L aboratorio de P aralelismo IF - EHU. 4. T IPOS DE P ROBLEMAS P ARALELOS. M ETODOLOGÍA DE D ESARROLLO DE P ROGRAMAS P ARALELOS

Laboratorio de ParalelismoIF - EHU

. 4 .TIPOS DE PROBLEMAS

PARALELOS.

METODOLOGÍA DE DESARROLLO DE PROGRAMAS PARALELOS.


Índice

1. Introducción.2. Análisis de algoritmos.3. Metodología de desarrollo de programas

paralelos.4. Esquemas de algoritmos paralelos.5. Problemas numéricos. Librerías.


Introducción 34

Los problemas que pueden resolverse mediante un algoritmo paralelo son, obviamente, muy heterogéneos.

Suelen ser problemas de complejidad elevada, aún no perteneciendo al grupo de problemas intratables (el número de operaciones crece de forma rápida –p.e. exponencial– con el tamaño del problema).


Introducción 44

Dentro del conjunto de problemas tratables (el número de operaciones crece polinómicamente con el tamaño del problema) se suelen dar dos situaciones que hacen necesaria la programación paralela:

- Problemas de gran dimensión

- Problemas de tiempo real

Otro tipo de problemas: problemas de gran desafío, por su relevancia social (genoma humano, meteorología, clima, fenómenos sísmicos…).


Introducción 54

Diferentes modelos sobre distintos aspectos de la programación paralela:

- Modelo arquitectónico: arquitectura de la máquina -- multiprocesadores: memoria compartida

-- multicomputadores: paso de mensajes-- modelos mixtos

- Modelo de programación: herramientas de alto nivel (OpenMP, MPI).

- Modelo de coste: permite evaluar el coste del algoritmo.


Índice

1. Introducción.

2. Análisis de algoritmos.3. Metodología de desarrollo de programas

paralelos.4. Esquemas de algoritmos paralelos.5. Problemas numéricos. Librerías.


Análisis de algoritmos 74

En la programación paralela (al igual que en la secuencial) son necesarias herramientas que permitan estimar el tiempo de ejecución y la memoria consumidos por un algoritmo, para determinar si es adecuado o no para la resolución del problema.

El objetivo es desarrollar algoritmos eficientes (eficiencia: relación entre los recursos que consume y los resultados que obtiene).



Factores que influyen en el tiempo de ejecución de un programa:

- el lenguaje de programación (el programador)

- la máquina- el compilador (opciones)- los tipos de datos- los usuarios que estén trabajando

en el sistema



Factores que influyen en el tiempo de ejecución de un programa paralelo:

- la competencia por la memoria (bloques de cache)

- la fracción de código secuencial (Amdahl)

- la creación/asignación de procesos- la computación extra: variables de

control, identificación de procesos, cálculos adicionales…

- la comunicación (para memoria distribuida)

- la sincronización- los desequilibrios de carga



Estudio del algoritmo a priori

Antes de hacer el programa correspondiente.

Sirve para identificar si el algoritmo es adecuado para el problema, o para seleccionar entre varios algoritmos.

También sirve para determinar el tamaño de los problemas a resolver en función de las limitaciones de tiempo y memoria.



Estudio a posteriori

Tras haber hecho el programa.

Sirve para comparar entre dos programas según el tamaño de entrada.

También para encontrar fallos o posibles mejoras de un programa.

Estudio teórico (a priori o posteriori) y estudio experimental (a posteriori).



Tipos de estudios teóricos:

Tiempo de ejecución (ej. ordenación)- caso más favorable, cota inferior:

tm (n)

- caso más desfavorable, cota superior: tM (n)

- caso promedio:tp (n)

S

p pntnt

,

donde:

n es el tamaño de la entrada es una entrada de las S posibles

entradas



Tipos de estudios teóricos:

Ocupación de memoria

- caso más favorable, cota inferior: mm (n)

- caso más desfavorable, cota superior: mM (n)

- caso promedio:mp (n)

S

p pnmnm

,

donde:

n es el tamaño de la entrada es una entrada de las S posibles

entradas



Conteo de instrucciones

- decidir qué instrucciones/operaciones (flop) se quieren contar.- asignar costes a instrucciones de cada tipo.- una función: coste de las instrucciones que la componen.- bucles: mediante sumatorios o cotas superior e inferior si no se conoce el número de veces que se ejecutará.- bifurcaciones: contar el número de veces que pasa por cada rama, o establecer una cota superior (rama más costosa) o una inferior (rama menos costosa).



Conteo de instrucciones (caso promedio)

k número de instrucciones del programa

tp (n,i) número promedio de veces que la instrucción i se ejecuta para una entrada de tamaño n

k

i pp intnt1

,

1,,

jp jjipint

p (i,j) probabilidad de que la instrucción i se ejecute j veces



Notación asintótica

Dado que lo que interesa es saber cómo se comporta el algoritmo cuando crece el tamaño de la entrada (tamaños grandes), ya que es cuando podemos tener problemas de tiempo, se suelen utilizar notaciones asintóticas.

Acotan la forma en que crece el tiempo de ejecución cuando el tamaño de la entrada tiende a infinito, sin tener en cuenta las constantes que le afectan.



Acotar superiormente, orden de f:

nfkntennNnkNtefO :,,/: 00

Acotar inferiormente, omega de f:

nfkntennNnkNtef :,,/: 00

Acotar sup. e inferiormente, orden exacto de f: nflntenfknnNnlkNtef :,,,/: 00



A nivel práctico, a veces interesa no perder la información de las constantes del término de mayor orden:

1lim/:nf

nteNtefo

n

nnOnOnOnOO loglog1

nn nOnOOnOnOnnnO !2...loglog 32

Algunas relaciones entre órdenes:



Factores que afectan al tiempo de ejecución de un programa paralelo:

pntpntpntpntpnt goverlappinoverheadcomcalc ,,,,,

Estimación del tiempo de ejecución real

pntcom ,

pntcalc , Conteo de instrucciones

¿?



Tiempo de comunicación punto a punto entre dos procesadores:

nttt wscom

paqwspaq

menspaqwscom Ltt

L

LLttdt

1

Tiempo de comunicación de un mensaje dividido en paquetes a distancia d:

En general, conviene agrupar mensajes (full duplex?, red conmutada?, Ethernet…)



Ejemplo: suma de n números

s = a[0];for(i=1; i<n; i++) s = s + a[i];

Tiempos de la versión secuencial:

- conteo de instrucciones: t(n) = tcalc(n) = 2n - 1

- conteo de operaciones: t(n) = tcalc(n) = n - 1



Ejemplo: suma de n números (memoria compartida)- una versión paralela con n/2 procesos

doall pid = 0, n/2-1 {

ini = 2 * pid;des = 1;act = true;for (k=1; k++; k <= log n) {

if (act) {a[ini] = a[ini] + a[ini+des];des = des * 2;

}if ((i mod des)!=0) act = false;

}}



Ejemplo: suma de n números (memoria compartida)- una versión paralela con n/2 procesos (memoria compartida):

0 1 2 3 4 5 6 7 k = 1

0, 1 2, 3 4, 5 6, 7 k = 2

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 k = log n

0, 1, 2, 3 4, 5, 6, 7 …



Ejemplo: suma de n números (memoria compartida)

Problemas:- distribución del trabajo entre procesos- overheads = variables auxiliares,

comprobaciones…- ley de Amdahl

Tiempos de la versión paralela (mem. compartida):

- conteo de instrucciones: tcalc(n, n/2) = 3 + 6 log n

- conteo de operaciones: tcalc(n, n/2) = log n

(+ sincronización tras cada iteración)



Ejemplo: suma de n números (memoria distribuida)- una versión paralela con n/2 procesos

doall Pi, i = 0, n/2-1 {des = 1;

act = true; for (k=1; k++; k <= log n -1) {

if (act) { a = a + b;

des = des * 2; if ((i mod des)!=0) {

act = false;Envia (a, Pi-des/2);

}else Recibe (b, Pi+des/2);

} } if (i = 0) a = a + b;}



Ejemplo: suma de n números (mem. distribuida)

Problemas:- añade la comunicación y su

gestión, cuyo coste puede influir más o menos

Tiempos de la versión paralela (mem. distribuida):

- instrucciones: tcalc(n, n/2) = 4+6 (log n -1)

- operaciones: tcalc(n, n/2) = log n

- comunicación: tcom(n, n/2) = (log n -1) (ts + tw)

(suponiendo comunicaciones directas y en paralelo)



Ejemplo: suma de n números (mem. distribuida)

speed-up para n=64 y p=32 según relación entre ts, tw y topsistema intrucciones flops

mem. compartida 4.70 10.50

mem. distribuida

ts = tw

tw = top

2.89 3.94

mem. distribuida

ts = 2 tw

tw = 2 top

1.98 1.75

mem. distribuida

ts = 10 tw

tw = 10 top

0.22 0.11



Algunas conclusiones:

- No tiene sentido suponer p ilimitado para una entrada constante (eliminar la restricción n = 2p), n y p deben ser independientes.

- No tiene sentido utilizar programación paralela para resolver problemas pequeños. Mejor resolverlos secuencialmente. En el ejemplo, el coste es lineal, y, por tanto, no es adecuado.

- Dependiendo de la plataforma, un programa derivado de un algoritmo puede proporcionar unas prestaciones muy diferentes.



Medidas de prestaciones:

- Speed-up pnt

ntpnS

,,

1log

1,

ppn

npnS

Ejemplo: suma de n números (instr./flops)- Memoria compartida

- Memoria distribuida

ws ttpp

pn

npnS

1log1log

1,

p

pn

npnS

log62

12,

ws ttpp

pn

npnS

1log4log62

12,



pppn

npnE

log

1,

Ejemplo: suma de n números (flops)- Memoria compartida

- Memoria distribuida ws ttpppppn

npnE

1loglog

1,


- Eficiencia pntp

nt

p

pnSpnE

,*

,,




- Coste

- Función overhead:

pntppnC ,*,

ntpntpntpnCpntover ,*,,

pppnpnC log,

Ejemplo: suma de n números (flops)- Memoria compartida

- Memoria distribuida

1log, ppppntover

ws ttpppppnpnC 1loglog, 1log, ppppntover



EscalabilidadQue se mantengan las prestaciones al aumentar p y el tamaño del problema.

Función de isoeficienciaIndica la forma en la que debe aumentar el tamaño de la entrada en función del tamaño del sistema para mantener las prestaciones (despejar n en función de p).

K

ntpnt

nt

pnC

nt

pntp

ntpnE

over

,,,*

,

pntKpntK

Knt overover ,',

1



Ejemplo: suma de n números (flops)Memoria compartida- manteniendo proporcional el coste del secuencial a la función overhead:

pntpppnnt over ,1log1

- comparando los términos de mayor orden: I(p) = p log pMemoria distribuida- manteniendo proporcional el coste del secuencial a la función overhead:

ws ttpppppn 1log1log1

- comparando los términos de mayor orden: I(p) = p log p



Ejemplo: suma de n números (flops)

- en ambos casos I(p) = p log p

Incremento de procesadores 4 a 16 16 a 64 64 a 256

Aumento de tamaño del problema necesario para mantener la eficiencia

8 6 5.33

11

22

log

log

pp

pp


Índice

1. Introducción.2. Análisis de algoritmos.

3. Metodología de desarrollo de programas paralelos.

4. Esquemas de algoritmos paralelos.5. Problemas numéricos. Librerías.


Metodología 364

Es diferente paralelizar un algoritmo o programa secuencial, que programar en paralelo una aplicación desde el comienzo.

En el primer caso, interesa detectar aquellas partes del código con un mayor coste computacional.

Lo más habitual es utilizar trazas, timers, profiling, etc., y ejecutar en paralelo aquellas partes que ofrecen un buen rendimiento (por ejemplo, paralelismo incremental de OpenMP).


Metodología 374

En el segundo caso, se empieza analizando las carac-terísticas de la propia aplicación, para determinar el/los algoritmos paralelos más adecuados.OJO: conviene partir de un buen algoritmo ya optimizado (¡no hay que reinventar la rueda!).

Aunque no hay un “camino único”, se suele recomendar utilizar un determinado procedimiento o metodología.


Metodología 384

La programación paralela añade, respecto a la programación secuencial, una serie de aspectos a tener en cuenta:

- Concurrencia (sincronización, comunicación).

- Asignación de datos y código a procesadores.

- Acceso simultáneo a datos compartidos (sincronización).

- Escalabilidad.


Metodología 394

Otra diferencia entre la programación secuencial y la paralela es la forma en que los módulos que componen una aplicación se pueden ensamblar:

- Composición secuencial: los módulos se ejecutan secuencialmente.

- Composición paralela: diferentes módulos se ejecutan simultáneamente sobre conjuntos disjuntos de procesos (escalabilidad y localidad).

- Composición concurrente: diferentes módulos se ejecutan concurrentemente sobre los mismos procesos (solapamiento computación y comunicación).


Metodología 404

PROBLEMAParticionado

Comunicación

Aglomerado

Mapeado

Modelo PCAM


Metodología 414

PROBLEMAParticionado

Comunicación

Aglomerado

Mapeado

Descomposición (tareas+comunicación)

Asignación (tareas a procesos)

Modelo PCAM


Metodología 424Descomposición

La descomposición consiste en dividir el cálculo en partes de menor tamaño que vamos a denominar tareas, con el objetivo de ejecutarlas en paralelo.

Según el tamaño (coste computacional) de las tareas se habla de:

- granularidad fina (muchas tareas pequeñas).- granularidad gruesa (pocas tareas grandes).



En esta fase es fundamental tener en cuenta las dependencias entre las tareas y reflejarlas en un grafo de dependencias para poder estimar las necesidades de sincronización y estructura de comunicación que hay entre las tareas.

Es deseable obtener un número suficientemente alto de tareas (grano fino) para tener más flexibilidad en la fase de asignación.



Ejemplo 1: Evaluación polinomialSe trata de evaluar, para un valor x = b, m funciones polinomiales de grado n f

i (x) con i=0,…,m-1; y obtener el valor mínimo.

Un posible reparto es asignar una tarea a la evaluación de cada polinomio (o conjunto de polinomios) y luego ir calculando el mínimo entre las tareas.



Ejemplo 1: Evaluación polinomialVeamos dos grafos de dependencias entre las tareas (para el caso de 4 polinomios), con sus costes computacionales (cc=5 para evaluar y cc=1 para calcular el mínimo):

f1(b)5

f0(b)5

f2(b)5

f3(b)5

min1

min1

min1

(a)f1(b

)5f0(b

)5f2(b

)5f3(b

)5

min1

min1

min1

(b)



Mediante el grafo de dependencias se puede establecer el máximo grado de concurrencia de un algoritmo.Para caracterizar el paralelismo potencial de un algoritmo se suele calcular el grado medio de concurrencia (gmc), es decir, el número medio de tareas que se podrían ejecutar en paralelo.gmc

N

iinodocc

Lgmc

1

)(1 gmc(grafo a) = 23/7 = 3,28

gmc(grafo b) = 23/8 = 2,875L: long. camino crítico

cc: coste computacional



Para el ejemplo 1 (evaluación polinomial) el grafo con la estructura de comunicación necesaria para el caso de paso de mensajes sería:

f1(b)5

f0(b)5

f2(b)5

f3(b)5

min1

min1

min1

Lectura+reparto

44 4

4

1 1 1 1

1 1 Patrón de comunicación(recursiva)



Algunas técnicas de descomposición

- Descomposición de dominio (salida/entrada/bloques)- Descomposición funcional (flujo de datos)- Descomposición recursiva

- Descomposición exploratoria- Descomposición especulativa




- Descomposición de dominio- Centrada en los datos de salida

Ejemplo 2: diferencias finitas Jacobi

8

4 )(1,

)(1,

)(,1

)(,1

)(,)1(

,

tji

tji

tji

tji

tjit

ji

XXXXXX

Patrón de comunicación




- Descomposición de dominio- Centrada en los datos de entrada

Ejemplo 3: Producto escalar de dos vectoresProducto escalar de vectores de longitud n con p tareas

1

0

p

pidpidpepe

1)1(

p

npid

p

npidj

jjpid yxpe

Suma final patrón recursivo (≈ ejemplo1)




- Descomposición de dominio- Basada en bloques (algoritmos matriciales)

Ejemplo 4: Multiplicación matriz-vector (x=Ab)Producto matriz-vector con 2 tareas

A0

1

A0

0

A1

0

A1

1

b0

b1

x0

x1

× =tarea 0tarea 1

A0

1

A0

0

A1

0

A1

1




- Descomposición funcionalDirigida por el flujo de datos, se identifican las partes funcionales del cálculo y se asocian con tareas. Luego se hace un análisis del solapamiento de datos y del flujo de datos entre tareas para validar o no la división planteada.

Ejemplo 5: Filtrar una lista de enterosSe desea encontrar aquellos números de una lista (longitud n) que sean múltiplos de todos los números primos pertenecientes a otra lista (longitud m, m<<n)

múltiplode 3?

múltiplode 5?

múltiplode 7?

listaentrada

listasalida

tarea 0 tarea 1 tarea 2

Otros diagramas de flujo




- Descomposición recursiva

- aplicación de la técnica divide-y-vencerás.- se generan subproblemas que son instancias del original pero independientes entre sí.

- se sigue dividiendo hasta que no merezca la pena.

- al final, combinación de resultados.- esquema de planificación adecuado: granja de tareas (estructura de datos compartida).




- Descomposición recursiva

Ejemplo 6: Integración numérica por cuadratura adaptativaSe desea aproximar numéricamente el valor de una integral, es decir, el área bajo la curva de una función.Objetivo: una precisión determinada. No se conocen a priori el número de iteraciones y hay que definir un criterio de parada.




- Descomposición exploratoria- problemas de búsqueda de soluciones en un espacio de estados.- ir descomponiendo el espacio de búsqueda en partes de menor tamaño para irlas asignando a tareas diferentes.- normalmente se estructura el espacio de búsqueda en forma de árbol.- el criterio de parada puede ser cuando se encuentra la primera solución o cuando se han explorado todos los nodos del árbol.




- Descomposición exploratoria

Ejemplo 7: Suma del subconjunto

Se trata de encontrar las posibles combinaciones de números pertenecientes a un conjunto determinado tales que la suma de los mismos valga un valor s concreto.

Se puede plantear como un algoritmo de búsqueda en el que se van seleccionando los diferentes elementos del conjunto determinando los subconjuntos cuya suma tiene un valor de s.




- Descomposición exploratoria

Ejemplo 7: Suma del subconjunto

----

0---

00-- 01--

1---

tarea i tarea j

ojo, reparto de trabajo!




- Descomposición especulativa- en este tipo de descomposición se

adelanta cálculo que hay que realizar selectivamente (todas las ramas o las estimadas más probables) para reducir el tiempo medio de respuesta.

Entrada

Cálculo selección

Cálculo tipo1

Cálculo tipo2

Cálculo tipoX

… Salida




- Enfoques mixtos

En muchas ocasiones hay que aplicar diferentes esquemas de descomposición para extraer paralelismo en diferentes fases de procesamiento de una aplicación.

En el ejemplo 1 –evaluación polinomial– hemos aplicado descomposición de dominio para realizar la evaluación de los polinomios y descomposición recursiva para calcular el mínimo de las evaluaciones.




- Enfoques mixtos

Caso meteorológico/climático

> Paralelismo de datos > Paralelismo de función



Factores a considerar en la descomposición- Características de las tareas

-- Creación estática/dinámicaSegún se conozcan a priori las tareas a realizar (ejemplo 2 – jacobi) o se vayan generando durante la ejecución del programa (ejemplo 6 – integración numérica).




-- Número de tareas obtenidasDebería de ser suficientemente grande para facilitar la fase de asignación de tareas.Aconsejable obtener un orden de magnitud más de tareas que de procesadores (si la aplicación lo permite).Es importante que el número de tareas escale con el tamaño del problema.




-- Tamaño de las tareas

Interesa que el coste (computacional) de las diferentes tareas sea similar y se pueda estimar a priori (esto dependerá del problema), para evitar problemas de load-balancing durante el reparto a procesadores.




-- Tamaño de las tareas

Esto es fácil en los ejemplos 1, 2 y 3 –evaluación polinomial, jacobi y producto escalar– pero no lo es para el ejemplo 7 –suma del subconjunto– si se aplican técnicas de poda.




-- Replicación de datos/cálculoConviene evitar que las tareas compartan mucho cálculo o datos del problema.

-- Tamaño y localización de los datos asociados a cada tareaDeben ser accesibles por el proceso que ejecuta esa tarea (fase de asignación) y hay que evitar una sobrecarga por cálculo y/o comunicación.



Factores a considerar en la descomposición- Patrones de comunicación entre tareas

-- Patrones locales/globalesUn patrón de comunicación se dice que es local cuando cada tarea interacciona sólo con un subconjunto pequeño de tareas (vecinas).Se utiliza el grafo de dependencias para determinar las necesidades de comunicación o sincronización.




-- Patrones locales/globalesEl ejemplo 2 –jacobi– es un caso de patrón local de comunicación.




-- Patrones locales/globalesUn patrón de comunicación se dice que es global cuando múltiples tareas aportan datos para realizar un cálculo en paralelo. Ejemplo 3 – producto escalar.

Comunicación global (centralizado) Distribución de cálculo y comunicación

Descomp. recursiva




-- Patrones estáticos/dinámicosEn los estáticos se conoce a priori qué tareas y cuándo se comunican.Los ejemplos 1, 2 y 3 –eval. polinomial, jacobi y producto escalar– tienen patrones de comunicación estáticos.Sin embargo, en el ejemplo 6 –integración numérica– no se sabe a priori cuándo se va a producir la actualización del área global, ya que depende de la función que se esté integrando.




-- Patrones regulares/irregularesSe habla de patrón regular cuando la comunicación presenta una topología espacial. Los patrones regulares simplifican la etapa de asignación y programación en el modelo de paso de mensajes.En el ejemplo 2 –jacobi– la comunicación se realiza entre las cuatro tareas vecinas en la malla.El ejemplo 6 –integración numérica– presenta un patrón de comunicación irregular.



Factores a considerar en la descomposición- Patrones de comunicación entre tareas-- Datos compartidos de lectura/lectura+escritura

-- Comunicación unilateral/bilateralEn la comunicación unilateral la comunicación de una tarea con otra tarea (productora) se hace sin interrumpirla; sin embargo, en la bilateral la comunicación se hace de forma explícita entre la tarea productora y la tarea que precisa de los datos.En el modelo de paso de mensajes la comunicación unilateral se convierte en bilateral, y con patrón irregular, la dificultad aumenta (ejemplo 9 –suma del subconjunto 9– con poda).


Metodología 724Asignación

Tras la fase de descomposición se obtiene un algoritmo paralelo de grano fino, independiente de la plataforma paralela que se vaya a usar para su ejecución.La fase de asignación es en la que se decide qué tareas agrupar y en qué unidades de procesamiento se va a ejecutar cada tarea y en qué orden. Por ello, es en esta fase en la que se tienen en cuenta aspectos de la plataforma paralela como: número de unidades de procesamiento, modelo de memoria compartida o paso de mensajes, costes de sincronización y comunicación, etc.



Agrupamiento y replicación en la asignación

Mediante el agrupamiento de tareas se consigue minimizar el volumen de datos a transferir entre las tareas y se reduce el número de interacciones entre ellas (también se suelen agrupar mensajes).

La replicación de datos y de cómputo/comunicación también se utilizan para reducir el tiempo de ejecución. ¡Ojo! Limitan la escalabilidad de la aplicación.



En esta fase se asocian las tareas a los procesos (entidades abstractas capaz de ejecutar cálculo) y no a los procesadores (entidad física, hardware) para mantener un mayor nivel de abstracción que aumente la flexibilidad del diseño.

Será en las últimas fases de implementación del algoritmo cuando se asignen los procesos a procesadores (normalmente, uno a uno).



Objetivos de la asignación:

- Reducir el tiempo de computación.- Minimizar el tiempo de comunicación.- Evitar el tiempo de ocio (por mal reparto de carga o por esperas en sincronizaciones/comunicaciones).

Dos tipos generales de esquemas de asignación:- Asignación estática (técnicas de

planificación deterministas).- Asignación dinámica.



Asignación estática

Cuando se conoce o se puede estimar a priori el coste computacional de las tareas y las relaciones entre ellas, y, por tanto, se decide a priori qué unidad de proceso ejecutará cada tarea.

El problema de asignación estática óptima es NP-completo técnicas heurísticas.

La gran ventaja frente a los dinámicos es que no añaden ninguna sobrecarga en tiempo de ejecución.



Asignación dinámica

Se utiliza cuando las tareas se generan dinámicamente (ejemplo 6 –integración numérica–), o cuando no se conoce a priori el tamaño de las tareas (ejemplo 7 –suma del subconjunto– con poda).

Es más compleja que la estática: ¿cómo redistribuir el trabajo en tiempo de ejecución?



Esquemas de asignación estática

Algunos se centran en métodos para descomposición de dominio (distribuciones de matrices por bloques, diferencias finitas en una malla bidimensional…).

Otros se centran en métodos sobre grafos de dependencias estáticas (normalmente obtenidas mediante descomposición funcional o recursiva).



Esquemas de asignación dinámica

Cuando se aplican descomposiciones recursivas o exploratorias suele ser más adecuado utilizar esquemas de asignación dinámica.

Uno de los problemas a afrontar es la necesidad de un mecanismo de detección de fin de trabajo.




- Esquemas centralizados: maestro – esclavos

MaestroColección de subproblemas

Esclavo 0

Subproblemas

Petición de subproblemas / Resultados

Esclavo 1 Esclavo p-1…




- Esquemas centralizados: maestro – esclavos

Adecuado con un número moderado de esclavos y cuando el coste de ejecutar los subproblemas es alto comparado con el coste de obtenerlos.Algunas estrategias para mejorar la eficiencia (reduciendo la interacción entre maestro y esclavos):

- Planificación por bloques.- Colecciones locales de subproblemas.- Captación anticipada (solapar cálculo y

comunic.).Fácil determinación de fin (en el maestro).




- Esquemas completamente descentralizadosNo existe un proceso maestro; los subproblemas se encuentran distribuidos por todos los procesos.

Proceso iColección de subproblemas

Proceso jColección de subproblemas

Proceso kColección de subproblemas




- Esquemas completamente descentralizados

El equilibrio de carga es más difícil y requiere poder transferir subproblemas a procesos ociosos (cuántos?): - Transferencia iniciada por el receptor (sondeo aleatorio, sondeo cíclico…) - Transferencia iniciada por el emisor (cargas bajas)

La detección de fin es más compleja (algoritmo de terminación de Dijkstra…)


Índice


paralelos.

4. Esquemas de algoritmos paralelos.

5. Problemas numéricos. Librerías..


Esquemas de algoritmos paralelos 854

Un esquema algorítmico es un patrón común a la resolución de distintos problemas.

En el caso paralelo se encuentran versiones paralelas de esquemas secuenciales, esquemas que son propiamente paralelos (maestro-esclavo, granja de procesos…) o esquemas que son adecuados para ciertos sistemas o topologías paralelas o para esquemas concretos de descomposición/asignación vistos en el apartado anterior.



Paralelismo de datos (bucles)Normalmente en memoria compartida trabajando distintos threads o procesos sobre una estructura de datos común pero en zonas diferentes.

Algunos ejemplos:- Suma de n números- Ordenación por rango- Evaluación polinomial (ejemplo 1)- Multiplicación matriz-vector (ejemplo 4)- Integración numérica (ejemplo 6)



Particionado de datosEs una especie de paralelismo de datos con paso de mensajes.La diferencia está en que no sólo se reparte el trabajo sino que hay que distribuir los datos entre los procesos. Por tanto, hay que tener en cuenta las necesidades de comunicación entre procesos (y la topología sobre la que se trabaja).

Los mismos ejemplos que en el paralelismo de datos se pueden programar mediante el particionado de datos.



Esquemas en árbol y grafo

Muchos problemas tienen una representación en forma de árbol (por ejemplo, la suma de n números).Este tipo de problemas se resuelven asignando el trabajo de diferentes nodos a distintos procesos, de manera que la carga esté equilibrada.Para minimizar sincronizaciones/comunicaciones la asignación habrá que hacerla de manera que se minimice el número de arcos entre nodos asignados a procesos distintos.Algunos ejemplos: barreras en árbol, mergesort…




Algoritmos de ordenación, de cálculo de máximos...(en general, “búsquedas” de algún tipo en grandes cantidades de datos)-- reparto de las tareas entre los procesadores, que procesarán localmente un subconjunto de los datos.-- puede haber algo de comunicación, durante el proceso de los datos o al final del mismo.




Interacciones entre N cuerpos (the N-body problem)

Cálculo de la posición y velocidad de cuerpos en el espacio (o de partículas cargadas...).

F = G (M1M2/R2) → F = m Δv/Δt → Δx = v Δt

Cálculo de orden O(N3) → en paralelo, muchos mensajes, ya que todos los cuerpos interaccionan con todos en cada iteración de la simulación.




Interacciones entre N cuerpos (the N-body problem)

Reducir la comunicación mediante técnicas de clustering.

Un grupo de cuerpos se considera como uno solo situado en el centro de masas si se cumple, por ejemplo, que r > d / .

dr



Algoritmos relajados o paralelismo “obvio” (embarrassingly parallel)

El cálculo de cada proceso es independiente por lo que no hay sincronización ni comunicación, excepto, quizás, al comienzo y al final.Algunos ejemplos: suma de n números, ordenación por rango, multiplicación matrices, el ejemplo 6 de integración numérica (si se determina el número de subintervalos y el reparto entre los procesos).

Otros ejemplos



Algoritmos relajados o paralelismo “obvio”

Procesado de imagen> desplazamiento: (x, y) → (x+Δx, y+Δy)> escalado: (x, y) → (x*Sx, y*Sy)> rotación: x → x cos + y sen

y → -x sen + y cos > recorte (clipping): borrar fuera de un área

Reparto de tareas: por filas, columnas, bloques...




Cálculo de funciones tipo “Mandelbrot”

> Iteración de una función con los puntos de una determinada área hasta que se cumpla cierta condición.

Por ejemplo: Zk+1 = Zk2 + C

(complejos)

hasta que |Zk| > 2

Reparto de puntos independientes; la asignación de tareas podría ser dinámica.




Procesos tipo “Montecarlo” (aleatoriedad)

Selección aleatoria de puntos para procesar una determinada función.

xx

x x

x

xPor ejemplo, cálculo de pi como la relación de áreas entre un cuadrado y un círculo.

Problemas con la generación de números aleatorios.



Computación pipeline o segmentada

El problema se divide en una serie de etapas.Cada etapa se ejecuta, por ejemplo, en un procesador, y pasa resultados a la siguiente.

Es un tipo de descomposición funcional, relacionado con la repetición del mismo proceso sobre una serie larga de datos (p.e., en tiempo real: procesado de vídeo).

f1 f2 f3 f4




Condiciones:-- que se ejecute más de una vez el mismo problema.-- que se procese una serie larga de datos.-- que se pueda pasar datos a la siguiente fase mucho antes del final del cálculo de cada fase.-- que el tiempo de proceso asociado a cada fase sea similar (load balancing).

Topología ideal: cadena / anillo.




Normalmente no se genera un número muy elevado de procesos.

Algunos ejemplos:-- procesado de señal (sonido, vídeo...)-- simulaciones de procesos segmentados (computación)



Paralelismo síncrono

Es el caso más habitual. Dos tipos: -- paralelismo de datos-- procesos iterativos

Hay que sincronizar los procesos, bien al final de una operación o bien al final de una iteración.

Lo más habitual es que la sincronización sea global (p.e., al final de cada iteración, para decidir si seguir o parar). La implementación de la barrera debe ser eficiente.




La sincronización / comunicación entre procesos añade problemas:

-- carga añadida al tiempo de cálculo → reducción del speed-up.

-- posibles problemas con el reparto equilibrado de tareas (load balancing).

-- posibles deadlocks.




Como siempre, hay que intentar reducir las necesidades de comunicación.

Un ejemplo: una determinada aplicación procesa una matriz de N×N elementos entre P procesadores. Durante la ejecución, los procesos necesitan intercambiarse los datos de “la frontera”. ¿Cuál es el reparto más adecuado de los datos de la matriz, por filas/columnas o por bloques?




Total de comunicación:

2 veces N elementos 4 veces N / P1/2 elementosTiempo de comunicación (send + receive):

Tcol = 4 × (ti + te × N) Tblo = 8 × (ti + te × N/P1/2)

N/P1/2

N/P1/2N

N/P




Tcol > Tblo → ti / te < N × (1 - 2/P1/2)

0

50

100

150

1 10 100 1000

ti / te

P

N = 32

N = 64

N = 128

ti grande, mejor por columnas

ti pequeño, mejor por bloques




Otros ejemplos:

-- Resolución de un sistema de ecuaciones por el método iterativo de Jacobi (ejemplo 2).-- Difusión de calor en un determinado medio físico.-- Autómatas celulares.-- Multiplicación de matrices por el método Cannon.-- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por métodos iterativos.-- El juego de la vida (problemas de simulación).




-- Resolución de un sistema de ecuaciones por el método iterativo de Jacobi

8

4 )(1,

)(1,

)(,1

)(,1

)(,)1(

,

tji

tji

tji

tji

tjit

ji

XXXXXX

> Diferencias finitas: Jacobifácil de paralelizar

8

4 )(1,

)1(1,

)(,1

)1(,1

)(,)1(

,

tji

tji

tji

tji

tjit

ji

XXXXXX

Gauss-Seidel: más eficiente, más complejo

“Red/black” una alternativa



Paradigma maestro-esclavoThread/proceso maestro que se encarga de poner en marcha los esclavos dándoles trabajo y recopilando las soluciones que van calculando.

Granja de procesosConjunto de procesos que trabaja de manera conjunta pero independiente en la resolución de un problema (similar al de los algoritmos relajados). Similar a maestro-esclavo, pero los procesos hacen un trabajo idéntico.

Trabajadores replicadosLos workers son capaces de generar nuevas tareas que pueden ejecutarlas ellos mismos y otros workers. Es una versión descentralizada (control de finalización!).


Índice


paralelos.4. Esquemas de algoritmos paralelos.

5. Problemas numéricos. Librerías.


Problemas numéricos. Librerías 1084

La computación paralela está ligada al desarrollo e implementación de algoritmos numéricos, principalmente los matriciales.

Por ello, el estudio de la implementación paralela de algoritmos numéricos paralelos y de las librerías numéricas matriciales paralelas es necesario para el aprendizaje de la programación paralela.



Las primeras aplicaciones de la computación paralela fueron la aceleración de todo tipo de algoritmos numéricos, especialmente los matriciales.

La regularidad de las estructuras matriciales las hace especialmente adecuadas para su procesamiento paralelo.

Los problemas que se tratan suelen ser de gran dimensión o problemas cuya respuesta debe obtenerse en tiempo real.



Se han desarrollado numerosas librerías orientadas a conseguir altas prestaciones (speed-up, eficiencia, escalabilidad…).

Su legibilidad, portabilidad y eficiencia ha permitido no tener que reescribir gran cantidad de código.

Sin embargo, desarrollar algoritmos matriciales paralelos eficientes y precisos no suele ser una tarea trivial (p.e., eficiencia versus estabilidad numérica).



Dos problemas tipo (muchos de los problemas se reducen a éstos):

- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Ax = b

- Cálculo de valores y vectores propios

Ax = λx



A su vez, estos problemas suelen utilizar en sus cálculos productos escalares de vectores, productos matriz-matriz, producto vector-matriz, etc.

Por ello se puede abordar el análisis computacional con una visión de niveles, diseñando rutinas sencillas pero eficientes que resuelvan estos cálculos matriciales (nivel de núcleo) para utilizarlas en un nivel más alto (nivel de librería).



Los problemas matriciales que se suelen resolver mediante técnicas paralelas, normalmente, tienen una característica clave para poderlos afrontar de una manera eficiente:

Matrices de gran tamaño y con algún tipo de estructura.

El tamaño de las matrices (104x104, 105x105) plantea problemas en cuanto al coste de computación –suelen ser algoritmos de O(n3)–, y en cuanto a la cantidad de memoria necesaria –normalmente datos de doble precisión, una matriz de 105x105 son 74 GB–.



En cuanto a la estructura, se pueden clasificar en:

- Matrices densascon un patrón aleatorio en cuanto a

valores y posiciones en la matriz

- Matrices dispersascon un número elevado de

elementos con valor cero- Matrices estructuradas

la posición de los elementos no nulos de la matriz sigue un patrón concreto




- Matrices estructuradasAlgunos ejemplos: matriz banda

c

f0’s

0’s

cijsifjisijiAA 0,:




- Matrices estructuradasOtros ejemplos:

Matriz de tipo Toeplitz

gfjisigfTjiT ,,

3 4 5 18 3 4 56 8 3 49 6 8 3

Matriz de tipo Hankel

gfjisigfHjiH ,,

3 4 5 14 5 1 25 1 2 71 2 7 8



Núcleos computacionales y librerías

Los núcleos computacionales son un conjunto de funciones o subprogramas que resuelven operaciones vectoriales y/o matriciales sencillas: producto escalar, suma vectores, producto matriz-vector…

Las librerías están constituidas por un conjunto de rutinas que resuelven problemas de más alto nivel utilizando los núcleos computacionales.



Núcleos computacionales: BLAS

Basic Linear Algebra Subprograms http://www.netlib.org/blas/

BLAS 1 (1973)Programada en Fortran77, sólo cubría operaciones elementales de complejidad O(n), p.e.: producto escalar de vectores, suma de vectores con escalado: y = ax + yEn la optimización de código para arquitecturas vectoriales BLAS 1 puede ser un problema ya que oculta al compilador la naturaleza de las operaciones matriz-vector impidiendo su optimización.




BLAS 2Cubre un conjunto de operaciones sencillas de tipo matriz-vector. Son operaciones de O(n2) del estilo:

y = aAx + by (A matriz, x e y vectores, a escalar)

A = axyT + A, × = A-1x (con A triangular superior)




BLAS 3Para computadores con jerarquía de memoria, la descomposición por bloques manteniendo el cálculo matricial es mejor que la descomposición matriz-vector, ya que se consigue una mayor reutilización de los datos en la memoria cache (o memoria local).BLAS 3 cubre estas necesidades implementando operaciones tales como:

C = aAB + bC, C = aAAT + bC, B = aT-1B (con T triangular)



Librería LAPACK

http://www.netlib.org/lapack/

Escrita inicialmente en Fortran77; también puede invocarse desde C.

Surge como una fusión mejorada de las librerías LINPACK (resolución de ecuaciones lineales) y EISPACK (cálculo de valores propios).



Librería LAPACK

Está compuesta de subrutinas para resolver sistemas de ecuaciones lineales, problemas de mínimos cuadrados lineales, y problemas de valores propios y valores singulares.

También contiene las descomposiciones que permiten resolver los problemas anteriores: LU, Cholesky, QR, SVD,…).



Librería LAPACK

Utiliza sobre todo el núcleo BLAS 3. De este modo los fabricantes pueden proporcionar versiones nativas de BLAS y conseguir muy buenas prestaciones para LAPACK.

Sirve para matrices densas y banda, pero no para dispersas. Para datos reales y complejos de simple y doble precisión.



Librería LAPACK

Contiene tres tipos de rutinas:

> Rutinas driver: resuelven un problema completo (cálculo de valores propios de una matriz simétrica, resolución de un sistema de ecuaciones lineales…).

> Rutinas computacionales: resuelven cálculos como las factorizaciones matriciales (descomposición QR, descomposición LDLT…), reducción de una matriz a la forma diagonal, etc.



Librería LAPACK

Contiene tres tipos de rutinas:

> Rutinas auxiliares: realizan subtareas de los algoritmos orientados a bloques; se pueden considerar como extensiones de BLAS.

Documentación en working notes (buena fuente de aprendizaje de diseño de algoritmos numéricos matriciales eficientes.http://www.netlib.org/lapack/lawns/downloads/



Librería ScaLAPACK

http://www.netlib.org/scalapack/

Es la versión para memoria distribuida de la librería LAPACK. Aparece a finales de los 90 y contempla redes de computadores y paralelos heterogéneos.

Resuelve problemas de álgebra lineal numérica: sistemas de ecuaciones lineales, problemas de mínimos cuadrados y problemas de valores propios.



Librería ScaLAPACK

Portable a cualquier computador en el que esté instalado MPI, y está escrito siguiendo el modelo SPMD.

Trabaja con matrices que están distribuidas por los procesadores mediante una distribución cíclica por bloques, y sirve para matrices densas y banda, no para dispersas.

Los tipos de datos que contempla son reales y complejos de simple y doble precisión.



Librería ScaLAPACK

Se basa en el núcleo PBLAS (Parallel Basic Linear Algebra Subroutines), que es una extensión de BLAS para el modelo de paso de mensajes. Al igual que BLAS, está organizada por niveles (PBLAS 1, PBLAS 2 y PBLAS 3).

Para el diseño de PBLAS se diseñó otro paquete núcleo computacional especializado en las comunicaciones denominado BLACS (Basic Linear Algebra Communications Subroutines), que a su vez utiliza MPI.



Librería ScaLAPACK

Global

LocalLAPACK

BLAS

BLACS

Primitivas de paso de mensajes(MPI, PVM…)

PBLASScaLAPACK

http://www.netlib.org/




Programación Paralela

• F. Almeida et al: Introducción a la programación paralela.Paraninfo, 2008.

• I. Foster: Designing and Building Parallel Programs.Addison Wesley (version on-line).

• B. Wilkinson, M. Allen: Parallel Programming Techniques and Applications… Pearson, 2005 (2. ed.).

• M.J. Quinn: Parallel Programming in C with MPI and OpenMP.McGraw Hill, 2003.

• A. Grama, A. Gupta, G. Karypis, V. Kumar: Introduction to Parallel Computing (2. ed.). Pearson, 2003.

Referencias

Documents

L aboratorio de P aralelismo IF - EHU. 4. T IPOS DE P ROBLEMAS P ARALELOS. M ETODOLOGÍA DE D ESARROLLO DE P ROGRAMAS P ARALELOS