La Costante di Hubble - infn.it La Costante di Hubble Relatore Candidato ... risultato di un programma di osservazioni con il nuovo telescopio da 100 pollici di Mount Wilson

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI “FEDERICO II”

FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea in Fisica

Tesi di Laurea Triennale

La Costante di Hubble

Relatore Candidato

Prof. Paolo Scudellaro Ilena De Rubertis

matr. 567/189

ANNO ACCADEMICO 2008/2009

INTRODUZIONE

I

Fino alla fine dell’Ottocento il problema cosmologico ha riguardato solo le stelle ed i

pianeti.

Rispetto alle cosmologie antiche è cruciale, oggi, il confronto con le osservazioni ed i loro

dati. Attraverso la crescita tecnologica, questi hanno portato ad allargare l’ambito da

considerare fino agli estremi oggi noti.

Nel 1929, Hubble affermò l’esistenza di una relazione lineare tra il redshift (lo “spostamento

verso il rosso”) della luce emessa dalle galassie (allora dette ‘nebulose’) e la loro distanza,

relazione che coincide con la legge empirica qualora il redshift z sia direttamente

proporzionale alla velocità V di recessione. Il legame tra V e z è lineare solamente per

z molto più piccolo di 1, mentre per z maggiori dipende dal particolare modello di universo

in espansione scelto.

La legge empirica di Hubble è stata la prima importante conferma osservativa della

soluzione cosmologica di Friedmann delle equazioni di Einstein. L’importanza storica della

legge di Hubble sta nell’aver eliminato i modelli statici di universo (Einstein, de Sitter,

Minkowski) che erano largamente favoriti prima della scoperta dell’espansione

dell’Universo. (La conseguenza più famosa di questo pregiudizio fu, del resto, l’introduzione

da parte di Einstein di una costante cosmologica nelle sue equazioni, proprio allo scopo di

rendere statico l’universo che esse predicevano.) I modelli cosmologici moderni sono basati

sulla teoria della Relatività Generale, utilizzata per descrivere l’universo su grandi scale

Introduzione

II

tramite la metrica spazio‐temporale di Robertson‐Walker, che soddisfa alle caratteristiche di

omogeneità ed isotropia ottenute dai dati osservativi, rispettando, quindi, il Principio

Cosmologico.

Alla base di ogni considerazione sull’Universo, si trova oggi il Modello Cosmologico

Standard, che si basa sulle equazioni di campo di Einstein e sul Principio Cosmologico. Nel

Modello Cosmologico Standard, l’espansione dell’universo è descritta dalla variazione nel

tempo di un parametro, il fattore di scala, che esprime appunto il modo in cui varia la

distanza fisica tra due punti dell’Universo (e che è lo stesso per ogni coppia di galassie). Il

modo in cui tale fattore di scala dipende dal tempo è scritto nelle equazioni di Friedmann per

un Universo in espansione.

Nei diversi modelli cosmologici la costante di Hubble è costante solo in un dato istante

cosmologico. Questo valore, però, cambia nel tempo. La sua variazione nel tempo è indicata

dal parametro di Hubble al tempo t , indicato con ( )tH ; intendiamo con costante di Hubble

0H il valore attuale.

L’evoluzione di H è dovuta agli effetti della forza gravitazionale della materia (visibile e

oscura) presente nell’universo, che tende a rallentare l’espansione, e della cosiddetta energia

oscura, che invece tende ad accelerarla; la costante cosmologica è la forma particolare più

semplice di energia oscura. Misure condotte in anni recenti, a partire dal 1998, sembrano

indicare che l’espansione dell’universo stia in questo momento accelerando.

Per determinare in modo accurato la costante di Hubble è, comunque, essenziale considerare

galassie distanti in modo che i dati non siano dominati dalle velocità peculiari. Questa tesi si

propone di descrivere sommariamente, tra l’altro, alcune misure di distanza in modo da

poter ricavare un valore accurato di 0H , che sia legato ad una serie di parametri cosmologici

che descrivono il nostro universo.

La principale difficoltà nella misura della costante di Hubble è una determinazione accurata

delle distanze da galassie, in quanto essa richiede l’uso di una scala delle distanze, affetta da

errori dovuti ad inevitabili incertezze osservative. Il problema diventa più acuto per galassie

distanti, in quanto la densità proiettata delle stelle diventa maggiore.

Non esiste un metodo diretto per ottenere una stima sicura delle distanze. Ne vengono

utilizzati due basilari: la parallasse e la candela standard. Bisogna, quindi, effettuare una

calibratura senza la quale possiamo solo misurare distanze relative e non assolute. Di solito,

Introduzione

III

si usa una serie di candele standard, la più vicina delle quali calibrata con il metodo della

parallasse. Pertanto, ogni misura nella scala della distanze implica una calibratura e

introduce errori.

Studi di supernovae a redshift cosmologici hanno dimostrato che supernovae distanti sono

più deboli di quelle attese assumendo il modello di Eistein‐de Sitter, per il quale 1=Ωm e

0=ΩΛ . Nella tesi vengono discussi, del resto, diversi metodi che consentono di determinare

la costante di Hubble: metodi locali, metodi che usano lenti gravitazionali oppure l’effetto

Sunyaev‐Zel’dovich, ma soprattutto le misure delle relazioni Periodo‐Luminosità e Periodo‐

Luminosità‐Colore di Cefeidi nelle Nubi di Magellano, nonché misure attraverso la relazione

di Tully‐Fisher, oppure il Piano Fondamentale e le relazioni D ‐σ .

Ogni metodo contiene una propria percentuale di errore.

La combinazione di tutti i metodi, dando un peso maggiore al metodo delle Supernovae di

Tipo Ia, porta ad un valore 110 70 −−≈ MpckmsH .

Nella tesi, dopo una breve introduzione storica, viene introdotto il Modello Cosmologico

Standard e, poi, il problema della misura delle distanze, commentando ‐ senza alcun

tentativo di essere esaustivi ‐ come i vari metodi conducano a valori di 0H che in gran parte

sono vicini tra loro, pur conservando errori ed incertezze specifici dell’ambito in cui sono

stimati.

CAPITOLO 1

L’importanza delle distanze in cosmologia

1

1.1 Alle origini del discorso cosmologico

Tutte le culture, da sempre, si sono interrogate sull’essenza dell’uomo e sulla sua

posizione nell’Universo. Contemplando il cielo punteggiato di stelle, si sono preoccupate di

costruirne una chiave di lettura che rendesse anche conto del futuro umano, di come siano

distribuiti gli spazi destinati all’Essere e quelli destinati al Divenire. È in sostanza ciò che si è

venuto a ripresentare, in forme più o meno evolute, in tutte le costruzioni cosmologiche

sviluppate fino ai nostri giorni.

In India si è sviluppata la cosmologia vedica, contenuta nelle più antiche scritture che ci

siano note. Essa si concentra ampiamente sugli aspetti statici dell’Essere. L’Induismo, infatti,

amplia il concetto di Essere nel Brahman, entità suprema primordiale personale che include

sia l’Essere che il non‐Essere. Originariamente, del resto, è a partire dal Brahman che si

stabilisce una relazione, ancora indistinta, tra luce, azione e gravità quali agenti del reale.

Lo scopo della descrizione vedica delle articolazioni dell’Essere è proprio il confronto con lo

spazio. Successivamente, e in tutt’altra cultura, tale spazio viene ancora riservato dal libro

della Genesi all’articolazione dell’Essere. Qui, dopo la creazione del caos primordiale, è il

verbo che agisce e crea la luce, fino a fare risaltare la centralità dell’uomo sulla scena cosmica,


2

insieme al dominio di una sequenza temporale segnata dai giorni. Tutto avviene ormai nel

tempo, è “divenire”.

Così, al tempo ciclico della cosmologia vedica si viene a contrapporre il tempo lineare della

cosmologia giudaica. Poi nel corso dello sviluppo della cultura ellenica, la storia del pensiero

cosmologico compie un primo significativo passo in avanti, essenziale a focalizzare il

processo che porta alla cosmologia moderna. Il quinto secolo avanti Cristo, in effetti, è stato

un periodo di rivoluzioni ideologiche su tutto il pianeta, con la venuta del Buddha in India,

di Confucio e Lao‐Tse in Cina, di Zarathustra in Mesopotamia. Nel mondo ellenico è stato il

secolo di Pitagora. A lui e alla sua scuola sono state accreditate molte acquisizioni di

matematica, mostrando anche come le punte più avanzate del pensiero logico e scientifico

potessero diventare strumento di elaborazione cosmologica. Ogni numero viene associato ad

una divinità, capace di agire e costruire nel mondo. Ad esempio l’Uno, emblema dell’unità

dell’essere, è assolutezza stessa dell’Essere, come Brahman, ed è destinato ad articolarsi nelle

molteplicità senza tuttavia esserne corrotto; esso viene anche visto come il fuoco primordiale.

Il Due è la madre Terra, la sostanza primordiale. Il Tre si riconduce alla divinità solare e al

suo ruolo maschile. E così via, in una progressione che costituisce e costruisce l’esistente.

Due secoli più tardi, Aristarco da Samo ha rinunciato all’Uno inconoscibile e introdotto per

primo il sistema eliocentrico.


3

1.2 Le galassie

In sostanza, nell’avvicendarsi di essere e divenire, fino alla fine dell’Ottocento il

problema cosmologico ha riguardato solo le stelle e i pianeti. La scoperta dell’esplosione di

supernovae nelle nebulose (una supernova può raggiungere una luminosità di Θ≈ L910 ,

oltre un miliardo di volte la luminosità del Sole) e l’osservazione di un’anticorrelazione tra il

piano della via Lattea e la distribuzione di queste nebulose introducono, quindi, nuovi

ingredienti. Va riconosciuto ad Hubble il merito di aver sdoganato le galassie, riconosciute

finalmente come elementi fondanti di un Universo su cui si può finalmente speculare a

partire, questa volta, da misure ‘cosmologiche’.

Negli anni Ottanta, tra l’altro, si è discusso molto del fatto che la distribuzione della materia

cosmica potesse essere un frattale. Nessun dato, all’epoca di Hubble, poteva del resto

escluderlo. Ma, se la distribuzione fosse sul serio tale, non esisterebbe alcuna scala di

isotropia e omogeneità, e il lavoro dei relativisti per la soluzione di importanti e difficili

problemi di fisica‐matematica non avrebbe mai trovato aderenza alla realtà fisica, cosa che

invece poi si è verificata.

Si può, così, porre negli anni Venti la data di partenza della cosmologia scientifica. È in

quell’epoca che viene certificata la natura extra‐galattica delle galassie, i veri e propri mattoni

su cui comincia ad edificarsi la cosmologia. Per questa scoperta, Edwin Hubble ha ben

meritato tutti i riconoscimenti che gli furono allora tributati e che, oggi, sono testimoniati dal

nome del primo telescopio spaziale.

Rispetto alle cosmologie antiche, è diventato ormai cruciale il confronto con le osservazioni e

i loro dati. Il procedimento della cosmologia è attualmente simile in gran parte a quello di

tanti altri ambiti di indagine della fisica, giungendo forse a prospettare che è il divenire del

mondo la base concreta del suo stesso essere, così riuscendo almeno in parte a risolvere i

dubbi antichi.

1.3 La nascita della cosmologia scientifica moderna


4

Nel 1924 ebbe luogo la 33a Riunione della American Astronomical Society. Ad essa non

partecipò Edwin P. Hubble, ma vi venne comunque letta la sua famosa comunicazione sul

risultato di un programma di osservazioni con il nuovo telescopio da 100 pollici di Mount

Wilson. Esse dimostravano che M31 nella costellazione di Andromeda era in realtà un

sistema stellare esterno alla Via Lattea e ad essa simile.

Hubble, infatti, aveva identificato in M31 delle stelle cefeidi che egli usava come indicatori di

distanza. Le cefeidi sono delle stelle variabili sulla scala dei giorni e, grazie alla fotometria

svolta in collaborazione con Humason, Hubble aveva ricavato i periodi P di quelle presenti

in Andromeda, deducendone le luminosità L . Dal confronto tra L e la luminosità apparente

l (ovvero quella rilevabile dal punto d’osservazione) di ciascuna cefeide, ossia tramite la

legge 24 dLlπ

= , è facile ricavare la distanza d . Hubble valutò, così, la distanza di M31 in 250

Kpc a fronte di un raggio della Via Lattea di 10 Kpc (il parsec, pc, è l’unità di distanza più

comunemente usata in astronomia e vale 3.26 anni‐luce circa m161009.3 ⋅ ). Nonostante la

distanza di M31 sia, in effetti, considerata oggi 3 volte maggiore, usando i dati corretti sulle

cefeidi, già le distanze fornite da Hubble collocavano definitivamente M31 al di fuori della

Via Lattea.

Questa scoperta segna, dunque, la nascita dell’astronomia extragalattica. Il suo primo dato

significativo riguarda proprio la nostra stessa galassia, la Via Lattea (Milky Way), per la quale

si misura una luminosità totale e si stima una massa mwM tra 1110 e ΘM1210 (un intervallo

non dovuto a difficoltà sperimentali, ma alla progressiva scoperta di nuove componenti

oscure). Le unità ΘL e ΘM sono la luminosità intrinseca e la massa del Sole, rispettivamente

di sec/104 33 erg⋅ e grammi33102 ⋅ .

Ma la vera astronomia extragalattica si interessa di ciò che è esterno alla Via Lattea, delle

galassie simili (o non) alla Via Lattea che si osservano in ogni direzione e a profondità

diverse. La distanza media galassia‐galassia, ggλ , è di 3 con un’incertezza sperimentale

inevitabile e la necessità di operare una scelta sulla massa minima degli oggetti cui attribuire

la qualifica di “galassia”. Si noti che la distanza di M31 dalla Via Lattea è inferiore al Mpc e

le nubi di Magellano sono ancora più vicine. Invero, le galassie tendono a presentarsi in

gruppi legati gravitazionalmente; alcuni sono semplici sistemi binari, mentre altri sono più


5

consistenti, come il Gruppo Locale in cui si trovano la Via Lattea e M31, fino a giungere ad

ammassi di migliaia di galassie, come Abell 1689.

Per aggregazione progressiva, il gas forma le stelle, le stelle formano le galassie, le galassie

formano gruppi e ammassi. Si tratta sempre di sistemi gravitazionalmente legati, seppure in

condizioni dinamiche assai difformi. Su scale di distanza maggiori; oltre i 10 Mpc,

riscontriamo associazioni di oggetti come i superammassi e tutta una rete cosmica di

filamenti e superfici. Tra i filamenti risaltano dei grandi vuoti, di raggio fino a 30 ‐ 40 Mpc.

D’altra parte, al crescere della scala delle masse, cala sempre più il contrasto di densità tra i

sistemi aggregati e gli spazi circostanti. Si va da un contrasto di densità di 20 ordini di

grandezza per le stelle ad uno di 7 per le galassie e 2 per gli ammassi, fino ad 1/5 circa per i

superammassi. Ciò rende legittimo pensare che, su scale di masse e distanze ancora

maggiori, si approssimi l’omogeneità, in concordanza coi risultati forniti dai radiotelescopi,

ad esempio, e coi dati sul fondo cosmico a microonde (CMB, cosmic microwave background),

rilevato per la prima volta da Arnold A. Penzias & Robert W. Wilson nel 1965, che

testimoniano di una isotropia superiore a 1:105.

Ad Edwin Hubble si accredita anche la scoperta dell’espansione dell’Universo, il moto

d’insieme delle galassie che va, appunto, sotto il nome di ‘flusso di Hubble’. Fu Hubble,

infatti, a suggerire, nel 1929, che valesse la celebre “legge di Hubble”:

dHv 0= (1.1)

Fig.1: relazione velocità‐distanza tra nebulose extragalattiche.


6

dove d è la distanza delle galassie osservate e v la loro velocità di allontanamento, fornendo

per 0H un valore di ~ 500 (km/s)/Mpc, tale dunque che la velocità di allontanamento

crescesse linearmente con la distanza di 500 km/s per ogni Mpc in più.

Anche se la legge dHv 0= si è rivelata corretta, il valore di 0H fornito da Hubble è oggi

considerato errato, nonostante dimostrasse che i dati ne avevano permesso la stima. Essa si

basava sulla misura dei redshift delle righe spettrali di una ventina di galassie, entro 5 – 6

Mpc, oltre i quali il telescopio di Mount Wilson e le tecniche spettroscopiche dell’epoca non

permettevano di andare. Poiché, però, a queste distanze i dati sono dominati dalle velocità

peculiari, in effetti il ‘flusso di Hubble’ non si può ancora veramente vedere. In ogni caso, nel

suo articolo del 1929 [1] dopo aver affermato l’esistenza di una rozza relazione lineare tra

velocità e distanza, Hubble riesce perfino a prevedere l’uso dei suoi dati numerici nelle

discussioni riguardanti la curvatura dello spazio, riferendosi così nettamente alla Relatività

Generale e al contributo che alle teorie cosmologiche relativistiche poteva venire dalle

osservazioni. In ciò attestando la consapevolezza della nascita di una metodologia scientifica

che, in seguito, è stata pienamente sviluppata e, ancor oggi, fornisce supporto alla ricerca

extragalattica.

CAPITOLO 2

Elementi di cosmologia teorica

7

2.1 La cosmologia moderna

La cosmologia descrive l’Universo come un unico sistema fisico, studiandone la

struttura a larga scala e l’evoluzione. Alla base di ogni considerazione sull’Universo oggi si

trova il Modello Cosmologico Standard, che si propone di descriverne l’evoluzione dalle sue

fasi iniziali fino al tempo attuale. Esso si basa su due elementi fondamentali: le equazioni di

campo di Einstein, che descrivono il comportamento di un qualsiasi sistema fisico sotto

l’effetto della gravità, e il cosiddetto Principio Cosmologico in base al quale l’Universo è una

singola entità dinamica e termodinamica, omogenea ovunque ed isotropa intorno ad ogni

suo punto.

L’Universo attuale, soprattutto se lo osserviamo su distanze “piccole”, è però tutt’altro che

omogeneo ed isotropo: sono ben evidenti distribuzioni di materia dense, come ad esempio le

galassie, circondate da un mezzo intergalattico molto meno denso. Così è anche per le stelle

all’interno delle galassie. Se però osserviamo porzioni molto ampie, in media la distribuzione

di materia ci appare uniformemente distribuita ovunque.

Come già detto, il primo trentennio del Novecento segna l’inizio della cosmologia moderna e

si assiste al passaggio dai modelli cosmologici mitico‐religiosi‐descrittivi a quelli fisico‐


8

matematici‐osservativi grazie ai lavori di Einstein, Hubble, Friedmann e molti altri. Einstein

applica per primo la Relatività Generale al problema cosmologico, mentre Hubble, come

visto precedentemente, dimostra che le galassie sono sistemi esterni alla Via Lattea ed in

recessione da noi; da parte sua, Friedmann trova una soluzione delle equazioni di Einstein

confrontabili con il principio cosmologico, ma in espansione.

In fisica, generalmente, vengono introdotti dei principi spesso basati su idee di simmetria che

riducono il numero di gradi di libertà da considerare. I primi cosmologi hanno costruito

modelli semplificati per descrivere alcuni aspetti dell’Universo. Prima della scoperta

dell’espansione dell’Universo, ad esempio, è stato proposto un modello cosmologico statico.

Nel Modello Cosmologico Standard, l’espansione dell’Universo è descritta dalla variazione

nel tempo di un parametro, il fattore di scala, che esprime appunto come varia nel tempo la

distanza fisica tra due punti dell’Universo ed è lo stesso per ogni coppia di galassie.

Risolvere la dinamica cosmologica vuol dire, in effetti, ricavare l’evoluzione temporale di

questo fattore di scala dalle equazioni di Einstein. Tali equazioni collegano la distribuzione

di energia, e quindi di massa, alle proprietà geometriche (curvatura) dello spazio‐tempo.

2.2 L’Universo statico

Lo stesso Einstein modificò le equazioni di campo con l’aggiunta di un termine

cosmologico, al fine di rendere statiche le soluzioni. Si possono studiare tali modelli

cosmologici statici utilizzando la metrica ( ) ( ) 222222 Ω−−= drdredtceds rr λν , (2.1)

dove il primo termine indica che la sfera può evolvere nel tempo, il secondo, che la sfera può

avere un raggio. Einstein ipotizzò che l’Universo fosse una sfera stazionaria, usando gli

esponenziali per evitare l’annullamento del tempo e dello spazio.

Considerando la condizione di conservazione dell’energia, si ricava

( ) 021 2 =++

drdpc

drdp νρ . (2.2)

Si suppone che non ci siano in media gradienti di pressione, per cui

( ) 02 =+drdpc νρ . (2.3)

Risolvere questa equazione significa determinare il tipo di Universo:


9

0=drdν

, universo di Einstein; (2.4)

( ) 02 =+ pcρ , universo di De Sitter; (2.5)

0=drdν

e ( ) 02 =+ pcρ , universo di Minkowski. (2.6)

Consideriamo, anzitutto, l’Universo di Einstein.

La (2.4) implica tcos=ν . Assumendo 0=ν , possiamo effettuare la sincronizzazione degli

orologi cosmici. Il modello ottenuto è statico ma non stabile. Si ricava dall’equazione:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Λ= p

cG

R 42

81 π, (2.7)

( )pcc

GE 34 2

4 +=Λ≡Λ ρπ. (2.8)

Inserendo la (2.8) nella (2.7), si ottiene per il raggio caratteristico R la seguente espressione

( )pcc

GR

+= 242

41 ρπ > 0. (2.9)

La costante cosmologica ha, quindi, l’effetto di bilanciare la forza gravitazionale che, da sola,

provocherebbe il collasso dell’Universo. EΛ può essere valutata assumendo che l’Universo

sia un “gas di galassie”, in modo da poter trascurare la pressione rispetto alle altre

grandezze, quindi, in questo caso:

204

4 cc

GE ρπ=Λ , (2.10)

dove con 0ρ si è indicato il valore presente di ρ . Sostituendo i valori numerici si ottiene:

25710 −−≈Λ cmE , (2.11)

da cui in termini di lunghezze:

MpccmRE

428 101031≈⋅≈

Λ≈ . (2.12)

Consideriamo, ora, l’Universo di Minkowski. Esso si ottiene imponendo che, oltre la

condizione (2.4) e conseguentemente ( ) 1=reν , si abbia anche:

( ) 02 =+ pcρ , 02 =cρ , 0=p . (2.13)

In questo modo la (2.9) diventa:

( ) 041 242 =+= pc

cG

Rρπ

(2.14)


10

e ciò implica che:

∞→R . (2.15)

Si vede che:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

2

2

1Rre λ , (2.16)

da cui:

11 2

2

→−== −

Rree λν . (2.17)

Otteniamo, quindi, un universo piatto e vuoto, del tipo di Minkowski.

Consideriamo, infine, l’Universo di De Sitter, per il quale:

02 =cρ , 0=p (2.18)

Esso risulta interessante in quanto dall’ipotesi di un universo vuoto ( 02 =cρ e 0=p ), senza

assumere la staticità, con 0=dtdν

, risulta l’espansione dell’universo. Dalla (2.17) ricaviamo:

pc −=2ρ ⇒ 02 =cρ , 0=p . (2.19)

Dalle equazioni di Einstein, si ha:

2

2

1Rree −== −λν , (2.20)

dove:

31

2

Λ=

R. (2.21)

Ne segue:

Λ=

3R . (2.22)

Anche in questo caso il raggio dell’universo va come ( ) 21−Λ . Il ruolo della costante

cosmologica è, dunque, quello di definire un raggio.

Con questi risultati è possibile riscrivere la metrica di De Sitter come:

( )2222

222 Ω+−= drdredtcds Rct

, (2.23)

e si avrà, dunque, un’espansione esponenziale con un fattore di scala che dipende dal tempo:

( )ct

eta 3Λ

= . (2.24)


11

(Si tratta di una soluzione diventata, poi, di fondamentale importanza per i modelli

inflazionari.)

In sintesi, i tre tipi sono:

1. universo di Einstein, EΛ≡Λ , 21−

Λ≡ EEa ; curvatura positiva;

2. universo di De Sitter, ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Λ=== cttapc

21

2

3exp,0,0ρ ; vuoto in espansione;

3. universo di Minkowski, 1,0,02 ==== −λνρ eepc ; piatto e vuoto.

2.3 La metrica di Robertson‐Walker (e il modello di Einstein‐de Sitter)

La Teoria della Relatività Generale viene utilizzata per descrivere l’Universo su grandi

scale costruendo una metrica spazio‐temporale che soddisfi alle caratteristiche di omogeneità

ed isotropia ottenute dai dati osservativi. Per poter scrivere le equazioni di Einstein per un

Universo in accordo con la legge di Hubble, vengono trascurati i moti locali delle galassie

rispetto al moto complessivo di espansione. Pertanto si utilizzano coordinate comobili, le

quali seguono il moto complessivo che anima la materia dell’universo, in modo tale che

l’espansione risulti non come un cambiamento della posizione relativa delle galassie, ma

come un cambiamento della parte spaziale della metrica. Consideriamo, inoltre, l’Universo

come un fluido continuo. Assegniamo ad ogni elemento del fluido le tre coordinate spaziali αx ( )3,2,1=α , dette coordinate comobili. Ogni punto dello spazio‐tempo può pertanto essere

definito dalle coordinate αx ,corrispondenti all’elemento del fluido che sta passando per il

punto. In tal modo le coordinate degli elementi fluidi non cambiano nel tempo.

L’universo appare diverso a diverse distanze dall’osservatore comovente, in quanto la

visione locale dell’Universo alle varie distanze è influenzata dal ritardo temporale della

ricezione dei fotoni che viaggiano alla velocità della luce finita. Occorre, del resto, definire un

tempo cosmico o universale, cui tutti gli osservatori possano riferirsi. Assumiamo, a tal fine,

che al tempo 0=t tutte le componenti materiali dell’Universo, le galassie, si siano

sincronizzate su un tempo che chiamiamo appunto tempo cosmico t . Successivamente le

diverse componenti materiali si sono evolute in modo indipendente, ciascuna con un tempo

proprio τ , misurato da un orologio a riposo con la materia circostante. In ciascun punto il

tempo proprio τ coincide con il tempo cosmico t , ma non con il tempo di un osservatore


12

lontano a causa dei ritardi nella trasmissione dei segnali. Tuttavia la sincronizzazione iniziale

permette, sulla base della legge di evoluzione cosmologica data dal modello utilizzato, di

ricavare i ritardi degli osservatori lontani e ricondurre gli eventi al tempo cosmologico.

Si può pertanto descrivere l’evoluzione dell’Universo utilizzando un sistema di riferimento

basato su coordinate comoventi con la materia rispetto alla quale gli osservatori siano a riposo e

utilizzando il tempo proprio come tempo cosmico. Le proprietà geometriche dello spazio‐

tempo vengono descritte da una metrica e la metrica spazio‐temporale più generale che

descrive un universo che rispetti il Principio Cosmologico è quella di Robertson‐Walker:

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−−= 2222

2

2222 sin

1ϕϑϑ ddr

krdrtacdtds , (2.25)

dove abbiamo usato le coordinate sferiche polari ( )ϕϑ,,r quali coordinate comoventi ( r è,

per convenzione, adimensionale). L’elemento 2ds separa due punti che hanno coordinate

( )ϕϑ,,, rtx = , dove t è il tempo proprio, mentre ( )ta è una funzione che ha le dimensioni di

una lunghezza ed è chiamata fattore di scala cosmico o parametro di espansione. Il parametro di

curvatura k è una costante che può assumere valori 1, 0, o ‐1. In particolare, per un fluido

perfetto omogeneo ed isotropo con densità di energia 2cρ e pressione p , le soluzioni delle

equazioni di Einstein sono le equazioni di Friedman:

( ) 222.

831 kcaGa −=Λ+− ρπ , (2.26)

Λ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

3133

34

2

..

cpG

aa ρπ , (2.27)

dove, in base alla (3.1), ( )taa = è proprio il fattore di scala dell’Universo, k è la costante di

curvatura uguale a ‐1, 0 o 1, rispettivamente per una geometria negativamente curva,

spazialmente piatta o positivamente curva, 2cρ è la densità di massa‐energia dell’Universo e

p è la pressione, mentre con i punti rappresentiamo le derivate rispetto al tempo proprio

cosmologico. Λ è la costante cosmologica, inizialmente introdotta da Einstein per rendere

statiche le soluzioni cosmologiche e considerata da lui stesso “il più grande errore della sua

vita” dopo la scoperta dell’espansione cosmologica da parte di Hubble. Negli ultimi anni,

invece, (grazie alla proposta dei modelli inflazionari e l’introduzione dell’energia oscura) la


13

costante cosmologica è diventata un ingrediente fondamentale per la cosmologia moderna,

poiché è un termine che fornisce un’accelerazione.

Inoltre, bisogna considerare l’equazione per la conservazione dell’energia (tensore energia‐

impulso della materia che, per un fluido perfetto, si riduce agli elementi della diagonale

principale)

( ) 03 2

.

2.

=+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+ pc

aac ρρ , (2.28)

e la condizione (equazione di stato) di fluido perfetto: 2cp γρ= , (2.29)

con 10 ≤≤ γ , intervallo di Zeldovic, intervallo per il quale il nostro fluido è definibile come

fluido perfetto standard.

Le equazioni (2.26), (2.27), (2.28), (2.29) rappresentano le equazioni del modello cosmologico

standard.

Analizziamo alcune soluzioni delle equazioni cosmologiche. (Assumiamo 12 =c .) Ottenere

informazioni su ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

00

.,,, paa ρ e, indipendentemente, su { }γ,,kΛ significa assegnare un

modello cosmologico.

Gli universi di Einstein‐de Sitter sono semplici modelli cosmologici in cui si assume che:

1. la metrica dello spazio‐tempo sia di Friedmann‐Robertson‐Walker;

2. la materia sia un fluido perfetto;

3. la costante cosmologica sia nulla ( )0=Λ ;

4. i modelli siano spazialmente piatti ( )0=k .

Risolvere le equazioni in tal caso significa trovare ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Λ= γρ ,,,,,; 0

.

0 0 kaatata e

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Λ= γρρρ ,,,,,; 0

.

0 0 kaatt .

Dall’equazione per la conservazione dell’energia (2.28) e moltiplicando per il volume

comobile 3a , otteniamo: ( )13

0

0

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

γ

ρρ

aa

. (2.30)


14

Sostituendo nella (2.26), con 0=Λ , e 0=k , si ricava:

( )132.

0+= γaak , (2.31)

e, quindi,

( )ta

dtd cos

123

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +γ. (2.32)

Integrando questa equazione, si ha:

( )bcta +=

+123γ

. (2.33)

Assumendo 0=b , in modo che si abbia 0=a per ,0=t si ricava infine:

( )132

00

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

γ

tt

aa

(2.34)

che diventa:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∝ 13

2

)( γtta . (2.35)

Si ha, così: ( )13)( +−∝ γρ at , (2.36)

e dalla seconda equazione di Friedmann possiamo, poi, ricavare la curvatura, definendo la

densità critica:

2.

83

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≡

aa

Gc πρ . (2.37)

Lo spazio è chiuso ( )1=k , aperto ( )1−=k o piatto ( )0=k se il parametro di densità:

( )c

tρρ

=Ω (2.38)

è maggiore, minore od uguale ad uno.

Definendo la densità adimensionale di energia relativa alla costante cosmologica al tempo

corrente come 203H

Λ≡ΩΛ , così come quella della curvatura, 2

0

2

Hkc

k ≡Ω e della materia

ordinaria c

m ρρ

≡Ω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

GH

c πρ

83 2

0 , si può (con la prima) considerare la presenza di ‘energia


15

oscura’ nell’Universo. Essa, nell’espansione, diventa prima o poi dominante sugli altri

termini.

La prima equazione di Friedmann può scriversi sinteticamente come:

1=Ω+Ω+Ω Λ km . (2.39)

A seconda dei momenti nella storia evolutiva dell’Universo, uno dei tre termini viene a

dominare sugli altri due.

0=Ω k implica un Universo piatto, nel quale la densità di energia della materia insieme a

quella relativa alla costante cosmologica è uguale alla densità critica. Il fatto che una

maggiore o minore densità di materia‐energia incurvi di più o di meno lo spazio‐tempo, vuol

dire che la possibilità di avere un Universo spazialmente aperto o chiuso dipende proprio

dalla densità di materia‐energia. Se la densità è al di sopra di un certo valore critico, le forze

attrattive delle varie parti dell’Universo tenderanno a fermare la recessione delle galassie,

fino a generare un processo di contrazione cosmica contrario all’espansione. Se la densità è al

di sotto o uguale ad un certo valore critico, la forza attrattiva è insufficiente e l’espansione

continuerà per sempre. Tale valore critico della densità è stato già introdotto per definire mΩ

ed è direttamente desumibile dalla prima equazione di Friedman per 0=Λ e 0=k , al

tempo presente. Esso è dell’ordine di 322910 −− grcmh (dove sMpckmH

h 10

100−≡ ),

corrispondente a circa 3 atomi di idrogeno per un volume di mille litri di spazio.

2.4 La costante di Hubble

Consideriamo la metrica di Robertson‐Walker. Ponendo 0=dt introduciamo la

distanza propria, pd , di un punto P da un altro punto 0P necessario per definire l’origine

di un insieme di coordinate polari ϕϑ,,r , vale a dire la distanza (misurata da osservatori)

che collega P a 0P al tempo t , ottenuta ponendo 0== ϕϑ dd

( ) ( )rafkr

adrdr

p =−

= ∫0

2/1'

'

2

1, (2.40)


16

dove la funzione ( )rf è, rispettivamente,

( ) rrf 1sin −= (2.40a)

( ) rrf = , ( )0=k (2.40b)

( ) rrf 1sinh −= (2.40c)

La distanza propria al tempo t si può relazionare a quella del tempo presente 0t

( ) ( ) ( )tdaa

rfatd pp0

00 == , (2.41)

dove 0a rappresenta il valore di ( )ta in 0tt = . Possiamo definire, invece di una coordinata

comobile r , una coordinata comobile radiale di P , definendo una distanza comovente

( )rfadc 0≡ (2.42)

In questo caso la relazione tra coordinate comobili e coordinate proprie diventa:

pc daa

d 0= (2.43)

La distanza propria pd di una sorgente può cambiare nel tempo a causa della dipendenza

temporale del parametro di espansione a . In questo caso una sorgente in P ha una velocità

radiale, velocità propria, rispetto all’origine data da:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tdta

arftatdtddtdtv pppp

...

===≡ (2.44)

L’equazione (2.44) è la legge di Hubble e la quantità:

( ) ( )( )tatatH

.

= (2.45)

è il parametro di Hubble (in quanto non costante nel tempo). Il valore di questo parametro

valutato al tempo presente ( ) 00 HtH ≡ , è la ‘costante di Hubble’ e non è conosciuto in modo

accurato. Attualmente, si ritiene che abbia un valore intorno a: 11

0 65 −−≅ MpckmsH . (2.46)

L’equazione (2.44) si può, infatti, anche ricavare in un altro modo. Consideriamo un

triangolo definito da tre punti spaziali O, O’ e P. Assumiamo che questi punti siano

abbastanza vicini gli uni agli altri, in modo da poter trascurare effetti di curvatura

relativistici spazio‐temporali. Se l’Universo evolve in modo omogeneo ed isotropo, il

triangolo OO’P deve essere sempre simile al triangolo originale. Questo significa che la


17

lunghezza di tutti i lati deve essere moltiplicata per lo stesso fattore di scala 0a

a. Di

conseguenza la distanza tra due punti deve essere moltiplicata per lo stesso fattore. Abbiamo

quindi

00

laal = , (2.47)

dove 0l ed l sono le lunghezze del segmento di linea che congiunge due punti ai tempi 0t e

t , rispettivamente. Dalla (2.47) si ricava, così, la legge di Hubble (2.44).

Una proprietà della legge di Hubble, implicita nel precedente ragionamento, consiste nel

poter trattare ogni posizione spaziale come l’origine del sistema di coordinate. Riferendoci

nuovamente al triangolo OO’P, abbiamo infatti

Hrvvvpop =+= '' , (2.48)

così che:

( ) '' HrdrHv

p=−= , (2.49)

che rappresenta la legge di Hubble, espressa nel punto O’.

Dalla definizione del parametro di Hubble (2.45) e considerando la (2.35), ricaviamo

( )( )γ

γ

γ++

−

+= 13

31.

132 ta (2.50)

Pertanto la (2.45) diventa:

( )tHγ+

=13

2. (2.51)

Il parametro di Hubble ( )tH misura la velocità di espansione in ogni istante di tempo t , per

ogni modello che rispetti il Principio Cosmologico. Quindi la sua variazione nel tempo

dipende dal contenuto energetico dell’Universo.

La (2.51) consente di ricavare il valore attuale del parametro di Hubble, ossia la costante di

Hubble

( ) 00 13

2t

Hγ+

= . (2.52)

Otteniamo, quindi, il “tempo di Hubble”:


18

( )1

00 132 −

+= Ht

γ, (2.51)

che dipende dal tipo di fluido considerato tramite .γ

Poichè il rapporto tra .a ed a è dato dall’equazione (2.51) per la densità ρ si ottiene

l’espressione:

( )( ) 2216

1tG

tγπ

ρ+

= (2.52)

In breve, i modelli di Einstein‐de Sitter sono assegnati dalle soluzioni:

( )132

00

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

γ

tt

aa

, ( )13

0

0

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

γ

ρρ

aa

, ( )( )

213

0

1γ+

−+= ztt

, ( )tHγ+

=13

2, ( )

100 13

2 −

+= Ht

γ,

( )( ) 2216

1tG

tγπ

ρ+

= , 231 γ+

=q . (2.53)

Distinguiamo tre principali casi caratterizzati dal valore di γ :

1. 0=γ (polvere);

2. 31

=γ (radiazione);

3. 1=γ (stiff‐matter).

Nel caso 1. l’universo è dominato da polvere con pressione nulla, vale a dire materia non

relativistica (barioni). La soluzione è data da:

32

ta ≈ , 3−≈ aρ , ( ) 23

0 1 −+= ztt , t

H32

= , 100 3

2 −= Ht , ( ) 261Gt

tπ

ρ = , 21

=q (2.53)

Nel caso 2. l’universo è dominato da materia relativistica (fotoni o neutrini). La soluzione è

data da:

21

ta ≈ , 4−≈ aρ , ( ) 20 1 −+= ztt ,

tH

21

= , 100 2

1 −= Ht , ( ) 2323Gt

tπ

ρ = , 1=q (2.54)

Nel caso 3. l’universo è dominato da un fluido rigidissimo come potrebbe essere accaduto in

epoche primordiali. La soluzione è data da:

31

ta ≈ , 6−≈ aρ , ( ) 30 1 −+= ztt ,

tH

31

= , 100 3

1 −= Ht , ( ) 2241Gt

tπ

ρ = , 2=q (2.55)

Utilizzando l’equazione (2.34) e le sue espressioni derivate ricaviamo un’espressione per il

“parametro di decelerazione” definito come:


19

2.

..

a

aaq −≡231

20

..γ+

=−=aH

a. (2.56)

Il fattore di scala cosmico si può espandere in una serie di potenze per tempi t vicini a 0t :

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−−+= ...

211 2

02

00000 ttHqttHata , (2.57)

dove ( )00 tqq = . Il parametro di Hubble ha le dimensioni di un inverso di un tempo; q ,

invece, è adimensionale.

Introduciamo il redshift, una nuova variabile collegata al parametro di espansione a e

osservabile direttamente. Infatti, gli Universi statici sono contraddetti proprio dall’evidenza

osservativa del redshift delle galassie.

Definiamo il redshift di una sorgente luminosa, ad esempio di una galassia distante, nel

seguente modo:

e

ezλλλ −

= 0 , (2.58)

dove 0λ è la lunghezza d’onda di radiazione dalla sorgente osservata ad O, preso come

origine del sistema di coordinate, al tempo 0t ed emesso dalla sorgente al tempo precedente

et . La sorgente si muove con l’espansione dell’universo e si trova ad una distanza comovente

r . La lunghezza d’onda di radiazione emessa dalla sorgente è eλ . La radiazione viaggia

lungo una geodetica dalla sorgente all’osservatore in modo tale che 02 =ds e, quindi:

( ) ( )( )rf

kr

drta

cdt rt

te

=−

= ∫∫0 2

121

0

. (2.59)

( )rf non cambia in quanto r è una coordinata comobile e sia sorgente che osservatore si

muovono con l’espansione cosmologica: 0tte → , 00 tttt ee δδ +→+ . Sottolineiamo che etδ

potrebbe essere diverso da 0tδ ma, per tδ piccoli, si trova:

( ) ( )0

0

tat

tat

e

e δδ= . (2.60)

Se, in particolare, e

tν

δ 1= e

00

1ν

δ =t , avendo indicato con eν e 0ν le frequenze della luce

emessa e osservata, rispettivamente, avremo:


20

00aae νν = , (2.61)

o, in modo equivalente,

0

0

λλaa

e

= . (2.61)

Ricaviamo, dall’equazione (2.61):

aa

z 01 =+ . (2.62)

Mettendo il redshift, così definito nell’equazione (2.57) otteniamo

( ) ( ) ...211 2

020000 +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= ttHqttHz (2.63)

da cui:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=− ...

2111 2

00

0 zqzH

tt . (2.63)

Adesso, si può dare l’espressione di r in funzione di z . Ricordando che, per un raggio

luminoso vale la (2.62), possiamo usare le equazioni (2.62) e (2.63), ed avere

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+−= ...

21 2

0000

ttHttacr . (2.65)

Sostituendo l’equazione (2.63) nella equazione (2.65) otteniamo infine

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−= ...1

21 2

000

zqzHacz . (2.66)

CAPITOLO 3

Misure della costante di Hubble

21

3.1 La misura delle distanze in cosmologia

Le distanze delle nebulose extragalattiche dipendono dall’applicazione dei criteri di

luminosità assoluta a stelle i cui tipi possano essere riconosciuti. Queste includono, tra le

altre, variabili Cefeidi, novae e stelle blu. I valori numerici dipendono dal punto zero della

relazione periodo‐luminosità per le Cefeidi. Questo metodo è ristretto a poche nebulose la

cui risoluzione risulta buona considerando gli strumenti esistenti. Le luminosità apparenti

delle stelle più luminose in tali nebulose forniscono stime delle distanze di tutti i sistemi

extragalattici nei quali anche poche stelle possano essere rivelate. Le luminosità apparenti

principali delle nebulose stesse offrono stime ragionevoli delle distanze principali.

I dati nell’articolo originale di Hubble [1] indicavano una correlazione lineare tra distanze e

velocità. Sarebbero stati necessari nuovi dati su oggetti più distanti per ridurre, però, gli

effetti del moto peculiare. Le velocità radiali di 46 nebulose extragalattiche erano utilizzabili,

anche se le distanze individuali erano stimate solo per 24. Le 22 nebulose per le quali le

distanze non risultavano utilizzabili furono trattate in due modi. La distanza principale del

gruppo derivata dalle magnitudini apparenti è paragonata con la principale delle velocità

Misura della costante di Hubble

22

corrette per il moto solare, mentre le distanze furono calcolate da queste ultime, ricavando

così la magnitudine assoluta dalla magnitudine apparente.

Nel dopoguerra, con l’utilizzo dei telescopi da 4 metri, l’analisi del flusso di Hubble fu spinta

oltre i 10 Mpc, grazie al lavoro dei gruppi guidati da de Vaucouleurs e da Sandage &

Tammann. Il valore di 0H , al finire degli anni Cinquanta, era sceso sotto i 100 (km/s)/Mpc,

con Sandage & Tammann che lo portavano fino a 50‐55 (km/s)/Mpc. Questa fu la vera

scoperta del flusso di Hubble. Per parametrizzare la costante di proporzionalità della legge

di Hubble, si pone ( )MpcskmhH 1000 = , dove h è il parametro di Hubble adimensionale. I

dati più recenti danno 03.072.0 ±≈h , un valore cui si arriva convolvendo i risultati di

diverse tecniche, per esempio usando i dati sullo spettro della anisotropie della CMB (la

radiazione di fondo a 2.73 K). Ma il modo principale resta comunque l’utilizzo di dati sul

moto delle galassie più lontane, perché le velocità di allontanamento effettivamente

osservate ϑcos0 pvdHv += siano poco inquinate dal rumore dovuto alle velocità peculiari

pv di cui conta la proiezione nella direzione di vista, con ϑ l’angolo tra pv e tale direzione).

La velocità peculiare della Via Lattea, per esempio, è circa un millesimo delle velocità della

luce c, quindi ~300 km/s; si tratta di un valore abbastanza tipico e si può notare che dH 0

raggiunge un valore ~300 km /s a una distanza ( )Mpchdh 3≈ . Per 71.0≈h è Mpcdh 5≈ ,

sicché un segnale significativo sul flusso di Hubble si ha oltre i 10 Mpc, mentre non vi è

nessun segnale del genere sotto i 5 Mpc.

A conferma dell’impossibilità di confrontare l’equazione dHv 0= con i dati di Hubble, sta il

valore allora fornito per H₀: sia pure rinormalizzandolo in modo da scontare l’errore sulla

distanza delle stelle cefeidi, che Hubble e Humanson usarono come indicatori di distanza, si

ottiene ~ 170 (km/s)/Mpc. Se quel valore fosse vero, l’età del cosmo sarebbe di 6 miliardi di

anni; cosa assurda,visto che in esso vi sono sicuramente stelle più vecchie di 10 miliardi di

anni.

A distanza di ottant’anni, disponiamo oggi di campioni statisticamente ben selezionati, che

includono galassie fino a distanze anche maggiori di 1 Gigaparsec, mille volte più lontane di

quelle viste da Hubble allora. Oltre a confermare la coerenza del flusso di Hubble, l’analisi di

questi campioni permette di confermare le ipotesi su cui si basano i modelli relativistici. (In


23

primis, è confermato che, salendo di scala, ci si approssima sempre più a un regime di

isotropia e omogeneità.)

A questo proposito, va citato l’articolo di Hubble del 1931 [2], nel quale sono discussi i

metodi per determinare le distanze di nebulose extragalattiche e la magnitudine assoluta

media è riesaminata sulle basi sia della revisione di Shapley del punto zero della curva

periodo‐luminosità per le Cefeidi che di osservazioni più ampie di stelle coinvolte nelle

nebulose.

3.2 Definizioni di distanza

Il sistema di coordinate comobili che abbiamo adottato precedentemente si riferisce

alla distanza propria pd negli spazi descritti dalla metrica di Robertson‐Walker. Non

possiamo misurare in modo diretto, però, tale distanza propria pd per gli oggetti astronomici

in modo diretto. Oggetti distanti sono osservati solo attraverso la luce che emettono in un

tempo finito e le misure vengono fatte solo lungo l’insieme di traiettorie luminose che ci

giungono dal passato, il cono luce passato.

Imtroduciamo, quindi, alcuni tipi di distanza che sono di solito direttamente misurabili.

Consideriamo, anzitutto, la distanza di luminosità Ld

21

4⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≡

lLd L π

, (3.1)

dove L indica la potenza emessa da una sorgente da un punto P che si trova ad una

distanza r , al tempo t ; l rappresenta la potenza ricevuta per unità di area (il flusso) al

tempo 0t da un osservatore posto in un altro punto 0P . L’area di una superficie sferica

centrata in P e passante attraverso 0P al tempo 0t è 22

04 raπ e i fotoni emessi dalla sorgente

arrivano su questa superficie redshifttati dall’espansione dell’Universo di un fattore 0a

a.

Troviamo, quindi: 2

022

04 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

aa

raLl

π, (3.2)


24

dalla quale ricaviamo:

aradL

20= . (3.3)

Da quest’ultima equazione si ottiene:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+= ...1

21 2

00

zqzHcd L , (3.4)

in contrasto con la definizione di distanza propria data precedentemente, che ha la forma

rad p 0= , con ( )rf data dalle equazioni (2.40) del cap. 2.

Definiamo, ora, la distanza diametro angolare Ad . Indicando con ( )tDP il diametro proprio

di una sorgente posta nella coordinata r al tempo t , sia ϑΔ l’angolo sotteso da PD

ϑΔ= arDp . (3.5)

Definiamo la distanza Ad :

arD

d PA =

Δ=

ϑ. (3.6)

In accordo con il Principio Cosmologico, se i corpi celesti sono distribuiti in modo omogeneo

ed isotropo su larga scala, è interessante considerare la relazione m‐z tra magnitudine

apparente m di una sorgente ed il suo redshift z , relazione importante in quanto fornisce

anche un modo per determinare il parametro di decelerazione 0q .

Dalla (3.4), infatti, otteniamo:

( )[ ]...1144 022

20

2 +−+== zqzc

LHdLl

L ππ. (3.7)

Di solito gli astronomi utilizzano non tanto la luminosità assoluta L e il flusso apparente l

ma quantità collegate a queste: la magnitudine assoluta M e la magnitudine apparente m .

La scala delle magnitudini è definita in modo logaritmico, prendendo un fattore 100 nel

flusso ricevuto per considerare una differenza di 5 magnitudini. Il punto zero può essere

fissato in diversi modi; per ragioni storiche, viene considerata la Polare, al fine di ottenere

una magnitudine di 2.12 nella luce visibile. Si intende, per magnitudine assoluta, la

magnitudine apparente che avrebbe una sorgente se fosse posta ad una distanza di 10 parsec.

La relazione tra distanza luminosa di una sorgente, la sua magnitudine apparente m e la sua

magnitudine assoluta M è data, quindi, dal modulo di distanza

( )pcdMm Llog55 +−=− . (3.8)


25

Usando l’equazione (3.7) troviamo:

( ) ...1086.1log5log525 0010 +−++−≅− zqczHMm (3.9)

con 0H in kms‐1Mpc‐1 e c in kms‐1.

Ricordiamo che 1 Mpc = 106 pc e che i logaritmi sono, spesso, definiti in base 10. Il

comportamento di ( )zm è sensibile al valore di 0q solo per z > 0.1. In realtà, però, ci sono

molti altri fattori che intervengono in questo tipo di analisi. L’equazione (3.9) nel regime in

cui possa considerarsi accurata, vale per z > maxz ~ 0.2 e fornisce una stima di 0H insieme

alla forte conferma della validità della legge di Hubble e, quindi, del Principio Cosmologico.

3.3 Fenomenologia e misura

Le prime determinazioni di distanza includono quelle delle galassie NGC 6822, M33 e

M31 e la stima della costante di Hubble negli ultimi 20 anni è risultata compresa in un

intervallo tra 70 e 75 km s ‐1 Mpc‐1.

Hubble, oltre a determinare le distanze, considerò anche i redshift delle linee spettrali nello

spettro delle galassie (misurati precedentemente da Slipher). In effetti, egli determinò una

relazione lineare tra distanza e velocità di recessione delle galassie, proprio tramite

l’esistenza di una relazione tra distanza e redshift.

Mentre le velocità di recessione si misurano osservando un oggetto con delle righe di

emissione tramite uno spettrografo che evidenzi l’eventuale effetto Doppler, la misura delle

distanze è, invece, più complicata, nel senso che occorre una candela standard, vale a dire un

oggetto di luminosità conosciuta, oppure una riga standard, vale a dire un oggetto che

emetta ad una lunghezza d’onda conosciuta, per potere usare la sua luminosità apparente o

dimensione angolare per calcolarne la distanza.

Originariamente, Hubble usò le Cefeidi, particolari stelle variabili, per determinare le

distanze. Esse sono stelle giganti blu. Il nome di questa classe di stelle deriva da δ Cephei, la

prima variabile di questo tipo osservata nella nostra galassia. Successive osservazioni hanno,

poi, individuato stelle Cefeidi in altre galassie, in primis nelle due nubi di Magellano, le più

prossime a noi. La proprietà importante che definisce le Cefeidi è il tipo di pulsazioni, con la

loro forma caratteristica, con una ripida crescita seguita da una graduale caduta, e un

periodo direttamente proporzionale alla luminosità. Tale relazione periodo‐luminosità è


26

stata scoperta da Leavitt studiando un modello di variabili Cefeidi nella Grande Nube di

Magellano (LMC).

3.4 Metodi locali e Cefeidi

In linea di principio, una misura della costante di Hubble può essere fatta tramite un

singolo oggetto il cui spettro riveli la sua velocità di recessione e la cui distanza o luminosità

sia accuratamente conosciuta. In pratica, l’oggetto deve essere abbastanza lontano affinché il

contributo dominante al moto sia la velocità associata all’espansione generale dell’Universo

(il flusso di Hubble), che aumenta linearmente con la distanza, al contrario di altre velocità

che derivano dall’ interazione gravitazionale con la materia vicina.

Sfortunatamente, non ci sono oggetti la cui luminosità possa essere determinata in modo non

ambiguo se osservata a distanze di decine di Mpc. Infatti, si utilizzano le misure di distanza

di oggetti vicini per calibrare la luminosità degli oggetti più distanti. In questo modo, però,

gli errori si propagano negli errori nella scala di distanza e, di conseguenza, nella costante di

Hubble. L’intervallo di stime recenti per quest’ultima, così, va dai 60 ai 75 km s‐1 Mpc‐1.

L’effetto di parallasse, d’altra parte, fornisce una misura attendibile di distanza solo per stelle

vicine. Il moto della terra attorno al sole produce, infatti, un cambiamento apparente nella

posizione di stelle vicine (rispetto a stelle che sono a distanze molto più grandi e appaiono

fisse). Lo spostamento ha un periodo di un anno e un’ampiezza angolare nel cielo fornito dal

rapporto tra la distanza Terra‐Sole e la distanza della stella. La definizione del parsec, in

effetti, è la distanza che dà una parallasse di un arco secondo, ed è equivalente a 3.26 anni‐

luce, o a 3.09 · 1016 m. (Il campo delle misure di parallasse è stato recentemente rivoluzionato

dal satellite Hipparco, che ha misurato migliaia di distanze di parallasse stellare, includendo

le osservazioni di 223 Cefeidi Galattiche, 26 delle quali sono significative.)

Poiché alcune stelle relativamente vicine si trovano in ammassi aperti, contenenti poche

centinaia di stelle, esse possono essere riportate su un diagramma di Hertzsprung‐Russell,

che fornisce la loro temperatura, dedotta dal colore tramite la legge di Wien in funzione della

luminosità apparente. Questi diagrammi rivelano una sequenza caratteristica, la sequenza

principale, che ordina dalle rosse deboli alle blu luminose. Questa sequenza corrisponde alla

fase principale dell’evoluzione stellare e in essa le stelle si trovano per la maggior parte della


27

loro vita, quando stanno bruciando costantemente idrogeno. Dato che, in alcuni ammassi

vicini, abbiamo stelle considerabili sostanzialmente tutte alla stessa distanza e per le quali gli

effetti di parallasse possono dare la distanza assoluta, la sequenza principale può essere

calibrata in modo da predire la luminosità assoluta della stella della sequenza principale di

un dato colore. Applicando questo anche ad altri ammassi, se ne può così ottenere la

distanza assoluta.

Inoltre, è possibile determinare la distanza di oggetti molto vicini, appena fuori della nostra

stessa galassia, come le Nubi di Magellano Piccola (SMC) e Grande (LMC), usando vari

calibratori, tra cui variabili Mira, stelle RR Lyrae e stelle variabili Cefeidi. Di queste, le

Cefeidi sono le più intrinsecamente luminose ed, effettivamente, possono essere viste sia in

LMC sia in galassie molto più distanti. Senza di loro, la connessione tra LMC e galassie

esterne sarebbe difficile. Oggi, grazie ad Hubble Space Telescope (HST) le Cefeidi presenti in

tali galassie possono essere identificate in modo molto attendibile. Quelle rivelate con il

telescopio spaziale HST, in ogni caso, non permettono misure dell’espansione dell’Universo,

in quanto non sono abbastanza distanti perché la velocità dominante sia quella del flusso di

Hubble.

Infine, le distanze misurate con le Cefeidi servono a calibrare altri indicatori. Il più

importante tra questi in cosmologia è dato dalle supernovae di tipo Ia (SNe), che possono

essere osservate a grandi distanze, permettendo un paragone tra redshift e distanza, da cui

ricavare il valore della costante di Hubble. Le SNe di tipo Ia sono prodotte da sistemi binari

nei quali una stella gigante perde massa verso una nana bianca. Sebbene la luminosità

assoluta di un’esplosione che così viene a determinarsi non sia costante, le supernovae di

tipo Ia hanno curve di luce simili tra loro.

Indicatori alternativi che possono essere usati al posto delle SNe Ia per la determinazione di

0H si basano sulla correlazione di alcune proprietà di galassie facilmente osservabili con la

loro luminosità. Ad esempio, la velocità di rotazione v di taglio delle galassie a spirale va con

la luminosità L come

L α v4 , (3.10)

relazione di Tully‐Fisher. In modo equivalente, per le galassie ellittiche esiste una

relazione,nota come relazione di Faber‐Jackson, tra la dispersione di velocità centrale σ e la

magnitudine totale BL ,


28

BL α σ 4 . (3.11)

Altre proprietà misurabili di galassie ellittiche che si correlano bene con la luminosità

possono essere poste, inoltre, sul cosiddetto “piano fondamentale”. Esso collega tre

proprietà: la luminosità, il raggio effettivo er , vale a dire il raggio entro il quale è emessa

metà della luce della galassia, e la dispersione di velocità stellare centrale. Se si

rappresentano le galassie ellittiche in uno spazio a tre dimensioni in base alla loro luminosità

L , alla dispersione di velocità centrale 0σ e alla brillanza superficiale eΣ , si scopre che esse

non si distribuiscono su tutto il volume ma definiscono un piano particolare, detto appunto

piano fondamentale, la cui importanza deriva proprio dal fornire un collegamento diretto tra

i parametri fisici fondamentali delle galassie:

120

1

2−

−

Σ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ee L

Mcr σπ

(3.12)

dove er e 0σ sono misurabili.

(Le stelle nelle galassie più vicine presentano maggiore irregolarità nella distribuzione della

luminosità superficiale.)

3.5 Problemi di misura

La distanza di LMC è probabilmente la meglio conosciuta e dà la parte meno

controversa della scala della distanza. Calibrazioni indipendenti, che usano variabili RR

Lyrae, Cefeidi e ammassi aperti, risultano consistenti con una distanza di ~ 50 kpc per LMC.

Mentre tutti i singoli metodi hanno errori sistematici, il loro accordo entro gli errori fa

comunque pensare ad una misura corretta. (Inoltre, è stata fatta una misura indipendente

usando la supernova di tipo 2 1987A in LMC.)

La distanza da LMC più adottata è tra 18.50 e 18.54 in unità di modulo di distanza e

corrisponde, come già detto, ad una distanza di 50‐51 kpc. Il probabile errore in 0H di ~ 2% è

ben al di sotto del livello degli errori sistematici (in altre parti della scala di distanza).

Se la relazione periodo‐luminosità fosse perfettamente lineare e universale, vale a dire se

potessimo applicarla in tutte le galassie e in tutti gli ambienti, il problema di trasferire la

distanza LMC verso galassie esterne sarebbe semplice. Problemi che coinvolgono la fisica e la


29

fenomenologia delle Cefeidi, in effetti, costituiscono una parte cospicua di errore e

rappresentano la prima sorgente di differenze nei valori derivati di 0H .

La differenza tra luminosità delle Cefeidi LMC e Galattiche può raggiungere 0.3

magnitudini, corrispondenti ad una differenza del 15% nelle distanze dedotte. Almeno una

parte di questa differenza è quasi certamente dovuta ad effetti di metallicità. (Il termine

“metalli” si riferisce ad ogni elemento più pesante dell’elio.)

Uno dei metodi più promettenti per determinare direttamente le distanze è fornito dalle

stelle binarie separate ad eclisse. Nelle stelle binarie vicine, dove le componenti possono

essere risolte, una stima della distanza permette infatti la determinazione della separazione

angolare, il periodo e l’ampiezza della velocità radiale; in stelle binarie ad eclisse più distanti,

ossia in altre galassie, la separazione angolare non può essere misurata direttamente, ma se

potessimo ottenere la luminosità superficiale stellare (ad esempio, dallo studio delle linee

spettrali), insieme alla conoscenza del raggio stellare e del flusso osservato ricevuto da ogni

stella, potremmo ottenere una determinazione di distanza. (Questo metodo è stato usato per

ricavare la distanza da M33 di 964 ± kpc.) Un altro metodo che coinvolge le rotazioni di stelle

attorno al centro di una galassia distante è il metodo della parallasse rotazionale, dove

vengono osservati sia il moto proprio, corrispondente alla rotazione circolare, sia la velocità

radiale di stelle nella galassia.

Va sottolineato che analisi indipendenti degli stessi dati, ottenuti anche con lo stesso metodo,

danno spesso valori differenti.

Considerando la fotometria, si assume che la differenza tra LMC e le relazioni P‐L (periodo‐

luminosità) galattiche sia dovuta interamente alla metallicità.

Sebbene la correzione di metalliticità dipendente dal periodo sia un effetto determinante,

comunque, ci sono altre differenze che rendono 0H diverso di pochi percento nelle varie

misure.

Si tenga, poi, conto che è più difficile vedere Cefeidi deboli. Sono state viste, infatti, solo

cefeidi più luminose e di breve periodo; quindi dalla relazione P‐L nelle galassie distanti

risulta una sottostima delle distanze. Trascurando i bias si ottengono differenze di diversi

percento, ma è difficile quantificare questo fattore.

In sintesi, misure di distanze locali convergono entro il 15%, una prova del fattore 2 di

incertezza che ha prevalso fino agli ultimi anni Ottanta. (Sono possibili altre prove che


30

coinvolgono, però, errori sistematici significativi e, in particolare, richiedono un accordo

generale sulla fisica degli effetti di metallicità sulle relazioni P‐L delle Cefeidi.)

Attualmente, l’assunzione di un Universo spazialmente piatto comporta 11

0 373 −−±= MpcKmsH . Assumendo un Universo non esattamente piatto, otteniamo una

degenerazione in 0H , nel senso che ogni sua decrescita di 1120 −− MpcKms aumenta la

densità totale dell’Universo di 0.1 in unità di densità critica. Studi di supernovae a redshift

cosmologici hanno dimostrato che esse sono più deboli di quanto atteso considerando

corretto il modello spazialmente piatto di Einstein‐de Sitter, per il quale 1=Ωm e 0=ΩΛ .

Se consideriamo l’Universo non esattamente piatto, viene raggiunta una misura (con un

errore del 5%) di 117.43.40 6.71 −−+

−= MpcKmsH .

3.6 Relazioni Periodo‐Luminosità e Periodo‐Luminosità‐Colore delle Cefeidi nelle Nubi di Magellano

Nel 1912 Leavitt annunciò la scoperta della relazione P‐L ed essa è ancora dibattuta.

Sebbene determinata facilmente attraverso i periodi delle Cefeidi, è difficile accertare la

luminosità di Cefeidi Galattiche, a causa della loro distanza dalla Terra e del loro alto

arrossamento. Inoltre, il punto zero della relazione P‐L dipende dalla metalliticità.

L’HST ha scoperto molte Cefeidi che possono essere usate per completare la calibratura delle

relazioni P‐L e P‐L‐C. Un uso più importante di queste consiste, come già detto, nel

determinare la costante di Hubble 0H , il cui valore deve essere ancora rifinito. Le Nubi di

Magellano hanno vantaggi su altri oggetti per quanto riguarda la calibratura delle relazioni

P‐L‐C e P‐L delle Cefeidi. Sono state rivelate Cefeidi adatte ad analizzare le calibrature delle

Cefeidi anche nella nostra galassia ma, purtroppo, sono ancora poche. D’altro canto, le Nubi

di Magellano sono vicine e contengono Cefeidi. Esse sono omogenee nella loro composizione

chimica, permettendo errori piccoli dovuti alla metallicità.

Un altro gruppo di calibratori è costituito dalle giganti rosse, che sono abbondanti vicino al

Sole (la loro calibratura può essere verificata con misure di parallasse con il satellite

Hipparco). Sono abbastanza luminose da essere viste più da lontano e sono presenti in

grande quantità in LMC e SMC. La loro magnitudine di banda I è inoltre largamente


31

indipendente dall’età. Nelle Nubi di Magellano possono avere distribuzioni spaziali diverse

rispetto alle Cefeidi; possono esistere, quindi, errori sistematici. A loro volta questi ultimi

implicano errori nelle distanze di galassie e, di conseguenza, un errore risultante in 0H .

Le Cefeidi nella nostra galassia non possono essere usate per calibrare le relazioni in quanto

lontane dal Sole. Vengono allora usati altri metodi con stelle binarie che si eclissano, metodo

che usa le stelle RR Lyr, metodo che usa gruppi di stelle rosse, comunque considerando le

Nubi di Magellano le più adatte per la calibratura. È stata effettuata la media dei risultati

ricavati da tutti questi metodi, ottenendo un valore del modulo di distanza da LMC pari a

18.22 ± 0.05 mag.

3.7 Metodo della lente gravitazionale

Le lenti gravitazionali possono essere usate per determinare la costante di Hubble. Si

sfrutta il fatto che la luce viene deviata dall’azione di un campo gravitazionale, così che

l’osservatore nota effetti di distorsione o ingrandimento delle immagini che riceve. L’uso

principale delle lenti gravitazionali consiste nel determinare le distribuzioni di massa nella

galassia lente, dal momento che posizione e luminosità delle immagini portano informazioni

sul potenziale gravitazionale della lente. Il lensing gravitazionale ha il vantaggio che questi

effetti sono indipendenti dal tipo di materia, luminosa o oscura. In questo modo possono

essere provati gli effetti di materia barionica o non barionica.

Redsdal è stato il primo a notare che, se la sorgente è variabile, è possibile misurare una

distanza assoluta nel sistema e, quindi, la costante di Hubble. Consideriamo le traiettorie

luminose dalla sorgente all’osservatore corrispondenti a immagini individuali lensate; il

tempo impiegato dalla radiazione sarà diverso per ognuna. La luminosità, quindi,

raggiungerà l’osservatore a tempi diversi corrispondenti a traiettorie luminose diverse. Una

misura del tempo di ritardo τ corrisponde a misurare la differenza tra tali tempi. Se i

redshift di sorgente e lente sono noti, possiamo ricavare 0H .

Molti ritardi temporali sono stati misurati a lunghezze d’onda radio, dall’esame di quei

sistemi nei quali un quasar fosse una sorgente ad immagini multiple. Di recente, hanno

dominato ritardi otticamente misurati, dovuti all’utilizzo di un piccolo telescopio ottico in un

luogo con un buon seeing per un monitoring fotometrico. Del resto, ritardi radio temporali

richiedono grandi quantità di tempo su interferometri (long‐baseline) che non esistono in


32

gran numero. Il problema con il ritardo temporale delle lenti sta nella forma del potenziale

gravitazionale espresso dalle lenti. In aggiunta, tutta la materia lungo la linea di vista

contribuisce al potenziale che determina il lensing in quanto, avendo ad esempio uno strato

di distribuzione di massa uniforme in una regione, non interessano tanto le posizioni delle

immagini e i flussi, che pure formano restrizioni sul potenziale del lensing, quanto i tempi di

ritardo.

Nonostante le difficoltà per ottenere modelli di massa dalle lenti, la misura di 0H è

migliorata in diversi modi. Alcune lenti hanno più costrizioni sul modello di massa di altre.

Inoltre, è possibile usare le dispersioni di velocità stellare misurate nella galassia lente. Tali

misure, però, non sono molto usate, sebbene i modelli di massa nelle galassie forniscano un

valore di z di ~ 0.5, tipico delle galassie che fungono da lente. La combinazione di

informazioni sul lensing e la dinamica stellare forniscono una misura che è in principio una

costrizione diretta sulla massa. Il metodo ha grandi barre di errore dovute in parte alle

dipendenze sulla forma delle orbite stellari ma anche perché queste misure sono difficili,

visto che ogni galassia richiede circa una notte di buon seeing. Dobke e King hanno così

ottenuto il valore 110 872 −−±= MpckmsH , mentre analisi più recenti portano ad

110 366 −−±= MpckmsH .

In conclusione, il lensing ha cominciato a rendere un contributo utile ad 0H , sebbene barre

di errore siano probabilmente ancora simili a quelle dei metodi locali o CMB diversi anni fa.

3.8 Misura della costante di Hubble attraverso la relazione di Tully‐Fisher (TF)

Molta cosmologia moderna si basa su una misura accurata delle distanze da sorgenti

extragalattiche. Esse sono determinate usando una scala di distanza extragalattica EGL

(extragalactic distance ladder), calibrata dalla distanza da stelle variabili Cefeidi in LMC.

Questa stima della distanza è incerta e introduce, così, errori nelle determinazioni di distanze

extragalattiche. Possiamo esaminare le Cefeidi in galassie a spirale distanti tramite la

relazione di Tully‐Fisher, che mette in relazione la velocità rotazionale massima di una

galassia a spirale con la sua luminosità. Questa relazione viene usata soprattutto


33

nell’infrarosso, dove la relazione è indipendente dalla morfologia. Questo dà la possibilità di

determinare la costante di Hubble in modo accurato. Uno scopo determinante dello Space

Telescope Key Project è stato proprio quello di studiare più accuratamente suddetta

relazione, con l’analisi di tre galassie per mezzo di telescopi terrestri, senza usare galassie

con un angolo di inclinazione troppo alto o basso.

Una parte del progetto riguarda i dati fotometrici. Le correzioni vanno riportate a tre

sorgenti primarie: estinzione galattica, estinzione interna e correzione k . L’estinzione interna

è ancora dibattuta a causa di incertezze nel sistema di classificazione morfologica. Per questo

motivo sono state usate le correzioni derivate da Tully ed altri, in quanto non dipendenti

dalla morfologia. Va comunque tenuto presente che la luce viaggia attraverso più polvere e

gas in una grande galassia, nel qual caso è necessaria più correzione per l’estinzione.

La più grande sorgente di errore nella relazione TF riguarda, invece, l’angolo di inclinazione

della galassia, angolo determinato da un’analisi fotometrica. Le ampiezze delle linee devono

essere corrette anche per il redshift.

Una delle indagini più complete è stata fatta da Giovanelli (1997), basandosi sulla fotometria

e sulle ampiezze delle linee radio. Questo esame riguarda 2000 galassie a spirale negli

ammassi, lontane abbastanza da avere velocità di recessione di oltre 10.000kms‐1. Prendendo

in media 15 ammassi di galassie si trova per 0H un valore di 73 ± 2 (random) ± 9

(sistematico), attraverso l’esame della banda I, ottenendo un valore per la costante di Hubble

abbastanza vicino a quello accettato. Un esame della banda H consente di ottenere un valore

della costante di Hubble di 67 ± 3 (random) ± 10 (sistematico), valore molto diverso dal

precedente. Al fine di spiegare queste differenze nel valore di 0H è stata esaminata la

relazione tra due misure di ampiezze di linea e la fotometria e poi la distribuzione di colore.

Poiché 0H non è sensibile alle diverse scale di distanza, si è analizzato il problema da un

punto di vista fotometrico.

La principale sorgente di errore è la differenza sistematica nella banda H dovuta ai diametri

delle isofote, con una distribuzione di colore che gioca un ruolo importante. Sfortunatamente

questi problemi non sono risolti se manca un insieme consistente di magnitudini nella banda

H, difficile essendo il cielo più luminoso di 100 volte nella band H che in I. Questo va

sottratto ai profili di luminosità superficiale nelle parti più esterne della galassia. Pertanto


34

l’errore sistematico trovato è la causa di una sovrastima della distanza, ponendo così limiti

alla precisione di misure di 0H dallo studio di Tully‐Fisher.

3.9 L’uso del Piano Fondamentale e le relazioni nD e σ

La distanza delle galassie negli ammassi Leo I, Virgo e Fornax è calcolata usando il

piano fondamentale (FP) e le relazioni nD e σ . Queste ultime costituiscono indicatori di

distanza secondari. Il piano fondamentale stabilisce una relazione tra raggio, luminosità ed

energia cinetica media delle stelle nelle galassie ellittiche. La relazione tra luminosità L e

distribuzione della velocità delle stelle in una galassia σ è stata scoperta da Faber e Jackson

nel 1976. Questo ha permesso di usare galassie early‐type per misurare ammassi più distanti,

calibrando la relazione FP usando galassie early‐type vicine che sono state studiate

precedentemente, con distanze accurate ottenute da Cefeidi, ed estrapolando la relazione per

galassie massive ad ammassi distanti. Il valore della costante di Hubble può essere derivato

da queste distanze.

Queste stime devono essere paragonate a quelle provenienti da altri metodi per trovare il

valore più accurato di 0H , aspettandosi che il flusso di Hubble domini le irregolarità della

velocità locale. Al fine di stabilire una relazione tra misura angolare e distanza metrica per

galassie in ammassi chiusi, sono state usate relazioni periodo‐luminosità di variabili Cefeidi.

Usando la fotometria, il Piano Fondamentale e le relazioni nD e σ sono calibrati usando

galassie locali, calibrazione poi estesa agli ammassi Leo I, Virgo e Fornax per stabilire le

distanze di galassie in questi ammassi e derivare un valorre di 0H = 78 ± 5± 9 Kms‐1Mpc‐1.

Nel 1987 Dressler introdusse la luminosità superficiale. nD rappresenta il diametro di metà

luminosità definito in modo tale che metà della luminosità totale di una galassia si trovi al

suo interno. La relazione nD ‐σ usa la grandezza della galassia e la luminosità superficiale,

insieme ad altri parametri usati per definire la relazione di Faber‐Jackson. Allo scopo di

utilizzare le relazioni FP e nD ‐σ come indicatori di distanza, devono essere fatte due

importanti assunzioni: i rapporti LM corrispondono a parametri di struttura nello stesso

modo dappertutto e le galassie early‐type hanno una popolazione stellare simile per una

galassia di massa data. I calcoli si basano su dati fotometrici e spettroscopici, tenendo conto


35

che le misure spettroscopiche di σ dipendono sia dalla distribuzione delle orbite che dalla

luce.

La distanza può essere calcolata direttamente dal punto zero del Piano Fondamentale (log re)

e dal piano fondamentale angolare ( eϑlog , dove eϑ è l’ampiezza angolare). Sono state

effettuate correzioni sulla metalliticità nelle relazioni P‐L delle Cefeidi, per la campionatura

dei bias che derivano dall’osservazione delle stelle più luminose nella galassie e per la

coincidenza spaziale di galassie ellittiche e a spirale. Il valore finale adottato per la costante

di Hubble è 110 9473 −−±±= MpckmsH . Errori sistematici derivano dall’incertezza nella

distanza delle Nubi di Magellano e piccole incertezze nei calcoli del piano fondamentale,

trovando un’incertezza totale di 11 %.

3.10 Una ricalibratura dalle Distanze delle Cefeidi alle Supernovae di Typo Ia

Hubble Space Telescope Key Project, sulla scala delle distanze extragalattiche, ha

inizialmente consentito di derivare distanze basate sulle Cefeidi da 7 supernovae di tipo Ia.

Queste ultime sono caratterizzate da una luminosità significativa e da precisione di circa l’8%

nelle misure di distanza sia nel vicino che nel lontano Universo.

Si pensa che le supernovae di tipo Ia si formino da esplosioni termonucleari di una nana

bianca che brucia nel suo nucleo elementi del gruppo del ferro (Ni, Co, Fe). Questa natura

esplosiva è un risultato di materia instabile sottoposta ad una alta compressione

gravitazionale i cui elettroni sono quasi relativistici. Le supernovae SNe Ia non sono più

considerate candele standard di luminosità costante, ma con una evidente dispersione della

luminosità del picco recentemente scoperto.

Nel 1999 Philips e altri hanno scoperto una relazione tra magnitudine assoluta delle

supernovae di tipo Ia e l’andamento della luminosità. Il valore di 0H viene calcolato per le

bande B, V ed I. Le supernovae di tipo Ia costituiscono lo strumento più attendibile per

calcolare le distanze extragalattiche ed, infine, per determinare la costante di Hubble

fornendo un valore pari a 0H = 68 ± 2 (random) ± 5 (sistematico) kms‐1Mpc‐1, un risultato


36

consistente con quelli basati sulla relazione di Tully‐Fisher e con le fluttuazioni di luminosità

superficiale.

Nel 1998, l’assunzione di un valore noto di 720 ≈H ha portato a scoprire, tramite le SNe Ia,

un’accelerazione cosmica, spiegabile solo con l’introduzione di energia oscura (la cui forma

più semplice è data dalla costante cosmologica Λ ) nell’Universo.

3.11 Costante di Hubble determinata con l’effetto Sunyaev‐Zel’dovich

L’effetto Sunyaev‐Zel’dovich (SZE) fu scoperto analizzando gli effetti delle interazioni

tra elettroni caldi in un mezzo intracluster (ICM) con fotoni appartenenti alla CMB (Sunyaev

& Zel’dovich 1969, 1972). Gli ammassi di galassie, infatti, contengono gas caldi ( K7106 ⋅≈ )

intrappolati nelle loro buche di potenziale, molto più calde della radiazione CMB ( K3≈ ).

Una misura della costante di Hubble può essere ottenuta paragonando i dati riguardanti

l’emissione di raggi x di un ammasso di galassie con l’effetto termico. Siccome i fotoni dalla

CMB passano attraverso il caldo ICM, in un ammasso di galassie, alcuni di loro interagiscono

con gli elettroni di alta energia e vengono diffusi in diverse direzioni. L’energia dal gas caldo

IC viene trasferita alla radiazione CMB e una frazione dei fotoni sono spostati dal lato di

Rayleigh‐Jeans (basse frequenze) al lato di Wien (alte frequenze) dello spettro di Planck.

Questo processo è conosciuto come comptonizzazione. I fotoni, a causa dell’omogeneità e

dell’isotropia generale di CMB, passano attraverso il gas dell’ammasso guadagnando

energia. Di conseguenza lo spettro della CMB viene distorto ed essendo osservato come

spettro di un corpo nero perfetto, si possono misurarne le variazioni, sebbene i rivelatori non

possano percepire la piccola scala. Sunyaev e Zel’dovich interpretarono questa distorsione

spettrale come un cambiamento relativo nella temperatura CMB.

È necessaria la risoluzione della distanza diametro angolare Ad in termini di quantità

osservabili per determinare la distanza dall’ammasso e fare delle assunzioni su di esso al fine

di determinare la distanza lungo la linea di vista dall’ammasso. Si assume infatti che il gas

sia uniforme e, in equilibrio idrodinamico, distribuito in modo sferico per evitare

complicazioni riguardanti l’anisotropia.


37

Dal momento che gli ammassi di galassie utilizzati possono essere a redshift alti ( z ~ 0.55), la

geometria dell’universo stesso può influenzare le osservazioni e, quindi, il valore dedotto

dipende dal modello cosmologico. Osservazioni Chandra di tre ammassi hanno consentito di

trovare un valore di 0H pari a 69 ± 8 Kms‐1Mpc‐1 per MΩ =0.3 e ΛΩ =0.7, valori molto vicini a

quello di Hubble Key Project.

3.12 Unione dei vincoli sulla costante di Hubble

Uno dei traguardi principali di Hubble Space Telescope è stato quello di determinare la

costante di Hubble con un’accuratezza inferiore al 10%. Osservando le Cefeidi in diverse

galassie vicine devono essere considerati i moti su larga scala dovuti a fattori diversi dal

flusso di Hubble. I vari moti che riguardano le velocità osservate di galassie includono la

rotazione della nostra stessa galassia, il movimento della nostra galassia rispetto al centro del

Gruppo Locale, la velocità del Gruppo Locale rispetto all’ambiente di microonde cosmico

(CMB), l’inclusione del Gruppo Locale nel nucleo del superammasso locale e altri movimenti

su larga scala.

Per compensare queste velocità, devono essere fatte diverse modifiche alle velocità

osservate, correggendole mediante un modello lineare multi attrattore, che corregge i

movimenti dovuti alla nostra velocità verso ogni attrattore. Ne discende l’utilizzo della

seguente equazione per determinare la velocità degli oggetti caratteristici dell’espansione

dell’universo:

...,,,,cos +++++= ShapinGAinVirgoinLGcHmic VVVVVV , (3.13)

dove HV è la velocità eliocentrica osservata, LGcV , è la correzione per la velocità della Via

Lattea attraverso il centro del Gruppo Locale e ognuna delle componenti inV si riferisce alle

velocità di caduta della galassia verso uno specifico attrattore.

Ogni tecnica usata per determinare le distanze contiene, comunque, una percentuale di

errore. Per calcolare la propagazione degli errori nelle stime delle distanze, è stato proposto

un codice di simulazione per ricreare Key Project al computer. Alla fine, vengono combinati


38

tutti i metodi, dando un peso maggiore al metodo delle supernovae di tipo Ia, determinando

un valore finale per 0H pari a 71 ± 6 Kms‐1Mpc‐1.

Va notato, tra l’altro, che le distanze ottenute con variabili Cefeidi potrebbero essere intaccate

da valori di metalllicità, fornendo un valore diverso per la costante di Hubble pari ad 11

0 668 −−±= MpckmsH . La più importante incertezza nelle osservazioni rimane, in ogni

caso, quella della distanza dalla Grande Nube di Magellano (LMC). La distanza adottata è

normalmente di 50 Kpc (m‐M = 18.50 ± 0.13mag) e costituisce, da sola, il 6.5% di incertezza

nelle misure. Un altro errore da notare riguarda, naturalmente gli strumenti usati.

CONCLUSIONE

39

Molto succintamente, si può affermare che questo lavoro di tesi ha percorso alcuni dei

punti salienti della cosmologia negli ultimi 80 anni. La nascita della astronomia

extragalattica, con le misure di Hubble della distanza di M31 quale oggetto necessariamente

al di fuori della Via Lattea, discende dall’amplificazione improvvisa di un campo d’indagine

già allora ritenuto vastissimo.

A questo, sempre con Hubble e la sua scoperta di una relazione tra le velocità di

recessione delle galassie e le loro distanze, va aggiunta l’introduzione di un’espansione in

cosmologia fino ad allora negata. Per comprendere l’importanza di ciò, basti ricordare che

Hubble ha fatto gran parte delle sue più importanti scoperte dal 1929 al 1931, mentre

Friedmann aveva scritto e risolto le sue equazioni per un Universo in espansione già nel

1921. Ma nessuno, e tanto meno Einstein, aveva badato a modelli allora puramente teorici, in

un’epoca in cui l’Universo era ritenuto statico.

Lo sviluppo tecnologico che da allora ad oggi continua ad accompagnare le ricerche

astronomiche e cosmologiche non mancheranno, inevitabilmente, di sorprenderci ancora e

richiederci nuovi modelli e mentalità aperta per interpretare dati non sempre prevedibili.

BIBLIOGRAFIA

40

[1] E.Hubble, Proc.. Nat. Acad. Sci., 15, 168‐173 (1929)

[2] E. Hubble and M. L. Humason, American Astronomical Society, 43‐80 (1931)

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[9] Capozziello e Funaro, Introduzione alla Relatività Generale,Liguori Editore (2005)

[10] Coles & Lucchin, Cosmology (2002)

[11] Springer, Chow (2008)

[12] Weiberg, Gravitation and Cosmology, United States of America, (1972)

INDICE

41

Introduzione………………………………………………………………………….I

Capitolo 1: L’importanza della distanze in cosmologia…………………..……1

1.1: Alle origini del discorso cosmologico………………………..…..1

1.2: Le galassie………………………………………………………..….3

1.3: La nascita della cosmologia scientifica moderna……………..…3

Capitolo 2: Elementi di cosmologia teorica…………………………………......7

2.1: La cosmologia moderna…………………………………….……..7

2.2: L’Universo statico……………………………………………..……8

2.3: La metrica di Robertson‐Walker (e il modello di Einstein‐de

Sitter)…………………………………………………………..……11

2.4: La costante di Hubble……………………………………..………15

Capitolo 3: Misure della costante di Hubble……………………………….....21

3.1: La misura delle distanze in cosmologia………………….…….21

3.2: Definizioni di distanza………………………………….……….23

3.3: Fenomenologia e misura………………………………………..25

3.4: Metodi locali e Cefeidi………………………………….………..26

3.5: Problemi di misura……………………………………………....28


42

3.6: Relazioni Periodo‐Luminosità e Periodo‐Luminosità‐Colore

delle Cefeidi nelle Nubi di Magellano………………………….30

3.7: Metodo delle lenti gravitazionali………………………….…....31

3.8: Misura della costante di Hubble attraverso la relazione di

Tully‐Fisher (TF)………………………………………………...32

3.9: L’uso del Piano Fondamentale e le rlazioni nD e σ …………34

3.10: Una ricalibratura dalle distanze delle Cefeidi alle Supernovae

di tipo Ia………………………………………………………….35

3.11: Costante di Hubble determinata con Sunyaev‐Zel’dovich…36

3.12: Unione dei vincoli sulla costante di Hubble…………………37

Conclusioni……………………………………………………………39

Bibliografia……………………………………………………………40

Indice…………………………………………………………………..41

Documents

La Costante di Hubble - infn.it La Costante di Hubble Relatore Candidato ... risultato di un programma di osservazioni con il nuovo telescopio da 100 pollici di Mount Wilson