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La Matrice de Transfert du Modèle d’IsingPrédoctorat (Épreuve Orale)
Alexi MORIN-DUCHESNE
Centre de Recherches MathématiquesUniversité de Montréal
20 Janvier 2010
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Introduction
Le modèle d’Ising en une dimension
N
2
1 Sur chaque site i , un spin σi , ∈ {+1,−1}, quiinteragit avec ses voisins immédiats uniquement ;
Conditions aux frontières périodiques : σN+1 = σ1 ;
L’énergie d’une configuration est donnée parE (σ) = −J∑〈i ,j〉 σiσj où 〈i , j〉 indique que i et jsont plus proches voisins ;
La fonction de partition : Z =∑
σ e−E(σ).
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Introduction
La matrice de transfert en une dimension
L’interaction entre spins est décrite par une matrice de transfert :
entre spins voisins :(
eJ e−J
e−J eJ
)T(J) =
+
−
+ −
.,entres spins quasi-voisins :
(e2J + e−2J 2
2 e2J + e−2J
)T2(J) =
+
−
+ −
=(T(J)
)2,
entre spins distants de N : TN(J) =(T(J)
)N. N
2
1
ZN = T (J)N+,+ + T (J)
N−,− = Tr
(T (J)N
)= λN1 + λ
N2 .
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Chapitre 1 Solution du modèle d’Ising en deux dimensions
Le modèle d’Ising en deux dimensions
K
L
Sur le réseau carré, chaque spin aquatre (4) voisins immédiats ;
Nous travaillons sur un ruban, avec desconditions aux frontières périodiquesdans une direction, libre dans l’autre ;
Anisotropie (K , L) des intéractions ;
E (σ) = −K ∑(K)〈i ,j〉 σiσj − L∑(L)〈i ,j〉 σiσj ;
Z =∑
σ e−E(σ).
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Chapitre 1 Solution du modèle d’Ising en deux dimensions
Transition de phase et température critique
Il y a une transition de phase lorsque sinh(2K ) sinh(2L) = 1.
I
IIIII
K
L
I II III
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Chapitre 1 Solution du modèle d’Ising en deux dimensions
Matrice de transfert en deux dimensions
La matrice de transfert TN(K , L), de dimensions 2N × 2N :
ξ0 ξ1
σ1
σ ′1
ξ2
σ2
σ ′2
ξ3
σ3
σ ′3
ξ4
σ4
σ ′4
K
K
L
L
K
K
L
L
K
K
L
L
K
K
L
L
ϕ
φ
φ ′
T4(K, L)
Comme une dimension, la fonction de partition s’écrit :
ZN,M(K , L) = Tr((
TN(K , L))M)
=∑2N
i=1 ΛMi (K , L).
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Chapitre 1 Solution du modèle d’Ising en deux dimensions
Résultats en deux dimensions
Dans la suite de ce chapitre, nous faisons un long calcul ettrouvons :
Toutes les valeurs propres au point critique ;
Le comportement de l’énergie libre par spin lorsque N →∞ ;Le comportement asymptotique de la fonction de partition :
ZN,M(u) = Λ0∏
n∈2Z+1(1 + qn) où
- u est l’anisotropie au point critique ;- Λ0(N) est la valeur propre maximale ;
- q = exp[−MNπ sin(4u)
2 ].
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Chapitre 2 Les modèles de boucles et leur relation avec les modèles de spins
L’algèbre de Temperley-Lieb AN(√
2)
Soit l’ensemble des graphes reliant deux rangées de 2N points,sans croisements :
, , , , ,
L’algèbre de Temperley-Lieb, AN(√
2), est l’ensemble descombinaisons linéaires de ces connectivités, avec ce produit :
=√
22
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Chapitre 2 Les modèles de boucles et leur relation avec les modèles de spins
Une représentation matricielle de AN(√
2)
L’ensemble, BN , des façons de relier 2N points (par le haut) :
B2 =
{
, , , , ,
}
L’action de AN(√
2) sur l’espace qu’engendre BN
=√
2
nous donne une représentation de cette algèbre :
ρ
( )=
0 0 0 0 0 0√2 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 0√
2 1 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
.
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Chapitre 2 Les modèles de boucles et leur relation avec les modèles de spins
La matrice double-ligne DN(√
2, u)
D2(√
2, u) =
u u u u
π4 − u
π4 − u
π4 − u
π4 − u
où u = sin(π4 − u) + sin(u)
Résultat du chapitre 2 : avec la matrice double-ligne on peutcalculer la fonction de partition :
ZN,M(u) = Tr(TMN (u)) = Tr
(Q × ρ
(DMN (√
2, u)))
Q =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 −1
ρ(D2) =
a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a260 0 a33 a34 a35 a360 0 a43 a44 a45 a460 0 a53 a54 a55 a560 0 0 0 0 a66
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Chapitre 2 Les modèles de boucles et leur relation avec les modèles de spins
La matrice double-ligne DN(√
2, u)
D2(√
2, u) = ... +√
22
sin(u)3 sin(π4 − u)5 +...
où u = sin(π4 − u) + sin(u)
Résultat du chapitre 2 : avec la matrice double-ligne on peutcalculer la fonction de partition :
ZN,M(u) = Tr(TMN (u)) = Tr
(Q × ρ
(DMN (√
2, u)))
Q =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 −1
ρ(D2) =
a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a260 0 a33 a34 a35 a360 0 a43 a44 a45 a460 0 a53 a54 a55 a560 0 0 0 0 a66
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Chapitre 3 Les représentations irréductibles de l’algèbre de Virasoro
Les transformations conformes
Dans la limite N → ∞, il sembley avoir une invariance conforme ! Lestransformations conformes (dans leplan complexe) peuvent être :
globales : translations, rotations,dilatations, SCTs ;
locales :
� f (z , z̄) = f (z) = ∑k∈Z ckzk� f (z , z̄) = f (z̄) = ∑k∈Z dk z̄k
générées par :
� Li = z i+1 ddz� L̄i = z̄ i+1 ddz̄
z
f(z) = ln(z)
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Chapitre 3 Les représentations irréductibles de l’algèbre de Virasoro
Tableau comparatif
Atome de H Modèle d’Ising
Invariances Rotations 3D Transf. conformes 2DGénérateurs Lz , L+, L−
(su(2)
)Li , i ∈ Z
(Virasoro
)
Hamiltonien ∼ L2 ∼ L0Vecteur de p.h.p. |l ,−l〉 vh
l
l − 1
−l + 1
−l
.
.
.
L−
L+
h
h + 1
h + 2Li0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Représentationgraphique
Z∑∞
l=0(2l + 1)ql(l+1) χh=0(q
2) + χh= 12(q2)
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Chapitre 3 Les représentations irréductibles de l’algèbre de Virasoro
Les caractères des représentations irréductibles
Le caractère d’une représentation R d’un opérateur L :
χR(L)(z) =∑
i
zλR(L),i
Les caractères (de L0) des trois représentations irréductibles,unitaires de l’algèbre de Virasoro sont :
χh=0(q2) = 12
(∏n impair (1 + q
n) +∏
n impair (1− qn))
χh= 12(q2) = 12
(∏n impair (1 + q
n)−∏n impair (1− qn))
χh= 116
(q2) = (q2)1
16∏
n pair (1 + qn)
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
Conclusions
Retour et ouverture
Les principaux résultats exposés dans le mémoire sont :
Le spectre de la matrice de transfert en deux dimensions aupoint critique ;
Le lien entre le modèle de boucles et celui de spins ;
Les caractères des représentations irréductibles de l’algèbre deVirasoro, qui reproduisent la fonction de partition du modèlede boucles.
Des questions encore ouvertes :
Diagonaliser DN(β, u) et comprendre sa forme de Jordan ;
Comprendre les représentations non unitaires et lesreprésentations non diagonalisables de l’algèbre de Virasoro etcomment elles interviennent dans DN(β, u).
Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising
IntroductionIntroduction
Chapitre 1Chapitre 1
Chapitre 2Chapitre 2The Standard Model of Linear Space
Chapitre 3Chapitre 3The Standard Model of Linear Space
ConclusionsConclusions