Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ciencias

Departamento de Matematica y C.C.

Geometria Analıtica 22103GUIA 3-Circunferencia

Profesor: Rodrigo Perez A.Primer Semestre 2008

1. Hallar la ecuacion de la circunferencia de centro:

a) El punto (3,−4) y que pasa por el origen.

b) El punto (−1, 2) y que pasa por el punto (2, 6).

c) El punto (−4, 2) y diametro 8.

d) El punto (−4, 3) y tangente al eje Y.

2. Encontrar la ecuacion de la circunferencia de diametro el segmento que une lospuntos (−3, 5) y (7,−3).

3. Determinar la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos:

a) (1, 1), (1,−1) y (2, 0).

b) (4, 5), (3,−2) y (1,−4).

c) (8,−2), (6, 2) y (3,−7).

4. Dado el triangulo de vertices A(−1, 0), B(2, 9/4) y C(5, 0), determinar la ecuacionde la circunferencia:

a) Circunscrita en el triangulo.

b) Inscrita en el triangulo.

c) Que pasa por los puntos medios de los lados del triangulo.

d) Cuyo centro es el vertice A y que es tangente al lado BC.

5. Analizar cual de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia, en el casoafirmativo determinar su centro y su radio:

a) x2 + y2 − 2y − 1 = 0 b) x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0c) 4x2 + 4y2 − 4x + 12y + 1 = 0 d) x2 − y2 + 2x− 2y + 2 = 0e) 13x2 + 13y2 + 125x− 64y + 403 = 0 f) x2 + y2 − 8x− 2y + 12 = 0g) 16x2 + 9y2 = 144 h) 7x2 + 7y2 − 10x− 10y − 12 = 0i) 3x2 + 3y2 − 13x + 3y + 6 = 0 j) x2 + y2 + 24x + 10y = 0

6. Mostrar que las circunferencias:

1

a) 4x2 + 4y2 − 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 12y2 − 48x + 36y + 55 = 0 sonconcentricas.

b) x2 + y2 + 4x + 6y − 23 = 0 y x2 + y2 − 8x− 10y + 25 = 0 son tangentes.

7. Un cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 esta sobre la recta cuya ecuacion esx− 7y + 25 = 0. Hallar la longitud de la cuerda.

8. El punto medio de una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 50 es (−2, 4). Hallarla ecuacion de la cuerda.

9. Determinar la ecuacion de la cuerda de la circunferencia (x− 3)2 +(y− 7)2 = 169cuyo punto medio es el punto (17

2, 3

2).

10. Hallar la ecuacion del diametro de la circunferencia x2 + y2 + 4x − 6y − 17 = 0que es perpendicular a la recta de ecuacion 5x + 2y − 13 = 0.

11. Determinar la ecuacion de la circunferencia:

a) Que pasa por los puntos (−1,−4), (2,−1) y cuyo centro esta sobre la recta4x + 7y + 5 = 0.

b) Que pasa por el origen y es tangente a la recta de ecuacion y = x + 2 en elpunto (1, 3).

c) Que es tangente a la recta 3x+2y−12 = 0 y cuyo centro es el punto (−4, 1).

d) Que es tangente a los dos ejes coordenados, de radio 8 y cuyo centro este enel primer cuadrante.

e) De radio 5 y que posee centro en el punto de interseccion de las rectas3x− 2y − 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0.

12. Hallar la ecuacion de la circunferencia que:

a) Tiene radio 5 y pasa por los puntos (0, 2), (7, 3) (dos soluciones).

b) Tiene radio 5 y es tangente a la recta 3x− 4y− 1 = 0 en el punto (3, 2) (dossoluciones).

c) Tiene radio√

13 y es tangente a la circunferencia x2 + y2− 4x + 2y− 47 = 0en el punto (6, 5) (dos soluciones).

d) Tiene su centro sobre la recta 7x− 2y− 1 = 0 y que es tangente a las rectas5x− 12y + 5 = 0 y 4x + 3y − 3 = 0 (dos soluciones).

13. Hallar la ecuacion de la circunferencia que:

a) Pasa por el punto (−8, 5) y por la interseccion de las circunferencias deecuaciones x2 + y2 − 8x− 6y + 17 = 0, x2 + y2 − 18x− 4y + 67 = 0.

2

b) Tiene su centro sobre la recta de ecuacion 2x + y− 14 = 0 y que pasa por lainterseccion de las circunferencias de ecuaciones x2 + y2 − 8x− 4y + 11 = 0,x2 + y2 − 4x− 4y − 8 = 0.

c) Pasa por la interseccion de las circunferencias de ecuaciones x2+y2−6x+4 =0, x2 + y2 − 2 = 0 y que es tangente a la recta de ecuacion x + 3y − 14 = 0(dos soluciones).

d) De radio 52

√2 y que pasa por las intersecciones de las circunferencias x2 +

y2 + 2x− 6y − 16 = 0 y x2 + y2 − 6x + 2y = 0 (dos soluciones).

14. Dada la circunferencia x2+y2 = 5, hallar los valores de k para los cuales las rectasx− 2y + k = 0:

a) Corten a la circunferencia en dos puntos distintos.

b) Sea tangente a la circinferencia.

c) No corte a la circunferencia.

15. Detemine los valores de k ∈ R de modo que la ecuacion x2 − 2x + y2 + 4y = krepresente una circunferencia con centro en (1,−2) y radio 5.

16. Desde el punto A(−2,−1) se traza una tangente a la circunferencia x2 +y2−6x−4y − 3 = 0. Si B es elpunto de contacto, hallar la longitud del segmento AB.

17. Deteminar la ecuacion(es) de la circunferencia de radio 4, cuyo centro pertenezcaa la recta 4x + 3y + 7 = 0, y es tangente a la recta 3x + 4y + 34 = 0.

18. Sean las circunferencias:

C1 : x2 + y2 − 3x− 6y + 10 = 0 , C2 : x2 + y2 − 5 = 0

a) Mostrar que C1 y C2 son tangentes. Hallar la ecuacion de la circunferenciatangente a C1 y C2 en su punto comun y que pasa por el punto (7, 2).

b) Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto comuny cuyo centro esta sobre la recta 3x + y + 5 = 0.

c) Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto comuny cuyo radio es igual a 3

2

√5 (dos soluciones).

d) Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto comuny que es tangente a la recta x− 2y − 1 = 0. (dos soluciones)

19. Hallar la ecuacion y la longitud de la cuerda comun de las circunferencias x2 +y2 − 8y + 6 = 0 y x2 + y2 − 14x− 6y + 38 = 0.

20. Un circulo tiene su centro en el punto (−2,−4). Sabiendo que es tangente a larecta x + y + 12 = 0, calcular el area del circulo.

21. Hallar la(s) recta(s) tangente(s) a la circunferencia:

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a) x2 + y2 − 8x + 6y = 0 en el punto (1, 1).

b) x2 + y2 + 4x− 10y + 21 = 0 que son paralelas a la recta 5x− 5y + 31 = 0.

c) x2 + y2 + 6x− 8 = 0 que son perpendiculares a la recta 4x− y + 31 = 0.

22. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (6,−4) a la circunferenciax2 + y2 + 2x− 2y − 35 = 0.

23. Por el punto (−5, 4) se trazan tangentes a la circunferencia x2 + y2− 10x+7 = 0.Hallar el angulo agudo que forman estas tangentes.

24. Hallar el angulo agudo

a) Que forman la recta 2x+3y−6 = 0 y la circunferencia x2+y2+2x−4y−3 = 0al cortarse.

b) Que forman las circunferencias x2 + y2 = 17 y x2 + y2 − 12x− 4y + 11 = 0en su interseccion.

25. Hallar la ecuacion de la normal a la circunferencia x2 + y2− 6x + 10y + 21 = 0 enel punto (6,−3) y demostrar que pasa por el centro de la circunferencia.

26. Una circunferencia de radio 4 tiene su centro en el punto (1,−1). Hallar el lugargeometrico de los puntos medios de todos sus radios.

27. Un punto de un plano se mueve de tal manera que:

a) Su distancia del punto (4, 2) es siempre igual al doble de su distancia delpunto (−1, 3).

b) Su distancia del punto (2,−2) es siempre igual a un tercio de su distanciadel punto (−1, 3).

c) El cuadrado de su distancia del punto (1, 2) es siempre igual al doble de sudistancia de la recta 3x + 4y − 1 = 0.

d) La suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (2, 0) y (−1, 0) essiempre igual a 5.

e) La suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (0, 3), (3, 0) y(−2,−2) es siempre igual a 30.

Hallar e identificar la ecuacion de su lugar geometrico.

28. Desde un punto P se trazan tangerntes perpendiculares a las circunferencias

C1 : x2 + y2 = 9 , C2 : x2 + y2 − 8x + 12 = 0

Si la longitud de la tangente trazada a C1 es igual siempre al doble de la longitudde la tangente trazada a C2, hallar el lugar geometrico de P .

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