično rješenje dobijeno metodom jediničnih koeficijenata


ai I1

30 3

8 13 6 7 19 30

I2 12 5

1115

8 7 1820

10 40 I3 13 9 11 23 6

10 5 10

I4 20

7 15

17 1030

65

4 11 70 Potrebe

bj 50 20 15 30 5 30 150

Ako pogledamo broj «punih» polja u tabeli 4.16.f. vidimo da smo napravili ukupno 9 transporta, a broj polja koja bi trebala biti popunjena je 9 (m + n-1), dakle ovo polaz-no rješenje nije degenerisano. Odgovarajuća vrijednost funkcije cilja je: f = 30·3 + 20·7 + 5·11 + 15·17 + 15·8 + 30·6 + 5·4 + 20·10 + 10·5 = 1110. Vidimo da je početno rješenje koje se dobije metodom jediničnih koeficijenata bolje od rješenja koje se dobije metodom gornji lijevi ugao (ima manju vrijednost funkcije cilja).


575

c) Vogelova metoda Procedura za određivanje bazičnog rješenja pomoću Vogelove metode počinje odre-đivanjem razlika između dva najmanja (u problemu minimuma), ili dva najveća (u problemu maksimuma) koeficijenta cij u svakom redu i koloni transportne tabele. Za-tim odaberemo kolonu ili red sa najvećom razlikom i u njemu polje sa najmanjim (problem minimuma) ili najvećim (problem maksimuma) koeficijentom cij. Neka je to polje (r, s). U odabrano polje upisujemo broj jednak { }sr ba ,min .

Ako je sr ba < , tada je varijabla xrs = ar, a ako je sr ba > ,onda je xrs = bs.

Ako uzmemo da vrijedi prvi odnos, tada je poslije upisivanja vrijednosti varijable xrs = ar u polje (r, s) ishodište Ir iscrpljeno. Skraćujemo tablicu za r red. Na reduciranoj tablici ponavljamo postupak. To činimo sve dok ne dobijemo početno bazično moguće rješenje. Kako je kod nas cilj minimum, to smo u dodatnoj koloni i dodatnom redu izračunali razlike dva najmanja koeficijenta po redovima i kolonama respektivno. Od izračuna-tih razlika, najveća iznosi 5 i odgovara šestoj kolini. U odabranoj koloni odredimo najmanji koeficijent i u njega upišemo najveći mogući transport. Odabrano je polje (3, 6) i najveći mogući transport iznosi 10 (x36 = 10). Nakon ovog transporta vidimo da je ishodište I3 iscrpljeno pa možemo reducirati tabelu tako da treći red više ne po-smatramo.

Tabela 4.16.g. Vogelovom metodom popunjen dio tabele

Min O1 O2 O3 O4 O5 O6 Ponude ai Razlike dva najmanja cij

I1 3 8 13 6 7 1930 3

I2 12 11 8 7 18 1040 1

I3 13 9 11 23 610

510 1

I4 7 17 10 6 4 1170 2

Potrebe bj 50 20 15 30 5 30 150 Razlike dva najmanja cij 4 1 2 0 2 5

U reduciranoj tabeli ponovo određujemo razlike dva najmanja elementa, a kako smo izbacili red, to se promijenila razlika samo po kolonama. Nove razlike upišemo u do-datni red i ponovo tražimo najveću razliku.


576

Nakon ponovnog izračunavanja vidimo da najveća razlika iznosi 4 i da ona odgovara prvoj koloni. U odabranoj koloni je namanji keoficijent c11 = 3, što znači da trebamo napraviti transport na polje (1, 1). Vidimo da ishodište I1 nudi 30 kj, dok odredište O1 traži 50 kj predmetnog dobra, pa najveći transport koji se može napraviti iznosi 30 (x11 = 30). Ovim smo ispraznili ishodište I1 i tabelu reduciramo za prvi red (tabela 4.16.h.).

Tabela 4.16.h. Vogelovom metodom popunjen dio tabele

Min O1 O2 O3 O4 O5 O6 Ponude

ai Razlike dva najmanja cij

I1 30

3

8 13 6 7 19 30 3

I2 12 11 8 7 18 10 40 1

I3 13 9 11 23 610

5 10 1

I4 7 17 10 6 4 11 70 2

Potrebe bj 50 20 15 30 5 30 150

Razlike dva najmanja cij 4, 4 1, 3 2, 2 0, 0 2, 3 5, 1

U daljnjem izračunavanju imali bi najveću razliku (=14) u koloni 5 i u toj koloni bi odabrali polje (4, 5) pa izvršili transport x45 = 5. Time bismo iz tabele izbacili petu kolonu i promjene razlika računali po redovima (4.16.i.)

Tabela 4.16.i. Vogelovom metodom popunjen dio tabele

Min O1 O2 O3 O4 O5 O6

Ponude ai

Razlike dva najmanja cij

I1 30

3

8 13 6 7 19 30 3

I2 12 11 8 7 18 10 40 1

I3 13 9 11 23 610

5 10 1

I4 7 17 10 65

4 11 70 2

Potrebe bi 50 20 15 30 5 30 150

Razlike dva najmanja cij 4, 4, 5, 1, 3, 6, 2, 2, 4, 0, 0, 1, 2, 3,

14, 5, 1, 1

Postupak bi nastavljali dok ne iscrpimo sva ishodišta i ne zadovoljimo sva odredišta. Kratak redoslijed određivanja ostalih transporta je sljedeći:


577

x22 = 20 (Najveća razlika je 6 i odabrana je kolona 2 i u njoj polje (2, 2). Iscrpljeno je odredište O2.)

x41 = 20 (Najveća razlika je 5 i odabrana je kolona 1 i u njoj polje (4, 1). Iscrpljeno je odredište O1.)

x44 = 30 (Najveća razlika je 4 i odabran je red 4 i u njemu polje (4, 4). Iscrpljeno je odredište O4.)

x23 = 15 (Najveća razlika je 2 u drugom redu i u drugoj koloni. Treba izabrati ono polje u kojem imamo manji cij. Odabrano je polje (2, 3) i iscrpljeno je od-redište O3.)

x26 = 5; x46 = 15 (Preostala polja popunimo da ispraznimo ishodišta i zadovoljimo od-redišta).

Tabela 4.16.k. Vogelovom metodom popunjena tabela

Min O1 O2 O3 O4 O5 O6 Ponude

ai Razlike dva najmanja cij

I1 30

3

8 13 6 7 19 30 3*

I2 12 20

11 15

8 7 185

10 40 1, 1, 1, 2,

I3 13 9 11 23 610

5 10 1*

I4 20

7 17 1030

65

415

11 70 2, 1, 4, 1

Potrebe bi 50 20 15 30 5 30 150

Razlike dva najmanja cij

4, 4, 5, 5*,

1, 3, 6*,

2, 2, 4, 2,

0, 0, 1, 1,

2, 3, 14*

5, 1, 1, 1

Popunjeno je devet polja sa odgovarajućim transportom (polazno rješenje nije dege-nerisano), pa polazno bazično rješenje dobijeno Vogelovom metodom ima vrijednost funkcije cilja.

f = 30·3 + 20·7 + 20·11 + 15·8 + 30·6 + 5·4 + 5·10 + 10·5 + 15·11 = 1035 $

a odgovarajući transporti su:

x11 = 30; x22 = 20; x23 = 15; x41 = 20; x44 = 30; x45 = 5; x26 = 5; x36 = 10; x46 = 15.

Od spomenute tri metode, Vogelova daje početno moguće rješenje koje ima najmanju vrijednost funkcije cilja. Kako se traži minimalna vrijednost funkcije cilja, to znači da je ona dala najbolje početno rješenje.


578

Primjer 4.17. Izvršiti optimizaciju rješenja određenog pomoću metode jediničnih koeficijenata koristeći:

a) Stepping Stone – metodu,

b) Modi metodu.

Rješenje: Stepping Stone je iterativna metoda koja omogućava da dobijemo optimalno rješenje ite-racijama putem niza mogućih bazičnih rješenja (mora biti popunjeno (m + n -1) polja).

Bazirana je na testiranju «praznih» polja i utvrđivanju onih polja koja bi nam omogu-ćila popravak vrijednosti funkcije cilja. Ako je cilj max, onda nas interesuje povećanje, a ako je cilj min, interesuje nas smanjenje vrijednosti funkcije cilja. Od svih korisnih prijedloga realizira se samo onaj koji ima najbolji efekt, najveće pove-ćanje (smanjenje) vrijednosti funkcije cilja.

Testiranje praznih polja se sastoji u određivanju efekata dodjeljivanja pozitivne vri-jednosti nekom polju za koje je xij = 0. Promjena jednog transporta zahtijeva preraspodjelu ranijih transporta da bi se očuvala ravnoteža potreba odredišta i ponude ishodišta. Ove preraspodjele se vrše po zatvorenom poligonalnom putu koji povezuje testirano i «puna» polja u polaznoj tabeli. Ako se napravi jedinična preraspodjela transporta, onda se promjena vrijednosti funkcije cilja mjeri sa koeficijentom dij.34

Postupak određivanja vrijednosti d12 za prazno polje u tabeli 4.16.f. je sljedeći:

5371781141421212 −=−+−=−+−= ccccd

Element d12 označava promjenu vrijedosti funkcije cilja ako bismo jednu kj predmet-nog dobra transportovali na polje (1, 1). Opisani poligon ustvari pokazuje da transport veličine θ na polje (2, 2) zahtijeva oduzimanje te vrijednosti sa polja (4, 2) jer je od-redište O2 zadovoljeno (20 jedinica je već raspoređeno odredištu O2), ali time se remeti ponuda ishodišta I4, pa se ranije oduzeta vrijednost θ mora dodati polju (4, 1), a dodavanje ove vrijednosti ovom polju remeti O1, pa se dodata vrijednost θ mora oduzeti polju (1, 1). Ovim je ravnoteža uspostavljena (ovo prebacivanje vrijednosti je i opravdanje zašto se ovaj metod zove «skakanje s kamena na kamen»). Ako je θ = 1, promjena vrijednosti je izračunata i iznosi 512 −=d .

34 Vrijednost dij je analogna vrijednosti cs – fs u linearnom programiranju.


579



ai

I1 30-θ

3 +θ

8 13 6 7 19 30

I2 12 5

1115

8 7 1820

10 40 I3 13 9 11 23 6

10 5 10

I4 20+θ

7 15-θ

17 1030

65

4 11 70 Potrebe

bj 50 20 15 30 5 30 150

Odredimo i ostale diferencije dij.

337171181311414222231313 =−+−+−=−+−+−= ccccccd 437661141441414 =−+−=−+−= ccccd 737471141451515 =−+−=−+−= ccccd

7371711101911414222261616 =−+−+−=−+−+−= ccccccd 1171711124142222121 =−+−=−+−= ccccd

71117672242442424 =−+−=−+−= ccccd 17510111771336262242413131 =−+−+−=−+−+−= ccccccd

35101193626223232 =−+−=−+−= ccccd 85108113626233333 =−+−=−+−= ccccd

28510111762336262242443434 =−+−+−=−+−+−= ccccccd 1351011174636262242453535 =−+−+−=−+−+−= ccccccd

481117102322444343 −=−+−=−+−= ccccd 5101117112622424646 −=−+−=−+−= ccccd

Kako je cilj minimum funkcije transporta, to su nam korisna polja ona koja imaju ne-gativan doprinos, odnosno polja (1, 2); (4, 3) i (4, 6).

Za svako od ovih polja moramo izračunati maksimalan moguć transport i vidjeti koli-ko bi ustvari ovo polje smanjilo vrijednost funkcije cilja. To znači da trebamo odrediti najmanje θ koje se nalazi na polju od kojeg oduzimamo cij.

Naprimjer, θ12 = 15 jer na poljima sa kojih oduzimamo najmanji je broj 15. Kod polja (4, 3) imamo da je θ43 = 15 jer na poljima sa kojih oduzimamo najmanji je broj 15 i θ46 = 15 jer na poljima sa kojih oduzimamo najmanji je broj 15.


580



ai

I1 30-θ

3 +θ

8 13 6 7 19 30

I2 12 5+θ

1115-θ

8 7 1820-θ

10 40

I3 13 9 11 23 610

5 10

I4 20+θ

7 15-θ

17+θ

1030

65

4+θ

11 70 Potrebe

bj 50 20 15 30 5 30 150

Kod odabranih korisnih polja vidimo da je doprinos polja (2, 1) isti kao i polja (4, 6) i iznosi 7515546462121 −=⋅−=⋅=⋅ dd θθ i predstavlja najveći doprinos popravci funkcije cilja pa se u ova polja treba napraviti transport.

Kod polja (4, 3) taj doprinos bi bio 601544343 −=⋅−=⋅ dθ

Izaberimo proizvoljno jedno od odabranih polja, npr. polje (2, 1), i prebacimo tran-sport veličine θ12 = 15, tada će poboljšano rješenje transporta izgledati:

Tabela 4.17.a. Poboljšano rješenje problema dobijeno stepping stone metodom


ai

I1 15

3 15

8 13 6 7 19 30 I2 12

5 11

15 8 7 18

20 10 40

I3 13 9 11 23 610

5 10 I4

35 7 17 10

30 6

5 4 11 70

Potrebe bj 50 20 15 30 5 30 150

Sa ovim poboljšanjem vrijednost funkcije cilja će biti za 75 nj manja od polazne vri-jednosti f = 1100 ⇒ 1035751100 =−=f .

Da bismo provjerili da li je ovo optimalno, trebalo bi ponovo testirati sva prazna polja i provjeriti da li ima korisnih.


581

Kako je ovaj postupak dosta dugačak, razvijena je modificirana stepping stone meto-da koja nam omogućava da se na lakši način odrede vrijednosti ( )jidij ∀∀ ,;

b) Modi – metod Kod modi metode se uvode dualne varijable za svako ishodište i za svako odradište (tj. za svako ograničenje). Varijable koje odgovaraju kolonama označićemo sa kj, a varijable koje odgovaraju redovima označićemo sa ri.

Veza koja postoji između dualnih varijabli i koeficijenata u transportnoj tabeli je data sa:

( ) ( )njmicdkr ijijji ,1,1 =∀=∀=++ (4.49)

Kod baznih polja (punih polja) znamo da je distanca 0=ijd , pa imamo da kod baz-nih polja vrijedi

( )Bjickr ijji ∈∀=+ , (4.50)

Iz formule (4.50) vidimo da se može formirati sistem od m + n – 1 jednačina sa m + n nepoznatih. Izabiramo jednu dualnu varijablu proizvoljno i odredimo vrijednosti ostalih:

461775108113

54

44

24

14

63

62

32

22

11

=+=+=+=+

=+

=+=+=+=+

krkrkrkrkrkrkrkrkr

za proizvoljno npr. r4 = 0 ⇒

1151651610610

1486861117

43746177

3363

6662

3332

2222

1111

5

4

2

1

−=⇒=+⇒=+=⇒=+−⇒=+

=⇒=+−⇒=+−=⇒=+=+

−=⇒=+=+

====

rrkrkkkr

kkkrrrkr

rrkrkkkk


582

Tabela 4.17.b. Primjena modi metode

k1 = 7 k2 =17 k3 =14 k4 =6 k5 =4 k6 =16


ai r1 = -4 I1

30 3

8 13 6 7

19 30

r2 = -6 I2 12 5

1115

8 7 1820

10 40 r3 = -11 I3 13 9 11 23 6

10 5 10

r4 = 0 I4 20

7 15

17 1030

65

4 11 70 Potrebe

bj 50 20 15 30 5 30 150

Korištenjem formule (4.49) dobićemo vrijednosti diferencija za sva nebazna polja:

( ) ( ) ( )njmikrcd jiijij ,1,1 =∀=∀+−= (4.51)

Primjenom 4.37 izračunaćemo vrijednost diferencija za sva prazna polja u tabeli 4.15 f.

( )( )( )( )( ) 716419

74474646

31441351748

16

15

14

13

12

=+−−==+−−==+−−==+−−=−=+−−=

ddddd

( )( )( )( )( ) 317119

1771113164618

7667117612

32

31

25

24

21

=+−−==+−−==+−−==+−−==+−−=

ddddd

( )( )( )( )( ) 516011

414010134116

28611238141111

46

43

35

34

33

−=+−=−=+−==+−−==+−−==+−−=

ddddd

Kako je nama cilj minimum funkcije transporta, to su nam korisna polja ona koja imaju negativan doprinos, odnosno polja (1, 2); (4, 3) i (4, 6).

Vidimo da se vrijednosti diferencija poklapaju sa vrijednostima koje smo dobili step-ping stone metodom. Postupak optimizacije rješenja je u nastavku isti kao i kod stepping stone metode - modi metoda se koristi samo kao modificirana stepping stone metoda jer omogućava brži izračun diferencija.

Rezimirajmo: Korisna polja za transport sa ciljem min f su ona kod kojih je vrijednost diferencije dij

negativna.

Korisna polja za transport sa ciljem max f su ona kod kojih je vrijednost diferencije dij pozitivna.


583

Kriterij za izlazak veličine xit iz baze (pražnjenje polja i-t) je određivanje θ sa osobi-nama da je −

−= itxminθ , pri čemu oznaka «-« govori da koristimo sva polja sastavljena

od popunjenih mjesta u prethodnom rješenju, a koja trebamo umanjiti prilikom novog transporta.

Kriterij za ulazak veličine xuv u bazu (popunjavanje polja u –v) je izbor polja sa najve-ćim proizvodom ijd⋅θ pri čemu je ji − korisno polje.

Optimalno rješenje smo dobili ako nema više korisnih polja, odnosno ako:

kod min f vrijedi ( )( )jidij ∀∀≥ 0

kod max f vrijedi ( )( )jidij ∀∀≤ 0

Primjer 4.18. Tri rudnika (R1, R2, R3) snabdijevaju ugljenom 4 grada (G1, G2, G3, G4). Rudnik R1 može da isporuči 45000 t, rudnik R2 15000 t i rudnik R3 40000 t uglja.

Potrebe gradova G1, G2, G3, G4 su: 10 000 t, 30 000 t, 25 000 t i 35 000 t uglja respek-tivno. Troškovi transporta po toni uglja dati su u tabeli (u KM):

G1 G2 G3 G4

R1 5 7 4 5

R2 8 4 7 9

R3 3 6 5 8 a) Naći program snabdijevanja da troškovi prevoza ukupne količine uglja budu najniži, b) Izračunati iznos tih troškova.

Početno rješenje odrediti metodom jediničnih koeficijenata, a optimum stepping stone metodom.

Rješenje: Potrebe gradova zbirno iznose: 10 000 + 30 000 + 25 000 + 35 000 = 100 000 t uglja. Ponude rudnika zbirno iznose: 45 000 + 15 000 + 40 000 = 100 000 t uglja, pa je u pi-tanju zatvoreni problem transpotra. Cilj je minimalan trošak, pa se metod jediničnih koeficijenata sastoji u pronalasku po-lja sa najmanjim koeficijentom cij u tabeli i smještanja najvećeg transporta u to polje.


584

Redoslijed unosa transpotra u tabelu je sljedeći: X31 = 10, zadovoljeno odredište G1; X13 = 25, zadovoljeno odredište G3; X22 = 15, is-crpljeno ishodište R2; X14 = 20, iscrpljeno ishodište R1; Preostala polja su X32 = 15 i X34 = 15. Odgovarajuća tabela sa polaznim rješenjem je tabela 4.18.a. Vrijednost funkcije cilja iznosi:

500815615310415520425 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=f

Tabela 4.18.a. Polazno bazično rješenje određeno metodom jediničnih koeficijenata

G1 G2 G3 G4

R1 5 7

25 4

20 5

45

R2 8

15 4 7 9

15

R3 10 3

15 6 5

15 8

40 10 30 25 35 100

Testirajmo prazna polja i odredimo da li je ovo rješenje optimalno:

736484685753855

21

12

11

=−+−==−+−==−+−=

ddd

28545

346892458647

33

24

23

−=−+−==−+−=

=−+−+−=

ddd

Dobili smo da polje (3, 3) ima negativnu diferenciju, odnosno da uključivanjem ovog polja u bazu možemo unaprijediti (smanjiti) funkciju cilja.

Odredimo maksimalan mogući transport koji možemo prebaciti na polje (3, 3), odno-sno odredimo θ.

U tabeli 4.18.b. je pokazano da maksimalna vrijednost koju θ može uzeti iznosi θ = 15 (zbog polja (3,4)), a to znači da će se premještanjem transporta na polje (3, 3) vrijednost funkcije cilja smanjiti za 2⋅15 = 30 KM. Nova transportna tabela je data u 4.18.c.


585

Tabela 4.18.b. Određivanje korisnog polja i θ u polaznom bazičnom rješenju

Tabela 4.18.c. Nova transportna tabela sa transportnim troškovima f = 470 KM

G1 G2 G3 G4 G1 G2 G3 G4

R1 5 7

25-θ 4

20+θ 5

45 R1 5 7

10 4

35 5

45

R2 8

15 4 7 9

15 R2 8

15 4 7 9

15

R3 10 3

15 6

+θ 5

15-θ 8

40 R3 10 3

15 6

15 5 8

40 10 30 25 35 100 10 30 25 35 100

Ponovo testirajmo prazna polja i vidjećemo da su svi dij pozitivni, odnosno da nema-mo više korisnih polja. Prema tome, ponuđeno rješenje u tabeli 4.18.c. je optimalno:

736482654733545

21

12

11

=−+−==−+−==−+−=

ddd

25458

554564944657

34

24

23

=−+−==−+−+−=

=−+−=

ddd

Najmanji troškovi transporta kojim bi se transpotrovalo 100 000 t uglja iz tri rudnika u četiri grada iznose 470 KM, a optimalan plan transporta uglja bi bio:

Iz rudnika R1 u grad G3 transportovati 10 000 tona uglja (x13 = 10) i 35 000 tona uglja u grad G4 (x14 = 35).

Iz rudnika R2 u grad G2 transportovati 15 000 tona uglja (x22 = 15).

Iz rudnika R3 u grad G1 transportovati 10 000 tona uglja (x31 = 10); 15 000 tona uglja u grad G2 (x32 = 15) i 15 000 tona uglja u grad G3 (x33 = 15).

Primjer 4.19. Korporacija DL planira postavljanje novih mašina u postojećim fabrikama na lokaci-jama Decatur, East St. Luis i St. Luis. Analizirajući samo troškove transporta po jedinici treba: a) Odrediti optimalan plan transporta mašina iz pojedinih skladišta B, C i D. Troš-

kovi transporta po jedinici, kao i kapaciteti i potrebe su dati u tabeli:

East St. Luis St. Luis Decatur Kapacitet B 29 27 20 250 C 30 30 25 200 D 30 31 22 350

Potrebe 150 150 300


586

b) Odrediti po optimalnom planu koja skladišta neće biti ispražnjena. c) Odrediti da li je optimalno rješenje jedinstveno i, ako nije, dati bar još jedan op-

timalan plan transporta.

Napomena: Problem riješiti koristeći Vogelov metod za polazno rješenje i modi me-tod za optimizaciju.

Rješenje: a) Ponuda mašina u skladištima je 250 + 200 + 350 = 800, a potražnja fabrika za ma-šinama iznosi 150 + 150 + 300 = 600.

Veća je ponuda nego potražnja, pa uvodimo fiktivnu kolonu sa potrebama 200. Kod fiktivne kolone (pošto ona ne postoji) uzimamo da su svi troškovi transporta 0 (ci4 = 0).

Tabela 4.19.a. Početno bazično rješenje dobijeno Vogelovom metodom

East St. Luis St. Luis Decatur fiktivna Kapacitet ri

B 100 29

150 27

- 20

- 0 250 20, 7, 2 -1

C - 30

- 30

- 25

200 0 200 25, * 0

D 50 30

- 31

300 22

ε 0 350 22, 8, 1 0

Potrebe 150 150 300 200 800 1, 3, 4 2, * 0, *

kj 30 28 22 0

Vogelovom metodom smo dobili degenerisano početno rješenje. Funkcija cilja ima vrijednost f = 15050. Zbog degenerisanog početnog rješenja ne može se primijeniti ni stepping stone ni modi metoda za unapređenje rješenja. Zbog toga se nekom praznom polju dodijeli mali teret ε ≈ 0 i time obezbijediti popunjenost m + n -1 polja. Izbor polja na koji ćemo staviti mali teret ε ≈ 0 je proizvoljan, ali treba da nam omogući korištenje me-toda za unapređenje rješenja. (Npr. polje (3, 2) nije dobro za mali teret ε ≈ 0, dok polje (3, 4) jeste).

Odredimo vrijednosti dualnih varijabli:


587

0223002729

43

33

13

42

21

11

=+=+=+=+=+=+

krkrkrkrkrkr

za proizvoljno npr. r3 = 0 ⇒

000028271

1293002230

2242

2221

1111

4

3

1

=⇒=+⇒=+=⇒=+−=+−=⇒=+=+

===

rrkrkkkr

rrkrkkk

Modi metodom testiramo slobodna polja

( )( )( )( )( )( ) 302831

302225202830003030

3100112220

32

23

22

21

14

13

=+−==+−==+−==+−=

=−−=−=−−=

dddddd

i dobili smo da je korisno polje (1, 3), odnosno d13 = -1, a odgovarajuće θ = 100.

Napravimo transport veličine 100 na odabrano polje (X13 = 100) i odredimo novu transportnu tabelu:

Tabela 4.19.b. Transportna tabela dobijeno nakon popunjavanja polja (1, 3)

East St. Luis St. Luis Decatur fiktivna Kapacitet kt

B - 29

150 27

100 20

- 0 250 -2

C - 30

- 30

- 25

200 0 200 0

D 150 30

- 31

200 22

ε 0

350 0

Potrebe 150 150 300 200 800 ri 30 29 22 0

Testiranjem slobodnih polja vidimo da je popravljeno rješenje optimalno sa vrijed-nosti funkcije cilja f = 14950.

Optimalan plan transporta je: 150 mašina prebaciti iz skladišta D u East St. Luis, 150 mašina transportovati iz skladišta B do St. Luisa i 100 mašina transportovati iz skladi-šta A, a 200 iz sladišta B do Decatura. U skladištu C će ostati 200 mašina. b) Skladište C neće biti ispražnjeno.


588

c) S obzirom da kod optimalnog riješenja imamo d21 = 0, to znači da postoji više op-timalnih rješenja i novo optimalno rješenje ćemo dobiti ako napravimo transport na polje (2, 1), a zbog θ21 = 150 novo optimalno rješenje ima oblik predstavljen u tabeli 4.19.c.

Tabela 4.19.c. Drugo optimalno rješenje problema 4.3.4.

East St. Luis St. Luis Decatur fiktivna Kapacitet ri

B - 29

150 27

100 20

- 0 250 -2

C 150 30

- 30

- 25

50 0 200 0

D - 30

- 31

200 22

150 0 350 0

Potrebe 150 150 300 200 800 kj 30 29 22 0

Primjer 4.20. Korporacija DL planira postavljanje novih mašina u postojećim fabrikama na lokaci-jama Decatur, Minneapolis i Carbondale. Stoga je nabavila tri tipa mašina. Analizirajući potrebe i karakteristike fabrika, te efikasnost pojedinih mašina na kon-kretnim pozicijama u fabrikama, sačinjena je tabela očekivanih sedmičnih dobiti kroz lociranja konkretne vrste mašina na konkretno mjesto.

a) Odrediti optimalan plan raspoređivanja mašina tipa B, C ili D na konkretne lokaci-je ako su procijenjene sedmične dobiti, potrebe fabrika i broj mašina dati u tabeli:

Decatur Minneapolis Carbondale Broj mašina B 20 17 21 250 C 25 27 20 200 D 22 25 22 350

Potrebe 300 200 150

b) Odrediti po tom optimalnom planu koliko i kojeg tipa mašina će ostati neraspore-đeno.

c) Odrediti vrijednost dualne varijable k2 i napisati koju informaciju nam ona nudi.

Napomena: Problem riješiti koristeći Vogelov metod za polazno rješenje i modi me-tod za optimizaciju.


589

Rješenje: Kako je veći broj mašina nego potrebe za njima (otvoreni problem transporta), potre-bno je uvesti fiktivnu lokaciju (kolonu) sa potrebama 150.

Transportni problem se postavlja sa ciljem maksimizacije dobiti pa je upotreba Voge-love metode malo drugačija nego u ranije opisanim primjerima. Sad se u svakoj koloni i u svakoj vrsti traže dva najveća koeficijenta cij i računa njihova razlika. Od svih razlika biramo najveću i u odgovarajućoj koloni ili redu upisujemo transport u polje sa najvećim cij. Postupak ponavljamo dok ne iscrpimo ishodišta i ne zadovolji-mo odredišta.

Tabela 4.20.a. Polazno i optimalno rješenje problema 4.19

Decatur Minnea-polis

Carbon-dale Fiktivno Kapacitet ri

B - 20

- 17

100 21

150 0

250 1, 1 -1

C 200 25

- 27

- 20

- 0

200 2* 3

D 100 22

200 25

50 22

- 0

350 3, 0, 2* 0

Potrebe 300 200 150 150 800 3, 2*, 2, 8* 1, 1, 0

kj 22 25 22 1

Vogelov metoda nam je dao polazno riješenje (nedegenerisano) sa odgovarajućom vrijednosti funkcije cilja: f = 15400

Modi metodom provjeravamo da li je riješenje optimalno. Testiranjem slobodnih po-lja dobijamo da su svi dij negativni, odnosno da nemamo korisnih polja (sad su korisna ona koja će povećeti funkciju cilja). Na osnovu ove analize imamo da je op-timalno rješenje određeno odmah Vogelovom metodom.

Optimalno je ugraditi 200 mašina tipa C i 100 mašina tipa D u fabriku u Decaturu, 200 mašina tipa D prebaciti u fabriku u Minneapolisu, te 150 mašina tipa B i 50 ma-šina tipa C prebaciti u fabriku u Carbondale.

a) 150 mašina tipa B ostaje neiskorišteno. b) k2 = 25 nam daje sljedeću informaciju: povećanje potreba u Minneapolisu za 1

izazvaće povećanje funkcije cilja za 25 nj.


590

Primjer 4.21. Upotrebom Solvera u Excelu riješiti sljedeći problem transporta lijekova.

Farmaceutska kompanije proizvodi lijekove u Los Angelesu, Atlantai i New Yorku. Fabrika u Los Angelesu može mjesečno proizvesti količinu od 10 000 komada lijeko-va, fabrika u Atlantai 12 000 komada lijekova, dok fabrika u New Yorku mjesečno proizvodi 14 000 komada lijekova.

Svakog mjeseca, farmaceutska kompanije mora isporučiti lijekove u 4 regije Sjedi-njenih Američkih Država (East, Midwest, South i West). Količine koje se trebaju isporučiti su prikazane u ćelijama od B2 do E2 na slici 4.3.6.a (npr. regija West (Za-pad) mora mjesečno primiti najmanje količinu od 13000 komada lijekova).

Jedinični troškovi (troškovi za proizvodnju i transport jednog komada lijeka u svakoj fabrici do svake regije) su prikazani u ćelijama od B4 do E6 (npr. da bi se 1 komad li-jeka proizveo u Los Angelesu i transportovao u regiju Midwest treba potrošiti 3,5$).

Koji je najjeftiniji način da bi svaka regija dobila količinu lijekova koju treba?

Rješenje: Problem je potrebno napisati u excel stranici. Voditi računa da trebamo podatke o tro-škovima upisati u konkretna polja (B4:E4), a podatke o transportu (ćelije koje excel mijenja sa ciljem određivanja minimuma ili maksimuma) u neka druga konkretna po-lja (B10:E12).


591

Da bi izrazili funkciju cilja (target cell B18), moramo pratiti ukupne transportne troš-kove. Nakon što se u ćelije od B10 do E12 unesu probne vrijednosti za isporuku iz svake tačke ponude do svake regije, ukupne transportne troškove možemo izačunati na sljedeći način:

(količina poslata iz LA u regiju East) ⋅ (trošak po komadu poslatom iz LA u regiju Ea-st) + količina poslata iz LA u regiju Midwest) ⋅ (trošak po komadu poslatom iz LA u regiju Midwest) + (količina poslata iz LA u regiju South) ⋅ (trošak po komadu posla-tom iz LA u regiju South) + (količina poslata iz LA u regiju West) ⋅ (trošak po komadu poslatom iz LA u regiju West) + ...+ (količina poslata iz NY u regiju West) ⋅ (trošak po komadu poslatom iz NY u regiju West). Upravo ovo radi funkcija SUMPRODUCT. Funkcija SUMPRODUCT (zbir umnoža-ka) može umnožiti odgovarajuće elemente u dva različita pravougaonika (sve dok su ti pravougaonici iste veličine) i zbrojiti te proizvode u jedan iznos. Ćelije od B4 do E6 su na slici prikazani kao troškovi, a ćelije od B10 do E12 se zovu transport. Iz ovoga slijedi da ukupne troškove (proizodnja i tansport) možemo izračunati u ćeliji B18 koristeće funkciju SUMPRODUCT (B4:E6,B10:E12).

Da bi izrazili naše ograničenje, prvo ćemo izračunati transportne iznose iz svake tač-ke ponude. Koristeći funkciju SUM(B10:E10) u ćeliji F12– zbir ćelija od B10 do E10, izračunat ćemo ukupne transportovane količine iz Los Angelesa (LA do East + LA do Midwest + LA do South + LA do West). Kopirajući ovu formulu u ćelije F11 i F12 izračunat ćemo i transportovane količine iz Atlantae i New Yorka. Kasnije ćemo dodati ograničenja (koja se zovu ograničenja ponude) koja osiguravaju iznos tran-sportovan iz svake lokacije, a koji nije prekoračio kapacitet fabrike.

Slijedi izračunavanje ukupnog iznos koji primi svaka tačka potražnje. Prvo se u ćeliju B13 unese formula SUM(B10:B12). Ova formula izračunava ukupan broj komada li-jekova primljen u regiju East (broj komada transportovan iz LA u East + broj komada transportovan iz Atlantae u East + broj komada transportovan iz NY u East). Ova formula se, potom, kopira iz ćelije B13 u ćelije od C13 do E13 kako bi se izračunala količina lijekova koja je primljena i u ostale regije (Midwest, South, West). Kasnije se dodaju ograničenja (koja se zovu ograničenja potražnje) jer osiguravaju da svaka regija primi minimalan iznos lijekova koji potražuje.

Sad otvaramo opciju Solver Parameters tako što u meniju Tools kliknemo na Sol-ver, a potom popunimo dialog box na sljedeći način:


592

Naš cilj je da minimiziramo ukupne transportne troškove (izračunate u ćeliji B18). Naše changing cells je broj komada transportovan iz svake fabrike u svaku regiju. (Ovi iznosi su u ćelijama B10 do E12). Ograničenje F10:F12<=H10:H12 (ograničenje ponude) osigurava da iznos poslat iz svake fabrike ne prekorači njen kapacitet. Ogra-ničenja B13:E13 >= B15:E15 (ograničenje potražnje) osigurava da svaka regija najmanje primi onu količinu lijekova koju potražuje.

Naš model je linearni model u Solveru jer je naša funkcija cilja kreirana tako što su se sastavili uslovi obrasca (changing cell)⋅(constant), a oba naša ograničenja (i ponude i potražnje) su nastala upoređujući zbir u changing cell i konstantu.

Potom se u Solver Parameters meniju klikne na Options i označe opcije Assume Linear Model i Assume Non-Negative. Nakon toga se klikom na Solve (riješi) u Solver Parameters dobije optimalno rješenje problema. Najmanji trošak da bi se za-dovoljila potražnja iznosi 86.800$. Minimalan trošak se može postići ako kompanija bude koristila sljedeći raspored proizvodnje i transporta:

Transportovati 10 000 komada lijekova iz Los Angelesa u regiju West.

Transportovati 3000 komada lijekova iz Atlantae u regiju West i regiju Midwest. Iz Atlantae transportovati i 6000 komada lijekova u regiju South.

Transportovati 9000 komada lijekova iz New Yorka u regiju East i 3000 komada iz New Yorka u regiju Midwest.

4.6.2. Asignacija

Opis problema raspoređivanja Kandiduju se m raznih objekata (osoba, materijala, aktivnosti i sl.) da budu raspoređeni na n raznih mjesta. Prilikom tog raspoređivanja moraju biti zadovoljena sljedeća ograničenja:


593

1. svaki objekat može se rasporediti samo na jedno od tih mjesta, 2. svakom mjestu može se rasporediti samo jedan od tih objekata.

Kod asignacije najčešće se određuje takav plan raspoređivanja kojim će se postići najbolji odgovarajući efekat. Takav problem raspoređivanja je specijalan slučaj transportnog prob-lema. Ako odlučimo da objekat iz nekog konkretnog Ai rasporedimo na neko konkretno Bt, na toj konkretnoj relaciji ti BA → “transport“ će biti xit=1. Suprotno, ako odlučimo da objekat iz nekog konkretnog Ai ne rasporedimo na neko konkretno Bt, na toj konkretnoj relaciji ti BA → „transport“ će biti xit = 0.

Broj raznih relacija ti BA → je nm ⋅ , pa time je i nm ⋅ različitih promjenljivih xit, čija vri-jednost može biti samo 1 ili 0. Na osnovu ograničenja koja važe kod asignacije, kod svakog mogućeg plana raspoređivanja u svakom redu i u svakoj koloni odgovarajuće „transportne tabele“ može biti najviše jedno „puno polje“.

4.6.2.1. Modeli linearnog programiranja raspoređivanja

Kod problema raspoređivanja, između broja objekata m i broja mjesta n može biti prisutan jedan od tri sljedeća odnosa:

1) m = n – svi objekti mogu biti raspoređeni i sva mjesta mogu biti popunjena; 2) m > n - svi objekti ne mogu biti raspoređeni, ali sva mjesta mogu biti popunjena; 3) m < n – svi objekti mogu biti raspoređeni, ali sva mjesta ne mogu biti popunjena.

Kako je asignacija specijalan oblik transportnog problema, to znamo da problem raspoređi-vanja ima rješenja ako je u pitanju zatvoren problem.

Model asignacije - zatvoreni problem raspoređivanja

Ako je m = n, odnosno ako imamo jednak broj objekata i mjesta, to će svi objekti biti ras-poređeni i sva mjesta biti popunjena.

Zatvoreni model asignacije se može napisati kao:

{ }

1 1

1

1

1 1,

1 1,

0,1 , 1, , 1,

m m

it iti t

m

ittm

iti

it

Max f c xMin

x i m

x t m

x i m t m

= =

=

=

⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

= =

∈ = =

∑∑

∑

∑

(4.52)


594

Ukoliko broj objekata nije jednak broju mjesta na koja vršimo raspoređivanje, odnosno ako je nm ≠

imaćemo otvoreni problem asignacije. U optimalnom rješenju neće biti popunjena sva mjesta ili neće biti raspoređeni svi objekti.

Kod otvorenog problema raspoređivanja razlikujemo situaciju kad:

m > n imamo više objekata nego mjesta,

m < n imamo više mjesta nego objekata.

Opšti oblik modela otvorenih problema asignacije i način njihovog zatvaranja su opisani u nastavku.

Model m > n - otvoreni problem raspoređivanja

{ }

1 1

1

1

1 1,

1 1,

0,1 , 1, , 1,

m n

it iti t

n

ittm

iti

it

Max f c xMin

x i m

x t n

x i m t n

= =

=

=

⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ =

= =

∈ = =

∑∑

∑

∑

(4.53)

Zbog odnosa n < m, svako od n mjesta bit će popunjeno, ali svi objekti neće biti raspoređe-ni. Otvoreni model raspoređivanja m > n se može uvijek zatvoriti uvođenjem (m – n) fiktivnih mjesta (kolona). Svaki od viška objekata koji bude raspoređen na fiktivno mjesto u stvarnosti će ostati neraspoređen.

Za razliku od transportnog modela, gdje smo dodavali samo jednu fiktivnu kolonu (odrediš-te) sa ukupnom tražnjom koja je jednaka razlici ukupne ponude i potražnje, kod asignacije je potražnja svakog mjesta 1, pa moramo dodati m – n fiktivnih mjesta.

Zatvaranje modela (4.53) bi izgledalo:

1 1 1 1

1 1

0

1 1,

m n m m

it it iti t i t n

n m

it itt t n

Max f c x xMin

x x i m

= = = = +

= = +

⎛ ⎞ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = =

∑∑ ∑ ∑

∑ ∑

{ }

1

1

1 1,

1 1,

0,1 , 1, , 1,

m

itim

iti

it

x t n

x t n m

x i m t m

=

=

= =

= = +

∈ = =

∑

∑ (4.54)


595

Model m < n - otvoreni problem raspoređivanja

{ }

1 1

1

1

1 1,

1 1,

0,1 , 1, , 1,

m n

it iti t

n

ittm

iti

it

Max f c xMin

x i m

x t n

x i m t n

= =

=

=

⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

≤ =

∈ = =

∑∑

∑

∑

(4.55)

Zbog odnosa n > m, svako od m objekata će biti raspoređeno, ali sva mjesta neće biti popu-njena. Otvoreni model raspoređivanja m < n se može uvijek zatvoriti uvođenjem (n – m) fiktivnih objekata (redova). Svaki od fiktivnih objekata koji bude raspoređen na određeno mjesto u stvarnosti znači da će mjesto ostati nepopunjeno.

Dakle, zatvaranje modela (4.55) bi izgledalo:

{ }

1 1 1 1

1

1

1 1

0

1 1,

1 1,

1 1,

0,1 , 1, , 1,

m n n n

it it iti t i m t

n

ittn

ittm n

it iti i m

it

Max f c x xMin

x i m

x i m n

x x t n

x i n t n

= = = + =

=

=

= = +

⎛ ⎞ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

= = +

+ = =

∈ = =

∑∑ ∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

(4.56)

Napomenimo da svaki zatvoreni model raspoređivanja ima najmanje jedno moguće rješe-nje, odnosno uvijek je rješiv.

4.6.2.2. Mađarska metoda

Metoda raspoređivanja se sastoji iz sljedećih koraka:

1. Reduciranje matrice u svakom redu odredimo najmanji element pa ga odbijemo od ostalih elemenata tog

reda, zatim, u svakoj koloni određujemo najmanji element i odbijemo ga od ostalih eleme-

nata te kolone.

Rezultat je matrica koja u svakom redu i u svakoj koloni ima bar jednu nulu.


596

2. Kategorizacija nula a) polazimo od prvog reda i nalazimo redove u kojima je samo jedna neoznačena 0. Ta

nula se označi sa 0, a ostale nule u toj koloni se precrtaju, b) isti postupak zatim primjenjujemo na kolone.

Postupak a) i b) ponavljamo dok sve 0 ne označimo na jedan od navedenih načina. Ukoliko imamo u svakom redu i u svakoj koloni označenu 0 asignacija je završena, ako to nije slu-čaj prelazimo na 3. korak

3. Nova matrica: a) označimo strelicom redove bez asignacije , b) označimo strelicom kolone koje u označenim redovima imaju precrtanu nulu, c) označimo redove koji u označenim kolonama imaju zaokruženu nulu, d) nastavljamo korake b) i c) dok se lanac ne završi, e) povuku se linije kroz označene kolone i neoznačene redove. Kroz svaku zaokruženu

nulu mora prolaziti jedna i samo jedna linija, to znači linija imamo koliko i zaokruže-nih nula,

f) pišemo novu reduciranu matricu tako što najmanji nepokriveni element oduzmemeo od svih ostalih nepokrivenih, dodamo elementima dva puta precrtanim.

Ponavlja se 2. korak, pa ako nema rješenja ponavljamo i 3. korak, i tako dok ne izvršimo asignaciju.

Primjer 4.22. Pet dobara se može proizvoditi na pet strojeva. Istovremeno se može proizvoditi na jednom stroju samo jedno dobro. Troškovi proizvodnje dobra, ovisno o stroju na ko-jem se proizvodi, (u nekim nj) su:

Stroj Dobro 1 2 3 4 5

I 7 5 3 1 6 II 1 4 5 6 6 III 2 3 1 2 4 IV 1 7 3 6 6 V 1 9 4 10 8

Treba naći kombinaciju proizvodnje koja obezbjeđuje najniže troškove.


597

Rješenje: 1. korak: Reduciramo matricu tako da u svakom redu odredimo najmanji element i oduzmemo ga od ostalih elemenata u tim redovima:

7 5 3 1 6 -1 1 4 5 6 6 -1 2 3 1 2 4 -1 1 7 3 6 6 -1 1 9 4 10 8 -1

Zatim u svakoj koloni oduzmemo najmanji element iz kolone: 6 4 2 0 5 0 3 4 5 5 1 2 0 1 3 0 6 2 5 5 0 8 3 9 7

- 0 - 2 - 0 - 0 - 3

Rezultat je matrica koja u svakom redu i u svakoj koloni ima bar jednu nulu.

6 2 2 0 2 0 1 4 5 2 1 0 0 1 0 0 4 2 5 2 0 6 3 9 4

2. korak - kategorizacija nula:

6 2 2 0 2 0 1 4 5 2 1 0 0 1 0 0 4 2 5 2 0 6 3 9 4

3. korak -nova matrica:

6 2 2 0 2 0 1 4 5 2 1 0 0 1 0 0 4 2 5 2 0 6 3 9 4


598

Oduzimamo (dodajemo dva puta precrtanim) element 1:

7 2 2 0 2 0 0 3 4 1 2 0 0 1 0 0 3 1 4 1 0 5 2 8 3

2. korak -kategorizacija nula:

7 2 2 0 2 0 0 3 4 1 2 0 0 1 0 0 3 1 4 1 0 5 2 8 3

3. korak - nova matrica:

7 2 2 0 2 0 0 3 4 1 2 0 0 1 0 0 3 1 4 1 0 5 2 8 3

Oduzimamo (dodajemo dva puta precrtanim) element 1:

8 2 2 0 2 1 0 3 4 1 3 0 0 1 0 0 2 0 3 0 0 4 1 7 2

2. korak - kategorizacija nula:

8 2 2 0 2 1 0 3 4 1 3 0 0 1 0 0 2 0 3 0 0 4 1 7 2


599

Prilikom kategorizacije preostale dvije nule u matrici vidimo da su ravnopravni nji-hovi položaji i po kolonama i po redovima, što znači da imamo dva optimalna rješenja. Proizvoljnim biranjem jedne opcije dobićemo jedno rješenje, a izborom dru-ge opcije dobićemo drugo rješenje.

I rješenje: 8 2 2 0 2 1 0 3 4 1 3 0 0 1 0 0 2 0 3 0 0 4 1 7 2

Dobro I se proizvodi na stroju 4, dobro II na stroju 2, dobro III na stroju 3, dobro IV na stroju 5 i dobro V na stroju 1. Troškovi proizvodnje su: f = 1 + 4 + 1 + 6 + 1 = 13 nj.

II rješenje: 8 2 2 0 2 1 0 3 4 1 3 0 0 1 0 0 2 0 3 0 0 4 1 7 2

Dobro I se proizvodi na stroju 4, dobro II na stroju 2, dobro III na stroju 5, dobro IV na stroju 3 i dobro V na stroju 1. Troškovi proizvodnje su: f = 1 + 4 + 4 + 3 + 1 = 13 nj.

Primjer 4.23. Posada astronauta NASA ima 10 specijalista sa doktorskim zvanjem iz astrofizike ili astromedicine koji odlaze u misije u svemir. Jedan od specijalista bit će upisan na svakom od 10 rasporeda letenja u sljedećih devet mjeseci. Specijalisti su odgovorni za izvođenje znanstvenih i medicinskih eksperimenata u svemiru ili za lansiranje, pronalaženje ili popravljanje satelita.

Šef astronautskog osoblja, i sam bivši član posade koji je već učestvovao u tri misije, mora odlučiti ko bi trebao biti treniran za svaku od ovih, veoma različitih misija. Jas-no da su astronauti koji imaju medicinsko obrazovanje najpogodniji za misije koje su vezane za biološke ili medicinske eksperimente, dok će inženjeri i fizičari biti raspo-ređeni na druge vrste misija. Šef ocjenjuje svakog astronauta ocjenama na skali od 1 do 10 za svaku pojedinačnu misiju (10 dobivaju astronauti koji su savršeni za izvrše-


600

nje zadatka, a 1 oni koji uopšte ne odgovaraju). Samo jedan specijalist je određen za svaki let, te ne učestvuje u drugoj misiji dok svi ostali ne odlete barem jednom.

a) Ko bi trebao biti određen za svaki let? b) NASA je obaviještena da je Andersonovo vjenčanje zakazano za februar i da

namjerava tada provesti medeni mjesec u Evropi. Kako će to promijeniti konačan raspored?

Podaci o ocjenama svakog astronauta za svaku planiranu misiju su dati u tabeli 4.23. Zadatak riješiti upotrebom solvera.

Tabela 4.23. Ocjene svakog astronauta za svaku planiranu misiju

Astronaut Jan. 12

Jan. 27

Feb.5

Feb.26

Mar.26

Apr.12

Maj1

Jun. 9

Aug. 20

Sep.19

Vincze 9 7 2 1 10 9 8 9 2 6 Veit 8 8 3 4 7 9 7 7 4 4 Anderson 442 2 1 10 10 1 4 7 6 6 7 Herbert 4 4 10 9 9 9 1 2 3 4 Schatz 10 10 9 9 8 9 1 1 1 1 Plane 1 3 5 7 9 7 10 10 9 2 Cerato 9 9 8 8 9 1 1 2 2 9 Moses 3 2 7 6 4 3 9 7 7 9 Brandon 5 4 5 9 10 10 5 4 9 8 Drtina 10 10 9 7 6 7 5 4 8 8

Rješenje: Zadatak se može posmatrati kao problem transporta gdje su ponude svih ishodišta je-dnake 1 i potrebe svih odredišta jednaka 1 i prema postupku korištenja solvera za transportne probleme koji je prethodno obrađen zadatak se može riješiti.


601

Tabela 4.23.a.

Prvo ćemo prenijeti tabelu i zaglavlja na Excelovu stranicu. Zatim definisati prostor za asignaciju (kod nas je to u ćelijama odmah ispod, odnosno sa zaglavljima zauzeli smo prostor A16:K27). Asignaciju radimo na poljima B20:K29 i ovaj prostor mora-mo popuniti proizvoljnim vrijednostima ili ostaviti prazan.

U koloni i redu UKUPNO računamo zbir popunjenih polja (U ćeliji B28 kucamo SUM(B18:B27) i razvučemo formulu, odnosno u ćeliji L18 kucamo SUM(B18:K18) i razvučemo formulu).

U kolonama i redovima sa nazivom kapacitet (potrebe) unosimo vrijednosti 1 jer je u pitanju asignacija.

U ćeliji B32 sa nazivom vrijednost rasporeda unosimo vrijednost proizvoljnog (poče-tnog) rješenja koje se dobije kao zbir ocjena svakog astronauta raspoređenog za neki let. Ovu vrijednost računamo koristeći formulu SUMPRODUCT i vodeći računa da dvije tabele koje povezujemo budu istih dimenzija (istog tipa) (SUMPRODUCT(B3:K12;B18:K27)).

Pokretanjem opcije Solver u Tools meniju, otvoriće nam se prozor za solver parametre:


602

Tabela 4.23.b.

U polju Subject to the Constraints unosimo da je kolona UKUPNO manja ili jednaka koloni KAPACITET i red UKUPNO je veći ili jednak od reda POTREBE (ako je prob-lem asignacije zatvoren, možemo koristiti znak = i kod kapaciteta i kod potražnje).

U prostor Set Target Cell unosimo ćeliju u kojoj želimo da nam se prikaže vrijednost funkcije cilja, odnosno vrijednost asignacije. Kod nas je to polje B32.

U prostor By Changing Cells unosimo adresu tabele u kojoj želimo de se uradi asig-nacija. Kod nas je to B18:K27.

Potom se u Solver Parameters meniju klikne na Options i označe opcije Assume Linear Model i Assume Non-Negative. Nakon toga se klikom na Solve (riješi) u Solver Parameters dobije optimalno rješenje problema. (tabela 4.23.)

Vidimo da je vrijednost asignacije 96 i vidimo raspored pojedinih astronauta na kon-kretne letove.

Astro-nauti Vincze Veit

Ander-son 442

Herbert Schatz Plane Cerato Moses Bran-don Drtina

Letovi Mar 26

Apr 12

Feb 26

Feb 5

Jan 12

Jun 9

Sept 19

Maj 1

Aug 20

Jan 27


603

Tabela 4.23.c

b) Astronaut Anderson ne može putovati u februaru. Zato moramo prilagoditi tabelu tako da upotrebom solvera dobijemo rješenje po kojem je Anderson slobodan u tom periodu.

Isključiti Andersona za letove u februaru možemo tako što ćemo u polaznoj tabeli 4.23. promijeniti njegove ocjene i dati mu najmanje vrijednosti (da je cilj bio minimi-zacija, onda bismo mu dodijelili najveće vrijednosti, pa da bude nekonkurentan na posmatranoj poziciji)

Tabela 4.23.d


604

Vidimo da je nova vrijednost rasporeda 92 i da je Anderson planiran za let u maju. Također vidimo da su se planovi letova za gotovo sve astronaute promijenili.

Astro-nauti

Vincze Veit Ander-

son 442

Herbert Schatz Plane Cerato Moses Bran-don Drtina

Letovi Mar 26

Apr 12

Maj 1

Feb 5

Feb 26

Jun 9

Jan 27

Sept 19

Aug 20

Jan 12

605

4.7. Pitanja za ponavljanje 1. Ako je skup ograničenja nekog mode-la dat sa:

( )( )( )

0,

402010022

21

2

1

21

≥

≥≥≤+

xx

xcxb

xxa

,

tada je oblast mogućih rješenja: a) prazan skup, b) trougao ABC, c) trougao CDE, d) petougao OACEG, e) neograničen konveksan skup sa je-

dnim tjemenom u D. 2. Ako je skup ograničenja nekog mode-la dat sa:

( )( )( )

0,

402010022

21

2

1

21

≥

≥≥≥+

xx

xcxb

xxa

,

koje ograničenje se može izbaciti, a da skup mogućih rješenja i dalje bude isti? 3. Ako je skup ograničenja nekog modela

( )( )( )

0,

402010022

21

2

1

21

≥

≥≥≥+

xx

xcxb

xxa

kad problem LP-a neće imati rješenje?

a) ako je cilj max f,

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60x1

x2

A B

C

DE

F

G

(a)

(b)

(c)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60x1

x2

A B

C

DE

F

G

(a)

(b)

(c)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60x1

x2

A B

C

DE

F

G

(a)

(b)

(c)


606

b) ako je cilj min f, c) uvijek će imati rješenje, d) nema rješenja jer je skup mogućih rješenja prazan.

4. Ako je skup ograničenja nekog mode-la dat sa:

( )( )( )

0,

402010022

21

2

1

21

≥

≤≥≤+

xx

xcxb

xxa

,

koje ograničenje se može izbaciti, a da skup mogućih rješenja i dalje bude isti? 5. Ako je skup ograničenja nekog mode-la dat sa:

( )( )

0,

8022102

21

21

21

≥

≤+≥−

xx

xxbxxa

,

6. Odrediti skup mogućih rješenja

a) prazan skup, b) trougao ABC, c) trougao CDO, d) četverougao OBAD, e) neograničen konveksan skup sa jednim tjemenom u D, a drugim u A.

6) Ako je u prethodnom modelu cilj max f = x1 + x2, odrediti optimalnu vrijednost funkci-je cilja.

a) optimalna je tačka A, b) optimalna je tačka B, c) optimalna je tačka C, d) optimalna je duž AC.

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60x1

x2

A B

C

DE

F

G

(a)

(b)

(c)

-10

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

x1

x2

A (30, 10)

CB

D


607

7) U ''polaznom dualnom modelu LP-a'' broj ograničenja je 4=n , a broj polaznih dual-nih varijabli { }inY + je m = 3. Koliko odgovarajući ''polazni primalni model LP-a'' ima ograničenja:

a) 3, b) 4, c) 7, d) nije moguće utvrditi bez konkretnog zadatka.

8) U ''polaznom dualnom modelu LP-a'' broj ograničenja je 4=n , a broj polaznih dual-

nih varijabli { }inY + je m = 3. Koliko odgovarajući ''polazni primalni model LP-a'' ima polaznih primalnih varijabli:

a) 3, b) 4, c) 7, d) nije moguće utvrditi bez konkretnog zadatka.

9) Ako primal ima cilj Min.f, kojeg su oblika polazna dualna ograničenja ?

a) Sva su ograničenja tipa ≥, b) Sva su ograničenja tipa ≤, c) Sva su ograničenja tipa =, d) Ograničenje u dualu zavisi od ograničenja u primalu.

10) U standardnom primalnom modelu LP-a broj ograničenja je 7=m , a broj svih (polaz-

nih i izravnavajućih) varijabli { } { } { }inps XXX ++= je N=11. Koliko u tom modelu ima polaznih dualnih varijabli?

a) 7, b) 11, c) 4, d) 18.

11) U standardnom primalnom modelu LP-a broj ograničenja je 7=m , a broj svih (polaz-

nih i izravnavajućih) varijabli { } { } { }inps XXX ++= je N=11. Koliko u tom modelu ima ''izravnavajućih dualnih varijabli?

a) 7, b) 11, c) 4, d) 18.


608

12) Objasniti značenje konkretne optimalne vrijednosti izravnavajuće dualne promjenljive

komKMy 5ˆ2 = .

a) 5 KM/kom nedostaje da bi ograničenje II bilo u potpunosti iskorišteno. b) Ako se ograničenje II poveća za 1 komad, a ostala ograničenja ostanu ista, funkci-

ja cilja će se promijeniti za 5 KM. c) Da bi polazna dualna varijabla x2 «ušla» u optimalan program proizvodnje, potre-

bno je da se njen koeficijent u funkciji cilja (c2) promijeni za najmanje 5 KM. 13) Objasniti značenje konkretne optimalne vrijednosti polazne dualne promjenljive

msKMyn 5ˆ 2 =+

a) 5 KM/kom nedostaje da bi ograničenje II bilo u potpunosti iskorišteno. b) Ako se ograničenje II poveća za 1 ms, a ostala ograničenja ostanu ista, funkcija ci-

lja će se promijeniti za 5 KM. c) Da bi polazna dualna varijabla x2 «ušla» u optimalan program proizvodnje, potre-

bno je da se njen koeficijent u funkciji cilja (c2) promijeni za najmanje 5 KM. 14) Objasniti značenje konkretne optimalne vrijednosti izravnavajuće primalne promjen-

ljive komxn 5ˆ 2 =+ a) 5 kom nedostaje da bi ograničenje II bilo u potpunosti iskorišteno. b) Ako se ograničenje II poveća za 1 ms, a ostala ograničenja ostanu ista, funkcija ci-

lja će se promijeniti za 5 KM. c) Da bi polazna dualna varijabla x2 «ušla» u optimalan program proizvodnje, potre-

bno je da se njen koeficijent u funkciji cilja (c2) promijeni za najmanje 5 KM. 15) Ako postoje optimalna rješenja, kakav je odnos između vrijednost funkcije cilja pri-

mala i vrijednosti funkcije cilja duala?

a)

fge

fgd

gfc

fgb

gfa

ˆˆ)

ˆˆ)

ˆˆ)

ˆˆ)

ˆˆ)

=

>

>

≥

≥

16) Ako primalni model ima m ograničenja i n varijabli, tada dualni model mora imati:

a) m polaznih varijabli, b) n polaznih varijabli,


609

17) Ako je optimalna vrijednost neke varijable odlučivanja u linearnom programiranju različita od nule, tada optimalna vrijednost odgovarajuće dualne varijable mora biti

a) jednaka 0, b) različita od 0, c) veća od 0, d) manja od 0.

18) Koji od sljedećih odgovora nije svojstvo problema linearnog programiranja:

a) ograničenja, b) softverski paket, c) optimizacija funkcije cilja, d) linearne jednačine i nejednačine?

19) Dovrši rečenicu: Optimalno rješenje problema linearnog programiranja

a) se dostiže u ekstremnoj tački skupa mogućih rješenja, b) može biti bilo koja tačka iz skupa mogućih rješenja, c) je jedinstveno, d) mora uvijek biti cjelobrojno.

20) Koje od sljedećih ograničenja ne može biti ograničenje problema linearnog programi-

ranja? a) 820x2x4 21 =+ b) 820xx4 21 ≥+ c) 820x2x4 21 ≤+

d) 31 2 80x x+ ≤

21) Kod optimalnog rješenja primala LP-a svi su ( ) 0fC ss ≤− . Znači da je cilj:

a) max f, b) min f.

22) Kod optimalnog rješenja primala LP-a svi su ( ) 0fC ss ≤− . Kakav je cilj kod odgova-

rajućeg dualnog modela?. a) max g, b) min g.

23) Šta predstavlja sljedeći izraz: ˆ ˆ 0 1,i iX Y i N⋅ = ∀ = ?

a) Princip oslabljene komplementarnosti. b) Princip oslabljene kolinearnosti. c) Princip oslabljene kompatibilnosti.


610

24) Kako se upotrebom grafičke metode manifestuje postojanje višestrukog optimalnog rješenja u zadatku linearnog programiranja?

a) Skup mogućih rješenja je prazan. b) Skup mogućih rješenja je neograničen. c) Pravac funkcije cilja je paralelan sa ograničenjem koje predstavlja usko grlo prog-

rama. 25) Kako se upotrebom simplex algoritma manifestuje postojanje višestrukog optimalnog

rješenja u zadatku linearnog programiranja? a) Optimalna tabela ne postoji. b) Bazično rješenje je degenerisano. c) U optimalnoj simplex tabeli su svi ( ) 0≥− ss fC d) U optimalnoj simplex tabeli su svi ( ) 0fC ss ≤− e) U optimalnoj simplex tabeli postoji nebazni vektor kod kojeg vrijedi

( ) 0=− ss fC 26) U kojoj se jedinici mjere izražava vrijednosti izravnavajuće primarne varijable inx + ?

a) U jedinici mjere primalne varijable xi. b) U jedinici mjere dualne varijable yi. c) U jedinici mjere ograničenja i . d) U jedinici mjere funkcije cilja. e) U jedinici mjere funkcije cilja / jedinica mjere ograničenja i.

27) Napisati izraz za kriterij ulaska vektora u bazu ako je cilj LP minimum.

28) Napisati kriterij izlaska vektora iz baze. 29) U kojoj se jedinici mjere izražava vrijednosti izravnavajuće dualne varijable pY ?

30) Koje je značenje optimalne vrijednosti polazne dualne varijable inY + ? 31) Koji uslovi trebaju biti zadovoljeni da bi simplex tabela koja odgovara linearnom pro-

gramu maksimizacije bila optimalna? 32) Koji je bio cilj primalnog modela ukoliko su kod optimalnog rješenja primala LP-a

sve razlike { } 0≤− ss fC ? 33) Koji je bio cilj dualnog modela ukoliko su kod optimalnog rješenja primara LP-a sve

razlike { } 0≤− ss fC ?


611

34) Po definiciji, kako se u tekućoj bazi B izražavaju vektori { }NsAs ,1= ?

35) Napisati opšti oblik izražavanja vektora { }NsAs ,1= u novoj bazi ( )vbAAB bu ≠∀′ ; .

36) Napisati formule za izračunavanje usK ′ i ( )bsKbs ≠∀′ . 37) Ako je u optimalnom rješenju duala odgovarajuća dualna varijabla 0sY = , koja od

sljedećih tvrdnji je sigurno tačna za odgovarajuću primalnu varijablu sX ? a) 0sX = b) 0sX ≠ c) 0sX ≥

38) Koji kriterij mora da zadovolji nebazični vektor Aj kod simplex tabele linearnog pro-

blema maksimizacije da bi eventualno ušao u bazu? Odgovor obrazložiti. 39) Napisati kondezovani opšti oblik dualnog modela linearnog programiranja koji odgo-

vara polaznom primalnom modelu:

∑=

=n

ppp xcfMax

1)(

k

n

ppkp dxa ≤∑

=1, k=1…K

l

n

pplp dxa ≥∑

=1, l=K+1,…K+L

0≥px , p=1, ..n 40) U polaznom dualnom modelu LP-a broj ograničenja je 4=n , a broj 'polaznih dualnih

varijabli { }inY + je m=3. Ako primal ima cilj Min.f, kojeg su oblika polazna dualna ograničenja ?

41) U standardnom primalnom modelu LP-a broj ograničenja je 8m = , a broj svih (polaz-

nih i izravnavajućih) varijabli { } { } { }inps XXX ++= je N=12. a) Koliko u tom modelu ima polaznih dualnih varijabli? b) Koliko u tom modelu ima izravnavajućih dualnih varijabli?

42) Napisati u kondenzovanom obliku simetričan model LP čiji je cilj minimum.


612

43) Kako se u grafičkoj metodi LP manifestuju situacija da problem LP-a ima beskonačno mnogo optimalnih rješenja i kako ih nalazimo?

44) Objasniti ekonomsko značenje optimalnih dualnih promjenjivih. 45) Objasniti značenje konkretne optimalne vrijednosti izravnavajuće dualne promjenljive

komKMy 5ˆ2 = .

46) Napisati u kondenzovanom obliku simetričan model LP čiji je cilj maksimum. 47) Kako se u grafičkoj metodi LP manifestuje situacija da problem LP- a nema optimal-

no rješenje?

48) Objasniti značenje konkretne optimalne vrijednosti polazne dualne promjenjljive

msKMyn 5ˆ 2 =+ .

49) Ako postoje optimalna rješenja, kakav je odnos između vrijednost funkcije cilja pri-

mala i vrijednosti funkcije cilja duala?

50) Ako primalni model ima m ograničenja i n varijabli, tada dualni model mora imati m ili n varijabli.

51) Koji od sljedećih odgovora nije karakteristika problema linearnog programiranja:

a) ograničenja, b) softverski paket, c) optimizacija funkcije cilja, d) linearne jednačine i nejednačine?

52) Optimalno rješenje problema linearnog programiranja:

a) se dostiže u ekstremnoj tački skupa mogućih rješenja, b) može biti bilo koja tačka iz skupa mogućih rješenja, c) je jedinstveno, d) mora uvijek biti cjelobrojno.

53) Napišite izraz za opšti polazni model linearnog programiranja kod grafičke metode.


613

54) Dopunite sljedeću tabelu za simplex algoritam LP-a.

55) Napišite izraz za kondenzovani oblik funkcije cilja "f" u primalnom modelu LP. 56) Napišite izraz za kondenzovani oblik primalnog ograničenja "prvog tipa" u primalnom

modelu LP. 57) Napišite izraz za kondenzovani oblik primalnog ograničenja "drugog tipa" u primal-

nom modelu LP-a. 58) Napišite izraz za kondenzovani oblik primalnog ograničenja "trećeg tipa" u primal-

nom modelu LP.

59) Šta predstavlja sljedeći izraz: N,1i0YX ii =∀=⋅ ? 60) Kako matematski glasi teorema ''Princip oslabljene komplementarnosti'' u LP-u? Ob-

jasniti kako se taj princip primjenjuje na određivanje optimuma duala ako je poznato optimalno rješenje primala?

61) Na osnovu čega se utvrđuje postojanje višestrukog optimalnog rješenja u zadatku li-

nearnog programiranja grafičkim i simplex algoritmom?

62) Napisati u kondenzovanom obliku polazni primalni model linearnog programiranja. 63) Napisati u kondenzovanom obliku polazni dualni model linearnog programiranja. 64) Koji uslovi trebaju biti zadovoljeni da bi simplex tabela, koja odgovara linearnom

programu maksimizacije, bila optimalna? 65) Po definiciji, kako se u tekućoj bazi B′ izražava vektor A ?


614

66) Koji kriterij mora da zadovolji nebazični vektor Aj kod simplex tabele linearnog pro-blema maksimizacije da bi eventualno ušao u bazu? Odgovor obrazložiti.

67) Kod nekog problema linearnog programiranja poznata je optimalna simplex tabela:

CS 10 10 0 0 0 - M

CB B A0 A1 A2 A3 A4 A5 A5*

0 A3 50 0 0 1 -½ 1 -1

10 A2 200 0 1 0 ½ 1 -1

10 A1 100 1 0 0 0 -1 1

CS - fS 3000 0 0 0 -5 0 -M

A) Na osnovu ponuđene tabele odrediti: i) Koji je bio cilj Max f ili Min f? ii) Koliko je optimalno f ? iii) Kojeg polaznog tipa su ograničenja? Koje su optimalne vrijednosti polaznih

primalnih varijabli Xp i izravnavajućih primalnih varijabli Xn+i ?

B) Na osnovu ponuđene tabele odrediti: iv) Optimalnu vrijednost duala g ? v) Koje su optimalne vrijednosti polaznih dualnih varijabli Yn+i i izravnavajućih

dualnih varijabli Yp ?

68) Kod nekog problema LP-a data je polazna simplex tabela:

20 25 12 0 0 C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A5 0 X4 6000 6 5 2 1 0 0 X3 9000 4 5 6 0 1

Cj-fj 0 20 25 12 0 0

a) Ako se zna da je cilj max f, napisati kako glasi model. b) Koliko ima polaznih primalnih varijabli? c) Koliko ima polaznih dualnih varijabli? d) Kojeg tipa su ograničenja i da li je model simetričan?


615

e) Ako bismo vektor A2 uključili u bazu, koliku vrijednost on treba uzeti i koliko bi se tada popravila vrijednost funkcije cilja?

f) Da li je bolje uključiti u bazu vektor A2 ili A1? Obrazložiti odgovor. 69) Napisati kondezovani opšti oblik dualnog modela linearnog programiranja koji odgo-

vara polaznom primalnom modelu:

∑=

=n

ppp xcfMax

1)(

k

n

ppkp dxa ≤∑

=1, k=1…K

l

n

pplp dxa ≥∑

=1, l=K+1,…K+L

0≥px , p=1, ..n

70) Koje metode se koriste za dobivanje polaznog plana transportnog modela?

71) Koje metode se koriste za unapređenje tekućeg plana transportnog modela? 72) U modelu transporta a>b, broj izravnavajućih primalnih varijabli je jednak:

a) broju ishodišta b) broju odredišta c) nema izravnavajućih varijabli jer je model zatvoren.

73) U optimalnom rješenju problema asignacije dobijena je sljedeća vrijednost 0ˆ35 =x .

Objasniti značenje dobijenog izraza.

74) Navesti korake u primjeni metode asignacije. 75) Koliko pozitivnih vrijednosti xij mora biti u rješenju transportnog modela sa m ishodiš-

ta i n odredišta da bi rješenje bilo degenerisano?

616

4.8. Zadaci za vježbu Zadatak 4.1. Neko preduzeće proizvodi dva tipa skija, skije za trčanje T1 i skije za slalom T2. Relevantni podaci o proizvodnom programu dati su u tabeli.

BROJ RADNIH SATI PO PARU

SKIJA T1

BROJ RADNIH SATI PO PARU

SKIJA T2

KAPACITET U SATIMA (mjesečni)

ODJEL ZA PROIZVODNJU 5 4 750 ODJEL ZA FINALIZACIJU 5 2 450 PROFIT PO SKIJI 40$ 30$

Ispitivanjem tržišta preduzeće je odlučilo da proizvodnja skija za slalom bude najmanje dva puta veća od proizvodnje skija za trčanje. Treba:

a) Pronaći optimalan program proizvodnje u cilju maksimizacije mjesečnog profita predu-zeća i analizirati rješenje;

b) Ako bi se povećao profit po paru skija za slalom za 10$ ,kakva bi bila posljedica po optimalnom programu proizvodnje?

Zadatak 4.2. Jedan lanac restorana želi proširiti svoju djelatnost otvarajući nove restorane u određenim gradovima.

Za jedan novi restoran tipa FAST FOOD potrebno je 20 000 KM i 2 nova radnika, a očeki-vani godišnji prihod je 200 000 KM.

Za jedan novi restoran tipa CLASIC potrebno je 30 000 KM i 4 nova radnika, a očekivani godišnji prihod je 500 000 KM.

Preduzeće ima na raspolaganju 600 000 KM i zakonski ugovor zahtijeva da uposli najmanje 44 nova radnika.

Istraživanje tržišta je pokazalo da restorana tipa FAST FOOD treba biti najmanje za 10 više od restorana tipa CLASIC.

a) Pronaći optimalan program program širenja djelatnosti u cilju maksimizacije profita i analizirati rješenje.

b) Ako bi se naknadnim istraživanjem tržišta u gradovima ustanovilo da ne treba više od 6 restorana tipa CLASIC, kako bi to uticalo na optimalan plan proizvodnje?

ZADACI ZA VJEŽBU

617

Zadatak 4.3. Electrocom korporacija proizvodi dva tipa proizvoda: klima uređaje i velike ventilatore. Proces proizvodnje za svaki proizvod je sličan: zahtijeva se određena količina ožičavanja i određena količina bušenja.

Svaki klima uređaj traži 3 sata ožičavanja i 2 sata bušenja, a za svaki ventilator treba 2 sata ožičavanja i 1 sat bušenja.

U narednom proizvodnom periodu raspolažemo sa 240 sati ožičavanja i do 140 sati buše-nja.

Svaki klima uređaj donosi profit od 25 USD, a svaki ventilator donosi profit od 15 USD.

Menadžment kompanije je potpisao ugovor kojim se garantuje isporuka 20 klima uređaja. Ispitivanjem tržišta su ustanovili da ponudu ventilatora treba ograničiti na maksimalno 80 komada u narednom proizvodnom periodu.

a) Odrediti optimalnu kombinaciju proizvodnje klima uređaja i ventilatora u narednom periodu koja će osigurati najveći profit Electocomu;

b) Izvršiti analizu optimalnog programa proizvodnje;

c) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih.

Zadatak 4.4. Preduzeće proizvodi dva proizvoda (A i B). Oba proizvoda se proizvode na strojevima ka-paciteta 250 sati mjesečno. Za jedan sat rada strojeva izradi se 3 jedinice A proizvoda, ili 1,5 jedinica B proizvoda.

Prodaja proizvoda B je ograničena na 300 jedinica mjesečno.

Iz jedinice osnovne sirovine može se proizvesti 6 jedinica A proizvoda ili 10 jedinica B proizvoda.

Mjesečno se može obezbijediti najviše 90 jedinica te sirovine.

Dobit po jedinici A proizvoda je 20 KM a po jedinici B proizvoda je 50 KM.

Treba:

a) Odrediti program proizvodnje koji osigurava najveću dobit; b) Izvršiti analizu optimalnog programa; c) Odrediti da li će biti promijenjen optimalni program proizvodnje ako je naknadno usta-

novljeno da se mora proizvesti najmanje 100 jedinica proizvoda A mjesečno.

Uputstvo: (Potrebno je prethodno izraziti koliko sati ili sirovine treba za jedinicu proizvoda A ili B. Npr: Za jedan sat rada strojeva izradi se 3 jedinice A proizvoda, ili 1,5 jedinica B proizvoda ⇒ za jedinicu dobra A potrebno je 1/3 sata rada strojeva ...)


618

Zadatak 4.5. Kandidat za gradonačelnika u gradu XYZ je izdvojio 40 000 USD za oglašavanje u poslje-dnjem danu pred izbore. Planirano je da se koriste dva tipa oglašavanja: radio i televizija.

Oglas na radiju košta 200 USD i procjenjuje se da će svako oglašavanje na radiju čuti novih 3000 osoba.

Oglas na TV košta 500 USD i procjenjuje se da svaki TV oglas informiše novih 7 000 osoba.

U planiranju reklamne kampanje menadžer bi želio da oglase čuje što više ljudi, ali ugovo-rom su ograničeni da:

- moraju imati najmanje 10 oglasa svakog tipa i - da radio oglasa mora biti najmanje toliko koliko i TV oglasa.

a) Odrediti koliko oglašavanja svakog tipa treba koristiti da bi se informisalo što više ljudi i koliko maksimalno ljudi će čuti oglase.

b) Izvršiti analizu optimalnog programa; c) Ako bi ugovorom bilo određeno da moramo imati najmanje 20 TV oglasa, a ostali uslo-

vi ugovora ostaju nepromijenjeni, da li bi tada više ljudi bilo informisano?

Zadatak 4.6. Brokerska firma BLW je izvršila analizu i preporučila dvije dionice jednom investitorskom klubu profesora. Profesori su bili zainteresovani za faktore kao što su: kratkoročni rast vri-jednosti, srednjoročni rast vrijednosti i stope dividendi.

Traženi podaci za svaku dionicu su:

Faktor Luizijana Gas & Power

Trimex Insulation Company

Očekivani kratkoročni rast po uloženom dolaru 3,6% 2,4%

Očekivani srednjoročni rast (u toku naredne 3 godine) po uloženom dolaru 20% 25%

Očekivana stopa dividendi (godišnja) 4% 8%

Članovi kluba imaju sljedeće investicijske ciljeve:

Porast vrijednosti ne manji od 720 $ za kratkoročni period,

Porast vrijednosti ne manji od 5 750 $ za srednjoročni period,

Prihod od dividendi ne manji od 200 $ na godišnjem nivou.

Koja je najniža suma koju klub profesora treba uložiti kako bi postigao gore navedene ci-ljeve i uz koju kombinaciju ulaganja? Odrediti „uska grla” optimalnog programa i koje ograničenje je suvišno.

ZADACI ZA VJEŽBU

619

Zadatak 4.7. Uspješna firma koja gradi dva tipa skladišta (Maxi i Mini) je odlučila da razvije posao na teritoriji X. Zakonski ugovor im dozvoljava korištenje maksimalno 8000 m2 prostora i to 100 m2 po Maxi, a 50 m2 po Mini tipu skladišta.

Istraživanje tržišta je pokazalo da na ovoj teritoriji ne treba više od 60 skladišta tipa Maxi. Raspoloživi mjesečni budžet firme za oglašavanje je 400 $, i to 2 $ po Maxi i 4 $ po Mi-ni. Ako je mjesečni profit firme 50 $ po Maxi tipu i 20 $ po Mini tipu skladišta, napraviti op-timalan program izgradnje ovih tipova skladišta da bi firma ostvarila maximalan profit. Analizirati rješenje i odrediti kakav bi efekat na optimalno rješenje imao mjesečni porast profita po Mini tipu skladišta za 50% .

Zadatak 4.8. Dekan Western Business Collegea mora isplanirati ponude kurseva za jesenji semestar. Ugovor fakulteta diktira najmanje 55 obaveznih i izbornih kurseva ukupno.

Studenti zahtijevaju bar 20 izbornih kurseva.

Na svaki obavezan kurs fakultet zapošljava 2 nastavnika, a na svaki izborni 3 nastavnika, dok fakultet raspolaže sa najviše 150 nastavnika za jesenji semestar.

Analizom troškova je utvrđeno da svaki obavezan kurs košta 3000$, a svaki izborni 2500$.

a) Napraviti optimalan plan broja obaveznih i izbornih kurseva da bi se minimizirali troš-kovi fakulteta.

b) Da li bi se troškovi fakulteta povećali ako bi studenti tražili barem 30 izbornih kurseva?

Zadatak 4.9. Neka su na raspolaganju samo dva artikla dnevne prehrane A1 - hljeb i A2 - meso koji sadr-že hranjive sastojke H1 - bjelančevine, H2 - masti, H3 - ugljikohidrate. Svi potrebni podaci i minimalne dnevne potrebe hranjivih sastojaka za osobu određene težine i dobi, kao i cijene dati su u tabeli:

Hranjivi sastojci (u gramima) A1 (u 100 gr.) A2 (u 100 gr.) Dnevne potrebe

u gr. H1 8 16 104 H2 2 24 66 H3 50 0 360

Cijena po 100gr. 0,70 KM 4,00 KM


620

a) Odrediti optimalan program dnevne prehrane s tim da troškovi za hranu budu minimal-ni. Protumači dobiveno rješenje!

b) Formirati dualni model i, ako se zna da je 4y = 0,13 KM/gr, objasniti značenje ove vri-jednosti.

Zadatak 4.10. Jedno poduzeće izvozi dva proizvoda A, B u dvije zemlje Z i W.

Za zemlju Z vrijednost izvoza je ograničena na 30 000$, po cijeni od 1$ za komad proizvo-da A i 2$ za proizvod B.

Za zemlju W vrijednost izvoza je ograničena na 60 000$, po cijeni od 3$ za komad proiz-voda A i 2$ za proizvod B.

Proizvod A se mora izvesti u količini od najmanje 6 000 komada.

Devizni efekat po komadu proizvoda A iznosi 180$, a proizvoda B 120$. a) Odrediti optimalan program izvoza proizvoda A i B za koji će se ostvariti maksimalan

devizni efekat. b) Ako se devizni efekat po proizvodu B poveća za 10%, da li biste onda odabrali drugači-

ji optimalan plan?

Zadatak 4.11. Novi pogon nekog preduzeća treba da proizvodi proizvode A, B, C. Istraživanja tržišta su pokazala da: proizvoda A treba proizvoditi najviše 1800 jedinica, proizvoda B treba proiz-voditi najmanje 4200 jedinica, proizvoda C treba proizvoditi najmanje 2400 jedinica.

Za proizvodnju ovih proizvoda treba da obuči radnike kvalifikacija K1 i K2. Troškovi obuke jednog radnika kvalifikacije K1 iznose 300 KM, a radnika K2 400 KM. Jedan radnik jedne ili druge kvalifikacije može u toku radnog vremena da proizvede sljedeću količinu proizvo-da A, B, C:

Jedan radnik A (jed.) B (jed.) C (jed.)

K1 1 3 1 K2 1 2 4

a) Koliko radnika kvalifikacija K1, K2 treba obučiti da troškovi preduzeća budu mini-malni?

b) Izvršiti standardizaciju modela i analizirati rješenje.

ZADACI ZA VJEŽBU

621

Zadatak 4.12 Fabrika obuće je u program proizvodnje uvrstila novi model muških cipela i ženskih čizmi-ca za čiju proizvodnju se koriste iste sirovine. Za obradu jednog para cipela koristi se 1 m kože, a za čizmice 2 m kože. Za obradu jednog para cipela neophodno je utrošiti 6 sati rada, a za proizvodnju čizmica 3 sata rada. Za potrebe izrade prve serije nabavljeno je 2400 m kože i može se angažovati 4500 radnih sati. Ustanovljeno je da proizvodnja ženskih čizmi-ca mora biti bar dva puta veća od muških cipela!

Profit po jednom paru cipela je 25 KM, a po jednom paru čizmica 30 KM.

a) Odrediti optimalan program proizvodnje u jednoj seriji za koji bi se ostvario maksima-lan profit poduzeća.

b) Formirati dualni model, izračunati i protumačiti dualnu varijablu 3y .

Zadatak 4.13. Pobjednik na teksaškom lotou je odlučio da godišnje investira do 50000$ u dionice. U raz-matranje su uzete dionice Petrohemije i JP Vodovod i Elektroprivreda. Plan je da se na duži vremenski period dobije što veći povrat. Uzeti su u obzir i rizici od ulaganja u dionice koje su na tržištu. Index rizika na skali od 1-10 (sa 10 kao najrizičnijom skupinom) je dodijeljen svakoj dionici. Ukupni rizik portfolija se dobije množeći rizik svake dionice sa ulaganjem u tu dionicu.

U tabeli je prikazan povrat i rizik.

Očekivani povrat Rizik Petrohemiska industrija 12% 9 JP. Vodovod i Elektroprivreda 6% 4

Investitor bi želio da maximizira povrat, ali prosječan rizik ne smije biti veći od 6.

Koliko bi trebalo biti investirano u svaku dionicu? Koji je prosječan rizik? Koji je očekiva-ni povrat?

Zadatak 4.14. U štampariji se štampaju tri vrste knjiga: A, B, C, uz jedinične troškove: 15 KM/kom A, 10 KM/kom B, 12 KM/kom C.

Istraživanjem tržišta je ustanovljeno da knjiga tipa A treba proizvesti najmanje 100 kom više nego knjiga B i C zajedno. Dogovoreno je da se u takvoj proizvodnji angažuje mini-malno 420 rč, a zna se da se treba utrošiti: 2 rč/kom A, 3 rč/kom B i 4 rč/kom C.

a) Formirati model datog problema ako je cilj minimizirati troškove;


622

b) Slobodno izabranom metodom pronaći optimalno rješenje i izvršiti analizu ispunjenja ograničenja;

c) Formirati odgovarajući dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenj-ljivih;

d) Protumači značenje optimalne vrijednosti dualnih varijabli.

Zadatak 4.15. U hranjenju pilića dnevni obrok treba da sadrži najmanje 18 jedinica hranljivog sastojka A, 16 jedinica hranljivog sastojka B i 24 jedinice hranljivog sastojka C. Dvije vrste hrane I i II koje se koriste u spravljanju dnevnog obroka sadrže sljedeći broj jedinica hranljivih sastojaka:

I IIA 6 2 B 2 4 C 2 12

Nabavna cijena I vrste hrane je 8 KM, a hrane II je 12 KM. Treba:

a) Izračunati sastav obroka koji osigurava najjeftiniju hranu i cijenu koštanja obroka; b) Izvršiti analizu ovog optimalnog programa isporuke; c) Formirati dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih i dati nji-

hovo ekonomsko značenje.

Zadatak 4.16. Davalac usluga »Com.co« za kompjutersku obradu podataka ima cijene 1000 KM na minu-tu visokoprioritetnog vremena i 600 KM na minutu niskoprioritetnog vremena. Korisnicima njihovih usluga treba najmanje 5 minuta visokoprioritetnog vremena dnevno, a davalac usluga može obezbijediti najviše 40 minuta za obradu podataka i to najviše 10 minuta viso-koprioritetnog vremena, dnevno.

a) Koliko kojeg vremena bi trebalo biti kupljeno pa da »Com.co« maksimizira svoj pri-hod?

b) Ispitati da li će rješenje ostati optimalno ukoliko davalac usluga snizi cijenu visokoprio-ritetnog vremena za 20% .

Zadatak 4.17. Napravljeni su projekti za dva prigradska naselja M i N koja se mogu etapno izgrađivati. Za prvu etapu njihove izgradnje grad je obezbijedio sljedeća namjenska investiciona sredstva: 200 nj za puteve, 130 nj za vodovod i 108 nj za kanalizaciju.

Prema projektima, za navedene infrastrukture na svakih 1000 stanovnika treba utrošiti :

ZADACI ZA VJEŽBU

623

Naselje M Naselje N Za puteve 2,5 5 Za vodovod 2 2 Za kanalizaciju 1,8 1,2

Uslovljeno je da u ovoj etapi treba izgraditi infrastrukturu u koju bi se uselilo najmanje 25000 stanovnika zbirno u oba naselja. a) Pronaći takav plan raspodjele navedenih namjenskih investicionih sredstava za naselja

M i N kojim će se izgraditi odgovarajuća infrastruktura za maksimalan broj stanovnika. b) Ako optimalno rješenje u a) nije jednoznačno, izabrati ono rješenje kojim će se najviše

uštedjeti namjenskih investicionih sredstava bez obzira na namjenu. c) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih koje od-

govaraju rješenju b).

Zadatak 4.18. Predviđena je proizvodnja dva proizvoda A i B. U proizvodnji se koristi stroj čiji je maksi-malan mjesečni kapacitet 1200 mč. Za izradu jedinice proizvoda A potrebna su 2 mč i za izradu jedinice proizvoda B potrebna su 2 mč. Za proizvodnju ovih proizvoda potrebno je obezbijediti najmanje 400 kg sirovine mjesečno. Iz 1 kg sirovine proizvede se ½ jedinice proizvoda A ili 1 jedinica proizvoda B.

Istraživanjem tržišta ustanovljeno je da se mjesečno može prodati najviše 500 jedinica proi-zvoda B i da se na svaku jedinicu proizvoda A mora proizvesti najmanje ½ proizvoda B.

Dobit po jedinici proizvoda A je 40 KM, a proizvoda B je 50 KM.

a) Utvrditi program proizvodnje koji osigurava najveću dobit i izvršiti analizu optimalnog rješenja;

b) Utvrditi posljedice na optimalno rješenje ako se dobit po jedinici proizvoda B poveća za 60%;

c) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih koje od-govaraju rješenju b).

Zadatak 4.19. Tvornica gume isporučuje proizvođaču traktora gume za male traktore trotočkaše i standar-dne traktore. Cijena isporuke gume za zadnji točak malog traktora G1 je 600 nj/kom, za prednji točak G2 je 1000 nj/kom i za standardni traktor je 1200 nj/kom.

Na strojevima mjesečnog kapaciteta 6 000 sati izradi se jedna guma G1 za 0,5 h, G2 za 0,5 h i G3 za 0,5 sati.


624

Za jednu gumu G1 treba 1,5 kg uvozne sirovine, za G2 gumu 2 kg i za G3 gumu 5 kg siro-vine. Uvoz je ograničen na najviše 42 t na mjesec.

Proizvođač traktora preuzima čitavu proizvodnju, s tim da guma G1 bude 2 puta više nego guma G2. Treba:

a) Odrediti mjesečni proizvodni program tvornice guma ako je cilj ostvarenje maksimal-nog ukupnog prihoda;

b) Izvršiti analizu ovog optimalnog programa isporuke; c) Formirati dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih i dati nji-


Zadatak 4.20. Jedan rudnik ugljena opskrbljuje tri potrošna mjesta. Rudnik može isporučiti najviše 1000 vagona uglja. Prvo i drugo mjesto troše zajedno 100 vagona ugljena više od trećeg mjesta, a drugo i treće mjesto zajedno troše najmanje 200 vagona. Troškovi prevoza po vagonu od rudnika do svakog mjesta potrošnje su: prvog 80 KM, drugog 120 KM i trećeg 80 KM.

a) Odrediti program opskrbe koji osigurava najniže troškove prevoza; b) Izvršiti analizu najpovoljnijeg rješenja; c) Formirati dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih i dati nji-


Zadatak 4.21. Preduzeće proizvodi tri vrste proizvoda A, B i C. Strojevi koji se koriste u proizvodnji ima-ju mjesečni kapacitet 1000 ms koji se mora u potpunosti iskoristiti. Jedinica proizvoda A može se izraditi za 1 sat, jedinica proizvoda B može se izraditi za 2 sata i C za 4 sata rada strojeva. Može se računati sa najviše 2500 rs radnika, a potrebno vrijeme za izradu jedinice proizvoda A je 2 sata, proizvoda B 1 sat i proizvoda C 2 sata.

Istraživanjem tržišta je ustanovljeno da se može prodati najviše 400 jedinica proizvoda A. Dobit po jedinici proizvoda A je 20 nj, proizvoda B 10 i proizvoda C 30 nj.

a) Ako je cilj maksimizirati dobit, izračunati optimalan program proizvodnje i izvršiti ana-lizu optimalnog programa;

b) Formirati odgovarajući dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih; c) Dati ekonomsko značenje vrijednosti 2y i 5y .

Zadatak 4.22. Preduzeće želi da odredi optimalan program proizvodnje tri tipa proizvoda: C, D, E, tako da minimizira ukupne troškove. Zna se da su troškovi proizvodnje: 1 KM/kg C, 2KM/m D i 3 KM/kom E.

ZADACI ZA VJEŽBU

625

Smije se utrošiti maksimalno 150 KM za kupovinu repromaterijala, a zna se da treba utroši-ti 1 KM/kg C, 0 KM/m D i 2 KM/kom E.

Raspoloživi fond je 200 radnih sati (rs) i on se mora u potpunosti iskoristiti, a zna se da treba angažovati 2 rs/kg C, 4 rs/m D i 1 rs/komE.

a) Proizvoljno izabranom metodom naći sve elemente oba optimalna programa proizvod-nje i izvršiti analizu ispunjenja ograničenja. Kojem programu biste dali prednost i zašto?

b) Formirati dualni model ovog problema i pronaći elemente njegovog optimalnog rješenja koje odgovara programu iz a).

Zadatak 4.23. Preduzeće proizvodi dva proizvoda (A i B). U procesu proizvodnje koriste se: strug kapaci-teta 50000 radnih sati, glodalice kapaciteta 40000 radnih sati i bušilica kapaciteta 24000 radnih sati. Da bi se proizvela jedinica proizvoda A potreban je rad struga u trajanju od 8 sati, glodalice 4 sata i bušilice 4 sata, a za jedinicu proizvoda B rad struga od 4 sata i gloda-lice 8 sati. Istraživanje tržišta je pokazalo da se na tržištu mora plasirati najmanje 1000 jedinica proizvoda A. Također treba uzeti u obzir da se proizvod A treba proizvesti u koli-čini najviše dva puta većoj od količine proizvoda B.

Cilj preduzeća je ostvarenje najveće dobiti.

a) Utvrditi takav program proizvodnje koji osigurava najveću dobit ako su dobiti po jedi-nici proizvoda A i B jednake;

b) Izvršiti analizu optimalnog programa proizvodnje; c) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih. Šta mo-

žemo zaključiti o polaznom rješenju?

Zadatak 4.24. Neko poljoprivredno dobro snabdijeva jabukama tri pijace A, B i C. Dobro može dnevno da isporuči maksimalno 600 kg jabuka.

Na pijacama A i B mora se ukupno isporučiti najmanje 10 kg više nego na pijacu C.

a) Ako su prodajne cijene jabuka na svim pijacama 100 nj/kg i ako su cijene transporta po kilogramu jabuka od dobra do pojedinačnih pijaca: 10 nj do A, 15 nj do B i 10 nj do C, kakav treba da bude optimalni plan isporuke jabuka pa da dobro ostvaruje najveću do-bit?

b) Izvršiti analizu ovog optimalnog programa isporuke; c) Formirati dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih i dati nji-



626

Zadatak 4.25. Fabrika konfekcije proizvodi dva tipa muških odijela, A i B. Odijela se proizvode od istog štofa, pri čemu se za odijelo A utroši 2,5 m platna, a za odijelo B 2,7 m.

Za šivenje odijela A utroši se 5 rs, dok za odijelo B treba 3 radna sata. Fabrika raspolaže sa 27 000 m štofa i 42 000 radnih sati mjesečno.

S obzirom na ugovorene obaveze, odijela B se mora proizvoditi najmanje 3000 kom mjesečno.

Profit po odijelu A iznosi 90 KM, a po odijelu B 55 KM.

a) Treba odrediti optimalan plan mjesečne proizvodnje odijela i izvršiti analizu optimal-nog programa.

b) Formirati odgovarajući dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjen-ljivih.

Zadatak 4.26. Jedan mlin snabdijeva brašnom tri pekare A, B, C. Mlin može da isporuči najviše 1000 tona brašna u toku mjeseca.

U pekare A i B zajedno mora isporučiti 100 tona brašna više nego pekari C. Pekarama B i C zajedno mora isporučiti najmanje 200 tona brašna.

Troškovi prevoza brašna od mlina do pekare po jednoj toni iznose: 80 KM do pekare A, 120 KM do pekare B i 80 KM do pekare C.

Treba utvrditi program isporuke brašna koji osigurava da ukupni troškovi prevoza budu najmanji te izvršiti analizu tog optimalnog rješenja.

Zadatak 4.27. Kod nekog problema linearnog programiranja poznata je optimalna simplex tabela:

CS 10 10 0 0 0 - M CB B A0 A1 A2 A3 A4 A5 A5

*

0 A3 50 0 0 1 -½ 1 -1 10 A2 200 0 1 0 ½ 1 -1 10 A1 100 1 0 0 0 -1 1

CS - fS 3000 0 0 0 -5 0 -M

a) Na osnovu ponuđene tabele odrediti:

i) Koji je bio cilj Max f ili Min f i koliko je optimalno ∧

f ? ii) Kojeg polaznog tipa su ograničenja?

ZADACI ZA VJEŽBU

627

iii) Koje su optimalne vrijednosti: polaznih primalnih varijabli Xp i izravnavajućih primalnih varijabli Xn+i?

b) Na osnovu ponuđene tabele odrediti:

a) Optimalna vrijednost duala ∧

g ? b) Koje su optimalne vrijednosti: polaznih dualnih varijabli Yn+i i izravnavajućih du-

alnih varijabli Yp? c) Na osnovu prethodne simplex tabele rješenje problema nije jedinstveno. Kompletirati

simplex tabelu sa drugim optimalnim rješenjem.

Zadatak 4.28. Jedna građevinska firma treba distribuirati tri vrste materijala A, B, C uz jedinične troškove 15 KM/ m3 materijala A, 10 KM/m3 materijala B i 12 KM/m3 materijala C. Ustanovljeno je:

- da materijala A treba distribuirati 90 m3 više nego materijala B i C zajedno.

- da se takvom distribucijom treba angažovati minimalno 120 radnih sati i to: 1 rs/m3 mate-rijala A, 2 rs/m3 materijala B i 2 rs/m3 materijala C.

a) Formirati model ako je cilj minimizirati troškove distribucije. b) Simplex metodom pronaći optimalno rješenje problema. Kako bi se zadatak riješio gra-

fičkom metodom? c) Analizirati ograničenja.

Zadatak 4.29. Fabrika duhana proizvodi tri vrste cigareta: light (L), superlight (SL), ultralight (UL), koje kao gotovi proizvodi prolaze kroz dva procesa: P1 – kontrola i P2 – pakiranje. Tehničko- tehnološki uslovi ova dva procesa obrade, kao i raspoloživi sedmični fond sati, dati su u tabeli:

Kutija (20 cigareta) L SL UL Raspoloživi fond sati P1 1 1 5 1200 r.s. P2 3 1 1 900 r.s.

Ako je prihod po kutiji (L), (SL), (UL) redom 15 KM, 6 KM, 10 KM treba:

a) Formirati model ako je cilj maksimizirati prihod fabrike. b) Simplex metodom pronaći optimalno rješenje problema. c) Za koliko će se povećati prihod ako fond sati pakiranja P2 povećamo za 1 rs?


628

Zadatak 4.30. Kompanija R proizvodi madrace i krevete. Prioritetni ugovor zahtijeva da kompanija proiz-vede najmanje 30 madraca ili kreveta u bilo kojoj kombinaciji. Kao dodatak, Unija sindikata ima dogovor sa poslodavcem da mašine moraju raditi najmanje 40 sati sedmično, što predstavlja jedan proizvodni period. Za svaki krevet je neophodno 2 sata rada, a za sva-ki madrac 1 sat rada mašine. Proizvedeni madrac košta 20 $, dok svaki proizvedeni krevet košta 24 $.

a) Riješiti problem tako da se minimiziraju ukupni troškovi proizvodnje. Problem riješiti koristeći simplex metod.

b) Protumačiti značenje dualne promjenjljive y3

Zadatak 4.31. BK korporacija u toku razvoja nove hrane za mačke nazvane Yum-Mix suočila se sa prob-lemom miješanja hrane. Standardima je utvrđeno da svaka konzerva Yum-Mixa mora sadržavati najmanje 30 jedinica proteina i 80 jedinica riboflavina. Ova dva sastojka su dos-tupna od strane dva konkurentska proizvođača komponenti za mačiju hranu.

Kod proizvođača A dodatak po kilogramu košta 9$, dok kod proizvođača B dodatak košta 15$ po kilogramu.Kilogram dodatka proizvođača A obezbijedi 1 jedinicu proteina i 1 jedi-nicu riboflavina po konzervi, dok kilogram dodatka B obezbjeđuje 2 jedinice proteina i 4 jedinice riboflavina po konzervi. Korporacija BK mora zadovoljiti standarde uz minimalne troškove.

a) Naći najbolju kombinaciju kupovine ova dva dodatka (A i B) da bi se ispunili zahtjevi uz minimalni trošak. Optimalno rješenje nađite koristeći simplex metod.

b) Potumačite vrijednost dualne promjenljive y1.

Zadatak 4.32. Dva tipa vitamina V1 i V2 mogu se konzumirati putem dva tipa tableta T1 i T2, koji se mogu kupiti po cijeni 24 nj za T1 i 25 nj za T2.

Dnevno treba konzumirati minimalno 10 jedinica V1, a maksimalno 12 jedinica V2. Tableta T1 sadrži 1 jedinicu V1 i 4 jedinice V2, dok tableta T2 sadrži 5 jedinica V1 i 1 jedinicu V2.

Treba odrediti onu kombinaciju konzumiranja tableta dnevno koja najmanje košta.

a) Formirati model datog problema; b) Simplex metodom pronaći optimalno rješenje datog problema; c) Formirati odgovarajući dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenlji-

vih i objasni značenje dualne promjenljive y1.

ZADACI ZA VJEŽBU

629

Zadatak 4.33. Za neki problem LP-a postavljen je sljedeći model:

;0;0;0

5021024

10510max

321

321

321

321

≥≥≥

≤++≥++

++=

xxx

xxxxxx

xxxf

a) Formirati odgovarajući dualni model: b) Napraviti standardni model, popuniti I simplex tabelu i odrediti najkorisniji vektor za

ulazak u bazu u narednoj iteraciji.

Zadatak 4.34. Kod nekog problema minimuma nakon jedne iteracije dobivena je sljedeća simplex tabela.

45 10 55 0 M 0 Cb B A0 A1 A2 A3 A4 A*4 A5

M A*4 65 20 5 10 -1 1 0 0 A5 50 1 1 1 0 0 1

Cs-Fs 65M 45-20M 10-5M 55-10M M 0 0

a) Da li je ova tabela optimalna? Kojeg su polaznog tipa ograničenja? b) Ako tabela nije optimalna, poboljšati rješenje kompletirajući novu simplex tabelu. c) Odrediti optimalne vrijednosti funkcije cilja, polaznih i dopunskih varijabli.

Zadatak 4.35. Za neki problem LP-a postavljen je sljedeći model:

;0;0;0

5026428

1129min

321

321

321

321

≥≥≥

≤++≥++

++=

xxx

xxxxxx

xxxf

a) Formirati odgovarajući dualni model; b) Napraviti standardni model, popuniti I simleks tabelu i odrediti najkorisniji vektor za

ulazak u bazu u narednoj iteraciji.


630

Zadatak 4.36. Kod nekog problema minimuma nakon jedne iteracije dobivena je sljedeća simplex tabela.

10 7 12 0 M 0 M Cb B A0 A1 A2 A3 A4 A4* A5 A5

* 12 A3 7/2 1/2 1/2 1 -1/2 1/2 0 0 M A5

* 1/2 3/2 1/2 0 1/2 -1/2 -1 1 Cs-fs 42+(M/2) 4 - (3M/2) 1 - (M/2) 0 6 - (M/2) (3M/2) - 6 M 0

a) Da li je ova tabela optimalna? Obrazložiti! Kojeg su polaznog tipa ograničenja? b) Ako tabela nije optimalna, poboljšati rješenje kompletirajući novu simplex tabelu. Od-

rediti optimalne vrijednosti funkcije cilja, polaznih i dopunskih varijabli.

Zadatak 4.37. Tri mlina snabdijevaju 4 pekare brašnom. Dnevni kapaciteti mlinova su: M1 25 t, M2 10; M3 35 t brašna.

Dnevne potrebe pekara P1, P2, P3, P4 iznose: 45 t, 15 t, 20 t, 30 t respektivno. Troškovi pre-voza za tonu brašna dati su u tabeli (u nekim nj):

P1 P2 P3 P4 M1 10 20 14 22 M2 12 10 8 18 M3 14 15 12 14

a) Izračunati program snabdijevanja pekara brašnom tako da ukupni troškovi transporta

budu minimalni; b) Reći koja pekara i u kojim količinama neće biti zadovoljena; c) Da li ima više optimalnih rješenja? Ako ima, napisati ih.

Zadatak 4.38. Tri tvornice džema (T1, T2, T3) istog vlasnika, izvoze džem u tri grada (G1, G2, G3). Količi-na džema koju tvornice nude u toku mjeseca su: T1 7000 kg, T2 12500 kg i T3 15 500 kg, dok su mjesečne potrebe gradova sljedeće: G1 6500 kg, G2 9000 kg, G3 16 500 kg. Dobiti vlasnika tvornica po kg džema date su u sljedećoj tabeli (u nekim nj):

G1 G2 G3 T1 7 8 6 T2 8 3 7 T3 9 6 3

ZADACI ZA VJEŽBU

631

a) Naći optimalan plan za vlasnika tvornica i analizirati dobijeno rješenje. b) Da li ima više optimalnih rješenja? Ako ima, napisati ih.

Zadatak 4.39. Četiri proizvođača neke sirovine (F1, F2, F3, F4) podmiruju potrebe tri pogona (P1, P2, P3) za tom sirovinom. Dnevni kapaciteti fabrika (F1, F2, F3, F4) su: 20, 50, 75, 55 tona respektivno, dok su dnevne potrebe pogona (P1, P2, P3) za sirovinom: 60, 50, 80 tona redom.

Utvrđeno je da ne postoji mogućnost prevoza sirovine iz F3 u P1. Troškovi prevoza po toni sirovine dati su u tabeli (u nekim nj):

P1 P2 P3 F1 7 4 7 F2 9 7 8 F3 - 5 6 F4 10 5 6

Cilj je utvrditi takav program snabdijevanja kojim bi se osigurao prevoz cjelokupne količi-ne sirovine uz najmanje troškove.

Zadatak 4.40. Vlasnik lanca trgovina treba iz svojih skladišta dostaviti brašno u 5 prodajnih centara (PC). U skladištu S1 nalazi se 200t, u skladuštu S2 200t, u skladištu S3 150t i u skladištu S4 200t brašna.

Prodajnim centrima treba: 100t za PC1, 200t za PC2, 400t za PC3, 200t za PC4 i 100t za PC5. Cijene transporta (po toni) od skladišta do centra dati su u tabeli:

PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 S1 3 10 4 2 3 S2 7 5 8 4 10 S3 5 8 15 7 12 S4 10 12 10 8 4

Treba odrediti:

a) Plan transporta robe koji će najmanje koštati i skladišta koja će biti ispražnjena. b) Navesti metode koje ste koristili za dobijanje polaznog optimalnog riješenja.


632

Zadatak 4.41. Vlasnik lanca treba iz svojih skladišta dostaviti šećer u 5 prodajnih centara (PC). U skladiš-tu S1 nalazi se 30t, u skladuštu S2 20t, u skladištu S3 50t šećera.

Prodajnim centrima treba: 25t za PC1, 15t za PC2, 55t za PC3, 20t za PC4 i 5. Cijene tran-sporta (po toni) od skladišta do centra dati su u tabeli (transport od S3 do PC1 nije moguć).

PC1 PC2 PC3 PC4 PC5

S1 2 3 4 5 6

S2 4 3 5 2 8

S3 - 4 10 5 5 Treba odrediti:

a) Plan transporta robe koji će najmanje koštati, koliko košta planirani transport i koji cen-tri će biti snabdjeveni.

b) Navesti metode koje ste koristili za dobijanje polaznog optimalnog riješenja.

Zadatak 4.42. Za potrebe tri industrijska centra (C1, C2 i C3) uvozi se jedna vrsta materijala iz tri zemlje

(Z1, Z2 i Z3) prema sljedećim uslovima:

Ponuda zemalja: a1 = 7000; a2 = 12500; a3 = 15500 kj materijala mjesečno;

Tražnja industrijskih centara: b1 =6500; b2 = 9000;b3 = 16500 kj materijala mjesečno;

Transportni troškovi po jedinici prevezenog materijala su (u nekim nj): c11 = 7 c12 = 8 c13 = 6 c21 = 8 c22 = 3 c23 = 7 c31 = 9 c32 = 6 c33 = 5

Naći optimalan plan transporta materijala za koji će ukupni troškovi transporta biti najmanji i odredi te troškove. Analizirati optimalan plan.

Da li ima više optimalnih rješenja? Ako ima - napisati ih, a ako nema - objasniti zašto.

Zadatak 4.43. Korporacija DL planira postavljanje novih mašina u postojećim fabrikama na lokacijama Decatur, Minneapolis i Carbondale. Analizirajući samo troškove transporta po jedinici treba:

a) Odrediti optimalan plan transporta mašina iz pojedinih skladišta B, C i D. Troškovi transporta po jedinici, kapaciteti i potrebe su dati u tabeli:

ZADACI ZA VJEŽBU

633

Decatur Minne-apolis

Carbon-dale

Kapa-citet

B 20 17 21 250 C 25 27 20 200 D 22 25 22 350

Potrebe 300 200 150

b) Odrediti po tom optimalnom planu koja skladišta neće biti ispražnjena. c) Odrediti vrijednost dualne varijable r12 i napisati koju informaciju nam ona nudi.

Napomena: Problem riješiti koristeći Vogelov metod za polazno rješenje i modi metod za optimizaciju.

Zadatak 4.44. Na konkurs raspisan za prijem po jednog prevodioca za engleski (E), francuski (F), španski (Š) i njemački jezik (Nj) prijavila su se tri kandidata. Nakon testiranja, dobili smo sljedeće vrijednosti:

E F Š NJ K1 3 2 5 4 K2 6 4 7 8 K3 1 6 3 7

Jedan kandidat može biti primljen za prevodioca samo za jedan jezik.

a) Izvršiti optimalan raspored tako da zbir poena koje su kandidati dobili na testu bude maksimalan.

b) Koje radno mjesto će ostati nepopunjeno?

Zadatak 4.45. Na nova radna mjesta M1, M2, M3 konkurisali su kandidati K1, K2, K3, K4 i K5. Odgovara-juće kvalifikacije nemaju: K2 za M2, K4 za M1 i K5 za M3.

Za ostala mjesta svi kandidati imaju odgovarajuće kvalifikacije. Nakon testiranja, kandida-tima su dodijeljeni odgovarajući negativni poeni i to redom po radnim mjestima: K1: 5, 11, 17; K2: 6, -, 18; K3: 7, 12, 19; K4: -, 13, 20; K5: 8, 14, -;

a) Kompletirati matricu rezultata kandidata. b) Izvršiti optimalan raspored kandidata na odgovarajuća radna mjesta tako da zbir nega-

tivnih poena bude minimalan. c) Koji kandidati neće biti primljeni?


634

Zadatak 4.46. Na raspisani oglas za obavljanje četiri poslovna zadatka (A, B, C, D) prijavilo se pet kandi-data. Kandidati imaju iste uslove za obavljanje posla, ali su dali izjavu da će, u slučaju neizvršavanja ugovora, platiti sljedeće nadoknade (u nekim nj):

Kandidati Poslovi K1 K2 K3 K4 K5

A 21 24 18 15 20 B 18 20 20 19 15 C 16 20 15 22 18 D 10 14 12 16 11

Sa kojim kandidatima bi trebalo zaključiti ugovor?

635

4.9. Rješenja zadataka za vježbu Rješenje 4.1. a) x1 – broj skija za trčanje, x2 – broj skija za slalom.

Funkcija cilja: Profit po skiji T1 je 40$, a po skiji T2 je 30$.

21 3040max xxf +=

Ograničenje I: Kapacitet odjela za proizvodnju je 750 sati, pa slijedi 75045 21 ≤+ xx Ograničenje II: Kapacitet odjela za finalizaciju je 450 sati, pa slijedi 45025 21 ≤+ xx Ograničenje III: Proizvodnja skija za slalom treba da bude najmanje dva puta veća od proizvodnje skija za trčanje, odnosno 12 2xx ≥

Model:

0;0

24502575045

3040max

21

12

21

21

21

≥≥

≥≤+≤+

+=

xx

xxxxxx

xxf

Grafikon 4.1. Određivanje optimalnog rješenja Prikaz modela Z 4.1

Skup mogućih rješenja je četverougao ABCO, a koordinate rubnih tačaka su: A: II ∩ III = (50, 100) B: I ∩ II = (30, 150) C (0, 187.5)

90 15II I

III

0

187,5

22

B

A

C

M

f0

fmax

x1

x2


636

Pravac funkcije cilja ćemo odrediti izborom proizvoljne tačke M (30, 100), pa njenim uvrštavanjem u 21 3040 xxf += imamo 40·30 + 30·100 = 4200.

Prava koja prolazi kroz M i paralelna je funkciji cilja je data sa f0: 40·x1 + 30·x2 = 4200

Presjeci sa osama ove prave su 14001050

21

12=⇒==⇒=

xxxx

Napominjemo da je dovoljno odrediti presjek sa jednom osom jer je druga tačka kroz koju prolazi prva f0 ustvari tačka M.

Optimalna tačka je ona rubna tačka koja je najudaljenija od koordinatnog početka, po pravcu funkcije cilja. U našem slučaju to je tačka B.

Elementi optimalnog plana su ;ˆ;ˆ 15030 21 == xx odnosno najbolje je mjesečno proizvo-diti 30 pari skija za trčanje i 150 pari skija za slalom i odgovarajući najveći profit će biti:

fmax = f (B) = 5700$ Analiza rješenja: Ograničenja I i II predstavljaju usko grlo programa, odnosno odjeli za proizvodnju i finalizaciju rade punim kapacitetom; proizvodi se 90 skija za slalom više od minimalno potrebne količine.

b) Ako bi se povećao profit po paru skija za slalom za 10$, onda bi se promijenila funkcija cilja i njen novi oblik bi bio:

max f0= 40·x1 + 40·x2 Ovom promjenom, mijenja se i pravac funkcije cilja, ali skup mogućih rješenja ostaje isti.

Grafikon 4.1´. Promjena pravca funkcije cilja

90 15II I

III

0

187,5

22

B

A

C

M

f0

fmax

x1

x2


637

Provjerom vrijednosti funkcije cilja u rubnim tačkama imaćemo sljedeće:

f (A) = 6000$; f (B) = 7200$; f (C) = 7500$; ⇒ Optimalan plan se promijenio (grafikon 4.1´.), odnosno optimalno je prizvoditi 187,5 pari skija za slalom, a ni jedan par skija za trčanje.

Rješenje 4.2. a) x1 – broj novih restorana tipa FAST FOOD x2 – broj novih restorana tipa CLASIC

Funkcija cilja maksimalan prihod 21 500000200000max xxf += Ograničenja: Za širenje djelatnosti imamo na raspolaganju 600 000 KM ⇒

6000003000020000 21 ≤+ xx Zakonski ugovor o minimalnom broju radnika koje treba zaposliti ⇒ 4442 21 ≥+ xx Istraživanje tržišta ⇒ 21 10 xx +≥ Model:

0;0

1044426000003000020000

500000200000max

21

21

21

21

21

≥≥

+≥≥+≤+

+=

xx

xxxxxx

xxf

Koordinate rubnih tačaka:

A: II ∩ III = (14, 4)

B: III ∩ I = (18, 8)

C (22, 0)

D (30, 0)


Proizvoljno M (20, 5) ⇒ 2·20 + 5·5 = 65

f0: 2·x1 + 5·x2 = 65 ⇒ (x1 = 0 ⇒ x2 = 13)

22 30

II I

III

0

11

20

B

A

C

M

f0

fmax

x1

x2

10D

Grafikon 4.2. Određivanje optimalnog rješenja


638


fmax = f (B) = 7 600 000

za ;8ˆ;18ˆ 21 == xx

Odgovor: Optimalno bi bilo otvoriti 18 restorana tipa FAST FOOD i 8 rastorana tipa CLASIC, a očekivani maksimalni pri-hod je 7 600 000 KM

Analiza rješenja:

− ograničenja I i III predstavljaju usko grlo programa, odnosno no-vac koji preduzeće ima na raspolaganju i tržišna potražnja su uska grla programa;

− program nudi upošljavanje 24 radnika više od minimalno zahtijevane granice;

b) Promijeniće se oblast mogućih rješenja, dobićemo još jedno ograničenje 62 ≤x .

Optimalno rješenje se pomjera u novu tačku E: IV ∩ I = (21, 6), a funkcija cilja ima manju vrijednost: f (E) = 7 200 000$ (grafikon 4.2.a.) Rješenje 4.3. x1 – broj klima uređaja x2 – broj ventilatora

Model:

0;0

8020140224023

1525max

21

2

1

21

21

21

≥≥

≤≥≤+≤+

+=

xx

xx

xxxx

xxf


22 30

II I

III

0

11

20

B

A

C

M f0

fmax

x1

x2

10D

IV E

Grafikon 4.2.a. Model sa dodatnim ograničenjem


639


fmax = 1900 za ;60ˆ;40ˆ 21 == xx Optimalno rješenje duala:

gmmin = 1900 za 0ˆ;0ˆ;5ˆ;5ˆ 6543 ==== yyyy Rješenje 4.4. Model: Optimalno rješenje: Analiza:

0,0

90101

61

300

2505,1

131

5020max

21

21

2

21

21

≥≥

≤+

≤

≤+

+=

xx

xx

x

xx

xxf

00018ˆ;300ˆ;150ˆ 21 === fxx

Rješenje 4.5. a) max f = 3000x1 + 7000x2

I 200 x1 + 500 x2 ≤ 40 000 USD II x1 ≥ 10 III x2 ≥ 10 IV x1 - x2 ≥ 0

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

Treba koristiti 175 oglasa na radiju i 10 oglasa na TV da bi informisali 595 000 ljudi.

b) Mijenja se ograničenje III, pa se optimalna tačka pomjera. Novo optimalno rješenje je

150 radio oglasa i 20 TV oglasa i f = 590 000, odnosno 5000 ljudi manje bi čulo oglase.

Ograničenja II i III su uska grla programa b) Dodavanje ograničenja

1001 ≥x nece uticati na op-timalno rješenje


640

Rješenje 4.6.


00025ˆ;00015ˆ;00010ˆ 21 === fxx

Grafikon 4.6. Određivanje optimalnog rješenja Rješenje 4.7.


8003ˆ;40ˆ;60ˆ 21 === fxx



641

Rješenje 4.8.


000145ˆ;40ˆ;15ˆ 21 === fxx

b) Skup mogućih rješenja bi se promi-jenio ako se promijeni ograničenje II, ali bi optimalno rješenje ostalo isto. Već im je u optimalnom slučaju ponu-đeno 40 izbornih kurseva.


Optimalno rješenje: 3,14ˆ;2ˆ;9ˆ 21 === fxx Rješenje 4.10.


Bazično 1: 0006003ˆ;0ˆ;00020ˆ 21 === fxx

Bazično 2: 0006003ˆ;5007ˆ;00015ˆ 21 === fxx

Sva optimalna rješenja imaju oblik:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡7500

150001

020000

ˆˆ

2

1 λλxx

b) Optimalno rješenje bi bila samo tačka 2, odnosno ;5007ˆ;00015ˆ 21 == xx ali bi vrijednost funkcije cilja bila veća.

Grafikon 4.10. Određivanje optimalnog rješenja. Dvije «rubne» tačke su optimalne.

Rješenje 4.11.

000480ˆ;300ˆ;1200ˆ 21 === fxx


642

Rješenje 4.12.

0;0

2450036

2400213025max

21

21

21

21

21

≥≥

≥≤+≤+

+=

xx

xxxx

xxxxf

00024ˆ;300ˆ;600ˆ 21 === fxx


0024ˆ;00030ˆ;00020ˆ 21 === fxx Rješenje 4.14.

2490ˆ;6667.36ˆ;6667.136ˆ 21 === fxx

Rješenje 4.15.

Optimalno rješenje je:

52ˆ;3ˆ;2ˆ 21 === fxx



643

Rješenje 4.16.

28000ˆ;30ˆ;10ˆ 21 === fxx

b) Neće


Rješenje 4.17.

65ˆ;15ˆ;50ˆ 21 === fxx


Rješenje 4.18.

29000ˆ;500ˆ;100ˆ 21 === fxx



644

Rješenje 4.19. Model zadatka

0;0;0

24200525,160005,05,05,0

12001000600max

321

21

321

321

321

≥≥≥

=≤++≤++

++=

xxx

xxxxxxxx

xxxf

Optimalno rješenje: 00088011ˆ;6600ˆ;1800ˆ;6003ˆ 321 ==== fxxx

Zadatak se može riješiti grafičkom metodom ili simplex algoritmom. Upotrebom simplex algoritma možemo primijetiti da se u prvoj simplex tabeli dobije degenerisano bazično rje-šenje jer vještačka varijabla koja je dodijeljena trećem ograničenju *

6x u prvoj tabeli ima vrijednost 0. U ovakvim slučajevima se može desiti da simplex algoritam ne funkcioniše najbrže, odnosno postoji opasnost od beskonačnog ponavljanja degenerisanog bazičnog rješenja. Koraci su pri rješavanju sljedeći: u prvoj iteraciji iz baze izlazi vještačka varijabla

*6x dodijeljena trećem ograničenju, a ulazi polazna varijabla 1x , u narednoj iteraciji treba

iz baze izbaciti izravnavajuću varijablu 4x , a u bazu ubaciti varijablu 2x . Na kraju iz baze izlazi varijabla 5x , a ulazi 3x

Grafičkim rješavanjem u koordinatnom sistemu x2Ox3 rješenje ima oblik:



645

Rješenje 4.20. Zadatak se može riješiti grafičkom metodom ili simplex algoritmom. Simplex algoritam izgleda:

80 120 80 0 M 0 M Cb B A0 A1 A2 A3 A4 A*5 A6 A*6 0 A4 1000 1 1 1 1 0 0 0

M A*5 100 1 1 -1 0 1 0 0M A*6 200 0 1 1 0 0 -1 1Cs-Fs 0 80 120 80 0 0 0 0M 300 -1 -2 0 0 0 1 0 Koristan! Koristan! (Cs-Fs)⋅Q 8000 12000 M -100 -200

80 120 80 0 M 0 M Cb B A0 A1 A2 A3 A4 A*5 A6 A*6 0 A4 900 0 0 2 1 -1 0 0

120 A2 100 1 1 -1 0 1 0 0M A*6 100 -1 0 2 0 -1 -1 1Cs-Fs 12000 -40 0 200 0 -120 0 0M 100 1 0 -2 0 2 1 0 Koristan! (Cs-Fs) ⋅Q 10000 M -100

80 120 80 0 M 0 M Cb B A0 A1 A2 A3 A4 A*5 A6 A*6 0 A4 800 1 0 0 1 0 1 -1

120 A2 150 0,5 1 0 0 0,5 -0,5 0,580 A3 50 -0,5 0 1 0 -0,5 -0,5 0,5

Cs-Fs 22000 60 0 0 0 -20 100 -100M 0 0 0 0 0 1 0 1 Nema više korisnih vektora, dobili ste optimum!

Rješenje 4.21. Zadatak se može riješiti grafičkom metodom ili simplex algoritmom. Optimalno rješenje: 50012ˆ;150ˆ;0ˆ;400ˆ 321 ==== fxxx

Rješenje 4.22.

Optimalno rješenje 1: 100ˆ;0ˆ;0ˆ;100ˆ 321 ==== fxxx

Optimalno rješenje 2: 100ˆ;0ˆ;50ˆ;0ˆ 321 ==== fxxx U oba optimalna rješenja II ograničenje je usko grlo, ali kod optimalnog plana 2 ostaje 150 KM za kupovinu repromaterijala pa bi ovom programu trebalo dati prednost.


646

Rješenje 4.23.

Optimalno rješenje: 7500ˆ;2500ˆ;5000ˆ 21 === fxx


Rješenje 4.24. Model zadatka

( ) ( ) ( )

0;0;0

10600

101001510010100max

321

321

321

321

≥≥≥

+≥+≤++

−+−+−=

xxx

xxxxxx

xxxf


Rješenje 4.25.


000761ˆ;5000ˆ;5400ˆ 21 === fxx



647

Rješenje 4.26. Model:

( )

0,,

200100

10008012080min1

321

32

321

321

321

≥

≥+ΙΙΙ=−+ΙΙ

≤++Ι++=

xxx

xxxxx

xxxxxxf

Standardizacija:

0,;0,,,,

2001100110

1000010111

10000001111

008012080min

*6564321

*6654321

*6654321

*6654321

*6654321

=≥

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+−++++

=++++−+

=++++++

++++++=

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

MxxMxxxxxf

Prva simplex tabela: 80 120 80 0 M 0 M C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A*

5 A6 A6*

0 A4 1000 1 1 1 1 0 0 0 M A5 100 1 1 -1 0 1 0 0 M A6

* 200 0 1 1 0 0 -1 1

300M 80 – M 120 – 2M 80 0 0 M 0

Druga simplex tabela: 80 120 80 0 M 0 M C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A*

5 A6 A6*

0 A4 900 0 0 2 1 -1 0 0 120 A2 100 1 1 -1 0 1 0 0 M A6

* 100 -1 0 2 0 1 -1 1

12000+100M -40 + M 0 200-2M 0 -120 M 0

koristan koristan


648

Treća simplex tabela: 80 120 80 0 M 0 M C0 B A0 A1 A2 A3 A4 A*

5 A6 A6*

0 A4 800 1 0 0 1 -2 1 -1 120 A2 150 1/2 1 0 0 3/2 -1/2 1/2 80 A3 50 -1/2 0 1 0 1/2 -1/2 1/2

22000 60 0 0 0 M-220 100 M-100

Optimalno rješenje

Rješenje 4.27.

a) i) max f = 3000 ii) I – ograničenje tipa ≤ ; II – ograničenje tipa ≤ ; III – ograničenje tipa ≥

iii) 1X = 100 2X = 200 (polazne varijable)

3X = 50 4X = 0 5X = 0 (izravnavajuće varijable)

b) i) g = 3000

ii) 3Y = 0 4Y = 5 5Y = 0 (polazne varijable)

1Y = 0 2Y = 0 (izravanavajuće varijable)

c) Rješenje nije jedinstveno jer nebazna varijabla A5 ima vrijednost 055 =− fc . Dakle, rješenje sa neće promijeniti ukoliko A5 uđe u bazu.

A5 ulazi, a A3 izlazi iz baze, pa je druga optimalna simplex tabela data sa:

CS 10 10 0 0 0 - M CB B A0 A1 A2 A3 A4 A5 A5

*

0 A5 50 0 0 1 -½ 1 -1

10 A2 150 0 1 -1 1 0 0

10 A1 150 1 0 1 -½ 0 1

CS - fS 3000 0 0 0 -10 0 -M-10

Napomenimo da u slučaju postojanja dva optimalna bazna rješenja mi ustvari imamo bes-konačno mnogo optimalnih opcija i sve te opcije se mogu dobiti kao konveksna linearna kombinacija bazna dva, tj.


649

( ) [ ]1,0;

5000

150150

1

00

50200100

5

4

3

2

1

∈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λλλ

xxxxx


( )

0,,

1202290

121015min1

321

321

321

321

≥

≥++ΙΙ=−−Ι

++=

xxx

xxxxxx

xxxf



( )

0,,

900312005

10615max1

321

321

321

321

≥

≤++ΙΙ≤++Ι

++=

xxx

xxxxxx

xxxf

Optimalno rješenje: 5ˆ

5700ˆ;75ˆ;825ˆ;0ˆ

5

321=

====y

fxxx

Rješenje 4.30. Prva simplex tabela

24 20 0 M 0 M Cb B A0 A1 A2 A3 A*3 A4 A*4

M A*3 30 1 1 -1 1 0 0M A*4 40 2 1 0 0 -1 1Cs-Fs 0 24 20 0 0 0 0M 70 -3 -2 1 0 1 0

Koris-tan!

Koris-tan!


650

... Posljednja simplex tabela

24 20 0 M 0 M Cb B A0 A1 A2 A3 A*3 A4 A*4

20 A2 20 0 1 -2 2 1 -124 A1 10 1 0 1 -1 -1 1

Cs-Fs 640 0 0 16 -16 4 -4M 0 0 0 0 1 0 1

Rješenje 4.31. Optimalno rješenje:

10ˆ300ˆ;20ˆ;0ˆ

1

21=

===y

fxx

Rješenje 4.32.

24 25 0 M 0Cb B A0 A1 A2 A3 A*3 A4

M A*3 10 1 5 -1 1 00 A4 12 4 1 0 0 1

Cs-Fs 0 24 25 0 0 0M 10 -1 -5 1 0 0 Koristan! Koristan!

24 25 0 M 0Cb B A0 A1 A2 A3 A*3 A4

25 A2 2 0,2 1 -0,2 0,2 00 A4 10 3,8 0 0,2 -0,2 1

Cs-Fs 50 19 0 5 -5 0M 0 0 0 0 1 0 Nema više korisnih vektora, nađeno je optimalno rješenje.


651

Rješenje 4.33. a) Dualni model:

( )

0;0

10251024

5010min1

54

54

54

54

54

≥≤

≥+ΙΙΙ≥+ΙΙ≥+Ι

+=

yy

yyyyyyyyg

b)

0;0;0;0;0

50210*24

0*010510max

54321

5321

44321

544321

≥≥≥≥≥

=+++=+−++

⋅+⋅−⋅+++=

xxxxx

xxxxxxxxx

xxMxxxxf

10 5 10 0 -M 0 Cb B A0 A1 A2 A3 A4 A*4 A5

-M A*4 10 4 1 2 -1 1 00 A5 50 2 1 1 0 0 1

Cs-Fs 0 10 5 10 0 0 0M -10 4 1 2 -1 0 0 Koristan! Koristan! Koristan! (Cs-Fs)*Q 25+10M 50+10M 50+10M

Rješenje 4.34. Tabela nije optimalna.

U narednoj iteraciji u bazu ulazi A2, a izlazi A*4

Rješenje 4.35. Dualni model:

( )

0;0

114212

9185026max1

54

54

54

54

54

≤≥

≤+ΙΙΙ≤+ΙΙ≤+Ι

+=

yy

yyyy

yyyyf


652

Prva simplex tabela:

9 2 11 0 M 0 Cb B A0 A1 A2 A3 A4 A*4 A5

M A*4 26 8 2 4 -1 1 00 A5 50 1 1 1 0 0 1

Cs-Fs 0 9 2 11 0 0 0M 26 -8 -2 -4 1 0 0 Koristan! Koristan! Koristan!

Rješenje 4.36. Nije optimalna tabela jer je cilj minimum, a imamo negativnih Cs-fs. Osim toga, u bazi se ne smije nalaziti vještačka varijabla.

Oba ograničenja su tipa ≥

U bazu ulazi A2 a izlazi A*5

Rješenje 4.37.

kj 14 15 12 14 ri P1 P2 P3 P4 Σ -4 M1 25

10 20 14 22 25 4, 4,*

-4 M2 12 10 10

8 18 10 2,*

0 M3 10 14

15 15

10 12 14

35 2, 2,

-14 M4 10 0 0 0

30 0

40 0,*

Σ 45 15 20 30 10, 2, 4 10, 5,

5, * 8, 6, 2 14,*

( )( )( ) 1214422

412414915420

14

13

12

=+−−==+−−==+−−=

ddd

( )( )( ) 814418

115410214412

24

22

21

=+−−=−=+−−=

=+−−=

ddd

( )( )( ) 212140

115140014014

43

42

34

=+−−=−=+−−=

=+−=

ddd

Korisna su polja (2, 2) i (4, 2). Kako je θ22 = 10 i θ42 = 10, sasvim je svejedno koje polje ćemo popuniti transportom.


653

kj 14 15 12 14 ri P1 P2 P3 P4 Σ -4 M1 25

10 20 14 22 25

-5 M2 12 10

10 8 18 10

0 M3 10 14

5 15

20 12 14

35 -14 M4 10

0 0 0 30

0 40

Σ 45 15 20 30

1249

14

13

12

===

ddd

( )( )( ) 914518

11258314512

24

23

21

=+−−==+−−==+−−=

ddd

( )( )( ) 212140

115140014014

43

42

34

=+−−=−=+−−=

=+−=

ddd

Korisno polje (4, 2). θ42 = 5, pa imamo:

kj 0 0 -2 0 ri P1 P2 P3 P4 Σ 10 M1 25

10 20 14 22 25

10 M2 12 10

10 8 18 10

14 M3 15 14 15

20 12 14

35 0 M4 5

0 5

0 0 30

0 40

Σ 45 15 20 30

12610

14

13

12

===

ddd

802

24

23

21

===

ddd

201

43

34

32

===

ddd

Dobili smo optimalan transport.

Zadatak nije jednoznačno rješiv jer postoje dva polja (2, 3) i (3, 4) koja također mogu ući u optima-lan program transporta.


654

II optimalan plan transporta:

P1 P2 P3 P4 Σ

M1 25 10 20 14 22

25

M2 12 5

10 5

8 18 10

M3 20 14 15

15 12 14

35

M4 0

10 0 0

30 0

40

Σ 45 15 20 30

III optimalan plan transporta:

P1 P2 P3 P4 Σ

M1 25 10 20 14 22

25

M2 12 10

10 8 18 10

M3 14 15 20

12 15

14 35

M4 20 0

5 0 0

15 0

40

Σ 45 15 20 30

Rješenje 4.38. Cilj je maksimum.

Optimalan plan transporta je dat u tabeli.

Vrijednost funkcije cilja je 257 000

G1 G2 G3 T1 0 3000 4000 T2 0 0 12500 T3 9500 6000 0

Rješenje 4.39. Cilj je minimum. Optimalan plan transporta je dat u tabeli. Vrijednost funkcije cilja je 1230 nj.



655

PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 S1 0 0 150 50 0 S2 0 0 200 0 0 S3 0 100 50 0 0 S4 100 100 0 0 0


PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 S1 25 0 5 0 0 S2 0 0 20 0 0 S3 0 15 10 20 5 S4 0 0 20 0 0

Rješenje 4.42. Kako su veći kapaciteti nego potrebe (otvoreni problem transporta), potrebno je uvesti fik-tivnu lokaciju (kolonu) sa potrebama 150.

Decatur Minnea-polis

Carbon-dale Fiktivno Kapacitet Kt

B 50 20

200 17

- 21

- 0

250 17, 3, 1 20

C 50 25

- 27

150 20

- 0

200 20, 5, 5 25

D 200 22

- 25

- 22

150 0

350 22, 0, 0 22

Potrebe 300 200 150 150 800 2, 8,* 1, 0,*

Ri 0 -3 -5 -22 Vogelov metod nam je dao polazno riješenje (nedegenerisano) sa odgovarajućom vrijed-nosti funkcije cilja: f = 13050. Modi metodom provjeravamo da li je rješenje optimalno. Testiranjem slobodnih polja dobijamo: d24 = -3 <0 i θ = 50


656

Postavićemo novi plan transporta i nova vrijednost funkcije cilja je za 150 nj (3*50) manja od polazne.

Decatur Minnea-polis Carbondale Fiktivno Kapacitet Kt

B 50 20

200 17

- 21

- 0

250 20

C - 25

- 27

150 20

50 0

200 22

D 250 22

- 25

- 22

100 0

350 22

Potrebe 300 200 150 150 800 Ri 0 -3 -2 -22

Svi dij su veći od 0, znači da je ovo optimalan plan.

a) u skladištu C ostaje 50 mašina, a u skladištu D 100 mašina. b) R2 = -3

Informacija: povećanje potreba u Minneapolisu za 1 izazvaće smanjenje funkcije ci-lja za 3 nj.

Rješenje 4.43. U pitanju je problem asignacije čiji je cilj maksimizirati vrijednost funkcije cilja

Tabela na kojoj provodimo algoritam mađarske metode je oblika (zatvoreni model):

3 2 5 4 6 4 7 8 1 6 3 7 0 0 0 0 -6 -6 -7 -8

i oduzete najveće vrijednosti iz svake kolone te matrica pomnožena sa (-1):

3 4 2 4 0 2 0 0 5 0 3 1 6 6 7 8


657

Sa ovom tabelom provodimo postupak asignacije za cilj min:

1 korak (oduzmemo najmanje elemente iz svakog reda)

3 4 2 4 -2 1 2 0 2 0 2 0 0 0 0 2 0 0 5 0 3 1 0 ⇒ 5 0 3 1 6 6 7 8 -6 0 0 1 2

Odnosno, kompletirana asignacija izgleda:

1 2 0 2

0 2 0 0 5 0 3 1

0 0 1 2

Odavde vidimo da će K1 biti primljen za prevodioca njemačkog, K2 za prevodioca špan-skog, K3 za prevodioca francuskog i K4 za prevodioca engleskog jezika.

Kako K4 ne postoji, to će ovo mjesto ostati nepopunjeno.

Vrijednost funkcije cilja je

max f = 19 poena

Rješenje 4.44. Matrica rezultata:

K1 K2 K3 K4 K5

M1 5 6 7 - 8 M2 11 - 12 13 14 M3 17 18 19 20 -

Zatvorimo model i na mjestima gdje ne možemo izvršiti asignaciju (mjesta sa -) upisujemo vrijednost M, podrazumijevajući da je M jako veliki pripadan broj (puno veći od svih osta-lih elemenata u matrici).


658

Min K1 K2 K3 K4 K5 M1 5 6 7 M 8 M2 11 M 12 13 14 M3 17 18 19 20 M

fiktivno 0 0 0 0 0 fiktivno 0 0 0 0 0

I faza (od svih elemenat u redu oduzmemo najmanji element u tom redu)

5 6 7 M 8 -5 11 M 12 13 14 -11 17 18 19 20 M -17 0 0 0 0 0 -0 0 0 0 0 0 -0

II i III korak

0 1 2 M 3 0 M 1 2 3 0 1 2 3 M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nova matrica i ponovna kategorizacija nula:

0 0 1 M 2 0 M 0 1 2 0 0 1 2 M

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0

Asignacija je završena. Zbog proizvoljnog izbora prve nule imamo više optimalnih planova:


659

0 0 1 M 2 0 M 0 1 2 0 0 1 2 M

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0

I plan: K1 na radno mjesto M1, K2 na radno mjesto M3, K3 na radno mjesto M2, min f = 5 + 18 + 12 = 35

II plan: K1 na radno mjesto M3, K2 na radno mjesto M1, K3 na radno mjesto M2, min f = 17 + 6 + 12 = 35

U oba optimalna plana kandidati K4 i K5 neće biti primljeni na posao.

660

Literatura Andrijić, S., (2002), Matematički modeli i metode programiranja u gospodarskom društvu, treće izdanje, Synopsis, Zagreb – Sarajevo

Backović, M., Vuleta, J., (2008), Ekonomsko Matematičke Metode i Modeli, šesto izdanje, Centar za izdavačku djelatnost Ekonomskog fakulteta u Beogradu, Beograd.

Chiang, A. C., (1996), Osnovne metode matematičke ekonomije, treće izdanje, Mate, Zag-reb

Dantzing, G., (2003), Linear Programming and Extensions, Princeton University Press, New Jersey

Dantzing, G., Thapa, (2003), M., Linear Programming: Theory and Extensions, Springer – Verlag, New York

Dorfman R.,Samuelson P., Solov, R., (1986), Linear Programming and Economic Analysis, Dover Publications, New York

Gass, S., (1970), An Illustrated Guide to Linear Programming, McGraw – Hill, New York

Gass, Saul I. (1985), Linear Programing: Methods and Applications, 5-th edition, McGraw – Hill, Inc. New York

Lasserre, J., B., (2009), Linear and integer programming vs. linear integration and coun-ting:a duality viewpoint, Springer, New York

Maros, I., (2003), Computational Techniques of the – simplex method, Kluwer Academic Publisher, Boston

Perić, V., (1980), Algebra, Svjetlost, Sarajevo

Render, B., Stair, R., Hanna, M.,(2003), Quantitative Analysis for Management, Eighth Edition, Prentice Hall, New Jersey

Stanojević, R., (1966), Linearno programiranje, Institut za ekonomiku industrije, Beograd

Stojanović, D., (1975), Matematičke metode u ekonomiji preduzeća, Savremena adminis-tracija, Beograd

661

Tourki, M., Backovic, M. (1994, Matematički modeli i metodi u ekonomiji, Ekonomski fakultet, Beograd

Vučković, Ž. (1983), Linearno programiranje, Savremena administracija, Sarajevo

Vučković, Ž., Kapetanović –Somun, R., (1988), Zbirka zadataka iz matematičkih metoda u ekonomskim istraživanjima, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo

Članci

N. Karmarkar, (1984), New polynomial-time algorithm for linear programming, http://www.eecs.berkeley.edu/~orecchia/working/kar

Ioannis Z. Emiris, John, John F. Canny, (1991), A General Approach To Removing Dege-neracies, http://www.cs.berkeley.edu/~jfc/papers/95/ECsiam95

Bartl, D.,(2007), Farkas' Lemma, other theorems of the alternative, and linear programming in infinite-dimensional spaces: a purely linear-algebraic approach, Linear & Multilinear Algebra; Jul2007, Vol. 55 Issue 4, Academic Search Complete, EBSCO,

McCarl, B.A., Spreen, T.H., (2002), Duality in linear programming, http://agecon2.tamu.edu/people/faculty/mccarl-bruce/mccspr/new04.pdf

Linkovi

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_programming

http://encyclopedia2.thefreedictionary.com/Linear+programming+duality

http://www. unix.mcs.anl.gov/otc/guide/faq/ Linear Programing Frequentli Asked Questions;

662

O autorima Prof. dr. Rabija Somun-Kapetanović, vanredni profesor, rukovodilac Katedre za kvantitativ-nu ekonomiju na Ekonomskom fakultetu u Sarajevu. Izvodila je i izvodi nastavu na predmetima Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu, Statistika u ekonomiji i menadžmentu, Eko-nomska analiza, Poslovna statistika na dodiplomskom i predmetima Ekonometrija, Eksperimentalna statistika i Metodologija naučno-istraživačkog rada na postdiplomskom studi-ju. Od 1994. godine ima status vanrednog profesora i učestvuje u nastavnom procesu i istraživanjima na Fakultetu ekonomskih nauka i upravljanja Univerziteta Louis Pasteur u Stras-bourgu u Francuskoj.

Autor je knjiga Statistika u ekonomiji i menadžmentu (2006. i 2008.) i Deskriptivna statistika (2004.) u izdanju Ekonomskog fakulteta u Sarajevu. Koautor je knjige Statistička (NUTS) regi-onalizacija BiH (2009.) u izdanju Ekonomskog instituta Sarajevo i Odbora za ekonomske nauke ANU BiH, te koautor Zbirke zadataka iz matematičkih metoda u ekonomskim istraživa-njima, u izdanju Ekonomskog fakulteta u Sarajevu, koja je od 1980. do 1990. godine imala pet izdanja.

Mr. sc. Almira Arnaut-Berilo, diplomirani matematičar i magistar ekonomskih nauka, sarad-nik je u nastavi na predmetima Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu i Operaciona istraživanja na Ekonomskom fakultetu u Sarajevu. Kao asistent je bila angažovana i na predme-tu Statistika u ekonomiji i menadžmentu, a kao spoljni saradnik na predmetu Algebra na Prirodno-matematičkom fakultetu u Sarajevu. Od 2008. godine ima status višeg asistenta na oblasti Kvantitativna ekonomija. Prijavila je temu doktorske disertacije „Multivarijacioni dina-mički modeli optimizacije portfolija na tržištu vrijednosnih papira“ na Ekonomskom fakultetu u Sarajevu. Ensar Šehić je diplomirao na Ekonomskom fakultetu Simon Fraser University, Kanada, i asis-tent je na oblasti Kvantitativna ekonomija na Ekonomskom fakultetu u Sarajevu. Učestvovao je u realizaciji nastavnog procesa na predmetima Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu, Operaciona istraživanja, Statistika u ekonomiji i menadžmentu i Business Mathematics and Sta-tistics, u okviru Sarajevo Business School studija u saradnji sa Griffith College Dublin. Prijavio je magistarski rad na temu “Kvantitativna analiza povezanosti ljudskog kapitala i međudržavnog kon-flikta“ na Ekonomskom fakultetu u Sarajevu. Elma Kahvić-Begić, diplomirani matematičar, profesor je matematike u Prvoj gimnaziji u Sa-rajevu. U zvanju asistent - spoljni saradnik angažovana je na predmetima Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu i Operaciona istraživanja na Ekonomskom fakultetu u Sarajevu. Student je postdiplomskog studija na smjeru Primijenjene matematike na Prirodno-matematičkom fakultetu u Sarajevu.

Documents

Kvantitativne Metode u EiM