I

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

VALENTINA PREDREVAC

KVANTNE RASPODJELE

Završni rad

Osijek, 2015.

II

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

VALENTINA PREDREVAC

KVANTNE RASPODJELE

Završni rad

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja prvostupnika/ce fizike

Osijek, 2015.

III

''Ovaj završni rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom izv.prof.dr.sc. Ramira Ristića u

sklopu Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa

Jurja Strossmayera u Osijek''.

IV

Sadržaj

1. UVOD ................................................................................................................................................................... 0

2. TEORIJSKI DIO ................................................................................................................................................. 1

2.1. Boltzmannova raspodjela ..................................................................................................................... 1

2.1.1. Stirlingova formula ......................................................................................................................... 3

2.2. Bose-Einsteinova raspodjela .............................................................................................................. 4

2.3. Fermi-Diracova funkcija raspodjele ................................................................................................. 6

2.4. Izvod raspodjela na drugi način......................................................................................................... 6

2.5. Zaključak .................................................................................................................................................. 12

2.6. Literatura .................................................................................................................................................. 13

2.7. Životopis ................................................................................................................................................... 13

V

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

KVANTNE RASPODJELE

VALENTINA PREDREVAC

Sažetak

U kvantnoj statističkoj fizici jednake čestice ne možemo razlikovati, dok u klasičnoj statističkoj

fizici razlikujemo jednake čestice. Poznate su nam razne raspodjele, a to su: Boltzmannova

raspodjela, Bose-Einsteinova raspodjela, Fermi-Diracova raspodjela. U kvantnoj statističkoj

fizici ne vrijedi Boltzmannova raspodjela, ali vrijede ostale dvije navedene raspodjele. To su

Bose-Einsteinova i Fermi-Doracova raspodjela i one su kvantne raspodjele. Nakon što smo izveli

izraze za svaku pojedinu raspodjelu, možemo napraviti tablicu:

NAZIV RASPODJELE FORMULA

Boltzmannova raspodjela kT

E

CeE

)(

Bose-Einsteinova raspodjela

1

1

iEie

Fermi-Diracova raspodjela

1

1

iEie

Promatrajući formule za funkcije raspodjele, možemo zaključiti da se Bose-Einsteinova i Fermi-

Diracova funkcija raspodjele razlikuju u predznaku koji se nalazi ispred jedinice u nazivniku

razlomka.

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: čestice/klasična fizika/kvantna fizika/raspodjele

Mentor: izv.prof.dr.sc. Ramir Ristić

Ocjenjivači:

Rad prihvaćen:

VI

University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis

Department of Physics

QUANTUM DISTRIBUTION

VALENTINA PREDREVAC

Abstract

In quantum statistical physics we can’t differ particles that are alike, while in classic statistical

physics we do differ particles that are alike. There are many different distribution that are well

known to us, some of them are: Boltzmann distribution, Bose – Einstein distribution, Fermi -

Dirac distribution. In quantum statistical physics we cannot apply Boltzmann distribution, but we

can use the other two distributions that are mentioned earlier . Therefore, in quantum statistical

physics we use quantum distributions, and those are Bose – Einstein distribution and Fermi -

Dirac distribution. After we have derived equation for each distribution, we can make table

below:

NAME OF DISTRIBUTION EQUATION

Boltzmann distribution, kT

E

CeE

)(

Bose – Einstein distribution

1

1

iEie

Fermi - Dirac distribution

1

1

iEie

As we look at those equations in table, we can conclude that the Bose – Einstein distribution and

Fermi – Dirac distribution function differ only in algebraic sign that stands before number one in

nominator.

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: particles/classic physics/quantum physics/distributions

Supervisor: izv.prof.dr.sc. Ramir Ristić

Reviewers:

Thesis accepted:

0

1. UVOD

Kod klasičnog pristupa problemu mnoštva čestica pretpostavljeno je da jednake čestice možemo

međusobno razlučivati. U višečestičnom sustavu svaka čestica zadržava svoju individualnost.

Nasuprot klasičnoj, kvantna statistička fizika polazi od aksioma da jednake čestice ne možemo

razlikovati, te u kvantnoj statističkoj fizici ne vrijedi Boltzmannova raspodjela. Možemo

razlikovati bozonsku i fermionsku kvantnu statistiku. Također u klasičnoj fizici početni uvjeti i

jednadžbe gibanja jednoznačno određuju kooordinate i impulse čestica, što znači da u svakom

trenutku čestice zauzimaju potpuno određene pložaje u faznom prostoru. Za kvantnu fiziku

karakteristične su Heisenbergove relacije neodređenosti. Bose-Einsteinova statistika vrijedi za

čestice cjelobrojnog spina i te čestice zovemo bozonima. Fermi-Diracova statistika opisuje

čestice polucjelobrojnog spina. Također u kvantnim raspodjelama ne razlikujemo npr. bijelu od

crne kuglice, dok kod klasičnih raspodjela postoji razlika između kuglica.

Slika 1.

1

2. TEORIJSKI DIO

2.1. Boltzmannova raspodjela

Kako se plin sastoji od velikog broja molekula koje se gibaju i međusobno sudaraju, za teorijska

razmatranja treba se pojednostaviti stvarna situacija te izgraditi model idealnog plina u kojemu

promatramo čestice bez međudjelovanja. Maxwelloova raspodjela čestica po brzinama vrijedi

samo za homogeni sustav koji nije izložen djelovanju vanjskih sila te je isto tako kinetička

energija čestice ujedno i njena ukupna energija:

2v ~ EkT

mv

ee

2

2

(*)

Ako pogledamo funkciju, možemo zaključiti da se u eksponentu funkcije raspodjele pojavljuje

omjer translacijske i termičke energije. Energija molekule, osim energije translacije može

sadržavati i druge doprinose: kinetičku energiju, potencijalnu energiju u vanjskom polju itd.

Promatramo termički uravnotežen plin koji se sastoji od N identičnih čestica i ima temperaturu

T. Zamisliti ćemo da smo kontinuirani spektar izrezali te svakom području pridijelili kvantiziran

energetski nivo. Energiju i-tog područja, odnosno nivoa označiti ćemo sa iE , pripadni broj

faznih (kvantnih) ćelija ig , a broj čestica koje su se smjestile na nivo sa iN . Energetski nivo

jednak je srednjoj energiji područja. Ako je razmak između nivoa mali, energetski spektar je

kontinuiran.

Slika 2. Energijski spektar

Raspored molekula na energijske nivoe možemo prikazati i na ovakav način:

2

Slika 3. Raspored molekula na energijske nivoe

Uzeli smo da je broj molekula šest. U prvom slučaju svih šest molekula ima najnižu energiju. U

drugom slučaju tri su molekule zaposjele najniži energetski nivo, dvije molekule drugi energetski

nivo, a jedna treći energetski nivo. U trećem slučaju drugi energetski nivo je prazan, dok u

posljednjem slučaju na svakom od šest najnižih nivoa smještena je jedna molekula.

Sumiranjem po energijskim nivoima dobivamo ukupan broj čestica:

i

iNN

U idealnom plinu zanemarujemo međučestično djelovanje te za ukupnu energiju sustava

dobivamo:

i

ii ENU

Želimo znati na koliko različitih načina možemo ostvariti određenu raspodjelu. U toj raspodjeli

je 1N čestica smješteno u 1g ćelija energijskog nivoa 1E , 2N čestica smješteno u 2g ćelija

energijskog nivoa 2E , 3N čestica smješteno u 2g ćelija energijskog nivoa 3E itd. Ukupan broj

mogućnosti ostvarenja određene raspodjele biti će:

i i

N

iNNN

N

gNggg

NNN

NB

i

!!

!...!!

!321

321

321

(1)

Veličinu B nazivamo termodinamičkom vjerojatnošću.

!...!!

!

321 NNN

NB → Broj načina da se N čestica rasporedi tako da: 1N ima energiju 1E , 2N ima

energiju 2E , 3N ima energiju 3E ... Kako bismo odredili brojeve čestica ,...,, 321 NNN prvo

ćemo izvesti izraz za Stirlingovu formulu.

Raspodjelu po energijama odrediti ćemo iz uvjeta maksimuma entropije: S ~ lnB.

3

2.1.1. Stirlingova formula

Slika 4. Uz izvod Stirlingove formule

N elemenata možemo permutirati na !N = NN )1(...321 , gdje je N>>1. Polazimo od

izraza:

N

x

xNNN1

lnln1ln...3ln2ln1ln!ln , gdje je

N

x

NN

x

xdxxxx1 11

lnlnln .

Relativna pogreška koju činimo kod ove aproksimacije je manja što je N veći. Parcijalnim

integriranjem xxxxxdxxxdx lnlnlnln slijedi:

e

NNNNNNNNxdxN

N

lnln)1(lnln!ln1

, odnosno:

N

e

NN

! . Ako želimo

još točniji rezultat dobivamo: )(2! NStNe

NN

N

→ STIRLINGOVA FORMULA.

Zapitajmo se koji je raspored čestica na energijskim nivoima najvjerojatniji. Taj najvjerojatniji

raspored zastupljen je najvećim brojem mogućnosti, tj. njemu je pridijeljena maksimalna

termodinamička vjerojatnost B. Činjenica da logaritam raste porastom funkcije, pomaže nam da

izračunamo tu vjerojatnost. Tražimo logaritam termodinamičke vjerojatnosti:

i

iii gNNNB ln!ln!lnln

Primjenom Stirlingove formule i uvažavanjem uvjeta očuvanja broja čestica dobiva se:

i i

i

ig

NNNNB lnlnln

Potražiti ćemo maksimum funkcije uz uvažavanje uvjeta očuvanja broja čestica i njihove ukupne

energije UNB ln . Pretpostaviti ćemo da je varijacija promatrane funkcije jednaka nuli:

0ln UNB . Varirati ćemo broj čestica u energijskim nivoima te izračunavamo:

4

01ln

i

i

i

i

i NEg

N (2)

Veličine ...,, 321 NNN variramo nezavisno jednu od druge, pa će izraz (2) biti jednak nuli samo

ako je svaka zagrada u sumi jednaka nuli:

01ln i

i

i Eg

N

iE

ii egN

1

U termičkoj ravnoteži ta je raspodjela čestica najvjerojatnija i nju je izveo Ludwig Boltzmann

1871. godine. Da čestice ne bi spontano prelazile u viša energijska stanja Lagrangeov

multiplikator ne smije biti negativan ( 0 ). U Maxwellovoj raspodjeli energija translacije

jednaka je: 2

2mvEi (3) . Funkcija raspodjele za danu energiju je proporcionalna s brojem

čestica u promatranom energijskom nivou: )( 2v ~ iN (4) . Uvrštavajući izraze (3), (4) i (*)

dobivamo: iN ~ kT

Ei

e

. Parametar određen je: kT

1 . Također ovisnost broja čestica N(E) o

pripadnoj energiji izražena je formulom: )(EN ~ kT

E

e

. Na kraju ovog odjeljka dolazimo do

izraza za Boltzmannovu funkciju raspodjele čestica prema energijama:

kT

E

CeE

)(

2.2. Bose-Einsteinova raspodjela

Izvest ćemo kvantnu raspodjelu za idealan plin sastavljen od N jednakih čestica. Izračunati ćemo

termodinamičku vjerojatnost na i-tom energijskom nivou. Razmislimo na koliko načina možemo

razmjestiti iN bozona u ig kvantnih ćelija. Razmjestit ćemo dvanaest čestica u pet ćelija.

Slika 5.

ig ćelija označeno je sa 1ig crtica, a iN kružića označava bozone u tim ćelijama. Ukupan

broj razmještaja bozona po ćelijama jednak je broju permutacija promatranih 1 ii gN

elemenata. Eliminirati ćemo !iN permutacija u kojima smo samo međusobno zamjenjivali iN

5

kružića te 1ig ! unutrašnjih permutacija 1ig crtica. Broj mogućih razmještaja jednakih

bozona u kvantne ćelije jest:

!1!

!1

ii

ii

igN

gNB

Pošto je 1ig te 1iN dobivamo:

!!

!

ii

ii

igN

gNB

Logaritmiranjem i primjenom Stirlingove formule e

xxx ln!ln ; ii Ngx , dobivamo:

i

iiiiiiii ggNNgNgNB lnlnlnln

Maksimalna termodinamička vjerojatnost: 0ln UNB . Kako je i

iNN te

i

ii ENU slijedi:

i

iiiii NENgN 0lnln

Varijacije broja bozona na pojedinim nivoima su međusobno nezavisne. Zbog toga izraz u

svakoj zagradi mora biti jednak nuli:

0ln

i

i

ii EN

gN

Bose-Einsteinova raspodjela je prosječan broj bozona po kvantnoj ćeliji na i-tom energijskom

nivou pa dobivamo:

iE

i

ii eN

gN

1

iE

i

i eN

g →

1

1

iE

i

i

ieg

N

Da bi funkcija raspodjele bila pozitivna treba vrijediti: 0min E . minE je najniže

individualno energijsko stanje bozona. U sustavima u kojima je energija bozona jednaka

translacijskoj kinetičkoj energiji: m

pE

2

2

, minimalna energija je jednaka nuli pa slijedi: 0 .

Ako u sustavu broj bozona nije konstantan, uzimamo da je 0 . Tako Bose-Einsteinova

funkcija raspodjele postaje: 1

1

iEie

. Uvrstimo li izraze TkB

1 i iE , dobivamo

Planckovu funkciju raspodjele:

1

1

TkBe

.

6

2.3. Fermi-Diracova funkcija raspodjele

Paulijevo načelo govori da svako individualno kvantno stanje ili je prazno ili se u njemu nalazi

jedan fermion, pa mora biti: ii Ng . Iz toga slijedi da na ni jednom energijskom nivou broj

kvantnih ćelija ne može biti manji od broja fermiona. Ćelije razvrstavamo u dvije grupe: iN

ćelija je puno, a ii Ng ćelija je prazno. Broj mogućih raspodjela na i-tom energijskom nivou

jest:

!!

!

iii

i

iNgN

gB

Termodinamička vjerojatnost jednaka je umnošku broja mogućih raspodjela svih energijskih

nivoa:

i iii

i

NgN

gB

!!

!

Kada primjenimo Stirlingovu formulu, za logaritam termodinamičke vjerojatnosti dobivamo:

i

iiiiiiii NgNgNNggB lnlnlnln

Postaviti ćemo uvjet: 0ln UNB te izvodimo

i

ii

i

ii NEN

Ng0ln .

Uzimajući u obzir pomoćne uvjete, varijacije broja fermiona na različitim energijskim nivoima

su postale međusobno nezavisne te mora biti: i

i

ii EN

Ng

ln 0 . Iz toga slijedi izraz za

Fermi-Diracovu raspodjelu: 1

1

iE

i

ii

eg

N

.

Možemo uočiti sličan izraz za fermionsku i bozonsku funkciju raspodjele. Fermionska i

bozonska funkcija raspodjele razlikuju se u tome što je u Fermi-Diracovoj raspodjeli jedinica u

nazivniku s pozitivnim predznakom, a u Bose-Einsteinovoj raspodjeli s negativnim predznakom.

2.4. Izvod raspodjela na drugi način

Izveli smo kvantne raspodjele koristeći dosta matematike. Njih možemo izvesti i na

jednostavniji, ali isto tako i manje precizan način koji ćemo opisati u tekstu koji slijedi.

Razmatrati ćemo sustav u kojem su stanja čestica jednako raspoređena po energijama. Uzeti

ćemo nultu točku energije koja se podudara s najnižim dozvoljenim stanjem. Tada čestica može

imati energiju od 0 jedinica, 1 jedinice... Imamo N broj čestica i pitamo se kako će čestice biti

raspodijeljene u raznim energijskim stanjima u uvjetima termičke ravnoteže. Vremenski prosjek

će biti parametar koji možemo mijenjati. Zadatak nam je naći kako vremenski prosjek ovisi o

7

energiji određenog stanja. Vremenski prosjek za broj čestica koje zauzimaju jedno stanje

energije iE označava se sa iP i definira kao:

T

tN

T

t

T

t

tttt

tNttP N

N

N

i

...2

...

...21 21

210

21

Oznakom 0t označili smo vrijeme tijekom kojega nema čestica u i-tom stanju, 1t vrijeme

tijekom kojega jedna čestica zauzima i-to stanje, itd. Cjelokupno vrijeme označili smo s T. Ako

za period od deset sekundi neki nivo u vremenu od tri sekunde nema čestica, u vremenu od dvije

sekunde ima jednu česticu, a u vremenu pet sekundi dvije čestice, tada će prosječan broj čestica

u tom stanju biti: 2,110

52

10

2P . Pošto čestice jednog sustava mogu na složen način

djelovati jedna na drugu, moguća je svaka raspodjela čestica po energijskim stanjima pri kojoj se

održava energija. Pretpostavka statističke mehanike je da je svaka „različita raspodjela“ kod koje

se održava energija jednako vjerojatna. Postoje tri načina kojima bismo mogli definirati izraz

„različita raspodjela“.

Kod prvog načina uzimamo da se čestice mogu razlikovati i svaka permutacija čestica po

stanjima se računa kao različita raspodjela. Prosječna raspodjela izvedena na osnovi ove metode

računanja nazvana je po Maxwellu i Boltzmannu i primjenjuje se na plin male gustoće. U drugoj

metodi uzimamo da se čestice ne mogu razlikovati i računa se samo broj različitih kombinacija

čestica u stanjima. Takva vrsta statistike naziva se Bose-Einsteinova statistika i primjenjuje se na

fotonski plin. Treći način računanja javlja se kada se čestice pokoravaju Paulijevom načelu

isključenja. Ovu treću vrstu statistike nazivamo Fermi-Diracovom statistikom. Broj čestica i

njihova cjelokupna energija moraju biti sačuvani. Pretpostaviti ćemo da imamo sustav koji sadrži

tri čestice koje dijele ukupno osam jedinica energije. Za Maxwell-Boltzmannovu statistiku

čestice označavamo slovima a, b, c. Svaka različita raspodjela označena je na horizontalnoj liniji.

8

Slika 6. Četrdeset i pet mogućih rasporeda tri čestice koje se mogu razlikovati i koje dijele osam

jedinica energije (Maxwell-Boltzmannova statistika)

Prvi horizontalni red predstavlja situaciju u kojoj su čestice a i b u stanjima s energijom nula, a

čestica c u stanju sa osam jedinica energije. Kako je svaka od četrdeset i pet različitih raspodjela

jednako vjerojatna i javlja se u 1/45 dijelu vremena, vremenski prosjek broja čestica u stanju

nula iznosi:

6,045

03

45

32

45

2132 321

0 T

t

T

t

T

tP

Na sličan način se izračunavaju vremenski procesi za stanja od jedan do osam.

9

Slika 7. Prosječna raspodjela čestica po stanjima za tri čestice koje dijele osam jedinica energije i

pokoravaju se Maxwell-Boltzmannovoj statistici

Za Bose-Einsteinovu statistiku svaku česticu predstavljamo jednom točkom. Različite moguće

raspodjele dane su u tablici:

Slika 8. Deset mogućih rasporeda tri čestice koje se ne mogu razlikovati, a koje dijele osam

jedinica energije (Bose-Einsteinova statistika)

Imamo deset raspodjela koje odgovaraju desetorim grupama raspodjela razdvojenih

horizontalnim linijama.

10

Slika 9. Prosječna raspodjela čestica po stanjima za tri čestice koje se ne mogu razlikovati i koje

dijele osam jedinica energije

Slika 10. Pet mogućih rasporeda tri čestice koje se ne mogu razlikovati, koje dijele osam jedinica

energije i pokoravaju se Paulijevom principu isključenja (Fermi-Diracova statistika). Svaka

horizontalna linija predstavlja različitu raspodjelu koja se javlja u 1/5 vremena

11

Slika 11. Prosječna raspodjela čestica po stanjima za tri čestice koje dijele osam jedinica energije

i pokoravaju se Fermi-Diracovoj statistici

Slike 10. i 11. pokazuju pojedinačne raspodjele i prosječnu raspodjelu za čestice koje se ne mogu

razlikovati i za koje vrijedi Paulijev princip isključenja. Broj različitih raspodjela u Fermi-

Diracovoj statistici je još manji nego u Bose-Einsteinovom slučaju, radi nemogućnosti da dvije

čestice zauzimaju jedno stanje u isto vrijeme. Za Fermi-Diracovu statistiku događa se da je

vremenski prosjek broja elektrona u jednom stanju identičan s vjerojatnošću da jedna čestica

zauzima stanje u određenom vremenskom trenutku. Iz slika 8. i 10. Možemo zaključiti da nije

bilo dovoljno različitih raspodjela da bi se dobila glatka funkcija P od E. Broj čestica i energija

koju oni dijele može se izvesti direktno iz grafova prosječne raspodjele. U prosjeku, broj čestica

u stanju i iznosi iP . Cjelokupni broj čestica u sustavu je dan: i

iPN . Sumiranje se vrši po

svim stanjima, uključujući nulu. Energija, koja u prosjeku odgovara česticama u stanju i je ii PE .

Cjelokupna energija svih čestica je: i

ii PEU . Prosječna energija po čestici E definirana je

kao: N

UE . Parametar za opis raspodjele čestica po stanjima je broj čestica po jedinici energije

dN/dE. dN/dE, izraženo u funkciji od energije naziva se funkcija energetske raspodjele.

Cjelokupni broj čestica je jednak površini ispod krivulje dN/dE u funkciji od E pošto je:

sveN sveE

dEdE

dNdNN površina ispod krivulje dN/dE u funkciji od E

12

Pošto je cjelokupna energija svih čestica u intervalu dE dana s EdN, gdje je E prosječna energija

u intervalu, cjelokupna energija svih čestica je: sveN sveE

T dEdE

dNEEdNE . Prosječna

energija po čestici za kontinuiranu raspodjelu je:

sveE

sveE

sveN

sveN

dEdE

dN

dEdE

dNE

dN

EdN

E . Broj čestica dN

u intervalu energija dE može se izraziti kao broj kvantnih stanja dS s energijama u intervalu dE,

pomnožen sa prosječnim brojem P čestica u svakom kvantnom stanju. Zbog toga je dN=PdS.

Tako imamo: sveE

dEdE

dSPN

sveE

dEdE

dSEPU . Faktor dS/dE je gustoća stanja koja

se izračunava metodama kvantne mehanike.

2.5. Zaključak

Nakon izvedenih izraza za različite raspodjele zaključujemo da ne vrijede sve raspodjele za

kvantnu fiziku. Boltzmannova raspodjela je raspodjela koju ne možemo koristiti u kvantnoj

statističkoj fizici, zbog toga što ona vrijedi samo za klasične čestice. Kvantne čestice su bozoni

(čestice sa cjelobrojnim spinom) i fermioni (čestice sa polucjelobrojnim spinom). Za bozone

vrijedi Bose-Einsteinova raspodjela čestica po energijama i za nju ne vrijedi Paulijev princip

isključenja. Dok za bozone vrijedi Bose-Einsteinova raspodjela za fermione vrijedi Fermi-

Diracova raspodjela čestica po energijama i zasnovana je na Paulijevom principu isključenja.

Paulijev princip isključenja govori da se fermioni ne mogu istovremeno nalaziti u istom

kvantnom stanju.

Slika 12. Bozoni i fermioni

13

2.6. Literatura

1. Ivan Supek: Teorijska fizika i struktura materije,ŠK, Zagreb 1992.

2. Curtis. L. Hemenway: Fizička elektronika, Građevinska knjiga, Beograd 1974.

3. Vladimir Šips: Uvod u statističku fiziku, ŠK, Zagreb 1990.

4. Internetska stranica: http://www.znanje.org/i/i2011/11iv05/11IV05010725/fermioni.htm

2.7. Životopis