LA MISTERIOSA INCALCOLABILITA’ DEL MONDO Carlo Toffalori (Camerino)

 

Summer School: incontriamo la matematica, la statistica e la fisica San Pellegrino Terme, 4 settembre 2013

 

Omero, Odissea, libro dodicesimo, i buoi del Dio Sole  

“… la Trinachia isola, dove pasce il gregge del Sole, pasce l’armento, sette branchi di buoi, d’agnelli tanti, e di teste cinquanta i branchi tutti.”  

 

 

Il problema dei buoi di Archimede Gotthold Ephraim Lessing, 1773: un epigramma di 44 versi • Tori e mucche • Bianchi, neri, fulvi o pezzati

Nel complesso un sistema di secondo grado con 8 incognite e 9 equazioni La soluzione più piccola (Nelson, 1981): 206545 cifre decimali. Uno spionaggio di teoremi?

 

Rudy Rucker, The mad professor, 2 + 2 = 5 • Una conta ad oltranza: 0, 1, 2, 3, 4, … • Il record di un monaco buddista: 12 milioni 345 mila 678 (ma il tentativo è

ancora in corso) • L’impossibile rincorsa di un pensionato americano…

 

 

 

La capacità umana di calcolo: • diecimila numeri al giorno, • dieci milioni l’anno, • un miliardo in una vita.

E dopo?

Archimede, Arenaria Il numero più grande: 8 × 1063 - tanti sono i granelli di sabbia necessari per riempire l’intero universo: ma i buoi del Dio Sole sarebbero enormemente di più! Platone, Repubblica Il numero cosmico: 604 - il periodo di giorni dopo il quale l’universo e i corpi celesti recuperano la configurazione originaria.

Oggi… • 1080 = stima per eccesso del numero delle particelle elementari di cui si

compone l’universo • 1018 = stima per larghissimo eccesso del tempo del mondo in secondi stando

alla teoria del Big Bang Al di là… solo “il pulviscolo dei grandi numeri” (Calvino, Palomar)

Dissonanze tra • i numeri della mente • i numeri del mondo e della natura

 

   

E con i computer? Asimov, Neanche gli dei, Il problema del matrimonio a tre sessi  

 

P = NP? Un problema del millennio

 

Il gioco degli scacchi Ernst Zermelo e la partita perfetta (1912)

Come nel Tris

• Un errore fondamentale da sfuggire per X • Un errore fondamentale da sfuggire per O

Dopo di che la partita perfetta, immune da errori, finisce in pari Zermelo: c’è (almeno) una partita perfetta anche per gli scacchi!

L’albero del Tris

Negli scacchi 20 mosse di apertura, 1043 posizioni, 10120 partite possibili… Da notare: oggi un calcolatore esegue al massimo 1017 operazioni all’anno Dunque: quanti anni per completare tutte le partite e individuare quelle perfette?

Godfrey Hardy, Apologia di un matematico La matematica come gli scacchi: ma… • Gli scacchi sono “matematica banale” • La matematica non è solo ingegnosa, ma “bella, seria e importante”.

 

Tra le pietre miliari del pensiero umano: il teorema di Pitagora (la lezione di Socrate nel Menone, la misteriosa irrazionalità del mondo)…

x2 + y2 = z2

 

Per x = y = 1, z è la radice di 2, un numero reale irrazionale infinitamente lungo 1,41421356237309504880168872420969…  

 

 

 

Vengono in mente Pascal e i suoi Pensieri “L’ultimo passo della ragione è riconoscere che ci sono infinite cose che la superano”  

Oppure Shakespeare e Amleto “Ci son più cose in cielo e in terra, Orazio, che non ne sogni la tua filosofia”, O forse è vero il contrario?    

• Dai numeri che si riescono a contare in una vita… • … al numero più grande che si pronuncia tutto d’un fiato!

Cesare Zavattini, Parliamo tanto di me  

“- Un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi… - Evviva, evviva… - … di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi… - Basta, basta, vi farà male. … di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi! L’ultimo fievole ‘di miliardi’ gli uscì dalle labbra come un sospiro… Gianni Binacchi urlò: - Più uno!” “Se avessi detto più due avrei vinto io…”.  L’incredibile capacità della mente umana: evocare numeri irraggiungibili e ricamarci sopra (il problema di Archimede, l’analisi dei numeri reali). E c’è di più.  

Ripensando al teorema di Zermelo: matematica o teologia?  

 

 

Hilbert, Teorema della base, 1888 La versione ufficiale: se K è un campo e x1, …, xn sono indeterminate, allora ogni ideale di K[x1, …, xn] è finitamente generato.

Parlando alla buona: certi sistemi di equazioni ammettono soluzione…

La dimostrazione di Hilbert: asserisce l’esistenza delle soluzioni, ma non dice come trovarle effettivamente.

 

 

La critica dei colleghi (Gordan): “Questa non è matematica, ma teologia”

La replica di Hilbert  

 

 

• In un’aula piena di studenti ce n’è senza dubbio uno (o una) che ha più capelli di tutti

• Non c’è verso di identificarlo/la • Ma questo non esclude che lui (o lei) esista.

E ancora: contare oltre il contabile (la matematica dell’infinito)

Spunti di infinito in matematica…

• L’infinitudine dei numeri 0, 1, 2, 3, 4, … • L’infinità della retta … —————————————————————…

 

 

Jorge Luis Borges, Discussioni • La perpetua corsa di Achille e della Tartaruga

L’infinito è “parola di spavento che abbiamo generato temerariamente e che una volta ammessa in un pensiero esplode e lo uccide.” • Metempsicosi della Tartaruga

“C’è un concetto che corrompe e ammattisce tutti gli altri. Non parlo del Male… parlo dell’infinito.”  

Eppure…

 Georg Cantor, la Matematica dell’infinito

• Quando è impossibile contare, si può sempre confrontare • Ma allora… Numeri e punti: non lo stesso infinito! L’alef e il continuo • Inferno e paradiso…

 

Jorge Luis Borges, La cifra • “I vasti numeri che un uomo immortale non raggiungerebbe neppure se

consumasse la sua eternità contando.” • “Le dinastie immaginarie che hanno come cifre le lettere dell’alfabeto

ebraico.”  

Sogni? Incubi? Astrazioni matematiche? Dall’infinito di Cantor alla nascita dell’informatica: Alan Turing (ma questa è un’altra storia)  

 

 

Torniamo su questa terra… La congettura di Goldbach, 1742

Una corrispondenza epistolare tra

• Christian Goldbach, matematico prussiano alla corte di Russia, • Leonhard Euler (Eulero), matematica svizzero alla corte di Prussia.

Il risultato (nella terminologia moderna)

• La congettura di Goldbach: ogni numero pari p ≥ 4 è la somma di 2 primi • La congettura debole di Goldbach: ogni numero dispari d ≥ 7 è la somma di

3 primi. Notare: la congettura debole implica l’altra Sia d dispari ≥ 7, allora d – 3 è pari ≥ 4 e, come tale, è la somma di due primi. Basta allora aggiungere a questa somma il terzo addendo primo 3 per arrivare a d.

La congettura (debole) di Goldbach:

• basta un controesempio per smentirla • non bastano miliardi di esempi per confermarla

7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 11 = 3 + 3 + 5, 13 = 3 + 5 + 5,

15 = 5 + 5 + 5 = 3 + 5 + 7, 17 = 3 + 3 + 11, …

Un intermezzo letterario: consigli per la lettura Apostolos Doxiadis, Zio Petros e la Congettura di Goldbach

Tornando alla congettura debole… ogni numero dispari d ≥ 7 è la somma di 3 primi. Un teorema di Ivan Vinogradov, 1937: vero da un certo d(0) in su (dunque per infiniti d)

Dunque basterebbe controllare ogni numero dispari da 7 fino a d(0) (un numero finito di casi!!!) per chiarire la questione. Il problema è quanto è grande d(0)… Il migliore risultato conosciuto fino a poco tempo fa Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze, 2002: d(0) scende a circa 2 · 101346 (una soglia irraggiungibile anche ai computer)

Ultime notizie, 2012-13 Harald Helfgott annuncia una dimostrazione completa, ancora in fase di verifica… – ma la congettura “forte” di Goldbach sembra ancora lontana dalla soluzione

Un tentativo di conclusione: “la misteriosa in calcolabilità del mondo” (Hermann Broch, L’incognita)  

 

La matematica come una religione… col suo fascino e con i suoi peccati originali  

 

 

Più scherzosamente... Edgar Allan Poe, Il potere delle parole “ – Non nella conoscenza sta la felicità, ma nell’acquisizione della conoscenza… Conoscere tutto, sarebbe la maledizione di un nemico. – Ma forse l’Altissimo non conosce tutto? – Questa… è l’unica cosa che neppure Lui deve sapere”.