l6 cia en Circuitos Rlc -m

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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER Escuela de Física

Laboratorio de Física III

L6: RESONANCIA EN CIRCUITOS RLC-MINTRODUCCIÓN: En esta práctica se trabajará con circuitos básicos, formados por resistencias (R), condensadores (C) y bobinas (L), cuando sealimentan por una fuente de tensión alterna sinusoidal. En corriente alterna aparecen dos nuevos conceptos relacionados con la oposición al paso dela corriente eléctrica. Se trata de la reactancia y la impedancia. Un circuito presentará reactancia si incluye condensadores y/o bobinas. La naturalezade la reactancia es diferente a la de la resistencia eléctrica. En cuanto a la impedancia decir que es un concepto totalizador de los de resistencia y

reactancia, ya que es la suma de ambos. Es por tanto un concepto más general que la simple resistencia o reactancia.

Cuando se conecta un circuito RLC ( resistencia , bobina y condensador ) en serie, alimentado por una señal alterna (fuente de tensión de corrientealterna ), hay un efecto de ésta en cada uno de los componentes. En el condensador aparecerá una reactancia capacitiva, y en la bobina una reactancia

inductiva, estas reactancias dependen de la frecuencia de la fuente. A mayor frecuencia X L es mayor, pero X C es menor y viceversa. Hay una frecuencia para la cual el valor de la X C y X L son iguales. Esta frecuencia se llama frecuencia de resonancia. En resonancia como los valores de X C y X L soniguales, se cancelan y en un circuito RLC en serie la impedancia que ve la fuente es el valor de la resistencia. Los circuitos resonantes son utilizados

para seleccionar bandas de frecuencias y para rechazar otras. Cuando se está en la frecuencia de resonancia la corriente por el circuito es máxima.

OBJETIVOS1. Estudiar las características de un circuito RLC serie de corriente alterna.2. Medir los voltajes eficaces en cada uno de los elementos del circuito y la corriente eficaz en este.3. Determinar la impedancia total y las reactancias inductivas, capacitivas en el circuito y compararlas con los valores teóricos.4. Calcular el ángulo de desfase entre el voltaje y la corriente para circuitos RL, RC , RLC y compararlos con los valores teóricos.5. Determinar las características de un circuito resonante RLC en serie.

6. Construir las curvas de corriente, voltaje capacitivo e inductivo y de la potencia disipada en función de la frecuencia.7. Determinar la frecuencia de resonancia del circuito RLC en serie.

FUNDAMENTO TEÓRICOCuando se estudia el oscilador armónico forzado mecánico, se encuentra que la ecuación diferencial que gobierna este movimiento estádada por:

t m

F x

dt

dx

dt

xd f sen2 02

02

2

(1)

donde: 2 =b/m (b una constante que depende del sistema físico particular, m, masa), 02 = k /m (0 se denomina frecuencia propia o

natural del oscilador armónico, k la constante elástica) y f es la frecuencia externa de la fuerza impulsora.La solución general de esta ecuación, da el desplazamiento con respecto al tiempo del oscilador, la cual como se sabe es:

t m F eC eC et x f

f f

t it it sen4 22222

0

02111 (2)

Físicamente, el primer término de la ecuación representa los efectos transitorios y determina el comportamiento del sistema en losinstantes iniciales, desapareciendo rápidamente con el tiempo. El segundo término representa los efectos estacionarios ó de régimen deestado estable.Designando:

A

m F

222220

0

4

y f

f

2tan

20

2

0 » 1/ (para tiempos muy grandes) t t At x sen (3)

A y aquí no son constantes arbitrarias sino valores que dependen da la frecuencia f y de la fuerza impulsora externa que es oscilatoria.

Para esta experiencia se tratara el análogo eléctrico del oscilador armónico mecánico forzado el cual corresponde a un circuito RLC seriede c.a. Ver figura (1) Al utilizar la segunda ley de Kirchhoff sobre los voltajes:

0sen0 C

q

dt

dI L IRt V

C

q

dt

dI L IRt V sen0

(4)

Figura 1: Circuito RLC en serie c.a.como I = dq / dt

C

q

dt

qd L R

dt

dqt V

2

2

0 sen

La cual usualmente se escribe en la forma:

t L

V q

dt

dq

dt

qd sen2 02

02

2(5)

con 2 = R/ L y 02 = 1/( LC )½

En este tipo de circuitos generalmente interesa la solución estacionaria, la cual en términos de la carga viene dada por: t Qt q sen (6)

donde



222220

0

4

LV Q

Para conocer la corriente en estado estacionario:

t t I t

LV

dt

dq I coscos

40

222220

0 (7)

Generalmente interesa conocer la corriente y los voltajes en el circuito, más que las variaciones de carga en el condensador. Para tal fin laecuación (4) se deriva con respecto al tiempo y se escribe en la forma:

t ieV i

C

I

dt

I d L

dt

dI R 02

2 1 (8)

Donde se ha utilizado la notación compleja para V : t it V eV V t i sencos00

al resolver, se toma la parte imaginaria: V t V V senIm 0

Como la ecuación (8) aparece también en términos de i, su solución debe ser compleja ( I → I). Se propone para la parte estacionaria lasolución:

I = I(t ) = I 0eiwt (9)

Al derivar y hacer uso de la Ley de Ohm en forma compleja V = IZ, se tiene:I0 = V 0/|Z| (10)

conZ = R + i( L − 1 / C ) ; Impedancia Compleja (11)

Z* = R − i( L − 1 / C ); Impedancia Compleja Conjugada (12)|Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + ( L − 1/C )2)1/2 Módulo Impedancia (13)

Así,Z = |Z|eiΦ (14)

Se acostumbra a llamar: X L = L Reactancia Inductiva (15)

- X C = 1/C Reactancia Capacitiva (16)Usando X = X L − X C se escribe

Z = R + iX (17)y

R

C L

1tan (18)

De la ecuación (11) multiplicando por el modulo de la corriente I , definiendo V L = LI y V C = I/ C , al hallar la norma se obtiene:V = (V R

2 + (V L − V C )2)1/2 (19)

Dividiendo por (2)1/2:V ef = (V Ref

2 + (V Lef − V Cef )2)1/2 (20)

Multiplicando la ecuación (18) por I y dividiendo por ( 2)1/2:

f

Cef Lef

V

V V

Re

tan

(21)

Finalmente:I = V/Z = V oe

it / |Z|ei = V o/|Z|ei( t - ) Así,

V = V eit (22)I = I o ei( t - ) (23)|Z| = V ef / I ef (24)

Siendo, el ángulo de desfase entre V e I , Z es la impedancia del circuito. Tomando = la parte imaginaria para V e I se obtiene:

V = V osent (25) Nota: Como se sabe, los medidores de voltaje y corriente utilizados miden los llamados valores eficaces ó valores r.m.s:V ef = V 0/(2)1/2 donde V 0: Amplitud del voltaje.

I ef = I o/(2)1/2 donde I 0: Amplitud del corriente. I m(I) = I 0sen(t − ) = I (26)

Las ecuaciones (19), (13), (24), (18), (15) y (16) se simplifican si se elimina el condensador o la inductancia, tal como se muestra en lasiguiente tabla comparativa.

El circuito RLC serie de la figura (1), es un ejemplo de un oscilador armónico forzado eléctrico donde el agente externo ó agente forzador es un generador de onda con salida de voltaje t V V sen0

, suponiendo que el desfase inicial 0 = 0. De la ecuación (10) y (13)

I0 = V 0 / |Z| = V 0 / [( R2 + ( L − 1/C )2]1/2 (27)Con: X L = L Reactancia Inductiva. X C = 1/C Reactancia Capacitiva.Por tanto dado que: V = V 0 sen(t )La solución para la corriente será:



I(t ) = I 0 sen(t − ) (28)donde, es el desfase entre V e I . Su valor viene dado por:

tan = ( L − 1/C )/ R (29)Dado que V R es el voltaje a través de R, entonces:

V R = V 0cos() (30)El término cos() es llamado factor de potencia viene dado por:

cos() = R/|Z| (31)Como se muestra en teoría, el único elemento que disipa energía en un circuito RLC serie es el elemento resistivo R. La energía promediodisipada en ella es:

P = I 2rms R (32)

P = I 2rms|Z|cos() (33)Cuando = 0, cos(0) = 1, el circuito es completamente resistivo. Ocurriendo una disipación máxima de potencia. En un circuito RLC seriede c.a. se presenta la RESONANCIA cuando al variar la frecuencia del agente forzador (generador de onda), la reactancia capacitiva sehace igual a la inductiva, el valor que toma la frecuencia del voltaje instantáneo aplicado se llama frecuencia de resonancia 0. Paradeterminar w0, X L = X C de la cual se obtiene: 0

2 = 1/ LC .Esta frecuencia corresponde también a la frecuencia natural de oscilación de un circuito LC .Las propiedades derivadas de este hecho son: La impedancia del circuito | Z| tiene su valor mínimo.

La corriente que circula en el circuito tiene su valor máximo. El voltaje a través del condensador C es igual al voltaje a través del inductor L. El voltaje a través de la resistencia R es igual al voltaje aplicado. El ángulo de desfase entre la corriente que circula por el circuito y voltaje aplicado es de cero grados. La transferencia de potencia de la fuente al circuito es máxima y hay una disipación máxima de potencia en la resistencia R.

Nota: Como se sabe, los medidores de voltaje y corriente utilizados miden los llamados valores eficaces ó valores r.m.s:V ef = V rms = V 0 /(2)1/2 donde V 0: Amplitud del voltaje. I ef = I rms = I 0/(2)1/2 donde I 0: Amplitud del corriente.

TEMAS PARA CONSULTAAntes de realizar este experimento usted deberá poder definir y explicar los siguientes temas:¿ Qué es un circuito de corriente alterna?.¿ Qué es un voltaje eficaz V rms ó V ef y una corriente eficaz I rms ó I ef ?.¿ A qué se denomina impedancia de un circuito RLC ?¿ Qué es un fasor y como se representa gráficamente?¿ A qué se denomina resonancia?¿A qué se denomina reactancia capacitiva, reactancia inductiva e impedancia?

¿En qué situaciones es necesario conocer la frecuencia natural de resonancia de un objeto?

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA• ALONSO M., FINN E. Física. Volumen I. Ed. Fondo Educativo Interamericano.• RESNICK R., HALLIDAY D., Física, Parte I Compañía Editorial Continental S.A.• TIPLER P. Física, editorial Reverté S.A.• SEARS, ZEMANSKY. Física. Ed Aguilar.• TIPPENS, PAUL E. Física conceptos y aplicaciones, editorial McGraw-Hill• SERWAY, RAYMOND A. Física. Editorial McGraw-Hill• FRANCO GARCÍA A., Física con ordenador Curso Interactivo de Física en Internet:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/forzadas/forzadas.htm;http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/alterna/alterna.htm;http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/alterna1/alterna1.htm

EQUIPO Transformador de relación 110/7 V AC. Cables. Condensadores: de 5.7μF y Condensadores no polares Inductancias: 9 mH y otras Reóstato: 330 Ω Variable. Medidores de voltaje y corriente AC. Generador de onda

Frecuencímetro Cables. Reóstato: 100 Ω Variable

Precauciones Familiarizarse con el equipo. No utilizar voltajes superiores a los indicados. Descargar los condensadores después de utilizarlos.

NOTA Siempre que realice el montaje de un circuito, solicite su revisión al profesor ó al auxiliar.

PROCEDIMIENTOA. CIRCUITO SERIE RL 1. Monte el circuito RL con V ef para la fuente, R y L dados por el profesor.2. Mida V ef , I ef , V Ref , V Lef .B. CIRCUITO SERIE RC 1. Monte el circuito RC con V ef para la fuente, R y C dados por el profesor.2. Mida V ef , I ef , V Ref , V Cef .C. CIRCUITO SERIE RLC 1. Monte el circuito RLC con V ef para la fuente, R , L y C dados por el profesor..2. Mida V ef , I ef , V Ref , V Lef , V Cef .



D. RESONANCIA EN CIRCUITOS RLC1. Con los valores de L y C suministrados, calcule la frecuencia de resonancia.2. Monte el circuito de la figura (1) para un R dado por el profesor e inicie la señal de voltaje alterno con una frecuencia cercana a lacalculada en el punto anterior.3. Mida V L, V C e I para cada frecuencia.4. Repita el paso anterior, cambiando en cada caso la frecuencia. Tome (más de 3 en total) datos por encima y por debajo de la frecuenciade resonancia. Al acercarse al valor de la frecuencia de resonancia haga cambios finos en el DIAL del generador. Haga una tabla de datos.5. Repita todo con otro valor de resistencia R´ . Complete tabla de datos.

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE DATOSPara cada parte A, B, C:1. Calcule Z y, con los valores de R, L y C teóricos. Compárelos con los valores obtenidos a través de las ecuaciones (24) y (21). Tenga encuenta las incertidumbres.2. Determine X L, X C y compárelas con los valores teóricos.3. Haga un diagrama fasorial de voltaje, corriente e impedancia mostrando el ángulo de desfase para las partes B y C e indique si el voltajeestá atrasado o adelantado respecto a la corriente.4. ¿ De los resultados obtenidos en la práctica se puede concluir que los voltajes eficaces se suman linealmente? ¿Porqué?.5. ¿ De los resultados obtenidos en la práctica se puede concluir que los voltajes instantáneos se suman linealmente?. ¿Porqué?6. En una misma hoja de papel semi-logarítmico construya los gráficos de corriente (ief ) contra frecuencia ( = 2π f ) para R y R´ utilizados(la frecuencia en el eje logarítmico).7. Para R en una misma hoja de papel milimetrado construya los gráficos de V L y V C contra .8. Para R' repita el paso anterior.

9. En una misma hoja de papel semi-logarítmico construya los gráficos de P R contra para R y R' .10. Determine de los gráficos de frecuencia de resonancia y compárelo con el valor teórico.11. Analice las gráficas construidas y determine las características que se presentan en ellas.

OBSERVACIONES

CONCLUSIONES



HOJA DE DATOS (sugerida, llenar con lapicero de tinta durante la práctica)

L6: RESONANCIA EN CIRCUITOS RLC-M fecha:___________ grupo_______ subgrupo _______ estudiantes ___________________________________

Instrumento de medición 1 _________________ sensibilidad _________

Instrumento de medición 2 _________________ sensibilidad _________

circuito RL V ef R L I ef V Ref V Lef

circuito RC V ef R C I ef V Ref V Cef

circuito RLC V ef R L C I ef V Ref V Lef V Cef

Resonancia en circuitos RLC L = _____ [mH] C = ____ [nF]Frecuencia de resonancia

0 0

12 f

LC = _______

Tabla para frecuencias próximas a f 0 para R = ____ []V L[V] V C [V] I [A]

f 1 = __ [Hz] 1 = __ f 2 = __ [Hz] 2 = __ f 3 = __ [Hz] 3 = __ f 4 = __ [Hz] 4 = __

Tabla para frecuencias próximas a f 0 calculada para R´ = ____ [

]V L[V] V C [V] I [A] f 1 = __ [Hz] 1 = __ f 2 = __ [Hz] 2 = __ f 3 = __ [Hz] 3 = __ f 4 = __ [Hz] 4 = __

Observaciones

________________________________________ Vo Bo Profesor (firma)

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