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1 La Ley de Gravitaci�on Universal
Ya hemos visto en los cap��tulos 1 y 2 que todo cuerpo material es atra��do por la
Tierra. Cerca de la super�cie de la Tierra esta fuerza es vertical, proporcional
a la masa del cuerpo y la constante de proporcionalidad, como hemos visto, se
conoce como aceleraci�on de gravedad y es aproximadamente g � 9; 81 [m/seg2].
En 1666, Isaac Newton se di�o cuenta que esste hecho, conocido desde mucho
tiempo es solo una aproximaci�on de una Ley de Fuerzas mucho mas general, la
que es responsable no solo de que los cuerpos caigan hacia la Tierra, sino que
tambi�en que la Luna orbite alrededor de la Tierra o que la Tierra orbite alrededor
del Sol. La Ley de Fuerzas descubierta por Newton fue publicada en su libro el
Principia (citado en el Cap��tulo 2) en 1687. Se conoce como Ley de Gravitaci�on
Universal. Consideremos dos part��culas puntuales (en el sentido discutido a
principios del cap��tulo 1), de masas m1 y m2 respectivamentes. La ley de
gravitaci�on de Newton dice que estas part��culas solo por tener masa se atraen
mediante una fuerza que es proporcional al producto de las masas e inversamente
al cuadrado de la separaci�on entre ellas. La constante de proporcionalidad e
conoce como Constante de Gravitaci�on Universal, usualmente se denomina por
G, y su valor num�erico determinado experimentalmente, en el Sistema Universal
de Unidades est�a dado por G � 6; 67� 1011 [N{m2/kg2].
Para ser m�as precisos, supongamos que la part��cula 1 est�a ubicada en la
posici�on ~r1 y la part��cula 2 en la posici�on ~r2, como se indica en la �gura. En-
tonces, la fuerza gravitacional que 1 ejerce sobre 2 est�a dada por
~F21 = �Gm1m2
~r2 � ~r1j~r2 � ~r2j3
: (1)
La Ley de Gravitaci�on Universal satisface el Principio de Acci�on y Reacci�on,
pues de (1) se sigue que ~F12 = �~F21. En realidad, satisface el principio de
acci�on y reacci�on en forma fuerte pues la fuerza de interacci�on entre los dos
cuerpos est�a dirigida a lo largo de la l��nea que los une.
Es parte de la Ley de Gravitaci�on Universal que �esta satisface lo que habit-
ualmente se conoce como el Principio de Superposici�on, i.e., si dos cuerpos 1 Y
2 interact�uan con un tercero, la fuerza de atracci�on que ejerce el sistema (1; 2)sobre 3 es la suma vectorial de las fuerzas de atracci�on que ejercen independi-
entemente 1 y 2 sobre 3, i.e.,
~F3; (1; 2) = ~F3;1 + ~F3; 2; (2)
Para hacer contacto con los comentarios que hicimos al empezar esta secci�on
surge un problema no menor. La Ley de Gravitaci�on Universal (1) se aplica
directamente sobre part��culas puntuales (i.e., part��culas cuyas dimensiones son
peque~nas comparadas con las distancias que las separan). As��, no podemos
aplicar directamente la Ley de Gravitaci�on Universal para hacer contacto con
la f�ormula del peso de un cuerpo cerca de la super�cie de la Tierra. Si bien el
cuerpo puede ser puntual la Tierra est�a lejos de serlo. Esta observaci�on retras�o
un tiempo la publicaci�on del Principia, hasta que Newton logr�o demostrar el
siguiente resultado, que es de mucha importancia para nuestra discusi�on:
Si un cuerpo esf�erico, como la Tierra, tiene su masa distribuida con simetr��a
esf�erica, entonces la fuerza que este cuerpo hace sobre un objeto puntual ubicado
1
fuera del primero se puede calcular como si el primer cuerpo fuese puntual y toda
su masa estuviese ubicada en su centro
Comentario: Que el cuerpo en cuesti�on tenga simetr��a esf�erica signi�ca que su
densidad de masa solo depende de la distancia a su centro.
Una vez que contamos con este poderoso resultado de Newton podemos hacer
contacto con la vieja formula del peso. Consideremos un objeto material de masa
m ubicado sobre la super�cie de la Tierra. Entonces, la Ley de Gravitaci�on
Universal, combinada con el poderoso Teorema de Newton, nos dice que la
fuerza con que la Tierra atrae al objeto de masa m est�a dirigida a lo largo de
la vertical (i.e., hacia el Centro de la Tierra) y su magnitud est�a dada por
jF j = GM
R2m; (3)
en que G es la constante de Gravitaci�on Universal,M la Masa de la Tierra, y Rel radio de la Tierra. Pero, por otra parte, esta fuerza debe ser efectivamente el
peso del objeto, es decir debe ser igual a mg, de modo que tenemos la identidad
g =GM
R2: (4)
La ecuaci�on anterior nos sirve para determinar la masa de la Tierra. Ya
conocemos los valores experimentales de g y G en el Sistema Universal de
unidades.Por otra parte, el radio de la tierra est�a dado casi exactamente por
R =40000
2�[km] � 6; 37� 106[m]: (5)
Comentario: De hecho, cuando en 1791, Pierre Simon Laplace y la Comisi�on
Francesa encargada de de�nir el entonces llamado Sistema M�etrico, el metro
fue de�nido de tal manera que la circunferencia de la Tierra es 40000 [km], �.e.,
cada cuadrante (distancia del polo al ecuador es de 10000 [km]), de modo que
es trivial recordar el Radio de la Tierra.
Reemplazando los valores num�ericos de g, G y R en (4), encontramos la
masa de la Tierra,
M � 5; 98� 1024[kg]: (6)
2 Movimiento de una part��cula bajo la acci�on
de una fuerza central
En esta secci�on estudiamos el movimiento de una part��cula (e.g., un sat�elite, un
planeta, un cometa, etc.) bajo la acci�on de la fuerza de gravitaci�on. Empezamos
por discutir en general el movimiento bajo la acci�on de fuerzas centrales.
Consideremos una part��cula de masa m, sometida a una fuerza central, es
decir a una fuerza de la forma
~F = f(j~rj)r̂: (7)
2
Entonces, la ecuaci�on de movimiento de la part��cula sometida a dicha fuerza
ser�a
md
dt~r = f(r)r̂; (8)
en que r = jrj. Por ejemplo, para el caso de una part��cula atra��da gravitacional-
mente por un cuerpo puntual, f(r) = �k=r2 en que k = GM (G es la constante
de gravitaci�on universal y M la masa del centro de fuerzas).
3 Conservaci�on de momentum angular
Una de las propiedades importante del movimiento de una part��cula sometida
a la acci�on de una fuerza central es la conservaci�on del momentum angular de
la part��cula con respecto al centro de fuerzas. La ecuaci�on de movimiento que
gobierna la evoluci�on del momentum angular est�a dada por
d~̀O
dt= ~�
O; (9)
en que ~̀O= ~r � ~p denota el momentum angular de la part��cula con respecto al
punto O (en este caso O es el centro de fuerzas). Aqu�� ~p = m _~r es el momentum
lineal de la part��cula. En (9) �O
= ~r � ~F es el torque ejercido por la fuerza~F sobre la part��cula, con respecto al punto O. Como la fuerza que estamos
considerando es una fuerza central, ~F es paralelo a ~r y por lo tanto ~�O
= 0.
Entonces, de (9) concluimos que
d~̀O
dt= 0; (10)
y por lo tanto el momentum angular de la part��cula, con respecto al punto O,es conservado (i.e., el vector `0 es constante). La conservaci�on del momentum
angular de la part��cula simpli�ca de inmediato el problema. Como en general,
~r � ~̀O= ~r � (~r � ~p) = 0; (11)
y puesto que ahora ~̀O
es un vector constante, la ecuaci�on (11) representa la
ecuaci�on de un plano que pasa por el or��gen (i.e., por el punto O) y cuya normal
es ~̀O. De este modo, el movimiento bajo la acci�on de una fuerza central ocurre
en un plano (el plano perpendicular a ~̀O). Para describir este movimiento
usaremos coordenadas polares (�; �) y utilizaremos como or��gen el centro de
fuerzas. Recordemos que en coordenadas polares
~r = ��̂; (12)
_~r = _��̂+ � _��̂; (13)
y por lo tanto,
~p = m _��̂+m� _��̂: (14)
De (12) y (14) tenemos~̀O� ~r � ~p = m�2 _�k̂; (15)
3
y por la consevaci�on del momentum angular tenemos que
m�2 _� = ~̀0 � k̂ (16)
es una constante de movimiento la cual denotaremos de aqu�� en adelante `. Porotra parte, como la aceleraci�on en polares est�a dada por
�~r = (��� � _�2)�̂+ (2 _� _� + ���)�̂; (17)
y r̂ = �̂ y r = �̂, de (8) tenemos que las ecuaciones de movimiento de la part��cula
est�an dadas por
m(��� � _�2) = f(�) (18)
y
m(2 _� _� + ���): (19)
Esta �ultima ecuaci�on es simplemente la conservaci�on de momentum angular
(i.e., m�2 _� = `). De la conservaci�on de momentum angular podemos despejar_� en t�erminos de �, i.e.,
_� =`
m�2; (20)
y reemplazarlo en (18), para as�� obtener una ecuaci�on que s�olo involucra a la
variable �,
m��� `2
m�3= f(�): (21)
B�asicamente, y debido a la conservaci�on del momentum angular, hemos reducido
el problema original a un problema \unidimensional.
Otra propiedad importante de las fuerzas centrales es que son conservativas.
De hecho, si llamamos V (�) a la primitiva de �f(�) (i.e., f(�) = �dV=d�),vemos que al multiplicar (21) por _�, esta ecuaci�on se puede integrar y as�� obten-
emos1
2m _�2 +
`2
2m�2+ V (�) = E; (22)
en que E es la energ��a total de la part��cula.
Comentario: Tambi�en podr��amos haber llegado a (22) procediendo de la manera
general que discutimos en el Cap��tulo 3. Puesto que ~F = f(�)�̂, y d~r = d��̂ +
�d��̂ a lo largo de la trayectoria, ~F �d~r = f(�)d� = �dV (ya que hemos llamado
V a la primitiva de f). Entonces ~F es conservativa y deriva del potencial V (�).
Como ~F es la �unica fuerza que act�ua sobre la part��cula, su energ��a total se
conserva. Su energ��a cin�etica est�a dada por
K =1
2m~v2 =
1
2m�_�2 + � _�2
�; (23)
en coordenadas polares. Sin embargo, por la conservaci�on de momentum angu-
lar, utilizando (20) para reemplazar _� en t�erminos de � en (23), obtenemos
K =1
2m _�2 +
`2
2m�2; (24)
de modo que (22) representa la conservaci�on de energ��a K + V = E.
4
4 La segunda ley de Kepler: Ley de las �areas
La conservaci�on del monentum angular tiene una interpretaci�on geom�etrica muy
simple en t�erminos de la geometr��a de la �orbita de la part��cula.
En 1609, J. Kepler (1571{1630) enunci�o su segunda ley concerniente a la
�orbita de los planetas del modo siguiente:
Segunda Ley de Kepler: El movimiento de un planeta alrededor de su �orbita es
tal que el vector que une el Sol con el planeta barre �areas iguales en tiempos
iguales.
En la �gura hemos dibujado el planeta P en su movimiento alrededor del
sol. Usando coordenadas polares, con el sol en el or��gen, la distancia del sol al
planeta est�a dada por �. En un intervalo de tiempo su�cientemente peque~no dt,el planeta se mueve de modo que su posici�on angular cambia en d�. El �area quebarre el vector que une el sol con el planeta, en el intervalo de tiempo Æt (�areaachurada en la �gura), corresponde aproximadamente al �area del tri�angulo de
altura � � y base � �d�. Es �area de este tri�angulo es precisamente
dA =1
2�2d�: (25)
El �area barrida por unidad de tiempo es,
dA
dt=
1
2�2d�
dt: (26)
Como consecuencia de la conservaci�on del momentum angular (que a su vez es
solo consecuencia del hecho que la fuerza es central), reemplazando (16) en (26)
vemos quedA
dt=
`
2m; (27)
es constante. Que dA=dt es constante es, precisamente, el contenido de la se-
gunda ley de Kepler.
5 Movimientos posibles de una part��cula sometida
al potencial de Kepler
A partir de las leyes de conservaci�on de energ��a y de momentum angular de
una part��cula sometida a la acci�on de una fuerza central, resumidas en la
ecuaci�on (22), es posible discutir cualitativemente los movimientos posibles de
una part��cula sometida al potencial de Kepler. Despu�es de todo, hemos \re-
ducido" el problema a un problema unidimensional, y en el cap��tulo 3 vimos
como discutir cualitativemente los movimientos de una part��cula cuya energ��a
E = K + V es conservada. La ecuaci�on (22) es precisamente de la forma
K + V = E siempre que interpretemos adecuadamente el potencial V .Como vimos en la introducci�on a este cap��tulo, un cuerpo que se mueve
alrededor del sol (o alrededor de un planeta) est�a sometido a la acci�on de un
potencial de la forma
V (�) = �GM m
�; (28)
5
en que M es la masa del Sol (o del planeta) en torno al cual se mueve el cuerpo
bajo consideraci�on y G es la constante de Gravitaci�on Universal. Al potencial
dado por (28) lo llamaremos potencial de Kepler. Para simpli�car un poco la
notaci�on llamaremos k = GM y as�� usaremos V = �km=�. Con el objeto de
llevar la ecuaci�on (22) a una ecuaci�on de la forma K + V = E, correspondientea un problema unidimensional (i.e., en que K es de la forma K = m _�2=2,debemos considerar como energ��a potencial no solamente el potencial de Kepler.
Debemos agregarle el t�ermino `2=(2m�2), que obtuvimos al deshacernos de _�usando la conservaci�on del momentum angular. As�� pues, con el objeto de
continuar nuestra discusi�on, es conveniente de�nir
Vef(�) = V (�) +
`2
2m�2= �km
�+
`2
2m�2: (29)
A la funci�on Vef(�) la llamaremos potencial efectivo. En t�erminos del potencial
efectivo, entonces, (22) es de la forma
E = K + Vef
=1
2m _�2 + V
ef(�): (30)
El primer t�ermino a la derecha de (29) es el potencial de Kepler. El segundo
t�ermino se denomina comunmente la barrera centr��fuga. Este nombre se debe
a que es el momentum angular de la part��cula previene que la part��cula en
cuesti�on caiga al sol. Como el momentum angular, ` = m�2 _�, es conservado,si �este no es cero, a medida que la part��cula se acerca al sol debe aumentar su
velocidad angular, para mantener el producto �2 _� constante. Si la velocidad
angular aumenta, aumenta la fuerza centr��fuga que previene que la part��cula
siga cayendo. Por supuesto que si el momentum angular de la part��cula es cero,
�esta caer�a inevitablemente al sol ( o al planeta, i.e., al centro de fuerzas).
En la �gura (??) hemos gra�cado el potencial efectivo como funci�on de �.Cerca de � = 0 el t�ermino que domina es la barrera centr��fuga. Por otra parte,
para valores grandes de � el t�ermino que domina es el potencial de Kepler (que
es negativo).
La funci�on Vef
tiene un solo cero positivo que est�a dado por
�0 =`2
2m2 k: (31)
As�� mismo, la funci�on Vef(�) tiene un s�olo m��nimo el cual ocurre para
�m= 2 �0 =
`2
m2 k: (32)
El valor del potencial en el m��nimo es
Vef(�
m) = �1
2
m3 k2
`2: (33)
En vista de las propiedades del potencial efectivo que acabamos de encontrar,
una part��cula que tiene un momentum angular `, s�olo puede tener valores de
energ��a que van desde
Emin
= Vef(�
m) = �1
2
m3 k2
`2: (34)
6
hadsta +1. Cualitativamente existen cuatro tipos de movimientos posibles de
la part��cula en cuesti�on, dependiendo del rango de energ��a de la misma.
i) E = Emin
: Si el valor de la energ��a de la part��cula es justamente el m��nimo
de Vef, K = m _�2=2 = 0; as��, la part��cula se mueve en una �orbita rho = �
m
constante, lo cual corresponde a una �orbita circular.
Comentario: El radio del c��rculo puede derivarse m�as facilmente recurriendo al
balance: fuerza gravitacional igual a la fuerza centr��fuga en este caso, i.e.,
mv2
�=
km
�2;
y utilizando la conservaci�on del momentum angular
mv� = `:
Resolviendo para � en este par de ecuaciones encontramos de inmediato el valor
del radio de la �orbita circular, � = `2=(m2 k).
ii) Emin
< E < 0: Como K es no negativo, y E = K + Vef, la part��cula s�olo se
puede mover en el rango de valores de � para los cuales se satisface
Vef(�) � E: (35)
Dada la forma del gr�a�co de Vef(�), si E
min< E < 0, de la condici�on (35)
se sigue que existen dos radios, digamos �min
y �max
tales que la part��cula se
mueve een una �orbita que satisface �min
� � � �max
. As�� pues, se trata de
�orbitas acotadas. M�as adelante veremos que en realidad corresponden a �orbitas
el��pticas. Para determinar los valores de �max
y de �min
basta con resolver
Vef(�) = E; (36)
y dada la forma de Vef(�), i.e., la ecuaci�on (29), la ecuaci�on (36) es una ecuaci�on
cuadr�atica en la variable 1=�. Las dos soluciones, ambas positivas, de (36) son
1
�min
=m2 k
`2
1 +
r1 +
2E `2
m3 k2
!; (37)
1
�max
=m2 k
`2
1�
r1 +
2E `2
m3 k2
!; (38)
Estas dos ecuaciones jugar�an un papel importante cuando determinemos la
geometr��a de la �orbita el��ptica en t�erminos de la din�amica de la part��cula, la
cual est�a contenida es sus valores del momentum angular, ` y de su energ��a, E.
iii) E = 0: para este valor de la energ��a, existe una soluci�on de la ecuaci�on
Vef(�) = 0, i.e., �0. Vemos del gr�a�co del potencial efectivo que la part��cula
se puede mover en el rango de valores �0 � � � 1. De este modo, aunque
la part��cula no cae al sol (o a cualquiera sea el centro de fuerzas) s�� se puede
alejar inde�nidamente. La �orbita de la part��cula en cuesti�on es, por tanto, una
�orbita no acotada. Veremos m�as adelante que en realidad corresponde a la
7
ecuaci�on de una par�abola. Como la energ��a total de la part��cula est�a dada por
E = m~v2=2� GMm=� = 0, cuando la part��cula se aleja inde�nidamente (i.e.,
cuando �! +1), su velocidad tiende a cero.
iv) E > 0: para este rango de valores de la energ��a, tambi�en existe una sola
soluci�on positiva de la ecuaci�on Vef(�) = 0, la que est�a dada por
1
�min
=m2 k
`2
1 +
r1 +
2E `2
m3 k2
!: (39)
Vemos del gr�a�co del potencial efectivo que la part��cula se puede mover en el
rango de valores �min
� � � 1. De este modo, aunque la part��cula no cae al sol
(o a cualquiera sea el centro de fuerzas) s�� se puede alejar inde�nidamente, tal
como en el caso anterior. Nuevamente la �orbita de la part��cula en cuesti�on es, por
tanto, una �orbita no acotada. Veremos m�as adelante que en realidad corresponde
a la ecuaci�on de una hip�erbola. Como la energ��a total de la part��cula est�a dada
por E = m~v2=2 � GMm=� > 0, cuando la part��cula se aleja inde�nidamente
(i.e., cuando �! +1), su velocidad tiende a un valor �nito no nulo.
6 La primera Ley de Kepler
La primera ley de Kepler, enunciada en 1609, dice lo siguiente:
Las �orbitas de los planetas ocurren en un plano. El Sol se encuentra en ese
plano. La trayectoria del planeta es una elipse y el Sol se encuentra en uno de
los focos de la elipse
En el Principia, publicado en 1687, Issac Newton deriv�o, a partir de su ley de
Gravitaci�on Universal y de su Mec�anica, las tres leyes de Kepler, lo que ha sido
uno de los grandes hitos en la historia de la f��sica. Ya hemos visto que el hecho
que la fuerza de gravedad sea una fuerza central implica la conservaci�on del
momentum angular del planeta alrededor del sol. A su vez, la conservaci�on del
momentum angular implica que la trayectoria del planeta ocurre en un plano,
y el Sol se encuentra en ese plano. A prop�osito el plano en que se encuentra la
�orbita de la Tierra se conoce como el plano de la ecl��ptica. Nos resta, entonces,
demostrar que las �orbitas son efectivamente elipses. Nuestro punto de partida
ser�a la ecuaci�on de movimiento (21) en que
f(�) = �km�2
; (40)
de acuerdo a la ley de Gravitaci�on Universal. En (40), k = GM , con G la
constante de gravitaci�on universal, M la masa del sol, y m la masa del planeta.
De este modo nos vemos enfrentados a resolver la ecuaci�on diferencial
m��� `2
m�3= �km
�2; (41)
para � como funci�on del tiempo. Esta es una ecuaci�on diferencial ordinaria,
de segundo orden, no lineal. Una vez conocida la soluci�on rho(t) usamos la
ecuaci�on (20) para encontrar �(t). La �orbita del planeta queda dada �nalmente
8
en forma param�etrica por el par de funciones (�(t); �(t). Aqu�� procederemos en
forma un tanto diferente. En lugar de encontrar la ecuaci�on param�etrica de la
trayectoria del planeta, lo que haremos es encontrar directamente la ecuaci�on
de la �orbita, i.e., � como funci�on de �, i.e., �(�), lo que es m�as simple de hacer.
Para motivar un poco los cambios de variables que haremos a continuaci�on,
conviene recordar la ecuaci�on de una elipse en coordenadas polares. Las propiedades
mas relevantes, desde el punto de vista de este cap��tulo, est�an desarrolladas en
el ap�endice. En particular, ah�� encontramos la ecuaci�on de una elipse en polares
(ver la ecuaci�on eq:ap4), que est�a dada por �(�) = p=(1+e cos �). Es evidente deesta ecuaci�on que la dependencia del rec��proco de � (i.e., de 1=�) en la variable
� es mucho m�as simple que la dependencia del mismo �. Esto tambi�en se re eja
en la soluci�on de la ecuaci�on Vef
= E que hicimos m�as arriba, la cual era una
cuadr�atica para 1=�. Basados en ambos hechos es que vamos a introducir la
nueva variable u = 1=rho como nuestra nueva variable dependiente. A contin-
uaci�on buscaremos una ecuaci�on diferencial para u como funci�on de �. N�otese
de la ecuaci�on (20) que _� tiene siempre el mismo signo. En particular, si ` espositivo, _� > 0 y � aumenta en forma monot�onica en el tiempo. As�� pues es per-
fectamente leg��timo utilizar a la variable �, en lugar del tiempo, como variable
dependiente.
Usando la regla de la cadena tenemos
d�
dt=
d�
d�
d�
dt= � 1
u2du
d�_�; (42)
pues � = 1=u. Usando (20) para reemplazar _� en (42) en t�erminos de � obten-
emosd�
dt= � `
m
du
d�: (43)
Iterando una vez m�as, calculamos a partir de la ecuaci�on anterior,
d2�
dt2= � `
m
d2u
d�2_� = � `2
m2
1
�2d2u
d�2: (44)
Reemplazando d2�=dt2 en (41), multiplicando por �2m=`2 �nalmente obtenemos
la siguiente ecuaci�on para u como funci�on de �:
d2u
d�2+ u = k
m2
`2: (45)
Esta es una ecuaci�on muy simple para u como funci�on de �. Corresponde a la
ecuaci�on de movimiento arm�onico simple que hemos encontrado en repetidas
oportunidades anteriormente en este libro. La soluci�on general de (45) se puede
escribir de la forma
u(�) = km2
`2+A cos(� � �0); (46)
en que A y �0 son constantes de integraci�on que dependen del estado inicial del
sistema. Siempre podemos elegir el eje polar de tal modo que �0 sea cero (esto
equivale a elegir la orientaci�on general de la �orbita en el plano de la ecl��ptica).
A partir de (46) podemos volver a nuestra variable � y escribir la ecuaci�on de
la �orbita como
�(�) =p
1 + e cos �(47)
9
en que
p =`2
km2; (48)
y
e =A`2
km2: (49)
La ecuaci�on (47) es la ecuaci�on general de una c�onica en coordenadas polares.
Los par�ametros p y e que de�nen a la c�onica se comocen como el latus rectum y
la excentricidad de la c�onica respectivamente (ver el Ap�endice a este cap��tulo).
La din�amica de la �orbita del planeta depende exclusivamente de su energ��aEy de su momentum angular `, los que a su vez est�an determinados por las condi-
ciones iniciales. Vemos de (48) que el par�ametro p s�olo depende del momentum
angular `. Por otra parte, en la expresi�on para la excentricidad, (49) aparece la
constante de integraci�on A que no conocemos. Lo que haremos a continuaci�on
ser�a encontrar una expresi�on para la excentricidad en t�erminos de E y `. Paratal efecto, compararemos las expresiones \din�amicas" para los puntos de retorno
que encontramos al resolver (36), i.e., las expresiones (37) y (38) para �min
y
�max
, con las condiciones \geom�etricas" (96) y (97) derivadas a partir de (47).
En realidad basta comparar (96) con (36), recordando la expresi�on para p, (48).Obtenemos de inmediato que
e =
r1 +
2E`2
m3k2=
r1� E
Emin
; (50)
como expresi�on para la excentricidad en t�erminos de E y `.De (50) vemos que si la energ��a es E
min, la excentricidad es nula y la �orbira
es un c��rculo, con radio � = p. Si la energ��a es negativa, de modo que Emin
<E < 0, entonces 0 < e < 1, y la �orbita es una elipse. Por otra parte, si la energ��a
es nula, e = 1 y la �orbita es una par�abola. Finalmente, si E > 0, e > 1 y la
�orbita es una hip�erbola.
Con esto concluimos la deducci�on de la primera ley de Kepler.
As�� como hemos visto que el latus rectum, p, de la elipse depende solamente
del momentum angular, veremos a continuaci�on que el semieje mayor de la
elipse, a, solamente depende de la energ��a del planeta. Tomando el cuadrado de
la ecuaci�on (50) para la excentricidad, obtenemos
1� e2 = �2E; `2
m3 k2= �2E p
k; (51)
en que hemos usado (48) para obtener la �ultima igualdad. Finalmente recor-
dando que para una elipse, el semieje mayor puede ser expresado como a =
p=(1� e2) (ver ecuaci�on (90) en el Ap�endice), obtenemos
a = �km2E
; (52)
que expresa el semieje mayor de la elipse solamente en t�erminos de la energ��a.
Esta �ultima ecuaci�on se puede escribir alternativamente como
E = �km2 a
= �GM m
2 a(53)
que expresa la energ��a del planeta en t�erminos de la geometr��a de la �orbita.
10
7 La tercera Ley de Kepler
Luego de publicar en 1609 sus dos primeras leyes sobre el movimiento planetario,
tard�o diez a~nos en publicar su tercera ley. En 1619, en su libro Harmonice Mundi
enunci�o la tercera ley del modo siguiente:
Los cuadrados de los per��odos de revoluci�on en torno al sol son proporcionales
a los cubos de los semiejes mayores de las �orbitas
Los principales elementos en la derivaci�on de la tercera ley son la ley de las
�areas y la conexi�on entre la geometr��a de la elipse y la din�amica del movimiento
de los planetas.
Como hemos visto en la derivaci�on de la primera ley, los planetas desciben
elipses, que son curvas cerradas en el plano. As�� pues el movimiento de los plan-
etas es peri�odico. Llamemos T al per��odo de revoluci�on del planeta alrededor del
sol. Si integramos la ley de las �areas (27) en el tiempo, en un per��odo completo
(i.e., entre 0 y T ) obtenemos
A =`
2mT; (54)
en que A es el �area total de la elipse. Pero el �area de la elipse est�a dada en
t�erminos de los semiejes por
A = � a b: (55)
(Ver derivaci�on en el ap�endice, en particular la ecuaci�on (105). En t�erminos
de los par�ametros p y e de la elipse los semiejes est�an dados por (ver ap�endice,
ecuaciones (90) y (92)),
a =p
1� e2y b =
pp1� e2
; (56)
respectivamente. A partir de (56), podemos reagrupar convenientemente los
t�erminos de modo que el producto a b = p1=2a3=2, y luego reemplazar en (55)
para obtener
A = �p1=2a3=2: (57)
Igualando las dos expresiones para el �area de la elipse, (54) y (57) que hemos
encontrado, obtenemos la relaci�on,
`
2mT = �p1=2a3=2: (58)
Finalmente nuestra tarea se completa usando (48), que relaciona la din�amica
del movimiento del planeta con la geometr��a de la elipse. Tomando el cuadrado
de (58) y luego reemplazando la expresi�on para p contenida en (48) encontramos
�nalmenteT 2
a3=
4�2
k=
4�2
GM; (59)
en que M es la masa del sol. Esta es precisamente la tercera ley de Kepler. No
s�olo se aplica al movimiento de los planetas alrededor del sol. Por supuesto que
tambi�en es v�alida para el movimiento de sat�elites alrededor de planetas. En
esdte �ultimo caso, basta cambiar la masaM del sol por la masa del planeta que
hace las veces de centro de fuerzas.
Comentarios:
11
i) Como en los problemas gravitacionales, la masa inercial del palneta se cancela
con la masa gravitacional del mismo, en realidad el �unico par�ametro que aparece
en las ecuaciones de movimiento de los planetas es k = GM . Esta combinaci�on
tiene precisamente las dimensiones de longitud al cubo dividido por tiempo al
cuadrado. Es por tal motivo que la �unica combinaci�on entre T y a que uno
puede esperar que sea invariante es, precisamente el cuociente T 2=a3.
ii) Las unidades de longitud y tiempo que hemos utilizado hasta ahora en este
libro (i.e., el metro y el segundo) no son las mas convenientes para calcular
movimientos de planetas y sat�elites. La unidad de tiempo m�as natural para
describir el movimiento planetario es el a~no terrestre, que es el tiempo que tarda
la Tierra en completar una revoluci�on alrededor del sol. Aproximadamente, 1
[a~no] � 3; 16� 107 [seg]. En cuanto a la unidad de longitud m�as conveniente,
esta es la Unidad Astron�omica [UA] que es la distancia promedio de la Tierra
al Sol. Aproximadamente, 1 [U.A.] � 1; 496� 1011 [m].
8 La Masa del Sol
La tercera Ley de Kepler nos permite calcular la masa del Sol, conociendo la
informaci�on de la orbita de la Tierra. O, para tal efecto la masa de un planeta
conociendo los datos de las �orbitas de sat�elies alrededor del planeta. El semieje
mayor de la �orbita de la Tierra es
a � 1; 496� 1011[m]; (60)
y el per��odo de su �orbita
T � 3; 156� 107[seg]: (61)
Por otra parte la Constante de Gravitaci�on Universal es
G � 6; 673� 10�11 [N{m2= kg2: (62)
Reemplazando los valores de a, T y G en la terecera Ley de Kepler (59), encon-
tramos
Msol
=4�2a3
GT 2� 1; 989� 1030[kg]: (63)
9 Viaje a J�upiter
A partir del 4 de Octubre de 1957 (fecha del lanzamiento del Sputnik), el hom-
bre se ha aventurado poco a poco fuera de la Tierra. Los primeros sat�elites
arti�ciales solamente efectuaron �orbitas en torno a la Tierra. En la decada del
los sesenta se hicieron los primeros viajes a la Luna, que culminaron con el viaje
de tres astronautas que alunizaron el 20 de julio de 1969. Desde �nes de los
sesenta se enviaron satelites a distintos planetas del sistema solar. La �unica
manera factible para que un sat�elite pueda \viajar" por el sistema solar es que
se deje llevar por la in uencia del sol. Cualquier otra manera es impracticable
desde el punto de vista energ�etico.
En esta secci�on haremos un viaje hipot�etico a J�upiter. Calcularemos cuando
es el tiempo necesario para ir desde la Tierra a J�upiter dej�andose llevar por la
12
fuerza del sol. Tambi�en calcularemos cual es la velocidad que debe tener un
sat�elite, relativa a la Tierra, para poder realizar este viaje.
Tanto la Tierra como J�upiter describen �orbitas aproximadamente circulares.
El radio de la �orbita de la Tierra es 1 [U.A], en tanto que el radio de la�orbita de
J�upiter es � 5; 2 [U.A.]. Como dijimos m�as arriba la �unica manera de ir de un
planeta a otro es dejarse llevar por la gravedad del Sol. Entonces el sat�elite que
deseamos enviar a J�upiter debe describir una �orbita el��ptica con el sol en uno de
us focos. Como la energ��a del sat�elite es inversamente proporcional al semieje
de la elipse (ver ecuaci�on (53), la trayectoria de menor energ��a es la elipse de
menor semieje mayor tal que alcanza a tocar (i.e., es tangente) a las �orbitas
de la Tierra y de J�upiter. En la �gura (??) hemos dibujado las �orbitas de la
Tierra, de J�upiter y de la nave que estamos enviando. De nuestra discusi�on
se desprende que el radio m��nimo de la �orbita de la nave debe coincidir con el
radio de la �orbita de la Tierra, en tanto que el radio m�aximo debe coincidir con
el radio de la �orbita de J�upiter. As��, �min
= 1 y �max
= 5; 2 (ambos valores
expresados en Unidades Astron�omicas). De (98) tenemos entonces
a =1
2(1 + 5; 2) � 3; 1[U.A.] (64)
Una vez obtenido el semieje de la �orbita de nuestra nave, podemos aplicar
la tercera Ley de Kepler para calcular el tiempo que tarda en recorrer la elipse
en cuesti�on. Por la Tercera Ley de Kepler
T 2nave
a3nave
=T 2tierra
a3tierra
= 1; (65)
si expresamos los per��odos en a~nos y las distancias en [U.A.]. Como en este
caso, a � 3; 1 [U.A.], de (65) obtenemos
T � 5; 5a~nos: (66)
Como la elipse es una curva sim�etrica en torno al eje que une los focos, el tiempo
de ida desde la Tierra a J�upiter es realmente T=2, i.e., aproximadamente 2; 7a~nos.
10 Velocidad de Escape
> Cu�al debe ser la velocidad que hay que dar a un cohete, puesto sobre la
super�cie de la Tierra, para que escape de su in uencia gravitacional? A esta
velocidad, que vamos a determinar a continuaci�on se la conoce como velocidad
de escape.
Si llamamos vea la velocidad del cohete, y �este se encuentra sobre la super-
�cie de la Tierra, su energ��a cin�etica es K = mv2e=2, y su energ��a potencial es
V = �GMm=R. Aqu��, m es la masa del cohete, M la masa de la Tierra y Rel radio de la Tierra. Entonces, la energ��a total del cohete en el momento de
lanzamiento es
E = K + V =1
2mv2
e� GMm
R: (67)
Ya hemos visto con anterioridad que la energ��a del cohete debe ser mayor o igual
a cero para que �este pueda escapar. Imponiendo E = 0, en (67) vemos que la
13
velocidad m��nima para que el cohete pueda escapar es
ve=
r2GM
R=p2 g R � 11; 2[km/seg]: (68)
Para obtener la segunda igualdad en la ecuaci�on anterior, usamos la relaci�on (4)
entre G y g.
11 El Problema de los Dos Cuerpos en Grav-
itaci�on y su Reducci�on al Problema de un
Cuerpo
A lo largo de este cap��tulo siempre hemos supuesto que un planeta, o un sat�elite
se mueve en torno a un centro de fuerzas, e.g., el Sol, o la Tierra, que se encuentra
�jo. Esta suposici�on es muy buena si un peque~no sat�elite se mueve alrededor de
un cuerpo de mucho mayor masa (e.g., cuando un sat�elite se mueve alrededor
de la Tierra). Pero, > qu�e sucede si dos cuerpos se mueven por su mutua
interacci�on gravitacional y tienen masa comparable? Esto es lo que se conoce
como el Problema de los dos cuerpos, el cual afortunadamente tiene una soluci�on
simple. Lo que haremos a continuaci�on es reducir el problema de los dos cuerpos
al problema de un cuerpo que se mueve en torno a un centro de fuerzas �jo.
Consideremos entonces dos cuerpos de masa m1 y m2 respectivamente, que
interact�uan a trav�es de su mutua atracci�on gravitacional. Si llamamos ~r1 y ~r2respectivamente a las posiciones de cada uno de los cuerpos, y utilizamos la Ley
de Gravitaci�on universal (1), sus respectivas ecuaciones de movimiento est�an
dadas por
m2
d2~r2dt2
= � Gm1m2
j~r2 � ~r1j3(~r2 � ~r1); (69)
y
m1
d2~r1
dt2= +
Gm1m2
j~r2 � ~r1j3(~r2 � ~r1); (70)
respectivamente. Si sumamos las dos ecuaciones anteriores, debido al principio
de acci�on y reacci�on tendremos
d2
dt2(m1~r1 +m2~r2) = 0; (71)
que representa la conservaci�on de la velocidad del centro de masa del sistema.
En efecto, si de�nimos como de costumbre la posici�on del centro de masa como
~Rcm
=m1~r1 +m2~r2m1 +m2
; (72)
entonces, (71) se escribe simplemente como
Md2 ~R
cm
dt2= 0; (73)
14
en que M = m1 +m2 es la masa total del sistema. Una vez introducido ~Rcm
conviene introducir tambi�en la posici�on relativa de un cuerpo con respecto al
otro, i.e.,
~r � ~r2 � ~r1: (74)
De (72) y (74) podemos despejar ~r1 y ~r2 en t�erminos de ~Rcm
y ~r, obteniendo
~r1 = ~Rcm� �
m1
~r; (75)
y
~r2 = ~Rcm
+�
m2
~r; (76)
respectivamente, en que
� � m1m2
m1 +m2
; (77)
es la masa reducida del problema. Como�~R
cm= 0, de (76), (69) y (74), �nal-
mente obtenemos la ecuaci�on de movimiento para la coordenada relativa:
��~r = �Gm1m2
j~rj3 ~r: (78)
Esta es una ecuaci�on de movimiento que solo involucra a la coordenada relativa
~r. El t�ermino de fuerza que aparece a la derecha de (78) es central y var��a como
el inverso del cuadrado de la distancia. Entonces, para resolver la ecuaci�on de
movimiento para ~r podemos aplicar todo lo que hemos visto en el resto del
cap��tulo. Solo basta utilizar como expresi�on para k,
k = G(m1 +m2); (79)
y reemplazar m por � en todas las ecuaciones pertinentes.
12 Ap�endice: Geometr��a de una elipse
La elipse es el lugar geom�etrico de todos los puntos en el plano tales que la
suma de su distancia a dos puntos �jos es constante. A los puntos �jos a
los que se hace menci�on en esta de�nici�on se les conoce como los focos de la
elipse. Basados en esta de�nici�on es f�acil obtener la ecuaci�on de la elipse en
coordenadas polares. Supongamos los dos puntos �jos (focos) A y B de la
�gura, se parados por una distancia c. Sea P un punto gen�erico de la elipse.
Usaremos B como or��gen de las coordenadas polares y la recta que pasa por los
focos como eje polar. Llamaremos tambi�en d a la suma de las distancias de Pa A y B respectivamente, i.e.,
d = jAP j+ jBP j: (80)
N�otese que por la desigualdad triangular, aplicada al tri�angulo ABP,
c
d� 1: (81)
Llamemos (�; �) a las coordenadas polares de P . En t�erminos de estas coor-
denadas es simple escribir jAP j y jBP j. En efecto,
jAP j = �; (82)
15
y, usando el Teorema de los cosenos, aplicado al tri�angulo ABP,
jBP j =p�2 + c2 + 2 d� cos �: (83)
Reemplazando estas dos expresiones en la de�nici�on de la elipse (80), obtenemos
�� d =p�2 + c2 + 2 d� cos �: (84)
Tomando el cuadrado de la ecuaci�on anterior y simpli�cando, obtenemos �nal-
mente la ecuaci�on de la elipse en polares,
� =p
1 + e cos �; (85)
en que
p � d2 � c2
2 d(86)
y
e � c
d: (87)
N�otese que de la desigualdad tri�angular (81), 0 � e � 1.
La elipse queda completamente determinada por las dos longitudes originales
c y d. Adem�as, como se desprende de (85) tambi�en queda totalmente determi-
nada por los nuevos par�ametros p y e reci�en introducidos. De hecho podemos
pasar del par de par�ametros (a; b) al nuevo par (p; e) facilmente por medio de
(86) y (87). N�otese que en t�erminos de p y e, c y d quedan determinados por
c =2 p e
1� e2; (88)
y
d =2 p
1� e2: (89)
El par�ametro p tiene unidades de longitud, y se conoce como latus rectum
(�o lado recto), y corresponde a la distancia BQ de la �gura.
El par�ametro e, como cuociente de dos distancias, es adimensional. Ya
hemos visto que su valor var��a entre 0 y 1. A este par�ametro se le conoce como
la excentricidad de la elipse. Si e = 0, entonces c = 0, i.e., los dos focos coinciden
y la elipse se convierte en un c��rculo. e mide que tan diferente de un c��rculo es
la elipse. Veremos poco m�as adelante algunas expresiones para la excentricidad
que dejan mas claro su signi�cado.
Obviamente la elipse es sim�etrica (bajo re ecci�on) con respecto a la recta
que pasa por los dos focos A y B. Tambi�en es sim�etrica (bajo re ecci�on) con
respecto a la simetral que divide al segmento AB. Llamemos O al punto medio
del segmento AB (ver �gura). A la distancia OR de la �gura se la llama semieje
mayor y la denotaremos por a. Por otra parte a la distancia OS de la �gura
se la llama semieje menor y se denota por b. Como R es un punto de la
elipse, jARj+ jBRj = d, pero jARj = jAOj + jORj = (c=2) + a. Analogamente
jBRj = a� (c=2), de modo que d = 2a. Combinando esta �ultima expresi�on con
(89) obtenemos de inmediato
a =p
1� e2: (90)
16
Por otra parte S es tambi�en un punto de la elipse. Como S se encuentra sobre
la simetral del segmento AB, jASj = jBSj = d=2. Por el Teorema de Pit�agoras
(aplicado al tri�angulo rect�angulo OBS) tenemos
b2 +� c2
�2= jBSj2 =
�d
2
�2
: (91)
Reemplazando en (91) las expresiones para c y d dadas por (88) y (89) respec-
tivamente, obtenemos �nalmente
b =pp
1� e2: (92)
Hemos visto hasta ahora que la elipse queda dada un��vocamente por el par
de par�ametros (c; d), �o tambi�en por el par de par�ametros (p; e). Ahora vemos
que la elipse tambi�en queda totalmente determinada por los dos semiejes. De
hecho, a partir de (91) y (92), obtenemos facilmente
p =b
ab; (93)
y
e =
s1� b
a
2
: (94)
La posici�on de los focos sobre la recta que usamos como eje polar se puede
determinar en t�erminos de a y e. Como d = 2a y e = c=d (ver (87)), c = 2 a e,de modo que la posici�on del foco B est�a determinada por
OB =c
2= a e: (95)
Para concluir con la geometr��a de la elipse conviene introducir dos nuevas
longitudes: �min
y �max
, i.e., la m��nima distancia de (un punto de) la elipse al
foco B y la m�axima distancia de (un punto de) la elipse a dicho foco. De (84)
vemos que �min
ocurre para � = 0 (es decir ocurre para el punto R de la �gura)
y vale
�min
=p
1 + e; (96)
en tanto que �max
ocurre para � = �, corresponde al punto R0 de la �gura, y
est�a dado por
�max
=p
1� e: (97)
Es obvio de la geometr��a de la elipse que el semieje mayor, a es el promedio de
estas dos distancias, i.e.,
a =1
2(�
min+ �
max): (98)
Reemplazando (96) y (97) en (98) reobtenemos la expresi�on (90) para el semieje
mayor.
Finalmente dividiendo (97) por (96) encontramos
e =�max
� �min
�max
+ �min
: (99)
17
Para el c��rculo �max
= �min
= 0 de modo que e = 0 como ya sab��amos. Tambi�en
en t�erminos de �max
y �min
,
2
p=
1
�max
+1
�min
: (100)
Para concluir con este ap�endice necesitamos calcular el �area encerrada por
una elipse. Como se ha visto a trav�es del cap��tulo, el �area de la elipse juega un
rol importante en la derivaci�on de la tercera Ley de Kepler.
El c�alculo del �area de la elipse es m�as simple si uno expresa la ecuaci�on de
la elipse en coordenadas cartesianas. En cartesianas, la ecuaci�on de la elipse de
semiejes mayor a y menor b respectivamente est�a dada por
x
a
2
+y
b
2
= 1: (101)
La ecuaci�on (101) es invariante bajo re ecciones con respecto al eje x y al eje
y. Si despejamos y como funci�on de x en (101), obtenemos
y(x) = �br1� x
a
2
: (102)
Los dos signos que aparecen en la ecuaci�on anterior, son una manifestaci�on de
la simetr��a de re exi�on de la ecuaci�on de la elipse con respecto al eje x. Debidoa esta simetr��a, el �area de la elipse se puede calcular simplemente como
A = 2
Za
�a
b
r1� x
a
2
dx: (103)
Efectuando el cambio de variables x = a sen� en la integral en (103), obtenemos
A = 2 a b
Z +�=2
��=2
cos2 � d�: (104)
Finalmente, usando cos2 � = (1 + cos(2�))=2, obtenemos
A = � a b: (105)
Comentario: El c�alculo del �area de una elipse es id�entico al c�alculo del �area
de un c��rculo, pues la elipse es una deformaci�on a�n del c��rculo y el �area es un
invariante a�n. Sin embargo, el c�alculo del per��metro de la elipse es mucho m�as
complicado porque el per��metro no es un invariante a�n.
13 PROBLEMAS
Problema 68:
Callisto es uno de los satelites de J�upiter descubiertos por Galileo Galilei en
1610. Su �orbita alrededor de J�upiter es pr�acticamente circular (e = 0; 01). El
18
radio de la �orbita de Callisto es de 1; 88� 106 [Km] y su per��odo es de 16; 69d��as.
a) > Cu�al es la Masa de J�upiter?,
b) El radio de la �orbita de Io (otro de los sat�elites descubiertos por Galileo) es
de 4; 22� 105 Km. > Cu�al es el per��odo de su �orbita?
Sol.: MJ= 1; 89� 1027 [kg]; Io= 1; 77 d��as.
Problema 69:
Los sat�elites de comunicaciones se encuentran en �orbitas ecuatoriales circulares
sincr�onicas con el movimiento de rotaci�on de la Tierra (�orbitas geoestacionarias).
> Cu�al es el radio de estas �orbitas, medido desde el centro de la Tierra?
Sol.: 42222 [Km].
Problema 70:
El 1 de Mayo de 1996 el cometa Hyakutake hizo su m�aximo acercamiento al Sol.
La excentricidad de la �orbita del cometa Hyakutake es 0; 999696 y su distancia
m��nima al Sol (perihelio) fu�e 0; 230 UA. A partir de �esta informaci�on encuentre:
a) El \latus rectum" de su �orbita,
b) El largo de los semiejes mayor y menor,
c) La distancia m�axima del cometa al Sol (afelio),
d) El per��odo de su �orbita (en a~nos),
e) la velocidad del cometa en su paso por el perihelio.
La mayor parte de los cometas que nos visitan peri�odicamente proviene de una
region del Sistema Solar que se denomina Nube de Oort y que se encuentra a
distancia del �orden de 30:000 UA. Determine si el Cometa Hyakutake provena
de la nube de Oort. (Los datos de la �orbita de Hyakutake fueron obtenidos de
la p�agina Web: http://www.bdl.fr/s2p/hyakut/hyakut1.html)
Nota: 1 UA = 1; 56� 1011 m (semieje mayor de la �orbita de la Tierra)
Problema 71:
El cometa Halley es uno de los cometas mas conocidos. Su �ultimo acercamiento
al Sol se produjo en 1986. (Edmond Halley fue un astr�onomo ingl�es que vivi�o
entre 1656 y 1742. En 1705, Halley se di�o cuenta que el cometa que �el observ�o
en 1682 era el mismo que hab��a sido observado en 1456, 1531, y 1607. Entonces
predijo que el cometa retornar��a cada 76 a~nos. Aunque Halley muri�o en 1742,
el cometa reapareci�o 16 a~nos m�as tarde como Halley lo hab��a predicho, y hoy
lleva su nombre). El semieje mayor de la �orbita del Halley es de 36; 18 UA y su
excentricidad es 0:97. A partir de estos datos determine el perihelio, el afelio,
la velocidad del cometa en su perihelio y calcule el valor preciso de su per��odo
(ver http://www.nasa.gov).
Problema 72:
En clases hemos visto que las �orbitas de los cuerpos que se mueven alrededor
del Sol son c�onicas (i.e., c��rculos, elipses, par�abolas o hip�erbolas). Demuestre
que en cualquiera de los casos anteriores, el vector velocidad describe un c��rculo.
Encuentre la posici�on del centro del c��rculo y su radio en t�erminos del momentum
angular L, del par�ametro p, de la masa m del cuerpo y de la excentricidad ede la �orbita. (Este resultado fue encontrado por Hamilton en 1846. La curva
descrita por el vector velocidad se conoce como Od�ografo).
19
Sol.: Ver p�ag. 114., R. Benguria y M. C. Depassier, \Problemas resueltos de
mec�anica cl�asica, Ediciones UC, Santiago de Chile, 1996.
Problema 73:
Una part��cula de masa m se mueve sobre un cono invertido, de �angulo de aber-
tura � cuyo eje de simetr��a es vertical. Suponga que la part��cula est�a inicial-
mente a una altura h (medida a partir del v�ertice del cono) y que se le da una
velocidad horizontal v0 tangente a la super�cie del cono. Calcule las alturas
m�aximas y m��nimas que alcanza la part��cula en su movimiento sobre el cono.
Indicacin: utilice el mismo tipo de tcnicas que en el tratamiento del movimiento
de una partcula bajo la accin del potencial de Kepler (ver, e.g., Prob. 17, p�ag.
86, R. Benguria y M. C. Depassier, op. cit.).
Problema 74:
La excentricidad del cometa Hale-Bopp (cuyo acercamientom�aximo al Sol ocurri�o
en Marzo de 1997) es 0; 9951172 y su m�aximo acercamiento al Sol (rmin) fu�e
0; 9141405 UA. A partir de esta informaci�on determine:
a) los semiejes a y b de su �orbita,
b) el \latus-rectum", p,c) la m�axima distancia al Sol en su �orbita, rmax,
d) su velocidad en el perihelio,
e) el per��odo de su �orbita.
(ver http://cfa-www.harvard.edu/cfa/ps/Ephemerides/Comets/1995O1.html)
Problema 75:
Calcule el perodo de la rbita de un satlite que se mueve justo sobre la super�cie
de la Tierra (ignore efectos de roce con el aire). Repita el c�alculo para el caso
de J�upiter y la Luna.
Sol.: 84; 4 min, 173 min, 110 min.
Problema 76:
La m��nima distancia que se acerca cierto cometa al Sol es la mitad del radio de
la �orrbita de la Tierra (supuesta circular), siendo su velocidad en ese punto el
doble que la velocidad orbital de la Tierra. Usando las leyes de conservaci�on,
encuentre: a) velocidad del cometa cuando cruza la �orbita de la Tierra, b) �angulo
al cual el cometa cruza la �orbita de la Tierra, c) la excentricidad de la �orbita,
d) el tipo de �orbita.
Sol.: a) 42; 1 km/s, b) 45, c) e = 1, d) parab�olica.
Problema 77:
Demuestre que el cometa del problema 76 cruza la �orbita de la Tierra en puntos
opuestos de un di�ametro de la misma. (Indicaci�on: use la Ley de �areas de Kepler
con la ecuaci�on de la �orbita en coordenadas cartesianas).
Problema 78:
Se lanza una sonda espacial desde la Tierra a J�upiter, la cual sigue una �orbita
el��ptica que justo toca las �orbitas de ambos planetas, es decir su menor y mayor
distancia al Sol son RT
(radio de la �orbita terrestre) y RJ(radio de �orbita
joviana) respectivamente. a) Encuentre la velocidad de la sonda relativa a la
Tierra justo en el instante de lanzamiento y la relativa a J�upiter justo cuando se
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encuentra cerca de �este, despreciando en ambos casos la atraccin gravitacional
del planeta respectivo; b) > en qu�e punto de su �orbita, relativo a la Tierra, debe
encontrase J�upiter en el instante de lanzamiento de la sonda?; c) > en qu�e punto
se encuentra la Tierra en el instante que la sonda llega a J�upiter?
Sol.: 8; 8 km/s, b) 5; 7 km/s, c) 97 m�as adelante de la Tierra, d) 83 m�as adelante
de J�upiter.
Problema 79:
Un planeta de masa 2m gira en torno al Sol en una �orbita circular de radio R.Un segundo planeta de masa m movi�endose en la misma �orbita circular, pero en
la direcci�on contraria, colisiona inel�asticamente con el primero (de tal manera
que luego de la colisi�on ambos quedan pegados). a) > Cu�al es el semieje mayor
de la �orbita resultante?; b) > Cu�al es la excentricidad de la �orbita del cuerpo
resultante?
Sol.: a = 9R=17; e = 8=9.
Una buena fuente de informaci�on sobre el Sistema Solar se encuentra en la
p�agina Web:
http://www.seds.org/nineplanets/nineplanets/nineplanets.html
References
[1] Johannes Kepler, Astronomia Nova, 1609.
[2] Johannes Kepler, Harmonice Mundi, 1619.
[3] Jos�e Maza, Astronom��a Contempor�anea, Editorial Universitaria, Santiago
de Chile, 1988.
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