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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA. ESCUELA PREPARATORIA No. 5. Departamento de Ciencias Formales. Cursos de Nivelación. Matemáticas IV. LA CIRCUNFERENCIA. Ing. Jaime Acosta Vélez. Las Cónicas. Se obtienen haciendo diferentes cortes un Cono, estas figuras pueden ser:. 1.- La Circunferencia - PowerPoint PPT Presentation
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LA CIRCUNFERENCIA
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAUNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 5ESCUELA PREPARATORIA No. 5
Departamento de Ciencias FormalesDepartamento de Ciencias Formales
Matemáticas IVMatemáticas IV
Cursos de NivelaciónCursos de Nivelación
Ing. Jaime Acosta VélezIng. Jaime Acosta Vélez
Las CónicasSe obtienen haciendo diferentes cortes un Cono, estas figuras pueden ser:
1.- La Circunferencia
2.- La Elipse
3.- La Parábola
4.- La Hipérbola
Las Cónicas
1.- Cuando el corte se hace paralelo a la base del cono entonces la figura que resulta será Una Circunferencia.
Las Cónicas2.- Si el Corte se realiza con un ángulo diferente a 0° o 180° con respecto a
la base del cono, entonces la figura que resulta será una Elipse.
Las Cónicas3.- Si el corte es paralelo a una de las Generatrices entonces
la figura será una Parábola
Las Cónicas3.- Si el corte es paralelo al eje que pasa por el vértice del
cono entonces la figura será una Hipérbola.
Las Cónicas
En esta ocasión, solo estudiaremos a la Circunferencia
LA CIRCUNFERENCIA
Múltiples figuras se relacionan con la CircunferenciaMúltiples figuras se relacionan con la Circunferencia
LA CIRCUNFERENCIA
LA CIRCUNFERENCIA
Centro
Línea Curva cerrada formada por un Conjunto de puntos colocados a una Línea Curva cerrada formada por un Conjunto de puntos colocados a una misma distancia misma distancia (llamada Radio)(llamada Radio) de un punto interior de un punto interior (llamado Centro)(llamado Centro)
Radio
LA CIRCUNFERENCIA
Cuando cambia el Radio cambia el tamaño de la Circunferencia
LA CIRCUNFERENCIA
Cuando cambia el Centro cambia la Posición de la Circunferencia
LA CIRCUNFERENCIA
Cuando cambia el Centro cambia la Posición de la Circunferencia
LA CIRCUNFERENCIA
Cuando cambia el Centro cambia la Posición de la Circunferencia
LA CIRCUNFERENCIA
Parámetros de la Circunferencia
Centro:
Cambia de posición
Radio:
Cambia de Tamaño
LA CIRCUNFERENCIA
Posiciones de la Circunferencia en el Plano Cartesiano Posiciones de la Circunferencia en el Plano Cartesiano
Centro fuera del origen y de los ejes:
Ecuación Canónica
Ecuación Homogénea
Centro sobre alguno de los Ejes:
En la parte Positiva del eje “X”
En la parte Negativa del eje “X”
En la parte Positiva del eje “Y”
En la Parte Negativa del eje “Y”
Ecuación en su Forma GeneralEcuación en su Forma General
Ecuación en su Forma ParticularEcuación en su Forma Particular
Centro sobre el origen del Sistema Cartesiano:
LA CIRCUNFERENCIA
Forma Canónica:
(X – h)² + (Y – k)² = R²
LA CIRCUNFERENCIA
Forma Homogénea:
Si se elevan los cuadrados de la ecuación anterior se obtiene:
(X² - 2hX + h²) + (Y² - 2kY + k²) = R²
Separando y reagrupando términos e igualando a cero:X² + Y² - 2hX - 2kY + h² + k² - R² = 0
Considerando:-2h = D-2k = E
y h² + k² - R² = F
(X – h)² + (Y – k)² = R²
X² + Y² + DX + EY + F = 0
LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte positiva del eje “X”:
Si la Circunferencia tiene su centro en la parte positiva del eje “X” entonces: C(h, 0) Y de la ecuación:(X – h)² + (Y – k)² = R²
Se obtiene:(X – h)² + (Y – 0)² = R²(X – h)² + Y² = R²
Elevando cuadrados y reagrupando:(X² - 2hX + h²) + Y² = R²X² + Y²- 2hX + h² - R² = 0
como:-2h = D
y h² - R² = F porque k = 0
Se obtiene la Ecuación:
X² + Y² + DX + F = 0
LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte positiva del eje “Y”:
Si la Circunferencia tiene su centro en la parte positiva del eje “Y” entonces: C(0, k)
Y de la ecuación:(X – h)² + (Y – k)² = R²
Se obtiene:(X – 0)² + (Y – k)² = R²X² + (Y – k)² = R²
Elevando cuadrados y reagrupando:
X² + Y² - 2kY + k² = R²X² + Y²- 2kY + k² - R² = 0
como:-2k = E y k² - R² = F porque h = 0Se obtiene la Ecuación:
X² + Y² + EY + F = 0
LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte negativa del eje “X”:
Si la Circunferencia tiene su centro en la parte Negativa del eje “X” entonces: C(-h, 0)
Y de la ecuación:(X – h)² + (Y – k)² = R²
Se obtiene:(X – h))² + (Y – 0)² = R²(X - h)² + Y² = R²
elevando cuadrados y reagrupando:
X² + Y² - 2hX + h² = R²X² + Y² - 2hX + h² - R² = 0
como:-2h = D y h² - R² = F porque k =
0
Se obtiene la Ecuación:
X² + Y² + DX + F = 0
LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte negativa del eje “Y”:
Si la Circunferencia tiene su centro en la parte Negativa del eje “Y” entonces: C(0, - k)
Y de la ecuación:(X – h)² + (Y – k)² = R²
Se obtiene:(X – 0))² + (Y – k)² = R²X² + (Y – k)² = R²
Elevando cuadrados y reagrupando:
X² + Y² - 2kY + k² = R²X² + Y² - 2kY + k² - R² = 0
como:-2k = E y k² - R² = F porque h =
0
Se obtiene la Ecuación:
X² + Y² + EY + F = 0
LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación de la Circunferencia con centro en el Origen:
Si la Circunferencia tiene su centro en el Origen del Sistema Cartesiano entonces: C(0, 0)
Y de la ecuación:(X – h)² + (Y – k)² = R²
Se obtiene:(X – 0))² + (Y – 0)² = R²
Se obtiene la Ecuación:
X² + Y² = R²
LA CIRCUNFERENCIA
Ejemplos:1. Dados los puntos A(-1,3) y B(3,3) correspondientes a los
extremos del diámetro de una circunferencia. ¿Cuál es la ecuación de dicha circunferencia?
Punto medio de AB:
12
2
2
)1(3
X
32
6
2
33
Y
Por lo tanto el Centro es:C( 1, 3) de donde h = 1 y k = 3
De la formula de distancia entre dos puntos:
3)² - (3 ²)13( r
Por lo Tanto
2r
Sustituyendo en la ecuación:
(X – h)² + (Y – k)² = r²(X – 1)² + (Y – 3)² = 2²
Desarrollando cuadrados y ordenando:X² - 2X + 1 + Y² - 6Y + 9 = 4X² + Y² - 2X -6Y + 1 + 9 – 4 = 0
Por lo tanto:
X² + Y² - 2X -6Y + 6 = 0 será la ecuación de la circunferencia.
LA CIRCUNFERENCIA
2.- Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen
y tiene su centro en el punto de intersección de las rectas:
Ejemplos:
x – 2y – 1 = 0, y x + 3y – 6 = 0
Por simultáneas se obtiene:
- x - 3y + 6 = 0
x – 2y – 1 = 0
(x + 3y – 6 = 0)-1
0 – 5y + 5 = 0
x + 3y – 6 = 0
x – 2y – 1 = 0
x – 2y – 1 = 0
155
y
y = 1
063 yx
3)1(36 xx = 3
Por lo tanto el centro se
encuentra en:
C(3, 1) de ahí que h =3 y k = 1
De la formula de distancia entre dos puntos:
16.310191² ²3 0)² - (1 ²)03( r
de la ecuación:(X – h)² + (Y – k)² = r²
(X – 3)² + (Y – 1)² = 3.16²
X² - 6X + 9 + Y² - 2Y + 1 = 10
X² + Y²- 6X - 2Y + 9 + 1 = 10
X² + Y²- 6X - 2Y + 9 + 1 - 10 = 0
Por lo tanto:
X² + Y² - 6X -2Y = 0 será la ecuación de la circunferencia.
LA CIRCUNFERENCIA
3.- Determinar si la ecuación 2x² + 2y² + 4x + 8y - 4 = 0, pertenece a una circunferencia
y si es, obtener su centro y su radio.
Ejemplos:
Agrupamos términos los valores de X y de Y: (x² + 2x )+ (y² + 4y) - 2 = 0
Completamos cuadrados y restamos para no alterar: (x² + 2x + 1 )+ (y² + 4y + 4) - 1 - 4 - 2 = 0
La llevamos a la forma general X² + Y² + DX + EY + F = 0 dividiendo entre 2 y obtenemos: x² + y² + 2x + 4y - 2 = 0
Factorizamos y reducimos: (x + 1)² +(y + 2)² - 7 = 0
La llevamos a su forma canónica y comparamos término a termino: (x + 1)² +(y + 2)² = 7 (x + h)² +(y + k)² = r²
de donde se obtiene que:C(h, k) es C(-1, -2) y el radio es 64.27 r
LA CIRCUNFERENCIA
Como el radio es positivo y mayorque cero entonces si se trata de una circunferencia Cuyo radio es R = 2.64 y el centro es C(-1, -2)
