La Fisica delle

Particelle Elementari

Simone Pacetti

2014

Agenda

Crisi della fisica classica

Sviluppo della meccanica quantistica

Teorie quantistiche di campo

Modello Standard ed il bosone di Higgs

Relatività Speciale

La crisi della Fisica Classica

La materia descritta in termini di particelle discrete: molecole e atomi

I Campi di Forze descritti da entità continue, funzioni dello spazio-tempo: forza elettromagnetica, gravitazionale, …

Numero finito di gradi di libertàInfiniti gradi di libertàLe equazioni differenziali di

Newton e Maxwell descrivono l’interazione tra campi e materia

Alla fine del XIX secolo: due rappresentazione della realtà

visibileUV infrarosso

Lunghezza d’onda λ (µm)

Dens

ità sp

ettra

le ρ

(λ) (

unità

arbi

trarie

)

Le prime avvisaglie: “la catastrofe ultravioletta”

Radiazione del corpo neroIl modello classico Rayleight-Jeans

prevede la densità spettrale ρ(λ)∝T/λ3

che diverge quando λ ➝ 0

Il corpo nero è un sistema ideale che assorbe tutta la radiazione incidente. All’equilibrio termico rappresenta

il più efficiente emettitore di radiazione.

Catastrofe ultravioletta

Un corpo nero può essere approssimato da una fessura su una cavità risonante. La radiazione uscente ha uno spettro molto simile a quello di corpo nero.

Max Planck introduce la quantizzazione dell’energia, in termini di ħ = h/2π = 10-34 J s e ottiene

ρ(λ)∝exp(—ħ/λkBT)/λ3

che tende a zero quando λ ➝ 0

En = n (2π)ħc/λ

1900

γγ

…L’effetto fotoelettrico

Fenomeni non-classici ✴Numero degli elettroni emessi∝intensità delle luce incidente ✴ Energia degli elettroni∝frequenza (energia) delle luce incidente ✴ Si ha un effetto a soglia, sotto una frequenza tipica non c’è emissione

L’effetto fotoelettrico esterno consiste nell’emissione di elettroni da una superficie irraggiata con onde elettromagnetiche (fotoni).

Albert Einstein, usando l’ipotesi di quantizzazione di Planck, spiega l’effetto fotoelettrico ipotizzando

un’interazione corpuscolare di tipo fotone-elettrone tra

radiazione e materia.

Frequenza (1014 Hz)

Ener

gia c

inet

ica e

- (eV

)

soglia

1905

…La struttura dell’atomoÈ noto che gli atomi contengono elettroni e, essendo

elettricamente neutri, anche un carica positiva. I modelli “nucleari” sono teoricamente improbabili. Gli elettroni in moto non uniforme intorno al nucleo perderebbero rapidamente energia

per irraggiamento, precipitando sul nucleo stesso.

Sir Joseph John Thomson propone il modello a “panettone”, gli elettroni sono disposti regolarmente, ai vertici di poligoni regolari per

annullare l’irraggiamento, all’interno del volume atomico in cui la carica positiva è uniformemente distribuita.

Arnold Sommerfeld generalizza il modello di Bohr con la quantizzazione dell’”azione” secondo multipli della costante di Plack.

Nasce il modello di Ernest Rutherford. Prevede un nucleo con carica positiva ed elettroni, legati dall’interazione Coulombiana, rotanti su orbite circolari. Spiega bene i risultati degli esperimenti di diffusione, anche

se non risolve il problema della stabilità.

1911

Niels Bohr perfeziona il modello planetario introducendo il concetto di orbite stazionarie e quantizzate. Si ha emissione solo quando gli elettroni passano

da un’orbita con energia maggiore ad una con energia minore, si spiegano così le “righe” spettrali di molti (non tutti gli) elementi.

1913

1915

1904

Dualismo onda-particellaArthur Compton osserva “urti” tra

fotoni (raggi X) ed elettroni. I fotoni vengono diffusi come se fossero delle particelle che hanno, non solo energia, ma anche

quantità di moto ben definita.

1923

1924 λ = hp

Considerando stazionarie solo le orbite la cui lunghezza è multiplo della λ di de Broglie dell’elettrone, si ottengono esattamente i raggi dell’atomo di Bohr!

Louis de Broglie estende il dualismo onda-particella dei fotoni anche a particelle di materia. Ad un elettrone può essere associata una lunghezza d’onda

che dipende dalla sua quantità di moto: p = m v .

1925 Per spiegare il riempimento progressivo dei livelli energetici atomici e quindi la “tavola periodica”, Wolfgang Pauli propone una regola, detta principio di esclusione, secondo cui due elettroni non possono occupare lo stesso stato, ovvero non possono

avere le stesse proprietà: energia, momento angolare, ecc..

łₒE=— ∂B∂t

ł B = 0 .

łₒB=—µ0 J + ự0 ∂B∂t( )

ł E = ρ ε0

.

La Relatività speciale

James Clerk Maxwell1865

c = 1/ ε0 µ0

✴Non sono “invarianti” per trasformazioni di Galileo

✴ Il campo si propaga nel vuoto ad una velocità finita

Esiste un “mezzo” di propagazione per le onde: Etere luminifero

La Terra è in moto rispetto all’etere che pervade tutto l’Universo

Albert Michelson e Edward Morley, seguendo un suggerimento di Maxwell, misurano

la velocità della Terra nell’etere trovando vterra-etere = 0

1887

Trasformazioni di Lorentz

Albert Einstein c = costante in ogni sistema

di riferimento inerziale

1905

Orologio a impulsi luminosi, un click ogni Δ∆t = 2 L / c

L

v

v Δ∆t’

c Δ∆t’/2 c Δ∆t’/2 c Δ∆t/2 Δ∆t’ = Δ∆t

√1-v2/c2

Orologi in moto relativo Δ∆t: intervallo orologio solidale Δ∆t’: intervallo orologio in moto

Δ∆t’>Δ∆t

Nessuna contraddizione Gli intervalli di tempo e spazio si trasformano entrambi in modo tale

che la velocità della luce rimanga invariata in ogni sistema di riferimento inerziale

L’energia nella teoria della RelativitàUn elettronvolt, simbolo eV, è l’energia

cinetica acquisita da una carica di un elettrone accelerata da una differenza di potenziale di un Volt

1 eV = 1.6021 × 10-19 Joule (MeV=106 eV, GeV=109 eV, TeV=1012 eV,...)

Quadrimpulsop = (E/c ,p x,p y, p z)p = (p x,p y, p z)

Quantità di moto p2 = E2/c 2—p x2—p y2—p z2 = (mc ) 2

Massa invariante

pc

mc2 EE2 = (cp x) 2+ ( cp y) 2+ ( cp z) 2 + (mc 2) 2 E = mc 2

Unità naturali: c = ħ = 1 Energia E da GeV ⟶ GeV Momento p da GeV/c ⟶ GeV Massa m da GeV/c2 ⟶ GeV

Melettrone = 0.5 MeV Mprotone = 938 MeV MHiggs = 125 GeV

L’equazione di SchrödingerErwin Schrödinger formalizza la meccanica ondulatoria.

Le proprietà di un sistema fisico, di massa m, in un potenziale U, sono descritte da una funzione ψ(r,t) , detta funzione d’onda, la cui

evoluzione temporale è governata dall’equazione

1926

Il modulo quadro della funzione d’onda P(r,t) = |ψ(r,t) |2

rappresenta la probabilità che la particella si trovi nella posizione r all’istante t.

Problema: l’equazione di Schrödinger non è relativistica. C’è disparità di trattamento tra spazio (derivata seconda) e tempo (derivata prima). Ad esempio, i fotoni che hanno massa nulla, non possono essere descritti. Alla teoria manca ancora un tassello fondamentale: lo spin.

L’interferenza, che si osserva ad esempio nell’esperimento della doppia fenditura, è conseguenza

della natura complessa (a due componenti) della funzione d’onda.

iħ ∂ψ∂t

= ħ2

2m+ U— ψ∂2

∂x2

Principio di indeterminazioneWerner Heisenberg, dopo aver proposto una realizzazione matriciale della meccanica quantistica

equivalente a quella ondulatoria di Schrödinger, arriva a formulare il principio di indeterminazione.

1927L’osservazione delle proprietà

di un sistema fisico implica una sua interazione con lo strumento di misura, tale interazione, necessariamente,

perturba il sistema, modificandone le proprietà.

Δ∆x Δ∆p ∼ ħfotone incidente

elettrone—

—

λ

λ+Δ∆λ

Δ∆λΔ∆p = h2π Δ∆x

∼ h

L’incertezza sulla posizione è tanto minore quanto maggiore è l’energia (proporzionale a 1/λ) dei fotoni con cui si illumina l’elettrone.

I fotoni urtano l’elettrone determinando una variazione della sua quantità di moto proporzionale alla loro energia.

Quantizzazione del campo elettromagnetico✓ La “teoria quantistica” sviluppata nei primi 25 anni del ‘900 non descrive la radiazione. ✓ Nella descrizione degli atomi, il campo elettromagnetico è trattato in modo semiclassico e

indipendente dall’esistenza dei fotoni che vengono introdotti “a mano” nel modello. ✓ Le linee spettrali di vari elementi sono spiegate in termini di transizioni tra livelli quantizzati,

il cui meccanismo dinamico non è noto.

A(x) = d3k(2π)3 2ωk

1 [akeikx + ak†e-ikx]Potenziale elettromagnetico

1927-28Il campo elettromagnetico in una cavità possiede solo

particolari “modi” o frequenze di oscillazione (decomposizione di Fourier). Le ampiezze di ciascun modo sono trattate come funzioni d’onda quantistiche, le cui energie possono

essere quantizzate. I fotoni sono i quanti del campo.

Quadri-posizione x=(ct,rx,ry,rz) x2=(ct)2-rx2-ry2-rz2 ak†

Operatore di creazione e annichilazione

ak

Quadri-momento k=(ωk,kx,ky,kz) k2=ωk2—k2=m2

Paul Dirac risolve il problema dell’introduzione della Relatività speciale nella meccanica quantistica. La sua equazione è

scritta in termini di quadri-vettori, il tempo e lo spazio sono considerati sullo stesso piano.

Equazioni d’onda relativisticheLa meccanica quantistica, sia nella realizzazione

ondulatoria di Schrödinger che in quella matriciale di Heisenberg, mostra molto presto i suoi limiti nella descrizione di particelle materiali. Tali limiti sono connessi alla natura

non relativistica della sua formulazione originale.1928

γµ è una matrice 4x4 ⇒ 4 soluzioni!

L’elettrone descritto ha un momento angolare intrinseco ⇒ spin

Ci sono elettroni con energia negativa. Dirac parla di “mare” di elettroni che occupano tutti (principio di

esclusione) i livelli con energia negativa. Estraendo un elettrone dal “mare” si crea un “buco” con carica positiva: il positrone!

iħ ∂∂xµ = 0mc— ψγµ

Teoria quantistica dei campi (materiali)✓Quella di Dirac non è una risposta definitiva, funziona molto bene solo per gli elettroni (spin = ħ/2). ✓Il dualismo onda-particella suggerisce, anche per i campi materiali, un approccio simile a quello

attuato con successo al campo elettromagnetico.

Sviluppo di Fourier

Campo classicoAmpiezze “promosse”

ad operatori di creazione e annichilazione

Ampiezze come soluzioni di equazioni caratteristiche

I diversi comportamenti delle particelle a spin intero, bosoni, e a spin semi-intero, fermioni, si ottengono imponendo speciali regole di “moltiplicazione” tra operatori di creazione e di

annichilazione. Assumendo, per i fermioni: ak1† ak2† =— ak2† ak1†, si ha il principio di esclusione !|k1,k2⟩=—|k2,k1⟩ ⇒ |k1,k1⟩=|0⟩

Uno stato del campo elettromagnetico con n fotoni di numero d’onda k=2π/λ, si ottiene applicando n volte l’operatore di creazione del modo k sullo stato di vuoto, ovvero quello che non contiene nessun fotone !

ak† ak† …ak† |0⟩ = (ak†)n|0⟩ = |n(k)⟩

Campi interagentiLa teoria di campo quantistica ottenuta fin qui non ha ancora assolto al compito più importante:

descrivere l’interazione tra particelle.

Assenza di interazione Un sistema di due particelle è descritto da una funzione d’onda

somma (algebrica) delle funzioni d’onde di ciascuna singola particella (libera).

Equazioni d’onda lineari

iħγµ ∂∂xµ —mc ψ1,2= 0

iħγµ ∂∂xµ —mc (ψ1+ψ2)= 0

Interazione ⇐ termini non lineari La teoria di campo quantistica e interagente conterrà: ✦ le parti “libere”, sia per i campi materiali (es. elettroni), che

per quelli ondulatori (es. campo elettromagnetico) ✦ termini misti, non lineari nei campi, che descrivo

l’accoppiamento tra materia e “onde”, ovvero le interazioni

Richard Feynman inventa un metodo “grafico” per calcolare la probabilità di interazione nell’ambito

delle teorie di campo quantistiche.

1948

Grafici di Feynman

Particella entranteParticella uscenteParticella mediatriceAntiparticella entranteAntiparticella uscente

e Intensità d’interazione

Le interazioni fondamentali possono essere descritte usando i diagrammi di Feynman che schematizzano la procedura matematica che permette di calcolare la probabilità di interazione

tempo

Scattering elettrone-muone e— µ— → e— µ—

e— e—

µ— µ—

γ

e

e

✴Contribuiscono tutti i grafici con le stesse linee esterne

✴Ciascun contributo è “pesato” da un’ampiezza inversamente proporzionale al numero di vertici (teoria perturbativa)

✴ La struttura dei vertici assicura la conservazione dei numeri quantici, quella del quadrimomento è invece imposta

✴ Le tre interazioni del Modello Standard sono descritte da tre vertici fondamentali

Il Modello StandardGenerazioniI IIIII

lept

oni

quar

k

porta

tori

dell’

inte

razio

ne

Nel Modello Standard le particelle sono

classificate in base al loro spin

Meteria (fermioni) Campi con spin = 1/2 Tre generazioni di coppie di quark Tre generazioni di coppie di leptoni

Interazioni (bosoni) Campi con spin = 1 Interazioni elettromagnetica: fotone, massa nulla ⇒ raggio d’azione infinito

Interazione debole: bosoni W± e Z0, masse grandi ⇒ corto raggio d’azione

Interazione forte: gluone g

I quarkGenerazioniI IIIII

quar

k

porta

tori

dell’

inte

razio

ne

Quarks Sei particelle in tre generazioni: “up” e “down” Spin = 1/2, sono fermioni Hanno cariche 2/3 gli “up” e -1/3 i “down” Ciascun quark ha un’antiparticella con la stessa massa e cariche opposte

I quark hanno carica elettrica, di colore e debole sono quindi soggetti a tutte le

interazioni del Modello Standard

L'intensità e le proprietà di simmetria dell’interazione forte sono responsabili del

!!confinamento

dei quarknon esistono quark liberi⇒

I leptoni

GenerazioniI IIIII

lept

oni

porta

tori

dell’

inte

razio

ne

Leptoni Sei particelle in tre generazioni: “neutrino” e “leptone carico” Spin = 1/2, sono fermioni Carica del neutrino = 0, carica del leptone = -1 Ogni leptone ha un’antiparticella con la stessa massa e cariche opposte

I leptoni carichi non hanno carica di colore, interagiscono attraverso le

interazioni elettromagnetica e debole

I neutrini non hanno né carica di colore né carica elettrica, interagiscono solo

attraverso l’interazione debole

I grafici di Feynman del Modello Standardquark

quark

gluonegforte

Inte

razio

ne

forte

gforte(1 GeV) ～ 3.0

gforte(100 GeV) ～ 1.2

Inte

razio

ne

debo

le

l,(v,l),qdown

v,(v,l),qup

gdebole

W± (Z0) gdebole(1 GeV) ～ 0.01

gdebole(100 GeV) ～ 0.4

Inte

razio

ne

elettr

omag

netic

a l,q

l,q

ge.m.

fotone, Ɣ ge.m.(1 GeV) ～ 0.2

ge.m.(100 GeV) ～ 0.3

Decadimento beta del pione: π+ → µ+ + νµ

Come si usano...

Sia il muone che l’antineutrino muonico sono particelle elementari

Il pione è un mesone, uno stato legato di un quark ad un antiquark: π+ = |ud〉 (infatti sommando le cariche...)

Il neutrino interagisce solo debolmente, i “mediatori” sono i bosoni W± o Z0

{u

dπ+

µ+

νµ

Un antiquark d, carica +1/3, si annichila con un quark u, carica +2/3, producendo un bosone con carica +1, ovvero W+ che si

accoppia con lo stato finale µ+ + νµ

W+

(pµ + pν)2 = Mπ2

Il mistero delle masseLe particelle del Modello Standard “nascono” con massa nulla

up quark 0.003 GeV

down quark 0.005 GeV

charm quark 1.25 GeV

strange quark 0.095 GeV bottom quark

0.095 GeV

top quark 175 GeV

elettrone 0.0005 GeV

neutrino e ～0 GeV

muone (µ) 0.105 GeV

neutrino µ ～0 GeV

tauone (τ) 1.78 GeV

neutrino τ ～0 GeV

protone 0.938 GeV

Sperimentalmente si osservano masse non nulle con differenze

crescenti tra le generazione

È necessario un meccanismo che dia origine alle masse senza “rompere”

le simmetrie fondamentali

Il campo di Higgs

✓ Il campo di Higgs è scalare, ha spin = 0, è l’unico scalare del Modello Standard ✓ È un campo diffuso ed ha un valore costante in tutto lo spazio ✓ Le particelle che si muovono “attraverso” tale campo interagiscono con esso

come se fosse un fluido resistente ✓ L’inerzia dovuta a tale interazione si traduce in massa

Higgs

2012

Al di là del Modello StandardOscillazione e quindi masse dei neutrini Il Modello standard non prevede masse per i neutrini, l'osservazione di oscillazioni è la prima evidenza di “fisica oltre il Modello Standard” Materia ed energia oscura Il Modello Standard spiega solo il 4% della massa-energia dell'Universo. Il rimanente 96% si pensa costituito da materia oscura (24%) ed energia oscura (72%) Asimmetria materia - antimateria Il Modello Standard prevede la creazione di uguali quantità di materia e antimateria, ma l'Universo sembra costituito da un solo tipo... ...

Supersimmetria È un'estensione del Modello Standard che introduce nuove particelle partner di quelle note, che hanno differenti valori dello spin Teoria delle Stringhe La teoria del “Tutto” per unificare le teorie di campo e la Relatività Generale? ...

”...qui sono stati rivelati, riguardo a questa nuova ed eccellente scienza di cui il mio lavoro è solo l’inizio, strade e strumenti dei quali altre menti, più acute della mia, esploreranno gli angoli più remoti.” !

Bibliografia