UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFACULTAD DE INGENIERAESCUELA
ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA GEOLGICA
La Evaluacin de Riesgo en Proyectos MinerosDocenteIng. Mara Lpez
Becerra
EstudiantesACEIJAS PREZ, Jeam PaulGARAY VERA, Henry
EdinsonGONZALES RAFAEL, Luis EdwinREQUEJO ILATOMA, NiltonZAMORA
CRUZADO, Luis Anthony
Cajamarca-Per2015
ndiceObjetivos2Objetivo principal2Objetivo
Especficos2Introduccin3Anlisis de sensibilidad4Anlisis de valor
esperado4Anlisis de supervivencia4Anlisis de riesgo4Las variables
que aportan riesgo e incertidumbre a los proyectos
mineros5Variables vinculadas al yacimiento6Cantidad de reservas
explotables7Leyes de los minerales y sus caractersticas
mineralrgicas8Morfologa del yacimiento8Caractersticas geomecnicas e
hidrogeolgicas8Variables vinculadas a la operacin minera9Variables
vinculadas al mercado y al contexto exterior10Cotizacin de las
materias primas10Financiacin del proyecto10Rgimen fiscal minero10La
inflacin10Factores polticos10Elementos de anlisis en las
decisiones11Conceptos bsicos11Situaciones de riesgo12Funcin de
utilidad o preferencia14Estimacin de probabilidades18Anlisis de
valor esperado20Proceso de clculo20Arboles de decisin21Anlisis de
Riesgo28Variables Aleatorias28Mtodo de Montecarlo36Muestreo
Aleatorio38Determinacin de las Funciones de
distribucin.40Explotacin de los Resultados40Mtodo
R.S.C.41Conclusiones43Referencias44
ObjetivosObjetivo principal Identificar los riesgos e
incertidumbres que se presentan en los proyectos minerosObjetivo
Especficos Identificar variables que aportan riesgo e incertidumbre
Definir los aspectos bsicos que funadamentan o sustentan cualquier
proyecto minero. Analizar los elementos en la toma de decisiones
Lograr la aplicacin del anlisis de valor esperado Analizar los
diferentes riesgos
IntroduccinEn el tratamiento del anlisis econmico se supona que
los valores de todas las cantidades se conocan con certeza. Los
factores de riesgo e incertidumbre quedaban fuera del
estudio.Evidentemente, nunca existe certeza total y es frecuente
que la incertidumbre sea bastante considerable, como ocurre, por
ejemplo en los proyectos mineros. Es una prctica frecuente realizar
un anlisis econmico exclusivamente determinstico esto es en
condiciones de certeza supuesta y tomar en consideracin el riesgo y
la incertidumbre de una forma intuitiva, no cuantificada, confiando
en la experiencia, la formacin y el criterio del decisor.Es posible
otra forma ms rigurosa de proceder, consistente en cuantificar los
factores de incertidumbre y riesgo e introducirlos en el anlisis
formal, que se convierte as en un anlisis probabilstico. Esto no
excluye la influencia decisiva de las apreciaciones subjetivas del
decisor, pero hace actuar a ste con ms rigor, aportndole una
valoracin cuantitativa de los aspectos probabilsticos del
problema.La aplicacin de modelos probabilsticos proporciona, en
consecuencia, una base mucho ms segura para la toma de
decisiones.Ejemplos:Supngase que hay que decidir entre dos
proyectos que requieren una misma inversin, cuyas TRI respectivas
son el 20 % y el 15 %. En condiciones de certeza se preferira el
proyecto A, que es el de mayor TRI. Ahora bien, estara justificada
esta decisin si se supiera que la probabilidad de xito del proyecto
A es el 60 % y la del B el 90%?. Por tanto, es esencial para la
toma de decisiones conocer, no slo la rentabilidad de las diversas
opciones, sino tambin el riesgo asociado con cada una de
ellas.Considrese en segundo lugar un proyecto cuyo valor econmico
queda determinado por seis datos bsicos. Se han estimado los
valores ms probables de dichos datos con una precisin suficiente y,
realizando el anlisis econmico, se obtiene una atractiva TRI del 32
%. Sin embargo, esta TRI se producir realmente slo en el caso en
que dichos seis datos bsicos tomen efectivamente los valores
estimados. Si cada una de las estimaciones tiene una probabilidad
del 70 % de aproximarse suficientemente a la realidad, la
probabilidad de que la TRI sea, el 32 % es (0,7)6 = 0,12, es decir
slo el 12 %, supuesto que dichos datos sean mutuamente
independientes. Este clculo simplista pone de manifiesto que el
logro de la TRI calculada depende en realidad de una coincidencia
de circunstancias bastante poco probable. Se puede concluir que, en
general, una cifra nica de rentabilidad no es informacin suficiente
para decidir.En el anlisis de todo proyecto existen siempre unos
elementos de incertidumbre y riesgo, que pueden ser esenciales en
el proceso de la toma de decisin. Es indispensable, por tanto,
aplicarles un tratamiento cuantitativo tan riguroso, si fuera
posible, como el utilizado en la evaluacin econmica.En este captulo
se van a exponer los mtodos ms aceptados para analizar las
decisiones de inversin en situaciones de riesgo. Estos mtodos
pueden clasificarse en las siguientes familias:Anlisis de
sensibilidad: Trata de responder a la pregunta "qu sucedera si...?,
estudiando el efecto de alteraciones en datos que determinan el
valor econmico del proyecto. Su fundamento y manejo son
extraordinariamente simples y su aplicacin es muy til. Es el ms
utilizado, muchas veces junto con alguno de los que van a mencionar
a continuacin.Anlisis de valor esperado. Busca una media ponderada
del valor econmico del proyecto, segn los acontecimientos que
puedan producirse y sus probabilidades respectivas. Proporciona una
informacin muy valiosa para la toma de decisiones. Es, por ejemplo,
una herramienta tradicional de las compaas de seguros, cuyo negocio
tiene su base en la gestin adecuada del riesgo.Anlisis de
supervivencia. Investiga el riesgo de prdida del capital invertido
en proyectos. En cierto modo complementa al anterior, ya que un
proyecto puede tener un VAN esperado positivo, pero puede existir
una probabilidad de que fracase y ocasione un quebranto econmico
inaceptable.Anlisis de riesgo. La disponibilidad de ordenadores ha
permitido la aplicacin de mtodos de simulacin aleatoria, que
requieren la repeticin de un mismo proceso de clculo cientos o
miles de veces sobre un modelo matemtico adecuado. Proporciona una
imagen muy completa del valor econmico y del riesgo de un proyecto.
Permite un manejo sistemtico del riesgo, bien para reducirlo en lo
posible o para valorar y comparar con rigor los riesgos que se
aceptan.A lo largo del captulo se irn intercalando repasos breves
de las nociones de Anlisis de Decisiones, Clculo de Probabilidades
y Estadstica que son indispensables para la comprensin y aplicacin
de los diversos mtodos expuestos.
Las variables que aportan riesgo e incertidumbre a los proyectos
minerosEl primer paso en el anlisis de riesgo de un proyecto minero
de inversin consiste en identificar las fuentes de incertidumbre,
que son aqullas que intervienen realmente como variables
aleatorias. Atendiendo a su origen, es posible subdividirlas en
tres grupos: Vinculadas al yacimiento. Vinculadas a la operacin
minera. Vinculadas al mercado y contexto exterior.Los dos primeros
grupos pueden calificarse como fuentes internas de incertidumbre y
el tercero como una fuente externa.
Figura 1. Fuentes de incertidumbre en un negocio mineroTal como
se ver seguidamente, la incertidumbre puede visualizarse mediante
una funcin de densidad de probabilidad de los posibles valores que
puede tomar una variable o parmetro caracterstico del proyecto. La
incertidumbre percibida en el momento de tomar la decisin de
inversin, generalmente, aumenta conforme lo hace el horizonte
temporal considerado para las estimaciones futuras, tal como se
muestra en la figura 2, para una componente " X " del flujo de
fondos.
Figura 2. Incertidumbre percibida para una componente del flujo
de fondos en el instante de decisin de la inversin.
Figura 3. Resolucin de la incertidumbre de una variable en
diferentes etapas de desarrollo del proyecto.Por el contrario, una
vez puesto en marcha el proyecto y conforme se progresa a lo largo
de la vida de este se mejorar el conocimiento de algunas variables,
fundamentalmente las relacionadas en el yacimiento y la operacin
minera, consiguiendo disminuir la incertidumbre aportada por
algunas de esas componentes.Las causas principales de los cambios
fortuitos en la economa de las explotaciones mineras se encuentran,
bsicamente, en: La falta de informacin suficiente. La falta de
control sobre determinadas variables.Variables vinculadas al
yacimientoDejando a un lado el riesgo econmico de las actividades
de investigacin minera, en las que las posibilidades medias de
xito, es decir de llegar a una mina rentable, son extremadamente
pequeas frente a los trabajos infructuosas, incluso con la mejor
gestin del equipo investigador; por parte del yacimiento la
incertidumbre econmica proviene de que en el proceso de evaluacin
se llega a un solucin de compromiso entre el conocimiento del
depsito y el coste de los trabajos de investigacin y evaluacin.El
empresario minero a la hora de evaluar el inters econmico de un
depsito va a disponer de un conocimiento de este limitado. A partir
de unos pocos datos de muestras obtenidas en la investigacin se ha
inferido toda una globalidad, mediante tcnicas de interpolacin,
hasta crear el modelo de yacimiento. Estas tcnicas implican siempre
errores, que dependen de la variabilidad de las diferentes
caractersticas de muestreo y de la propia tcnica de estimacin. La
geostadstica, permite efectuar las evaluaciones y calcular la
distribucin de probabilidad de los errores que afectan a las
reservas y a las leyes.Entre las variables ligadas al yacimiento
que aportan incertidumbre se encuentran. Los recursos totales y las
reservas explotables. Las leyes o calidad de los minerales a
beneficiar. Las caractersticas mineralgicas de la mena. La
disposicin y variabilidad espacial de las masas mineralizadas. Las
propiedades geomecnicas e hidrogeolgicas de los macizos rocosos,
entre otros.Cantidad de reservas explotablesLa cantidad de reservas
explotables condiciona la vida de las minas y, consecuentemente,
las capacidades anuales de extraccin. Por lo general, los
horizontes temporales de los proyectos rnineros suelen ser mayores
que los planificados, ya que estos ltimos se establecen, por lo
comn, a partir de los recursos mejor conocidos, (figura 4), y en el
transcurrir del tiempo recursos de otras categoras pasan a
transformarse en reservas explotables.Aunque siempre es posible
efectuar inversiones adicionales para ampliar la capacidad de las
instalaciones, estas pueden resultar muy costosas, y en algunos
casos hasta inviables, si no se han contemplado desde los primeros
momentos. Si, por el contrario, se comprueba una disminucin de las
reservas explotables, los resultados previsibles del proyecto se
modificarn desfavorablemente: si se mantiene el ritmo de produccin
la vida operativa se acortar, y si se reduce la capacidad de
extraccin. Para mantener la vida prevista los ingresos anuales
disminuirn, la amortizacin se mantendr y los gastos de explotacin
se alteraran en la medida que sus componentes fijas y variables
tengan mayor o menor peso en la estructura del coste.
Figura 4. Cambio de la vida y rentabilidad de una mina al
considerar recursos de varias categoras.Leyes de los minerales y
sus caractersticas mineralrgicasLas leyes de los minerales y sus
caractersticas mineralrgicas son factores clave en la consecucin de
los ingresos previstos, tanto en la produccin conseguida como en la
calidad de sta. Un desconocimiento de esas variables puede conducir
a un cambio en los procesos de tratamiento, afectando no slo a los
costes de operacin, sino incluso a las propias recuperaciones
mineralrgicas.La ley de los minerales interviene directamente en
las frmulas de valoracin de los productos a comercializar, y en el
caso de los metales nunca se deber olvidar la posible presencia de
impurezas o contaminantes en los concentrados, susceptibles de
penalizar el valor de dichos productos.Morfologa del yacimientoLa
morfologa del yacimiento y las irregularidades de este influyen
sobre: el diseo e infraestructura de las explotaciones, los
sistemas de arranque, el grado de aprovechamiento de los recursos
existentes, los porcentajes de dilucin, etc. En algunas situaciones
la falta de informacin ha obligado a un cambio de mtodo o sistema
con importantes consecuencias econmicas.Caractersticas geomecnicas
e hidrogeolgicasDe igual manera actan las caractersticas
geomecnicas e hidrogeolgicas, tanto en el diseo geomtrico de las
minas como en los propios costes de explotacin, de drenaje, etc. En
la figura 5 se presenta un ejemplo de los niveles de confianza que
corresponden a los factores de seguridad de diferentes ngulos de
talud en una mina a cielo abierto.
Figura 5. Resultados probabilsticos de un anlisis de estabilidad
realizado en una mina a cielo abierto.Variables vinculadas a la
operacin mineraLas fases de construccin y puesta en marcha de las
operaciones mineras constituyen una etapa crtica y un factor de
riesgo muy importante, ya que marcarn la fecha de comienzo de la
produccin y, por consiguiente, el momento en que se generarn los
ingresos previstos en el proyecto. A ese perodo de construccin y
arranque, hay que sumar el dedicado a la localizacin, investigacin
y evaluacin del yacimiento, y el tiempo necesario para efectuar los
estudios tcnicos pertinentes, buscar la financiacin, etc. Con todo
ello, los plazos de maduracin, superiores casi siempre a los 5 10
aos, son mucho ms dilatados que en otras industrias, y mientras
transcurre el tiempo aumentan los riesgos potenciales del mercado,
tendencias de consumo, alternativas de sustitucin, etc.En lo
referente a la propia operacin minera. sta se caracteriza por su
rigidez, que es incomparablemente mayor que en otras actividades
industriales, y dentro del sector minero superior en las labores
subterrneas que en las de cielo abierto. Esto impide reaccionar con
la velocidad necesaria ante cambios bruscos del entorno econmico
que las rodea.Por otro lado, a pesar del mayor grado de mecanizacin
a que se han visto sometidas las operaciones mineras, la componente
de la mano de obra sigue siendo an muy elevada, y sta se encuentra
sometida a una mayor probabilidad de accidentes por las condiciones
en que se llevan a cabo los trabajos. La necesidad de mano de obra
especializada constituye, en explotaciones con una implantacin
geogrfica aislada, un serio problema, con una incidencia que se
refleja, a corto plazo, en los rendimientos, la productividad y la
accidentabilidad dentro de las minas. Por ltimo, existe un riesgo
tecnolgico derivado del hecho de que al no existir yacimientos
iguales, cada operacin precisa equipos y sistemas que tienen que
tantearse y probarse, con lo cual se inicia una cadena de
actividades con un grado de acierto final difcil de
predecir.Variables vinculadas al mercado y al contexto
exteriorCotizacin de las materias primasLa cotizacin de las
materias primas. Estimar los precios de venta de las sustancias a
producir, bastantes aos antes de la puesta en marcha de las minas y
durante el perodo operativo de stas, resulta una de las tareas ms
difciles, si no la que ms, en la etapa de estudio de viabilidad de
una explotacin.Financiacin del proyectoEl hecho de tener que acudir
a los mercados financieros exteriores para obtener los recursos
econmicos necesarios, superiores en algunos casos al 50 por 100 de
la inversin total, introduce una componente de riesgo debido a las
variaciones en el tipo de cambio y tipos de inters. La previsin de
estas variaciones no resulta fcil, ya que influyen numerosos
factores: balanza de pagos, inflacin, poltica fiscal, poltica
monetaria, intervencin de los bancos centrales, movimientos de los
precios del petrleo, conflictos blicos, etc.Rgimen fiscal mineroEl
rgimen fiscal minero constituye otro factor de riesgo, ya que se
utiliza por algunos gobiernos para incentivar o influir en el
comportamiento de las compaas mineras, por ejemplo, en la
investigacin de determinadas sustancias o reas declaradas
prioritarias, en el aprovechamiento ms racional de los recursos,
etc.La inflacinLa inflacin es un fenmeno al que la industria minera
no ha escapado y que su incorporacin al anlisis de los proyectos
dificulta la realizacin de los mismos.Factores polticosLos factores
polticos pueden inducir efectos impredecibles sobre la industria
minera y condicionar, por tanto, el desarrollo de nuevos proyectos
o la marcha de los ya iniciados, especialmente cuando las
inversiones se realizan fuera del pas de la empresa promotora.
Entre las fuentes de incertidumbre poltica cabe destacar las
siguientes: La estabilidad el rgimen del partido en el poder. Las
restricciones en la repatriacin de capital o beneficios. La
situacin laboral y la poltica salarial en el pas. Las relaciones
internacionales con otros pases suministradores de equipos,
compradores de materias primas, etc. Las limitaciones de
participacin de capital extranjero. Los requerimientos para usar
productos nacionales o locales. La aplicacin de medidas ambientales
restrictivas.Elementos de anlisis en las decisionesAntes de iniciar
el tratamiento cuantitativo de las situaciones de riesgo, es
preciso realizar una revisin sumaria de algunos conceptos y mtodos
del Anlisis de Decisiones, de que se har uso el anlisis
probabilstico de proyectos.Conceptos bsicosEl Anlisis de Decisiones
proporciona la metodologa sistemtica para estructurar un problema,
valorar los cursos de accin alternativos y cuantificar sus
resultados segn los objetivos, cuando existe incertidumbre en
cuanto a los acontecimientos que puedan afectar a los
resultados.Opcin, o alternativa, es todo curso de accin potencial
para la asignacin de recursos en una situacin dada para alcanzar
los objetivos deseados. Cuando una opcin est completamente
definida, de modo que pueda llevarse a la prctica, se denomina
estrategia.El decisor, o unidad decisora, tiene unas escalas de
valores, o criterios, a los que refiere sus objetivos o fines,
expresados cuantitativamente. Con dichos criterios se valoran los
resultados, o pagos, de las diversas estrategias.Pueden producirse
sucesos futuros, sobre los que el decisor ejerce un control nulo o
pequeo, que pueden afectar a los resultados que se obtengan con una
misma estrategia. Para realizar el anlisis de decisiones, es
preciso estructurar tales sucesos de modo que sean mutuamente
excluyentes y colectivamente exhaustivos. Estos acontecimientos,
que no dependen de la voluntad del decisor, se denominan estados de
naturaleza.La situacin de decisin se representa matemticamente para
su anlisis por un modelo, que relaciona los resultados con las
estrategias que se adopten y los estados de naturaleza que se
produzcan. Se puede estructurar en forma de matriz de pagos, que es
una representacin tabular de los resultados de cada estrategia para
cada estado de naturaleza. Cuando pueden tomarse decisiones
futuras, segn los estados de naturaleza que se produzcan en su
momento (decisiones secuenciales), se utiliza la representacin en
rbol de decisin.Existe incertidumbre en cuanto a la produccin de
los acontecimientos futuros, o estados de naturaleza. Por tanto
existe un riesgo, que es la probabilidad de que no se alcance un
objetivo.En general, son posibles cuatro tipos de situaciones de
toma de decisiones: De certeza: A cada estrategia corresponde slo
un pago sin incertidumbre alguna. Es el tipo de situaciones que se
tratan con mtodos de programacin, que no se considerarn en lo
sucesivo. De competencia o conflicto: Existe un competidor que
elige en cada caso la estrategia que ms perjudique al decisor, segn
el estado de naturaleza que se produzca. Se estudian mediante la
Teora de Juegos y tampoco sern objeto de estudio. De incertidumbre:
(total). A cada estrategia le pueden corresponder diversos pagos,
segn el estado de naturaleza que se produzca, pero se desconoce
completamente la probabilidad de aparicin de cada estado. De
riesgo: Como en el caso anterior, a cada estrategia le pueden
corresponder diversos pagos, segn el estado de naturaleza que se
produzca, pero ahora se conoce la probabilidad de aparicin de cada
uno de los posibles estados.Las situaciones de incertidumbre total
son muy raras en el mundo de la empresa. Generalmente se dispone de
elementos objetivos o subjetivos para calcular o estimar las
probabilidades de los diversos acontecimientos posibles. Ms
adelante se ver la forma de realizar estas determinaciones. Por
ello, en este captulo slo se van a considerar las situaciones de
riesgo.Hay que advertir aqu el doble significado de la palabra
riesgo. En general, es la probabilidad de no lograr un objetivo.
Aplicado para calificar una situacin de decisin, denota que se
conocen las probabilidades de los diversos acontecimientos que
pueden afectar a los resultados.Situaciones de riesgoSupngase una
situacin en la que pueden darse n estados de naturaleza ,,...,..,
cuyas respectivas probabilidades son , , ... , ... , tales que
a consecuencia de la condicin de que sean colectivamente
exhaustivas.Son posibles las estrategias, ,... , ... , cuyos
resultados o pagos dependern de los estados de naturaleza que se
produzca. Se representar genricamente por , el pago de la
estrategia con el estado de naturaleza . La matriz [] es la matriz
de pagos de la situacin considerada.El valor esperado de los pagos
de una estrategia, o media ponderada por sus respectivas
probabilidades, se denomina valor esperado de la estrategia en
cuestin. De acuerdo con esta definicin, el valor esperado E(,) de
la estrategia ser:
Se denomina estrategia bayesiana a la de mayor valor esperado.
Existen decisores, llamados indiferentes o neutros ante el riesgo,
que siguen este criterio del valor esperado, o de Bayes, y
prefieren, por tanto, la estrategia de mayor valor esperado.
Suponiendo sea esa la , hay que tener presente que, entre sus n
resultados , , ... , ... , posibles, puede haber alguno o algunos
desfavorables. Al ele ir la estrategia , se afronta el riesgo de
que se produzca uno de dichos resultados. El decisor suele
experimentar una aversin al riesgo, y esto puede llevarle a no
seguir, en general, el criterio del valor esperado.Se ilustrar todo
esto con un ejemplo muy simple. Una empresa se presenta a una
subasta para el suministro de un determinado equipo, a la que se
sabe que concurrir slo un competidor. El coste del equipo es 80
MPTA. Se someten al anlisis las dos estrategias siguientes, que
difieren slo en el precio cotizado, Tabla 1.Se estima que existe
una probabilidad del 60 por 100 de que el nico competidor cotice a
ms de 100 MPTA v una ~robabilidadd el 40 Dor 100 de que lo hag a un
'precio comprendido' entre 90 y 100 MPTA.Tabla 1:
En general, para analizar una situacin de este tipo seran
necesarios los cuatro modelos matemticos siguientes:a) Para obtener
el coste.b) Para estimar las probabilidades de las diversas ofertas
de la competencia.c) Para calcular los pagos de cada estrategiad)
Para pronosticar la conducta del clienteLos modelos a, b y d son
triviales en este caso.En cuanto al c, se puede resumir en la
matriz de pagos siguiente, Tabla 2:Tabla 2:
Los valores esperados de las dos estrategias son:E(A) = 0,6 x 20
+ 0,4 x O = 12 MPTAE(B) = 0,6 x 10 + 0,4 x 10 = 10 MPTALa
estrategia A es la de mayor valor esperado. Si el decisor es neutro
ante el riesgo, ser sa la preferida. Sin embargo, es tambin lo ms
arriesgada, ya que tiene una probabilidad del 40 por 100 de obtener
un pago nulo. La estrategia B, en cambio, obtiene siempre un pago
de 10 MPTA. El decisor tiene que valorar estos resultados. Puede
juzgar aceptable el mayor riesgo y preferir la estrategia A. Por lo
contrario, puede parecerle que el mayor valor esperado no justifica
aceptar el riesgo y prefiera la B, que le asegura un pago cierto,
aunque menor. Ahora bien si se adopta la estrategia B se renuncia
al resultado de 20 MPTA que, con una probabilidad del 60 por 100,
podra haberse obtenido con la estrategia A. Se incurre, por tanto,
en un coste condicional de oportunidad, que es la diferencia entre
el pago obtenido con la estrategia adoptada y el que se habra
obtenido si se hubiera elegido la ms adecuada para el estado de
naturaleza en cuestin.Las reflexiones anteriores ponen en relieve
que la actitud del decisor entre el riesgo es un elemento muy
importante en el proceso de toma de decisin. A continuacin se va a
exponer brevemente un tratamiento cuantitativo posible de este
factor subjetivo.Funcin de utilidad o preferenciaEs posible
cuantificar la satisfaccin o utilidad que proporcionan los ingresos
dinerario5 a un decisor. En principio, pueden aceptarse los dos
postulados siguientes:a) La satisfaccin aumenta con el valor
monetario, esto es la funcin de utilidad es montona creciente,
tiene derivada primera positiva.b) La satisfaccin marginal
proporcionada por una unidad monetaria adicional decrece al
aumentar el importe. La derivada segunda de la funcin de utilidad
ha de ser, por tanto, negativa.En la figura 1 se representa una
funcin de utilidad tpica, que se supondr corresponde al decisor
del
Ilustracin 1: Funcin de utilidad o preferenciaejemplo anterior.
Sobre el eje de abscisas se representan los valores monetarios y
sobre el de ordenadas los de la utilidad o preferencia, que se
miden con una unidad arbitraria que representaremos por "u". En
este ejemplo se ha asignado una preferencia de 30 u a 30 MPTA. Que
es la cantidad monetaria mxima que va a manejarse. A consecuencia
de las dos propiedades enunciadas, la curva vuelve su concavidad
hacia el eje de abscisas. La curva puede extenderse hacia valores
negativos, con pendientes cada vez mayores. En consecuencia, la
utilidad de - 5 MPTA. Por ejemplo, es negativa y tiene un valor
absoluto sensiblemente superior a la de + 5 MPTA (- 11,5 u frente a
8,8 u).Ahora se aplicar esta funcin de utilidad al ejemplo
anterior. Sobre la figura 12 se obtienen los valores de las
utilidades correspondientes a los importes monetarios que
interesan, Tabla 3. Con estos valores se puede reproducir la matriz
de pagos, pero con estos expresados por sus utilidades, formando la
matriz de utilidades, Tabla 4.Tabla 3:
Las utilidades esperadas de las estrategias sern:E(,) = 0,6 x
23,5 + 0,4 x O = 14,1 uE() = 0,6 x 15,O + 0,4 x 15,O = 15,O u.Tabla
4:
Resulta que la estrategia B es la de mayor utilidad esperada.
Por lo tanto, si el decisor se rige por la funcin de utilidad
dibujada, aplicar el criterio de Bayes a las utilidades esperadas
en lugar de los valores monetarios esperados. Esto le llevar a
preferir la estrategia B. Su sentimiento de aversin al riesgo,
reflejado por la forma de su funcin de utilidad, le hace preferir
una estrategia de menor valor monetario esperado, pero tambin de
menor riesgo.Sobre la curva de la figura 1 puede apreciarse
cuantitativamente la aversin al riesgo. A la utilidad esperada 14,1
u de la estrategia A le corresponde un valor monetario de 9,2 MPTA,
que es el llamado equivalente cierto de dicha estrategia. La
diferencia entre su valor monetario esperado y su equivalente
cierto (12 - 9,2 = 2,8 MPTA) es la prima de riesgo, o cantidad a
que el decisor est dispuesto a renunciar para no afrontar el riesgo
de no ganar nada (probabilidad 0,4). Como la estrategia B tiene,
evidentemente, un equivalente cierto de 10 MPTA, mayor que el de A,
ser B la preferida.Cuanto mayor sea la aversin del decisor al
riesgo, tanto mayor ser la concavidad de su curva de utilidad. El
decisor neutro o indiferente al riesgo tendr una funcin de utilidad
lineal (recta de trazo y punto de la figura 1); este decisor se
regir por los valores monetarios esperados. Finalmente, si la curva
volviera su concavidad hacia arriba, denotara propensin al riesgo;
se da, por ejemplo, en los jugadores, que estn dispuestos a pagar
por contraer un riesgo.Queda ver, por ltimo, cmo puede determinarse
la curva de utilidad o preferencia de un decisor. Usualmente se
precisa conocer la evolucin de la preferencia en un cierto
intervalo de valores monetarios. Supngase por ejemplo, que los
lmites del intervalo sean O y 30 MPTA (figura 1). La escala de
preferencias es arbitraria, as que asignamos O u a O MPTA y 30 u a
30 MPTA. De este modo quedan determinados dos puntos de la
curva:U(0 MPTA) = O uU(30 MPTA) = 30 u.Para determinar un nuevo
punto, se puede plantear al decisor la siguiente propuesta: Puede
elegir entre percibir una cantidad segura o participar en una
operacin que tiene una probabilidad del 50 por 100 de
proporcionarle 30 MPTA y del 50 por 100 de resultar en O MPTA. Se
tantean varias cantidades hasta llegar a un importe cierto que le
atraiga lo mismo que la operacin citada. Supngase que ese importe
es 10 MPTA. Esto significa que, para el decisor en cuestin, 10 MPTA
es el equivalente cierto de la operacin ofrecida. La utilidad o
preferencia de 10 MPTA ha de ser igual a la utilidad esperada de la
operacin:0,5x U(0 MPTA) + 0,5 x U(30 MPTA) == 0,5 x 0 + 0,5 x 30 =
15 u.Por lo tanto:U(10 MPTA) = 15 u,tal como se indica en la figura
12, (punto M). La prima de riesgo es en este caso 15 - 10 = 5
MPTA.El proceso se puede repetir con operaciones parecidas hasta
obtener un nmero de puntos suficientes para trazar a estima, una
curva continua que se ajuste a ellos lo mejor posible. Por ejemplo,
para O y 10 MPTA resulta un equivalente cierto de 4,25 MPTA,
luego:U(4,25 MPTA) = 0,5 x U(0 MPTA) + 0,5 xx U(10 MPTA) = ... =
0,5 x O + 0,5 x 15 = 7,5 U,con lo que se determina el punto
N.Anlogamente para 10 y 30 MPTA el equivalente cierto es 18,50
MPTA, luego:U(18,5 MPTA) = 0,5 x U(10 MPTA) ++ 0,5 x U(MPTA) = =
0,5 X 15 + 0,5 X 30 = 22,5 u.que determina el punto P.Una vez
trazada la curva, conviene plantear cuestiones de comprobacin y
retocarla, si fuera preciso, hasta lograr que represente
razonablemente la actitud del decisor ante el riego.Estimacin de
probabilidadesEn el anlisis de valor esperado y, en general, en el
estudio de situaciones de riesgo, es necesario conocer las
probabilidades de los acontecimientos que puedan producirse y
afecten a los resultados de las decisiones. Se plantea, en
consecuencia, el problema de su estimacin o determinacin. Se
recuerdan en primer lugar, las tres interpretaciones posibles de la
probabilidad:A. Clsica (a priori o deductiva): Si un fenmeno puede
ocurrir de N formas y N, de ellas poseen un atributo A, la
probabilidad P(A) se define como /N. Esta interpretacin es la
adecuada cuando es posible predecir P(A) matemticamente con los
mtodos del Clculo de Probabilidades.B. Emprica (inductiva o de
frecuencia): Si un experimento se realiza N veces y conduce N,
veces a un tipo de resultado A, se define:
Se utiliza cuando existe informacin experimental suficiente, con
la ayuda de la Estadstica.C. Subjetiva (o proyectiva): Existen
situaciones en que no puede aplicarse ninguna de las dos
interpretaciones anteriores, generalmente por falta de informacin
suficiente, o de los elementos necesarios para establecer un modelo
matemtico idneo. En tales casos P(A) es una medida del "grado de
creencia" en una cierta proposicin A. Esta es la probabilidad que,
como se ver hay que manejar corrientemente en anlisis de
decisiones.Toda persona suele tener una idea bastante clara del
significado que atribuye a "seguro", "casi seguro", "muy probable",
"probable", etc ..., aunque le resulte sumamente difcil
transmitirla con rigor y precisin a los dems. En el mundo de la
empresa, es indispensable la transmisin y comprensin de las ideas
acerca de la probabilidad estimada de acontecimientos futuros, ya
que el manejo racional y coherente de estas apreciaciones es
necesario en todo proceso de toma de decisiones.Es posible
convertir las impresiones personales, basadas en la formacin y la
experiencia, en probabilidades subjetivas, no deducible5
matemticamente. Es ms, ante una misma situacin de riesgo, las
personas con formacin, experiencia y madurez similares suelen
asignar probabilidades subjetivas muy parecidas. Por otra parte, la
capacidad individual de asignacin de al ejercitarse sistemticamente
en su utilizacin.Resulta muy alentador que, en los casos
susceptibles de un anlisis matemtico o estadstico, suele ser
notable la concordancia entre los resultados de tales anlisis y los
de la asignacin de probabilidades subjetivas.En la prctica,
mediante el empleo combinado de la Estadstica, el Clculo de
Probabilidades y las probabilidades subjetivas, se logra una
determinacin satisfactoria para el Anlisis de Decisiones. A lo
largo de este captulo se ir ilustrando como se procede en la
evaluacin de proyectos en situaciones de riesgo.
Anlisis de valor esperadoUna vez que se han desarrollado sus
elementos fundamentales, pueden verse como se aplica el Anlisis de
Valor Esperado a la evaluacin de proyectos.Proceso de clculoLos
flujos de fondos anuales originados por un proyecto de inversin
dependern, en general, de los estados de naturaleza que se
produzcan. Si se estructuran adecuadamente los estados de
naturaleza posibles y se les asignan probabilidades, pueden
determinarse los flujos de fondos esperados, que se toman como base
para el anlisis econmico, aplicando el criterio o criterios que se
deseen. El criterio ms utilizado suele ser el VAN, que en este caso
se denomina VAN esperado, que se puede interpretar como el valor
medio del VAN que resultara si se realizasen muchos proyectos
idnticos. Es evidente que, si se seleccionan sistemticamente
proyectos con VAN esperado positivo y se dispone de capital
suficiente, se producir un enriquecimiento progresivo de la empresa
a largo plazo.A pesar de que un proyecto tenga un VAN esperado
fuertemente positivo, puede que sea arriesgado, esto es que exista
una probabilidad apreciable de que resulte en un quebranto
importante. La repeticin de tales fallos podra ser fatal para la
empresa. Por ello, adems del valor esperado, hay que apreciar
siempre el riesgo. La condicin de VAN esperado positivo es
necesaria, pero no suficiente para que un proyecto sea
satisfactorio. Esto no menoscaba en absoluto este criterio, que es
uno de los ms tiles de la evaluacin de proyectos.Para poner de
manifiesto los rasgos esenciales del anlisis, se va a estudiar un
primer ejemplo sumamente simplificado, en el que no se realiza
actualizacin. Se considera la inversin de 500 MPTA en un proyecto
de exploracin petrolera que se estima tiene una probabilidad 0,6 de
ser improductivo, una probabilidad 0,3 de descubrir unas reservas
tales que podran venderse inmediatamente en 2.000 MPTA y una
probabilidad 0,1 de un descubrimiento menor, que podra venderse en
1.000 MPTA. Como elemento para la decisin, se desea conocer el
valor esperado (simple, sin actualizar) de este proyecto.El clculo
es inmediato:E = 0,6 x (- 500) + 0,3 x (2.000 - 500) + 0,1 x (1.000
- 500) = 200 MPTA.Resulta un valor positivo, luego el proyecto
puede ser interesante. A la larga, la ejecucin repetida de
proyectos como ste ser favorable para la empresa. Hay que notar que
la probabilidad de fracaso es bastante elevada y la empresa debe
juzgar si puede permitirse un riesgo del 60 por 100 de perder 500
MPTA.Se plantea finalmente otro ejemplo, tambin muy simple, que
requiere el empleo de actualizacin. El desarrollo de un nuevo
proceso de concentracin de menas requiere una inversin de 360 MPTA
y tiene una probabilidad 0,4 de producir un flujo de fondos neto
anual de 200 MPTA por cesin de tecnologa durante cinco aos. Su
valor residual es nulo y la RMA de la empresa el 10 por 100. Es
aceptable econmicamente el proyecto?En la figura 13-a se dibuja el
diagrama de flujos de fondos de este proyecto. El VAN esperado se
calcula muy fcilmente:E (VAN)= 0,4 x 200 x P/A105 - 360 = - 56,72
MPTAComo se llega a un VAN esperado negativo, el proyecto no es
aceptable.A partir de los valores esperados de inversin (360 MPTA)
y de flujos de fondos anual (0,4 x 200 = 80 MPTA) puede calcularse
la TRI correspondiente al diagrama de flujos de fondos espera-dos
de la figura 1. Se obtiene una TRI de 3,61 por 100, menor que la
RMA, resultado que confirma que el proyecto no es aceptable.
Figura 6: Flujos de fondos esperadosArboles de decisinMuchas
situaciones plantean un problema de decisiones secuenciales o
decisiones condicionales, que vendrn determinadas por la aparicin
de estados de naturaleza en el futuro. Tales situaciones no se
prestan a una visualizacin clara mediante matrices de pagos.
Afortunadamente, su representacin y anlisis se pueden realizar
cmodamente con la ayuda de los rboles de decisin.El rbol de decisin
est constituido por una sucesin progresiva de ramificaciones. Cada
una de stas puede deberse a una de las siguientes causas: Eleccin
de estrategia entre varias opciones. Se distingue mediante un
cuadrado y se denomina punto de decisin. Aparicin de un estado de
naturaleza entre varios posibles. Se representa mediante un crculo
y recibe el nombre de punto de riesgo.En el anlisis de decisiones
de inversin en condiciones de riesgo, el rbol de decisin es una
herramienta siempre til, pero singularmente adecuada cuando se
hayan de tomar decisiones escalonadas en el tiempo, conforme se
produzcan unos u otros acontecimientos, con su ayuda se consigue
representar grficamente: La estructura global del problema. La
sucesin de decisiones necesarias. Las situaciones de riesgo que con
stas se encuentran.Esta representacin grfica constituye, adems, un
excelente medio de comunicacin entre los diversos implicados en el
proceso de la toma de decisin, al facilitar la percepcin y
comprensin de la estructura lgica del problema y el consenso sobre
su alcance y significado.Como elemento cuantitativo de anlisis, con
este modelo se pueden emplear indistintamente valores monetarios
actualizados o sin actualizar, as como utilidades o preferencias,
segn se considere conveniente en cada circunstancia. Por otra
parte, gracias a un sencillo algoritmo de clculo de valores
esperados, permite identificar la estrategia ptima.Para facilitar
la comprensin de este mtodo de anlisis, se desarrollar sobre dos
ejemplos. En primer lugar se va a estudiar un problema de decisin
de un fabricante que suministra bajo contrato un componente
especial a un constructor de bienes de equipo. Tiene que decidir si
lanza un proyecto de reduccin de costes de dicho componente. Su
fabricacin se realiza para aten-der un contrato de ventas de 3 aos,
al que le queda un ao para expirar. El proyecto requerira un
desembolso de 100 MPTA y se estima que existe una probabilidad del
60 por 100 de que el contrato se renueve por 3 aos ms, sin
posibilidad de ulterior renovacin debido a la evolucin tecnolgica
del equipo a que est destinado el componente en cuestin. La
produccin contrata-da es de 5.000 unidades/ao, a un precio unitario
de 100.000 PTA. El coste unitario actual es 80.000 PTA y el
proyecto considerado ocasionara una reduccin de 15.000 PTA.El
proceso de anlisis consta, en general, de las siguientes etapas:1.
Identificar los puntos de decisin y las opciones disponibles en
cada uno de ellos.2. Identificar los puntos de riesgo y los estados
de naturaleza que pueden darse en cada uno de ellos.3. Estimar los
datos necesarios, especialmente las probabilidades de los diversos
estados de naturaleza y los flujos de fondos motivados por las
decisiones y estados de naturaleza.4. Valorar los cursos de accin
posibles y seleccionar el ptimo.En la figura 2 se desarrolla el
rbol de decisin representativo de la situacin planteada. En el
punto 1 hay que decidir entre dos estrategias:A)Reducir costes.B)No
reducir costes.A esto se reduce la situacin de decisin inicial.
Ahora bien, si se decide no reducir costes y al cabo de un ao se
renueva el contrato, nos encontraramos en el punto 2, en el que de
nuevo se podra decidir si reducen o no los costes. Si se adopta la
estrategia "reducir costes", se llega al punto de riesgo A, en el
que puede producirse o no la renovacin del contrato. Si se adopt la
estrategia B y no se renueva el contrato, se llega al punto 3, en
el que se obvio que se descarta el proyecto de reduccin de costes.
Una vez completado el rbol de decisin, se. Dispone de la estructura
de decisiones y acontecimientos del problema. El paso siguiente
consiste en complementarla con los datos cuantitativos, de carcter
econmico y probabilstico, necesarios para el anlisis. En la tabla
11 se resumen los clculos de flujos de fondos incrementales anuales
esperados. A continuacin hay que calcular los flujos de fondos
acumulados. Aunque, en general, este clculo se hace con
actualizacin, se realizar una primera determinacin sin ella, para
simplificar al mximo las operaciones. De esta manera, mediante
simples sumas algebraicas sobre cada rama del rbol de decisin, se
llega a los flujos de fondos acumulados que se indican en los
recuadros de la derecha de la figura 14 en los seis terminales del
rbol. El valor esperado de la estrategia A se determina
inmediatamente y resulta ser E, (A) =110 MPTA, que se anota en un
valo sobre el punto A. El clculo del valor esperado de la
estrategia B no es tan simple, ya que dicho valor depender de las
decisiones futuras que se tomen en los puntos 2 y 3. Para realizar
el clculo, se procede de derecha a izquierda, a partir de los
terminales a que pueda conducir cada decisin, mediante el algoritmo
que se llama "d marcha atrs" o "rollback". En el punto de decisin
2, la estrategia preferible es la de reducir costes, ya que su
flujo de fondos acumulado es mayor (125 MPTA) que el Tabla 5: rbol
de decisinAos
01234
Estrategia A: Reducir costesContrato renovado (P = 60%)Unidades
vendidas Red. coste unitario, KPTA Desembolso, KPTA F.F. neto, KPTA
(1)Contrato no renovado (P = 40%)Unidades vendidas Red. coste
unitario, KPTA Desembolso, KPTA F.F. neto, KPTA (2)F.F. neto
esperado, KPTA (3) (3) = 0,6x(1) + 0,4x(2)
100.000 - 100.0005.000 15+ 75.0005.000 15+ 75.0005.000 15+
75.0005.000 15+ 75.000
100.000 - 100.0005.000 15+ 75.0000 00 00 0
- 100.000+ 75.000+ 45.000+ 45.000+ 45.000
Estrategia B: No reducir costesContrato renovado (P =
60%)Unidades vendidas reducir coste unitario, KPTA Desembolso, KPTA
F.F.Contrato no renovado (P = 40%)Unidades vendidas reducir coste
unitario, KPTA Desembolso, KPTA F.F. neto, KPTA (2)F.F. neto
esperado, KPTA (3) (3) = 0,6x(1) + 0,4x(2)
0 05.00005.000 15+ 75.0005.000 15+ 75.0005.000 15+ 75.000
0 05.000 0 0 00 00 00 0
0- 60.000+ 45.000+ 45.000+ 45.000
de la de no reducirlos (0 MPTA). Entonces se descarta esta ltima
opcin y se traslada a un valo sobre el punto 2 el valor de la
estrategia ptima, cuya rama se regresa para identificarla sobre el
rbol. Como se ha advertido anterior-mente, en el punto 3 es
evidente que se adoptara la decisin de no reducir costes, con un
valor de 0 MPTA, que se recoge en el valo correspondiente. Ahora se
puede calcular, sin ms, el valor esperado de la estrategia B, que
es EC (B) = 75 MPTA. Como Ep(A) > EC(B), la estrategia
preferible es la de reducir costes. Conviene observar que, sin
embargo, si no se renovase el contrato, la estrategia A dara un
flujo de fondos acumulado de -25 MPTA, mientras que el de la B
habra sido 0 MPTA. En cambio, si se renovase, la A producira 200
MPTA y la B 125 MPTA. Una vez ms, se pone de manifiesto la
necesidad de ponderar el riesgo, adems del valor esperado. Hay que
destacar que, en el momento de tomar la decisin 1, no hay que
comprometer ni prejuzgar la 2. En rigor, ni tan siquiera se sabe si
se presentar la ocasin de plantersela. Ahora bien, si llegramos a
encontrarnos en el punto 2, con los mismos datos de ahora, se
elegira la estrategia de reducir costes, que sera la ptima a la
vista de la informacin existente en este momento. Por lo tanto, el
algoritmo utilizado seala la sucesin de estrategias ptimas desde
cualquier punto de decisin hasta el fin.Todo el anlisis realizado
hasta el momento se ha hecho sin actualizar los flujos de fondos
anuales. El proceso de actualizacin no es difcil, ya que basta con
aplicar los correspondientes coeficientes (1 + i)" a los flujos de
fondos anuales esperados, antes obtenidos.Tambin puede realizarse
anlisis de TRI sin mayores dificultades, basndose en los mismos
flujos de fondos anuales esperados. Como se trata de opciones
mutuamente excluyentes, hay que realizar anlisis incremental. La
estrategia que requiere menor inversin es la B, cuya TRI es el 54,7
por 100. Si se sigue suponiendo que, como es normal, la RMA es
menor que el 35 por 100, esta estrategia es aceptable. Ahora hay
que investigar si merece la pena pasar al nivel de inversin
superior, requerido por la estrategia A. Para ello es preciso
hallar la TRI del proyecto ficticio A-B, cuyos flujos de fondos
esperados se determinan a continuacin que la RMA, se confirma que
la estrategia A es la mejor.Con estas ltimas consideraciones queda
de manifiesto que las determinaciones de VAN y TRI sobre rboles de
decisin no presentan ninguna dificultad singular. Por este motivo,
en el segundo ejemplo que se va a exponer no se har uso de la
actualizacin, para concentrar la atencin exclusivamente en la
estructura del rbol de decisin y el proceso de clculo de los
valores esperados.Una empresa de exploracin petrolera est
considerando la conveniencia de realizar un sondeo sobre una
estructura favorable, de la que se dispone de buena informacin
geolgica.Son posibles las tres decisiones siguientes:A)Ejecutar el
sondeo inmediatamente, con la informacin geolgica
disponible.B)Realizar una prospeccin ssmica antes de tomar la
decisin de perforar.C)Abandonar el proyecto.Los flujos de fondos
previstos son los siguientes:Coste del sondeo500 MPTACoste de la
prospeccin ssmica 13 MPTAIngresos en caso de xito2.200 MPTAGracias
a la informacin geolgica disponible, se estima que la probabilidad
de xito es el 50 por 100. Si la prospeccin ssmica confirmase el
tamao de la estructura estimado por el estudio geolgico, la
probabilidad de xito se elevara hasta un 85 por 100. Por el
contrario, si la ssmica delimitase una estructura menor, dicha
probabilidad descendera hasta un 10 por 100. La experiencia previa
existente en la zona indica que la ssmica ha confirmado las
predicciones geolgicas en un 60 por 100 de los casos.En la figura
16 se ha dibujado el rbol de decisin correspondiente a este caso.
La estrategia A puede tener dos resultados igualmente probables,
segn que el sondeo tenga o no xito, reflejados en los dos primeros
terminales. La estrategia B tambin puede tener dos resultados, en
correspondencia con el tamao de estructura indicado por la
prospeccin ssmica. Cualquiera que sea ste, se plantea la decisin de
perforar o abandonar (puntos de decisin 2 y 3). Si se decide
perforar, se llega a los puntos de riesgo M o N, en los que pueden
darse dos estados de naturaleza (sondeo seco o productivo) con
probabilidades conocidas. Se determinan muy fcilmente los flujos de
fondos acumulados de cada terminal.El valor esperado de la
estrategia A es, evidente-mente, 0,5 x (-500) + 0,5 x 1.700 = 600
MPTA. A continuacin se determinan los valores esperados de la
estrategia "perforar", que lleva de los puntos de decisin 2 y 3 a
los de riesgo M y N. El valor esperado en M es 0,15 x (- 630) +
0,85 X 1.570 = 1.240 MPTA.
Figura 7: rbol de decisinAnlogamente se obtiene el valor - 410
MPTA. De las dos estrategias posibles en el punto de decisin 2, la
de perforar es la de mayor valor esperado. En el 3, en cambio, lo
es la de abandonar. Se trasladan, por tanto, los valores esperados
de M a 2 y de N a 3, con lo que se dispone de los datos necesarios
para calcular el valor esperado de la estrategia B, que resulta ser
692 MPTA.Con estos resultados a la vista, si se aplica el criterio
del valor esperado, la estrategia ptima es la B, consistente en
realizar una prospeccin ssmica antes de tomar la decisin de
perforar.El hecho de construir la matriz de pagos o el rbol decisin
obliga a realizar un anlisis profundo y cuidadoso del problema.En
situaciones de decisiones secuenciales, el rbol de decisin se
establece antes de tomar la decisin inicial. Si posteriormente
cambian las circunstancias, puede ponerse al da y revisar las
decisiones ulteriores.Pueden realizarse cmodamente anlisis de
sensibilidad para apreciar el efecto de los cambios, tanto de
factores econmicos como probabilsticos.Crtica del anlisis de valor
esperadoLos mtodos de anlisis de valor esperado constituyen un
elemento valiossimo de ayuda a la toma de decisiones en situaciones
de riesgo. Se ha visto que los problemas pueden representarse en
forma de matriz de pagos o de rbol de decisin. Conviene reparar en
que, si se desea, toda matriz de pagos se puede sustituir por un
rbol de decisin equivalente, con slo un punto de decisin y tantos
de riesgo como estrategias posibles, tal como se indica en la
figura 17.Se pueden destacar las siguientes cualidades: Tambin
existen limitaciones o inconvenientes: Los resultados se expresan
en forma de valores esperados, sin resaltar suficientemente los
diversos resultados posibles y sus probabilidades respectivas. Por
tanto, puede preferirse una estrategia de riesgo elevado y alto
valor esperado, frente a otra menos arriesgada y de menor valor
esperado. Los clculos pueden complicarse mucho al aumentar el nmero
de puntos de decisin y de riesgo, ya que el nmero total de
terminales se eleva extraordinariamente. Esto puede invitar a
reducir el nmero de ramas originadas en los puntos de riesgo, lo
que resultara en una representacin deficiente del problema.Anlisis
de RiesgoEs un hecho sabido que muchos de los datos que se manejan
en la evaluacin de proyectos singularmente los mineros son
estimaciones o predicciones afectadas de incertidumbre, en mayor o
menor grado. El Anlisis de Riesgo toma en consideracin este hecho
con el mayor rigor cuantitativo posible, mediante las
distribuciones de probabilidad estimadas para los datos, para
obtener las distribuciones de probabilidad de los indicadores
econmicos y financieros utilizados en la evaluacin.Variables
AleatoriasEn el anlisis econmico de proyectos aparecen con
frecuencia cantidades que pueden tomar diversos valores, sin que
sea posible precisar con certeza cules de ellos tomarn, sino slo
las respectivas probabilidades de ocurrencia. As ocurre, por
ejemplo, con las reservas de un yacimiento, el importe de una
inversin, los costes de explotacin, el nmero de mquinas en
servicio,etc... Una magnitud de este tipo puede medirse mediante
una variable aleatoria X, que representa un conjunto de valores
posibles, con las respectivas probabilidades.Una variable aleatoria
puede ser discreta o Continua. Toda variable aleatoria discreta se
puede describir mediante su funcin de probabilidad (), que asigna
una probabilidad (), a cada valor posible. Se tiene que verificar,
evidentemente.
Ya que existe la certeza de que X tomar alguno de los valores
posibles.
La funcin de probabilidad se representa grficamente mediante un
histograma (figura a). La funcin de distribucin toma la forma de
una lnea escalonada, tal como se aprecia en la figura b.
Figura. Variable aleatoria discreta.
Una variable aleatoria continua se determina mediante su funcin
de densidad de probabilidad (x), tal que (x) dx expresa la
probabilidad de que X tome un valor del intervalo (x, x + dx], o
sea x < X x+dx. Por lo tanto, se verifica para un intervalo (a,
b] cualquiera.
Y tambin, anlogamente a (1),
Que obliga a que el rea subtendida por (x) sea igual a la
unidad. La funcin de distribucin de una variable aleatoria continua
se determina inmediatamente si se hace uso de (2) y (3):
En la figura siguiente, se dibujan las funciones de densidad de
probabilidad y de distribucin de una variable aleatoria continua
tpica. La funcin de distribucin es continua y montona creciente. A
consecuencia de (5),
Este resultado tiene, entre otras, la consecuencia de que la
funcin de distribucin presente un punto de inflexin para aquellos
valores de X que hagan mxima o mnima la densidad de
probabilidad.
Figura. Variable aleatoria continua.
Toda variable aleatoria queda completamente determinada por su
funcin de probabilidad. De entre los muchos posibles, se van a
considerar slo los ms importantes, que se manejarn con frecuencia
en lo sucesivo. Son stos la media, o valor esperado, la varianza,
la moda y la mediana.El valor esperado de una variable aleatoria es
la media ponderada de sus valores posibles. Representa la tendencia
central de la variable. En el caso de una variable aleatoria
discreta, su expresin es inmediata:
Para una variable aleatoria continua, la expresin precedente se
sustituye por:
El valor esperado E(X) se suele representar tambin por .Se puede
extender el concepto de valor esperado a una funcin cualquiera g(X)
de una variable aleatoria X. Las frmulas (7) y (8) precedentes
quedan entonces sustituidas por otras ms generales:
El resultado E [g(X)] obtenido se denomina valor esperado o
esperanza matemtica de g(X).
Se puede operar sobre esta expresin como sigue, teniendo en
cuenta (9) y (10):
que suele ser muy til para el clculo de la varianza.La raz
cuadrada de la varianza es tambin una buena medida de la dispersin,
ms conveniente desde el punto de vista dimensional. Se denomina
desviacin tpica , y verifica, por definicin:
Adems del valor esperado, o media, pueden utilizarse otras
cantidades caractersticas de la zona central de una variable
aleatoria. Son stas la moda y la mediana. La moda es el valor ms
probable de la variable aleatoria. La mediana x, es aquel valor por
encima o por debajo del cual es igualmente probable que se
encuentre la variable aleatoria. A consecuencia de (2), se
cumple:
En general, la media, la mediana y la moda de una misma variable
aleatoria son diferentes, pero si la funcin de densidad de
probabilidad es simtrica y unimodal, las tres cantidades sern
iguales.Para terminar este repaso, se van a revisar brevemente los
tipos de variables aleatorias que se manejan ms frecuentemente en
Anlisis de Riesgo:a) Equiprobable.
Figura. Variable aleatoria Equiprobable.
b) Triangular.
Figura. Variable aleatoria triangular.
en donde los parmetros "" y "", que la determinan por completo,
son precisamente la media y la desviacin tpica de la variable en
cuestin.
La distribucin N (0,1), con = O y = 1, se denomina distribucin
normal reducida. La expresin (14) se reduce en este caso a:
La funcin de distribucin F(s) de N (0,1), de empleo muy
frecuente, se representa por (S) y est tabulada en muchos textos y
manuales.
Con la ayuda de las tablas de (S) se pueden determinar fcilmente
valores de probabilidad para una distribucin normal N ()
cualquiera. Basta hacer el cambio de variable.
en donde " " y "" son los valores de "S" que corresponden
respectivamente a "a " y " b " . Esta probabilidad viene
representada tambin por el rea rayada en la figura 22.
Y
Como
Al diferenciar se obtiene:
Cuando X est contenida en el intervalo (x, x+dxl, y lo est en el
(y, y+dy]. Por lo tanto, las probabilidades de ambos sucesos han de
ser iguales:
Y, al aplicar (17)
que es la funcin de densidad buscada. En la figura 24 se da un
ejemplo tpico, en el que se observa que, a consecuencia de (16), X
es siempre positiva y que la distribucin no es simtrica.
Para las determinaciones de probabilidades puede emplearse
tambin la funcin (S) de distribucin normal reducida. Para ello se
hace el cambio de variable.
Y, en consecuencia.
Por lo tanto,
Y es aplicable la distribucin N (0,1).e) Beta. Anlogamente a la
distribucin triangular, la variable aleatoria beta slo puede tomar
valores en el intervalo (a, b). La funcin de densidad de
probabilidad es:
en donde "q" y "r" son dos parmetros que determinan su forma y
B(q,r) es la funcin beta, que suele estar tabulada o puede
determinarse como sigue, a partir de la funcin gamma, que es ms
fcil encontrar tabulada:
Como
si "q" y "r" son nmeros naturales, se verifica:
La forma de la distribucin vara con los parmetros q y r. En la
figura 25 se dibuja un ejemplo para a=2, b=12, q=2 y r=6. La curva
es tanto ms asimtrica cuanto ms diferentes sean "q" y"r". Si son
iguales resulta simtrica, con = (a+ b)/2.
Mtodo de MontecarloLa incertidumbre que presentan muchos de los
factores que determinan el valor econmico de un proyecto se puede
cuantificar fielmente si se les representa mediante variables
aleatorias. El Anlisis de Riesgo tiene el objeto de expresar los
resultados de la evaluacin en forma de variables aleatorias,
conocidas las funciones de distribucin de las que figuran entre los
datos. En lugar de proceder de una forma puramente analtica, en
busca de la formulacin matemtica de los indicadores econmicos como
funciones de las variables aleatorias y otros datos, se recurre al
mtodo de Montecarlo, que permite determinar dichos resultados por
muestreo simulado. Este mtodo tiene, entre otras, las siguientes
cualidades: Proporciona la informacin econmica y de riesgo ms
completa posible. Puede manejar datos empricos. Conceptualmente es
muy simple e intuitivo.Para realizar el anlisis de riesgo
bsicamente se requieren los dos elementos siguientes:a. Un modelo
econmico.b. Las funciones de distribucin de todos los datos sujetos
a incertidumbre.En las simulaciones de Montecarlo, los factores
ciertos tiene el carcter de parmetros constantes, a los que se
asignan valores fijos, que slo se modificarn en eventuales anlisis
de sensibilidad. El proceso consta de cuatro operaciones bsicas: Se
genera al azar un valor de cada variable aleatoria. Se introduce en
el modelo econmico el conjunto de valores as producido. Se repiten
los pasos 1 y 2 hasta ejecutar el nmero de simulaciones deseado. Se
clasifican por intervalos los valores del indicador de rentabilidad
X obtenidos en las sucesivas simulaciones, y se calculan, tabulan y
representan grficamente las frecuencias relativas y las
probabilidades acumuladas. Se calculan tambin el valor medio y la
varianza.Supngase que se ha efectuado el anlisis de riesgo de un
cierto proyecto, utilizando la TRI como indicador econmico X. Se
han realizado 250 simulaciones, con los resultados que se indican
en la Tabla 15.En la figura 26 se representan grficamente el
histograma de frecuencias y el pe 11 de riesgo de la TRI del
proyecto analizado. Se comprende que, cuanto ms a la derecha se
encuentre el perfil, tanto ms rentable ser el proyecto. Por otra
parte, cuanto ms escarpado sea el perfil, tanto menor ser la
dispersin de los valores posibles de la rentabilidad y, en
consecuencia, menor es el riesgo.La velocidad de clculo de los
ordenadores actuales permite realizar varios miles de simulaciones
en tiempos muy breves, incluso al analizar modelos bastante
complejos. Corrientemente basta con unos cientos de simulaciones
para obtener resultados satisfactorios.
Muestreo AleatorioPara la aplicacin prctica del mtodo de
Montecarlo es indispensable poder generar automticamente valores de
una variable aleatoria cualquiera. Con el ordenador se pueden
generar nmeros aleatorios equiprobables en el intervalo (0, l), que
corresponden a la variable aleatoria Equiprobable R. Mediante una
simple transformacin lineal se pueden obtener valores de una
variable aleatoria Equiprobable cualquiera X, en un intervalo dado
(a, b):
Existe un procedimiento muy simple para generar valores de una
variable aleatoria cualquiera X, noEquiprobable, conocida su funcin
de distribucin (x). En la figura 27 se representa la funcin de
distribucin de dicha variable aleatoria. Considrese un intervalo
elemental dx sobre el eje de abscisas, al que le corresponder el
intervalo d(x) sobre el de ordenadas. Si se generan valores de la
variable aleatoria equiprobable R en el intervalo (0, l) del eje de
ordenadas, se verificar:
Por tanto, los valores de X obtenidos sobre el eje de abscisas,
en correspondencia con los de R generados sobre el de ordenadas,
siguen precisamente la funcin de densidad de probabilidad(x)
deseada.El modo de operar es, en consecuencia, muy sencillo: Para
obtener valores de una variable aleatoria X cualquiera, cuya funcin
de distribucin (x) se conoce, se generan valores de una variable
aleatoria equiprobable R en el intervalo (0, l). El resultado de
aplicar la funcin inversa de F, a cada valor r generado es un valor
x = de la variable aleatoria X.
Puede clasificarse en tres niveles la dependencia entre dos
variables aleatorias X e Y:a. Nula. Las variables X e Y son
mutuamente independientes.b. Total. Existe una relacin funcional
entre las variables.c. Parcial. Hay una correlacin estadstica ms o
menos marcada entre X e Y.
As ocurre, por ejemplo, con la ley de un mineral y la
recuperacin mineralrgica, tal como indica la figura 28.
Por desgracia, es frecuente que no se disponga de informacin
suficiente para formular las correlaciones de una forma precisa. De
ser as son dos posible lneas de accin.a. Pasar por alto la
Correlacin.b. Planteamiento optimista-pesimista.Determinacin de las
Funciones de distribucin.En el anlisis econmico de un proyecto
minero hay muchos datos que tienen el carcter de variables
aleatorias: Reservas Leyes Recuperacin mineralrgica Costes de
explotacin Precios de venta Produccin anual Ventas anuales Inversin
Vida de las instalaciones Valores residuales, etc.Para definir la
distribucin que sigue cada una de las variables aleatorias se
pueden dar las siguientes directrices generales:a) Las
distribuciones pueden basarse en el conocimiento de que ciertas
variables siguen un tipo determinado, en datos estadsticos
preexistentes o en estimaciones subjetivas.b) Las apreciaciones
acerca de la ley seguida por cada variable deben ser realizadas por
el experto o expertos idneos, asistidos por un analista.c) No hay
que limitarse, como norma, a elegir entre unos pocos tipos de
variables aleatorias. En cada caso se utilizar la que resulte ms
adecuada. Si existen correlaciones significativas, se reflejarn
convenientemente en el modelo.Explotacin de los ResultadosEl
anlisis de riesgo permite medir los siguientes atributos de un
proyecto de inversin: Rentabilidad esperada. Variabilidad de la
rentabilidad. Riesgo.Se dispone, pues, de una informacin mucho ms
rica para la toma de decisiones que la aportada por una evaluacin
determinstica tradicional.Se ilustrar esto sobre un ejemplo,
consistente en la comparacin de dos proyectos A y B, que requieren
la misma inversin y tienen vidas iguales. En la figura 31 se
dibujan sus perfiles de riesgo respectivos. a) El proyecto B tiene
una TRI esperada mayor que el A (el 14,6% frente al 12,5%).b) La
rentabilidad del proyecto B es sensiblemente ms imprecisa que la
del A. La TRI del proyectoB tiene una probabilidad del 31 por 100
de superar el 20 por 100, pero tambin tiene una probabilidad del 22
por 100 de no rebasar el 5 por 100. La rentabilidad del proyecto A,
por el contrario, tiene una probabilidad del 96 D por 100 de estar
comprendida entre el 7.5 por i00 y el17,5 por 100.c) El proyecto B
es bastante ms arriesgado que el A.
Mtodo R.S.C.Se puede pretender determinar la funcin de densidad
de probabilidad de la TRI de un proyecto sin recurrir al muestreo
aleatorio, sino de una forma analtica a partir de ciertas
caractersticas de las variables aleatorias de que dependa. Entre
los diversos mtodos existentes destaca el R.S.C.El punto de partida
de este mtodo es la representacin de cada variable aleatoria X del
proyecto mediante una distribucin asimtrica, que se define por tres
parmetros: la moda E y dos desviaciones caractersticas d, y
respectivamente a la izquierda y la derecha de E. Cuando = la
distribucin se convierte en normal, de media E y desviacin tpica =
.Cuando la distribucin es asimtrica positiva y tiene la siguiente
funcin de densidad de probabilidad:
Anlogamente, cuando la distribucin es asimtrica negativa tiene
la siguiente funcin de densidad de probabilidad:
Pasos para aplicar el mtodo R.S.C Definicin de las variables
aleatorias. Clculo de las desviaciones de TRI. Composicin de
efectos. Determinacin de la distribucin de TRI.
Conclusiones El valor esperado neto y el diagrama de rbol son de
gran importancia para la toma de decisiones en una inversin minera.
Los cuatro apoyos bsicos que sustentan cualquier proyecto minero:
geologa, tecnologa, recursos humanos y recursos econmicos. Los
recursos econmicos constituyen, en los ltimos aos, la mayor
dificultad para el desarrollo de nuevas operaciones extractivas.
Debe haber un esfuerzo concurrente y simultneo de profesionalizacin
y sntesis para que realmente la geologa, la tecnologa y la economa
sirvan de fundamento a una financiacin que, slo entonces, resultar
ms accesible.
ReferenciasInstituo Geolgico y Minero de Espaa. (1991). Manual
de evaluacin tcnico econmica de proyectos mineros de inversin.
Madrid: Graficas Topacio S.A.Nuez, R. N. (2005). Modelo de riesgo
para la evaluacin economica - financiero de proyectos mineros.
Madrid: Universidad Politcnica de Madrid.
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