La battaglia navale - unimi.it · 2013-04-20 · La battaglia navale Sandro Zucchi 2012-13 S. Zucchi: Metodi formali per loso { Battaglia navale e bivalenza 1 L’argomento della

La battaglia navale

Sandro Zucchi

2012-13

S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Battaglia navale e bivalenza 1

L’argomento della battaglia navale

I Nella sezione 9 di Περι ερµηνειας (Sull’interpretazione),Aristotele presenta un argomento contro il principio dibivalenza, ovvero la tesi secondo cui ogni enunciato (assertivo)e vero o falso.

I (Per lo meno, questo e cio che ritengono alcuni commentatori.Altri negano che Aristotele intendesse presentare un argomentodel genere. Qui ignoreremo questa interpretazione alternativa.)

I Nel passaggio in questione, Aristotele fa in due occasionil’esempio di una battaglia navale. Per questa ragione, nellaletteratura, ci si riferisce talvolta all’argomento di Aristotelecome all’argomento della battaglia navale.

I La ricostruzione che presento si basa su Haack (1996).


Il passo di AristoteleSull’interpretazione IX

Ecco il passo di Aristotele su cui si fonda l’attribuzione dell’argomento (colori miei):

Nel caso dunque delle cose che sono e che sono state e necessario chel’affermazione o la negazione sia vera o falsa; e nel caso delle enunciazionicontraddittorie relative agli universali espressi in forma universale e in quellodelle enunciazioni contraddittorie relative agli individui, sempre una e vera el’altra falsa. Invece, nel caso delle enunciazioni contraddittorie relative agliuniversali espressi in forma non universale, non e necessario. E s’e detto anchedi queste.

Ma nel caso delle cose individuali future e diverso. Infatti, se ogniaffermazione o negazione e vera o falsa, e necessario che ogni cosa sia o nonsia. Infatti, se uno dice che ci sara una certa cosa e un altro dice che questamedesima cosa non ci sara, e chiaramente necessario che uno di essi dica ilvero, se ogni affermazione e vera o falsa; in quanto entrambe le cose nonsussisteranno contemporaneamente in tali circostanze. Infatti, se e vero dire che(una cosa) e bianca o non e bianca, e necessario che sia bianca o non bianca; ese e bianca o non bianca, era vero asserirlo o negarlo. Se il bianco (o il nonbianco) non e, si dice il falso; e se si dice il falso, non e. Di conseguenza, enecessario che l’affermazione o la negazione sia vera.



Ne segue che nulla e o sta accadendo, sara o non sara, per caso ofortuitamente, ma ogni cosa sara o non sara necessariamente e nonfortuitamente (dice infatti il vero o chi asserisce o chi nega).Altrimenti potrebbe accadere oppure no, poiche cio che efortuitamente non e, ne sara, in questo modo piuttosto che in quelmodo.

Di nuovo, se una cosa e bianca ora, era vero dire prima chesarebbe stata bianca; cosı era sempre vero dire di qualsiasi cosa che eaccaduta che sarebbe stata cosı. Ma se era sempre vero dire che eracosı o sarebbe stata cosı, non era possibile che non fosse cosı o chenon sarebbe stata cosı. Ma cio che non e possibile che non accada eimpossibile che non accada; e cio che e impossibile che non accada enecessario che accada. Ogni cosa che sara, dunque, e necessario cheaccada. Dunque, niente avverra per caso o fortuitamente; poiche seavvenisse per caso non sarebbe di necessita.



Ma non e possibile dire neppure che nessuna delle due (affermazionicontraddittorie) e vera, per esempio che (qualcosa) ne sara ne non sara.Poiche, in primo luogo, benche l’affermazione sia falsa, la negazione non evera, e benche la negazione sia falsa, l’affermazione, secondo questaopinione, non e vera. Inoltre, se e vero dire che una cosa e bianca e nera,entrambe le determinazioni devono appartenerle, e se e vero che leapparterranno domani, esse dovranno appartenerle domani; e se qualcosane sara ne non sara domani, non ci sarebbe cio che avviene fortuitamente.Per esempio, bisognerebbe che una battaglia navale ne accada ne nonaccada.

Queste e altre consimili sono le assurde conseguenze se e necessarioper ogni affermazione e negazione, o sugli universali espressi comeuniversali o sugli individui, che una delle due che si oppongono sia vera el’altra falsa, e che nulla di cio che accade sia fortuito, ma ogni cosa sia eaccada di necessita. Di conseguenza, non ci sarebbe bisogno ne dideliberare ne di darsi da fare (pensando che se facciamo questo, accadraquello, ma se non lo facciamo non accadra).



Infatti, nulla impedisce che qualcuno abbia detto diecimilaanni prima che sarebbero avvenute queste cose e che un altro loabbia negato; cosicche quella delle due cose che era vero direallora avverra di necessita. Ne, naturalmente, fa alcunadifferenza se delle persone abbiano fatto delle affermazionicontraddittorie o no. Poiche, chiaramente, le cose nella realtastanno in questo modo anche se qualcuno non lo ha affermato eun altro negato. Infatti, non e causa dell’affermare o del negareche le cose accadranno o no, ne e una questione di diecimila anniprima piuttosto che di qualunque altro tempo. Quindi, se inqualsiasi tempo le cose stavano in modo tale che l’una o l’altraera vera, era necessario che cosı accadesse e che le cose stianosempre in modo tale che tutto cio che accade accade dinecessita. Infatti, cio che qualcuno ha detto con verita chesarebbe accaduto non puo non accadere; e di cio che accade erasempre vero dire che sarebbe accaduto.



Ma se questo e impossibile? Infatti, vediamo che cio che sara haorigine sia dal deliberare che dall’agire, e che in generale, nelle coseche non sono sempre in atto c’e la possibilita di essere e di nonessere; qui le possibilita sono aperte, sia l’essere che il non essere, e diconseguenza sia l’aver luogo che il non aver luogo. Molte sono lecose che ci e manifesto che stanno in questo modo. Per esempio, epossibile per questo mantello essere tagliato in due, e tuttavia nonverra tagliato in due e si sara logorato prima. Ma, ugualmente ancheil suo non essere tagliato in due e possibile, in quanto non potrebbeaccadere che si sia logorato prima a meno che il suo non esseretagliato in due non sia possibile. Di conseguenza, e lo stesso per tuttigli altri eventi di cui si parla nei termini di questo tipo di possibilita.Chiaramente, dunque, non ogni cosa e o accade di necessita; alcunecose accadono fortuitamente, e per nulla di piu l’affermazione o lanegazione e vera; con altre cose e una piuttosto dell’altra di regola,ma e ancora possibile che invece accada l’altra.



Cio che e e necessariamente, quando e; cio che non enecessariamente non e quando non e. Ma non ogni cosa chee e necessariamente e non ogni cosa che non e non enecessariamente. Infatti dire che ogni cosa che e e dinecessita, quando e, non e lo stesso che dire in modoincondizionato che e di necessita. La stessa cosa vale per cioche non e. E la stessa spiegazione vale per le contraddittorie:ogni cosa necessariamente e o non e, e sara o non sara; mauno non puo dividere e dire che l’una o l’altra e necessaria.Voglio dire, ad esempio: e necessario che ci sia o non ci siauna battaglia navale domani; ma non e necessario per unabattaglia navale aver luogo domani, ne per una non averluogo - sebbene sia necessario per una battaglia navale averluogo o non aver luogo.



Di conseguenza, poiche le asserzioni sono vere a secondadi come sono i fatti, e chiaro che ogni volta che questi sonotali da permettere dei contrari indifferentemente, lo stessovale necessariamente per i contraddittori. Questo accadequando le cose non sempre sono o non sempre non sono.Con queste e necessario per uno o l’altro dei contraddittoriessere vero o falso–non tuttavia questo o quello maindifferentemente; o per una delle due essere vera piuttostodell’altra, ma non gia vera o falsa.

Chiaramente, dunque, non e necessario che di ogniaffermazione e negazione che si oppongono una sia vera el’altra falsa. Infatti, cio che vale per le cose che sono nonvale per le cose che non sono ma che possono essere o nonessere; per queste e come ho detto.


Il rifiuto del principio di bivalenza

I La tesi che Aristotele vuole dimostrare pare essere contenutanell’ultimo paragrafo del passo che abbiamo riportato:

Chiaramente, dunque, non e necessario che di ogniaffermazione e negazione che si oppongono una siavera e l’altra falsa.

I In altre parole, Aristotele pare rifiutare la tesi che ognienunciato (assertivo) e vero o falso. Questa tesi, come abbiamogia osservato, prende il nome di principio di bivalenza.

I (La precisazione che il principio di bivalenza riguarda glienunciati assertivi e importante. Molti ritengono che siainappropriato dire di un enunciato imperativo o interrogativoche e vero o falso. Per questa ragione, il principio di bivalenzaviene generalmente ristretto gli enunciati assertivi).

I Perche Aristotele rifiuta il principio di bivalenza?


Passato, presente e futuro

I All’inizio della sezione 9, Aristotele afferma: “Nel caso. . . delle cose che sono e che sono state e necessario chel’affermazione o la negazione sia vera o falsa”. Vale a dire, ilprincipio di bivalenza non pare essere in discussione perAristotele in relazione agli enunciati che asseriscono stati dicose particolari passati o presenti.

I Il problema per il principio di bivalenza e invece sollevato daglienunciati (assertivi) che riguardano stati di cose particolarifuturi: “nel caso delle cose individuali future e diverso.”

I Perche gli enunciati (assertivi) che riguardano stati di coseparticolari futuri sollevano un problema per il principio dibivalenza, secondo Aristotele?


Il ragionamento di Aristotele

I Il ragionamento di Aristotele pare essere questo:

• se ogni enunciato assertivo e vero o falso, allora questo valeanche per gli enunciati assertivi che riguardano stati di coseparticolari futuri;

• se ogni enunciato assertivo che riguarda uno stato di coseparticolare futuro e vero o falso, allora per ogni enunciato diquesto genere e necessario che l’enunciato sia vero o la suanegazione sia vera;

• se per ogni enunciato di questo genere e necessario chel’enunciato sia vero o la sua negazione sia vera, allora ognicosa che accade accade necessariamente;

• ma questo e assurdo, molte cose che accadono non accadononecessariamente: ad esempio, puo accadere che ci sia unabattaglia navale domani, ma non e necessario che ci sia, cosıcome puo accadere che non ci sia una battaglia navale domani,ma non e necessario che non ci sia.


Enunciati contingenti futuriI Secondo Aristotele, dunque, il principio di bivalenza e

incompatibile con l’esistenza di enunciati al tempo futurocome “domani ci sara una battaglia navale” (o “questomantello verra tagliato in due”).

I Questi enunciati hanno la caratteristica seguente: e possibileche siano veri, ma non e necessario che siano veri.

I Diciamo che un enunciato e contingente (in italiano) se e solose e possibile, ma non necessario, che sia vero (nel senso dellapossibilita e necessita logica ampia).

I Allo scopo di discutere l’argomento di Aristotele, ricostruiremouna versione del suo argomento applicata all’enunciato “il 4luglio 2025, ci sara una battaglia navale”.

I (Questo non dovrebbe travisare le intenzioni di Aristotele, inquanto, come abbiamo visto, Aristotele fa uso di un esempioanalogo).


Ricostruzione dell’argomento della battaglia navale

Premessa uno: se ogni enunciato assertivo e vero o falso, alloral’enunciato (1) e vero o falso:

(1) Il 4 luglio 2025 ci sara una battaglia navale;

Premessa due: se (1) e vero o falso, allora necessariamente o (1) evero o la negazione di (1) e vera;

Premessa tre: se necessariamente o (1) e vero o la negazione di(1) e vera, necessariamente ci sara una battaglianavale il 4 luglio 2025 o necessariamente non ci sarauna battaglia navale il 4 luglio 2025;

Premessa quattro: non e necessario che ci sia una battaglia navaleil 4 luglio 2025 e non e necessario che non ci sia unabattaglia navale il 4 luglio 2025;

Conclusione: non ogni enunciato assertivo e vero o falso.


Le giustificazioni di Aristotele

I Abbiamo visto un modo di ricostruire l’argomento diAristotele contro il principio di bivalenza.

I Vediamo ora come Aristotele giustifica le premesse di questoargomento.


Giustificazione delle premesse

Premessa uno: se ogni enunciato assertivo e vero o falso, alloral’enunciato (1) e vero o falso:


Giustificazione: l’enunciato (1) e un enunciato assertivo. Se ognienunciato assertivo e vero o falso, anche (1) e vero ofalso.

Evidenza testuale: Questa premessa, cosı come la sua giustificazione,e implicita nell’argomento di Aristotele. Aristotele iniziacon la supposizione che ogni enunciato assertivo sia veroo falso (“se ogni affermazione o negazione e vera ofalsa. . . ”) e sostiene che questa supposizione, applicataa enunciati come “domani ci sara una battaglia navale”,conduce a conseguenze assurde. Dunque, Aristoteleritiene che, se ogni enunciato assertivo e vero o falso,anche (1) lo e.


Giustificazione delle premessePremessa due: se (1) e vero o falso, allora necessariamente o (1) e vero o la

negazione di (1) e vera:


Giustificazione: se (1) e vero o falso, e impossibile che (1) e la sua negazionesiano entrambi falsi (o entrambi veri). Se lo fossero, sarebbe veroche il 4 luglio 2025 una battaglia navale ha luogo e non ha luogo.

Evidenza testuale: La premessa due e contenuta in questo passo: “se ogniaffermazione o negazione e vera o falsa, e necessario che ognicosa sia o non sia.”. A giustificazione della premessa dueAristotele dice:

Infatti, se uno dice che ci sara una certa cosa e un altrodice che questa medesima cosa non ci sara, echiaramente necessario che uno di essi dica il vero, seogni affermazione e vera o falsa; in quanto entrambe lecose non sussisteranno contemporaneamente in talicircostanze.


Giustificazione delle premessePremessa tre: se necessariamente o (1) e vero o la negazione di (1) e vera,

necessariamente ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025 onecessariamente non ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025:


Evidenza testuale: La terza premessa e contenuta in questo passo:

[se e necessario che ogni cosa sia o non sia,] nulla . . . sara o nonsara per caso o fortuitamente, ma ogni cosa sara o non saranecessariamente e non fortuitamente.

Giustificazione: Aristotele dice questo a sostegno della terza premessa (torneremo piuavanti ad analizzare questa giustificazione):

. . . se una cosa e bianca ora, era vero dire prima che sarebbe statabianca; cosı era sempre vero dire di qualsiasi cosa che e accadutache sarebbe stata cosı. Ma se era sempre vero dire che era cosı osarebbe stata cosı, non era possibile che non fosse cosı o che nonsarebbe stata cosı. Ma cio che non e possibile che non accada, eimpossibile che non accada; e cio che e impossibile che nonaccada e necessario che accada. Ogni cosa che sara, dunque, enecessario che accada.


Giustificazione delle premessePremessa quattro: non e necessario che ci sia una battaglia navale il 4 luglio 2025 e

non e necessario che non ci sia una battaglia navale il 4 luglio 2025;Giustificazione: se fosse necessario che avvenisse una battaglia navale il 4 luglio

2025, non potremmo fare nulla per impedire che la battaglia avvenga;e se fosse necessario che non avvenisse, non potremmo fare nulla perimpedire che la battaglia non avvenga. Questo e assurdo.

Evidenza testuale: La quarta premessa e suggerita da questi passi:

In generale, nelle cose che non sono sempre in atto c’e lapossibilita di essere e di non essere . . . non e necessario peruna battaglia navale aver luogo domani, ne per una non averluogo.

Il passo seguente esplicita la ragione di Aristotele per asserire la quartapremessa:

Queste e altre consimili sono le assurde conseguenzese. . . nulla di cio che accade e fortuito, ma ogni cosa e eaccade di necessita. . . . non ci sarebbe bisogno ne dideliberare ne di darsi da fare (pensando che se facciamoquesto, accadra quello, ma se non lo facciamo non accadra).


Valutazione dell’argomento

I Passiamo ora a valutare l’argomento della battaglia navale cheabbiamo ricostruito.

I Le domande sono queste:

• e valido l’argomento?• le sue premesse sono vere?


Rappresentazione formaleL’argomento precedente puo essere rappresentato cosı nei linguaggimodali che abbiamo considerato:

Premessa uno: p ⊃ q

Premessa due: q ⊃ 2(r ∨ s)

Premessa tre: 2(r ∨ s) ⊃ (2t ∨2∼ t)

Premessa quattro: ∼2t ∧ ∼2∼ t

Conclusione: ∼p

I p: ogni enunciato assertivo e vero o falsoI q: l’enunciato (1) e vero o falso:


I r: (1) e veroI s: la negazione di (1) e veraI t: il 4 luglio 2025 ci sara una battaglia navale


Validita dell’argomento

I L’argomento e valido in tutti i linguaggi modali che abbiamoconsiderato.

I E valido in questi linguaggi perche e valido per le regole dellalogica proposizionale.

I Infatti, supponiamo che le premesse siano vere e la conclusione“∼ p” sia falsa. Allora, “p” e vera e, per applicazionisuccessive del modus ponens, otteniamo che “2t ∨2∼ t” evera, contrariamente a quanto asserisce al premessa quattro.


La derivazione1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

p ⊃ q

q ⊃ ✷(r ∨ s)

✷(r ∨ s) ⊃ (✷t ∨✷∼ t)

∼✷t ∧ ∼✷∼ t

Prova: ∼ p

p

q

✷(r ∨ s)

✷t ∨✷∼ t

∼✷∼ t

✷t

∼✷t

P

P

P

P

∼I

Ass

⊃E, 1, 6

⊃E, 2, 7

⊃E, 3, 8

∧E, 4∨E, 10, 9

∧E, 4


Valutazione delle premesseI Se l’argomento e valido, rimane da stabilire se le premesse sono

vere:

Premessa uno: se ogni enunciato assertivo e vero o falso, allora l’enunciato(1) e vero o falso:


Premessa due: se (1) e vero o falso, allora necessariamente o (1) e vero o lanegazione di (1) e vera;

Premessa tre: se necessariamente o (1) e vero o la negazione di (1) e vera,necessariamente ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025 onecessariamente non ci sara una battaglia navale il 4 luglio2025;

Premessa quattro: non e necessario che ci sia una battaglia navale il 4 luglio2025 e non e necessario che non ci sia una battaglia navale il4 luglio 2025;

I La prima, la seconda e la quarta premessa presumibilmente nonsono in discussione.

I La questione e se la terza premessa e vera.


Una tentazione . . .

I Come potremmo giustificare la premessa tre?

Premessa tre: se necessariamente o (1) e vero o la negazionedi (1) e vera, necessariamente ci sara unabattaglia navale il 4 luglio 2025 onecessariamente non ci sara una battaglia navaleil 4 luglio 2025:

(1) Il 4 luglio 2025 ci sara una battaglianavale.

I Si potrebbe essere tentati di argomentare cosı: la premessa tree una verita logica, e vera in virtu della sua forma.


. . . a cui resistereI Questa giustificazione non va bene.I La premessa tre e della forma: “2(p ∨∼p) ⊃ (2p ∨2∼p)”.I “2(p ∨∼p) ⊃ (2p ∨2∼p)” non e una formula valida di LS5,

come mostra qualsiasi modello in cui l’insieme dei mondi, larelazione di accessibilita R e il valore di “p” a questi mondisono specificati cosı:

• W = {w0,w1}• w0Rw1, w1Rw0, w0Rw0, w1Rw1• ν(p,w0) = 1• ν(p,w1) = 0

I Infatti, in questo modello “2(p∨∼p)” e vero a w0, in quantoa w0 e vero “p” e a w1 e vero “∼p”, dunque “p∨∼p” e veroin tutti i mondi. Tuttavia, “2p” e falso a w0, in quanto “p” efalso a w1, inoltre “2∼p” e falso a w0, in quanto “∼p” efalso a w0, dunque “2p ∨2∼p” e falso a w0. Dunque,“2(p∨∼p) ⊃ (2p ∨2∼ p)” e falso a w0.


Indipendenza dal sistema modale

I Notate che se “2(p ∨∼p) ⊃ (2p ∨2∼p)” non e unaformula valida in LS5, non lo e neppure negli altri linguaggiche abbiamo considerato per la necessita logica ampia.

I Infatti, se “2(p ∨∼p) ⊃ (2p ∨2∼p)” fosse valido in LT oin LS4, sarebbe valido anche in LS5, in quanto LS5 eun’estensione di LS4 e di LT.

I (Peraltro, e facile rendersi conto che il contro-modello cheabbiamo prodotto e anche un modello per LS4 e LT).

I Dunque, l’invalidita di “2(p ∨∼p) ⊃ (2p ∨2∼p)” nondipende da assunzioni controverse riguardo alla necessitalogica ampia: questa formula e invalida in tutti i linguaggi cheabbiamo considerato per questo tipo di necessita.

I (Questo e uno dei vantaggi di aver introdotto linguaggi diversiper la possibilita logica ampia).


Aristotele lo sapeva!

I Aristotele, tuttavia, non commette affatto l’errore diargomentare per la terza premessa sostenendo che“2(p ∨∼p) ⊃ (2p ∨2∼p)” e una verita logica.

I Al contrario, Aristotele nega esplicitamente che lo sia:

ogni cosa necessariamente e o non e, e sara o nonsara; ma uno non puo dividere e dire che l’una ol’altra e necessaria. Voglio dire, ad esempio: enecessario che ci sia o non ci sia una battaglianavale domani; ma non e necessario per unabattaglia navale aver luogo domani, ne per una nonaver luogo - sebbene sia necessario per una battaglianavale aver luogo o non aver luogo.


La giustificazione di AristoteleI Torniamo alla terza premessa:

Premessa tre: se necessariamente o (1) e vero o la negazione di (1) evera, necessariamente ci sara una battaglia navale il 4luglio 2025 o necessariamente non ci sara una battaglianavale il 4 luglio 2025.

(1) il 4 luglio 2025 ci sara una battaglia navale.

I Aristotele, come abbiamo visto, produce questo argomento a sostegnodella terza premessa:

. . . se una cosa e bianca ora, era vero dire prima chesarebbe stata bianca; cosı era sempre vero dire di qualsiasicosa che e accaduta che sarebbe stata cosı. Ma se era semprevero dire che era cosı o sarebbe stata cosı, non era possibileche non fosse cosı o che non sarebbe stata cosı. Ma cio chenon e possibile che non accada, e impossibile che non accada;e cio che e impossibile che non accada e necessario cheaccada. Ogni cosa che sara, dunque, e necessario che accada.


L’argomento di Aristotele per la terza premessaIl passo precedente di Aristotele suggerisce questo argomento a sostegno della terzapremessa:

(a) se (1) e vero, allora il 4 luglio 2025 c’e una battaglia navale:


(b) se il 4 luglio 2025 c’e una battaglia navale, e sempre vero prima del 4 luglio2025 che ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025.

(c) se e sempre vero prima del 4 luglio 2025 che ci sara una battaglia navale il 4luglio 2025, non e possibile che non ci sia una battaglia navale il 4 luglio 2025;

(d) se non e possibile che non ci sia una battaglia navale il 4 luglio 2025, alloranecessariamente ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025;

(e) dunque, se (1) e vero, necessariamente ci sara una battaglia navale il 4 luglio2025;

(f) con un ragionamento analogo, possiamo concludere che, se la negazione di (1)e vera, necessariamente non ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025;

(g) dunque, se (1) e vero o la negazione di (1) e vera, necessariamente ci sara unabattaglia navale il 4 luglio 2025 o necessariamente non ci sara una battaglianavale il 4 luglio 2025.


Mettere in forma l’argomentoFormuliamo l’argomento precedente in modo da distinguere chiaramente premesse econclusione (ometto le conclusioni intermedie):

Premessa A: se (1) e vero, allora il 4 luglio 2025 c’e una battaglia navale:


Premessa B: se il 4 luglio 2025 c’e una battaglia navale, e sempre vero prima del 4 luglio2025 che ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025.

Premessa C: se e sempre vero prima del 4 luglio 2025 che ci sara una battaglia navale il4 luglio 2025, necessariamente ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025;

Premessa D: se la negazione di (1) e vera, allora il 4 luglio 2025 non c’e una battaglianavale:


Premessa E: se il 4 luglio 2025 non c’e una battaglia navale, e sempre falso prima del 4luglio 2025 che ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025.

Premessa F: se e sempre falso prima del 4 luglio 2025 che ci sara una battaglia navale il4 luglio 2025, necessariamente non ci sara una battaglia navale il 4 luglio2025;

Conclusione: dunque, se (1) e vero o la negazione di (1) e vera, necessariamente ci sarauna battaglia navale il 4 luglio 2025 o necessariamente non ci sara unabattaglia navale il 4 luglio 2025.


L’argomento illustratoI In altre parole, secondo Aristotele, se ammettiamo che e vero

che ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025, allora lasituazione sulla linea del tempo e questa:

I Ma, se e questa la situazione, secondo Aristotele, dobbiamoconcludere che necessariamente ci sara una battaglia navale il 4luglio 2025 (conclusione falsa secondo lui).

I Un ragionamento analogo vale se assumiamo che e falso che cisara una battaglia navale il 4 luglio 2025.

I Dunque, se ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025 o non cisara una battaglia navale il 4 luglio 2025, allora necessariamentela battaglia ci sara il 4 luglio 2025 o necessariamente non cisara.


Due considerazioni

I Prima di passare a valutare l’argomento precedente, dueconsiderazioni sono opportune:

• la prima riguarda la conclusione dell’argomento a favore dellaterza premessa;

• la seconda riguarda l’interpretazione dei condizionali checontengono operatori modali.

I Iniziamo dalla prima considerazione.


Una discrepanzaI La premessa tre nell’argomento della battaglia navale ha la forma logica

seguente:

Premessa tre: se necessariamente o (1) e vero o la negazione di (1) e vera,necessariamente ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025 onecessariamente non ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025.

(1) il 4 luglio 2025 ci sara una battaglia navale.

Forma logica: 2(r ∨ s) ⊃ (2t ∨2∼ t)

I Ma la conclusione dell’argomento a sostegno della premessa tre ha una formalogica diversa:

Conclusione: dunque, se (1) e vero o la negazione di (1) e vera,necessariamente ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025 onecessariamente non ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025.

Forma logica: (r ∨ s) ⊃ (2t ∨2∼ t)

I Dunque, l’argomento supporta la premessa tre solo se “(r ∨ s) ⊃ (2t ∨2∼ t)”implica logicamente “2(r ∨ s) ⊃ (2t ∨2∼ t)”. E cosı?


Soluzione

I La risposta e positiva:

(r ∨ s) ⊃ (2t ∨2∼ t)

implica logicamente

2(r ∨ s) ⊃ (2t ∨2∼ t).

I (La prova e banale e vale in tutti i sistemi di deduzione cheabbiamo considerato).


La derivazione

1.

2.

3.

4.

5.

(r ∨ s) ⊃ (✷t ∨✷∼ t)

Prova: ✷(r ∨ s) ⊃ (✷t ∨✷∼ t)

✷(r ∨ s)

r ∨ s

✷t ∨✷∼ t

P

⊃I

Ass

✷E, 3

⊃E, 1, 4


Condizionali e operatori modali

I Passiamo ora alla seconda considerazione. Per valutarel’argomento di Aristotele a sostegno della terza premessa, eimportante prestare attenzione a una potenziale ambiguita checaratterizza i condizionali che contengono operatori modali.

I Considerate gli enunciati seguenti:

(2) Se Gianni e sposato, non e possibile che non abbia unconiuge.

(3) Se Gianni e sposato, necessariamente ha un coniuge.

(4) Se un enunciato della matematica e vero, non epossibile che non sia vero.

(5) Se un enunciato della matematica e vero,necessariamente e vero.


Operatori modali con ambito ampio

I Gli enunciati (2)-(3), presumibilmente, non asseriscono che, se Gianni esposato nelle circostanze attuali, allora ha un coniuge in ogni circostanzapossibile; sono invece naturalmente intesi come l’affermazione che in tuttele circostanze possibili in cui Gianni e sposato, Gianni ha un coniuge.

(2) Se Gianni e sposato, non e possibile che non abbia un coniuge.

(3) Se Gianni e sposato, necessariamente ha un coniuge.

I Vale a dire, potremmo parafrasare gli enunciati (2)-(3) dicendo:necessariamente, se Gianni e sposato, ha un coniuge (in quanto esseresposati comporta avere un coniuge).

I Dunque, gli operatori modali in (2)-(3), anche se compaiono nelconseguente del condizionale, si applicano in realta all’intero condizionale(hanno, come si dice, ambito ampio rispetto al condizionale).

I Vale dire, (2) e (3) sono delle forme “∼3∼ (p ⊃ q)” e “2(p ⊃ q)”.


Operatori modali con ambito stretto

I Gli enunciati in (4)-(5) sono invece naturalmente intesi comel’affermazione che le verita della matematica sono verita necessarie:

(4) Se un enunciato della matematica e vero, non e possibileche non sia vero.

(5) Se un enunciato della matematica e vero, necessariamente evero.

I In questo caso, gli operatori modali compaiono nel conseguente e siapplicano effettivamente solo al conseguente del condizionale(hanno dunque ambito stretto rispetto al condizionale, in quantonon si applicano all’intero condizionale, ma solo a una sua parte).

I Vale dire, (4) e (5) sono delle forme “p ⊃∼3∼q” e “p ⊃ 2q”.


Ambiguita dei condizionali modalizzati

I Le osservazioni precedenti mostrano che i condizionali checontengono operatori modali sono potenzialmente ambigui.

I Se l’operatore modale e contenuto nel conseguente, e possibileche si applichi in realta all’intero condizionale oppure epossibile che si applichi solo al conseguente.

I In alcuni casi, come per gli enunciati che abbiamoconsiderato, la forma logica intesa e ovvia. Ma non e dettoche sia sempre cosı.

I Nel dubbio, quando rappresentiamo un condizionale con unoperatore modale nel conseguente, dobbiamo considerareentrambe le forme logiche possibili.


Risolvere l’ambiguita nell’argomento di AristoteleI Torniamo ora alle premesse C ed F dell’argomento precedente:

Premessa C: se e sempre vero prima del 4 luglio 2025 che ci sara unabattaglia navale il 4 luglio 2025, necessariamente ci sarauna battaglia navale il 4 luglio 2025;

Premessa F: se e sempre falso prima del 4 luglio 2025 che ci sara unabattaglia navale il 4 luglio 2025, necessariamente non cisara una battaglia navale il 4 luglio 2025;

I Nelle premesse C e F, “necessariamente” e contenuto nelconseguente del condizionale.

I Come dobbiamo rappresentare queste premesse per esserefedeli alle intenzioni di Aristotele? Applicando questooperatore all’intero condizionale o solo al conseguente? Edifficile rispondere.

I La cosa migliore da fare in casi incerti come questo econsiderare entrambe le interpretazioni delle premesseambigue e valutare entrambi gli argomenti che si ottengono.


L’interpretazione con ambito ampio

I Se, nella premessa C, “necessariamente” e inteso applicarsi all’interocondizionale, questa premessa ha la rappresentazione seguente:

Premessa C: se e sempre vero prima del 4 luglio 2025 che ci sarauna battaglia navale il 4 luglio 2025, necessariamenteci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025;

• 2(r ⊃ n)

I Si noti che, in questa interpretazione, la premessa C e un principioplausibile: necessariamente, se e sempre vero prima del 4 luglio 2025che ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025, allora ci sara unabattaglia navale il 4 luglio 2025.

I Infatti, in ogni circostanza possibile, se e sempre vero prima del 4luglio 2025 che ci sara una battaglia navale quel giorno, e vero checi sara una battaglia navale quel giorno.

I (Un discorso analogo vale per la premessa F).


L’interpretazione con ambito strettoI Se, nella premessa C, “necessariamente” e inteso applicarsi solo al

conseguente del condizionale, la premessa ha la rappresentazioneseguente:

Premessa C: se e sempre vero prima del 4 luglio 2025 che ci sara unabattaglia navale il 4 luglio 2025, necessariamente ci sarauna battaglia navale il 4 luglio 2025;• r ⊃ 2n

I Si noti che, in questa interpretazione, la premessa C e un principiocontroverso.

I Infatti, si potrebbe obiettare questo: anche se nel mondo reale esempre vero prima del 4 luglio 2025 che ci sara una battaglia navalequel giorno, questo non esclude che in circostanze possibili diverse daquelle reali non si verifichi alcuna battaglia navale il 4 luglio 2025;dunque e possibile che non si verifichi alcuna battaglia navale il 4luglio 2025.

I (Un discorso analogo vale per la premessa F).


Rappresentazione dell’argomento di Aristoteleambito stretto

Premessa A: p ⊃ q

Premessa B: q ⊃ r

Premessa C: r ⊃ 2n

Premessa D: s ⊃∼ q

Premessa E: ∼ q ⊃ t

Premessa F: t ⊃ 2∼n

Conclusione: (p ∨ s) ⊃ (2n ∨2∼n)

I p: l’enunciato “il 4 luglio 2025 ci sara una battaglia navale” evero

I q: c’e una battaglia navale 4 luglio 2025I r : e sempre vero prima del 4 luglio 2025 che ci sara una

battaglia navale il 4 luglio 2025I s: l’enunciato “il 4 luglio 2025 ci sara una battaglia navale” e

falsoI t: e sempre falso prima del 4 luglio 2025 che ci sara una

battaglia navale il 4 luglio 2025I n: ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025


Rappresentazione dell’argomento di Aristoteleambito ampio

Premessa A: p ⊃ q

Premessa B: q ⊃ r

Premessa C: 2(r ⊃ n)

Premessa D: s ⊃∼ q

Premessa E: ∼ q ⊃ t

Premessa F: 2(t ⊃∼n)

Conclusione: (p ∨ s) ⊃ (2n ∨2∼n)

I p: l’enunciato “il 4 luglio 2025 ci sara una battaglia navale” evero

I q: c’e una battaglia navale 4 luglio 2025I r : e sempre vero prima del 4 luglio 2025 che ci sara una

battaglia navale il 4 luglio 2025I s: l’enunciato “il 4 luglio 2025 ci sara una battaglia navale” e

falsoI t: e sempre falso prima del 4 luglio 2025 che ci sara una

battaglia navale il 4 luglio 2025I n: ci sara una battaglia navale il 4 luglio 2025


Valutazione dell’argomento con ambito stretto

I L’argomento che rappresenta la premessa C assegnandoall’operatore modale ambito stretto rispetto al condizionale evalido in tutti i linguaggi modali considerati:

Premessa A: p ⊃ qPremessa B: q ⊃ rPremessa C: r ⊃ 2nPremessa D: s ⊃∼ qPremessa E: ∼ q ⊃ tPremessa F: t ⊃ 2∼nConclusione: (p ∨ s) ⊃ (2n ∨2∼n)

I Infatti, per la transitivita di “⊃”, dalle premesse A, B e Cposso derivare “p ⊃ 2n”. In modo analogo, per la transitivitadi “⊃”, dalle premesse D, E e F, posso derivare “s ⊃ 2∼n”.La conclusione segue da queste conclusioni intermedie.



Valutazione dell’argomento con ambito ampio

I L’argomento che rappresenta la premessa C assegnandoall’operatore modale ambito ampio rispetto al condizionale non evalido in nessuno dei linguaggi modali considerati:

Premessa A: p ⊃ qPremessa B: q ⊃ rPremessa C: 2(r ⊃ n)Premessa D: s ⊃∼ qPremessa E: ∼ q ⊃ tPremessa F: 2(t ⊃∼n)Conclusione: (p ∨ s) ⊃ (2n ∨2∼n)

I Notate che, in questo caso la transitivita di “⊃” non permette diderivare “p ⊃ 2n” dalle premesse A, B e C: al passo 13 della provaprecedente non posso piu ottenere “2n” per ⊃E (modus ponens).Lo stesso vale la derivazione di “s ⊃ 2∼n”: al passo 19 non possopiu ottenere “2∼n” per ⊃E.


Un contro-modelloI Possiamo mostrare che l’argomento precedente non e valido in LS5 (e dunque

in nessuno dei linguaggi modali considerati), osservando che le premessedell’argomento sono vere e la conclusione falsa al mondo w0 in ogni modello incui

• W = {w0,w1,w2}• ν(n,w0) = 0• ν(p,w0) = 0• ν(q,w0) = 0• ν(r ,w0) = 0• ν(s,w0) = 1• ν(t,w0) = 1• ν(r ,w1) = 0• ν(n,w1) = 0• ν(n,w2) = 1• ν(t,w2) = 0

Premessa A: p ⊃ qPremessa B: q ⊃ rPremessa C: 2(r ⊃ n)Premessa D: s ⊃∼ qPremessa E: ∼ q ⊃ tPremessa F: 2(t ⊃∼n)Conclusione: (p ∨ s) ⊃ (2n ∨2∼n)


ConclusioneI Nei linguaggi modali che abbiamo considerato, l’argomento di Aristotele e

valido in una interpretazione: quella che rappresenta le premesse C e Fcon “necessariamente” che si applica solo al conseguente.

Premessa C: se e sempre vero prima del 4 luglio 2025 che ci sara unabattaglia navale il 4 luglio 2025, necessariamente ci sara unabattaglia navale il 4 luglio 2025;

Premessa F: se e sempre falso prima del 4 luglio 2025 che ci sara unabattaglia navale il 4 luglio 2025, necessariamente non ci sarauna battaglia navale il 4 luglio 2025;

I Ma, come abbiamo visto, in questa interpretazione la premessa C edubbia (lo stesso vale per la premessa F).

I Se invece rappresentiamo la premessa C assegnando a “necessariamente”ambito ampio rispetto al condizionale, la premessa C appare plausibile (ecosı la premessa F), ma l’argomento non e valido in nessuno dei linguaggimodali considerati.

I Dunque, l’argomento di Aristotele a sostegno della premessa trenell’argomento della battaglia navale o e invalido o contiene una premessadubbia.


Le obiezioni al principio di bivalenza

I Il principio di bivalenza e la tesi secondo cui ogni enunciatoassertivo e vero o falso.

I Se la ricostruzione dell’argomento di Aristotele presentata quie corretta, Aristotele non e riuscito a mostrare che il principiodi bivalenza e falso.

I Questo pero non ci autorizza a concludere che il principio evero (e sempre possibile dare argomenti discutibili per tesivere).

I Infatti, il principio di bivalenza e stato messo in discussioneanche per ragioni diverse da quelle avanzate da Aristotele.

I Vediamo brevemente quali sono.

I (La discussione seguente si basa su Bonevac 2003 e Priest2008).


Un argomento basato sulle presupposizioni


(6) Gianni ha smesso di picchiare la moglie.

(7) Il re di Francia e calvo.

I Supponete che Gianni non picchi la moglie ne l’abbia mai picchiata. Evero l’enunciato (6)? Non pare appropriato rispondere “sı”. Infatti, serispondiamo “sı”, suggeriamo che Gianni prima abbia picchiato la moglie.Ma non pare appropriato neppure rispondere no. Infatti, se rispondiamo“no”, suggeriamo che la stia ancora picchiando. Dunque, nel caso cheabbiamo considerato, parrebbe che (6) non abbia un valore di verita.

I Lo stesso vale per l’enunciato (7). E vero (7)? Chiaramente, la rispostanon e “si”. Ma, se rispondiamo “no”, suggeriamo che c’e un re diFrancia. Dunque, non pare appropriato rispondere ne “si” ne “no”. Dinuovo, parrebbe dunque che (7) non abbia un valore di verita.


Una replicaI I sostenitori del principio di bivalenza replicano che gli enunciati (6)-(7) sono falsi

nelle circostanze che abbiamo descritto:

(6) Gianni ha smesso di picchiare la moglie.

(7) Il re di Francia e calvo.

I A sostegno di questa affermazione, osservano che e possibile motivare l’affermazioneche (6)-(7) sono falsi dicendo:

(8) Gianni non ha smesso di picchiare la moglie, per la semplice ragione che nonl’ha mai picchiata!

(9) Il re di Francia non e calvo, per la semplice ragione che che non c’e un re diFrancia!

I I sostenitori del principio di bivalenza hanno l’onere di spiegare perche asseriresemplicemente (10)-(11) suggerisce che Gianni abbia picchiato la moglie in passato eil re di Francia esista, e i detrattori del principio devono spiegare perche gli enunciati(8)-(9) sembrano veri:

(10) Gianni non ha smesso di picchiare la moglie.

(11) Il re di Francia non e calvo.


Un argomento basato sulle entita fittizie


(12) Nei racconti di Conan Doyle, Sherlock Holmes e undetective.

(13) Nei racconti di Conan Doyle, Sherlock Holmes e unbecchino.

(14) Nei racconti di Conan Doyle, Sherlock Holmes amaMozart.

I Pare ragionevole sostenere che, mentre (12) e vero e (13) e falso,l’enunciato (14) non ha alcun un valore di verita, perche iracconti di Conan Doyle non ci danno alcuna evidenza ne per direche e vero che Holmes amava Mozart ne per dire che e falso.

I Dunque, enunciati come (14) mostrano che il principio dibivalenza e falso.


Una replica

I I sostenitori del principio di bivalenza potrebbero replicarecosı. L’enunciato (14) e falso, perche, se una proprieta nonviene esplicitamente o implicitamente attribuita a Holmes neiracconti, e falso che Holmes gode di quella proprieta neiracconti:

(14) Nei racconti di Conan Doyle, Sherlock Holmes amavaMozart.


Un argomento basato sul gusto

I L’enunciato (15) non e ne vero ne falso: infatti, non ha sensodire che enunciati su questioni di gusto, come (15), sono verio falsi in assoluto:

(15) Fantastic Mr. Fox e un bellissimo film.


Una replica

I Ecco la replica di un sostenitore del principio di bivalenza:

Balle! Ci sono film belli e film brutti. Fantastic Mr.Fox e bellissimo.


Un argomento basato sulla vaghezza

I L’enunciato (16) e vero e l’enunciato (17) e falso. Mal’enunciato (18) non e ne vero ne falso, in quanto Eta betanon e ne chiaramente calvo come Mr. Magoo, ne chiaramentenon calvo come Archimede Pitagorico:

(16) Mr. Magoo e calvo

(17) Archimede Pitagorico e calvo

(18) Eta beta e calvo


Documents

La battaglia navale - unimi.it · 2013-04-20 · La battaglia navale Sandro Zucchi 2012-13 S. Zucchi: Metodi formali per loso { Battaglia navale e bivalenza 1 L’argomento della