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SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONALUNIDAD UPN. 096 D.F. NORTE
La producción creadora de los poliedros regulares en matemáticascuarto grado de primaria.
ROXANA MARISELA MALDONADO PRIETO
ASESORA: MTRA. MARTA ANGÉLICA PALACIOS LOZANO
México, D.F. 2010
SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONALUNIDAD UPN. 096 D.F. NORTE
La producción creadora de los poliedros regulares en matemáticascuarto grado de primaria.
ROXANA MARISELA MALDONADO PRIETO
México, D.F. 2010
Tesina (Recuperación de la experiencia profesional) presentadopara obtener el titulo en Licenciatura en Educación.
ÍNDICE
Pág.
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………........ 5
CAPÍTULO 1 ANTECEDENTES DE LA EDUCACIÓN
1.1 Bases legales de la educación…………………………………………………. 8
1.2 Antecedentes de la Educación Básica en Primaria………………………..... 12
1.3 Contexto escolar y caracterización del grupo………………………………… 18
1.4 Reseña de la experiencia laboral en educación.…………………………….. 21
CAPÍTULO 2 EL CONSTRUCTIVISMO EN LA EDUCACIÓN BÁSICA
2.1 Construcción Constructivista de la enseñanza – aprendizaje……………. 24
2.2 La enseñanza – aprendizaje en el niño ……………………………………… 28
2.3 Como aprenden las matemáticas los niños………………………………….. 30
2.4 Intervención docente en el aprendizaje de los niños……………………….. 32
2.5 La geometría en la enseñanza elemental……………………………………. 33
2.6 Naturaleza de los Poliedros…………………………………………………….. 39
CAPÍTULO 3 UNA EXPERIENCIA DOCENTE
3.1 Caracterización de la experiencia docente………………………………….. 44
3.2 Finalidad de la experiencia docente………………………………………….. 46
3.3 Metodología para la clasificación de los cuerpos geométricos……………. 47
3.4 Desarrollo de las actividades…………………………………………………... 48
3.4.1 Trazo de poliedros regulares a partir de un segmento de recta………… 48
3.4.2 Ficha 25 “Poliedros regulares” (4° grado del fichero para el maestro)…. 49
3.4.3 Ficha 41 “Poliedros II “(4° grado del fichero para el maestro)…………… 50
3.4.4 Las actividades marcadas en el libro de texto relacionadas al
volumen y las características de los poliedros………………………........... 53
3.4.5 El programa PUEMAC de computación que se utiliza en
enciclopedia para contar cubos llamado Cubícula………………………… 54
3.4.6 La construcción de poliedros regulares a partir de papiroflexia…………. 56
3.4.7 El uso de material didáctico de la biblioteca para armar poliedros
regulares………………………………………………………………………… 57
3.4.8 La construcción de cinco poliedros regulares a partir de plantillas
individuales hechos con fólderes de colores fluorescentes y ligas para el
pelo……………………………………………………………………………….. 59
3.4.9 La construcción de poliedros regulares con plantillas troqueladas
gigantes para uso de caja de regalo………………………………………… 61
3.5 Evaluación de la propuesta……………………………………………………. 63
CONCLUSIONES…………………………………………………………………….. 66
BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………….. 68
5
INTRODUCCIÓN La recuperación de la experiencia profesional es un trabajo en el que como lo dice la
palabra recuperas una experiencia o estrategia didáctica que haya sido de gran éxito
para el docente.
En este trabajo investigaremos de que manera fueron objeto de estudio los 39
alumnos de cuarto grado de la escuela primaria “Leona Vicario” que aprendieron a
clasificar cuerpos geométricos como los poliedros regulares bajo los criterios de
forma, número de aristas, caras y vértices en el ciclo escolar 2007 – 2008. Cuando
la profesora fue invitada a poner en práctica algunas actividades que sugería el
diplomado “Las matemáticas y su enseñanza en la escuela primaria” que se
encontraba cursando en ese mismo ciclo escolar. Así como implementar o modificar
las actividades sugeridas del propio avance programático para ese tema en
específico.
La profesora estructura su experiencia Profesional fundamentada en tres apartados:
Capítulo 1 “ Antecedentes de la Educación”; en el se muestra una breve reseña
de las bases legales de la educación en México desde el Artículo 3° basado en la
Constitución , la Ley General de Educación basado en el Artículo 3°, en la que se
rigen los principios relacionados con la educación privada y publica , así como lo
relacionado con el personal y funcionarios que la integran, beneficios y sanciones y
un sindicato nacional de trabajadores de la educación (SNTE), Acuerdo Nacional
para la Modernización de la Educación básica; que establece la relación entre los
gobiernos locales, escuela y comunidad, maestros y padres de familia para mejorar
la calidad educativa. Retoma el programa sectorial 2007 – 2012 que responde a las
necesidades de los mexicanos impulsando una reforma visualizadla hasta el año
2030 que permita diseñar e implementar acciones y programas eficientes para la
educación de todos los Mexicanos. Los planes y programas de educación primaria
6
1993; instrumento de trabajo para el profesor donde se rigen los contenidos de
trabajo para organizar la enseñanza y aprendizaje de los niños. Así como el enfoque
matemático y en especial la geometría en cuarto grado, contexto escolar y
caracterización del objeto de estudio, planteamiento del problema, justificación y
solución al problema. Y una breve reseña de la historia académica del docente que
presenta este trabajo.
En el Capítulo 2 “El constructivismo en la educación” es un apartado en donde
se habla de los fundamentos metodológicos de la enseñanza – aprendizaje de los
niños basados en una corriente llamada Constructivismo, que integra diversas
teorías como: La teoría genética de Piaget, los conocimientos previos de Brunner, el
aprendizaje significativo de Ausbel, la intervención educativa ( aprender a
aprender), las estructuras cognitivas y las aportaciones de Vigotski y Cesar Coll . La
intervención del docente en la enseñanza –aprendizaje y la relación con los alumnos
y su entorno. Como comprende y aplican las matemáticas paulatinamente en el
transcurso de su paso por la primaria, así como en especial en cuarto grado como
asimilan a la geometría con las matemáticas y su entorno cotidiano.
Capítulo 3 “Una experiencia docente” en él encontraremos las características
plenas del trabajo docente directo en el centro de trabajo y la importante
participación de la profesora y alumnos. La finalidad que obtuvo al llevar a cabo las
actividades estratégicas didácticas para la enseñanza de figuras geométricas, en
especial con los poliedros regulares que se encuentran establecidos en los planes y
programas de cuarto grado de primaria. La importancia de hacer uso de los recursos
biográficos y tecnológicos con los que cuenta (ficheros, libro para el maestro, plan y
programas de estudio, avance programático, aula de computo, ciclo media,
programas anexos, etc.) En ocasiones no utilizados por generar demasiado tiempo
para planear y realizar.
Así como los aciertos y peripecias por las que tuvieron que pasar para lograr sus
propósitos, haciendo una evaluación de su propuesta.
7
Es importante para esta docente hacer algunos agradecimientos a las personas que
forman parte de este trabajo de investigación y de su vida.
A mi madre que es el eje en el que todo tiene sentido. Dedico mi trabajo a Ti
Teresita, te doy las gracias por cumplir con la labor de madre que yo no pude en
ocasiones cumplir, y las veces en que tus regaños han hecho que ponga los pies en
la tierra.
A mis hijos: Amaury Kaimorts y Mubarak Yambalah que son el motor de mi vida,
teniendo que padecer mi ausencia y desvelos, esperando que sea un aliciente para
sus propios logros en su vida futura.
A mi incansable amiga Mari Paz que con su afecto y apoyo incondicional me impulsó
a lograr la meta, esperando que las dos sigamos concluyendo más logros juntas
A Roxy que es el orgullo de sus padres y ejemplo para sus hijos. Barco incansable
que lleva pronto su carga, hará que nuevos navegantes puedan hacer a la mar, con
amarras seguras al verter en ellos toda su sabiduría. (Zita 2009)
8
CAPÍTULO 1 ANTECEDENTES DE LA EDUCACIÓN
1.1 Bases legales de la educación
“El compromiso del Estado con la educación Pública se encuentra estipulado en el
Acuerdo Nacional para la Modernización de la Educación Básica 1992 que suscribe
el Gobierno Federal, los gobiernos de cada una de las entidades federativas de la
república Mexicana y el Sindicato Nacional de Trabajadores de la Educación”. 1
La Modernización hace necesario transformar la estructura, consolidar la planta física
y fortalecer las fuentes de financiamiento de la acción educativa. Es indispensable
propiciar las condiciones para un acercamiento entre gobiernos locales, escuela y
comunidad, teniendo un desempeño esencial los maestros y padres de familia.
En el Acuerdo se recoge el compromiso para mejorar la calidad de la educación a
través de una estrategia para reorganizar el sistema educativo, la reformulación de
los contenidos y materiales educativos, y la revaloración de la función magisterial. En
la que se encuentran: la formación del maestro, la actualización, capacitación y
superación del magisterio en ejercicio, el salario profesional, la vivienda, la carrera
magisterial y el nuevo aprecio social hacia el maestro.
“El Artículo 3º Constitucional estipula que la educación tenderá a desarrollar
armónicamente todas las facultades del ser humano y fomentara el amor a la patria,
la conciencia de la solidaridad internacional en la independencia y en la justicia”. 2
Garantizada por el artículo 24 la libertad de creencias, la educación se mantendrá
ajena a cualquier doctrina religiosa, luchara contra la ignorancia, servidumbre,
fanatismos y prejuicios.
1 Cfr. SEP. Acuerdo Nacional para la Modernización Educativa, SEP, México, 1992, p. 9 2Cfr. SEGB. Constitución de los Estados Unidos Mexicano, Articulo 3°, Pp. 7-8
9
La educación será democrática no sólo como un régimen político y jurídico, sino
como un sistema de vida. Será nacional por atender a la comprensión de nuestros
problemas. La educación contribuirá a la mejor convivencia humana con dignidad e
integridad, así como fraternidad e igualdad de derechos de todos los hombres.
Tomando en cuenta lo anterior el Artículo 3° Constitucional estipula que las
corporaciones religiosas no deberán intervenir en la educación y en los niveles
superiores se mantendrá su autonomía. También el estado tiene la facultad de retirar
la validez oficial de las escuelas particulares si estas lo requieren, aunque la tengan.
Así pues el Congreso de la Unión es el encargado de expedir las leyes necesarias,
fijar las cuotas económicas y señalar las sanciones aplicables a los funcionarios y
aquellos que las infrinjan.
La Ley General de educación se encuentra fundamentada especialmente en el
Artículo 3º Constitucional, se sustenta en los principios de que la educación tenderá
a desarrollar armónicamente todas las facultades del ser humano y fomentará en él,
a la vez, el amor a la Patria y la conciencia de la solidaridad internacional, en la
independencia y en la justicia, manejando dentro de las garantías de libertad de
creencias ratificando que la educación será laica, obligatoria y gratuita.
Estipula que el Estado está obligado a prestar servicios educativos para que toda la
población pueda cursas la educación preescolar. La primaria y la secundaria, lo que
conocemos como educación básica. Sin embargo de acuerdo al artículo tercero el
Estado debe atender todos los niveles educativos, incluyendo la educación superior
con las universidades, así como debe impulsar el desarrollo de la investigación
humanística y científica y el fortalecimiento y la difusión de nuestra cultura.
Está destinada a precisar las responsabilidades, funciones y atribuciones, así como la coordinación necesaria que habrá con la secretaria de Educación publica, la responsabilidad de realizar una distribución oportuna, completa y eficiente de los libros de texto gratuitos. Asegurando que se observe el carácter nacional de la educación en los contenidos de planes y programas de enseñanza.3
3Cfr. SEP. Ley General de Educación, SEP, México, 2006, p. 60
10
En coordinación con las secretarias de Administración pública Federal del Poder
Ejecutivo Federal se formularán los planes y programas de estudio y dichas
dependencias expedirán constancias, certificados, diplomas y títulos que tendrán la
validez correspondiente a los estudios realizados.
En cuánto al maestro confirma el papel central como promotor, coordinador y
agente directo del proceso educativo, la importancia de su formación curricular y la
constante actualización del proceso aprendizaje.
Habla de la intervención de los padres de familia en el proceso de aprendizaje de
sus hijos, pues los consejos de Participación Social propician una comunicación
directa y fluida entre alumno, maestro, escuela y comunidad que permitirá la
detección y solución de problemas sociales que suelen afectar el desempeño
escolar.
Por último menciona las sanciones y procedimientos administrativos que deberá
observar en caso de incumplimiento de las disposiciones de la Ley.
La educación primaria ha sido a través de nuestra historia el derecho educativo
fundamental al que han aspirado los mexicanos. Una escuela para todos, con
igualdad de acceso, que sirva para el mejoramiento de las condiciones de vida de las
personas y el progreso de la sociedad, ha sido una de las demandas populares más
sentidas de los mexicanos en donde la lucha contra la ignorancia es una
responsabilidad pública y una condición para el ejercicio de la libertad, la justicia y la
democracia, propósito que retoma el Programa Sectorial de Educación 2007 -2012
que ha sido elaborado tomando como punto de partida la visión México 2030 y el
Plan Nacional de desarrollo, así como la consulta de otros personajes importantes de
la educación que aportaron elementos de diagnostico y acción, para responder las
necesidades y demandas de los mexicanos, impulsando una profunda reforma
educativa cuños resultados sirvan para diseñar e implementar acciones y programas
11
eficientes, que permitan reafirmar y extender los logros, como corregir deficiencias y
limitaciones. Una educación de calidad con equidad que tenga como soporte la
utilización de las tecnologías de la información y la comunicación. Para mejorar el
rendimiento escolar de los alumnos, se impulsara la participación de la familia,
apoyando y estimulando, transmitiendo valores y hábitos.
“La educación básica tiene grandes avance pero se tienen todavía grandes rezagos,
personas que no concluyen o nunca cursaron la primaria o secundaria. “El sistema
Educativo presenta deficiencias con altos índices de reprobación y deserción de
alumnos y bajos niveles de aprovechamiento como lo demuestran las diferentes
pruebas nacionales e internacionales (PISA, ENLACE, ETC)”4. No se logra todavía
desarrollar en los estudiantes las habilidades que les permitan resolver problemas
con creatividad y eficacia y estar mejor preparados para los desafíos que les
presentan la vida y la inserción en el mercado laboral.
Los objetivos generales que persigue el Programa Sectorial de Educación 2007 -
20012 son:
Una mejor calidad de la educación Una mayor igualdad de oportunidades educativas El uso didáctico de las tecnologías de la información y la comunicación Una política pública que en estricto apego al Articulo Tercero Constitucional Una educación relevante y pertinente que promueva el desarrollo sustentable, la productividad y el empleo Una democratización plena del sistema educativo El programa contribuye también al logro de las metas de cobertura educativa, calidad y desarrollo tecnológico, prosperidad, equidad entre regiones, competitividad y transparencia de la Visión 2030. Reto que asume en Presidente Calderón.5
Una de las acciones principales en la política del gobierno federal para mejorar la
calidad de la educación primaria consiste en la elaboración de nuevos planes y
programas de estudio. Estos cumplen la función insustituible como medio para
4 Cfr. SEP. El programa Sectorial de Educación, SEP, México, 2007- 2012, p. 9 5 ibidem. p. 13
12
organizar la enseñanza y para establecer un marco común del trabajo en las
escuelas de todo el país.
La estrategia del gobierno federal de articular la educación con una política general
permite que la reformulación de planes y programas de estudio sean parte de un
programa integral.
“El Programa para la Modernización Educativa 1989 – 1994, dio como resultado la
renovación de los contenidos y los métodos de enseñanza, el mejoramiento de la
formación de maestros y la articulación de los niveles educativos que conforman la
educación básica”.6
En 1990 fueron elaborados planes experimentales para la educación preescolar,
primaria y secundaria, que dentro del programa denominado “Prueba Operativa” fueron aplicados en un número limitado de planteles, con el objeto de probar su
pertinencia y viabilidad. En 1991, el Consejo Nacional Técnico de la Educación
propuso un “Nuevo Modelo Educativo” que contribuyó a la precisión de los criterios
centrales que deberían orientar a la reforma, entre ellos se encuentra las del
Sindicato Nacional de Trabajadores de la Educación.
1.2 Antecedentes de la Educación Básica en Primaria
Los antecedentes del Plan y Programas de Estudio de 1993 son producto de un
proceso cuidadoso y prolongado de diagnóstico, evaluación y elaboración en el que
participaron maestros, padres de familia, centros académicos, representantes de
organizaciones sociales, autoridades educativas y representantes del Sindicato
Nacional de Trabajadores de la Educación.
El Plan y programas de estudio 1993 tiene como propósito organizar la enseñanza y el aprendizaje de contenidos básicos, para asegurar que los niños:
6 Cfr. SEP. Planes y Programas de estudio, SEP, 1993, p. 11
13
1º Adquiera y desarrollen las habilidades intelectuales que les permitan aprender permanentemente y con independencia, así como actuar con eficacia e iniciativa en las cuestiones prácticas de la vida cotidiana. 2º Adquieran los conocimientos fundamentales para comprender los fenómenos naturales, en particular los que se relacionan con la preservación de la salud, con la protección del ambiente y el uso racional de los recursos naturales, así como aquéllos que proporcionan una visión organizada de la historia y la geografía de México. 3º se formen éticamente mediante el conocimiento de sus derechos y deberes y la práctica de valores en su vida personal, en sus relaciones con los demás y como integrantes de la comunidad nacional. 4º Desarrollen actitudes propicias para el aprecio y disfrute de las artes y del ejercicio física y deportivo. 7
Uno de los propósitos centrales del Plan y los Programas de Estudio es estimular las
habilidades que son necesarias para el aprendizaje permanente. Por ellos se ha
procurado que en todo momento la adquisición de conocimientos esté asociada con
el ejercicio de habilidades intelectuales y de reflexión.
El plan de estudios menciona los propósitos formativos por cada asignatura y el
enfoque pedagógico utilizado, así como los contenidos de aprendizaje que
corresponda a cada grado, prevé 200 días laborales con una jornada de cuatro horas
de clase al día. El tiempo de trabajo escolar será de 800 horas anuales, donde el
maestro establece con flexibilidad la utilización diaria del tiempo. Para lograr la
articulación, equilibrio y continuidad en el tratamiento de contenidos, respetando las
prioridades establecidas.
Los rasgos centrales del plan son:
1º La prioridad más alta en el dominio de la lectura, la escrituras y la expresión oral.
En los primeros dos grados, se dedica al español el 45% del tiempo escolar, con
objeto de asegurar que los niños logren una alfabetización firme y duradera. Del
tercer al sexto grado, la enseñaza es del 30% de las actividades relacionándolas con
otras asignaturas, el cambio más importante en la enseñanza del español es la
eliminando el enfoque formalista, cuyo énfasis radica en el estudio de “nociones de
lingüística” y en los principios de la gramática estructural. En los nuevos programas 7 ibídem. p. 13
14
de estudio el propósito central es propiciar que los niños desarrollen su capacidad de
comunicación en la lengua hablada y escrita.
2º La enseñanza de las matemáticas se dedica una cuarta parte de tiempo a lo largo
de los seis grados y se procura desarrollar las habilidades para la resolución de
problemas y el desarrollo del razonamiento matemático a partir de situaciones
prácticas. Este enfoque implica, suprimir como contenidos las nociones de lógica de
conjuntos y organizar la enseñanza en torno a seis líneas temáticas: los números,
sus relaciones y las operaciones que se realizan con ellos; la medición; la geometría
a la que se otorga mayor atención; procesos de cambio, con hincapié en las
nociones de razón y proporción; el tratamiento de información y el trabajo sobre
predicción y azar.
3º La enseñanza de las Ciencias Naturales se integra en los dos primeros grados
como conocimiento del medio y partir del tercer grado, se destinarán 3 horas
semanales para las ciencias naturales integrando los programas de salud y
protección del ambiente y de los recursos naturales otra modificación es la
integración de un eje temático dedicado al estudio de las aplicaciones tecnologías
de la ciencia y a la reflexión, así como la agrupación de cinco ejes temáticos; los
seres vivos; el cuerpo humano y la salud; el ambiente y su protección; materia,
energía y cambio; ciencia, tecnología y sociedad.
4º La Historia, Geografía y la Educación Cívica se organizan por asignaturas
específicas suprimiendo el área de Ciencias Sociales. Durante los dos primeros
grados integrados como conocimiento del medio, en tercer grado se estudian en
conjunto, sus temas se refieren a la comunidad, el municipio y la entidad política
donde viven los niños. En los grados siguientes cada asignatura tiene un propósito
específico. En educación Cívica los contenidos se refieren a los derechos y garantías
de los mexicanos, las responsabilidades cívicas y los principios de la convivencia
social y a las bases de nuestra organización política.
15
5º El plan de estudios reserva espacios para la educación física y artística como
parte de la formación integral de los alumnos, propone actividades, adaptadas a los
distintos momentos del desarrollo de los niños, que los maestros podrán aplicar con
flexibilidad, sin sentirse obligados a cubrir contenidos o seguir secuencias rígidas de
actividad. La educación artística y física debe ser no sólo una práctica escolar, sino
también un estimuló para enriquecer el juego de los niños y su uso del tiempo libre.
En la organización de los contenidos se han seguido dos procedimientos:
1. En el caso de asignaturas centradas en el desarrollo de habilidades que se
ejercitan de manera continua (la lengua escrita en Español o las operaciones
numéricas en el caso de Matemáticas) o bien cuando un tema general se
desenvuelve a lo largo de todo el ciclo (contenidos relativos al cuerpo humano y
la salud, en Ciencias naturales), se han establecido ejes temáticos para agrupar
los contenidos a lo largo de los seis grados.
2. Cuando el agrupamiento por ejes resulta forzado, pues no corresponde a la
naturaleza de la asignatura, los contenidos se organizan temáticamente de
manera convencional. Éste es el caso de Historia, Geografía, educación Cívica,
Artística y Física.
Las matemáticas son un producto del quehacer humano y su proceso de
construcción está sustentado en abstracciones sucesivas. Todas las culturas tienen
un sistema para contar, aunque no todas cuenten de la misma manera. En la,
construcción de los conocimientos matemáticos, los niños también parten de
experiencias concretas y a medida que van haciendo abstracciones, pueden
prescindir de los objetos físicos., El dialogo, la interacción y la configuración de
puntos de vista ayudan al aprendizaje y a la construcción de conocimientos.
Las matemáticas permiten resolver problemas en diversos ámbitos, tales como el
científico, el técnico, el artístico y la vida cotidiana. Contar con las habilidades,
conocimientos y formas de expresión que la escuela proporciona, permite la
16
comunicación y comprensión de la información matemática presentada a través de
medios de distinta índole.
Los propósitos generales de matemáticas estipulan que los alumnos se interesen y
encuentren significado y funcionalidad en el conocimiento matemático, que lo valoren
y hagan de él un instrumento que les ayude a reconocer, platear y resolver
problemas presentados en diversos contextos de su interés.
Los contenidos incorporados al currículo se han articulado con base en seis ejes, a
saber:
• Los números, sus relaciones y sus operaciones
• Medición
• Geometría
• Proceso de Cambio
• Tratamiento de la información
• Predicción y azar
La organización por ejes permite que la enseñanza incorpore de manera
estructurada, no sólo contenidos matemáticos, sino el desarrollo de ciertas
habilidades y destrezas, fundamentales para una buena formación básica en
matemáticas.
La educación primaria ha sido a través de nuestra historia el derecho fundamental al
que han aspirado los mexicanos. Una escuela para todos, con igualdad de accesos,
que sirva para el mejoramiento de las condiciones de vida de las personas y el
mejoramiento de la sociedad. Partiendo de ese punto la educación se a concentrado
en competencias.
Entendiendo como competencia al conjunto de capacidades, actitudes, habilidades y
destrezas que una persona logra mediante procesos de aprendizaje y que
17
manifiestan en su desempeño en situaciones y contextos diversos. Además, el
trabajo educativo deberá tener presente que una competencia no se adquiere de
manera definitiva: se amplía y se enriquece en función de la experiencia, de los retos
que enfrenta el individuo durante su vida, y de los problemas que logra resolver en
los distintos ámbitos en que se desenvuelve.
Las competencias en la escuela tienen como finalidad principal construir un espacio
que contribuya al desarrollo integral de los niños, mediante oportunidades de
aprendizajes futuros.
Centrar el trabajo en competencias implica que los profesores busquen, mediante el
diseño de situaciones didácticas que impliquen desafíos para los niños y que
avancen paulatinamente en sus niveles de logro (que piensen, se expresen por
distintos medios, propongan, distingan, expliquen, cuestionen, comparen, trabajen en
colaboración, manifiesten actitudes favorables hacia el trabajo y la convivencia, etc.)
Para aprender más de lo que saben acerca del mundo y para que sean personas
cada vez más seguras, autónomas y participativas.
Las competencias en la asignatura de matemáticas (lógico matemáticas), en el eje
de geometría utilizadas para este trabajo fueron:
1. Clasificar, trazar y/o, construye figuras y cuerpos geométricos a partir de sus características 2. Para el segundo ciclo es: reproducir, trazar y analizar figuras geométricas a partir de sus características. Indicadores Se observa cuando el niño: 1. Identifica figuras geométricas por su nombre, número de datos, líneas paralelas y perpendiculares 2. A partir de figuras geométricas traza otras que se formen de triángulos, un cuadrado, de dos cuadrados un triángulo 3. Reconoce si una figura tiene ejes de simetría utilizando el doblado y otros procedimientos.8
8 Cfr. SEP. Competencias para preescolar, primaria y secundaria, SEP, México, 2006, p. 26
18
Es por ello que las competencias en las matemáticas ponen mayor énfasis en la
formación de habilidades para la resolución de problemas y desarrollo del
razonamiento matemático a partir de situaciones prácticas cotidianas.
1.3 Contexto escolar y características del grupo Basado en lo anterior analizaremos la experiencia profesional de una de tantas
profesoras que han dedicado su vida a la ardua labor de la enseñanza de las
matemáticas en la escuela primaria.
Fotografía No 1 Entrada principal de la Escuela “Leona Vicario”
Nuestra profesora labora en la escuela primaria federalizada llamada “Leona Vicario”
en el turno matutino, zona 30, sector IV. Ubicada en Av. Paseo Los Laureles No 1.
Fracc. Los Laureles, Ecatepec de Morelos, Estado de México, (Fotografía 1)
La escuela cuenta con una población aproximada de 600 alumnos, dentro de los
cuales 40 de ellos entre los nueve y diez años de edad fueron parte de la
aplicación de las técnicas de enseñanza de los poliedros regulares en la escuela
19
primaria en 4º grado. Cabe mencionar que estos niños se encuentran en la fase de
maduración biológica del pensamiento operacional, inicio de las operaciones
concretas con objetivo pero no con hipótesis verbal.
Comenzaremos mencionando que la profesora siempre tuvo conflictos con las
matemáticas, pero en el año 2008 se le presento la oportunidad de cursar un
diplomado llamado “Las matemáticas y su enseñanza en la escuela primaria”. El
cuál se dividió en tres módulos, uno de los cuales era “La enseñanza de la
geometría en la escuela primaria: un espacio para la creatividad”. Éste tenia como
finalidad que aprendiera a diseñar estrategias didácticas que favorezcan en el
alumno la capacidad de descubrir, razonar, estimar y expresar ideas en lenguaje
matemático, a fin de desarrollar habilidades para la creatividad e imaginación
espacial. A través del análisis de la geometría expresado en planes y programas de
1993. En él había un tema que le gusto mucho se llamaba: “Propuesta para construir
poliedros regulares”, la recomendación era poner en práctica lo aprendido en el salón
de clases con sus alumnos para analizar los pros y los contras del trabajo realizado.
El problema que encontró la profesora para enseñar cuerpos geométricos se
encuentra fundamentado en planes y programas en la asignatura de matemáticas en
el eje de geometría el cual nos menciona que:
La geometría a lo largo de la primaria se presenta con contenidos y situaciones que favorecen la ubicación de los alumnos en relación con su entorno. Asimismo se proponen actividades de manipulación, observación, dibujo y análisis de formas diversas. A través de la formalización paulatina de las relaciones que el niño percibe y su representación en el plano, se pretende que estructure y enriquezca su manejo e interpretación del espacio y de las formas. 9
Después de que los alumnos de 4ª grado ya han adquirido el conocimiento de
perímetro y área, lo siguiente es el conocimiento de volumen con cuerpos sólidos y
sus características.
9 Cfr. SEP. Libro para el maestro, matemáticas cuarto grado, SEP, México, 2006, Pp. 43,44 y 45
20
El problema seria de que forma les enseñaría cuerpos geométricos basándose en el
contenido: “La clasificación de los cuerpos geométricos bajo los criterios: formas de
las caras, número de caras, número de vértices y número de aristas”.
La solución que encontró fue: “ LA APLICACIÒN DE LAS TÉCNICAS DE
ENSEÑANZA PARA CONSTRUIR POLIEDROS REGUALARES EN LA ESCUELA
PRIMARIA CUARTO GRADO”.
Partiendo de que los sólidos que tienen únicamente caras planas se llaman
poliedros. Los poliedros tienen caras planas, vértices y aristas, y se dividen en
regulares e irregulares.
Los polígonos regulares son cinco, mientras que los irregulares se dividen en
prismas y pirámides y varían en cantidad.
En el libro para el maestro nos menciona que tradicionalmente, la enseñanza de la
geometría partía de las definiciones de punto, recta y plano. A partir de estos
conceptos se definían rectas perpendiculares, paralelas, ángulos, figuras y luego
cuerpos y que de acuerdo a investigaciones en torno al desarrollo de aprendizaje el
proceso es inverso, es necesario partir de lo sólido para llegar a lo más abstracto
cono la línea y el punto.
En el estudio que se hace en el libro de texto sobre los sólidos geométricos, se
pretende que los niños identifiquen qué figuras forman las caras de un sólido (“Caras
de diferentes países”, p: 74) y que establezcan la relación entre el dibujo en el plano
y el sólido en tres dimensiones, es decir, se abordan dos aspectos:
1º Un sólido puede representarse en el plano, intentando plasmar sus tres
dimensiones.
2º A partir del plano puede construirse un sólido (con tres dimensiones). De ahí
derivan lecciones como “Cubos y construcciones”, Página 146 y “Construimos
poliedros”, página 182.
21
En las lecciones del libro se diferencian los sólidos que son poliedros de los que no
lo son, y se solicita permanentemente la anticipación de formas y espacios, con lo
cual se espera que los alumnos desarrollen su imaginación espacial e identifiquen
relaciones para saber si con determinadas plantilla se puede o no construir un
poliedro; por ejemplo, el número de caras, las medidas de las aristas, los lados
adyacentes, etc. Asimismo, descubrirán que para elaborar un sólido determinado
pueden construir más de una plantilla.
Para trazar y reproducir figuras se sugiere utilizar diversos recursos como el
doblado de papel (Papiroflexia), el dibujo, los mensajes, etc. Para los niños el
reproducir figuras es una actividad motivante y se propone que el maestro de
libertad para la búsqueda de estrategias que le permitan reproducirlas... Con ello se
desarrollan destrezas y el análisis de las figuras y sus propiedades geométricas. En
algunas lecciones del libro de texto se pretende reproducir, a partir de un mensaje,
una figura o construir un sólido (“Dibujos y medidas”, p. 54 y “Forma y Tamaño
exactos”, p. 120). En dicha situación tener las figuras a la mano y observar sus
características geométricas es fundamental para poder realizar la actividad.
Se pretende que los alumnos desarrollen la capacidad de análisis y de observación,
que encuentren similitudes y diferencias, y que las utilicen como criterios para hacer
descripciones y clasificaciones, así como para crear y construir formas diversas. Este
tipo de figuras que se reproducen podrá hacerse progresivamente más complejo a lo
largo del curso.
1.4 Reseña de la experiencia laboral en educación Para continuar exponiendo nuestra problemática es necesario echar un vistazo a la
experiencia profesional de nuestra profesora en cuestión y comenzaremos
mencionando que en el año de 1993 Roxana Marisela Maldonado Prieto egresa de
la carrera de Lic. Diseño Grafico, del centro educativo Acatlan (UNAM). En ese
22
mismo año le ofrecen dar clases de Historia del Arte en un Instituto de Turismo y
posteriormente cursos de verano en la misma Institución. Después de dos años de
confrontarse a sus miedos decide incursionar en el área del diseño y durante cuatro
años de trabajo decide tomarse un tiempo para dedicarlo a la familia.
A pesar de encontrarse dedicada a su familia se da el tiempo para participar como
alumna en el programa educación elemental departamento de educación inicial
(SEIEM) , en su modalidad no escolarizada a favor de los niños y su comunidad, así
se convierte en promotora educativa del mismo programa para niños recién nacidos
a cinco años y madres embarazadas en 1998. Realiza un curso de primeros auxilios
en el centro de salud de su comunidad por 40 horas.
Al paso de seis años decide incorporarse a la población trabajadora como
educadora en un preescolar y al año siguiente (2002) se convierte en alumna de la
Universidad Pedagógica Nacional 096. A la par con esta realiza el 1° y 2° nivel de
SICCED (Sistema de capacitación y certificación para entrenadores deportivos) en la
CONADE - SEP.
Trabajó y estudio todos los sábados durante cuatro años y el 16 de octubre del
2007 se incorpora a las filas del SNTE (sección 36). Fue asignada a la Escuela
Primaria Federalizada “Leona Vicario” turno matutino cuarto grado, localizada en el
Fraccionamiento Los Laureles No 1, en Ecatepec de Morelos Estado de México
cubriendo un interinato limitado (articulo 43).
En el 2008 participa en un diplomado de matemáticas, el cual le permite conocer y
aprender la utilización de diversas técnicas y estrategias de aprendizaje las cuales
poner en práctica con sus alumnos.
Actualmente se encuentra trabajando en la misma escuela, turno y grado pero la
diferencia es que el 16 de Abril del 2009 es basificada en el mismo lugar, grado y
turno y lo único que le falta para cerrar un ciclo de su vida es obtener su titulo en Lic.
23
Educación para continuar con otros proyectos de vida como una maestría en
educación, entrar a carrera magisterial en tercera vertiente, ya que el próximo ciclo
escolar trabajara como apoyo técnico y eso la podría acercar a una dirección
escolar.
La importancia que todos estos aprendizajes han tenido en su vida laborar,
permitieron ser una herramienta de trabajo con fundamentos metodológicos para
impartir, proponer, compartir, difundir, modificar e innovar nuevas técnicas de trabajo
que le reditúan con meritos curriculares a través de su vida laboral, obteniendo
satisfacción personal e impulse a realizar su práctica docente mejorándola día a día.
Es por ello que el capítulo siguiente nos menciona la importancia de la metodología
en el proceso de enseñanza- aprendizaje de los niños, basado en autores que
dedicaron su vida al estudio del desarrollo del aprendizaje en los niños.
24
CAPÍTULO 2 ELCONSTRUCTIVISMO EN LA EDUCACIÓN BÁSICA
2. 1 Concepción constructivista de la enseñanza – aprendizaje Los principios pedagógicos que se encuentran en el Diseño Curricular se establecen
en una concepción constructivista del aprendizaje escolar y de la intervención
pedagógica entendida en el sentido amplio. Así, no se puede identificar ninguna
teoría en concreto en el constructivismo, sino más bien, la suma de una serie de
enfoques extraídos de distintos modelos teóricos. Por ello se habla de la corriente o
concepción constructivista y no de que una teoría constructivista. Vamos a analizar
algunos de los principales enfoques de los que se nutre la concepción constructivista.
• Es necesario partir del nivel de desarrollo de cada niño. Esta idea nos acerca al
enfoque de la teoría genética de Jean Piaget acerca de la existencia de una
serie de estadios evolutivos. Se trata de una serie de etapas que se van
sucediendo de una forma no estricta. A cada uno de estos estadios o etapas le
corresponde una forma de organización mental. La intervención educativa debe
partir de las posibilidades de razonamiento y aprendizaje que caracterizan la
etapa en la que se encuentra el alumno.
Los estadios cognitivos de Piaget. 1. Sensoriomotor (Nacimiento hasta los 18/24 meses) Prelinguistico que no incluye la internalización de la acción en el pensamiento, los objetivos adquieren permanencia, desarrollo de los esquemas sensorio motores, ausencia operacional de símbolos; finaliza con el descubrimiento y las combinaciones internas de esquemas. 2a. Operaciones concretas (Pensamiento preoperacional de los 2 a los 7 años) Inicio de las funciones simbólicas; representación significativa (lenguaje, imágenes mentales, gestos simbólicos, intervenciones imaginativas, etc.) lenguaje y pensamiento egocéntricos, incapacidad de resolver problemas de conservación; internalización de las acciones en pensamientos; ausencia de operaciones reversibles. 2b. Pensamiento operacional (de los 7 a los 11 años) Adquisición de reversibilidad por inversión y revelaciones reciprocas; inclusión lógica; inicio de seriación, inicio de agrupamiento de estructuras cognitivas; comprensión de la noción de conservación de sustancia; peso, volumen,
25
distancia, etc. Inicio de conexión de las operaciones concretas con objetos pero no con hipótesis verbales. 3. Operaciones formales (de 11/12 y 14/15) Raciocinio hipotético- deductivo. Proposiciones lógicas; máximo desarrollo de las estructuras cognitivas, grupos, matrices y lógica algebraica, aparecen como nuevas estructuras; operaciones preposicionales; esquemas operacionales que implican combinaciones de operaciones.10
• Es necesario poder relacionar el nuevo material de aprendizaje con los
conocimientos previos. Los posibles efectos de la intervención educativa
están también condicionados por los conocimientos previos que el niño posee
antes de empezar el proceso de aprendizaje. Según Bruner, un aprendizaje no
se construye sobre la nada, ha de poderse apoyar en estructuras sólidas
construidas anteriormente. Bruner utiliza la idea del andamiaje para dar a
entender que es necesario tener soportes para los nuevos aprendizajes que
permitan relacionar el nuevo material de aprendizaje con algo que ya se
conocía.
• El nuevo aprendizaje debe integrarse de una forma significativa. Ausubel forjo el
término aprendizaje significativo en contra de los aprendizajes mecánicos,
repetitivos y que no se mantienen en la memoria de forma comprensiva.
El proceso de aprendizaje pasa por tres momentos psicológicos básicos y que son: Equilibrio inicial: el alumno tiene seguridad cognitiva a través de sus conocimientos previos, que pueden ser erróneos, parciales o incompletos. Desequilibrio: el nuevo material de aprendizaje se relaciona con algunos conocimientos previos. Hay actividad cognitiva interna para dar soporte al nuevo material y relacionarlo con los elementos disponibles. La nueva conexión permitirá que el aprendizaje sea comprensivo y no meramente memorístico. Hay incluso dudas que permiten al nuevo material ser capaz de cambiar la estructura previa Reequilibrio: el nuevo material de aprendizaje es incorporado y asimilado. Puede haber provocado: sustituciones, modificaciones, complementaciones, etc.11
10 UPN. JOAO B. Araujo y Clifton B. Chadwick. “ La Teoría de Piaget”, en: El niño: desarrollo y proceso de construcción del conocimiento, Antología básica LE’94, México, 1988, p. 107 11 GASSO, Gimeno, Anna,. La educación infantil, en: Métodos, técnicas y organización, España, CEAC, 2001 Pp. 64 -65
26
Para que un aprendizaje sea realmente significativo es necesario que se le
pueda atribuir un significado, que se pueda relacionar de una forma
sustantiva y no arbitraria con los conocimientos previos y que se cumplan
cuatro condiciones:
I. Significatividad: el contenido del nuevo material de aprendizaje debe ser
potencialmente significativo, tanto desde el punto de vista de su estructura
lógica, presentándolo ordenado, estructurado, coherente, como desde el
punto de vista de la estructura psicológica del alumno, que le permita
entrar en él a través de los conocimientos previos que posee y de las
competencias que le permita el estadio evolutivo en el que se encuentra.
II. Motivación: el alumno debe tener una buena predisposición hacia el nuevo
material de aprendizaje, debe sentir interés y estar motivado a aprender.
Su actitud favorable le permitirá conectar lo nuevo que está aprendiendo
con lo que ya sabe.
III. Funcionalidad: la educación pretende que los conocimientos adquiridos en
la escuela puedan ser aplicados y utilizados por el alumno en cualquier
situación de la vida cotidiana con plena funcionalidad cuando los necesite.
La funcionalidad a veces no sólo se refiere a la utilización externa de los
conocimientos adquiridos, sino que también puede suceder que, a nivel
cognitivo, el nuevo conocimiento ayude a establecer relación con nuevos
aprendizajes, siendo funcional de una forma interna.
IV. Memoria comprensiva: si el nuevo material de aprendizaje puede
relacionarse con lo que el alumno ya sabe, puede llegar a asimilarse e
integrarse en su estructura cognitiva previa, produciéndose un aprendizaje
capaz de cambiar esa estructura, a la vez que se convierte en un
aprendizaje duradero y sólido. Si, por el contrario, no se alcanza dicha
conexión, el aprendizaje no se memorizará de forma comprensiva; será un
aprendizaje memorístico o repetitivo, condenado al olvido rápido. La
memoria no es sólo el recuerdo de lo aprendido, sino el punto de partida
para realizar nuevos aprendizajes.
27
• Aprender a Aprender. La intervención educativa debe tener como finalidad que
los alumnos aprendan a aprender, es decir, que sean capaces de realizar que
los aprendizajes significativos por sí solos, de una forma autónoma.
• Actividad cognitiva intensa. El alumno debe establecer relaciones ricas entre el
nuevo contenido de aprendizaje y los esquemas de conocimiento existente.
• Las estructuras cognitivas. Las estructuras cognitivas se construyen por
interacción: Las aportaciones de Vigotski a la concepción constructivista son
muy importantes porque, a diferencia de Piaget, que mantenía una postura
maduracionista sobre e desarrollo de los procesos de aprendizaje, Vigoski se
contra pone demostrando que el aprendizaje puede ir antes que el desarrollo y
que es necesaria una intervención por parte de los padres y maestros para que
la enseñanza sea eficaz y no nos acomodemos a lo que el niño ya sabe o
conoce. De este modo, reveló la importancia de la influencia de las personas
que rodean al niño en la calidad de sus estructuras cognitivas.
Es necesario comprender los conceptos básicos de Vigotski sobre las zonas de desarrollo para fomentar un aprendizaje eficaz. Zona de desarrollo afectivo: es todo aquello que el niño es capaz de realizar y hacer sin ayuda de nadie, por sí solo. Es la capacidad de resolver solo un problema Zona de desarrollo potencial: es todo aquello que el niño es capaz de hacer con la ayuda, guía o colaboración de otras personas. Es la capacidad de resolver un problema con la ayuda de alguien más capaz. Zona de desarrollo próximo: Esta zona se halla entre las dos anteriores. Significa un reto alcanzable por el niño porque no se trata de un aprendizaje sin motivación de lo que ya sabe hacer –zona afectiva-, ni tampoco un aprendizaje inalcanzable que sólo conseguiría con la ayuda de otra persona zona potencial: Los aprendizajes en esta zona le obligan a una actividad cognitiva, pero no le llegan a ahogar ante un reto demasiado alejado de sus posibilidades. El aprendizaje debe facilitar y promover el desarrollo a través de la creación de zonas de desarrollo próximo que se sitúen entre el nivel potencial en que la resolución viene determinada por la colaboración de una persona adulta o más capaz.12
12 ibidem. Pp. 66-67
28
“César Coll mantiene que la relación entre Psicología – Pedagogía; es inminente
para hablar de un constructivismo como marco psicológico global de referencia,
articulado y coherente, de la educación escolar”.13
La educación actualmente se enfrenta a muchos cambios, deberá transmitir masiva
y eficazmente una cantidad cada vez mayor de conocimientos teóricos y técnicos
que van evolucionando de acuerdo al sujeto cognoscitivo, por que son las bases de
las competencias del futuro. De igual manera deberá hallar y definir las formas para
que no se deje llevar por corrientes de informaciones más o menos buenas que se
encuentran inmersas en los espacios públicos o privados, por ello la educación se
ve obligada a establecer las bases y la dirección para transitar por este mundo.
Para cumplir con su misión, la educación debe estructurarse en cuatro aprendizajes
fundamentales que en el transcurso de la vida serán para cada persona, en cierto
sentido, los pilares del conocimiento: aprender conocer, es decir, adquirir los
instrumentos de la comprensión; aprender hacer, para poder influir sobre el propio
entorno; aprender a vivir juntos, para participar y cooperar con los demás en todas
las actividades humanas; por último, aprender a ser, un proceso fundamental que
recoge elementos de los tres anteriores.
2.2 La enseñanza – aprendizaje en el niño Los estudios de Piaget sobre como aprenden los niños apoyan los conceptos del
desarrollo en lás matémáticas, propuestas para las escuelas primarias. Él descubrió
que los niños aprenden conceptos de espacio y tiempo, de realidad, de relaciones
entre causa y efecto, de moral, de probabilidad, números y medidas, en una serie de
etapas. Lo que descubrió sobre la progresión del pensamiento infantil demostró estar
13 Cft COLL César. Constructivismo e Intervención Educativa: ¿Cómo Enseñar lo que se ha de Construir?, en: Corrientes Pedagógicas Contemporáneas, Antología básica, LE ’94, UPN, México, 1991. p. 9
29
en perfecta armonía con otros descubrimientos acerca del desarrollo social y
emocional, indicando que todo aprendizaje infantil sigue un orden secuencial, de una
conducta de menos a más madura.
El proceso de comprensión empieza con la experiencia directa, física y concreta, y
avanza gradual y desigualmente hacia la comprensión de conceptos más remotos y
abstractos. Este proceso de captar el significado por etapas secuénciales puede
verse con claridad en la comprensión de las matemáticas. Especialmente en la
etapa de Pensamiento operacional en la que se encuentran el objeto de estudio de
este análisis.
En un principio el niño no tiene ni la menor noción de lo que significa el número,
conforme avanza el desarrollo del niño a través de sus propias experiencias no se le
puede forzar mediante ejercicios, porque no es posible ejercitarlo a aprender.
Simplemente se puede entrenar para la repetición de memoria; se puede aprender
ayudando a comprender a su propio tiempo y modo tan sólo ofreciendo las
experiencias que le transmitan ideas, de este modo, el niño aprende a conservar el
significado pese a la deducción de forma, tamaño o espacio. Puede manejarlo como
unidad porque lo percibe en armonía con las partes, captando una auténtica relación
parte- todo. En este momento, ya puede identificar la relación entre el objeto de
estudio, alcanzando habilidad operativa.
Poco a poco surge la noción matemáticas de conjunto, “un argumento que comparte
ciertas características (concretas o Abstractas)”14, y los niños pueden concebir un
grupo como unidad, pese a que este puede estar formado por varios objetos o
personas. El concepto de grupos y orden conducen al concepto de inclusión (Acción
y efecto de poner una cosa dentro de otra o dentro de sus limites).
14 ibidem. p. 219
30
2.3 Como aprenden las matemáticas los niños La habilidad mecánica para sumar y restar no basta para captar el significado de
división, la multiplicación y las fracciones; el dominio mecánico, como, por ejemplo, el
de las tablas de multiplicar, sólo es valioso en la medida en que los auxiliares
mecánicos son verdaderos instrumentos para avanzar en la comprensión de los
conceptos. La precisión al calcular llega con bastante rapidez en cuanto hay un
verdadero entendimiento del número. Sin embargo, la precisión humana de calcular,
en la época de las computadoras, no es tan significativa como la comprensión de las
leyes y relaciones matemáticas que hacen funcionar la computadora, poniendo
orden en una abundancia de detalles de computación.
Las materiales para matemáticas en una aula contemporánea para los primeros
años de escuela deben tener en cuenta la naturaleza de la etapa de crecimiento de
los niños, su dependencia de las operaciones concretas, su avance hacia la
comprensión de la expresión simbólica y la importancia de permitirles descubrir por sí
solos la verdad de la concepción matemáticas.
Papel y lápiz no basta para este tipo de aprendizaje. Por lo contrario: el uso
prematuro de los símbolos sólo produce confusión. Entonces los niños necesitan
mucha práctica para estabilizar esa comprensión, porque aún pueden extraviarse
entre los símbolos poco familiares que representan las relaciones. Las niñas y los
niños, consideran emocionantes y atractivas las matemáticas cuando se les permite
hacer descubrimientos al propio ritmo del desarrollo de sus habilidades.
Lo anterior se encuentra vinculado con el “aprendizaje por descubrimiento” de Ausbel
que menciona que “cuando un estudiante, de manera individual o colectiva se
31
enfrenta a un problema matemático. Se encuentra ante una oportunidad de realizar
por si mismo un aprendizaje por descubrimiento”.15
Bajo esta postura lo que en verdad cuenta y lo que ahora importa es introducir una
educación activa, frente a la pasiva, dejar de lado la teoría conductista del
aprendizaje en la práctica educativa.
Para ello los niños necesitan materiales que los estimulen a manipular, ordenar,
contar, contrastar, construir y reorganizar ya sea deliberadamente o accidentalmente.
El hecho de que hagan descubrimientos no significa que el maestro no haga ningún
preparativo; por el contrario, además de los materiales y el equipo con que los niños
pueden experimentar están las tareas y los desafíos que el maestro les pone
abordarlos uno por uno conforme van siendo capaces, pero con suficiente variación
de niveles de complejidad para que cada niño tenga que resolver problemas
interesantes a cualquier nivel de pensamiento en que se encuentre. Esto significa
que el programa de matemáticas, como el de lectura, debe ser individualizado: los
niños deben trabajar a su propia velocidad y sin la presión de tiempo o de
calificaciones que los lancen prematuramente y de prisa, empeoradas por la
competencia y la angustia.
En cierto sentido, un enfoque similar al aprendizaje durante los primeros años pasa
por la lectura, la escritura y la aritmética, siendo esta materia en la que han ocurrido
los cambios más radicales en la práctica de la escuela primaria; es un doble enfoque
que acompaña el reconocimiento de conceptos durante el periodo en que se
aprenden con dificultad los aspectos mecánicos. Mientras los niños aprenden las
habilidades de descifrar, deben oír cuentos y poemas que mantengan viva, para
ellos, la razón de su lucha con las letras y sonidos. Mientras los niños forman
laboriosamente las letras del alfabeto y las unen para hacer palabras, deben estar
contando cuentos a su maestro o a una grabadora para que la razón de escribir sea 15UPN. ¿Pueden los alumnos descubrir las matemáticas por si mismos…? en: Los problemas matemáticos en la escuela, Antología Básica, LE ’94, México, 1990, p. 86
32
bien clara. Y cuando los niños se ponen a escribir números, deben tener claro el
significado del número, el sentido de las relaciones entre ellos y el significado del
orden y la secuencia en matemáticas, en la aplicación práctica dentro de sus vidas
cotidianas. Sólo cuando reconozcan el significado de esta capacidad, sus aspectos
mecánicos tendrán la relación de partes necesarias con todo ya comprendido.
2.4 Intervención docente en el aprendizaje de los niños
Existe un momento en el que las matemáticas pueden ser descubiertas y el aprendizaje, será más profundo y completo. Sin embargo, existe también un momento en el que el profesor, o alguna otra persona, necesitará quizás intervenir para introducir primeramente el lenguaje apropiado, luego para contribuir y aclarar el pensamiento y después para introducir el simbolismo y los métodos para formar ideas. Como ya se ha mencionado antes Uno de los propósitos centrales del plan y los programas de estudio es estimular las habilidades que son necesarias para el aprendizaje permanente. Por ellos se ha procurado que en todo momento la adquisición de conocimientos esté asociado con el ejercicio de habilidades intelectuales y de reflexión. 16
La intervención pedagógica que se encuentra en el diseño curricular se encuentra
estructurada en base a una concepción constructivista del aprendizaje escolar.
Desde este punto:
La educación escolar se concibe como una práctica social, actividad constructiva
que permite al individuo participar en un proceso social dentro del contexto en el que
se desarrolle.
La construcción del conocimiento en la escuela tiene un papel triangular interactivo
donde:
• Se concibe al alumno como responsable y constructor de su propio
aprendizaje y al profesor como un coordinador y guía del aprendizaje del
alumno.
• Existe una relación de los contenidos escolares (saberes preexistentes
socialmente construidos), el profesor y el alumno, los contenidos escolares no
deben ser arbitrarios, considerando la concepción activa de profesor y
alumnos.
16 SEP. Planes y programas de estudio nivel primaria, SEP, México, 1993, p. 13
33
• La acción pedagógica se remite sólo al profesor, como termino de
construcción; el termino de andamiaje o ajuste de la ayuda pedagógica, el
cual va modificándose a lo largo del proceso de aprendizaje.- No existe una
metodología didáctica constructivista; lo que hay es una estrategia didáctica
general de naturaleza constructivista que se rige por el principio de
metodologías didácticas según el caso.
Con ayuda de los mecanismos de influencia educativa como: la intervención
educativa del profesor, el ajuste de la ayuda pedagógica, la influencia educativa de
los compañeros, la organización social de las actividades de aprendizaje, y la
influencia educativa del contexto institucional. Así como los procesos de
construcción del conocimiento como: el aprendizaje significativo: naturaleza y
condiciones, el significado y sentido en el aprendizaje escolar, el aprendizaje
significativo y construcción, modificación y revisión de los esquemas de
conocimiento. Nos permiten construir con apoyo de todos la enseñanza y
aprendizaje de los niños en la escuela que se vera reflejada en su vida cotidiana.
Los profesores deben enseñar las matemáticas de primaria mediante una
participación más activa, que contenga aprendizajes significativos y la vinculación del
descubrimiento por medio de actividades prácticas con material disponible siempre
que se pueda. El entusiasmo y la total entrega que el profesor transmita a los
alumnos promoverá los aprendizajes deseados También se sabe que un factor
importante cuando se trata de mejorar el aprendizaje, es la calidad del profesor.
2.5 La geometría en la enseñanza elemental
La geometría en la escuela elemental se redujo durante mucho tiempo a la
enseñanza del sistema métrico decimal además de una descripción sintética de
algunas figuras u objetos simples (cuadrado, rectángulo, cubo, etc.). Recordemos
que la Aritmética es la base con la que los niños inician su instrucción al mundo de
las matemáticas.
34
El estudio del sistema métrico se limitaba a ejercicios de conversión en realidad más
próximos a la numeración que a actividades propiamente geométricas o de medición.
No se planteaban cuestiones a propósito de la conservación de cantidades ni de la
conceptualización de las magnitudes físicas.
El estudio de las figuras geométricas se orientaba al enunciado de propiedades
observables sin establecer vínculos entre ellas. La enseñanza se realizaba bajo el
mismo espíritu de las lecciones de cosas: enseñanza de una descripción y de un
vocabulario convencional, sin interés explicativo.
El marco de los programas de 1970, que ponían el acento sobre la actividad propia
de los niños y la manipulación de objetos, la presentación de la geometría se
modificó. Es así que se vio aparecer un gran número de actividades sobre
cuadrículas: puntos en el plano, trayectos, y transformaciones geométricas, tales
como traslaciones, agrandamientos y simetría.
En realidad, la geometría implica más aspectos. “Es una verdadera teoría física que
propone un modelo explicativo de una parte del mundo que nos rodea: círculos,
caras planas, líneas, desplazamientos, agrandamientos, etc.”17
En este sentido, la geometría presenta dos aspectos esenciales:
1. Consiste en actuar sobre los objetos reales y obtener información
2. Consiste en organizar esas informaciones a fin de prever la posibilidad o
imposibilidad de realizaciones materiales (construcciones, dibujos, etc.).
Esos dos aspectos interactúan constantemente el uno sobre el otro. El programa de
educación pone especial importancia en la obtención y organización de información 17 A.P.M.E.P. adaptado “La geometría en la enseñanza elemental”. UPN en: Construcción del conocimiento matemático en la escuela, Antología Básica LE’94, México, 199,. p. 125
35
la cual está, de hecho, en el centro de las preocupaciones de los niños ya desde los
primeros grados.
Desafortunadamente, las investigaciones didácticas sobre este tema están menos
avanzadas que las concernientes a las estructuras numéricas. Por otro lado, siendo
la geometría por naturaleza más completa que el número, es más difícil de precisar
un orden de los procesos intelectuales de los niños, lo cual excluye la producción de
una progresión prevista en todos sus detalles.
Por ello es necesario preguntarse sobre que se desea obtener con la enseñanza de
la geometría, tanto en lo que concierne a las actitudes y aptitudes de los niños, como
en lo que concierne a las conceptualizaciones de sus conocimientos.
En el nivel primario la enseñanza de la geometría debe ser incluida como una
actividad de despertar con situaciones sencillas y se profundiza en los dos últimos
grados de la educación primaria, en donde se abordan fenómenos de variación
proporcional y no proporcional. El eje de geometría está conformado por
la lectura, elaboración y análisis de tablas y gráficas donde se registran y analizan
procesos de variación.
En lo consecuente se culmina con las nociones de razón y proporción, las cuales son
fundamentales para la comprensión de varias ideas matemática y para la resolución
de muchos problemas que se presentan en la vida diaria de las personas.
“Si la geometría consiste en plantearse cuestiones y, para responderlas, combinar y
organizar las informaciones recogidas, ello implica un aspecto complementario: la
posibilidad de justificar, sin nuevos recursos experimentales, concordancias o
imposibilidades”. 18
18ibidem. p. 126
36
Entonces la conceptualización de conocimientos puede organizarse alrededor de
dos ideas generales:
1. Una situación geométrica implica simultáneamente objetos y acciones ( o
transformaciones) sobre esos objetos. Ciertas propiedades de esos objetos
son modificadas en el curso de las acciones, otras no. Desde ese punto de
vista se puede:
• Clasificar objetos según la forma en la que ellos se comportan frente a
una acción dada, o bien.
• Clasificar las acciones que se realizan sobre cierto tipo de objetos.
2. Se enriquece simultáneamente los dominios numéricos y geométricos
mediante el estudio de situaciones donde uno de estos aspectos sirve de
instrumento o de soporte al otro.
Sobra decir que no se esperará que se logren los objetivos precedentes mediante
situaciones como:
• dónde sólo se contemplen objetos (lecciones de cosas)
• dónde se hayan dado uno o varios objetos a los niños, y se les solicita
lo que se puede hacer o decir
• dónde se imponga a los niños la ejecución de una tarea de acuerdo
con un plan de trabajo que se ha detallado previamente
En el caso de las dos ideas anteriores, el niño está en plena incertidumbre él no
sabe qué es lo que se espera de él. En la primera, el maestro elimina la
incertidumbre precisando lo que debe observarse. En la segunda idea, si los niños
reaccionan no es en función del material, sino por aceptar el deseo del maestro.
Existe una tercera idea en la que los niños no pueden tomar ninguna iniciativa. Para
escapar de estos inconvenientes, las situaciones que han de proponer nos parece
que deben satisfacer a las siguientes condiciones:
• Objetos o dibujos son efectivamente presentados desde el principio
37
• Objetos, dibujos, mensajes, vocabulario, deberán ser construidos en el curso
de la actividad
• Una pregunta debe ser formulada de tal suerte que: su respuesta no sea
evidente, donde los niños pongan a prueba sus conocimientos previos que
permita considerar tareas intermedias y poner en marcha recursos para
responderla.
Esto exige en particular que los niños tengan a su disposición objetos variados
(triángulos, cuadrados, cubos, etc.) e instrumentos (tijeras, pegamento, papel,
instrumentos de geometría, etc.).
Dentro de algunas actividades de aprendizaje para la geometría se encuentran los
juegos de descripción y construcción de patrones. En cada uno de ellos es
necesario tener bien claros los objetivos, la descripción de la actividad, recursos,
tiempos, contratiempos y autoevaluación.
Por ejemplo: en el libro de texto de 4° grado, en el juego de descripción.- “Sólidos
geométricos” lección 33 (“Casas de diferentes países”, bloque 2, pag 74) : se
pretende que los alumnos describan elementos característicos de un poliedro
(sólido construido exclusivamente por caras planas), introducir un vocabulario común
para describir los poliedros. El objetivo de esta actividad no es hacer que los
alumnos se aprendan el nombre de cada uno de los poliedros utilizados. Ese nombre
sería suficiente para determinar cada uno de los poliedros propuestos y las
actividades perderían todo su sentido, si no que establezcan la relación entre dibujo
en el plano y el sólido en tres dimensiones. A partir del plano puede construirse un
sólido en tres dimensiones: lección 67 (“Cubos y construcciones”, bloque 4, pág.
146).
En el caso de la construcción de patrones.-“Trazos y reproducción de figuras”,
lección 23 (“Dibujos y medidas “, bloque 2, pag. 54) y lección 84 (“Construimos
38
poliedros”, bloque 5, pag. 182), se pretende tomar conciencia de la necesidad de
medir, reflexionar sobre la cantidad de información necesaria e inventar técnicas y
utilizar instrumentos para realizar las construcciones. Es importante poner
restricciones, escondiendo todos los poliedros que se van a reproducir, desde el
principio de la actividad, o sólo algunos de entre ellos. Se hace aparecer así ciertos
problemas fundamentales, teóricos y técnicos como: la naturaleza y número de
informaciones indispensables, la construcción de un patrón conociendo esa
información y las mediciones sobre objetos. Es indispensable mostrarse estricto en lo
que concierne a la construcción de poliedros. Parece fundamental aceptar la “perdida
de tiempo” en fracasos, luego en tanteos, en reflexiones sobre los fracasos, porque
en contrapartida, uno puede esperar un mejoramiento en la calidad del aprendizaje.
El objetivo más importante del ciclo elemental especialmente en cuarto grado es:
saber utilizar regla, escuadra, compás y otros instrumentos geométricos para
estudiar, construir o reproducir figuras planas.
La necesidad de practicar el dibujo geométrico implica el estudio de las propiedades
de ciertos objetos del espacio usual. Esas propiedades aparecerán más fácilmente si
las actividades geométricas derivan de la construcción efectiva de tales objetos.
Por ejemplo: se decide construir una caja de cartón (sin tapa) para poner objetos.
Una primera observación conduce a los niños a constatar que, para realizarla, hacen
falta cinco piezas (el fondo y cuatro paredes), que cada una de esas piezas tiene
cuatro lados y que las medidas de esos lados no pueden ser escogidas
arbitrariamente. Después de haber construido por tanteo una maqueta en papel, los
niños estarán en posibilidades de pasar a la construcción efectiva de la caja, la cual
se descompone en tres etapas: el trazo de las piezas, el recorte y el armado, cada
una de estas etapas necesita el empleo de útiles apropiados, en particular la regla, la
escuadra, el compás para realizar el trazo. La precisión del dibujo y del recortado es
seleccionado por la calidad de la caja armada.
39
Los instrumentos geométricos son útiles en el desarrollo de actividades de trabajo
manual (realización de maquetas) o de actividades estéticas (frisos, mosaicos) como
en el curso de actividades geométricas (estudiar, construir reproducir figuras planas).
Es importante mencionar que hay una vinculación estricta entre planes y programas,
avance programático, libro para el maestro de matemáticas, los ficheros y en
especial los libros de texto en sus respectivos ciclos escolares. Para la enseñanza y
aprendizaje de la geometría.
2.6 Naturaleza de los Poliedros
¿Qué es un poliedro?
Un Poliedro son aquellos cuerpos geométricos cerrados, limitados por polígonos. Las
caras del poliedro forman la superficie del poliedro.
Elementos del poliedro:
• Cara: cada uno de los polígonos que lo limitan.
• Arista: la intersección de dos caras.
• Vértice: la intersección de tres o más artistas.
Partiendo de lo que es un poliedro mencionaremos que es el sentido dado por la
geometría clásica al termino, un cuerpo geométrico tridimensional cuyas caras son
planas y encierran un volumen finito. Un una porción de plano limitado por
segmentos rectilíneos, es decir, los sólidos que tienen únicamente caras planas que
costan de vértices y aristas. Se pueden dividir en poliedros regulares e irregulares.
Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde
provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se
distinguen:
40
Convexos, como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cóncavos, como es el caso del toroide facetado y los sólidos de Kepler-Poinsot. Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares. Poliedro de caras uniformes, cuando todas las caras son iguales. Se dice poliedro de aristas uniformes cuando en todas sus aristas se reúnen el mismo número de caras. Se dice poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden. Se dice poliedro regular o regular y uniforme, como el tetraedro o el icosaedro, cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.19
Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro puede estar incluido
en más de uno de ellos. y a otra cosa no mejor no.
Existen dos familias de poliedros: los regulares e irregulares.
Poliedros regulares: se dice que es un poliedro regular, aquel que tiene caras y
ángulos iguales, por ejemplo un cubo o menos conocido cómo hexaedro (seis caras).
El cubo posee seis polígonos con lados iguales con la misma longitud, éstos a su vez
se unen en vértice con ángulos de 90º grados. También eran conocidos
antiguamente y son conocidos aún, cómo Sólidos platónicos. (Figura No 1)
Figura No 1 Sólidos Platónicos
Tetraedro Hexaedro o cubo Octaedro
Dodecaedro Icosaedro
19 MOLINA, A. FERNANDEZ, J. Ma. BARAGÁN, J. M. en: “Poliedros Plutoniano”: http// www.juntadeandalucia.es//.../matemáticas 2005, 20 de Enero del 2010, p. 13
41
Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo
existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el
icosaedro. (Figura No 1)
El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a estos
cuerpos cada uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el
restante, el dodecaedro, a la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio
de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-
Poinsot, que a su vez siguen generando más familias.
Poliedros irregulares:”los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son
poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes, pero no de caras
uniformes. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen
truncando los sólidos platónicos y son once.”20
Los poliedros irregulares se pueden clasificar en: prismas y pirámides
¿Qué es un Prisma? (Figura No 2)
Un Prisma son poliedros que tienen:
• dos caras paralelas; que son polígonos y se llaman bases
• el resto de las caras que son paralelogramos y son las caras laterales.
Clases de prismas.
• Prismas regulares: sus bases son polígonos regulares.
• Prismas irregulares: sus bases son polígonos irregulares.
• Prisma recto: cuando las caras laterales son perpendiculares a la base, son
cuadrados o rectángulos.
• Prisma oblicuo: las caras laterales no son perpendiculares a las bases, las
caras laterales son rombos o romboides.
• Paralelepípedo: es un prisma de seis caras todas ellas paralelogramos 20 Vitutor. “Poliedros regulares”. www.vitutor.net/2/010.html, 29 de Enero del 2010, p. 1-5
42
Figura No 2 Algunos Prismas
Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices, que le
dan el nombre al prisma, y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la
cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se
llama prisma triangular y se compone de dos triángulos y tres paralelogramos; tiene
nueve aristas y seis vértices de orden 3 donde convergen siempre dos
paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prisma decagonal, que se
compone de dos decágonos + diez paralelogramos; tiene 30 aristas y 20 vértices de
orden 3. Los prismas más comunes son los triangulares, cuadrangulares,
pentagonales y el hexagonal
¿Qué es una Pirámide?
Una Pirámide son poliedros que tienen:
• una cara; que es un polígono y se llama base
• el resto de las caras que son triángulo que se unen en un vértice común y son
las caras laterales de la pirámide
Clases de pirámides:
• Pirámide regular: la base es un polígono regular y las caras laterales
triángulos isósceles.
• Pirámide irregular: cuando tiene por base un polígono irregular.
• Pirámide recta: las caras laterales son triángulos isósceles.
43
• Pirámide oblicua: alguna de las caras laterales no es un triángulo isósceles.
• Pirámide convexa: cuando la base es un polígono convexo y pirámide
cóncava cuando la base es un polígono cóncavo.
Una pirámide es un poliedro limitado por un polígono (base de la pirámide) y por
triángulos (caras de la pirámide).
Así pues, si la pirámide tiene de base un triángulo se llamará triangular, un cuadrado,
cuadrangular, un pentágono, pentagonal, un hexágono, hexagonal y un octágono,
octagonal y esta la pirámide cuadrangular truncada etc. (Figura No 3)
Figura No 3 Algunas Pirámides
“El nombre de pirámide se remonta al antigua Egipto, referido a aquellas
construcciones monumentales levantadas a orillas del Nilo más de dos mil años
antes de Cristo para servir de tumba a los reyes”. 21
En el siguiente capítulo se expondrá una experiencia docente de éxito, en la cual se
indicaran las actividades que siguió la profesora en el salón de clase con sus
alumnos, así como las peripecias y dificultades que soluciono para lograr su objetivo
principal.
21 Portal joven, educación secundaria. “Poliedros, prismas y pirámides”: http;//www.estudiantes.inf/matemáticas/geometría/2009, 02 de Febrero del 20010, p. 20
44
CAPÍTULO 3 UNA EXPERIENCIA DOCENTE 3. I Caracterización de la experiencia docente La propuesta curricular, que se deriva de planes y programas 1993, consiste en llevar
a las aulas actividades de estudio que despierten el interés de los alumnos y los
inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de solucionar los problemas y a
formular argumentos que validen los resultados.
El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en
la medida en que los alumnos lo puedan usar, de manera flexible, para resolver
problemas. De ahí que su construcción amerite procesos de estudio más o menos
largos que van de lo informal a lo convencional en términos de lenguaje,
representaciones y procedimientos. La actividad intelectual fundamental en estos
procesos se apoya más en el razonamiento que en la memorización.
Esta propuesta se fundamenta en los avances logrados en la didáctica de la
matemática, mediante los cuales se explica el papel determinante que desempeña el
medio (entendido como la situación o situaciones problemáticas que hacen necesario
el uso de las herramientas matemáticas que se pretenden estudiar), así como en los
procesos que siguen los alumnos para construir nuevos conocimientos y superar las
dificultades que surgen en el proceso de aprendizaje.
A partir de esta propuesta, tanto los alumnos como el maestro se enfrentan a nuevos
retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático y a ideas
diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. No se trata que el maestro
busque las explicaciones más sencillas y amenas para que los alumnos puedan
entender, sino que analice y proponga problemas interesantes, debidamente
articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso
de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces.
45
De la misma manera es importante recordar que el enfoque resolutivo funcional que
maneja esta propuesta en la matemáticas esta vinculada con la idea constructivista
del aprendizaje, en donde la resolución de problemas a partir de sus acciones como
agregar, unir, igualar, quitar, buscar un faltante, sumar repetidamente, repartir, medir,
etc., el niño construye los significados de las operaciones, aumentando
paulatinamente el grado de dificultad a lo largo de los seis grados de primaria.
Los niños elaboran construcciones del mundo que les rodea y de las actividades que
realizan. Uno de los propósitos educativos es que avancen en esas construcciones,
es decir, que éstas vayan siendo más elaboradas para alcanzar mejores niveles de
razonamiento, en el caso especifico de la geometría, se pretende que los alumnos
cubran los niveles de: reconocimiento y visualización, análisis, clasificación y
abstracción deducción y rigor.
Dentro del papel que desempeña el profesor, no basta con transmitir información, en
el salón de clases se produce un cambio radical en él; los alumnos piensan,
comentan, y discuten con interés y el maestro revalora su trabajo docente. Para
lograrlo hay que estar dispuesto a afrontar problemas como:
1. La resistencia de los alumnos a buscar por su cuenta la manera de resolver
problemas que se le plantean
2. La dificultad para leer y, por lo tanto para comprender los enunciados de los
problemas
3. El desinterés por trabajar en equipo
4. La falta de apoyo de los padres de Familia, así como tiempo para conducir las
actividades
5. Espacios insuficientes para compartir experiencias
6. La relación de las matemáticas con otras asignaturas
El arte de medir la tierra desarrollado por los Egipcios (Geometría) le permite al maestro y alumno tener una visión mas amena del aprendizaje matemático, desarrollando las habilidades de comprensión, observación ubicación espacial,
46
medición trazo, manipulación, dibujo y análisis de formas diversas. A través de la formalización paulatina de las relaciones que el niño percibe y de su representación en el plano, se pretende que estructure y enriquezca su manejo e interpretación del espacio y de las formas.21
La geometría en cuarto grado permite introducir de manera concreta a los alumnos a
percibir el espacio en el que transitaran a lo largo de su vida. El diplomado “Las
matemáticas y su enseñanza en la escuela primaria”. Modulo III “La enseñanza de la
geometría en la escuela primaria: un espacio para la creatividad”, del cual sale su
experiencia profesional con el tema “Propuesta para construir poliedros regulares”
permite al profesor ser una alternativa mas para poner en practica sus propias
habilidades de trabajo. Permitiendo que haga uso de todas las herramientas
establecidas. Así como proponga o modifique las ya existentes apoyándose de los
recursos tecnológicos y materiales para dejar en el alumno un aprendizaje
significativo permanente que le sirva como herramienta en su vida cotidiana.
3.2 Finalidad de la experiencia docente Con el tema “Propuesta para construir poliedros regulares”, busco a través del
análisis de la geometría expresado en planes y programas, que el docente ponga en
práctica las estrategias didácticas que favorezcan en el alumno la capacidad de
descubrir, razonar estimar y expresar ideas en lenguaje matemático, a fin de
desarrollar habilidades para la creatividad e imaginación espacial. Así como:
1. Experimentar usos innovadores en el tratamiento didáctico del eje de
geometría a través de material concreto, relacionándolo con contenidos
abordados por los alumnos.
2. Promover el uso y aplicación de ficheros didácticos, así como el diseño de
propuestas que rescaten los principios constructivistas.
3. Asimismo que conozca y analice las ventajas de implementar las actividades
del libro para el maestro y los ficheros.
21| SEP. Op. Cit. SEP. México, 1993, p. 53
47
4. Desarrollar en el niño las habilidades para construir mediante el uso de regla y
compás figuras geométricas, identificando algunos elementos
5. Que el alumno compare figuras con áreas equivalentes aplicadas en las fichas
propuestas al introducirlo en el conocimiento de volumen.
6. Que el alumno desarrolle habilidades propias del pensamiento geométrico y la
construcción del conocimiento a través de observaciones, manipulaciones y
argumentaciones.
7. Que el alumno identifique las propiedades de los poliedros regulares: numero
de vértices, número de aristas, número de caras, forma de las caras y el
número de aristas que incide en cada vértice, a través de su construcción.
8. Que el alumno construya cuerpos geométricos a partir de patrones y armado
de cuerpos geométricos a partir de procedimientos informales.
9. Los alumnos reconozcan el esfuerzo realizado al ver su trabajo terminado y
expuesto.
3.3 Metodología para la clasificación de cuerpos geométricos Recordemos nuestro objeto de estudio ¿De que manera enseñaría cuerpos
geométricos a los alumnos de cuarto grado de primaria?, especialmente poliedros
regulares.
Para ayudar a la comprensión más óptima del estudio de los cuerpos geométricos
bajo los criterios: forma de las caras, numero de caras, número de vértices y número
de aristas. Así como las actividades para introducir la construcción de cuerpos
geométricos (por ejemplo, mediante el trazo de cajas con restricciones), como lo
marca planes y programas 1993, analizó algunas de las lecciones del Libro de Texto
gratuito Cuarto grado, con el fin de resaltar los aspectos que pueden ayudar a
optimizar el estudio de los alumnos sobre la geometría. También se apoyo de
algunas fichas (extraídas de los ficheros de cuarto grado), libro para el maestro,
programas de cómputo y propuestas de construcción informal más atractivas para el
alumno.
48
3. 4 Desarrollo de las actividades de trabajo
3.4.1 Trazo de poliedros regulares a partir de un segmento de recta
El uso del Juego geométrico para realizar un poliedro regular a partir de
un segmento de recta.
Propósito
Que los alumnos aprendan a utilizar las herramientas del juego geométrico para traza
figuras geométricas.
Los alumnos trazaron con regla, compás y escuadra las siguientes figuras:
• Un triangulo isósceles
• Un triangulo escaleno
• Un triangulo equilátero
Material Un día antes se les pidió que trajeran como material un juego geométrico, tijeras y
hojas blancas.
Procedimiento
Se organizo al grupo en equipos de seis. La maestra dibujo en el pizarrón un
segmento de recta y utilizara el compás para realizar un triangulo, los alumnos
siguieron los pasos uno a uno junto con la maestra hasta obtener la figura deseada,
posteriormente se les indica que realicen otras cinco figuras mas con el fin de que
practiquen lo aprendido dando.
Tiempo Para la actividad hora y media en el salón de clases y tarea en casa como ejercicios
de reforzamiento.
49
3.4.2 Ficha 25 “Poliedros regulares “ (4ª grado del fichero para el maestro)
Construcción de una plantilla con triángulos analizando sus características.
Propósito
Que los alumnos construyan plantillas con triángulos para luego analizar sus
características particulares y generales.
Material
Material por cada equipo fue: un pliego de cartoncillo, juego de geometría,
pegamento y tijeras. Se organiza al grupo en equipos de seis alumnos.
Procedimiento Se explica que entre todos construirán algunas figuras troqueladas. La maestra dibuja
en el pizarrón algunos poliedros y explica que se llaman figuras troqueladas porque
tienen pestañas para poder unirlas y construir con ellas algunos poliedros regulares y
otros irregulares. Indica a cada equipo qué figura le toca construir y cuántas debe
hacer cada integrante del equipo. Asimismo, se indican las medidas que deben tener.
Las piezas se guardan y en otra clase organizados en los mismos equipos se les
entrega 1O figuras troqueladas con forma triangular, se explica que cada uno pegará
los triángulos, se explica que cada uno pegará los triángulos que necesite para
construir un tetraedro. Se muestra al grupo un tetraedro para que los alumnos
piensen, antes de pegarlos, cuántos triángulos necesitan y de qué manera los
acomodarán para reproducirlo. Mientras los alumnos realizan la actividad, la maestra
recorre los equipos y les pide que dibujen en su cuaderno cómo quedan unidos los
triángulos para formar la plantilla del tetraedro, después lo arman y lo pegan. Cuando
la mayoría terminen, se pide que uno de ellos muestre a sus compañeros como
unieron cada triángulo. Si otro lo construyo diferente que lo muestre. Se pide que de
la misma manera intenten construir con cuadrados, rectángulos y pentágonos las
plantillas de otros poliedros y en seguida se registran en un cuadro (Cuadro No 1).
50
Por último se exponen los trabajos mencionando sus características y exponen en
plenaria sus diferencias.
Cuadro No 1 CARACTERÍSTICAS DE LOS POLIEDROS REGULARES
CUERPO
FORMAS DE LAS CARAS
NÚMERO DE
CARAS
NÚMERO DE
ARISTAS
NÚMERO DE VÉRTICES
TETRAEDRO
Tiempo Para esta actividad se planearon dos clases en diferentes tiempos.
3.4.3 Ficha 41 “Poliedros II ” (4ª grado del fichero para el maestro) Análisis de las propiedades geométricas de algunos poliedros regulares elaborando
plantillas para su construcción.
Propósito
Que los alumnos analicen las propiedades geométricas de algunos poliedros y
elaboran plantillas para construirlos.
Material
Figuras troqueladas que hicieron en la ficha 25, el juego de geometría, tijeras y
pegamento.
Procedimiento Se organiza al grupo en equipos de seis. A cada equipo se entregan diez figuras
geométricas de cada una de las figuras que hicieron en la ficha 25. Se pide que
elaboren con las figuras troquelas cuatro plantillas de poliedros diferentes al tetraedro.
Conforme vayan pegando las figuras las dibujaran en su cuaderno para tener los
51
patrones.(Figura No 4) Finalmente unen las pestañas que faltan para terminar de
armarlos. Cuando terminan se plantean las siguientes preguntas:
¿Qué figuras usaron para construir cada poliedro regular?
¿Qué caras tienen cada poliedro regular?
¿Cómo se llaman los poliedros que construyeron?
En otra clase, y organizados en los mismos equipos, se pide que registren en una
tabla como la que se muestra (cuadro No 1), las características de todos los poliedros
que construyeron en las clases anteriores. Cuando terminan, los equipos muestran
sus poliedros y explican las características de cada uno. Los demás equipos dicen si
están de acuerdo o no. Si no están de acuerdo explican por qué. (Cuadro No 2)
Cuadro No 2 TABLA DE REGISTRO DE CARACTERÍSTICAS DE POLIEDROS REGULARES
POLIEDROS
FORMAS DE LAS CARAS
NÚMERO DE
CARAS
NÚMERO DE ARISTAS O
LIGAS
NÚMERO DE VÉRTICES
CUBO
O HEXAEDRO
CUADRADRA
6
12
8
TETRAEDRO
TRIANGULAR
4
6
4
OCTAEDRO
TRIANGULAR
8
12
6
ICOSAEDRO
TRIANGULAR
20
30
12
DODECAEDRO
PENTAGONAL
12
30
20
52
Figura No 4 PLANTILLAS TROQUELADAS DE POLIEDROS REGULARES
Tiempo
Se tomara una clase por cuerpo geométrico, aproximadamente entre cuatro y cinco
días...
53
3.4.4 Las actividades marcadas en el libro de texto relacionadas al volumen y las características de los poliedros
Se realizaron cuatro lecciones de los poliedros:
Fotografía No 2 Alumnos de 4° construyendo cubos
1. Lección 33. “CASAS DE DIFERENTES PAISES” Pág. (74-75) en donde se
analizaron las características y clasificación de algunos sólidos a partir de
casas con forma de sólidos, utilizando el material recortable 6 (página 201)
pegarlos según las características que piden.
2. Lección 48. “REPRESENTAMOS POLIEDROS” Pág. (106-107) en donde se
analizaron la clasificación de algunos poliedros mediante el análisis de sus
características, registro de la información y construcción de poliedros, dadas
algunas características. En esta actividad se utilizaron palillos o popotes
chicos y grandes y plastilina. Se muestran seis poliedros de muestra y los
niños formaran unos iguales con el material mencionado y después
54
encontraron y escribieron el número de caras, aristas y vértices de cada
poliedro.
3. Lección 67. “CUBOS Y CONSTRUCCIONES” Pág. (146 - 147) en donde se
analizo la construcción de cubos, con diferentes procedimientos y la noción de
volumen, utilizando material recortable 12 (página 201), construyeron diversas
plantillas para llegar a formar un cubo. (Fotografía No 2)
4. Lección 84. “CONSTRUIMOS POLIEDROS” Pág.(182-183) donde se analizó
la descripción, análisis y construcción de algunos prismas y pirámides con
características específicas y la elaboración de plantillas, para la construcción
de prismas y pirámides., utilizando material recortable 18, tratara de armar un
poliedro y llegara a una conclusión, de igual manera basado en sus
conocimientos previos encontrando las plantillas correctas para armar algunos
poliedros en prismas o pirámides.
Los tiempos son de hora y media por cada lección una por semana según el
orden del horario de trabajo.
3.4.5 El programa PUEMAC de computación que se utiliza en enciclomedia para contar cubos llamado Cubícula.
Este programa se utiliza en enciclopedia en el salón de computación, en él se
realizan figuras apilando cubos, tiene la peculiaridad de que se pueden utilizar las
operaciones básicas y las figuras se pueden abrir en forma de plantilla para poder
contar por cuadrito los perímetros y áreas.
Propósito Que los alumnos hagan uso de las TIC´S , utilizando el programa PUEMAC para
reafirmar los contenidos de volumen en los poliedros regulares.
55
Material Una computadora por niño
Programa PUEMAC (Cubícula), cubos
Cuaderno y lápiz
Procedimiento
Se pidió a los alumnos que primero formaran algunas figuras apilando o añadiendo
cubo por cubo, luego el programa te pide la cantidad de cubos basado en una suma,
resta o multiplicación, los alumnos practicaron estos juegos, por último después de
diseñar su figura le encontraran, el perímetro, área y volumen al abrirla como plantilla.
La maestra les pidió que dibujaran cinco figuras en su cuaderno describiendo sus
características. (Fotografía 3)
Tiempo La actividad se llevo a cabo en una hora y media
Fotografía No 3 Alumnos de cuarto grado en el salón de cómputo con el programa PUEMAC
(Cubícula), apilando con cubos
56
3.4.6 La construcción de poliedros regulares a partir de la papiroflexia Partiendo de la cantidad de caras de cada poliedro regular armaron las cinco que se
muestran en la figura No 4.
Figura No 4 POLIEDROS REGULARES EN PAPIROFLEXIA
HEXAEDRO O CUBO OCTAEDRO
TETRAEDRO ICOSAEDRO
DODECAEDRO
57
Propósitos Que los alumnos aprendan a doblar y armar los cinco poliedros regulares.
Material
Hojas de colores.
Procedimiento
Los alumnos cortaron las diez hojas en un cuadrado perfecto, cuando estos están
listos. La maestra les va indicando los dobleces para construir un cubo y luego un
tetraedro. Para las siguientes figuras se dejara como tarea que traigan sus hojas
cortadas a un cuadrado perfecto y se les indicara el dobles para cada figura que falta,
en la última clase se dedicaran a armar las figuras que faltan. Al final aran una
exposición de su trabajo comentándolo en plenaria.
Tiempo La actividad es realizada en tres clases de hora y media cada una con sus dificultades
de doblado.
3.4.7 El uso de material didáctico de la biblioteca para armar poliedros regulares
Los alumnos son trasladados a la biblioteca en su hora asignada para trabajar con
material concreto. (Fotografía No 4)
Propósito Que los alumnos manipulen el material concreto y armen los poliedros regulares que
ya conocen.
Material Material concreto de poliedros.
58
Procedimiento
Los alumnos son agrupados en equipos de seis se les reparten las figuras para que
ellos armen poliedros basados en cuadrados, triángulos (isósceles, equiláteros y
escalenos), rectángulos, pentágonos, y hexágonos cada equipo entregara en una
hora cinco figura bien armadas y después comentaran en plenaria las características
de cada poliedro.
Tiempo
Una clase de hora y media.
Fotografía No 4 Aula de biblioteca con material armable
59
3.4.8 La construcción de cinco poliedros regulares a partir de plantillas individuales hechas con fólderes de colores fluorescentes y ligas para el pelo
En esta actividad se construyen los poliedros regulares recortando y uniendo las
caras, a partir de las pestañas con ligas para resaltar la forma, así como el número
de aristas de cada una.
Propósito
Que los alumnos hagan uso de sus habilidades adquiridas con las actividades
anteriores y culminen armando sus cinco poliedros regulares portátiles a través de la
unión de ligas.
Materia Cinco fólder fluorescentes
Tijeras
Ligas
Procedimiento
Se hacen equipos de seis indicando a cada equipo por cual poliedro comenzara a
construir. Para mayor facilidad se trazan las caras de cada uno de los poliedros
utilizando las plantillas hechas en las fichas 25 y 41. Cada uno trazo y corto la
cantidad de caras de acuerdo al poliedro que construyó respetando las pestañas de
las caras por todos sus lados. Luego armaron cada poliedro utilizando las ligas para
unir las caras. Al termino los alumnos comentaron que les pareció la actividad y las
características de cada poliedro. (Fotografías 5 y 6)
Tiempo Para esta actividad el tiempo fue de hora y media por dos clases.
60
Fotografía No 5 los alumnos construyendo poliedros regulares con ligas.
Fotografía No 6 La profesora con algunos poliedros terminados.
61
3.4.9 La Construcción de poliedros, con plantillas troqueladas gigantes para uso de caja de regalo
“Un regalo para Papá”. En esta actividad los alumnos construyeron una caja para
regalo del tamaño de una cartulina, realizándola con plantillas gigantes de los
poliedros regulares que ya conocen.
Proposito
Que los alumnos se enfrente a dilema de realizar los mismos poliedros regulares pero
a tamaño gigante y dándole una utilidad de acuerdo a la festividad del día del padre.
Materiales
De dos a tres cartulinas fluorescente o color pastel
Tijeras
Silicón
Adornos varios
Plumones y pinturas
Procedimientos
La maestra les muestra a los alumnos las mismas plantillas que ellos aprendieron
hacer, pero de tamaño gigante (tamaño de una cartulina), luego entonces se realiza
una copia sobre la cartulina, recortaron luego adornaran y diseñaran a su gusto para
luego doblar y posteriormente armar dejando una cara sin pegamento para que esta
sirviera de tapa. (Fotografías 7 y 8)
Tiempo
La actividad se lleva a cabo en dos clases de hora y media.
62
Fotografía No 7 Parte del proceso de elaboración de los poliedros regulares gigantes como cajas
de regalo
Fotografía No 8 Algunas de las cajas de regalo terminadas y plantillas
63
3.5 Evaluación de la propuesta Con estas actividades se desarrollo en el niño la habilidad en el manejo de diferentes
instrumentos de geometría, en el trazo y construcción de figuras y cuerpos
geométricos y la capacidad para analizar y clasificar figuras y cuerpos geométricos,
con base en características específicas.
Fueron tan agradables estas actividades que los alumnos y la profesora quedaron
muy contentos, pues al parecer los alumnos no habían utilizado el juego geométrico
como lo utilizaron:
• Aprendieron a utilizar el compás adecuadamente, al realizar las plantillas
troqueladas (pestañas) se ponían muy contentos al sentir en sus manos el
sólido terminado.
• Al construir con ligas y colores fluorescentes fueron más atractivos para ellos.
• Luego al realizarlos gigantescos y darles una utilidad como caja de regalo fue
más satisfactorio.
• Al utilizar el programa PUEMAC en cubícula de enciclomedia les encanto, pues
son muy diestros manejando la computadora.
• Los poliedros para armar que utilizaron del material de la biblioteca (material
concreto) les encanto, fue muy agradable verlos armando y apoyándose entre
ellos.
• La papiroflexia un punto más para su creatividad, aunque a unos se les facilita
más que a otros pues estos eran apoyados por los demás para terminar su
actividad.
El trabajo colaborativo se hizo presente en todas las actividades.
No sin mencionar que tuvieron algunos tropiezos como:
64
• Al ponerse de acuerdo en la designación de los equipos por que la profesora
los conformo a su criterio y algunos no era muy bien aceptados en los equipos,
sin embargo trabajaron de igual manera ayudándose entre si.
• También los juegos geométricos de baja calidad eran un problema, ya que las
reglas no tenían bien impresos los números y algunas estaban chuecas.
• Los compás no eran de precisión y ello perjudicaba las medidas exactas para
el trazo.
• La falta de práctica para recortar figuras pequeñas pues recortaban chueco y
mordido.
• En algunos casos no traían su material completo y esto los atrasaba hasta que
alguien les prestaba material para terminar su trabajo.
• En el caso del programa de enciclomedia les falto tiempo para seguir
indagando el programa.
• Por último la frustración de algunos niños al comparar su trabajo con el de sus
compañeros al ver que era menos bueno.
Pero al final se cumplió el objetivo: aprendieron a construir figuras y cuerpos
geométricos, con base en características específicas, así como a identificar las
características de cada poliedro regular basado en sus caras, vértices y aristas.
Al analizar estas circunstancias podría mejorarse algunas cosas como:
1. Trabajar cada actividad en más de un día.
2. Debió indagar con actividades previas que tanto sabían sobre los
conocimientos previos al uso del compás y tijeras,
3. Adelantar algunas actividades, dejándolas como tarea apoyándose en
instrucciones gráficas en copias.
4. Tomar en cuenta los tiempos para cada actividad.
5. Analizar los espacios de trabajo
6. Así como el tipo de mobiliario para trabajar
65
Con estas actividades se da cuenta que los alumnos ponían más atención a lo que les
interesaba, porque cuando se trataba de trabajar en el libro de texto, les parecía más
tedioso y aburrido, en cambio al trabajar con los materiales con un fin especifico las
expresiones de euforia se hacían presente.
Se puede entender que si, efectivamente la experiencia profesional cumplió el
objetivo, pero al dedicarle más tiempo a las actividades, se resta importancia a las
otras asignaturas por que el factor tiempo lo decide todo.
Estas actividades tuvieron un impacto favorable en los alumnos de cuarto grado, pero
no nada más a nivel grupal se noto el desempeño. Los profesores y alumnos en
general estaban pendientes de los avances de los trabajos del grupo, ya que se noto
a simple vista lo contentos que se encontraban con sus productos terminados.
Si la profesora continua en el mismo grado debe tomar en cuenta lo antes
mencionado e ir modificando los tropiezos y extraer la parte medular de las
actividades.
66
CONCLUSIONES Es importante mencionar que esta experiencia profesional fue recopilada por nuestra
profesora como un reto para ella misma, ya que como bien se sabe el estudio de las
matemáticas no es un proceso muy fácil de entender. Dentro de su práctica docente
decide tomar un diplomado “Las matemáticas y su enseñanza en la escuela primaria”
que le permite enfrentarse a sus miedos al introducirse en ese mundo tan complejo
para ella. Al cabo de ello pone en práctica lo aprendido modificando o adecuando lo
establecido para poder enseñarles a sus 39 alumnos de cuarto grado de la escuela
federalizada “Leona Vicario” turno matutino del ciclo escolar 2007 – 2008 lo bonito
que es aprender algo cuando se encuentran motivos con los recursos humanos,
materiales y tecnológicos.
Al analizar que tema escogería para poner en práctica con sus alumnos, decide que
la clasificación de los cuerpos geométricos como: los poliedros regulares basados en
su forma, número de caras, aristas y vértices le serian útiles para aclarar, completar y
enseñar lo que es el volumen. Ya que regularmente los temas de perímetro y área
son complicados para los niños, consideró que tendría utilizar algunas actividades
didácticas para que comprendieran el espacio que ocupan los cuerpos sólidos en el
espacio.
Cierto es que se basó en algunas fichas, en lecciones del libro de texto, pero
manipular materiales concretos para la profesora y sus alumnos fue una experiencia
muy agradable, pues los alumnos vienen de años anteriores acostumbrados a ser
dirigidas todas sus actividades, y con las actividades de construcción de plantillas el
aprendizaje iba dirigido a descubrir la plantilla correcta para formar su poliedro
regular que les indicaban en ese momento. El entusiasmo se apodero de ellos, los
materiales de armado que se obtuvieron de biblioteca los convencía más de que el
tema les gustaba y al reforzarlo con el programa PUEMAC – Cubícula en donde se
ponía a prueba sus conocimientos de perímetro, área y volumen superamos el reto
ya que son alumnos que tienen una hora de computación a la semana, el manipular
67
la máquina no fue difícil y menos el programa, se divirtieron y aprendieron mucho.
Superamos el reto cuando se les puso a prueba exponiendo sus fibras sentimentales
al construir con cartulinas fluorescentes una caja que serviría para guardar un regalo
para Papá. Todos sin excepción alguna construyeron por lo menos de dos a tres
modelos de poliedros regulares gigantes.
Nunca habían trabajado la construcción de poliedros regulares armados con ligas
para el pelo y folders fluorescentes, a la profesora le pareció que esta actividad
propuesta en su diplomado era muy atractiva y así lo fue, pues hasta para los
compañeros profesores era algo novedoso y algunos lo pusieron a prueba con sus
alumnos, obteniendo los mismos resultados satisfactorios.
La actividad con hojas de colores realizando en Papiroflexia resulto muy agradable
para ellos pues ya sabían que tenían que realizar. Por la complicación del armado
sólo realizaron dos poliedros, el cubo y el tetraedro por que los demás resultaban
más complicados, no en el doblado sino en el armado
Sabemos que en el transcurso de sus actividades la maestra tomo evidencias
fotográficas, por sugerencia del mismo diplomado y que tuvo algunos problemas
menores pero fueron superados en su momento. Estos deben ser tomados en cuenta
paraqué posteriormente no se repitan.
Esta experiencia profesional se debe catalogar como una experiencia exitosa para la
profesora, alumnos y compañeros docentes que se atrevieron a ponerla en práctica
dejando a un lado la importancia de los tiempos y el cumplimiento del temario, Las
prisas por entregar evaluaciones, etc.
Invitamos a que sin miedo lo intentes profesor(a), no te arrepentirás, es algo que se
queda en la memoria de todos aquellos que se atrevan hacerlo.
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BIBLIOGRAFÍA
DELORS. Jaques. La educación encierra un tesoro, Correo de la UNESCO, 1996, Pp. 180 GASSO,Gimeno, Anna, La educación infantil, Métodos, técnicas y organización. España, CEAC, 2001, Pp. 271 H, COHEN, Dorotthy. Cómo aprenden los niños. México, SEP/FCE, 2001, Pp. 379 RAMSA. Álbum de cuerpos geométricos, México, RAMSA,2007, Pp. 20 SEGOB. Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, México, CSD/PRI, 198, Pp. 121 SEP. Acuerdo Nacional para la Modernización Básic,. México, SEP/GF., 1992, Pp. 300 ____. Antología. Diplomado Las Matemáticas y su enseñanza en la escuela primaria, México, SEP/SOCIEDAD MATEMÁTICA MEXICANA/GOBIERNO DELESTADO/OPERACIÓN MATEMÁTICA, 2007, Pp. 100 ____. Avance programático 4° año de la escuela primaria, México, SEP, 2005, Pp. 125 ____. Competencias para Preescolar, Primaria y Secundaria, México, SEP, 1994, Pp. 130 ____. Fichero de actividades Matemáticas 4° año de la escuela primaria, México, SEP, 2005, Pp. 100 ____. La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, México, SEP, 2005, Pp. 191 ____. Ley General de Educación, México, SEP, 2005, Pp. 94
69
____. Libro de texto Matemáticas 4° año de la escuela primaria, México, SEP, 2007, Pp. 2007 ____. Libro para el maestro Matemáticas 4° año de la escuela primaria, México, SEP, 2005, Pp. 54 ____. Plan y programa de estudio. Educación Básica, México, SEP, 1993, Pp. 164 ____. Programa de Desarrollo educativo. México, SEP/GF, 2007-2012, Pp.185 UPN. A.P.M.E.P. adaptado “La geometría en la enseñanza elemental”, en: Construcción del conocimiento matemático en la escuela, Antología Básica LE’94, México, 1994, Pp. 151 ____ COLL. César. Constructivismo e Intervención Educativa: ¿Cómo Enseñar lo que se ha de Construir?, en: Corrientes Pedagógicas Contemporáneas, Antología básica, LE’94, UPN, México, Plan 1991, Pp. 166 ____. JOAO B. Araujo y Clifton B. Chadwick”. La Teoría de Piaget”, en: El niño: desarrollo y proceso de construcción del conocimiento, Antología básica LE’94, México, 1988, p. 157 ____. ORTON, Anthony, “¿Pueden los alumnos descubrir las matemáticas por sí mismos?, en: Los problemas matemáticos en la escuela. Antología Básica LE’94. México, 1990. Pp. 182 MOLINA, A. FERNÁNDEZ, J. Ma. BARAGÁN, J. M. en: “Poliedros Plutoniano”: http// www.juntadeandalucia.es//.../matemáticas 2005, 20 de Enero del 2010, Pp. 13 Portal joven, educación secundaria. “Poliedros, prismas y pirámides”: http;//www.estudiantes.inf/matemáticas/geometría/2009, 02 de Febrero del 2010, Pp. 45 Vitutor.“Poliedro regulares”:www.vitutor.net/2/010.html, 29 de Enero del 2010, Pp. 5
