LA LOI BINOMIALE Plan de cours II. La loi binomiale et loi

B2C - Cours de Terminale spécialité – Patricia Pouzin - La loi Binomiale – Page 1

Plan de cours :

I. Introduction

II. La loi binomiale et loi de Bernoulli

III. Représentation graphique de la loi Binomiale sur les calculatrices

IV. Représentation graphique de la loi Binomiale sur géogébra

V. Covid 19 – Risque de contact et loi Binomiale

VI. Exercices sur la loi binomiale

VIII. Réponses des exercices sur la loi binomiale

LA LOI BINOMIALE


I. Introduction

Exemple 1 : La probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est =3

p4

.

1) On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette

épreuve le nombre de succès obtenus. (X = 0, 1 ou 2)

Calculer la probabilité des événements [X = 0], [X = 1] et [X = 2].

Calculer ( )=

=2

k 0

P X k

2) On suppose maintenant qu'il fait 6 tirs et on note Y le nombre de succès obtenus.

(Y ∈ {0 ; 1 ; ... ; 6}). On voudrait calculer la probabilité de l'événement [Y = 4].

a) Peut-on encore raisonner à l'aide d'un arbre ?

b) Calculer la probabilité qu'il commence par quatre succès suivis de deux échecs.

c) Mais les succès et les échecs n'apparaissent pas nécessairement dans cet ordre.

Parmi les "mots" de six lettres qui ne contiennent que des S et des E, combien

contiennent exactement quatre fois la lettre S ?

d) En déduire la probabilité de l'événement [Y = 4]

II. La loi binomiale et loi de Bernoulli

Epreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux éventualités (succès et

échec, pile et face, blanc et pas blanc, obtenir le 1 ou pas quand on jette un dé...).

Loi de Bernoulli

Soit 0;1p . La loi de la variable aléatoire X égale au nombre de succès s’appelle loi de

Bernoulli de paramètre p.

Issue ix 0 1

Probabilité

( )iP X x=

1 p− p

Schéma de Bernoulli

Une expérience aléatoire consistant à répéter n fois (n étant un entier naturel non nul), de

manières indépendantes et identiques une épreuve de Bernoulli s’appelle un schéma de

Bernoulli.

Loi binomiale

A un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, on peut associer la variable aléatoire X

égale au nombre de succès en n tentatives. Cette variable aléatoire prend donc les valeurs

0, 1, 2, … , n − 1, n.


La loi binomiale est la loi de probabilité associée à cette variable aléatoire et si k est un

entier élément de {0, 1, … , n}, on a alors :

X prend les valeurs 0, 1 ,... , n et pour tout k 0;1;2;...;n ( ) − = =

k n kn

P X k p qk

On note cette loi B( n; p )

Exemple 2 : Dans une urne, on a 70 boules rouges et 30 boules noires. On tire au hasard

une boule de l’urne. Expliquer pourquoi cette expérience est une épreuve de Bernoulli.

On appelle succès « le tirage d’une boule rouge ». Donner la loi de probabilité.

issue 1 0

probabilité

Remarque :

➢ si l’on a n succès, alors ( )

= = =

n 0 nn

P X n p q pn

➢ si l’on n’a aucun succès, alors ( )

= = =

0 n nn

P X 0 p q q0

➢ donc la probabilité d’avoir au moins un succès est ( ) ( ) = − = = − nP X 1 1 P X 0 1 q

Exemple 3 : Reprenons la situation de l'introduction : la probabilité qu'un tireur atteigne sa

cible est =3

p4

1) On suppose qu'il tire n = 7 fois. Quelle est la probabilité qu'il atteigne la cible au

moins une fois ? Deux fois ?

2) Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité d'atteindre la cible au moins

une fois soit supérieure à 0,95 ?

Exemple 4 : On réalise de manière indépendante 10 expériences de l’exemple 2 « tirer une

boule rouge ».

Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre de boules rouges obtenues après les 10

expériences.

Justifier la loi de probabilité de X. Calculer ( )=P X 7 ; ( )=P X 0 ; ( )P X 2 ; ( )E X ;

L’espérance mathématique de la variable X d’une loi binomiale est égale à E(X)= np

La variance de la variable X d’une loi binomiale est égale à V(X)= npq

Exercice résolu sur le schéma de Bernoulli n° 2 page 371

Exercice résolu sur l’espérance et la variance n° 5 page 377

Exercices résolus sur la loi binomiale n° 3 & 4 page 373


III. Représentation graphique de la loi Binomiale sur les calculatrices

Exercices résolus sur la calculatrice n° 8 et 9 page 379


IV. Représentation graphique de la loi Binomiale sur géogébra

Calculs directs à la main : construire à la main le diagramme en bâtons de la

variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B(n ; 0,4) dans chacun des 4 cas

suivants : n = 4 ; n = 5 ; n = 6 ; n = 7

Relier les sommets des bâtons par une courbe continue et régulière.

Comment semble évoluer cette courbe quand n augmente ?

Géogébra

• Binomiale[100,0.4] donne le diagramme en bâton de la variable aléatoire X qui suit

la loi binomiale B(100 ; 0,4) ;

• Binomiale[100,0.4,5,false] donne P(X=5) lorsque X suit une loi binomiale de

paramètres n=100 et p=0.4

• Binomiale[100,0.4,5,true] donne P(X<=5)

Exemple à faire avec géogébra et à vérifier avec la calculatrice

On lance 30 fois un dé bien équilibré. On note X la variable aléatoire donnant le nombre

de six obtenus.

Quelle est la loi suivie par X ?

Calculer la probabilité d'obtenir 10 fois le six. P(X=10) =0.01296…

Calculer la probabilité d'obtenir au plus 10 fois le six. P(X<=10)=0.9932…

Calculer la probabilité d'obtenir au moins 5 fois le six. 1-P(X<=4) = 0.5756


V. Covid 19 – Risque de contact et loi Binomiale

1) a) On estime la population française à 67 millions. Donner une estimation du taux de personnes

porteuses du virus en France, en % et arrondi au dixième.

b) On considère la variable aléatoire 𝑋 donnant le nombre de personnes porteuses dans un groupe de

𝑛 personnes. On assimile le choix des 𝑛 personnes à un tirage avec remise.

Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire 𝑋 ? Justifier et préciser les paramètres de la loi.

2) a) Dans chaque contexte ci-dessous, calculer une estimation de la probabilité qu’au moins une

personne soit porteuse du virus. On précisera dans chaque cas les paramètres de la loi suivie par la

variable aléatoire 𝑋.

• Un mariage de 80 personnes.

• Un repas d’affaire de 6 personnes.

• Une soirée de 15 personnes.

b) Le 30 octobre 2020, le gouvernement a imposé un confinement de toute la population française. En

quoi les estimations de risque calculées dans la question précédente peuvent-elles être un argument en

faveur du confinement ?

3) À partir de combien de personnes regroupées, la probabilité qu’au moins l’une d’entre elle soit

porteuse du virus est-elle supérieure à 50 % ? Justifier.

4) Est-il plus risqué de se faire contaminer lors :

• d’une soirée de 30 personnes,

• ou de deux soirées successives de 15 personnes qui ne concernent pas les mêmes personnes ?

5) On considère la fonction 𝑝 définie par 𝑝(𝑥) = 1 − 𝑒𝑥𝑙𝑛(0,985). a) On note 𝑛 le nombre de personnes regroupées. Démontrer que la probabilité qu’au moins une

personne soit porteuse du virus est égale à 𝑝(𝑛).

b) A l’aide de la calculatrice ou d’un logiciel, reproduire la courbe représentative de la fonction 𝑝 sur

l’intervalle [0 ; 400].

c) Quelles observations la courbe permet-elle d’énoncer ?

Le 29 octobre 2020, Olivier Véran, ministre de la

Solidarité et de la Santé, affirme sur France Info qu’il y a

probablement un million de français actuellement porteur

du virus de la Covid-19.


VI. Exercices sur la loi binomiale

I. Sous l’hypothèse que 2 % des êtres humains sont gauchers, calculer la probabilité que

parmi 100 personnes, 3 au plus soient gauchères.

II. Un élève se rend à vélo à son lycée distant de 3 km ; il roule à une vitesse supposée

constante de 15km.h-1. Sur le parcours, il rencontre 5 feux tricolores non synchronisés.

Pour chaque feu, la probabilité qu’il soit au vert est 0,7 et celle qu’il soit au rouge est de 0,3. Un feu

vert ne ralentit pas le cycliste, un feu rouge lui fait perdre une minute. S’il part 13 minutes avant la

sonnerie de début des cours, quelle est la probabilité qu’il arrive en retard ?

III. Un concours consiste à passer 3 épreuves indépendantes :

Épreuve 1 : on a 80% de chances de réussir au vu des dernières années ;

Épreuve 2 : on a 60% de chances ; Épreuve 3 : on a 25% de chances ;

On est reçu au concours si on réussit au moins deux épreuves sur trois (n'importe lesquelles). Quelle

est la probabilité de réussir le concours ?

IV. Un questionnaire à choix multiples (QCM) comporte 10 questions. Pour chacune d’elles, quatre

réponses sont proposées dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard à chaque question du

QCM. On note X le nombre de réponses correctes qu’il a données.

1) Préciser la loi de probabilité suivie par X.

2) Calculer la probabilité qu’il ait exactement 5 réponses exactes.

3) Calculer la probabilité qu’il ait au moins 7 réponses exactes.

V. Une usine fabrique des composants électroniques dont 5% présentent des défauts.

On considère un échantillon de 200 objets.

Quelle est la probabilité qu’aucun objet ne soit défectueux ?

Quelle est la probabilité qu’un seul objet soit défectueux ?

Quelle est la probabilité qu’au plus 3 objets soient défectueux ?

VI. Un fabricant produit et vend 400 consoles de jeux par mois.

Le coût de fabrication est de 160 € par machine.

Le fabricant fait réaliser un test de conformité, dans les mêmes conditions, sur chacun de ses

objets fabriqués.

Le test est positif dans 93% des cas et une console de jeux reconnue conforme peut alors être

vendue 290 €.

Si le test est en revanche négatif, la console de jeux est bradée au prix de 150 €.

1) On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de consoles de jeux conformes parmi les

400 consoles produites. Calculer l’espérance de X

2) On note Y la variable aléatoire qui indique le bénéfice mensuel, exprimé en euros. Calculer

l’espérance de Y et interpréter le résultat.

VII. 20 personnes participent à un jeu de hasard et la probabilité de gagner à ce jeu est de 0,4.

Chaque jeu est indépendant des précédents.

La variable aléatoire X donne le nombre de personnes ayant gagné au jeu.

1) Justifier que X suit une loi binomiale en précisant ses paramètres.

2) Quelle est la probabilité d'avoir 5 gagnants ?

3) Quelle est la probabilité d'avoir 3 gagnants ou moins ?

4) Quelle est la probabilité d'avoir au moins deux gagnants ?


VIII. Une entreprise fabrique un article qui doit répondre à des normes précises.

On considère que 8 % des articles produits ne sont pas conformes aux normes.

Un test de contrôle de fabrication est censé repérer les articles non conformes.

Cependant le test comporte une certaine marge d'erreur ; une étude a établi que :

• 5 % des articles conformes aux normes sont refusés par le test ;

• 10 % des articles non conformes aux normes sont acceptés par le test.

On considère un article pris au hasard au moment de passer le test. On note :

• C l'événement « l'article est conforme aux normes » ;

• T l'événement « l'article est accepté par le test ».

1) Compléter le tableau ci-contre (on donnera les résultats en pourcentage) :

Que signifie l’événement C/ T ? Calculer sa probabilité.

2) Calculer la probabilité p(T) que la pièce soit acceptée par le test.

3) On suppose pour la suite que la probabilité que l'article soit accepté par le test est de 0,882.

On prélève successivement 20 articles dans la production et on suppose que le nombre d'articles

est suffisamment grand pour que le tirage puisse être assimilé à un tirage avec remise. On donnera

les résultats arrondis aux millièmes si nécessaire.

On note X la variable aléatoire donnant le nombre d'articles acceptés par le test parmi les 20

articles prélevés au hasard.

a) Quelle est la loi de probabilité de X ? Préciser ses paramètres.

b) Déterminer la probabilité que 18 des 20 articles soient acceptés par le test.

Pour la suite, on pourra donner directement les résultats obtenus à la calculatrice.

c) Comment peut-on noter la probabilité qu’au maximum 18 articles soient acceptés par le test ?

Calculer cette probabilité.

d) Quelle est la probabilité qu'au moins 5 articles soient refusés par le test ?

IX. Dans une entreprise, il y a dix imprimantes identiques fonctionnant de façon indépendante tous

les jours. Chaque jour, la probabilité qu’une imprimante tombe en panne est égale à 0,002.

Le risque de panne un jour donné est indépendant des pannes survenues les jours précédents.

1) Déterminer la probabilité qu’une imprimante tombe en panne au moins une fois pendant un

mois (de 30 jours). Donner la valeur arrondie aux millièmes.

2) Calculer alors la probabilité qu’aucune des dix imprimantes ne tombe en panne au moins une

fois pendant le mois (30 jours).

3) Déterminer la probabilité que moins de 3 imprimantes

tombent en panne au moins une fois pendant le mois

(30 jours).

4) Déterminer la probabilité qu’au moins 4 imprimantes

tombent en panne au moins une fois pendant le mois

(30 jours).


X. On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4.

On lit le nombre sur la face cachée.

Pour k ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4), on note pk la probabilité d’obtenir le nombre k sur la face cachée.

Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p1, p2, p3 et p4 dans cet ordre, forment une

progression arithmétique.

1) Sachant que p4 = 0,4 démontrer que p1 = 0,1 ; p2 = 0,2 et p3 = 0,3

2) On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.

a) Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ?

b) Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres distincts rangés dans l’ordre croissant ?

3) On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants.

On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.

a) Donner la loi de probabilité de X

b) Calculer l’espérance mathématique de X. Interpréter le résultat obtenu.

c) Calculer la probabilité de l’événement ( 1X ). On donnera une valeur arrondie au millième.

4) Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants

deux à deux.

On note Un la probabilité d’obtenir pour la première fois le nombre 4 au n-ième lancer.

a) Montrer que (Un) est une suite géométrique et qu’elle est convergente.

b) Calculer 1

n

n i

i

S U=

= puis étudier la convergence de la suite (Sn).

c) Déterminer le plus petit entier n tel que Sn > 0,999.

XI. Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux.

Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite.

Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5 % des lecteurs

MP3 fonctionnant correctement. On note :

• D l’évènement : « le lecteur MP3 est défectueux » ;

• R l’évènement : « l’unité de contrôle rejette le lecteur MP3 ».

1) Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.

2) a) Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.

b) On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu’il n’est pas

défectueux, ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux. Calculer la probabilité qu’il y ait une erreur

de contrôle.

3) Montrer que la probabilité qu’un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,894 2.

4) Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut

être commercialisé.

Un lecteur MP3 est :

• commercialisé avec le logo de l’entreprise s’il subit avec succès les quatre contrôles successifs,

• détruit s’il est rejeté au moins deux fois,

• commercialisé sans le logo sinon.

Le coût de fabrication d’un lecteur MP3 s’élève à 50 €.

Son prix de vente est de 120 € pour un lecteur avec logo et 60 € pour un lecteur sans logo.

On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en

euros (éventuellement négatif ) réalisé par l’entreprise.

a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.

b) Calculer à 10−2 près l’espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat.


XII. Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation

d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et d’un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité

qu’il le reprenne est 0, 3.

Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne

est 0, 8.Lors du premier passage les deux équipements ont la

même probabilité d’être choisis.

Pour tout entier naturel n non nul, on considère l’événement :

– Tn : «le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage.»

et on note ( )n nu p T= , pour n > 1.

– Pn : « le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage. »

1) a) Donner les valeurs des probabilités 1 1( )u p T= et 1( )p P et des probabilités conditionnelles

1 2( )Tp T et 1 2( )Pp T

b) Montrer que 2

1( )

4p T =

c) Recopier et compléter l’arbre suivant :

d) Démontrer que pour tout entier 11, 0,1 0,2n nn u u+ = +

e) À l’aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite ( )nu

2) On considère la suite ( )nv définie pour tout entier naturel 1n par : 2

9n nv u= −

a) Démontrer que la suite ( )nv est géométrique de raison 1

10. Préciser son 1er terme.

b) Exprimer nv en fonction de n. En déduire l’expression de nu en fonction de n.

c) Calculer la limite de la suite ( )nu . Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1)e) ?

3) Le gardien du zoo choisit au hasard 10 manchots dans un groupe suffisamment grand pour pouvoir

assimiler ce choix à une succession de 10 tirages indépendants avec remise.

On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l’événement 2T est réalisé au cours de ces

10 expériences.

a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X, préciser ses paramètres.

b) Calculer la probabilité que 2X

c) Calculer ( )E X et interpréter.


VII. Réponses des exercices sur la loi binomiale

Exercice I. Epreuve de Bernoulli dont le succès est d’être gaucher avec une proba de 0,02. On répète 100

fois cette épreuve. X variable aléatoire égale au nombre de gauchers. La loi de probabilité de X est une loi

binomiale de paramètres 100 et 0,02. On cherche ( )3 0,859P X = .

Exercice II. Il lui faut 12 minutes pour parcourir les 3 km à 15 km/h. Il sera en retard s’il a plus qu’un feu

rouge. Epreuve de Bernoulli dont le succès est de franchir un feu tricolore avec un succès (le feu est

rouge) de probabilité 0,3 ; on la répète de manière indépendante (les feux ne sont pas synchronisés) 5 fois

et X compte le nombre de feux rouges en suivant la loi binomiale B(5;0,3) : on cherche.

( ) ( )1 1 1 0,47178P X P X = − . Il arrive en retard avec une proba de 0,47178.

Exercice III. On répète 3 épreuves indépendantes, mais non identiques. Ce n'est donc pas la loi

binomiale, mais le calcul usuel des probabilités avec un arbre pondéré permet de répondre à la question.

Exercice IV. On nomme X la variable aléatoire comptant le nombre de réponses exactes obtenues par

cet élève. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. Donc la

probabilité de donner une réponse exacte à chacune des 10 questions en répondant au hasard est 0,25. La

loi de probabilité de X est une loi binomiale de paramètres 10 et 1

4.

Son espérance mathématique est E(X) =5

2.

Calcul de la probabilité que cet élève obtienne exactement cinq réponses exactes :

( ) 5 510

5 0,25 0,75 0,05845

P X

= =

.

Calcul de la probabilité que cet élève obtienne au moins sept réponses exactes :

( ) ( )7 1 6 0,0035P X P X = −

Exercice V. X suit une de paramètre n = 200 et p = 0,05

( )

( )

( )

0 0,000 035

1 0,000 369

3 0,009 048

P X

P X

P X

=

=

Exercice VI. 1) Calcul de l’espérance de X

Le test de conformité est une épreuve de Bernoulli dont le succès S est l’issue « la console de jeux est

conforme ». Le test est positif dans 93% des cas donc p(S) = 0,93.

On répète 400 fois cette épreuve de Bernoulli dans les mêmes conditions d’indépendance.

La variable aléatoire indique le nombre de consoles de jeux conformes parmi les 400, c’est-à-dire le

nombre de succès au test de conformité. X suit donc la loi binomiale de paramètres 400 et 0,93.

L’espérance est donc ( ) 372E X n p= = . En moyenne, 372 consoles sur 400 sont conformes.

2) Calcul de l’espérance de Y.

X indique le nombre de consoles de jeux conformes. Par conséquent, le nombre de consoles de jeux non

conformes est donné par 400 - X. Le prix de vente en euros est alors égal à ( )290 150 400X X+ − ,

c’est-à-dire à 140 60 000X + . De plus, le prix de revient des 400 consoles est égal à 400 160 64 000 = €.

On en déduit le bénéfice mensuel en euros : .

En définitive, ( ) ( ) ( )140 4 000 140 4 000 140 372 4 000 48 080E Y E X E X= − = − = − = .

Le fabricant peut donc espérer un bénéfice mensuel de 48 080 euros pour 400 consoles de jeux.


Exercice VII. On considère l'épreuve de Bernoulli consistant faire jouer une personne avec les issues

S :" la personne va gagner" et E :" la personne va perdre".

On a alors p(S) = 0; 4

Ces épreuves de Bernoulli sont indépendantes. On considère la variable aléatoire donnant le nombre de

gagnants parmi ces 20 personnes.

X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0; 4 notée B(20; 0; 4)

La probabilité d'avoir 5 gagnants est 0,075 environ

La probabilité d'avoir 3 gagnants ou moins est de 0,0160 environ

La probabilité d'avoir au moins 2 gagnants est de 0,9995 environ

Exercice VIII. 8% des articles produits ne sont pas conformes aux normes donc ( ) 0,08P C =

5% des articles conformes aux normes sont refusés par le test donc ( ) 0,05CP T =

10% des articles non conformes aux normes sont acceptés par le test donc ( ) 0,1C

P T =

On peut donc construire l’arbre pondéré suivant :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0,92 0,95 0,874

0,08 0,1 0,008

C

C

P C T P C P T

P C T P C P T

= = =

= = =

( ) ( ) ( ) 0,874 0,008 0,882P T P C T P C T= + = + =

La probabilité que l’article soit accepté par le test est 0,882.

On considère l’épreuve de Bernoulli : « on choisit un article au hasard » puisqu’il n’y a que deux issues

possibles T et T avec les probabilités ( ) 0,882P T = et ( ) 1 0,882 0,118P T = − =

On suppose que le nombre d’articles est suffisamment grand pour que le tirage puisse être assimilé à un

tirage avec remise donc chaque épreuve est indépendante de la précédente. On répète donc

successivement et de façon indépendante vingt épreuves de Bernoulli, la loi de probabilité correspondant

au nombre d’articles acceptés au test parmi les 20 suit donc la loi binomiale B(20 ; 0,882)

La probabilité que 18 des 20 articles soient acceptés par le test est donnée par

( ) 18 220

18 0,882 0,118 0,27618

P X

= =

La probabilité qu’au maximum 18 articles soient acceptés par le test est donnée par ( )18 0,702P X

La probabilité qu'au moins 5 articles soient refusés par le test est ( ) ( )5 1 4 1P X P X = −


Exercice IX :


Exercice X :


Exercice XI :


Exercice XII :

3. X suit une loi binomiale de paramètres 10 et 1/4.

Soit10

10( ) 0,25 0,75k kp X k

k

− = =

pour k entier de l’intervalle [1 ;10].

10 9( 2) 1 ( 0) ( 1) 1 0,75 10 0,25 0,75 0,76p X p X p X = − = − = = − −

(X) 10 0,25 2,5E = = .

En moyenne, le manchot utilise 2,5 fois sur 10 le toboggan.

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LA LOI BINOMIALE Plan de cours II. La loi binomiale et loi