LA EVOLUCION DE LA MATEMATICA EN LA HISTORIA: ALGUNAS CONSIDERACIONES DESDE LA ACTUALIDAD

La matemática es una actividad que el hombre desde sus orígenes ha empleado con el único propósito de hacer de su vida más cómoda. A lo largo de los siglos se ha aprovechado con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento que estaba dominado por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones (Pérez, 2008), es decir, se tenía una concepción netamente Externalista. Sin embargo hubo preocupación en la antigüedad por mirar las matemáticas desde una visión Internalista, estamos hablando de la Grecia antigua donde se tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios y uno de los aportes más importantes fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones; además según (Guzmán, 2008) se consideró como un medio de aproximación a una vida más profundamente humana y como camino de acercamiento a la divinidad, entre los pitagóricos, fue utilizado como un importante elemento disciplinador del pensamiento, sin embargo, puedo poner en cuestión ¿cuál es la finalidad de la interpretación Internalista de las matemáticas?. No obstante, existen diferencias conceptuales en comparación a la matemática de hoy en día, fue una discusión de más de 17 siglos, dicho planteamiento, provocó en ese entonces un abismo conceptual entre número y magnitud, y que llevó a establecer las dicotomías entre Aritmética – Geometría, Discreto – Continuo, Finito – Infinito Contar – Medir. (Recalde, 2010). Pese a esto hubo autores posteriores a Euclides los cuales trataron de aportar a dicho paradigma, a pesar que se piensa que en el Medioevo hubo una ruptura en el pensamiento científico. Finalmente a partir del Iluminismo y el Renacimiento. Ha constituido una magnífica guía del pensamiento filosófico, entre los pensadores del racionalismo y filósofos contemporáneos (Portela., 1997).

Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10 (Pérez, 2008), ello demuestra la necesidad que tuvo el hombre para aprovechar su pensamiento matemático en pro de hacer su vida mas cómoda, en el curso de Practica investigativa II de la Lic. En Matemáticas de Unicauca se hizo una discusión bien importante acerca del tema, ¿Qué pasaría si por ejemplo no existiera un cuerpo numérico tan sofisticado como el de ahora? Se pone es cuestión por ejemplo “si el numero dos no se llamara así, si su representación fuera otra o que tuviera otras propiedades (par, primo, etc.)” Se llega a la conclusión de que el hombre por su propia necesidad de evolucionar y estar por encima de otras especies en el mundo y a esto se suma

el hecho de existen diferencias marcadas entre los animales salvajes en cuanto al pensamiento racional y la forma de organización social del ser humano; hubiera buscado otras maneras para suplir esa insuficiencia la cual se hace necesaria para resolver problemas de su vida práctica. 

El termino Externalismo es reciente ya que esta posición se planteó en el Segundo Congreso Internacional de Historia de la Ciencia, en Londres, en 1931, cuando los enviados soviéticos, Bujarin y Hessen, iniciaron una perspectiva que rompía con el tipo de historia Internalista (Ruiz, 2008), esta es una postura, la cual asume que el interés de una ciencia debe dirigirse hacia la estructura u organización de la misma: ciencia y tecnología, responsabilidad social de la ciencia, política científica, gobierno y ciencia, etc. Es decir, se da un énfasis a los factores psicosociales, políticos, orgánico-administrativos, etc., en detrimento generalmente de elementos lógico-deductivos de la ciencia; es el caso de las matemáticas egipcias y babilonias, podría decir que su postura Externalista era evidente puesto que eran unas matemáticas pragmáticas, muy ligadas a los problemas de construcción, conteo y administración; además como se puede apreciar en (Pérez, 2008) la civilización china que es cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los egipcios y babilónicos. Puedo apreciar que la interpretación Externalista, dio pie a que la matemática se pudiera estructurar a partir de otras ciencias como Física, astronomía, economía, etc. Además influenciada también por factores políticos que propiciaron su desarrollo.

Por otro lado la visión Internalista contraria a la Externalista, asume que la génesis y la validación de los conocimientos no están influenciados por factores externos y su estudio es de competencia de la historia y la filosofía de las ideas: la sociología y la psicología tienen muy poco que ver en el desarrollo de la ciencia. Los elementos que se tienden a enfatizar son los teóricos en sí mismos: la racionalidad y la lógica (Pérez, 2008). Ésta interpretación, desde una visión moderna para el caso de las matemáticas, pude ser adjudicada a los pensadores de la antigua Grecia, los cuales según (Recalde, 2010) construyeron un universo de objetos matemáticos con una dinámica propia y sin las ataduras que las necesidades prácticas les imponían cotidianamente. Se trata de un cuerpo teórico cimentado en la necesidad de demostrar. Deduzco que es en este momento donde la matemática empieza a tener una autonomía propia, es decir, a crear sus propias teorías alejadas de lo práctico a crear otros conceptos más abstractos que se salían de los límites de la “realidad” y la aplicación en diferentes campos de otras ciencias y por tanto eran en su gran

mayoría creaciones de la mente humana, finalmente pudo ser el inicio del desarrollo de otras ramas de la matemática.

Es Euclides con su obra Los Elementos donde era notorio que se empezaba a gestar la Interpretación Internalista de las matemáticas debido a que dicha obra conforman uno de los monumentos teóricos más preciados de todos los tiempos. Es una fina construcción conceptual de visita obligatoria para quien quiera comprender los cimientos históricos de las matemáticas (Recalde, 2010), sin embargo este autor pone de manifiesto una de las cuestiones que más intriga a los especialistas, se refiere a la intencionalidad de los Elementos. De un lado, se discute la población para la cual fue escrito; concretamente si corresponde al ámbito escolar o al investigativo, a pesar de ello pienso que la intencionalidad del pensamiento matemático, visto desde la posteridad, puede ir mas allá de cualquier aplicación práctica, es tanto, por ejemplo, que existen asignaturas que el Departamento de Matemáticas de la hay una correspondencia entre segmentos y longitudes, puesto que ello exige una identificación numérica de las cantidades, que permita interpretar los segmentos en términos de sus medidas. Desde nuestra óptica no tenemos ningún problema en decir que BH mide a, BD mide b, donde a, b son números reales, pues contamos con un cuerpo numérico muy sofisticado y el cual podemos tomar como referencia; esto provoco que hubiera una “separación” entre aritmética y geometría, se puede observar en las proposiciones del libro I y II de los elementos sobre lo que algunos autores llaman “algebra geométrica” donde hay un lenguaje retorico y repetitivo, por ejemplo, para calcular (a+b)^2= a^2+2ab+b^2 en ningún momento se sale del referente geométrico o que no se pudieran dividir o multiplicar magnitudes ya que no existe una ley de composición interna para dichas operaciones pues es necesario una unidad de medida.

Por lo anterior es fácil deducir que a la geometría le correspondían las magnitudes y a la aritmética los números, a ello se suma que los griegos no concebían otro sistema numérico que los números naturales sin el cero y el uno; y por consiguiente era obvio que en algún momento debían aparecer otro tipo de magnitudes que eran el resultado de medir la diagonal del cuadrado, la diagonal del pentágono, etc. Lo que llamaron magnitudes inconmensurables y que actualmente podemos asignar a los números irracionales: por otra parte, los griegos le hicieron el quite al concepto de infinito, en palabras (Correa, 2010) tenían cierta dificultad para distinguir con claridad entre el continuo y el infinito, el cual, por supuesto, corresponde a lo numerable. Infinito potencial de Aristóteles. consideraban segmentos de recta tratando de evitar el infinito Puesto que el universo físico de Aristóteles está cerrado por las esfera de las estrellas fijas, no existe infinito en acto, sino solamente infinito potencial que se pone de manifiesto en la división indefinida de las magnitudes, tanto físicas como geométricas: el infinito siempre está envuelto en lo finito, afirma “los matemáticos no necesitan del infinito ni hacen uso de él, sino tan solo de

magnitudes tan grandes como se quiera, pero finitas”.El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa (Pérez, 2008), quien lee a Euclides y trata de complementar sus trabajos, establece otra manera de medida de magnitudes, se sale un poco del referente geométrico y busca una geometría cuantitativa basado también en procesos de tipo físico para calcular el área de algunas figuras no rectilíneas, pero uno de los trabajos mas relevantes es el tratamiento que hace a procesos infinitos que son los cimientos del calculo infinitesimal, hablo del llamado método exhaustivo el cual se apoya de la proposición X. del libro I de Euclides para calcular áreas, volúmenes y otras cantidades, el problema es que no era un método general para todas las figuras geométricas si no que se particulariza para algunas, de pronto se debió a que habían impedimentos de tipo conceptual como el concepto de función, el concepto de límite y el poder asignar a cada área un numero real.

El oscurantismo es un periodo comprendido por la Edad Media, se conoce así por la oscuridad de la mente humana El oscurantismo, como se ha documentado en los estudios sobre la Edad Media, se basa precisamente en la imposición de límites, que afectan la extensión y difusión del conocimiento. Uno de los principales objetivos de este control en el Medioevo era impedir el cuestionamiento de dogmas (Wikipedia, 2010). Se dice que en ésta etapa de la historia no hubo avance alguno del conocimiento científico puesto que todos los fenómenos naturales se le atribuía a la acción de Dios, aunque en el curso de Matemáticas y Experiencia del programa de Lic. Matemáticas se discutía que si hubo grandes avances sino que muchos trabajos que se hicieron durante ese periodo fueron ocultos y muchos destruidos por la Inquisición, sin embargo se crearon las universidades y se mantuvo el saber de otras épocas más antiguas que luego tendrían utilidad en el Renacimiento.Lo anterior lo traigo a colación, porque la matemática no fue ajena a este hecho, después de que el descubrimiento de las nuevas tierras americanas, en el siglo XV, por la expansión ultramarina europea, significó un gran avance para el conocimiento de la época. El mundo se amplió geográficamente, y el hombre comenzó paralelamente a abrir su mente a ideas nuevas. Galileo Galilei, por ejemplo, en pleno siglo XVII, fue censurado por sus hallazgos científicos por parte de la Iglesia (Wikipedia, 2010). Lo que dio pie para la aparición del Iluminismo el cual se alejó de las creencias religiosas para explicar el mundo y sus acontecimientos, para hacerlo a la luz de la razón. Posteriormente, durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio (Pérez, 2008), se resalta los trabajos de grandes matemáticos como John Napier (los logaritmos), Diofanto (Las aritméticas), Fermat (Teoría de números y algebra), Cardano (solución de Ecuaciones de 2° grado) y en geometría con René Descartes.

Este ultimo, a groso modo, dio cimientos mas sólidos al algebra y potenció el lenguaje simbólico el cual permitió unificar el algebra y la geometría. Para ello necesito crear un método para modelar problemas matemáticos que siguiera unos lineamientos filosóficos propios, anteponiéndose al viejo sistema metafísico y lógico heredado de Aristóteles, se incorporo una nueva magnitud llamada la unidad y según (Recalde, 2010) el propósito fue dotar a las magnitudes de las mismas propiedades de los números y así poder operar sin ninguna restricción conceptual de tipo geométrica, además implantar una nueva representación simbólica represento una nueva concepción de número. No obstante, Recalde, argumenta que se estaba muy lejos de la simbiosis entre Aritmética y Geometría.Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval (Portela., 1997). Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo

Cabe mencionar que en este documento se mencionan algunos de los personajes mas relevantes en la historia de la matemática por sus grandes aportes, sin embargo existieron también muchos matemáticos de la época, reconocidos o no, pero que también pusieron su granito de arena para que la matemática se fuera estructurando como un cuerpo teórico.Por lo tanto, podemos ver que el conocimiento matemático, bien sea a partir de lo externo o lo interno, está avanzando más rápido que nunca, gracias a que la comunidad cada vez es mas amplia y las ventajas que ofrece las tecnologías de la comunicación ha hecho que los trabajos e investigaciones en este campo sean de conocimiento por casi toda la comunidad mundial y las teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como la conjetura de Goldbach hipótesis de Riemann siguen sin solución, pero estos mismos dan pie para que al tiempo sigan apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.