LA PROGRAMMATION LINEAIRE

PROGRAMMATION LINEAIRE

1.GNRALITS

La programmation linaire est un procd mathmatique qui consiste optimiser un critre appel Fonction conomique en respectant un certain nombre de contraintes.

Optimiser signifie:

Maximiser sil sagit dun chiffre daffaires, dune marge de production, dun nombre de clients visiter

Minimiser sil sagit dun cot de production, de revient, dun budget de trsorerie,

2. MODLISATION DU PROBLEME

Il faut exprimer la fonction conomique optimiser:

Dfinir les inconnues

Exprimer les contraintes par rapport ces inconnues.

On obtient un programme rsoudre.

2.1 Fonction optimiser

Prenons un exemple:

La capacit de production de lentreprise DUPONT est actuellement limite. Les capacits disponibles maximales sont de:

- 27 500 heures de marche pour la chane de latelier 1,

- 31 900 heures de marches pour la chane de latelier 2.

Il faut en moyenne:

- Produit A: 0,15 heures de marche pour la chane de latelier 1 et 0,14 heures de marche pour la chane de latelier 2.

- Produit B: 0,10 heures de marche pour la chane de latelier 1 et 0,20 heures de marche pour la chane de latelier 2.

Les marges sur cots variables sont de 20, 00 F unitaires pour le produit A et 16 00 F pour le produit B.

Les prix de vente unitaires sont de 60, 00 F pour le produit A et 57, 00 F pour le produit B.

Lcoulement sur le march est au plus de 100 000 produits B.La fabrication du produit A ncessite un matriel spcifique qui la limite 160 000 produits.

Dterminer le programme qui permet de maximiser la rentabilit.

a) Quelles sont les inconnues?

Cest le nombre de produits A et le nombre de produits B produire et vendre pour maximiser la rentabilit.

Soit x le nombre de produits A

Soit y le nombre de produits B

b) Quelle est la fonction maximiser?

Pour maximiser la rentabilit lentreprise Dupont doit maximiser la M/CV:

M/CV = M/CVA + M/CVBIci: M/CVA= 20 x; la M/CVB = 16 y

La Fonction conomique maximiser est donc FE: 20 x + 16 y

2.2.Modlisation des contraintes:

Il sagit maintenant dexprimer les contraintes de lentreprise Dupont en fonction des deux inconnues prcdemment dfinies.

contraintes de production:

atelier 1 0,15x+0,1y ( 27 500

atelier 2 ( 0,14x+0,2y ( 31 900

matriel spcifique ( x 160 000

contraintes commerciales:

coulement ( y ( 100 000

En groupant toutes les donnes on obtient:

Lorsque le programme est ainsi prsent laide dinquations on dit que sa forme est CANONIQUE

3. RSOLUTION GRAPHIQUE

Lensemble des donnes du problme est traduit graphiquement dans un plan rapport deux axes correspondant chacune des variables (x et y). La dmarche peut tre dcompose en deux tapes:

recherche de lensemble des solutions possibles, cest dire des combinaisons de fabrication de produits A et B que lon peut mettre en uvre, en respectant les contraintes

dtermination de la meilleure de ces solutions.

3.1. Ensemble des combinaisons possibles:

Pour chacune des contraintes on doit carter les combinaisons qui ne la respectent pas.

Prenons par exemple: la contrainte atelier 1: 0,15x+0,10y(27500

On doit liminer les couples (x,y) tels que 0,15x+0,10y>27500

Pour les visualiser, on trace la droite D1:0,15x+0,10y=27500 qui passe par les points (0,27500) et (10000,260000).

Cette droite partage le plan en deux parties I et II.

Le point (0,0), qui appartient au demi-plan I, vrifie t-il lquation?:

0,15*0+0,1*0 = 0

0 < 27500 donc I est le demi-plan solution.

En procdant ainsi pour chaque contrainte on obtient une ZONE DACCEPTABILIT regroupant lensemble des combinaisons possibles.

3.2. Recherche de la combinaison optimale:

3.2.1.Recherche graphique:

La marge apporte par une combinaison (x,y) est dtermine par la fonction conomique FE= 20x+16y

Tous les couples (x,y) apportant une mme marge FE vrifient:

FE= 20x+16y ou y=-1,25x+FE/16

Si FE = 0

Ils sont reprsents par la droite (0 qui coupe laxe des ordonnes au point (0,0) et passe par le point

(10000,-12500).

Toutes les droites (FE sont parallles entre elles, pour trouver loptimum il faut se dplacer paralllement la droite (0 dans le sens de la flche, FE/16 augmente donc FE augmente. Plus FE augmente plus les couples reprsents par les points de la droite dgagent une marge importante.

Loptimum correspond au point de la zone dacceptabilit situ sur la droite (FE la plus loin de lorigine dans le sens de la flche.

Le point recherch est le point par lequel on sort de la zone dacceptabilit.

Remarques:

Sil sagissait dune minimisation: mme procd mais le point solution serait celui par lequel on entre dans la zone dacceptabilit.

3.2.2. Rsolution algbrique:

On constate que lon peut hsiter entre les points C, D, et E: dans ce cas il faut calculer les coordonnes de ces points, puis calculer FE en chacun deux.

a) Calcul des coordonnes

De C: C appartient D1 et D2: rsolution du systme

0,14x+0,2y=31900

0,15x+0,1y=27500

C(144 375; 58 437,5) on constate que y nest pas entier. Le point entier, le plus proche, appartenant la zone dacceptabilit est (144 375,58 437)

De D: D appartient D3 et D1: rsolution du systme

x=160 000

0,15x+0,1y=27500

D(160 000; 35 000)

De E: E appartient laxe des x et D3:

x=160 000; y = 0

E(160 000; 0)

b) calcul en FE:

SommetsCoordonnesFE

C144 37558 4373 822 492

D160 00035 0003 760 000

E160 00003 200 000

C est donc solution

Il est possible de rsoudre le systme en utilisant le solveur dExcel:

MODE OPRATOIRE DUTILISATION DU SOLVEUR

Prenons notre exercice pour exemple:

1. La premire phase consiste saisir les donnes du problme, et nommer les cellules o sinscriront les rsultats:

2. Ensuite on saisit les diffrentes contraintes:

cran tel quil apparat :

Formules introduites et non visibles l'cran:

3. Introduction de la fonction maximiser:

La formule cache en B19 est =20*X+16*Y

4. utilisation du solveur: menu: Outils/solveur

La cellule cible maximiser est B19, celle qui contient la formule de la Fonction conomique.

Les cellules variables sont celles qui contiennent X et Y soit: C4 et C5

Il faut ensuite numrer les contraintes et faire rsoudre.

Les flches rouges permettent un basculement de la bote de dialogue vers lcran o les cellules sont slectionner.

Dans la rubrique Options

Choisir: modle suppos linaire et non-ngatif

Cliquer sur OK vous permet de revenir la boite de prcdente, vous choisissez alors Rsoudre

Slectionner rponses, sensibilit et limites

Voici les rponses qui saffichent lcran:

Comme X et Y sont entiers seul le rapport des rponses est gnr.

Le nombre de produits A est 144 376, de produits B 58 436 soit un rsultat proche une unit prs de la rsolution manuelle.

Programmation linaire page 8

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