Resumen

La aproximación normal a la distribución binomial es un caso particular del teorema central del límite cuyas dificultades de comprensión han sido escasamente analizadas, a pesar de su importancia en estadística. En este trabajo analizamos la comprensión teórica y práctica de dicha aproximación alcanzada por un grupo de estudiantes de ingeniería después de un experimento de enseñanza apoyado en el uso de Excel.

Introducción

Supongamos que un experimento aleatorio que consta de n pruebas y tiene las siguientes características: a) En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A  (éxito) y su contrario A-1 (fracaso); b) El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente; c) la probabilidad de que ocurra el suceso A, p(A)=p es constante. Un experimento con las anteriores características tiene asociada una variable aleatoria X que expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas y sigue el modelo de la distribución Binomial B(n,p). La probabilidad de que el número de éxitos sea exactamente k viene dada por (1), dondeq=1-p.

(1)

La probabilidad (1) se hace difícil de calcular cuando crece el valor n, por lo que debe buscarse un valor aproximado. Pero la distribución binomial B (n,p) puede describirse también a partir de la suma de variables aleatorias idénticamente distribuidas, cada una de las cuáles toma un valor uno si un cierto suceso acontece y cero en caso contrario (variables de Bernoulli). Por tanto, para un valor n grande se podría aplicar a este caso particular el teorema central del limite (TCL) y aproximar la probabilidad (1) mediante la distribución normal. La comprensión de este aproximación y, en general del TCL ha sido escasamente investigada, especialmente en contextos instruccionales específicos.

Algunas excepciones son las investigaciones de Well, Pollatsek y Boyce (1990), Méndez (1991) y delMas, Garfield, y Chance (1999), quienes se interesan por la comprensión que tienen los estudiantes del TCL en su forma generalizada. Es decir, analizan si los estudiantes entienden que la media de una muestra aleatoria sigue una distribución normal, para un tamaño suficientemente grande de la muestra. En concreto se centran en tres propiedades de la distribución de la media muestral: a) la esperanza de la media muestral tiende a la media de la población; b) la varianza de la media muestral disminuye con el tamaño de la muestra; y c) la forma de la distribución de la media muestral se aproxima a la distribución normal, al aumentar el tamaño de la muestra. Los autores no estudian la problemática de aproximación de una distribución discreta (como la binomial) por otra continua (como la normal), ni las condiciones de aproximación o los errores de cálculo en la aplicación del teorema (por ejemplo, la

tipificación).

En nuestra investigación hemos tratado de completar los estudios sobre el TCL, y otros sobre comprensión de la distribución normal de Tauber (2001), Batanero, Tauber y Sánchez (2004), Tauber, Batanero y Sánchez (2005). Más específicamente, presentamos un estudio de evaluación de la comprensión teórica y práctica de la aproximación normal a la distribución binomial, una vez finalizado un experimento de enseñanza, sobre el TCL. La enseñanza y el material didáctico preparado incluyó un tema sobre la aproximación de la distribución binomial por la normal y estuvo basado en conceptos teóricos del enfoque onto semiótico (Godino, 2003), así como uso de simulación con materiales manipulativos y ordenador, como refuerzo en la justificación del teorema. Un estudio previo histórico y de libros de texto (Alvarado 2004 a y b; Alvarado y Batanero 2006 a y b) sirvió para caracterizar los diversos significados del teorema y fijar el que se deseaba presentar a los estudiantes.

APROXIMACIÓN  DE  LA DISTRIBUCIÓN  NORMAL  A  LA  BINOMIAL.

 En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos Binomiales de una forma muy aproximada con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo si n¥® y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto es,                                                                                                                                

Donde:x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros = np = media de la distribución Binomial

= = desviación estándar de la distribución Binomial Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más rápida.En resumen, se utiliza la aproximación Normal para evaluar probabilidades Binomiales siempre que p no esté cercano a 0   o   1. La aproximación es excelente cuando n es grande y bastante buena para valores pequeños de n si p está razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuando puede utilizarse la aproximación Normal es

tener en cuenta el cálculo de np y nq. Sí ambos, np y nq son mayores o  iguales a 5, la aproximación será buena. Antes de empezar a resolver problemas con la aproximación Normal, es bueno aclarar que se están evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta x, con una distribución que evalúa variables de tipo continuo como es la Normal,Por lo que z sufre un pequeño cambio como se muestra a continuación:

¿Porqué vamos a sumar o a restar ½ a x?Este es un factor de corrección debido a que se está evaluando una variable discreta con una distribución continua, por lo que hay que delimitar claramente desde que punto se va a evaluar la variable, dicho de otra forma, en que límite de la barra (inferior o superior) nos debemos posicionar para determinar la probabilidad requerida, cada barra de probabilidad a evaluar tiene como base la unidad, ese es el porqué del ½.  

Ejemplos:1. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la

sangre es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) al menos 30 sobrevivan?, b) más de 46 sobrevivan?, c) menos de 50 no sobrevivan?

Solución: a)n = 100p = p(paciente se recupere) = 0.40

q = p(paciente no se recupere) = 1 – p = 1 – 0.40 = 0.60 = np = (100)(0.40) = 40 pacientes se recuperen

= = pacientes que se recuperanx = variable que nos define el número de pacientes que se recuperanx = 0, 1, 2,....,100 pacientes que se recuperan

p( z = -2.14) =0.4838 p(x 30 ) = p(z = -2.14) +0.5 = 0.4838 + 0.5 = 0.9838

a)

X = 29.5

= 40

         p(z = 1.33) = 0.4082 p(x  46) = 0.5 – p(z = 1.33) = 0.5 – 0.4082 = 0.0918  b)      n = 100p = p(paciente no sobreviva) = 0.60q = p(paciente sobreviva) = 1 – p = 0.40

pacientes que no se recuperan

pacientes que no se recuperanx = variable que nos define el número de pacientes que no sobrevivenx = 0, 1, 2, ....,100  

    

        p( z = -2.14) = 0.4838 p(x  50) = 0.5 – p(z = -2.14) = 0.5 – 0.4838 = 0.0162

2.      Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con  4 posibles      respuestas, de las cuáles solo una es la correcta ¿cuál es la probabilidad de que al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas  acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos?

 Solución:n = 80p = p(dar una contestación correcta) = 0.25q = p(dar una contestación incorrecta) = 1 – p = 0.75

preguntas contestadas correctamente

  preguntas contestadas correctamentex = número de preguntas que son contestadas correctamente = 0, 1, 2,...,80    

      

      ,     p(z1 = 1.16) = 0.377 

      ,   p(z2 = 2.71) = 0.4966          p(25  x  30) = p(z2) – p(z1) = 0.4966 – 0.377 = 0.1196 

 

3. Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos

manufacturados en esa línea a) menos de 354 productos sean defectuosos?, b) entre 342 y 364 productos sean defectuosos?, c)exactamente 354 productos sean defectuosos?

Solución:a)n = 1000p = p(un producto sea defectuoso) = 0.35q = p(un producto no sea defectuoso) = 1- p = 0.65

productos defectuosos

      15.0831 productos defectuososx = número de productos defectuosos que se manufacturan en la línea = 0, 1, 2,..., 1000  

      ,   p(z = 0.23) = 0.091       p(x 354 ) = 0.5 + p(z = 0.23) = 0.5 + 0.091 = 0.5091 b)

  

         

 

      ,                        p(z1= - 0.56) = 0.2123 

       0.96,  p(z2= 0.96) = 0.3315 p(342  x  364) = p(z1) + p(z2) = 0.2123 + 0.3315 = 0.5438  

c)  

        

  

       0.23,    p(z1 = 0.23) = 0.091 

           ,   p(z2= 0.30) = 0.1179

            p(x = 354) = p(z2) - p(z1) = 0.1179 – 0.091 = 0.0269

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

En lugar de “la distribución normal como aproximación de la distribución binomial”, el encabezado apropiado para esta sección debería ser “uso de la distribución normal como aproximación de la distribución binomial”, pero preferimos el primer título. El segundo refleja mejor el propósito de esta sección. Comencemos revisando las condiciones requeridas para una distribución de probabilidad binomial:

1. El procedimiento debe tener un número fijo de ensayos.

2. Los ensayos deben ser independientes.

3. Todos los resultados de cada ensayo deben estar clasificados en dos categorías.

4. Las probabilidades deben permanecer constantes para cada ensayo.

Se presentan tres métodos para calcular probabilidades binomiales:

1. uso de la fórmula de probabilidad binomial,

2. uso de la tabla A-1 y

3. uso de programas de cómputo (tales como STATDISK, Minitab o Excel) o una calculadora TI-83 Plus. Sin embargo, en muchos casos ninguno de estos métodos es práctico, ya que los cálculos requieren demasiado tiempo y esfuerzo. Ahora presentamos un nuevo método que utiliza una distribución normal como aproximación de la distribución binomial. El siguiente recuadro resume el punto más importante de esta sección.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD NORMAL

La distribución normal como aproximación de la distribución binomial

Si np ≥ 5 y nq ≥ 5, entonces la variable aleatoria binomial tiene una distribución de probabilidad que puede aproximarse con una distribución normal, donde la media y la desviación estándar están dadas por

µ = np

σ = √npq

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Para comprender mejor la manera en que la distribución normal, puede usarse para aproximar una distribución binomial, vea la siguiente figura. Esta figura presenta un histograma de frecuencias relativas de los valores de 10,000 proporciones de muestra, donde cada una de las 10,000 muestras consta de 50 géneros que se seleccionaron al azar con reemplazo, de una población en la que la proporción de mujeres es de 0.13. Dichas proporciones muestrales pueden considerarse probabilidades binomiales, de manera que la figura indica que, en condiciones adecuadas, las probabilidades binomiales tienen una distribución muestral aproximadamente normal. La justificación formal que nos permite emplear la distribución normal como aproximación de la distribución binomial resulta de matemáticas más avanzadas; la figura es un argumento visual convincente que apoya esa aproximación.

Al resolver problemas de probabilidad binomial, primero intente obtener resultados más exactos por medio de un programa de cómputo, una calculadora, la tabla A-1 o la fórmula de probabilidad binomial. Si la probabilidad binomial no puede calcularse con estos procedimientos más exactos, intente la técnica del uso de la distribución normal como aproximación de la distribución binomial. Este método implica el siguiente procedimiento, que también se presenta en un diagrama de flujo.

Procedimiento para el uso de una distribución normal como aproximación de la distribución binomial

1. Establezca que la distribución normal es una aproximación adecuada de la distribución binomial, verificando que  np  ≥5 y  nq ≥5. (Si ambas condiciones no se satisfacen, entonces debe utilizar un programa de cómputo, una calculadora, la tabla A-1 o la fórmula de probabilidad binomial).

2. Obtenga los valores de los parámetros µ y σ calculando µ np y σ√npq3. Identifique el valor discreto  x (el número de éxitos). Reemplace el valor

discreto x con el intervalo desde x 0.5 hasta x 0.5. Dibuje una curva normal e introduzca los valores de µ, σ y x 0.5 o x 0.5, según sea apropiado

4. Modifique x reemplazándola por x 0.5 o x 5, según sea apropiado.

5. Utilice  x 0.5 o  x 0.5 (según sea apropiado) en lugar de  x, calcule el área correspondiente a la probabilidad deseada encontrando primero la puntuación z: z = (x σ )/ σ. Ahora use esa puntuación  z para encontrar el área a la izquierda de  x 0.5 o  x 0.5, según sea apropiado. Ahora el área puede emplearse para identificar el área correspondiente a la probabilidad que se desea.

Ilustraremos este procedimiento de aproximación normal con el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 

Cuando un avión se carga con pasajeros, equipaje, carga y combustible, el piloto debe verificar que el peso completo no rebase el límite máximo que se permite, por lo cual el peso tiene que distribuirse de forma conveniente para que el equilibrio del avión esté dentro de los límites aceptables de seguridad. Air America estableció un procedimiento según el cual debe reducirse la carga extra siempre que un avión con 200 pasajeros incluya al menos 120 hombres. Calcule la probabilidad de que, de 200 pasajeros seleccionados al azar, haya al menos 120 hombres. Suponga que la población de pasajeros potenciales consiste en un número igual de hombres y mujeres.

SOLUCION

El problema dado implica una distribución binomial con un número fijo de ensayos (n=200), que se presume son independientes, con dos categorías de resultados (hombres, mujeres) para cada ensayo, y con la probabilidad de un hombre (p= 0.5) que se supone permanece constante de un ensayo a otro.

Supondremos que no disponemos de un programa de cómputo ni de una calculadora. La tabla A-1 no puede aplicarse, porque termina en n=15. La fórmula de probabilidad binomial no es práctica, ya que tendríamos que utilizarla en 81 ocasiones (una para cada valor de x desde 120 hasta 200, inclusive), y nadie en su sano juicio desearía hacerlo. Procedamos con el método de los cinco pasos para el uso de una distribución normal como aproximación de la distribución binomial.

Paso 1:

Primero debemos verificar que es razonable aproximar la distribución binomial con la distribución normal, porque np ≥ 5 y nq ≥ 5. Con n = 200, p = 0.5 y q = 1 p = 0.5, verificamos las condiciones requeridas como sigue:

np = 200 0.5 = 100 (Por lo tanto, np ≥ 5).

nq = 200 0.5 = 100 (Por lo tanto, nq ≥5).

Paso 2:

Ahora procedamos a calcular los valores de µ y σ, necesarios para la distribución normal. Obtendremos lo siguiente:

µ np = 200 0.5 = 100

σ = √npq = √200 0.5 0.5 = 7.0710678

Paso 3:

El valor discreto de 120 se representa con la franja que se limita con 119.5 y 120.5.

Paso 4:

Ya que buscamos la probabilidad de al menos 120 hombres, queremos el área que representa el número discreto de 120 (la región limitada por 119.5 y 120.5), así como también el área a la derecha, como se muestra en la figura.

Correcciones por continuidad

El procedimiento que implica el uso de la distribución normal como aproximación de la distribución binomial incluye un paso en el que cambiamos un número discreto por un intervalo que está 0.5 por abajo y 0.5 por arriba del número discreto. Observe la solución anterior, donde cambiamos 120 por el intervalo entre 119.5 y 120.5. Este paso particular, que se denomina corrección por continuidad.

Paso 5:

Ahora es posible proceder a la búsqueda del área que se sombreó de la figura, Para usar la tabla A-2 de la distribución normal estándar, primero habrá que transformar 119.5 a una puntuación z; después, usar la tabla para encontrar el área a la izquierda de 119.5, que posteriormente se resta de 1. La puntuación z se obtiene como sigue:

Al emplear la tabla A-2, encontramos que z 5 2.76 corresponde a un área de 0.9971, de manera que la región que se sombreó es de 1 2 0.9971 5 0.0029.

INTERPRETACIÓN

Hay una probabilidad de 0.0029 de obtener al menos 120 hombres entre 200 pasajeros. Como esa probabilidad es muy baja, concluimos que, en muy pocas ocasiones, una lista de 200 pasajeros incluirá al menos 120 hombres, por lo que no es necesario preocuparse mucho por reducir la carga extra.

Procedimiento para correcciones por continuidad

1. Cuando use la distribución normal como aproximación de la distribución binomial, siempre aplique la corrección por continuidad. (Esto se requiere, porque estamos utilizando la distribución normal continua para aproximar la distribución binomial discreta).

2. Para emplear la corrección por continuidad, primero identifique el número entero discreto x relevante al problema de probabilidad binomial. Por ejemplo si usted está intentando calcular la probabilidad de obtener al menos 120 hombres entre 200 personas que se seleccionaron aleatoriamente, el número entero discreto relevante sería x = 120. Primero enfoque su atención en el valor x e ignore temporalmente si busca al menos x, más que x, menos que x, u otro.

3. Dibuje una distribución normal centrada alrededor de µ; después, una franja vertical alrededor de x. Marque el lado izquierdo de la franja con el número igual a x - 0.5 y el lado derecho con el número igual a x + 0.5. Por ejemplo, para x = 120, dibuje una franja desde 119.5 hasta 120.5. Considere el área completa de la franja para representar la probabilidad del número discreto x

Para ver cómo resulta este procedimiento en las correcciones por continuidad, observe los casos comunes que se ilustran en la figura. Esos casos corresponden a los enunciados de la siguiente lista.

DEFINICION DE CORRECCION POR CONTINUIDAD

Cuando empleamos la distribución normal (que es una distribución de probabilidad continua) como un una aproximación de la distribución binomial (que es discreta), se realiza una corrección por continuidad a un número entero discreto x en la distribución binomial, representando el valor único x en el intervalo desde x - 0.5 hasta x + 0.5 (es decir, sumando y restando 0.5).

EJEMPLO 

Audiencia televisiva El programa de televisión 60 minutos, de la CBS, tuvo recientemente una audiencia de 20, lo que significa que, de los televisores en uso, el 20% estaba sintonizando 60 minutos (de acuerdo con datos de Nielsen Media Research). Un anunciante desea verificar este valor del 20% de audiencia realizando su propia encuesta a 200 hogares que tengan su televisión encendida en el momento de la transmisión de 60 minutos. Los resultados indican que, de los 200 televisores en uso, el 16% (o 32 televisores) están sintonizando 60 minutos. Suponiendo que el valor de audiencia del 20% sea correcto, calcule la probabilidad de que en una encuesta de 200 hogares, exactamente 32 televisores estén sintonizando 60 minutos.

SOLUCIÓN

Tenemos n = 200 ensayos independientes, x = 32 televisores sintonizando 60 minutos y una proporción poblacional de p = 0.20. Para los propósitos de este ejemplo, suponemos que no se nos permite el acceso a un programa de cómputo ni a una calculadora TI-83 Plus. Tampoco es posible utilizar la tabla A-1, porque n = 200 excede el valor más alto de la tabla de n = 15. Si utilizamos la fórmula de probabilidad binomial, deberíamos evaluar una expresión que incluya 200!, pero muchas calculadoras y programas de cómputo no manejan tantos datos. Por consiguiente, procedemos a emplear una distribución normal para aproximar la distribución binomial.

Paso 1: 

Primero verificamos si es posible la aproximación: 

np = 200 0.20 = 40 (Por lo tanto, np ≥ 5.)

nq = 200 0.80 = 160 (Por lo tanto, nq ≥ 5.)

Enunciado Área

Al menos 120 (incluye 120 y números mayores) A la derecha de 119.5

Más de 120 (no incluye 120) A la derecha de 120.5

A lo sumo 120 (incluye 120 y números menores) A la izquierda de 120.5

Menos de 120 (no incluye 120) A la izquierda de 119.5Exactamente 120 Entre 119.5 y 120.5

Paso 2:

Ahora procedemos a calcular los valores de m y s, necesarios para la distribución normal. Obtenemos lo siguiente:

µ np = 200 0.20 = 40

σ = √npq = √200 0.200.80 = 5.6568542

Paso 3:

Dibujamos la curva normal.

La región sombreada de la figura representa la probabilidad que buscamos. La aplicación de la corrección por continuidad da como resultado la representación de 32, ubicada entre 31.5 y 32.5.

Paso 4:

He aquí el método que se empleó para calcular la región sombreada: primero calcule el área total a la izquierda de 32.5; después, obtenga el área total a la izquierda de 31.5; luego, calcule la diferencia entre ambas áreas. Iniciando con el área total a la izquierda de 32.5, debemos obtener la puntuación z que corresponde a 32.5. Si nos remitimos a la tabla A-2, obtendremos:

Usamos la tabla A-2 para encontrar que z = 21.33 corresponde a una probabilidad de 0.0918, que es el área total a la izquierda de 32.5. Ahora, procedemos a obtener el área a la izquierda de 31.5, calculando primero la puntuación z correspondiente a 31.5:

En la tabla A-2 encontramos que z = 21.50 corresponde a una probabilidad de 0.0668, que es el área total a la izquierda de 31.5. El área sombreada es 0.0918 - 0.0668 = 0.025

ANALISIS

La probabilidad de que exactamente 32 televisores sintonicen 60 minutos (de un total de 200) es de aproximadamente 0.0250.

BIBLIOGRAFIA

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Estadística, 9na Edición - Mario F. Triola