Click here to load reader

KVANTNA FIZIKA E. Dobard zi c Beograd, 2011 · PDF file Raˇcunski zadaci zajedno sa detaljim reˇsenjima su dati u poslednje dve glave. ... EULER-LAGRANGEOVE I HAMILTONOVE JEDNACINE

  • View
    2

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of KVANTNA FIZIKA E. Dobard zi c Beograd, 2011 · PDF file Raˇcunski zadaci zajedno sa detaljim...

  • KVANTNA FIZIKA

    E. Dobardžić

    Beograd, 2011

    http://www.nanolab.rs/

  • PREDGOVOR

    Tekst je nastajao tokom pet godina držanja kursa Kvantna Fizika na Fizičkom fakultetu, Kompjuterskom smeru sa Fizičkog i Astofizičkom smeru sa Matematičkog fakulteta. Izla- ganje tema, je u najvećem delu, napravljeno u tri koraka: (i) opis problema u okviru klasične fizike; (ii) rezultati koji se dobijaju u eksperimentu, a koji se kose sa klasičnom slikom i (iii) opis problema u kvantnoj fizici zajedno sa rezultatima koji se poklapaju sa eksperimentom.

    Računski zadaci zajedno sa detaljim rešenjima su dati u poslednje dve glave. Označeni su po težini ◦teški zadaci i ∗zadaci koji izlaze iz okvira kursa. Razdvojeni su u četiri velike oblasti: Kvantna kinematika, Kvantna dinamika, Angularni moment i Aproksimativni metodi; sa još Dodatnim zadacima koji pripadaju oblastima kvantne mehanike koje nisu obuhvaćene ovim kursom.

    Autor je unapred zahvalan za sve primedbe koje će mu biti dostavljane.

    21.11.2011, Edib Dobardžić

    i

  • ii

  • Sadržaj

    1 Klasično stanje 1

    1.1 Princip najmanjeg dejstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Euler-Lagrangeove i Hamiltonove jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.3 Generalizacija principa najmanjeg dejstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.3.1 Primer: klatno u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.4 Klasično stanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2 Počeci kvantne mehanike 7

    2.1 Zračenje crnog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.2 Fotoelektrični efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.3 Heisenbergov mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.4 Bohr ov atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    3 Talasno ponašanje čestica 11

    3.1 Talasna jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.2 Eksperiment sa dva otvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.3 Da li elektroni putuju po trajektorijama? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    4 Kvantno stanje 15

    4.1 Novi prikaz kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    4.2 Hilbert-ov prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4.3 Diracova delta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4.4 Očekivane vrednosti, neodredenost i kvantno stanje . . . . . . . . . . . . . 17

    5 Dinamika kvantnog stanja 21

    5.1 Ehrenfestov princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    5.2 Schrödingerova talasna jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    5.3 Vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    5.4 Slobodna čestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    5.5 Gausijanski talasni paket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    5.6 Grupna brzina i Fazna brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    5.7 Čestica u zatvorenoj cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    5.8 Heisenbergov princip neodredenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    iii

  • iv SADRŽAJ

    6 Operatori i opservable 29 6.1 Verovatnoće merenja, operatori i opservable . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.2 Opšti princip neodredenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6.3 Relacije neodredenosti za energiju i vreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    7 Jame i barijere 33 7.1 Kvalitativni opis svojstvenih stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.2 Koeficijenti refleksije i transmisije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.3 Slobodna stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.4 Stepenasti potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.5 Pravougaona jama: vezana stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    7.5.1 Parna stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.5.2 Neparna stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    7.6 Pravougaona jama: slobodna stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.7 Tuneliranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    8 Harmonijski oscilator 43 8.1 Operatori kreacije i anihilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8.2 Algebra i srednje vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    9 Centralni potencijal i angularni moment 49 9.1 Komutatori angularnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9.2 Svojstvene vrednosti angularnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 9.3 Svojstvene funkcije angularnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    9.3.1 Kruti rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.4 Radijalna jednačina za centralni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    9.4.1 Slobodna čestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.4.2 Vodonikov atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    10 Spin 57 10.1 Spinske talasne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.2 Spin-orbitno sparivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    11 Slaganje angularnih momenata 63 11.1 Primer: l = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 11.2 Opšti metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    12 Aproksimativni metodi 71 12.1 Vremenski nezavisna perturbacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    12.1.1 Perturbovani i neperturbovani hamiltonijan . . . . . . . . . . . . . 71 12.1.2 Perturbativni razvoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 12.1.3 Vǐse popravke za nedegenerisane nivoe . . . . . . . . . . . . . . . . 73 12.1.4 Primer I: anharmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 12.1.5 Primer II: dvodimenzionalni harmonijski oscilator . . . . . . . . . 74 12.1.6 Primer III: Starkov efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    12.2 Varijacioni metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

  • SADRŽAJ v

    12.2.1 Opšte karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 12.2.2 Primer: dvodimenzionalni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . 78

    13 Zadaci 81 13.1 Kvantna kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 13.2 Kvantna dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 13.3 Angularni moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 13.4 Aproksimativni metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 13.5 ∗ Dodatni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    14 Rešenja zadataka 93 14.1 Kvantna kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 14.2 Kvantna dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 14.3 Angularni moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 14.4 Aproksimativni metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 14.5 Dodatni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

  • Glava 1

    Klasično stanje

    U prvoj četvrtini dvadesetog veka su se zakoni kretanja koje su definisali Galileo, Newton, Lagrange, Hamilton, Maxwell, i mnogi drugi, pokazali kao neadekvatni za objašnjenje ve- likog broja fenomena vezanih za atome, elektrone i svetlost. Nakon velikog napora, nova teorija (zajedno sa novim zakonom kretanja), pojavila se poznata pod nazivom kvantna mehanika, koja je sada osnova moderne fizike. Zakoni kretanja (prema Galileju, New- tonu,. . . ) koji su prethodili kvantnoj teoriji su danas poznati kao klasična mehanika.

    Iako se sada osvrt na klasičnu mehaniku smatra samo kao aproksimacija kvantne mehanike, ipak je tačno da je kvantna mehanika nadogradnja klasične mehanike. Dakle, ovde će se početi sa osvrtom na klasičnu mehaniku čiji su jedan od glavnih principa Newtonovi zakoni.

    1.1 Princip najmanjeg dejstva

    Razmatraće se telo koje se kreće u polju Zemljine teže na malim visinama. Neka je visina tela, kao funkcija vremena, x(t), tzv. trajektorija tela. Na grafiku zavisnosti visine od vremena, x(t) je parabola u homogenom gravitacionom polju (otpor vazduha je zanemaren). Iako postoji beskonačno mnogo mogućih trajektorija, realizacija odredene parabole zavisi od početnog impulsa tela.

    Ipak, ako se zahteva da telo padne na zemlju ∆t sekundi posle vertikalnog izbacivanja u vazduh, onda postoji samo jedna trajektorija. Problem kretanja tela u homogenom gravitacionom polju je lako rešiv, zbog čega će se dalje izvoditi metod za najopštiji po- tencijal V (x). Počinje se sa Newtonovim zakonom F = ma , koji je u stvari diferencijalna jednačina drugog reda:

    m d2x

    dt2 = − dV

    dx . (1.1)

    Pogodno je izraziti jednačinu drugog reda kao par jednačina prvog reda

    dx

    dt =

    p

    m i

    dp

    dt = − dV

    dx , (1.2)

    gde summasa i