La probabilità condizionata

e il teorema di Bayes

La probabilità condizionata

e il teorema di Bayes

«La probabilità è la miglior guida nella vita».

Marco Tullio Cicerone

«Il concetto di probabilità è il più importante di tutta la scienza moderna, soprattutto perché nessuno ha la più pallida idea del suo significato».

Bertrand Russell

Il calcolo della probabilitàIl calcolo della probabilitàIn questa lezione considereremo solo la cosiddetta definizione classica della probabilità:

P(E) f

uin cui f è il numero dei casi favorevoli ed u è il numero dei casi possibili.

Un semplice esempio ci aiuterà a capire la definizione:

Lanciando un dado, la probabilità di fare un 4 è 1/6; la probabilità di fare un numero pari è 1/2; la probabilità di fare un numero maggiore di 4 è 1/3 e così via.

la probabilità che si verifichi un evento è il rapporto tra il numero

dei casi favorevoli affinché l’evento si verifichi, e il numero dei casi

possibili.

In simboli:

Lanciando una moneta, la probabilità che venga testa è esattamente 1/2 (come la probabilità che venga croce), se la moneta non è truccata…

… e se non si è particolarmente sfortunati.

Questo calcolo è valido se tutti gli eventi elementari (ad esempio l’uscita di un particolare numero di un dado) sono equiprobabili, cioè se hanno la stessa probabilità di verificarsi individualmente.

Lo spazio degli eventiLo spazio degli eventiE’ possibile parlare di probabilità usando definizioni e concetti tipici dell’insiemistica, con il vantaggio non indifferente di poter visualizzare graficamente il problema.Si chiama spazio degli eventi o spazio campionario, e si indica con E, l’insieme di tutti i risultati possibili di un evento aleatorio. Alcuni esempi:

T C

1 2 3 4 5 6

Spazio degli eventi del

lancio di una moneta Spazio degli eventi del

lancio di un dado

Ogni elemento dello spazio campionario rappresenta uno dei possibili esiti (equiprobabili) della prova e si chiama evento elementare.

E

Eventi come sottoinsiemiEventi come sottoinsiemiIn realtà, un evento generico En può essere formato da più eventi elementari, se può verificarsi in più modalità diverse; ad esempio, l’evento E1: “lancio un dado ed esce un numero dispari” si verifica se lanciando un dado si verifica l’evento elementare 1, oppure 3, oppure 5. Si chiama evento ogni possibile sottoinsieme dello spazio campionario.

1

La probabilità di questo evento è data dal rapporto tra il numero degli elementi del sottoinsieme “esce un numero dispari” (casi favorevoli) e il numero totale degli eventi, o casi, possibili.

3

5

2

46

E1

E

p E1 3

6

1

2

Probabilità come funzione matematicaProbabilità come funzione matematicaUna definizione più recente della probabilità (definizione assiomatica) afferma che la probabilità è una funzione che associa a ogni sottoinsieme dello spazio degli eventi un numero reale compreso tra 0 e 1. Se un evento non può avvenire (evento impossibile) la sua probabilità è nulla, mentre per un evento certo la probabilità vale 1. Gli eventi aleatori hanno valori di probabilità compresi tra questi estremi.

Evento impossibile (provateci…!)

P(E) = 0

Prima o poi qualcuno fra i giocatori farà tombola: evento certo

P(E) = 1

Definire lo spazio degli eventiDefinire lo spazio degli eventiQuesto è un punto cruciale per capire la probabilità. Se lanciamo due dadi, sappiamo che il punteggio ottenuto può andare da 2 a 12; è corretto considerare come eventi elementari i numeri da 2 a 12?

Gli eventi elementari sono le 36 possibili coppie diverse di numeri da 1 a 6; la probabilità del risultato è legata al numero di coppie che lo generano come somma.

Girolamo Cardano Galileo Galilei

No! Questi risultati non sono equiprobabili, poiché si possono ottenere in modi diversi, e bisogna tener conto del numero di queste modalità.

Algebra della probabilità: somma logicaAlgebra della probabilità: somma logicaConsideriamo un evento più complesso, come l’estrazione di “un asso o una figura” da un mazzo di 40 carte: esso si verifica se si verifica uno dei due eventi E1: “esce un asso” oppure E2: “esce una figura”.

Si definisce tale evento come somma logica dei due eventi e si indica con E1E2; la sua probabilità è P(E1E2) = P(E1) + P (E2).

4 assi 12 figure

40 carte totali

E1

E2

P(E1 E2) P(E1) P(E2)

In questo esempio:

P(E1) 4

40; P(E2)

12

40

P(E1 E2) 4

40 12

4016

40

Probabilità della somma logica di eventi incompatibili:

Ma… attenzione!Questo vale solo se gli eventi E1 ed E2 non possono verificarsi contemporaneamente, cioè se gli insiemi E1 ed E2 non hanno elementi in comune. In questo caso si dicono eventi disgiunti o incompatibili.

Se gli eventi E1 ed E2 possono verificarsi contemporaneamente, si dicono eventi compatibili. Ad esempio, l’evento “da un mazzo di 40 carte estraggo una figura o una carta rossa” è composto dagli eventi compatibili E1: “estraggo una figura” ed E2: “estraggo una carta rossa”; la carta estratta potrebbe essere una figura rossa. Ma qual è la probabilità di due eventi compatibili? Quanto vale ora P(E1E2)?

20 carte rosse (di cui 6 figure)

12 figure (di cui 6 rosse)

40 carte totali

E1

E2

P(E1 E2) P(E1) P(E2) P(E1 E2)

Se applichiamo la formula di prima, contiamo due volte gli eventi compatibili (contenuti sia in E1 che in E2): si evita questo errore dicendo che gli eventi favorevoli sono quelli di E1 più quelli di E2 meno quelli contenuti in entrambi gli insiemi, cioè E1E2.

Probabilità della somma logica di eventi compatibili:

E1 E2

6 figure rosse

Somma logica di eventi compatibili Somma logica di eventi compatibili

Nel nostro esempio, si ha:

20 carte rosse (di cui 6 figure)

12 figure (di cui 6 rosse)

40 carte totali

E1

E2

P(E1 E2) P(E1) P(E2) P(E1 E2)

Gli eventi compatibili hanno una probabilità totale che è minore della somma delle loro singole probabilità. Se non ne tenessimo conto, potremmo costruire eventi con probabilità maggiore di uno, oppure metodi “sicuri” per vincere al gioco (che ci farebbero perdere un sacco di soldi…!)

Probabilità della somma logica di eventi compatibili:

E1 E2

6 figure rosse

P(E1) 12

40; P(E2)

20

40; P(E1 E2)

6

40

P(E1 E2) 12

40 20

40 6

4026

40

La probabilità di questo evento non è 32/40, ma solo 26/40.

Il prodotto logico di eventiIl prodotto logico di eventiAbbiamo così introdotto il cosiddetto prodotto logico di eventi: è l’evento che si verifica se si verificano contemporaneamente sia l’evento E1 che l’evento E2; nel linguaggio degli insiemi (e della logica) si indica con E1E2.

Se il verificarsi di E1 non influenza E2 e viceversa, i due eventi sono indipendenti e il calcolo di P(E1E2) si riduce al prodotto di P(E1) e P (E2):

P(E1) = 1/2

P(E1 E2) P(E1)P(E2) Probabilità del prodotto logico di eventi indipendenti

Tirando una moneta e un dado la probabilità di avere “croce e un sei” è 1/12, dato che si devono verificare entrambi gli eventi la cui probabilità è rispettivamente 1/2 e 1/6, e che sono manifestamente indipendenti.

P(E2) = 1/6

P(E1 E2) 1

2

1

6

1

12

T C

E1

1 2 3 4 5 6

E2

Eventi dipendentiEventi dipendentiAccade spesso che il verificarsi di un evento possa influenzare un secondo evento, modificandone la probabilità. In tal caso, gli eventi si dicono dipendenti e la probabilità del loro prodotto logico è diversa da quella degli eventi indipendenti.Un esempio che aiuta a capire questa differenza è quello dell’estrazione con o senza reimbussolamento.

Un’urna contiene due palline nere e tre rosse; estraendo successivamente due palline, qual è la probabilità che entrambe siano rosse?Se dopo la prima estrazione rimettiamo la

pallina nell’urna , la seconda estrazione avverrà nelle stesse condizioni della prima: gli eventi sono completamente indipendenti l’uno dall’altro e la probabilità totale è il prodotto di due valori identici.P(rossa) = 3/5

P(due rosse) 3

5

3

5

9

25P(rossa) = 3/5

I due eventi sono indipendenti

Ma se dopo la prima estrazione non rimettiamo la pallina nell’urna, la probabilità che alla seconda estrazione si ottenga una pallina rossa è diversa: ora l’urna ne contiene solo quattro, di cui due rosse e due nere, e la probabilità cambia.P(prima pallina

rossa) = 3/5

Il verificarsi del primo evento influenza la probabilità del secondo evento, e dunque i due eventi sono dipendenti o correlati.

P(due rosse) 3

5

2

4

3

10Eventi dipendenti o correlati

P(due rosse) numero casifavorevoli

numero casi possibiliC3,2

C5,2

32

54

3

10

P(seconda pallina rossa) = 2/4

Il nostro risultato è corretto: lo si può ottenere applicando la definizione classica di probabilità e il calcolo combinatorio, dividendo il numero dei casi favorevoli C3,2 per il numero dei casi possibili C5,2.

La probabilità condizionataLa probabilità condizionataIl verificarsi di un evento può influenzarne un altro, e dunque la probabilità di questo secondo evento è condizionata dal verificarsi o meno del primo.La conoscenza dell’esito del primo evento modifica la probabilità del secondo.Un esempio: lanciamo un dado per due volte.

Qual è la probabilità che il secondo lancio dia un risultato maggiore del primo?

La tabella a fianco rappresenta lo spazio degli eventi del doppio lancio di un dado. Secondo la definizione classica, la probabilità cercata è il rapporto tra i casi favorevoli, che sono 15, e tutti quelli possibili, che sono 36. Dunque:

P(2 lancio > 1 lancio) =15

36

Ora lanciamo il primo dado, e osserviamo il risultato; supponiamo che sia 2. Qual è ora la probabilità che il secondo lancio sia maggiore del primo?

Si indica con P (E2 E1) la probabilità dell’evento E2 condizionata a E1, cioè la probabilità che si verifichi E2 nell’ipotesi che si sia verificato E1.

Se invece fosse uscito un 5, scommettereste sul verificarsi dell’evento?

• E1 = 1 ==> P (E2E1) = 5/6

• E1 = 2 ==> P (E2E1) = 4/6

• E1 = 3 ==> P (E2E1) = 3/6

• E1 = 4 ==> P (E2E1) = 2/6

• E1 = 5 ==> P (E2E1) = 1/6

• E1 = 6 ==> P (E2E1) = 0

Se due eventi sono dipendenti, la conoscenza dell’esito di uno dei due può aumentare o ridurre le probabilità dell’altro. Se queste probabilità aumentano si dice che i due eventi sono correlati positivamente, se invece diminuiscono sono correlati negativamente.

Abbiamo ben quattro risultati favorevoli su sei possibili, quindi ora la probabilità è 2/3, ben maggiore di 15/36.

Vediamo altri esempi:

Se estraiamo due palline dello stesso colore da questa urna, vinciamo un premio.

Il colore della prima pallina estratta cambia le nostre probabilità di vincere?

Il gioco del poker è un’applicazione diretta della probabilità condizionata: il giocatore valuta, sulla base delle cinque carte ricevute nella mano iniziale, la probabilità di ottenere il punteggio più alto possibile.

Ciò equivale a moltiplicare la probabilità che la prima pallina sia rossa (evento E1) per la

probabilità che la seconda pallina sia rossa (evento E2) nel caso che alla prima estrazione

si sia verificato E1. In simboli:

Torniamo al caso dell’estrazione dall’urna a sinistra di due palline rosse senza reimbussolamento. Sono due eventi dipendenti, di cui abbiamo già calcolato la probabilità:

Probabilità del prodotto logicoProbabilità del prodotto logico

P(due rosse) 3

5

2

4

3

10

P(E2 E1) P(E1)P(E2 E1)Probabilità del prodotto logico di eventi dipendenti

o probabilità composta

La formula vale anche per eventi indipendenti: in tal caso P (E2E1) = P(E2) e dunque ritroviamo la

formula P(E1E2) = P(E1) · P (E2).

In questi termini, essa rappresenta il calcolo della probabilità di un evento E2 condizionata al verificarsi di un evento E1. Vediamo qualche esempio:

La formula precedente si può scrivere anche in questo modo:

Probabilità condizionataProbabilità condizionata

P(E2 E1) P(E2 E1)

P(E1)

Formula della probabilità condizionata

12

3

45 6

E1 E2 Lanciando un dado, la probabilità di fare “5 oppure 6” (evento E2) è 1/3. Qual è la probabilità di E2 sapendo che il numero uscito è maggiore di 3?

P(E2 E1) P(E2 E1)

P(E1)

1

31

2

2

3La probabilità condizionata riduce lo spazio degli eventi.

Abbiamo già visto nell’esempio del lancio di due dadi l’applicazione di questo fondamentale principio:

La probabilità condizionata riduce lo spazio degli eventi.

La corretta applicazione della probabilità condizionata può evitare errori comuni, come l’aspettativa per l’esito di un evento dopo una lunga serie di eventi contrari: i cosiddetti “ritardi” dei numeri del lotto e di giochi simili.Lanciando per dieci volte di seguito una moneta non truccata, esce sempre “croce”. Qual è la probabilità che all’undicesimo lancio esca “testa”?

?

Viene naturale pensare che vi sia un’alta probabilità che esca, finalmente, “testa”.

?

Ma non è così: la probabilità è ancora 1/2, perché ogni lancio è indipendente dai precedenti. «La moneta non ricorda», come dicono gli inglesi.Infatti, noi sappiamo cosa è successo nei lanci precedenti, e ciò che vogliamo valutare è la probabilità condizionata che esca “testa”, se nei lanci precedenti è uscita “croce” per dieci volte consecutive. Per semplificare il calcolo, riduciamo il numero dei lanci a quattro, nei primi tre dei quali sia uscita “croce”.

CCCC CTCC TCCC TTCC

CCCT CTCT TCCT TTCT

CCTC CTTC TCTC TTTC

CCTT CTTT TCTT TTTT

Sapere che nei primi tre lanci è uscita “croce” riduce lo spazio degli eventi da sedici a due sole possibilità, una sola delle quali verifica il nostro evento.

Possiamo ottenere lo stesso risultato applicando la formula della probabilità condizionata:

Chiamiamo C1, C2 e C3 l’uscita di “croce” per i primi tre lanci, e T4 l’evento “testa” al quarto lancio. Vogliamo determinare P (T4C1C2C3):

P(E2 E1) P(E2 E1)

P(E1)

P(T4 C1C2C3) P(T4 C1C2C3)

P(C1C2C3)

1

1618

1

2

Non c’è alcun motivo per puntare sugli eventi “ritardatari”!

Lanciamo due monete; una di esse rotola sotto un divano, mentre nell’altra esce “testa”. Qual è la probabilità che anche la moneta sotto il divano dia “testa”?

Un caso sempliceUn caso semplice

La risposta sembra scontata: i due eventi non possono influenzarsi, quindi la probabilità dovrebbe essere 1/2.Ma non è così! Abbiamo lanciato due monete, e questo è lo spazio campionario dei loro risultati:

T T

T C C T

C C

In realtà la nostra è una probabilità condizionata: dunque sapere che una delle monete ha dato “testa” ci porta ad escludere l’esito “croce-croce”.

Ora gli esiti possibili sono solo tre, e uno solo di questi ammette due teste.

La probabilità del nostro evento è 1/3, non 1/2.

Se chiamiamo E1 l’evento “esce testa in una moneta” ed E2 l’evento “esce testa anche nell’altra moneta”, possiamo calcolare P (E2E1) utilizzando la formula:

Poiché:

P(E2E1) = P(T-T) = 1/4

P(E1) = P [(T-T)(T-C)(C-T)] = 3/4

Si ha:

P(E2 E1) P(E2 E1)

P(E1)

T T

T C C T

C C

P(E2 E1) P(E2 E1)

P(E1)

1

43

4

1

3Funziona!

E1

E2

Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le amiche che hanno almeno una figlia femmina. La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia femmina. Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli. Si chiede: qual è la probabilità che anche l’altro figlio della sig.ra Anna sia femmina? Si argomenti la risposta.

Maturità 2010 - Quesito n.7Maturità 2010 - Quesito n.7

F F

F M

M FM M

Il caso è in tutto identico al precedente, ed è ancora un’applicazione della probabilità condizionata.Sapere che la sig.ra Anna ha almeno una figlia

femmina esclude dallo spazio degli eventi la possibilità che i suoi due figli siano entrambi maschi; resta un solo caso favorevole su tre possibili: la probabilità che anche l’altra figlia sia femmina è 1/3.

Il problema di Monty HallIl problema

di Monty Hall

Nel momento culminante della serata, il concorrente deve scegliere una delle tre porte chiuse che ha davanti a sé: dietro a due di esse c’è una capra, dietro l’altra c’è una macchina. Ovviamente, né lui né il pubblico sanno dietro a quale porta si trova l’auto.

Dal quiz televisivo americano Let’s Make a Deal, condotto dal presentatore Monty Hall. 4500 puntate dal 1963 al 1991.

La domanda è: al concorrente conviene

cambiare?

A questo punto, il presentatore apre una delle altre due porte, rivelando una capra.

La risposta sembra ovvia: sono rimaste due porte, e dietro una di esse c’è l’auto. Cambiare porta non dovrebbe influenzare le probabilità di vincita che a questo punto è logico ritenere pari a 1/2, che si decida di cambiare o meno.E invece no: conviene cambiare!

Quindi chiede al concorrente se vuole mantenere la porta scelta, o se vuole cambiarla.

Supponiamo di aver scelto proprio la porta dietro alla quale è nascosta la macchina (ad esempio, la numero 1): è un evento che ha solo una probabilità su tre di verificarsi.

In questo caso, cambiare porta ci fa perdere l’auto.

Dunque ho una probabilità su tre di avere scelta la porta giusta, e in questo caso la decisione di cambiare mi fa perdere.

A questo punto il presentatore, che sa dov’è la macchina, aprirà a caso una delle altre due porte, mostrando la capra; poi ci chiede se vogliamo cambiare la porta scelta inizialmente.

Supponiamo invece di aver scelto una porta dietro alla quale c’è una capra: in questo caso il presentatore deve aprire necessariamente la porta con l’altra capra, lasciando chiusa la porta con l’auto. Se cambio porta, vinco sicuramente.

Questo caso ha probabilità 2/3 di verificarsi, mentre il caso precedente ha probabilità 1/3: dunque se cambio porta vinco due volte su tre, mentre se mantengo la scelta vinco solo una volta su tre.

Considerando lo spazio degli eventi si nota che l’intervento del presentatore fa aumentare le probabilità di vincita, che da 1/3 passano a 1/2 se si affida al caso la scelta di cambiare porta, e a 2/3 se si cambia sempre porta: è ancora un caso di probabilità condizionata.

Supponiamo che un evento possa avvenire seguendo modalità diverse. Ad esempio:

L’urna T contiene una pallina rossa e due nere, mentre l’urna C contiene due palline rosse e tre nere. Si lancia una moneta: se viene testa si estrae una pallina dall’urna T, se viene croce la si estrae dall’urna C. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia rossa?

La probabilità totaleLa probabilità totale

Urna T Urna C

Per rispondere è necessario valutare prima le seguenti probabilità:

P(T) = P (C) = 1/2 P(RT) = 1/3 P(RC) = 2/5

Per calcolare P(R) si può seguire il diagramma detto “albero degli eventi”:

T

C

P (RT) = P(T) · P(RT) = 1/2 ·1/3 = 1/6

1/2

1/2

1/3

2/3

2/5

3/5

P (RC) = P(C) · P(RC) = 1/2 ·2/5 = 1/5

P (NT) = P(T) · P(NT) = 1/2 ·2/3 = 1/3

P (NC) = P(C) · P(NC) = 1/2 ·3/5 = 3/10

L’evento R è composto dai due eventi RT ed RC, che sono necessariamente disgiunti.

T

R

RTRC

C

N

N

R

R

Dunque:

P(R) = P(RT) + P(RC)

P(R) = P(T) · P(RT) + P(C) · P(RC)

P(R) = 1/6 + 1/5 = 11/30Generalizzando, se un evento può avvenire

secondo due modalità diverse A e B, si ha:

P(E) P(A)P(E A) P(B)P(E B)

Generalizzando ancora di più, si può ricavare la formula valida per una qualunque partizione dello spazio campionario:

Tornando alle due urne precedenti, potremmo porci una domanda diversa:Se facendo l’esperimento ho ottenuto una pallina rossa, qual è la probabilità che essa sia stata estratta dall’urna T?Ci stiamo chiedendo quanto vale P(TR), che non è P(RT).

Il primo a trovare questa risposta è stato Thomas Bayes.

Un reverendo matematicoUn reverendo matematicoThomas Bayes nacque a Londra nel 1701; studiò logica e teologia all’Università di Edimburgo e nel 1733 fu ordinato pastore nella cappella presbiteriana di Tunbridge Wells, dove visse fino alla morte, nel 1761.

Thomas Bayes

(Londra, 1701? - Tunbridge Wells, 1761)

Noto come abile matematico, tanto da essere accettato nell’esclusiva cerchia della Royal Society, non pubblicò nella sua vita alcuno scritto degno di attenzione, ma alla sua morte lasciò all’amico Richard Price i suoi manoscritti. Tra questi, uno studio dal titolo Essay toward solving a problem in the doctrine of chance che conteneva alcune idee nuove, e un teorema sulla probabilità.

Il teorema di BayesIl teorema di BayesSu sollecitazione di Price, lo scritto di Bayes fu pubblicato postumo nel 1764 nella rivista della Royal Society Phylosophical Transactions. Inizialmente passò quasi inosservato, ma ben presto matematici e statistici ne apprezzarono il contenuto, fino alla piena valorizzazione che giungerà pochi anni dopo con Pierre-Simon Laplace.

L’idea centrale di Bayes metteva in relazione le probabilità condizionate di due eventi correlati A e B, con questa intuizione fondamentale:

P(AB) P(B A)

Bayes formulò inoltre un teorema che permette di quantificare la probabilità che un dato evento abbia alla sua origine una determinata causa; ad esempio, nel nostro caso precedente, permette di calcolare la probabilità che una pallina rossa sia stata estratta dall’urna T.

Non commutatività della probabilità condizionata

Ecco una dimostrazione semplificata del teorema. Partiamo dalla formula della probabilità condizionata:

P(AB) P(A)P(B A)

P(B)

P(AB) P(AB)

P(B)

Dato che la probabilità del prodotto logico tra A e B è la probabilità composta:

P(AB) P(A)P(B A)

Si ha l’espressione del teorema, che si può scrivere indifferentemente:

P(B A) P(B)P(AB)

P(A)

Teorema di Bayes

In altre parole, se A è una possibile causa dell’evento B, una volta che B si sia verificato, il teorema di Bayes ci permette di calcolare la probabilità che esso sia stato generato da A.

P(T R) P(T)P(RT)

P(R)

Dato che, come avevamo calcolato: P(T) = 1/2; P(RT) = 1/3; P(R) = 11/30Il teorema di Bayes dà:

P(T R)

1

2

1

311

30

1

6

30

11

5

11

Come si vede, P(TR) è diverso da P(RT).

Probabilità che, nel caso sia stata estratta una pallina rossa, essa provenga dall’urna T.

Urna T Urna C

Applichiamo questa formula al nostro esempio:

Un’azienda ha due linee di produzione: la linea A fornisce il 60% della produzione giornaliera e il 5% dei suoi prodotti è difettoso; la linea B produce il restante 40%, con il 3% di pezzi difettosi. Se un pezzo è difettoso, qual è la probabilità che venga dalla linea A?

Ora calcoliamo P(AD) con la formula di Bayes:

Prima di tutto bisogna calcolare la probabilità che il pezzo sia difettoso:

Il teorema di Bayes è detto anche teorema della probabilità delle cause, e si può applicare a moltissime situazioni diverse. Ecco un altro esempio:

La probabilità delle causeLa probabilità delle cause

A

B

P(A) · P(DA) = 0.6 · 0.05 = 0.03

0.6

0.4

0.05

0.95

0.03

0.97

P(B) · P(DB) = 0.4 · 0.03 = 0.012

ND

ND

D

D

P(D) = 0.03 + 0.012 = 0.042

P(AD) P(A)P(DA)

P(D)

0.03

0.0420.715

I nuovi giocattoli che una ditta mette sul mercato hanno successo nel 65% dei casi. In passato, gli esperti di marketing della ditta avevano previsto il successo di un nuovo gioco nell’80% dei casi, mentre avevano dato un giudizio positivo al 30% dei giocattoli che non avevano avuto successo. Qual è la probabilità che un nuovo gioco sul quale il giudizio degli esperti è positivo abbia effettivamente successo sul mercato?

Risposta: 83.2%.

Provateci… la risposta è: 0.125%.

Altri esempi di applicazione del teorema di Bayes:

• Controllo di qualità Un’azienda produce lampadine, il 20% delle quali risulta difettoso. La fabbrica ha un processo di controllo di qualità che elimina il 99.5% delle lampadine difettose; c’è però una probabilità dello 0.1% che il sistema elimini anche una lampadina non difettosa. Qual è la probabilità che una lampadina che non viene eliminata sia difettosa?• Indagine di mercato

Ora vediamo alcune applicazioni del teorema in campo medico e giuridico.

Il teorema di Bayes in medicinaIl teorema di Bayes in medicinaNella diagnostica medica il test ideale è quello che ha un livello di confidenza del 100%, ovvero che permette di stabilire con assoluta certezza se un soggetto è sano, o se è malato. Un test ideale dà risposte come quella della figura a destra:I test diagnostici reali hanno un

margine di errore non trascurabile, risultando positivi per alcuni soggetti sani (falsi positivi) e negativi per alcuni soggetti malati (falsi negativi), come si vede nella figura a sinistra.In altre parole, risultare positivo a un dato esame non significa automaticamente essere malato, e viceversa.

Il teorema di Bayes si addice perfettamente a queste situazioni, nelle quali è assolutamente importante valutare la probabilità che la causa di un dato reale e oggettivo (l’esito del test) sia proprio la presenza della malattia.

Una certa malattia ha una diffusione del 2%; un esame diagnostico rivela la presenza della malattia nell’80% dei casi (quindi ha il 20% di falsi negativi), mentre nel 10% dei casi l’esame risulta positivo anche se il soggetto è sano, ovvero ha un 10% di falsi positivi.

Se il mio esame è positivo, qual è la

probabilità che io sia malato?A questa domanda, quasi tutti i medici rispondono “l’80% circa”. Ma la realtà è molto diversa!

L’errore dei medici sta nel confondere la probabilità che l’esame sia positivo se il paziente è malato, con la probabilità che il paziente sia malato se il test è positivo.

In altre parole: si sa che P(T+M) = 80%; ma ciò che mi interessa davvero è P(MT+).

Posso scoprirlo applicando il teorema di Bayes.

Consideriamo questo esempio:

Un altro modo per capire questa situazione è il seguente: vediamo come si divide un campione di 1000 persone che hanno eseguito il test:

Applicando il teorema di Bayes:

P M T P T M

P(M)

P(T)

0.80.02

0.80.02 0.10.9814%

20 malati

980 sani 882 (T-non

M)

4 (T-M) falsi negativi

16 (T+M)

98 (T+non M) falsi positivi

1000 persone

Dunque su queste 1000 persone, 114 (16 + 98) risultano positive al test: ma solo 16 di queste sono effettivamente malate. La relativa probabilità risulta solo di 14/116 = 14% circa.

La probabilità di essere realmente malato, anche se il test è positivo, è molto bassa.

Prima di tutto, dobbiamo calcolare la probabilità che il gatto muoia:

Un cane insegue un gatto; se lo prende, c’è una probabilità del 90% che lo uccida, ma la probabilità che lo prenda è solo del 20%. Il gatto però scappa veloce, e nella sua corsa ha una probabilità del 40% di morire sotto una macchina.Se il gatto viene trovato morto, qual è la probabilità che lo abbia ucciso il cane?

Cattura

Non Cat.

P(C) · P(MC) = 1/5 ·9/10 = 9/50

1/5

4/5

9/10

1/10

2/5

3/5

P(NC) · P(MNC) = 4/5 ·2/5 = 8/25

V

V

M

M

P(M) = 9/50 + 8/25 = 1/2

Applichiamo il teorema di Bayes:

P(C M) P(C)P(MC)

P(M)

9 /50

1/2

9

2536%

Gli errori giudiziariGli errori giudiziariLa storia del diritto offre molti esempi di errata applicazione della probabilità, che hanno condotto a veri e propri errori giudiziari. Ad esempio, nel diritto romano due mezze prove, o due indizi, equivalevano a una prova. Nel 1968, in un famoso processo contro

Malcolm e Janet Collins, un consulente matematico dell’accusa convinse la giuria che la probabilità che la coppia fosse innocente era 1/12000000. Per giungere a questa stima però aveva moltiplicato tra loro le singole probabilità di eventi dipendenti: un errore che costrinse la Corte Suprema ad annullare la sentenza, e a mettere al bando i matematici dalle aule dei tribunali americani per molti anni.

L’errore del procuratoreL’errore del procuratoreIn realtà il teorema di Bayes è oggi accettato nei tribunali, soprattutto per evitare il cosiddetto errore del procuratore che consiste nel confondere (più o meno consapevolmente) la probabilità che l’imputato sia colpevole, dati gli indizi a suo carico, con la probabilità che si ottengano quegli indizi, se l’imputato è colpevole.

Ma Thomas Bayes aveva capito che:

P(C E) P(E C) C: colpevolezza

E: evidenza, provaSe sono stato io a mangiare la marmellata, è molto probabile che ne abbia le mani sporche.

Se ho le mani sporche di marmellata, è altrettanto probabile che sia stato io a

mangiarla?Se ho avvelenato mia suocera, è molto probabile che poco prima io abbia comprato del veleno; ma se ho comprato del veleno non è detto che sia stato io a ucciderla.

L’attività giuridica consiste essenzialmente nello stabilire, oltre ogni ragionevole dubbio, la colpevolezza o l’innocenza di un imputato. Secondo la logica di bayesiana, il tribunale parte da un’ipotesi accusatoria cha ha una certa probabilità a priori, e valuta il contributo che ogni indizio, prova o testimonianza apportano a tale ipotesi, fino a giungere a un valore di probabilità a posteriori tale da poter emettere la sentenza.

Oltre ogni ragionevole dubbioOltre ogni ragionevole dubbio

Siano date le seguenti definizioni:

P(H): probabilità a priori dell’ipotesi di colpevolezza H.

P(H | E): probabilità a posteriori di H in presenza dell’evidenza E

P(E): probabilità di E indipendente da H

P(E | H): probabilità di ottenere un’evidenza E se H è vera.Partendo dall’ipotesi accusatoria H, ad ogni nuovo indizio il tribunale valuta la nuova probabilità a posteriori:

P(H E) P(H)P(E H)

P(E)P(EH)/P(E) è detto rapporto di verosimiglianza ed è il contributo, detto anche forza probatoria, che l’evidenza E porta all’ipotesi accusatoria.

Si pensi a come cambia tale rapporto se, ad esempio, fossi accusato di aver accoltellato il mio vicino in presenza di queste diverse evidenze E:

E1: porto con me un coltello

E2: porto con me un coltello insanguinato

E3: porto con me un coltello insanguinato del sangue del mio vicino

Ecco alcuni casi di processi di grande risonanza in cui sono stati commessi errori giudiziari riconducibili alla mancata o errata applicazione del teorema di Bayes:

• Parigi, 1894: il caso Dreyfus

• Los Angeles, 1994: il caso O.J.Simpson

• Londra, 1999: il caso Sally Clark

I casi giudiziari famosiI casi giudiziari famosi

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA• Leonard Mlodinov, La passeggiata dell’ubriaco, Rizzoli, 2009

• Keith Devlin, La lettera di Pascal, Rizzoli, 2008

• K.Devlin e G.Lorden, Il matematico e il detective, Longanesi, 2008

• Brian Everitt, Le leggi del caso, UTET, 2008• D.Costantini, Regole matematiche del gioco d’azzardo, Muzzio, 2008

Nel web:

• yudkowsky.net/rational/bayes

• www.bayes.it• www.psicologiagiuridica.com/pub/docs/numero_1/annoxx%202011/ tesina_fondazione_selenia.pdf

• bayesian.org (sito della International Society for Bayesian Analysis)