la capacità di un elemento di opporsi alle deformazioni generate da un carico

la rigidezza è costante fintanto che l'elemento presenta comportamento lineare

RIGIDEZZARIGIDEZZA

Fk

accorciamento del pilastro:

F

Esempio: pilastro soggetto ad un carico centrato

tensioni: σ = F/A

deformazioni: ε = F/EA

hEAFdhhh

0

h

EA

hEA

FF

h

Fk

rigidezza:

RIGIDEZZA ASSIALERIGIDEZZA ASSIALE

RIGIDEZZA FLESSIONALERIGIDEZZA FLESSIONALE

348

l

EJk

F

F

F

33

h

EJk

3

12

h

EJk

La distribuzione delle forze fra più elementi resistenti

avviene proporzionalmente alle rigidezze degli

elementi nell'ipotesi di movimento rigido

dell'elemento che li collega.

F

FFF 21

2

222

1

111

h

AEk

h

AEk

2211 kFkF

2121 kkkkF

21 kk

F

21

22

21

11

kk

kFF

kk

kFF

F

F1

F2

Pilastro in cemento armato soggetto a sforzo normale

Ac, Ec

Aa, Ea

ac NNN

aaacccaacc AEAEAA

acaacc AEAE

N

aca

c

ac

aacc

ccc nAA

N

AE

EA

N

AEAE

ENE

ac

c

aacc

cc

aacc

ccccc kk

kN

hAE

hAE

hAE

NAEAE

AENAEN

F

Struttura costituita da un solaio sostenuto da 4 pilastri, che costituiscono 2 telai nella direzione della forza F

Ipotesi di solaio infinitamente rigido nel proprio piano

Distribuzione della forza orizzontale Distribuzione della forza orizzontale fra le strutture verticalifra le strutture verticali

Problema: come si ripartisce la forza fra i due telai

F

F2

F1

R

R R'

21

22

21

11

kk

kFF

kk

kFF

Forza centrataForza centrata

MF

F2

F1

R FRe

F

F*e e

ii d

Forza eccentricaForza eccentrica

F

la rigidezza è direttamente proporzionale al modulo elastico E

se il materiale ha comportamento elastico lineare, la rigidezza è costante

tgFk

F

s

oltre il campo elastico, la rigidezza si abbatte

è proporzionale al modulo elastico secante

ANALISI DINAMICA DI IMPALCATO SOSTENUTO DA PIEDRITTI VERTICALI

Ipotesi:

1. impalcato infinitamente rigido nel proprio piano; ovvero, la rigidezza del solaio nel suo piano è molto

grande rispetto alla rigidezza laterale del pilastri

2. deformabilità assiale dei pilastri trascurabile

3. telai dotati di rigidezza solo nel proprio piano

4. massa concentrata a livello dell'impalcato, piedritti privi di massa

Dalle prime due ipotesi discende che il solaio può solo traslare e ruotare rigidamente nel proprio piano.

Pertanto sono sufficienti tre parametri per definire univocamente la configurazione del sistema: il sistema è

perciò a tre gradi di libertà.

coordinate del sistema: x, y traslazioni orizzontali, rotazione, del baricentro G dell'impalcato

m = densità di massa

(costante)

M = massa totale

G = baricentro delle masse

x

x

x

y

y..

G(t)

G

d y d yd y

1

2

3

Il sistema strutturale spaziale può pensarsi costituito dall'insieme di telai piani orditi secondo x e secondo y;

in generale si avranno s telai orditi in direzione x di rigidezza laterale Kx e t telai orditi in direzione y di

rigidezza laterale Ky. In genere, è lecito trascurare la rigidezza dei telai fuori del loro piano e la rigidezza

torsionale dei pilastri, in quanto molto piccole rispetto al contributo fornito dalla rigidezza laterale dei telai

piani.

Per risolvere il problema si devono scrivere tre equazioni di equilibrio dinamico: equilibrio alla traslazione in

direzione x, in direzione y e equilibrio alla rotazione intorno all'asse verticale per G.

Se si trascura lo smorzamento, per la massa elementare, dM = mdA, le forze in gioco sono: le forze

d'inerzia - provocate dalle tre componenti di accelerazione - e le forze elastiche.

l

G

m dA (x+ x )..

G

..

m dA y..

m dA l..

Fx

yF

lx

ly

Nell'equilibrio alla traslazione in direzione x, figurano:

le forze d'inerzia legate all'accelerazione assoluta in direzione x:

G

A

G

A

G xxMdAxxmdAxxm x è la stessa per tutte le masse

elementari, per l'ipotesi di piano rigido

le componenti in direzione x delle forze d'inerzia legate all'accelerazione angolare:

0cos A

y

A

dAlmlmdA 0A

ydAl momento statico rispetto all'asse x

le forze elastiche in direzione x, somma delle forze di richiamo elastiche esercitate da ciascun telaio

ordito secondo x; la forza esercitata da ciascun telaio è proporzionale alla rigidezza traslazionale Kxi ed allo

spostamento in direzione x del telaio stesso:

iii yxx dxKF

y

d y d yd y

1

2

3

x

y

x- d y3

y +d x 2

Fy = ---- -yF

yK

L ' e q u a z i o n e d i e q u i l i b r i o d i n a m i c o è :

01

ii y

s

ixG dxKxxM

I n a n a l o g i a a l l a p r e c e d e n t e , s i s c r i v e l ' e q u a z i o n e d i e q u i l i b r i o a l l a t r a s l a z i o n e i n d i r e z i o n e y :

01

ii x

t

iy dyKyM

N e l l ' e q u a z i o n e d i e q u i l i b r i o a l l a r o t a z i o n e i n t o r n o a G i l m o m e n t o d e l l e f o r z e d ' i n e r z i a p u ò

s c r i v e r s i :

222 MJlmdAlmdAlymdAlxxmdA G

AAA

x

A

yG

L ' e q u a z i o n e r i s u l t a :

011

2

iiiiii xx

t

iyyy

s

ix ddyKddxKM

R ia ssu m e n d o :

0

0

1

2

1

2

11

2

11

11

t

ixy

s

iyx

t

ixy

s

iyx

t

ixy

t

iy

G

s

iyx

s

ix

iiiiiiii

iii

iii

dKdKdKydKxM

dKKyyM

xMdKKxxM

è u n s is te m a d i e q u a z io n i d i f fe re n z ia l i d e l o rd in e n e l le in c o g n ite x , y , .

T ra m ite l 'a n a l is i m o d a le è p o s s ib i le d is a c c o p p ia re le e q u a z io n i e r is o lv e r le s e p a ra ta m e n te u t i l iz z a n d o i

r is u l ta t i n o t i p e r l 'o s c i l la to re s e m p l ic e .