1

INGENIERÍA ELECTRÓNICA “L A P A R Á B O L A”

Alumno: Vásquez Medina Cristhian Erick 144556 - G

Profesor:

Córdova Descalzi Rolando

Área:

Matemática Básica

Fecha:

22 / 03 / 2015

Ciclo:

I

2

ÍNDICE:

Definición…………………………………………………………………

Componentes de la Parábola………………………………………..

Ecuación Canónica de la Parábola – Vértice (0, 0)……………..

Ecuación de una Parábola de Vértice (h, k)

y eje paralelo a un eje coordenado………………………………..

Ecuación de la Tangente a una Parábola………………………...

La Función Cuadrática………………………………………………...

Bibliografía………………………………………………………………..

3

3

3

5

8

11

13

3

L A P A R Á B O L A

I. DEFINICIÓN:

Una parábola es el lugar geométrico de un punto de tal manera que su distancia de

una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del

plano y que no pertenece a la recta.

El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.

II. COMPONENTES DE LA PARÁBOLA:

III. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA – VÉRTICE (0, 0)

Una parábola cuyo vértice está en el

origen y su eje coincide con el eje de

las coordenadas, tiene una ecuación

de la forma y=ax2 donde el

parámetro a especifica la escala de

la parábola. Cuando el parámetro es

positivo, la parábola se abre «hacia

arriba» y cuando es negativo se abre

«hacia abajo».

Foco: Es el punto fijo F.

Directriz: Es la recta fija d.

Parámetro: La distancia del foco a la

directriz, se designa por la letra p.

Eje: Es la recta perpendicular a la

directriz que pasa por el foco.

Vértice: Es el punto de intersección

de la parábola con su eje.

Radio Vector: Es un segmento que

une un punto cualquiera de la

parábola con el foco.

Cuerda: Distancia entre dos puntos

de la parábola sin pasar por el foco.

Diámetro: El segmento entre dos

puntos pero pasando por la parábola.

d(F, P) = d(P, d)

4

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P, 0). La directriz

es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P, 0). A la distancia entre el vértice y el

foco se le llama distancia focal.

Con esta configuración se tiene: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0).

A continuación se muestran las fórmulas que se utilizan para el cálculo de ecuaciones,

coordenadas del foco y la directriz:

TIPO ECUACIÓN FOCO DIRECTRIZ

Vertical X2 = 4PY F(0; P) D = Y = -P

Horizontal Y2 = 4PX F(P, 0) D = X = -P

“Recuerda que siempre la parábola va a abrir hacia donde está el foco por lo

que si el foco tiene coordenadas negativas puede abrir hacia abajo o hacia la

izquierda, sin embargo si el foco es positivo puede abrir hacia arriba o hacia la

derecha.”

Ejemplo N°1:

Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje Y pasa

por el punto (4; -2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco,

la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

Trazar la gráfica correspondiente.

Solución:

La ecuación de la parábola cuando el

vértice está en el origen es:

X2 = 4PY

Como la parábola pasa por el punto (4,

-2), las coordenadas de este punto deben

satisfacer la ecuación:

16 = 4P (-2)

De donde, P= -2, y la ecuación buscada

es:

X2 = -8Y

Por el teorema: Punto Foco = Punto Directriz. El foco es el punto (0, p), o sea,

(0, -2), la ecuación de la directriz es:

y = - p

o sea, y = 2,

y la longitud del lado recto es │4p │= 8.

5

IV. ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA DE VÉRTICE (H, K) Y EJE PARALELO A UN

EJE COORDENADO

Frecuentemente necesitaremos

obtener la ecuación de una

parábola cuyo vértice no esté en el

origen y cuyo eje sea paralelo, y no

necesariamente coincidente, a uno,

de los ejes coordenados.

De acuerdo con esto,

consideremos la parábola cuyo

vértice es el punto (h, k) y cuyo eje

es paralelo al eje X. Si los ejes

coordenados son trasladados de tal

manera que el nuevo origen 0' coincida con el vértice (h, k), se sigue, con la ecuación

de la parábola con referencia a los nuevos ejes X' y Y' está dada por:

y'2 = 4px' (1)

En donde las coordenadas del foco F son (p, 0) referido a los nuevos ejes. A partir de

la ecuación de la parábola referida a los ejes originales X y Y, podemos obtener la

ecuación (1), usando las ecuaciones de transformación:

x = x' + h, y = y' + k

De donde,

x' = x – h , y' = y – k

Si sustituimos estos valores de x' y y' en la ecuación (1), obtenemos

(y – k)2 = 4p (x – h) (2)

Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyo eje es paralelo al eje

Y tiene por ecuación

(x – h)2 = 4p (y – k) (3)

En donde p es la longitud de aquella porción del eje comprendida entre el foco y

el vértice.

Las ecuaciones (2) y (3) se llaman, generalmente, “segunda ecuación ordinaria de

la parábola”.

6

Los resultados anteriores conducen al siguiente

TEOREMA 2:

La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la forma

(y – k)2 = 4p (x – h)

Siendo p la longitud de aquella porción del eje comprendida entre el foco y el

vértice.

Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha, si p < 0, la parábola se abre hacia la

izquierda.

Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación

es de la forma

(x – h)2 = 4p (y – k)

Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba, si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Ejemplo N° 1:

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el

punto (3, 2). Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

Solución:

Como el vértice V y el foco F de una

parábola están sobre su eje, y como

en este caso cada uno de estos

puntos tiene la misma abscisa 3, se

sigue que el eje a es paralelo al eje

Y, como se indica en la figura. Por

tanto, por el teorema explicado, la

ecuación de la parábola es de la

forma.

(x – h)2 = 4p (y – k)

Como el vértice V es el punto (3, 4), la ecuación puede escribirse

(x – 3)2 = 4p (y – 4)

7

Ahora bien, p = 𝐹𝑉̅̅ ̅̅ = 4 - 2 = 2. Pero, como el foco F está abajo del

vértice V, la parábola se abre hacia abajo y p es negativo. Por tanto, p = -2, y la

ecuación de la parábola es

(x – 3)2 = -8 (y – 4)

Y la longitud del lado recto es 8.

TEOREMA 3:

Una ecuación de segundo grado en las variables x y y que careza del término en

xy puede escribirse en la forma

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Si A= 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, la ecuación representa una parábola suyo eje es paralelo

a (o coincide con) el eje X. Si, en cambio, D = 0, la ecuación representa dos rectas

diferentes paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún

lugar geométrico, según que las raíces de Cy2 + Ey + F = 0 sean reales y

desiguales, reales e iguales o complejas.

Si A ≠ 0, C = 0 y E ≠ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo

a ( o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas

diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún

lugar geométrico, según que las raíces de Ax2 + Dx + F = 0 sean reales y

desiguales, reales e iguales o complejas.

Ejemplo N° 2:

Demostrar que la ecuación 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0 representa una parábola, y

hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la

longitud de su lado recto.

Solución:

Por el teorema 3, la ecuación

4x2 – 20x – 24y + 97 = 0 (a)

Representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y.

Si reducimos la ecuación (a) a la segunda forma ordinaria, completando el

cuadrado en x, obtenemos

(𝒙 − 𝟓

𝟐) = 𝟔(𝒚 − 𝟑)

De esta ecuación vemos inmediatamente que las coordenadas del vértice son

(5

2, 3). Como 4p = 6; p=

3

2, y la parábola se abre hacia arriba. Entonces como el

8

foco está sobre el eje y el eje es paralelo al eje Y. se sigue las coordenadas del

foco son (5

2, 3 +

3

2 ), o sea, (

5

2,

9

2). La ecuación de la directriz es y = 3 -

3

2, o

sea, y = 3 - 3

2 y la longitud del lado recto es 4p = 6.

V. ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA:

La determinación de la tangente a la parábola no requiere la introducción de ningún

concepto nuevo. Como la ecuación de la parábola es de segundo grado, su tangente

puede obtenerse empleando la condición para tangencia.

Consideremos tres casos:

1. Tangente en un punto de contacto dado.

Vamos a determinar la ecuación tangencial de la tangente a la parábola

y2 = 4px (a)

en un punto cualquiera P1 (x1 , y1) de la parábola.

La ecuación de tangente buscada es de la forma

y – y1 = m(x – x1) (b)

en donde está por determinarse la pendiente m. Si el valor y dado por la

ecuación (b) es sustituido en la ecuación (a), se obtiene

(y1 + mx – mx1)2 = 4px,

La cual se reduce a

m2 x 2 + (2 m y1 – 2 m2 x1 – 4p) x + (y12 + m2 x1

2 – 2 m x1 y1) = 0

Para la tangencia, el discriminante de esta ecuación debe anularse, y escribimos

(2 m y1 – 2 m2 x1 – 4p) 2 - 4m2 (y12 + m2 x1

2 – 2 m x1 y1) = 0

La cual se reduce a

x1 m2 – y1 m + p = 0 (c)

de donde,

𝒎 = 𝒚𝟏 ± √𝒚𝟏 − 𝟒𝒑𝒙𝟏

𝟐𝒙𝟏

9

Pero, como P1 (x1, y1) está sobre la parábola (a), tenemos

y12 = 4 px1, (d)

de donde m = 𝒚𝟏

𝟐𝒙𝟏. Si sustituimos este valor de m en (b), obtenemos, después

de simplificar y ordenar los términos,

2x1 y = y1 (x + x1).

De la ecuación (d), 2x1 = 𝒚𝟏

𝟐𝒑 , y si se sustituye este valor en la última ecuación

se obtiene la forma más común de la ecuación de la tangente.

Y1 y = 2p (x + x1)

Muchas propiedades interesantes e importantes de la parábola están asociadas

con la tangente en un punto cualquiera de la curva. La deducción de tales

propiedades es más sencilla, en general, usando la forma canónica (a) y, por

tanto, la ecuación de la tangente que acabamos de obtener es especialmente útil.

Según la ecuación obtenida tenemos el teorema que damos a continuación.

TEOREMA 4:

La tangente a la parábola y2 = 4px en cualquier punto P1 (x1, y1) de la curva tiene

por ecuación

y1 y = 2p (x + x1)

2. Tangente con una pendiente dada.

Consideremos ahora el problema general de determinar la ecuación de la

tangente de pendiente m a la parábola (a).

La ecuación buscada es de la forma

y = mx + k, (e)

en donde k es una constante cuyo valor debe determinarse. Si sustituimos el

valor de y dado por (e) en la ecuación (a), obtenemos

(mx + k)2 = 4px,

10

O sea,

m2 x2 + (2mk – 4p) – 4k2 m2 = 0

de donde,

k = 𝒑

𝒎 ,

valor que, sustituido en (e), nos da la ecuación buscada

y = mx + 𝒑

𝒎 , m ≠ 0.

TEOREMA 5:

La tangente de pendiente m a la parábola y2 = 4px tiene por ecuación

y = mx + 𝒑

𝒎 , m ≠ 0

3. Tangente trazada desde un punto exterior.

Veamos el siguiente problema:

Ejemplo:

Ha llar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (2, -4) a la parábola x2

– 6x – 4y + 17 = 0.

Solución:

La ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto (2, -4) es

y + 4 = m(x – 2) (a)

En donde el parámetro m es la pendiente de la tangente buscada. De la ecuación

(a), y = mx – 2m – 4, valor que sustituido en la ecuación de la parábola nos da

x2 – 6x – 4(mx – 2m -4) +17 = 0

Esta ecuación de reduce a

x2 - (4m + 6) x + (8m + 33) = 0

Para que haya tangencia,

(4m + 6)2 – 4(8m + 33) = 0

11

Resolviendo esta ecuación se obtiene m = 2, -3. Por tanto, por (a), las

ecuaciones de las tangentes buscadas son

y + 4 = 2 (x – 2) y y + 4 = -3 (x – 2),

o sea,

2x – y – 8 = 0 y 3x + y -2 = 0.

VI. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

TEOREMA 6:

La función cuadrática

ax2 + bx + c, a ≠ 0, (a)

está representado gráficamente por la parábola

y = ax2 + bx + c, (b)

cuyo eje es paralelo a ( o coincide con) el eje Y, y cuyo vértice es el punto

( −𝑏

2𝑎, 𝑐 −

𝑏2

4𝑎 ).

Si a > 0, la parábola (b) se abre hacia arriba y su vértice es un punto mínimo, y la

función cuadrática (a) tiene un valor mínimo igual a 𝑐 − 𝑏2

4𝑎 cuando = −

𝑏

2𝑎 .

Si a < 0, la parábola (b) se abre hacia abajo y su vértice es un punto máximo, y la

función cuadrática (a) tiene un valor máximo igual a 𝑐 − 𝑏2

4𝑎 cuando 𝑥 = −

𝑏

2𝑎.

Ejemplo:

Determinar el máximo o mínimo de la función cuadrática

6 + x – x2, (c)

Y los valores de x para los cuales esta función es positiva, negativa y cero,

Ilustrar los resultados gráficamente.

Solución:

La función (c) está representada gráficamente por la parábola

y = 6 + x – x2

que reducida a la forma ordinaria queda

(𝒙 −𝟏

𝟐)

𝟐

= − (𝒚 −𝟐𝟓

𝟒),

12

De modo que la parábola se abre hacia abajo y su vértice es el punto máximo

(𝟏

𝟐,

𝟐𝟓

𝟒) como se ve en la figura.

Luego la función (c) tiene el valor máximo 𝟐𝟓

𝟒 cuando x =

𝟏

𝟐

Para determinar los valores de x para los cuales la función (c) es positiva,

necesitamos simplemente determinar los valores de x para los cuales la

desigualdad

−𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔 > 𝟎

es verdadera. Esta desigualdad puede escribirse en la forma

(−𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑) > 𝟎

Consideramos los signos de los dos factores del primer miembro de esta

desigualdad, vemos que es verdadera para todos los valores de x

comprendidos en el intervalo −𝟐 < 𝐱 < 𝟑.

Análogamente, consideramos la desigualdad

(−𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑) = 𝟎

Vemos que la función (c) se anula cuando x = -2 y x = 3.

Gráfica:

VII. BIBLIOGRAFÍA:

13

GEOMETRÍA ANALÍTICA – LEHMAN

Cerebrito – 4ta edición

VIII. LINKOGRAFÍA:

www.wikipedia.com