La geometria Frattale

Michela Sandri

S.Vito al Tagliamento - Giugno 2006Ultra fractal (programma per le animazioni)

Pendolo semplice

In regime

di piccole oscillazioni

La geometria della complessità

Pendolo caotico

In regime di oscillazione arbitraria

Le nuvole sono un esempio di sistema dinamico complesso.Lo studio di questi oggetti geometrici non convenzionali ha portato allo sviluppo della teoria frattale.

Teoria inflazionaria: l’universo sarebbe un immenso frattale che cresce continuamente

I neuroni sono un esempio di struttura frattale. Il corpo cellulare si ramifica in dendriti che si ramificano a loro volta e questa struttura può essere correlata al caos nel sistema nervoso

Struttura a dendriti nell’insieme di Julia

czZ 2

Gaston Maurice Julia

ic 025.1

Insiemi di Julia

Insieme di Mandelbrot

czZ 2

Benoit Mandelbrot

Liceo Scientifico ‘Le Filandiere’ a.s. 2005/2006

Introduzione alla geometria frattale

Chiara Bernardis 5d Martina Callea 5d Giada Vegnaduzzo 5b Michela Sandri

Sommario

0. INTRODUZIONE

1. FRATTALI L-SYSTEM

2. FRATTALI IFS

3. FRATTALI COMPLESSI

a. I frattali di Newton

b. Gli insiemi di Mandelbrot e Julia

4. Appendici:

a. i numeri complessi

b. le trasformazioni affini

5. Strutture frattali di Argento

5. Bibliografia

6. Sitografia

LA GEOMETRIA DELLA NATURA

Sommario

0. INTRODUZIONE

1. FRATTALI L-SYSTEM

2. FRATTALI IFS

3. FRATTALI COMPLESSI

a. I frattali di Newton

b. Gli insiemi di Mandelbrot e Julia

4. Appendici:

a. i numeri complessi

b. le trasformazioni affini

5. Strutture frattali di Argento

5. Bibliografia

6. Sitografia

LA GEOMETRIA DELLA NATURA

Sommario

0. INTRODUZIONE

1. FRATTALI L-SYSTEM

2. FRATTALI IFS

3. FRATTALI COMPLESSI

a. I frattali di Newton

b. Gli insiemi di Mandelbrot e Julia

4. Appendici:

a. i numeri complessi

b. le trasformazioni affini

5. Strutture frattali di Argento

5. Bibliografia

6. Sitografia

LA GEOMETRIA DELLA NATURA

Sommario

0. INTRODUZIONE

1. FRATTALI L-SYSTEM

2. FRATTALI IFS

3. FRATTALI COMPLESSI

a. I frattali di Newton

b. Gli insiemi di Mandelbrot e Julia

4. Appendici:

a. i numeri complessi

b. le trasformazioni affini

5. Strutture frattali di Argento

5. Bibliografia

6. Sitografia

LA GEOMETRIA DELLA NATURA

omotetie

traslazioni

rotazioni

REGOLE L-SYSTEMREGOLE L-SYSTEM

Per generare frattali con il metodi L-SYSTEM si parte da un:

AXIOMAXIOM COSTRUZIONE INIZIALE DI UN FRATTALE, PUNTO DI PARTENZA CHE VIENE RIPRODOTTO AL COMPUTERSi applicano poi sostituzioni composte dalle seguenti REGOLEREGOLE:

REGOLA F AVANZARE DI UN SEGMENTO DI LUNGHEZZA ASSEGNATA

REGOLA f AVANZARE DI UN SEGMENTO DI LUNGHEZZA ASSEGNATA MA SENZA LASCIARE TRACCIA

REGOLA + RUOTARE IN SENSO ANTIORARIO DI UN ANGOLO ASSEGNATO

REGOLA - RUOTARE IN SENSO ORARIO DI UN ANGOLO ASSEGNATO

REGOLA [ MEMORIZZARE LA POSIZIONE E L’ANGOLO CORRENTE

REGOLA ] RIPRISTINARE LA POSIZIONE E L’ANGOLO SALVATI PRECEDENTEMENTE

ESEMPI DI FRATTALI L-SYSTEMESEMPI DI FRATTALI L-SYSTEM

- TAPPETO DI SIERPINSKI CON LA TECNICA L-SYSTEM: - TAPPETO DI SIERPINSKI CON LA TECNICA L-SYSTEM:

Si può osservare lo SVILUPPO DEL FRATTALE per i primi cinque passi:

Già dal secondo passaggio si nota come il segmento di partenza venga sostituito da otto segmenti ognuno pari ad un terzo di quello di partenza.

Sia data da risolvere l’equazione

Nel piano complesso, l’equazione ha tre soluzioni, che corrispondono ai vertici del triangolo equilatero inscritto nel cerchio di centro l’origine e raggio unitario. Applicando il metodo di Newton e colorando rispettivamente di rosso, verde e blu i punti che appartengono ai tre bacini d’attrazione, otteniamo il risultato qui a lato.

013 z

Frattali di Newton - Hubbard

STRUTTURE FRATTALI DI ARGENTO

.........in prossimità quindi della graffetta centrale avverrà la reazione di ossido-riduzione tra Argento e Alluminio. filmArgento.MOVAl0 Al+++ +3 e- ossidazione3 Ag+ + 3 e- 3 Ag0 riduzione ______________Al0 + 3Ag+++ Al+++ + 3 Ag0