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LA CONSTRUCTION NUMERIQUE
Triangle, Pyramide, demi-pyramide, Terrassade
BILEOMBELE WA LUMONA [email protected]
Rsum Savez-vous que dans chaque base de numration les nombres ne
sont pas disposs au petit bonheur ? Cest ce que vous dcouvrirez en
compulsant cette thorie. Dautre part il est aussi question dune
disposition des nombres ou structure numrique, pour utiliser le
terme consacr, qui ne concerne pas les bases numrales.
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1
Table des matires
..............................................................................................................................................................................................................................
3
.........................................................................................................................................................................................................................
4
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7
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8
...............................................................................................................................................................................................
8
...................................................................................................................................................................................................................................
9
..................................................................................................................................................................................................
9
.................................................................................................................................................................................................
10
.........................................................................................................................................................................................................................
11
.........................................................................................................................................................................
13
.....................................................................................................................................................................................
13
.........................................................................................................................................................................................................
13
..........................................................................................................................................................................................................
15
...............................................................................................................................................................................................................
15
.......................................................................................................................................................................................................................
17
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19
.........................................................................................................................................................................................................
19
..........................................................................................................................................................................................................
21
...............................................................................................................................................................................................................
23
.......................................................................................................................................................................................................................
25
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2
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29
.........................................................................................................................................................................................................
29
..........................................................................................................................................................................................................
31
...............................................................................................................................................................................................................
33
.......................................................................................................................................................................................................................
35
....................................................................................................................................................................................
38
.........................................................................................................................................................................................................
38
..........................................................................................................................................................................................................
74
...............................................................................................................................................................................................................
99
.....................................................................................................................................................................................................................
116
...............................................................................................................................
131
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3
Le terme construction numrique au sens de cette thorie cest le
fait de disposer des nombres entiers naturels de manire former une
figure et
dtre en mesure de reprer chaque lment de cette figure laide dun
systme daxes qui fait office de systme de coordonnes.
La figure qui dcoule dune construction numrique est appele
structure numrique. Laxe des IDK et laxe des IDP constituent le
systme daxes
qui accompagnent la structure numrique. Laxe des IDK est
vertical alors que laxe des IDP de son ct est horizontal et
surplombe la structure numrique.
Lensemble de la structure numrique et de son systme daxes se
prsente sous forme dun tableau quadrill. Les lments de la
structure
numrique quon sait dj tre des nombres sont appels briques, une
allusion vidente la construction. Pour reprer une brique on se sert
de laxe des
IDK et de laxe des IDP. Larrire-plan de la structure numrique
forme ce quon va appeler lhorizon. Cest une zone qui ne comporte
aucun nombre, cest
donc un espace vierge.
Les diffrentes structures numriques prsentes dans cette thorie
ne sont que des bauches car il est humainement impossible de
reprsenter une
structure numrique dans toute sa plnitude. En effet le nombre de
briques contenues dans une structure numrique est en principe
infini.
Dans cette thorie nous allons traiter entre autres choses des
structures numriques qui ont trait un systme de numration. Il
serait donc on ne
peut plus appropri de rappeler certaines notions relatives
cela.
Voici quelques dfinitions1 : Un systme de numration est un
ensemble de conventions laide desquelles on peut nommer les nombres
et les
reprsenter par des caractres appels chiffres. La base dun systme
est le nombre des chiffres que lon utilise dans ce systme ; celle
du systme dcimal
est donc le nombre dix.
Les structures numriques lies un systme de numration seront
nommes structures numriques de base numrale. Elles se prsentent
sous
forme de pyramide, de demi-pyramide et de terrassade.
Au dbut de cette thorie sera aborde une structure numrique qui
na rien voir avec les systmes de numration. La dite-structure a
fait son
apparition dans une autre thorie du mme auteur et est complte
ici par dautres notions nouvelles.
1 Voir Trait darithmtique (6e DITION 1968) par N.-J.Schons .
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4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
24
1 1
2 2 3
3 4 5 6
4 7 8 9 10
5 11 12 13 14 15
6 16 17 18 19 20 21
7 22 23 24 25 26 27 28
8 29 30 31 32 33 34 35 36
9 37 38 39 40 41 42 43 44 45
10 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
11 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
12 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
13 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
14 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105
15 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
120
16 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135
136
17 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151
152 153
18 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168
169 170 171
19 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186
187 188 189 190
20 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205
206 207 208 209 210
21 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225
226 227 228 229 230 231
22 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246
247 248 249 250 251 252 253
23 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268
269 270 271 272 273 274 275 276
24 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291
292 293 294 295 296 297 298 299 300
Triangle naturel
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5
La premire colonne de ce tableau est laxe des IDK tandis que
celui qui le surplombe est laxe des IDP. Ces deux axes servent
reprer une brique.
Cest ainsi quon appelle les nombres qui constituent le triangle
naturel. Les briques sont disposes de faon former un triangle
rectangle. On localise
aisment une brique sur ce triangle par le numro de sa ligne et
le numro de sa colonne. Par exemple la brique 13 est repre par
lintersection de la 5e
ligne et de la 3e colonne. Par souci de simplicit on notera :
(13) < 5;3 >.
Le triangle naturel ou triangle des indices2 se trouve donc tre
un systme de coordonnes. Dans ce systme le premier nombre
reprsente
naturellement la brique, le second nombre est appel son idadi ya
kwanza3 (abrg IDK) tandis que le dernier nombre est lidadi ya pili4
(abrg IDP) de la
dite-brique. La brique, lIDK et lIDP sont tous des entiers
naturels non nuls. Dautre part lIDP nexcde jamais lIDK.
Sur le triangle naturel pour () < ; > (lire dIDK et dIDP
ou de coordonnes et ) on a :
o =(1)
2+
o a la mme valeur que 2 arrondi au nombre entier le plus
proche
o ((+1)
2) < ; >
o ( + ) < + 1; >
En effet soit () < ; > et () < + 1; >
On aura : =
( 1)
2+
=( + 1)
2+
} =( + 1)
2( 1)
2
=
d'o = + .
o ( ) < ; >
En effet soit () < ; > et () < ; >
2 Cest le nom donn au triangle naturel dans la Thorie des
nombres composites du mme auteur. 3 Expression swahilie signifiant
premier nombre . 4 Expression swahilie signifiant deuxime nombre
.
-
6
On aura : =
( 1)
2+
=( 1)
2+
} = .
Dterminer () < 700; 100 >.
On a : =700 699
2+ 100
= 244750.
Dterminer les coordonnes de la brique 2015 sur le triangle
naturel.
On a : 2 2015 63,482
donc (2015) < 63; >
soit 2015 =63 62
2+
soit encore = 62
d'o (2015) < 63; 62 >.
Dduire du rsultat qui prcde les coordonnes des briques 2016 et
2000 sur le triangle naturel.
On a : (2015) < 63; 62 >
soit (2015 + 1) < 63; 62 + 1 >
d'o (2016) < 63; 63 >.
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7
On a : (2015) < 63; 62 >
soit (2015 15) < 63; 62 15 >
d'o (2000) < 63; 47 >.
La configuration du triangle naturel prsente une stratification
des briques :
La premire strate ou strate 1, encore appele summum, contient
des briques dont lIDK est 1.
La deuxime strate ou strate 2 a quant elle des briques dont lIDK
est 2.
La troisime strate ou strate 3 a pour sa part des briques dont
lIDK est 3.
Et ainsi de suite.
Nota :
Une strate autre que le summum est appele soutrate.
Toute brique qui est au dbut dune strate du triangle naturel est
appel un occidentque tandis que toute brique qui termine une strate
est un
orientque.
Les iso-IDK sont des briques ayant mme IDK.
Exemple :
Les briques 46, 52 et 55 sont des iso-IDK car on a :(46) <
10; 1 > , (52) < 10; 7 > et (55) < 10; 10 > .
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8
Un iso-IDK gauche dune brique est une brique situe gauche de
celle-ci sur la mme strate.
Soit () < ; > et () < ; >
Si < alors la brique est un iso-IDK G de la brique .
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDK G de la brique 252 sur le
triangle naturel ?
On a (252) < 22; 21 >.
Le plus petit iso-IDK G de la brique 252 aura pour IDP 1.
D'o (232) < 22; 1 > l'iso-IDK G cherch.
Un iso-IDK droite dune brique est une brique situe droite de
celle-ci sur la mme strate.
Soit () < ; > et () < ; >.
Si > alors la brique est un iso-IDK D de la brique .
Exemple :
Quel est le plus grand iso-IDK D de la brique 417 sur le
triangle naturel ?
On a (417) < 29; 11 >.
Le plus grand iso-IDK D de la brique 417 aura pour IDP 29.
D'o (435) < 29; 29 > l'iso-IDK D cherch.
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9
On appelle iso-IDP des briques ayant mme IDP.
Exemple :
Les briques 666 et 1261 sont des iso-IDP car on a : (666) <
36; 36 > et (1261) < 50; 36 > .
Nota :
Les iso-IDK sont nombrables tandis que les iso-IDP sont
indnombrables.
Un iso-IDP haut dune brique est une brique situe au-dessus de
celle-ci sur le triangle naturel.
Soit () < ; > et () < ; > .
Si < alors la brique est un iso-IDP H de la brique .
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 383158 sur le
triangle naturel ?
On a (383158) < 875; 783 >.
Le plus petit iso-IDP H de la brique 383158 au vu des coordonnes
de cette dernire doit inluctablement avoir pour IDK 783.
Ainsi (306936) < 783; 783 > est le plus petit iso-IDP H de
la brique 383158.
Nota :
Lorsquune brique na pas diso-IDP H sur le triangle naturel alors
on lappelle frontque. Un frontque est situ la priphrie du triangle
naturel.
-
10
Soit () < ; >
( + ) < + 1; >
( + 2 + 1) < + 2; >
( + 3 + 3) < + 3; >
( + 4 + 6) < + 4; >
( + 5 + 10) < + 5; >
( + 6 + 15) < + 6; >
( + 7 + 21) < + 7; >
d'o ( + + C2) < + ; >.
A-t-on ( + ( + 1) + C+12 ) < + + 1; > ?
De ( + + C2) < + ; > on a : ( + + C
2 + + ) < + + 1; >
( + ( + 1) + C2 + ) < + + 1; > or C
2 + = C2 + C
1 = C+12
d'o ( + ( + 1) + C+12 ) < + + 1; >.
Ainsi si on a () < ; > alors on a aussi ( + + C2) < + ;
> et il serait superflu de prciser que 2.
Un iso-IDP bas dune brique est une brique situe au-dessous de
celle-ci sur le triangle naturel.
Soit () < ; > et () < ; > .
Si > alors la brique est un iso-IDP B de la brique .
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11
Exemple :
Trouver liso-IDP B de la brique 3731221 sur le triangle naturel
ayant pour IDK 1000.
On a (3731221) < 2732; 675 >.
Ainsi (500175) < 1000; 675 > est liso-IDP B cherch.
Dterminer la relation qui lie et sachant qu'on a : () < ;
>.
De () < ; > on a : =( 1)
2+
d'o = 2.
: () < ; >.
Exemple :
Les briques 18, 50 et 72 sont des bissectques sur le triangle
naturel car on a : (18) < 6; 3 >, (50) < 10; 5 > et
(72) < 12; 6 >.
Nota :
Les bissectques du triangle naturel appartiennent une mme ligne
discontinue qui passe par les briques 2, 8, 18, 32, Celle-ci porte
le nom de bissectrice
numrique.
Si lon considre laxe des IDK comme faisant partie du triangle
naturel alors chaque bissectque apparat le cas chant comme la
brique mdiane de
chaque strate du triangle naturel. Cela est mis en relief sur le
triangle naturel ci-dessus.
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12
En utilisant le concept de bissectque dterminer les coordonnes
des briques 20, 100 et 1500 sur le triangle naturel.
Les coordonnes de la brique 20
On a :
(2) < 2; 1 > ; (8) < 4; 2 > ; (18) < 6; 3 > et
on peut dduire que (18 + 2) < 6; 3 + 2 > soit (20) < 6; 5
>.
Les coordonnes de la brique 100
On a :
(50) < 10; 5 > ; (72) < 12; 6 > ; (98) < 14; 7
> et on peut dduire que (98 + 2) < 14; 7 + 2 > soit (100)
< 14; 9 >.
Les coordonnes de la brique 1500
On a :
(1800) < 60; 30 > ; (1682) < 58; 29 > ; (1568) <
56; 28 > et on peut dduire que (1568 27) < 56; 28 27 >
soit (1541) < 56; 1 > ; (1540) < 55; 55 > d'o (1540
40) < 55; 55 40 > soit (1500) < 55; 15 >.
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13
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9
1010 10
1011 11
1100 12
1101 13
1110 14
1111 15
10000 16
10001 17
10010 18
10011 19
10100 20
10101 21
10110 22
10111 23
100000 32
100001 33
100010 34
100011 35
100100 36
100101 37
100110 38
100111 39
1000000 64
1000001 65
1000010 66
1000011 67
1000100 68
1000101 69
1000110 70
1000111 71
10000000 128
10000001 129
10000010 130
10000011 131
10000100 132
10000101 133
10000110 134
10000111 135
100000000 256
100000001 257
100000010 258
100000011 259
100000100 260
100000101 261
100000110 262
100000111 263
1000000000 512
1000000001 513
1000000010 514
1000000011 515
1000000100 516
1000000101 517
1000000110 518
1000000111 519
10000000000 1024
10000000001 1025
10000000010 1026
10000000011 1027
10000000100 1028
10000000101 1029
10000000110 1030
10000000111 1031
-
14
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0
1 1
1 11 3
2 101 5
110 6
111 7
3 1001 9
1010 10
1011 11
1100 12
1101 13
1110 14
1111 15
4 10001 17
10010 18
10011 19
10100 20
10101 21
10110 22
10111 23
11000 24
5 100001 33
100010 34
100011 35
100100 36
100101 37
100110 38
100111 39
101000 40
6 1000001 65
1000010 66
1000011 67
1000100 68
1000101 69
1000110 70
1000111 71
1001000 72
7 10000001 129
10000010 130
10000011 131
10000100 132
10000101 133
10000110 134
10000111 135
10001000 136
8 100000001 257
100000010 258
100000011 259
100000100 260
100000101 261
100000110 262
100000111 263
100001000 264
9 1000000001 513
1000000010 514
1000000011 515
1000000100 516
1000000101 517
1000000110 518
1000000111 519
1000001000 520
10 10000000001 1025
10000000010 1026
10000000011 1027
10000000100 1028
10000000101 1029
10000000110 1030
10000000111 1031
10000001000 1032
PB2
-
15
Ici on na pas de pyramide parallle.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9
1010 10
1011 11
1100 12
1101 13
1110 14
1111 15
10111 23
11000 24
11001 25
11010 26
11011 27
11100 28
11101 29
11110 30
11111 31
110111 57
111000 58
111001 59
111010 60
111011 61
111100 62
111101 63
111110 62
111111 63
1110111 119
1111000 120
1111001 121
1111010 122
1111011 123
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2230 172
2231 173
2232 174
2233 175
2300 176
2301 177
2302 178
2303 179
2310 180
2311 181
2312 182
2313 183
22222 682
22223 683
22230 684
22231 685
22232 686
22233 687
22300 688
22301 689
22302 690
22303 691
22310 692
22311 693
22312 694
22313 695
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 0
1 1
1 3 3
10 4
11 5
12 6
13 7
20 8
21 9
2 23 11
30 12
31 13
32 14
33 15
100 16
101 17
102 18
103 19
110 20
111 21
112 22
113 23
3 223 43
230 44
231 45
232 46
233 47
300 48
301 49
302 50
303 51
310 52
311 53
312 54
313 55
4 2223 171
2230 172
2231 173
2232 174
2233 175
2300 176
2301 177
2302 178
2303 179
2310 180
2311 181
2312 182
2313 183
5 22223 683
22230 684
22231 685
22232 686
22233 687
22300 688
22301 689
22302 690
22303 691
22310 692
22311 693
22312 694
22313 695
TB42
-
37
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 0
1 1
2 2
3 3
10 4
11 5
12 6
13 7
20 8
21 9
22 10
23 11
30 12
31 13
32 14
33 15
100 16
101 17
102 18
103 19
110 20
111 21
112 22
113 23
120 24
121 25
122 26
123 27
124 28
333 63
1000 64
1001 65
1002 66
1003 67
1010 68
1011 69
1012 70
1013 71
1020 72
1021 73
1022 74
1023 75
1024 76
3333 255
10000 256
10001 257
10002 258
10003 259
10010 260
10011 261
10012 262
10013 263
10020 264
10021 265
10022 266
10023 267
10024 268
33333 1023
100000 1024
100001 1025
100002 1026
100003 1027
100010 1028
100011 1029
100012 1030
100013 1031
100020 1032
100021 1033
100022 1034
100023 1035
100024 1036
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 0
1 1
2 2
1 10 4
11 5
12 6
13 7
20 8
21 9
22 10
23 11
30 12
31 13
32 14
2 100 16
101 17
102 18
103 19
110 20
111 21
112 22
113 23
120 24
121 25
122 26
123 27
124 28
3 1000 64
1001 65
1002 66
1003 67
1010 68
1011 69
1012 70
1013 71
1020 72
1021 73
1022 74
1023 75
1024 76
4 10000 256
10001 257
10002 258
10003 259
10010 260
10011 261
10012 262
10013 263
10020 264
10021 265
10022 266
10023 267
10024 268
5 100000 1024
100001 1025
100002 1026
100003 1027
100010 1028
100011 1029
100012 1030
100013 1031
100020 1032
100021 1033
100022 1034
100023 1035
100024 1036
TB43
-
38
PBN se lira tout simplement pyramide originelle de base N .
Soit [n]N tel que [n]N=N1 avec N un entier naturel suprieur ou
gal 2.
2Nr-Nr+1 2Nr-1-Nr 2N3-N4 2N2-N3 2N-N2 -N 1-N 0 N-1 N2-1 N3-1
N4-1 Nr-1 Nr+1-1
0 0
1 1
10 N
1n 2N-1
20 2N
100 N2
1nn 2N2-1
200 2N2
1000 N3
1nnn 2N3-1
2000 2N3
10000 N4
1nnnn 2N4-1
200
2Nr-1 100
Nr 1nn
2Nr-1
2000 2Nr
1000 Nr+1
1nnn 2Nr+1-1
-
39
2Nr-Nr+1 2Nr-1-Nr 2N3-N4 2N2-N3 2N-N2 -N 1-N 0 N-1 N2-1 N3-1
N4-1 Nr-1 Nr+1-1
0 0
1 1
1 1n 2N-1
20 2N
2 1nn 2N2-1
200 2N2
3 1nnn 2N3-1
2000 2N3
4 1nnnn 2N4-1
200
2Nr-1 r 1nn
2Nr-1
2000 2Nr
r+1 1nnn 2Nr+1-1
PBN
Cette disposition des nombres ressemble fort une pyramide. Cest
donc juste titre quon lappelle pyramide. En ralit il sagit dune
pyramide
dissymtrique.
Nota :
Si N=2 alors la PBN devient :
-2 -1 0 1 3 7 15 2r-1 2r+1-1
0 0
1 1
1 11 3
2 111 7
3 1111 15
4 11111 31
r 111
2Nr-1
r+1 1111 2Nr+1-1
Ce tableau rappelle de faon dpouille la PB2.
La colonne de la PBN renfermant les nombres souligns constitue
ce quon appelle laxe des IDK tandis que la ligne qui la surplombe
est laxe des
IDP. Ces deux axes servent reprer une brique, cest--dire un
nombre, sur la PBN. Cest ainsi quon appelle les lments qui
constituent la pyramide.
-
40
Exemple :
La brique 20 sur la PB2, la PB3 et la PB4 est repre comme suit
:
PB2 : (20)[4; 4]
PB3 : (20)[3 ;7]
PB4 : (20)[2; 4]
Nota :
Dans les dcompositions qui prcdent le nombre soulign est appel
IDK5 tandis que celui qui le suit immdiatement est nomm IDP6.
Sur la PBN pour () [; ] (lire dIDK sur pidestal et dIDP ou de
coordonnes sur pidestal et ) on a :
o = N + o = E( logN(N 2 )) avec > 1
o ( ) [; ] avec 2N1 N N 1
Nota :
Si < N alors on a ()[1; ] ; de l on dduit que = N1 + soit =
N. Ainsi l'IDP est ngatif.
indique un nombre transcrit dans la base N. Ce nombre est crit
comme suit : 1 suivi de caractres 0 . Sa valeur en base dcimale est
: N.
Dterminer les coordonnes des briques 34, 454, 1511 et 269965 sur
la PB2, la PB7, la PB10 et la PB298.
Sur la PB2
5 IDK : idadi ya kwanza (premier nombre en swahili). 6 IDP :
idadi ya pili (deuxime nombre en swahili).
-
41
(34)[5; 2] ; (454)[8; 198] ; (1511)[10; 487] et (269965)[18;
7821].
Sur la PB7
(34)[2;15] ; (454)[3; 111] ; (1511)[4;890] et
(269965)[7;553578].
Sur la PB10
(34)[2;66] ; (454)[3;546] ; (1511)[3; 511] et
(269965)[6;730035].
Sur la PB298
(34)[1;264] ; (454)[1; 156] ; (1511)[2;87293] et
(269965)[3;26193627].
Nota :
Si on est tent de donner la mme valeur que logN arrondi au
nombre entier le plus proche, lexemple qui suit devrait nous en
dissuader.
Exemple :
Dterminer les coordonnes de la brique 180 sur la pyramide
originelle de base 9.
On a :
ln (9 1802 )
ln 9 3,048 et on crira alors (180)[3;549].
En revanche on a :
ln 180
ln 9 2,36 2 et on crira alors (180)[2; 99].
Ce dernier rsultat nest point vrai. Il est donc hasardeux de
donner la mme valeur que logN arrondi au nombre entier le plus
proche.
-
42
quelle base de numration a-t-on affaire si on a : (32)[2; 7] ,
(32)[2;68] ou (32)[2;112] ?
Dsignons par la base de numration de la pyramide originelle.
De (32)[2; 7] on a : 32 = 2 + 7 soit 2 = 25 soit enfin = 5.
Alors on a affaire la base cinq.
De (32)[2;68] on a : 32 = 2 68 soit 2 = 100 soit enfin = 10.
Alors on a affaire la base dcimale.
De (32)[2;112] on a : 32 = 2 112 soit 2 = 144 soit enfin = 12.
Alors on a affaire la base duodcimale.
Reprsenter la PB16 sur lintervalle [5 ; 10] sur laxe des IDK et
sur lintervalle [-4 ; 4] sur laxe des IDP.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
FFFFC 1048572
FFFFD 1048573
FFFFE 1048574
FFFFF 1048575
5 100001 1048577
100002 1048578
100003 1048579
100004 1048580
FFFFFC 16777212
FFFFFD 16777213
FFFFFE 16777214
FFFFFF 16777215
6 1000001 16777217
1000002 16777218
1000003 16777219
1000004 16777220
FFFFFFC 268435452
FFFFFFD 268435453
FFFFFFE 268435454
FFFFFFF 268435455
7 10000001 268435457
10000002 268435458
10000003 268435459
10000004 268435460
FFFFFFFC 4294967292
FFFFFFFD 4294967293
FFFFFFFE 4294967294
FFFFFFFF 4294967295
8 100000001 4294967297
100000002 4294967298
100000003 4294967299
100000004 4294967300
FFFFFFFFC 68719476732
FFFFFFFFD 68719476733
FFFFFFFFE 68719476734
FFFFFFFFF 68719476735
9 1000000001 68719476737
1000000002 68719476738
1000000003 68719476739
1000000004 68719476740
FFFFFFFFFC 1099511627772
FFFFFFFFFD 1099511627773
FFFFFFFFFE 1099511627774
FFFFFFFFFF 1099511627775
10 10000000001 1099511627777
10000000002 1099511627778
10000000003 1099511627779
10000000004 1099511627780
-
43
La configuration de la PBN prsente une certaine stratification
des briques :
La premire strate ou strate 1, encore appele summum, contient
des briques dont lIDK est 1.
La deuxime strate ou strate 2 a quant lui des briques dont lIDK
est 2.
La troisime strate ou strate 3 a pour sa part des briques dont
lIDK est 3.
Et ainsi de suite.
Nota :
Les strates autres que le summum sont appeles soutrates.
La brique du summum par laquelle passe laxe des IDK est appele
brique itineris7. Pour la PBN la brique itineris est N.
Toute brique qui est au dbut dune strate dune pyramide est appel
un occidentque tandis que toute brique qui termine une strate est
un
orientque. Au summum dune pyramide loccidentque est zro quelle
que soit la base numrale.
Pour les soutrates loccidentque est de la forme 2N1 avec N, un
entier naturel suprieur ou gal 2, comme base numrale et .
Loccidentque en question appartient la strate .
Lorientque est de la forme 2N 1 avec N, un entier naturel
suprieur ou gal 2, comme base numrale et quelle que soit la strate.
Cet
orientque est de la strate .
7 Itineris : mot latin signifiant chemin.
-
44
Un ngatque est toute brique situe gauche de laxe des IDK. Aussi
son IDP est-il videmment ngatif.
Exemple :
Les briques 61, 507 et 32668 sont des ngatques sur la PB8. En
effet on a : (61)[2;3], (507)[3;5] et (32668)[5;100].
Nota :
Sur la PBN si < N alors est un ngatque.
En effet sur la PBN si < N alors on a : ()[1; ].
est un ngatque si < 0.
De ()[1; ] on a : = N1 + soit = N.
Or < N cest--dire N < 0.
Ainsi on a bel et bien < 0.
Exemple :
La brique 9 est un ngatque sur la PB10, la PB11, la PB12, la
PB26 et la PB1010.
En effet on a :
(9)[1;1] sur la PB10, (9)[1;2] sur la PB11, (9)[1;3] sur la
PB12, (9)[1;17] sur la PB26 et (9)[1;1001] sur la PB1010.
-
45
Nota :
Sur la PB2 il nexiste que deux ngatques savoir (0)[1;2] et
(1)[1;1].
Lorsquon transcrit un ngatque dans la base de numration de sa
pyramide, le nombre de caractres de son criture dans cette base est
tout simplement
gal son IDK. En guise dexemple les deux ngatques qui prcdent
auront bel et bien un seul caractre dans la base binaire comme
lindique leur IDK
respectif.
Soit un ngatque tel que ()[;] sur la PBN.
Si on a ()[;] ou E( logN( 2 )) = avec > 1 alors ( ; ) sera
appel ngatque double.
Nota :
( ; ) et ( ; ) correspondent au mme ngatque double.
( ; ) on a : = alors on parle de ngatque double identique.
Si est un ngatque tel que ()[;] sur la PBN alors = N soit =N
2.
Consquence :
Il ressort de cette galit que lexistence dun ngatque double sur
la PBN est tributaire de la parit de N. Si N est impair on naura
aucun ngatque
double. En revanche si N est pair alors il y aura un ngatque
double pour chaque valeur de lexposant de N.
-
46
Exemple :
(1 ; 1) est un ngatque double identique sur la PB2 car on a en
effet : (1)[1;1].
(2 ; 2) est un ngatque double identique sur la PB4 car on a en
effet : (2)[1;2].
(3 ; 3) est un ngatque double identique sur la PB6 car on a en
effet : (3)[1;3].
( ; ) on a : alors on parle de ngatque double diffrenci.
Exemple :
(13 ; 7) est un ngatque double diffrenci sur la PB20 car on a en
effet : (13)[1; 7] et (7)[1; 13 ].
(13 ; 23) est un ngatque double diffrenci sur la PB6 car on a en
effet : (13)[2; 23] et (23)[2; 13].
(200 ; 800) est un ngatque double diffrenci sur la PB10 car on a
en effet : (200)[3; 800] et (800)[3; 200].
(19536 ; 46000) est un ngatque diffrenci sur la PB16 car on a en
effet : (19536)[4; 46000] et (46000)[4; 19536 ].
(1036849 ; 734712) est un ngatque double diffrenci sur la PB11
car on a en effet : (1036849)[6; 734712] et (734712)[6; 1036849
].
Montrer que sur la PBN, (0 ; N) est un ngatque double
diffrenci.
On a : (0)[1;N].
On a aussi : (N)[1; 0] soit (N)[1;0].
De plus on a : 0 N.
-
47
Do (0 ; N) est un ngatque double diffrenci.
Thorme 1. Si on a ()[;] avec > sur la PBN alors on aura aussi
( N)[+ ; N] avec un entier naturel sur la mme pyramide.
En effet de ()[; ] on a : = N + soit N = N+ + N
or ln ( N
N2)
lnN=ln ( N2 N
)
lnN
=ln ( N2 ) + lnN
lnN
=ln ( N2 )
lnN+ or E(
ln ( N2 )
lnN) = en vertu de l'criture ()[; ].
Donc E(ln ( N2 )
lnN+ ) = + .
Alors E(ln ( N
N2)
lnN) = + .
D'o ( N)[ + ; N].
Exemple :
Soit (50)[5; 18].
Dduire les coordonnes des briques 100 et 199 sur la mme
pyramide.
-
48
De (50)[5; 18] on a 50 = 5 + 18 soit = 2.
Les coordonnes de la brique 100
De (50)[5; 18] on a (50 2)[5 + 1; 18 2]
d'o (100)[6; 36].
Les coordonnes de la brique 199
De (50)[5; 18] on a (50 22)[5 + 2; 18 22]
soit (200)[7; 72]
soit encore (200 1)[7; 72 1]
d'o (199)[7; 71].
Soit (5)[1;6] sur la PB11.
Dduire les coordonnes des briques 55 et 6660 sur la PB11 sachant
que 6655 = 113 5.
Les coordonnes de la brique 55
De (5)[1;6] on a (5 11)[1 + 1;6 11]
d'o (55)[2;66].
Les coordonnes de la brique 6660
De (5)[1;6] on a (5 113)[1 + 3;6 113]
soit (6655)[4;7986]
soit encore (6655 + 5)[4;7986 + 5]
-
49
d'o (6660)[4;7981].
Corollaire Si on a ( N)[+ ; N] sur la PBN alors on aura aussi
()[;] sur la mme pyramide.
Exemple :
Soit (700000)[6;300000] sur la PB10.
Dduire les coordonnes des briques 7000 et 710 sur la PB10.
Les coordonnes de 7000
De (700000)[6;300000] on a (7000 102)[4 + 2;3000 102]
D'o (7000)[4;3000].
Les coordonnes de 710
De (700000)[6;300000] on a (700 103)[3 + 3;300 103]
soit (700)[3;300]
soit encore (700 + 10)[3;300 + 10]
D'o (710)[3;290].
Soit (1000)[9; 488] sur la PB2.
Dduire les coordonnes de la brique 213 sur la PB2.
De (1000)[9; 488] on a (250 22)[7 + 2; 122 22]
soit (250)[7; 122]
-
50
soit encore (250 37)[7; 122 37]
D'o (213)[7; 85].
Thorme 2. ( ; ) > et > ( ; ) .
En vertu du thorme 1 si on a : ()[;] avec > 1 sur la PBN
alors on aura aussi ( N)[ + ; N] sur la PBN.
Si du reste on a ()[;] avec > 1 alors ()[;] sur la PBN
donnera ( N)[ + ; N] sur la PBN.
On a donc :
( N)[ + ; N]
( N)[ + ; N]} ( N; N) est un ngatque double.
Thorme 3. Tous les ngatques du summum font partie dun ngatque
double.
Sur la PBN on a
On a : (0)[1;N] et (N)[1;0] soit (N)[1; 0] alors (0 ; N) est un
ngatque double.
De (0)[1;N] on dduit (0 + 1)[1;N + 1] soit (1)[1; 1 N].
De (N)[1;0] on dduit (N 1)[1;0 1] soit (N 1)[1;1].
On a donc :(1)[1; 1 N]
(N 1)[1;1]} (1 ; N 1) est un ngatque double.
-
51
Soit ()[1;] avec > 1 sur la PBN et N > 2.
De ()[1;] on a : = N soit = N .
Si on suppose que > 1, on aura :
ln ( N2)
lnN=ln (N
2)
lnN
=lnN + ln
2
lnN
= 1 +ln2
lnN.
On a suppos que > 1 alors on a : 2
ln ln2
ln ln2 0
ln ln2
lnN 0 car lnN > 0puisque N > 2
D'o ln2
lnN 0. (relation 1)
D'autre part l'galit = N indique que < 2N.
En effet si 2N alors on aura : N N soit N ; or > 1 et donc
> 0.
D'o < 2N.
De l on a :
2< N
-
52
ln
2< lnN
D'o ln2
lnN< 1. (relation 2)
Somme toute (relation 1) et (relation 1) conduisent l'galit
suivante : 0 lnb2
lnN< 1 et donc E(1 +
ln2
lnN) = 1 pour > 1.
On a donc :()[1;]
()[1;]} ( ; ) est un ngatque double.
Si on suppose maintenant que = 1, on aura :
()[1;1] soit = N1 1 ; ()[1;1] devient (N 1)[1;1] ce qui ramne un
cas dj trait savoir le ngatque double (1 ; N 1).
En dfinitive on peut affirmer sans lombre dun doute que tout
ngatque du summum dune pyramide fait partie dun ngatque double.
Exemple :
On a : (4)[1;3] sur la PB7 alors (4 ; 3) est un ngatque
double.
On a : (9)[1;4] sur la PB13 alors (9 ; 4) est un ngatque
double.
On a : (10)[1;12] sur la PB22 alors (10 ; 12) est un ngatque
double.
Thorme 4. Il nexiste pas de ngatques doubles sur une soutrate du
PB3.
-
53
Soit ()[;] un ngatque sur la PB3 avec > 1.
Montrons qu'on a pas ()[;] ou que E( log3(3 2 )) avec >
1.
Puisque > 1 de ( )[;] on a forcment E( log3(3 2 )) =
ln (
32)
ln 3< + 1
ln3 ln ( 3
2) < ( + 1) ln 3
ln3 ln ( 3
2) < ln 3+1
3 3
2< 3+1
2.31 < 2.3 or = 3 d'aprs ()[;]
2.31 3 < 2.3
2.31 3 < 3
3 < 3 2.31
0 < 3 2.31
0 < 31(3 2)
0 < 31
0 < 3
23
2
3
23
2.
-
54
Supposons que > 1.
On a donc ln (
32)
ln 3ln3
2ln 3
E(ln (
32)
ln 3) E(
ln3
2ln 3
)
or ln3
2ln 3
=ln 3 + ln
12
ln 3
=ln3 ln 2
ln 3
= ln 2
ln 3
d'autre part ln 2
ln 3 0,63 et donc E (
ln2
ln 3) < soit E(
ln3
2ln 3
) < .
Alors E(ln (
32)
ln 3) E(
ln3
2ln 3
) <
soit E( log3(3 2 )) .
Supposons maintenant que = 1.
On aura donc ()[;1] ;mais a-t-on (1)[;] avec > 1 ?
Sur la PB3 on a plutt (1)[1;2] avec un IDK gal l'unit.
Ainsi on a pas (1)[;] avec > 1.
-
55
Thorme 5. (2N + ; N+ 2N ) avec N , et un entier naturel tel que
N+ 4N.
Soit la PBN avec N 4
On a : (0)[1;N]
(0 + 2)[1;N + 2]
(2 )[1; 2 N]
(2N )[1 + ; 2N N+1] avec
(2N + )[1 + ; 2N N+1 + ] avec un entier naturel tel que N+1
4N.
Montrons que (2N + ; N+1 2N ) est un ngatque double.
Pour ce faire il suffit de montrer que E(ln [(N+1 2N )
N2]
lnN) = 1 +.
Avant tout montrons que N+1 2N > 1.
On a : N+1 4N
2N N+1 2N or N 4
2 N+1 2N
alors N+1 2N > 1.
Maintenant calculons E(ln [(N+1 2N )
N2]
lnN).
-
56
On a :
ln [(N+1 2N ) N2]
lnN=lnN + ln (
N+1 2N 2 )
lnN
= 1 +ln (N+1 2N
2 )
lnN.
Si a la plus petite valeur c'est--dire que = 0 on aura :
1 +ln (N+1 2N
2 )
lnN= 1 +
ln (N+1 2N
2 )
lnN
= 1 +ln [N(N 2)
2 ]
lnN
= 1 +lnN + ln (
N 22 )
lnN
= 1 + +ln (N 22 )
lnN .
Or N 2
2< N et donc ln (
N 2
2) < lnN soit
ln (N 22 )
lnN< 1.
D'autre part on a :
N 4
N 2 2
N 2
2 1
ln (N 2
2) 0.
-
57
Ainsi 0 ln (N 22 )
lnN< 1 et donc E(1 + +
ln (N 22 )
lnN) = 1 +.
Alors E(ln [(N+1 2N )
N2]
lnN) = 1 +.
Si a la plus grande valeur c'est--dire que = N+1 4N on aura
:
1 +ln (N+1 2N
2 )
lnN= 1 +
ln (2N
2 )
lnN
= 1 +lnN
ln N
= 1 +
donc E(1 + +ln (N 22 )
lnN) = 1 +.
Alors E(ln [(N+1 2N )
N2]
lnN) = 1 +.
Il se trouve donc que pour allant de 0 N+1 4N on a : E (ln [(N+1
2N )
N2]
lnN) = 1 +.
D'o (2N + ; N+1 2N ) est un ngatque double avec N 4 et un entier
naturel tel que N+1 4N.
Nota :
Pour la PB2 on rappelle quil ny a que deux ngatques doubles
savoir (0 ; 2) et (1 ; 1).
-
58
Si = 0 alors (2N + )[1 + ; 2N N+1 + ] devient (2N )[1 + ; 2N
N+1] c'est--dire un occidentque.
Thorme 6. (2N + ; N+ 2N ) avec N , et un entier naturel tel que
> N+ 4N.
Soit la PBN avec N 4.
On a : (0)[1;N]
(0 + 2)[1;N + 2]
(2)[1; 2 N]
(2N )[1 + ; 2N N+1] avec
(2N + )[1 + ; 2N N+1 + ] avec un entier naturel tel que N+1
4N.
Si = N+1 4N + avec > 0 alors (2N + )[1 +; 2N N+1 + ] devient
(N+1 2N + )[1 + ; 2N].
Si 2N > 1.
On aura :
ln [(2N ) N2]
lnN=lnN + ln (
2N
2 )
lnN
= 1 +ln (2N
2 )
lnN.
Si ln (2N
2 )
lnN
ln (2N
2) lnN
-
59
ln (2N
2) lnN
2N
2 N
2N 2N
0 or > 0.
Cette contradiction indique que (N+1 2N + ; 2N ) ne constitue
pas un ngatque double .
Si ln (2N
2 )
lnN< alors E(1 +
ln (2N
2 )
lnN) 1 +.
Ainsi E(ln [(2N )
N2]
lnN) 1 + et donc (N+1 2N + ; 2N ) ne constitue pas un ngatque
double.
Si 2N 1 alors 2N = 1 ou 2N = 0.
Si 2N = 1 alors (N+1 2N + )[1 + ; 2N] devient (N+1 1 )[1 + ;1]
avec 1 + > 1
or (1)[1; 1 N]
Ainsi (N+1 1 ; 1) ne constitue pas un ngatque double.
Si 2N = 0 alors (N+1 2N + )[1 +; 2N] devient (N+1)[1 + ; 0] avec
1 + > 1
or (0 )[1;N]
Ainsi (N+1 ; 0) ne constitue pas un ngatque double.
-
60
Corollaire 1. En vertu des thormes 5 et 6 la forme gnrale d'un
ngatques double d'une soutrate apparat tre:
(2N + ; N+ 2N ) avec N , et un entier naturel tel que N+ 4N.
Corollaire 2. Sur une soutrate de la PB4 il ny a quun seul
ngatque double.
En effet la forme gnrale dun ngatque double quelconque dune
soutrate de la PB4 en vertu du corollaire 1 est:
(24 + ; 4+1 24 ) avec et un entier naturel tel que 0.
Soit (24 ; 4+1 24) avec .
Soit encore(24)[1+;24 4+1] et (4+1 24)[1 +;24] avec .
Or chaque valeur de est associe une seule soutrate.
Donc (24 ; 4+1 24) est unique par soutrate.
Corollaire 3. Sur une soutrate de la PB4 le ngatque double quon
y trouve est un ngatque double identique.
On vient de voir que ce ngatque double est (24 ; 4+1 24).
Soit (24 ; 44 24).
Soit enfin (24 ; 24).
Thorme 7. La PB4 est un cas exceptionnel de pyramide originelle
o lon ne trouve quun seul le ngatque double par soutrate.
Pour que le ngatque double (2N + ; N+1 2N ) soit unique par
soutrate il faut que ait une valeur constante.
On sait que : 0 N+1 4N.
-
61
Pour que ait une valeur constante il faut que ses valeurs
extrmes soit gales c'est--dire que N+1 4N = 0
N 4 = 0 puisque N 2 ; N tant une base de numration
N = 4
Il ny a pas de pyramide originelle autre que la PB4 o on ne
rencontre quun seul ngatque double par soutrate.
Soit ()[;] un occidentque d'une soutrate d'une pyramide de base
numrale suprieure 3.
Si est la valeur de | | + 1
2 arrondie au nombre entier le plus proche alors est aussi le
nombre de ngatques doubles diffrents de la strate .
Les ngatques doubles diffrents de cette strate seront :
( ; ), ( + 1 ; 1), ( + 2 ; 2), , ( + 1 ; + 1).
Exemple :
Dterminer tous les ngatques doubles diffrents des strates 2, 5
et 13 de la PB11.
Strate 2
On a (2)[1;9]
(2 11)[1 + 1;9 11]
(22)[2;99]
On aussi |22 99| + 1
2 38.
Les ngatques doubles diffrents de cette strate seront :
-
62
(22 ; 99), (23 ; 98), (24 ; 97), , (60 ; 61).
Strate 5
On a (2)[1;9]
(2 114)[1 + 4;9 114]
(29282)[5;131769]
On a aussi |29282 131769| + 1
2 51244.
Les ngatques doubles diffrents de cette strate seront :
(29282; 131769), (29283; 131768), (29284; 131767), , (80525 ;
80526).
Strate 13
On a (2)[1;9]
(2 1112)[1 + 12;9 1112]
(6276856753442)[13;28245855390489]
On a aussi |6276856753442 28245855390489| + 1
2= 10984499318524.
Les ngatques doubles diffrents de cette strate seront :
(6276856753442; 28245855390489), (6276856753443;
28245855390488), , (17261356071965; 17261356071966).
Dterminer tous les ngatques doubles de la strate 7 du PB25 de
telle sorte que lun des lments du ngatque double soit un multiple
de 108800.
On a (2)[1;23]
-
63
(2 256)[1 + 6;9 256]
(488281250)[7;5615234375]
On a aussi |488281250 5615234375| + 1
2= 2563476563
Les ngatques doubles diffrents de cette strate seront :
(488281250; 5615234375), (488281251; 5615234374), , (3051757812;
3051758001).
Soit le ngatque double (488281250 + ; 5615234375 ) avec
488281250 + 3051757812 ou 5615234375 3051758001 c'--d.
2563476562.
Si 488281250 + est un multiple de 108800 alors on aura:
488281250 + = M.108800
soit + 95650 = M. 108800
soit encore = M. 108800 95650
soit encore = 108800 95650 avec ; or 2563476562
d'o 108800 95650 2563476562
donc 23562
alors on a : { {0; 1; 2; ; 23562} = 108800 95650
On peut tablir le tableau suivant:
= 95650 13150 121950 2563449950
+ 488185600 488294400 488403200 3051731200 5615330025 5615221225
5615112425 3051784425
Les ngatques doubles quon dduit de ce tableau sont :
-
64
(488294400; 5615221225), (488403200; 5615112425), , (3051731200;
3051784425).
Nota :
(488185600; 5615330025) n'est pas pris en compte car 488185600
tout comme 5615330025 n'appartiennent pas la strate 7.
Si 5615234375 est un multiple de 108800 alors on aura:
5615234375 = M. 108800
soit 66375 = M. 108800
soit encore = M. 108800 + 66375
soit encore = 108800 + 66375 avec ; or 2563476562
d'o 108800 + 66375 2563476562
donc 23560
alors on a : { {0; 1; 2; ; 23560} = 108800 + 66375
On peut tablir le tableau suivant:
= + 66375 13150 121950 2563449950
+ 488347625 488456425 488565225 3051675625 5615168000 5615059200
5614950400 3051840000
Les ngatques doubles quon dduit de ce tableau sont :
(488347625; 5615168000), (488456425; 5615059200), (488565225;
5614950400) , (3051675625; 3051840000).
Nota :
-
65
Soit ()[;] est un occidentque dune soutrate dune pyramide de
base de numration suprieure 3. En allant de la gauche vers la
droite cest
partir de la brique + 1 quon ne rencontre plus de ngatques
doubles sur la strate .
Exemple :
En allant de la gauche vers la droite partir de quelle brique ne
rencontre-t-on plus de ngatques doubles sur les strates 3, 14 et 23
de la PB18 ?
Strate 3
On a (2)[1;16]
(2 182) [1 + 2;16 182]
(648)[3;5184]
Cest partir de la brique 5185 quon ne rencontre plus de ngatques
doubles sur cette strate.
Strate 14
On a (2)[1;16]
(2 1813) [1 + 13;16 1813]
(2 1813) [14;333167437850738688]
Cest partir de la brique 333167437850738689 quon ne rencontre
plus de ngatques doubles sur cette strate.
Strate 23
On a (2)[1;16]
(2 1822) [1 + 22;16 1822]
(2 1822) [23;66086856545797269256283357184]
Cest partir de la brique 66086856545797269256283357185 quon ne
rencontre plus de ngatques doubles sur cette strate.
-
66
Un positque est une brique qui est situe droite de laxe des IDK.
Son IDP est ncessairement positif.
Exemple :
Les briques 293, 4919 et 83531 sont des positques sur la PB17
car on a : (293)[2; 4], (4919 )[3; 6] et (83531)[4; 10].
Nota :
Lorsquon crit un positque dans la base de numration dune
pyramide originelle, le nombre de caractres de son criture dans
cette base est tout
simplement gal son IDK augment de lunit.
Sur la PBN si > N il est impossible de savoir si est un
positque ou un ngatque moins de dterminer au pralable ses
coordonnes.
Exemple :
On ne peut pas savoir si la brique 6 est un positque ou un
ngatque sur la PB3 ou la PB4. Toutefois en dterminant ses
coordonnes dans ces structures
numriques on a :
(6)[2;3] sur la PB3 et (6)[1; 2] sur la PB4.
Ainsi la brique 6 est un positque sur la PB4 mais devient un
ngatque sur la PB3.
Soit un positque tel que ()[; ] sur la PBN.
Est-il possible d'avoir ()[; ] sur la PBN?
De ()[; ] on a : = N + .
-
67
Si on a ()[;] alors : = N + .
En sommant ces galits membre membre on obtient :
+ = 2N + +
soit 0 = 2N ; or N est non nul.
Ainsi la conception de positque double linstar de la notion de
ngatque double nest point envisageable sur la PBN.
Une brique est un axitque si sa position est celle de laxe des
IDK. Un axitque a toujours un IDP nul.
Exemple :
Les briques 49, 343 et 16807 sont des axitques sur la PB7 car on
a : (49)[2; 0], (343 )[3; 0] et (16807)[5; 0].
Nota :
Lorsquon crit un axitque dans la base de numration dune pyramide
originelle, le nombre de caractres de son criture dans cette base
est tout
simplement gal son IDK augment de lunit.
Les iso-IDK sont des briques ayant mme IDK.
Exemple :
-
68
Les briques 14, 17 et 22 sont des iso-IDK sur la PB4 car on a :
(14)[2;2], (17)[2; 1] et (22)[2; 6].
Sur la PBN soit () [; ].
Le plus petit iso-IDK de la brique est [200]N ; aprs 2 il y a 1
caractres 0 .
Le plus grand iso-IDK de la brique est [1]N ; aprs 1 il y a
caractres avec []N = N 1 .
Ainsi [200]N [1]N.
Exemple :
Dterminer le plus petit et le plus grand iso-IDK de la brique 64
sur la PB16. Ensuite dterminer le nombre diso-IDK de la brique
64.
On a (64)[2;192]
Le plus petit iso-IDK de la brique 64 est [20]16 soit 32.
Le plus grand iso-IDK de la brique 64 est [1FF]16 soit 511.
Le nombre diso-IDK de la brique 64 est 511 32 + 1 1 soit
479.
Nota :
La brique 64 elle-mme nest pas compte dans lexemple prcdent.
Un iso-IDK gauche dune brique est une brique situe gauche de
celle-ci sur la mme strate.
Soit () [;] et () [; ]
Si < alors la brique est un iso-IDK G de la brique .
-
69
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDK G de la brique 252 sur la PB3
?
On a (252)[5; 9]
Le plus petit iso-IDK G de la brique 252 est 2 351 soit 162.
En effet on a : (162)[5;81] et (161)[4; 80].
Un iso-IDK droite dune brique est une brique situe droite de
celle-ci sur la mme strate.
Soit () [;] et () [; ]
Si > alors la brique est un iso-IDK D de la brique .
Exemple :
Quel est le plus grand iso-IDK D de la brique 417 sur la PB8
?
On a (417)[3;95]
Le plus grand iso-IDK D de la brique 417 est 283 1 soit
1023.
En effet on a : (1023)[3; 511] et (1024)[4;3072].
-
70
On appelle iso-IDP des briques ayant mme IDP.
Exemple :
Les brique 46, 16804 et 1977326740 sont des iso-IDP sur la PB7
car on a : (46)[2;3], (16804)[7;3] et (1977326740)[11;3].
Nota :
Certes les iso-IDK sont dnombrables, mais les iso-IDP ne sont
pas dnombrables.
Soit () [; ] sur la PBN (N>2).
Si 0
De () [; ] on a : N 1 (Pour comprendre pourquoi voir PBN).
N + 1
soit ln( + 1)
lnN .
Si < 0
De () [; ] on a : 2N1 N (Pour comprendre pourquoi voir PBN).
N1(2 N) or N > 2 soit 2 N < 0
N1
2 N
-
71
1 ln (
2 N)
lnN car < 0 et 2 N < 0 partant
2 N> 0
soit 1 +ln (
2 N)
lnN .
Exemple :
Dterminer le plus petit iso-IDP de la brique 46663 sur la
PB6.
On a :
(46663)[6; 7] et ln(7 + 1)
ln 6 1,161.
Donc le plus petit iso-IDP la brique 46663 sur la PB6 est
(43)[2; 7].
Dterminer le plus petit iso-IDP de la brique 9904578032905935
sur la PB17.
On a :
(9904578032905935)[13;2] et 1+ln (
22 17)
ln 17 0,289.
Donc le plus petit iso-IDP de la brique 9904578032905935 sur la
PB17 est (15)[1;2].
Sur la PBN soit () [; ] et ([ab]N) [; ] avec (on suppose que a
ne reprsente pas plus dun chiffre ou pas plus dun caractre).
o Si 0
alors = [a00b]N ; entre a et b il y a caractres 0 .
-
72
o Si < 0
alors = [nnab]N ; devant il y a caractres n avec [n]N = N 1
.
Application :
Sur la PB3 on a : ([120]3)[2; 6]. Dduire lcriture de 1162261473
dans la base 3.
On a (1162261473)[19; 6] sur la PB3 do 1162261473 =
[10000000000000000020]3.
Sur la PB5 on a : ([440]5)[3;5]. Dduire la transcription de
1220703120 dans la mme base.
On a (1220703120)[13;5] sur la PB5 do 1220703120 =
[4444444444440]5.
Un iso-IDP haut dune brique est situe au-dessus de celle-ci sur
la PBN.
Soit ()[; ] et ()[; ]
Si < alors la brique est un iso-IDP H de la brique .
Exemple :
Quel est le plus petit iso-IDP H de la brique 383158 sur la
PB619 ?
On a (383158 )[2;3]
Le plus iso-IDP H de la brique 383158 au vu des coordonnes de ce
dernier sur la PB619 doit avoir pour IDK 1.
Ainsi (616)[1;3] est le plus petit iso-IDP H de brique
383158.
-
73
Nota :
Lorsquune brique na pas diso-IDP H sur une pyramide alors on
lappelle frontque. Un frontque est situ la priphrie de la
pyramide.
Un iso-IDP bas dune brique est situe au-dessous de celle-ci sur
la PBN.
Soit ()[; ] et ()[; ]
Si > alors la brique est un iso-IDP H de la brique .
Exemple :
Trouver liso-IDP B de 233 sur la PB439 ayant pour IDK 3.
On a (233 )[1;206].
Ainsi (84604313)[3;206] est liso-IDP B cherch.
Une brique est dite IDP transitque ou simplement transitque sur
la PBN et la PBN lorsque son IDP est le mme sur ces pyramides
originelles.
Soit () [; ] sur la PBN.
On a :
= N +
= (N) + soit () [; ] sur la PBN
-
74
= (N) + soit () [; ] sur la PBN
= (N) + soit ()[1; ] sur la PBN.
Il apparat donc que la brique est transitque sur la PBN, la PBNq
et la PBN.
Exemple :
On a :
(2405)[4; 4] ; (2405)[2; 4] ; (2405)[1; 4].
La brique 2405 est donc transitque sur la PB7, la PB49 et la
PB2401.
PBN se lira tout simplement pyramide parallle de base N passant
par .
Soient [i]N tel que [i]N= avec N un entier naturel suprieur ou
gal 2 ; 0 < < N 1 et [n]N=N1.
N
(N )
N N
(N )
N
N
(N )
N
N
(N )
N
0 N
(N )
N
N
(N )
N
N
(N )
N
N
(N )
N
N
(N )
N
i (N1 1)
N 1
n N-1
10 N
ii (N2 1)
N 1
nn N2-1
100 N2
iii (N3 1)
N 1
nnn N3-1
1000 N3
iiii (N4 1)
N 1
nnnn N4-1
1000
Nr-1 iii
(N 1)
N 1
nnn Nr-1
-
75
N
(N )
N N
(N )
N
N
(N )
N
N
(N )
N
0 N
(N )
N
N
(N )
N
N
(N )
N
N
(N )
N
N
(N )
N
1 n N-1
10 N
2 nn N2-1
100 N2
3 nnn N3-1
1000 N3
4 nnnn N4-1
1000
Nr-1 r nnn
Nr-1
PBN
Nota :
Si = N 1 avec N 2 alors la PBN devient :
N N + N N + N N + NN + 0
i N 1
10 N
ii N2 1
100 N2
iii N3 1
1000 N3
iiii N4 1
1000
Nr-1 iii
N 1
-
76
N N + N N + N N + NN + 0
1
10 N
2
100 N2
3
1000 N3
4
1000
Nr-1 r
Ces tableaux ont lallure dune demi-pyramide. Ils font lobjet
dune tude spcifique dans une autre section (Voir page 99).
La colonne de la PBN renfermant les nombres souligns constitue
ce quon appelle laxe des IDK tandis que la ligne qui le surplombe
est laxe des
IDP. Ces deux axes servent reprer une brique, cest--dire un
nombre. Cest ainsi quon appelle les lments qui constituent la
pyramide.
Exemple :
La brique 11 sur la PB31, la PB41 et la PB42 est repre comme
suit :
PB31 : (11)1[3;2 ]
PB41: (11)1[2; 6 ]
PB42: (11)2[2; 1 ]
Nota :
Dans les dcompositions qui prcdent le nombre soulign est appel
IDK8 tandis que celui qui le suit immdiatement est nomm IDP9.
Pour tout de la PBN si on a N 1 :
8 IDK : idadi ya kwanza (premier nombre en swahili). 9 IDP :
idadi ya pili (deuxime nombre en swahili).
-
77
+ 1 N
ln( + 1) lnN
soit ln( + 1)
lnN.
Sur la PBN pour () [; ] (lire dIDK sur pidestal et dIDP sur la
PBN ou de coordonnes sur pidestal et sur la PBN) on a :
o =(N1)
N1+
o est la plus petite valeur entire non nulle qui vrifie
l'quation ln(+1)
lnN
o ( ) [; ] avec N1
(N1)
N1 < N 1
(N11)
N1
Dterminer les coordonnes des briques 34, 454, 1511 et 269965 sur
la PB51, la PB74, la PB108 et la PB29861.
Sur la PB51
(34)1[3; 3] ; (454)1[4; 298] ; (1511)1[5; 1355] et (269965)1[8;
172309].
Sur la PB74
(34)4[2; 2] ; (454)4[4;1146] ; (1511)4[4;89] et
(269965)4[7;279063].
Sur la PB108
(34)8[2;54] ; (454)8[3; 366] ; (1511)8[4;7377] et
(269965)8[6;618923].
Sur la PB29861
(34)61[1;27] ; (454)61[2;17785] ; (1511)61[2;16728] et
(269965)61[3;5165318].
-
78
quelle base de numration a-t-on affaire si on a : ()[; ] ?
Dsignons par la base de numration de la pyramide parallle.
De ()[; ] on a :
=( 1)
1+
( 1)
1=
1
1=
.
sera tel que : = (
1
) avec 1 > 1.
quelle base de numration a-t-on affaire si on a : (781)3[4; 4] ,
(781)11[3;1540] ou (781)27[2;758] ?
Dsignons par la base de numration de la pyramide parallle.
De (781)3[4; 4] on a
