Kvantna mehanika II - fiz.fmf.uni-lj.siandrejas/vaje/gradiva/kmII_gradivo_za... · Andreja Sarlah, UL FMF Kvantna mehanika II, 2009/10 2 Posebna teorija relativnosti 1. Dolo cite

dr. Andreja Sarlah

Kvantna mehanika IIgradivo za vaje

Vsebina

1 Teorija grup 21.1 Zvezne grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Diskretne grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Posebna teorija relativnosti 5

3 Osnove kvantne mehanike 5

4 Kvantna relativisticna mehanika 64.1 Klein-Gordonova enacba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Diracova enacba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Standardni model 9

6 Vodikov atom 9

7 Sistem N delcev 10

8 Razno 11

A Domace naloge 12A.1 Studijsko leto 2006/07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12A.2 Studijsko leto 2007/08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19A.3 Studijsko leto 2008/09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24A.4 Studijsko leto 2009/10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

B Kolokviji in izpiti 35B.1 Studijsko leto 2006/07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35B.2 Studijsko leto 2007/08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41B.3 Studijsko leto 2008/09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42B.4 Studijsko leto 2009/10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

C Literatura 49

Andreja Sarlah, UL FMF Kvantna mehanika II, 2009/10

1 Teorija grup

1.1 Zvezne grupe

1. Ponovite pojme kot so grupa, algebra, generatorji grupe, zvezne in diskretnesimetrije, zvezne in diskretne grupe!

2. Kaj je Liejeva algebra?

3. Grupa SO(3):

(a) elementi grupeKaj pomeni? Koliko elementov ima grupa SO(3)? Zapisite jih? Kaj soto Liejeve grupe?

(b) algebra generatorjev grupeKoliko generatorjev ima grupa SO(3)? Zapisite generatorje grupe! Zapisitekomutatorske relacije med njimi (definirajte algebro, ki jo zaprejo)!

(c) lastnosti grupeDolocite rank grupe! Dolocite Casimirjeve operatorje grupe!

(d) lastnosti kvantnomehanskih sistemov, invariantnih na grupoKoliko “dobrih kvantnih stevil” ima sistem, invarianten na grupo SO(3)?Katere vrednosti lahko zavzamejo ta kvantna stevila? Zakaj? Zapisiteoperatorja nizanja in dvigovanja! Kaj naredita na lastnem stanju,dolocenim s prej omenjenimi dobrimi kvantnimi stevili?

4. Zapisite matricno upodobitev algebre SO(3) za l = 1/2, 1, 3/2!

5. S produkti matrik γa in 4×4 matriko identitete (I) dobimo 16 matrik ΓA, kitvorijo Cliffordovo algebro; ΓA = I; γ0; iγk; iγkγl 6=k; γkγ0; γ1γ2γ3; iγkγl 6=kγ0;iγ1γ2γ3γ0, kjer je k, l = 1, 2, 3. Za matrike γa velja antikomutatorska relacija{γa, γb} = 2 ηab I.

(a) Pokazite, da velja (ΓA)2 = I!

(b) Ce vemo, da za∨

ΓA 6= I obstaja ΓB, tako da velja ΓBΓAΓB = −ΓA,pokazite, da so matrike ΓA 6= I brezsledne!

6. Grupa U(1): ponovite njene lastnosti, dolocite elemente, generatorje,...

7. Grupe SU(n):

(a) Koliko generatorjev imajo?

(b) Koliko Casimirjevih operatorjev imajo?

(c) Kaksne so njihove lastnosti?

(d) Kaksen fizikalni pomen imajo?

8. Izracunajte matrike adjungirane upodobitve za algebro generatorjev grupeSU(2) [izomorfna algebri SO(3)]! Poiscite transformacijo, ki diagonalizira T 3

in zapisite matrike T a v novi bazi!Namig: {xa, xb}− = ifabcxc in (T a)bc = −ifabc, kjer so a, b, c ∈ {1, 2, 3}

2


9. Pokazite, da je

U(~α) = exp(−i~α · ~τ) = I cosα− i~α · ~τα

sinα,

kjer je α = |~α|, I matrika identitete. Upostevajte tudi zvezo (~a · ~τ)(~b · ~τ) =~a ·~b+ i(~a×~b) · ~τ .

10. Grupa SO(1,3) je direktni produkt dveh SU(2) grup, SO(1,3)=SU(2)⊗SU(2).Z generatorji grupe SO(1,3), Mab, s katerimi lahko definiramo se Mi =12εijkM

jk, zapisemo operatorje N i± = 1

2(M i ± iM0i).

(a) Pokazite, da operatorji N i+ in N i

− zaprejo vsak svojo podalgebro!

(b) Pokazite, da sta opratorja N± =∑

i(Ni±)2 Casimirjeva operatorja vsak

svoje podgrupe!

(c) Izracuanjte, kako se Casimirjeva operatorja grupe SO(1,3), M = 12MabMab

in Γ(1+3) = 4i3M0iM i zapiseta s Casimirjevima operatorjema podgrup

SU(2)!

(d) V bazi |n+m+〉|n−m−〉, kjer jeN±|n±m±〉 = n±|n±m±〉 inN3±|n±m±〉 =

m±|n±m±〉, zapisite matricno upodobitev operatorjev N±, N3± in

M i,M0i,M,Γ(1+3)!

11. Zapisite matricno upodobitev generatorjev grupe SO(1,3) v bazi |n+m+〉|n−m−〉,kjer je n+ = 0 in n− = 1/2 ter n+ = 1/2 in n− = 0! Primerjajte z operatorjiza spin fermionov delcev/antidelcev!

12. Proton in nevtron predstavljata izobarni dublet.

(a) Skonstruirajte matricno upodobitev operatorjev, ki transformirajo pro-ton v nevtron in obratno!

(b) Kaksne so lastnosti teh operatorejv? Koliko jih je? Preverite, kateroalgebro zaprejo!

(c) Zapisite elemente grupe, ki jo generirajo ti generatorji! Katera grupaje to?

(d) Kako se pod vplivom teh elementov transformira izo-spinor?

13. Na proton/nevtron delujemo z operatorjem U(~α) grupe SU(2).

(a) Koliksen je delez protona in koliksen nevtrona v novi valovni funkciji?

(b) Preverite, da sta tudi stanji U |p〉 in U |n〉 ortogonalni!

14. Obravnavajte stanja devterona, kot sistema dveh identicnih delcev z razlicnokomponento izospina!

(a) Zapisite operator izospina za sistem vec delcev!

(b) Zapisite mozne valovne funkcije za devteron!

3


(c) Obravnavajte razlicna mozna stanja devterona v smislu energije tehstanj!

15. Generatorji grupe G tvorijo algebro A, ki jo dolocajo komutatorske relacije{xi, xj}− = if ijkxk.

(a) Pokazite, da so matrike (Ta)bc = −ifabc, upodobitev algebre A!Namig: Pomagajte si z Jacobijevo (trikotnisko) identiteto.

(b) Naj bo U unitarna matrika za prehod v novo bazo, T′i = UTiU†.

Pokazite, da so tudi matrike T′i upodobitev algebre A!

(c) Pokazite, da je {xi, xj}− = 0 potreben pogoj za to, da lahko matrikiTi in Tj hkrati diagonaliziramo! Dodatno vprasanje: Ali je pogoj tudizadosten?

16. Liejeva grupa G ima 8 generatorjev xi, i = 1, 2, . . . , 8, ki zaprejo algebro ssledecimi komutatorskimi relacijami, {xi, xj}− = if ijkxk. Nenicelne vred-nosti strukturnih konstant f ijk so

ijk 123 147 156 246 257 345 367 458 678

f ijk 1 12−1

212

12

12−1

2

√3

2

√3

2

(a) Dolocite rank grupe G! Kaksen je njegov fizikalni pomen?Namig: Rank grupe je definiran kot najvecje stevilo generatorjev, kikomutirajo med seboj.

(b) Kako se transformirajo strukturne konstante f ijk ob transformaciji gen-eratorjev x′i = T ijxj?

1.2 Diskretne grupe

1. Grupa SN .

(a) Koliko elementov ima? Kaj so elementi te grupe? Kaksen je njenfizikalni pomen?

(b) Poiscite operator, ki simetrizira, in operator, ki antisimetrizira osnovnostanje v indeksih i, j!

(c) Poiscite operatorja, ki iz osnovnega stanje naredita bodisi popolnomasimetricno ali popolnoma antisimetricno stanje!

2. Koliko elemntov ima grupa S3? Zapisite jih! Ali je izbira enolicna? Dolocitepopolnoma simetricen in popolnoma antisimetricen operator in izpisite stanji,ki jih naredita na osnovnem stanju!

3. Poiscite vse standardne oblike Youngovih tablojev za grupo S3! Dolocitestevilo posameznih podprostorov in njihovo dimenzijo!

4. Poiscite vse standardne oblike Youngovih tablojev za grupo S4! Dolocitestevilo posameznih podprostorov in njihovo dimenzijo!

4


2 Posebna teorija relativnosti

1. Dolocite matriko Lorentzove transformacije!

2. Kako se pri Lorentzovi transformaciji transformirajo odvodi?

3. Pokazite, da dajo spodaj zapisane Lagrangeove funkcije enake enacbe gibanjaza prost delec!

(a) L = −mc√xaxa

(b) L = −1

2

(1

ηxaxa + η m2c2

)4. Iz Lagrangeove funkcije za prosto elektromagnetno polje zapisite Maxwellove

enacbe in enacbo umeritvene invariance!

5. Za sistem vektorskega polja Aa, ki je sklopljeno z naboji in tokovi, ki jihpovzroca sistem delcev, katerih svetovnice opisujejo vektorji xaα zapisite

(a) Lagrangeovo funkcijo

(b) Euler-Lagrangeove enacbe gibanja

(c) Hamilton-Jacobijeve enacbe gibanja

3 Osnove kvantne mehanike

1. Pokazite, da so lastne vrednosti hermitskega operatorja realne!

2. Pokazite, da so lastni vektorji, ki pripadajo razlicnim lastnim vrednostim,ortogonalni!

3. Pokazite, da sta x in p hermitska operatorja!

4. Harmonski oscilator: kreacijski in anihilacijski operator ter zapis Hamil-tonske z njima; lastna stanja harmonskega oscilatorja – energije in valovnefunkcije, valovne funkcije v koordinatni reprezentaciji.

5. Koherentna stanja harmonskega oscilatorja: poiscite lastna stanja anihi-lacijskega operatorja! Kaksen je njihov casovni razvoj? Kaksen je fizikalnipomen koherentnih stanj?

6. V matricni obliki zapisite operatorje

(a) a, a+,

(b) b, b+,

(c) a+a, a2, (a+)2,

(d) b+b, b2, (b+)2.

Baza za bozonske operatorje so |n〉, kjer n = 0, 1, 2, . . . , za fermionske pa |0〉in |1〉.

5


7. Sistem bozonov in fermionov naj opise Hamiltonka H = ~ω(a†a + b†b) :=~ωN , kjer sta a, a† bozonska in b, b† fermionska anihilacijski in kreacijskioperator.

(a) Poiscite lastna stanja te Hamiltonke!

(b) Preprost model supersimetricnih transformacij opise supersimetricnioperator, Q = a†b+b†a. Kaksen je njegov pomen? Dolocite njegove ko-mutacijske lastnosti z a, a† in b, b†! Kaj naredi supersimetricen operatorna lastnem stanju sistema?

(c) Zapisite operatorja N in Q v matricni obliki!

8. Nerelativisticni opis vodikovega atoma. Zapisite Hamiltonko v krogelnihkoordinatah! Katere so konstante gibanja/dobra kvantna stevila? Poiscitelastne energije, lastne funkcije (kotni in radialni del)!

9. Brez uporabe tabel Clebsch-Gordonovih koeficientov poiscite valovno funkcijoza j = 1/2, kjer je ~j = ~l + ~s in sta velikosti tirne in spinske vrtilne kolicinel = 1 in s = 1/2! Preverite rezultat z uporabo tabel Clebsch-Gordonovihkoeficientov!

10. Brez uporabe tabel Clebsch-Gordonovih koeficientov poiscite valovno funkcijoza j = 3/2, kjer je ~j = ~l + ~s in sta velikosti tirne in spinske vrtilne kolicinel = 1 in s = 1/2! Preverite rezultat z uporabo tabel Clebsch-Gordonovihkoeficientov!

4 Kvantna relativisticna mehanika

4.1 Klein-Gordonova enacba

1. Zapisite Klein-Gordonovo enacbo! Kateri klasicni vezi ustreza?

2. Zapisite Klein-Gordonovo enacbo v koordinatni reprezentaciji! Kaksna enacbaje to matematicno in kaksna fizikalno?

3. Poiscite resitve Klein-Gordonove enacbe za proste delce!

4. Dolocite tok za Klein-Gordonovo enacbo!

5. Poiscite nerelativisticno limito Klein-Gordonove enacbe in ocenite velikost∂ϕ/∂t napram ϕ!

(papa −m20c

2)ψ = 0

Namig: v nerelativisticni limiti se energija delca le malo razlikuje od nje-gove mirovne energije, E ′ = E −m0c

2 � m0c2, zato lahko valovno funkcijo

zapisemo v obliki

ψ(~x, t) = ϕ(~x, t) exp(−im0c2t/~).

6


6. Ob primerni izbiri nastavka za valovno funkcijo, to je ψ = ϕ+ χ in i~ ∂∂tψ =

mc2(ϕ − χ), lahko Klein-Gordonovo enacbo za prost delec zapisemo s sis-temom dveh sklopljenih diferencialnih enacb, ki sta prvega reda v odvodihpo casu. V matricni obliki ju zapisemo kot “Schrodingerjevo” enacbo, to jei~ ∂

∂tΨ = HΨ, kjer je

H = (τ3 + iτ2)p2

2m+ τ3mc

2.

τi so 2 × 2 matrike identicne Paulijevim matrikam – zanje velja {τi, τj} =2 δij I, valovna funkcija Ψ pa je vektor, Ψ> = (ϕ, χ).

(a) Pokazite, da Ψ, ki je resitev “Schrodingerjeve” enacbe, zadosca tudiKlein-Gordonovi enacbi!

(b) Dolocite vektor cetverec toka v “Schrodingerjevi” reprezentaciji!Namig: “Schrodingerjevo” enacbo pomnozite se z matriko τ3.

(c) Poiscite resitev za prost delec!

(d) Komentirajte resitev v nerelativisticni limiti!

7. V okviru Klein-Gordonove enacbe opisite sipanje delca na potencialnemskoku visine V0! Obravnavajte razlicne primere glede na predznak in visinoskoka!

4.2 Diracova enacba

1. Splosen nastavek za kvantnomehansko enacbo za relativisticen delec, ki najbo linearna v casovnih odvodih, podaja

i~∂

∂tψ =

[~ci

(α1 ∂

∂x1+ α2 ∂

∂x2+ α3 ∂

∂x3

)+ βmc2

]ψ ≡ Hfψ.

Zapisite (izracunajte) pogoje, ki jim morajo zadoscati αi, β, da bo veljala (i)vez E2 = p2c2 +m2c4, (ii) kontinuitetna enacba za ρ = ψ†ψ in (iii) bo enacbaLorentzovo invariantna!

2. Zapisite matrike γa v Diracovi in kiralni reprezentaciji! Dolocite transforma-cijo, ki prevede iz ene v drugo reprezentacijo! V eni in drugi reprezentacijizapisite operatorje Si, S0i in αi = γ0γi!

3. Dolocite/preverite antikomutatorske zveze za matrike γa!

4. Dolocite konstante gibanja/dobra kvantna stevila za prost Diracov delec!Namig: Izracunajte komutatorja {pa, Hf}−, {~S ·~p,Hf}−! Kaj sta operatorjarocnosti in sucnosti?

5. Izracunajte vektor cetverec toka za Diracovo enacbo za prost delec!

6. Dolocite lastna stanja Diracove enacbe v Diracovi upodobitvi!

7


7. V kiralni reprezentaciji dolocite lastna stanja Diracove enacbe za prost delec!

8. Kako se s casom spreminja lega Diracovega delca? (Pojav je znan podimenom “Zitterbewegung”.)

9. V curku hitrih elektronov je pricakovana vrednost komponente spina v smerigibanja 1/4. V Diracovi upodobitvi zapisite valovno funkcijo za “povprecni”elektron iz tega curka!

10. Obravnavajte sipanje Diracovega delca na potencialnem skoku visine V0!Kako je z zveznostjo valovne funkcije in njenih odvodov na skoku? Dolocite,koliksen delez vpadnih delcev se na skoku odbije! Koliksen del pa je prepuscen?Pri katerih pogojih pride do popolnega odboja?

11. Obravnavajte Diracov delec na enodimenzionalni koncni potencialni jamisirine a in globine V0!

(a) Dolocite splosno obliko valovne funkcije ter pripadajoci energijo in gibalnokolicino.

(b) Podrobneje obravnavajte vezana stanja! (Poiscite pogoje zanje, dolociteenergije vezanih stanj,...)

12. Curek Diracovih delcev z energijo E naleti na potencialni skok, ki se skalarnosklaplja z delci (sklopitev z masnim clenom!). Visina potencialnega skoka jeV0.

(a) Zapisite Diracovo enacbo za posamezen delec!

(b) Zapisite valovno funkcijo in pripadajoce parametre na obeh stranehskoka!

(c) Koliksen del vpadnega curka delcev se na potencialnem skoku odbijein koliksen del je prepuscen? Pri katerih pogojih pride do popolnegaodboja?

13. Obravnavajte Diracov delec na enodimenzionalni koncni potencialni jamiglobine V0 s skalarno sklopitvijo! Sirina jame je a.

(a) Dolocite splosno obliko valovne funkcije ter pripadajoci energijo in gibalnokolicino.

(b) Podrobneje obravnavajte vezana stanja! (Poiscite pogoje zanje, dolociteenergije vezanih stanj,...)

14. Dolocite energijska stanja elektrona v homogenem magnetnem polju!

(a) Izpisite ustrezno Diracovo enacbo!

(b) Zapisite nastavek za valovno funkcijo! Katera so dobra kvantna stevila?

(c) Koliksen je razmik med sosednjimi stanji?

8


5 Standardni model

1. Katere prostostne stopnje pripisemo delcem v okviru standardnega modela?Katerim simetrijskim grupam ustrezajo?

2. Zapisite akcijo v okviru standardnega modela! Kateri so postulati standard-nega modela?

3. Poskusi kazejo, da se elektromagnetno in izospinsko vektorsko polje manife-stirata v doloceni linearni kombinaciji, to je Q = τ 13+Y . Dolocite parametrev nastavku AYa = − sinϑZa+cosϑAa in A13

a = cosϑZa+sinϑAa, da bo stan-dardni model v skladu z opazanji!

4. Kaksne oblike je clen, ki opisuje samointerakcijo skalarnih bozonov? Obrav-navajte razlicne moznosti oblike tega potenciala, pogoje, pri katerih ta nastopi,in njihov fizikalni pomen!

5. Iz sklopitve skalarnih polj z delci (fermioni in vektorskimi bozoni) dolocite,koliksno maso dobijo ob zlomu simetrije skalarnih bozonov vektorski bozoni!

6. V standardnem modelu dobijo fermioni maso preko sklopitve levo in desnorocnih delcev razlicnih druzin.

(a) Zapisite gostoto Lagrangeove funkcije, ki ustreza Yukawini sklopitvi!

(b) Premislite, kako je z moznostjo diagonalizacije splosne kompleksne ma-trike!

(c) Prepisite fermionski del gostote Lagrangeove funkcije tako, da bodo vnjej nastopale “oblecene” fermionske valovne funkcije!

7. Zapisite del gostote Lagrangeove funkcije, ki ustreza sklopitvi fermionov zvektorskimi bozoni, v obliko interakcije tokov s polji!

8. S pomocjo tabele kvantnih stevil osnovnih delcev zapisite nevtralne elek-trosibke tokove!

9. S pomocjo tabele kvantnih stevil osnovnih delcev zapisite nabite elektrosibketokove!

10. S pomocjo tabele kvantnih stevil osnovnih delcev zapisite barvne tokove!

6 Vodikov atom

1. Obravnavajte vodikov atom v okviru Klein-Gordonove enacbe, to je rel-ativisticno, a brez upostevanja spina! Primerjajte rezultate z rezultati vokviru nerelativisticnega opisa!

2. Relativisticni vodikov atom. Zapisite Diracovo enacbo za relativisticni elek-tron v potencialu tockastega jedra! Poiscite dobra kvantna stevila! Kako jes parnostjo bispinorja? Zapisite Hamiltonko v krogelnih koordinatah!

9


3. Lastna stanja elektrona v Coulombskem potencialu jedra z nabojem Ze0

podaja zveza

EN = mc2

{1 +

(Zα)2

[N − j − 1/2 +√

(j + 1/2)2 − (Zα)2]2

}−1/2

,

kjer je α konstanta fine strukture, j velikost skupne vrtilne kolicine in Nglavno kvantno stevilo.

(a) Katere vrednosti lahko zavzame N?

(b) Katere vrednosti lahko zavzame j? Koliksna je najvecja vrednost pridanem N?

(c) Kaksna je odvisnost EN od N in j za atome lahkih jeder?

(d) Koliksna je vezavna energija, Evez, elektrona v stanju N, j za atomelahkih jeder?

(e) Izracunajte Evez za prvih 10 stanj elektrona (zapisite oznake elektron-skih konfiguracij) v atomu vodika!

(f) Kje so meje veljavnosti zgoraj zapisane EN? Zakaj?

4. Stanje vodikovega atoma oznacimo z elektronsko konfiguracijo oblike Nlj,kjer je N glavno kvantno stevilo, l velikost tirne vrtilne kolicine (uporabljamocrkovne oznake, to je s↔ 0, p↔ 1, d↔ 2, ...) in j skupna vrtilna kolicina.

(a) Izracunajte, koliksna je vezavna energija elektrona v vodikovem atomuv stanju 2s1/2, 2p1/2, 2p3/2, 2p5/2 in 2d5/2! Za koliko se te energijerazlikujejo od tistih, izracunanih v nerelativisticnem priblizku?

(b) Zapisite kotni del delcne Diracove valovne funkcije za elektronsko stanje2p3/2!

5. Primerjajte opisa vodikovega atoma v okviru relativisticnega opisa, ce upostevamospin oziroma ga ne! V priblizku za lahka jedra, izracuanjte razliko med en-ergijo stanj v okviru opisa z Diracovo ali Klein-Gordonovo enacbo! Pokazite,da razlika ustreza clenu, ki v nerelativisticni kvantni mehaniki opise sklopitevspin–tir!

7 Sistem N delcev

1. Imejmo tri nelocljive delce, ki se lahko nahajajo v treh razlicnih enodelcnihstanjih, |1〉, |2〉 in |3〉. Vsako stanje lahko zaseda le po en delec.

(a) Zapisite vsa mozna produktna stanja za ta trodelcni sistem!

(b) Naj pod prejsnjo tocko zapisana stanja dolocajo bazo. Kako se v njejzapisejo elementi permutacijske grupe S3?

(c) Zapisite popolnoma simetricno valovno funkcijo za sistem!

10


(d) Zapisite popolnoma antisimetricno valovno funkcijo za sistem!

(e) Poiscite bazo preostalima nerazcepnima upodobitvama (z mesano simetrijo)!

(f) Zapisite matricno upodobitev grupe S3 v bazi v prejsnjih tockah izracunanihnerrazcepnih upodobitev!

2. Zapisite valovno funkcijo protona s produktnimi valovnimi funkcijami kon-stitutivnih kvarkov!

8 Razno

1. Aplicirajte Bohrov model na problem gibanja planetov, to je na gravitaci-jski potencial, in izpeljite Planckove kolicine (Planckove polmer, cas, maso,energijo, itd.)! Kaksen je njihov pomen? Predpostavki: Masi planetov staenaki, njuna vezavna energija pa znasa −mc2.

2. S pomocjo Newtonove mehanike izpeljite enacbo standardnega modela vesolja!Obravnavajte razlicne scenarije!

3. Ponovite pojme kot so evklidski prostor, evklidska metrika, vektorski pros-tor,...

4. Obravnavajte prehod med dvema ortogonalnima koordinatnima sistemoma!

5. Obravnavajte prehod v neortogonalni koordinatni sistem!

(a) Zapisite ustrezno prehodno matriko in izracunajte Jacobijevo determi-nanto!

(b) Zapisite direktno in reciprocno bazo!

(c) Kaj je metricni tenzor? Zapisite ga za dani primer!

(d) Zgledi:

i. Preprosta kubicna mreza.

ii. Prostorsko centrirana mreza.

iii. 2D “rombski” sistem.

6. Opis delca in antidelca v Diracovi in Feynmanovi sliki!

7. Feynmanovi diagrami: zelo zelo kratek uvod.

8. Iz razlike v elektrostatski energiji protona in nevtrona ocenite razliko masobeh delcev! Delca obravnavajte kot enakomerno nabiti krogli.

9. Teorija Clebsch-Gordonovih koeficientov.

11


A Domace naloge

A.1 Studijsko leto 2006/07

dr. Andreja Sarlah studijsko leto 2006/07Oddelek za fiziko FMF, UL

Kvantna mehanika II1. domaca naloga 7. 11. 2006

Ponovitev posebne teorije relativnosti –sklopitev vektorskega polja z naboji in tokovi

Za sistem vektorskega polja Aa, ki je sklopljeno z naboji in tokovi,ki jih povzroca sistem delcev, katerih svetovnice opisujejo vektorjixaα zapisite

a) Lagrangeovo funkcijo

b) Euler-Lagrangeove enacbe gibanja

c) Hamilton-Jacobijeve enacbe gibanja

Reseno nalogo oddajte na vajah 14. 11. 2006!

12




Bozonski in fermionski anihilacijski in kreacijski operatorji— matricni zapis

V matricni obliki zapisite operatorje

a) a, a+,

b) b, b+,

c) a+a, a2, (a+)2,

d) b+b, b2, (b+)2.

Baza za bozonske operatorje so |n〉, kjer n = 0, 1, 2, . . . , zafermionske pa |0〉 in |1〉.


13




Relativisticna kvantna mehanika –Klein-Gordonova enacba I.

a) Poiscite nerelativisticno limito Klein-Gordonove enacbe!

(papa −m20c

2)ψ = 0

Namig: v nerelativisticni limiti se energija delca le malo raz-likuje od njegove mirovne energije, E ′ = E −m0c

2 � m0c2,

zato lahko valovno funkcijo zapisemo v obliki

ψ(~x, t) = ϕ(~x, t) exp(−im0c2t/~).

b) Ocenite velikost ∂ϕ/∂t napram ϕ.


14




Relativisticna kvantna mehanika –Diracova enacba I.

V kiralni reprezentaciji dolocite lastna stanja Diracove enacbe zaprost delec!

Pomoc:

◦ Diracova enacba: (γapa −m0c)|ψ〉 = 0

◦ nastavek za valovno funkcijo:|ψ〉 = α|ψL↑〉+ β|ψL↓〉+ γ|ψD↑〉+ δ|ψD↓〉

◦ γ0c =

(0 −I−I 0

), γic =

(0 σi

−σi 0

)


15




Relativisticna kvantna mehanika –Diracova enacba II.

Obravnavajte Diracov delec na enodimenzionalni koncni poten-cialni jami sirine a in globine V0!

1. Dolocite splosno obliko valovne funkcije ter pripadajoci en-ergijo in gibalno kolicino.

2. Podrobneje obravnavajte vezana stanja! (Poiscite pogojezanje, dolocite energije vezanih stanj,...)


16




Teorija grup – SU(n)

1. Izracunajte matrike adjungirane upodobitve za algebro gen-eratorjev grupe SU(2) [izomorfna algebri SO(3)]! Poiscitetransformacijo, ki diagonalizira T3 in zapisite matrike Ta vnovi bazi!Namig: {xa, xb}− = ifabcxc in (Ta)bc = −ifabc, kjer soa, b, c ∈ {1, 2, 3}

2. Pokazite, da je

U(~α) = exp(−i~α · ~τ) = I cosα− i~α · ~τα

sinα,

kjer je α = |~α|, I matrika identitete. Upostevajte tudi zvezo

(~a · ~τ)(~b · ~τ) = ~a ·~b+ i(~a×~b) · ~τ .


17




Vodikov atom

Lastna stanja elektrona v Coulombskem potencialu jedra z nabojemZe0 podaja zveza

EN = mc2

{1 +

(Zα)2

[N − j − 1/2 +√

(j + 1/2)2 − (Zα)2]2

}−1/2

,

kjer je α konstanta fine strukture, j velikost skupne vrtilne kolicinein N glavno kvantno stevilo.

a) Katere vrednosti lahko zavzame N?

b) Katere vrednosti lahko zavzame j? Koliksna je najvecja vred-nost pri danem N?

c) Kaksna je odvisnost EN od N in j za atome lahkih jeder?

d) Koliksna je vezavna energija, Evez, elektrona v stanju N, j zaatome lahkih jeder?

e) Izracunajte Evez za prvih 10 stanj elektrona (zapisite oznakeelektronskih konfiguracij) v atomu vodika!

f) Kje so meje veljavnosti zgoraj zapisane EN? Zakaj?


18





Od atomov do vesolja

Resite vsaj eno od sledecih nalog!

1. Aplicirajte Bohrov model na problem gibanja planetov, toje na gravitacijski potencial, in izpeljite Planckove kolicine(Planckove polmer, cas, maso, energijo, itd.)! Kaksen je nji-hov pomen?

2. S pomocjo Newtonove mehanike izpeljite enacbo standard-nega modela vesolja! Obravnavajte razlicne scenarije!


19




Lagrangeova funkcija

1. Pokazite, kako se pri prehodu med inercialnimi sistemi, kjervelja x′a = Λa

b xb, transformirajo odvodi ∂/∂xa → ∂/∂x′a in

∂/∂xa → ∂/∂x′a!

2. Pokazite, da dasta spodnja nastavka za Lagrangeovo funkcijoustrezne enacbe gibanja za prost delec! Poiscite nerela-tivisticno limito!

a) L = −mc√xaxa

b) L = −1

2

(1

ηxaxa + η m2c2

)Za Lagrangeovo funkcijo pod tocko a) izracunajte impulz terzapisite Hamiltonko in ustrezne Hamilton-Jacobijeve enacbe!


20




Lagrangeova funkcija II

Sistem vektorskega polja Aa, F ab = ∂aAb − ∂bAa, sklopljenega znaboji in tokovi, ja = (ρ,~j/c), opise gostota Lagrangeove funkcije

L =ε04F abFab + Aaja.

a) Zapisite pripadajoce Euler-Lagrangeove enacbe gibanja!

b) Z upostevanjem ustreznega nastavka za F ab pokazite, da pred-stavljajo te enacbe Maxwellove enacbe!

c) Zapisite Hamiltonko tega sistema (kaj je tu impulz!) in pre-verite, kaj predstavlja ob ze omenjenem nastavku za F ab!


21



Kvantna mehanika IITeorija grup I 4. 12. 2007

Matricna upodobitev operatorjev in grup

1. Zapisite matricno upodobitev generatorjev grupe SO(3) zal = 0, 1/2, 1!

2. Za l = 1/2 zapisite se matricno upodobitev grupe SO(3)!

3. Dodatna naloga: Zapisite matricno upodobitev grupe SO(3) zal = 1!

Namig: Najprej definirajte vektorski prostor, nad katerim bostezapisali matricno upodobitev!

Reseno nalogo lahko oddate na vajah 11. 12. 2007!

22




Klein-Gordonova enacba

Ob primerni izbiri nastavka za valovno funkcijo, to je ψ = ϕ+χ ini~ ∂

∂tψ = mc2(ϕ− χ), lahko Klein-Gordonovo enacbo za prost delec

zapisemo s sistemom dveh sklopljenih diferencialnih enacb, ki staprvega reda v odvodih po casu. V matricni obliki ju zapisemo kot“Schrodingerjevo” enacbo, to je i~ ∂


H = (τ3 + iτ2)p2

2m+ τ3mc

2.

τi so 2×2 matrike, identicne Paulijevim, za katere velja {τi, τj}+ =2 δij I, valovna funkcija Ψ pa je vektor, Ψ> = (ϕ, χ).

a) Pokazite, da Ψ, ki je resitev “Schrodingerjeve” enacbe, za-dosca tudi Klein-Gordonovi enacbi!

b) Dolocite vektor cetverec toka v “Schrodingerjevi” reprezen-taciji! Namig: “Schrodingerjevo” enacbo pomnozite se z ma-triko τ3.

c) Poiscite resitev za prost delec!

d) Komentirajte resitev v nerelativisticni limiti!

Vprasanji a) in b) lahko obravnavate brez upostevanja konkretneupodobitve za matrike τi, to je le z upostevanjem pripadajoce an-tikomutatorske relacije!


23





Relativisticna kvantna mehanika –Klein-Gordonova enacba

a) Gibanje delca s spinom 0 opise Klein-Gordonova enacba,

(papa −m20c

2)ψ = 0.

Obravnavajte enacbo in dolocite lastna stanja prostega delca!

Namig: Pod obravnavo enacbe razumem dolocitev tipa enacbein nastavka za resitev.

b) Izracunajte vektor cetverec toka za Klein-Gordonovo enacbo!

Namig: ja = (cρ,~j) in ∇ ·~j + ∂ρ/∂t = 0.

c) Poiscite nerelativisticno limito Klein-Gordonove enacbe!

Namig: V nerelativisticni limiti se energija delca le malo ra-zlikuje od njegove mirovne energije, E ′ = E −m0c

2 � m0c2,

zato lahko valovno funkcijo zapisemo v obliki

ψ(~x, t) = ϕ(~x, t) exp(−im0c2t/~).

d) Ocenite velikost ∂ϕ/∂t napram ϕ.


24




Teorija grup – Casimirjevi operatorji

1. Kaj pravi Racahov izrek?

2. Kaj je Casimirjev operator? S cim je doloceno steviloCasimirjevih operatorjev grupe?Kaj je multiplet? Kaksen je fizikalni pomen Casimirjevih op-eratorjev?

3. Naj bodo U(α) operatorji simetrijske grupe, H pa Hamiltonkasistema, invariantnega na to simetrijsko grupo. DefinirajmoHψ0 = E0ψ0 in ψ = U(α)ψ0; Li so generatorji grupe, Cλ panjeni Casimirjevi operatorji. Izracunajte!

a) {U(α), H}− =?

b) {Li, H}− =?

c) Hψ =?

d) Cλψ =?

4. Izrek o kompletnosti Casimirjevih operatorjev: Vsak opera-tor A, ki komutira z vsemi operatorji Liejeve grupe – torej zvsemi generatorji grupe Li – je nujno funkcija Casimirjevihoperatorjev Cλ grupe, A = A(Cλ).Posledica: Hamiltonka H mora biti zgrajena iz Casimirjevihoperatorjev. (Ce ima sistem doloceno simetrijo, mora bitiHamiltonka invariantna na vse generatorje in Casimirjeve op-eratorje pripadajoce simetrijske grupe; z njimi mora komuti-rati.)Kako bi na podlagi tega zapisali splosno obliko Hamiltonke

a) za sistem s sfericno simetrijo,

b) za sistem, ki je translacijsko invarianten,

c) za dvodelcni sistem, invarianten na izospin?


25




Standardni model osnovnih delcev – fermionski tokovi

Zadnjic smo na vajah zapisali splosen izraz za fermionske tokove,

jAj,aAAja = Ψαi†L,Rγ

0γagAτAjΨαiL,RA

Aja

= jaAa + j′aZa + j+aW+a + j−aW−

a + j3j,aA3ja .

S pomocjo tabele vrednosti nabojev za osnovne delce:

1. Izpisite vse nenicelne clene nevtralnih elektrosibkih tokov!

2. Izpisite vse nenicelne clene nabitih elektrosibkih tokov!

ime Γ S12 τ 23 Y Q τ 31, τ 38

u L ±1/2 1/2 1/6 2/3 {c1, c2, c3}d L ±1/2 −1/2 1/6 −1/3 {c1, c2, c3}u R ±1/2 0 2/3 2/3 {c1, c2, c3}d R ±1/2 0 −1/3 −1/3 {c1, c2, c3}ν L ±1/2 1/2 −1/2 0 0

e L ±1/2 −1/2 −1/2 −1 0

ν R ±1/2 0 0 0 0

e R ±1/2 0 −1 −1 0


26




Sistem s casovno odvisno Hamiltonko

Spinski sistem opise Hamiltonka

H = −gµB ~B · ~σ,

kjer ima magnetno polje sledeco casovno odvisnost,

~B(t) =

{Bex; t ≤ 0

(B0 +B′ sinωt)ez; t > 0.

Pricakovana vrednost spina pred preklopom polja je 〈σx〉 =1, 〈σi 6=x〉 = 0.

1. Dolocite verjetnost, da je sistem po casu t v zacetnem stanju!

2. Dolocite pricakovane vrednosti komponent spina!

3. Primerjajte rezultate z rezultati v okviru teorije motenj(naredili na vajah)!


27





Ponovitev posebne teorije relativnosti –sklopitev vektorskega polja z naboji in tokovi

1. Vektorsko polje Aa je sklopljeno z naboji in tokovi, ki jihpovzroca sistem delcev, katerih svetovnice opisujejo vektorjixaα.Zapisite/izracunajte

(a) gostoto Lagrangeove funkcije za prosto polje,

(b) clen, ki v gostoti Lagrangeove funkcije sklaplja vektorskopolje z naboji in tokovi delcev,

(c) Euler-Lagrangeove enacbe gibanja,

(d) impulze, Hamiltonko in Hamiltonove enacbe gibanja.

2. Za Lab = (xapb − xbpa)/~ izracunajte

(a) {Lab, Lcd}P ,

(b) {Li, Lj}P , kjer je Li = 12εijkL

jk.

Pomoc: {A,B}P = ∂A∂pa

∂B∂xa− ∂A

∂xa∂B∂pa

.


28




Teorija grup – grupa SO(3)

1. Koliko in katere generatorje ima? Zapisite algebro nad njimi!Kako je stevilo generatorjev grupe SO(n) odvisno od dimen-zije n?

2. Koliksen je rank grupe? Utemeljite! Kaksen je pomen rankagrupe? (Rank grupe je definiran kot najvecje stevilo genera-torjev, ki komutirajo med seboj.)

3. V neki upodobitvi generatorjev grupe velja (~α· ~G)3 = α2(~α· ~G)in α = |~α|; Gi je i-ti generator grupe, ~α pa zvezni parametergrupe. Zapisite v tej upodobitvi poljuben element grupe kotvsoto po potencah generatorjev!


29




Relativisticna kvantna mehanika – Klein-Gordonovaenacba

1. Obravnavajte sipanje Klein-Gordonovega delca na potencialnistopnici z visino V0!

(a) Zapisite ustrezno kvantno mehansko enacbo in jo resite!Namig: Kaj velja na mestu skoka potenciala za funkcijoin njene odvode?

(b) Izracunajte (tokovno) odbojnost in prepustnost te po-tencialne stopnice!

2. Izpeljite izraz za tok za “Schrodingerjevo” obliko Klein-Gordonove enacbe! Namig: Ustrezni enacbi namesto s Ψ oz.Ψ† pomnozite s (σ3Ψ) oz. (σ3Ψ)†.


30




Relativisticna kvantna mehanika – Diracova enacba

Obravnavajte Diracov delec na enodimenzionalni koncni poten-cialni jami sirine a = 10~c/mc2 in globine V0!Uporabite rezultate iz Relativistic Quantum Mechanics, WaveEquations, W. Greiner, Springer Verlag, Berlin Heidelberg (1990),stran 161-166

1. Za V0 = −1,2mc2 narisite realni del najvecje komponentevalovne funkcije za energije E =1,5 mc2; 0,5 mc2; −1,5 mc2;−2,5 mc2.

2. Za V0 = −2,7mc2 narisite realni del najvecje komponentevalovne funkcije za energije E =1,5 mc2; 0,5 mc2; −1,5 mc2;−2,5 mc2; −4 mc2.

3. V obeh primerih dolocite energije vezanih stanj!


31




Teorija grup – (adjungirana) upodobitev grupe

1. Generatorji grupe G tvorijo algebro A, ki jo dolocajo komu-tatorske relacije {xi, xj}− = if ijkxk.

(a) Pokazite, da so matrike (Ta)bc = −ifabc, upodobitev al-gebre A!Namig: Pomagajte si z Jacobijevo (trikotnisko) iden-titeto.

(b) Naj bo U unitarna matrika za prehod v novo bazo,T

′i = UTiU†. Pokazite, da so tudi matrike T′i up-

odobitev algebre A!

(c) Pokazite, da je {xi, xj}− = 0 potreben pogoj za to, dalahko matriki Ti in Tj hkrati diagonaliziramo! Dodatnovprasanje: Ali je pogoj tudi zadosten?

2. Za algebro generatorjev grupe SU(2) izracunajte matrike ad-jungirane upodobitve, poiscite transformacijo, ki diagonal-izira T3, in zapisite matrike Ta v novi bazi!


32




Standardni model osnovnih delcev – fermionski tokovi

Sklopitev delcev z vektorskimi polji lahko zapisemo s tokovi,

jAj,aAAja = Ψαi†L,Rγ

0γagAτAjΨαiL,RA

Aja

= jaAa + j′aZa + j+aW+a + j−aW−

a + j3j,aA3ja .

S pomocjo tabele vrednosti nabojev za osnovne delce:

1. Izpisite in izvrednotite vse nenicelne clene nevtralnih elek-trosibkih tokov!

2. Izpisite in izvrednotite vse nenicelne clene nabitih elek-trosibkih tokov!

ime Γ S12 τ 23 Y Q τ 31, τ 38

u L ±1/2 1/2 1/6 2/3 {c1, c2, c3}d L ±1/2 −1/2 1/6 −1/3 {c1, c2, c3}u R ±1/2 0 2/3 2/3 {c1, c2, c3}d R ±1/2 0 −1/3 −1/3 {c1, c2, c3}ν L ±1/2 1/2 −1/2 0 0

e L ±1/2 −1/2 −1/2 −1 0

ν R ±1/2 0 0 0 0

e R ±1/2 0 −1 −1 0


33




Vodikov atom

Energijo lastnih stanj elektrona v Coulombskem potencialu jedra znabojem Ze0 podaja zveza

ENj = mc2

{1 +

(Zα)2

[N − j − 1/2 +√

(j + 1/2)2 − (Zα)2]2

}−1/2

,

kjer je α konstanta fine strukture, j velikost skupne vrtilne kolicinein N glavno kvantno stevilo.

1. Katere vrednosti lahko zavzameta kvantni stevili N in j?

2. Koliksna je vezavna energija, Evez, elektrona v stanju N, j zaatome lahkih jeder?

3. Kje so meje veljavnosti zgoraj zapisane EN? Zakaj?

4. Izracunajte relativisticni popravek k vezavni energiji elek-trona v vodiku v stanjih z glavnim kvantnim stevilom N =1, 2, 3! Koliksen je v posameznem stanju del, ki pripada sklo-pitvi spin–tir? Stanja oznacite s standardno oznako elektron-skih konfiguracij v atomu vodika!

5. Zapisite kotni del delcne Diracove valovne funkcije za elek-tronska stanja z oznako 2p3/2!


34


B Kolokviji in izpiti

B.1 Studijsko leto 2006/07

1. kolokvij iz Kvantne mehanike II: 2006/072. 2. 2007

1. S produkti matrik γa in 4×4 matriko identitete (I) dobimo 16 matrik ΓA, kitvorijo Cliffordovo algebro; ΓA = I; γ0; iγk; iγkγl 6=k; γkγ0; γ1γ2γ3; iγkγl 6=kγ0;iγ1γ2γ3γ0, kjer je k, l = 1, 2, 3. Za matrike γa velja antikomutatorska relacija{γa, γb} = 2 ηab I.

a) Pokazite, da velja (ΓA)2 = I!

b) Ce vemo, da za∨

ΓA 6= I obstaja ΓB, tako da velja ΓBΓAΓB = −ΓA,pokazite, da so matrike ΓA 6= I brezsledne!

2. Ob primerni izbiri nastavka za valovno funkcijo, to je ψ = ϕ+ χ in i~ ∂∂tψ =

mc2(ϕ − χ), lahko Klein-Gordonovo enacbo za prost delec zapisemo s sis-temom dveh sklopljenih diferencialnih enacb, ki sta prvega reda v odvodihpo casu. V matricni obliki ju zapisemo kot “Schrodingerjevo” enacbo, to jei~ ∂


H = (τ3 + iτ2)p2

2m+ τ3mc

2.

τi so 2 × 2 matrike identicne Paulijevim matrikam – zanje velja {τi, τj} =2 δij I, valovna funkcija Ψ pa je vektor, Ψ> = (ϕ, χ).

a) Pokazite, da Ψ, ki je resitev “Schrodingerjeve” enacbe, zadosca tudiKlein-Gordonovi enacbi!

b) Dolocite vektor cetverec toka v “Schrodingerjevi” reprezentaciji!Namig: “Schrodingerjevo” enacbo pomnozite se z matriko τ3.

3. Za Hamiltonko iz prejsnje naloge:

a) Poiscite resitev za prost delec!

b) Komentirajte resitev v nerelativisticni limiti!


Uspesno!

35


2. kolokvij iz Kvantne mehanike II: 2006/07

23. 5. 2007

1. Generatorji grupe G tvorijo algebro A, ki jo dolocajo komutatorske relacije{xi, xj}− = if ijkxk.

a) Pokazite, da so matrike (Ta)bc = −ifabc, upodobitev algebre A!Namig: Pomagajte si z Jacobijevo (trikotnisko) identiteto.

b) Naj bo U unitarna matrika za prehod v novo bazo, T′i = UTiU†.

Pokazite, da so tudi matrike T′i upodobitev algebre A!

c) Pokazite, da je {xi, xj}− = 0 potreben pogoj za to, da lahko matrikiTi in Tj hkrati diagonaliziramo! Dodatno vprasanje: Ali je pogoj tudizadosten?

2. Curek Diracovih delcev z energijo E naleti na potencialni skok, ki se skalarnosklaplja z delci. Visina potencialnega skoka je V0.

a) Zapisite Diracovo enacbo za posamezen delec!

b) Zapisite valovno funkcijo in pripadajoce parametre na obeh stranehskoka!

c) Koliksen del vpadnega curka delcev se na potencialnem skoku odbijein koliksen del je prepuscen? Pri katerih pogojih pride do popolnegaodboja?

3. Stanje vodikovega atoma oznacimo z elektronsko konfiguracijo oblike Nlj,kjer je N glavno kvantno stevilo, l velikost tirne vrtilne kolicine (uporabljamocrkovne oznake, to je s↔ 0, p↔ 1, d↔ 2, ...) in j skupna vrtilna kolicina.

a) Izracunajte, koliksna je vezavna energija elektrona v vodikovem atomuv stanju 2s1/2, 2p1/2, 2p3/2, 2p5/2 in 2d5/2! Za koliko se te energijerazlikujejo od tistih, izracunanih v nerelativisticnem priblizku?

b) Zapisite kotni del delcne Diracove valovne funkcije za elektronsko stanje2p3/2!

Uspesno!

36


Quantum mechanics II - partial exam 2: 2006/07

23. 5. 2007

1. The generators of the group G close the algebra A, which is determined bythe comutation relations {xi, xj}− = if ijkxk.

a) Show that the matrices (Ta)bc = −ifabc are a representation of A!Hint: Make use of the Jacobi identity.

b) Let U be a unitary matrix transforming into a new basis, T′i = UTiU†.

Show that the matrices T′i are also a representation of the algebra A!

c) Show that {xi, xj}− = 0 in a necessary condition for the matrices Ti andTj to be diagonalized together! Additional question: Is this conditionalso a sufficient one?

2. A beam of Dirac’s particles with the energy E is incident onto a potentialstep with scalar coupling. The height of the potential step is V0.

a) Write down the corresponding Dirac’s equation!

b) Find the wave function and the corresponding parameters on both sidesof the step!

c) Find the reflection and transmission coefficients! Under what conditionsdoes the total reflection occur?

3. The state of the hydrogen atom is described by the electron configuration inthe form of Nlj, where N is the prime quantum number, l the orbital angularmomentum (s↔ 0, p↔ 1, d↔ 2, ...), and j the total angular momentum.

a) Find the binding energy of the electron in a hydrogen atom in thefollowing states: 2s1/2, 2p1/2, 2p3/2, 2p5/2, and 2d5/2! Find the differencewith respect to the non-relativistic result!

b) Write down the angular part of the particle-part of the Dirac’s wave-function for the electron state 2p3/2!

Uspesno!

37


Izpit iz Kvantne mehanike II: 2006/07

4. 7. 2007

1. Liejeva grupa G ima 8 generatorjev xi, i = 1, 2, . . . , 8, ki zaprejo algebro ssledecimi komutatorskimi relacijami, {xi, xj}− = if ijkxk. Nenicelne vred-nosti strukturnih konstant f ijk so

ijk 127 135 146 234 256 258 367 378 457

f ijk 12

12

1 12

12

√3

212

√3

212

a) Dolocite rank grupe G! Kaksen je njegov fizikalni pomen?Pomoc: Rank grupe je definiran kot najvecje stevilo generatorjev, kikomutirajo med seboj.

b) Kako se transformirajo strukturne konstante f ijk ob transformaciji gen-eratorjev x′i = T ijxj?


3. Curek Diracovih delcev z energijo E naleti na potencialni skok, ki se skalarnosklaplja z delci (sklopitev z masnim clenom!). Visina potencialnega skoka jeV0.

a) Zapisite Diracovo enacbo za posamezen delec!

b) Zapisite valovno funkcijo in pripadajoce parametre na obeh stranehskoka!

c) Zapisite vektor cetverec toka na obeh straneh skoka!

d) Koliksen del vpadnega curka delcev se na potencialnem skoku odbije?Pri katerih pogojih pride do popolnega odboja?


a) Izpisite ustrezno Diracovo enacbo!

b) Zapisite nastavek za valovno funkcijo! Katera so dobra kvantna stevila?

c) Koliksen je razmik med sosednjimi stanji?

Uspesno!

38


Quantum mechanics II – Exam: 2006/07

4. 7. 2007

1. The 8 generators of the Lie group G, xi, i = 1, 2, . . . , 8, form a closed com-mutator algebra {xi, xj}− = if ijkxk. Here, the non-zero strusture constantsf ijk are

ijk 127 135 146 234 256 258 367 378 457

f ijk 12

12

1 12

12

√3

212

√3

212

a) Find the rank of group G! What is its physical meaning?Help: The rank of a group is defined as the largest number of generatorscommuting with each other.

b) Find the transformations of the structure constants f ijk under the trans-formation of the generators x′i = T ijxj!

2. In the beam of relativistic electrons the expectation value of the componentof spin along the direction of motion is 1/3. Write down the wave functionof an “average” electron in the Dirac’s representation.

3. A beam of Dirac’s particles with the energy E is incident onto a potentialstep with scalar coupling (coupling with the mass term!). The height of thepotential step is V0.


b) Find the wave function and the corresponding parameters on both sidesof the potential step!

c) Write down the four-current on both sides of the potential step!

d) Find the reflection coefficient! Under what conditions does the totalreflection occur?

4. Find the energy levels of an electron in a uniform magnetic field!


b) Write down the Ansatz for the wave function! What are the good quan-tum numbers?

c) What is the energy difference between the subsequent eigen states?

Uspesno!

39


Izpit iz Kvantne mehanike II: 2006/07

1. 2. 2008

1. Grupa S4.

a) Zapisite elemente grupe!

b) Zapisite popolnoma simetricno in popolnoma antisimetricno stanje sis-tema stirih delcev v stirih razlicnih enodelcnih stanjih!

2. Klein-Gordonova enacba za prost delec da v “Schrodingerjevi” obliki Hamil-tonko

H = (τ3 + iτ2)p2

2m+ τ3mc

2,

kjer so τi 2× 2 matrike, identicne Paulijevim.

a) Pokazite, da je operator vrtilne kolicine dobro kvantno stevilo za prostKlein-Gordonov delec! Kaj to pomeni?

b) Dolocite Hamiltonko za Klein-Gordonov delec v potencialu z vektorskimznacajem?

3. Curek polariziranih elektronov z energijo E naleti na potencialni skok, ki gaopise vektorski potencial Aa = (−V0,~0), V0 > 0.

a) Zapisite valovno funkcijo posameznega delca ter pripadajoce parametre!Kaj se pri prehodu meje skoka zgodi z gibalno kolicino delcev?

b) Izracunajte vektor cetverec toka! Izracunajte, koliksna je prepustnostskoka za ultrarelativisticne delce!


a) Izpisite ustrezno Diracovo enacbo! Zapisite nastavek za valovno funkcijo!Premislite, katera so dobra kvantna stevila?

b) Koliksen je razmik med sosednjimi stanji?

Uspesno!

40




1. Grupa SO(3).

a) Koliko in katere generatorje ima? Zapisite algebro nad njimi! Koliksenje rank grupe? Utemeljite! (Rank grupe je definiran kot najvecje stevilogeneratorjev, ki komutirajo med seboj.)

b) V neki upodobitvi generatorjev grupe, Gi, velja (~α · ~G)3 = α2(~α · ~G) inα = |~α|. Zapisite v tej upodobitvi poljuben element grupe kot linearnokombinacijo generatorjev!

2. Curek pozitivno nabitih pionov z energijo E naleti na mestu z = 0 na po-tencialni skok Aa = (−|V0|,~0).

a) Zapisite ustrezno kvantnomehansko enacbo gibanja za posamezen delec!

b) Zapisite valovno funkcijo in pripadajoce parametre za razlicne dele pros-tora! Utemeljite izbiro nastavka!

c) Izracunajte vektor cetverec vpadnega, odbitega in prepuscenega tokadelcev! Izracunajte prepustnost za ultrarelativisticne pione?

3. Prost Diracov delec opise kvantnomehanska enacba p0c|ψ〉 = H|ψ〉, kjer jeH = ~α · ~pc+ γ0mc2, ~α = γ0~γ.

a) Pokazite, da je operator sucnosti, Λ = ~S · ~p/|~p|, dobro kvantno steviloza prost Diracov delec!

b) Zapisite valovno funkcijo posameznega delca v curku levosucnih elek-tronov in ustrezni vektor cetverec toka!

c) Iz Hamilton-Jacobijevih enacb dolocite casovni razvoj operatorja ~α!

Uspesno!

41




1. Generatorji grupe SU(3) se v fundamentalni upodobitvi z lastnimi vektorjiu> = (1, 0, 0), d> = (0, 1, 0) in s> = (0, 0, 1) zapisejo v sledeci obliki:

τ 1 =1

2

0 1 01 0 00 0 0

, τ 2 =1

2

0 −i 0i 0 00 0 0

, τ 3 =1

2

1 0 00 −1 00 0 0

τ 4 =

1

2

0 0 10 0 01 0 0

, τ 5 =1

2

0 0 −i0 0 0i 0 0

, τ 6 =1

2

0 0 00 0 10 1 0

τ 7 =

1

2

0 0 00 0 −i0 i 0

, τ 8 =1

2√

3

1 0 00 1 00 0 −2

.

Operatorji visanja/nizanja so definirani s

τ± = τ 1 ± iτ 2, V ± = τ 4 ± iτ 5, U± = τ 6 ± iτ 7.

(a) Izracunajte matrike operatorjev τ±, V ± in U± v fundamentalni up-odobitvi!

(b) Izracunajte, kako operatorji visanja/nizanja delujejo na bazne vektorjefundamentalne upodobitve!

(c) Zapisite bazne vektorje fundamentalne upodobitve v obliki |λ3, λ8〉, kjervelja τ 3|λ3, λ8〉 = λ3|λ3, λ8〉, τ 8|λ3, λ8〉 = λ8|λ3, λ8〉!

(d) S pomocjo zgoraj zapisanih matrik fundamentalne upodobitve genera-torjev dolocite, koliko Casimirjevih operatorjev ima grupa SU(3)!(Pozor: samo zapis splosno znanega rezultata ni dovolj!)

2. Elektron se nahaja v zunanjem polju, ki ga opise vektor cetverec Aa =(0, 0, Bx, 0).

(a) Zapisite ustrezno kvantnomehansko enacbo gibanja!

(b) Katera so dobra kvantna stevila za ta sistem? Utemeljite!

(c) Dolocite pripadajoca energijska stanja s pomocjo nastavka

ψ(~r, t) = Ψ(x) exp(−iEt/~) exp(ip2y/~ + ip3z/~)!

3. Dvonivojski fermionski sistem opise Hamiltonka H = −gµB ~B · ~σ , kjer je~B = (B, 0, 0). Sistem iz osnovnega stanja vzbudi harmonska motnja H ′ =−gµB ~B′(t) · ~σ, kjer je ~B′(t) = (B0 +B′ sinωt)ez.

(a) Zapisite valovno funkcijo sistema v trenutku preden je nastopila motnja!

42


(b) Zapisite nastavek za valovno funkcijo po tem, ko je sistem pod vplivommotnje, in ustrezne gibalne enacbe, ki opisujejo casovni razvoj sistema!

(c) Koliksna je verjetnost, da se sistem po casu t nahaja v vzbujenemstanju?

Uspesno!

43


1. izpit iz Kvantne mehanike II: 2008/09

24. 6. 2009

1. Generatorji grupe SU(3) zaprejo algebro {τ i, τ j}− = if ijkτ k. Nenicelne vred-nosti strukturnih konstant so

ijk 123 147 156 246 257 345 367 458 678

f ijk 1 12−1

212

12

12−1

2

√3

2

√3

2

Operatorji visanja/nizanja so definirani s

τ± = τ 1 ± iτ 2, V ± = τ 4 ± iτ 5, U± = τ 6 ± iτ 7.

Skupaj z operatorjema τ 3 in τ 8 tvorijo nov set generatorjev grupe SU(3).

(a) Pokazite, da {τ+, τ−, τ 3} zaprejo algebro!

(b) Dolocite U3 in V 3 tako, da {U+, U−, U3} in {V +, V −, V 3} zaprejo alge-bro!

(c) Izracunajte, kaj naredijo operatorji visanja in nizanja, τ±, U± in V ±,na bazni vektor |λ3, λ8〉, kjer velja τ 3|λ3, λ8〉 = λ3|λ3, λ8〉 in τ 8|λ3, λ8〉 =λ8|λ3, λ8〉!

(d) Koliko Casimirjevih operatorjev ima grupa SU(3)? Utemeljite rezultats podatki iz naloge, ne s citiranjem knjig, zapiskov, splosno znanihlastnosti grupe SU(3),...

2. Elektron se nahaja v zunanjem polju, ki ga opise vektor cetverec Aa = (0, ~A).

(a) Zapisite Hamiltonko, ki opisuje gibanje tega elektrona!

(b) Izracunajte, kako se v Heisenbergovi sliki s casom spreminja operatorspina!

3. Natancno in v prvem redu teorije motenj obravnavajte sistem, ki ga opiseHamiltonka ... Ob casu t = 0 se sistem nahaja v stanju ...

Uspesno!

44


2. izpit iz Kvantne mehanike II: 2008/09

14. 9. 2009


ijk 123 147 156 246 257 345 367 458 678

f ijk 1 12 −1

212

12

12 −1

2

√3

2

√3

2

Operatorji visanja/nizanja so definirani s τ± = τ 1 ± iτ 2, V ± = τ 4 ± iτ 5 inU± = τ 6 ± iτ 7. Skupaj z operatorjema τ 3 in τ 8 tvorijo nov set generatorjevgrupe SU(3).

(a) Pokazite, da {τ+, τ−, τ 3} zaprejo algebro!

(b) Izracunajte, kaj naredijo operatorji visanja in nizanja, τ±, na bazni vek-tor |λ3, λ8〉, kjer velja τ 3|λ3, λ8〉 = λ3|λ3, λ8〉 in τ 8|λ3, λ8〉 = λ8|λ3, λ8〉!

(c) Koliko Casimirjevih operatorjev ima grupa SU(3)? Utemeljite rezultats podatki iz naloge, ne s citiranjem knjig, zapiskov, splosno znanihlastnosti grupe SU(3),...


3. V okviru standardnega modela osnovnih delcev s pomocjo tabele vrednostinabojev za osnovne delce zpisite vse nenicelne clene nabitih elektrosibkihtokov!

ime Γ S12 τ23 Y Q τ33, τ38

u L ±1/2 1/2 1/6 2/3 {c1, c2, c3}d L ±1/2 −1/2 1/6 −1/3 {c1, c2, c3}u R ±1/2 0 2/3 2/3 {c1, c2, c3}d R ±1/2 0 −1/3 −1/3 {c1, c2, c3}

ν L ±1/2 1/2 −1/2 0 0

e L ±1/2 −1/2 −1/2 −1 0

ν R ±1/2 0 0 0 0

e R ±1/2 0 −1 −1 0

4. Za sistem treh delcev v trinivojskem sistemu zapisite valovni funkciji singlet-nih stanj! Posamezno stanje opisejo valovne funkcije ψ1, ψ2 in ψ3.

Uspesno!

45




1. Z upostevanjem komutacijske relacije Lorentzove algebre,

{Mab,Mcd}− = i(ηadMbc + ηbcMad − ηacMbd − ηbdMac),

asimetricnosti generatorjev Mab in definicije M i = 12εijkM jk izracunajte ko-

mutatorje za N i+ = 1

2(M i + iM0i) in N i

− = 12(M i − iM0i); {N i

+, Nj+}−,

{N i−, N

j−}−, {N i

+, Nj−}−! Interpretirajte rezultate!

2. Dolocite energijska stanja relativisticnega delca s spinom 0 v homogenemmagnetnem polju vzdolz osi z!

(a) Zapisite ustrezno enacbo gibanja za kvantni delec!

(b) Zapisite nastavek za valovno funkcijo in ga argumentirajte! Katera sodobra kvantna stevila?

(c) Koliksen je razmik med sosednjimi stanji?

3. Izracunajte tok za enacbo gibanja za prost relativisticen brezmasni delec sspinom 1/2!

(a) Zapisite ustrezno enacbo gibanja za kvantni delec!

(b) Dolocite stirivektor toka za to enacbo!

Namig: Zgodovinsko je bilo izhodisce pri iskanju kvantne gibalne enacbe zadelce s spinom 1/2, naj bo gostota verjetnosti oblike ψ†ψ.

4. Trinivojski sistem opise Hamiltonka H0 = ~ω0(n + 1/2), kjer je n = 0, 1, 2.Sistem iz osnovnega stanja vzbudi harmonska motnja, H ′ = α~ω0(c† +c) sin(ωt), kjer je α � 1 ter c|n〉 = |n − 1〉 in c†|n〉 = |n + 1〉. V prvemredu teorije motenj zapisite valovno funkcijo sistema za case po nastopuharmonske motnje!

Vsaka naloga je vredna 1 tocko, za 100% stejejo 3 tocke.

Uspesno!

46


2. kolokvij iz Kvantne mehanike II: 2009/10

3. 6. 2010


ijk 123 147 156 246 257 345 367 458 678

f ijk 1 12 −1

212

12

12 −1

2

√3

2

√3

2

Operatorji visanja/nizanja so definirani s τ± = τ 1 ± iτ 2, V ± = τ 4 ± iτ 5 inU± = τ 6 ± iτ 7.

(a) Z racunom dolocite operator U3, tako da {U+, U−, U3} zaprejo algebro!

(b) Izracunajte, kaj naredijo operatorji τ± in U± na bazni vektor |λ3, λ8〉,kjer velja τ 3|λ3, λ8〉 = λ3|λ3, λ8〉 in τ 8|λ3, λ8〉 = λ8|λ3, λ8〉!

(c) Izracunajte produkte delovanja τ± in U± na ψ0 = |0, 0〉 in jih graficnopredstavite na diagramu (λ3, λ8)!

2. Standardni model osnovnih delcev:

(a) Tenzor vektorskih polj glede na Lorentzovo transformacijo je definiranpreko komutatorja kovariantnih odvodov,

{p0a, p0b}− = i~∑Ai

gA

cτAiFAi

ab ,

kjer je p0a = pa −∑

AigA

cτAiAAia . Izracunajte splosen izraz za FAi

ab !

(b) Izracunajte nevtralne elektrosibke tokove za proton!

3. Curek elektronov vpada na potencialno jamo z globino V0 in sirino a.

(a) Dolocite energije, pri katerih se elektroni resonancno sipajo! Izracunajtetri najnizje vrednosti za V0 = −1,4 mc2 in a = 7~c/mc2!

(b) Dolocite energijo vezanega stanja elektrona v limiti ε = |E − mc2| �|V0| � mc2!

4. “Vodikov” atom:

(a) Pokazite, da ustreza razlika energij elektronskega stanja v atomu vodika,∆E = ED − EKG, prispevku zaradi sklopitve spin–tir v okviru nerela-tivisticne obravnave! ED in EKG sta energiji, izracunani z upostevanjemspina (Diracova enacba) oziroma brez upostevanja le-tega (Klein-Gordonovaenacba).

(b) Zapisite kotni del delcne valovne funkcije za elektron v stanju 3d5/2 zmj = 1/2! Izracunajte energijo tega stanja za atom z Z = 60!

47


Vsaka naloga je vredna 1 tocko, za 100% stejejo 3 tocke.

Uspesno!

48


C Literatura

1. Walter Greiner, Relativistic Quantum Mechanics: Wave equations, Springer-Verlag, Berlin, 1990.

2. Walter Greiner in Bernst Muller, Quantum Mechanics: Symmetries, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

3. D. ter Haar, Problems in Quantum Mechanics, Pion, London, 1975.

4. Franz Schwabl, Quantenmechanik, Springer-Verlag, Berlin, 1994. (moja)

5. Eugen Merzbacher, Quantum Mechanics, John Wiley, New York, 1970.

6. James D. Bjorken in Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill, New York, 1964.

7. Walter Greiner in Joachim Reinhardt, Field Quantization, Springer-Verlag,Berlin, 1996.

49

Documents

Kvantna mehanika II - fiz.fmf.uni-lj.siandrejas/vaje/gradiva/kmII_gradivo_za... · Andreja Sarlah, UL FMF Kvantna mehanika II, 2009/10 2 Posebna teorija relativnosti 1. Dolo cite