Lucrarea 2

1

Lucrarea 2 SPECTRUL SEMNALELOR PERIODICE2.A. OBIECTIVE1. Spectrul semnalelor armonice. 2. Spectrul semnalelor periodice nearmonice. 3. Determinarea perioadei semnalului n cazul n care componenta fundamental lipsete.

2.B. CONSIDERAII TEORETICESemnalele periodice se mpart n dou categorii: semnale armonice i semnale nearmonice. 1) Semnalele armonice sunt semnalele cu un model matematic de forma:

x( t ) = X1 cos ( 2 f1t + 1 ) ,

(2.1)

unde: X1 este amplitudinea semnalului, f1 este frecvena sa, iar 1 este faza sa iniial. Semnalele armonice sunt reprezentate n spectrul unilateral printr-o singur linie spectral, situat la frecvena f1. 2) Semnalele nearmonice admit o dezvoltare de forma:

x( t ) = A0 +

An =1

N

n

cos ( 2 nf1t + n ) ,

(2.2)

unde A0 este componenta continu (valoarea medie a semnalului), iar termenii sumei reprezint componentele armonice, de frecven egal cu un multiplu al frecvenei f1. Frecvena f1 se numete frecvena An fundamental i determin perioada semnalului: T = 1 / f1 . A1 Relaia (2.2), care reprezint forma armonic a seriei Fourier A2 armonice, este o relaie de sintez, prin care semnalul poate fi obinut A0 ca sum a componentelor sale. Aceast relaie va fi folosit n cadrul A3 lucrrilor de laborator, genernd componente armonice i fcnd suma lor. f1 2f1 3f1 f Spectrul semnalelor nearmonice este un spectru discret, ce conine: n componenta continu, situat n origine; componenta fundamental, situat la frecvena 1 3 fundamental f1; o serie de componente armonice de ordin superior 2f1 (armonici superioare), situate la frecvene multiplu al f1 3f1 f frecvenei fundamentale (nf1). 2 n Figura 2.1 sunt prezentate, ca exemplu, spectrele unilaterale (de amplitudine i de faz) ale unui semnal periodic avnd o component continu i 3 componente armonice. Figura 2.1

2

Laborator T.S.

OBSERVAIE: n cazul particular n care componenta fundamental lipsete, frecvena fundamental nu va fi cea mai mic frecven din spectru, ci va fi cel mai mare divizor comun (CMMDC) al frecvenelor prezente. De exemplu, un semnal cu dou componente la frecvenele 100Hz, respectiv 150Hz, va avea frecvena fundamental egal cu CMMDC(100, 150) = 50Hz.

2.C. PROBLEME PREGTITOARESe consider semnalul: x( t ) = 3 sin ( 2 100t ) . Reprezentai spectrul unilateral al semnalului i determinai perioada sa. 2.C.2. Se consider semnalul:

2.C.1.

x( t ) = 6 + cos 2 10 3 t + 0.333 cos 6 10 3 t + + 0.2 cos 10 4 t

(

)

(

)

(

)

Desenai spectrul unilateral al semnalului i determinai perioada sa. 2.C.3. Se consider spectrul de amplitudini al unui semnal periodic, spectru care conine o linie spectral la frecvena 3.5kHz, de amplitudine 3V i o linie spectral situat la frecvena 5kHz, avnd amplitudinea 5V. Scriei expresia semnalului i determinai perioada sa.

2.D. DESFURAREA LUCRRIIRealizai n ORCAD 9.2 schema din Figura 2.2. Iniializai toi parametrii surselor cu valoarea 0, apoi, pentru fiecare surs, afiai pe schem i faza iniial (parametrul PHASE). Creai un profil de simulare de tip Time Domain, n care fixai durata simulrii (Run to time) de 200 ms, iar pasul simulrii (Maximum step size) de 5s. Punei un marker pe schem pentru a vizualiza suma celor 3 semnale generate de sursele sinusoidale.

R1 1k VOFF = 0 VAMPL = 0 FREQ = 0 PHASE = 0 V1 VOFF = 0 VAMPL = 0 FREQ = 0 PHASE = 0 V2 VOFF = 0 VAMPL = 0 FREQ = 0 PHASE = 0 V3 0

0

0

0

Figura 2.2 Vom studia, mai nti, spectrul unui semnal armonic (un semnal format dintr-o singur component armonic). Modificai parametrii primei surse astfel nct s genereze semnalul armonic: x( t ) = cos 2 10 3 t . (INDICAIE: Faza iniial trebuie fixat la 90, deoarece sursa VSIN genereaz sinus. ) Calculai perioada semnalului x(t). Apsai RUN i, dup afiarea semnalului, modificai domeniul timp la (0 5ms). Observai c semnalul afiat este un cosinus. Verificai dac perioada semnalului este aceeai cu cea calculat anterior.

2.D.1.

(

)

Lucrarea 2

3

Pentru vizualizarea spectrului de amplitudini (1) , trecei din domeniul timp n domeniul (FFT). Modificai domeniul de frecven la (0 10kHz). frecven apsnd butonul Observai c n spectru apare o singur linie spectral, de amplitudine 1V, situat la frecvena de 1kHz. Revenii la schem i modificai frecvena sursei la valoarea de 2kHz. Scriei expresia semnalului i calculai perioada sa. Apsai RUN, apoi modificai domeniul timp la (0 5ms). Verificai dac perioada este aceeai cu cea calculat anterior. Pentru vizualizarea spectrului, trecei n domeniul frecven (0 10kHz). Ce s-a modificat n spectru fa de cazul anterior?

2.D.2.

2.D.3. S studiem n continuare spectrul unui semnal periodic nearmonic, format din dou componente armonice. Pentru aceasta, revenii la schem i activai i a doua surs, astfel nct la ieireacircuitului s se obin semnalul: x(t ) = cos 2 10 3 t + 0.333 cos 2 3 10 3 t . Determinai frecvena fundamental i perioada semnalului. Apsai RUN i afiai semnalele generate de cele dou surse active i suma lor. Modificai domeniul timp la (0 5ms) i observai c cele 2 semnale generate se nsumeaz, rezultnd un semnal periodic, dar nearmonic. Msurai cu ajutorul cursorului amplitudinea sumei. Observai c, n acest caz, cnd cele dou semnale care se adun sunt n faz (fazele lor iniiale au aceeai valoare), amplitudinea sumei este egal cu suma amplitudinilor celor dou semnale. Trecei n domeniul frecven (0 10kHz) i punei cele trei spectre pe grafice diferite. Observai c spectrul semnalului sum conine acum dou linii spectrale: componenta fundamental, situat la frecvena 1kHz (frecvena fundamental); armonica a 3-a, situat la 3kHz.

(

)

(

)

2.D.4. Revenii la schem i reglai generatorul al doilea n antifaz cu primul (astfel nctdiferena fazelor s fie de 180). Scriei expresia semnalului sum. Apsai RUN i observai c suma are, acum, alt aspect. Msurai valoarea sa maxim i comparai-o cu valoarea msurat la punctul anterior. Observai c n acest caz, cnd semnalele nu sunt n faz, amplitudinea sumei este mai mic dect suma amplitudinilor celor dou semnale. Trecei la vizualizarea spectrului de amplitudini. Observai c nu apare nici o deosebire fa de spectrul semnalului generat la punctul anterior. Unde apare, atunci, deosebirea ntre cele dou semnale?

2.D.5. Vom studia, acum, spectrul unui semnal periodic nearmonic, format din trei componente armonice. Revenii la schem i activai i cea de-a treia surs, astfel nct la ieire s rezultesemnalul: x(t ) = cos 2 10 3 t + 0.333 cos 2 3 10 3 t + + 0.2 cos 2 5 10 3 t . Determinai frecvena fundamental i perioada semnalului. Apsai RUN, trecei n domeniul frecven i afiai doar semnalul sum. Ce armonici apar acum n spectru?

(

)

(

)

(

)

2.D.6.(1)

n continuare, vom studia cazul n care tensiunile de offset sunt diferite de 0V. Trecei n domeniul timp. Care este valoarea medie a semnalului?

Programul ORCAD 9.2 nu permite reprezentarea spectrului de faze, ci doar a celui de amplitudini.

4

Laborator T.S.

Revenii la schem i modificai VOFF astfel: la prima surs 1V, la a doua surs 2V i la a treia 3V. Scriei expresiile analitice ale celor trei semnale generate de sursele sinusoidale i expresia sumei lor. Apsai RUN i afiai semnalele generate de surse i suma lor. Care sunt acum valorile medii ale semnalelor i valoarea medie a sumei lor? Trecei la vizualizarea spectrelor i lsai pe grafic doar spectrul semnalului sum. Ce sa modificat n spectru fa de cazul cnd VOFF era 0V? n toate cazurile studiate anterior, exista componenta fundamental (situat la frecvena fundamental 1kHz), iar perioada semnalului era T = 1 / f1 = 1 ms . n continuare, s vedem ce se ntmpl n situaia n care componenta fundamental lipsete. Pentru aceasta, modificai amplitudinea primei surse la valoarea 0V. Scriei expresia analitic a semnalului sum i determinai frecvena fundamental i perioada semnalului. Apsai RUN i verificai dac perioada este aceeai cu cea calculat. Revenii la schem i reglai frecvena la cea de-a doua surs la valoarea de 3.5kHz. Calculai frecvena fundamental i perioada semnalului. Apsai RUN i verificai dac, ntr-adevr, perioada semnalului este aceeai cu cea calculat.

2.D.7.