La quantizzazione del campo elettromagnetico

Salice TermeSalice Terme

29.11.2004 – 4.12.200429.11.2004 – 4.12.2004

Il campo elettromagnetico classico

Equazioni di Maxwell nel vuoto

(sistema di Gauss)

4 E

01

t

B

cE

0 B

Jct

E

cB

41

Equazioni di collegamento

AB

Sostituendo nella 01

t

B

cE

01

t

A

cE

Poiché 0

t

A

cE

1

t

A

cE

1

Libertà di gauge

AAA

'

tc

1

'

La divergenza di A

è arbitraria:

01

tc

A

(condizione di Lorentz)

Trascrizione in forma quadridimensionale

L’invarianza della carica elettrica ci dà subito un risultato.

Partiamo dalla definizione di densità σ di carica:

dVdq

Moltiplichiamo membro a membro per dx :

dt

dxdVdtdVdxdqdx

dt

dx sono le componenti di un quadrivettore

Equazioni per i potenziali

412

Atc

Jctc

At

A

cA

4112

2

2

2

Nel gauge di Lorentz

02

2

2 44

1J

ctc

Jc

At

A

c

41 2

2

2

2

0

0

0

0

xyz

xzy

yzx

zyx

BBE

BBE

BBE

EEE

F

Introdotto il tensore del campo elettromagnetico

(matrice rappresentativa delle sue componenti covarianti F )

le equazioni di collegamento

AB

t

A

cE

1

si compendiano nelle:

AAx

A

x

AF

Le equazioni di Maxwell non omogenee

4 E

Jct

E

cB

41

nelle

j

cF

4 ),( Jcj

0

0

0

0

xyz

xzy

yzx

zyx

BBE

BBE

BBE

EEE

F

matrice rappresentativadelle componenti controvarianti deltensore

Le equazioni di Maxwell omogenee

0, F

dove il simbolo [ ] significa antisimmetrizazione sui treindici, e la virgola derivazione rispetto a

x

0)(!3

1 FFFFFF

0 FFF

La condizione di Lorentz

01

tc

A

0 A

Le trasformazioni di gauge

AAA

'tc

1

'

AAA '

Le equazioni per potenziali

412

Atc

Jctc

At

A

cA

4112

2

2

2

Nel gauge di Lorentz

jc

At

A

c

41 2

2

2

2

Formalismo lagrangiano

Si considera il campo elettromagnetico, eventualmente in interazione con cariche e correnti, come un sistema dinamico, al quale si farà corrispondere una lagrangiana.

Le coordinate generalizzate q(t) sono sostituite da variabili di campofunzioni dell’evento x.

Nel caso del campo elettromagnetico si candidano a costituire taleinsieme di variabili le componenti del quadripotenziale. Quanto alle velocità generalizzate, esse sono sostituite dai quadri-gradienti delle variabili di campo:

)()( xAtqi

A

Ltqi

)(

La quantità

xLdS 4

dove L è in effetti una densità lagrangiana prende il nome di integrale d’azione

Le equazioni del campo si possono ottenere dal principiovariazionale

0 SAssumendo che la lagrangiana dipenda dalle variabili di campo e dalle loro variabili coniugate si ottengono le equazioni di Lagrange

0)/(

A

L

xA

L

x

Le equazioni per il campo elettromagnetico devono essere gauge-invarianti. La densità lagrangiana deve dunque dipendere solo dal tensore di Faraday-Maxwell.

Questo tensore ha due invarianti:

22

BEFF

BEFF

D’altra parte, se si vogliono equazioni di campo lineari, la densitàlagrangiana deve essere una funzione quadratica delle funzioni di campo. Si fissa allora la L come:

FFL

4

1

Le equazioni di campo non omogenee

Aj

si ottengono da questa densità lagrangiana cui si è aggiunto un termine d’interazione della forma

j

cF

4

È il formalismo lagrangiano che quello che rende possibile l’introduzione di variabili canonicamente coniugate suscettibili di essere sottoposte a regole di quantizzazione.

Ritorniamo alla lagrangiana FFL

4

1

)( )(

AAAA

Si vede allora che la variabile canonicamente coniugata ad 0A

)( 0A

L si annulla identicamente. Questa circostanza crea

ovviamente problemi, sui quali torneremo.

Quanto detto a proposito delle variabili canoniche in vista dellaquantizzazione ci obbliga a riscriverla in termini delle componenti del quadri-potenziale. Essa diventa allora, a parte fattori costanti:

Di qui in avanti si considererà un campo elettromagnetico libero,cioè non soggetto ad interazioni con la materia carica.

Di più, lo si considererà descritto dalle componenti del quadri-potenziale, che obbedisce alle equazioni

01 2

2

2

2

At

A

c

0 A

Un po’ di storia

Jordan, Dirac, Heisenberg e PauliJordan, Dirac, Heisenberg e Pauli

Silvan S. Schweber, QED and the Men Who Made It:Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga,Princeton University Press, 1994

M. Cini, “Fermi e l’elettrodinamica quantistica”, in: CONOSCERE FERMI nel centenario della nascita –-29 settembre 1901-2001, a cura di C. Bernardini e -Luisa Bonolis,Edizioni scientifiche SIF, 2002

Tian Yu Cao, Conceptual Developments of 20th Century Field Theories, Cambridge University Press, 1997

Facciamo entrare in campo il primo importante autore nella storia della teoria quantistica dei campi: Pascual Jordan.

Per Jordan si trattava di “spiegare le proprietà corpuscolari del campo elettromagnetico (l’esistenza dei fotoni) e delle sue interazioni con le particelle elettricamente cariche della materia, introducendo i principi della meccanica quantistica nella sua descrizione classica fornita dalle equazioni di Maxwell”. (Cini, op. cit., p. 128)

Già nel lavoro del 1925 con Born si affermava che i campi elettrici e magnetici dovevano essere riguardati come variabili dinamiche, rappresentati da matrici, e soggetti a regole diquantizzazione.

Poco dopo usciva il cosiddetto “Dreimännerarbeit”, di Born, Heisenberg e Jordan (Zeitschrift für Physik 35, 557, 1925), nel quale la meccanica delle matrici riceveva una sistemazione complessiva.

L’ultimo capitolo del lavoro si deve a Jordan.

Egli riprese in esame la formula einsteiniana per il valor mediodelle fluttuazioni energetiche di radiazione elettromagneticadescritta dalla legge di Planck

dc

EEhE

32

22

/8

e mostrò che poteva essere derivata partendo dalla descrizione della radiazione di cavità come un insieme di oscillatori armoniciindipendenti, imponendo la condizione di quantizzazione

Iipqqp

In esso Jordan si ripromise di mostrare che “la soluzione dellatormentosa questione dei quanti di luce di Einstein poteva ottenersi applicando la meccanica quantistica allo stesso campo di Maxwell”.

Cao (op. cit., p. 158 e segg.) traccia una distinzione fra due possibili accezioni del termine:

1)la quantizzazione dell’energia del campo, o, più in generale,del moto meccanico del campo, una quantizzazione simile a quella del moto meccanico delle particelle di cui si occupa la meccanica quantistica

2)la quantizzazione del campo come un’entità sostanziale

e conclude che Jordan aveva provato che erano quantizzati gli stati energetici del campo, ma che questo non aveva niente a che fare con la quantizzazione del campo elettromagnetico.

Nel 1927 entra in gioco il secondo degli autori che vogliamo prendere in considerazione, P.A.M. Dirac, con l’articolo“The quantum theory of emission and absorption of radiation”,Proceedings of the Royal Society, A114, 242-265.

Esso è considerato da vari autori l’articolo germinale per la nascita della teoria quantistica dei campi, la ragione essenziale essendo che avrebbe introdotto la cosiddetta seconda quantizzazione. Dirac avrebbe cioè quantizzato la funzione d’onda di Schrödinger – già di per sé un oggetto quantistico – mostrando che in questo modo all’onda risultavano associati dei corpuscoli: i quanti del campo.

Questo punto di vista fu espresso da Gregor Wentzel in una sua ricostruzione della storia della teoria quantistica dei campi finoal 1947.

In secondo luogo, Dirac non parte dalla considerazione di un(quale che sia) campo d’onda: egli considera invece in partenza un sistema di N particelle non interagenti, che poi mostrerà potersiinterpretare, sotto un’opportuna ipotesi, come un insieme di quanti di luce.

Lo stesso Jordan ne diede questa lettura, giungendo perfino a confondere fra il campo che lui aveva (o no) quantizzato conl’onda di Schrödinger. Una lettura circostanziata dell’articolo non conferma questa interpretazione.

Per cominciare, non c’è alcuna confusione fra i due campi d’onda.“In primo luogo – scrive Dirac – l’onda luminosa è sempre reale,mentre l’onda di de Broglie associata con un quanto di luce ...deve comportare un esponenziale immaginario. Una differenza anche più importante è che le loro intensità devono essere interpretatein modi diversi”.

Cao (op. cit, p. 162) insiste sul fatto che neanche il procedimento di Dirac può essere descritto come una quantizzazione del campo elettromagnetico. Ciò, in primo luogo, perché non c’è alcun campo reale, in secondo luogo perché non c’è alcuna quantizzazione di un campo d’onda.

Altro aspetto da sottolineare è che, in riferimento al dualismo onda-particella per la radiazione elettromagnetica, Dirac, nel corso dell’articolo privilegia l’aspetto corpuscolare: suo punto di partenza è un insieme di quanti di luce.

Tuttavia, come scrive fino dall’Introduzione, suo intento è dimostrare che “c’è una perfetta armonia fra le descrizioni delleinterazioni in termini ondulatori o di quanti di luce”.

Nel settimo e ultimo paragrafo dell’articolo Dirac – si potrebbe dire rivoltando le carte in tavola – considera un atomo, trattato fin dall’inizio quanto-meccanicamente, soggetto all’azione perturbatricedi un campo elettromagnetico, inizialmente concepito come campo classico. Il punto di vista di partenza è quindi ora quello ondulatorio..

Punto di partenza è il campo elettromagnetico classico. Per definitezza, lo si può pensare confinato in una cavità planckiana,in modo che abbia un insieme discreto di gradi di libertà.

Dirac afferma che si possono considerare energia e fase diciascuna componente come variabili dinamiche descriventiil campo di radiazione, e che si può supporre che formino una coppia di variabili canonicamente coniugate.

Per passare alla trattazione dello stesso problema in termini quantistici, è necessario assumere che l’energia

rE re la fase di ciascuna componente siano

sottoposte alla regola di quantizzazione

rssr ihE ,

“Questa assunzione conferisce immediatamente la proprietà diquanti di luce alla radiazione”. Nell’ultimo paragrafo, Dirac passa poi, senza alcun commento, da queste variabili alle

rN e r usate nel corso dell’articolo.

L’intento primario del paragrafo, come del resto quello dell’intero articolo, enunciato fino dall’Introduzione, è dimostrare che “c’è una perfetta armonia fra le descrizioni delleinterazioni in termini ondulatori o di quanti di luce”.

Si tratta, nel caso di Dirac come già in quello di Jordan, dell’avvento, preconizzato da Einstein fino dal 1909, di una teoria che sappia render conto ad un tempo delle proprietà ondulatorie e corpuscolari della radiazione, o, in altri termini, della soluzione finale del dilemma onda-corpuscolo.

Sembrerebbe di sì, e la chiave sembra essere: si devequantizzare il campo elettromagnetico.

Ma lo si è propriamente, oltre che efficacemente, quantizzato??

Quello che è certo è che l’alternativa – la complementarietà – dei due aspetti è messa in immediatamente in luce dalla regoladi commutazione basilare, la

ihNrr ,

Se si conosce il numero dei fotoni in uno stato – proprietàcorpuscolare – resta completamente indeterminata la fase – proprietà ondulatoria – e viceversa.

La non commutabilità fra operatore di fase e operatore numero di fotoni è elemento base nelle trattazioni più recenti degli stati di un campo di radiazione: v., per esempio: R. Loudon, The Quantum Theory of Light, Clarendon Press, Oxford, 1983 (seconda edizione), in particolare paragrafi 4.8, 4.9

Cao (op. cit, p. 162) insiste sul fatto che neanche il procedimento di Dirac può essere descritto come una quantizzazione del campo elettromagnetico. Ciò, in primo luogo, perché non c’è alcun campo reale, in secondo luogo perché non c’è alcuna quantizzazione di un campo d’onda.

Una “vera” quantizzazione del campo elettromagnertico dovrebbepartire dalla considerazione di un insieme di funzioni di campo –come variabili classiche – e sottoporre quelle variabili a procedimento di quantizzazione che le rendesse operatori hermitiani.

Questa fu la via aperta da Heisenberg e Pauli (“Zur Quanten-Elektrodynamik der Wellenfelder”, Zeitschrift für Physik 56, pp. 1-61, 1929, 59, pp. 168-190, 1930).

L’idea era appunto di considerare le componenti del quadri-potenziale come variabili canoniche, di introdurre le variabili canonicamente coniugate ad esse, e di sottoporre le une insieme con le altre alle regole standard di quantizzazione

Iipqqp

Ma, come sappiamo, nasce una difficoltà, legata al fatto che la0Avariabile canonica coniugata ad si annulla identicamente.

Si deve a Heisenberg l’idea di sostituire la lagrangiana data inprecedenza con la

23

02

1

4

1

x

AFFL

dove ε è un parametro numerico. Con questa forma della densitàlagrangiana l’inconveniente è eliminato, e il procedimento diquantizzazione si può instaurare. Alla fine del procedimento si farà tendere ε a zero.

Una lagrangiana della forma2

2

1

4

1

x

AFFL

sarebbe stata poi considerata da Fermi, insieme con accorgimentisui quali torneremo.

Finalmente la quantizzazione

sono variabili di campo da sottoporre a quantizzazione.)(xALe

Il momento canonicamente coniugato ad )(xA è a sua volta

una variabile di campo:

)()( xA

Lx

Bisogna introdurre le ...

Condizioni di quantizzazione

Fra le variabili di campo e i momenti coniugati valgono le regole di commutazione:

)'()]'(),([ '00 xxcixAxxx

Accanto a queste valgono anche le:

)'()]'(),([ xxDcixAxA

Queste ultime devono essere imposte se si vuole che valga la:

)()](,[ xcixAH che caratterizza H come generatrice delle traslazioni nel tempo.

La

)'( xxD

è un animale raro, che può essere scritto nella forma:

)]()([4

1)'( 00 xxxx

xxxD

Sviluppo in onde piane

01 2

2

2

2

At

A

c

L’equazione di d’Alembert

ammette soluzioni in termini di onde piane monocromatiche della forma

xikeuxu 0)(

),(),( 0 kkkk

)(c

rkticxik

dove

e

Nell’elettromagnetismo classico, si mostra che esiste un legametra componenti del quadri-potenziale e stati di polarizzazione dell’onda. Ora, le onde elettromagnetiche sono trasversali: ilvettore descrivente la polarizzazione giace dunque in un piano(perpendicolare alla direzione di propagazione), e ha quindi solodue componenti indipendenti. Due delle quattro componenti del quadri-potenziale sono dunque non fisiche; si può fare una scelta specifica di gauge che ne annulla due (quella temporale e quella diretta lungo la direzione di propagazione z). Le due componenti residue risultano poi combinazioni lineari di duevettori unitari diretti lungo gli assi x e y. Ma qui si vogliono ottenere risultati gauge-invarianti. Si lasciano quindi sopravvivere su un piano di parità le quattro componenti, che risulteranno combinazioni lineari di quattro “vettori polarizzazione”.

Lo sviluppo di una componente del quadri-potenziale in onde piane monocromatiche assumerà quindi la forma generale:

3

0

)()()(3

2/1 )()( )()(

ikxikx ekaekak

kdVxA

dove le )()( k

sono quattro vettori unitari linearmente

indipendenti che possono essere scelti in modo da formare una base ortonormale:

')'()(

V è un volume di normalizzazione e l’asterisco indica la complessa coniugazione.

Introdotte le quantità

3

0

)()( )( )()(

kakka

3

0

)()( )( )()(

kakka

dalle regole di commutazione segue che valgono anche le

)'()]'(),([ )3( kkkaka

0)]'(),([)]'(),([ kakakaka

Emerge l’aspetto corpuscolare

Di qui in avanti, per semplificarci la vita, guarderemo allasostanza più immediata delle cose dimenticandoci delcarattere vettoriale del campo. Ci rifaremo dunque a regole di commutazione semplificate, della forma:

)'()]'(),([ )3( kkkaka

o, ancora più sinteticamente

1],[ kk aa

Introduciamo l’operatore

kkk aaN

e la sua equazione agli autovalori

kk nN

Moltiplichiamo scalarmente per Φ:

kkkkk nnnaa ),(),(),(

Ma si può riscrivere 0),(),(2

kkkkk aaaaa

Dunque 0kn

Moltiplichiamo ora da sinistra la

kk nN

per

ka :

)1( kkkkkkkk aaaaaaNa

Sostituendo il valore per kN a primo membro

kkkkkkkk anaaNaaa )1(

o ancora))(1()(

kkkk anaN

Dunque, se Φ è un’autofunzione, di N, lo è anche a ma

con autovalore n+1.

Analogamente si mostra che, se Φ è un’autofunzione, lo è anche

a con autovalore n-1.

02 kk an

gli autovalori di N non possono essere negativi. Applicando a ad un dato stato più volte in successione si arriverà a uno stato con autovalore zero. Per questo stato sarà

00 kN

Dato che

Allora lo stato 01 a apparterà all’autovalore 1.

Applicando più volte in successione l’operatore aggiunto sicostruisce una successione di autostati di N con autovalori interipositivi.

Leggiamo kN come l’operatore associato all’osservabile

numero di particelle nello stato k. Nel caso del campo e.m. Cisarebbe anche la specificazione dello stato di polarizzazione.

Gli operatori a ea “distruggono” e “creano”

particelle in un dato stato (operatori di distruzione e creazione).

Lo stato 0 è detto stato di vuoto.

Le complicazioni del caso e.m.

Ritorniamo su alcune cose riguardanti i campi classici.

■ Le equazioni per le componenti del potenziale si scrivono nellaforma

01 2

2

2

2

At

A

c

se è soddisfatta la condizione di Lorentz

0)()( xxA

La loro forma generale è data dalle 01 2

2

2

2

At

A

c

■ Perché si abbia l’equivalenza la lagrangiana “di Fermi” deveessere affiancata dalla condizione

0)( x

che non sono equivalenti alle equazioni di Maxwell.

L’enunciato dovrà essere riconsiderato quando si affronterà esplicitamente il problema della quantizzazione.

■ La lagrangiana “di Fermi” può allora essere posta nella forma:

,,

2

1AAL

FFL

4

1■ Con la lagrangiana

0A

la variabile canonicamente

coniugata ad si annulla identicamente

■ Allora si sceglie la lagrangiana

2

2

1

4

1

x

AFFL

che non è gauge-invariante per la presenza del secondo termine.

■ Questa lagrangiana dà luogo alle equazioni di campo

01 2

2

2

2

At

A

c

A■ Il momento canonicamente coniugato ad diventa allora

A

L

■ L’hamiltoniana si pone a sua volta nella forma:

3

1

,,2

1

2

1k

kk AAH

Essa non è definita positiva, in quanto la componente μ=0 dà un contributo negativo-definito ad H. Lo diventa se si richiede la validità della condizione sussidiaria

0)( x

Verrebbe fatto di considerare )(ka

e )(ka

rispettivamente come operatori di distruzione e creazione. Senonchéquesto porta a stati a dato numero di particelle con norme negative.

È autoconsistente assumere in alternativa che siano operatori didistruzione

)(kal

per l=1,2,3 e )(0 ka

e operatori di creazione

)(kal

per l=1,2,3 e )(0 ka

L’inconveniente precedente risulta allora eliminato, ma ne nasce un altro:

stati di fotoni corrispondenti a un valore non nullo dellacomponente temporale del quadri-potenziale hanno energianegativa.

Si noti tuttavia che non è stata ancora imposta la condizione sussidiaria

0)( x

che rende la formulazione in termini di potenziali equivalente a quella di Maxwell. Si tratta in effetti della condizione di Lorentz

0)()( xxA

che in effetti garantisce il carattere definito positivo dell’energia.

Essa non può essere imposta come condizione operatoriale, inquanto in contrasto con le condizioni di quantizzazione.

Un modo soddisfacente di trattare questa condizione sussidiariafu considerato da Fermi in due articoli (E. Fermi, “Sopra l’elettrodinamica quantistica”, I, Rend. Lincei 9, pp. 881-887, 1929; II, Rend. Lincei 12, pp. 431-435, 1930).

Poiché essa è incompatibile con le regole quantistiche di commutazione, la si deve considerare come un vincolo sugli stati quantici del sistema. Vettori di stato che descrivono stati fisicamente realizzabili del campo elettromagnetico devono soddisfare la

0 )( A

S.N. Gupta e K. Bleurer, indipendentemente, nel 1950 svilupparonoun metodo alternativo, mostrando come tutti gli a e gli aggiuntipossono, in modo opportuno, essere trattati come operatori di distruzione e creazione.