Centro Regional de Profesores del Centro Florida

Fractales:

La morfologia

de lo amorfo

Matemtica aplicada Prof.: Adolfo Fajardo Alumno.: Lennon Piastre 3 Matemtica Noviembre-2007

Fractales La morfologa de lo amorfo

La geometra tal como la conocemos fue planteada por primera vez alrededor del 300 A.C. por Euclides y no ha tenido muchos cambios desde entonces. Es indudable la importancia de la geometra en la comprensin de la naturaleza y su aprovechamiento, as como su aplicacin en las artes, en la construccin, ingeniera y otras disciplinas. Ahora bien, los conocimientos que posee cualquier persona (con poca o mucha preparacin) sobre la geometra usual ( la euclideana) solo le permiten identificar formas geomtricas que se encuentran en un intervalo discreto de dimensionalidad espacial. As un objeto solo puede tener una, dos o tres dimensiones segn sea lineal, planar o volumtrico. El concepto de dimensin eucldea asigna un nmero natural a los distintos objetos geomtricos que pueden definirse en un espacio dado. Una interpretacin intuitiva de este concepto es el nmero de parmetros que son necesarios para definir el objeto. Por otra parte, las formas geomtricas reconocibles y que se pueden describir geomtricamente de manera sencilla ( una lnea recta o curva, una circunferencia, un tringulo, una esfera, entre otras) no se encuentran comnmente en la naturaleza. Muchos patrones de la naturaleza son tan irregulares y fragmentados que denotan varios niveles de complejidad al mirarlos con la geometra usual. Dichos patrones presentan el reto de estudiar esas formas que con la geometra usual parecieran carecer de forma. Esto es investigar la morfologa de lo amorfo Respondiendo a ese reto en 1975 Benoit B. Mandelbrot establece las bases de una nueva geometra. Esta geometra describe muchos de los patrones irregulares y fragmentados que nos rodean, y conlleva a una nueva teora, identificando una familia de formas que denomin fractales. Qu son los fractales? Mandelbrot en 1975 lo defini as: Fractales es el conjunto de formas generadas normalmente por procesos matemticos repetitivos y que se caracterizan por:

1. tener el mismo aspecto a cualquier escala de observacin 2. tener longitud infinita 3. no ser diferenciables 4. tener dimensin fraccional o fractal

Actualmente, si bien se mantienen las 4 caractersticas mencionadas, su acepcin es: Formas geomtricas que pueden ser separadas en partes, cada una de las cuales es una versin reducida del todo. Acerca del nombre fractal Mandelbrot lo tom del adjetivo en latn "fractus" que proviene del verbo frangere que significa romper, crear fragmentos irregulares. Algunos objetos fractales son curvas o superficies, otros son polvos disconexos, y otros son cuerpos de formas tan horribles que no tienen buena relacin ni con las ciencias ni con las artes. A continuacin profundizaremos en las 4 caractersticas mencionadas

Los fractales no son diferenciables Un poco de historia... Mientras que la geometra fractal se inici en 1975, muchas de sus herramientas y conceptos se haban trabajado antes por razones diferentes a las de Mandelbrot. Una gran revolucin de ideas separa a las matemticas del siglo XIX de las matemticas modernas del siglo XX. La matemtica clsica tiene sus races en las estructuras geomtricas regulares ( de Euclides) y la dinmica continua de Newton. Histricamente la revolucin fue forzada por el descubrimiento de estructuras que no encajaban en los patrones de Euclides y Newton. Estas estructuras fueron pensadas como "patolgicas", como una galera de monstruos, emparentadas con la pintura cubista y la msica atonal. Los matemticos que crearon a esos monstruos son recordados como importantes ya que mostraron al mundo que las matemticas puras contienen una riqueza de posibilidades que va ms all de las estructuras simples que vean en la naturaleza. Las matemticas del siglo XX florecieron en la creencia de que haban trascendido completamente las limitaciones impuestas por sus orgenes naturales. Ahora bien, la naturaleza le ha jugado una broma a los matemticos. Los matemticos del siglo XIX pudieron haber tenido mucha imaginacin, pero la naturaleza tiene ms. Las mismas estructuras patolgicas que los matemticos inventaron para romper la prdida del naturalismo del siglo XIX se convirtieron en objetos familiares alrededor de nosotros. La geometra fractal no es una aplicacin directa de las matemticas del siglo XX. Es una nueva rama que naci con la crisis que surgi en 1875 cuando duBois Reymond report que Weirstrass haba construido una funcin continua no diferenciable, La crisis dur aproximadamente hasta 1925, teniendo como actores principales a Cantor, Peano, Lebesgue y Hausdorff, entre otros. En 1872 Weierstrass estableci la existencia de curvas continuas sin tangente. Despus de la de Weierstrass, otras funciones continuas sin derivada o cuya derivada existe raramente fueron construidas. La conmocin que provocaron las funciones sin derivada llev a Hermite para escribir esto en su carta del 20 de mayo de 1893 a Stieltjies: me alejo con miedo y horror de esta plaga miserable de las funciones continuas que no tienen derivadas... Por otra parte, esta es la reaccin de Poincar acerca de estos asuntos: Cuando uno inventaba una nueva funcin, estaba en vista de alguna meta conveniente; ahora se inventan intencionalmente para poner los defectos de los razonamientos de nuestros padres. Poincar dice una verdad a medias. L se pregunta sobre la utilidad de las funciones derivables en ningn punto y la mejor respuesta a esta pregunta es mirar la naturaleza muy atentamente. Por ejemplo, en partir de 1933, Paley, Wiener y Sigmund determinaron que el movimiento de partculas en suspensin observada por Brown en 1827, (movimiento browniano) describe una trayectoria B(t) que no es derivable en cada uno de sus puntos. Despus de esto, Lvy expuso la geometra irregular de las trayectorias de un movimiento browniano en la recta o el plano. De nuevo hoy el estudio local de movimiento browniano es un objeto de estudio. En las dcadas que siguieron el descubrimiento de Weierstrass, algunos curvas notables se han imaginado. Lo que estas tienen en comn, es que desafan la intuicin y no admiten una tangente para la mayora de sus puntos. As es cmo Peano (1890) se propuso llenar el interior de un cuadrado por el trazado de slo una curva continua, fue toda una sorpresa. Hilbert (1891), Sierpinski (1912) lograron el objetivo de Peano. Ahora bien, cmo se construye una curva sin tangentes?

Primero describiremos lo que es una transformacin elemental de Koch. Sean L0 una lnea poligonal formada por m +1 puntos del plano P0, P1, , Pm, un entero d y T1, T2, , Td transformaciones lineales, que tienen la propiedad que su suma da el operador identidad I. Construyamos entonces la lnea poligonal L1 formada de md +1 vrtices Q0, Q1, ..., Qmd donde Qid+ j=P i +Sj i (Pi+1 Pi), 0 i < m , 0 j d considerando

que S0 = 0, Sj =1

j

kk

T=

Todos los vrtices de L0 son vrtices de L1 y cada uno de lados de L0 ha sido reemplazado por d lados. Uno puede repetir la transformacin elemental de Koch con d y los mismos operadores lineales Ti para conseguir L2 a partir de la lnea L1 y despus para conseguir L3, L4, etc. Cuando k aumenta, los vrtices de Lk estn en expansin. Diremos que hemos construido una curva de Koch de grado d. En general, tiene esta propiedad notable de no admitir una tangente en todos sus vrtices. Veamos que este modelo incluye varias construcciones conocidas. La curva que Peano propuso, en 1890, se inicia con la diagonal del cuadrado unitario, L0 = (0,0), (1,1) y con la ayuda de 9 operadores lineales: I/ 3 , R/ 3 , I/ 3 , R/ 3 , I/ 3 , R/ 3 , I/ 3 , R/ 3 e I/ 3 donde R es la rotacin de 90 grados e I es la identidad. Est curva es de grado 9. Por otro lado, Koch en 1904 propuso una construccin geomtrica que se forma con 4 operadores lineales que dependen de un parmetro u ,

Fractales en la naturaleza

En los helechos se puede apreciar la autosimilitud: una hojita que sale del tallo tiene la forma de un helecho completo, slo su tamao es menor.

Los copos de nieve tambin son fractales. La curva de Koch es un fractal que aparenta un copo de nieve perfecto si se pone tres veces sobre un tringulo equiltero.

En esta imagen de una coliflor se puede reconocer la autosimilitud, pues una sola rama tiene la forma de toda la verdura

Las costas son fractales particularmente interesantes

Las montaas tambin son superficies fractales. Su dimensin fractal es mayor que 2

Movimiento browniano

Conjunto de Mandelbrot

Conjunto de Cantor

Curva de Koch

Tringulo de Sierpinski

Los fractales tienen longitud infinita Una ejemplo de figura plana cerrada que tiene permetro infinito pero encierra un rea finita es el fractal llamado copo de nieve de Sierpinski o tambin curva de Koch. Tal como puede apreciarse en la Figura 1, este fractal se forma partiendo de un tringulo equiltero cuyos lados tienen longitud L, al que llamaremos fractal de Nivel 0. En una primera transformacin, cada lado se divide en tres segmentos de igual longitud. El segmento del medio se retira y se remplaza por dos segmentos de longitud (1/3)L que forman con los segmentos adyacentes un ngulo de =60. La figura que se obtiene es el fractal del Nivel 1.

Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2

Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5 Figura 1

En una segunda transformacin, se vuelve a dividir cada uno de los segmentos obtenidos en tres segmentos de igual longitud, se retiran los segmentos del medio y se remplazan

nuevamente por dos segmentos, que tienen una longitud esta vez de 2

1 1

3 9L L

=

que

forman con los segmentos adyacentes un ngulo =60 . Con esto se obtiene el fractal de Nivel 2. Este proceso de transformacin se contina sucesivamente. Se entiende que el copo de nieve de Sierpinski, al que nos referimos aqu, es la figura que se obtiene cuando el nmero n correspondiente al nivel del fractal tiene a infinito. Su borde es una curva densamente quebrada que tiene la notable propiedad de que sus partes son autosemejantes con el segmento total al que pertenecen. El permetro Para encontrar el permetro de este fractal se observan detenidamente las primeras transformaciones con el fin de encontrar una serie que las generalice.

Nivel Nmero de segmentos agregados

Longitud de los segmentos agregados

Permetro

0 0 0 3L 1 3 (1/3)L 3L + L 2 4x3 (1/ 23 )L 3L + L + (4/3)L 3 24 x 3 (1/ 33 )L 3L + L + (4/3)L + (4/3)

2L ..... ..... ..... ....... n 14n x 3 (1/3n )L 3L + L + (4/3)L + (4/3)L+....+(4/3)

n-1L Es importante anotar lo siguiente: cada vez que se agrega un par de segmentos en uno de los lados, el permetro se aumenta en la longitud de uno solo de ellos puesto que el segmento del medio se retira. Entonces, la serie para hallar el permetro p del fractal cuando se hacen infinitas transformaciones es la siguiente:

1

1

43

3

n

n

p L L

=

= +

Se trata de una serie geomtrica cuya razn es r = 4/3 y en la a= L. Entonces, como

1r > , la serie diverge. Adems diverge a porque es claro que si 4/3 se eleva sucesivamente a una potencia entera 2n el resultado va a ir aumentando y este efecto ser an mayor si se hace una suma acumulativa como la que est implicada en la serie. Por lo tanto, el permetro del fractal es infinito, es decir:

limn

p

=

El rea. Para encontrar el rea de este fractal analizamos los primeros casos con el propsito de encontrar un patrn.

Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2

Figura 2: reas que se agregan en cada transformacin Supngase que A es el rea del tringulo original, es decir, el rea del fractal de Nivel 0. En la Figura 2 se observa en azul el tringulo original y en color naranja las reas triangulares que se agregan a ste para obtener el fractal de Nivel 1. Las lneas divisorias dejan ver que el rea de cada tringulo nuevo es 1/9 = 1/32 del original. Algo semejante sucede en el fractal del Nivel 2 en el que el rea de cada tringulo agregado es 1/81 = 1/34 La siguiente tabla resume estas observaciones:

Nivel Nmero de tringulos

nuevos

rea de los nuevos

tringulos

rea total

0 0 0 0 1 3 (1/32)A A + (1/3)A 2 4 x 3 (1/34)A A + (1/3)A + (4/33)A 3 42 x 3 (1/36)A A + (1/3)A + (4/33)A + (42/35)A ... .... .... .... n 4n-1 x 3 (1/32n)A A + (1/3)A + (4/33)A + (42/35)A...+ (4n-1/32n-1)A

Entonces el rea total del copo de nieve de Sierpinski, cuando el nmero de transformaciones tiende a infinito, est dada por la serie:

1

2 11

4

3

n

T nn

A A A

=

= +

Es necesario convertir esta frmula en una expresin de la forma 11

n

n

ar

=

para saber si converge o diverge. Obsrvese que: 11 1 1 1

2 1 2 1

4 3.4 4 3 4 1 43

3 3 9 9 9 3 9

nn n n n

n n n nA A A A A

= = = =

As pues 1

1

1 4

3 9

n

rn

A A A

=

= +

En este caso a= 1/3 A y r = 4/9 . Como 1r < , entonces la serie converge a 1

a

r. As, el

rea total es :

13 83

4 5 519

T

AA A A A A= + = + =

Por lo tanto, el rea encerrada por el copo de nieve de Sierpinski es finita. Dimensin fractal Hausdorff-Besicovitch El desarrollo de la geometra fractal ha permitido obtener parmetros cuantitativos para definir el grado de irregularidad de un determinado objeto. Uno de los parmetros ms representativos es el de dimensin fractal . El concepto de dimensin eucldea asigna un nmero natural a los distintos objetos geomtricos que pueden definirse en un espacio dado. Este concepto de dimensin tiene diversas interpretaciones intuitivas como, por ejemplo, el nmero de parmetros que son necesarios para definir el objeto.

Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de manera que N(L).L1 = 1,

Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos con unidades cuadradas, cuyo lado tenga de longitud L, el nmero de unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple N(L).L2 = 1.

Podemos generalizar que la dimensin de un objeto geomtrico es el nmero D que cumple:

N(L).LD = 1 ( )log ( )

log 1

N LD

L =

La Curva de Koch Al reducir la escala de la curva de Koch a 1/3, nos encontramos con que se descompone en 4 partes. D = log 4 / log 3 = 1'2618...

Basndose en estas ideas, existen algoritmos eficientes para el clculo de la dimensin fractal de imgenes fractales obtenidas de cualquier estudio (urbanismo, biologa, botnica, etc.).

APLICACIONES DE LA TEORA FRACTAL Cientficos de disciplinas variadas llevaron su atencin en las aplicaciones potenciales de los objetos fractales, para la textura de materiales, para la estructura de materia, para la forma de protenas o litorales, para la geometra de turbulencias, en el estudio del pulmn, en el anlisis de ruidos o imgenes, en medidas en geografa o al microscopio... Geologa Las tcnicas de anlisis fractal ayudan a entender las redes de fracturas de los macizos rocosos y las microestructuras de los minerales. Dado que la prospeccin en busca de yacimientos minerales filonianos resulta difcil y costosa por su errtica distribucin, contar con un mtodo cientfico para localizarlos con ms acierto supondra una gran ayuda. Este fue el planteamiento bsico que en 1987 llev a Pablo Gumiel, gelogo del Instituto Geolgico y Minero de Espaa (IGME), junto a otros colegas, a aplicar la Geometra fractal al estudio de los aparentemente caticos sistemas de filones para poder diferenciar los ricos en mineral de los estriles. Desde aquella innovadora idea hasta ahora, el investigador ha consolidado un grupo que aplica tcnicas de fractales a otras reas de la Geologa, especialmente a microestructuras y redes de fracturas. La dificultad que hace que las prospecciones orientadas a encontrar yacimientos filonianos no sean siempre fructferas es la distribucin errtica de algunos minerales, como es el caso del oro. Se hace un sondeo en un punto, por ejemplo en unas venas de cuarzo, y se encuentra mineral, pero se hace a dos metros, en otras venas de cuarzo, y ah no se encuentra, cuando estructuralmente los dos conjuntos de venas parecen iguales. Para enfrentarse a esa aleatoriedad natural de una manera ms exitosa, el gelogo espaol y su colega ingls se plantearon que haba que encontrar algn criterio aplicable y fcil de utilizar con el que poder discriminar entre los filones ricos en mineral y los estriles. Y para ello, se les ocurri seguir las ideas de Benoit B. Mandelbrot, padre de la Geometra fractal, quien traslad a modelos matemticos formas y procesos de la naturaleza que se consideraban irregulares. Estudiar las fracturas Las concentraciones minerales en forma de filones son el resultado de la circulacin de un paleo fluido mineralizador a travs de un entramado de fracturas en una determinada zona de la corteza terrestre. Con el objetivo de entender cmo se producan esas fracturas, y qu diferenciaba a las que albergaban mineral de las que no, los investigadores empezaron estudiando los filones mineralizados en oro. Uno de los procedimientos para caracterizar la geometra de los objetos fractales, en este caso, de las redes de fracturas, consiste en atribuir a cada grupo de objetos una cantidad numrica, que coincide aproximadamente con la dimensin fractal. Una forma de obtener esa cantidad, que es una aproximacin a la cuantificacin de la organizacin geomtrica del conjunto de objetos que se va a estudiar, es utilizando una serie de parmetros caractersticos de ese conjunto. Y fue el anlisis de toda esa informacin mediante las tcnicas fractales lo que condujo a las primeras conclusiones: se observ que los sistemas de fracturas s tenan una organizacin, que se poda cuantificar mediante una determinada dimensin fractal, es decir, se podan discriminar los grupos mineralizados en oro de los estriles porque presentaban dimensiones fractales distintas. En todas las organizaciones geomtricas de tipo filoniano estudiadas, y han sido muchas, hemos observado que las trampas estructurales, el conjunto de fracturas que el fluido

busca, presenta siempre caractersticas semejantes de percolacin, y dimensiones fractales del mismo orden de magnitud. Que la mineralizacin filoniana sea de oro, estao o wolframio depender de otros factores como los fisicoqumicos o los termodinmicos, pero no de los estructurales. Los datos obtenidos a partir del estudio de muchos sistemas filonianos han servido para profundizar en el conocimiento de las redes de fracturas y los modelos de percolacin. Se parte de un conjunto inicial de fracturas aisladas y distribuidas aleatoriamente en un macizo rocoso las cuales tienen una distribucin fractal (D=1.0). Estas fracturas van creciendo proporcionalmente a su longitud y potencia unindose por sus extremos. Cuando el 50% de las fracturas han conectado la distribucin pasa a tener una dimensin fractal (D=0.8). Finalmente, cuando se conecta el 75% de las fracturas se forma un grupo de percolacin a una determinada densidad de fractura, (cuya distribucin tiene menor dimensin fractal D=0.6-0.7); el sistema percola a travs de este grupo, el cual favorece el flujo localizado de fluidos y el aumento de la deformacin, y si las condiciones fisicoqumicas son idneas se puede producir una determinada concentracin mineral. Otras aplicaciones El actual grupo de investigacin, de carcter multidisciplinar (compuesto por gelogos, matemticos, geofsicos e ingenieros informticos), se centra en dos reas especficas: la aplicacin de los fractales al anlisis de los diferentes aspectos relacionados con los terremotos y el estudio de microestructuras, concretamente, del maclado de calcita y sus implicaciones en los procesos de deformacin. Estudiar sismicidad desde esta perspectiva es algo lgico porque no se pueden separar las fracturas de los terremotos. Esta lnea se orienta a la bsqueda de relaciones entre la distribucin espacial de terremotos en los bordes de placas y su relacin con los tensores de esfuerzo existentes en esas zonas. En ella, el grupo de El proyecto de aplicacin de fractales a las maclas (complejos cristalinos formados en el crecimiento simultneo y entrecruzado de dos o ms cristales) se sustenta en una de las propiedades de la Geometra fractal, la invarianza a cambio de escala. Cuando se deforman las rocas y se comprimen, se producen fracturas, a un nivel macroscpico, y maclas, a una escala microscpica. Biologa Los fractales son estructuras geomtricas que se pueden usar para analizar muchas estructuras biolgicas que no son compatibles con anlisis convencionales. Modelos simples de estructuras biolgicas se pueden construir con formas simples tales como rectas, crculos, esferas y polgonos simples. Podemos estimar propiedades de la estructura, tales como longitud, rea, volumen, dureza, etc. Una seccin de un vaso sanguneo puede ser modelada como un cilindro mientras que la Tierra puede modelarse como una esfera. Pero existen muchas estructuras biolgicas que no pueden modelarse con formas simples. Uno de los patrones ms comunes es la estructura ramificada que aparece en muchas estructuras biolgicas. Las estructuras ramificadas en el cuerpo humano incluyen las arterias, venas, nervios, el Haz de His, los ductos de la glndula partida y el rbol bronquial entre otros.

Otros Procesos Fractales en la Naturaleza

Distribucin Regional del flujo sanguneo pulmonar Estructura Pulmonar alveolar Patrn del parnquima mamogrfico como un riesgo de cncer mamario x Heterogeneidad del flujo sanguneo en la regin del Miocardio Superficies fractales de las protenas Distribucin de las longitudes corporales de los artrpodos.

Dimensiones fractales en los huesos Los huesos se clasifican de acuerdo a su forma como: largos,cortos, planos o irregulares. Todos los huesos del esqueleto tienen una capa exterior densa que parece suave y slida a simple vista. Esta capa externa es llamada hueso compacto. Bajo esta capa est el hueso esponjoso, una especie de panal de pequeas piezas parecidas a agujas o piezas planas, como trabes, llamadas trabculas. Dentro de esta red, los espacios entre las trabculas estn llenos de mdula. El hueso trabecular tiene un patrn de ramificaciones, como podemos apreciar en este hueso vertebral. Tambin podemos ver que exhibe autosimilaridad. Es decir, las trabculas y los

espacios de mdula entre s se ven muy similares sin importar su tamao. Muchos modelos de los huesos en el pasado se haban realizado modelando la fuerza de rompimiento como una simple funcin de la densidad mineral del hueso. La densidad del hueso est fuertemente relacionada con la fuerza de rompimiento. Adems existen variaciones biolgicas en la fuerza de rompimiento en pacientes con la misma densidad de hueso. Los investigadores han podido crear modelos ms refinados de fuerza sea. Algunos de stos modelos estn basados en la idea de que no es slo la cantidad de mineral que se tiene

en un hueso dado, sino tambin cmo est acomodado en ese hueso lo que determina la fuerza del hueso. La idea del ndice fractal del hueso trabecular puede relacionarse con la fuerza sea, es de llamar la atencin, ya que calcular el ndice fractal del hueso trabecular es simple a partir de imgenes de Tomografa Computariza de un hueso dado. La imagen de abajo muestra dos modelos posibles para un hueso. Un hueso normal es algo que se encuentra entre el cilindro hueco del hueso a la izquierda y el cilindro slido a la derecha. Si analizamos estos dos huesos, podramos rebanadas de tomografa computarizada de estos dos huesos, mediramos un ndice fractal de 1.0 en el hueso hueco y un ndice de 2.0 en el hueso slido. Medidas de huesos normales caen entre estos dos valores extremos (al rededor de 1.7 a 1.8), y es posible esperar que el ndice fractal pueda probar ser til en la estimacin de la fuerza del hueso.

Cmo entonces, estimamos el ndice fractal de una estructura compleja como un hueso trabecular como la vrtebra de abajo?

Utilizando un programa de anlisis de imgenes. Primero tenemos que decirle al programa de anlisis de imgenes qu parte es hueso y qu parte no lo es. Esto es generalmente simple porque el hueso es mucho ms denso que los tejidos suaves. En el programa de anlisis de imgenes, se ajusta la ventana y los controles de nivel de tal manera que slo tejido con densidad de la tomografa computarizada sea mayor de un cierto nivel podra ser incluida en el anlisis. Esto se puede hacer visualmente con un software ajustando la ventana y los controles de nivel hasta que slo el tejido de inters se muestre (en rojo).

Una vez que estos umbrales de nivel se han puesto, el software de imgenes ahora sabe qu es hueso y que no. Ahora se puede seleccionar la regin del hueso trabecular de inters para analizarla, como se muestra abajo.

Hay una amplia variedad de algoritmos para calcular el ndice fractal de una estructura, tales como el algoritmo de conteo de caja, el mtodo de dilatacin de pixel, el mtodo de calipher, el mtodo del espectro de la potencia radial, y otros. rbol bronquial Uno de los sistemas en que es ms evidente la estructura geomtrica, es el sistema respiratorio, pues su objetivo es distribuir un volumen de aire inhalado (por la va area) en una superficie de intercambio (superficie alveolar) que se encuentra dentro de una regin de volumen acotado (el trax). Sin embargo, el diseo de un rgano no depende nicamente de su forma geomtrica sino tambin del ajuste de las partes a su funcin. El diseo del rbol bronquial de los mamferos se ha asociado con un adecuado flujo de gases a los alvolos, una mnima produccin de entropa en la mecnica respiratoria y con un mnimo costo en materia y energa. Mandelbrot fue el primero en proponer que el pulmn de los mamferos presenta una geometra fractal. Posteriormente varios cientficos han mostrado que la reduccin del dimetro de los bronquios, la superficie alveolar y el flujo pulmonar presentan propiedades fractales.

Respecto al dimetro de las vas areas, en los primeros estudios (en 1962) se encontraron evidencias de que el calibre de los 94 bronquios seguan una curva exponencial del tipo dn =do 2-n/3, denominando con dn al dimetro de un tallo de rama bronquial de la n-sima generacin y con do el dimetro inicial, adems (en 1991) se encontr que esta curva se encontraba asociada a la acomodacin de un mximo flujo con mnimo volumen, mnima disipacin de energa o mnima produccin de entropa. Posteriormente, se mostr que el dimetro de los bronquios ms all de la dcima generacin disminuye ms lento que lo predicho por la relacin exponencial dada en 1962, y que esto podra estar relacionado con la transicin desde una zona de transporte por conveccin a una zona de difusin pasiva, lo cual llev a que se propusiera como alternativa un decaimiento segn la ley de potencias dn=Ann-u, modulado por una funcin An, que introduce desviaciones peridicas en el factor de escala (renormalizacin) que tiene como importante consecuencia un efecto de proteccin de errores durante el desarrollo del pulmn, evitando que una anomala en el calibre de un bronquio se propague o aumente hacia el distal. Algunos cientficos han usado el modelo de renormalizacin para simular la va area. Sin embargo, otros destacan que ambos tipos de modelos (el exponencial y el potencial) son vlidos y obedecen a la geometra fractal unida a la asimetra del patrn de dicotoma bronquial. La cual es muy evidente en las observaciones hechas en broncografas. A pesar de que existen muchos estudios donde se calcula la dimensin fractal del rbol bronquial no se disponen medidas directas de la forma en que el rbol bronquial ocupa el espacio (de tres dimensiones) o de la autosimilitud de ste. Aunque algunos cientficos chilenos han podido tener una representacin tridimensional en acrlico del rbol bronquial de algunas especies de mamferos, cuando hacen el estudio del clculo de las

dimensiones fractales, lo hacen sobre fotografas de estos moldes, lo cual lleva a que slo se ha medido la dimensin fractal de proyecciones del rbol bronquial y no de l como objeto en el espacio tridimensional. Las dimensiones fractales de estas proyecciones del rbol bronquial se encuentran entre 1.57 y 1.59. La forma en que el rbol bronquial ocupa el espacio parece ser esencialmente la misma, independientemente de diferencias importantes en la masa corporal de las distintas especies observadas.

Ciencias sociales Los modelos fractales se estn aplicando en las diferentes parcelas de la ciencias sociales. Los fenmenos sociales y polticos son interpretados muchas veces como dispersin catica de cosas y sujetos, de prcticas y de economas, y se habla de la ciudad la ciudad contempornea como una ciudad "fractal" con distintas escalas el espacio fsico, social, econmico, institucional, por un mismo grado de fragmentacin poltico y cultural, caracterizado. En la pgina Fractal Geometry 1 de los profesores Michael Frame, Benoit Mandelbrot y Nial Neger de la Universidad de Yale, y dentro del apartado de Ciencias Sociales recogen algunos ejemplos de aplicacin de modelos de anlisis fractal tales como: el estudio de las guerras, la historia de los sumerios y el moderno Irak, la psicologa, y es muy interesante una aplicacin de automatizacin celular que denomina el dilema del prisionero que ha sido utilizada como modelo para las relaciones internacionales. Se seala que modelos similares se han utilizado para modelizar la evolucin de las ciudades y para explicar la organizacin autosimilar de la distribucin de servicios en las grandes ciudades.

Una vista area de la ciudad Logone-Birni en Camern. Modelo fractal de la ciudad y las tres primeras iteraciones del modelo fractal.

ECONOMA

Las figuras econmicas son generalmente representaciones de series temporales, y dentro de stas las ms populares son los grficos relacionados con los mercados financieros de valores, de divisas, de futuros y otros. Tienen un comportamiento fractal la evolucin de las cotizaciones de las acciones, de las divisas, de los futuros... reflejado en los grficos burstiles? . Los analistas financieros utilizan para tomar sus decisiones de inversin dos mtodos: el anlisis fundamental basado en el anlisis econmico, estudio de la marcha de las empresas, dividendos, rentabilidad... y el anlisis tcnico mediante el estudio de los grficos. Dentro del segundo mtodo existen distintos tipos de

anlisis: (1). El chartista que consiste en buscar figuras concretas del grfico para tomar la decisin. (2). El tcnico propiamente dicho usando instrumentos estadsticos para invertir. (3). El anlisis basado en las ondas de Elliott o en el fractal inestable de Elliott. Ralph Nelson Elliot, en 1930 dio a conocer su investigacin conocida como la teora de las ondas de Elliot, en la cual describe el movimiento de los mercados financieros con ondas de avance y correccin, donde a su vez cada onda de avance esta compuesta de ondas de avance y correccin ms pequeas. Elliot descubri un fractal sin conocer el concepto Grfico MESA de la cotizacin del Oro Fue en la dcada de los 80 del pasado siglo XX cuando John Ehlers presenta el sistema MESA (Maximum Entropy Spectral Analysis),mxima entropa espectral, y desde ese momento se empez a usar los sistemas no lineales para el anlisis del mercado. Si existen las citadas ondas o no es algo discutible, si permiten predecir la evolucin futura de los mercados tambin, pero que el grfico burstil es un fractal creo que es innegable, sino tmese un grfico semanal, y encontrar impulsos y correcciones muy similares a las que podra encontrar en un grfico diario, y en uno intradiario de 60 minutos y en uno intradiario de 5 minutos. El grfico de la izquierda muestra la naturaleza fractal de las cotizaciones de la moneda japonesa. Cotizacin del Yen. Tick es la "Fluctuacin Mnima de Precio": Unidad mnima establecida por la Bolsa en la que el precio de un producto puede fluctuar.

NATURALEZA

En la naturaleza los objetos fractales suelen aparecer en relacin con dos

circunstancias o situaciones:

(1). Frontera , y aqu incluimos todos los casos en que entran en contacto dos

medios humanos, naturales, fsicos, qumicos, etc. o dos superficies diferentes: frontera entre pases, riberas de los ros, litoral, nubes, ...

(2). rbol. Es decir aquellos casos en que se produce una ramificacin con auto similitud: rboles, arbustos, y plantas, cuencas fluviales con sistemas de ro, afluentes, ramblas, barrancos, riachuelos, etc.

Desde los orgenes de la geometra fractal se ha establecido la relacin de los fractales con la naturaleza. Ya en 1967 Benoit Mandelbrot public su famoso artculo: How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-similarity and Fractional Dimension,(Cunto mide la costa britnica? Autosimilitud estadstica y dimensin fraccionaria) basndose en una publicacin pstuma del cientfico britnico Lewis F. Richardson . Richardson en 1961, fue el primero en hacer medidas de este tipo. En el trabajo conclua que la longitud de una costa no estaba bien definida y propona una medida s que expresara la rugosidad. Determinando los siguientes valores para varias costas: (1) s = - 0,25 para el oeste de la costa de Gran Bretaa una ms rugosas de la tierra. (2) s = - 0,15 para la frontera de Alemania (3) s = - 0,14 para la frontera de Portugal con Espaa (4) s = - 0,13 para la costa australiana (5) s = - 0,02 para la costa surafricana, una de las ms suaves de la tierra.

(6) s = 0 para curvas muy suaves y crculos. En el grfico de la izquierda se representan en coordenadas (x,y), y en el grfico a la izquierda con valores logartmicos, los valores de la longitud de la costa britnica en funcin de la escala de medida. En el grfico logartmico la pendiente de la curva se corresponde con el valor s = - 0,25

Mandelbrot fue el primero en darse cuenta que las pendientes de las rectas presentadas por Richardson correspondan a la dimensin de Hausdorff de las costas. Recordemos que: S = LD Donde S es el tamao del fractal, L la escala de medicin D es la dimensin fractal que buscamos. Operamos para despejar D: log S = D log L -------> D = log S / log L Segn esto la dimensin fractal toma los siguientes valores de D (1) D = 1,25 para el oeste de la costa de Gran Bretaa. (2) D = 1,15 para la frontera de Alemania. (3) D = 1,14 para la frontera de Portugal con Espaa. (4) D = 1,13 para la costa australiana. (5) D = 1,02 para la costa surafricana. (6) D = 1 para curvas muy suaves y crculos.

Si recurrimos al modelo simplista de calcular la costa de una isla, que es un crculo de radio uno, podremos resolver fcilmente la cuestin. Sabemos que la longitud de una circunferencia es 2 p, es decir, aproximadamente 6,28. Pero otro mtodo de llegar al mismo resultado por aproximaciones sucesivas sera inscribir polgonos de cada vez ms lados(3, 4, 5, 6, 7,8, 9....) en el crculo, y acercarnos poco a poco al valor lmite que es la circunferencia real, tal como vemos observando los valores recogidos en siguiente tabla:

N de Lados 3 4 8 16 32 64 Longitud de un lado 1,732 1,414 0,765 0,390 0,196 0,098 Permetro 5,20 5,66 6,12 6,24 6,27 6,28 En los grficos de la derecha se representan en coordenadas en el de la izquierda (x = nmero de lados , y = permetro circunferencia) y con valores logartmicos valores de la longitud de la circunferencia en el de la derecha. Podemos ver que el valor de la dimensin Hausdorf es 1, por tanto igual a la dimensin topolgica y por tanto como resulta evidente una circunferencia no es un fractal.

Siguiendo este mismo el mismo mtodo podremos calcular la dimensin de la costa de britnica o la de cualquier pas, la de cualquier ro....

CIENCIAS Y TECNOLOGA Las aplicaciones fractales en el campo de la tecnologa se circunscriben mayoritariamente en los campos del diseo y compresin de imgenes y en el campo de las telecomunicaciones. Las antenas son objetos sencillos en apariencia, pero su diseo y fabricacin estn basados en las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo, lo que conlleva cierta complejidad. Por esta razn los diseadores de antenas se ven obligados a proceder por tanteos, por prueba y error. Incluso los receptores tcnicamente ms avanzados dependen con frecuencia de un simple hilo colgante, que no se diferencia en nada de los utilizados hace un siglo por Marconi en sus primeras pruebas de transmisin por radio. Los fractales mejoran el diseo de antenas bsicamente por dos motivos. El primero es porque pueden mejorar el funcionamiento de los conjuntos de antenas. Muchas antenas parecen estar compuestas de una unidad independiente, incluyendo la mayora de antenas de radar, pero en realidad estn compuestas de formaciones de cientos de pequeas antenas. Tradicionalmente, estas antenas individuales se colocan de forma aleatoria o de forma ordenada. Pero Dwight Jaggard y su equipo de la Universidad de Pensilvana, han descubierto que una colocacin en forma de fractal puede combinar la robustez de una colocacin aleatoria con le eficiencia de una ordenacin coherente, con una sola parte del nmero de elementos.Los fractales son el puente que llena los huecos, comenta Jaggard, tienen un desorden a corto alcance y un orden a largo alcance.Incluso las antenas independientes se benefician de tener una forma fractal. En segundo motivo es porque la forma fractal puede ser beneficiosa incluso para antenas aisladas. Nathan Cohen, un radioastrnomo de la Universidad de Boston, desarroll una patente con hilos doblados siguiendo la forma de las curvas de Koch, o de los tringulos de Sierpinski. Al replegar as la antena se consigue no slo alojar la misma longitud en un espacio seis veces menor, sino que su forma dentada genera capacitancia e inductancia adicionales, haciendo innecesarios elementos externos para su sintonizacin o para aumentar la anchura de la banda de frecuencias que pueda recibir. Cohen fund la empresa Fractal Antenna Systems que comercializa los productos. De forma independiente, un equipo de ingenieros de la Universidad Politcnica de Catalua est investigando en este campo. Las antenas fractales para que funcionen perfectamente segn Cohen y Robert Hohlfeld, deben satisfacer dos condiciones: tiene que ser simtrica con respecto a un punto, y tiene que ser similar a s misma (es decir, tener el mismo aspecto bsico en cada escala), condiciones indispensables para ser fractal.

La aplicacin de tcnicas fractales para la compresin de imgenes digitales fue introducida por Michael Barnsley y Arnaud Jacquin en 1988. La compresin consiste en buscar un conjunto de transformadas afines que describan aproximadamente la imagen. Jacquin propone considerar las imgenes como una coleccin de transformaciones afines de pequeos dominios de imagen.

Bsicamente, el proceso de compresin, muy a grandes rasgos, es el siguiente:

La imagen origen es dividida en subconjuntos llamados regiones de dominio, sobre las que se buscarn redundancias dentro de la imagen.

Para cada regin de dominio se escoge una regin de rango, mayor en tamao que la regin de dominio.

Todas las posibles regiones de rango sin rotadas, escaladas y se las aplica una simetra (en definitiva, una transformacin afn), eligiendo la regin de rango que junto con la transformacin afn mas se aproxime a la regin de dominio.

La eleccin de la regin de rango, junto con la transformacin afn, se almacena en el fichero fractal, y constituirn los patrones para la descompresin y as reconstruir la imagen original.

El proceso de descompresin se resume en iterar un nmero suficiente de veces todas las transformaciones afines almacenadas sobre las regiones de rango hasta llegar a un conjunto invariante, al atractor, que es una buena aproximacin de la imagen original (al tratarse de una compresin con prdidas, nunca ser una rplica pixel a pixel del original). Con esta tcnica de compresin se consiguen en general muy buenos resultados, pero no es apropiada para aplicarla sobre imgenes mdicas. Se logran altas tasas de compresin pero la calidad de las imgenes no logra alcanzar los niveles aceptables de fiabilidad que se requieren para los diagnsticos mdicos. Artes Bajo el punto de vista de las artes podramos decir que un fractal es bsicamente la expresin visual o auditiva e incluso espacial (con cualquier tipo de dimensin) de una expresin matemtica. La particularidad de la creacin artstica con fractales consiste en que el algoritmo de la frmula nos conduce a una progresin ascendente o descendente de la misma, y a la generacin en el caso de imgenes, de expresiones visuales que se repiten y progresan hacia lo infinitamente grande o hacia lo infinitamente pequeo. Sin embargo, el mundo que abren los fractales a la creacin artstica no se agota en lo anterior, sino que incluso brinda muchos elementos de reflexin para abordar temas como la Teora del Caos y la aleatoriedad. Los fractales posibilitan crear nuevos mundos en nuevas dimensiones, jugar con el caos y la aleatoriedad y las posibilidades fascinantes e infinitas que ofrecen. La visualizacin del mismo concepto del infinito, del todo, de la nada, del Universo. Sin lpices, sin pigmentos, sin soportes, solo con un ordenador y los programas de generacin y clculo. Sin ordenadores y durante siglos, el ser humano ha utilizado patrones geomtricos repetitivos siguiendo modelos fractales como elementos decorativos en vasijas, arquitectura e iluminacin de libros. Un ejemplo muy grfico puede ser el arte decorativo rabe, basado en la repeticin de motivos geomtricos o los ejemplos que encontramos en el arte africano. El mosaico del suelo en la cripta de la Catedral de Anagni (Italia), que fue construida en el ao 1104, esta formado por tringulos de Sierpinski de orden 4, 800 aos antes de que definiera su famoso tringulo. Hay tambin ejemplos de recursividad en la arquitectura

de catedrales gticas, como la de Len, Leonardo da Vinci en algunos de los diseos de catedrales con tres niveles jerrquicos de bvedas circundantes. Es muy interesante tambin observar y apreciar la geometra fractal en el arte y la arquitectura hindes, en los que se aprecian patrones recursivos y formas autosimilares. Sobre la Torre Eiffel escribe Benot Mandelbrot en su libro The Fractal Geometry of Nature (pginas 131-132): "Mi impresin es que la torre que Gustave Eiffel construy en Pars, antes de conocerse las ideas de Koch, de Peano, y de Sierpinski, incorpora deliberadamente la idea de una curva fractal por completo en la estructura de los ramales ascendentes de la torre".

Debemos mencionar de manera especial al artista plstico, Mauritis Cornelius Escher (1898- 1972) , que es el artista que mejor ha reflejado grficamente el pensamiento matemtico moderno y que intuy los fractales y su geometra. Sin ser matemtico, sus obras muestran un inters y una profunda comprensin de los conceptos geomtricos, desde la perspectiva a los espacios curvos, pasando por la divisin del plano en figuras iguales. Sin ordenadores y sin conocer los fractales realiz a partir de la dcada de los 30 del pasado siglo

XX, numerosos grabados que nos incursionan artsticamente, en las cuestiones de las progresiones infinitas. Se interes tambin por las construcciones imposibles, por conciliar cuestiones paradjicas entre s y por representar la unidad de las dualidades. Escher (1898- 1972). Smaller and Smaller, Xilografa, dos tintas, 1956 Generador de paisajes fractales

Mediante el empleo de tcnicas fractales, se pueden generar espectaculares imgenes sintticas simulando decorados, paisajes naturales, vuelos de aeronaves y toda suerte de zooms y travellings cinematogrficos. El cine, la publicidad y los videojuegos estn aprovechando este tipo de tecnologas para elaborar sus propias escenografas y efectos especiales.

Msica Tambin es posible hacer msica fractal ya que los valores numricos que se asignan a los parmetros que definen un fractal pueden convertirse en notas musicales. El precursor de la msica mediante fractales fue Joseph Schilinger en la obra The Schilinger Musical Composition (1941), un vasto trabajo recogido en 12 volmenes. El juego del caos El nombre de "juego del caos" fue introducido por Michael F. Barnsley. Hay infinitos juegos del caos, pero todos siguen el mismo esquema. Todo los juegos utilizan un dado y un conjunto de reglas entre las que elegir. Se va a utilizar, de entre los infinitos juegos del caos que existen, el siguiente:

Preparacin: Se toma una hoja de papel y un lpiz y se dibuja en la hoja tres puntos. Se etiquetar a cada uno de estos puntos como 1, 2, y 3, y se les denominar como bases. El juego utiliza un dado perfecto que permite

elegir de manera aleatoria y con igual probabilidad a cualquiera de los tres puntos.

Reglas: Se empieza el juego eligiendo un punto arbitrario de la hoja de papel y se dibuja en la hoja una marca en ese punto. Este punto ser denominado como el punto del juego. Ahora se tira el dado. S, por ejemplo, se obtiene el nmero 2, se dibuja el punto en la hoja de papel que esta a la mitad de distancia entre el punto del juego y el punto base nmero 2. Este nuevo punto obtenido pasar a ser el punto del juego. El juego contina repitiendo este proceso: se tira el dado, que elige una nueva base, y se dibuja el punto que esta a la mitad de distancia entre el punto del juego anterior y la base aleatoriamente elegida.

La imagen que se espera obtener a partir del juego del caos descrito, es la de una nube de puntos aleatorios circunscritos al tringulo definido por las bases. La figura recoge el resultado de jugar para obtener 1000 y 1500 puntos con este juego:

En vez de obtener una nube de puntos aleatorios, se obtiene el tringulo de Sierpinski, que es un conjunto muy estructurado.

Biografa de Benoit Mandelbrot Nacido: 20 de Noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia

Benoit Mandelbrot ha sido en gran parte responsable por el actual inters en la geometra fractal. Mostr cmo los fractales pueden surgir en muchos lugares diferentes, tanto en matemticas como en cualquier lugar de la naturaleza. Mandelbrot naci en Polonia en 1924 en una familia de mucha tradicin acadmica. Su padre, sin embargo, se ganaba la vida comprando y vendiendo ropa aunque su madre era doctora. De joven, Mandelbrot fue introducido en las matemticas por sus dos tos. La familia Mandelbrot emigr a Francia en 1936 y su to Szolem Mandelbrot, quin fue Profesor de Matemticas en el Colegio de Francia y el sucesor de Hadamard en este cargo, tom la responsabilidad de su educacin. De hecho la influencia de Szolem Mandelbrot fue a la vez positiva y negativa puesto que era un gran admirador de Hardy y de la filosofa matemtica de Hardy. Esto condujo a una reaccin por parte de Mandelbrot contra la matemtica pura, aunque como dice el propio Mandelbrot, ahora entiende cmo el profundo sentido de pacifismo de Hardy le hizo temer que la matemtica aplicada, en malas manos, pudiera ser usada para el mal en tiempos de guerra. Mandelbrot asisti al Liceo Rolin en Paris al inicio de la Segunda Guerra Mundial, cuando su familia se traslad a Tulle, en la Francia central. Esta fue una poca de extraordinaria dificultad para Mandelbrot, que temi por su vida en muchas ocasiones. De hecho [3] el efecto de esos aos en su educacin fue enfatizado:

La Guerra, la constante amenaza de pobreza y la necesidad de sobrevivir lo mantuvo lejos de la escuela y el instituto; y a pesar de que l reconozca como "maravillosos" a los profesores de la escuela secundaria, fue en su mayor parte autodidacta.

Mandelbrot ahora atribuye mucho de su xito a esta educacin no convencional. Le permiti pensar de maneras que hubiera sido difcil para alguien que, a travs de una educacin convencional, es fuertemente motivado a pensar de manera estndar. Tambin le permiti desarrollar una aproximacin muy geomtrica de las matemticas y su notable intuicin y visin geomtrica empez a darle visiones reveladoras nicas de problemas matemticos. Tras estudiar en Lyon, Mandelbrot entr en la Escuela Normal en Paris. Fue uno de los periodos de tiempo ms cortos en los que alguien estudi all, puesto que solo dur un da. Tras una actuacin exitosa en los exmenes de ingreso de la Escuela Politcnica, Mandelbrot empez sus estudios all en 1944. Estudi bajo la direccin de Paul Lvy, otro que influy fuertemente en Mandelbrot.

Tras completar sus estudios en la Escuela Politcnica, Mandelbrot fue a los Estados Unidos donde visit el Instituto de Tecnologa de California. Tras su doctorado otorgado por la Universidad de Paris, fue al Instituto de Estudios Avanzados en Princeton donde fue patrocinado por John Von Neumann. Mandelbrot regres a Francia en 1955 y trabaj en el Centro Nacional de la Investigacin Cientfica. Se cas con Aliette Kagan durante este periodo de regreso en Francia y Gnova, pero no se quedo all mucho tiempo antes de volver a los Estados Unidos. Clark le dio las razones por su infelicidad con el estilo de matemticas en Francia en esa poca. [3]:

Aun profundamente preocupado con las formas exticas de la mecnica estadstica y la matemtica lingstica y lleno de creativas ideas no estndar, el enorme dominio de la escuela fundacional francesa de Bourbaki, no era de su gusto cientfico y, en 1958, se fue a los Estados Unidos permanentemente y empez su colaboracin ms duradera y fructfera en IBM como IBM Fellow en sus mundialmente afamados laboratorios en Yorktown Heights en el estado de Nueva York.

IBM dio a Mandelbrot un ambiente que le permiti explorar una amplia variedad de ideas diferentes. Se le habl de cmo su libertad en IBM de elegir las direcciones que quera tomar en su investigacin le ofreca la oportunidad que ningn cargo de universidad le podra haber dado. Tras retirarse de IBM, encontr oportunidades similares en la Universidad de Yale, donde es actualmente Profesor Sterling de Ciencias Matemticas. En 1945 el to de Mandelbrot le mostr el importante artculo de 1918 de Julia, afirmando que era una obra maestra y una potencial fuente de interesantes problemas, pero a Mandelbrot no le gust. De hecho reaccion bastante mal contra las sugerencias presentadas por su to puesto que senta que toda su posicin sobre matemticas era muy diferente de la de su to. En su lugar, Mandelbrot escogi su propio y diferente rumbo que, sin embargo, le llev de vuelta al artculo de Julia en los 70 tras un camino por diferentes ciencias que alguien caracteriz como altamente individualista o nmada. De hecho la decisin de Mandelbrot de contribuir a diferentes ramas cientficas fue deliberadamente tomada a corta edad. Es notable cmo fue capaz de cumplir su ambicin con tan notable xito en tantas reas. Con la ayuda de grficos por ordenador, Mandelbrot, quien en entonces trabajaba para el Centro de Investigacin Watson de IBM, fue capaz de mostrar cmo el trabajo de Julia es una fuente de algunos de los ms bellos fractales conocidos hoy en da. Para hacer esto tuvo que desarrollar no solo nuevas ideas matemticas, sino tambin tuvo que desarrollar algunos de los primeros programas de ordenador para imprimir grficos. El conjunto de Mandelbrot es un conjunto de puntos conectados en el plano complejo. Tmese un punto z0 en el plano complejo.

Calcular: z1 = z0 + z0 z2 = z1 + z0 z3 = z2 + z0 ...

Si la serie z0 , z1 , z2 , z3, ... permanece siempre a una distancia menor o igual a 2 del origen, entonces se dice que el punto z0 est en el conjunto de Mandelbrot. Si la serie diverge desde el origen, entonces el punto no est en el conjunto.

Su trabajo fue puesto por primera vez elaborado en su libro Les objets fractals, forme, hasard et dimension (1975) y ms completo en The fractal geometry of nature en 1982

El 23 de Junio de 1999 Mandelbrot recibi el Grado Honorfico de Doctor en Ciencias por la Universidad de St. Andrews. En la ceremonia, Peter Clark dio un discurso [3] en el que

expuso los logros de Mandelbrot en perspectiva. Citamos de se discurso:

... y al cierre de un siglo en el que la nocin de progreso humano intelectual, poltico y moral es visto, quiz en el mejor de los casos, como ambiguo y equvoco, hay al menos un rea de la actividad humana donde la idea de un logro, de un progreso real, es sin ambigedades y transparentemente claro. Esto es, las matemticas. En 1900 en un famoso discurso al Congreso Internacional de matemticos en Paris, David Hilbert enumer 25 problemas abiertos de excepcional importancia. Muchos de esos problemas han sido solucionados definitivamente, o se ha demostrado que son insolubles, culminando, como sabemos, a mediados de los noventa con el descubrimiento de la prueba del ltimo Teorema de Fermat. El primero de los problemas de Hilbert tuvo que ver con la maraa de temas sobre la naturaleza del continuo o la recta de los reales, una preocupacin importante para el anlisis durante el siglo 19 y de hecho tambin durante el siglo 20. El problema concerniente a la naturaleza de la recta era tanto geomtrico, al pensarla como constituida por puntos, como aritmtico, al considerarla como la teora de los nmeros reales. La integracin de ambos campos fue uno de los mayores xitos de Richard Dedekind y Georg Cantor, al ltimo de los cuales, nosotros [la Universidad de St. Andrews] fuimos suficientemente inteligentes como para honrar en 1911. Ahora espiando, por decirlo as, en el sotobosque de ese logro se encuentran, de hecho, numerosos objetos geomtricos extraordinarios. A todos en aquel momento les parecan extraos; ms bien monstruos patolgicos, de hecho. Eran ciertamente estrafalarios, all haba curvas - de hecho lneas de una dimensin - que rellenaban espacios de dos dimensiones; all haba curvas que tenan una buena conducta, esto es, bonitas y continuas que no tenan pendiente en ningn punto (no solo en algunos puntos sino en NINGN punto) y llevaban extraos nombres: la

curva de Peano, que llena el espacio; la esponja de Sierpinski, la curva de Koch, el conjunto ternario de Cantor. A pesar de sus patolgicas cualidades, su extraordinaria complejidad, especialmente vistas con mayor y mayor detalle, eran a menudo muy simples de describir en el sentido que las reglas que las generan eran absurdamente simples de establecer. Estos objetos eran tan estrafalarios que los matemticos empezaron a exceptuar estos monstruos y fueron dejados de lado como demasiado extraos para ser de inters. Esto es, hasta que nuestro honorario graduado cre alrededor de ellos toda una nueva ciencia, la teora de la geometra fractal: fue su perspicacia y visin la que encontr en esos objetos y en los muchos otros que descubri, algunos de los cuales llevan hoy su nombre, no curiosidades matemticas sino postes indicadores de un nuevo universo matemtico, una nueva geometra con tanto sistema y generalidad como la de Euclides y una nueva ciencia fsica.

As como IBM Fellow en el Centro de Investigacin Watson, Mandelbrot tambin fue profesor de Prctica de las Matemticas en la Universidad de Harvard. Tambin obtuvo nombramientos como Profesor de Ingeniera en Yale, de Profesor de Matemticas en la Escuela Politcnica, de Profesor de Econmicas en Harvard y como Profesor de Fisiologa en el Instituto Einstein de Medicina. Las incursiones de Mandelbrot en tantas ramas diferentes de la ciencia no fueron, como hemos mencionado antes, accidentales sino decisiones deliberadas de su parte. Fue, sin embargo, resultado de que los fractales fueran tan ampliamente encontrados lo que en muchos casos suministr el camino a otras reas [3]:

No debera [...] dar la impresin de que tenemos aqu ante nosotros solamente a un matemtico. Djenme explicar por qu. La primera de sus grandes perspicacias fue el descubrimiento de que las extraordinariamente complejas, casi patolgicas estructuras que haban sido largamente ignoradas, exhiben ciertas caractersticas universales que requieren una nueva teora de la dimensin para tratarlas adecuadamente lo cual l haba generalizado desde el trabajo inicial de Hausdorff y Besicovitch pero la segunda gran perspicacia fue que la propiedad fractal descubierta as, la teora general que haba proporcionado, estaba presente casi universalmente en la Naturaleza. Lo que l vio fue que el paradigma de abrumadora uniformidad con la que los fsicos matemticos han intentado describir la Naturaleza era radicalmente deficiente e incompleta. Fractales y pre-fractales, una vez percibidos, estn en todas partes. Ocurren en fsica en la descripcin de la conducta extraordinariamente compleja de algunos sistemas fsicos simples como la fuerza del pndulo y la enormemente compleja conducta de la turbulencia y la transicin de fase. Ocurren en economa con la conducta de los precios y, como sospechaba Poincar pero nunca prob, en la conducta de la bolsa o en nuestra propia bolsa de mercado en Londres. Ocurren en fisiologa, en el crecimiento de las clulas mamarias. Lo crean o no [...] ocurren en los jardines. Observen de cerca y

vern una diferencia entre las cabezas de las flores de brcoli y de la coliflor, una diferencia que puede caracterizarse de forma exacta con la teora fractal.

Mandelbrot ha recibido numerosos honores y premios en reconocimiento a sus notables logros. Por ejemplo, en 1985 Mandelbrot fue galardonado con la Medalla Barnard por Servicios Meritorios para la Ciencia. El ao siguiente recibi la Medalla Franklin. En 1987 fue honorado con el Premio Alexander von Humboldt, recibiendo la Medalla Steinmetz en 1988 y muchos ms premios incluyendo la Lgion d'Honneur en 1989, la Medalla Nevada en 1991, el Premio Wolf para fsicos en 1993 y el Premio Japons para Ciencia y Tecnologa en 2003. Direcciones de sitios web que contienen applets sob re fractales

http://www.dma.fi.upm.es/java/geometriafractal/clasicos%2DI/app_cantor.html http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/fractales/Curvas_Rec.htm http://interactiva.matem.unam.mx/

Fuentes consultadas

Flor de Mara Aceff y Emilio Lluis-Puebla , Matemtica en la Matemtica II, Msica II, Naturaleza y Nuestro Cuerpo, Publicacin electrnica de la Sociedad Matemtica Mexicana

Virgilio A Gonzlez- Carlos Guerrero, Fractales: fundamentos y aplicaciones Parte I. Concepcin geomtrica en la ciencia e ingenieria, Ingenierias, Nero-Marzo 2001, Vol IV, N 10

Jose Manuel Gutierrez , Fractales y Caos en sistemas no linales y aplicaciones, Universidad de Cantabria 2000

Fractales y Geologa, una combinacin productiva http://www.madrimasd.org/cienciaysociedad/entrevistas/quien-es-quien/pdf/28.pdf Laura Escobar, El copo de nieve de Sierpinski http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Integral_de_Honores/copo_de_nieve/copo_de_nieve.htm

http://www.dma.fi.upm.es/sonia/proyectos/SFI-recurrentes/documentacion/teoria4.htm

http://free.prohosting.com/josuna/fractal/Intro/intro.htm#VentDesv

http://www.astroseti.org/imprime.php?num=4307

http://www.campusred.net/straining/cursos/C2Dignacioargote/lecciones/biologiamedicina.htm