La Historia de Las Ecuaciones Diferenciales

8/18/2019 La Historia de Las Ecuaciones Diferenciales

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LA HISTORIA DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES.

En su origen, son ecuaciones íntimamente ligadas a la

resolución de cuestiones relacionadas con la física y con la

geometría: las leyes del movimiento planetario (en el que

intervienen distancias, velocidades y aceleraciones; o lo quees lo mismo, leyes de posición y sus derivadas primeras y

segundas en función del tiempo); problemas relacionados con

el equilibrio de un cable en suspensión (catenaria); latrayectoria de caída en el menor tiempo posible entre dos

puntos dados (braquistocrona); o las leyes de difusión del

calor.

La aparición de estas en el ao!"#$, las ecuacionesdiferenciales de la mano de sus progenitores Leibni% y

de &e'ton, y a continuación de sus sucesores matemticos, y

con cuya bsqueda de m*todos generales de resolución deecuaciones diferenciales ordinarias se detuvo alrededor de

!##$.

Es importante recalcar que estas dic+as ecuacionesdiferenciales ordinarias comien%an con el nacimiento del

clculo de saac &e'ton (!"-/!#0#) y 1ottfried 2il+elmLeibni% (!"-"/!#!"), quienes iniciaron el estudio del problemainverso de la diferenciación: dada una relación entre dos

cantidades y sus diferenciales (o 3u4iones), cómo encontrar

una relación entre las cantidades (o 3uentes).

&e'ton mostró que el problema inverso de las tangentes era

totalmente soluble. Leibni%, sin embargo, e4presando su

deseo de lograr soluciones dando la naturale%a de las curvas,

no estaba satisfec+o con el sistemtico uso de series ypensaba que, +ablando de forma general, no +abía su5ciente

conocimiento todavía acerca del m*todo inverso de las

tangentes.El procedimiento fue esencialmente cambiar variables para

intentar transformar la ecuación diferencial dada en una

https://es.wikipedia.org/wiki/Catenariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Braquistocronahttps://es.wikipedia.org/wiki/Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Braquistocronahttps://es.wikipedia.org/wiki/Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria


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ecuación con variables separables: pues su

solución se obtenía inmediatamente por cuadraturas.

6arios problemas geom*tricos y mecnicos, provocaron quelos matemticos comen%aran a pensar acerca de las

ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno.

7or lo tanto se tuvieron que crear bases para la teoría generalde la ecuación diferencial lineal de orden n con coe5cientes

variables fueron desarrolladas en !#"$ por 8osep+ Louis

Lagrange (!#"/!9!) y 8ean le ond sando dos m*todos diferentes, mostraron que n integrales

particulares de la ecuación +omog*nea determinan la integral

completa de la ecuación no +omog*nea a trav*s

de n cuadraturas.En !#!$, ?roo@ Aaylor (!"9$/!#!) ya se +abía encontrado

con una solución en el caso de las ecuaciones de segundo

grado, y notado su carcter singular. En !#$9, Euler enfati%óla paradoBa dual de tales soluciones singulares en el clculo

integral. Estas soluciones son obtenidas no por integración,

sino por diferenciación de ecuaciones diferenciales. = medidaque se comien%an a estudiar sistemas físicos ms compleBos,

por eBemplo en la astronomía, se requiere resolver sistemas

de ecuaciones diferenciales ordinarias.

LA HISTORIA DE LA TRANFORMADA DE LAPLACE.

Pierre Simón Marqués de Lapa!e (!#-C/!90#)matemtico y astrónomo franc*s tan famoso en su tiempo

que se le conocía como el &e'ton de Drancia. us principalescampos de inter*s fueron la Fecnica Geleste, o movimiento

planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal.

Gonte4to.

La Aransformada de Laplace es una t*cnica Fatemtica que

forma parte de ciertas transformadas integrales como la

https://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Jean_le_Rond_D'Alemberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Jean_le_Rond_D'Alemberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor


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transformada de Dourier, la transformada de Hilbert, y la

transformada de Fellin entre otras. Estas transformadas estn

de5nidas por medio de una integral impropia y cambian unafunción en una variable de entrada en otra función en otra

variable. La transformada de Laplace puede ser usada pararesolver Ecuaciones iferenciales Lineales y Ecuacionesntegrales. =unque se pueden resolver algn tipo de E con

coe5cientes variables, en general se aplica a problemas con

coe5cientes constantes.

De"ni!ión de a Trans#$rmada.ea f una función de5nida para , la transformada de

Laplace de f(t) se de5ne como

cuando tal integral converge.

&ota:

!./La letra s representa una nueva variable, que para el

proceso de integración se considera constante.

0./La transformada de Laplace convierte una función en t en

una función en la variable s.

Pr$piedades de a Trans#$rmada.En las siguientes propiedades se asume que las

funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada

de Laplace.

i. Linealidad

dea:

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o

restas y saca constantes que multiplican.

6ersión para la inversa:

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Convergenciahttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Convergencia


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ii. 7rimer Aeorema de Araslación

donde

dea:

La transformada de Laplace se convierte un factore4ponencial en una traslación en la variable s.

iii. 6ersión para la inversa:

iv. Aeorema de la transformada de la derivada

dea:La transformada de Laplace cancela laderivada multiplicando por la variable s.

v. Aeorema de la transformada de la integral

vi. Aeorema de la integral de la transformada

iempre y cuando e4ista

vii. Aeorema de la derivada de la transformada

viii. Aransformada de la función escalón

i representa la función escalón unitario entonces

i4. egundo teorema de Araslación

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#funcion_escalonhttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#funcion_escalon


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4. Aransformada de una función periódica

i f (t ) es una función periódica con período A:

4i. Aeorema de la Gonvolución

i f I g representa la convolución entre lasfunciones f y g entonces

His%$ria de Lapa!e.

e dice que Laplace usó el m*todo de la transformación quelleva su nombre en la teoría de probabilidades, pero que elm*todo era original de Heaviside y en todo caso, lo que +i%oLaplace fue aplicarlo de manera inmeBorable.

Gon esto se puede decir que es tarea del +istoriador separarlo que fue original de Laplace de lo que no lo es, y queescribió tanto en probabilidades y mecnica celeste, que enlos trabaBos así e4puestos fue inevitable que la posteridad

asignara su nombre a la teoría matemtica e4puesta en sustrabaBos.

En el libro de Ecuaciones iferenciales de sabel Garmona 8over, se menciona en la biografía de Laplace que el m*todode transformaciones no pertenece a *l,Jpero no aclara a qu*nperteneció originalmente.

En el de Historia de las matemticas de 8ean 7aul Gollete,

tomo , se menciona en las pginas 0$ a 0$# que Laplacegenerali%ó los resultados previos de teoría de probabilidades ymecnica celeste de Legendre y ?uKon.

7or ltimo, en la obra de 8ames &e'mann, igma, el mundode las matemticas, viene la meBor semblan%a de Laplace, yen la pg 9 del tercer volumen se menciona lo siguiente:

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#funcion_periodicahttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Convolucionhttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#funcion_periodicahttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Convolucion


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e Forgan diBo de Laplace:

Hay su5ciente labor original en Laplace como para +acer queel lector se e4trae de que alguien que pudo permitirsee4poner tan bien lo que +abía obtenido de otros, no +ubiesetenido en cuenta un eBemplo peligroso para sus propiosderec+os

En todos los casos, se lee entre líneas que Laplace usómuc+ísimo de sus antecesores sin citarlos, llmalo vanidadpropia o ego personal, llmalo afn de perfeccionar lo previo,pero en todo caso, al igual que &e'ton, Laplace (el &e'tonfranc*s) tuvo a bien perfeccionar y generali%ar lo que +abían

+ec+o los matemticos anteriores. Aambi*n *l se apoyó de los+ombros de gigantes.

Aambi*n la teoría matemtica, +oy día, es susceptible deperfeccionamiento y re5namiento sucesivo, así que Bu%goacertada la forma de proceder de Laplace en su momento.

&o se menciona nada en las fuentes citadas de que latransformación +aya sido de Euler; lo nico que se menciona

es que Euler fue el maestro de todos los matemticosposteriores a *l en Europa por lo vasto de sus escritosoriginales.

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