2020. 04. 10.

1

EUKLIDESZI TEREK(skalárszorzattal ellátott vektorterek)

Történeti bevezetésSkalárszorzat általánosítása, példák

Euklideszi terek, metrikus terek, normált terek

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 1

Euklideszi terek1. rész

Történeti bevezetés

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 2

ALEXANDRIAI EUKLEIDÉSZKr.e. 365 - 300

A geometria atyja

Az első, méltán híres matematikatankönyv, az Elemek írója. Ebbenösszefoglalja az akkor ismertmatematika alapjait.

Az Elemekben axiomatikus módszerrel építi fel a geometriát.

EUKLIDESZ, EUKLEIDÉSZ (WIKIPÉDIA)

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 4

megarai Eukleidész (i. e. 435 körül – i. e.365 körül) Szókratész tanítványa, filozófus:

Az eleaták által vallott Egyet, (melyetIstennek, értelemnek, szellemnek isnevezett) a szókratészi Jóval azonosította, ésörökkévalónak, változhatatlannak tartotta.

2020. 04. 10.

2

alexandriai Eukleidesz (Kr. e. 365-300): görög matematikus, filozófus • ELEMEK: ókori matematika

összefoglalása• Axiomatikus tárgyalás• vonal szélesség nélküli hosszúság• A geometriához nem vezet királyi út.

(Ptolemaiosz, egyiptomi király kérdésére, hogy van-e könnyebb módszer a geometria elsajátítására, mint az Elemek áttanulmányozása)

• Amikor egy ifjú megkérdezte tőle, hogy lesz-e valami haszna abból, hogy geometriát tanul, szólt így a szolgájához Adj már egy oboloszt (=fillért) neki, mert hasznot akar húzni abból, amit tanul.

Εὐκλείδης

.

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 5

Στοιχείa, Sztoikheia

Munka nélkül nincs kenyér sem geometria.

ELEMEK-AXIÓMARENDSZEREK

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 6

Elvárások egy axiómarendszerrel szemben: - Ellentmondásmentesség:

- Függetlenség:

- Teljesség:

Ha az elmélet kapcsán felvethető bármely állításról el lehet dönteni annak igaz vagy hamis voltát

Alapfogalom: Fogalom, amit nem definiálunk (pont, egyenes)Axióma: Állítás, amit nem bizonyítunk (2 ponton át egy egyenes húzható)Axiómarendszer: Alapfogalmak+axiómák.

Gödel - mindig lehet találni olyan állítást, amelynek sem igaz voltát, sem pedig hamis voltát nem lehet az axiómákból levezetni (de ilyen kérdés nem lesz a vizsgán! )

egyik axiómát sem lehet a többi axiómából levezetni.

AXIÓMARENDSZEREK

Alkalmazhatóság:

Euklideszi axiómákkal leírt geometria remek:műszaki tud.: gépészet, építészet, stb.

Euklideszi geo. nem igazán alkalmas: űrhajózás, asztrofizika

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 7

A HILBERT ÁLTAL ÁTFOGALMAZOTT AXIÓMÁK

David Hilbert1862 - 1943

Axióma csoportok

Illeszkedési axiómák Rendezési axiómák Egybevágósági axiómák Folytonossági axiómák Párhuzamossági axióma

eukleidészi axiómák

2020. 04. 10.

3

POSZTULÁTUMOK (axiómák)

1. Minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható.

2. Véges egyenes vonal egyenesben meghosszabbítható legyen.

3. Minden középponttal és távolsággal legyen kör rajzolható.

4. Minden derékszög egymással egyenlő.

5. Ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre a derékszögnél kisebb szögek vannak. – PÁRHUZAMOSSÁGI AXIÓMA

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 9

PÁRHUZAMOSSÁGI AXIÓMA

Ab

A2a

A1

PÁRHUZAMOSSÁGI AXIÓMA

Az euklideszi (vagy sík) geometriában:

Egy tetszőleges a egyenes és egy rá nem illeszkedő A pontmeghatározta síkon az A ponthoz illeszkedő egyenesek legfeljebbegyike nem metszi az a egyenest.

Másképpen: adott egyeneshez a rajta kívül fekvő ponton át csakegyetlen egyenes húzható

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 11

PÁRHUZAMOSSÁGI AXIÓMA

Ab

a

2020. 04. 10.

4

PÁRHUZAMOSSÁGI AXIÓMA

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 13

- ókori görög: az 5. posztulátumot nem „látták”, nem tudták tapasztalati úton bizonyítani- próbálkozások az axióma tagadására- Kant: a tér emberi megismerése a priori euklideszi

- Giovanni Saccheri olasz jezsuita pap a XVII. században a párhuzamossági axióma tagadásából „majdnem” ellentmondásra jutott.

- Bolyai János: (és Lobacsevszkij egymástól függetlenül) „a semmiből egy új, más világot teremtettem”

- Bolyai elküldte az eredményeit Gaussnak (édesapja, Bolyai Farkas barátjának, Göttingenbe)

- Bolyai a művét apja matematika tankönyvéhez csatolta függelékként, így született az Appendix –feledésbe merült

- 1860-as évektől ismét sokat foglalkoztak a párhuzamossági axiómával a matematikusok- Einstein relativitáselmélet: a fizikai tér jelenségeinek leírására is alkalmazza

1912-ben megmérik a gravitáció hatására görbült teret – nem euklideszi!

PÁRHUZAMOSSÁGI AXIÓMA

A Bolyai-Lobacsevszkij-féle (vagy hiperbolikus) geometriában:Egy tetszőleges a egyeneshez egy rá nem illeszkedő A ponton keresztüllegalább 2 olyan (különböző) egyenes húzható, melyek nem metszik az adottegyenest.

Tehát megkülönböztetésül a többi terektől hívjuk a minket körülvevő tereteuklideszi térnek

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 14

Egy modell: A képen hiperbolikus paroboloid látható

háromszöggel és „párhuzamos” (ti. nem metsző) egyenesekkel.

PÁRHUZAMOSSÁGI AXIÓMA

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 15

Pozitív, nulla és negatív görbületű felületek

BOLYAI JÁNOS (Kolozsvár, 1802. december 15. – Marosvásárhely, 1860. január 27.)

2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 16

Szülőháza Kolozsváron1818-ban a bécsi hadmérnöki akadémiárafelvételizett. Taníttatásának költségeit báró Kemény Miklós vállaltaMatematikus, hadmérnök

A marosvásárhelyi református egyház halotti anyakönyvébe ezt írták: „Bolyai János, nyugalm. Ingenieur Kapitány – meghalt agy- és tüdőgyulladásban. – Híres, nagy elméjű matematikus volt, az elsők között is első. Kár, hogy nagy talentuma használatlanul ásatott el.” - UNESCO, VILÁGEMLÉKEZET

2020. 04. 10.

5

FORRÁSOK,OLVASNIVALÓK

• Wikipédia• http://www.unesco.hu/kommunikacio-informacio/vilagemlekezet-

program/vilagemlekezet-lista-140908• http://www.math.u-

szeged.hu/~nagyg/Oktatas/PDF/nemeuklideszi_2015.pdf• https://web.cs.elte.hu/geometry/vl/Axiomak2010.pdf• http://www.math.u-

szeged.hu/~nagyg/Oktatas/PDF/nemeuklideszi_2015.pdf• https://www.slideserve.com/monet/p-rhuzamos-e-a-p-rhuzamos• https://www.valaszonline.hu/2019/10/30/bolyai-janos-lang-zsolt-konyv/• https://hu.wikipedia.org/wiki/Hilbert-probl%C3%A9m%C3%A1k2020. 04. 10. Bércesné dr. Novák Ágnes 17