149
KVANTNA FIZIKA E. Dobardˇ zi´ c Beograd, 2011

KVANTNA FIZIKA E. Dobard zi c Beograd, 2011€¦ · Raˇcunski zadaci zajedno sa detaljim reˇsenjima su dati u poslednje dve glave. ... EULER-LAGRANGEOVE I HAMILTONOVE JEDNACINE

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

  • KVANTNA FIZIKA

    E. Dobardžić

    Beograd, 2011

    http://www.nanolab.rs/

  • PREDGOVOR

    Tekst je nastajao tokom pet godina držanja kursa Kvantna Fizika na Fizičkom fakultetu,Kompjuterskom smeru sa Fizičkog i Astofizičkom smeru sa Matematičkog fakulteta. Izla-ganje tema, je u najvećem delu, napravljeno u tri koraka: (i) opis problema u okviruklasične fizike; (ii) rezultati koji se dobijaju u eksperimentu, a koji se kose sa klasičnomslikom i (iii) opis problema u kvantnoj fizici zajedno sa rezultatima koji se poklapaju saeksperimentom.

    Računski zadaci zajedno sa detaljim rešenjima su dati u poslednje dve glave. Označenisu po težini ◦teški zadaci i ∗zadaci koji izlaze iz okvira kursa. Razdvojeni su u četiri velikeoblasti: Kvantna kinematika, Kvantna dinamika, Angularni moment i Aproksimativnimetodi; sa još Dodatnim zadacima koji pripadaju oblastima kvantne mehanike koje nisuobuhvaćene ovim kursom.

    Autor je unapred zahvalan za sve primedbe koje će mu biti dostavljane.

    21.11.2011, Edib Dobardžić

    i

  • ii

  • Sadržaj

    1 Klasično stanje 1

    1.1 Princip najmanjeg dejstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Euler-Lagrangeove i Hamiltonove jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.3 Generalizacija principa najmanjeg dejstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.3.1 Primer: klatno u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.4 Klasično stanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2 Počeci kvantne mehanike 7

    2.1 Zračenje crnog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.2 Fotoelektrični efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.3 Heisenbergov mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.4 Bohr ov atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    3 Talasno ponašanje čestica 11

    3.1 Talasna jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.2 Eksperiment sa dva otvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.3 Da li elektroni putuju po trajektorijama? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    4 Kvantno stanje 15

    4.1 Novi prikaz kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    4.2 Hilbert-ov prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4.3 Diracova delta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4.4 Očekivane vrednosti, neodredenost i kvantno stanje . . . . . . . . . . . . . 17

    5 Dinamika kvantnog stanja 21

    5.1 Ehrenfestov princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    5.2 Schrödingerova talasna jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    5.3 Vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    5.4 Slobodna čestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    5.5 Gausijanski talasni paket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    5.6 Grupna brzina i Fazna brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    5.7 Čestica u zatvorenoj cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    5.8 Heisenbergov princip neodredenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    iii

  • iv SADRŽAJ

    6 Operatori i opservable 296.1 Verovatnoće merenja, operatori i opservable . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2 Opšti princip neodredenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.3 Relacije neodredenosti za energiju i vreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    7 Jame i barijere 337.1 Kvalitativni opis svojstvenih stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Koeficijenti refleksije i transmisije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.3 Slobodna stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.4 Stepenasti potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.5 Pravougaona jama: vezana stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    7.5.1 Parna stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.5.2 Neparna stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    7.6 Pravougaona jama: slobodna stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.7 Tuneliranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    8 Harmonijski oscilator 438.1 Operatori kreacije i anihilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.2 Algebra i srednje vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    9 Centralni potencijal i angularni moment 499.1 Komutatori angularnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.2 Svojstvene vrednosti angularnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.3 Svojstvene funkcije angularnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    9.3.1 Kruti rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.4 Radijalna jednačina za centralni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    9.4.1 Slobodna čestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.4.2 Vodonikov atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    10 Spin 5710.1 Spinske talasne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.2 Spin-orbitno sparivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    11 Slaganje angularnih momenata 6311.1 Primer: l = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.2 Opšti metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    12 Aproksimativni metodi 7112.1 Vremenski nezavisna perturbacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    12.1.1 Perturbovani i neperturbovani hamiltonijan . . . . . . . . . . . . . 7112.1.2 Perturbativni razvoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.1.3 Vǐse popravke za nedegenerisane nivoe . . . . . . . . . . . . . . . . 7312.1.4 Primer I: anharmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7412.1.5 Primer II: dvodimenzionalni harmonijski oscilator . . . . . . . . . 7412.1.6 Primer III: Starkov efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    12.2 Varijacioni metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

  • SADRŽAJ v

    12.2.1 Opšte karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7712.2.2 Primer: dvodimenzionalni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . 78

    13 Zadaci 8113.1 Kvantna kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8113.2 Kvantna dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8213.3 Angularni moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8513.4 Aproksimativni metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8713.5 ∗ Dodatni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    14 Rešenja zadataka 9314.1 Kvantna kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9314.2 Kvantna dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9514.3 Angularni moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11214.4 Aproksimativni metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12514.5 Dodatni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

  • Glava 1

    Klasično stanje

    U prvoj četvrtini dvadesetog veka su se zakoni kretanja koje su definisali Galileo, Newton,Lagrange, Hamilton, Maxwell, i mnogi drugi, pokazali kao neadekvatni za objašnjenje ve-likog broja fenomena vezanih za atome, elektrone i svetlost. Nakon velikog napora, novateorija (zajedno sa novim zakonom kretanja), pojavila se poznata pod nazivom kvantnamehanika, koja je sada osnova moderne fizike. Zakoni kretanja (prema Galileju, New-tonu,. . . ) koji su prethodili kvantnoj teoriji su danas poznati kao klasična mehanika.

    Iako se sada osvrt na klasičnu mehaniku smatra samo kao aproksimacija kvantnemehanike, ipak je tačno da je kvantna mehanika nadogradnja klasične mehanike. Dakle,ovde će se početi sa osvrtom na klasičnu mehaniku čiji su jedan od glavnih principaNewtonovi zakoni.

    1.1 Princip najmanjeg dejstva

    Razmatraće se telo koje se kreće u polju Zemljine teže na malim visinama. Neka jevisina tela, kao funkcija vremena, x(t), tzv. trajektorija tela. Na grafiku zavisnostivisine od vremena, x(t) je parabola u homogenom gravitacionom polju (otpor vazduha jezanemaren). Iako postoji beskonačno mnogo mogućih trajektorija, realizacija odredeneparabole zavisi od početnog impulsa tela.

    Ipak, ako se zahteva da telo padne na zemlju ∆t sekundi posle vertikalnog izbacivanjau vazduh, onda postoji samo jedna trajektorija. Problem kretanja tela u homogenomgravitacionom polju je lako rešiv, zbog čega će se dalje izvoditi metod za najopštiji po-tencijal V (x). Počinje se sa Newtonovim zakonom F = ma , koji je u stvari diferencijalnajednačina drugog reda:

    md2x

    dt2= − dV

    dx. (1.1)

    Pogodno je izraziti jednačinu drugog reda kao par jednačina prvog reda

    dx

    dt=

    p

    mi

    dp

    dt= − dV

    dx, (1.2)

    gde summasa i p impuls tela. Traži se rešenje koje zadovoljava granične uslove x(t0) = Xii x(t0 +∆t) = Xf , gde je Xi/f početna/krajnja visina.

    1

  • 2 GLAVA 1. KLASIČNO STANJE

    Često je ovaj problem lakše rešiti numerički, tj. pomoću računara, umesto tražitianalitičko rešenje koje u velikom broju problema ne postoji. Da bi se problem prilagodioračunaru, vreme ∆ se diskretizuje, tj. deli se na N manjih intervala dužine ε = ∆t/N ,odakle se za svako n = 0, 1, . . . , N može napisati:

    tn = t0 + nε, xn = x(tn), pn = p(tn), (1.3)

    uz granične uslove x0 = Xi i xN = Xf . Dalje, izvodi se aproksimiraju konačnim razlikamakao (

    dx

    dt

    )t=tn

    → x(tn+1)− x(tn)ε

    =xn+1 − xn

    ε(dp

    dt

    )t=tn

    → p(tn+1)− p(tn)ε

    =pn+1 − pn

    ε(d2x

    dt2

    )t=tn

    → 1ε

    [(dx

    dt

    )t=tn

    −(

    dx

    dt

    )t=tn−1

    ]=xn+1 − 2xn + xn−1

    ε2, (1.4)

    dok se integrali aproksimiraju sumama∫ t0+∆tt0

    df(t) →N−1∑n=0

    εf(tn), (1.5)

    gde je f(t) proizvoljna funkcija vremena. Kao što je poznato, desne strane jednakosti(1.4) i (1.5) teže vrednostima odgovarajućih levih strana kada ε→ 0.

    Sada se mogu aproksimirati zakoni kretanja zamenjujući izvode odgovarajućim konačnimrazlikama:

    xn+1 = xn +pnmε, i pn+1 = pn +

    dV (xn)

    dxnε. (1.6)

    Ovo su iterativne jednačine. Za datu visinu x i impuls p u trenutku t = tn, pomoću (1.6)se nalaze pozicija i impuls u trenutku t = tn+1. Aproksimacija konačnim razlikama dovodido greške reda veličine ε2. Ova greška se može smanjiti smanjivanjem ε.

    Dalje, aproksimiranje trajektorije pomoću računara se može dobiti na dva načina: (i)metodom pokušaja i promašaja; i (ii) metodom najmanjeg dejstva.

    Metod pokušaja i promašaja Jednačine kretanja (1.2) zahtevaju kao ulazne podatkei početnu poziciju x0 = Xi i početni impuls (koji je za sada neodreden). Metod se bazirana pogadanju početnog impulsa p0 = Pi, nakon čega se koriste jednačine (1.6) za nalaženjexn i pn za svako n = 1, 2, . . . , N . Ako je rešenje xN sa zadovoljavajućom tačnošću blizuXf onda je dobijena aproksimativna trajektorija {xn}, a ako nije onda se metod ponavljasa nekim drugim pokušajem p0 = P

    ′i .

    Metod najmanjeg dejstva Polazi se od Newtonovog zakona (1.1) koji se diskretizujepomoću (1.4) odakle se dobija

    m

    ε

    [xn+1 − xn

    ε− xn − xn−1

    ε

    ]= − dV (xn)

    dxn. (1.7)

  • 1.2. EULER-LAGRANGEOVE I HAMILTONOVE JEDNAČINE 3

    Jednačine se rešavaju za n = 1, 2, . . . , N uz fiksirane početne uslove x0 = Xi i xN = Xf .Poslednja jednakost (1.7) se može napisati kao totalni izvod

    d

    dxn

    [1

    2m(xn+1 − xn)2

    ε+

    1

    2m(xn − xn−1)2

    ε− εV (xn)

    ]= 0. (1.8)

    Dalje, uvodi se funkcional dejstva na trajektoriji koja zavisi od svih tačaka {xn}

    S[{xn}] =N−1∑n=0

    [1

    2m(xn+1 − xn)2

    ε− εV (xn)

    ].

    Sada se Newtonov zakon može reformulisati i reći da je funkcional dejstva stacionaran uodnosu na varijaciju svih osim krajnjih tačaka. Drugačije,

    d

    dxkS[{xn}] =

    d

    dxk

    N−1∑n=0

    [1

    2m(xn+1 − xn)2

    ε− εV (xn)

    ]=

    d

    dxk

    [1

    2m(xk+1 − xk)2

    ε+

    1

    2m(xk − xk−1)2

    ε− εV (xk)

    ]= ε [−ma(tk) + F (tk)] = 0, ∀k = 1, 2, . . . , N − 1.

    Skup poslednjih jednakosti je poznat kao princip najmanjeg dejstva. To je princip u komeje dejstvo S stacionarno za svaku trajektoriju {xn} koja zadovoljava jednačine kretanja1.7 u svim trenucima {tn}.

    Konačno, procedura pisana za računar bi tražila skup tačaka {xn} koji minimiziraveličinu Q =

    ∑k(∂S/∂xk)

    2.

    1.2 Euler-Lagrangeove i Hamiltonove jednačine

    Euler-Lagrangeove jednačine (1.1) su diferencijalne jednačine drugog reda dok su Hamil-tonove (1.2) jednačine prvog reda. Jednačine kretanja (oba oblika) se dobijaju iz principanajmanjeg dejstva.

    Počinje se od dejstva u diskretizovanoj formi

    S[{xn}] =N−1∑n=0

    εL[xn, ẋn],

    gde su ẋn = (xn+1 − xn)/ε i Lagrangeova funkcija

    L[xn, ẋn] =1

    2mẋ2n − V (xn).

    Dalje, princip najmanjeg dejstva dovodi do jednačina za k = 1, . . . , N − 1

    0 =d

    dxkS[{xn}] =

    N−1∑n=0

    εd

    dxkL[xn, ẋn] = ε

    ∂xkL[xk, ẋk] +

    N−1∑n=0

    ε∂L[xn, ẋn]

    ∂ẋn

    dẋndxk

    ,

  • 4 GLAVA 1. KLASIČNO STANJE

    a pošto je

    dẋndxk

    =

    , n = k − 1−1ε

    , n = k0 , u ostalim slučajevima,

    dobijaju se jednačine

    ∂xkL[xk, ẋk]−

    1

    ε

    {∂

    ∂ẋkL[xk, ẋk]−

    ∂ẋk−1L[xk−1, ẋk−1]

    }= 0.

    U kontinualnom limesu (ε→ 0) lagranžijan postaje

    L[x(t), ẋ(t)] =1

    2mẋ(t)2 − V [x(t)],

    dok je Euler-Lagrangeova jednačina

    ∂x(t)L[x(t), ẋ(t)]− d

    dt

    ∂ẋ(t)L[x(t), ẋ(t)] = 0.

    Iz prethodnog je lako dobiti Newtonov zakon

    m∂2x

    ∂t2+

    dV

    dx= 0.

    Da bi se dobile diferencijalne jednačine prvog reda uvodi se Hamiltonova funkcija

    H[p, x] = pẋ(x, p)− L[x, ẋ(x, p)](=

    p2

    2m+ V (x)

    ),

    odakle, pošto je ẋ funkcija od x i p, vidi se da jeH isto funkcija od x i p. Izvod Hamiltonovefunkcije po impulsu daje (p = ∂L/∂ẋ)

    ∂H

    ∂p= ẋ+ p

    ∂ẋ(x, p)

    ∂p− ∂L∂ẋ

    ∂ẋ(x, p)

    ∂p= ẋ

    (=

    p

    m

    ),

    dok izvod po koordinati dovodi do jednakosti

    ∂H

    ∂x= p

    ∂ẋ(x, p)

    ∂x− ∂L∂x

    − ∂L∂ẋ

    ∂ẋ(x, p)

    ∂x= −∂L

    ∂x= − dp

    dt

    (=

    dV

    dx

    ),

    što su Hamiltonove jednačine.

    1.3 Generalizacija principa najmanjeg dejstva

    Cela teorija vezana za princip najmanjeg dejstva je prevǐse opšta za slučaj kretanja telau homogenom gravitacionom polju. Ipak, za slučaj sistema u kome su uključeni zajedno,npr. opruge, poluge, klatna, itd., na neki komplikovan način, jednačine kretanja su dalekood očiglednih, i potreban je sistematičan način za njihovo nalaženje.

  • 1.3. GENERALIZACIJA PRINCIPA NAJMANJEG DEJSTVA 5

    Za svaki mehanički sistem, generalisane koordinate {qi} su skup varijabli potrebnihza opis konfiguracije sistema u nekom trenutku. Ove koordinate mogu biti Descartesovekoordinate i/ili ugao odstupanja klatna od ravnotežnog položaja, itd. Dinamika ovakvogsistema je odredena lagranžijanom koji zavisi od generalisanih koordinata i njihovih vre-menskih izvoda {q̇i}. Prirodno, u nerelativističkoj mehanici, prvo se nalazi lagranžijankoji je

    L[{qi}, {q̇i}] = Kinetička energija− Potencijalna energija,

    odakle se dobija dejstvo

    S =

    ∫dtL[{qi}, {q̇i}].

    Iz principa najmanjeg dejstva se dobijaju Euler-Lagrangeove jednačine

    ∂L

    ∂qi− d

    dt

    ∂L

    ∂q̇i= 0,

    koje su diferencijalne jednačine kretanja drugog reda. Da bi se dobile jednačine prvogreda uvode se generalisani impulsi

    pi ≡∂L

    ∂q̇i,

    odakle se dobija hamiltonijan

    H[{qi}, {pi}] =∑n

    pnq̇n − L[{qi}, {q̇i}],

    koji često ima formu

    H[q,p] = Kinetička energija + Potencijalna energija,

    i dovodi do diferencijalnih jednačina kretanja prvog reda

    q̇i =∂H

    ∂pii ṗi = −

    ∂H

    ∂qi.

    1.3.1 Primer: klatno u ravni

    Klatno u polju Zemljine teže ima masu m na kraju bezmasene niti dužine l i oscilujeoko tačke P . Generalisana koordinata koja opisuje kretanje klatna je ugao otklona odravnotežnog položaja θ. Lagranžijan je

    L =1

    2ml2θ̇2 − (V0 −mgl cos θ),

    gde je V0 gravitacioni potencijal na visini na kojoj se nalazi tačka P koju klatno dostižeza θ = π/2. Pošto je V0 proizvoljno, uzima se V0 = 0. Dejstvo u ovom slučaju je

    S =

    ∫ t1t0

    dt

    (1

    2ml2θ̇2 +mgl cos θ

    )

  • 6 GLAVA 1. KLASIČNO STANJE

    odakle se dobijaju Euler-Lagrangeove jednačine

    ∂L

    ∂θ= −mgl sin θ i ∂L

    ∂θ̇= ml2θ̇,

    što dovodi doml2θ̈ +mgl sin θ = 0.

    Generalisani impuls, u ovom slučaju, je

    p =∂L

    ∂θ̇= ml2θ̇,

    pa je hamiltonijan

    H =1

    2

    p2

    ml2−mgl cos θ.

    Iz prethodnog se dobijaju Hamiltonove jednačine

    θ̇ =p

    ml2, i ṗ = −mgl sin θ

    koje su ekvivalentne Euler-Lagrangeovim jednačinama.

    1.4 Klasično stanje

    Predvidanje je važno u fizici, jer je jedini pouzdani test naučne teorije je predvidanjebudućnosti na osnovu stanja u sadašnjosti.

    Apstraktno rečeno, proces predvidanja radi na sledeći način: pri nekom slabom poremećajupoznatom kaomerenje, objektu je dodeljena matematička reprezentacija (tačka u faznomprostoru), koja se naziva fizičko stanje. Zakoni kretanja su matematička pravila po ko-jima, s obzirom na fizičko stanje u odredenom trenutku, može da se dobije fizičko stanjeobjekta u nekom budućem trenutku. Fizičko stanje u kasnijem trenutku se može proveritinaknadnim merenjem.

    Iz prethodnih razmatranja se prirodno nameće da je fizičko stanje skup generalisanihkoordinata i odgovarajućih generalisanih impulsa {qi, pi}. Naravno, potrebno je saz-nati, merenjem, stanje u početnom trenutku t0, da bi se dobilo stanje u nekom budućemtrenutku t0 + ε pomoću jednakosti

    qi(t0 + ε) = qi(t0) + ε

    (∂H

    ∂pi

    )t0

    i pi(t0 + ε) = pi(t0)− ε(∂H

    ∂qi

    )t0

    .

    Na ovaj način, fizičko stanje u nekom budućem trenutku se može (u principu) dobiti izpočetnog na osnovu prethodnih jednačina.

    Prostor svih mogućih {qi, pi} se naziva fazni prostor. Za jednu česticu, fazni prostorje šestodimenzionalan sa koordinatama {x, y, z, px, py, pz}, odakle se za N čestica dobijada je njihovo stanje opisano u 6N dimenzionalnom faznom prostoru.

    Kao što će se videti u sledećoj glavi, klasična mehanika ne može da opǐse ponašanje isvetlosti i materije na nivou atoma, zbog čega je potrebno uopštavanje koje se dobija uokviru kvantne mehanike. Ipak, i klasična i kvantna fizika opisuju fizičke sisteme njihovimstanjima. Medutim, razlika leži u matematičkim objektima koji se pridružuju fizičkimstanjima.

  • Glava 2

    Počeci kvantne mehanike

    Predlog da je sva materija sastavljena od atoma, kao i sam termin atom, je došao odstarogrčkog filozofa Demokrita koji je živeo pre dvadesetčetiri veka. Ipak, tek u devet-naestom veku, dokazi pretpostavke su se gomilali, posebno u termodinamici. Dokazi subili posredni ali dovoljni: uzimajući da su gasovi sastavljeni od atoma, može se dobitianalitički stanje idealnog gasa pV = nRT , koji je empirijski otkrio Boyle i drugi. Do-datno, pretpostavljajući da su čvrsta tela isto kao gasovi sastavljeni od atoma, može seizvesti specifična toplota, što je dovelo do slaganja sa eksperimentalnim rezultatima navisokim temperaturama.

    Odredeni aspekti atomske fizike koji su izbili na videlo su bili zbunjujući i neobični,u smislu da je opaženo ponašanje elektrona, atoma i svetlosti izgledalo kao da je u kon-tradikciji sa postojećim zakonima mehanike i elektrodinamike. Ovi aspekti se mogu,grubo, svrstati u tri kategorije:

    1. Čestično ponašanje svetlosnih talasaZračenje crnog tela, fotoelektrični efekat i Compton-ov efekat.

    2. Održanje elektrona u orbitiZašto elektron ne padne u jezgro? Šta je poreklo atomskog spektra?

    3. Talasno ponašanje česticaInterferencija elektrona, atoma, molekula, itd.

    Kvantna mehanika je nastala kao potreba za objašnjenjem ovih efekata.

    2.1 Zračenje crnog tela

    Isaac Newton je verovao da je svetlost sastavljena od čestica, i imao je dobar razlog damisli tako. Interferencija i difrakcija su posledice talasnog ponašanja svetlosti. Newtonje pokušavao da dobije ove efekte propuštajući svetlost kroz male otvore, ali nije dobijaodifrakciju. Zaključak je bio da je svetlost snop čestica.

    Jedan od Newtonovih savremenika, Christian Huygens, je podržavao talasnu prirodusvetlosti. Huygens je naglašavao da se prelamanje svetlosti može objasniti različitim brz-inama svetlosti u različitim sredinama, i da je nemogućnost da Newton dobije difrakciju

    7

  • 8 GLAVA 2. POČECI KVANTNE MEHANIKE

    vezana za slabu osetljivost merenja. Interferencioni efekti se dobijaju kada je rastojanjeizmedu otvora uporedivo sa talasnom dužinom svetlosti. U slučaju kada je talasna dužinasvetlosti mnogo manja od veličine otvora koje je Newton koristio, teško je dobiti interfer-encione efekte.

    Ispostavilo se da je Huygens bio u pravu. Eksperiment sa većom osetljivošću izvedenod strane Younga (1801) i Fresnela pokazivao je da se dobijaju interferencija i difrakcijasvetlosti, dok su merenja Foucaulta (1850) pokazala da je brzina svetlosti u vodi manjaod brzine u vazduhu, kao što je bilo potrebno za objašnjenje prelamanja. Dalje, Maxwell(1860) je pokazao, udružujući i proširujući električne i magnetne zakone, da je mogućatalasna propagacija električnog i magnetnog polja kroz prostor brzinom v = 1/

    √µ0ε0

    koja je, u okviru eksperimentalne greške, jednaka brzini svetlosti. Uskoro nakon toga sepojavila eksperimentalna potvrda postojanja elektromagnetnih talasa.

    Ipak, kasnije je pokazano da se svetlost u nekim situacijama ponaša kao snop čestica.Prvi nagoveštaj je došao proučavanjem zračenja crnog tela od strane Maxa Plancka, kojise istorijski obeležava kao početak kvantne teorije.

    Svako telo, na nekoj odredenoj temperaturi, emituje elektromagnetno zračenje svihtalasnih dužina. Mehanizam emisije je prost: atomi su sastavljeni od negativno naelek-trisanih elektrona i pozitivno naelektrisanog jezgra, pa pri sudarima sa drugim atomimaova naelektrisanja osciluju na neki način. Prema Maxwellovoj teoriji, oscilujuća naelek-trisanja emituju (takode mogu i da apsorbuju) elektromagnetno zračenje.

    Gustina energije u nekoj zatvorenoj kutiji, kao funkcija frekvencije, se lako dobijapomoću statističke mehanike. Ukupna energija je

    E = (br. stepeni slobode)× 12kT = 2× (br. stojećih talasa)× 1

    2kT,

    gde je k Boltzmannova konstanta a T temperatura kutije.Elektromagnetno polje u kutijise može zamisliti kao superpozicija beskonačno mnogo stojećih talasa; ”stepeni slobode”su amplitude svakog pojedinačnog stojećeg talasa. Faktor 2 proizlazi iz činjenice da svakistojeći talas može da ima dve različite polarizacije.

    Kao što će se videti kasnije, broj stojećih talasa u kutiji oblika kocke zapremine V , zafrekvencije iz intervala [f, f +∆f ], je

    N(f)∆f = V4π

    c3f 2∆f.

    Dalje, energija zračenja na ovim frekvencijama je

    ∆E = 2N(f)∆f × 12kT =

    4πkTf 2

    c3V∆f,

    odakle je gustina energije po frekvencijama

    E(f, T ) = ∆EV∆f

    =4πkTf 2

    c3

    što je poznato i kao Rayleigh-Jeansov zakon.Rayleigh-Jeansov zakon se lako proverava praveći malu rupu na kutiji i merenjem

    inteziteta zračenja emitovanog iz kutije kao funkcije frekvencije; ovaj intezitet je direktno

  • 2.2. FOTOELEKTRIČNI EFEKAT 9

    proporcionalan E(f, T ). Zračenje iz male rupe je poznato kao zračenje crnog tela zatošto se svako zračenje koje upadne kroz rupu ne izlazi već je apsorbovano u zidovima.Teorija se ne slaže sa eksperimentom na visokim frekvencijama. U stvari, očigledno je danešto nije u redu sa teorijom (prethodna formula) zato što predvida da je ukupna energijazračenja beskonačna zato što je raspon frekvenciji beskonačan, odakle je i broj stojećihtalasa beskonačan. Naravno, energija kutije mora da bude konačna.

    Planckov doprinos razrešenju ovog problema je korǐsćenje fenomenologije. Prvi korakje posmatranje podataka dobijenih u eksperimentu i nalaženje prostog analitičkog izrazakoji ih rekonstruǐse. Planck je pronašao da funkcija

    E(f, T ) = 8πhf3

    c31

    ehf/kT − 1, (2.1)

    uz konstantu h = 6.626×10−34J·s, dobro opisuje fenomen. Drugi korak je da se izvede ovajanalitički izraz, polazeći od nekih prostih pretpostavki o sistemu. U elektromagnetizmu,energija stojećeg talasa je proporcionalna njegovoj amplitudi. Planckova pretpostavkaje bila da oscilujuća naelektrisanja mogu da emituju ili apsorbuju samo energiju koja jeumnožak od hf , tj. E = nhf gde je n prirodan broj. Ova pretpostavka, u kombinaciji sazakonima statističke mehanike, je dovoljna da se izvede Planckova raspodela (2.1)

    Konstanta h se naziva Planckova konstanta. Ona je jedna od tri fundamentalne kon-stante pored brzine svetlosti c i gravitacione konstante G. Sve teorijske predikcije kvantnefizike, u kojima postoji neslaganje sa klasičnom, sadrže Planckovu konstantu u izrazima.

    2.2 Fotoelektrični efekat

    Uspeh Planckove ideje je doveo do pitanja: kako to da oscilatori mogu da emituju iapsorbuju samo energije koje su umnožak od hf? Razlogu za postavljanje ovog pitanja jedoprineo i Albert Einstein 1905. godine, a u vezi sa objašnjenjem fotoelektričnog efekta.

    U eksperimentu koji je 1900. godine izveo Lenard, kada je metal obasjao svetlošćudobio je da metal emituje elektrone. Ovaj fenomen je poznat kao fotoelektrični efekat,i ono što je iznenadujuće kod njega je da je energija emitovanih elektrona nezavisna odinteziteta svetlosti koja pada na metal.

    Einsteinovo objašnjenje ovog efekta je prosto: svetlost je sastavljena od čestica zvanihfotoni koji imaju energiju hf . Na ovaj način je i odgovoreno na pitanje koje je proizašloiz Planckovog eksperimenta.

    2.3 Heisenbergov mikroskop

    Čestično ponašanje svetlosti je dovelo do problema razumevanja fizičkog stanja definisanogu klasičnoj fizici. Klasično stanje materijalne tačke je dato tačkom u faznom prostorudefinisanom koordinatama (x,p) koje se odreduju eksperimentom. Naravno, ovo značida se istovremeno mogu meriti i pozicija i impuls do proizvoljne tačnosti. Medutim, vezap = h/λ (p je impuls fotona) nagoveštava da istovremena merenja možda nisu moguća.Razlog za ovo je sledeći: Da bi se odredila pozicija fotona sa greškom ∆x, neophodno je dase koristi svetlost talasne dužine λ < ∆x. Ovo znači da će fotoni imati impuls p > h/∆x.

  • 10 GLAVA 2. POČECI KVANTNE MEHANIKE

    Da bi se odredila pozicija čestice, ona mora rasejati svetlost. Medutim, ovo znači da ćerasejani foton predati posmatranoj čestici impuls koji je neodreden do na ∆p ≈ h/∆x,odakle je proizvod neodredenosti ∆x∆p ≈ h. Odavde se vidi da se pozicija čestice i njenimpuls ne mogu meriti do proizvoljne tačnosti.

    Iz prethodnog razmatranja se zaključuje da se pojam fizičkog stanja mora redefinisatiu kvantnoj fizici.

    2.4 Bohr ov atom

    Radijus atoma je reda veličine 10−10m = 1Å, i ima masu reda veličine 10−26kg. Godine1911., Ernest Rutherford je proučavao strukturu atoma bombardujući zlatne listove α-česticama. Zaključak, koji je dobio, je da je cela masa atoma koncentrisana u pozitivnonaelektrisanom jezgru koje je ≈ 10−5 puta manje od atoma dok negativno naelektrisanielektoni, koji se nalaze oko jezgra, nose masu koja je 2000 puta manja od mase jezgra. Utom vremenu je atom zamǐsljan kao solarni sistem u kome negativno naelektrisani elektronikruže oko pozitivno naelektrisanog jezgra a vezani su Coulombovom interakcijom.

    Ipak, orbitalno kretanje elektrona, kao naelektrisanih čestica, zbog nenultog ubrzanjabi trebalo da proizvodi zračenje. Ovo zračenje bi smanjivalo energiju elektrona koji biposle nekog vremena pali u jezgro. Medutim, ovo se ne dešava.

    Druga čudna stvar su spektralne linije atoma koje se dobijaju stimulacijom atoma elek-tričnom strujom. Empirijski, spektroskopijom je nadeno da se spektralne linije vodonikovogatoma mogu karakterisati sa dva prirodna broja, m i n, takva da je talasna dužina spek-tralne linije data sa

    1

    λ= RH

    (1

    n2− 1m2

    ),

    gde je RH = 109677.576(12)cm−1 Rydbergova konstanta za vodonikov atom.

    Godine 1913, Niels Bohr je pokazao da se formula za spektralne linije može dobitisamo uz pretpostavku da angularni moment (moment impulsa) elektrona može imatisamo vrednosti koje su umnožak Planckove konstante podeljene sa 2π, tj. L = n h

    2π= n~.

    Konstanta ~ se često pojavljuje u kvantnoj fizici i izgovara se kao h-bar.

  • Glava 3

    Talasno ponašanje čestica

    Materija u kondezovanom stanju (npr. kristal) se sastoji od atoma koji su regularnorasporedeni u mrežu, a struktura kristala se odreduje iz difrakcije X-zraka. X-zraci, kojisu talasi, reflektuju se od atoma iz mreže i interferiraju, dajući sliku koja se može dobitikoristeći optiku. Inverzni problem, nalaženje strukture znajući interferencionu sliku jepredmet kristalografije.

    Godine 1927., Davisson i Germer, su napravili eksperiment u kome su bombardovalielektronima površ kristala nikla. Elektroni su rasejani, a slika koja je dobijena je identičnadifrakcionoj slici X-zraka. Pretpostavljajući da je elektronski zrak neka vrsta talasa, lakoje naći njegovu talasnu dužinu kao funkciju impulsa elektrona, tj. λ = h/p.

    3.1 Talasna jednačina

    Kada se govori o talasima, korisno je uvesti i talasnu funkciju. Talasna funkcija ψ(x, t)ravanskog talasa frekvencije f i talasne dužine λ se može zadati pomoću sinusnog talasakao

    sin(kx− ωt),

    gde je k talasni broj k = 2π/λ = p/~ a ω ugaona frekvencija ω = 2πf = E/~. Onda jetalasna funkcija elektrona bilo sinusna ψ(x, t) = sin[(px−Et)/~], bilo kosinusna ψ(x, t) =cos[(px− Et)/~], bilo kompleksna funkcija

    ψ(x, t) = ei(px−Et)/~.

    Naravno, talasne funkcije zadovoljavaju talasnu jednačinu ∂2ψ/∂t2 = v2∂2ψ/∂x2 (vje konstanta), odakle se dobija E2 = v2p2 što je u suprotnosti sa energijom slobodnečestice E = p2/2m. Da bi se dobila energija slobodne čestice, potrebno je umesto talasnejednačine koristiti jednačinu

    i~∂ψ

    ∂t= − ~

    2

    2m

    ∂2ψ

    ∂x2. (3.1)

    Generalǐsući na tri dimenzije, talasna funkcija je ψ(x, t) = ei(p·r−Et)/~ i zadovoljava jednačinu

    i~∂ψ

    ∂t= − ~

    2

    2m∇2ψ = − ~

    2

    2m∆ψ. (3.2)

    11

  • 12 GLAVA 3. TALASNO PONAŠANJE ČESTICA

    3.2 Eksperiment sa dva otvora

    Razmatra se snop elektrona koji, nakon ubrzavanja pomoću razlike potencijala V , dobijaimpuls duž y-ose koji iznosi p =

    √2meV . Snop je uperen ka barijeri sa dva otvora

    (Slika 3.1 (d)) zanemarljive veličine, na rastojanju d. Ovi elektroni prolaze kroz otvore ipadaju na ekran, koji beleži broj elektrona.

    Slika 3.1: Eksperiment sa dva otvora. (a) Uredaj: C je izvor elektrona, s1 i s2 su otvori,X je detektor čestica; D1 i D2 su detektori čestica na otvorima. (b) Rezultati, distribucijeverovatnoća (intenziteti) vi(x) dobijeni pomoću X: vi (i = 1, 2) se dobija kada je samosi otvoren, v1

  • 3.3. DA LI ELEKTRONI PUTUJU PO TRAJEKTORIJAMA? 13

    3.3 Da li elektroni putuju po trajektorijama?

    Eksperiment sa dva otvora (Slika 3.1) je napravljen tako da isti broj elektrona, u jedinicivremena, prolazi kroz oba otvora. Ovo se može proveriti zatvaranjem jednog pa drugogotvora i brojanjem elektrona koji prolaze. Ako je broj elektrona u jedinici vremena istiu oba slučaja, onda se može zaključiti da je verovatnoća prolaska elektrona kroz jedanotvor jednaka 50%.

    Eksperimentalno se može odrediti verovatnoća da će elektron pasti u detektor u tačkix pri prolasku kroz jedan otvor (Slika 3.1 (a) i (b)). Neka je ukupan broj elektrona kojipadnu na ekran N a ukupan broj elektrona koji pri prolasku kroz otvor 1/2 padnu udetektor u tački x je N(1/2)x, onda je verovatnoća da padne u tačku x pri prolasku krozotvor 1/2 jednaka v1/2(x) = N(1/2)x/N. Dakle, sa oba otvora otvorena, verovatnoća daelektron padne u detektor u tački x je v(x) = [v1(x) + v2(x)]/2 (Slika 3.1 (c)).

    Medutim, slika na ekranu koja se dobija je v(x) ∼ ψ∗ψ ∼ cos2(pd sin θ

    2~

    ), odakle se

    zaključuje da se ne može govoriti, u slučaju oba otvora otvorena, o putanjama elektronakao čestica već o talasnim osobinama elektrona.

  • 14 GLAVA 3. TALASNO PONAŠANJE ČESTICA

  • Glava 4

    Kvantno stanje

    Ideja, nasledena iz klasične fizike, da u bilo kom trenutku je poznata pozicija tela koje sekreće se mora odbaciti u kvantnoj fizici. Razlog za odbacivanje je to što pri merenju, namalim objektima, uticaj mernog aparata nije zanemarljiv. Uticaj može biti toliko velikida dovede čak i do nestanka objekta (detekcija fotona na fotoploči). Drugi razlog je tošto uzimajući da se čestice kreću po trajektorijama (eksperiment sa dva otvora) rezultatikoji se dobijaju su u suprotnosti sa eksperimentom.

    4.1 Novi prikaz kretanja

    Razmatra se čestica koja se kreće, prema zakonima klasične fizike, u tankoj zatvorenojcevi dužine L. U svakom trenutku t je poznat broj x(t) koji je rastojanje od jednog krajacevi. Da li postoji još neka reprezentacija kretanja u jednoj dimenziji?

    Neka je, misaono, cev podeljena na N jednakih intervala dužine ε = L/N . Ako ječestica u prvom delu cevi, onda se umesto broja, npr. x1, bira N -dimenzionalni vektorkolona e1 = (1, 0, . . . , 0)T, gde T znači transponovanje. Slično, ako je čestica u i-tomintervalu onda odgovarajuća reprezentacija stanja je vektor ei čije su sve komponentenulte osim i-te koja je 1. Pozicija čestice je aproksimirana, u svakom trenutku, jednimjediničnim vektorom ei. Kako se čestica kreće, ispada da čestica ”preskače” iz stanja ei ustanje ei+1 ili u ei−1 u zavisnosti od toga u kom smeru se kreće čestica. Kada bi broj Nbio dovoljno veliki, pozicija čestice bi se mogla reprezentovati, u zavisnosti od vremena,sa proizvoljnom tačnošću.

    Uvodeći N -dimenzionalni vektorski prostor, dozvoljavaju se i vektori tipa, npr. v =ae1 + be2, što bi značilo da se čestica nalazi i u prvom i u drugom intervalu, što jeu kontradikciji sa klasičnim shvatanjem. S druge strane, već je pokazano da talasnafunkcija daje probabilističku informaciju o poziciji čestice. Očigledno, ako je vektor sakompleksnim komponentama ψ = ψ1e

    1 + · · · + ψNeN , onda je verovatnoća da se česticanalazi u intervalu i jednaka vi = ψ

    ∗iψi.

    U vezi sa vektorima, uvodi se i Diracova ”bra-ket” notacija gde ket odgovara vektorukoloni | ψ ⟩ = (ψ1, . . . , ψN)T dok bra odgovara vrsti sa konjugovanim koeficijentima⟨ψ |= (ψ∗1, . . . , ψ∗N). Dalje, skalarni proizvod vektora sa samim sobom se može zapisatikao ⟨ψ | ψ⟩ = ψ∗1ψ1 + · · ·+ ψ∗NψN .

    15

  • 16 GLAVA 4. KVANTNO STANJE

    Sada se kretanje čestice može posmatrati na sledeći način: Stanje čestice je reprezen-tovano jediničnim vektorom |ψ ⟩ iz kompleksnog N -dimenzionalnog vektorskog prostora.Kako je vektor dužine 1, to se može glatko menjati po jediničnoj sferi N -dimenzionalnogprostora. Na ovaj način, čestica prelazi glatko, bez skokova, iz jednog u susedni interval.Naravno, pri prelasku iz jednog u drugi interval, čestica prelazi kroz čitav niz medustanja,pri čemu je stanje jedna tačka na jediničnoj sferi.

    Za kompletiranje ovakvog pogleda je potrebno uzeti limit ε → 0 (N → ∞) pri čemuse sa konačnodimenzionalnog vektorskog prostora prelazi na beskonačnodimenzionalnivektorski prostor poznat kao Hilbertov prostor.

    4.2 Hilbert-ov prostor

    Svaka funkcija f(x) koja je kvadratno integrabilna, tj.∫∞−∞ dxf

    ∗(x)f(x) < ∞, se možeuzeti kao vektor, tj. talasna funkcija.

    Svaki vektor je reprezentovan skupom brojeva koji su komponente vektora indeksiraneprirodnim brojevima. Medutim, i funkcija f(x) je reprezentovana skupom brojeva gde jeindeks x realan broj.

    Vektorska notacija ima prednost u tome što kada se govori o vektoru kao celini koristise oznaka v (ili | v ⟩ u bra-ket notaciji). Medutim, kada se funkcija označi sa f(x), nijeočigledno da li se govori o funkciji ili o vrednosti funkcije u tački x. U drugom slučajufunkcija se može označiti sa | f ⟩ a njena vrednost u tački x sa f(x). Odavde, linearnakombinacija funkcija se može napisati kao |f ⟩ = a |g ⟩+ b |h ⟩, što na jeziku komponentiznači f(x) = ag(x) + bh(x). Dalje, skalarni proizvod funkcija se označava sa ⟨ g | f⟩ =∫∞−∞ dxg

    ∗(x)f(x), dok je kvadrat modula funkcije |f |2 = ⟨ f | f⟩ =∫∞−∞ dxf

    ∗(x)f(x).

    Linearna operacija, matrično množenje, prevodi vektor u neki drugi kao v′ = M̂v ili|v′ ⟩ = M̂ |v ⟩, što na jeziku komponenti znači v′i =

    ∑Nj=1Mijvj, dok linearnu kombinaciju

    vektora prevodi u M̂(a |u ⟩+ b |v ⟩) = aM̂ |u ⟩+ bM̂ |v ⟩. Na jeziku funkcija prevodenjeje | f ′ ⟩ = Ô | f ⟩, linearnost Ô(a | f ⟩ + b | g ⟩) = aÔ | f ⟩ + bÔ | g ⟩, dok je na jezikukomponenti prevodenje f ′(x) =

    ∫∞−∞ dyO(x, y)f(y).

    Dakle, funkcija je vektor sa kontinualnim indeksom. Pošto postoji (kontinualno)beskonačan broj komponenti funkcije, one su vektori iz beskonačnodimenzionalnog vek-torskog prostora koji se zove Hilbertov prostor.

    4.3 Diracova delta funkcija

    Pošto je linearna operacija f ′(x) =∫∞−∞ dyO(x, y)f(y) analogna matričnom množenju u

    linearnoj algebri, koji izbor funkcije O(x, y) odgovara množenju jediničnom matricom?U linearnoj algebri, množenje vektora jediničnom matricom je preslikavanje vektora

    u samog sebe, tj. | v ⟩ = 1̂1 | v ⟩. Na jeziku komponenti, jednakost se može izrazitipreko Kroneckerove delte (δij = 1 za i = j dok je δij = 0 u ostalim slučajevima) kao

    vi =∑N

    j=1 δijvj.

    Odgovarajuća jednakost za funkcije je | f ⟩ = 1̂1 | f ⟩, tj. za komponente f(x) =∫∞−∞ dyδ(x− y)f(y), gde je za svaku funkciju δ(x− y) Diracova delta funkcija.

  • 4.4. OČEKIVANE VREDNOSTI, NEODREDENOST I KVANTNO STANJE 17

    Diracova delta funkcija se definǐse kao granična funkcija odredenog niza funkcija δα(x−y) koje imaju osobinu f(x) = limα→∞

    ∫∞−∞ dyδα(x − y)f(y) za svaku funkciju f . Za dva

    takva niza se može lako pokazati da zadovoljavaju ovu osobinu, a oni su δα(x − y) =√α/πe−α(x−y)

    2i δα(x− y) =

    ∫ α−α

    dk2πeik(x−y). Iz definicije Diracove delta funkcije sledi da

    je δ(x−y) = 0 kada je x ̸= y, dok je δ(x−y) = ∞ kada je x = y, a beskonačnost je tolikovelika da je

    ∫∞−∞ δ(x− y) dy = 1.

    Nekoliko korisnih osobina Diracove delta funkcije (ove osobine se moraju posmatratikao da su deo integrala) su:

    f(x)δ(x− a) = f(a)δ(x− a),

    f(x)δ[c(x− a)] = f(a) 1|c|δ(x− a),

    f(x)d

    dxδ(x− a) = − df(x)

    dxδ(x− a),

    f(x)δ[g(x)] = f(x0)

    ∣∣∣∣ dgdx∣∣∣∣−1 δ(x− x0),

    gde je x0 prosta nula funkcije g(x).

    4.4 Očekivane vrednosti, neodredenost i kvantno stanje

    U klasičnoj mehanici, stanje sistema je karakterisano generalisanim koordinatama i im-pulsima {qi, pi}, što je tačka u faznom prostoru. Tokom vremena, stanje se kreće po nekojtrajektoriji faznog prostora. U slučaju jedne čestice koja se kreće u trodimenzionalnomprostoru, stanje je karakterisano sa {r,p}, pa je fazni prostor šestodimenzionalan. Pro-jekcija ove trajektorije na prostorni (konfiguracioni) deo je put r(t) koji je put česticekojim se kreće.

    U kvantnoj mehanici, stanje čestice, koja se kreće duž jedne prave, karakterisano jetalasnom funkcijom ψ(x, t). U svakom trenutku, ova je funkcija samo od x, i može sepredstaviti kao vektor | ψ ⟩ iz Hilbertovog prostora. Iz uslova da vektor | ψ ⟩ budenormiran, mora da važi ⟨ψ | ψ⟩ =

    ∫R3 drψ

    ∗(r)ψ(r) = 1.Fizičko stanje ima osobinu da, za dato stanje u trenutku t, se može odrediti stanje u

    bliskom trenutku t+ ε. U klasičnoj mehanici je ovo pravilo dato sa

    qa(t+ ε) = qa(t) + ε

    (∂H

    ∂pa

    )t

    i pa(t+ ε) = pa(t)− ε(∂H

    ∂qa

    )t

    .

    Fizičko stanje |ψ ⟩ u kvantnoj mehanici ima istu osobinu. Neka je data talasna funkcijaψ(x, t) u nekom odredenom trenutku t, talasna funkcija u nekom bliskom trenutku t + εje odredena, za česticu koja se kreće u jednoj dimenziji, talasnom jednačinom

    ψ(x, t+ ε) = ψ(x, t) + iε~2

    2m

    ∂2

    ∂x2ψ(x, t).

    Za razliku od klasične mehanike u kojoj se rezultat merenja na pojedinačnom sis-temu prikazuje sa sigurnošću, dajući stanje {qi, pi}, predikcije kvantne fizike su statističke

  • 18 GLAVA 4. KVANTNO STANJE

    prirode. Verovatnoća da se čestica nade u malom intervalu ∆L oko tačke x iznosiv∆L(x) = ψ

    ∗(x, t)ψ(x, t)∆L. Značenje ove predikcije, u praksi, je sledeće: Uzima seveliki broj čestica, npr. N , koje su u identičnom stanju opisanom odredenom talasnomfunkcijom ψ(x, t). Pri istovremenom merenju položaja svih čestica dobija se broj Nxčestica koje se nalaze u intervalu ∆L oko tačke x, odakle je

    NxN

    = v∆L(x) +O(N−1/2) = ψ∗(x, t)ψ(x, t)∆L+O(N−1/2).

    Sabirak reda veličine N−1/2 je statistička greška koja se može učiniti proizvoljno malompovećavajući broj N . U daljem tekstu se uzima da je broj N dovoljno veliki, pa seodstupanje od tačnog rezultata može zanemariti.

    Umesto posmatranja velikog broja čestica, koje su u istom stanju, može se napravitieksperiment u kojem se jedna čestica postavlja u odredeno stanje ψ(x, t), i meri se njenapozicija, nakon čega je isti eksperiment ponovljen N puta. Naravno, isti broj Nx, kada sečestica detektuje u intervalu ∆L oko x, se dobija. U stvari, isto se dešava i u eksperimentusa dva otvora. Elektroni, jedan po jedan, se na isti način šalju ka dva otvora, ali je talasnafunkcija svakog elektrona na ekranu ista kao i u slučaju kada se odjednom šalje veliki brojelektrona.

    Neka je dato stanje | ψ ⟩ koje pri merenju veličine A može dati samo odreden skupmerenih vrednosti a1, a2, . . . , an (nmože da bude i beskonačno). Dalje, neka je verovatnoćada se pri merenju veličine A na stanju | ψ ⟩ dobije vrednost ai jednaka vi. Onda jeodgovarajuća srednja vrednost, očekivana vrednost, veličine A, definisana sa

    ⟨A⟩ =n∑i=1

    aivi.

    Ova teorijski očekivana vrednost mora da bude jednaka (do na statističku grešku) srednjojvrednosti

    Ā =1

    N

    n∑i=1

    Niai,

    odakle zbog vi = Ni/N se dobija ⟨A⟩ = Ā.U slučaju čestice koja se kreće duž x-prave, jedna od mogućih opservabli (fizičkih

    veličina) je pozicija x. Pošto x može imati bilo koju vrednost iz kontinualnog domena,sume se zamenjuju integralima, pa je srednja vrednost koordinate x jednaka

    ⟨x⟩|ψ ⟩ =∫ ∞−∞

    xv dx(x) =

    ∫ ∞−∞

    xψ∗(x, t)ψ(x, t) dx.

    Slično, očekivana vrednost opservable x2 je⟨x2⟩|ψ ⟩ =

    ∫ ∞−∞

    x2vdx(x) =

    ∫ ∞−∞

    x2ψ∗(x, t)ψ(x, t) dx,

    pa je srednja vrednost kvadratnog odstupanja od srednje vrednosti (kvadrat disperzije(∆x)2) jednaka

    (∆|ψ ⟩x)2 =

    ⟨(x− ⟨x⟩|ψ ⟩)

    2⟩|ψ ⟩

    =⟨x2⟩|ψ ⟩ − ⟨x⟩

    2|ψ ⟩ .

  • 4.4. OČEKIVANE VREDNOSTI, NEODREDENOST I KVANTNO STANJE 19

    Disperzija ∆|ψ ⟩x odgovara neodredenosti opservable x u stanju |ψ ⟩.Veličine ⟨x⟩ i ∆x su važne zato što se mogu eksperimentalno lako dobiti. Na sličan

    način su važne srednje vrednosti i neodredenosti impulsa, energije, itd.

  • 20 GLAVA 4. KVANTNO STANJE

  • Glava 5

    Dinamika kvantnog stanja

    Klasično kretanje čestice se reprezentuje trajektorijom u trodimenzionalnom prostoru,dok se kvantnomehaničko kretanje opisuje krivom na jediničnoj sferi u beskonačnodimen-zionalnom prostoru. Postavlja se pitanje, kako klasična fizika može da bude aproksimacijakvantne kada se pojam kretanja toliko razlikuje.

    Odgovor je sledeći: ne aproksimira klasičnu trajektoriju fizičko stanje čestice već opser-vacija pozicije te čestice. Iako kvantno stanje čestice ne odgovara odredenoj tački utrodimenzionalnom prostoru, ipak srednja vrednost koordinate odgovara. Kada je zadatajednačina kretanja stanja ψ(x, t), trebalo bi da bude moguće da se dobije zakon kretanjaod ⟨x⟩, koji se može uporediti sa x(t). Ovo je poznato kao Ehrenfestov princip.

    5.1 Ehrenfestov princip

    Neka je sistem opisan skupom {qi, pi} generalisanih koordinata i impulsa. Ehrenfestovprincip kaže da Hamiltonove jednačine važe i u kvantnoj mehanici ali za srednje vrednosti,tj.

    d

    dt

    ⟨qi⟩=

    ⟨∂H

    ∂pi

    ⟩i

    d

    dt⟨pi⟩ = −

    ⟨∂H

    ∂qi

    ⟩, (5.1)

    odakle se za česticu mase m koja se kreće u jednoj dimenziji u potencijalu V (x) dobijaddt⟨x⟩ =

    ⟨pm

    ⟩i d

    dt⟨p⟩ = −

    ⟨∂V∂x

    ⟩. Lako se proverava da za stanje | ψ ⟩, koje zadovoljava

    jednačinu

    i~∂ψ(x, t)

    ∂t= − ~

    2

    2m

    ∂2ψ(x, t)

    ∂x2,

    se dobija srednja vrednost impulsa kao

    ⟨p⟩ = m∂t ⟨x⟩ = m∫Rdx

    {∂ψ∗

    ∂txψ + ψ∗x

    ∂ψ

    ∂t

    }= · · · =

    ∫Rdxψ∗(x, t)

    (−i~∂

    ∂x

    )ψ(x, t).

    Na sličan način se dobija

    ∂t ⟨p⟩ = ∂t∫Rdxψ∗(x, t)

    (−i~∂

    ∂x

    )ψ(x, t) = · · · = 0,

    što je u saglasnosti sa Ehrenfestovim principom u ovom slučaju pošto je V (x) = 0.

    21

  • 22 GLAVA 5. DINAMIKA KVANTNOG STANJA

    5.2 Schrödingerova talasna jednačina

    Kvantnomehanički zakon kretanja koji je pronašao Schrödinger, koji opisuje česticu masem koja se kreće u jednoj dimenziji u proizvoljnom potencijalu, je poznat kao Schröding-erova jednačina

    i~∂ψ(x, t)

    ∂t= − ~

    2

    2m

    ∂2

    ∂x2ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t). (5.2)

    Iz Ehrenfestovog principa (5.1) i Schrödingerove jednačine (5.2) se dobija, za srednjuvrednost impulsa

    ⟨p⟩ = m∂t ⟨x⟩ = · · · =∫Rdxψ∗(x, t)

    (−i~∂

    ∂x

    )ψ(x, t),

    dok je izvod po vremenu srednje vrednosti impulsa

    ∂t ⟨p⟩ = −i~∫Rdx

    [∂ψ∗

    ∂t

    ∂ψ

    ∂x− ∂ψ

    ∂x

    ∂ψ

    ∂t

    ]= · · · = −

    ∫Rdxψ∗

    (∂V

    ∂x

    )ψ = −

    ⟨∂V

    ∂x

    ⟩.

    Iz prethodnog, srednja vrednost impulsa, nezavisno od potencijala V (x), se moženapisati kao

    ⟨p⟩ =∫Rdxψ∗(x, t)p̂ψ(x, t),

    gde je p̂ diferencijalni operator poznat kao operator impulsa

    p̂def.= −i~∂

    ∂x.

    Dakle, Schrödingerova jednačina (5.2) se može napisati kao

    i~∂ψ(x, t)

    ∂t=

    (p̂2

    2m+ V (x)

    )ψ(x, t) = Ĥψ(x, t), (5.3)

    gde je H[x, p] = p2/2m+ V hamiltonijan čestice mase m koja se kreće u jednoj dimenzijiu potencijalu V , a Ĥ = H[x, p̂] operator hamiltonijana.

    Generalizacija Schrödingerove jednačine na slučaj čestice koja se kreće u trodimen-zionalnom prostoru je pravolinijska. Uvodenjem vektorskog operatora impulsa p̂ = −i~∇(odakle je p̂2 = −~2∇2 = −~2∆), Schrödingerova jednačina postaje

    i~∂ψ(r, t)

    ∂t=

    [p̂2

    2m+ V (r)

    ]ψ(r, t) = Ĥ[r, p̂]ψ(r, t). (5.4)

    5.3 Vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina

    Kada potencijal V (x) ne zavisi od vremena Schrödingerova jednačina se može uprostitikoristeći metod poznat kao razdvajanje promenjivih (separacija varijabli). Uzimajućitalasnu funkciju u obliku ψ(x, t) = f(t)χ(x), Schrödingerova jednačina se može napisatikao

    i~1

    f(t)

    ∂f(t)

    ∂t=

    1

    χ(x)Ĥ(x, p)χ(x).

  • 5.4. SLOBODNA ČESTICA 23

    Kako je leva strana funkcija samo od t a desna funkcija od svih ostalih parametara osimt, to su one jednake akko su konstantne funkcije, tj. jednake E,

    i~1

    f(t)

    ∂f(t)

    ∂t= E =

    1

    χ(x)Ĥ(x, p)χ(x).

    Prva jednakost daje rešenjef(t) = e−iEt/~,

    dok druga jednakost daje jednačinu(− ~

    2

    2m

    d2

    dx2+ V (x)

    )χ(x) = Ĥχ(x) = Eχ(x), (5.5)

    koja je poznata kao vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina.Jednačina (5.5) je primer svojstvenog problema, koji se rešava za svaku odredenu kon-

    stantu, poznatu kao svojstvena vrednost, dok su rešenja diferencijalnih jednačina funkcijepoznate kao svojstvene funkcije. U slučaju Schrödingerove jednačine svojstvene vrednostiE su svojstvene energije, dok su funkcije χ(x) odgovarajuća svojstvena stanja.

    Za svaku svojstvenu energiju E postoji barem jedno (nekad i vǐse) svojstvenih stanja,i svakom stanju odgovara rešenje

    ψ(x, t) = χ(x)e−iEt/~,

    vremenski zavisne Schrödingerove jednačine. Ovakva rešenja se zovu stacionarna stanjazato što je vremenska zavisnost sadržana samo u fazi. Ovo proizlazi iz činjenice daverovatnoća, v dx(x) = ψ

    ∗(x, t)ψ(x, t) dx = χ∗(x)χ(x) dx, da se čestica nade u intervaludx oko tačke x ne zavisi od vremena.

    Neka je {Eα, χ(x)} kompletan skup svojstvenih energija i odgovarajućih svojstvenihstanja. Tada se svaka funkcija ψ(x, t) iz Hilbertovog prostora može napisati kao linearnakombinacija svojstvenih stanja hamiltonijana

    ψ(x) =∑α

    cαχα(x)e−iEαt/~ +

    ∫dαcαχα(x)e

    −iEαt/~,

    gde je suma po diskretnom a integral po kontinualnom domenu svojstvenih energija.

    5.4 Slobodna čestica

    Kada je potencijal V (x) = 0 za svako x, Schrödingerova jednačina je (3.1), koja je dobijenaiz talasnih funkcija koje su ravni talasi, koji odgovaraju čestici sa definisanim impulsomp i energijom Ep = p

    2/2m

    ψp(x, t) = C exp

    [i

    ~(px− Ept)

    ]= C exp

    [i

    ~

    (px− p

    2

    2mt

    )].

    Naravno, bilo kakva linearna kombinacija svojstvenih funkcija (koeficijenti u kombinacijine zavise od x i t)

    ψ(x, t) =

    ∫ ∞−∞

    dp

    2π~f(p) exp

    [i

    ~

    (px− p

    2

    2mt

    )]

  • 24 GLAVA 5. DINAMIKA KVANTNOG STANJA

    je takode rešenje vremenski zavisne Schrödingerove jednačine.Vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina, u ovom slučaju, je

    − ~2

    2m

    ∂2χ

    ∂x2= Eχ.

    Za svaku pozitivnu svojstvenu energiju E ∈ (0,∞) postoje dva linearno nezavisna rešenjeχ±p(x) = e

    ±ipx/~, gde je p =√2mE, pa se rešenje za svako dato E može napisati kao

    linearna kombinacija

    χ(x) = Aei√2mEx/~ +Be−i

    √2mEx/~.

    Skup svojstvenih vrednosti i svojstvenih funkcija{Ep =

    p2

    2m,χ±p(x) = e

    ±ipx/~}, 0 < p

  • 5.5. GAUSIJANSKI TALASNI PAKET 25

    Dakle, talasna funkcija u trenutku t je

    ψ(x, t) =4√4πa2

    ∫ ∞−∞

    dp

    2π~exp

    [−a

    2(p− p0)2

    2~2

    ]exp

    [i

    ~

    (px− p

    2

    2mt

    )]=

    4√4πa2

    2π~

    √π

    a2

    2~2 +it

    2m~

    exp

    [− (x− v0t)

    2

    2(a2 + i~t/m)

    ]exp

    [i

    ~

    (p0x−

    p202m

    t

    )],

    gde je v0def.= p0/m. Očigledno je da je gustina verovatnoće nalaženja čestice u tački x u

    trenutku t jednaka

    |ψ(x, t)|2 = ψ∗(x, t)ψ(x, t) = 1√πa2(t)

    exp

    [−(x− v0t)

    2

    a2(t)

    ],

    gde je a(t)def.=√a2 + ~

    2

    m2a2t2. Iz poslednjeg se vidi da se vrh (centar) gausijana pomera

    tokom vremena, dok se širina povećava.Dalje, potrebno je izračunati srednje vrednosti koordinate i impulsa. Srednja vrednost

    koordinate u trenutku t je

    ⟨x⟩t =1√πa2(t)

    ∫ ∞−∞

    x exp

    [−(x− v0t)

    2

    a2(t)

    ]dx = v0t,

    dok je srednja vrednost kvadrata koordinate⟨x2⟩t=

    1√πa2(t)

    ∫ ∞−∞

    x2 exp

    [−(x− v0t)

    2

    a2(t)

    ]dx =

    1

    2a2(t) + v20t

    2,

    odakle je neodredenost koordinate

    ∆tx =a(t)√2

    =1√2

    √a2 +

    ~2m2a2

    t2.

    Srednja vrednost impulsa je

    ⟨p⟩t =∫ ∞−∞

    ψ∗(x, t)

    (−i~∂

    ∂x

    )ψ(x, t) dx = p0,

    je nezavisna od vremena. Iz prethodnog proizlazi da srednje vrednosti zadovoljavajujednakosti

    ⟨x⟩t = ⟨x⟩0 +⟨p⟩0m

    t i ⟨p⟩t = ⟨p⟩0 ,

    koje su ekvivalentne jednakostima za ravnomerno pravolinijsko kretanje iz klasične fizike.S druge strane, neodredenost pozicije ∆tx kvantnog stanja, koja je proporcionalna

    širini a(t) gausijana, raste sa vremenom. Vreme t2a =√3ma2/~ je ono za koje talasna

    funkcija slobodne čestice poveća neodredenost duplo (a(t) = 2a(0)), dok se za vremetA = maA/~ neodredenost poveća mnogo puta a(t) = A≫ a. Kao primer se uzima da jegausijanski paket lokalizovan na vodonikovom atomu, tj. a = 10−10m = 1Å, dok je nekomakroskopsko rastojanje reda veličine A = 10cm.

  • 26 GLAVA 5. DINAMIKA KVANTNOG STANJA

    Jedan primer je elektron mase m = 9.11× 10−31kg. Za prvo vreme se dobija vrednostt2a = 1.5×10−16s, dok se za drugo dobija tA = 8.7×10−6s. Neka je energija elektrona, npr.E = 10eV, onda je njegova brzina v =

    √2E/m = 1.87 × 106s. Dakle, u ovom slučaju,

    da bi se talasna funkcija proširila na makroskopski nivo (10cm), elektronu je potrebno daprede d = vtA = 16.3m.

    Drugi primer je objekat mase m = 0.25kg koji se u početnom trenutku nalazi u deluprostora veličine a = 1Å. Odgovarajuća vremena u ovom primeru su t2a = 4.1× 1014s =1.3My i tA = 2.4× 1023s = 1.8× 1017y.

    5.6 Grupna brzina i Fazna brzina

    Srednja vrednost koordinate ⟨x⟩ se kreće brzinom v = ⟨p⟩ /m. Ovo je posledica Ehrenfest-ovog principa za slobodnu česticu. S druge strane, fazna brzina vf svakog ravnog talasa je

    data formulom vf = λf, koja za slobodnu česticu iznosi vf =hp

    Eph

    = p2m

    , koja je jednaka

    polovini očekivanog rezultata, zato što je brzina klasične čestice p/m. Ipak, fazna brzinaje različita od brzine kojom se energija prenosi grupom talasa, tzv. grupna brzina.

    Dalje, posmatra se superpozicija dva ravna talasa frekvenciji f1 i f2, i talasnih dužinaλ1 i λ2, respektivno, dok su im amplitude jednake A. Pretpostavka je da su razlikefrekvenciji i talasnih dužina mnogo manje od njihovih vrednosti, tj. ∆f ≪ f̄ i ∆λ ≪λ̄, gde su f̄ i λ̄ srednja frekvencija i srednja talasna dužina, respektivno. Iz principasuperpozicije se dobija da je ukupna talasna funkcija ψ(x, t) = 2Aei(k̄x−ω̄t) cos[(∆kx −∆ωt)/2], koja je proizvod dva talasa od kojih se jedan kreće faznom brzinom vf = ω̄/k̄,dok se drugi kreće grupnom brzinom vg = ∆ω/∆k. Generalǐsući prethodno, izraz zafaznu brzinu je analogan prethodnom dok je za grupnu brzinu vg = (dω/ dk)k=k̄. Uslučaju slobodne čestice se za grupnu brzinu dobija vg = ⟨p⟩ /m.

    5.7 Čestica u zatvorenoj cevi

    Ponovo se razmatra raniji primer čestice u zatvorenoj cevi dužine L; pretpostavlja seda su sudari čestice i zidova apsolutno elastični. Potencijal u ovom slučaju je potencijalbeskonačno duboke potencijalne jame

    V (x) =

    {0 , x ∈ (0, L)

    ∞ , x /∈ (0, L).

    Potrebno je rešiti vremenski nezavisnu Schrödingerovu jednačinu.

    U intervalu x ∈ (0, L) Schrödingerova jednačina je ista kao za slobodnu česticu (5.5)za V (x) = 0, čija su rešenja za E > 0

    χ(x) = Aeipx/~ +Be−ipx/~, gde je p =√2mE.

    S druge strane, u oblasti x /∈ (0, L) jedino moguće rešenje, za konačno E, je χ(x) = 0, štoautomatski znači da je verovatnoća da se čestica nade van cevi jednaka nuli.

  • 5.8. HEISENBERGOV PRINCIP NEODREDENOSTI 27

    Rešenje diferencijalne jednačine mora da bude neprekidno. Neprekidnost talasnefunkcije u tačkama x = 0 i x = L dovodi do jednačina

    0 = χ(0) = A+B

    0 = χ(L) = AeipL/~ +Be−ipL/~.

    Iz prethodnih graničnih uslova se dobija B = −A i 2iA sin(pL/~), odakle su rešenja zaimpuls pn = n(π~/L) gde je n ∈ N, talasnu funkciju (C = 2iA)

    χn(x) =

    {C sin[(nπ/L)x] , x ∈ (0, L)

    0 , x /∈ (0, L),

    i energiju En =~22m

    (nπL

    )2. Konačno konstanta C se dobija iz uslova normiranosti talasne

    funkcije i iznosi C =√π/a, tako da je kompletan skup svojstvenih energija i svojstvenih

    talasnih funkcija (u intervalu (0, L)){χn(x) =

    √2

    Lsin(nπLx), En =

    ~2

    2m

    (nπL

    )2}, n ∈ N.

    5.8 Heisenbergov princip neodredenosti

    Ranije je pokazano da je neodredenost koordinate, u slučaju gausijanskog talasnog paketa(Deo 5.5), centriranog u tački x0, jednaka ∆x = a/

    √2, odakle se vidi da teži nuli kada

    a→ 0. U ovom slučaju je pozicija čestice sa sigurnošću u tački x0 dok je talasna funkcijaproporcionalna Diracovoj delta funkciji δ(x−x0). Ako je čestica u tom stanju, onda se primerenju, sa sigurnošću, može utvrditi da se čestica nalazi u tački x0; ovo kvantno stanjeje poznato kao svojstveno stanje koordinate.

    U graničnom slučaju a → ∞, gausijanski paket prelazi u ravan talas koji ima impulsp0, zbog čega je neodredenost ∆p = 0. Ako je čestica u stanju ravnog talasa, kada se meriimpuls, sa sigurnošću se dobija rezultat p0; ovo kvantno stanje je poznato kao svojstvenostanje impulsa.

    Iz razloga što su svojstvena stanja koordinate i impulsa toliko različita, nemogućeje da postoji stanje koje će pri merenju koordinate i impulsa dati siguran rezultat, tj.∆x = 0 = ∆p. Kvantitativan izraz ovog ograničenja je poznat kao Heisenbergov principneodredenosti. Da bi se on izveo, potrebno je izračunati ∆p. Kao primer će biti izloženrezultat za gausijanski talasni paket (5.6).

    U trenutku t = 0 je dobijeno ⟨x⟩ = 0, ⟨x2⟩ = a2/2 i ⟨p⟩ = p0, odakle se dobija zaneodredenost koordinate ∆x = a/

    √2, dok je za neodredenost impulsa potrebno izračunati

    još i ⟨p2⟩. Za srednju vrednost kvadrata impulsa se dobija⟨p2⟩= −~2

    ∫dxχ(x)

    ∂2

    ∂x2χ(x) = − ~

    2

    √πa2

    ∫dx

    [(ip0~

    − xa2

    )2− 1a2

    ]e−x

    2/a2 =~2

    2a2+ p20,

    odakle je neodredenost impulsa ∆p = ~/√2a. Konačno, proizvod neodredenosti koordi-

    nate i impulsa je ∆x∆p = ~/2. Ovo je minimalna vrednost proizvoda neodredenosti kojaje posledica opštijeg Heisenbergovog principa neodredenosti (biće izveden kasnije) koji seu ovom slučaju može napisati kao ∆x∆p ≥ ~/2.

  • 28 GLAVA 5. DINAMIKA KVANTNOG STANJA

  • Glava 6

    Operatori i opservable

    Matematički alat kvantne mehanike je linearna algebra na beskonačnodimenzionalnimprostorima. Skoro svaka manipulacija u kvantnoj mehanici se može interpretirati kaooperacija koja sadrži skalarni proizvod i/ili matrično množenje. Za ovo postoji neko-liko razloga; prvo, fizičko stanje je reprezentovano talasnom funkcijom, drugo, dinamičkajednačina, Schrödingerova jednačina, je linearna diferencijalna jednačina, poslednje, ve-rovatnoće rezultata merenja su odredene skalarnim proizvodima.

    6.1 Verovatnoće merenja, operatori i opservable

    Do sada je pokazano kako se koristi kvantno stanje | ψ ⟩ da bi se izračunale srednjevrednosti svake funkcije od koordinate, impulsa, ili sume ovakvih funkcija, kao što jeenergija. Specijalno,

    ⟨x⟩ =∫ψ∗(x, t) x̂ ψ(x, t) dx,

    ⟨p⟩ =∫ψ∗(x, t) p̂ ψ(x, t) dx,

    ⟨H⟩ =∫ψ∗(x, t) Ĥ ψ(x, t) dx,

    gde se mogu definisati delovanja operatora/opservabli koordinate, impulsa i hamiltonijanakao

    x̂ ψ(x, t) = xψ(x, t),

    p̂ ψ(x, t) = −i~∂∂xψ(x, t),

    Ĥ ψ(x, t) =

    [− ~

    2

    2m

    ∂2

    ∂x2+ V (x)

    ]ψ(x, t).

    Može se pokazati, ali je izvan domena ovog kursa, da su operatori koordinate, impulsa ihamiltonijan hermitski operatori, tj. svojstvene vrednosti ovih operatora su realne, a sveje u vezi sa rezultatima koji se dobijaju pri merenju ovih opservabli.

    29

  • 30 GLAVA 6. OPERATORI I OPSERVABLE

    6.2 Opšti princip neodredenosti

    Postoji prost način da se proveri da li se dve opservable (npr. Â i B̂) mogu meritiistovremeno. Potrebno je proveriti da li je komutator dva odgovarajuća operatora jednaknuli, tj. [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â = 0. Komutator se računa tako što se deluje na proizvoljnufunkciju, npr. [

    x̂, x̂2]f(x) = (xx2 − x2 x)f(x) = 0,

    odakle sledi [x̂, x̂2] = 0. Ipak

    [x̂, p̂] f(x) =

    [x

    (−i~∂

    ∂x

    )−(−i~∂

    ∂x

    )z

    ]f(x) = i~f(x),

    odakle se vidi da koordinata i odgovarajući impuls ne komutiraju, već da važi

    [x̂, p̂] = i~.

    Vežba: Izračunati komutatore [Ĥ, x̂], [Ĥ, p̂] i [p̂2, x̂2].

    Teorem (Heisenbergove relacije neodredenosti): Za svako stanje ψ i svaki paropservabli A i B, proizvod neodredenosti u tom stanju imaju donju granicu:

    ∆ψ(A)∆ψ(B) ≥1

    2| ⟨[A,B]⟩ψ |. (6.1)

    Dokaz: Za stanje |ψ⟩ definǐsu se pomoćni operatori A′ = A−⟨A⟩ψ, B′ = B−⟨B⟩ψ, i vektori| u ⟩ = A′ | ψ ⟩, | v ⟩ = B′ | ψ ⟩. U Schwartzovoj nejednakosti ∥ | u ⟩∥∥ | v ⟩∥ ≥ |⟨ u | v⟩|,na levoj strani je ∆ψ(A)∆ψ(B), dok je na desnoj strani srednja vrednost | ⟨A′B′⟩ψ | =|⟨A′B′+B′A′

    2

    ⟩ψ+⟨A′B′−B′A′

    2

    ⟩ψ|. Dobijeni simetrizovani i antisimetrizovani proizvodi su

    hermitski i kosohermitski operatori, i njihove srednje vrednosti su realne i imaginarne,respektivno. Dakle, apsolutna vrednost celog izraza je veća od njenog imaginarnog dela.Sve zajedno, ∆ψ(A)∆ψ(B) ≥ | ⟨A′B′⟩ψ | ≥

    12| ⟨[A′, B′]⟩ψ | =

    12| ⟨[A,B]⟩ψ |.

    6.3 Relacije neodredenosti za energiju i vreme

    Pitanje koje se u ovom slučaju postavlja je: koliko je potrebno vremena da bi se stanjeprimetno promenilo, i kolika je dužina vremena u vezi sa neodredenošću energije?

    Kao prvo, potrebno je preciznije definisati pojam primetna promena stanja. Prirodnoje uzeti da je primetna promena stanja ona kada je promena srednja vrednost neke opse-rvable veća od neodredenosti iste.

    Relacija neodredenosti za energiju i vreme: Za svako nestacionarno stanje ψ(x, t)i svaku pogodnu opservablu  zadovoljena je:

    τÂ∆|ψ ⟩Ĥ ≥1

    2~. (6.2)

  • 6.3. RELACIJE NEODREDENOSTI ZA ENERGIJU I VREME 31

    Dokaz: Iz prethodne relacije neodredenosti, ∆ψÂ∆ψĤ ≥ 12

    ∣∣∣∣⟨[Â, Ĥ]⟩ψ

    ∣∣∣∣ = 12 ∣∣∣∣i~ ddt ⟨Â⟩|ψ ⟩∣∣∣∣ =

    ~2

    ∣∣∣∣ ddt ⟨Â⟩|ψ ⟩∣∣∣∣, i relacija koja se traži se dobija kada se ∆ izrazi preko τÂ.

    Pošto ova nejednakost važi za sve pogodne opservable, takode važi i za infimumτ = inf{τA | A pogodna} i zadovoljava τ∆|ψ ⟩Ĥ ≥ 12~. Iz tog razloga, τ je najboljeprocenjeno vreme nezavisno od opservable.

    Kao primer za ovu relaciju neodredenosti se uzima slobodna čestica. Vreme talasnogpaketa čija je grupna brzina vg = ⟨p⟩ /m da promeni poziciju jednaku neodredenostipaketa je ∆t = ∆x/vg = m∆x/ ⟨p⟩. S druge strane je ∆E = ∆(p2/2m) = ⟨p⟩∆p/m.Odavde je

    ∆t∆E = ∆x∆p ≥ ~2,

    kao što je predvideno relacijom neodredenosti za energiju i vreme.

  • 32 GLAVA 6. OPERATORI I OPSERVABLE

  • Glava 7

    Jame i barijere

    Kao što je ranije videno, svojstvene vrednosti energije za slobodnu česticu mogu da imajubilo koju pozitivnu realnu vrednost, dok za česticu u zatvorenoj cevi dozvoljene vrednostienergije su diskretne. Ova razlika izmedu vezanih i slobodnih čestica je generalna. Kadapostoje vezana stanja onda je za njih spektar diskretan (E1, E2, E3,. . . ); u slučaju kadapostoje slobodna stanja, onda je za njih spektar kontinualan (npr. iz intervala E ∈[Eosnovno,∞)). Ovaj deo će biti posvećen traženju odgovora na pitanja: zašto je za vezanastanja spektar diskretan i zašto je spektar kontinualan za slobodna stanja.

    7.1 Kvalitativni opis svojstvenih stanja

    Razmatra se čestica energije E koja se nalazi u potencijalu V (x) (Slika 7.1). U klasičnojfizici, ako je E < Vmax onda se čestica nikako ne bi mogla naći u oblasti za koju jeV (x) > E iz razloga što se u tom slučaju dobija da je kinetička energija T = E−V manjaod nule. Takve oblasti su klasično zabranjene oblasti; oblasti za koje je E > V (x) suklasično dozvoljene oblasti. Čestica iz oblasti x2 < x < x3 nikada ne bi mogla da izade;to bi bilo vezano stanje zarobljeno potencijalom. S druge strane, čestica koja se nalazi uoblasti x < x1 nikada ne bi mogla da ude u oblast x2 < x < x3.

    U kvantnoj mehanici je fizičko stanje odredeno Schrödingerovom jednačinom, koja nezahteva da talasna funkcija bude nula u oblastima kada je E < V (x). Ovo znači dapostoji konačna verovatnoća da se čestica nade u klasično zabranjenim oblastima (osim uslučaju beskonačno velikog potencijalnog zida), i ova činjenica prouzrokuje neke neobičnefenomene koji su nezamislivi u klasičnoj fizici. Medutim, talasna funkcija se ponašadrugačije u klasično dozvoljenim i klasično zabranjenim oblastima.

    Vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina je diferencijalna jednačina drugog redai može se napisati u obliku

    d2χ

    dx2= −2m

    ~2(E − V )χ. (7.1)

    Iz jednačine (7.1) sledi da se za klasično dozvoljene oblasti (E > V ), funkcija χ je konkavnakada je pozitivna, a konveksna kada je negativna, te je funkcija oscilatorna. Medutim, zaklasično zabranjene oblasti (E < V ) se dobija da je funkcija konveksna kada je pozitivnadok je konkavna kada je negativna, odakle sledi da oscilatorno ponašanje nije moguće. Uklasično zabranjenim oblastima su funkcije eksponencijalne.

    33

  • 34 GLAVA 7. JAME I BARIJERE

    Slika 7.1: Kriva potencijala u jednoj dimenziji V (x). Energija čestice je E (horizontalnatanka linija). Potencijali u beskonačnostima su V (±∞). Vrednosti x1, x2 i x3 su rešenjajednačine V (x) = E (presek horizontalne tanke linije sa krivom potencijala), tj. klasičnegranice za kretanje čestice.

    7.2 Koeficijenti refleksije i transmisije

    U mnogim situacijama je potrebno znati kolika je verovatnoća da se probna čestica, ustanju ravnog talasa, poslata u oblast potencijala, odbije nazad (refleksija) a kolika jeverovatnoća da prode (transmisija).

    U tu svrhu, neka je upadni talas opisan talasnom funkcijom χu(x) = Cueip0x/~, reflek-

    tovani χr(x) = Cre−ip0x/~ dok je transmitovani opisan sa χt(x) = Cte

    ip1x/~. Onda su, uovom slučaju, koeficijenti refleksije (R, verovatnoća da se čestica odbije o skok potencijala)i transmisije (T , verovatnoća da čestica prode skok potencijala) dati sa

    R =p0m|Cr|2

    p0m|Cu|2

    i T =p1m|Ct|2

    p0m|Cu|2

    . (7.2)

    7.3 Slobodna stanja

    Najprostoji primer je, pored slobodne čestice, kada se čestica nalazi u cevi koja je zatvorenana jednom kraju. Potencijal koji odgovara ovom primeru je

    V (x) =

    {0 , x < 0

    ∞ , x > 0.

    Inicijalno, pre sudara sa krajem cevi, čestica se nalazi u stanju čija talasni paket imadobro definisan impuls ⟨p⟩ = p0 > 0 (∆p = 0). Nakon odbijanja od kraja cevi talasnipaket će se kretati u suprotnom smeru sa očekivanom vrednošću impulsa ⟨p⟩ = −p0.

    Pošto je impuls dobro definisan to je upadna talasna funkcija ravan talas

    χu(x) = Aeip0x/~,

  • 7.4. STEPENASTI POTENCIJAL 35

    dok je reflektovana funkcijaχr(x) = Be

    −ip0x/~.

    Ukupna talasna funkcija je superpozicija upadne i reflektovane talasne funkcije

    χ(x) = χu(x) + χr(x) = Aeip0x/~ +Be−ip0x/~.

    Iz graničnog uslova da talasna funkcija u x = 0 bude nula (talasna funkcija za x > 0je nulta) sledi da je B = −A, tj. χ(x) = A sin(p0x/~). Naravno, energija čestice jeE = p20/2m.

    U ovom primeru je, zbog |A| = |B|, koeficijent refleksije (videti (7.2)) R = 1 dok jekoeficijent transmisije T = 0. Iz poslednjeg se zaključuje da je verovatnoća da se česticaili odbije ili transmituje 100%.

    7.4 Stepenasti potencijal

    Neka se čestica kreće u potencijalu koji naglo menja vrednost sa V (x) = 0 za x < 0 naV (x) = V0 > 0 za x > 0. Za energiju E > V0 cela realna oblast je klasično dozvoljenaoblast, dok je za energiju E < V0 klasično dozvoljena oblast x < 0. Ova dva slučaja bićeposebno razmatrana.

    Prvo će biti razmatran slučaj E > V0. Schrödingerova jednačina za oblast x < 0 je

    − ~2

    2m

    ∂χ0∂x2

    = Eχ0,

    čije je rešenjeχ0(x) = Ae

    ip0x/~ +Be−ip0x/~ gde je p0 =√2mE.

    U oblasti x > 0 Schrödingerova jednačina je

    − ~2

    2m

    ∂2χ1∂x2

    = (E − V0)χ1,

    sa rešenjem

    χ1(x) = Ceip1x/~ +De−ip1x/~ gde je p1 =

    √2m(E − V ).

    Kako se razmatra slučaj kada upadni talas dolazi samo sa jedne strane to je jedna kon-stanta nula; ako talas upada sleva onda je D = 0 dok ako talas upada zdesna mora dabude A = 0. Dalje će biti razmatran slučaj kada čestica upada iz oblasti x = −∞ zbogčega je D = 0.

    Rešenje Schrödingerove jednačine mora da bude neprekidno, a takode i prvi izvodimoraju da budu neprekidni (ovo je tačno osim u slučajevima kada je skok potencijala unekoj tački beskonačan). Naime, da ovo nije tačno, drugi izvodi bi bili beskonačni, štobi narušilo Schrödingerovu jednačinu za slučaj kada su energija i potencijal konačni. Izneprekidnosti talasne funkcije i njenog prvog izvoda dobijaju se jednačine

    A+B = C i p0(A−B) = p1C.

  • 36 GLAVA 7. JAME I BARIJERE

    Odavde se mogu izraziti konstante B i C preko konstante A kao

    B =p0 − p1p0 + p1

    A i C =2p0

    p0 + p1A.

    Iz poslednjeg i definicije koeficijenata refleksije i transmisije (7.2) se dobija

    R =(p0 − p1)2

    (p0 + p1)2i =

    4p0p1(p0 + p1)2

    ,

    odakle se vidi da je ponovo R + T = 1.Kao drugo će biti razmatran slučaj E < V0. U oblasti x < 0 rešenje je isto kao i u

    prethodnom slučaju E > V0. U oblasti x > 0 je p1 =√

    2m(E − V0) = iq1 imaginaranbroj. Odavde je rešenje χ1 u klasično zabranjenoj oblasti

    χ1(x) = Ce−q1x/~ +Deq1x/~ gde je q1 =

    √2m(V − E).

    Kada bi bilo D ̸= 0 onda bi verovatnoća nalaženja čestice u klasično zabranjenoj oblastirasla sa x, odakle sledi da bi verovatnoća nalaženja u x = ∞ bila beskonačna, što nijerezultat koji bi bio prirodan. Iz prethodnog, konstanta D mora biti anulirana (D = 0).

    Dalje, iz neprekidnosti talasne funkcije i njenog prvog izvoda se dobijaju jednačine

    A+B = C i ip0(A−B) = −q1C.

    Rešenje poslednjih jednačina po B i C je

    B =p0 − iq1p0 + iq1

    A i C =2p0

    p0 + iq1A.

    U ovom slučaju je koeficijent refleksije R = 1. Medutim, kako u oblasti x > 0 ne postojeravni talasi, koeficijent transmisije je T = 0, odakle je R + T = 0.

    7.5 Pravougaona jama: vezana stanja

    Potencijal koji opisuje ovaj model je

    V (x) =

    0 , x < −a

    −V0 ,−a < x < a0 , a < x,

    gde je V0 > 0. Za česticu sa energijom E > 0 je klasično dozvoljena cela realna osa,pa su stanja slobodna. Za energiju −V0 < E < 0, oblasti x < −a i x > a su klasičnozabranjene, pa su talasne funkcije u tim oblastima eksponencijalno opadajuće i teže nulikada x→ ±∞. Ovo su vezana stanja.

    Da bi se Schrödingerova jednačina lakše rešila, potrebno je primetiti da je potencijalparna funkcija koordinate, tj. V (−x) = V (x). Iz uslova parnosti potencijala i oblikaSchrödingerove jednačine se može dobiti za vezana stanja (koja su u slučaju jednodimen-zionalnog sistema nedegenerisana) da su svojstvene funkcije ili parna funkcija koordinate

  • 7.5. PRAVOUGAONA JAMA: VEZANA STANJA 37

    ili neparna funkcija, tj. ili je χ(−x) = χ(x) ili χ(−x) = −χ(x), respektivno. Schröding-erova jednačina u oblasti |x| > a je

    − ~2

    2m

    ∂2χ

    ∂x2= −|E|χ,

    gde je |E| apsolutna vrednost energije, pa su rešenja za x < −a i x > a

    χ1/3(x) = A1/3e±q(x±a)/~ +B1/3e

    ∓q(x±a)/~ gde je q =√2m|E|, (7.3)

    respektivno. U ograničenoj oblasti je pogodno, umesto ravnih talasa, za rešenja Schrödi-ngerove jednačine

    − ~2

    2m

    ∂2χ

    ∂x2− V0χ = −|E|χ,

    uzeti funkcije

    χ2(x) = Cp cos(px/~) + Cn sin(px/~) gde je p =√

    2m(V0 − |E|). (7.4)

    Kako svojstvene funkcije u beskonačnostima moraju da budu konačne, to mora da važiB1/3 = 0. Dalje, talasne funkcije u klasično zabranjenim oblastima moraju da budu, zax < −a i x > a,

    χ1/3(x) = A1/3e±q(x±a)/~, (7.5)

    respektivno.Konačno, parnost potencijala dovodi do toga da je povoljnije posebno razmatrati parna

    i neparna stanja.

    7.5.1 Parna stanja

    Uslov χ(−x) = χ(x) dovodi do toga da je A3 = A1 i Cn = 0. Neka je A3 = A i Cp = C.Granični uslov za neprekidnost funkcije i prvog izvoda u x = ±a daje

    A = C cos(pa/~) i ± qA = ±pC sin(pa/~).

    Iz prethodnog se dobija, deljenjem poslednje dve jednakosti, disperziona relacija, u ovomslučaju transcedentna jednačina√

    |E| =√V0 − |E|tg

    [√2m(V0 − |E|)a/~

    ]koja odreduje vrednosti energije.

    Ova transcedentna jednačina se može rešiti grafički crtajući levu i desnu stranu je-dnačine da bi se našle tačke preseka. Rezultat sa dva primera je prikazan na Slici 7.2.Svako rešenje se nalazi izmedu tačaka gde je tangens jednak nuli, tj. tada su |E| =V0 − (kπ)2~2/2ma2, gde je k prirodan broj čija je maksimalna vrednost K ona za kojuvaži [(K − 1)π]2~2/2ma2 ≤ V0. Broj K raste što je jama dublja (veće V0) i šira (veće a).Ipak, vidi se da za bilo koju dubinu i širinu jame, uvek postoji bar jedno vezano stanjekoje je parno.

  • 38 GLAVA 7. JAME I BARIJERE

    Slika 7.2: Disperziona relacija√|E| =

    √V0 − |E|tg

    [√2m(V0 − |E|)a/~

    ]za parna

    stanja. Crna kriva je leva strana jednakosti, dok je crvena desna strana, u preseku ovihkrivih se nalaze rešenja za energiju (kružići). Dozvoljene vrednosti za |E| su izmedu 0 iV0. Levi grafik je za

    √2ma/~ = 2/3 dok je desni za vrednost

    √2ma/~ = 5.

    7.5.2 Neparna stanja

    Slično kao u prethodnom slučaju, uslov χ(−x) = −χ(x) dovodi do A3 = −A1 i Cp = 0.Dalje, neka je A1 = A = −A3 i Cn = C. Granični uslov za neprekidnost talasne funkcijei njenog prvog izvoda u tačkama x = ±a daje jednakosti

    ±A = ∓C sin(pa/~) i qA = pC cos(pa/~),

    odakle se deljenjem dobija disperziona (transcedentna) jednačina√|E| = −

    √V0 − |E|ctg

    [√2m(V0 − |E|)a/~

    ].

    Slika 7.3: Disperziona relacija√

    |E| = −√V0 − |E|ctg

    [√2m(V0 − |E|)a/~

    ]za neparna

    stanja. Crna kriva je leva strana jednakosti, dok je crvena desna strana, u preseku ovihkrivih se nalaze rešenja za energiju (kružići). Dozvoljene vrednosti za |E| su izmedu 0 iV0. Levi grafik je za

    √2ma/~ = 2/3 dok je desni za vrednost

    √2ma/~ = 5.

    Grafičkim rešavanjem za dva primera (videti Sliku 7.3) se dobija da za prirodan brojk sa maksimalnom vrednošću K se dobijaju rešenja izmedu vrednosti |E| = V0 − [(k −

  • 7.6. PRAVOUGAONA JAMA: SLOBODNA STANJA 39

    1/2)π]2~2/2ma2, pa brojK neparnih rešenja zadovoljava [(K−1/2)π]2~2/2ma2 ≤ V0. Onošto je različito od parnog slučaja je to što ovde može da se desi da ne postoji neparnostanje. Uslov da bi neparno stanje postojalo je V0 ≥ (π/2)2~2/2ma2.

    Kao rezime, za vezana stanja u konačno dubokoj pravougaonoj jami važi

    1. Broj vezanih stanja je konačan i postoji barem jedno vezano stanje;

    2. Broj vezanih stanja raste sa povećanjem dubine i širine jame;

    3. Svojstvene energije su nedegenerisane;

    4. Svaka svojstvena talasna funkcija je ili parna ili neparna funkcija koordinate, štoje posledica toga da je potencijal parna funkcija koordinate i da su vezana stanjanedegenerisana;

    5. Iako je čestica u jami, ipak postoji nenulta verovatnoća da se čestica nade van jame.

    7.6 Pravougaona jama: slobodna stanja

    U ovom slučaju je E > 0 pa je čestica slobodna, i neka, npr. čestica nailazi sleva napravougaonu potencijalnu jamu. Iz ovih pretpostavki, talasna funkcija čestice u oblastix < −a se može napisati kao χ1(x) = Aueip(x+a)/~ + Are−ip(x+a)/~ (upadni + reflektovanitalas), dok je u oblasti x > a funkcija χ3(x) = Ate

    ip(x−a)/~ (transmitovani talas; pošto nepostoji talas koji se kreće na levo za x > a), gde je p =

    √2mE. U oblasti −a < x < a

    pogodno je talasnu funkciju napisati u obliku χ2(x) = As sin(qx) + Ac cos(qx), gde jeq =

    √2m(E + V0). Jednačine za neprekidnost funkcije i prvog izvoda u tački x = −a su

    Au + Ar = −As sin(qa) + Ac cos(qa) i ip(Au − Ar) = q[As cos(qa) + Ac sin(qa)],

    dok isti uslovi u tački x = a daju

    At = As sin(qa) + Ac cos(qa) i ipAt = q[As cos(qa)− Ac sin(qa)].

    Iz druge dve jednakosti se mogu izraziti konstante As i Ac preko At kao

    As = At

    [ip

    qcos(qa) + sin(qa)

    ]i Ac = At

    [cos(qa)− ip

    qsin(qa)

    ],

    odakle se iz prve dve jednačine mogu izraziti Au i Ar preko At kao

    Au = At1

    2pq

    [2pq cos(2qa)− i

    (p2 + q2

    )sin(2qa)

    ]i Ar = −Ati

    1

    2pq

    (p2 − q2

    )sin(2qa).

    Konačno, koeficijent refleksije, u ovom slučaju, je

    R =|Ar|2

    |Au|2=

    (p2 − q2)2 sin2(2qa)(p2 + q2)2 sin2(2qa) + 4p2q2 cos2(2qa)

    ,

  • 40 GLAVA 7. JAME I BARIJERE

    dok je koeficijent transmisije

    T =|At|2

    |Au|2=

    4p2q2

    (p2 + q2)2 sin2(2qa) + 4p2q2 cos2(2qa),

    i opet je njihov zbir R + T = 1.Posebno interesantan slučaj je kada je 2qa = 2

    √2m(E + V0)a/~ = nπ gde je n priro-

    dan broj. U ovom slučaju je T = 1 i R = 0, tj. verovatnoća da se čestica reflektuje jenula.

    7.7 Tuneliranje

    U svrhu objašnjenja tuneliranja je potrebno posmatrati potencijal

    V (x) =

    0 , x < −aV0 ,−a < x < a0 , a < x,

    gde je V0 > 0 dok je energija čestice 0 < E < V0. Talasne funkcije su analogne funkcijamaiz prethodnog dela uz modifikaciju da se u oblasti −a < x < a periodične funkcije zamen-juju hiperboličnim. U oblasti x < −a funkcija je χ1(x) = Aueik(x+a)+Are−ik(x+a) (upadni+ reflektovani talas), dok je u oblasti x > a funkcija χ3(x) = Ate

    ik(x−a) (transmitovanitalas; pošto ne postoji talas koji se kreće na levo za x > a), gde je k =

    √2mE/~. U

    klasično zabranjenoj oblasti −a < x < a, funkcija je χ2(x) = Assh(qx) +Acch(qx), gde jeq =

    √2m(V0 − E).

    Granični uslovi za neprekidnost funkcije i njenog prvog izvoda u x = −a daju jednačine

    Au + Ar = −Assh(qa) + Acch(qa) i ip(Au − Ar) = q[Asch(qa)− Acsh(qa)],

    dok isti uslovi u tački x = a daju

    At = Assh(qa) + Acch(qa) i ipAt = q[Asch(qa) + Acsh(qa)].

    Iz druge dve jednakosti se mogu izraziti konstante As i Ac preko At kao

    As = At

    (ip

    qchqa− shqa

    )i Ac = At

    (chqa− ip

    qshqa

    ),

    odakle se iz prve dve jednačine mogu izraziti Au i Ar preko At kao

    Au = At1

    2pq

    [2pqch(2qa)− i

    (p2 − q2

    )sh(2qa)

    ]i Ar = −iAt

    1

    2pq

    (p2 + q2

    )sh(2qa).

    Konačno, koeficijent refleksije, u ovom slučaju, je

    R =|Ar|2

    |Au|2=

    (p2 + q2)2sh2(2qa)

    (p2 − q2)2 sh2(2qa) + 4p2q2ch2(2qa),

  • 7.7. TUNELIRANJE 41

    dok je koeficijent transmisije

    T =|At|2

    |Au|2=

    4p2q2

    (p2 − q2)2 sh2(2qa) + 4p2q2ch2(2qa),

    i opet je njihov zbir R + T = 1.Ako je barijera dovoljno velike širine, tj. ako važi 2a ≫ 1/q, onda se i sinus i kosinus

    hiperbolički mogu aproksimirati samo eksponencijalno rastućom funkcijom, tj. sh2(2qa) ≈14e4qa ≈ ch2(2qa). Ovaj slučaj se razmatra zajedno sa pretpostavkom da je visina barijere

    dovoljno mala, tj. q ≈ p. Iz prethodnih pretpostavki se dobija da koeficijent transmisijezavisi od približno kao T ≈ 4e−4qa.

    Činjenica da čestica može da prodre kroz potencijalnu barijeru je poznata kao tuneli-ranje. Ovaj efekat ima važnu primenu u modernoj fizici, npr. pri proučavanju poluprovod-nika, hladne emisije elektrona sa metala, radioaktivnog raspada, itd.

  • 42 GLAVA 7. JAME I BARIJERE

  • Glava 8

    Harmonijski oscilator

    Postoji samo nekoliko potencijala za koje je Schrödingerova jednačina rešiva analitički.Jedan od najvažnijih je potencijal,

    V (x) =1

    2k(x− x0)2,

    harmonijskog oscilatora, zato što se mnogi sistemi u nuklearnoj fizici, fizici čvrstog stanja,fizici elementarnih čestica, itd., u prvoj aproksimaciji mogu posmatrati kao skup nekolikokuplovanih harmonijskih oscilatora.

    Postoji nekoliko razloga za često pojavljivanje harmonijskog potencijala. Kao prvo,svaki konačni potencijal izgleda kao harmonijski u blizini njegovog minimuma. Neka jeminimum potencijala u x = x0, tada se potencijal može razviti oko x0 u red

    V (x) = V (x0) +

    (dV

    dx

    )x=x0

    (x− x0) +1

    2

    (d2V

    dx2

    )x=x0

    (x− x0)2 + . . .

    Zato što se sistem nalazi u minimumu, to je prvi izvod potencijala u minimumu nula,dakle

    V (x) = V (x0) +1

    2

    (d2V

    dx2

    )x=x0

    (x− x0)2 + . . .

    Za mala odstupanja, ovo je upravo harmonijski potencijal.

    Kao drugo, kada su klasične jednačine linearne, znači da je u pitanju harmonijskioscilator, ili skup (kuplovanih) harmonijskih oscilatora. Newtonov zakon F = ma jegeneralno nelinearan, pošto F (x) ne mora da bude linearna funkcija. Ipak, ako silazavisi linearno od x, onda je potencijal kvadratna funkcija koordinate, tj. u pitanju jeharmonijski oscilator.

    Talasne jednačine su prisutne u klasičnoj fizici. Talasi se prostiru u čvrstim telima,tečnostima, gasovima, plazmama; propagiraju i u elektromagnetnom polju, pa čak (premaEinsteinovoj opštoj teoriji relativnosti) i u gravitacionom polju. Svi ovi sistemi se mogurazmatrati, do odredene aproksimacije, kao skup harmonijskih oscilatora. Iz ovog ra-zloga je potencijal harmonijskog oscilatora jedan od najvažnijih problema za rešavanje ukvantnoj fizici.

    43

  • 44 GLAVA 8. HARMONIJSKI OSCILATOR

    8.1 Operatori kreacije i anihilacije

    Neka su a i b dva realna broja, i neka je kompleksan broj c definisan kao c = a + ib.U ovom slučaju važi a2 + b2 = c∗c, gde je c∗ kompleksno konjugovan broj od c, tj.c∗ = a − ib. Potrebno je izvesti sličnu relaciju za operatore. Umesto realnih brojevase uzimaju hermitski operatori  i B̂, koji imaju samo realne svojstvene vrednosti. Odnjih se formira operator Ĉ = Â+ iB̂, čiji je hermitski konjugovan (adjungovan) operatorĈ† = Â− iB̂. Komutator ova dva operatora je [Ĉ, Ĉ†] = −2i[Â, B̂], dok je njihov proizvodĈ†Ĉ = Â2 + B̂2 + i[Â, B̂]. Ovde se uzima opšti slučaj da operatori  i B̂ ne komutiraju.

    Svaki jednočestični, u jednoj dimenziji, hamiltonijan se može napisati kao zbir kvadratadva operatora

    Ĥ =

    (p̂√2m

    )2+[√

    V (x)]2,

    pa uzimajući operatore  =√V (x) i B̂ = p̂√

    2m, za operator Ĉ se dobija Ĉ =

    √V (x) +

    i p̂√2m

    , hamiltonijan dobija oblik

    Ĥ = Ĉ†Ĉ − i√

    1

    2m[√V (x), p̂],

    dok je komutator [Ĉ, Ĉ†] = −2i√

    12m

    [√V (x), p̂]. Ovo, generalno, nije dobar način za zapis

    hamiltonijana u mnogim situacijama; u opštem slučaju, komutator [√V (x), p̂] je dodatni

    komplikovani operator. Ipak, u slučaju harmonijskog oscilatora, ovaj komutator je veomaprost

    [Â, B̂] =

    √1

    2m[

    √1

    2kx2, p̂] =

    √k

    4m[x, p̂] = i~

    1

    2

    √k

    m.

    U klasičnoj fizici se ugaona frekvencija oscilatora masem i konstante opruge k definǐse kaoω =

    √k/m, odakle je [Â, B̂] = i1

    2~ω. Iz prethodnog, hamiltonijan harmonijskog oscilatora

    se može napisati kao

    Ĥ = Ĉ†Ĉ +1

    2~ω,

    dok je komutator [Ĉ, Ĉ†] = ~ω. Sada se mogu definisati operator anihilacije

    â =

    √1

    ~ωĈ =

    mωx+ ip̂√2~mω

    i njegov adjungovani operator kreacije

    ↠=

    √1

    ~ωĈ† =

    mωx− ip̂√2~mω

    .

    Komutator ovih operatora proizlazi iz komutatora [Ĉ, Ĉ†] = ~ω i iznosi

    [â, â†] = 1.

  • 8.1. OPERATORI KREACIJE I ANIHILACIJE 45

    Izraženi preko operatora kreacije i anihilacije, hamiltonijan, koordinata i impuls dobijajuoblik

    Ĥ = ~ω(â†â+1