t a parábola

e en ena unidad iniciamos el estudio ~i~tem;l.tico de las cónica!\. Aqul pre· sen~mos 1<1 ~ribola como el lugar groméulcode lo~puntosdel plano que

equidistan de una recta y un punto fijos, dondeel punto no pertenece a Ii! rece;!. A esta rKU se le (0110(1' como la directriz Y al punto (omo eljoaJ.

la ecuación de este tipo de CUIVa se obtiene por medio de las fórmulas de distancia de un punto a una recta y distancia enu-edos puntos.

Gran parte de lo~ ejemplos y ejerdcios que presentamos en los primeros apartados de esta unidad trano sobre la determinación de la ecuación de la par.t.bola a partir de sus elemenros caracterlsticos o de algunos de ellos, o biefl de encontrar todos esos elementos a partlrde la propia ecuacioo de la paribola.

Podemos trazar paribolas mediante una regla '1 un (omp,h o con ayuda de otros instrumentos (omo ~uadr;¡ o hilo y clavo, o bien con papel enoer.ldo. b tas tknlc;!,sse describen aqul.

Conociendo las propiedades de la paribola podemos ~ver problemu del mundo n>al. l.h1 ejemplo es b. propiedad de n>fIe,¡oo, la cual comiste en que cuando una onda viaja par.tle!a al eje de la paribola y choca con esa, se refleja hacia el foco y, de rNnm inversa. si del foco emana una onda,cuando esta choca con la paribola,$e refleja par.tltlamE'flce al eje, Esta propiedad es demostrada una vez que se caracterlu coil es la recta tangente a la puibola en un punto dado,

Gracw i esu propiedad se construyen faros,. ¡otenas y elpejos con fonn¡ de paraboloide, Por ejemplo, estamos muy acostumbrados a Off de las antenas parab6licas.

En otro apartado, también veremos que la trayectoria que describe un proyectil es una partbola; u 'mismo, mosuaremosque en un puente colgante ~y cables que tom;r,n la forma parabólica debido al peso que soportan, En caso de que este peso desap~re<:ien. I~ cables tomarlan la forJT\il de una catenaria,

la~lu"",,mld.o ) par IOdos los pun,osMI pIa>oqu.~ldlsundot

un' r«AldlrtcWz}y un punto tk>colfu .... dl" "<tcU~Sutcudnlt

ob'ltnt Ig ......... do .. s dlstarKLM~un punto 9"_0 !~]1 aladl ... d"" ybcodadoL

l ... «""q""pa .... po'el ) 1'0<0 Fy.,.. pe'pmdlcular "ladt«ltlz .,..Ilamada .... delt1ltft!lQd. li p.db<>f¿ (1 1'..,10 mtdll:> dtI HgmtMO

dtt.rmlrlldo po, f y" pu"IO [odanc!e dieM ~<Q,,,""'dl...a"" .. 1_'" Wrficedoolo par*>ola,u .......... ~ ""notado po, v_

l.d,stondMMI-..n",. ) 111 fIxo yOtl..trtlcU l.di'tcl,1r SO<> 1911il6 F'Iold;sWl<laCOmlin w «O<Iumb<ad~tlt'

(On p Y6 po, ... pu~to. po .. r,.a.fl,,~m_ 4pet

I_"'onchob:: .. ld. la par~boIa.MIM,ra<I'M m.bgf~."parM>olies rNubleN.

Definición de la parábola

Elllorno solar dt Odeillo $t tn(I.terltU en un ctntro de itl'le$tipci6n fr.Incb Ioarliz¡­doftllosPlfln~Onentll~. Esunodelosmbgr3fldesdel moodo ypu«I.aIcmzar ~mperuur.u m.\yoreu los ) 400°C. Es .... p.:Ir.lboloide lomudo por espejos

Encontr.lr el lugar g,eomárico de los puneos q...e eq.rldlstan del punto F(o, 1) y I;r recu 1 cl./)'a ecU<Kióll es y _ - 1.

Soluci6,.; Llamemos ~,y) i un punto d. dicho IUHar g,eoméuico.

Memos I:gu¡(M la distancia de P ¡ Feon la distillcl¡ dt P a (;

d(P,F)-d{P,l).

Utilizamos la fórmula de la distancia ettrtdos puntos (1.1) Y la dt la distancia de un pulltO a Ulla .ecta (2.19). es decir,

J(x-x.r +(y-)'. f .lAx+By+ CI . .JA'+B'

Al swdrulr los valores proporclonadosol)[efletl'los:

Elevamos al cuadrado ambos mitmbros:

y slmplifiarm(u:

(x-o), +«,.-lf " (y + 1)' , -"'%

x' + y' - 2y_ l _ y' +2y+l

1:' . 4y.

Ellupr geométrico buscado es el cOlljunto de puntoS del plano QUt .satisfactn I;r ecu~1l x' - 4y (figu ... S.l).

y

"'" p ,". \ : --o, -,

F • X

-,

UJla par6bo/(l es el conjuntO de puntOS del p~no que equidistan de UJli recta riJ¡ ydeun pUJlto ~jo ~ no est.!. en dicha rel:u. L1 r«t;¡ ~jil ~ llama la dinaril. de la paríbola rel puntO ~jo ~ llama elfo"'. En el tjemplo interior. la r«til y - - 1 ~ liI di~trizde ~ par.!.bo~ y F(O. I) es su foco.

Las parábolas con vértice en el origen

Parábolas verticales

De modo mh gener.J1. cOJlsideremos UJlil par.íbola que DeJle su foco eJl el eje Y. dig¡mos en el pumo F(o.p). donde p" O. cuya dir«tril es una rel:ta t.)rIzomal l con ~i6n y _ - p (figura 5.2).

Para que un punto P(x.y) perttlltUa a esa par.!.bo la. debesatls'acer.

(S.l)

Suslituyenoo lucoordenad,n de P y F.;ni oomo la el:uación de l en las ~IlllUlilS p.1ra (;llcu~r ~ distilJlCi;! t!'Igt dos PUJl(OS (1.1) Y la distilocia entre 111 pUntO Y una r«til (1.19~obtenenlii:.

Si elevamos al cuadrado ambos miembros de la el:uación:

x' +{y-p)' _{y+p)'

y slmplil'lGlmos. obD!llell'lOsla Kuaclón de la Pilríbola:

''''

p

Ahor.l veamos algunos otros elemefltos uracterrsti<os de ~ par~bo-1iI. en la figura 53 obserVilmos~ la p.1ribob pasa porel punto medio Ioulil.ulo enCrt e! foco y el pie de la perpendicu~r que b~a del foco a Ii directriz.. Ele puntO medio se Ib.ma el ..ertice. y disu p unidOldes tUl tO del foco como de ladir«triz.

.... ~ L1 recta que une el wmce y el foco. ~ en I'S{E' calO es el eje Y, es

I~mada el rjf de limdrla de la par.!.bo~,)'iI quui p(x. y) estiÍ en b pa· r.\bob. entonces su simélrico respecto iI dicho ~e. que en l'S{e<illO es P(-x.y),rambim lo está. P~.

(-x)' _ x'_ 4py.

y

y

x v

y

F -••••• --: P

Ul segmentO de recta ~ ur>e 00$ pumosde una parábola le cono· acomo cuerna de b par.!.bolil. liI Cuerdil que piSa por el foco y es para· lela a la directriz. y por tamo es perpendicular al eje de Simetrf¡, se I'amil bOO uao y su loniPtud 4pesel ¡¡"dio focal de la par~bolil (figuril S.4).

~2, 2, X ---j----I

Sjelf:jeOeSimeuliOe uni pOifiboli es pOifH-lo oIe,e Y,ton1OlKtitiUM pt>tdbda ONtJed.S. d"­"". abt10 hacia arriba ohaciaabljoMglln .. lll<tJM>da indMlniCIarMnM t.ac:ka "ibao """'La lbajo. l<>ptlmM>oc_cuando 0110<0 FMÚarnbad<>! \lHtk. V.flo,roca<o "'_cu_P~

debojode V.

UooKuaCl6nd.UM par.Abola ve<t\<.aI COn

\lHt1c ...... 1 o,~n ... ,,'_4py

,,_ """'ka .,Iba, o b~n ,,'--4/'1

" ..... """'ka _)o. 1«>_ 01 'IIgnoq ... ~~ea'p.

)

)

Comprob~femosqueel ~ncho focal p.n I~ parábol¡u ' _ 4py es 4p. Si Pesel p~to del semipl.¡¡nodere.:h-oq~ estien la p.¡¡r~bola yen ellaoo re.:tQ.

«OOOlXes $UI (Oo.dtfl.¡jd~$(ln (>;.p) ymi¡fKen la e.:uaclón (S.2).

"" x' _ '41P - '4p' .

Simplil'ic~ndo 1~«Uad6n teroemol:

x- 2p.

a.\1 que Ptierte coOfdefl~da.\ (2p.p~ Porl~slmetrr¡ de la ~r~bola. el punto P' tiene (()Ordenadas (-2p,p),de modo que el ancho foa,l es Igua.l a la dl~anda emt"e P y P', es decir. 4p.

/..Q longitud del lado n!ao D ancho Jocal es Igwl a 4p; es dfdr, 4 IOrUS lo distaocb dtl JO(() al idrtiu.

Esta longitud nos dice qué Cilrl abierta r) cerrada es la p~rábol¡ (ligur,¡ S.4). En t"esumen.loselement<l5de la pmbola son: , El Yérq!;e. , Elfoco~ , La directriz. , La di((ilrlcla p entre el foco y ell-.!n:ke.. , Elfjedesimarla. , El ~ocho foc¡14p. Ahora veamos el ca50 efI queel Ybtkede la parábola esd en el origefl,eI foco se

encul?l1m en la pme negativa del eje Y y 1) dlre.:uiz es pmlÑ al eje X y (OfU al ~

Yen $U parte positiva (ligur,¡ S.S). "

y

_2, p': .......• F

I

2, x p

.. s.S

El foco es F(o'-P) y la directriz es )' _ p Si $U~ituimos estos valores en la e.:ua· clón de la p.¡¡rilbola (5.1).ahou obttr>emos:

J«-n)'.(,.,)' .I,¡- Pi, '"

~I elevamo~ ~I (U~lOldo y $Impljfiamo~ Ji, e:w;presi6n.IIeSilmo~ a;

(5.3)

ObSI!Mmos entonces que el si¡p:'lo del coeficiente de, nos dice h~(ia dól'lde ~re la paribola; si ~ poskMl,seal;>re hacia alTll;>a; si ~ l'Iegal1vo, hac:1a a~.

Parábolas horizontales

Par.lcontinu~rcon el ~ud iode Ji, parlibola.consideremos aquel liS con vértice en el origell, pero ahOOlo COI'I el foco siru¡do lobre el eje X.

SI el foco II!S F(p,O)con p" O Y la dlrectrlzesx _ - p ,al su$drulrt500svaloll's en (5.1) obtenemos Ji, etu.KIÓI'I:

que~1 simplifiarJi, se mlnsform<l en",~ra S.6~

(,' :-4pX) (5.4)

R:lr último. $1 el foco es F(-p,O) con P,.O y la direcrriz II!S x • p, y seguimos el j'J'O(Mimienlo anterior, ObltlW'moS (ftgllra S.,~

(1'. -4px )

~ (5.5)

En b. tabla siguiente resumlmollos asol de b. pari.boJi, con Ylitte en el or¡g.,n y dill'ctriz paralela a uno de los ejes cutesianos:

Posición Ab .. "'da E .... c\6n DIrKtrIz Vtit... Foco

~~, -,~ ~ ' - 4/'1 y- - p VlIlO) F(o.p)

t--V. .. i<>ol -. r'_....¡", 'o, v(o.o) J(o.~)

_="'" I la~~ I , ' _ 4". ~.-p v(o.o) Ffp.O)

HarllOntal la l"IuI.rda "--'p~ 'o, v(IlO) J(-p.O)

ObStrViI que la parliboJi, abre en dirección contraria a la directriz.

y p

F x

y p

x

t

l . Enconmlr la ecucción de bI parábola con Yéniceen el origen y cU)/a direc· triz es bI recta con ecuación r - - {.

Solución: Para ¡~~ roda la Información que necelamos sobre la paribola ddM!­mos compk!¡ar el slgul~te clUdrc:

COmo bI dlrectrilt$ una recta h::trt:ontal yel...etlct es(O,01entonces el ~ ~ IiImeuu es el ~e Y y b. pm.bola es YerdaL Adtm1l. b. dlrecrrlz esd por debajo del eje X.

Entonces bI eclLlCión ~ la ~r.\bob.es de la fonm:

A" ' .41'>'.

PuestO que; e5la distancia de la directriz al Yi!rtice. ~ esttaso;. t. 1a ecw.cl6n de la p,tribola es:

es decir (figura S.8~

y F

-, x

-,

1. Enconuv la ecllóKión dO! la pMábola CII)'O ~O! se enClH!~{ra en O!I ori­gen y cU)'O rj<! el<! sim<!tria es paral<!lo ¡ lino de los rjes y pas¡ por el plinto P(3, - 2).

S4/lJci6rr; ~acUf'rdo con ~ munc~ la par.lbola pU<!d<! $<!r hortzomalo Y<!nk:aI. Analizaremos los dos casos:

• Si la parábola es horizontaL como el vMkO! esti en el or~n y el plinto 1'(3,- 2) tiene ¡b$cisa po$l(M, entonces ¡bre- ¡ la deredl¡r, y su ecuaclórr o!s dO! la forma:

r' - 4px.

Como Pmi O!n la parlobola,d<!bO! ndsfac« la ecllóKión an[<!(jor;;u~ al slIstltlllr sus coordenadas podemos despejv p para enco~{rar Sil valor:

(-2)' . 'p(') y

F

U. Kuacl6n dO! la paribola es (figur~ 5.9):: , • X -,

~ Si la parabola es V<!f{n, como O!I vérticO! O!H¡Í en O!I or~ y <!I plinto 1'(3,-2) tiene ordenada neg¡¡tiv¡, entonces abre llóKlíÍb¡Jo y su ecua-ción es dO! la forma: -"'%

Como Pest¡Í en la p¡¡ribola,d<!be satisfacer la e<lIiICión ¡¡nreoor; ~~ al susdtllir sus coordenadas podemos despejar p para enco~{r.r.r su valor:

3' _ _ 4p{_2) , ¡- p. y

l

L.l e<uaci6n de la paribol¡ (figura ~ X

S.10)es:

, l' 1 ' ~

x .. --4 ji r "-i r. -, ~1-10

Slelejede>l_!.~de ) .. I\&p¡tjbolaes pMIIIeIo I1 eje X,entotl«S es .. 1\& par~lahor!zontll

~dke'lue""'." _o ... I""u ...... ~n ....... nda nde#lnl_nUl • l. dI .... l>llo ... l2qu ....... lDprm.",ocu".lI1t1 txo F HÚo" 1adefe<I>II del Wrtke \'_E'~ GtSOIe 1111 ... Q,I.-.do F esú .I&IrqUllertlade v

y

F

lAecu.dóndeu .... ~iIbol. horimnYl con """"".,.Io,~n ..

" .• ,.<

x

14 M>'" • lad<t,..,h ... o bl."

" _-4,.< si ...... lakqule.da Nluse el.9>O q~ pr-ec.de. 4p ye' C1mblo dep¡pelesde JCy ,.

~.IM«UKO)"'" cM .... paribo .... WfIk:aI ...

)

3. &Kontrar ~ «uOKlóll de I~ p.mlbol~ horizontal ""e abre h.ula I~ il­<Jlierda con vértice en el orig¡en Y W)'O lado recto mide 7 unidades.

So/UcKm: La paribola es de la forma;

y'. -4px.

Como el lado recoo mide 7 unidades. ten.emos que:

5I.lsrn~ndo el valar de p en la «u.u;lón an~r. obr_mos {f igura S.1 1}.

y' . -7%.

fncumtlt~ foco y la dim:(rizde las siguiente¡ p¡riboln,

1. y' .. 8". • 3.r' -20y_O . l. )[' S-121' 7. %' +61: 0. l. x' ~ -r. • )"-24x =O . •. y' .. -4%. . . x' _7,. ,. y'+ZX_O.

En cada CalO. halla la ecuación dell puábol. con vénk:e en el origen y con:

Direcuizx + i .. o. 11. Focoen (- t ,o). 11. Di~u _{ .

n. ... Foco en (4.0). Fo<:oen(O,-S~

-"'%, IS. Oireclrizx -s. ¡6, Oireclfiz)' .. 3.

17. Oirectrizy - -2. 1'. focoen(O,2~

1'. Encuentra l. «uteion de l. parábola (on virtice en el origen si el foco estfo sobre el eje Yy l. ~r.tbola pua por el punto P(2,3~

lO. Da con la ecuiKión de la p~riibol~ ""rtJc¡1 COn vmlCeen el origen. que abre hiKia abijo. cuyo lido re<:tomide 12.

21. Utiliz~ 101 mismol ejescoordenildos para g:rafic.ar Iu p~r;lbolu r' .. "(IX c:onp .. }· t .I.2,3.

22. Usa los mismos ejes coordeni dos par¡\ 8r¡\fkir liS paribolas ~ - -4 P1 conp- t.t ,I,2,3.

2). Encuentr¡\ la «UilCión de la palil:ola con vértice en el ori~ncu)'O ejees el ejeXy pasa pore! punto P(-ii.2).

24. Hilla li ecuación de li paríbola ton vértice en el origen y que piSi por El punto P(- 3.S).

IS. fncuentra 1.\ e<ua<ióo de I<l ~r;l.bol;¡ coo vértice en el orlSEO cuyo loldo re<to es el dio\metro Yefúcaldel clrculocoo eCllacióo x' + y' - 5x - If .. o.

26. Halla la ecu.teióo de la p~riibol~ coo ~rtice en el origtrl q~ p~ por el p . .I000 de iotetseccióo de la recta y .. f- x+ .J5 - ~ y el drculocoo centro I!l C(- 2, - 3) y r.!dio r .. 3.

11. Encuenrra la ecuaclóO ~ circulo q~ pasa por el puoro 1'(0,2), por el ~r­tlce.1 el foco de I<l parlibola y' .. 6x.

Construcción de la parábola

~s [fuar parlibolas ~bme una regla 1 un oomp!$. o b~ con ayuda de ocrosinstrumentoscomo escuadr.!, hilo 1 clavo o pipel encerado. óstas t«nleas se describen a condnuidón.

Sugerendas para traur una parábola conociendo su ecuación

1. Loaliza el vmice V. (Hasta este ~tn. úniGmente hemos Yi= pmbolas con ~rtk:e en el orittn. pero mis adelante veremos el caso general.)

2. Determina el valor de Po es declr,ladlsuneb del V~rtk:e al foco. 3. Enablece si la parlibola es horizontal o vertical, de xuerdo con la 'IlIrlable que

I!'St~ elevad.\ al cuiKIr¡¡do. ~ . Determina hacia ~ lado ab~ la paribol<l deao.terdocon el cceficientede4p. S. locali~ e! foco F que se encuenm a p unidades hiICl¡ amba. ab<ljo.l~ derecha o

loa izquierda del vénice. de acuerdo con la dirección hac ia dond.t.)bre li parábola. 6. Oibup el eje de la par.l.bola, ~ es la recta que une e! vél'oce.y tl foco. 7. Trua la I'KU queoondeneellado recto. la cual esla rKtlI que ~ pore! foco 1

es pel'pen.dicular al eje de simetria. L Sobreena recta. localiza los ntremosdellado recto. los cuale5se encuentran a

2punldadesdel foco. !l. Localila algl.rlosotros puntOS de I<l padbola asignando Villofesa I;¡ variable que

se encuentr.! eleYada al cuadraclo 1 encuentr.! los vó!lores correspondienteS de la Otl'Ol Vilfiable.

So/ud6n: • Elvbtlceeselorigen(O,O). • Si factorizamos un 4 en el lado derecho de la ecuación, obtenemos

x' '" -4{6)y; así que p .. 6-• La parábola es vertical debido a que la variable e!ewda ~I cuadr.Jdo I'S Lo

• La par.!.bol<l abre hacia a!njQ.)IlI que el signo que precedu o4p .. 24 es nepti'lo. El andlO focal es 24.

y

- >O

y

- >O x

1

losÑ..,...,IOS de l • .,..M>o~IOf> .. -. ... b:o, laclrearl7 •• I.¡' dio ....... " .. y .. l:oo.:ho foc.al .". ~ p>rtlr de aag....." do "'o''''puoc»nClloou, .... OIJO<.

)

• El foco F está 6 unidades ~bOljo del vénlce: por C~rlto. F(O. -6). I El eje Yes el ejedel~ paribola. I III recta horizontal ~ p;u~ por F contiene el !¡¡do reao. I los ~~mosdellado recto son (-12,-6) y (12,-6). I loc.lliulTlOs algunos ouos puntos de la p;llibola. Pi,a ello. de5pfÍimoS

y y damos varios valores ~ x (IIgura $. 12):

>O x

,...s,,¡

.' y.- - . 24

11---C" -1--~~t--c'~--',--t----e---1--"----4,17 -1.0' -0.04 -0.04 -1.(1.1 -4.11

1. En<oncrar li ecuación de la par~boIHI.I)'O foco es F(-s,O)y cuy.l dire<crlz ex .. s.

So.:t.., La directriz de la par.lbola es La recta v«tical x .. S, entonces la p;lribola f!S horizontal. La par1bola dft1t el v~rtk1! ft1 el o~ (porq~ e5(1! ~ul·

dista del fo(o y de la dir«uiz). la distancia del foco al vb"tlce es p .. S. Como el foco esti a la Izqulerdi del verdee y la dlrearlz está i la dmdla, la pmbola ab~ hacia la Izqu~rda, as! QIIe S(I eo::uadón es de la forma:

dedo~{flgura S.13}.

y' .. -20.>: .

l, ErKoncr.lr la ecu;ICióo de la pólrábob ooriZ(lm .. 1 (on véniceen el origreJ'l, c,Jub", hada la ~~ Y pasa por~1 puntO 0(5,8).

So/uOcín: Lea datoS del problema nos india~ qu~ la ecuación ~s de la forma:

y· .4/,% .

5610 nos falta d~inar el valor d~ fr, para ello, $I.l$1:itlJimos el pI.lnto 0(5,8) en la ecuxló ... de la parábola y despejamos fr,

8' . 4p(5) 16

p · S ·

y Q

, (,,] J _ 4 5" x

.. ~x. , X

5

_"

Construcción de la parábola con el uso de instru~t05

Aulqut b. pmbob. no If' PLlMr ditq;r.r con un 1010 (TUO por rTM!dIo ~ lfiI ~ V un CDmp~!" estos Instnrntncos nos pueden ser ~Ies para localizar muchos de sus puntos.

Comtrucdón con frito y compós

Supongamos que conocemos I~ dire;~/iI l de la pmbol~ y su foco F (figura 5.1 S). 1. Trazamos!!!1 eje MFde la parlibola.eI cual es la recta peq>endiculv a la dil'«'

n1z t qLH! p<l.!l por1!1 foco F. 1. localizamos el v~rtice V de la par.l.bola, que es el punto medio del segmento

"F. ~ Para cualquier punto M, 100001iz.ado a la ~tladt V$Obred eje de la pará­

bola, tr.u.amos una (ecta AA.' perpendicular al eje MF. TodQslos puntos de M ' distan MM, de l.

4. TrnlImos arcos con cefltro en Fy radio MM, queconen;.o en P, y Q,. s.l.m puntos p. Q, p4!Tt@M(ftl¡laparibola,y.r.qutludls1:IDc;J.isdep' y Q, ¡

la directriz 50n iguales I MM, ~ porconSlrucci6n, es Igual a ludlstanclu dep" V Q, al foco F.

De esta manera. al variare! punto M, podemos Io.:.allur tantOS puntOS de la pa­r.\bob. comodeseemos y trazarb. de medo tan preo::isocomoql.ll!famos (figJJr.l 5.16).

D' A' B'Cp

_

P,~ V

M r->~, M ", Q ,~

Q,QI¡l:t-~ D A 8 e

SI <"""" ....... el ""no ) Vyelb:o FcMuna .,..1ibola po:I ....... _mlnao

• A~. dulnIM,1a: la teruoq..e _ Vy F_

• Ydl*'r1l:Ia<e(g onooo .... aI_je cM _moeuI.q<tepaslpO, D.dond.DIHUi_n _tj.cM"......tnay .. *"'trlcoa FN<pKIO 11 punto V.

• Flanct-.oloul 4p_._gla dI<tan<la I'F.

Pensamjen~

críticO' • ¡(uMeselrnlnlmOname«> ...I .... nllO.qu.d.Mmo. G>noc .. cM ,,"" .,..1ibola p",a_rmlnar",doo?

P,

M VF M,

Q,

A

•• S,11

uec...,16nesúndafde ) ..., ~rAboLa...enlUlc<>n ~rtb!en el punID I'lll.i)

H:( ... ~)'.4p(r .. l) si., ... hKLa .. ~bo,.o

( ... 1I)"·"'pV·k) <1>1>", ""' .. ....;o. NIftw el Slgr,oquein1Kede,,~

CcnstfllW6n ron hilo r escutldr"o

SupoorogolllT>OS que cooocemos la directriz 1 de III pmbola y al foco F (figul1l :"1 n l. Trazamos el eje MFde-lllpa~bolll, elcual es la r«ta perpMdiculllra ladirec­

triz t que pa~ poor el foco F. l . Colo<amosma f:5(ua(lra coro un Otero ClI ~ la dlr«tt11. 3. Sujetamosun extremo de un hilo de longitud CA en el extremO A de III es·

cuadra y el OtrO extrtrllO tn F. 4. Con un I¡piten P. mantenemos es~rado el hilo Y rnoYemOsla escuadra sobre

la dir«triZ.. Entonces FP • PC y, pCrtarotO, P describe una pvábola.

Construcción ron paptI doblado

Utlllz.amosuna i'Ioja rectangular de papel encerado. 1. Maromos un puroto Fcerra do! uro lado, aproxlmadarnl!me a la mitad de la

hoja (figura S.18). 1. O::>blllmos el papel de rNrlera queun puntO delllldo lrorerlor caiga sobre el

punto F(figura5.19). ). MirCjfllOs el doblez y desdoblamos (figuI1lS.10). 4. Segui~aCimdo dob~s de rtUllmO que los punrru del lado inrerior ui­

fin sobre Po

~~~ ~ U ---------~ -"'%

Si hacemos suficientes do bleces. n.o! daremos cuenta de que aparece una CUM m forma di.' panlbol;o. 01" hKl\o, cada doblez I'i tangeme a 1;0 CUM (rrgura 5.21).

L;. figura 5.11 mUl'itrll que 51 doblamosl. hoja de rtUllmO queel puroto A delllldo inferior coincida con F, la distancia de cada pUntO del doblez a Fy a A es la misma, ya que el dobla determina la medilltm del segmento FA. En particular. el punto B. q.Je es la IroteHecdóro del doblez con la perpli!ndicular al 1m Il'Virotada l'fI A,dista lo mismo de Fy del lado. por lo que B está en la pa~bola que tiene por foco ¡ Fy directriz aliado inftrior del rectíngulo.

Sugtrimos que con GI!olab, abra! la construcción A:wboJatlWurJVI! y ob~W'$ esta misma conllrucción.

Ecuaciones estándar y general de la parábola

SolutK!ft: Qlmo ~ vtr'd<e no _~ ~ el ortgm.!1() podemos utlllur dlT@(tam~t@ las I'Ormu­las de paribolas con ~rtice en ~ ol1gl!n, pero veremos ~e si las podremos Ular si pOmffil h<Kemos un cambio de <oo~nad~s tf~sladólndo el origen ~ sistema al -.etke de I~ paribola, como lo hicimos ~ I~ unid~ anemor. Utilizamos las fórmu­la¡ de t~sliCión (3.3):

x'_x_/I

1' _ y-k,

do nde (h,/c) Ion ni esteQSO lascoordm.¡dasdel V~rtla! \l(3,4~

'"'. r='1 ~ (5.6)

El vetkeest;l¡ ~ el origen O' del nuew $Iluma decoorrtenadu. esdeclr,ahl sus coordmadasson (0,0). Al sustituirlas cOQrdmad;¡l de F(3,6) ~ (s..6).obn!llmIos:

x' - 3-3 - 0

1' .. 6- .... 2,

as! que las nuevllS <oordenadas de F son (o. 2) y, por tanto, es¡i ,..'. nuew eje 1'". Como el foco (0,2) se entuentU ~rrib¡ del Yértice (0,0), la' paribola abre h1Ci~

uriba. Ll dllurn::1a ~treel Yérdce y el foco es p _ 2, asl ~e la KlÓrjIn de la dil"K­tril es y' .. 2.

Ahora si podemos utilizar las fórmulas de ($.2). ClIma la paribola libre h.tclll arriba, su KUiCión es:

(x')' .4py'

(. .. ·)'.8y·.

Pa~ expresar esta K uacl6n en tmnlnos de x y y. sustituimos x' y y' de lII:~rdo con (5.6) y obtenemo"

es decir (figura 5.13~

Engmer¡JL CWlndoubemos hici~d6OOe ~breU'lll ~la -horizonul 0-001- yl~ dirntndll pentreel vtrti<:e yel bcoylllS(oo~ (h.k) deh-értict. trltooct5podm!os

coodui" de 1T\1ne"3 5inilar al caso nmor que su@(lDÓÓnes ¡ lguladl, Ia$ ~U!'s: 1. (x - /1,. 4p{y - k) lila par¡bola esvertleal y ¡~Ncla arriba (figura 5.24).

y .. •

X' -----."' >-'-"-- -- -- -- .. .... - Z Z ' 4 6 8 10X

.... 5."

Y't

¡p X' ------- ..

---j---;--- l

X

y Y' t

l. (x-II)' =-4P(y -k) si la parábolaes_tic;;¡1 yab~lla(ia abajo(figura5.15). l. (y - k)' = 4p(x - I,) si la par¡ bola es horizontal y abre Nela la derecha

(figura 5.26). 4. (y-k)' =-4p(x-lI)si I~ p~r~bob es horizont~1 y abre hacia la Izquierda

(figura 5.21).

y t y ' y

X --+_---+ __ 1 - F X' .. -------.. ~ X' .. -..

.... « ..... I6n_~ ) u"" ... r.lbda""';"",,~ co<ow,otl<~~n~l~

W •• ll"" (,.-~)'.41'(;r-h~ <lab .. ala_~" (, ~j ...... I'(~. ~). <lab .. ala lIqu..roa. H6tHe~<IOnoqu. _"¡~a41'Y~amblo

~-,""-dunY~~y

k~o.""«uaclon ... ... 10> __ •• ","' .......

F X' X X

1 _u, _"' CUillquiw de estasecuiKlorteS seconoce como laformQ e.stóm:br de la ecuación

de la parábo&- ~ COnsideremos la forma correspondiente a una parlibola horizontal que abre ha­

cia la derecha:

(y-k )' __ 4p{r_II). oonp,.O.

Al desarrollar el t&mino que esti al cr..Qdrado. obtenemos:

Y~+k' - 4Px-4P/l <o l' - 21*+ k' -4p¡¡" 4ph __ O

y' - 4pX -lkY-fJc' -f 4ph _ O •

Si hacemos D. _4p. F.. -21: Y F. 1:' -f 4pllla ecuiKlóJl tOfNla fOflffil:

( y' +Dx+ "y+ P _ o. ) (5.7)

Si partimos de la ecuación esli lldardelas parábolas horizontales queabr«l ha­cia la iz.quien:b,lleg;lImos a una KUilClón del mismo tipo.

Li ecuación (5.1) es llamada la forma ~nerar de la lcuadlÍn dr las patdbo/as horizontales.

Si hiKemoslo a/1terior a p.mirde la «tiación tstándar de las parábolas Yl!rtk3les que abr«l hiKi¡ arriba:

(x-/l)' - 4p(y-k).

(x -11)'. - 4p{y -k).

ootenemos una ecllolción de IJ, formol: ~--~

( x'+Ox+Ey + P_O, )

IJ,cllal es IlJ,m~a}mna ,_ni/de'" ttu«i6rrde "'JpClrd~1as ..e1j(.Q~,

(5..8 )

EStas formaS50n asas pan:k:lIla~ de la ecllacl(Jn getlll!l"al de S~ndo ¡rada QUe estudiaremos eA IJ, unidad 8.

Si nosdan la e<Woon de una palibola horizontal o Yertical en su forma gI!fleral, podemos llevarla a la forma esdndar. Por ejemplQ, considerema! el aso de una palibolJ, Yertja,~

x' .. Dx+Ey+P _O.

COmpletamos el cuadrnlo en IJ, variable x y despejamos el binomio cuadrado obtenido:

(5.9)

SI E .. O. enlOnces~ ooorlzar Eobtenemos;

H],--+-("'*lJ ~ (5.10) .",%

SI E > O, entonces esta es IJ, ecuación esdndar de u na par.libola vertical que abre lw:IubajQ,con ..... rtlcf' v{_ ~ , ~) y 4p _ E.

Si P. <O, tnlOnees la ecuación (S.9) es IJ, estándar de una par;íbola vertiul que abre hacia ¡rriba.con ~rtice V (- f , rc.,-Il- ) y4p - -R.

Si E - O. entooces debemos detenemos en la e<Wción (5.8) la <p.>e se red""e a:

(x+Q)' _ D'-4F t 2 4'

<Jlf' rep~u una paribola Yertol df'generada: D'-4F

1. VadQ,sl--- <O. , D' -4F

2. Oos rectas verticales, si --, - > O .

IT- 4F 3. Una re<ta vertlul. si --, - _ O.

y r!

-, .V " X

....... ....... -, ¡F X' .. -"

~.UI

Posición AbrelllCla E<l>lClón DIrKtrIz Vtrtke Foco ._, ~,~ (x-lit _ 4p{y-*) T-I-p \1110,*) F(~.k+p).

~, -. (>:-"J' -4p(T-k) T-hp ",. F(lo,k-p).

HOr1K>n~ IlldeJe<"" (,-kf - 4p(x-lI) x_A _ p \11M) F(A + r.k).

HOr1K>ntal IIIl>qulerda (,-leY -""""p(>:-~) x_A+, \1[1"') F(h_p.k).

En ~I caso d~ la «I.llOOn gl!1M!1'3~

.. 1. En.conti'3r la ecu~ci6n de I~ p:lrl.bela cuyo v~rtke esd en V(S, - 2) ~cuyo

bco esrá ~ F(s,-4).

Soludó,.: f'¡¡1'3 t~er toda la InformKlón que n«esitamos sobre la parábola debe­mos compl~ur ~ J~i~[e cuadro:

;'de HOrlzcntlll Abre ~rI. oy~1t.o 1 ","cla

Ui p¡lorábola ~s venial pues su eje de simenb es la rea¡¡'J< .. S. Como ~ bco esrá dmajo del Yé"dc~ la pMibola abre hacia abajo, la dlnancia d~ vbtlc:e al foco es p. 2 ~ portante. su ectlo1clón es:

(J<-sj .. -4m(y -{-2»);

esdedr.

Si quemnos obtelM!r ia fonna genen.L em:tu;¡mos las operxione5 y pasamouooI>5los t&"mlnon un lado de la ecu.aclón:

J<' - 10J< + 8)' + 41 .0 .

jede HOrl%<lntlll Abre metilo> OY~I<.I ","<la -

1. Enconmor 101 elementos de la paroibo'" 12x - y ' .. 10y- 61 _ O.

SoIuQ6,,: Como la variable que esú al cuadrado es y.la paroibo'" es korimntat pase­mos todollolt&mlnos en ya un lado de la ecuikión y loJ demAl al cero:

1- 10,.-l2x-61.

En el primermimlbroOlmpleumos el trinomio cuadrado ~rfecto y MI­

""""mes el mismo (&mIno del cero 1m de la ecUi\(ión par! no altffilr la igualdad:

,.' -10 y .. 25 _12x - 61 .. 25

(y-S)' _12:.-_36

(y-S), - 12(:0:-)).

El véfticees V(3,S). EI,lIIcko foal es:

%.P"I2,

y ladlltaooa del v&rice al foco es:

12 p _ __ 3.

4

L10 p,aroiliola abre hacia la derech;¡, aloÍ que el foco es:

F(3 .. 3,5) .. F(6,S~

la d Irectr Iz es la recti (figura. 5.29):

En~umen:

J.... """="111 AM lI'iII o .. Hllal lwIeIa

J. Encontrar los puntOI de Intersección de li p,aribola r' - 4:.-- y .. 1 -O oon li recta X" y-l .. O.

Solución: Escribimos la ecUilCión deb rectI en la forma pendente-orderuda al origa"l!

y .. -x .. l,

" V F _ .. .,.- .. .... ---_ .....

X-

-, .. X

y

y - .>: '- ,,%+I.

-x +I _;r'_4%+1.

Si resolvemos esti ultima ecuación oblenemos:

",' _lx _ O

x{x-3)_O.

Para que ti producto de dos factores sea cero, a~no de ellos debe 5« aro; de do~

;,; .. 0 o x_3.

Par¡,plCOntfilf las orden~.lS correspondientes. SUstituimos estOS '4lores m bAtJaci6n dr 1 .. rec:ta:

Sh: _ O,tmonces: y _ _ x+I _ O+I _ 1.

Six_3,mronces: y _ _ )(+I _ _ 3+ 1 _ _ 2.

L¡¡ rea-¡ y la Piráboli ~cort41n en lospumos (O. 1) Y (3,-2) (figufil 5.30).

... &leonerar el lugar ¡oométrico'dé'ts puntos medios de las cuer<us de b parábola (y - 4)' .. 16(,; + 10 ) D~ de los Irnmnos de las cumb$ es B(l5,-1 6~

SOludiln: 5eiI A(x.yl un puntO en b. par~boI.l.Sus(oordeoadas s.ltisface1l¡ ecu;oción:

(y - ,,)' _16(x + 10) .

.1'.(,.-4)' -lO,

"

Ll;tm~mos e al plinto medio de la cuerd.l que l1ne A(!!¡¡L- IO.,) con 8(15.- 16) dedonde:

C (Iz;;L -210+15.'~ 16) .. e (~T 5.'~ 16 l. Veamos si podemosdetermlniren qu~Cl1rva se encuentran estOS p~tol. Llamamos;

~T5 .----2 , - 16 , _ __ o

2

O~jJ.mos ,de I;t stgUnd,¡ Kl1a1;lón;

y 111sdtl1imos este \Qlor en I;t.p!!~~~ón; .- 2

(2Y+12TTS.( 16) 11- 2(16)

2' (H 6)'T5(16) 11- 2( 16)

.-(H6)' .. 20 , Su-20_(H6)'

8(1I-~ )- (Y+6)"

quees Ul\ól pir¡\bol~ «In vb-tk('en (t .-6) y p .o 2. El pI.J:lto ~io ent~ 8(15,-16) y el ~rrk(' V(- IO,4)de la parábola

original es;

de donde el vb-tlcede I<l nueva p~r;lbol~ esel punto ~ioentre B y Vy 5U par~metm p es la mitad del de la paribol<l original (flgllfl 5.31).

~ -l~t ( 1015 X

-"~ B -1 5 ~

Encuentra la ~uOKión de la p¡rlibola (on loiSiguientesdatos.

l. rocoP(-3,-2~ ...ertic:eV(-3,-5).

l. foco p(4,-6): vértice V(2,-6). l. fo<:op(I ,4); w-rrk:e V(O,4). 4. foco F(-5,S); vértice V(-5 ,S). S. rocoF(O, - 2);dlrKrrI:zx - S.

6. FocoF(S. I ~ directriIy +7·0. 7. Wrtic:e V(3.H: directriI y_ 2. a. Wnk:e V{3.0); dlr...:;utu:- lO . O. 9. Wrtic:eV(-4. - I);foco F(-4.-3).

lO. Vértice V{1,6);foco F(1O,6).

11. En~ntra la ecuación de la paribol<l Yertal con vértice en V{- I , - 1) Y que pas.a por e! punto 1'(1.6).

11. Hall<lla~uación ~ la parlibol<loorlrontalcon vmiceen v( - t .I)y~ pas.a pore! puntO P(f .2).

13. Oacon I<l ~uaci6n de la paribob cuyo foco es F(- J .S), p. t y eje p¡ra· ~loal~X

14. Encuentra la ecuacibn de b paribola cuyo foco es F(2, 7). anclto focal 6 y eje paralelo ¡I eje Y.

15. '·-8'-8 .... 64 _41. 16. x' + 141.+ 2y+ 29_41. 17. y · ... 2y+2D"'-39_D. 11. x' -, ... 7 .. D.

19. 12x·-nx ... ,+78_D. lO. 4x ' + 16"' -3Y+28 .D 11. y' +IDY-24x+49.D. 12. 4x ' -48.-y ... 147 .. D.

1). Encuentr.lla ecuacibn deldrculo de r.ldio S coo centro en el vmice de la parábol.lo QJyo foco es f(1, j¿ ;cuya direcuiz esla recta x .. -3.

14. Hall<lla ecuación general de la reaacon pendiente m _ -3~pasa por I!I foco de la paribol<lcon w-rdce:~(-2.2) V dlra:crlzy- t _ D.

En adltCl.lo, m<:umua la Innneccilln de la tKtl Y la paribola.

15. Rectil6. - y - 2 _41; par.ibola x ' + 4x- y- 5 _ D. 26. Recra x-6y-15 _ O; parábola y' -. +9y- 25 _ D. 17. R«ta!lx _2y + 7 .. D;p¡r~Ia -. ' + ID. - Y + 6 _ D. 11. Rt<ta x- y - 21 _ D;parIDoIa -y' - x +8y+ 21 _ Q.

29. Recta x- 2y + 7.41; palibola x ' -lDx -8y+ 41. D. lO. Recta x+ 2y +9 _ D;p¡.cibola x' + 6x + 4y +13 - D. 11. Recta 4x - 7 y+ 38 _ 41; pulibolay' - 2x - 4 _ O.

32. R«ta x+ 2y ... 14. O; paribola y' + x+ 16J+63 .. O.

]J. Encuentra los puntosdeintersecdón de la parábola -1' + 6x'" 18. 41 Y e! circulo x' + y' - 9 .. D.

14. Una parábola tiene ecuaci6n y' + 2x + Ey+ F. 41 Y ...ertic:e V( t ,- t). l'OC,umtri los valores de E y F Y b ecuad6n estandar de I<l paribola.

Algunas aplicaciones de la parábola

l.h¡ propiedad Importantt de I~ p~rlibollo a I~ de rtflaiÓn.l~ cu~1 con'listt tn ""t Qlando un~ onda Ylaja paraJello al fJe de Ilo par~bollo y c::IIoa con ~a. e!l[onca se rtfItja ""da ti foco ~ de mantrll inverno, si del foco eman~ UIUI ontb,clJ.1ndo esta moa con la parlbola, ~ rtnI!)a. paDltlamenltal rjt.. Esta propiedad esdemo'IITada lJ:la vez<:p.Je se car.tCtertu cu~1 61a ~u tangente a la plr.iboli en un punto dado.

Gracias a ata propiedad es quesecon:suuyen faros, antenasyespepscon forma de Pinboloidt.. Por ejtmplo. ~mo~ muy iKOstumblildos a escuchv $Obre las ante­naspanlbólic,lS.

U ecu¡ción de Ilo recta ti1dlgenlt ;1 la par.ibola se obtiene mediante procedi­nient05 dt geomecrta analldo:;a. En mIOS aparrados, veremos que la t lOlyecrorta qut describe un proyeall es un.a parábola; asi mismo. mostlOlremos ~e en un puente mlg¡nlt hay ab~ [endldosen~dos puntos, 10sclJ.1les tonun b. tonna parabó­lea debido al peso que soportan. En caso de que este- peso ~aparecien.. ti cable !Omarra la forma de catenaria.

Anten;¡s parabó licas "

Al girar una. par1bollo allWiedordt su ejt de si~rta, cb[enemosl:na supHllcie dt Ie'IOluci6n Illomlda ptl/"llb<l/oiM.

Estas suptlficies tienen muchas apl~. prhl<lpaJmentt en óptica ~ elec­tronic;l, y.I qut si un 101)'0 dt IUl paraltlo al tjtmoc.a contri el parlboloide, entoll(es se refleja h;;Kl¡ su foco, e InYernlmentt.. si un 101)'0 sale del foco y c!loa eontlOl el pilr1IIboloide enmnces se relleja en Ilo dirección dt su ejt (figura 5.31).

Esta propiedad, rooocida romo Ilo propitdad de reflexión o propifdiJd óptÍ€41 de la plribob.. dell!! muchas aplicaciones,; por tjemplo, m los faros d~s aumm6vil~ Ilos anten.as pllOlbóllas, los telescopios, los micrófono! di~clonaie5, etC~ten..

1. Una antena par1llbólica tiell!! di.imetro de I metro. Si tiene una. profundi­dad <k 20centfmetrOs ... a ""é altura debemos coloor el rect ptor1': es de­elr, taqué dlSfallda esd el foco del w,rrk:e!

Solución: Colocamos los ties cartesiaJt05 de mill!!lOI qut el vértict de I;¡ palibola est~ en ti origtn ~ su eje coincida con ti ejt Y. EntOll(esla «uaci6n <k la p;lrJbob es:

x ' _4,.".

Debemos dtterminar el Yilor de p. que es li di5tincii del foco al vértice.

Un par1bo~ ... oblilo .... )

.Igk.~ .... ~ an.!td()(de ... ejed. _1II.Slloo:o.....--. plaonosq ... con,-.,.I .,. di , ..... '" obttnemol pjir.boIlSqlll!com~n

~foo:o1~~bce

y

F X

Vr'IIII ..... Ilto1thlnlon

o:onstNyO (Ion 17S21.! pr_r roftKtor 1*_"" de~nQrodt",.

)

u .... ~cwnuq ... ) AIq~<M<lRr)O

eI~OS ~.ilbóll<OS

pOifa lncendlor lIS .el. dellSnawslOminaS qIOtqutrlóltlconq_ Snc,-"".

y

"' "'

F

Una""""" ....... "" ... ,aboloid. <H aluminio o .... O ........ rIaI 1I_~@ja_.fn

elbo:odolpM_. _ .. <onu ... ,. ...

ai<>~....,. .... .,..rlla para pode< coIouIlaollaron

)

.. com .... ,." .. p""Ala ... 1OSt_.."...,a_~laq ... ~ .... lalono)ltut! d .. IIdo ..eo. ~ ~tuta. po.ord.n Ik.>nzar_"",."..asde lOO'Cdtponlll!ndodiol ~do>lp;or_kJo.

E<u!t.,.,.v_ur...~

LII.~ .... ,.,"'"' ... _<» IrdlaydeAhlU.

Como el di.\metro de ~ an(en~ es deun metro yesta tiene una profundi ­dad de 20centímetrol, los puntos(O.s,O.2) y (-o,S,Ool) .nin en Li pir~· bol",. SuWtulmos (O.S,O.2) en Li ec:uK\ón de la paríbol¡ ydespej;lmosp:

(0.5)' .. 4"(0.2) U.2S _O.8p

p.O.3125,

por lo que las coordenadas del foco 5Of1 R::o.0.312S). as! que debftnos mb­ar el reaptor iII o..N alw r;l de 31.2SctrltrmnrO$ sobre.1 vértice (fi8\U :"33).

l. EfI un.¡ CociN 101M Li fuente de calor ~ en<ueotra 30cm por endmil del bndo~ paraboloide. ¿CWI\(Qdebe~rla varilla que ~Jlela palTllla?

Solución:

Colocamos los ejes car~lanos de manera que el Yi!rtlce de la paribola esté ffi el ong.en y su eje coiJKidHOn el eje X. EntOJKes la ecuKión de la parábola es:

y' _4px .

Dl!bemos d~ermlnar el valor dI! p. que es la dlSWICia del foco al Wr"dc<!. COmo la fuentede ealor se encuentra a 3O(m del fondo del ~raboloide. emo~ el foco es p{30.0),dedol\de:

p_30.

Como I~ v¡rllla CJle iOHiene la~l~ estliobreellado rectO de la p;lr~· bola, la 'n.rill~ es 19u~1 al lado ~I dKlr.

4p_ 4(30)_120,

Pnr tantQ. la v¡¡rilla mide 120(m. o se¡. 1.20 metros.

3. ¿Q~relKión debe llilber entre la jlfofundidóld hy el ~ncho ~ de un¡ an· tena panb61ica plr, que el r«tptor $e erKuentre:

L Dentro de la antena. b. Fuera de la antena,

Soludó,,:

Suponpmos CJle colocamos la ¡ntenl con ~rtk:e en el origtn Y que su eje de s.imetria OJincide con el eje Y. Como el ancho de la antena es Q,

entorKesdel oriF!l al extremo dela antena hay t (ligura S.34~

L;¡ KUKión de la parábola es:

,,' a 4py.

El punto (f ,h) está en la ~r.lliola. entonces:

de donde:

" -_ 4ph, 4

" p- 16h'

Como~ foco e5 F(O,p) entonces:

a. SI el foco~.i dentro ~ la amena,

~donde

P </1,

" - ., '" 11' <1611'

, ' _ 1611' <O

(a _4h)(u 411 ) < O.

-1

y ,

Para ~ el producro de dos factores IU negati'lO. ~ben ¡en.er ~gJI()S opu<?$tosyromo a + 411 >O,entortees:

11-411<0

de donde

d <411.

Al, tanto, para queel foco roe ellCuem~dentro de la anten;¡, el ancho de esta debe r.er meoorquecU~(fO YeCts IU profundidóld

b. Si el foco estli fuera <lela anteN!,

dedonde

Para QUf' el produCto de dos factOres sea pOlitivo, Mben [I'~r signos igualesycomo G+ 411 > O, entonces:

<1- 4h > O.

1 x

~rml_d6nd~ ... U. a>locado~_~M _~nUnPM'_

a. ,,....,¡..,.·JnftluhIaI~a dtt ... mu-ltIb:o"l~ por_q ... Io\j@rw".

)

~> 4h.

Por canro, para que ~ fo(o ~ I~ ~nW1a ~ ~1lCU~[re ftJlI!ra ~ ~~~ ~

mello debe s.er mayor c:,J~ cuatro veces su profundidad.

Puentes colgantes

SI un obie Org/l un peso hom~ mucho mayor que ~ ~ del propio obl~ tst~ toma la forma de una parilbola (figura 5.35).

E:5t;¡ propiedad 5Ie lM:iiza ~ puentes 1llIg,a."IreIo mrl'lO d GokIen Ga'e de San Frandosro. Est<w:Ios Unidos" mostrado eI1la ftx09'lfia.

-.. % Si las tolTe5de un puentecolgantetiel1en una 5ej»lraciótl de400metrosy Ioscablesesdn atadou ~lIau 200metros por arriba d~ pl50 del plM!me, ~ longitud debe tener el punuJ que est.i a SO metrOs de la torre I!­c:,Jierda? Supongamos QU(' ~I obie toa el pila en ~I punto medio ubi ­cado entre ludos torre.

SOludón: Si escogemos el $istl'mil d~ coordenadas con orÍfll>n en V ""~ sugiere la fi­iPJriI 5.36. ten~mos que la ecuiKi6n de la par~bola eu ' • 4 py. ~emos eI1<ontrar p.Como el puntO (200.200) est~ ~n I:.l palibola, resolvemos:

200' .4p(200),

yobtenemos""e p. SO. Así. la ecliKión de la palibola es:

x'.200r·

Ah.or<l qtiermlOl encomr;¡rb 1e!PJnd.1 coordenad<l del ptH1I:O de 1<1 p<lrio­bobcu)'ll primerHoordenad<l es % - - ISO.

Resol~$;

(- ISO)' _ 200)'

yobtenemos:

'" )'_ - _ 112.5. , Alt la altura del puntal que e5t' a 50 metros de 1<1 torreesde 112.5 m.

Tiro parabólico

l<I trayeaor1a de un proyectil lanzado desdeei nivel del suelo descrbe una par.libola ~ <lbN! hacb. <lbOljo (ligur;¡ S37).

y

x

Esta propiedid fue descubiem por Galileo ~ publicada en 163:l en su libro Oíd· hgol sobre 10$ dos mdKimos sistemas cid mundo.

1. Desde el ori8en de coordenadas. un ju~orde béisbol lan~ una pelota que gp la trayeaoria descrita por la parábola 3x' - 240x + l60y - o. ConsiderMldo que 10\$ unidades 500 metros. ¿e ~I es la altu'a m.\xIma al· CiIInlada por 1<1 pelota y a ~ distand<l cae esta del jugador!

Solución: Llevamos b etuación de la plrlobob i 1<1 forma estiÍnd.u p<lrl conocer sus elementol principales.

C-.:Io un~cw9a )

po<'" ptoplo ptiO <cma ~ """'~d@u .... ~""y ro:>d@unol*AboIa.

y ,.

'" :!(I 40 1\0 IIOX

PlQ ..... OI"Ila< ... .,..,.O~ ) ........ p<."...t~ alean", ......... ..,a ... ' ''' .. o.-t>e doM.m ...... elyMb~ lo p;oo-Jl><bq .. dH<ribot

3x' - 240x + l60y" O

3(:r' - 8O:r) .. - lóOy

(:r - 40)' .. _ 160 Y + 1600 , (:r - 40)' _-4(~}y _ 30 ).

Lt parábola ab~ hacia ahajo y ti~e 5U vé"tice ~ (40, JO). asi que la altur;t mbima alanuda es de 30 m. El ortsen (0,0) utisme la ecua­dón de la paribola.. El punto en el que cae la pek)[a es el otro punto donde la par.1bola cona el eje X.

Por la 5imetrfa de la ~r;t,como la primeracoord~ada del ~rtke es 40, el punto dondecae la pebta es (80,0) (figur;t s.38).

Tamblbl podtlamol habf,rmconrndo nte dato wsdruymdo y _ O

en la ecuación de la parábola y resoIYiendo la ecuación ~ultante: A

3:r ' + 240:r _ O

CJyauoluciones ~n x .. O Y x. SO.

Arquitectura

Podemos elKo"ar atCOS patllbólicos en distintos tipos de consaucCJof.es, como IoOn yemanas, puertas. puentes. ficlk<!l"ll. '''0

Antonio Galldí (1852-1926), arq.¡iteao uQlin de fama in .. rnxiona~ utilizó arcOI parabólicos m moch.u d .. SUI obras. En el Colegio de 5.anta Teresa di~l'tó un 5i5tema de CorredOfes con arcos par.lbólic05 <:pJe permiten aprove­char la luz soLJr I distribuirla hx ia los patios interiores. en­tre sus otns mil coooddas ~ en~ntra el parque Giiell en &rcdooa y la iglesia de la 5.a:gn¡da Famili .. em. ultima no la concluyó.

Tambiélll! ~tiliu.n las pmbol.u 1"11 el di~ de cor­tinas de presas)oa que w forlN es eficien te p'lI"a contener la presión del agua.

En lasfotografias se m~ra unode 105corrMo~sdi­

sel'udos por c..udl y la presa Visc;mem!Os¡ en O.w.ca. Mb:ico.

_~o. .. ", __ doI_ ...

...... pon ... "'o .. ·.dIO.oImnu_yr-.-dIO """'p;w;l6o.\oclollo.c.

1. Un puente tiene forIN de uco pal1lb61ico. Tiene lGI extemi6n de 20 metros y una altura mbirr¡¡ de 2.5 metros. Oetermln"r I¡¡ ecu;;ldón del¡¡ pmbol¡ que genen. este ¡reo.

SoI!Jd()n:

COnsideramos una par~bola con ~rtice en el orl9!n y que abre I'\acia aba· jo. EntOnces su ecuKión es de la forrm:

x'. - 4py.

l os extremos del arco tienen coorden¡das (W,-2.5 ) y (-IO,-2.5~ Sustj· tulmos cualqulen. de t9:0S puntos ffi 1" ecuad6n para ob[ft1f!l' p:

IOO_-4p{_2.5)

100 IO - p

lO_p.

A:lr tinto, I¡¡ eclJiCión bUlcad~ (figur" 539):

x · .-4(IO)Y.

- 10 - 5 J 1. U1 puente tiene oo¡ longitud de 160metros. El Cilble~, soportil tiene I¡¡

forma de una paribola. Si el puml ubicadoen cad" uno&' los extremGStien-e lruI mUI1l de 25 meJ:ros, ¡OJiI es I¡¡ a:lJóKión de la paribolil>0

2. En un puentecolg;lnte, la distancia ffitre sus lOll'e$ es de JOO metros y la al· rura de las tOIl'e$ es de lOOmetros.oescrlbe la ec:uóKlón di! la paribola for· INda por el Cilble que soporta el puente.

l. Con 105 datoS del problerm ¡merlor. eJKUffitl1l la altut<l (\el puntal que se e'lcuentl1l ¡ 50 metros del centro del puente.

4. a abie de un puente colg;am" "nl d¡¡OO por la ecuaci6nx' _ 400 y. 51 1o~ postes del puente tlMft1 una altul1l de 50 mf'(fO'¡, ¿ctdl es la longitud del -~¡

So Con losduol del problema ¡n~r, determina la Ionglrud del purnl que se e'lcuffitra a 100 metros del centro del puente.

6. En un puentecol8llnte.1a dlstiloncl¡ ffitrt SUI torres es de200 metrol y 1" "l· rur¡ de las torres es de lOO metros. Da la ecuóKión de la paribola que des· cribe el cable que soporta el puente.

1. Con los datOI del problerm interior. eIKUI!IlD'¡ a qué distanci¡ del ~ntro 1St' un puntal de 50 metros de Ion¡¡ltud.

1. 1kI disei'lador dI' iUtomóviles desea disei\i ' un faro que Imgi 1 6{anl~

crt» de dlimeuo. La bombilla que va a utiliur en ~I tl_ el ftlamento a 2 (]!Rrlmetros del OJello..~ profundidad ddle tener el faro pira queel fila· meneo quede en el foco del faro si el cuello de la bombilla secoloca a I¡ ¡l· rura del vértice del faro?

..

9. Como el r..ro del ejtrckio antenor multa dMlMiado profundo. el disl!­ñador d«ide recorurlo 2 cencimel.ros de manera que la profundidad se¡ de 6centimecro5. ¿Cu.1l sm el dj¡mtcro del nuevo diseno de farO?

10. la amftla de un radiol~opio ftl forma de paraboloide tiene un di~­metro de 8 mecros. Si la profundidJd de la antena es de 0.5 metros. La qut dliIandól. dl'l vWdce debe mbca ..... 1'1 rKeprnr?

11. Una anlftla parabólia para teleYisi6n tiene un dj¡metro de I mel.ro y su l'Keptor está coloaldo 25 cftldml'tl'Os por arriba de su ~rtk,,- .. Qué profundidad tiene la ancftla?

12. Con un receptor más potente. es posible redocir a la mitad el dWnetro de la an[en;¡ parabólica dd problema anterior. 5i se (Dio(¡¡ el receptor igual que anteS. ¡cujl será la profundidad de la n ........ a antena?

11. 1kI nlflo iKocma un juguetequ<! dispmo un proyectil El pro)'@Ctlldescrlbe ftl el ai~ una trayectoria parabólica (D n K UiK i6n h(t) .. -4r' + 161, donde tes el tiempo ftl segundos y h(t) es laaltura quealc.anza el pro­yec:ti~ expresada en ~ros.I.Cuántossegundos tlan pa5ildo desded lan­zamiento tlasu que el proyect il alanza su altura mhima? ¿Cuál es la altura máxima qu<! a leama el pro~till

14. J~ se encuftltra e .. la ci ma de ur¡¡ colina y dispara ..... dardo coo una plstOb. la trayeccoria que sigue el dardo está dada por la ecuacl6n h(') .. -tf-+ 101 + 8. donde I es el tiempo ftl segundos y h( t ) es la altura que alcanza el dardo. ¡Cu:\1 es la altura mbima que ¡leama el dardo? ¡Cuántos segundos despl.é del di5paro el dardo roca 1'1 sudo?

Is.. Un proyeail es lam.1ldo desde el nM!l del 5UelO y sigue la trayectoria pi­rabóllc.a (x- 3)' • Y - 9: bs unidades est:!n dadas ftl kil6mecros.¿Cuál s.erl; la altura mbima del proy«1I1 y i ~d¡st:ancla del aMn (am.?

16. Una bala di$parada desde el n~1'I suelo sigue la mo~([()ria parab6-lia x' - IOOx + 25y .. o. ¡Cui(.ser.li la altura mbima del proy«tll Y a qu~ distaocia del t ilildor caerá s~dlstancla se expresa ftl ~ros?

17. Un anilleroacina a un objetiYO que e5Ú a SOOmecrosde suañ6n El añ6n est;'i ftl el orlSen de cClOl'denadas. fn<:ueotra 1;1 ec!JiclOO de la pa~boI~ que ~rlbi6 su di5paro !i~~lanz6 ....... alnr.HTWiml de l00metros.

11. 1kI puftlteCOl'l forma de ¡!'CO parabólico tl_ unaacensi6n de 10 mI!­D'OS y un~ altura de 1.15 ml'tl'O'. [)¡o[ermlna la ecuKl6n de la plribola que genera este ¡!'Ca.

Las funciones cuadráti cas y las parábolas

Un agricultor Ci_1OOmetrosdealambrada.LCuinto miden los lados d~ o«tinguloquepuedeformarco, ella pifilimilarlamhlmi ¡I"$ posible?

h (Figura SAO.)

Solució .. , Uimen10SX i la basedel I'KIingulo y h a su il¡ura. El ¡re¡¡ d~ rectínguloes:

A"xh.

El perrrnetro del r«t~ngulo debe .\efde 100 metro.\;

h+2h _ IOO.

SI de5pej~mo$ h de ~a última «~lón;

y la suwtuimosen la fórmul~ del ~re.lI. obtenemos;

t\ .. x{so - x)_sox - x';

A(x) .. SOlO-X' .

U ~lica de esta función ~ la curva;

",SOlO - x'.

Al C1Dmpleurel cuadr.ado del lado derecho. obtenemeu;

1 - 2:; · .. - {x - 25)'

- (, -625) " (x- 25)' •

""e es un~ p.lrlbola q.¡e ~bre l'Iacia ~b.ljo con vértice en (25,625 J. Por lo q.¡e la función akVlza su máximo en el Yértice de la p.llioola;esdecir. Q¡¡!ldo x _ 25. P.ra este VlIlorde la b¡se, b altura mide:

11_50_25_25;

esdeclr, setr.ata de un cuadrado y su ~rea ~de 625 mI (ftgura SA l).

L...m rondón de la forma:

11' denomina fundó" cuodrátÑ:a. Su grifka I'i la paribola vertical:

( ,_llX'+bX+C. )

Cwmdo b _ e -O, se traca de la paribola:

,_ou'

(S.l1)

q.¡e tiene lU vét~ en el origlnSi " > o. la par.!.boIa ¡le hada mibi; Y ¡ < Q.1Ycia abajo. Paf01I eJKontrar el vértice de 1", paribola (5.11) escrlbimo$la eC\lIdón de la pm­

bola en su forma ~ándar.

101030010 X

...... SAI

Unafu ... lón~'1po f(z )_",,'.h< .C.<"" u_O ... llamada_ fundllnaal,¡'k:.a.Su g,Mk:a ......... .,.._ ...,..,

)

El cO~«' ~ Indic.l <:pJe I~ p.llibola .lbrt' ll<KiiI ¡,ribol aurtdo 11"0 Y hada majo<u~nd&a <O.

El vb"tlcede la p.lráboiil es:

v[_~.4ac-b·1· 2~ 4~

(5.n)

En la práctica. para e'lcontr,¡r t .. ¡~ coordenada del vén:ice, suele ser.ms f}cjl tv.I.luar la ecuación (5.10) en -t'~erecordar la expresión (5.12).

-"'%

1. Dibujar la ¡Nrábola y_ 2%' - 4%~ 3y encontrar el vértice.

Soluo;iOII: La p¡r¡bola ti_la formil de (5.1 1) con ~ .. 2, b .. --4, ( .. 3. Dtilc~rdo con (5.12), la primen coordenadi. del vértice es;

b -< h _ _ __ _ __ ,·

2~ 2(2) •

para encomr,¡r la segullda coordenad~. sugjtuimos x _ 1 en la ecuad6n <:lela parl.bob;

y .. 2(1)' - 4(1 )+ 3 .. 1,

~si que el ~n:lce es \1(1.1), o bien podemos obterK'r l.u coorderkld.u del ~rtice de la siguiente manen:

y_2x' _ 4x+3

y-3 _ 2(x' _2%)

l..:.! +I_X' _2X+1 2

y - I.02{x - I}' .

Como ¡¡. 2 >O,la par.l.bola abre kicia arribil yel vérticeesel punto mis bajo deell¡

Piradlbujarlaconvlme tlacer una tlObla con alguno$ ~!!JI puntos:

I 1" Obierw.mos~comob. ~bja" simkria coo reIjlecto i la W'rtiGill

quepua por el ~n:ice. el \/alorde yp;orax. Oy x .o 2 es el mismo, ya q..¡e Oy 2dlm.n lo mismo&! 1.P.ui 19uil coo - I y 3 ycon - 2 y4(figp.n 5.42).

l. Un fIDrlcante de Ju¡uetes Yendt cocheclros. S;¡,be que coo un precio unl­hrio de $20 W'nderia 10ooococ~irosen la ~mpor.Jda navideña, ~ro destr.l.lUmentarel preclo. PorC<1da peso~¡umemeel pr«io,l;Isvent.u :!le reducirán en 4OOcoch«itos. ¡Qué precio les debe .uill!l,:~:;pira q..¡e 5U5 ingresosseln mhimos? ~

-<'%

Uamamo! x al prKio de un cocheciro e J ¡ la función Ingreso. E1 lngre5o es Igual ¡J producto de IoscochI'CltosYel'ldldos por su precio, "decir.

l(x) - xv(x1

donde v( x) es el número dHochecitos q..¡e se venden al precio x.

Si el precio es de 52], mtonces logran ~

v(21 ) .. 10 000 - 400.

v(n) _ 10 000 -400(2 ) - 10000 - 4OO( 22- 20).

v(x)_ 10000 - 4OO(x - 20).

Hoyp<Cltll ........ nq .... hayq .. ....:omrar.I"*" ...-noo miimode Ul\iQnIIWdCIliOOoSU

~itnto_n.v" quedebemoseceO<'lllrlr elmbi'T>oomlni'T>owlot di! ..,..f...-d6ncladlitlc.o f( ... )- ..... +bJl"H.COn .~o,._loquo

dobHnost.oc., .. ...a>rur IaC<>Ol'd.""'¡' 1 dol wlta <M w g'l/b

)

.uique

T(x) _ x{IO 000 - 4OO{x- 20»)_ -4OOx' + 18000x.

y- -400%' + 18 ooox

abrehadl ab;ijo y supunto más alto ~ su Yértice. Al completuloscuadrm5:

y. --4OOx ' + 18000x

Y·-400(X' - 45x)

~+(~r -XZ - 45x+ (~r ( 45)' )'-202500 _ _ 400 x-2" .

encontramos las coordenxlas dell'btice:

v( 22.S, 202 5(0).

as! que el precio con el ~ se ak~nu un ingreso miximo es de $22.50. con lo q.¡e obtenemos un i"81eso de:

-400{22.5)' +:18000(22.5)_ 5202500. o

1. Halli las dimeruiorteS quedebe tenl!run rect~ngulo pm que su perfme. 11'0 sea igual a 7 centimetrosy su área se,¡ máxima.

1. &Kul'fltnlUll número pOi!itÍ'iO tll <:pJeelproducrodo!dichonúmero porel nlÍmHOque ~ulr.a de restarte dos unidades al núm«odado sea mln lma.

l. La suma del doble de un número !NSOtro es Igual a 8. Encuentra los nú· nwos si el doble de su prodUCto debe 5H mhlmo.

4. l:rKul'fltr, el número .lL'Qlya mitad menos la cuarta parte de su cuadrm toe.lmbima.

5. Los a.tetos de un tri~ngulo rectingulo suman SO. Encuenua las diml'fl-5IorteS del trijngulo que 1'1.11 qllE' el cu.ldr.ldo de su hipotellusi se;¡

minima. 6. La pnancia obtenida por ~ comerciante al ven<1H .lL'ceplllos est¡ dada

pOr g(x) _ -x' + 1 OOOx- 242000. EnCW!mu el nÍlmero decepillos que debe vender el (Omerclanle para obtener 1, mayor g:;r.nancla . .. C~les la ¡pnallCb ob[l'fllda en ~ Gl.Iof

1. Encuenm do¡número¡ruyadife~rKi¡ sea Sy sean tales q~ el cuadrado di!1 mayor ml!llOS el dob¡" del ruadr.ado del ml!llor sea mb mo.

•• loal lu lascoordl!lladas del punto Q ubiudo sobre la recta y. t X-6 t~1 que el cuadrado de la dlst~ncia deQ al punto P(,,2) sea mfnimo.

Desigualdades y la parábola

DIbUJa la regIÓn del plano determinad,¡, por la ~tgUaldad (y -6J < 4(X + Z).

Solució,,: Primero dibujamos la p.ar~bola (y - 6)'. 4(x + 2).

Como la vMlabl~ y6d al cuulrado. ~ mG d~ una pari.bola horIIOnul; el signo del c~ll!Ilte de{ x + 2) indica que la pari.bola ab~ hacia la derecha. Su -mtlc~ es V{-2,6). Como p. I,~I foco es F(-1,6) y su lado rectO mide 4.

L1 pari.bola divide el plano l!Il tre conjuntos: • El d~ los puntoS que ffiin l!Il lt.,par.\boJ¡. • El cko: lospun tosquee\l:.in.1 la ((~ha de la pm.bola (dentro cko: la pari.bola~ • El de los puntoS~ estin a la IlCpJlerdade la paribola (fuen de la pari.boJ¡). Con~mos ahor.a cualqu¡"r punto Kx,y) que ~ dl!lltm di! la pariboJ¡. SI

!rUamos una recta horizontal por P,corta la par~bola l!Il un punto Q(x"y). Puesro que Q est~ en J¡ p.a~""

En la figur.a 5.43, tenemos:

S'lton.:es,

("(r- _-:i, )" .-C, ('" -C. ,""'). )

XL < X,

X, + 2<x+2

4(x,+ 2) < 4(x+ 2),

y por medio de (S. l n obtenemos:

(y-6)' <4(x+2),

(SJ3)

ag que los puntos qu~esc~n dentro de la paribala s.atis/aQn la d~aldad ~~a (figura S." ).

Obsa-md6n: CDn ~I mismoarguml'nro, podemos ver ~ los puntos q ... están fumo ... la pari.boIa (la piI~ no sommda del planosln iooui r la pF.ibola) sadsfllan la des~ldid contlllria:

(y-6)' >4(%+2).

Un~ paribolJ, divide el p~no en tres C01j • .mros: • El de 105 puntos queMn dentro dela par.l.bola (ligur;¡ S.4S) • • Elde 101 puntos quemn $Ob~ 1<1 p¡ribolJ, (figufll s.%). I El de lo! puntos quee5lán fuer.! de la palibolJ, (ligur;¡ S.47).

y y y

x x x

den!'" •••

Priml'ro (onsideremos una parábola horizomaJ que ¡I;on:o ha(ia la dft"~h¡, a de­

(ir, con ~U~{O:

(y-k)' _ 4p{x-It).

los puntOI que e5láo en la par.l.bola 100 los que satbbcen la igualdad. i\h.or;¡ Yeamos lo que pu~ ron los pl.nros que no esQn en ella. Tomemos un

punto P(x,y)denuo de la paribolJ,(QmO mUt5tr;¡1J, f®.ar;¡ 5.48:

x, x X

Tr;¡¡amos una par;¡lela al ejeX que paSl!porel punto P. Esu recta corta la pará· bola en el puntO Q{x"y) que [i_la misma s*,OO¡ coorden~a que P.Como el punto Qe5t~ en IJ, parábola.ft"l[ollC4!5 sam~ I,¡ ~u<l(ión:

( Ir -k)' • 'pl., - 'l. ) (S.H)

lllor1l.

x, <x,

)Q que x, est~ ~ la I2qultf~ de x.AI $limar el número -h a ~mbos I.ldos de la des­iguald~ obtenemos:

x,-Iz<x-h,

multlplk:amos por 4p, y la dt5lgualdad 00 sea/ter.a, ya QlH! 4p es po$lrlvo:

4p(X, -1z)< 4p{x-h);

¡I combi~moslo ",n¡morcon (S.14). obtenemos qlH! 101 puntos c;¡ueest~n dentro de la par.l.bola satisfacen:

(y-Io:r < 4p(x-lI)

jl.l'T'O@dlanteunargumenroslmilar,podemosvtfquelospuntosQUI!'estinfuerade

la par.l.bola satisfacen:

(Y-k)'>4p{x-II).

Analic.emosahora una p40r.l.bolac~ ~uxi6n 1 ..... (Ilgura S.O}.

( (y_.)' o-<,{x_ . j.) (5.15)

Tormmos nl.ltVilmente un punro P(x,y) dentro de la pmbob y conSl:rulmos Q(x"y) en la parábola, romo ~ veen la figu ra 5.49. Mora tenernos:

x-lI <x,-1t.

Al rrultipliar la ~ldiIod por-4p. estil ambia de sentido p«ltf-4p neg¡¡tiYO:

-4p(x - 11» -4p(x, - h).

al combinar estl ultima desigualdad con (S. 15), observamos que los puntos que esdn denUtl de la paribola satisfacen:

(y-k)' < -4p (x-II).

Esdedr, comoen el USOUlter!or, el mk!mbrocuaó"itkoes menorqueel ~rmloo lineal

Los asosde las par~bolas verticales se analinn demanera similar, interumbian­do Iosp40pelesdex y y.

U ... ~lIbcmdMlM", IMS«>r¡UntoS 101 ~OI d.lpIona l)loIq ..... Hdin ~ la ¡w<"-oIa. ~)loIq ..... Hdino."' ... o. la patMoola, por '¡-plo 01 foxoy)) .... " ........ 1'ut,¡de~lWI'~por

tj<lmplolOdoo .... punlOS dt ladl'«tJll..

y

-, -w

)

x

En resumen: • U'1 punto 1"(",,) en~ en la parábolui §.;nisfKe:

(Y-kr .. :t4p{" - 11) o (" - 11)' .. :t4p{y- k), donde p" O,

~ Sf!i@ltlpodepar.lbola . • U'1 punto I"(",y) en.i dentrO de ~ pu.ibola si satisface la desigualdad:

(y-k)' '" :l:4p(" - 11)0 (" - 11)' '" :t4p(y - k).donde p '" O.

segíwl Sf!a el tipo de parjbola. Es decir, el miembro al cuadrado e5 merlOr que el miembro lI~il U1 punto p(x,,) e5d fuen de la paribola si satisfa(e la desigualdad:

(y - 01: )' .. :l:4p(x -11) o{x - 11)' .. :l:4p{y- 01:), dondf, p> O,

según sa el tipo de parábola. Es decir, el miemb10 al cuoldrado es mayor que el miembro lineal

1. Describir los conjuntos de puntos dettrminoldos por la paribola r ' +1U"+ 6y-7-0.

50111(1"61\: Escribimos la ec~ción en la forma est~nd~r (figura S,SO);

y'~, .. -8x+7

y' + 6, + §?" -lb: + 7 + 9

(.r+ 3)' .. -6(,,-2).

La parábola tiene vblice efI V{2, -3), es horizoOOlI y abre h;Kia la i~a.

Los pUntOS que estin M la paribola satlSb<:M la «IlaCión:

(,+3)' = -&(,,-2~

kH puntos que l'Stin dentro de ~ pmbola, M este caso, a la lZ<J.lierdi de la parábola. satisbcM la desigualdad:

(y+3)' ,,-&(x-2).

ylos pumos que en~n fuera de la paribola, es decir, a la derecha de ella, 5ilti5facen:

(y+3)' .. -6(x - 2).

2. Graficaf los conjunto~dettfmlnadol por ~ p~r..bo~ x' - IOx - IO ,-15 * O ydescribillos~n~li[iC<lmente.

SoIuci6n: Escribimos ~ «uoKl6n en la forma esdncbr:

x'- IOx - IOy - 15 .. 0

x' -IOx + 25 - 25 -10 Y -15 .. 0

(x- 5)' -10 y-6Il .. 0

(x - 5)' - IO(y +6)- O

(x-5)' .. IO(y+6)

(x- 5)' ".( ~ )(Y+6).

Se trata de la paf~bol~ vertical que .wrt h<ia ~rri~, coo vértice en V(S,-6) y parámetro p .. f·

Lo~ puntos que e:>tán enl<w~bol~ S<ltishcen ~ ecU¡ció1;

(.-5)'- 101, .6). y

"

-, " -, fIpM. Ul

LOS POOtoS QI.le~án dentro de la parábola, sati5fa«n la d8igualdad:

(x-s)' < IO(Y+6).

r,--"

_" " X -,¡'--_/

x

1DIt/'iUCC>nj.auo ..... <pII )

... a ... .ibolad~ .. pIan<> • .,.....n CM..,..,.'" 119fbral<MMnte por med~deWNt<_~

!los de lo ¡WjboIa} O unl

deolo)Ulldad t!rU<lOry l!IMrIOr de la paribolal.

y mpuntosquefSt.m fum de ~ p~ribol.l Soltisfacen I.l des~r:bd:

- 10 -5

( ... - 5)' > 10(y +6).

Y

"

10 I~ X

,J. GraHear la reglón ~ seencuenm dentro de la paribol.l:X> - y+ 2_0 ydeldrculo ", ' + ,. - 36 - O Y ~rribitde 1'lIt'aax + y- 4 - O. bcribir las ooigualdadesque satisfacen los puntos queMn en dicha región.

So,,:r..,, Escribimos ~ ecuación dela par.lobola en la forma esdndar:

x'_y _2,

y YernOS que la parábola es vertical y abre ha<:ia arriba. Escriblmosla e<:lLilción deld..:u 'o en ~ forma:

~'. 36. '0

Escribimosl.l ecuación de I.l recta en t forma pendiente-ordenada al origen:

y _-x +4.

Ento~ lasooigualdades que~(riben la I't'gi6n (figura S.54) son:

x'+y'<36

y>-x+4

x' < y-2.

1. Grafica la ~n queseelKuentradentro delosdrculosx' + y' - 4x. O yx ' + l +8y- 9. 0 ydela par.lbola x' + 2y _ O yescribelasdesigual· d;tdesque u t isfacen simultáneamente Iospuntosdedicha región.

2. Grafic.a ~ reglón que seelKuentra dentro de la par.lobol.l y' - 12y+ 2x + 46 - o y50b~ lara:tlcon pendien te 1 que pasa por el punto (-7,4). EKribe las ~8uald.adts (orrepondientes.

1. Grafo I¡ regl6Jl determiJli'dol simu lt~Jle.1meme por lo1S siguientes des­igualdades:

y>6(x-1)' ....

)' +2x -3 >0

x ' + y' - 2x-2y-34 <:0.

4. GraRa la región que se encuentra demro de la pmboll y' - 2x _ O, n..m del órculocoo cemro en (4,0) de radio 4y anib¡ dela re<:t:;I deter­miJladOl por los pUJlWS (8,4) y (5 ,0). Escribe lu desigua.ld<lCles cormpOr'l­dientes.

So Grafka la ~6Jl que ~ ~cuemra ~ra de 1<1 parl.bola y' -2;(-6)' +5.0 yd~tro de la p;lrl.bola 3y' +4x-JOy+67 -O. Escri~ 101$ desigualdades co~Jldien[es.

6. Grafka la ~6n que~~cuentra fuera del circulo x' + )" .. 2x - 16)' + 29 _ O,dentro de la par.ibola y' .. 12x - 4y .. 16 _ O ydel circulo x' .. y' + 2x + 18y+ 18 .. o. Escri be la e<:lIiK ión de la recta que.oP.,1S;l por los centrol de ambcl círculos y el vértice dio la pm.bola. %.

,. Gratlca 101 regl6n que ~ encu~tra dentro del "rc ... lo%' + y' - 4, arriba ~ la recta 5%- y .. 2 _ O Y del[ro de la paribola ax' - y+ 2 - 0. Es­cribe las deslgwld<ldes correspondientes.

&. Escri~ lo1S deslgu~dades que demmlMn la ¡;jguien{e rqlbn:

y

1'(-2.') \, o !' (n)

• X

9. Grafia la región <Jle se I"IlCUtrlt r.l. dentrO de las pilribolu y' - 2x -12y +4. O Y x ' +6x-IOy- 31 ... O Y fum! de 101 pOlr.ibola x' .. 8:0: -1)' + 65_ O.Escri~lo1S desigualdoldescorrespondientes.

10. GraRa la regl6n que ~ ~cuentra dentro de x'-2x-8y .. 11 - o. abajo de la recta)f -2)'+3 • O Y deuro de x' .. y' - 6Jr -6y + 13_0. Escribe las desigualdades correspondi~tes.

11. Grafia 101 región que ~ encu~tra fumo de y' + 16x- IO y+ 73.0 Y de y' - 16x - lO)' .. 9 .. O Y denuo de y' - 4x -lOy" 1_ O. Escribe 101$ desiguald<ldes co~ndientes.

~rKtOt"fM'9II ...... a ) uno pa-iboI;o si ~rnn.o en lDIo ... punlOlpunlOde lOngendoj Y todos .... otrOiI

punl<loJeodnenele><te'1o! di! ~pa-~boIa

R

l '

y Q

R

l ' ...

F X

Q y ___ r" ........ .-

,/ ,-'

" "

F X

La recta rangente a la parábola

Recorderno¡; <p.M!' en ellpiru<lO de b tanfi'!'nte~ un (Írculodiji!1'>OS que una recu.l es tQl1gerIln una cóniao 1m un punto Psi corta b COOIGI únic;amenteen Py codos los dem1s puntos de I E'SÚn en una mi5ma dt bs regkmes d~ermin¡w:l¡s por la cónica

en b ~gura 5,56, b recu COrta b paribola en dos puntos; en la figura 5.51, en un puntO, ¡::M!I'otiene un~ parte dentro yOtl1l ~ de la parábola, En c¡¡nbio,en la ~gura sse, b rectIo toa b piriibola en un 5010 pCI'ltO yel resto de sus punOO5 s.iempre están fuera de ella. Aá. úniarntnte en este terUJ cU<> la rectIo es tan8l!'nte a 11 pa¡;lbolil.

y y

1

X X

' .... ". El siguiente resultado I10S permitirlo enContl1lr b ecuación de la real tlngll!nte a

una pmbola en m pUnto. Dado un punto Pero la pirábola:

e y' "J PX, (5. 16)

'+' la blsKIriz del ángulo RPFformado po~rKIa FP, q~ Ull!! el foco Feon P, y b recta horizontal Rl'(figura 5,59) esb rec u ung!nte a la parlobola en el punto p,

En la figura SS\I, (es la direarll<1f' la p.¡.rábola; (',la bisKIrildel ángulo RPP; R. el punto donde la recta hórtzontal que pasa por Pcona la directriz, y puesto que:

ttrtemOs<p.>e el uitngulo RPFes isOKdeSY. por canto. l' es la mediatriz de RF, Asl pira cWlIcp..ller Q de l' (figura S.60~ tenemOS:

pero si O .. P, enc01l«"51a distancia de O;¡ la direariz es menor cp..Ie la distancia de OaR,aslqoe:

d(Q, / ) < d(Q,R).

,,,,,. d(O, / )<d(O,F)

)1 po!" t~nto. Q está fuef¡l de la parábola. Como ~tO pas~ pan tedo punto Q"'P de 1<1 bisecuiz l '. entonces l' es la r«ta tangente <1 la parábola en P. con lo que el P?Orem~ qued~ demomtdo.

Entonces. para encontrarla ecuación de la r«tl tan¡entea la parábola:

y' _ 4px

4!f1 el pUntO P. lo que debemos hacer es encontrar 1;\1 ecuación de la bisectriz del ~gulo formado por la r«ta FPy la recu horizontal AAdonde R esel punw en el q..e la !«tI horizontal que pUl por Pcofta la directriL

Tongmtt Q U/IQ panlbolo horizontol con ~htjct tn ti origm

1..1 ecuacl6n de la r«t<l tangente a 1<1 parábola:

y' _ 4px, (onp>O,

m un punto I'(x"y, )dela parábola, distinto del Vlértice es:

(r-,5k(,-"I ) (5.17)

En el ~rtice la r«u t<lngen tees el eje Y,el cu<ll tiene por ecuación x _ (L

1. Enconuarlaecuaci6n de la r«tl tangentea la parábol~ y' 8x quepasa por el puntO Q(2,4) (figura 5.61~

Soluc.ió":

y

~ -.

Q(2,4)

• X

Si 5Ustiruimos las cDorden.ldas de Q en I~ ecuaci6n (5.11) y simplificamos, obtenemos:

• y-4 __ {x_2) 2{2)

x-)'+2 _ 0.

la KUldón cM la NCQ

ungen .... una .,..-M>ola horkZ<lntM con ... mee VlO,OI. ....... pun'o (x,,)',)" ID. O)."

1-1,· ~ (r-",l

(n.I"",~ ~1o,O)1a

ungen<e .. eleje Y.

El punto P(1I.6) pe!tene<e a la pa,abola ~_'I!" ,. _ ''' .Elfoco6e "'taesl'¡1.0). la ,..all pe<pendlcuIa, a PF

)

.,... pa<ap<>rFco" .. I .. dI_enQ(-I. t ).¿QIM propi __ larkUol'Q

~ ala pa<~laf

YKUIC~nd.~NCtII

~, •• ~po<abola ~ronWrtk.Vlo.Ot.n

... punlOlx .y,) .10, O)

Ml_,,~l,,(~_,",) , EnlO!..!nluVlo.OI~

tangI>fl""'.I.X

y

, X

Q(1,-3)

-,

laIl.I .. ntes~n P{l, l ) y ~ 1

IOfrtla. lI{o.o). ~ p;o,íbola Vl!nlc>lx ' • 4, "rona" .. ~ p""'" Q( ' ,O). EI t:"" do> la p;lfíbo~,.. F(o. 1~ t:J>""',.. la rKla QF«"" une Q.:on el roco P.

)

Ll r«t~ tangente ~ uru parábola venltil con Yértk:e en el ori8'?fl en ur'I punto (Xx" y,l e:

(S.18)

1. Encomrarb «uación de b rectllt.ngente a I.l p'¡lr~bob 3%' + y_ O en el puntO Q( I,- 3) (figura. S.61~

SOlución: Como b vaJb.ble que _Ji ~a 11 cuadr.ldo es % la parábola L!S VmiCil~ la « uaclón de la r«ta tangente útil!! la fonna ($..18). y si sustituimos I.ls O)<)rden.ldits de Q en esta «uaclón. obtenemos:

) '1-3) y-(-3 _ (%-1) , y+3_-6(%_I),

al simpliliar, obtenemos:

Ahora ~amoscómo eror;ontn r la «uación de b r«ta tan8'?flte a la parábol.l hori­lIOlllal con vél'ticeen V(h.k),

T I'l.sladamos los ejes par.l que el origen cp.tede en V mediante la sustitución;

( x '_ %_h y y'_ y_k.. )

Las coorden.ldits de Q con rL!Specto a DS nuevos ejes soo:

( x; _%I _ II y y,' _y, _ k. )

(S.19)

(S.20)

Como la parábola e horimntaL entoro:espor (S.17) la «uilCión de la recta tan­gtnte en el nuevo sistema 1'5:

, , ro' (, ,) y -y,-~ % -%" ",

Al $Ustituir x ', y', ":. , ,' de iloClItfdo con (5.19) y {S.20).obrertell1osque la r«ti tlIn~te ¡ la par.lobola horizontal en Q(x,.y,) es:

y -, ( ) '-1' - 2(:,_h) x-x"

dorldtQ(x" y, )esel punto de tangencia y V(h,k) ese! ~rtlce deb p~r.Ioboli . MiIogam~te, la ecuación de la ~ tangtflte a IJI parábola vmical 000 vm~

en V(h,k)en el punto O(x, ,)',)es:

UK~K~ndlla«<g

uong .... t •• laF*abo .. horllDngl con.....me. \lfU).ln"'puntO (z,.1,) .. (II.J:/,fi

,- 1, • ----tc.!...-(. -.,) JI ... -h)

)

En ti """" VIU) la tangenle es 1,) r«tII .ertlcal ,-,

r----:,(y- ,-_,-:-)(---, 1-)',·--- x-x, ). )

x,. - h 1IlK11kllnd.l&fKtI ________ ~=========~ ____ ~(S~2~'~) tangM'Ul&parMxI~ t: .. ITI~ IIlh . .I;j,on ... 1"''''0 (x,> r,l" (h.k), IK

1. Enconuar la ecuación de la recta tanj1:tllcea la padbola y' - lO , - 8%+ 9 -O en el p .... to Q( -t,7~

SolllCión' ~ Eso:.ribimos la ecuación de la plliboben b forml 6tindar.

y ' -lOy-8x+'il - O

1'-IOy- 8%-9

(y-S)'. Sx-9+2S

(,-5)'_8X+16

(y-S)'_ 8(x+2). " -"'%,

Observamosque b ¡artbola eshorizontal y su ~rtkees V(-2,S~ ni cpJe la ecuación de la real (¡ngemem Q( - t . 7 ) es:

H [ , ) y-7_~ ,,+ - ; 2\- t +2} 2

de$pues de simplifiar, obtenemos (figufOl 5.63);

h-y+IO _ O

J/y -t l¡ I '-1,-~ x-x,

En.I-'Vlh.k)l& tang.nt ...... r«U

hotl ... n.II,_ k.

U ..... cu.ttdlcMl. plloibola .. cualqlJ~' ""l ..... ...., q .. un. dos PU""" do! Iami<rnL El s.eonM....,cMp.o<aooli' _rm~pO,u .... oan:la .. la NO~n amlU<H pO' e10Icuetdl yl.>p",plaparábola (pa<mJOmbrudad.la 1Ig"",5,6S~

y

) 2. a ¡ rt.l de un segmeoto p~rabóli(O es dos tercios del ¡ru del tJ'Unsulo lO, mado por la Cuerdi y 1,15 tV1~tes q~ pasan por lo! extr~n!u de la C\terd¡¡ (fogura S.64~ Considfrfmalla parábola y' - 16% - 10 y-71 - O Y 105 puntos A(10, 21) '1 B(-2 , -3~ Encontrare! ;,readel ~to p.arabó· leo detmnini do po, la parábola y la eUfrd~ que Pis.¡ po' A Y B.

SOludón; Escribimos li «uación dfla pirábola tIlli forma estárldM;

y' - 16x- l0y- 71 = 0

y' -IOy+1S = 16x + 71 + lS

(y - S}' =16x+ 96

(y - S)' = 16(X +6),

La ecuación dfla eu«da quf une.4. con Bes:

-J_1 1( ) y+3 _ __ ,,' - 2- 10

y+3 _ 2(%+2).

Encontramos las rKtas cangftU@S ¡ la parábola tIl A(10,21) Y tIl B(-2,-3~ El vb'tice de la p.aribob es \I'(',S).

Como la p¡~boll. es horizontal UtillIlITlOS Iir. fórmul¡;

• EnA( IO,2I):

• En 8(-2,- 3):

y, -. ( ) Y-Y' -2 % _11) X-%,

1-Y' - 2 , ... 56 (x-x,) .

21-5 1 - 21.--(x- 10)

2{10+6) , 1 - 21_-(x _ IO) ,

y. ! +I6. ,

-,-, ( ) 1 + 3 _ ___ ) H' 2(_2+6

, + 3 __ ( ... 2) , _ _ %_ 5.

Mor;¡,. p.lr,l erw:ontraf el ttI'CeI' vértice C del aiángulo q.¡e nos ¡me­rea. hallamos el punto de intersección de In dos tangentes. Par;¡, elto resolwmos el sistema:

dedonde:

•

• y_ - + 16 , y--x-s,

- +1 6 _ _ x _ 5 , =: +x _ _ 16_5 ,

x _ _ 14.

Sustituimos estevalortn 1,1 segumb ecU.lción del ¡Istem.t

)1,(- 14)-5.9.

Por tlOto, el plRO de Intersección de Imangenases C( - 14,9) (flgur;¡, S.6S). Para calcular el.i~a del rrUngulo ABC udllumos la fórmula:

I Área .. "2(x,)I, - x.y, • x,y. - x,y, + x,y, - t ", ).

donde A(x,. r,) B(x,. ,.,) y C(x,. r. ) eu.in enu~ en sentido contrario al mcwlmiento delas manecill¡sdel relo~ ~

En me caso consldmomos el uüngukl orimt.ldo A(IO:~ C(- 14, 9). 8(-2.- 3):

Área _ '!'(1O(9)-(-14 )21 . ( - 14){ -3) -{ -2 )9 +( -2)21- 10{-3») , _ 216.

~r tanto,el i,eadel segmento parabólico es (figura 5.65);

.!(216). 144. 3

3. Trazarlasdostangerll:esa lapar.ibola (y+ 3)' .. -12{x - S )~eI pUntO etterlorp(10,J).

SoIuci6rr: la panibola (y + 31 .. - 12{x - 5) es horizooul y el -.fttio:e es V(S. - 3) (figur.l 5.66).

a .... d • ..,HO ...... 1O ) ~ko"dosl""'IOS

cltl "" dtl Ulqulo bllMdo po, "werd~y" mngon .... qu. pMOn por bi.....-.O.cMla .... rd~ EM trl~ngub., n_Ido cM kqo.olrr.cl1K.

y

"

y

x

Ato •• 'IJ

Suponpmos q~ 1,\ recta bu\W.b corta la par¡\bol.l en el puntO Q(Xl' y,). Sabemos q~ 1<1 ecWlci~ de un<l recu [<Ingente ¡ una ¡Nribo­I,¡, horiZonw en el puntO Q( X" y, ,l es de la forma:

y -, ( ) r-Y,.~ x-x" 21A, -"1

es d«ir, en ~ <¡SO tenemos:

y-y, . (x-x,) . fi·3 2 .1:,- 5

Como ~a r«ra d~ pasar umbitn por p(10,3),enm!l«s eSle pumo satisface la ecuación:

y •• 3 ( ) )-YI_~ IO_X,

2p:,-5¡

y •• 3 ( ) :r1-5.~) lO-x"

2\)- )',¡

(" TJ)' .. -12(%, -5)

~ -12 "x,-5

(YI+3)·~:c. - 12 --.,-1

Sustirulmos el valor de x, obtenido:

(y.·'f .~(IO _ [(y.·3)· .5)) -12 2{3- Yo) l' -12

(y."r.~ [5jY.·3)') - 12 2{3- 1,) _12

y, + 3 . 1 (5)1,+3)') -12 2{3- )',) -12

(YI + l)(y, -3). 6(5+ (" ~3)')

de donde;

AsI:

( )( ) ((Y, .3)'.60) ,,-3 J,+] - 6 12

... (,, +3(+00 Y, - \1_ 2

2y,'- 18 _ ,:+6y, +69

1,'-61,- 87_0,

6:1: J36 .. 4 (1)(--87) ', . 2

6± F[+J7) , -hJ% .. 31r.4~r¡, • ...

Si" .. 3 + 4J6.eI'Itonas:

x_ sJ,, +3)' .1 I 12 ....,.

(3+4./6+3)' -"% _ ,_ \:. "--'~"c.c::L

--6-4./6.

Si" .. 3- 4...Í6,enronas:

(" +3)' .><,-5- - ,-,-

(3- 4)6+3)' -,- '---;;---"-12

- -6+4./6.

fbr tantQ,h~ydo5pllntoSC( --6 - 4./6,1 + 4./6)- e( - 15.798, 12.798) ~

n{-6+ 4.,16. 3 - 4,16) .. D(3.798, -6.7981

: ,::_ .. C

-" -~

1..;1 rect~ ~~~ por Q.{--6 - 4/6. 3 -+- 4..J(,j y 1'(10,) ) tieneecu~ión:

y-J_ (y, +3)(%_ 10) 2 %, -S

3+ 4../6+ J y-'" ( , )(,-,"1 2 ~- 4 ... 6 - 5

2./6 +J ,-J.-~(% - I O).

4,,16+ IJ

yla recta que p¡~ por Q,(-6+ 4,,,'6 , 3- 4J6) Y p( 10. 3)óeneecuación:

y-3 _~(%_10) 1\%, -S,

J-4 -/6 +3 y - 3 • 2{--6 +4J6 _ 5)(% -10)

1,/6 -3 y - 3 _ _ ~(% _10 ).

" 4,¡6- 11

Para encontrar ~~s rectas tangentes geomartcamente procedemos de la slguienre m¡¡nftOl:

1. localizamos el Yi!rtlce y el foco de la ~rlibola.

1. Tr.u~mos I ~dir«trlz.

J . Encomramosladiltal'l(ia rdel foco al punto P(10,3). 4. Trazamos un círculo con centro en P( 10.3) y r1ldio r. 5. EnCOlllramo! los p~toS 1-t:-B de intersección de este circulo con la

drecuil. ~ 6. loallnmol el rje focal -"%, 7. Trazamos dos rectU paralflas aleje focaL una que plse por A y

otra QU<! pase por B.

l. Determinamos los puntos Cy Dcomo 1M puntos de Inters«cl6n de las recta s anteriores con la ~rábola,

,....561 !. Por últ imo. truMnOS lurectas que~san por Cy P. y D Y P. Estas son las rectas tlUlgemes buscadas.

Obw\lQCi6n: Todos los pUOI que $egUimos par1llw:er la construcción 8f!Omkrica de las tangentes se pueden hacer anallticameme.

En resumetl, la ec~l6n de la recta tIIngenteetl el punto Q(.1I'" y , les:

Si la parábola es horizontal:

Si la parábola es Ymica~

r-Y,·~('-x, ). 2(%, - 11)

y_ y, • 2(y, -k) (%_%, l. %, - Ir

(5.12)

En cada caso. encllenm b ecuición de b recu [i,ngalte i b pmboli en el plIntoditdo.

1. 3x'-,-3_0;0(4,45) .

1. 3y'+2x-O;0(-~ ,- I ).

3. .0:' - 3,_0; Q(2,t).

4. ,' - 4, - 12x - 20-0;Q(-t.-I).

S. 3y' +6y - 4X - S .. 0; o( lO. 3~

6. x'+4x-8,-:m_0; 0(-2,-3~

7. , ' U -0;0(-(,2).

• . y' . Sx+5_o¡ O(-6,5~

9. x' - 3x - 4y -~ .. 0¡Q(t . - H .

10. 2,' +12y - x+22 .. O; o(36,I~

11 . Encuen tn liS ecUiClones ~ las A!([iS tingal~ i la parltola y' - 8x -6,- 39 _ O en los extremos duu lado recto. Mllestn. qltedi­miS r«t:iS son perpmdlculares.

12. Halla las ecuaciones ~ las rectaHangen~ a la paribola y' - 7x +6y + 16 _ Oen los plintoS Q( t ,H yQ'(Ij,- .!f ),Encuentra las mordenadu del punto en ~ que le cortan las dos rectas )' muntr.l que dicho punto ffi~ lobre b d~rllde li paribob.

13. Encuencn.liecu.aci6n de la ~i tiljsrnte a 1 .. paribola x' - 12 t - 20,+ 116 _ O en el punto 0(4, lf ). Encuentr.llascoordena­dasdel punto P en el ~ se cortan dkha r«t:a tangalte y la dlrecniL Di las coordenadas ~I puntO p' en el que ~ eortin li rectlqllll! con t iene el lado recro y li recti tilllgmte que encontraSte, Muestn. que 1I Fes el bco dela parábola,entollCes d( P. F) " d( P', F~

1~ . Traza las dos tangentes ¡ la parnlOli x' - 12, - 60 .. O desde el plinto exterior P(0,-6). J

Ecuaciones paramétri cas d e la parábola

Un móvil recorre un,) (urv¡¡ de manen. que en ud¡¡ inSlinte t!oU ¡bsc,Sil v¡¡1e t + 3 Y su ordenada vale t' - 41 + 7. Describir b rurva recorrida por~ l1'lÓoIil

SoIu06n; Tenemos una funcl6n de IIn Interv¡¡lo de tiempo en el plano, demanen. que a cada instante lecorresponde un puntO en el plano. el punro en donde se enrunen. el m6Yil en ese mommro.

Par a cad¡ 1 tenemos dos funciones:

x(e) .. ,.3

y(t )_ t' _4/+7

que describen la abst;í.a. y I¡ ordenml. del PUf1{O doodI'e.$Ú. el mÓ'\ril m e if\$WKe t Trazando ¡Igooos puntos idYeltimos que b ClIrVlI parece ser un¡ paríbola.

Veamos que en meto esto niil (figuno 5.68).

y

«ua<lo ..... ~I'" """~.·"l8au ....... 6boIa trillr.lld_d_"'punl<> -0,1,.,.1, larnamo'{z,.l,) a ruaIq~l.rad. 1m ",,"lO' _. <o .... ~ pa-~Ia,

ewoIuanoo.lIoKuacklno.

1a1*6boIoen(z";,'I' e<IOIIu ...... en(z •• y, la ecuaclóno. la tangente ~~PO'(z,.1I), dt<¡lu"-"""""'iOI .I"",mabrmado por 101 doi .arat:lon ... tiI ob<f!nidas para.n::onua. 1oI .... 0re:tZ,Yl,·

' . '

)

y

v 1l14 S 61X

,.....5'"

, OS , ,., , .., , ,., • , l .S I • •. , , I '" , 6.5 I 6.26 , S.lS I • U5 , 3.25 • 5.25 I ,

t _ x_3.

Sustituimos ffi I~ Segr..OOill e<:u.lClón:

,-"-41+ 7

_(x - 3)' -4(% - 3)+ 7 _ .1' _ 10.>:+28

yobtenemos I.l ecuolClón de ul'la paf~bol.l. P,ln trKOntr.tr sus elemefltos, 1 ... escribl . mos en la folma estándar:

x ' - IO.l:+28 _ ,

%' -10.1_,_28

x' -10%+ 25-1- 28+25

{%-5)'.,-3,

¡Sr quees UJla pólrlbol,l venlol, cp.¡eabfe~;l(j¡¡ ¡rrlbóI (fig,..ra S»9).5u vértice esc~ en V(S.3~ p .. h por tanto. su foco est~(S,,).

En goenHal, si pUlO un<lde Iu VoIriID~, d~sx.$ecumple x .. al + b con a .. 0, y par;¡ la otra variable en este cas.o y. se tiene y .. At' + BI + e con A .. 0, encancenl despejar Ide la ecuación lirlUl: , .. ~ _!I ysuttitu lren la «uad6n cuadrioca:

obttomlOS I¡, ecUKión de urlil par.lbolt. en este QS(l wrtiaL En pan icular, lnTo manm hlcil de parametrizar un¡¡ palibob a parorde su ecuación

!J>nerlIl es udlinr como parimeuo la varial:ll' ~ 5lÍ <'levada al cuadrlldo. AsI, si:.

es la ecu.aclón de liria parábo la ven:ia~ hxernos:

%( t)_1 ,(' )_AI' +B/+e

par¡¡ obtern!r $U! tclolllOonfi pClfQIJN!tri(o¡. Se procedf de maRfI'l. limilar par~ ~I parábo~s t.o, irontalfS.

1. Parametnur la parlibola y_ r -IOx+ 28.

SoIuci6n: U~mamos f.- x , SUlfltuimosen I~ «u<Idón y obtenemos:

uique:

y.- t '- IO, ... 28,

x{,). , y{,) _ ,'_ lOh28

sen ecuaciones parammlcu de la par.l.bola. Obser\ll que ma es una paramm-lucl6n dl~rent~ de la j»rlibola.

del ejemplo Inicial. Aqut el móvil esd en (0,28) en el Instante t .. O, en ¡OO1tO queen el ejemplo inicial el móvil estl en (J,7) en el tiempo'. O (figura 5.70~

2. P¡rlmetnUr la p¡riobola (y -'\)' = ~ Jx-8).

SoIuci6n: Despejamos;re, que es la v¡nlble que no estll elevada al cuadrado:

Hacm1os:

4{X- S) _(Y_2 )'

X·!(Y-2), ... 8. •

y(t) _t

x{t).-'!"(t-2), ... 8 • yobtenemos unilS ecuaciones ~ramétnc.lS de la ~r.lliola (fisura SJ1 ).

En resumen:

x(I )_AI'.8uC

,(1)-1

x(I)_1

y(I)_AI'.Bi+C

y

y

"

-,

v 1 11'S67 X

..... !o.70

u,'IíJ ... rarutlnl.nVlouol ) !lak: db .... la par.boI. ,-~'

F.ocab - ~00l

PSct(O,O) Fork",¡]TolOO t_kllOO ...E>alo', , ...... , UD< _(x. y)

"'" <:...-.....4<0""' .... valoreso.l.L loo,eI 1*_1'01 __

_re O y l. u,v .... 1e Escala permltedbu'¡' la]MIilbola d!ltarnaIIodeoNdoenla _ ..

"'pani,dolaKUaC~

\IIt- do .... pa"boIa ."~param.""" uundo<orno~ __

la.~.q ... tsU _oIcuad..do. All,pOr ...... pIo,~,.. pa_trlzad6nde la pmbcIa t.c.lmntal x_A,'.ny+C .. la dada por'" KIYC_ l{t)-' xh)-Ar'+I1I.C.

y

Q ". -, - 00

)

x

En CilcIa cml. par;¡metrilil la pilribola tI", la ecU.1ci6n dada.

l. x.y'-IZy+ZS.

l . 2y _ x ' -6x+4.

l. (y+S)'.-4(H(x+I).

4. (Y-6)' -Hx+ 5). So (x+l)'.-IO(y+4).

6. (x - lIf .. 4(y - 7).

En cada CilSC\, ~cribe la e-cuaci6n cJltesiana de la parábola que corresponde ¡ tu ecuKÍOnes par.llmétrlcu ditdu.

7. (t,t"+St-16).

8. (t, -~ " +6t+1Z).

9. (t t'+St- 16,t).

Resolucj-én de problemas

Lugares geomltmo5

lO. ( -~ t' +61+4,' ).

11. (- i t'+I, ,). 12. (t,- t t' +1).

En este apartado ...eremos algunos problemas que involuc ran lugares geomaricos reliKioniKIos con las p~ribolas.

ErKuentr1l el lugar SfOmétrlco de 105puntOS (x,y~ tales que.>: - 8 m.u su dimncb al punto Q(Z.O)sea 10. "

Solución: .",% Llamemos 1 a la recta x. 8 Y A:x.y) a un punto de dicho lugar geornmlco. Las rondic ionesdel prob lr!ma oosdicen q~

La dist arK~ dirigida ~ P ¡¡ l es (x - s). yaque la recta x - S _ O esc;\ orlentw natur1llmente:

J(x -2)' .o y' +(x - 8) - lO.

Dejamos el radical en un lado de la e:uaci6n ~ elev¡¡mos ~mbos miembros al cuadrado:

(x - Z)' .o y' .. (10 -(x- 8))'

x' - <4x +<4 .o y' • 32<l-36x +x'

y' .-lz..,+ l20

y · . -4(8){x - 10)

qlM!' esla parábola horiront;¡1 con v~rrice ro V(IO,O);abre hacia la izquierda y p- 8, porlo queel foco esd en Q(2,0) ('i81m 5)2).

Consideremos I~ p~ribol~ l- 12(x + 1) Y el pumo P(2,O), ~ Wl pumo Q(x",,) en b paribola, tr3CemoS por Puna recta, l, paralela a b recti tangente ~ la pat.lbolaen Q.ConformeQ le mueve a lo I<1r¡o de la parábola, ¿cu.ll es ellug¡¡r ~métrico descrito por el pumoM m el que secortan 1<1 recta t yl. rectaque une QCM el foco de la puibola?

Soludón; ~ acue«Iocoo (5.17).1a pendiente~ la recta WW!fltta la paribob qJe paso! porQ es;

m y, - 2{x,+1)"

La n!Cti par.alela a dk:hi tangrmeque pasa por P(2,O) es:

y-~(.-,). 2~x, +1,

La recta que une Qcon el foco F(O,O) es:

• n x. -',

Igualamos las dos últilNs ecuacionesp;lra en<ontrilr el punto M (x .... , .. ) don­de se COrtan esc¡s oos rect<lS:

~(, _ ,)_ h.,. 2(x, +3) x,

(5.23)

y la sustiruimosen cualqu~ de lasoos rectas par.a ellCOntl'3r y.

(5.24)

M (-' --"-.-' -"'--) . .1:, +6 x,+6

x

· 00

y

-00

Pensam ien~ críticO" • !=-uM ... ellug.>r QI!CIm~1co de los puntos ",e e<fdldlsunde UM ~lrde ..... puntoPq"" pertenece .n

P.tr~ Silber qué curva des<:ribe M cu~ndo Q(.-c" y,) recure ~ p¡ribo~, obstJ­v<lmosq~:

". ró. (_,2L)' • (_,..lL)' .• (". r' ) )(,+6 %,+6 (%, +6)' .

COmoel punto Q esti en la partbola,' _ 12(% + 3). sesat lsf.lce que:

y. por tlntl\

(r' · 12(',.,) )

, ., ("'12(',.,)) x .. +,,,_ 4 ( )' _4, XL +6

(S.25)

asl que M estiI en el circulo de radio 2eon centro en el orlg«l que ee! foco de la paribol.l. ObloefYa que la disunci¡de! origen ¡J puntO Pes 2.

Otra mallml de llegar i 5lIconc:lusión es despeja r 1, dio (S2'~ w sti tuirlo en la «uXión de;.!;l parábola (5.251 de~ués delpelir x, de (5.23) Y sustituirlo timbléfl en (S.15~ Al si,:;:tpiífic.ar. obtl"lW'mos nlleYmlmlr la ec;uatión del círculo (/igllra 5.1'~

x' +,'_ 4

1. EncutllU.il.l'llugar gE!Omkrk;o de los pUntO! [¡les que la suma de sus dls · [,mdanl punto FI),O) y ¡ la rectr. 7 se¡ 10. Comidera que la dist¡/IC~ 11 la (ecti es dlstancl¡ dirigida y que la recta esQ or\ennda naturalmente.

1. ~itl'eI ultim;) I'~mplodel ap¡~con la pmbola y' - 16(x +4) yd ~nto P(2,0).

). Q):s.ef\Ia que en el ultimo ejemplo del apartado y en el ejercicio anterior 5eobtuvo el mismo circulo; esdedr,el ladio del círculo es la dj~ancia de PaI foco Y no depende de la apertUra de la ¡».ribola.lmern demostrar ~ en ~n.~nLe5to escierto.

4. I)¡d¡¡ la parábola f • 8(x + 2) con foco en el origen. por cada puntO Q en la parlbola. considen la tetta tan~nte a la parilbola y la tetta que pilsa por el origen y que es ptfptlldicular ¡ dicha tingente. Describe el lug¡or 8'!'O~rico fonnado por el punto de Interseo:l6n dedkhas ~as (U;lndo Qr«orre la paribolil.

Mund0») virtua l

1. l'ar.ibola tbdO$ foco y dlrearlL Construye la pa .... bob (11)'0 foco es 1'"(- 5,0) ysu all'4!CfflzUx - 5. Para ~lIo(on$D1.fYep"mM)eI fo<;oy ladl­r«triz. ydesp~s utillu el constructor Amlbolll: Focc DirtarÍ2 del meflú dtoonim.

2. Partbola dados foco y vértice. Encuentra la ecuación de la pmbola tuyO vbtice estí en V{5,- 2) y $U toco en F(s,-4). Obu.w. q...e ~ lib no ti~ un con5tructor p,if1l hacer una paríbob dados el foco y el vértice. asi qo.>econ los datos que tiene5debesconstruir IlIdirectriz p;1Iu de5p~ utilizar la (OnsmJcdón ~ 1000 Y d¡~«ril. u dl'«Uiz ~ una recta perpendicular al e;ede la parábola y e5d ala mislm distancia del vérticeque el foco. ~ del lado op~m. Construye la r«!a, r, que pala por Vy r, y el circulo. t, con centro en V que pua por F.Consuuye la i1te~ci60 del drculo y b recta queestí del otro l.Jdo de F. ll~m.lb D. Conm-uye la recta, d. perpmdiculara r que pasa por D.Esu es la dir«­triL Por último. construye I¡.,ear.;bol¡ COIl toco F y directnz d.

:J. Paribola akulada. EI1(:~~ Iolekomefl{os de la parábola cuy¡ ecUi ­ción es 12x - y ' T IOy - 61. O. Pan construir una pal1bola dada su Kuación, utiliza el conuruaor Úllcu/ockl di!1 mt!ml di! cónicas. L.J.¡nu. p a la parábola ~ asigna los sigrJientes valole5 alos coeficientes di! la «ua­ción: A. O, B. O, e .. -1, D .12, E . 10, F. _ ~L En la p.u1tallil di! daroJ, analiticos, colco d cur50r ~n el renglón d~ la parábda ~ oprime el botón di!d.ltos pan ver t~ IiIlnfonmción perdflf!nte.

.. Intersección de r«u ~ pM<iobola. Encuentf"il los pun~opde intersec­ción di! la r«tax. y-I- Ocon la paribola:t' - 4x:.(f+ 1- O. Cons­mJ)'f! la p,t~la p cuya «uación es x' - 4x - y. I .~ la rKt:a rn cuya «uaclón i!SX.jo )' -1 -O, par.l! ello utiliza el consmJetorÚllculodo del menú di! cónicas ~ di! rKt:as, !"f!SIlKdvamente.. Con5l;ruyf! i!1 punto PI us.ando Intm«ti6n de rftto,. aSnica por rut6" del menu de puntos. Eligeel pumo i!Jl b listil de la derecha y masua el r.l!tOO en liI pant.lllil. ct.serva queel punto per5igueel curscry se poneen la intm«ci6n m~s arC01lna al ru~or. En la wmana de datos analrócos puedes ~er SUHoor­den.adas. ConsmJ~ lln punto auxil iar, A, cualquiera. Aoora conmuyt! el punto P2 udlizando Intmw:i6n de nao y aSnica del mlstM lado dt un punto. Aoou m.- el punto A i!n la pant.lll .. y oosern c6mo i!1 puntO PlSi! poOf! en la Inters«dón mbcerana al puntO A.

S. ~m¡1ia de p;>ribolu. Dibuja par<\bolils(pJi! tf!08'ln su foco en el eje Xy wya dir«triz ~ el f!ji! Y.COMtOJ~ liI rKt:a dcon f!Cuaci6n x · O Y un esC01llar l. - IO.ConstOJ)'f! el punto Fruyascoordi!nold,1S se<ln (I.O~ lJtI. in el constrllCtor Pumo calculado. Dale los valores x. 1,)'. O. Cons­tnJ~ la par.libola pcon foco Fy dirtttriz d. Ahora conSU"lr)1! una anima­ción. An ima i!1 punto t entre - 10 y 10. En la pantalla grUa. tjecuta la mimaci6n para -..er cómo 'IlIrÍlln las par.ibolas.. Si qlliere que se queden d'buJoldas rodolS las par<\bolas, M la pantalla di! ditos an.tlltiros Indica

que Ii p;l(¡\'bol~ deje- triU~~. en I~ p¡rlt~ll¡ 81~fica, ~Ie<cion¡ el botón queestíi rn el margen izqu ierdo jJoto a la IetI1l T. Eje.:uta la animOKión nuevamente.

6. Recta canlente a una ~bob. Dada la palibola cU)'O foco es F(2,3) y cuya dim:tri: es % + Y + I • o, encumtlll b. recu ¡angane ¡¡ ella que pasa por~ punTO .<'(- 1,-1). Udllll rI¡;onsrrucror Tongvu Q wnJC<l por ratono una ve: construida la tangente, ellgda en la tabla de la ooecl'la de la panulb. y an"1malacon timón di' uno 10t,O lado de b. ~ribob.. Comotruye otro punto Q cualquiera y ahor;¡ construye la tangente ¡ la par.ibof¡¡, desde P, us.l el COnSU1X{Or Tongente <l cóniw dd miS/tW/aoo de 1m puma. M~ el punto Q y observa cómo lo persigue la rallgtflte.

7. Pal'ibola tilngente iI (!.Iat1O ,«tu. ()¡d¡scU¡rfO rectaS. dos de elbs no p4ir.l¡¡¡, hay una Ílnia parábola ~es ran8'l'me a ellas.. Cons{~cur (ro recru y la par.!.bola tangentti! ellas. ¡Quhuctde cuando dos de t.u r«t:OlSson paralelas!

&. Tangentes desde un punto menor. ~ne la cónica takulada y' + 12x + 6y - 51 _ O yelpullrorlirecto 1'(10,3). Eoc~rJ(ra ladirectriz d ~ I~ paribola. Loc~liza ~I (0(0 Fd!o la parábola y d!otermina la dilun­ciai.entf~ Py F. Trau. el drculo c(Jf1 centro en p ~ radio r. Determina los pun?"" ~ y 8 d!o int~t5ec:ción cid cirrulo con I.i directriL Daermina el * roCilI y ~a una rect~ pil1lela i ~st~ qu~ pase por A. Análopmem~ [rua OU1l recta p~ral ela ~I ~~ toal y qu~ pas~ por 8. D«ffmlna Iospun­tOl e y D q~ son lu intersec:d0ne5 de estu dOl ultllTW rectal con la paribo!¡¡. Por ultimo. rnza las rectas qu~ p¡¡~n por P y e ~ por P~ D. Para comprol::>ar q~ son las rectal tangoentes. traza la recta tang.ent~ a la pari bola en ~I punoo C ~ etI el pu1to D.

Resumen de la unidad J

• EJnremos dtllado f'e(t<).

~ Venint foco F(o,p); (21'.1' ) Y (-21'.1'). f'oco F(o, -1'): (21', -p) y (-2p, -p).

~ Horizont~l :

foco F(p,O): (P,2p) y (P, -2p). f'oco F(-p,O): (-P,2p) y (- p, - 2p).

• Ecuxi6nde la t~rtgtlltede la p~ribolacon vérticeen V(o,O) en unpunto Q(x,.,,).

• Venic.d, _ " • 2" (x _ %,). "

• Horizonul:,- y, " .l!....(X_X,). ", • Parabolas con Yértice en V(II, k) y direo:triz paralela a uno de los ejes cartesianos.

• [xrn,mos del bdo 1l!C[<). .",% • Venlcat

f'oco F(h,k+ p): (11. 2p,k. p) y (11- 2p.k. p).

foco F(h,k - p): {II. 2p,k - p)y (II- 2p,k - p).

~ Horizontal:

lixo F(h + p,1; H 11 + p.k + 21') Y (11 + p.k - 21').

foco F(h- p,k ):(h- p,k. 2p) y(h- p,k- 2p).

• Ecuxi6n deb recta tan~tecon Yértice en V(h,k) en un punto Q(x,.,,}

'(y, -k)! ) ~ venicaty _ ,, ____ x - x, . x, - 11

~ Horimntal: y - y, _~(x _ x,). 2{x,-h)

~ Ecuación g.en~ral d~ una parábola con eje;

• ~rtiab:' + 0%+ Ey+ F .. O. • HoriZonut y' + 0% + Ey+ F - o .

• Reglones del p~no dettmlinidas por uni parábo~: • l.\'l pumo 1'(x,)') e9:~"", la pa~bola I1 Sóldsface

(,,- k)' • %'Ip(x - Ir) O (x - Ir)' • %'Ip(,,-k), donde p >0

~oo su ~I t ipO de p~rábol~.

Ul punto I'(x,,,) est~ defltrO deli piribola si satisme la desigualdad:

(,- k)' ., rip(x -Ir) o (x - Ir)' '" rip(y-k), donde p" O

segoo sea ~I cipo d~ paribola. El decir, el miembro al cuad rado es menor qu~ el miembro lineal.

• lkl pUIl.'{ f(x,,,) está ~ dela p~rlbol ~ si misfac~ la desiSuald<od:

(y-k)' > s4p(x- Ir) o (x -11)' ,. :4p(y-k), dondep >0

segoo sea el tipo de pa~bola. Es decir,eI miembro al cuadrado es mayor qu~ el miembro lineal.

• U~secuolCiones p¡ramétricasd~ la par.\bola.

~) Oo A.r' +nt+c • SI es horizonul x _ Ay' +1ly +C:MOo'.

X( I )_/

• SI es Yl!rtical: y .. Ax' + fu: + c: ,,(1)" Al' + 81 + e

Ejercicios de repaso J 1. Halla la ecuación dellug;ar ~métri<:o de 10$ punros p(x,,,) rales que l!'Quldls­

ten del ~ Yy del punto Q(2,3). 2. Encuentra la ecuolCión de la p~r.\bola cu)'O vérdc~ es el <eIlUO del circulo

x' + ,,' - 2x+ 2,,, O Y lóI direeuiz esx _ 2. ). Da el Yéftict, el foco y I~ directriz de 1) par.\bolólx' - 6x - 41+ I _ O . ... L1 iUmi de las ¡ reudedoscuadmloses I3cm'. Si ellidode uno deellos es t

del área del OtlQ, ¿cu.tnto miden los perímetros de los cuadmlos? S. Encuentra la ecuKi6n de la parábola _dal que abre ilóK ia abaje¡, cu)'O vértice

es el (entro del circulo x' + y' - 141+ 40 • O, Y la disurw:1a del Yértic~ ¡ la dl­rKtriz es 6.

6. Halla IaI'Clu.dón de la rl'Cta p~ndicul¡r ¡ la dirKtrizde la ¡:ar.lbob. y' + 8% -10y + 49. O en el punto 1'(- 1. 7) .

7. Considel'l.la paribol;¡, y' -% - O. Determina IlO ecuación de b. recta c¡"gente en el punto 1'(1, 1). Da la ecuación de la recta petpeMlicular a la tangentequl' pua por P. EIIcuencra el puntO donde se (ortan ambas !«(¡II$ con el eje X. SI A Y 8son los puntosobtenid05, demuestra queestosequidisul1 del foco dela pllribol.l.

l . En<tlmtr.l los puntos donde 5e cortan la parábola y' -x - O y el circulo ",'.y' -2x_O.

,. Convrueba que ~ r«tu tMlgm u.'$ a la parábola ... ' + 6;r ... 8y -7 .. 1) en kl! pumos 1'(1 ,O) Y (1,,- 7.0)50n perpmdicu laresl'ml'e ¡J.

10. Demue5m que el círculo con (emm en C(:If, t) y ooio r - 1ia tangente ",IJI dlre([litdela palibola y' - x .. O.

11. Encuentra los pumos donde se cortan las p;lr~boIOlS y' + 32% -256 .. O Y y'-8,.-16 - 0.

12. Halla el punto de la paribola y' - 4x .. " y+ 16 .. 1) en el que la recta tangente time peJldiente ¡¡...al a - t.

13. Considel3 la parlibola x' - y .. O. il- Eocuenmla ecuilCión del dr.QIlo que tiene como di1metro la cut\'<:b de I~

par.íbola q~ pasa por~1 punt'&--P(t, !,) y~1 foc;o de la par.íl>ola. b. Encuenm la ecuación del circulo QUe.titrtecomo dijmecro la cuerda de la

par~bola q~ pasa por~1 punto Q(I.l ) te! foco de la par.íbola. 14. Considera la par¡bola r ' + l Ix+ 12)'+ 48 _ O. EtIcueotl'll la ecuación d~ la

rtctiI (¡ngl!ll~ en el punto p( - 2, - tJ. en ~I PUIXQ en ronde se COrtan la rec(~ ta~te y el eje de la par.íbola, y llámalo Q. Enc~n tl'lllascoordenadas del foco F de la par.íbola. Demuestra queel triúlgulo QFPes I~sceles.

1S, Considera la par.íbola y' - 2x .. (J. Halla la ecuación de la j etla tan~nte en el punto P(2,2). Después ~rKuet'ltra la ecuación d~ la recrftitrp<!l'ldicular a la l'@C[a tangl!ll~ m ~I punto P. Demuestra qu~ el plrlto m ~~ I~ cortan la última rteta yel eje Xtlm~coordeMdas (3,0).

16. Considera la parllbola x · -Q,y _ O. Encumtra la I!(uaclón de 11 rl!((a tangl!ll(@ en el punto p(6.6). Enc~ntl'lllas .:oordenadasdel foco. Demuestra QU~ el ~n' guloforrmdo entre la rteti uf1Sl!t1te Y la rI!((¡ cp..e unea Pcon el foco es I&u~ al ~ngulo que forma la recta paralela al eje Y. que pasa por P,con la tangl!llte.

11. Encuentn la ecuoKión de la r«taque polSa por los puntOS en dortde secort¡n las parábolas x' - 12x - 4y+ 44 .. O Y y' - Sx - 4y+ 34 _ O.

la. Dibuja la reglón que esd dentro del circulo x' + y ' -l2x -10 y+ 57 .. O, fuera de la parábola r ' - l lr + 8y+ 4 - O y abajo de la rteta 2x - 5y + 1 _ O. Es· cribe la5 d~si~ldoldes que describen la reglón.

19. Encuentn el lug;¡.r seométrko de los puntos que equidistan del drculo cuy~ ecuación es x' + y' + lOx + 11 Y + 32 .. O Y de la recta y .. 6. SugerellCia: SI p(x,y) es un puntO que 00 se eJlCuentra sobre el circulo,entoxes la dist¡nci~ de P al circulo es la distallCia de P al cmuo del circulo mellOs el radio de él.

lO. Da el lIngu lode tiro delcal't6n del problema 15 dela pigil'llll36. 11. Encuenrra el ángulo de tiro de la bala del problema 16 de la p;lgina 136. 12. Halla el ¡ngub de tlrodel uMn del problema 17 de la p¡glna 236.

Autoevaluación J l. En<:utl1tra la di~tril del.a parábola x' - 12y .o O.

l.. y_ 3. b. y _ _ lo.

c. X .o 3. d.y_12. En caso deque tu ~puesta sea incolRCtilI. consulta la página 211.

2. En<:uemra la ecuación de la parábola con vérticun el origen y fcxo en (-S,O~ l.. y'+20x_O. b.,' ... 5x.O. c. y' _ lOx. d.x ' .o -20y. En aso deque tu mpua.:a sea Incomc;t;l, consulra la página 213-

3. Encuentra la ecuación de la parábola horizontal con Yi!rtice en (1.-2) Y ~e pasa pare! punto (-),5~ 1. .7x'- I4% - 16y - 25 .. 0. b. 4y' 1::2;>: - 16y + 7 .1).

c. 4y'+ óMl x+ 16y - ll .. 0. d. 4, ' - 49x- 4Oy-47. O. En aso deque tu respua.:a sea Incomc;t;l, consulra la págin.t 224.

4. Encuentra I.i ecuación de la parlibola (on foco en (3.S)q..¡e abre hacia arrib<! y time ancho foallgual a 20. l.. y' +~x-l0y-35 .0. b. x' - 6;>: - 2OY'" 9 .o O. c.x'-6x+20y+9 .. 0. I d. y' -~;>:-lOy ... 85 - O. ....,. En aso deque tu mpu_a stalncorft5.ta, consulra la págin.t 224.

5. Encuentra el fcxo de la pl.rábola y' -li;>: -6, -15 -O . •. (l,3). b. (-2,3). c. t3,1~ d. (1.-3). En aso dequ.e tu mpuesu Sta incoITecta, consulta la págin.a224.

6. El punto P e5 una imer¡ección de la parábol¡, x' - 10;>: -y ... 24 . O Y b recta y_;>:_4 • •. ~l.7). b.~4 , 1 ). c. ~O.-4). d. ~7,3). En CilSO dequ.e tu respUtsl;¡ Sta irKoITecta, consulta la págiN 225.

7. En<:Utl1tra la ecuación de la recta ta,.me a la parlibol¡ x' + 8x - y + 15_0 que paS¡ por e! punto (-2,3) . •. -;>:+ 4y+ I1 . 0. b.4x + y+ 11 _0. c.4x-,+ 1I - 0. d. -4x+,+5 _ 0. En aso deqo.oe tu respuesta 5talrKOIRCtilI, consulta la págiN 2S 1.