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La radiazione di Corpo Nero

La radiazione di Corpo Nero. L’Onda Elettromagnetica = lunghezza d’onda = frequenza c = velocità della luce = 300 000 km/s

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La radiazione di Corpo Nero

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L’Onda Elettromagnetica

l

ν

l = lunghezza d’ondan = frequenzac = velocità della luce = 300 000 km/s

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n = 87.5 - 108 MHz

l = c/n = 3.42 – 2.77 m

mmcmm

Onde radio FM

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Il Corpo NeroEsperienza:un corpo solido freddo non produce alcuna emissione visibile, ma al crescere della temperatura comincia a diventare luminoso e a cambiare colore….

Esempio:

un metallo che diventa incandescente cambia il suo colore e diventa prima rosso, poi arancione, e infine di un giallo-bianco abbagliante

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In generaleLa radiazione emessa da un corpo arbitrario dipende da:

• forma geometrica del corpo• composizione chimica del corpo• temperatura• stato della superficie• ……..

Ogni corpo: • assorbe parte della radiazione che lo investe• riflette parte della radiazione che lo investe• emette radiazione• trasmette parte della radiazione che lo investe

Le prossime due diapositive possono essere omesse

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q

2m

W

Definiamo la potenza emessa per metro quadro di superficie che indichiamo con il simbolo

Questa grandezza si chiama potere emissivo integrale (o densità di flusso termico; integrale perché su tutte le frequenze), è una quantità sempre positiva.

eq

rqLa irradiata è molto piccola, o addirittura al di fuori del campo visibile stesso. È per questo che i colori dei corpi a temperatura ambiente, per come percepiti dall’occhio umano, dipendono soprattutto dalla riflessa. Solo alle alte temperature la irradiata inizia a diventare rilevante ed i corpi si colorano a partire dal rosso.

eq

trainc qqqq

La potenza incidente della radiazione è, per la conservazione dell’energia,scrivibile come somma delle potenze assorbita, riflessa e trasmessa da un corpo:

Alcune precisazioni

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inc

a

q

qa

inc

r

q

qr

inc

t

q

qt

coefficienti di assorbimento, di riflessione e di trasmissione.

inc

t

inc

r

inc

a

inc

inc

q

q

q

q

q

q

q

q

Dividendo per la potenza incidente:

possiamo definire

Adimensionali, compresi tra 0 e 1.

Un corpo che non si lascia attraversare da onde elettromagnetiche ( per il quale si ha quindi t =0 ) si definisce opaco. Per un corpo opaco:

incr qaq )1(

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In generale

( , , , ,....)a a T forma struttura

( , , , ,....)e e T forma struttura

2

J=

s×m ×μme

assorbe parte della radiazione che lo investe:

potere assorbente = frazione di energia raggiante assorbita dall’unità di superficie

emette radiazione:

potere emissivo = energia raggiante emessa dall’unità di superficie nell’unità di tempo per unità di lunghezza d’onda

[a] = numero puro

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Il Corpo Nero

( , , , ,....)( , )

( , , , ,....)

e T forma strutturaB T

a T forma struttura

Nel 1859 G. Kirchhoff stabilisce, con considerazioni termodinamiche che,all’equilibrio termodinamico:

Il rapporto dei poteri emissivo ed assorbente di un corpo, per ogni frequenza della radiazione, dipende solo dalla temperatura del corpo

Se a =1 per tutte le frequenze, il corpo viene detto corpo nero (blackbody)

Intensità specifica della radiazione o radianza specifica

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Il Corpo Nero

( ) ( )e e T B T

Se a =1 dal teorema di Kirchhoff si ricava che il potere emissivodi un corpo nero è una funzione universale, per ogni frequenza,della temperatura:

L’esistenza di una funzione universale indica che la sua spiegazione dovrà coinvolgere processi fisici fondamentali, leggi generali di natura e non processi particolari legati alle caratteristiche specifiche del sistema in esame.

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Un corpo nero è un oggetto teorico che assorbe il 100% della radiazione che incide su di esso. Perciò non riflette alcuna radiazione e appare perfettamente nero.

Un corpo nero è un oggetto teorico che assorbe il 100% della radiazione che incide su di esso. Perciò non riflette alcuna radiazione e appare perfettamente nero.

In pratica :• nessun materiale assorbe tutta la radiazione incidente• la grafite ne assorbe il 97%• la grafite è anche un perfetto emettitore di radiazione

Attenzione!T ordinaria

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Corpo nero, corpi grigi, corpi generici

lSi possono saltare le prossime due diapositive

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Corpo nero, corpi grigi, corpi generici

nella figura i poteri emissivi sono normalizzati con quello del BB

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Un corpo nero riscaldato ad una temperatura sufficientemente elevata emette radiazioni

Un corpo nero riscaldato ad una temperatura sufficientemente elevata emette radiazioni

L’ energia emessa è totalmente isotropa e dipende solo dalla temperatura del corpo e non dalla sua forma o dal materiale di cui è costituito

L’ energia emessa è totalmente isotropa e dipende solo dalla temperatura del corpo e non dalla sua forma o dal materiale di cui è costituito

L’energia emessa da un corpo nero riscaldato ad una certa temperatura T viene chiamata :

radiazione di corpo nero

condizioni….

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Esempio di corpo nero emittente: la fornace

L’energia entra da un piccolo foro e viene assorbita dalle pareti della fornace che si riscaldano ed emettono radiazione. Se la cavità è mantenuta a temperatura uniforme, all’equilibrio la radiazione che esce dal foro è una radiazione di corpo nero.

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Esempio di corpo nero emittente: le stelle

Esempio di corpo nero emittente: l’Universo

Le Pleiadi, un ammasso aperto giovane

Si possono saltare le prossime due diapositive

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Lo stato della fisica a fine ‘800

ma………..

Meccanica newtoniana pieno successo nello studio del moto degli oggetti macroscopici, in particolare dei corpi celesti, scoperta di Nettuno (1846).

Termodinamica e termodinamica statistica comprensione delle natura del calore, macchine termiche, verso delle trasformazioni naturali, teoria cinetica dei gas,……..

Elettromagnetismo sintesi dei fenomeni elettrici e magnetici (1867, J.C. Maxwell), l’ottica geometrica e l’ottica fisica come aspetti dell’elettromagnetismo.

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Alcuni problemi aperti per la fisica di fine ‘800 inizio ‘900

• Lo spettro della radiazione termica

• L’esistenza e la stabilità degli atomi

• La natura della luce (effetto fotoelettrico)• Gli spettri discontinui

• I calori specifici dei solidi

• Il problema dell’etere luminifero

Planck, 1900MQ

Einstein, 1905MQ

MQ

RR

MQBohr, 1913

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Facendo passare la radiazione emessa da un corpo nero a temperatura T attraverso uno spettrografo (bolometro) e misurando l’intensità dell’energia alle varie lunghezze d’onda si osserva uno spettro riprodotto dalla funzione di Planck

Funzione di Planck

2( , )

wattB T

m m

13

λT

1.4395

-5

scmerg

1eλ

103.742Tλ,B

Kin T

cminλ

Radianza specifica

Nel SI

2

hc5kλT

2πhc 1B λ,T

λ1e

SIMULAZIONI

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l (mm)

B(l

,T)

(x1

016 e

rg c

m-3 s

-1)

1.5

n (x1014 Hz)

3.09.0

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Legge di Wien

MAX

0.2898λ =

T

Lo spettro di emissione del corpo nero mostra un massimo di energia emessa ad una certa lunghezza d’onda (lmax)

All’aumentare della temperatura T del corpo, la lunghezzad’onda del massimo di emissione decresce

(1894)

cm

0.2898 cm KUnità misura

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l (mm)

2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

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corpo umano

T = 37 ° C = 310 K lmax 9 mm

lampada a incandescenza

T 3 000 K lmax 1 mm

stella

T 30 000 K lmax 1000 Å

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corpo umano

T = 37° C = 310 K lmax 9 mm

l (mm)

B(l

, 31

0 K

) (x

108

erg

cm-3 s

-1)

osservare bene le unità di misura

sull’asse y, in particolare i valori di scala, in questa e nelle

prossime due diapositive

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lampada a incandescenza

T 3 000 K lmax 1 mm

l (mm)

B(l

, 30

00 K

) (x

1013

erg

cm

-3 s

-1)

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stella

T 30 000 K lmax 1000 Å=0,1mm

l (mm)

B(l

, 30

000

K) (x

101

8 er

g cm

-3 s

-1)

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Legge di Stefan-Boltzmann

82 4

W5,67 10

m K

4 2 1bol 0

F B λ,T dλ σ T erg cm s

4125 Kscmerg105.67σ

Nel SI

1879 – 1884

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l (mm)

2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

All’aumentare della temperatura, l’energia totale emessacresce, perché aumenta l’area totale sotto la curva e cresce con la quarta potenza di T

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Note storicheGià nel XIX secolo i fisici tentavano di ricavare una teoria che fosse in grado di predire lo spettro della radiazione emessa da un corpo nero.I due tentativi più famosi sono quello di Lord Rayleigh e James Jeans e

quello di Wilhelm Wien.

I tentativi vennero condotti applicando le leggi di J.C. Maxwell dell’elettromagnetismo classico, la termodinamica, il teorema di equipartizione dell’energia e la teoria delle onde

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Wilhelm Wien trattò la radiazione all’interno di una cavità in modo analogo a un gas di molecole e riuscì a riprodurre l’andamento generale della curva di corpo nero, inclusa la presenza di un massimo di emissione, ma la sua teoria

falliva nel riprodurre i dati sperimentali alle grandi lunghezze d’onda

l (mm)

B(l

,T)

(erg

cm

-3 s

-1)

Wien

B

-3 -1λT5

-AB λ,T e erg cm s

λ

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Un altro tentativo fu fatto da Lord Rayleigh e James Jeans, i quali considerarono la radiazione all’interno di una cavità come costituita da una certo numero di onde stazionarie. Il loro risultato riproduceva bene la curva di corpo nero alle grandi lunghezze d’onda, ma falliva alle lunghezze d’onda corte e non mostrava nessun massimo di emissione:

5 3 14 4

2π ckT TI 2.6 10 erg cm s

λ λ

116123 Kerg101.38KJ101.38k

l (mm)

B(l

,T)

(erg

cm

-3 s

-1)

Rayleigh-Jeans

Costante di Boltzmann

-1 -3 -14 -1 -34 4

T TI = 2πck J s m 2.60 10 J s m

λ λ

Nel SI:

“catastrofe ultravioletta”

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Nel 1900, Max Planck riesce a ricavare una formula che riproduce i valori osservati nello spettro del corpo nero:

(19 ottobre 1900)con due costanti sperimentali

necesssarie per ottenere il fit con i dati sperimentali

2

15

1( )

1C

T

CB T

e

1C e 2C

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Due mesi dopo, il 14 dicembre 1900, Planck presenta un lavoro che giustifica teoricamente la legge empirica ed esprime in termini di costanti fondamentali le due costanti empiriche C1 e C2 :

21 2C c h 2

hcC

k

“Nascita della MQ”

le due espressioni contengono una nuova costante fondamentale di natura, la costante h, detta costante di Planck

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34 27h 6,63 10 J s 6,63 10 erg s Costante di Planck

4

hc2k λT

5

Tse B λ,T 2π ck

λ

2π hcse 0 B λ,T e

λ

Rayleigh-Jeans

Wien

2

hc5kλT

2πhc 1B λ,T

λ1e

-3 -1erg cm s

3

hν2kT

2πh 1B ,T

c1e

-2erg cm2 -1

W

m s

3

W

m

S.I.

S.I.

Nota: come si passa da una all’altra

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Le pareti di una cavità come qualsiasi superficie emittente contengono particelle, che assorbendo energia dall’esterno aumentano la loro temperatura e quindi la loro energia cinetica e iniziano ad oscillare. Oscillando emettono radiazione, ma questa

radiazione contrariamente ai principi classici non può assumere valori qualsiasi. L’energia deve essere emessa in quantità definite o pacchetti.

Alle alte frequenze (piccole lunghezze d’onda) la radiazione deve essere emessa in pacchetti più “grandi”. Se le particelle non hanno abbastanza energia non si vedrà emissione di radiazione ad alta frequenza.

D’altra parte se la temperatura aumenta, le particelle avranno abbastanza energia per emettere pacchetti di radiazione a frequenze via via più alte.

Giustificazione di Planck

Ma non con energie qualsiasi: !!!E nh

A posteriori, 1914

emessaE = nhν

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Qual è il legame fra la “dimensione” energetica dei pacchetti (E) e la frequenza della radiazione emessa (n) ?

spostamentoWien

Se la temperatura raddoppia, anche la frequenza a cui gli oscillatori producono la massima energia raddoppia

Se la temperatura raddoppia anche la “dimensione” dei pacchetti di energia emessa raddoppia, il collegamento esatto tra energia e frequenza è:

MAX MAX

1λ T

T

E = hν

Un approccio elementare

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Nel 1905 Einstein conferma l’idea di Planck spiegando l’effetto fotoelettrico e mostrando che la radiazione non è solo emessa, ma anche assorbita sotto forma di pacchetti o fotoni, o, più in generale che la luce, nell’interazione con la materia si presenta come un corpuscolo

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Applicazioni astronomiche

Sorgente Temperatura lmax Regione spettrale

Fondo cosmico 3 K 1 mm Infrarosso-radio

Nube molecolare 10 K 300 m Infrarosso

Sole 6000 K 5000 Å Visibile

Stella calda 30 000 K 1000 Å Ultravioletto

Gas intra-cluster 108 K 0.3 Å Raggi X

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T = 6000 Klmax = 4800 Å

l (Å)

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T = 30 000 Klmax = 1000 Å

l (Å)

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WMAPLa radiazione di fondo cosmico

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Nubi di gas molecolare

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Sorgenti infrarosse

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Il Sole in ultravioletto

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La galassia M101 in ultravioletto

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Emissione X dal mezzo intracluster

Immagine HSTImmagine CHANDRA

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Il processo fisico che avviene nell'emissione della luce è sostanzialmente una trasformazione di energia termica in energia radiante. Un semplice modello che possiamo fare è rileggere la legge di Wien in questo modo:

dove c è la velocità della luce e A= 2,9 10⋅ -3 m K è la costante ⋅della legge dello spostamento. Nella relazione, il primo membro può essere interpretato come rappresentativo dell'energia termica e il secondo dell'energia radiante: la legge di Wien è quindi una descrizione della trasformazione di energia termica inenergia radiante.

La temperatura assoluta è legata all'energia termica con una relazione di proporzionalità diretta. Vediamo come.

(1)max

max

A AT

c

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Si può stabilire il legame usando la teoria cinetica dei gas o la meccanica statistica e la costante di proporzionalità è la costante di Boltzmann kB= 8,6 10⋅ -5 eV.

Si può passare attraverso la legge dei gas perfetti. Per una mole di sostanza, abbiamo:

RT rappresenta appunto l'energia termica, con R costante dei gas perfetti, pari a 8,31 J K-1 mol-1 e NA numero di Avogadro; per confronto infatti:

come valore dell'energia termica media per molecola.

Moltiplicando ambo i membri della (1) per kB, abbiamo, trascurando il fattore 3/2 (che è in generale f/2, ove f è il numero di gradi di libertà della molecola):

pV RT

Bterm B max max

k AE k T b

c

2

3 A cinpV N E

3

2cin BE k T cin BE k T

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La novità della legge di Wien sta nell'ultimo membro della equazione, perché mostra che l'energia termica si trasforma in energia radiante in modo proporzionale alla frequenza della radiazione luminosa. Perché è una novità? Perché, dall'elettromagnetismo classico ci saremmo aspettati un legame dell'energia termica del corpo che emette con l'intensità della radiazione luminosa prodotta, ma non con la sua frequenza.

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