BSc. szakdolgozat

Középiskolai kísérletek fraktálokkal

Kovács Olivér

Fizika BSc.- kémia minor tanári szakirány

III. évfolyam

Témavezető

Dr. Horváth Ákos

egyetemi docens

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Atomfizikai Tanszék

2014

Kivonat

A szakdolgozatommal a fraktálok középiskolában történő tanításának lehetőségeit

mutatom be demonstrációs kísérleteken keresztül.

Dolgozatom alapvetően három fő részre tagolható. Az első részben áttekintést adok a

fraktálokról, ismertetem a fraktáldimenzió,- és az önhasonlóság fogalmát. Bemutatok néhány

matematikai, biológiai fraktált, illetve ismertetek néhány fraktálra vezető fizikai folyamatot.

A második részben a fraktálok tanításakor használható demonstrációs kísérleteket

mutatok be. A Mandelbrot-halmaz számítógépes vizsgálata után ismertetek két kísérletet,

melyeket a fraktálok demonstrálására szeretnék használni: összegyűrt papírgalacsin tört-

dimenziójának meghatározása, illetve tojáshéj robbanásakor keletkező törési maradványok

tulajdonságaiban megnyilvánuló fraktál bemutatása.

A harmadik részben bemutatok néhány lehetőséget arra, hogy a fraktálok tanítása

középiskolások számára hogyan végezhető el az ELTE Matematikai Múzeum demonstrációs

eszközeinek segítségével

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés .................................................................................................. 1

2. A fraktálfogalom áttekintése ...................................................................... 3

2.1. A fraktálfogalom kialakulása ........................................................................................................ 3

2.2. Matematikai fraktálok .................................................................................................................. 4

2.3. Fraktáldimenziók meghatározása ................................................................................................ 6

2.4. Fraktálokra vezető fizikai folyamatok ........................................................................................... 7

2.5. A biológia fraktáljai ..................................................................................................................... 10

3. Demonstrációs kísérletek a fraktálok bemutatására .................................12

3.1. Az önhasonlóság bemutatása Mandelbrot-halmaz számítógépes szimulációja segítségével ... 12

3.1.1. A Mandelbrot-halmaz matematikai alapjai ......................................................................... 12

3.1.2. A kis-, és a nagy felbontással ábrázolt halmazok tulajdonságai közötti különbségek

bemutatása .................................................................................................................................... 13

3.1.3. Az önhasonlóság vizsgálata ................................................................................................. 14

3.1.4. Összegzés ............................................................................................................................. 16

3.2. Papírgalacsinok fraktál-dimenziójának meghatározása ............................................................. 17

3.2.1. A demonstrációs kísérlet bemutatása ................................................................................. 17

3.2.2. Papírgalacsin-dimenziók ...................................................................................................... 17

3.2.3. A kísérlet órai feldolgozása, feladatlap ............................................................................... 19

3.3. Tojáshéj robbanásakor kialakuló repedések fraktálszerkezetének bemutatása ....................... 20

3.3.1. A kísérlethez használt eszközök, anyagok ........................................................................... 20

3.3.2. A kísérlet előkészítése, biztonságos kivitelezése................................................................. 21

3.3.3. A saját robbantásaim kísérleti eredményei ......................................................................... 22

3.3.4. A kísérlet órai feldolgozása, munkafüzet ................................................................ 25

4. A Matematikai Múzeum demonstrációs eszközeinek bemutatása ..............27

5. A fraktálok tanítása a középiskolában .......................................................29

6. Összefoglalás ............................................................................................33

Irodalomjegyzék ...........................................................................................34

Mellékletek ....................................................................................................35

Köszönetnyilvánítás

Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Dr. Horváth Ákosnak, az

ELTE TTK Atomfizikai Tanszék egyetemi docensének.

Hálásan köszönöm Dr. Vass Gábor Tanár Úrnak, (ELTE Szervetlen Kémiai Tanszék),

aki a laboratóriumban és a kísérleteknél nyújtott nagyon sok segítséget.

Köszönettel tartozom Dr. Tél Tamásnak, aki hasznos tanácsokkal látott el a dolgozat

megírásának elején.

A matematika szakterületről Holló- Szabó Ferencnek köszönöm ezúttal is a „Fraktálok

az iskolában II.” című előadását, illetve Kabai Sándornak is köszönöm a Matematikai

Múzeum bemutatását.

Köszönöm továbbá családomnak, barátaimnak, és mindazoknak, akik a dolgozat

elolvasásával világítottak rá az esetleges hibákra.

1

1. Bevezetés

Nálam a tanítás családi indíttatású, hiszen egész kisgyermek koromban azt láttam,

hogy Anyukám készül az óráira, segédanyagot készít, dekorációt tervez, szabadidős

programokat szervez. Természetesen, amit lehetett, én is segítettem neki. Sokszor magával is

vitt, így „belenőttem” az iskolába. Az általános iskolában még csak szerettem a fizikát,

kémiát, de sajnos nem sok kísérletet láttunk, nem voltak anyagok hozzá. Aztán a

középiskolában minden megváltozott! Nagyon jó tanáraim voltak, érdekes órákat tartottak, és

ott már a gyakorlati része is érdekessé vált. Versenyekre jártunk, csapatban dolgoztunk. Jó

eredményeket értünk el, sikerélményeink voltak. A mai napig visszajárok régi tanáromhoz,

Somogyi Mihályhoz, és segítek neki ha kell, hogy a mostani tanítványival is hasonló

eredményeket érhessen el. Sok lelkesedést merítettem a fizika szeretetéhez Dr. Gambár

Katalin Tanárnőtől. Szeretném, ha egyszer én is valami hasonló módon nevelhetném,

taníthatnám a rám bízott gimnazistákat.

A „Középiskolai kísérletek fraktálokkal” című dolgozatomban össze szeretném

foglalni a fraktálokról elemi szinten általam összegyűjtött ismereteket, aminek célja kicsit

közelebb hozni ezt a fogalmat a hétköznapi emberekhez, valamint későbbi pedagógiai

munkám során a diákokkal is megismertetni, esetleg meg is szerettetni ezeket a sokszor

furcsának és elvontnak vélt dolgokat.

Általánosságban azt tapasztalom, hogy ha valakinek felvetem ezt a témát, semmit nem

tud róla, pedig hasznos és főleg szép dolgok kerülhetnek elő, ha kicsit jobban a mélyére

nézünk a fraktálok témakörének. Célom elsősorban a középiskolában, így a különböző órák

tananyagaiban történő felhasználási lehetőségek, illetve kísérletek bemutatása.

A természetben rengeteg fraktál létezik, számos tudományágban találkozhatunk velük:

például a biológiában, kémiában, fizikában, földtudományban. A matematikában sok

geometriai objektum mutat fraktáltulajdonságot, míg a fizikában a növekedés, egyes

mozgások, a törés, a villámlás, a hópelyhek kapcsán kerülhet elő ez a fogalom. A biológiában,

az emberi szervezetben például az agy, az érrendszer kinézete, a tüdő és az idegsejt-hálózatok

illusztrálják nekünk a fraktálokat, míg a kémiában az elektrokémia segítségével előállítható

fémfákat lehet tanulmányozni, hiszen a fák koronájának alakjai is fraktálgeometriával

írhatóak le.

Fizika-kémia tanári szakirányos hallgatóként megpróbáltam összegyűjteni olyan

kísérleteket, amelyek a fraktálokhoz kötődnek, és bármelyik középiskolás tanuló számára is

szépek, érdekesek, s nem utolsó sorban hasznosak lehetnek. Célom, hogy ezekkel a dolgokkal

színesítsem a tananyagot, felkeltsem az érdeklődést. Elvégeztem például egy olyan kísérletet,

melyet szinte befektetés nélkül meg lehet valósítani az iskolában, mégis hasznos, és érdekes,

szinte semmi nem kell hozzá, csak papír. Ez nem más, mint papírgalacsinok

fraktáldimenziójának meghatározása. Sok gyerek érdeklődését felkeltheti egy ilyen kérdés:

mekkora egy összegyűrt papír dimenziója? A témavezetőm készített továbbá egy programot,

mellyel az egyik legismertebb fraktált, a Mandelbrot-halmazt lehet tanulmányozni.

„Az iskola dolga, hogy megtaníttassa velünk, hogyan kell tanulni, hogy felkeltse a tudás iránti étvágyunkat, hogy megtanítson bennünket a jól végzett munka örömére és az alkotás izgalmára, hogy megtanítson szeretni, amit csinálunk, és hogy segítsen megtalálni azt, amit szeretünk csinálni.” (Szent-Györgyi Albert)

2

Véleményem szerint ezek a dolgok a vizuális típusú tanulóknak jobban tetszenek, valamint

ennek a témakörnek nincsen „magolós” része. A látvány kerül előtérbe, az esztétikai

élmények is segítik a nehezebb matematikai fogalmak befogadását.

A fraktálok középiskolai tananyagba helyezése során első sorban a matematika órák

jönnek szóba. A tört-dimenziók a különböző geometriai formákat összekötik az analízis egyes

területeivel (exponenciális függvény), valamint szemléletes szép példákat adnak a végtelen

fogalmának egy felhasználására. Emellett el lehet mondani a természettudományok különféle

területein előforduló fraktálok sokféleségét is.

Leendő tanári pályám legelején szívesen tanítanám a fraktálokat pl. egy szakkör

keretén belül: aki érdeklődőbb, így fakultatív módon tanulhat új, nem kötelező dolgokat tört-

dimenziókról, komplex számokról, nem hagyományos alakzatokról. Az általam elvégzett

kísérletek egyszerűen értelmezhetőek, könnyen kivitelezhetőek, és a diákok így játszva

ismerkedhetnek meg a fraktálok világával. Talán valamit még használhatnak is majd az így

megszerzett többlettudásból későbbi, akár egyetemi tanulmányaik során. Sokat merítettem a

„Fraktálok az iskolában II.” című matematikai speciális előadásból, mely a Matematikai

Múzeummal szoros együttműködésben zajlott Holló- Szabó Ferenc oktatónak köszönhetően.

Ezen a kurzuson is megpróbáltuk egy kicsit diákszemszögből áttekinteni a fraktálok

témakörét.

Dolgozatomban a fraktálokról szóló általánosabb bevezető, és néhány példa

ismertetése után bemutatom majd azt a néhány kísérletet, melyet kidolgoztam és elvégeztem,

valamint a középiskolai feldolgozásukra javaslatot tettem. Ezután leírom a Matematikai

Múzeumi látogatáson szerzett élményeimet, tapasztalataimat, esetleges elképzeléseimet a

múzeumi eszközök tanításáról, végül pedig egy bővebb, átfogóbb módszertani résszel zárom

a dolgozatomat.

3

2. A fraktálfogalom áttekintése A fraktálok olyan objektumok, melyeknek, ha egyes részeit kinagyítjuk, akkor a

nagyítás után kapott alakzatok hasonlóak, mint az eredeti alakzat, s ezért rendkívül

bonyolultnak, összetettnek látszanak. Tulajdonképpen ezek olyan formák, amelyek

valamilyen szempontból eltérnek a hagyományosan szabályos geometriai formáktól. Jellemző

ezekre az alakzatokra az önhasonlóság: általában egy fraktál akkor önhasonló, ha a kinagyított

része hasonló az eredeti alakzathoz.

2.1. A fraktálfogalom kialakulása

Benoit B. Mandelbrot lengyel származású francia-amerikai matematikus volt az egyik

legjelentősebb személy, aki fraktálgeometriával, és annak természeti alakzatokban és

folyamatokban történő megjelenésével foglalkozott [1]. A róla elnevezett halmaz a mai napig

a legtöbbet emlegetett fraktálok közé tartozik. A Mandelbrot-halmaz az első ábrán látható. E

halmaznak a dolgozatomban egy egész fejezetet szenteltem.

1. ábra Mandelbrot-halmaz képe.

1

A fraktálok megismerésére az első jelentős lépés az volt, hogy Anglia partvonalait

kezdték el tanulmányozni, és rájöttek, hogy ezt az öblökkel teli partvonalat is

fraktálgeometriával lehet leírni matematikailag. Felosztották a partvonal görbéjét kis δ

hosszakra, és megszámolták hány ilyennel lehet lefedni a partvonalat. Egyre kisebb mérési

egységet, δ –t, alkalmaztak. Ha tíz kilométeres egységekben mértek, akkor a tíz kilométernél

kisebb görbületeket nem vették figyelembe, holott a görbe hosszát ezek is növelik. Ha

kilométeres egységben mértek, akkor a méteres kis részeket hagyták figyelmen kívül, hiszen

túl nagy skálán, túl nagy „méterrúd” alkalmazásával mérték meg a partvonalat.

Ez így megy tovább egészen kis mérési egységekig, ez az önhasonlóság ezekig a kis szintekig

folytatódik. Minél kisebb skálán végezzük a hosszúság mérését, annál nagyobb végeredményt

kapunk (hossz = Nδδ). Ennek a növekedésnek az atomi méretek biztosan felső határt szabnak,

hiszen a kis atomi méreteknél kisebb δ-kra nem lehet felosztani a partvonalat [2]. 2

1 Forrás: http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set (letöltés ideje: 2013. december 17.)

4

Ez a két példa világosság teszi, hogy egy fraktál általában nagyon sok lépésen

keresztül alakul ki, illetve állítható elő, a kapott alakzat pedig rendelkezik az önhasonlóság

tulajdonságával, hiszen, ha például Anglia partvonalait nézzük, látszik, hogy ha jobban

ránagyítunk, akkor a kép hasonló lesz, mint az eredeti partvonal képe. A Mandelbrot-

halmaznál is meg lehet figyelni, hogy egy adott részére ránagyítva, a kapott képen nagyon sok

kisebb, ugyanolyan halmaz jelenik meg.

2.2. Matematikai fraktálok

A fenti példák már illusztrálták, hogy a fraktálokat általában sok lépésben lehet

előállítani. A következőkben néhány ilyen fraktált mutatok be.

Egy egyenes szakaszon értelmezett fraktál, az úgynevezett Cantor-halmaz, melyet

Georg Cantor (1845-1918), orosz származású, ám Németországban élt matematikus után

neveztek el. Ezt a halmazt a következőképpen készíthetjük el: Vegyünk egy egységnyi

hosszúságú szakaszt, vegyük ki ezen szakasz középső harmadát. A második lépésben a

megmaradó két 1/3 hosszú résznek is vegyük ki a középső harmadait, és így tovább a

végtelenségig. A műveletet végtelen sokszor megismételve kapjuk a Cantor-halmazt. A 2.

ábrán illusztrálom a folyamat első öt lépését egymás alá rajzolva.

2. ábra Cantor-halmaz első öt lépésének bemutatása. 2

Szemléletes példa lehet a diákok számára akármilyen természettudományos órán a

következő fraktál, az ún. Koch-féle hópelyhet határoló görbe, a Koch-görbe. Ez egy

geometriai alakzat, melyet Helge von Koch matematikus írt le az 1900-as évek elején.

Képzeljük el a következőket: Vegyünk egy szakaszt. Osszuk három részre, a középső

egyharmadára állítsunk egy 1/3 oldalú egyenlő oldalú háromszöget, és a két külső oldalát

tartsuk csak meg. Ismételjük meg ezt nagyon sokszor. Az első három lépést mutatja az alábbi,

3. ábra. Végtelen lépés után kapjuk határesetben a Koch-görbét. 3

2 Forrás: http://www.inf.unideb.hu/~nbenedek/FormNyelvAutom/chunks/ch03s03.xhtml

(letöltés ideje: 2013. december 10.)

5

3. ábra A Koch-görbe első három lépésének illusztrálása.

3

Egy másik ismert matematikai fraktál a Sierpinszki-szőnyeg. Ezt a halmazt a

következőképpen kaphatjuk meg: Vegyünk egy egységnyi oldalú négyzetet, és osszuk fel 3×3

db kis négyzetre. Ezek után vegyük ki a középső kis négyzetet, a többit pedig tartsuk meg. A

második lépésben az előző kis négyzeteket is osszuk fel kilenc kis négyzetre az előző

lépéshez hasonlóan. Ezekből is vegyük ki a középen lévő kisebb négyzetet. Az imént leírt

műveletet nagyon sokszor elvégezve kapjuk az ún. Sierpinszki-szőnyeget. Mindig a kisebb

négyzetekből kiindulva egyre sűrűbben kivágott formát kapunk, melyet a végtelenségig lehet

folytatni. Ezt illusztrálja az első négy lépéssel a 4. ábra.

4. ábra Sierpinszki-szőnyeg készítésének első négy lépése.

4

Ha a Sierpinszki-szűrő esetén leírt kiinduló négyzetről áttérünk egy háromszög

alakzatra, és hasonlóan végrehajtjuk az alakzat közepének eltávolítását, akkor a folyamat

szintén önhasonló objektumra vezet. Most tehát egy egységnyi oldalú háromszöget vegyünk,

s ebből vágjunk ki egy olyan kisebb háromszöget, melyet az eredeti háromszög oldalfelező

pontjainak összekötésével kapunk. A négy kis háromszögből kivesszük a középsőt, a

megmaradt három kisebb háromszögben is keressük meg az oldalfelező pontokat, s kössük

őket össze. Így ezekből is lett egy-egy kisebb háromszögünk, ezzel is el lehet végezni a fenti

műveletet. Egyre több ilyen kis háromszögben összekötve az oldalfelező pontokat, az ún.

Sierpinszki-háromszöghöz jutunk. Ennek első négy lépését az 5. ábra mutatja.

45

3 Forrás: http://prog.berzsenyi.hu:81/prog2011/prog.berzsenyi.hu_8080/prog/View/logo/rekgorb.html

(letöltés ideje: 2013. november 13.)

4 Forrás: http://www.t-es-t.hu/minden/kaosz/menger.htm (letöltés ideje: 2013. november 13.)

6

5. ábra Sierpinszki-háromszög konstrukciójának első négy lépése.

5

2.3. Fraktáldimenziók meghatározása

A hétköznapi geometriai objektumok térbeli dimenziója az egy, kettő, vagy három

értékeket veheti fel: vannak egydimenziós alakzatok (pl.: egy vonal), kétdimenziós alakzatok:

melyeknek van területük, (pl.: egy kiszínezett négyzet), és háromdimenziósak, melyeknek

pedig térfogatuk van: tömör vagy üreges testek (pl.: egy kocka).

A fraktálok tört dimenziós alakzatok. Ezeket a különleges alakzatokat kvantitatívan is

jellemezhetjük egy skalárral, az ún. Fraktál-dimenzióval, ami egy tört szám. A szó latin

jelentése is erre utal, a fractus szóból ered, jelentése törés, tört rész. Ezt a tört dimenziót meg

lehet határozni például az úgynevezett dobozszámlálási módszerrel. Ehhez fedjük be a fraktál

alakzatunkat egy ε élhosszúságú, és adott d dimenziójú kockákkal! A d dimenzió az a

hagyományos térdimenzió, amiben az alakzatunkat definiáltuk, ezt nevezik beágyazási

dimenziónak. A lefedéshez szükséges ilyen kockák minimális száma legyen N(ε). A

fraktáldimenziót ekkor a következőképpen definiálhatjuk:

) , (1)

ha minden ε esetén érvényes a fenti képlet egy adott D szám felhasználásával. Ez azt is jelenti,

hogy ε << 1 esetén, azaz ha ε a 0-hoz tart, akkor is igaz az összefüggés. Az összefüggésben

szereplő D paraméter a fraktál tört-dimenziója. Amennyiben D<d, azaz D kisebb az adott

alakzat d beágyazási dimenziójánál, akkor hívjuk az alakzatot fraktálnak. A tört-dimenzió

meghatározása a következőképpen történik. Ha lnN-et ábrázoljuk ln(1/ε) függvényében, akkor

egy D meredekségű egyenest fogunk kapni, az (1) egyenletnek megfelelően. Matematika

fraktálok esetén végtelen lépésben jutunk el az adott fraktálig. Ebben az ideális esetben a fenti

egyenes bármilyen nagy 1/ ε esetén lineáris marad.

Általánosságban egy általános fraktál dimenzióját meg lehet határozni

dobozszámlálási módszerrel. Ha az (1) egyenlet fennáll, akkor egy tetszőleges alakzatot úgy

készítünk el, hogy minden lépésben kd részre, azaz lineárisan k részre osztjuk, és ezt a d

beágyazási dimenzió szerint alkalmazzuk, majd kivágunk belőle néhány így kapott részt, úgy

hogy meghagyunk N ilyen részt. Ekkor a D dimenzió az alábbi módon számolható:

(2)

Az előbbi definícióval természetesen egy hagyományos geometriai objektum dimenzióját is

meg lehet adni: így tehát egy gömbre 3, egy vonalra 1 lesz a dimenzió, ha minden kis részt

megtartunk az adott halmazban. Ezzel a módszerrel a fent említett matematikai fraktáloknak

is meg lehet határozni a dimenzióját, így a tört dimenzió számolási módjának ismeretében a

következő eredményekhez jutunk:

5 Forrás: http://messzejaro.atw.hu/oldpages/fractal.html (letöltés ideje: 2013. december 10.)

7

A Koch-görbénél a megtartott önhasonló részek száma egy lépés elvégzése után 4, valamint

az oldalt minden lépésben harmadrészére csökkentettük, így D= =1,26

A Cantor-halmaz esetén mindig két kisebb vonalat tartunk meg a három részre osztott

szakaszok közül, így: D= =0,63

A Sierpinszki-háromszög dimenzióját is kiszámolhatjuk: a megmaradó háromszögek száma

három, a nagy háromszög oldala pedig mindig a belőle létrejövőének a fele lesz (a

felezőpontok miatt), innen: D= =1,59

Ezen általánosabb matematikai példákon szerettem volna szemléltetni a fraktálok

előállításának egy módját, illetve egy adott fraktál tört dimenziójának meghatározását. A

továbbiakban néhány, a természetben előforduló fraktált sorolok fel, illetve mutatok be.

2.4. Fraktálokra vezető fizikai folyamatok

A természetben is sokszor előállnak olyan alakzatok, amelyek önhasonlóak valamilyen

értelemben. Egyik fontos különbség az eddigi matematikai konstrukciókhoz képest, hogy a

méretskála nem változtatható tetszőlegesen kicsire vagy nagyra. A fizikai fraktálok esetén

elmondható, hogy ha túlságosan kicsire csökkentjük a méretskálát, és lemegyünk az atomi,

molekuláris szintre (kis ε), akkor nem áll fenn az (1) tulajdonság, itt már nem tapasztalunk

önhasonlóságot, ezen a szinten már a kvantummechanika érvényesül. Általánosan elfogadott

feltétel, hogy legalább két nagyságrenden keresztül kell teljesülnie az lnN – ln(1/) görbe

lineáris tulajdonságának. Így az ε-nak csak egy behatárolt értékkészletére áll fent a linearitás.

Amennyiben ez a két nagyságrend nincs meg, akkor az adott objektumot nem tekintjük

fraktálnak. Ahol ez a lineáris viselkedés teljesül, ott a rendszer fraktál jellegűnek tekinthető.

Itt lesz önhasonló, azaz kis részletei nagyítás után ugyanolyanok lesznek, mint nagyobb

rajzolatai.

Fraktálra vezető fizikai folyamat lehet például a törés, vagy egy repedés kialakulása is.

Egy törési kép darabjai, vagy repedéshálózat-szakaszai önhasonlóak lehetnek, ami azt jelenti,

hogy ha az egész felületet megnézzük melyen a repedéshálózat kialakult, majd egy kisebb

részét kinagyítjuk, akkor a kapott képen szintén kisebb egymásból kiinduló repedések

lesznek, meghatározott arányok betartásával, hasonlóan az eredeti repedési felülethez. Ezek

alapján az irodalomban bemutatott cikkek kimutatták, hogy bizonyos esetekben egy törés

vagy repedés folyamán a törési felület képe fraktálnak tekinthető. A kísérletek azt mutatják,

hogy egy anyag törése az adott anyag minőségétől, belső rendezetlenségétől és a terhelés

módjától, illetve nagyságától függ [4]. A terhelés mértékétől függően többféle törésről

beszélhetünk. Ha a terhelés nagyobb, mint az adott heterogén anyag szakítószilárdsága (ez az

anyagra jellemző érték), akkor a törés viszonylag gyorsan lezajlik. Ha a terhelés kisebb a

szakítószilárdságnál, akkor a törés véges idő alatt következik be. Ezt nevezzük szubkritikus

törésnek. Ha a szubkritikus terhelés nagysága állandó, akkor kúszásról, ha nagysága változó,

akkor pedig kifáradásról beszélhetünk. Tapasztalati úton megállapítható, hogy az anyag

gyorsabban tönkremegy, ha változó terhelésnek van kitéve. A változó terhelés sebességének

szempontjából szintén két szintén esetről beszélhetünk: kvázisztatikus terheléskor annyira

lassú a terhelés változásának mértéke, hogy a maximális értékét közel egyensúlyi állapotokon

keresztül éri el, így ilyen terheléskor a testen egy domináns repedés keletkezik, két darabra

törik szét. A másik eset a fragmentáció jelensége, amikor rövid időn belül nagy energiaközlés

történik az anyagon [4]. Ennek következtében több, gyorsan növekvő repedés jön létre, s így

8

az adott test sok, kisebb darabra esik szét. Ebben az esetben várható a fraktál mintázatok

megjelenése.

A fragmentációs törések után kialakuló repedéshálózat optikai vizsgálatával

foglalkozott egy kísérletben M. Davydova és D. Davydov [3]. Azt tanulmányozták, hogy egy

éles, piramis alakú fém tű hegyének segítségével nagy nyomással megrepesztett üveglap

repedéshálózatáról hogyan lehetne eldönteni, hogy fraktál-e. A repedések között kialakult

területetek nagyságát mérték meg digitalizált felvétel alapján, és ezen területek kumulatív

eloszlásfüggvényét ábrázolták logaritmikus skálán. Az F(A) kumulatív eloszlásfüggvény azt

adja meg, hogy hány darab fragmens (terület) van, melynek nagysága az adott A értéknél

kisebb, vagy egyenlő vele. A függőleges tengelyen az eloszlásfüggvény logaritmusa szerepel,

a vízszintesen a területek logaritmusa. Ez egy egyenes lett, amiből az következik, hogy a

gyakoriságfüggvény hatványfüggvény. Az egyenes hatványfüggvény hatványkitevőjéből

méréseik alapján a D tört-dimenzió: 1,59<D<1,83 [3]. Ebben a kísérletben tehát a tört-

dimenzió számolást nem a fent bemutatott dobozszámlálási-módszerrel végezték, hanem

eloszlásfüggvény segítségével számolták.

A fraktálokra vezető fizikai folyamatok közé soroljuk még a villámok-, illetve

különböző kisülések pillanatképeit. Egy tanulmányban J. Sanudo és munkatársai villámokat

modelleztek, és sikerült fraktáldimenziót meghatározniuk. A modellben egy kockában

követtek három dimenzióban egy dielektrikum-összeomlást, mely a kocka alján és tetején

lévő potenciálok különbsége miatt (legfelül 0, legalul 1 volt a potenciál) a vele szomszédos

pontokon terjedt. A dielektrikum összeomlás egy olyan jelenség, mely akkor alakul ki, ha egy

nem vezető dielektrikum, ami dipólusokból áll, reagál külső elektromos térre. Az anyag nagy

elektromos térerősség hatására vezetővé válik, így az elektronok képesek haladni benne, azaz

áram tud folyni. Ez akkor következik be, amikor a térerősség (potenciál-különbség) nagyobb,

mint egy küszöbérték, és a molekula elektronjaira már elég nagy erő hat ahhoz, hogy

leváljanak, és vezetni tudjanak. Az elektromos tér hatására a kocka tetején a nulla

potenciálból egy kis pontban elindul egy ilyen dielektrikum összeomlás, mely a vele

szomszédos pontokon a potenciálkülönbségek miatt fürtszerűen terjedni fog. Minden egyes

szomszédos pont, mely a fürthöz kapcsolódik, a fürt részeként már 0 potenciállal fog

rendelkezni.

A Laplace-egyenlettel adott peremfeltételek mellett megadható a potenciál eloszlása a

kockában. Az, hogy az így terjedő, növekvő fürt-szerű objektum merre terjed, azaz melyik

szomszédos pontja fog csatlakozni hozzá, egy valószínűségi egyenlettel adható meg. Ez az

egyenlet tartalmazza a potenciálját az adott pontnak, hatványkitevőként pedig egy η-val jelölt

paraméter szerepel benne, mely az adott pontban lévő elektromos mező, és a dielektrikum

abban a pontban történő lehetséges összeomlása közötti valószínűséget tartalmazza. Az így

növekvő fürtről, villámalakról készült képek alapján megállapították, hogy a villámalakhoz

már hány pont csatlakozott. Két szomszédos pont távolsága egységnyi, ezen távolságok

négyzeteinek összegéből gyököt vonva, kaptak egy-egy számot. Ez a szám egy

karakterisztikus távolság. Ezeknek a karakterisztikus távolságoknak a logaritmusait a fürthöz

kapcsolódó pontok számának logaritmusainak függvényében ábrázolták [5]. Ekkor különböző

η paraméterek esetén különböző egyeneseket kaptak. Az egyenesek meredekségeiből tört-

dimenziókat határoztak meg. Egy másik ilyen kísérletben Tsonis felvételei alapján a tört-

dimenzió D=1,34-nek adódott. Ez éppen az előző kísérletibeli η=6-nak felel meg.

A villámok esetén is tapasztalható önhasonlóság: egy egész villám képe hasonló ahhoz

a képhez, amit akkor látunk, ha csak a villám egy kisebb ágát figyeljük. Abból is több kisebb

mellékágak alakulnak ki azonos arányokban (önhasonlóan), akárcsak az egész nagy villám

esetén. A kisebből pedig megint csak ágaznak el újabb villámalakok, és így tovább. A 6. ábra

egy villám alakját mutatja.

9

6. ábra Egy természetben előforduló önhasonló alakzat, a villám.

6

A fraktálok a csillagászatban is megfigyelhetőek. Az Bika csillagképben lévő

csillagközi molekuláris köd tömegeloszlása is fraktálként írható le. A csillagképről készített

infravörös szintvonalas elnyelődési felvételt T. Zimmermann és J. Stutzki. Az elnyelődési

képen sötétebb színű foltok vannak, ezek jelzik, hogy ott sok tömeg található, nagyobb az

elnyelődés. A harmadik (mélységi) dimenziót a pixel Doopler-spektrumából határozták meg a

vöröseltolódás alapján, a Gauss-görbe középpontjához tartozó hullámhosszból a Hubble-

törvény alapján számolt sebességérték felhasználásával.

Lefedték az elnyelődési képet kis dobozokkal, majd többféle pixelméretnél

megszámolták, hogy egy kisebb sötétebb foltot hány doboz fed le. Ezen dobozok számát

logaritmikus skálán ábrázolták a dobozok oldalhosszúság-értékeinek reciprokainak

függvényében. A logaritmikus ábrázolás során egy egyenest kaptak, melynek meredeksége

adta a D tört-dimenzióját a csillagközi köd tömegeloszlásának. Kísérletük során D=2,81-et

kaptak eredményül. [6]. Azt vették észre, hogy a dimenzió értéke összhangban van egy

speciálisan képzett „Cantor-por” nevet viselő fraktál dimenziójával, melynek szintén D=2,81

az értéke. Ez a következőképpen határozható meg. Vegyünk egy egységnyi oldalú kockát,

majd osszuk fel nyolc fele akkora oldalélű kisebb kockára, azaz minden oldalát felezzük meg.

A kockában eredetileg egységi térfogatú anyag volt. Ezt az anyagot most osszuk szét úgy,

hogy a létrejövő nyolc kockából csak hét kisebb kockába teszünk bele belőle véletlenszámmal

jellemzett nagyságú anyagot, és egyet üresen hagyunk. A kisebb kockákat is osszuk fel

egyenként nyolc még kisebbre. Ezekbe is osszuk szét az anyagot úgy, hogy hétbe teszünk,

egybe nem. Ez így folytatható a végtelenségig. Ennek a fraktálnak a tört dimenziója:

D=ln7/ln2=2,81 -mivel mindig hét kockát tartunk meg, az oldalakat pedig felezzük a

következő nyolc kocka kialakításakor [6].

Megvizsgáltál továbbá az egyes pixelek tömegeinek gyakoriság eloszlását. Ezt

ábrázolva logaritmikus skálán (a függőleges tengelyen tehát a tömegek eloszlásának

logaritmusa, a vízszintesen pedig a tömegük logaritmusa található), egy hatványfüggvényt

kaptak. A függvény hatványkitevőjéből a tört-dimenzióra D=1,73 adódott.

További érdekes, fraktál kialakulására alkalmas fizikai folyamat, hogy ha egy

kondenzátor lemezei közé gázt vezetünk, majd elég nagy feszültséget kapcsolunk rá, akkor a

lemezek között elektronlavina indul meg, azaz az elektronok száma az elektromos tér hatására

a negatív fegyverzettől a pozitív felé haladva lavinaszerűen növekszik. Az egyre több

elektronütközésből álló rendszer képe, azaz trajektóriája a kondenzátor lemezei között szintén

fraktálnak tekinthető [7]. Egy szimulációban Donkó Z. és Pócsik I. elektronlavinát

szimuláltak. Meghatározták az elektronok trajektóriáját a lemezek között, majd a két lemez

közötti teret felosztották kis r oldalhosszúságú „dobozokra”. Azoknak a dobozoknak a

számát, amelyeket a trajektória érint, logaritmikus skálán ábrázolták ezen dobozok r

oldalhosszainak függvényében. Egy egyenest kaptak, melynek meredeksége a

fraktáldimenzió, modellkísérletük szerint ez D=1,37 lett [7].

6 Forrás: http://szepkepek.hu/szep-kepek-villamokrol/ (letöltés ideje: 2013. december 17.)

10

2.5. A biológia fraktáljai

Az emberi testben az érhálózatok kinézete is fraktálszerkezetet mutat. Egy adott eret

kiválasztva, majd arra ránagyítva, azt látjuk, hogy abból is jönnek ki kisebb erek ugyanúgy,

mint ahogyan az az ér is kijön egy másikból. A 7. ábra az agy érhálózatát mutatja.

Mivel a vérkeringés szállítja a sejtjeink működéséhez nélkülözhetetlen oxigént és a

tápanyagokat, valamint felelős a salakanyagok elszállításáért, ezért a vérereknek minden élő

sejt közelébe el kell jutnia. Ennek módja, hogy a szív bal kamrájából kiinduló ún. fő verőér

egyre kisebb erekre ágazik, ily módon hálózva be az egész testet.

Egy számítógépes kísérletben az emberi érrendszer kinézetét három dimenzióban

modellezte Dévényi Patrícia az ún. „L-system 4” nevű szoftverrel. A program a „szülőerek”

és a belőlük kialakuló „leányerek” sugarainak, hosszainak, valamint elágazási szögeinek

vizsgálatával modellezte az emberi érrendszer kinézetét, amely egy igen összetett fraktál-

szerkezetet mutat [8]. Ez a program egymás után sokszor ismétlődő lépésekkel képes

modellezni az érrendszer fraktálszerű, szerteágazó felépítését. A program működése a

paraméteres Lindenmayer- rendszerekre (L-systems) épül. Illusztrálható a modellel, hogy egy

„szülőér” két „leányérré” ágazik el, melyek újabb két kisebb érré tudnak elágazni, és így

tovább. Ritka az az eset, amikor kettőnél több érré ágazik el egy adott ér. Paraméterként

szerepel az ún. bifurkációs index, mely két „leányér” átmérőjének vagy sugarának az arányát

adja meg. További paraméterként kell megadni a „szülőér” és a „leányér” által bezárt

szögeket, illetve hosszaik arányát is. A program ezen hossz-arányok és szög-arányok alapján

rajzolja ki a fraktálszerkezetű érrendszert az ún. Lindenmayer-nyelvtan segítségével, amely a

rajzolás pontos menetének algoritmusát tartalmazza.

7. ábra Az agy érhálózatának képe, ami szintén fraktálszerű alakzat.

7

A természetben a falevelek erezetei, illetve maguk a fák is fraktáltulajdonságot

mutatnak az önhasonlóságukból kifolyólag [9]. Nézzünk meg egy falevelet, majd egy kis

részletére nagyítsunk rá egyre jobban! Azt látjuk, hogy a kinagyított ábrán lévő erezet hasonló

az eredeti levélen lévő erezethez, az elágazási szögük is körülbelül megegyezik. Ezt mutatja a

8. ábra.

8. ábra A levelek önhasonlóságát szemléltető ábra.

8

8 Forrás: http://www.t-es-t.hu/minden/kaosz/bio.htm (letöltés ideje: 2012. december 4.)

7 Forrás: http://www.t-es-t.hu/minden/kaosz/bio.htm (letöltés ideje: 2012. december 4.)

11

Ebből, a 8. ábrán lévő illusztrációból is látszik, hogy mennyire előjön az önhasonlóság, a

kinagyított rész mintázata hasonló az eredeti levél mintázatához. Ugyanígy van ez a fák ágai

esetében is: Ha csak egy faágat nézünk, akkor is feltűnik, hogy azt leszakítva, az abból kinövő

ágak elrendezése pont olyan, mint az egész fa ágaiból adódó szerkezet [9].

12

3. Demonstrációs kísérletek a fraktálok bemutatására

3.1. Az önhasonlóság bemutatása Mandelbrot-halmaz számítógépes szimulációja segítségével

Ebben a fejezetben a Mandelbrot-halmazzal fogok foglalkozni. Erre a célra egy, a

témavezetőm által írt halmaznézegető programot (NP) használtam. Ez a program kirajzolja a

halmazt, lehet benne nagyítani, lemenni egészen kis egységekig, illetve le lehet olvasni a

kurzor koordinátáit is. A program alapvetően 200-as iterációval rajzolja ki a komplex

számsíkon a halmazt a következő fejezetben leírt matematikai definíció felhasználásával. Az

iteráció a Mandelbrot-halmaz rajzoló programban az ismétlődő tevékenységek számát adja

meg. Természetesen az iteráció értéke növelhető a programban, ám nagyobb iteráció esetén

több ideig tart kirajzolni a halmazt.

3.1.1. A Mandelbrot-halmaz matematikai alapjai

A Mandelbrot-halmaz nem más, mint a komplex számsík azon C pontjainak a helye,

melyekre a Z0=0, Zn+1=(Zn)2+C -sorozat korlátos. Az egyenletben C a komplex számsík adott

pontjának megfelelő komplex szám (azaz a+ib, ahol „i” a komplex egységelem, „a” és „b”

pedig koordináták). Mivel komplex számsíkról beszélünk, ezért a függőleges tengelyt

képzetes (Im) tengelynek, a vízszintes tengelyt pedig valós tengelynek (Re), nevezzük. A

programban a koordináták x és y jelölést kaptak. A halmaz két fő részből áll: egy törzsből,

mely a jobb oldali része, és egy fejből, mely pedig a halmaz bal oldalán található, az origótól

kisebb, mint x=0,7552 távolságra.

A Mandelbrot-halmaz, ami teljes egészében az 1. ábrán látható, egyik fő tulajdonsága,

hogy önhasonló. Jelen esetben ez azt jelenti, hogy a nagy halmaz központi fekete része körül

rengeteg kisebb, ugyanolyan halmazfej helyezkedik el. Ezekre ránagyítva, körülöttük újabb

kis halmazfejek találhatóak. Ez így folytatódik egészen kis nagyságrendekig. Az alábbiakban

négy ilyen önhasonló részt mutatok be a rajzoló-program segítségével. Ezek egymástól az x, y

és a Δx (szélesség) koordinátákban különböznek. Ezek a koordináták a programból történtek

leolvasásra a nagyítást követően. A képeket rendre az „A”, „B”, „C” és „D” betűkkel

jelöltem, melyek egymásból következnek. A képeken a piros négyzetek jelzik, hogy annak az

adott területnek a nagyított változata lesz a következő kép. A zöld körök a halmazok fejeit

mutatják, melyeknek az önhasonlóságát vizsgáltam. Amelyik fej be van karikázva az ábrán,

ahhoz lesz hasonló a következő, 9. ábrán lévő halmazfej. A „C” kép kirajzolásakor az iteráció

1000, a „D” kép kirajzolásakor 2000 volt a jobb érzékelhetőség kedvéért.

x y Δx

-0,6102 -0,5080 +0,2658 A

-0,5460 -0,5354 +0,1329 B

-0,5142807 -0,5976968 +0,0228861 C

-0,5033562 -0,603649 +2,903998×10-3

D 1. táblázat Egymásból következő önhasonló halmazfejek

koordinátái a Mandelbrot-halmaz nézegető programban.

13

A B

C D

9. ábra Különböző méretű, egymáshoz önhasonló halmazrészek a Mandelbrot-halmazban. A piros négyszögek

azt a területet jelzik, melyet nagyítva a következő ábrán látunk. Zöld kör jelöli az egyre kisebb egymáshoz

hasonló kis fej alakú objektumokat.

A kisebb halmazok egy, az ábrákon is látható, fehér villámmintázat mentén

helyezkednek el, legtöbbször e villámalakok elágazásaiban vannak. Ezen fehér villámok

jellemzője, hogy mentükön összefüggő a fekete halmaz, tehát itt a fennt említett definíciós

számsorozat korlátos.

3.1.2. A kis-, és a nagy felbontással ábrázolt halmazok tulajdonságai közötti különbségek bemutatása

Az alábbi ábrán bal oldalt látható a kis felbontású, 200-as iterációval kirajzolt halmaz,

jobb oldalt pedig a nagy felbontással, és 800-as iterációval kirajzolt halmaz. A felbontás azt

mutatja meg, hogy egy inchen (2.54 cm) hány darab képpontot jelenít meg a program. Látszik

a 10. ábrán, hogy a halmaz körüli kisebb halmazokat nagy felbontással mennyire szebben

kirajzolja.

14

10. ábra x=-0,1336, y=-0,9825, ∆x=0,0116468 paraméterekkel jellemzett területen látható része a teljes

Mandelbrot-halmaznak két fajta kirajzolás mellett, bal panel: kis felbontás, maximális iteráció=200, futási

idő=24,4mp; jobb panel: nagy felbontás, maximális iteráció=2000, futási idő=262 mp

3.1.3. Az önhasonlóság vizsgálata

Megfigyelhető, hogy a halmaz nyaka mentén vannak kisebb halmazfejek, melyek a

nyaktól távolodva egyre nagyobbak, és teljesen hasonlóak egymáshoz. Ezt mutatja be a 11.

ábra.

11. ábra x=-1,557299, y=0,8835402, ∆x=1,226714 terület egy része, ahol egyre növekvő sugarú

halmazfejek láthatóak a nyaktól távolodva.

A kurzorral a kis fejek bal szélére és jobb szélére kattintva leolvasható a kis fejek átmérője.

A kisebb halmazfejek sugarait r-el jelöltem. A 2. táblázatban az így kapott origók koordinátáit

és a sugarakat mutatom be, valamint a kis fejek középpontjainak szögét a komplex sík

origójához képest.

x y Átmérő Szög (o) r×1000

-0,509 0,564 0,0815 48,0 40,8

-0,627 0,427 0,0408 34,3 20,4

-0,673 0,339 0,0270 26,7 13,5

-0,698 0,280 0,0181 21,8 9,0

-0,713 0,239 0,0129 18,5 6,4 2. táblázat A halmaz nyakánál lévő kis fejek méreteit bemutató táblázat.

Az alábbi, 12. ábrán a nyak körüli halmazfejek sugarainak ezerszeresei láthatóak az origótól

mért szögek függvényében. Az sugarak ezerszeres ábrázolása az ábrázolás átláthatósága miatt

volt szükséges.

15

y = 6,9735x0,5215

R2 = 0,9988

0

10

20

30

40

50

60

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0

Sugarak ezerszerese

Ori

gó

tól

mért

szö

ge

k

12. ábra A kis halmazfejek irányának origóhoz képest mért szögei a halmazfejek sugarainak függvényében

hatványfüggvényt mutat.

Az 1. ábrán látható teljes Mandelbrot-halmazon, és a rajzoló program által kirajzolt

halmazon is előforduló kisebb teljesen hasonló alakzatokban is észrevehető, hogy a halmaz

feje és a teste között van egy majdnem összeérő „szoros” kinézetű rész. Kérdés, hogy ez csak

a képek kirajzolásának pontatlansága miatt nem ér össze, vagy valóban a két végpont közötti

fesztávolság egyre pontosabb kirajzoláskor egy véges, nem nulla értékhez tart. Ezt illusztrálja

nagy felbontás mellett az alábbi három ábra az x=-0,3323263, y=0,75, és ∆x=0,4108762

koordinátákkal leírt területen. Az iterációk rendre: 200, 1600 és 2000.

13. ábra Egyre csökkenő fesztávolságok a maximális iteráció növelése esetén egy adott koordinátákkal jellemzett

területen. A maximális iteráció 200, 1600, 2000 rendre a bal paneltől jobb felé haladva.

Azt, hogy a fesztávolság nagysága a maximális iteráció növekedésével kis mértékben ugyan,

de csökken, szintén a koordináták leolvasásával mutatom be. Az x koordináták különbségét

mutatja az alábbi táblázat az iterációk függvényében. Ezeket úgy kaphatjuk meg, hogy az

érintkezési vonal (fesztávolság) egyik végének x koordinátájából kivonjuk a másik végének x

koordinátáját. A fesztávolság a koordináták különbsége lesz tehát. Ezeket az különbségeket,

és az iterációk értékét mutatja a 3. táblázat.

16

Iteráció Fesztávolság

200 0,0211

400 0,00997

600 0,0101

800 0,0169

1000 0,0089

1200 0,0109

1400 0,0073

1600 0,0047

1800 0,0058

2000 0,0065 3. táblázat Az összeszűkülő nyak fesztávolságának

adatai a maximális iterációk függvényében.

Az alábbi, 14. ábrán a fesztávolságok maximális iteráció-függése látható grafikusan is

bemutatva.

y = 0,2965x-0,5095

R2 = 0,6465

y = 0,0183e-0,0006x

R2 = 0,6577

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0 500 1000 1500 2000 2500

14. ábra A fesztávolságok a maximális iteráció függvényében csökkenő tendenciát mutatnak. Ezt

hatványfüggvénnyel és exponenciális függvénnyel is illusztráltam.

3.1.4. Összegzés

A diákok is tudják majd használni ezt a programot: saját felfedezéseket tehetnek a

halmazt illetően, különböző összefüggésekre bukkanhatnak a segítségével, vizsgálni tudják az

önhasonlóságot. A fenti három kérdésfelvetés egy-egy példa arra, hogy az önhasonlóságot

hogyan lehet számszerűen megvizsgálni, de ezektől eltérő feladatokat is elvégezhetnek. Akár

a fent leírt kísérleteket is elvégezhetik, de elég, ha véletlenszerűen ránagyítanak egy adott

részre, és vizsgálgatják, találhatnak valami különlegeset abban az adott tartományban,

akárcsak egy kisebb halmazt, amit az eredeti nagyítás nélküli módban nem látni, vagy egy

villámalakot, aminek furcsa alakja lévén elgondolkodik az ember, hogy vajon mért pont

abban az irányban vannak rajta a kisebb, és rajtuk a még kisebb halmazok! Mi történne, ha az

iteráció végtelen lenne? Hasonló kérdéseken lehet elgondolkodtatni egy-egy diákot, aki a

halmazról készült saját készítésű képei segítségével így játékosan ismerheti meg ezt a

halmazt, s vele együtt a komplex számsíkot.

17

3.2. Papírgalacsinok fraktál-dimenziójának meghatározása

3.2.1. A demonstrációs kísérlet bemutatása

Ebben a fejezetben be szeretném látni, hogy különböző tömegű, adott anyagi

minőségű papírokat kis gömbökké, galacsinokká gyúrva, ezen gömbök sugarait és a papírok

tömegeit megmérve, az adatok természetes alapú logaritmusai között egyenes arányosság áll

fent. Ez, ha tényleg fennáll, teljesen analóg a bevezető részben bemutatott tulajdonsággal,

amivel a fizikában előforduló fraktálok is rendelkeznek. Az egyenes meredekségéből az

analógia alapján a kis galacsinok tört-dimenziója megadható [10]. Egy kis galacsin

beágyazási dimenziója 3. A fraktálra vezető fizikai folyamat jelen esetben a galacsin

meggyúrásának folyamata, ekkor egy adott minőségű papírból készült papírgalacsin-

sorozatnak lesz tört-dimenziója.

Általában véve tudjuk, hogy egy térbeli alakzat térfogata arányos annak valamilyen

lineáris méretének (l) egy adott hatványával (például a gömb térfogata a sugár harmadik

hatványával). Mivel tudjuk azt is, hogy a tömeg pedig -adott sűrűségű anyag esetén- a

térfogattal arányos, ezért adódik, hogy a térfogat mellett a tömeg is ugyanúgy arányos ezen

lineáris méret azonos hatványával. Jelöljük a lineáris kiterjedést l-el, valamint jelölje M a

tömeget. Ekkor a korábbi fejezetekben leírtak, és a feltevésünk alapján, miszerint a

papírgalacsin gyúrása egy fraktálra vezető folyamat: M~lD. Az egyre nagyobb galacsinok

egyre jobban kitöltik a teret a galacsin mélyén, ezért a galacsingyúrás geometriailag egészen

más, mint egy meggyúrt hógolyó (ahol a teret minden sugarú golyóban ugyanúgy, és teljesen

kitölti az anyag), a D nem feltétlen lesz hárommal egyenlő. A galacsinok dimenziójának

vizsgálatához vegyük az M~lD összefüggés minkét oldalának természetes alapú logaritmusát.

Ekkor a következő egyenlethez jutunk: lnM=Dlnl. A D dimenzió tehát ezen logaritmus-

logaritmus ábra meredekségéből számolható ebben az esetben is.

3.2.2. Papírgalacsin-dimenziók

A lineáris méret ebben a kísérletben legyen a kis papírgömbök sugara. Az általam

használt különböző tömegű papírdarabok analitikai mérleggel (Precisa 205A SuperBal-Series,

egyedi szám: 00120) mért tömegeit és a tolómérővel mért sugarakat tartalmazzák a

táblázatok. Az átmérőket háromszor mértem meg a pontosabb mérés érdekében, ezek

átlagának fele a sugár értéke. Ötféle színű papírt használtam a kísérlet során a jó

megkülönböztethetőség céljából. Azért, hogy belássam, hogy a galacsin összegyúrása nem

függ a kísérletet végző személytől, illetve az ő gyúrási módjától, az öt féle papírból három

félét más-más hallgatók gyúrtak össze. A nagy A4-es papírt félbe vágjuk, majd a felet is félbe,

a kis negyedet ismét félbe és így tovább, egészen ameddig tudjuk. A tömegek logaritmusait a

sugarak logaritmusainak függvényében a Grapher nevű programmal ábrázolva mindegyik

papírfélére kapunk egy-egy egyenest, melynek meredeksége megadja a tört-dimenziót. Az

egyenestől való kis eltérések oka egyrészről mérési hibának tudhatóak be: a tolómérő

használata lehetett pontatlan. Másrészről a gyúrás statisztikus ingadozásának is nagy szerepe

van benne. Az alábbi, 15. ábrán a kísérletben összegyűrt papírgalacsinok láthatóak szín, és

növekvő méret szerint.

18

15. ábra A kísérletben használt összegyűrt galacsinok sorba rendezve.

Az öt mérés közül csak a sárga színű papír esetében mutatom be az adatokat tartalmazó

táblázatot, és az azokból illesztett egyenest, a többi négy mérés részletei a mellékletben

találhatóak.

A sárga színű papír esetén mért adatok:

4.táblázat A sárga papírból készült galacsinok adatai.

A dimenziók értékeit a különböző papírok esetén az alábbi, 5. táblázat tartalmazza.

Tömeg

(g)

Tömeg

logaritmusa

1.

átmérő

(cm)

2.

átmérő

(cm)

3.

átmérő

(cm)

Átmérők

átlaga

(cm)

Sugár

(cm)

Sugár

logaritmusa

2,5205 0,9245 2,65 2,62 2,65 2,64 1,32 0,28

1,2324 0,2090 1,55 1,53 1,55 1,54 0,77 -0,26

0,6425 -0,4424 1,98 2,05 2,00 2,01 1,01 0,00

0,3222 -1,1326 0,71 0,70 0,66 0,69 0,35 -1,06

0,1677 -1,7856 0,72 0,66 0,66 0,68 0,34 -1,08

0,0831 -2,4877 0,40 0,42 0,40 0,41 0,20 -1,59

0,0393 -3,2365 0,31 0,30 0,30 0,30 0,15 -1,89

0,0207 -3,8776 0,28 0,26 0,31 0,28 0,14 -1,95

0,0104 -4,5659 0,26 0,20 0,21 0,22 0,11 -2,19

0,0068 -4,9908 0,10 0,10 0,11 0,10 0,05 -2,96

-2.67 -2.33 -1.67 -1.33 -0.67 -0.33 0.33 0.67

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00

Sugár logaritmusa

-5.33

-4.67

-3.33

-2.67

-1.33

-0.67

0.67

1.33

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

2.00

Töm

eg lo

garit

mus

a

Y = 1.90119 * X + 0.27841

19

sárga narancssárga lila kék zöld

D 1.9±0.28 1.442±0.23 2.1±0.06 1.719±0.575 1.669±0.065 5. táblázat A különböző színű papírokból készült galacsinok tört-dimenziók értékei. A színek nem jelentenek

különbséget a papír anyagában, de más ember gyúrta őket.

3.2.3. A kísérlet órai feldolgozása, feladatlap

A papírgömbök dimenziójának meghatározására egy középiskolai órán is lehetőség

van, hiszen nem jár sok anyagbefektetéssel. A kísérlethez felhasznált eszközök: papírdarabok,

tolómérő és mérleg. Az alábbiakban egy tíz pontból álló vázlatot mutatok be, melyet

felhasználva a diákok is el tudják végezni a kísérletet.

1. Vegyünk egy tetszőleges papírdarabot, majd vágjuk szét különböző nagyságú részekre!

Először félbe, majd negyedbe, nyolcadba, tizenhatodba, akár még harminckettedbe is.

2. Gyúrjuk össze ezeket olyan erővel, amilyennel csak tudjuk!

3. Mérjük meg a kapott gömbök átmérőjét legalább három különböző helyzetben a

tolómérővel, majd a kapott adatokat átlagoljuk! Ezen átlagnak vegyük a felét, ez lesz a sugár.

4. Mérjük meg a papírok tömegét egy analitikai mérleg segítségével!

5. Vegyük minden galacsin esetén a sugarak és a tömegek természetes alapú logaritmusait!

6. A 3-as, 4-es, és 5-ös pontban kapott adatokat (tömegek, tömegek logaritmusa, átmérők,

átmérők átlaga, sugarak, sugarak logaritmusa) írjuk be egy üres táblázatba!

A sorok száma természetesen az azonos papírból készült galacsinok számával arányosan

növelhető.

Tömeg

(g)

Tömeg

logaritmusa

1.

átmérő

(cm)

2.

átmérő

(cm)

3.

átmérő

(cm)

Átmérők

átlaga

(cm)

Sugár

(cm)

Sugár

logaritmusa

6. táblázat A kitöltendő táblázat diákoknak a galacsinos méréshez.

7. Ábrázoljuk a kapott adatokat tetszőleges programmal, vagy kézzel milliméterpapíron!

8. Becsüljük meg a sugár mérésének és a tömeg meghatározásának hibáit!

9. Mit tudhatunk meg a kapott egyenes meredekségéből? Mit jelent a kapott szám?

10. Becsüljük meg, mekkora lenne a dimenzió, ha egy alufólia darabkát gyűrnénk össze?

Miért?

20

3.3. Tojáshéj robbanásakor kialakuló repedések fraktálszerkezetének bemutatása

3.3.1. A kísérlethez használt eszközök, anyagok

1. Preparált tojás: édesanyám segítségével kifújtam belőle a belsejét most csak a tojás héjára

van szükség. Egy ilyen tojást mutat a 16. ábra. Vízzel alaposan kiöblítettem, mikrohullámú

sütőben kiszárítottam, ezáltal könnyebben törik majd szét.

16. ábra A kísérletre kész kifújt tojás, a jobbról jövő vezeték a gyújtószerkezet része.

2. Durranógáz: oxigén és hidrogén 2:1 arányú gázkeveréke, mely szikra hatására robban. A

két gáz megfelelő arányú keverékét lufik segítségével juttatjuk a tojásba, ezt a lufis megoldást

mutatja a 17. ábra, melyet Vass Gábor Tanár Úr ötlete alapján valósítottam meg. Az egyik

felső sárga lufi oxigént, a másik hidrogént, a különálló alsó fehér pedig szintén hidrogént

tartalmaz. Ez az elrendezés biztosítja a megfelelő arányokban történő kiáramlását a

gázkeveréknek.

17. ábra A durranógáz bekeverésére és szállítására szolgáló eszköz.

21

3. Gyújtószerkezet: gáztűzhelyeknél használt piezoelektromos szikráztató. A szikráztató vége

meg van hosszabbítva egy vezetékkel, így biztonságosan be lehet vezetni a tojásba, melyet a

18. ábra szemléltet. Az eszköz fém végéhez, ahol szikrázna, egy vezeték egyik drótját

rögzítjük (jelen esetben cellux ragasztóval), a másik drótot pedig a műanyaghoz rögzítjük

hozzá. Ezek után a két drót egymás mellett fut a szigetelő burkolatban. A vezeték másik

végén újra szétválasztjuk őket úgy, hogy csak kis távolság legyen közöttük, de ne érjenek

össze. Ezen a kis távolságon, a két drót között fog megjelenni a szikra a gomb

megnyomásakor.

18. ábra A piezoelektromos szikráztató meghosszabbított vezetékkel.

4. Gyurma: Ezzel rögzítjük a tojásban a szikráztató végét, illetve ezzel tömjük be a másik

szabadon maradt lyukat is a gáz beáramoltatása után.

5. Védőzsák: ebben végezzük a kísérletet, akkora legyen, hogy a tojás beleférjen, és

kényelmesen le is lehessen zárni, én erre a célra egy átlátszó sütőzsákot használtam.

6. Négy tizedes jegy gramm pontosságú mérleg, a konyhai mérleg nem elegendően pontos a

kisebb repeszdarabok tömegének pontos meghatározására.

3.3.2. A kísérlet előkészítése, biztonságos kivitelezése

A kísérlet elvégzéshez egy preparált tojást kell előkészítenünk, azaz egy olyan tojást,

melynek a két végén két fúrt lyuk van, és ezeken keresztül a sárgája és fehérje kifújható. Így

csak a tojás héja marad meg a kísérlethez. Az egyik lyukat gyurmával betömködjük, majd a

másikon keresztül durranógázt vezetünk a tojás belsejébe. A durranógázt a laboratóriumban

könnyedén előállíthatjuk, hiszen nem más, mint oxigén és hidrogén 2:1 arányú gázkeveréke,

mely szikra hatására robban, s víz keletkezik belőle nagy energia felszabadulással. Ez a nagy

energia felszabadulás okozza majd a robbanást a tojás belsejében. Jelen esetben mindkét gázt

palackból nyertük ki, majd luftballonok segítségével egy injekciós tűn át a megfelelő

arányban engedtük be a tojásba. Ezt követően a másik lyukat is betömjük gyurmával, s ezen a

gyurmán keresztül bevezetjük a szikráztató vezetékét. Az egészet egy átlátszó zsákba tesszük,

azért hogy a robbanás után a darabok ne szóródjanak szét, hanem egy zárt helyen maradjanak,

a könnyebb megtalálhatóság és megszámolhatóság érdekében. Ezen felül érdemes az egészet

szabadtéren csinálni. A kísérlet előkészítése után a szikráztatóval felrobbantjuk a tojást,

melynek következtében a repeszek (héj darabok) a zsákban szabadon szétszóródnak.

Megszámoljuk a kis tojáshéjdarabkákat, majd a tömegüket lemérjük egyesével egy mérlegen

(erre a célra is a 3.2.2.-es fejezetben említett négy tizedes jegy gramm pontosságú analitikai

22

mérleget használtam). Ezeket az adatokat egy táblázatba foglaljuk, majd vesszük a

logaritmusaikat. Az adatokra végül majd kumulatív eloszlás függvényt kell illesztenünk,

ennek kell hatványfüggvénynek lennie a 2.4. pontban leírtak szerint.

A kumulatív eloszlás függvény azt adja meg, hogy a mért tömeg adatok hány

százaléka kisebb, vagy éppen egyenlő egy adott tömeg értékkel. Az eloszláshoz fel kell

vennünk a táblázatba a tojáshéj darabok sorszámát növekvő sorrendben, illetve ezen

sorszámok összes darabszámmal leosztott értékét. A kumulatív eloszlásfüggvény nem lesz

mást, mint ez a hányados a tömegek függvényében ábrázolva. A kumulatív

eloszlásfüggvényre hatványfüggvényt illesztve, megkapható a tört-dimenziója a robbanáskor

kialakult repedéshálózatnak [11], hiszen ez nem más, mint az illesztett függvény hatványából

egyet kivont számnak a mínusz egyszerese. Az eloszlás logaritmusát a tömegek

logaritmusának függvényében ábrázolva, egy egyenest kapunk, mely jól mutatja majd a már

említett két nagyságrenden keresztüli linearitást.

3.3.3. A saját robbantásaim kísérleti eredményei

Három mérést végeztem el, ezek közül egyet itt bemutatok, a többi mérés adatait és az

illesztéseket a mellékletben lehet megtalálni. Az általam mért és számolt adatokat mutatja a

következő táblázat.

Tojáshéj

darabok

sorszáma

A sorszám és az

összes

darabszám

hányadosa

Az előző oszlop

értékeinek

logaritmusa

A repeszek

tömege (g)

A tömegek

logaritmusa

1 0,031 -1,518 0,0002 -3,6989

2 0,061 -1,217 0,0003 -3,5228

3 0,091 -1,0414 0,0013 -2,886

4 0,121 -0,9164 0,0027 -2,56863

5 0,151 -0,8195 0,0085 -2,07

6 0,181 -0,7403 0,0121 -1,9172

7 0,212 -0,6734 0,0237 -1,6253

8 0,242 -0,6154 0,026 -1,585

9 0,273 -0,5642 0,0266 -1,5751

10 0,303 -0,5185 0,0303 -1,5185

11 0,33 -0,477 0,0306 -1,5142

12 0,363 -0,4393 0,0378 -1,4225

13 0,393 -0,40458 0,0400 -1,3979

14 0,424 -0,37238 0,0491 -1,3089

15 0,454 -0,3424 0,0702 -1,1536

16 0,484 -0,3143 0,0731 -1,136

17 0,515 -0,288 0,0767 -1,1152

18 0,545 -0,2632 0,0778 -1,109

19 0,575 -0,2397 0,0865 -1,0629

20 0,606 -0,2174 0,0889 -1,0512

21 0,636 -0,1962 0,1396 -0,8551

23

22 0,67 -0,176 0,1558 -0,8074

23 0,696 -0,1567 0,1901 -0,7217

24 0,727 -0,1383 0,1914 -0,718

25 0,757 -0,1205 0,2096 -0,6786

26 0,787 -0,1035 0,2431 -0,6142

27 0,818 -0,0871 0,2552 -0,5931

28 0,848 -0,0713 0,2639 -0,5785

29 0,878 -0,0561 0,2791 -0,5542

30 0,909 -0,0413 0,4213 -0,3754

31 0,939 -0,0271 0,4575 -0,3396

32 0,969 -0,0134 0,4608 -0,3364

33 1 0 1,1276 0,0521 7. táblázat Az első tojáshéj felrobbantásakor keletkezett repeszek általam mért és számolt adatai.

A kumulatív eloszlásra illesztett hatványfüggvényt, melyet az Excel nevű programmal

ábrázoltam, az alábbi, 19. ábra mutatja.

19. ábra A tojáshéj darabok tömegeinek kumulatív eloszlásfüggvénye.

A tömegek E(m) kumulatív-eloszlásfüggvényét konstansm1-

-val közelítjük, egy

leegyszerűsített formában. A pontosabb leírás Kun Ferenc munkájában található [11]. Innen

az gyakoriságfüggvény kitevője esetemben =-(0,42-1)=0,58-nak adódik az első mérésre.

24

y = 0,745x + 0,4381

y = 0,4202x + 0,1403

y = 0,4664x + 0,2433

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

-4,5 -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5

log(m/1g)

Ku

mu

latí

v e

los

zlá

sfü

gg

vé

ny

lo

ga

ritm

us

a

3. Robbantás

1. Robbantás

2. Robbantás

20. ábra Az összes robbantás eredményei egy grafikonon ábrázolva.

-3.50 -2.50 -1.50 -0.50 0.50

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00

Tömegek logaritmusa

-1.40

-1.00

-0.60

-0.20

-1.60

-1.20

-0.80

-0.40

0.00

Kum

ula

tív e

loszlá

s lo

ga

ritm

usa

Y = 0.420242 * X + 0.140274

21. ábra A 19. ábra adatai log-log skálán, amely mutatja a három nagyságrenden keresztüli linearitást.

Ez a fenti 21. ábra jól mutatja a linearitást, illetve a mérési eredmények körülbelüli

illeszkedését az egyeneshez.

A dimenzió tört mivoltából és a hatványfüggvényből adódóan kijelenthető, hogy

valóban fraktál keletkezett a tojáshéj robbanásakor.

25

3.3.4. A kísérlet órai feldolgozása, munkafüzet

Kellő elővigyázatossággal, a biztonságos kísérletezés szabályait betartva elvégezhető a

diákokkal is ez a kísérlet. Összeállhatnak többen is a gyerekek, kis csoportokban

dolgozhatnak, van, aki számolja a darabokat, van, aki méri a tömegüket, harmadik társuk

pedig számológéppel számolhatja is egyből a logaritmusokat. Később mindannyian

illeszthetnek maguk kézzel egyenest milliméterpapíron, s így kiderülhet, kinek mennyi jön ki,

melyik tanuló mennyire pontosan ábrázolta a kapott illetve számolt adatokat.

A robbantást természetesen szigorúan tanári, vagy felnőtt felügyelet mellett kéne

kivitelezni az udvaron, vagy más szabad téren.

Az alábbiakban egy rövid feladatlapot, 10 pontból álló segítő vázlatot mutatnék be,

melynek segítségével a gyerekek is könnyebben boldogulhatnak a tört dimenzió

meghatározásával.

1. A durranógáz beszerzése, előkésítése: ehhez a tanár segítségét kellene kérniük a

tanulóknak.

2. A tojás előkészítése, kifújása, átöblítése, majd megszárítása

3. A gáz tojáshéjba történő bevezetése injekciós tű segítségével

4. A két lyukat tömjék be gyurmával, majd az egyiken vezessék be a szikráztató eszközt,

végül az egészet helyezzék egy zsákba

5. A robbantás pillanata

6. A robbantás után számoljuk össze a repeszeket, mérjük meg a tömegüket egyesével

7. Jegyezzük fel az adatokat: Erre a célra egy előre legyártott üres táblázat adhat

segítséget nekik a számoláshoz.

Tojáshéj darabok

sorszáma

A sorszám és az

összes darabszám

hányadosa

Az előző

oszlop

értékeinek

logaritmusa

A repeszek

tömege

(g)

A tömegek

logaritmusa

1

2

3

4 8. táblázat A kitöltendő táblázat a tojáshéj-robbantásos kísérlet órai feldolgozásához.

A tömegeket növekvő sorrendben kell beírni egy Excel táblázatba, majd a program

segítségével ki kell tölteni a többi oszlopot is, ehhez persze tanári segítség kérhető.

8. A hányados (valószínűséget) a tömegek függvényében ábrázolva megkapjuk a

kumulatív eloszlás függvényt, melyre egy hatványfüggvényt kell majd illeszteni a

program segítségével.

26

9. A hatványfüggvény kitevőjéből kaphatjuk meg a keresett dimenziót.

10. Foglaljuk össze a mérést, mit történt, mit vártunk, és mi jött ki a végén!

A számítógépes ábrázoláshoz tanári segítség kérhető/adható, ez akár számítástechnika

órán is egy feladat lehet, mivel ha mégsem menne, akkor ott még tudják ez által gyakorolni.

27

4. A Matematikai Múzeum demonstrációs eszközeinek bemutatása

Az ELTE Természettudományi Karának Matematikai Múzeumának (ami része a TTK

Természetrajzi Múzeumának, igazgató: Dr. Weiszburg Tamás) jelenleg a Lágymányosi

Campus északi épületének első emeletén, a galérián van kialakítva egy helység. A

Múzeumban számos matematikai szemléltető tárgy található, amit Holló-Szabó Ferenc és

Kabai Sándor készítettek vagy gyűjtöttek. Személyesen is ellátogattam a Múzeumba

megismerkedtem az ott fellelhető, matematikát szemléltető eszközökkel, beszélgettem a

múzeum képviselőivel. Fő céljuk a matematika tanításának színesítése, érdekessé és

könnyebben megjegyezhetővé tétele, illetve a matematika egyes témakörei fontosságának

hangsúlyozása. Rengeteg eszköz található a teremben, jó részüket lelkes hallgatók készítették

különféle gyakorlatok, speciális előadások alkalmából a Múzeum vezetőinek irányításával. A

Múzeumban első sorban térbeli modellek, logikai játékok, színes magyarázó ábrák

találhatóak. Ezen eszközök használata során a tanításkor a vizuális információt lehet előtérbe

helyezni. Ezek közül a színes ábrák, illetve képek, modellek közül természetesen a fraktálok

témaköre sem maradt ki. Nagyon sok a fraktál, vagy fraktálra hasonlító, azzá alakítható

szemléltető eszköz is, ezért szakdolgozatom természetes módon kapcsolódik a Múzeum

anyagához. Ezen kívül CD-k, videó kazetták, könyvek lelhetőek fel, melyek a fraktálokról

szólnak.

A fraktálok tanítása során felhasználható demonstrációs eszközök a következők:

1. Sierpinszki-háromszög.

Az egyik szemléltető érdekes tárgy egy térbeli poliéder, melynek oldalai Sierpinszki-

háromszöget tartalmaznak mindenféle színben. Ezt egy általam készített fényképen mutatja a

22. ábra. A poliéderen jól szemléltethető az egyre kisebb háromszögek konstrukciója.

22. ábra Sierpinszki-háromszögekből 23. ábra Menger-szivacs inverze habszivacsból

felépülő térelem

2. Menger-szivacs (néha Sierpinszki-szivacsként is emlegetik).

Ez egy olyan háromdimenziós fraktálra vezető konstrukció, amelyet úgy kapunk, hogy egy

kockát az élei harmadolásával 27 kisebb kockára osztunk, és elhagyjuk közülük azt a hetet,

amelyik nem tartalmazza az eredeti kocka egyetlen élét sem, majd ezt az eljárást sokszor

megismételjük a megmaradt kockákra. Nevét Karl Menger osztrák matematikusról kapta.

28

A Múzeumban elkészítették a Menger-szivacsra vezető konstrukció második lépésének

eredményét, annak is az inverzét. Ennek a fényképe a 23. ábrán látható.

Ezeknek a térbeli elemeknek a megértéséhez semmilyen különösebb előtudás nem

szükséges véleményem szerint, a térelemek neveit kell tudni maximum, hány éle, lapja van

egy adott térbeli alakzatnak, stb. Főleg a vizualizáció a fontos, a színek, a formák. Némi

képzelőerő persze elengedhetetlen.

3. Múzeumi képek.

A galérián lévő falon hatalmas fehér alapon narancssárga Cantor-halmazok vezetik be az

érdeklődő hallgatókat a fraktálok világába, illetve nagyon sokféle színben van Mandelbrot-

halmaz is kirakva ezekre a falakra.

Még egy érdekes kép van, mely jó szemléltető eszköze lehet a szép színes

fraktálgeometriai objektumoknak. Ezen rengeteg egymásra, illetve egymás mellé (valamilyen

szabály szerint) rakott ikozaéder található, melyek egymás oldaliból illetve csúcsaiból „nőnek

ki”. Nagyon sok ilyen ikozaédert összerakva alakul ki a 24. ábra képe.

24. ábra Egy ikozaéderekből kiinduló fraktál 25. ábra Egy ötszögekből kiinduló fraktál

Vegyünk most egy nagy ötszöget, melynek minden csúcsába tegyünk egy-egy kisebb

ötszöget, és a középen kialakuló ötszöget is tekintsük hatodik ötszögként. Ezt sokszor

megismételve minden irányban a 25. ábrán látható kép alakul ki, ez szintén megtalálható a

múzeumban.

A diákokkal tehát sokféle objektumot el lehet kezdeni modellezni, s egy szabályt

követve, egy adott műveletet sokszor végig lehet hajtani. Ezekhez a feladatokhoz semmilyen

különösebb matematikai tudás nem szükséges, elegendő a dolgok szépségét megragadnia a

tanulóknak.

A Matematikai Múzeumba pedig egy kötetlen iskolai program keretében, vagy akár

egy szakkör részeként is el lehet vinni az érdeklődőbb diákokat.

29

5. A fraktálok tanítása a középiskolában A dolgozat elején a bevezetőben már leírtam néhány gondolatot a fraktálok

tanításának lehetőségeiről. Ez a fejezet ezeknek a gondolatoknak, lehetőségeknek a

kifejtéséről szól.

A Mandelbrot-halmaz rajzoló program bemutatása:

Matematika óra, 12. évfolyan, komplex-számok témakör

Egy-egy számítógépes kísérlet Mandelbrot-halmazzal is érdekes feladat a tanulók számára.

Ezt a programot bármikor bármelyik érdeklődő diáknak ki tudnom majd adni, illetve el tudom

küldeni. Nagyon egyszerű kezelni, így tényleg energia befektetés nélkül egyből a halmaz

nézegetése tanítható. Kereshetnek érdekes dolgokat, megfigyelni, mi történik, ha

nagyítunk/kicsinyítünk, vagy csak kicsit arrébb megyünk a rendszerünkben. A szakkörön

feldolgozható feladatlapokat a korábbi fejezetekben már bemutattam.

Papírgalacsin gyúrás kísérlete:

Fizika szakkör, 12. évfolyam, anyagszerkezet, porózus anyagok témakör.

A papírgömbök hajtogatása különböző színű papírokból szakkörön elvégezhető, vagy

otthonra is feladható házi feladatnak, gyakorolni tudják vele a tolómérő használatát, a

hétköznapi eszközökkel való gyakorlati tapasztalat megszerzését. Ezen felül az átlagszámolás,

a logaritmus gyakorlása is a javukra válhat, és a matematika órán elsajátított anyag fizika órán

történő felhasználása segíti az egységes természettudományos gondolkodás kialakulását.

Tojáshéj-robbantás kísérlete:

Kémia óra, 12. évfolyam, durranógáz témakör, vagy

Fizika óra, 12. évfolyam, anyagszerkezet, porózus anyagok témakör.

A durranógáz tananyag a középiskolában, így akár ott is be lehet mutatni a tojáshéjrobbantós

kísérletet, hiszen így demonstrálható a hidrogén és oxigén megfelelő arányú keverékének

esetleges pusztító ereje.

A dolgozatban nem bemutatott önhasonló alakzatok:

Kémia óra, 12. évfolyam, viszkozitás témakör.

Kémia órán lehet elvégezni azt a bemutatót, amelyben két üveglap közé mézet csurgatunk,

majd a lapokat nagy erővel egymásra tesszük, de a felső lapon egy kis lyukon keresztül vizet

csepegtetünk be a mézbe. Ekkor a víz önhasonló alakzatokat felvéve fog terjedni a mézben,

fraktálgeometriai objektumot hozva ezzel létre. A kísérlet neve: viszkózus ujjasodás [12, 13].

Ezzel a bemutatóval a viszkózus folyadékok témakörét is be lehet vezetni, melynek tipikus

hétköznapi példája a méz.

30

Egyéb a dolgozatban bemutatott fraktálok tanítása:

Matematika szakkör.

Említettem már a matematika órán a geometria részeknél történő bemutatást. Talán itt lenne a

legcélszerűbb megismerkedni a témával, hiszen a fraktálok geometriai alakzatok, csak nem a

hagyományos Euklideszi-ek, mint amiket a diákok tanulnak ezeken az órákon. Emiatt

szerintem egyfajta kiegészítésként lehet tálalni.

Az alábbiakban három példát mutatok be, melyekkel ellenőrizhető a fraktálokról kapott

tudás helyes értelmezése. Az első feladat a dimenziók számolására kérdez rá, a második a

területszámolásról szól, a harmadik pedig a végtelen lépés fogalmának megértését ellenőrzi.

1. Mekkora a tört-dimenziója annak a fraktálnak, melynek első két lépése (iterációja)

az alábbi ábrán látható?

a) ln3/ln5

b) ln3/ln6 c) ln5/ln3 d) ln6/ln3

2. Vegyük a Sierpinszki-szőnyeg előállításának első lépését az alábbi ábra szerint!

Mekkora lesz az objektum területe, ha oldaléle a=2 cm?

a) 2 cm

2

b) 4 cm2

c) 32/9 cm2

d) 0 cm2

3. Mekkora a területe végtelen sok lépés után (ideális esetben) előállított Sierpinszki-

szőnyegnek, ha a oldaléle 2 cm?

a) 2 cm

2

b) 4 cm2

c) 32/9 cm2

d) 0 cm2

31

Az alábbi kép jól mutatja az elképzeléseimet, a fraktálok tanításával kapcsolatban. A

képen az látható, ahogyan a gyerekek ismerkednek a Sierpinszki-háromszöggel, egy színes,

kivágós játék keretein belül.

1. kép: Egy szakköri játéklehetőség fraktállal.

9

Szintén matematika órán feladható házi feladatnak, hogy a diákok saját maguk

készítsenek el egy fraktált megadott N és egy ε értékek alapján és ezt rajz, vagy modell

segítségével mutassák is be. Ehhez a feladathoz a fent említett példák és ábrák a rendelkezésre

állnak, a feladat csupán annyi, hogy azokat szem előtt tartva valamilyen objektumon

valamilyen műveletet végezzenek el a megadott értékek figyelembevételével. Ugyanez a

feladatat feladható úgy is, hogy a tört-dimenziót adjuk meg, ez egy fokkal nehezebb, ehhez

már vissza is kell számolni N és ε értékét.

Rajz szakkör, 12. évfolyam:

Fraktálszerű mintázatok a művészetekben is előszeretettel fordulnak elő. Az alábbi képen egy

Sierpinszki-háromszög látható, mely Laurent Emőke textilművész alkotása. Czirók Adrienn

fényképezte le, és adott engedélyt a dolgozatomban való bemutatására, melyet ezúton is

köszönök neki.

2. kép: Egy dupla Sierpinszki-háromszög műalkotás formájában. 10

9 Forrás: http://mremenysmathsblog.blogspot.hu/2011/12/all-sierpinski-triangle-fun.html

(letöltés ideje: 2013. december 20.) 10

Laurent Emőke textilművész alkotása

32

Ennek az alkotásnak a bemutatására néhány kérdés fogalmazható meg a diákok számára.

Elsőként például feltehető a kérdés:

1. Hol hiányzik belőle néhány részlete?

2. Hány iteráció látható a képen, azaz hány lépésben jutott el a készítője eddig a

mintázatig?

3. A jobb, illetve a bal oldali háromszögben milyen színűek a háromszögek, melyek a

Sierpinszki-háromszöget képezik?

33

6. Összefoglalás

A dolgozatom során elvégeztem néhány önálló kisérletet. a) meghatároztam

papírgalacsinok gyúrása során a papír összegyűrődése folyamatának tört-dimenzióját, b)

felrobbantottam 4 tojáshéjat, melynek törésekor kialakuló repedéshálózat fraktál szerkezete

miatt a repeszdarabok tömegeloszlása hatványfüggvény lesz.

Bemutattam a Mandelbrot-halmaz néhány önhasonlóságra utaló tulajdonságát.

Ezen kívül bemutattam néhány olyan fraktált, melyet szépnek és érdekesnek találok:

A különféle matematikai halmazok: a Koch-görbe, Cantor-halmaz, és Sierpinszki-szűrő. A

természetben előforduló fraktálok közül ide tartozik az érrendszer kinézete, a tüdő képe, a

levelek, fák alakzata. Fizikai fraktálok közé soroltam például a törést, villámlást, molekuláris

ködöket.

Bemutattam, miként lehetne használni iskolai keretek között a fraktálok témakörét,

tanítani, vagy szakkörön beszélni róla az érdeklődőbb tanulóknak. A tojáshéj törésekor

bevezetést kaptunk a repedések/törések témakörébe, melyben az alapfogalmakat tisztáztam,

bővebben a témáról az említett és forrásként megjelölt dolgozatban lehet olvasni.

Igyekeztem személyes motiváltságomat is éreztetni a sorok között. A kísérletekkel

nem titkolt vágyam volt, hogy felkeltsem a fizikatanárok érdeklődését a kísérletek

elvégzésére.

34

Irodalomjegyzék [1] Benoit B. Manderbrot, Tha fractal geometry of nature (W. H. Freeman and Company,

New York, 1977)

[2] Bacsosz Sztavrosz: Fraktálok a földrajzban, ELTE Regionális Földrajzi Tanszék

http://senna.web.elte.hu/doksik/fraktalok_a_foldrajzban.pdf

(letöltés ideje: 2013. november 13.)

[3] Davydova Marina and Davydov Denis: Fractal Analysis of Fragmentation Patterns of

Glass Plates, Materials Science Forum, Volumes 567 – 568 (2008) 289-292. oldal

[4] Halász Zoltán: Heterogén anyagok károsodása és törése, PhD. Értekezés, Debreceni

Egyetem (2012) 4-6. oldal

[5] J. Sanudo, J. B. Gómez. F. Castano and A. F. Pacheco: Fractal dimension of lighting

discharge, Nonlinear Process in Geophysics (1995), 2: 101-106

[6] T. Zimmermann and J. Stutzki: Fractal Aspects of Interstellar Clouds in T. Vicsek, M.

Shlesinger, M. Matsushita: Fractals in natural sciences: 537. oldal, World Scientific

Publishing Co. Pte. Ltd. (1994)

[7] Z. Donkó and I. Pócsik: On the Fractal Structure of Electron Avalanches in T. Vicsek, M.

Shlesinger, M. Matsushita: 546. oldal, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. (1994)

[8] Dévényi Patricia: A fraktálok és a biológia - a vérkeringés bemutatása fraktál-

modellekkel, Informatika és Menedzsment az Egészségügyben, az egészségügyi vezetők

lapja, VI. évfolyam, 10.szám, 2007. december.

[9] Vicsek Tamás: Szabály a szabálytalanban-Fraktálok, Fizikai Szemle 2005. év 6. szám

[10] Nagy Péter (Kecskeméti Főiskola, GAMF Kar): Interaktív számítógépes anyagok a BSc.-

fizikaoktatásban, 5. oldal, http://fiztan.phd.elte.hu/letolt/fizkonf2009/nagy.pdf, (letöltés ideje:

2012. november 11.)

[11] F. Wittel, F. Kun, H.J. Hermann and B. H. Kröplin:Fragmentation of Shells, Physical

Review Letters Volume 93, Number 3, 035504 (2004. július 16.)

[12] Vicsek Mária, Vicsek Tamás , Fraktálok a fizikában II., Mintázatképződés növekedési

jelenségekben, Fizikai Szemle 1993. év 3. szám 96. o.

[13] Czirók András, Önszervező mozgások statisztikus fizikai leírása, TDK-dolozat, ELTE

Fizika TDK, (1995). http://ludens.elte.hu/~tdkinfo/abs/eredm96.html., (letöltés ideje: 2013.

december 13.)

35

Mellékletek

M1. Papírgalacsinok mérési eredményei

A lila színű papír esetén mért adatok:

Tömeg

(g)

Tömeg

logaritmusa

1.

átmérő

(cm)

2.

átmérő

(cm)

3.

átmérő

(cm)

Átmérők

átlaga

(cm)

Sugár

(cm)

Sugár

logaritmusa

2,4973 0,9152 2,6 2,6 2,6 2,6 1,3 0,26

1,243 0,2175 2,35 2,34 2,36 2,35 1,18 0,16

0,6102 -0,494 1,31 1,26 1,30 1,29 0,65 -0,44

0,2694 -1,3116 1,0 1,01 1,01 1,01 0,5 -0,69

0,1522 -1,8826 0,75 0,75 0,77 0,76 0,38 -0,97

0,0803 -2,522 0,61 0,58 0,61 0,6 0,3 -1,20

0,0416 -3,1797 0,54 0,55 0,54 0,54 0,27 -1,30

0,0295 -3,5234 0,5 0,53 0,52 0,52 0,26 -1,35

0,0111 -4,5008 0,21 0,2 0,2 0,2 0,1 -2,29

0,0135 -4,305 0,2 0,21 0,21 0,21 0,1 -2,27

A kapott egyenes:

-2.6 7 -2.33 -1.67 -1.33 -0.67 -0.33 0.33 0.67

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00

Sugár logaritmusa

-5 .33

-4 .67

-3 .33

-2 .67

-1 .33

-0 .67

0.67

1.33

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

2.00

Töm

eg logaritm

usa

Y = 2.10167 * X + 0.0619362

36

A kék színű papír esetén mért adatok:

Tömeg

(g)

Tömeg

logaritmusa

1.

átmérő

(cm)

2.

átmérő

(cm)

3.

átmérő

(cm)

Átmérők

átlaga

(cm)

Sugár

(cm)

Sugár

logaritmusa

4,8362 1,576 3,02 3,0 3,0 3,01 1,5 0,41

2,5621 0,9408 2,42 2,36 2,34 2,37 1,19 0,17

1,2782 0,2455 1,66 1,69 1,8 1,72 0,86 -0,15

0,6275 -0,466 1,19 1,16 1,19 1,18 0,59 -0,53

0,2975 -1,2123 0,76 0,78 0,76 0,77 0,38 -0,96

0,1575 -1,8483 0,5 0,5 0,51 0,5 0,25 -1,38

0,0823 -2,4974 0,45 0,38 0,39 0,41 0,2 -1,59

0,0408 -3,19 0,21 0,21 0,2 0,21 0,1 -2,27

0,0324 -3,4296 0,21 0,2 0,22 0,21 0,11 -2,25

0,0266 -3,6268 0,16 0,11 0,15 0,14 0,07 -2,66

A kapott egyenes:

-2.6 7 -2.33 -1.67 -1.33 -0.67 -0.33 0.33 0.67

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00

Sugár logaritmusa

-3 .33

-2 .67

-1 .33

-0 .67

0 .67

1 .33

-4.00

-2.00

0.00

2.00

Töm

eg logaritm

usa

Y = 1.71791 * X + 0.575062

37

A zöld színű papír esetén mért adatok:

Tömeg

(g)

Tömeg

logaritmusa

1.

átmérő

(cm)

2.

átmérő

(cm)

3.

átmérő

(cm)

Átmérők

átlaga

(cm)

Sugár

(cm)

Sugár

logaritmusa

4,8686 1,5828 3,98 3,97 4,0 3,98 1,99 0,69

2,4224 0,8848 2,63 2,60 2,63 2,62 1,31 0,27

1,1810 0,1664 2,06 2,05 2,06 2,06 1,03 0,03

0,5917 -0,5248 1,6 1,6 1,6 1,6 0,8 -0,22

0,2947 -1,2218 1,11 1,12 1,16 1,13 0,57 -0,57

0,1495 -1,9005 0,66 0,66 0,69 0,67 0,34 -1,09

0,0788 -2,54 0,49 0,55 0,49 0,51 0,26 -1,37

0,0455 -3,09 0,46 0,49 0,48 0,48 0,24 -1,43

0,0361 -3,3215 0,2 0,2 0,16 0,19 0,09 -2,37

0,0245 -3,709 0,16 0,18 0,16 0,17 0,08 -2,48

A kapott egyenes:

-2.6 7 -2.33 -1.67 -1.33 -0.67 -0.33 0.33 0.67

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00

Sugár logaritmusa

-3 .33

-2 .67

-1 .33

-0 .67

0 .67

1 .33

-4.00

-2.00

0.00

2.00

Töm

eg logaritm

usa

Y = 1.66931 * X + 0.0657749

38

A narancssárga színű papír esetén mért adatok:

Tömeg

(g)

Tömeg

logaritmusa

1.

átmérő

(cm)

2.

átmérő

(cm)

3.

átmérő

(cm)

Átmérők

átlaga

(cm)

Sugár

(cm)

Sugár

logaritmusa

2,5112 0,92 2,630 2,66 2,63 2,64 1,32 0,28

1,2416 0,216 2,20 2,2 2,14 2,18 1,09 0,09

0,5833 -0,539 2,04 2,0 2,05 2,03 1,02 0,01

0,3161 -1,15 1,77 1,79 1,77 1,78 0,89 -0,12

0,1626 -1,8165 0,56 0,51 0,66 0,58 0,29 -1,24

0,0804 -2,52 0,51 0,46 0,48 0,48 0,24 -1,42

0,0378 -3,275 0,31 0,31 0,30 0,31 0,15 -1,88

0,0208 -3,8728 0,15 0,15 0,10 0,13 0,07 -2,71

0,0098 -4,6254 0,096 0,09 0,09 0,09 0,05 -3,08

0,0082 -4,8036 0,084 0,076 0,08 0,08 0,04 -3,22

A kapott egyenes:

-3.6 7 -3.3 3 -2.67 -2.33 -1.67 -1.33 -0.67 -0.33 0.33 0.67

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00

Sugár logaritmusa

-5 .33

-4 .67

-3 .33

-2 .67

-1 .33

-0 .67

0.67

1.33

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

2.00

Töm

eg logaritm

usa

Y = 1.44198 * X + -0.229027

39

M2. A tojáshéj-robbantás eredményei

A második tojáshéj robbantására kapott eredmények:

Tojáshéj darabok

sorszáma

A sorszám és az

összes darabszám

hányadosa

Az előző oszlop

értékeinek

logaritmusa

A repeszek

tömege (g)

A tömegek

logaritmusa

1 0,024 -1,612 0,0009 -3,045

2 0,048 -1,311 0,0035 -2,455

3 0,073 -1,135 0,0087 -2,06

4 0,097 -1,0107 0,0141 -1,85

5 0,121 -0,913 0,021 -1,677

6 0,146 -0,834 0,031 -1,507

7 0,17 -0,7676 0,0351 -1,454

8 0,195 -0,7097 0,0457 -1,34

9 0,2195 -0,658 0,0464 -1,33

10 0,2439 -0,613 0,0523 -1,281

11 0,2682 -0,5713 0,0526 -1,279

12 0,2926 -0,5336 0,0651 -1,186

13 0,317 -0,498 0,0702 -1,153

14 0,3414 -0,46 0,0722 -1,141

15 0,3658 -0,4366 0,0739 -1,131

16 0,39 -0,408 0,0779 -1,108

17 0,4146 -0,382 0,0784 -1,105

18 0,439 -0,3575 0,0821 -1,08

19 0,4634 -0,334 0,085 -1,07

20 0,4878 -0,3117 0,0931 -1,031

21 0,513 -0,29 0,0955 -1,012

22 0,536 -0,27 0,098 -1,008

23 0,561 -0,251 0,1019 -0,991

24 0,5853 -0,2325 0,1025 -0,989

25 0,6097 -0,2148 0,1093 -0,961

6 0,6341 -0,1978 0,1171 -0,931

27 0,6585 -0,1814 0,1316 -0,88

28 0,6829 -0,165 0,1374 -0,862

29 0,7073 -0,15 0,1382 -0,85

30 0,7317 -0,135 0,1389 -0,857

31 0,7561 -0,121 0,1399 -0,854

32 0,78 -0,1076 0,1556 -0,808

33 0,8048 -0,0942 0,1627 -0,788

34 0,8292 -0,0813 0,1636 -0,786

35 0,8536 -0,0687 0,1774 -0,751

36 0,878 -0,0564 0,2151 -0,667

37 0,9024 -0,0445 0,2173 -0,662

38 0,9268 -0,033 0,231 -0,636

39 0,9512 -0,0217 0,2433 -0,6138

40 0,9756 -0,0107 0,2565 -0,5909

41 1 0 0,2567 -0,59

40

-3.5 0 -2.50 -1.50 -0.50

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00

Tömegek logaritmusa

-1 .80

-1 .40

-1 .00

-0 .60

-0 .20

-2.00

-1.60

-1.20

-0.80

-0.40

0.00

Kum

ula

tív e

loszlá

s logaritm

usa Y = 0.745317 * X + 0.438854

y = 2,747x0,7453

R2 = 0,9621

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3

Tömegek (g )

Kum

ulat

ív e

losz

lás

A harmadik tojáshéj robbantására kapott eredmények:

Tojáshéj darabok

sorszáma

A sorszám és az

összes darabszám

hányadosa

Az előző oszlop

értékeinek

logaritmusa

A repeszek

tömege (g)

A tömegek

logaritmusa

1 0,0238 -1,6232 0,0003 -3,522

2 0,047 -1,322 0,0006 -3,22

3 0,0714 -1,146 0,0009 -3,045

4 0,0952 -1,0211 0,0039 -2,409

5 0,119 -0,924 0,0041 -2,387

6 0,1428 -0,845 0,005 -2,301

7 0,167 -0,778 0,0056 -2,251

8 0,195 -0,72 0,0059 -2,22

9 0,2142 -0,669 0,0067 -2,173

10 0,238 -0,6232 0,0085 -2,07

11 0,2619 -0,581 0,0089 -2,05

12 0,285 -0,544 0,0095 -2,022

13 0,3095 -0,5093 0,0109 -1,9625

14 0,33 -0,4771 0,0227 -1,6439

15 0,357 -0,447 0,0325 -1,488

16 0,381 -0,4191 0,0416 -1,382

17 0,4047 -0,3928 0,0504 -1,297

18 0,4285 -0,3679 0,0531 -1,274

19 0,452 -0,344 0,057 -1,24

20 0,4761 -0,323 0,0577 -1,238

21 0,5 -0,301 0,0672 -1,172

22 0,523 -0,2808 0,0913 -1,0395

23 0,547 -0,2615 0,0924 -1,034

24 0,5714 -0,243 0,099 -1,0004

25 0,5952 -0,22534 0,105 -0,978

6 0,619 -0,2082 0,106 -0,9738

27 0,642 -0,191 0,113 -0,9457

28 0,67 -0,176 0,1278 -0,8934

41

29 0,69 -0,1608 0,1429 -0,8449

30 0,714 -0,1461 0,1432 -0,844

31 0,7381 -0,1318 0,1476 -0,8309

32 0,7619 -0,118 0,1562 -0,8063

33 0,7857 -0,1047 0,1663 -0,779

34 0,809 -0,0917 0,1886 -0,724

35 0,83 -0,0791 0,1962 -0,7073

36 0,858 -0,0669 0,2068 -0,684

37 0,8809 -0,0550 0,2359 -0,6272

38 0,904 -0,043 0,2439 -0,6127

39 0,9285 -0,032 0,359 -0,4447

40 0,9524 -0,0212 0,374 -0,4267

41 0,9762 -0,0104 0,376 -0,4245

42 1 0 0,378 -0,4225

-3.5 0 -2.50 -1.50 -0.50

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00

Tömegek logaritmusa

-1 .80

-1 .40

-1 .00

-0 .60

-0 .20

-2.00

-1.60

-1.20

-0.80

-0.40

0.00

Kum

ula

tív e

loszlá

s logaritm

usa

Y = 0.466155 * X + 0.243126

y = 1,7504x0,4662

R2 = 0,9673

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Tömegek (g)

Ku

mu

latí

v e

loszlá

sfü

gg

vén

y

42

NYILATKOZAT

Név: Kovács Olivér

ELTE Természettudományi Kar, szak: Fizika BSc.

Neptun azonosító: IZ45GX

Szakdolgozat címe: Középiskolai kísérletek fraktálokkal

A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom

önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések

standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelő idézés

nélkül nem használtam fel.

Budapest, 2013. december 20.

__________________

a hallgató aláírása