159
!"#$" %&’&’& ("#$")*+# (( &,’ ((#-"+#+# # )"#*$") $. / ("# 0). * #"1#. / ("#

La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

  • Upload
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���������������� ��������������������� ����������������������������������������������������� !"#$"��%&�'�&'&����(�"#$"���)�*���+#���� ����((���&,�'���(���(#�-�"������+#���+#���

��������#���

)"#�*$�"��)�������������������� �������� �������������

�$���.�/����(�"#���

�����������

���� ������ �������������������� ������������������������������ ������ ����������������������������������������������������� ��������

��������� �������� �������� �������� ��� ��

���0)�.�*����#��"1#�.�/����(�"#���

������������������������������� ������ � ��������������� ����� ���������������� ���������������� ��������������������

Page 2: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���� ��������� ������ � ����������� ��������������������������������������������� �����!����� ���� ���������� �������� ���������

����������������� ���������������������� ������ � ������" � �� ���#�

�����.�/����(�"#���

�������������������������������������� ���������������� � �����������������������������������������������������������������������

��-�#.�/����(�"#��2�

������������������� ������$ �� ������������ �����������% ��&�������������������������� �� ������ ����������� '������������������������� ������������� �'����������������������������������������������������������� ����������������������������������������������� �� ���������������������(���������������������� ������ �������������������������������������������� ������������� �������� ����������������������������������������������������������

#�3#����"��)�*����)"#��)"�.�/����(�"#��2�

�������������������������)����������������� �������� ������������

4!�$#.�-�"!��#��.!��/����(�"#��2�

��������������������� ���� ������*����+������������ ������������������������

��.��#�#�.�/����(�"#��2�

����������������� �������� ����

����� ������� ����� ��������������� ������������ � ��������������� ��

���������� ����������������������������� ������� ����������������� ���� ����������� ��������������������� ������� �����

Page 3: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

����� ��������������� ����� ����� ������� ������ ���������������������� ����� ����

�!#!�$#.�+���"��)�/����(�"#��2�

���������������������������� �����������,���� �������������� ������������������� ������� ���"�������� ��#��������������������������������� ������ �� ����������������������������������������% ��&���������������������������������������������������������

��.�5�$��*��#!+�����)�/����(�"#��6�

�����������������������!���������������������� ����� �����������

Page 4: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������

�-�����������������������������������������.��

/ ���������������������� ��������������� ������������� ����0������ ���� ��0� � ��� ����� ���� ��1� ��� ���� �� �������� ��� ������������ ����� � ����� ����� � ��0� ����� ��� ��� ��� �� ��� ����������� �� � ����� ���� ���0� ��� ����� � ��� ��� � ����� ���� ������������������������������������� ���.�

/ ����������������������� ������ ����������� ����������.�

2�� ��� ����� ��� 3��� ������� ������� !� �� ��� ���� ��1� � �� ���� ��� 4��� ����� � �������� �� �������� ���.� 5��� �6�� ��� ������(������ �� ������� �������� � ������������������.�5���������������������� ������������������7��� ��� � ���������� ��������� �� ������� ��.�)������������ ������ ��!����������������8�1������ �� ������������� � � �������� !� ������� ����8�� � ������������ ��� ������ � ��������� ����������� �� ����7�0� ��� � ��� ��������(�������� ������� �� ������� ���������������������7�1�������� �6�� �� � � ��.� 9���� ���� ��� ����� �� � :��� �� �� ���� ������������ ���.� � ��� ��� �������� ��������0� ������ ��� � �� ���� ��� �������� ����(��� � ��� � � ��0� �� ������ �� ��� �� ����� ������ '� � �� ������������.� ����� � � ��� �� ������ �����������0� �� ��� ��� �� � ��� �� ����������� �����!��������������������.�)�����0����� �� ������������������"�������������������0� ����������#.�

� �������������0������ ������������������������������������������ ����������������������������������.�

-�� �������� ��������� ������� ��� �� !� ����4�0� ����� �������������� ���� ��������� �� ������� ��� ��� ��� !� �� �������������.�

9���� �������� ��������� ������� ��� ������������ "��� ��� �������������������#� ������ ������ ����� ��� ��� ������ �� ���� ��� �������� ��4��0������������������������������������������������4���������.�

)������

����������������� ����������������������������������������������������������� ����!����������������������������������������"��������������##$$$$$��%������������������������������������������ �����������!�������##������������������������������������������

2������� �0��������� ��0������� � ���������� ������������� ����1��� ���0� !� �� ��� �0� ������� ���� ����(� � ��� � � ��� ��� � �� ������� ��1� �� � ��� �� �� ���� �� ���� � ��� ��� � ������ �� ��� ���������� ���� ������ ��� ��� �� ������� !� ���� �������0� �� ���� ��

Page 5: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�� ���� ������� ����� �������������������0����� ��4���� ������������� � � �������� �� �����.� ;�<�� !� ��� �� ������0� �6�� ��� � ���������� ���� �������� � ��� ������ �� � ������ ������ ��� �� ������ ��4�0��������!���������� ������������������ �� � ���������������"����� ����� �#.� )������ ��� � ������ ����� ��� ��� � �� ���� ��� ����������������� ��������!������������������������ ��.�

=���� ������������� ����� ���� ���� ��� ����� ������� � � ���������������� ��� ���� ������0� � � ������ ����� ��� ������ ����� �� ��� ��� � ������ "��� � �� ���#.� � / � �� ��� ����� �� � � �������� ���������� �� ��� �� � �� � ������� ���� ����0� ����� ������ ������� ���� ����� �������������������( ����� � ������������ �� ������� ��.�

��������������������& �'�����(���������������(������������������������! ��)*��!�������*+����+��� ����'������������������()*���������! ������������������������������������* ���, �'&'�����! ��$*�'����-�.*/�����������()���, �'&'�����! ��$*�-�.*/�������������������

�������� ������������������������ ����"� ���0��#1�

Page 6: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350
Page 7: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

Page 8: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������������������

���(�"#��78�

'#�).+�#��#�$)����$�����)�$)��(#��!*$#��#!�$#.�-��

5����� ������������� ������������������������������(���������������������()*����*0������������*+����+��� ������� ����������

>��������������4��� �� ������������������ ��������0����� ������� � ����1��������������������� ��� ��� �������"7#1�����

����������������� ��(����������������������1**��!�������������������*+����+��� ������� ��������������� �-*����������������

'#�).+�#��#�*�$����$���.����#�9$!�.��)�$)��(#��!*$#��#!�$#.�-��

5������� ������ ��� � ���� ��� ���� ������� ���������.� =���� ������ �� ����� ������������ ���� �������� ���� ���� �� �������������������� ������� � ��������

���������������!��������'��(���������������������()0����2���������()0����3������������*+����+��� ������� �4*0-����������

$���� ������� ��� ���� ������0� ��� ������� �� ������� � ������������� �����������������1����������� ������������� ����������� ��� ���� �����"?#1����

���������������!� ��(�����������������(��������������������15��!��������������������()0����3���������������*+����+��� ������� �4*0-�������������!� �-*����������������

@��������������������!��������� �������������1���� �� ������������� ��A7?�� � ��� � � �������� ����� �0� �� ���� ��� ������ !� � ������������ ������������!�3���0� �������� �8� ���������������

�� �� ����� � ��� �� � �� �B� ���� ��� ��������� !� 7?� �� ����� ��� ��� � ��������� ���� ������ ����������������������7��

Page 9: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�� �� ������� �B� ��A7?�� �� ����� ��� ��� � � �������� ��� � ��������������7������������ �����!�?.�

/� ���� �� �����"?0?#1�.�

���������������!� �'��(���������������������15��!����������1*0��!�������������������������*+����+��� ������� �4*0-����������������!� �'�-*�������������������������������!� �-*'0��������

����$��#����+��"�#������*:$)��)"��#�

/������������������������������� ������� �� ������������������.�

/ � � �������� ����� ������ ���� �� ���� ��C�� �� ������� �� ������ ������ �������������� ��.�

2��� ������� �� ���������������������������� �� ����������������������������7� �����!����.�*����0��DC�A�7E8EFEGED��

/ �������������� ������������������������

������������� ��(����������(���������������'6�(���������������������������������������������������������������������6()*���������������������������������������()*������������������������������������6()64���������������������������������()6���������������������������������������������������������������������

)����� ��� �������� � � �� ������ ���������������������������������� ��������0� ��� ������� ���� �� ��������� � � ��������� ������������� �����

������������� ��(����������(��������������������)*��!�������()*������������()�4���� �$*�������

2������� �0� �� ����� �� �� ������� �0� ��� ������������ ���������� ���������������������������� ����.�

Page 10: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��7;�

4��(��#�$)���##!��)�*��3�)����

5������������� � ��� � ���� ��7?�7?� � ��0� �� ���������� �������������� ���� ��1� �� ������ ������������ � ���� ����������������� � ��� �� �� ��� �0� �� � ���� !� ������ �� ��� � �� ���� ��� ��.�

$������ 0� ��� !���� ���� ��� ����� �� ������!� � � � ���������������"�0'#0� ������ ����� ���� ��!����������� �� �� ���������������"��70'�7#.�

@�� � ��� ����� ����� �� ����� ��� ����� �� ����� "�� �� ������� ���� ����!�����������������������������������'#.�

2�� �� ������� ����� ��� �� ����� �� ��4�� �� � � �������� ��� �������� ����������������������'������������������������ ���.�

2�� � ��� ��������� ���������� �� � ������ � ������� ����� "'A7#0� ��������� ������� ������������ ��!�� �������������.�

��������������� %','%�������',���'�����������(��������������������.%',/()�7��������!��������������� %8)��������� ,8)������!����%�����##������������"�����,)*��!������������������%8)�����!������ %�����������##������������������%()%������������,(),���-*��������,8�����!������ ,����##������������������,���(),������������������1���4�����!����##�������������9������������ %','%�������',���'����������-*�����������������%8)�����!������������������,���)�����!������ %�����������##������������������%()%��������,(),���������������������1���4�����!����##�������������9������������ %','%�������',���'����������-*������������������������������1���4�����!����##�������������9������������ %-*',$*'%�������',���'����������-*��������

2�� ��������������� ��������������������� ������� �"707070707#1�.�

Page 11: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�����������������������������������

���(�"#��78�

�:�)-�#.��)�*:$)�����0)��*����#��"1#�.�

$���� ��������� !� ������� � � ������������ � ��� �� ����0� ����� �������������� ��������������������

�������������������� ������ � �����.�

5��������� ������ � �����1���������������������� ��� ���������� �������������� ������������������������������������������ ��1�� ���������� ������������ � ������������� ��� �������� ��"�� ������ ��� ���#0���� ������������ � ���������������� �� ������'����������"�� ������ �� ����0� ����� !� ���� �� ������ ��� �� ���� �� ��� �� ��0� ����������� ��� ������ ��� ������� ������ ��� � ����� !� ��� ��� ����������� �� � � �������� ��������� �� ����������� ���� �� � ���������� �#.�

�� � ����� ���� ���0� ���� ��������� �� ���� �������� �� ����� ������ ������� ���� ������� � � �� ������������� !� �� ���� �� ��� ������� ���� � ��������� ������ �������� ��� ����� ������� ����������������� ��� ���� �� � � ����� �� �4�� �� � � �� ��� ����� ��.� H����� ���������������������

��������������� ��(��������(��������������%�(����������������(������������������%()���������()*���������! ������������%()�.�/-��%��������()��%������������������������ ������(���������������%�(����������������(������������������%()���������()*���������! ������������%()�.�/-��%���()��%�������

H����� ��� ���� ��������0� ���� �������� !� ���� ��� � � ������ �� � � �� ��� ������ � ������������������������ ��������� ������� �� ��� ����� ����

��������������� ��(��������(��������������%�(����������������(������������������%()���������()�����! �����:����*����������%()��%-�.�/��������()��%�������

Page 12: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

����������������� ������(���������������%�(����������������(������������������%()���������()�����! �����:����*����������%()��%-�.�/���()��%�������

9� ������������������������������������������������0���� :���!������ ����������������������������������������������������1��� ���� ��� �� ������ ������� !� � � ��������� �� � � �������� ��������0� �������� ������ � ��� ��� ����� ����� �� �4�� �� ������ � � ����1� ��� �� �������������� ����������

������������ ���� ����

�������������������������������������� � ��������4���

��������������������!������������������������ ���

���������������������������� ������������������ � ��������4���

������������������������!������������������������ ��

�������������������������������� ����������������� � ��������4���

������������� ��������������!��������������������������

����� ��������� ��

��������������� ��(��������(������������������������������(��!�������������������������(����������������������������(������������������)����!�������������()�������;$$$��������������������������$$$<����������������������������������()�.�����! ��/���������()���, �'*'�����! ��$*��������������������()������ ����������������()�����������������-���������������������������������������������� ������(�������������������������������(��!�������������������������(������������������)����!����()���##$$$�������������������������'����������������������������������##$$$��������������������������������=����18����!��=������������������������������()�.�����! ��/���������()���, �'*'�����! ��$*������������ ��������##$$$�����������������������()�����������������-�������������������

>���������������������������������������������������������������������� ���� �� ����������0��������������������������������������������� ���

��������������� ��(��������(������������������)����!���������()����������������()�.�����! ��/-������ ���, �'*'�����! ��$*����

Page 13: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���������������������� ������(���������������(��!��������������18����!����������������()�.�����! ��/����������� �'�����! ��'*������������ ��������()�-����������������

$���� ������� �������� ����� �� ��� ��� ���� �������� ��� � ��� ������������� �� �� ������"�#1�0� � ��� !� ���������� ��� � � �� ��� ��������� ������������ �� ������'�������0�!�� ������������ ��1�������� ��!������������� ���������"� ���#1�������������� � �.�

Page 14: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��7;�

�-��$�"��)�*:$)�)���#��!�#�"��)����++#�.�#����).�

=���� ������ �� ����� � ���� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ���� ������������ ��0�� ��� � � � ������� ������������������������� �����

I�A�7???�

��A��D??�

>�A��7??�

/�A���D?�

J�A���7?�

H�A����D�

@�A����7�

2�� ����� �� ��� ��� ������� �� ��4� ���� �� �������1� �� � ������ ������������� ���� ����������������������� ���.�

����������� ���������� ��

7���������@.�

8���������@@.�

F���������@@@.�

G���������@H.�

D���������H.�

K���������H@.�

L���������H@@.�

M���������H@@@.�

N���������@J.�

7?���������J.�

9�������������������� ��� ��708����F������������ ���������������� ��� ��@0@@����@@@.�@�������K0L����M.�

>��� ��� � � ��� ����� �������� ���������0� ��������������� ������� ��� ���� ��� ��3 ���� �� ��� ��� ���1� ����� F?� �������� JJJ0�F??���������>>>.�

Page 15: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

9���� ��� ������� ������ ��� �� G0� �� �������� � ��� ������������� ��� ��@H.���

9���� ��� ������� ������ ��� �� N0� �� �������� � ��� ������������� ��� ��@J.�*�����GN��������� ��@J0��������������J/@J.�

@���������0� ��� ������� ������ ��� �� N?� �� �������� � ���������������� ��� ��J>.�

7D���������JH.�

GL���������J/H@@.�

NL���������J>H@@.�

7G���������J@H.�

7GN���������>J/@J�"������>@/0������������� ��������#�

����2������� ������� ��������������7??�G?�N�A�>���J/���@J�

7GN?���������I>�J>�A�7???���G??���N?�A�I���>����J>�

7N??���������I>I�A�7???�N??�A�I���>I.�

7NN?���������I>IJ>�"������IJI0������������� ��������#�

�����7???�N??�N?�A�I���>I���J>�

7NNN�A�I>IJ>@J�

��������� ��

5������������������� ���.�5���������������� ����� ������������� ��������0� ����� ��� �� ������ ��� �� � � � ���� �� ����� �� ���0� ������ ����� ���������!�� �� ����������������.�

��������'��������������������%������(�>?>@?A@+�BC�������������������>+�B���������������?'����������������'���������������������������������B����������>� *000������������������������ ?>@?A@�+�B��D�������������������������������(�B��?��������������E���>� ���������������������������������������������B��?>@?A@���������F��������������>@?A@�������������������?�B��B���D������������>@?A@���������������(�B��B���B>���������������E���@�����������*000-������ @?A@�+�B��B���B���D������������@?A@���������F��������������?A@�������������������@��B��B���B���B���������������@��������������E�������������+�B��B���B���B���D������������?A@���������F�*00�-������� A@������?��������B��B���B���B���B������E���A+�B��B���B���B���B����D������������A@���������F��������������@��������������������B��B���B���B���B�������A'�����*0$*�)�3+�B��B���B���B���?A@�)�?�-�3�)�*03�B��B���B���@?A@�)�?A@�$�@�)�*03�$�*0�)�33�B��B���>@?A@�)�>�-�@?A@�)�*000�-�33�)�*033�B��?>@?A@�)�>@?A@�$�?�)�*033�$�*00�)�333�>?>@?A@�)�*000�-�333�)�*333���

�2�������� ���������� �������������� ���

Page 16: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

5���������������� ��.�5�������������������������� ����� ������������� ��������0� ���������������� ������ �� ����������������0������������ ���������!�� �� ����������������.�

5�� �� ������ ��� ��� � ��� ���� ������0� ����� ��� ���� �������� � ��������� ���"IA7???0���A�D??0...#.�

*������)� ���� �������������� �� ������������������� ��.�

5������ ������������)� �"�#A�� ���"�#�������������� � �������� ��.�

/������ ������������� �����

������ �� ���������������������� ������������ ������� �� ����������

��������0� ������)� �"�#A� ���"�����������#�)� �"���#��

������ �� ���������������������� ������������������ �� �������

��������0� ������)� �"�#A)� �"���#�� ���"�����������#��

2������� ����� ����� �����������������0���������I@I�"�������� ���������� ����3������� ���#������ ����!�7NNN.�/����� ��������������������������� ������������ ���������� ��� ��� ������ � ���������4����� ���0�������������������������� ���.�

��������������� ��(��!����(�����������������������������>��(�������()*000���������(�������()�G00������?��(�������()�*00������D��(�������()��G0������@��(�������()��*0������H��(�������()���G������A��(�������()���*����������������������������������� �(��������(���������������*�(������������������������! �)*��!�����������()������ .*/�������������������*()������ .*/����������*1������ .&/���!����*()$�*���������()�*-���� ���, '&'�����! �$*�����������������

Page 17: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��7<�

���)*#���.�

2�� ��� � ��������� ��� ���� ��� ��� �� �� ���� �� ���� �� � ��4�� � :��� !� ��������� ����� !� ������0� � ��� ����� ����� ���� ��.�

�������������*+>+*�������� �������.�

/ � �� �� �)52$)� O)59)� )9� 5)� O)$25)�� "� ��� ����� ����� ���� ��������������������)52$)O)59))95)O)$25)�#���������� :�������������� �� ��������� ������������� ������������ �� ���.�

/� ��������� ���� ���� ��� ��� ���� ��� ��� �������� ��� ���4�����������

�� ������� �� ��������?� "������ ���0� ��� ������ �� ����0� � � � �� ������������#������� ��������

�������������������7�"������������#������� ��������

��������������� ������������ �����������������������!�� ���������� ��� ���� ��������� "�� ��������� �����: ��� !� � � ������� �������� �������� ���!��� � ����������������� ������ �����*+>+*�����������������+>+�#������� �������.�

2������������!������������������� ���������� ����������������������������� ����������...������������������������� ��������.�

H����������� ��������������������������� ���������

������������������� �(��������(������������������������! �1&��!�����������������()��������������� .*/).�����! �/���!��������������������()���������� ���, '&'�����! �$&���������������������������()�����������

Page 18: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��7=�

�-��$�"��)�*:$)�����0)��*����#��"1#�.�+�#�!��*:$)��.�����*��)���#�.�

5���� ��� �� ��� �� � � ������ ��� �'� ���A�D�F�G�L�1�1� ������ ������ ��������� ��������� ������ � �����.�

H�'������ �������������������������

���� ��������� ������� �� ����������� ����������?�

������������ ����� ����������������� ���� ��������������9�@���.�

������ ��� ��� ������ ������� ��� ��� � � ��������� ���'��������� ��������� ������� � ������ ����� ����������������

�� ���� �� ������� � ��� ��� ����� ������� ��!� � �� ���������������� �������� �� ������� ��� ������ ���" ����������#.�

H����������� ����������� ������������������ ��(��������(���������������'��(������������������������! ��)0��!�����������()0������������������()*��������������� ��������� �8�����! ������� �.�/)�-��������()����A�� ���, �'*'�$*������������� �'*'�$*����������()�-���� ����������������

2�� ������������������� �� :������� �����

��A� �"��D7�L�KL�F7�#1�

2�#.�$)����)�7����$��"#����

5���� ��� �� ��� �� � � ������ ��� �'� ���A�D�FEGP8�DEF�GELP8�1�1� ������ �� ���� ��� ���� �� ��� ���� �� ��� ��� � �����.�

/ ������������!� � ������ � � �� � �������� ����1��������� ��������� ��������������������������� ���� �����������������.�

)������ ����� ������ �� ���� �� ���� ��� ����� ��� ���0� ���� ������!�� �����!���������"���!������������#�������.�

$���� �������0� ��� ����� ������ ����� �� ���� ��� ����� "��������������#�������.�$������ 0������������������� ���

Page 19: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

� ������������0���������������������0���� :���!���������������� ���� �����������������.�

������������� ��(��������(���������������'��(������������������������! ��)0��!����������()0������������������()*��������������� ��������� �8�����! ������� �.�/����.�-�'�$�/�������()����A�� ���, �'*'�$*������������� �'*'�$*����������()�-���� ����������������

I ���� ��0��������������� ��������������� ����������������������������� �� �������� �� ��������1� ���0� ��� �� ��� �� ������ � ��4�����������������������0������ �� �������������� �������� ��� ����������� ��������.��

I ��� ���������������������������0����������������������0������������� ���� �� ������ �� �� �78PGEKP8�� ����� ��� �� ���� ��Q��� ��� �� �� !� � �� ���� ��� ����� ���� �78�� ������� �� � � � ���� ��� ���� �GEKP8�.� /������� ��������� ������""78PG#EK#P8�������N.�

@��� ���������������� ����� ����!������0�� �����������!�� ���.�

*������������� �����78PGEKP8������� �� �������� �����78PGEK��������� ��8.�

���/������� �����78PGEK������� �� �������� �����78PG����������� ��K�

������/������� �����78PG������� �� �������� �����78��������� ��G.�

������2������� ���������������0������F.�

���2�� 0�������� ���� ������ ������������0�FEKA7M.�

2�� 0�������� ����������������� ������ ������������0�7MP8AN.�

/� ������������������ �����

����������������������� ������������ �� ���.�

������������������������E�� �������

������������� �������������������� ��� ���

������������ ���� ��� ������ ���

��������������� ������� ��!����� �� �������� ��� ������ ���"������������#���������� ����������������

������������������������P�� �������

������������� �������������������� ��� ���

������������ ���� ��� ������ ���

Page 20: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������������� ������� ��!����� �� �������� ��� ������ ���"������������#�������� ����������������

����������� ����������� ��� ���" ������������� ����0������������#� �������

��������������� ������� ��!����� �� �������������.�

H����� �� ���� ��� ���� �� ��� ��� �������� � ���� ���������� ��� ��� ������� ������ �� ��� G� ��� ������� ���� �����.�>����� ������������� ������������������.�*����0��� �������� � ���������������0� ��� ����� ����� �� ���0� �� ������ �� ��� ������0���<��!� � � ��������������.�I ��� � � �� ������ ������� �������������� ���.�

�������������0 ��(��������(���������������'��(�������������������(��!�����������()�����! �������������� ��������� �)0����� �.�/����.�4�'�#�/����()����A�� ���, �'�-*'�����! ��$���������80��!�������()�.�/���������()I0�������� �'�'�����! ��$*-�����������)�4���!�������0()����0 ��4�������������)�#���!�������0()����0 ��������������������0()���������������������� ��(��������(���������������'��(������������������������! ��)0��!����������()0������������������()*��������������� ��������� �8�����! ������� �.�/����.�-�'�$�/�������()����0 ���, �'*'�$*������������� �'*'�$*����������()�-���� ����������������

Page 21: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��7>�

�)�3#����.�

5�������������������� ���������� ������� ��������������� ����������� �� ��� �� � � �����1� �� ���� ��� � �� ���� ��� ������ ��� ���������� ��0� ��0�� �0��� 0�� �0��� �.�

$���� �� ����� �� ���� ��� ����� ������ �������� �� ��� ������� ���0�������� �������� �������� ������ ��������� ���.�

$����� �0���������������� �������������� �.�

$����� ��0���������������� �������������� �0� �.�

2���� ���������������� ���������������� ������������ ������� � ��� �������� ������� �� ���0�������8������������.�

2��������������������� �������������� �0��������� ������������������� ��������������������� �� ���.�

J����=���='�������������������������(�����������������������(�=���=������������������������=��=������=���=���������������������������������������&�������������=��=������=���=�������%���������������(�=���=������������������������=��=������=���=���������������������������������������&�������������=��=������=���=����������������������(�=���=������������������������=��=������=���=���������������������������������������&�������������=��=������=���=�

=���� ������ � ��� � � �������� ���� ������ ��� ������ ������ ��� ������������� �����F�� � �����.�

�������������������� ��(��������������*'�&'�2�(������������������*'����&'����*'����&�(�������������������*()*����2����������������������*�()�.*/����������*()���, �'&'�����! ��$*��������()����*�����������&()*����&������������������������������&�()�.*/��������������&()���, �'&'�����! ��$*������������()����&���������������2()*����*��������������������*+����+��� ����*-����&-�����;���������!������"�����������<����������()����&-����&��������������;�������������������������<�������������������()����*-����*������������������;�������������������������<���������������

=���� ������ �� �������� � ���� ��� ���� �������� ���� ���� �� ����������� ��������.� 2�� ������� � � �������� ���� ��0� ���� ��� ��� ������������������������ ����"� ���0��#1����

��������������������* �'�����(���������������(������������������������'�����������(����������������������! ��)*��!�������*+����+��� ����-������������������()*���������! �������������������

Page 22: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������������()�.*/�������������������()���, �'&'�����! ��$*��������������������* ����������'����-���������������������()����������-�����������������������������

I ���� ��������� ������� ���� �� ���� ��� ������� ��������R��� ���������R��� ����������������

��������������������& �'�����(���������������(������������������������! ��)*��!�������*+����+��� ����-������������������()*���������! ������������������������������������* ���, �'&'�����! ��$*�'����-�.*/�����������()���, �'&'�����! ��$*�-�.*/�������������������

-�� ���� ��������� !� �� ������0� �� ���� ������ !� ���� ��������������������� ��������'��0����� ����� �����

������������������������� ������������ ����� ������� ����������.�)������������ ����������� ��������������0������������ ��!� � � ������ ����� �� !� ����� �� � � ������� ����� ��� �� ��� ������� ����������� ������������������������ ����������� �����!�� ����1������������� ����������� ��������������0������������ ��!�� � ������� ����� �� !� ����� �� � � ��������� ����� ��� �� ��� ������� ����������� �������������������������� ����������� �����!�� ����1��������������� ��������������

����������������������������!�(����������������(��,����������������������!����?��� �����!�(���������'�6�(��,������������������(��!�������������������������18�6��!������������������������������()�!.�/�����������!.�/()�!.6/�����������!.6/()��������������������������������������������������� �!�(����������(��,��������������6�(��,�������������������������)����!�������*+����+��� �!��������������������������6�()�������������������������������������������!����?��� �!'�'6����������������������� �!'�-*�����������������!����?��� �!'�'6��������������������������������������!()�������()�����! �!���������� �!'*��������

Page 23: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�������������������������������������

���(�"#��78�

���(�#��$#.�*$�+�$�

=���� ����������������� ����� ���� ������� ���������������.� @�� � ��� � ��� ��������������� ��������������0������ �� ��� ������������������������ �0�� ������4����������� ����.�>� ����������������������� �� ������������� ��� ��4��� ���� ' ������4����������� ����.��

����������������� �������� �� ������������� ��� �����������������

����� ����� ��� ��� ��� �������� ����� ����� ��� ���� � ������ ���� ����

����������������

���������������������������� �

��������*�����������������������������������������������������������+�

*����0� �� ��������������� ���!� ���� ����������������� ��������0�� �������� ����������� ���7080F0G0D0K�� ���������0�� ������������� ���L�"��������� �����7#���M�"��������� �����8#�� ���������+�"���������������#.�2�0�� �� ��7� � ����� !������������� ���������+0����� ����� ���� �� ��8.����4�0������������ ������� �� ��N�!�� �� ��K��� �� ��� ������ ���8���70�� ���������� ��������� !�������������� ���������+.�

)���� ���0��� ��������������� ��� ������������ ������������0�� �������� ����������� ���7080F�� ���������+.�)�����0��������� ��������D���� ���!����� ��� ���� �� ��8�"��������� �����K#0�� ���������������� ���������*.�-���������K0���������� � ���������L�� ������ ���7���F������� !����� ��������� ���������+0���� �� ��D� ��� !����� �������� ���������*��� ��������� ������D�����K.�

Page 24: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

=���� ������������� ����������������� ��.�2�� �������������������� ���� ����� �������!��������.�$����� �������� ���������� ����������� �������0��������� ������������������� ���0�� �������� ��� ��������� ���'��� .�)�����0� �� ������� ����8� �������������4��� �0�������������� ��.�=��������������� ������� ����� ���� ������� �����������0���������6���� ����������������� ������������������.�5������������ ������������������������0� ��������������������� ����F8.�$�� ����� ������0��������������������������������� ��� �������0��0���������� �����4���������� ��� ������8�����0���� ���������� �� ����������� ����������� �� ��������� �� �������������������� ��������.�@������� ���������������� ����� ����������������������0���������� ��� ��������8� �������� �0�� ������ ����� �����8��������� ��� �� ������� ������������ ���� .�

�������� �� ����� �� ���������� �� ���� ������� ��� �� �� ���!"#� $� %#� ������

�������&����'��� �������� �������������� ��%#�#� �����(��#� ���� ���

�����������!������#� ��������!�������)#���

������������� ��

��������*�)�K�����������&�)�K���,�������������)�����������������������������'���������������������L'�������������������������(����������������������������������������!�E������)�����,.*++���*'*++���&/������������������!���(���!�E�������##$$$���!�E�������������6������������(�����,.*++���*4���&/��������������##$$$��������������������

2�� ������ ������ � � ��������� ���� ������� ��� ������ ��� � ��� ���� �������������

������������������������������(�������������������'6'������(�����������������������������()0�����������()*�������*������������6()*�������&�����������������!.�'6/+�������!������ ����������������������������() �����) ���*4���&�����&�������������

/ � �������� ���� ������ �� ������� ��� ���� ��� ���� ������ ��������.�)��� ������� � ��������

���*����*��������������������������� ��������������

����������������������0���������������������������� �������������

Page 25: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

=���� �������������� ��4����� ��������� ����������� �������������0�� ���������������4����������������������� �� �� �����0������ ����������� ����������������������������.�

H�'���� �� ����� ��� ���� ��� �� ��� � �� ��� ���������� �������0���������� ������ �� ��� ���� �.�*� ��������� ���� �0������ '��� ���� � ��� �� ���� ��� �� ��� ���������0� �� ���� ����� ���� !��������� ����� ����� ������ ��� ��$*� ��� +� �.� 2�� � ����� ������ �������������� �� � � ���� ��� � �0� �� ������ ��� ��� � �� ��� �� �� �� ���,-��$�*. �/�01� �,-��$�*. �/�01� �� ��� �� ����� ��� ���� � �� ����������� ����������.�5��� ��� � �� ������ �0������ �������������� ��� ������*0��������� ���������+.�5���������������������� ���������*.�>�������� ������ ���� ������ ����� �0����� ���� ��� ������� � ��������� �� ���������0�� �������������*0�� �����������*���� �� ���B����� �� ����"������� :��0�������'�� ��� ������������ ���0���� �� ���� � �� �������� �� ���� *#0� � ��� ��� �� ��������� ��� �������������� �� � � ������� � �0� �� �� ��� ��� ����� �� � � ���������0���� ���� ��� � ����� ����� ������� �� ���� � ��� �� � ��.� @�� �� � ������������ ���������������������!�������������������������� ���� ������ ������������ ���������������.�

/� �4�� ������ ��������������� �� ����� ���� �� ���� +1� ������������������� ������� ����

���������������!���� %*',*'�����(���������������������%�(�����,.*++5/������������)� *'*'$*'$*����##$$$�*����2�(����*������������,�(�����,.*++5/������������)� *'$*'$*'*����##$$$�&����5�(����&����������'��:�%'��:�,�(����������������������**'����*&'����&*'����&&'�����(����������������������������.����/(),*4*0-%*���������������������������!�������������������������%�����()�����������������()��������������������������������������������������()*����5����������������������������������:�%()%*-�%.�/���������������:�,(),*-�,.�/��������������������������!�������������������� ��:�%8)*������ ��:�%1)���*������������������������ ��:�,8)*������ ��:�,1)���&���!�������������������� ������&�)*��!�����������������������������������������������������!.��:�%'��:�,/+�����!�������������������������������������������������##$$$���������������������������������������������������**()��!.��:�%'��:�,/+�����������������������������*&()��!.%*',*/+������##$$$���������������������������������������()��!.��:�%'��:�,/+���������������������������##$$$������������������������������������!.��:�%'��:�,/+���()����������������������������!.��:�%'��:�,/+�����()����������������������������!.%*',*/+���()���������##$$$�������������������������������##$$$�����������������������������������!���� ��:�%'��:�,'����-*�����������������������##$$$���������������������������������������������������!.%*',*/+���()����*&���##$$$�����������������������������������!.��:�%'��:�,/+���()����**������������������������!.��:�%'��:�,/+�����()�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!.��:�%'��:�,/+��L��!�������������������������������������������������##$$$���������������������������

Page 26: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������������������&*()��!.��:�%'��:�,/+��L��������������������������&&()��!.%*',*/+��L��������������������������()��!.��:�%'��:�,/+���������������������������##$$$������������������������������������!.��:�%'��:�,/+��L()����������������������������!.��:�%'��:�,/+�����()����������������������������!.%*',*/+��L()��������������������������##$$$�����������������������������������!���� ��:�%'��:�,'����-*�����������������������##$$$���������������������������������������������������!.%*',*/+��L()����&&������������������������!.��:�%'��:�,/+��L()����&*������������������������!.��:�%'��:�,/+�����()������������������������������������������������������������������������������������������

Page 27: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��7;�

���(#���1���*$���-����#�

-�� �������������������������� ����������� � �������������� ������ � ��� ���� ��� � � ���� ���� ��� �������� �� � :��� !� �� ������ ��� ������������ ����������������S�

2�����������8��'���� �������������� � ������

7#� ��� ������� �������� ��� ��� �'��� ����� "����� !� ���� ��� �� � � ���0� ���� ����� ����������������� �������������������������!�� ��4������������� ���� ��#�

8#� ��� ������� �������� ��� ��� �'��� ������ "�� � � ���� ��� ����� � ����������� �� ���� ����� ������� ��� KF� � ��� ��� ���� ��� �� �������������� ����������������������� ��.�

/������������ � ���0� ��� ����!�����������������������0������������ ������ ������������ ������� 4��� ������0� �� � !� � �������� ����������������� �������������.�

=���� ���������������� ������������������������.��

������������� �

2�� ��������� ����������� ����� ��� � �� �� �� ���� ���������0��������� ��� �� �� ������� ��������� �� 'T7..M07..MU�����'�.�

$���� �������� ��� M� ���������0� ��� �� ��� �� ���� � �� ��� ��R��� ����R'�.�

V� ��� �� � � ���� � � ���� ���� ��� � �0� ����� � � � �� ��� ����� ����� !� 70�������!�?.�

-��� � �������� ����� ���M����������0�� ������ �������� ����� �����������0���� ����������� � �������������������������������������.�

$������ ��������������� � ���0������ �����M����������1������� ������������������0�������� �� ��!�7�"����� ��������� ��#0����� ��� ���� ���������� ������� �� �������� ������ ����������1������0�������������0����� ��� �����������0�������������� �� ��!�?.�

H����������� �����

�������%�(�����,.*++K/������������)� *'&'&'*'$*'$&'$&'$*�����������,�(�����,.*++K/������������)� $&'$*'*'&'&'*'$*'$&��������������(�����,.*++K'*++K/�����,����##$$$����!�E���������������(�����,.*++MG/��������������##$$$���������������������������������(��������������������������##$$$������������%���������������!�����������������������������������!�� �'�N��� ��'0��������������������������6���� ,'%'���(��,����(����������

Page 28: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������������6����()��������� %'��%.��/����� ,'��,.��/������ %����.*++K/������ ,����.*++K/���!����##$$$�������������������������!�E����������������6����()�.,'%/)0���##$$$��������������������������������������������������� ,'%'����(��,�����������(��,����������������)M5��!���������������()������������()*����M5����()-������� �.�/�-����������� ������������*+����*+��%�()���������������(��-������� ���-��(��-���������������������()*����K����������������������6���� ,'%'����!������������������������������.,-��,.�/'%-��%.�//()*�������������.���/()%4*0-,������������������� ,-��,.�/'%-��%.�/'���-*�����������������*+����&+��%�()������� ,-��,.�/��������������.,-��,.�/'%-��%.�//()0�������������������������������������������������'��������(��,������������������������()*���������()*���.�����'�������/()*��������� �����'�������'*����.�����'�������/()0��������������������O���*+L�����*?���P ������(��C�6������������������������

/� ������� �� ���� ��������� ��� ������ ��� ���4����� ���� �� ��� � ������ ����������8D?.???�� ��� �������.��

�������������

H������ ���� ����������������������� ������������� �����

��� �� ��������� ���� �� ������� �� ����������� ����� ��� ������ ��� ��� �� ��� 4��� ����� ������ !� 7� �� ��� �� ��� �� ��� ���� ������ "�������!�?��� �������� ���������������������������#�� ����������� ������ �� ����1� ��� �������� ��� � ��� �� 7� !� KG.�*����� �� ��� ��� � ����� ������ �� ��7�!�� �� ��770��������� �����������7�W77�� ���� �� ����70��������������� ����������������� ���� �����77� ���� �� ����7� "�� ����� �D�W77�0�7L�W77�0�87�W77�0�8K�W77�0�8M�W77�#1� ����0� �� ���������� ���� ����� � ���� ����� �� ��� � ��0� ��� �� ���� � ����� �� ���������.�/�� ����������!��� ��������������� �������������������� ��������� ��������������������������������������"� ������� 0������������ ������� ��#��� ������ ��� �������������������� ��������� � �����.� *� ����� ����� ���0� � � ������ ��������� ��� ������� ���� ��� ������� ���� ��� XK�FD?0� �� ����� �� 7L� ��������� �� � ���� ���� � ���.� � ��� ���� ������� ��� ���� ��0� �� � � ���� ������� G0G������������� ��� �������.�/�� ����� ������������.�=���� �����

Page 29: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

� ��������������$>��� ������� �����"������������� ����� ��4��#1���� �������78������ ������������� ���������������N???����������.�

H�������������� ��������������������������� ���������������

0*�0&�02�05�0G�0M�0Q�0K�03�*0�**�*&�*2�*5�*G�*M�*Q�*K�*3�&0�&*�&&�&2�&5�&G�&M�&Q�&K�&3�20�2*�2&�22�25�2G�2M�2Q�2K�23�50�5*�5&�52�55�5G�5M�5Q�5K�53�G0�G*�G&�G2�G5�GG�GM�GQ�GK�G3�M0�M*�M&�M2�M5�

5����� � �����7� ��77� ����� ��� ����� �?D�W770�7L�W770�87�W7708K�W770�8M�W77�� ����� �����1� ��� � ��� ��� ��������� � ��� �� � ��0� ���� ������ ���� ���0��� ���� �������������� �������������

/�� ����� ���������� �� ������� ����� ���� ����� �� � �� �� ���R� ����0����������������������� ������������������ ���� ����������������

�������������(�����,.*++M5/������������)���������� &'2'5'5'5'5'2'&'�����������2'5'M'M'M'M'5'2'�����������5'M'K'K'K'K'M'5'�����������5'M'K'K'K'K'M'5'�����������5'M'K'K'K'K'M'5'�����������5'M'K'K'K'K'M'5'�����������2'5'M'M'M'M'5'2'�����������&'2'5'5'5'5'2'&�����������������(�����,.*++M5/������������)��##������������F�E������������������������������� ��*'��2'��M'�*0'�*5'�*K'�&&'�&G'��##��!���!���������������������������������������&Q'�20'�25'�50'�5M'�G&'�GK'�M&'��##�����������������MG'�M3'�QG'�K2'�3*'�33'*0Q'**2'��##�������!���!����������������������������������**Q'*&*'*&Q'*2G'*52'*G*'*G3'*MG'��##���������=����=�����������*M3'*Q2'*Q3'*KQ'*3G'&02'&**'&*Q'�����������&&*'&&G'&2*'&23'&5Q'&GG'&M2'&M3'�����������&Q2'&QM'&K0'&KM'&3&'&3K'205'20K'�����������2**'2*2'2*M'2&0'2&5'2&K'22&'22G����������������(�����,.*++22M/������������)��������� **'*K'����##$$$$$������=*$8**='�=*$8*K=����������*&'*Q'*3'���##$$$$$������=&$8*&='�=&$8*Q='�=&$8*3=����������3'*2'*K'&0'����������*0'*5'*3'&*'���������+++�

2�� ������� ����FFK�� ��������KG�� ��0�����������'�����D08D�� ���� ��� �.�

)���������� �KG�� ���!� �������0� ���������������� ���������������������D08D������!�� ����� ���KG0������708FE7?GK.�

2�� ������� ����� ��� � �� ��� ����� ���0� ����� ������� ���� ��� ���� �� ����FFK��������������� ������������� ��� !��������������� �.�$������ �������������"7�W77#����������������� �� �������77.�I ����������� ������0���� ��� ��� ��1���� �������������� � �� ���������� ������������������ �������!��� ���� ��.�>���������� ���������������� �� :������� ����

���()0������6()*����22M�����##������������������������������.6/)��:�%��!�������������������������� ���������������.���/()6�����������.���/()������.6/���������������.6/()������������������

Page 30: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�� � � ��� �� ����� ��� ����� ���� �� ������� ��������� �������� �� � �� ��������� ����

����6()*�����������������.��.6//()��.6/���������������O���*+L�����5?���P ������(��C�6�����������������'�����(���������������������������������*���������������������!�� ������'�N��� �������'I0������������������������������� %'�����������(���������������������(�����,.*++K/�����������������������(�����,.*++K/���������������������'��'6'P'�'���'��:�%'��(�����������������*�(����������������������� ��������������������������8M2��!�������������������������*+����+�����������������*+����+��� ����)�-������� ���������������������*+����+��� ������������������*+�����!���������%�����������������������()*����������.%/������������������������.������.%/-�$*/��!������������������������������()������.%/-�$*������������������.�/()�������##���%)*'�=������.*/()����=�����E���(������=*$8**=�������������������:�%()����.�/���##���:�%()**'*K�����������##$$$$$$$$$��������������������������������()0����������������6()*����22M���������������������������.6/)��:�%��!���������������������������������������������� �������������������������.���/()6���������������������.���/()������.6/�������������������������.6/()��������������������������������������##$$$$$$$$$������������������������*()������� ��:�%�-��������������������()�����-*����������������� ��:�%'����������-*������������������� �����'�����! ������$�����! *�-*'�����! *��������������##$$$$$$$$$������������������������������������������6()*�����������������.��.6//()��.6/������������������.�/()������������������������������������##��!���!������������������*�������()����������()*��������.&/()�������##��������������������=*$8*K=�����,�����������=*$8**=�����()*������� ����'*��������

Page 31: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��7<�

���(#���1���*�.��$�"�#��)�.�

-�������������������������� ������� ������������������������ ������� ��������� ������������� ������������ ���M����������������������� �������� ������ ���� ��������������L� �����S�

>� ������� �� ������� �� ��� �� ��� ���������1� ��� ����� � ������������.� =���� ������ ������� ���� �������� ���������0� !� ���������� ����� ������������������ ���0����������� ���������������������������������������.�

������������� �����������

2�� ������ �� ����������0� ���� ��� ���� �� �����.� 2�� � ��� �������������� � ��� ��� � �� �� ����� ��.� 2�� � ��� M� ������� ���������� ����������������M������1��� ���������� ���?�!�L�������������������������� ��������������!�� ���������������.�2��������� ���������� ��� �� � � ������ ���� � � �������� ��� ��������� ��� ����� ��������������.�

$������ ������������������ ���������������������0����������

���������������� �� ���������

��������� �������

������� ��� ����� ������ ��� � ��� �� ����������� � ��� ��� ����� ����������������������������!� �������� ��������� ������

������������������� ��������� �������� ������ � �����0���������������� ������ ���������� �� ������������ �������� ��������������

����������� ��� ��������������� ������� ��������� �������������� ����

���������� ���!�� ���������� ��0�!�� ��������������

����������������!�� ������������� �������� ������� ��� ���

����������

������������ '�� ������������ ���

�����������!�� ��������������������������� ��������������� ���

����������������

H��������������������������������� ���� ��������������-$$$$$$$$-��@��������������������+�R��������R�R555@0000R�������������E������������K�����������������������R��2&*���R�����!�E����'�����������������������������������2�R�2�&�*��R�������������������!���'�������������������!����������!�E�����R2��&��*�R�����6F�����������������������������+�

Page 32: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

-$$$$$$$$-���������%�)�K���������%�(�����,.0++5/������������)� *'*'0'$*'$*����������,�(�����,.0++5/������������)� 0'*'*'�*'�0�����,�������)�����,.0++��%$*'0++��%$*/�����,����������������������������������������� �������(�����%%',,'�������(��,����������'�������'������(������������������.%%',,/()�������������()0����5�������������������������()%%������(),,��������� �������'�%.�/����� �����'�,.�/�������:!���� ���������.0++Q/������ �����������.0++Q/���������������������������.�����'�������/()������������������ �������'�%.�/����� �����'�,.�/����������������������������������������6����������%0'%*'%&'%2'%5'%G'%M'%Q��(��,����������(������.K/���������������(�����,.0++Q/����������������()������������##������������������������������!�� �.0/'�N��� ��'I0����##��������������������������� �'��������.0/'M5�������*+����*+����+�����������%0()0������%$*������������.0'%0/)0��!������������������������������������������������� �'%0'0'&�����������.*/()�!� 5K-%0�������������� �'��������.*/'M5��������������%*()0������%$*�������������������.*'%*/)0��!��������������������������������������������������������������� �'%*'*'&������������������.&/()�!� 5K-%*��������������������� �'��������.&/'M5���������������������%&()0������%$*��������������������������.&'%&/)0��!����������������������������������������������������������������������������� �'%&'&'&�������������������������.2/()�!� 5K-%&���������������������������� �'��������.2/'M5����������������������������%2()0������%$*���������������������������������.2'%2/)0��!������������������������������������������������������������������������������������������� �'%2'2'&��������������������������������.5/()�!� 5K-%2����������������������������������� �'��������.5/'M5�����������������������������������%5()0������%$*����������������������������������������.5'%5/)0��!��������������������������������������������������������������������������������������������������������� �'%5'5'&���������������������������������������.G/()�!� 5K-%5������������������������������������������ �'��������.G/'M5������������������������������������������%G()0������%$*�����������������������������������������������.G'%G/)0��!����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �'%G'G'&����������������������������������������������.M/()�!� 5K-%G������������������������������������������������� �'��������.M/'M5�������������������������������������������������%M()0������%$*������������������������������������������������������.M'%M/)0��!����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �'%M'M'&�����������������������������������������������������.Q/()�!� 5K-%M��������������������������������������������������������%Q()0������%$*�������������������������������������������������������������.Q'%Q/)0��!�������������������������������������������������������������������������������������������*+����*+����+��� �-�!� 5K-%Q���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������.M/'�'M5���

Page 33: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������.G/'�'M5����������������������������������������������������������������������������������������� ��������.5/'�'M5��������������������������������������������������������������������������� ��������.2/'�'M5������������������������������������������������������������� ��������.&/'�'M5����������������������������������������������� ��������.*/'�'M5��������������������������������� ��������.0/'�'M5��������������������

������������� �����������

=���� ������� ���� ����� �������������������������������������������������������0����������� ��� !���.�

)�� �� ��� ����� ��� � ��� ��� � � ������������ � � � �������� ������� ���� �� ������� ���!�����������0������ ���������� ������������������ ��� ��� ����� ��� � � � ��� ��� � ��� ���� �� ����������0� ����� ��� � �����������������������0������!������ ��� �������.�

)� ������������� ���������������������������0������ ������� �������� � �����!�� ���������� ����0������������������������ �����0������ ���� � ���������� ��� ������ � �����1����4������������ ��� �������������������������!��� ����"���� ������������� �������� ���� ������������0� ����� �����7�#����������� �����������������.�

����������6����* ������(���������������(�������(����������##���������*�����������������(��,�������������������(���������������� �'��������'M5��������������()0������%$*������������.�����'�������/)0��!������������������������������������������������� �'�������'�����'&������������������1Q��!��������������6����* �����-*'�-�!� 53-������������������������������������*+����*+����+��� �-�!� 53-���������������������� ��������'�'M5��������������������

��������������� �����������

=���� ������������ ���� ��� ������������� �������� ������ ������ ����� �� ��� �� � � � �����1� ���� �������0� ����� �� ������ ���������������������� ������D�����������!��� ������0�� �������� ��������������������� ����������� ���� ����������������������������1����� �� � ��� � ��� ��� ��������� �������0� ���� �� ������� ��� ��� ����������������� ��� ���0���������������������� ��.�

�������%�)�K���������%&�(�����,.0++&/������������)� $*'0'*����������,&�(�����,.0++&/������������)� $*'$*'$*�������������������& %',�(�����������(������(���������������'�������'������(��������������������(�����������������()$*������()�������������������� ����������()%������(),��������� �������'�%&.�/����� �����'�,&.�/����������������������� �������'�%&.�/����� �����'�,&.�/���

Page 34: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������� �����������.0++��%$*/������ �����8)0���!�����������������() �.�����'�������/180������������� �������)$*����� �������)��%����� �����)$*������������������ �)&�������������##��)0'*'&�(�������������������������&()�����������������������6����& ������(��,���������(�������(�������������%��(��,��������������%()0������%$*���������������������& %'��������!������������������������.�����'%/()*����##���������������������������������1��%$*��!��������������6���� �����-*'�'�-�!� 53-%�����������������������������*+����*+����+��� �-�!� 53-%������������.�����'%/()0����##�������������������������������������

�������������� �����������

@�� '� � �� ����� ���������� !� �� ������.� $ �� ���0� ����������� ����������� �� ��� �� ��� �� M� � � �����.� >� ���� ��� M� � � ������������� ��� ����� �� ����������0� �� � � ������� ��� �������� �� ������������������ ���� ��� ��.�

5������������� �� ����� ��������� �����

����������������70��������7�

����������������80��������F�

����������������F0��������D�

/ ��� ������������� ��!�����A�7FD?????�.�

5�������������������� ��������������� ��� ����������1������� ����� ������� ��� ��������������������������������0������!������������ ���������� ���������������� ��� ���������?�.�

)������ ��� � ��� �������� �������� �������������� ����������������� '� ����� ������������� ����� ���0�'�� ���������.�$����� �������� � �� �� ����� �� �� � ���� ��� � ��� �������� ��� � � ������� �� � �� �� !� ���������.�

*���������������� �������������� �������������������������0��������� ��� ��� ���������������"����� ���7��� ���� ��� ��������#� ��� !������������� ��� ����������.�

$ ��������� ����������������� � ������������������0�� �� � ��� ������������������ ������������8�1������ ��������������� ���������0����������������������!�������������� ��� ����� �� ������ ��������� ������������������G0��������81������� ��� �������� ������������������������������ �����

������2'���������*��$$$8�������������������'�����!�'!����������2'���������2��-�������&'���������5��R$$8����%��������������'�������'�!����������*'���������G��-�

2���� ������������ ���������������� ��� ��� ����������������7�� ��������������������"�����������#���7�� �������0������� �����!�

Page 35: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������� ����������� "��� ��� ������ ���������������#�������������������.� / � ��������� ���� ������� ��� �� ��� ��� �� ��� ������ �� ��� �����������.�/ �������������� �� ��� ��������� ����������������� �������������.�2�� ������� �����

������������ �����'�������'������(���������������(��������(������������������� ���������.0'��%-*/����� �����������.0'��%-*/���!���������()���������������() �.�����/18�!� 5K-����������������� �����$*'�������-�����'�����'�������������������6����2 ���(�����������(�����������������(���������������������)��%-*��!����������*+����*+����+��� �����������������()*������%�������������� �� �!� ���-5K�'��)0��������� ��'���'$*'���������� ��'���'*'����!������������������������������.��/()�!� 5K-����������������6����2 ��-*'���������������.��/()�0�����������������������

)����������� ���!��� ����������� ��������������

�����������O���*+L�����*?���P ������(��C�6������������(�������������##��!���!��������������*+?������##$$$$������������������F�K��������##�6�������##$$$$�����������������*�##�����!�� �'�N��� ��'I0���##6����* 0'�'������##$$$$�����������������&�##�����!�� �'�N��� ��'I0���##6����& 0'�'������##$$$$�����������������2�6����2 *'��������������##��!�S������K������������

Page 36: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������������

���(�"#��278�

���"#��)3���*�� �.����

/���� ������$ �� �������� �� ������������������������������������������������������ ������������������" ��#Y����" ��#�.�

>� � �� ��� � � �������� ��� ���6�� �� =Z����.� /�� ������������� �������������������������� �������������������������6��.�

>���� ������������� �����

0�(�*���������� �-��0�)�*��*�(�*�*�������� �-��*�)�*4��-�*4��&�(�*�&�*������ �-��&�)�*4�&�-�&4�4��-�*4�&�2�(�*�2�2�*���� �-��2�)�*4�2�-�24�T4��-�24�4�T�-�*4�2�5�(�*�5�M�5�*�� �-��5�)�*4�5�-�54�24��-�M4�T4�T�-�54�4�2�-�*4�5�

2����������� ��������������� �������� ���������������������������� �������� ������������������������������ ��������!�� ���.�

)�������

��������������K���� �� ���F�F��

��������������G�������� ������K���� �� ���F�7.�

/������������������4������ ��������������� �������� ����� ���!�� ����� � ���� ��� ����1 ����� ���� � � ���� ��� G0�" ��#G�� ���� ��������������70�G0�K0�G0�7������������� �������������������.�

)���������� �������������� ���!��� ����� ��������� ������

������� �������� ��� ��� �������� �����!�7�����������W�������� ���

������� �������� �������������������� �����!�7����W�������� ���

����������� �����������������������!�� ������'�����������0����

��� ������� ��������������������������������'�70��

�����������������������������������������������'�70��7�

������������� %',(��������(������������������ %)*�����##$$$���������������(������������������������ ,)%�����##$$$���������������(������������������!�������()*�������������()���� %',$*�-���� %$*',$*����##$$$�������������������

2������� ���� � ��������������������0�� �� ���������������� �� ������������ ������ ������������������������������0��� ������ ���������� ������ ������� �����������0������� ��� ��� ����� �������������1��������<��!���������������������� ������������������ �� �.�

Page 37: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

H����������� ������� ����������� ������$ �� �.�

���������������*+������*?���P ������(����6����������������'�������(���������������������������� %',(��������(���������������������������� %)*����� ,)%���!����������������()*�����������������������()���� %',$*�-���� %$*',$*����������������������������()*����*G�������������������()*��������������������������+��%�C�� �������420'�����420'������� ���� �������'���������������

)��� ���� ��0��������� �����

!����������� ���������

222 =+−

− 77

7

���� ������� ����� �����

5����)����������!������������� �������������).�

=��������

*��Q��������� �������)�!����������"≤ �#0�

+��Q��������� �����!������������)������ ��� 0�

>��Q��������� �����!������������)�������� ��� �� .�

/�� ���� ����*���� �

2 .�

>���� +� ��� �Q������ ��� ����� !� �7� �������� �� { }�3 − �

����������� � ����� 0� ��� ���� ����+������ ��!���������Q������

��� �����!��7����������� { }�3 − .��Q�B�> ��"*#A 77−

2 .�

>���� >� ��� �Q������ ��� ����� !� � �������� �� { }�3 − 0�

> ��">#A �

2 7− .�

*��� ��� � � ����������� �������+���>0���� �> ��"*#A> ��"+#�> ��">#0��Q�B��������� �.�

���� ������� �����

#C7"#C7"

#C7"

#C7#""#C7"

#C7"

#C7"C

#C7"

#C"#C7"

#C7"7

77

−−−

−+

−−−−

−=

−−

−+

−−

−=+

���

���

��

��

22 �

#C"C

C

#C7#""#C7"

#C7#""#C7"

��

����

��

−=

−−−−

−−+−= �

!��������� "��#$��

Page 38: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

( ) ∑=

−=+

���

'�2'�

?

���� ������� ����� �����

/������������������ ��'� − ������ �� ����������� :��������������

������ ������� ������ ������������� ��� � ��������0������ �

2 0�

�Q�B��������� ��"�Q��� ���������������� :�������������������� ������

��� ���� �� �������� ����� ��� �� ���� ��� �0� ����� �

2 − .� 2���

22 −

= [#.�

���� ������� ��������� �

/ ����������������� ������������A?.�

5������� ��Q��� ��� �� �� ���� �� ����� �� ��������� ��Q �����

( ) ∑+=

−++

+=+

7

?

77

7

���

'�2'� �

∑∑=

−+

=

−++ +=++=+

���

���

'�2'�2'�'�'�?

7

?

77 ##""#" �

∑∑=

−++

=

+−− +=

���

���

'�2'�2?

77

7

77 �

∑∑=

−++

=

+−−+ +++=

���

���

'�2''�2�7

77

7

777 �

( ) 7

7

777 +

=

−+−+ +++= ∑

���

''�22� �

7

7

77

7 +

=

−++

+ ++= ∑

���

''�2� 0� �� ���� � � ������� �� $ �� �0� ���B� ��

������ �.�

/ � ������� �� ��� �� �� ���� �A?� �� ���� ��� ���� ��7� ����� ���'���������������������������0����������� ����������������� ������������������ ���������������.�

% ���������� ����� �

> ��������7??7K.�

???7?????????7?????????7??????7???77???7??7 GK

FK

8K

7K

K

?K

K ×+×+×+×+==∑=

22222�

��

?????????7???????????????7????????? KK

DK ×+×+ 22 �

Page 39: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

A�7�K�7???�7D�7??????�8?�7?????????�7D�7????????????�K�7???????????????�7??????????????????�

=����� ������� ������������������ ����� ��������C�

% ������������&����

2 8?

=∑=

���� ������� '

/������� ����������� ����� �� ��� A�A7�� ���� ��������������6��C�

���� ������� ()����� �����*

�/ ���������������� �

2 ������������"� ���������������������������

������ ��� ����� ����� ��� ��� ���� �� $ �� �#� ��� �� �� �� ������ ��� :�������������������� ����������?������������������������!����������0������!������ ������ ���������� ���������������0������8�.�

2�� ������ ��������� ��� �� ������ �� ����� ����� ������ )� !� �������������8������ ��� ������������ �������!��� ��� ����$���)��� ��� ���������)�����\?07]� ��������������

�"�#A?����������� ��������������$�

�"�#A7���������������������$.�

>����> ��")#A����> ��"\?07]#A80���� ��������� �0����������������� ��� �������������������� ���� ���� ��������������� ���� ��������.#�

Page 40: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27;�

��.�"�$#.�*����)�?�

-�������������������������������������� ������� ����� ������������������ "�� ������������ �� ��� ��������� ���� ���0� ����� ����� ��������� ���� ����#� ��� ���� ������ ��% ����.�/ � ������ ���� ���� ��� ���������% ��&0�!�����������������0�KG������������ ����������� ����� ���� ������ ���� ��� � ���.����� ����� � ����� ����� ���������0� ��������� ��������� ���� ��� ��� ��� ������0� � � ���������� �� ��� ������ ����������� ��� ��� �� ����� �� ��� �� 4��� � ��� �� ������ ����� ������ ���� ����� ��������.� ����0� ��� ������� ����� ��� ����� ������ � ��� ������ ��������� ��������� ��������� ��� �������� ������ ���.�/ ����������� �������������������������� �������� ������KG������������������������ ����0� ���'��������� ������������ ������� ������������0����� �� ������������.��

)��� �� ����������� ������ ��0���� �8KG�7�������0����������������!�DMD������ ������ �������� �� ��������<�������������������������7D� ����� ���� �� ����0� ��� � ����� �� � � � ��� �� ���� C� 2�� �� � ��� �����C���###�

H�'����� ���� ���� ����� �� ���������� ��������.�

2������������������������������������������� ���!������� ����0����������� �������������7�!�KG.�

=���� ������ �� ����� ������� ���� � �� �������� �� ��� ������ �������� �����0��� �������������0�������������� ����� ��������.�

5���������������!���� ������� ����7�������F.�

/�� ������� �����F0����������� �����70������������������� ������8.�

2�� ����������� �������

��������7���� ����7������ ����8�

��������8���� ����7������ ����F�����W�������

��������7���� ����8������ ����F�

5�����������������!���� ������� ����7�������F.�

/�� ������� �����F0����������� �����70������������������� ������8.�

I ���� ��������������������� ������������������������������ ����80���� :���!����������� �����������F������ �� ����F�������������������������� ����8�������� ����F.�

2�� ����������� �������

Page 41: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������7���� ����7������ ����F�

��������8���� ����7������ ����8�

��������7���� ����F������ ����8�

��������F���� ����7������ ����F�����W�������

��������7���� ����8������ ����7�

��������8���� ����8������ ����F�

��������7���� ����7������ ����F�

)�� �� �� ��� ���� ��� ��� ������ �������0� ��� ����� �� ������������� ������

�������� ������������!���� �����

���������� �����7���������������� ������������ ���

���������� ������������������ ��������� ��������� ������� ������W�������

���� ��� ��� �� ��� ���7�� ������� ��� � ���� �������� ��� ���� ��� ������� ��

2��������������� !������������ ����������������������O���*+L�����*?���P ������(��C�6�������������������!���� �����E��'������'��������(��������������������������������(������������������������������E��)*��!�������������*+����+��� �C��������������E�������-�������������������� �������-�������-������� ������������������������������������������������()M$������$���������������!���� �����E��$*'������'��������������������������*+����+��� �C��������������E�������-��������������������� �������-�������-������� �����������������!���� �����E��$*'�������������'������������������������������������##����������5���E���!���� 5'*'&��������

Page 42: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27<�

������.�)�

5����� ����������� �����

2�� �� ��� �� � ��� �� ���� ��� ���� �� �� ���� � ����� �� ��� �������0������!������ ������������ '���.�

������������ ���

=���� ������ �� ����� �������� � �� ����� ��������1� ��� ����� ��� � �� ����� �D�������� ��*0�+0�>0��0�).�$���� ���������� 0������ ������������������ �� ����8����������������������� �D���������D��������.�

)�����0� � ��� �� � �� �0� ���� � �������� ����� ��� ������� ����������� ��� �����?��� ����� ��������������������� �� �� ��� "������������� !������� ���#� �����7.�

2�� �� ��� �� ���� �� *� !�*0� ����� � ��� �� � �� �0� ��� �����������"?0?#� ����� ����� ��� 71� �� �4�� ���� ��� ����� ������.� ����� � ��� ��� �� ��� � �� �� "������ ��� ��� ������� **0++0>>0��0))#� �������!�71����� �� ���� �� ������������������������ �� ������*�!���"���������!�*��������#� �� ��*�!�)� "�������)�!�*��������#1� ����������������������� ��"������#� ������*�!��0������������� �� ���� ������ ����� �� �� ������ ������� ��� 71� ���� �������� ������ ����� �� ��������!�*������������� �� ������ �����������"� ����������� ������������#����������������"� ��*�����������������#� ������7.�@�������*).�

+ ��,�����������-��

, ������������� � �'��������� ����

�� ��� ����� ��� ������� !� �������� ��� '� �� � M� ��*+0*>0+>0+�0+)0>�0>)0�).�

������� ������� ������������� �������������������� ����1����� ������ �������� !� � � ������ ����� ��� � �� �� �� �������� ����������� �����!�����������?0����������������������� ��������

Page 43: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������" �����������������!�� �����������0������ ��������*0������ ����������������������������1�������������?� !� � � ������� ������0� ����� ��� ��� ���� !� +1� ��� ����������� ���������� �� ����������������� ���+�����*0��������� ���� ���� ��� !� � � ������������� ��� !�+0� ����� !�����!� � ������������1�� ��������������������������������������!�>0��� ������������+*� ������������������1�������������� ����������� ��� ��� ������� +>� �� >+� �� ��� ��� ��� !� � � ������������� ���!�>0������!������ ��������������0��� �����������.�

�� ����� ���� �� � ��� �� ��� ��� ���������1� � � �������� ����������� ���������������� �F� � ��������

������ '�� ����� �� ������ ���B� ��� ��0� ����� !� ���� � � ����� �� ������� ������ �� ��

��������� ��������� �� �� ��������������������������������� ��� ��1� ��� ��� � �� ��� �� �������� �����0� ����� ��� �� ��������� ����� ��� ��� �AN1� ���� ��� �� ����� �� ��4�� �� ��� ������ ������������ ���������� ����� � ����������

������������� ������ � �������������������������� �������

������������

H����������� ����������� ����������������O���*+L�����*?���P ������(��C�6����������,�������)�����,.0++5'0++5/��������������������*�(�����)����������� *'0'0'*'*�'������������ 0'*'0'0'0�'������������ 0'0'*'0'0�'������������ *'0'0'*'0�'������������ *'0'0'0'*�����������(���������������������!���!� �������'�������(�����������(����������������������(�������������������������������)3��!�������������*+����+��� �������������������������()0����5������������������.�����'�������/)0��!������������������������������������()�-�!� MG-��������-�!� MG-������-�������������������.�����'�������/()*��.�������'�����/()*����������������!���!� �����'������-*'������������������.�����'�������/()0��.�������'�����/()0��������������������� �'�����! ��$&'2����������������������������������������������!���!������������������(��������������������������*+����+�������������� �*'�'�N��� �������������������()0����5������������!���!� �������'*'��������������������

Page 44: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���!���!��������

Page 45: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27=�

�������#�)"���

5������� � �'������������������� �������������������0� �������� �������� ��� ������ �� ��� �� ������� ���� � � �����.� 2�� ���� � ��� ������ �����������������������������.�/��������������������� ������ ������ ��� ��������� �� ��� ��� �� ����� ����� ������ �0� �������� � ��� ���� ��������� � ��� �� � �'������ "��� ���� �� ���� ���� ������������#.�

=���� ����������������������� ��������� �������� ������� �'�������

��� ������� �'����������� ������� ������������������0���0����0������

����� � ���� ������ �'�����0����� ���� ���������� ����� �� ��� ������ �'�����0� � �� ��� ��� � ��� ���� ������ � ��� �� � �'�����0� ��� �� � ��� ���������!���������� ��������������

�����!������� ���������������������0� ���������� ���������� ������� ����� ���������� �������� ���������� ��� �� � �'������������� ����� ���������� �� �������� �������

�����������!��� ������ ������������� �������� �� ������������!����0������������� ������ �� � ��� ���� �� ��� � � �� �� � ����� ������0� � �� ��� � ����� ����4������ �������������������.�

H�'����� ���� ����� �����������

�� �� ����������� ���������������� �������� � ������� �����������������1��������������� �����������������

�� �� ����� �� ��� ��� ������ �� ��� ������� �� ��������� ����� �� ��� ������������������������ ������"� ����������� �'�����#�

������������� �� ��������� ������ ������

7#������� ��������� ��� ������ �'������!�� �����������������

8#������ ��������� �'������ ���� ��� ��

F#�������� ������� �������������

��������������������� ����� ������������� �������������"�����'� � ���������� ��#� ������������������ ��������� ���� ���������������0���������� �� ���� �����������������

������������� ��� '��������������������� ���������������������� ����"����� � ���������� ������#0������ ���������.�

O� ����� ��� ��������� �� ������ �� �� ������� �����1� �������������������������1�������� ���������������������������������������������������� �'�����0������� �����

Page 46: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�� ������� �� �� � � �����0� �� ��� ���� ������ � ������� ���������� ����� ��� ���������� ����� � ������1� ���� ��� ����� �������������� �������������� ��������0�����0����0���.�

H����������� ����������� �����

��,�������)�����,.*++*G/���������.50/���������(�����)� �777777�777777777777777777777777777777777�'������������������7�77�7���������777����77�77�7777�7�7�777�'������������������7��7�777777777�777777��������7���7�����7�'������������������7�77������7777��������77�77777�777�77777�'������������������7�7��77�7�7����777�77777�������7���777�7�'������������������7�77�7��777�777777777��7�77�7777�777�7�7�'������������������7����7�77���������7�7�77777�7������7���7�'������������������7777�7�77�7777�7777���77��777�777777�777�'������������������77���7����7�77�77���7777�77�����������77�'������������������77�77777777�77777�7777�7�77�77777�777777�'������������������77�7���������������������77������������7�'������������������77�777�77�77777�777�777�777777�77�7�77�7�'������������������77�777�77�77����777��77�77�777�777777777�'������������������77�����7���7777�����77����������������77�'������������������777777777777777777777777777777777�777777�������������%�(�����,.0++2/������������)� 0'$*'0'*�����������,�(�����,.0++2/������������)� $*'0'*'0�����������(������������������(��������������������������*+�������,����!������������'��������(���������������������*+�������+������+�����+����+�N�()K�����������()*����*G���������������()*����50�����������������������.�����/.�������/�����������7��(�:��!������*+�������+������+������������������������������������������������!+��,��()��������������������������!+�����()��L���P��������������������+�����()��L���P�������������������������� �������$*�4*G' �����$*�4*G'�������4*G'�����4*G������������������������������4��(�:��!������*+�������+������+������������������������������������������������!+��,��()�?�������������������������+�����()��L����������������������%�C�� �������$*�4*G-G' �����$*�4*G-&'�4����������������������������������(�:��!������*+�������+������+������������������������������������������������!+��,��()��������������������������!+�����()��U!�����������������������+�����()��U!����������������������������� �������$*�4*G' �����$*�4*G'�������4*G'�����4*G������������������������������������������������������������������*+������� �����'��������(������������������(�������������������������������!��������� �����)*������ �������)Q���!���������������������������()����������������*+��%�()���������������������������������������������.�����/.�������/()�4����������������,����!�������*+�����!��

Page 47: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�����������()0����2������������������.�����-�,.�//.�������-�%.�//)�����!����������������������� �����-�,.�/'�������-�%.�/������������������������!����������������������������.�����/.�������/()���������������������,����!�������*+�����!�����������������������������������������������O���*+O���?����� ������(��C�6�������������(�������������������� �'�'�N��� �����������()��������()�������+����������+:���!()*G450����+!���!�()*G4*G���##$$$�����������������!��! ��������*+�������+������()���������*+�����N�()�������������,����!����������������������O���*+L�����*?���P ������(��C�6����������������*+��%�()����!���!���������+++������*+�����!��������� *G'25����������,����!��������

Page 48: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27>�

��.�(�"�".�����).�

-��������� ��� ��� �� ��� ��� 4��� � ������� ������� �� ������� ������� �� ������� ��� ����� ������� ��� ������ �� ���� � ���0� �� ��������� ����� ����4�������������������1���������� �������� ������� ������� ����� !� ����� ������� � � �4�� �� �� �������� ���������4��������1� ��� '� � �������� ������������ �� ����� ���� �� ������� ��� M������������� � ���0������ ��������������� ������������.�/��� ��������������������� ���.�

@������������������� ������������������ ���������N�� ���1������� ����������������� ������ � �� ���1������������� ����������������0�� ������������� ��.��

����������������������

Page 49: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������!�(����������������(��,����������������������!����?��� �����!�(���������'�6�(��,������������������(��!�������������������������18�6��!������������������������������()�!.�/�����������!.�/()�!.6/�����������!.6/()��������������������������������������������������� �!�(����������(��,��������������6�(��,�������������������������)����!�������*+����+��� �!��������������������������6�()�������������������������������������������!����?��� �!'�'6����������������������� �!'�-*�����������������!����?��� �!'�'6��������������������������������������!()�������()�����! �!���������� �!'*��������

>���������������������� �����������������������0�� ������ �������������������������4��0��� ���������� ���.������������ ��������� �������������N�� ���0����� ���� �������������� ����������������� � � �������� ������ ���� 78� �����0� ������ ��� � ��� �� '�� ��� �����������.�

$��������������������������������������0����� ��������������� �����

��������� �������� ���

��������� �������1����������� �����������������������!��������� �������

��������� ���������1����������� �������������������������!��������� ��������

��������� ��� �����1����������� ��� ��������������������� ��������� �������

��������� ���������1����������� ������������������������� �������� � ���������� ��������� � �������������������������!� ������� � ��� ������

��������� �������1����������� ����������������������� ��������� ���������������������� �����������������������!��������� ����������

��������� ������1����������� ���������������������� ��������� ��� ������

��������� ��������1����������� ������������������������ ��������� � ��������� �� ������� �� � � �������� ����� ���������� !� ����� �� � �������

Page 50: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������� �������1����������� ����������������������� �������� � � ������� �� ������� �� � � ������� ����� ���������� !� ����� �� � ���������

��2��� ���������������������������������������� ��������������������������� �� ��� ������ � ����1�� ����������������������4�����������!��������0������������ ��� �4��� ������� ��������������� ���������������� ���� ������� �������� ����0����������� � �������� � ��4����������������4�������� ���3���.�)��� �� �������������������������������������� ����������� ��.�

)������ ���� �� ��� ������ ����� ������ ��� ��� � �� ���0����� ��������� �����1�� �������������������������� ������� �������� ������ ������

����� ���� � ������������������������ �� ���!��������

������ ������������G������������������ �� ���

������ �� ����������� ���"������� ����� ���� ������������������#� ���������� �������4�� ������ � ������������� ��� ������������ �� ������� ��1�

������� � ��������7?0� ���������������� ��� !��������N�� ����������������������������� ���1������������ ���������0������ ���������N�� ���.�

/� ������ �� ������������ "� :��� �� �� ���� ��� � ���#� ��� ��"GN#ENC������������.�>����!������������ND������ ���0���������� ���������� ����������� �� ����������!���������C�

H����������� ����������� ������,���������)�������������������������'��'��'�����(���������������������������������������*�)�*��?C J�*�)�$*���;$$$�������$$$<������������&�)�&��?C J�&�)�$&���;$$$������$$$<������������2�)�2��?C J�2�)�$2���;$$$������$$$<������������5�)�5��?C J�5�)�$5���;$$$�6�����$$$<���������������(�����,.*++3/������������������������(��,����������������(�������������!�������(��!�����������������(���������������������(�����������������������(������������##444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444������������������P ���(����������(��������������������������������*�(��������P()���������&�(��������P()�.*/+��-�.&/+����)0�����2�(��������P()�.&/+��-�.2/+����)0�����5�(��������P()�.*/+��-�.5/+����)0�����G�(��������P() �.&/+��-�.G/+����)0������ �.5/+��-�.G/+����)0������M�(��������P() �.2/+��-�.M/+����)0������ �.G/+��-�.M/+����)0������Q�(��������P() �.5/+��-�.Q/+����)0������K�(��������P() �.G/+��-�.K/+����)0������ �.Q/+��-�.K/+����)0������3�(��������P() �.M/+��-�.3/+����)0������ �.K/+��-�.3/+����)0���

Page 51: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���������������������������������� ������(�����������'��'��'�����(������������������+����()������+��()����+��()����+����()����������������������������������������������()0���()�*&25GMQK3������������� �.*/'?C J�*'����5'?C J�&'����2�������������� �.&/'����&'����5'����*'����2�������������� �.2/'?C J�2'����5'?C J�&'����*�������������� �.5/'?C J�*'����5'����*'����2�������������� �.G/'?C J�2'����&'����*'?C J�5������������� �.M/'����&'����5'����*'����2�������������� �.Q/'?C J�*'?C J�2'?C J�&'?C J�5������������� �.K/'����5'?C J�2'����*'?C J�&������������� �.3/'����&'?C J�2'?C J�&'?C J�5���������������������������������� ������(���������������(�����������������()�+�������+����()�+������+����()�+����+��()�+����+��()��������������������������� �������(�����������������(�������������������������)*0��!�������������������� O���*+A����*+?����'0'0'O���*+A����*+U���!�����2������������+?����()����������������� ���������O���*+D����*+?������()�����������-A������� ���������!�:����� �����������-A������� ����-��$�?�����(��-�������������+?����()��V���W�����������������������()*����5��������������������������������������� �.������/��������������������P ���������!����������� ������-*�������������������������������������� ��(��,���������6�(��,���������������)�3��!����������� *�������������6�()������3���������������������������()�.�/��.�/()�.6/��.6/()�������������!()�.�/��.�/()�.6/��.6/()�!����������������� �-*�������������()�.�/��.�/()�.6/��.6/()�������������!()�.�/��.�/()�.6/��.6/()�!������������������

Page 52: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27@�

���.���"��#��

/� ���������� ��������� ��"����������#������� ������1���������� ����������������� ����������������������������1��� ���������� � ���� �� ��������� ���� ���� !� ������������� � � � ���� ��������������1�� ������ �������� ���������������� �� ������� � ��.�H������������������� ����

��������-$$$$$$$$$$$-���������R�C�R�C�R�C�R������������������-$$$-$$$-$$$R������������������R�C�R�C�R�C�R����������-$$$$$$$-$$$-$$$-$$$-$$$$$$$-��R�C�R�C�R�C�R�C�R�C�R�C�R�C�R��-$$$-$$$-$$$-$$$-$$$-$$$-$$$R�R�C�R�C�R�C�R���R�C�R�C�R�C�R�-$$$-$$$-$$$-$$$-$$$-$$$-$$$R�R�C�R�C�R�C�R�C�R�C�R�C�R�C�R�-$$$$$$$-$$$-$$$-$$$-$$$$$$$-���������R�C�R�C�R�C�R�����������������-$$$-$$$-$$$R�����������������R�C�R�C�R�C�R������������������-$$$$$$$$$$$-�

>�� ��������� ��� �� �������� �� ������� �� ��� � �� �� �� 8�������������L�����L1� ��� � ����� !�����������������������N�����N0������������ ��� � �� ������� ��� ���� ��� �����0� � �� ��� ��� � ��� �������������0� ��� ��� ������ ���� �������� ����� � ���� ���� �� ������ ��������1� �������������� ������������ �0������������������ ������ �� ����� ���������� �������������� ��'�� ���.�>������������� � �������������� ����� ����������.�

)����������������������������� �����

������ � �������������������N�����N0�� ����������������0���������� �� ������ �����M7�� ��1��������� ��� ����������� �������

�� ���� �� ��� ���� "��� ����#� ��� � �� ��� ���������� ������������� ����

��������� ������� � �� �� �������������� ���������)9���� � �� ������ ����������

�� ��� ����� ������ � ���� ��� ���0� ��� � ��� ��� �� ��������� �� ���������� � � ������� ��� ���� ��� ���� !� ���� !� ����� �� � �������� ��

������� ������������������������������

�������������� ��� ������������������"������������R� �1#�

��������� ����� ���������������"�������� ��R� �1#�

������������������������������������������������������ ����

Page 53: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�������� ��������������� ����������������� ��0�� �������������

=���� ������������������ ������������������

��� ������������� .&��.����./��������� ����� � ��������

������������ �����-���0� ���� ������� ���� ��� �� ������ ���� ���� �� ����

����������������- ��0��������������������� ������������������ ���� ��������� ������ ���� � � ���1� ��� �� ������ ���� ��� � ���� � ��� ������������������ �� ��� �� ��� � �� ������ �� '��0� ����� ��� ��� �� �� ����� ������0���������� ������������������

������� ���� ��������� ���� ���� ����� ���0� ��� � � ' �� �� ����������� ��������� �����!������������� �����!�� �����������������0�!�� ������ �� ���������KM�� ������ �� �0�������������� ���������������������������� ���� ���.�

��� ���������������0����������������� �����

������� ��� �� � �� �� � ������ � �� ��� � ��� �� '�� �������� �� ���� ������� ��� ��������� �� �� ���������� �� � �� ���� �� �������������0�������������������������������

������� ��������� ��4�� ��� �������� ������ � � ���F8�����0�� ������ ���������� ����� �� �� �����������!������������������������������� ������������0�� ������ ���������� �������������.�

������� ��� ������ �� ��� ���� �� ��� ������ ��� ��� � �� �� ��� ���$@2=��� �������H@�)�0����� ���� ��������0������������ ����������������� '����� ��������������.�

/����� ��� �����������������XK�@@�FD?������ �� ������L0G����������������� � ��� �� ������� � � ������ ��������.� =���� ����� ������� ���� ��4��� ������������ ���� � � ������ ��������0� � ��� ����� ���3� ��� ����� ��������� !� �������� �� ����� ���������� �� ����� ����� ��� ������� ��������� ������ ������� � ���0��B��������������� ��� ������ �����������������������.�

H���������������� �����

�����AX?CXXY�)�G��������JACX����)�2��������HA������)�0������������(�����,.0++2/������������)� $3'�*'�3'�$*�����,������������)�����,.0++K0/�����,������������������)�����,.*++2&/���������������������������(������������������%����(�������������������������(��������������������������(���������������������������(�����������������������������������%',�(��������������������%()0����K��������,()0����K���������.%43-,/()AX?CXXY��

Page 54: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

����,()*����Q��������%()2����G�������������������.,43-%/()JACX�������.%43-,/()JACX������������.543-5/()HA������������������������E��������6���� �������������(��������������������������(����������(���������������'%','P*'P&�(����������������%()�����������������*0�$*��,()�����������������*0��:!���� ,4*0-%1QK�������������������� %��������� %)K���!���������%()0����� ,���������������()�����������2������������������������P*(),43-%�P&()�.�/������������ �.P*/)JACX���!������������� �.P*-P&/)JACX���!������������� �.P*-&4P&/)HA�����!���� ���������������������������()������������������E��������6����(),4*0-%�������������%�����������������������������������������()0���������������E��������6����()0������������������6��� ������������(��������������������(����������������'%','P*'P&'�����E���6���'�������������E�����6���'�������'P�(������������������� �����������)2&���!������������������� �'�������%.�����������/'�N��� ����������������()������������O���*+?!��PL�%*+?!��P����!���J������+L�����������##���������������������������P()*����2&���������!������� P���������O���*+?!��PL�%*+?!��P����!���J������+����������##������������������������%�������������������()0���������������E�����6���()0����� �������������������������*00000)0��!����������������*+����*+��%�()������� �������������*+����*+�����!���������������������E���6���()�����E��������6���� �������������E�����6���'��������������������������E�����6���()�����E���6����������� �������������E�����6���80���!������������������������� �'�������%.�����������/'�N��� ��������������()������������������ ����������������,()�����E���6��������*0��������%()�����E���6��������*0��������P*(),43-%�P&()�.�/���������.P*-&4P&/()JACX���������.P*-P&/()HA�����������.P*/()HA����������6��� �����������-*'������������������� �������%.�����������/'�'�N��� �������##����������������������������S����E��������������������!���!�������������������������������������!����%��������������������� �����E���6���)0��������

Page 55: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27A�

������("���."���)�

-������������������� ������������������� ������������/��������� ����.�O ����� �� ������ ��� �� ���� ���� ���� �� �� ���� ������ ����������K�������� ��� � ��� ����������� �����70�80�F0�G0�D0�K0�L0�M0�N0�7?0�8D0�D?0�LD0�7??������� ��������������7?7���NNN.�@��� ������������ ������ ������ �� � �� ��� ��� ��� ������ � ���� ������ ���� ��� K��������������������������� �������������.�2������� �������� ������������� ������"������������#.�2������������ ������ �����������0��0�E0�P��.�

5������� ������ � ������� ���� ������1� ��� ��� ������ ������ ���� ��������������������������������� ������

��7����8�� ��8����7��

��7����8��� ��8����7��

��7�E��8��� ��8�E��7��

��7�P��8������7�����������������8� ��8� P� �7�� ��� �8� ��� ��� ����������7�

2������������������������ ��8��������������� �������������.�2����� ���������� � ��� ���B��7�WA��8���

��7����8���������� ����!���8����7��

��8� �� �7���� � ���� ���� � �� �� ������ ��� ������������ ���0� ����� ������������������������7��8��

��7�E��8���������� ����!���8�E��7��

��7�P��8���� ���������������7�WA��8��������7�����������������8�

5�������� ���� ��������� �F�������0� ������F0�N0�M.��� ���������� �����0� ��� � ��� ��� ��� ������� ������ ������ �� ����� �������� ��.�$���� �� 0� ����� ������ ��� ����� � ��� ��� � �� �0� �� ��� �� � �� N0� M0� F.�=���� ������ �� � ����� ����� �� ����� ��� ���� ��� ��� ������� ��� ���� �� 8� ������.� @��� ����� ����� ������ ���� �������� ��N0M�0� �N0F�0��M0F�.� $���� �� ���� �� ��� ���0� ��� � ��� ��� �� ��� ��� ������ �� ���������������� ����������������� ��� ��������� ���������������.�$����������������0������ ��������� ����������� ������������� �.�@����� ��� ���������������������������� ������ ������� �� ������������ ����������������� �� ����

���������������������������(���������������������������������������������������������������������������������� ������������������������ ������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������!�����"�������������������������������������������������������� �����#����� ���$ ������%��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�

Page 56: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������� ������������������������ ������� ������������������������������� ���������������������������������������������������������&�������������������������������������������������������������������������������!�����������������������������������������������������������������������'�������������������������������������������������������������������!������������������������������������������������������������������������������� ������������������������ ������� ���������������������������������"�����������������������������������������������������������������������&������������������������������������������������������������������!�������&����������������������������������������������������������������'������ �������������������������������������������������������� �#����� ���$ ������%���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%�����������(�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������"���������� ������������������������ ������� ������������������������������������������������������������������������������������������&�������������� ������������������������������������������������������������������!������&��������������������������������������������������������������#����� ���$ ������%������������������������������������������������������&������������������������������������������������������������������������� ������������������������ ������� �����������&���������������&���� �������������������������������������������������������������������&����������������������������������������������������������������������!�&��� ����������������������������������������������������������������#����� ���$ ������%�����������������������������������������������!������������������������������������������������������������������������������� ������������������������ ������� ���������������������������������"�������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������"��������!�������&�������������������������������������������������������&�����#����� ���$ ������%������������������������������������������������'������������������������������������������������������������������������������� ������������������������ ������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������"������������������������������������������������������������������!������ ���������������������������������������������������������������#����� ���$ ������%�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������ ������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!��������������������������������������������������������������� �����#����� ���$ ������%������������������������������������������������������"��������������������������������������������������������������"���������� ������������������������ ������� �����������"���������������"���� ���������������������������������������������������������&���������"��� ������������������������������������������������������������������!�"��� "���������������������������������������������������������������#����� ���$ ������%������������������������������������������������!������ ������������������������������������������������������������������������ ������������������������ ������� ��������� �������������� ���������������������������������������������������������������� ������� ��������"������������������������������������������������������� ������� �!�������&������������������������������������������������������ ������#����� ���$ ������%����������������������������������������������#����� ���$ ������%��������������������������������������������������

2��������������������� �������������� ��������� �����

7������� ������ �������������������������� ���

8������� ��������� ������������� ���

F��������� ���������������������0������������ ���������

G������� ��� ������ �� ������ ���� ������� �� �� ����� ���

D� �� ��� �� ������ ������ ���� ����� ����� ��� ������� ��� � �� �� ����� �����������������������

K������������� �� �� ����� ���

Page 57: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

L� �� ��� � ��� ��� �� ��������� ���� ��������� �� � ��������� ���� ��� �� ��

M����������� � ������������ ������ �����0������������������ �8�

N����������� � ���������������� ���0������������������ �7�

H�'����� ���� ��������������������������.�

5����������������������� �����������0� �������� �� ���K?���� �������������F�������0���������� ���0������������ �������.�

$����G���������70��80��F0��G���� �� ���K� �������7��80��7��F0��7��G0��8��F0��8��G0��F��G��0������� ��������� ���0����������� �������������� ������ ��������7��8���������������������� ��������� ����F��� ����G�"�������� ����������0������K?������� �����#.�@��� ������� ������ �� ��� ������ ��� ��� � ���� ���� �7� �� �8� ����0� ���� ��� ������������� ������� �� ��7� �8�0� ��F�0� ��G�0� ��� � �� ����� GEK?A8G?������� ������ �������1� ����� ��� � ���� ���� !� 8G?� �������������� ���0���� ��������7GG?������������1�� ������� ������������� ������� ������������������������!�� ���������������������������� �����!�� �������� ���������� ������0�������������������� ��� �����1���������'� �� ��������� ��������� ������������������������ ���������.�

)��� �� ������4��� �������������D����������� �� ���7?� ����!�G��������������� ������!�7GG?�����������������0������DLK??������������.�)�����������K����������� �7D� ����!�G��������������� ������!�DLK??�������������������� ����������������F.GDK.???.�

)���� ����0���<�� ���������������������������<�� ��������� �����������������������������"������ ����������8D0� �������� �8D���8D�A�?0���������� ��������� !� ������ � ��� ���� ��������#� ��� ������� ��� K?^���������������0������!������������8�����������������������.�

$���� ������� �� ���� �� ��������0� ��� � ��� � ��� �� ���� ��� ������ ����� ��������0� � �� ���� ��� � � ����� ����� ������ ���� �� ��������������

�������� ������80�7K���F80�� �� ����A ����A���� �

�������� ������7F0�8K���G8�� �� E�E�A E�E�A�E�E �

@�� � ��� ����� ����� ����� �� � � � :��� �� ���� ���� �� �� ��� ������ �������� ����� �� ������ ������ ��� � ��� ����� �� ������ �� ����������������0� �� ��� �� ���� ���� ������ �� � ������ ������0� � ���� ��� � � �����������0� �� � ��� ������� ��� � �� ���� ��� ��� �� ��� � �������� ���� ����������.�

� ��������� ��0������ ������ ������ �� ����������0�!���������?0��������� !� ������� "���� NKF#� �� ������ ����� ��� ������� ������ �� � � ��.�>������� �� �������������� ��� ��������������������������������!���� ����������.�

H����������� �����

�,�����������������)�����,.0++M/�������������������������������(������.5/��)��-$4#���

Page 58: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������������(������������)� 3M2'&G'G'5'2'2'*��������������'��!�����(�����������������������������(����������������'66����������(������������������������������ ������(�������%�(����������������'6*'6&�(����������������������(���������������*������(�����������������()*����5������������6*()*������%$*����������������6&()6*-*������%����������������������������������������������������������*�(��()�.6*/-�.6&/�����������������&�(��()�.6*/$�.6&/�����������������2�(��()�.6*/4�.6&/�����������������5�(���������������������������()�.6*/������.6&/�������������������������.6&/4�18�.6*/��!����()0��������������������������������������������������������������80��!�������������������������������������������)�.0/��!���������������������������������������������##����%, *'K$��%��:���� �.6*/'����.�/'�.6&/'�)�'����������������������O���*+D��L�%*+A���+��� ������� �.6*/�-����.�/-������� �.6&/�-�)�-������� �����������������������������()������%���������������������������������������������� �'�*'&K�������������������*.6*/()���*.6&/()0�������������������������������������������!����()�����������������������������()*������%$*�����������������������������*.��/1�*.��-*/��!�����������������������������������������������������������()�*.��/��*.��/()�*.��-*/��*.��-*/()������������������������������!����()��������������������������������������������������������������!������������������������������ �*'��%$*�����������������������������!���������������������������������������������##����%, *'K$��%��:���� �.6*/'����.�/'�.6&/'�)�'����������������������O���*+D��L�%*+A���+��� ������� �.6*/�-����.�/-������� �.6&/�-�)�-������� ������������������������%���������������������������������������������������������������������������������O���*+L�����*?���P ������(��C�6�����������������������+?����()��V���W���������������()�����������D��L�%*+?����������������������+J����>�������������������� ������'M��������������+?����()����������������

Page 59: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27B�

,!)!#�"��)�#!�$#.�-��*����$#��.�+#��"���.�

/�� ������� �� �� ��� ����� ��� ������� ����� ��� � � ���������� �������� ����� �� �� ���� ��� ����� �� � � ������ ��� ���� ��� !��������� ����� ���.� V����� �� ����� ����� ���� ��� ����� ���� �� � ������0� �� ��� ��� � ��� ����� � � �4�� ����� C� $ �� ���0� �� ��������������6�0���� ������������ ���������������������� �� ������������4�������������� ���� �������.�

=���� ������ ����� ���� ���� � � ����� ������� ������ �� ������� ��������H���X����"7N?G#.�

>�������������������� �� ����������� ��������� ��� �.�5����� ����6��0��������������!����������������� ���0���������������� �0�������� ����� ��������� ��� �.�)��������� ���!���������0������������ ���������H���X���.�>�������������� �������� ���"� ������������������#0���������������"������������ ���������#�������������������� ������������� ���"������������������������������� �������������� ��������������� ����� ���� �����0��������������������)������������������$����������������������� �$���������������������)�� ���������������������������� �������������)��#.�

+������-�����������0!���� �1� 2��-3

�������� ������� !�

)���0�)��'���/ �������� ������������ ���

/��� �������� ����� ��������������0� � ������ ���� ��� � ���������X���.��

���� ���� �������������������0��� �3

5�� � ������ ����� �70'70�D0'D0� �����!����� ��� ���������� �������������$7���$D������������!��� ��.�

�������� ��"��� ����

Page 60: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���������������������$7$D�

�80�F0�G0'80'F0'G��� ����������������������������$80�$F0�$G.�

> ������� �����������$7$D���� �����(��� �����

5�� � � ����������� ���������!�8������ ����� �� ��� ��������$7$D�"�������� ����0�����������������C#�

5�������

> �����������������������������$8���$G0������������ �'��������\"$708#"$D07#]�����\"$707#"$D08#].�

2���������� ������������ �'�������������������������������.�-���������������� �'��������� ������ ��� ����� ��������� �������������8�(�����!��������0�������������7�(����!��� ��������.�/ ����������� � �'����� ����� ����� �� ����� � ��� �� � � ����� �B� ������� ��� ����������.��

� ��� �� ���� ��0� ����� ��� �� � ���� �� �����0� ��� ������ ���� �� ����6��� ��� ���� �� ��� ���� ����� ��� �1� � ��� �� ���� �� ��� ���� �� ��������1� ��� ��� ����� ���� ������ ����������� ���� ��� �6���� ������ �������������0� � ��� ������ ��� ���� ���� �������� ����0� ����� ����� ���������������������������������������� ������ ������ �.�

> ����������������������������$F0��� ����$G� ��� ���� ������� ����K?_����������$8�

�� ������ ���� �%$�#"#4���%5��#.�+"#.���%5��+� ��� ����

�%$���%5��#.�#"#4���%5��+.�+"#!�

*���� ��������������� ������ � ������"�70'70�80'8#0�

*���� ��������������� ������ � ������"�80'80�F0'F#0�

*���� ��������������� ������ � ������"�F0'F0�G0'G#0�

*���� ��������������� ������ � ������"�G0'G0�D0'D#.�

���� ���� �����������2��-

5 ��� � ������

�������� ��"��� !��

�?0� '?� �� ����������� ��� ����� �� �� ��� ��� �� ��� � ���� �� �������� ����6���������� ��������� ���

5��������������������"�� ��#�

Page 61: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������� �� ����"�������� ����������� �� ������������ �#�

�������� �?� ���� ��� �� ������� ����� ������ ����3��� ����� "� ����� ������� �PG#�

��������'?��������������������������������� �����

*���� ��������������� ������ � ��������

�?0�'?0��?�� ���0�'?��

�?�� ���0�'?0��?�� ���P80�'?����F?E� �����

�?�� ���P80�'?����F?E� ���0��?0�'?��

,!)!#�"��)��"!#�"�-��*����$#��.�+#��"���.�

=���� ��������������������������������������� �� �0��������� ���������I �������.�>���������� �� ������� � :��� ���� ���� �����������0� !� � ��� �� � � ���������� �� � � ��������� �������1� �� �����0� ��������������������H���X����"7N?G#������������.�

/ ���������I ��������������� ����������������0������ ����������������� ������ �������.�

/� ���� ��� ������ ��� ������ ���� ��� �������� ��� ������ ��� � �������� �� ����� 3� ���� ��� � � ����� "`3"�#`#� ���� �� ����� � ����0� �������������0� �����3"?#A3?���3"��7#AT3"�#U8�3?.�

H���� ���3� ����� ����� �� � ����� ������ �� ��������� !� 7?0� ���� ��������������������7?���7?� �����.�>� ����������� ��� ������ ������������ �� � � ������ �� ��� �������� "���� ��������������#.�

H���� ���3� ����� �� ���� � � � �� ��� ���������� �� � �����.� -������� ��� �����!�7?������������ ����� ����������������7?���7?����������� �������� � � ������ ��������� !� ����� ������� � :��������� �����������.�

��������������������������'!���'�����'�����'����(��������������'�����'�����'�����'��'��'%%',,(�������������������()O���*+A����*+U���!����!���()O���*+A����*+V���!�����O���*+A����*+?����+L��!+��,��()����������O���*+A����*+?����+L��!+?����()��U!�������O���*+A����*+?����+ �������� 0'0'�����'!�������������() �����%$�������#��������������() �����%$�������#!�������OC ������()�0��C�!���$*��������OC ������()�0��C�������$*���������������������()������-�����4������������������()������-�����4���������������()���������������()�����������������()0�������� �J������������%%()��4������������,,()��4��������������()&4��4��$�����������������()%%$,,$������������������ �������������YX�AD� ����)���������C � %%-,,8���������

Page 62: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������AO�����1���������!�����������������AO�����8��������!���O���*+A����*+?����+J�%��.�����'�����/()����� ���������*3�����������D���AO� �����>C��&�)0���!���O���*+A����*+?����+J�%��.�����'�����/()����� ���������*3�����������������������##��%�������������������������O���*+L�����*?���P ������(��C�6�����������������������()�����O���� ����G+��%�����##�����������E�����������������������=������=� ��������������������������������()�����A�� ����M+��%������##���������������������� ��������������������������������������������������������()�����A�� ����Q+��%������##�������������������� ���������������������������������()�����O���� ����*+��%�����##�%���������������%()�����O���� ����&+��%�����##�%���%������A�����()�����O���� ����2+��%�����##�,����������A����%()�����O���� ����5+��%�����##�,���%���������������1)0��!���������()*0�����������������1)0��!����������()&0����������������1)0��!���������()*0����������������8�����%��!�������������������������%()����������������������()�����%���������������%()%�����������������������A�����8A����%��!�������������������������%()A���������������A�����()A����%����������A����%()%��������������������������+?����()��V���W���������������������������+?����()����������������

Page 63: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27C�

D$��E�.�#"�

@�� �� ���� �������������� ���� �������������� ������ ����� ��� ��� ��������������� ��� ��� �������� � ��� �� � �� �� !� ����0� �Q��� !� ���� ��� ���� ��� �� ���������������0����������������������������� �.�

+������-����������� ���4����

�������� ������� !

������� �� ��!�����.�

$���������0���������������A"F0D080G0K070G07?#0�� �� ��!�M��������.�

#����$��� ����

�'�������������������������������� �� ��!�����0�

�������������������������������� �� ��!�����.�

�������� ��"��� ����

������ �� �������� �� ��������� ���� ���� �� ����0� ����� ����� �����������������������0�

(���������������������������������������� � ����� ���������0������� � ���������0�

���������������������������������������� � ����� ���������0������� ����������0�

����� �� � �� ��� � ���� ���� ���� � ��� ����� ��� �� ���� �������� ���� �� �.�

��� ���

2�� ��� � � �������� V���(5���� �� ���� �� ��� �� � ������ ���������� ��� ����� �� ��� ������ ������� ��� � �� �� !� ����� ��6���78��� *��!.�

2������������������������ �� �� ��� � ��.�>����4���������������.�@��0� ����� ������������ �� ����� ������� ��� � �� �� �� F.� /������� �� ������������� �����������"���0������7#.�

2������� ����(������!� �'���"���0�7#���� ������!���"���0�M#.�

�� �����$�� ������ %� ���&��� "�' � �� ( ��'��� �� ������� %� �����

���� )�� ��� �� *�*��'� �'+*����� ( �,*�*��'� %,�'%�"� ����� �

����&�'� ���"* ( �� ���"�� %� "�����"� -�� %�'" ��� �� *�*��'�

��*����� ( �%�����./�

>������ ��� ����� � ����������� ����������������

Page 64: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��$����������������(��)*���+�,-��).� ���,��+������������������*���''��+�*����).� ���,�����)*���+�,�������������������������$���)*���+�,/�����������������������)*���+�,���).� ���,/�����������������������).� ���,�����$/����������������������$�� ���*���+��.� ����$�� �/�'' �������$ ���� �.��$�� �����������������./�������������(�$�� ��*���+���+��.��0.� ���1��������0*���+�1/�����������*���+��.� ���/�

=������� ������� ����������������������� �� ��"F#� �����������"7?#.�

>����Fa7?0�������� � ������ ���� "�������� � ����������A(�����#� ������� ��� ����� F� ��� �� � ��������� ������� " �� �����!#��� � �� ��"G#.�

>���� FaG0� ����� �� � ������ ���� "����� ��� � ����� �����$(�����#� ���������� �����F� ��������������������K�" �� �����!#���� �� ��"7#.�

>����FW70��������� ��������������������� �������7����������!�� ������F���

�� "� �� � &� �� � ���

�� "� �� � &� �� � ���

>���� ������ ������� � ���� ��� ��� ������ �� ����� "F� ���� ���� ��� �� ������� �������#0� ����� ������� �������� ��������$(�����. �����4�����1.� >��� ��� ��� � �������� ���� ��� ���� ��

�����$(����������������$ �����������������$(�����1.�)�����0���������� ������� ��!� ���������!�(������ � �������� �� ����� �� � ���!�(���������!� �����.�

�������� ���� ���� ����� ��!� �����0������ ���������(�����������������"�� (�����!#� � �� 7� ��� ������ ��� � ��� !� � ���� �� F� �� ����� �� ���������!�������������.�*����� �0�(�����$#�������$ �����$).�>����(�������������������� �����0����������������.�

>����DWF0��������� ��������������������� �������D����������!���������F���

�� "� �� � &� �� � ���

�� �� �� � &� "� � ���

>���� ������ ������� � ���� ��� ��� ������ �� ����� "F� ���� ���� ��� �� ������� �������#0� ����� ������� �������� ��������$(�����. �����4�����$(�����$#1.�

�������� ���� ���� ����� ��!�(�����0���������������� �����������������" �� �����!#�� ��D���������� ���� ���!���������F���������� ���������!�������������.�*����� �0�(�����$�����$#�� �����$9.�>����(�������������������� �����0����������������.�

>���� FaK0� ����� �� � ������ ���� "����� ��� � ����� �����A(�����#� ���������� �����F� ��������������������G�" �� �����!#���� �� ��"G#.�

Page 65: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

>���� FaG0� ����� �� � ������ ���� "����� ��� � ����� �����A(�����#� ���������� �����F� ��������������������F�" �� �����!#���� �� ��"8#.�

>����FW80��������� ��������������������� �������8����������!�� ������F���

�� �� �� � &� "� � ���

�� �� �� � &� "� � ���

>���� ������ ������� � ���� ��� ��� ������ �� ����� "F� ���� ���� ��� �� ��������� �������#0� ����� ������� �������� ��������$(�����. �����4�����$ �����$%1.�

�������� ���� ���� ����� ��!� �����0������ ���������(�����������������"�� (�����!#� � �� 8� ��� ������ ��� � ��� !� � ���� �� F� �� ����� �� ���������!�������������.�*����� �0�(�����$%�������$ �����$%.�>����(������ ��� �� �� !� �����0� ����� �������� �� � � ������ � �P������ �� ����� ������������� �������� ������� � ��.�

/� � �� �� ��� � ���� ��� ������� �� ���� ����� �� ��������� �������������"F#���

�� ��

����

� &� "� � ���

/�� �������� �� � � ���� � ���� ����� ����� ���������� !� F� �� ���� �� � � ���� ������ ���� ����� ����� ��������.� >���� �� ���� ��� ����� ����� �����������.�

�'��� ����� )�,(��� ����*����������%����*"�� �&��*0",� �(

%���(�������('��&���-�*"�� �&���'�.'�������"*%��� ���4����

����"��"�'%� %��1 �� ��������12

>���� �'��:(�����4*� "7aF�7#0�������������������������������� ��� ���6���78��� *�#!0� �� ���6���78��� +��!0� ������ �; �����.*�"MWF�7#�C�

/� �� !�6���78���� ���� � � ����� ������ ���� � ����������� ������������������� �� ��� ��������� !�����.�

/� �� !�6���78���� ���� � � ���� ������ ������� � !� ���� ��� ���� ����� �����K� � �����7?0���������������!�������������.�)���������������0����'� �� ���������� ���"��������C#�!�6���78���������� ������������� ����������� �����.�

��%�%������"*%���-�*"�� �&�.3��"45���

$� ��.����2���34 ��0.�����(�����*��1/�����$�� ��*���+��.� �������$����*��/���*�������$�� ���.����/������*���+���.����/������.� �����(�/��������$����

Page 66: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������(��)*���+�,-��).� ���,��+������������������*���''��+�*����).� ���,�����)*���+�,�������������������������$���)*���+�,/�����������������������)*���+�,���).� ���,/�����������������������).� ���,�����$/����������������������$�� ���*���+��.� ����$�� �/�'' �������$ ���� �.��$�� �����������������������''$�� �������� ����*���5�.� ���� ��5�*���+������$�� ���������*������������������������''�����5�*���+�� ��5�.� ���%����������������������''�6���������� ��������*���$ ���7�(�$�� ��*���+���+��$�� ���.� ���������$�� ���*���+�/7����������������./�������������(�$�� ��*���+���+��.��0.� ���1��������0*���+�1/�����������*���+��.� ���/�������(�.����8*���+�����+��2���34 ��0.�����*���+���1/�''�$$����������(��������$������*���+��������(�(�-.� �������+��2���34 ��0.� ������(�1/�''�$$����������(��������$������.� �����./�

Page 67: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��278F�

�!���(�.�"��).��)�.����.�*����##!.�

-�� ���� ������� ������� ��� ������ ��� ��� ������� ��� � ������������������ ���������������������������� �����������������������������������������������.�

��������������������'���**��**#$*#*��<������ ���������������'���*#*�

�� ��� ������ �� ������� �� ��'���� �������� ����� ������� ���� **��

=������������������������������>��������������������������'����������

���� (�� �� ����� ��� �� �� �� ���������� ?����� ���� ������������� ����� ���

������ ��**� ��������������������������� ���������@��(�������!���

*#*$*55.*).+.*$*5#.+#.##.*#�

*#*$�*.%).+$A#.)#.##�

=���� ������ �� ����� ������� ���� �� � �� ������� ������� ����������� �����!�������.�

=�������������77.�2�������������������� ����� ����� �������������������� !� 770� ������ ��� ���� � ���� �� 7870� ��� ��� � � � ���� � ����"����������� � ���� ��� �� ������ �� ����� �� ����#� ��� ������ �� ����������.�

���������

� ���� ������ '('��� �� ������ ������ � ����� ���� �����

&�''5

&�����'��������������������**�����*5�A���B�)�9�+�%�#�*���� �������������

��������� ������'�������@��������

�5!������ �*5�������@�����������������*5�*5$*55���

'5!���������������*#*4*55$#*���

�5!� �� �������� ��� ������ ������� �� #*� ��� �� �'����� +�)1� �� ��C���� ���

�������������9����

����������������

� ������� � � �������������������6*�����������������

� ��������������&�75

�*!������ �+�������@����������������+�+$*)��

'*!���������������#*4*)$9��

�*!� �� �������� ��� ������ ������� �� 9� ��� �� �'����� #�#1� �� ��C���� ���

���������������'�����%��

����������������

Page 68: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

� ������� � � �������������������'*�����������������

� ��������������&�85

�#!������ �#�������@����������������#�#$+��

'#!���������������94+$*��

�#!��������������������������� ��*�������'�����*1�������C�����������

���������������������������

����������������

� ������� � � �������������������(*�����������������

� ���������������������9'5

<�������D����(����>D��������@����������� ����C��������

�%!������ �*�������@����������������*�*$*�

'%!��������������*4*$5�

3���@�������� ����������������������������������� ���������������

���������#��

�#!������ �*�������@����������������*�*$*��

'#!��������������94*$+��

�#!��������������������������� ��+�������'�����#1�������C�����������

���������������������������

E��������������������'���#��'�������������(�� ����������'���*� ��

�#!��F������@���G����

�*!������ �%�������@����������������%�%$A��

'*!�������������#*4A$*#��

�*!� �� �������� ��� ������ ������� �� *#� ��� �� �'����� %�91� �� ��C���� ���

���������������'�����+��

����������������

� ������� � � �������������������'*�����������������

� ��������������&�:5

�#!������ �%�������@����������������%�%$A��

'#!���������������*#4A$%��

�#!� �� �������� ��� ������ ������� �� %� ��� �� �'����� *�B1� �� ��C���� ���

�������������#��

����������������

� ������� � � �������������������*�����������������

� ���������������������9'5

Page 69: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������ ���������

=���� ������ ����� ����� ��� ��������� ���� ��� ��� � � � ���� � ���� ������������������ �� ������������������ ������� ������.�

����(���� ������9��: ���0�����������*��1������*��/����������������*��/�������*���������� �.0����0�����11/������(��!�8�������+����0�1/����������9��: ������/������./�

=���������������������������� �� ����������� ������������� ������ �������� ��� � ����� �������� ���� ����� � � ����� ��� � ����� ����� ��������������.�=���� ������������������� ����������� �������� ��0���� :���!����������� ������.�

������������;)�%%"�,� (����*��/�������������*/�

2�� � ����� � � �������� �������0� ���� � �������� � �����0� ������������ ��������� ����������������������������

���-�������� �� ��������!� �������������� ������������ ���0���������������������� ����.�>�������������� ��������!������������������� ���� ����������.�

��'� �� �� ������ !� ����� ������ ��� � � ������� ��� � ����.� *����0� ��� ������������� �����770��� � �������� ����������� �7?.�@������ ������� ��������������� � ����� ��� ����������.�

�������� �� ��� � �� ��� ���� ���� �������� ���� �� � �� �� � ��� ����� ��� ����������������������������������� ������������� ��

�� ������� �� ��� � �� ��� �������� ���� ������� ��� � � �������� � ����� ������� ����� ��� ������������ ��� � ��� ����� ���.�5����� � ��� ����� ���0� �����������������������'.�

$�� ��� � � ������� �� �� ������ ����� ��� ������� � ��� �� � �� �0� �������� ����� �������� ��� �� ��� ������ ����� ��� ���� ���� ��� �������������0���������������������������������������������������������7�"������������4����� ������70�������������� �������������������� �����C#.�

/� ������������������ �����

����$� ��.�����+���+�0�9�� ������������������*��/��<�������� ���1/���������� ����� ���/�������������.�((���������:������*��/�������*�������(� ���<������+��.��0�1/�����( �������. =� ���. �����������*������������������!�/���������.�((���9�� ����������/����������(�0.�((��1��.�0�8�)�������,1��+���������������*����������������66/������������( ��:����� ���������. ��������� ���0�):,!�):,1�6�6/�������������������� ���0�����1�6�6���� ���0��!��1/��������������� �%����%�..0�1/�������������.���������������������������*�����������������������9��: ���0.�((1/�������������)�����,���/�

Page 70: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������ ���0���!����.�((1/�������������(�0�8�)�������,1��+��''���� ��6��������������� ������� ��.������������������������+���+�0.�((�������������� �1/�������������./����������./���./�

Page 71: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��2788�

4��(��..�3��*��-��$��.�

2�������������� ���� ���������������������� ������������������������ ������ �� �.� V���� ��� � � ������ ����� �� ��������� ����� �� �0��������������� ������ �0��������� ��� �����S�/�����������4����� ������!������ ����������������������� ����������� ����� ����.� � ��� ������ ���� ��� ��� � ���� ����� ������ ��� � �� ����� �������������7MMD���D������������������������������� ������ �� ���.�

-�� ��������� !� �� ������� ��� ������ �� ������ ��� �� ���� ��� ����� �� ������ � �� ���1��������������������� ������� �������������������������� ���������������������.�

����������(�����,.*++G/������������)� &G0'2Q0'5G*'Q53'M25������������%�(������������������������)�*KKG������������������(�����������������������(���������������������������(������������������������������ ��(���������*'��&�(��,���������(�����������������(��,���������������()��*������&���������������������)0��!����%����������������&1��������������!������������ �-�!� M5-��'�-*'��&-*'�����-�.�/����������������������������������� ��%$�����$�.�/1���������������� ��%$�����$�.�/8)0���!�����������������������������������������������()�-�!� M5-������������������������������()��%$�����$�.�/����������������������*+����*+����+��� �������������������������������������(��-����������������������������-�������F��������(���-������� �����������-���������������������������������������������������!���!���������(���������������(��������������������������()!��! ��������*+����*+����+��� �H��������N�����-������� �������������-�����������+��������*+����*+����+��� �?��������������������������������������+��������*+����*+����+��� �D������������������������(���������()*����������������������������*+����*+����+��� �!� M5-��-�)�-������� �.�/�-���������������*+����*+����+��� �C�����������������������������-������� ��%�-�������+���������()*����������������������������� ��'*'�'0�������*+����*+����+��� �����()�����������)��-������-������������������)��-������� ��%$�����������-��������������*+����*+����+��� ���()������F���������)��-������� �����������-�����������%����������������)��-������� ��%�-��������������*+����*+����+��� ���()��������������������������(��-������� *00$����� ����������4*00#��%��-��Z�������*+����*+����+��� ��������������������O���*+L�����*?���P ������(��C�6����������������������()��%�������()�������!���!��������

Page 72: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��278;�

����!"#��

/����� ��� ���� ��� ������ �� ������ �� ���� ������ ���� ���� ������� �������������!���� ���.�@������������ ����������� �����0�� ���������4����������������4����������� ��������������� ������� �.�

� ��������������0������ ������ ��������� ���������!������� ������� ����0� ��� ������� �� �����.� >���� �� ���� ��� ���� ����.� /����� ������0� �������������� �������������������������� �����0�������������>�.�

=���� ������ �� ����� �������� �� �'� � ���0� ������ ��� �� ������ ���������� �����1������������������������ ��� ��������� ��0������������� � �� ����� �� ������ �� ��� ����� ���� ���� ����� ���� ��� ��� ��� � �� !� �����������" ���������������������#��

����)��������������������'��������(�������������������������(���������������������

=���� �������������������� ������������ �����

���������������������������.�*/+������()�*��.�*/+�������()�&��.�*/+��������()���������.�&/+������()�&��.�&/+�������()�*��.�&/+��������()���������.�2/+������()�&��.�2/+�������()�2��.�2/+��������()���������.�5/+������()�&��.�5/+�������()�M��.�5/+��������()���������.�G/+������()�&��.�G/+�������()**��.�G/+��������()���������.�M/+������()�2��.�M/+�������()�&��.�M/+��������()���������.�Q/+������()�2��.�Q/+�������()�5��.�Q/+��������()���������.�K/+������()�5��.�K/+�������()�2��.�K/+��������()���������.�3/+������()�M��.�3/+�������()�5��.�3/+��������()�������.*0/+������()�5��.*0/+�������()�Q��.*0/+��������()���������.**/+������()�5��.**/+�������()�3��.**/+��������()���������.*&/+������()�5��.*&/+�������()*0��.*&/+��������()���������.*2/+������()�G��.*2/+�������()�M��.*2/+��������()���������.*5/+������()�M��.*5/+�������()�&��.*5/+��������()���������.*G/+������()�M��.*G/+�������()�5��.*G/+��������()�������.*M/+������()�M��.*M/+�������()�G��.*M/+��������()��������

Page 73: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�.*Q/+������()�M��.*Q/+�������()�3��.*Q/+��������()�������.*K/+������()�Q��.*K/+�������()�5��.*K/+��������()���������.*3/+������()�K��.*3/+�������()�3��.*3/+��������()�������.&0/+������()�3��.&0/+�������()�5��.&0/+��������()���������.&*/+������()�3��.&*/+�������()�M��.&*/+��������()�������.&&/+������()�3��.&&/+�������()�K��.&&/+��������()�������.&2/+������()*0��.&2/+�������()�5��.&2/+��������()���������.&5/+������()**��.&5/+�������()�&��.&5/+��������()������������������()*0000���##����������F�������������������

2������� � ��� ���������������������������� �� ���������������������������� ���������������!�������� �����7���������.�*����0�� ����������� �������0� ��� �� ������ ������� !� ��� ���� ��� �� 7� �� � � �� ������������G������������� �����F0K0N0L���7?.�

������������������������� �������(�����������������(���������������������������()0�������()*����&5����������������������.�/+������)��������!�������������������������� �����������������������������.�����������/()����##�����������=�=������������=�������=���������������������������

)�����0��� ����� ������������ ��" ��������������������������������#� ��� ��� � ������� ��� ��0� ��� ����� �� � ����1� �� ���� � :��0� ����4��������� �����������.�@�������0������� ��������������������������������������������0���������� ������������"���� ������������������ ��� �� � ��� � � ��� �� � � �������� ��������#� �� � ����� �� ������������ ��� ��������.�>�����������������

�������������E������� ������'��������(������������E���(�����������������(���������������������()*����&2��������������������� �.�/+������)������������ �.�/+�������)����������!�����������.�/+��������()���E����������� �.�/+������)������������� �.�/+�������)���������!�����������.�/+��������()���E������������������

@�� ����� ���� � ���� ��� !� � ��� � � ��������� �� ������� ��� ���� ���������������������� �����.�>������������ ���� � ���������� �������

���� ����� �����0������� ������������������ ������

�� ��R�� ������� � �� ��� ������ ��� "!� ��� ��� �� �� �� � � �����������#� ������������ ������ �������.�

������������� ������ � �����0�� ���� �������������������������������� �����.�

/ ����� �� ����������������������� ������ �� ��������� �����

�� ���� �� ��� ������ ������0� ��� �������� �� ������ �� �� ������ � ������ � �� ��0� ��� ����R�� ������.� �� ���� � :��0� ��� ��� �b�� ��� � ���������������������������� � ������������ ��.�

���������� � �����������������"�����!�������� ��aW ������#� ���������� ��� �������������"�����!�������� ���#����������������������� ������ �� ���0� �� ��� ��� �� '� ��� �� ��.� ;�<�� !� � � �����������0� ����

Page 74: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�� ���� �� ��� �� ������ �� ���� ��� �������� ���� ����� �� ������ �� ���� �� ��� ��� �� �� "������ ��������� �� ���� ����� �� ����� ���������#.��

@��� ��������� ������� ���������0��� '��� ��������� ������������� �������� ����� �� ��� �� ��� ������� �� ����� � � ������� �� ����1� �� �����������.�

���������������� ������'�������'����������(��������������(��������(����������������(����������������������*����(��������������������*�(�������������������������)���������!����������������������()���������������������1)������������!�������������������������������()���������������������*+����*+����+��� �X������������������!�����(��������������*+����*+����+��� ������� ����������-��������+��������������*+����*+����+��� �����������������*+����*+����+��� �)))))))))))))))))))))))))))))����������������������������������������������������� ���������������� ��������'��������*'�N��� ��������������������*()���������������������()*���������������*���������������.��������*.�//+��������)������!��������������������������������E������� ������'�.��������*.�//+�������'������������������������()������� �.��������*.�//+�������'�������'���������������������������������-*'����-�'�-������� �.��������*.�//+������������������������E������� �.��������*.�//+�������'������'�����������������������������������

2���� ��������!� ���� ���������������������

�����������O���*+L�����*?���P ������(��C�6����������������������������� G'��##����������������������Q'��##�����������������������0'��##���������������������������G�����##��!�������������������

$ ������� ���� ���� ��� ��� �� ���0������!������������F??��� �������������.�

/!0�������������������������� ��������4���������.�>������������ � ����� ������ ���������� ��� ������ � ��� �� �� �� ������� ��������.�

/� ��������� ���� ��� ������� � ��� ������� �� ���� ������������� ��������.� 5�� ��� ���� � ���� ��� ������ � ��� �� �� D� �� ������� �����0� �������������������������������� �� ����������� ������ ��� ��� ���� ����� ������� 8� �� ������.� >���� ����� !� ����� ��������������� �������� ��0������������������ �������������� �������������������������.�

/� ���� ��� ����������� ��� �� ������ �� ������ �� ������ ���� �� >��O2I��������.�

Page 75: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

2��������������������� ������������������������������ ��������� �� ���������� �� ��������!������������0������� � :��� � � ��������� ����������� ��.�*��������������� ��������7�������!��������������� ���� ������� ��� ������ ���� �0�� ��� �Q ����� �� ������������������������.�

Page 76: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��278<�

��#�#��$)�)���#���)�"�$"�.���""#�.�

)"#�*$�"��)�

������ ����0��������������� ������������������������������������.� =���� ����� ��������� ���� ��� ���� ��� ���� �� ����� ��� ����������� "��� ����� �� �������#� ��������� �� ���� �������� ������ ���������� ������� �: ���"������F7G�A�c������������� ���3�d#.�/����� ����� ��� ��������������� ����� �� �� ������ :������������ � � ���� ������ �� ��������� �0� ���� ���� ���� ������ ������.� @�� ���4����������� ������� ������������������������������������.��

=���� ������������������������������������������!�� �� ������ �: ������������ � ����� ��������� ��.�

G�H�)�*I!�#�#��$)�)���#���)�"�$"�.���""#�.��)�+#�)H��.�

#���1��.�*I!�#�"$#��

=���� �������������������������������� �������������������.�

�)�"!.�/��

/� ������� ��� ������� �� ��� ����� ������0� �� ��� ������� � ����������� ��������� �����

?A��c�3����d�0�7�A�c����d0�8A�c�����d��� �����������.��

��J��)�.�/��

$ �������0�������Q��� ����� �����3 ���0����������������������� ��� �� :����Q������������������ ����������� �������� ����������������.�*������������c���3�d� ��������c����������d�" ���������������c������������d#�0��������c����3�d� ��������c���������d�" ���������������c�����������d#� �� ����� �� ����� ����Q!� ��3.� I ��� !� ����� �� �!� ��� ���� ����c��������d�"���4�����c����������d#0�c����������d0���.��

/�� ���������c����d�"��� ����������������� ����#�

=������� �����Q���� ����������c���d��������������c�7�d�"������)9���0������)9���0��� � ���)9���0������ ���)9���0����� ���)9���0����� ���)9���3#�� ��� ��������� �������3 ���.�

�Q ����� ������ ������ ��������� �� ���� ������0� �� ��������0� �� ������������.�>��� �� ����� ���������� �� �� �: �������������,� ��0����������������������������������5����0��B����'� ����� :������������������������������������ ��0����� ��0���� ���"���Q���������������C�#�0������+�����������������c��� ��0���� ��0���� ���d�

Page 77: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

2������� ����Q��� �������� ���B�����������c���3�d�"770L70N7#���L�� ���B�����������c����d�"70870F70G70D70K70M7#.�

)���������� 0����'� ����� ����������c�&�'���d���c�)������&�'���d��

2&,'�

7.�/� � ���������� ������� �� ������������������������������ ����������������������� ������������� ���� � ������������.��

)������V� ����������������0��� ���������������� ���.��

*�������� ��� ����� �������0� ����� ��� ���� �� ����� �� ��� � ����������� ��0�� ����������.��

)������V� ������������������.��

$����������������������0��� � ���������� �������� �������� �� ��.��

)������>���������������.�

8.� � ��� ��� � ������ ����� ��� �������0� �� �� ��� �������� ����������������������������������������������� ��������������!����0�� ���������������������� ������ ��� ���� ��������c���d.��

)������H���������.�H���������.�

D��'4�72&,'�.��

� .� �� �.� �.� e� *� ����� ����� �� � ���� �.� V� ��� ����� �����.�@�� � �� ���������� ��0� ��� � �� ������������� ��.�=��.�� /� � ����� ����� �� � ���� �� �������� ��� ��� c���d� ����� ��� ��������� �� ��� ������ �� ����� ����� �� ������ ����� ���� � ����� ����� �.�*� ���������� ������� ����� �� ��.��

)������ V� �����������.� / � �� �� ��������.� )�� ���� ���� ������ ��������.��e�=���� ���������� �� ��.��

)����������� �������������������������.�

&�"�.�

7.�*�������� ���������������������������������0������ �������������� �� ��� � ������ ����� ��0� � ��� ��� ����� �� ���� ������� ����� � �� ���� ��� ������ !� ������ ��� �� � ����� ����� �� ��� ��������� �� ��������.��

)������V� ����������������������� ���.�

8.�*������ � ���������� �0�� ���� ��������c���d���������� ���� ���c����d�0������ ������!�c�����������d0�c��� � ��������d...��

)������V� �������������������0��� ��������������� ��.�

F.�/�� � ������ ����� ��������������� ��������� ���������� �������� �����������.��

Page 78: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

)������� V� ������������0� �� ��������������0� �� ������������0��� �����������30��

�� ���������������.�

��)"��)�.�/��

$���������� �����Q�����������0�� ��������� �� ����������������������������c�����d�"��������� ��c��'�����d�� ���c�����d�����������#0��������� ���������������7??� ' ��������������������� �����c�%��1�����d�0�c����� �����d[��

/�����������c���d�"��������� ������ ����� ����������������c�����d#������ �������.�

/� � �����c�����d���

��� ���� ��� c���d� �� ��� ��� ��� ��������� �� ��� ���� ������ �� �������������� � ���������� �.�

������f� ������������� ��.�

��������� �� ����� ����������� ����������� ����� �����������

)������@�� �������� ��.�

��������� �� ����� �������������������� ���������.�

)�������)��� �������������������������� ��.�

�� ���������0��������0������ ���0������ �������� ����������� ������������������������.��

)������V� ��������������������� ���.�

���#�."��

*�� ��!� �� ����0� �������0� ����� ��� ��� ������� �Q�������� �� � � �4��� :��0���������������� ����������F��������.�

2��������������Q������ ����� ��������� ���� ���������������������������� ���� ���� ��� �������.� $ � ��� ����0� ��� ��� �� ��� ��� ��� � ��������Q������������ �������"����������������#���� ����!������0�� �������� ��������������������������������������������������Q��� ��� ����� !� ����� �� � � ������ ���� ����.� �Q�B� �Q�����4�� �Q���� � ����� �� � ���� �� �������� "� � ������ c�� ��d� ��� c�.�d#� ����� ������������������ ���� �������� ����"�������7.F8D.8G?#0����������������� ������ '�� ������ ����.�

��.�."#$�"$#�.�$"���.!�.�*�).����(#�3#�����

=���� ������ ����� ��� � �� �� ������ ��� ��� ������� �� ��� !� �������0����������������������������������

����������������������� ����Q����� ���7..7N�

Page 79: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

����������������������� ����Q����� ���K7..LN�

����������������������� ����Q����� ���M7..NN�

*� ����� ��� ���� ��� ������ � �0� ����� ��� ������� K7� �� L7� �� ������ ��������������c�)9�d�������������������3 ��������������������.�

2������ ��������� � �� �������3 �������� �������� ���������������0�����0��� � ��0������ ��0����� ��0����� ��0��� ��������0��� ��������.�

O� ����������� ��������� ���������� � ��������������0��������������� �� �� ���� ���� ������ ��� � �� ���� ��� ��� ����� ���� L?..LN� ��N?..NN.�

2�� ���� ������ ��� � �� �� ���� �������� ��� ������� ��� ������ ����0��������0������ ��0[�

=���� ��������������� �������� � ���� ���� ������� ���������������������� ��.�

/� ������ ��������� � ��� ��Q��� � ��� ��Q��� ������ !� �� ���� ��� �� �� !��Q�� �� ����� �� � � ���� ����� �� "����� �� ������ �������� � �����#������Q�� �� ������������

)�������

*2+&2M+G&M'MG�)��������������[*2[�-��������������[&2M+G&M'MG[����&2M+G&M'MG�)��������������[&2M[�-��������������[G&M'MG[�� G&M'MG�)��������������[G&M[�-�[�������[�-��������������[MG[�� � ����MG�)��������������[M0[�-��������������[G[�)��� � � � � [��%����[�-�[���E[�)�[��%��������E[���� � G&M�)��������������[G00[�-��������������[&M[�� � �&M�)��������������[&0[�-��������������[M[�)�[�����[�-�[�%[�)�[�������%[�� � �������������[G00[�)�[���E[�-�[����[�)�[���E�����[���� � ���������������\�

�����0� ��� �Q � ���� ��Q!� ���� ����� ��� ������ ��� ��� ������������ �� ������������������������� ����� �.�

/ ������������������������!����������� � ��������� ���Q��������.�=���� �������������� ������������������������� ����!������������� ��� ����������� ������ �������� "��������0��������#� ���� !� �������������� ��� ���0� ��3 ���� �� ������.�/ � ���� ����������� � �������� � �� ���������� !� ��������� �� � ��� � ��� �� ��� �����0� �����!����� ��� ������� ����� !� ����� �� � � � ���� ��� ����� ��� ����� ���0� ��������0���������0�[�� ��������� 0����'���������������������!� �������� �������C�

>��� ���� ����� �������� ���0� �� ��������� ��� ������� ����������������� �������� !� �� ���� �� ����� �� ������ �������� �� ���� !�� ���0� ���� !� ������ ����� ����� �� �� �������� ��� ��� ��� ����������� ���� !� ������ �� ���� ������� ���� �� ����� P� �� � ����� ���� � ����������� ����� �������� ��������� C� 5��� ����� ��� ���0� ��� ������ ����������� ����������������������� �����"������4�������� ���#����� ���� � ������� ���� ���� �� ������ ��������� � � ������� ��� �������� ��������0����[��

Page 80: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

9���������0��� ���������� ��� '��������������������� ��� ��!��� ����� ���� � � �'����������������0����� ����0������� ����� ���������� ���� ��� �������� ��� ���� �� �� � � � ����� ������ ����� �� �������������� ���� ��� ��� ��������� �� ������ �� ����� ������ ����0� � �� ������ ��� �����������������������������" �����#��� � � �'���0�[�0� �����!����������� �������� ����� ������������� ���"����������� ��#���������0�������� ������������.��

��.�.(!��+���"!.�*���I��3�#�"����

*� ����� ��� � �����������������0������ ����� � ������� ���������������� �� �������� �� ��� ������0� ����� � �� ��� �� ��� � �Q ����� � � ���� �����0� ���� ������ ���� ����� �� " ������� !� ��������� ��#� 0�������������� �!�� ��������� ����������������c��������d�.�

/��� � �� � �� �������� !� �������� � � �������� ��� �����0� ���� �������� � ��������� �����Q�� ���.�2���� ���������� ��������������������� ������� �� �����!��Q�� �� �����������.�

=���� �������������� �� ������� ��� �Q�������������� �������������� 3���� !� �������.� -�� ������ ���������� �Q��� ���� ������� ��������� ����� � ���� ��� �� � � �����������0� �� ��� ������ ����� �������� ��������� �������� �: ��.�

5�� �� ������ �:�� ��� ������� � ��� ��� ����� ���� 7?..NN� 0� ����� ������������ ��� �Q�� �� ����� ��� ������ ��� �� �� �� ������� ��� ��3 ���������Q�� �� �����"������������#����������.�2����������� ��������� ���B���� ����� ������� ��� c�)9�d� �� ��� � �� ��� ��3 ���� c����� �������d� ��c��� �������������d.�

5�����������:������������� ����������� ����L?..LN����N?..NN� ������Q�� �� ����� ��� �� �� �� ������� ��� ��3 ���� "��� � ��� �� � �� �#���������������������Q�� �� �����"������������#����������������������������������7?.�2����������� ��������� ���B�������������������c�)9�d�.�

5�����������:������������� ����Q����� ���7??..NNN� ������Q�� �� ���������� �� ��������������� ����"�������� ������������7??#������ ��� ���c�����d���������� �� �����"������������#�������.�2������ ��� ����� �� � �� ��� c���d� ��� �� ���� ����� �Q ����� �� c�����d� � ������ ����� �.�

5���������������������!�NNN� ���������������Q ������ ����� ���������� "����0� �������0� ����� ��[#� ���� ��������� �� ��Q��� � ��� ��������� � � ���� ����� �0� ��� �Q�� ��� �� ��� ���� ��������� "�� �������� ���������� ����� ������������������ ��#�������������� ������������������� ���� �����������������.�

H��������������� ������������������������������������ ��.�

Page 81: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

Page 82: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������������� �����������������������

���(�"#��278�

���(#���1���*:��)."��)�

�� ���� ��� ��0� )������� � ���� ��� ���� ������� �� ������0� ������� !������������.�/������������� ����������������0�� �������� ������������������������������������� ��� ����.�

2�� ������� ������ ��������������������������.�

� ����� ���� ��������������������� ���� �������������.�

>� ���������������������������������.�

>� �����������������'������ ������������.�

>� ����������������� ��� ����������.�

@��� �����������������������������.�

< ��������

7#�/� ��� �������� ���� �� ����������

8#�/�����������������������

F#�/�� ����������������.�

G#�/ �� ������������ ����!�� ������� �� ������� ���.�

D#�/������� ������ �� ������������������ ��.�

K#�/���������$ ���I �������������� ��.�

L#�/������� ������ �� ����� ������������������.�

M#�/��������������� ���� �� ���������������������� ��.��

N#�/��������������� ���� �������� ����.�

7?#�/�����������������+���������!��6������������������������ ��.�

77#�/��������������������� �������!��6����������������������.�

78#�/�����������������+���I ������������� �����.�

7F#�/� ��� ����������$����.�

Page 83: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

7G#�/��������������!��6������ �� ��������.�

7D#�/�����������������+����� ������������������������ �.�

=���� ������ ���������� ��������������'����������������������

���,���!���������)������� ������'�����'�����'���������'��������������,�����������)������� �!�'����'���'����'�����������,�������������)������� ���������'���!���'�����'����������'������������,�������������)������� �!���'�����%'�!��'�!����%'�����������,�������������)������� �����'�����'�����!�'6����'������������������������)�������������������������������������(��,�������������������������������!���������(��,���!���������������������������������(��,���������������������������������������(��,�������������������������������������������(��,�����������������������������������

$��������������������0������ �������������������� ������������������� ������� ��� � � � �� ����0� ��� ����� ����� �� !� ����������������.� @������������������ ���� :��������������� ��� ���D�� �����.�/��� �� ����������������� ��������������� �� ����D�� ��������������������� ������ � �� ���.�

�������������(�����,.*++G/�������������������������(��������D����

=���� ������� ���� ��� �� ������� � �� �� ������ ����� �������� �������� ������1� ��� ������� ��� � �� �� �� 7D� �������0� � �� ��� � 7D������ ������

*!�&@�(��������� ���������������(��

�����()*����G����������� �����.�/+!����).������/������ �����.�/+�������).������/���!����P.*/()������

#!�&����� ���������� ���������

�����()*����G����������� �����.�/+!����).�����/������ �����.�/+�������).�!���/���!������������P.&/()������

%!�&�� �����'���� �������

�����()*����G����������� �����.�/+!����).������/������ �����.�/+�����).�!����/���!��������������P.2/()������

+!�&������������������C�����>�(������ �����������'�������

$�������� ��������������0���� ����!�� ��������� ����� ��� �� ��������7�.�

�����()*����G����������� �8*������ �����.�/+�������).�����!�/������ �����.�$*/+�������).�����/�����������!����P.5/()������

9!�&��������������� �����������������'���� �������

�����()*����G����������� �����.�/+�������).�����/������ �����.�/+�����).����/���!������������P.G/()������

)!�&�������� ��=����E���������� ������������

�����()*����G����������� �����.�/+���������).���������/������ �����.�/+������).�����%/���!������������P.M/()������

B!�&��������������� �����������C�������� ���F��������

�����()*����G����������� �����.�/+���������).���!����/������ �����.�/+�������).6�����/���!����

Page 84: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������P.Q/()������

�!�&@�������������� ������������ ��������'���� ��������

>������� �D�� �����0����������������� ��������F.�

�����()*����G����������� �����.2/+�����).����/���!����P.K/()������

A!�&������(������� ����������������������

���������()*����G��������������� �����.*/+!����).���������/���!����P.3/()������

*5!�&@�������������� ������ ������>��H��� ������������������ ����������

$�������� ��������������0��!��6���������������7��������7�.�

@��� ��������� ��� �������� �����������

���������()*����G��������������� �����.�/+������).�!��/���!���������������������������������� �1G������ �����.�-*/+���������).�����/���!����P.*0/()�������������������� �8*������ �����.�$*/+���������).�����/���!����P.*0/()����������������������

**!�&@���������������� ���������������>��H��� �������� ��F��������

���������()*����G��������������� �����.�/+���������).���!���/���!���������������������������������� �1G������ �����.�-*/+������).�!����%/���!����P.**/()�������������������� �8*������ �����.�$*/+������).�!����%/���!����P.**/()����������������������

*#!�&@�������������� ��������E�������'���� �����'������

�����()*����G����������� �����.�/+���������).����������/������ �����.�/+�����).�����/���!������������P.*&/()������

*%!�&@������ ����� ���=������

�����()*����G����������� �����.�/+!����).��������/������ �����.�/+���������).������/���!������������P.*2/()������

*+!�&������(�������>��H��� �����������'������

���������()*����G��������������� �����.�/+�������).�����/���!���������������������������������� �1G������ �����.�-*/+!����).���������/���!����P.*5/()�������������������� �8*������ �����.�$*/+!����).���������/���!����P.*5/()����������������������

*9!�&@�������������� ������ ����������������'���� ���@�����

���������()*����G��������������� �����.�/+���������).�����/���!���������������������������������� �1G������ �����.�-*/+�����).���/���!����P.*G/()�������������������� �8*������ �����.�$*/+�����).���/���!����P.*G/()����������������������

)�� � ���� ��� ������ � � �������� �� ������� �� � � ��������1� � ����� ������ ���0� ����� ����� ����(�� � ��� ��� ����� ����� ������� ��� 78?�� :����������������� ������D�� �����.�

/���������������� �����

�������������� ��������� :������� ������� ������"78?������������#.�

������ ���� :������������

Page 85: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������ �������� ��� �� ��� ��� � :���� �� � ��� ��� ������ "78?������������#�

��������� ���� :������������

��������� �������� ��� �� ��� ��� � :���� �� � ��� ��� ��������� "78?������������#�

������������ ���� :������������

������������ �������� ��� �� ��� ��� � :���� �� � ��� ��� ��� ����� "78?������������#�

��������������� ���� :������������

��������������� �������� ��� �� ��� ��� � :���� �� � ��� ��� ��� ��� "78?������������#�

������������������������������������ ������������������.�

/� ������� �� ��� ��������0� ��� ������ ��� ������� ��������0� ��� ��� ��������������������.�

)�����0� ���������!� �����78?D������������0�������������8D������ ���.�@��� ��������������������� ������������� ������ ���� :������ ������� �����0������0...�

=����������������������� ������� �����

�������������� ��������� :������� ������� ������"78?������������#.�

������ ���� :������������

����������������"G#� �����

��������� �������� ��� �� ��� ��� � :���� �� � ��� ��� ������ "78?������������#�

������������ ���� :������������

���������������������"�7#� �����

���������������������"�N#� �����

���������������������"7G#� �����

��������������� �������� ��� �� ��� ��� � :���� �� � ��� ��� ��������� "78?������������#�

������������������ ���� :������������

���������������������������"F#� �����

���������������������������"D#� �����

���������������������������"M#� �����

Page 86: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�������������������������������� ��������� :������� ��������� �����"78?������������#�

������������������������ ���� :������������

����������������������������������"�L#�����

����������������������������������"78#�����

����������������������������������"7F#�����

����������������������������������"7D#�����

��������������������������� �������� ��� �� ��� ��� � :���� �� � ��� ��� ��� ���"78?������������#�

����������������������������������������"�8#� �����

����������������������������������������"�K#� �����

����������������������������������������"7?#� �����

����������������������������������������"77#� �����

������������������������������ �����R��������1�

/ ����������������������� �� ��������������� ��� ��.�

Page 87: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27;�

��.�9$�"#���$.����).�

V� �����������������!�� ������������1� ���� ���������� ���'� �������������1������������ ��� ������������� �����!�� �����0��������������������� ������������� ������ �������������� ���������0������������������� ����� �.�/���������7?�������������� ����������0����������D�������0������������8�������������� ��������������.�

5����������� �������4�����������������0��������������� ������� ���7?�������.�

@������������ �������������7L�������.�

'���%�"���'�

=���� ������ �� ����� �� ���� ��� ���� ������ ��� ���������� �� ��������.�

2��������� ���������������������

7#������������������������!�� �����������

8#������������������������!��������������

F#������������� ����������� ����

G#������������ ������ �����

D#�������������B���������� ������.�

)��������� �������� �������������������

7#���� ������ �� 'T7..GU�������� �1�

5�� ������������������!�� ����������� ������ ���T7UA���0�������� ��.� )�� �4�� ���� ��� � ���T7UA���0� ��� � �����T7UA� ��0� � �� ���������� �� ��� �� �� ������� �� ���� �������� ���������� �� �4��������

8#����������� �� 'T7..GU�������� �1�

5�� �� ����� �������� ��� !� ������ ��� ���� ����� �����T7UA���0�������� ��.�

F#� ������ ���� �� �� 'T7..GU� ��� ������ A� "7?0D0807#1� � PP� ������������ ����

G#�� ����������������1�

D#�� �������R R� ���������� �1�

Page 88: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

6'��7 �%������$���

/������������� ������������ ��� ����������!�� �����.�

5�������������0�����������������������

7081�70F1�70G1�80F1�80G1�F0G�

>� ����� ����� ������������������������������()*����5����������6()�-*����5����

5��!�������� ������������ �� �������!�� ������������������ ����������0� ��������������������� �������� � ����!������0������������������������������

����!��������!�()��������������

/ ��� ��������������������� ����!����������� ����� ��������!�.�/()�������������.�/()��������##$$$�=�=��������������������������

>� ���� ��� �� ��� ��������� "����� !� ���� ������ � ��� ��� �� ��� ���� ������������������ �� ��������� ������0���� ������������ �� ���� �� ����� �� ����#0� ��� � ��� ��������� � � �������� �� ������ � ����� ����� �����"��� :���!�� ���� �������� ��� ������ ����������� ���� � ��� ���� ��� ����� "���� ��� �� �������� !� 7L�������##.�

2���������������� ����� ������������ ��!��7�������7�0�������� ������ �� �� ��������� ��� ��� �� �������"����#�1� �� ���������A70� ������ � ��� �� ������� �� �� ���0� ���� ��� �� ��� �� ����������0������ ��� ��!�7�����7.�

2�� � � ����� ��� ���� � ����� !� � � �������� ��������� ����������� �� ������ ������� !� ��� ���� ��� �����0� �� ����� �� ���� �����.�

5�0� �����0���� �������������� "������ � �#����� �� ������ �����0� ���������������� �������� ������ � ��������7����

*()������� ��-�'�-������� 6���

2�� ��������������������� � �����������������0� ��� �������� �� !� ������� ����� ���� ����� ��� ���� �� ���� �� � ��� �����"�������� ������������a��������W�1�

�!���!�� $��'-��1$�-*-������

2������������������������������������ ������������ ��������������������.�)�����0��������4��������� ��������������� ����������������� ����

�� ��� ����� ���� � � ������ ��� �������� 7.� / � ������ �� �����������!������.�

�� ��� ����� ���� � � � ���� ��� �������� 7.� / � ������ ���� ���� ���!�� ���.�

Page 89: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�� ��� ����� ���� � � ������ ��� �������� 7.� / � ������ ���� ���� ���!������.�

)�� �����������0��������������� ���� ������������ ������� "��� ��� ���� ��� ����� �� ������� !� � ��� ��� ���� ���� �� ����������� ��� ��� �� �����1�� ��� �� � ����� � ��� ���� ���������� �������� ���� ������������#.�2������������� ��� �������������������� ������� �� �� ��� ��� !� ����� ��� ����� ������������.� 5������� ��� ����� ��� :���� �� �������� �7�� ���� � ������1� ��� �������� � ��� ��� �� ��� �7�.� 5�� ������ ��� ������� ����7������� �� ���0������� �� ���� ��� �����������0��� ��� ����� ������� ����� �� ��0� ����� �� �������� �� �� � ��������.�

H���������4����� ����������������������������������!���!�� ���(����������'����(����������

�B� ���� ��� �� ������ ������� �� �� ���� �"�#� �������"�#� ' ����������� ���������� ����1��������������������� ���

���*()������� ��-�'�-������� 6���������*18�����!����������!���!�� $��'-��1$�-*-���'*���

-���� ������������������������������� ����������� �������������.�/()����������!�.�/()�������##����������������!��������!�()������������������##������������������!��F�������������� ������'����.�/����������������##������������������������������*()������� ����������*18�����!�����������������������##��������������������������������������������������!���!�� $��'-*-�$8��'*����##����������������������������.�/()���������!�.�/()�������##�������������������������������������!��������!�()�������������������##�����������������!��F�����!�������� ������'����.�/����������������##������������������������������

/ � �������� ��������� �� � ����� ���������� �� ���� ����������������0� �� �� �������� ����� ���� ��������� ����� ����� ������������ ���� �� ��� ���0� �� ���� ������ �� ��������� �� ����� �� ���������������.� @���������������� ������������� ����� ������������������� ������ ����������� �����"�����!��������������#.�

/�������� ��4����� ������������������ ������������������)*Q��!�������������������.*/�����������.&/�����������.2/�����������.5/��!���������������������������������()���������������������%*+����+��� �������]�������������������%*+����+��� ������������������%*+�����!�������������%����������������������������������������%����

)������� ����������������������� ����������� ��� �������������������������.�>� �����b�!������ ��������� �����

�������������� �� ����F0G��W�� ��������������

���a��708��

Page 90: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���a��70F���F� ������������!�� ����� �������T7UA� ��1�"E#�

���a��70G���G� ������������!�� ����� �������T7UA� ��1�

���a��80F���F� ������������!�� ����� �������T7UA� ��1�"E#�

/������ ���� ���� ����� ���� ����� �� �������� �F�� "�� ��� �� ���������������#�������� ��!�� ���0����������������������!�� ���������0���� �������������� ����� ����� �.�

@�� � ��� �������������� ��� ���������� �������� �� ��� ��� �� �������������������!�������� !��������.�

Page 91: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�������������!���������������

���(�"#��278�

�$�"�.�K�#!�$##�)���*�$����

=���� ������ ������ ����� !� �� � ����� ���� ��� ������ ������������� ����������.�*����0�� ��� ���������� ��0� � ���������������� �������0����������������.�=������������ ��������� ����������� ������� ������ �������������������������� ���� �����0� � ��� ����� ����� �� ��� �����������0� �� � ����� ����!����� ������� ������������ ������1� �� ���0� � � ������������� ���� �������������0������������ � ������.�

H������ ������������������������0�������������� ��1��

�"?#A70��"?#A8��0���������������� ���������

�"��7#AF�"�#�8�"�#�

�"��7#A8�"�#�F�"�#�

O� ��������

7#�� ������������������ ����� ��!�7.�

8#�>����� ������������������������ �������0��� ������ ����!�������������������Z ���.�

���������� �(��������(���M5�����:���������������� �(��������(���M5�����������������)0��!��������()*��##�����������������������������������������������()24� �$*�-&4� �$*������������������������������������)0��!��������()&��##�����������������������������������������������()&4� �$*�-24� �$*��������������������O���*+L�����*?���P ������(��C�6�����������(��������������������������+?����()��V���W���������>���*+?����������������()0������������*+H����$*����������������������������>���*+D���+��� �� �-A������� ��-���)��-A������� � ���������������>���*+D���+��� �� �-A������� ��-���)��-A������� � ���������������>���*+D���+��� �������������������������������+?����()����������������

Page 92: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27;�

'#���$������$."#�(�!*�)�

=���� ������������ ������� ������������ ���������������������������������� �������� � �� ���������.�I ��� � � � �������� ������������� ������!������"�����������#�����.�5�������� �� ������������������.�$������ ��������

N0�80�7D0�L0�F0�70�K0�7F0�7L0�G�

/� �����������������!� �������� �� � �� ����� ����!��������� �� �����������������������������0��������������������� ����� ������������0� ����� ��� ����� ��� ���� ������.�-�� ����� ������ ��� �� ����0� ��� ������� ����� ������� ����������������������������.�

H����� �������2��������� ������������.�5��������������������������������������������������������

80�N0�7D0�L0�F0�70�K0�7F0�7L0�G�

)������ ��� � ��� ���� ������ ���� �� ������� �����.� $ �� ������ ����� � �� Na7D.� 2�� � ��.� 2�� ��� ���� �� ��������� �����.�>����La7D� ������������������������������

80�N0�L0�7D0�F0�70�K0�7F0�7L0�G�

2�� ��������� ���� ������������������� ����F�������������������������������������0������������������

80�N0�L0�7D0�70�F0�K0�7F0�7L0�G�

2���������0������������������� �����!�� ������������������

80�N0�L0�7D0�70�F0�K0�7F0�G0�7L�

2�� ��� ������ !� � � ���0� � ��� ��� ���� ������ ���� �� ���0� ����� �����������������������1������������ �������������

��������*�(�&'�3'�Q'�*G'�*'�2'�M'�*2'�5'�*Q��$$8��������!�����������������&�(�&'�Q'�3'�*G'�*'2'�M'�*2'�5'�*Q���������2�(�&'�Q'�3'�*G'�*'2'�M'�*2'�5'�*Q��$$8��������!�����������������5�(�&'�Q'�3'�*'�*G'�2'�M'�*2'�5'�*Q���������G�(�&'�Q'�3'�*'�2'�*G'�M'�*2'�5'�*Q���������M�(�&'�Q'�3'�*'�2'�M'�*G'�*2'�5'�*Q���������Q�(�&'�Q'�3'�*'�2'�M'�*2'�*G'�5'�*Q���������K�(�&'�Q'�3'�*'�2'�M'�*2'�5'�*G'�*Q���������3�(�&'�Q'�3'�*'�2'�M'�*2'�5'�*G'�*Q��$$8��������!���������

I ������ ���������� �����0�����������������

��������*�(�&'�Q'�3'�*'�2'�M'�*2'�5'�*G'�*Q��$$8��������!�����������������&�(�&'�Q'�3'�*'�2'�M'�*2'�5'�*G'�*Q��$$8��������!�����������������2�(�&'�Q'�*'�3'�2'�M'�*2'�5'�*G'�*Q�����������5�(�&'�Q'�*'�2'�3'�M'�*2'�5'�*G'�*Q�����������G�(�&'�Q'�*'�2'�M'�3'�*2'�5'�*G'�*Q�����������M�(�&'�Q'�*'�2'�M'�3'�*2'�5'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������Q�(�&'�Q'�*'�2'�M'�3'�5'�*2'�*G'�*Q������������K�(�&'�Q'�*'�2'�M'�3'�5'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������3�(�&'�Q'�*'�2'�M'�3'�5'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!���������

Page 93: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

*������� ������ �������G����� �����0������������������

��������*�(�&'�Q'�*'�2'�M'�3'�5'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������&�(�&'�*'�Q'�2'�M'�3'�5'�*2'�*G'�*Q������������2�(�&'�*'�2'�Q'�M'�3'�5'�*2'�*G'�*Q������������5�(�&'�*'�2'�M'�Q'�3'�5'�*2'�*G'�*Q������������G�(�&'�*'�2'�M'�Q'�3'�5'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������M�(�&'�*'�2'�M'�Q'�5'�3'�*2'�*G'�*Q������������Q�(�&'�*'�2'�M'�Q'�5'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������K�(�&'�*'�2'�M'�Q'�5'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������3�(�&'�*'�2'�M'�Q'�5'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!���������

*������� ������ �������G����� �����0������������������

��������*�(�*'�&'�2'�M'�Q'�5'�3'�*2'�*G'�*Q������������&�(�*'�&'�2'�M'�Q'�5'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������2�(�*'�&'�2'�M'�Q'�5'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������5�(�*'�&'�2'�M'�Q'�5'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������G�(�*'�&'�2'�M'�5'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q����������M�(�*'�&'�2'�M'�5'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������Q�(�*'�&'�2'�M'�5'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������K�(�*'�&'�2'�M'�5'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������3�(�*'�&'�2'�M'�5'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!���������

*������� ������ �������8����� �����0������������������

��������*�(�*'�&'�2'�M'�5'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������*�(�*'�&'�2'�M'�5'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������*�(�*'�&'�2'�M'�5'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������*�(�*'�&'�2'�5'�M'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q������������G�(�*'�&'�2'�5'�M'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������M�(�*'�&'�2'�5'�M'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������Q�(�*'�&'�2'�5'�M'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������K�(�*'�&'�2'�5'�M'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!�����������������3�(�*'�&'�2'�5'�M'�Q'�3'�*2'�*G'�*Q���$$8��������!���������

*����� �� � ����� ����� �� ��� ���� ����0� ����� ��� �������0� ���� ��� ��� ����� !� � � ���� ����� ���� ����� �� � ���� ������0� ����� ��� �� ������������������ ����� ��4�.�/����� ������� �������L�������.�

2������� ������ ������� ������ �������������������������������� �� � ����� ��� ������.� )�� ���0� �� ��� ������ ���� ��������������� �� �� ������������ ������������ ������������������ !� � � ���� ��� � �� �� "��� !� � � �������� ������#.� 5 �� ����������� ����������� ���������������7L���������!�� ����0�������� ���������� ���!����� ����� ����� ���� �����!�7L0���������� ����� ��4���!��������������.�*�����!��� ����� ����������� ����!���� ���������.�

I ��� ��� ��� ����� �������� ��� ��������� �� ����� �� ���� ����������������.��

/� ����������� �� ����� ��� ���� ���������� ����!�����������������!�� ���.��

V� ��� ��� � � �� � ���� !� ������ "� �� ��������#0� �� ���� �� ��������� �� ������ !� ����������� ������ ��� � �� �� "�� � � �����������������������������������#.��

V� ������� ���������!�� ���0� ���������������� �� ������!������������ � ���� ��� � �� �� �� � � ������� ��������� � ���������� ���� ��������.� V� ��� ��� ���� ���������� �� � ������0� ����� �� � �� �� ��� ����� �� �� ���� ��� �� ��4�.� 2�� ��� ����� ������� ��� ��� �� ��� ��� ������� "�� � ���� !� ������ �����������#� ��������� ������� ����0� �������� �� ���������.�

Page 94: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

$���� �� ����� �� ���� ����� �����������0� ����� ������ �� ����� ������������������� ������������ ���0����B���������������������������.�

� ��������� ��0������ ������������������������������� ����������� ������.� H����� ��� ��'�� ����� ���� � � � ���� �� ���� �������� �������������� �� ��� ����� �����

���������� �� ���� ����1� AF0��AD.�2������ �����!�� ����� AD����AF.�

2��� �������������� ���������� ������

��A� �����A�M�

���A� �����A�M���D�A�F�

��A� �����A�M���F�A�D�

)�������������������� ��0��������� ������������� ����.�

=���� �����������������������������������������������'��� ������������� � �� �� �������0� ��� � �� �� �� �'� �� ��� ���� ��� ��� � �� �� ������� ���� "���������� ������������ ��� � �� �� �����8�������������������������������#.�

>������� ����������������������0��������������� ����� ����������� ����� �� �������������� �0� ��� � ������� ��� ���������������������������Z ���.�

��,�������)�����,.*++*0/�������������������*�(�����)� 3'�&'�*G'�Q'�2'�*'�M'�*2'�*Q'�5��������&�(������������������������ ������(���������'�����(�������������:���������������������!� ��(�������������(���������������(��������������()���������()*����*0��������()-������� �.�/�-����������*+����*+����+��� ���������������������!���� �����'��(�������������������()���-������()���$������()���$������������������������� ������(���������'�����(�����������������������(����������������(�����������������������()�����������()������������$*������������.�/8�.�-*/��!�������������������������!���� �.�/'�.�-*/�����������������()������������������������������!��������������������!� �������������� �'����'����$*����������������

Page 95: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������������ ������(���������'�����(�����������������������(����������������(�����������������������()�����������()�������:��������-*������������.�/1�.�$*/��!�������������������������!���� �.�/'�.�$*/�����������������()������������������������������!��������������������!� ������������ �'����-*'��������������������������������O���*+L�����*?���P ������(��C�6���������������� �*'�&'�N��� �*��������� �&'*'*0��������

Page 96: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�������������������������

���(�"#��278�

��.��#�#�.���)��#�.�

-�� ������'������������� ��"�����������������#�������"�����'� � �� �� ������ �����#� � ��� �'��� "��� ��'� � �� �� �����#� ����� � ������� ������� ��������� ����� �����

/� �������������� ���� ���� �������������� �������������������������� �������������������.��

*������������������������� ������������ ������������������������������� ����� ����0� ����� ��� ������������������������.�-������������� � ������������ �����������.�

/�� �������� ��������������������������������� ����0�!�� ���������������� ������������ ���� ������ ���.��

=���� ������������� ���� ��������� ���������� ��������������� ������ ������� ��.�

I ��� � � � ��0������ ������������ ���������������� ������ �� ���� �1���� ���0����������� �������������0����������� ��� �� ���0�����0����������� ����� ����.� >���� ��� ����� ������ �� ��� ��� � ��� �� ���� � ���������������� ����������������������������"��� �������� �������������� ��'� �4�� �������#0� ��� � ����� ��� � �� ��� ����� ��� "������������0����'���� #.�

>� ������������������ ���������0������������"�����#0�� ��������������������������� ������������������������������

��������)���������������

Page 97: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������(�������������������!�'�������(������������������������������ ���(��������������������������������,���������

/� �������������� �� �������� �� ���� ����� ��������0� � ���������� ������������������������������������������������

��������)������������������������'��������(��������������������������������������� ���(��������������������������������,���������

/����� ���������������� ���������� ������� �������� �������������������������������� ������

7#��� ����������� ����� ��

8#��� ��������������� ����� ����

F#������������������������������ ����

G#���������������������� ���

D#����������� ������� ����

K#�� ���� � ����������� �����

8���++����3��*:$)��#�#��

2�� ��� �������� ��� ���� ���� � ��� ��� ��� ������ ���� ��� �����0���������������� �����0���� ������������������������ ����� ��.�

$�������� ������������������������ ���������� ������

����� ������������������

����� ���������� �����

��.�(�#��$#.��)�(#�+�)*�$#�

7#�&����������� ����� ��!�������� �� ��� ������ �� ���������������������������������0���������� ����������������� ����������������������1������� ��� ������� �� ��� �������� �� ��� ������� ����� �� �� �� "����� �� ��������������#���

/ ������������� ������ ������ ������������������ ����� �����

Page 98: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

$� ��.�����((0��� ��.1/���*���(������+���<��/��''������.��� �����.�����$� ��.���������������.��"%��<����.��"%��<����> 4��0%�����1�6/6/���''��+�?������������((��+����((0%*���+�1/���''�$��� ����(����*���+���((0%.� ���1/���''�$��� ����(����.� ����./�

2���� ��� ��������������������� ������ ��'��-'�����!1�

*����0���� ��������������������� ����� ����������������������� ����

771M1D17?17G17F17D�

8#�&����������� ����� ��!� ����� ����� ������ ����������������� ���� ����� ��������� ���������������������������� ���1������������������ ��0���� ������������ �����������������������

/ ������������� ������ ������ ������������������ ����� �����

$� ��.�����((0��� ��.1/���*���(������+���<��/���''������.��� ������((0%*���+�1/��������''�$��� ����(����*���+���.��&%��<����.��&%��<����> 4��0%�����1�6/6/��''��((��+�*�� ��.�� ������((0%.� ���1/�������''�$��� ����(����.� ����./�

2���� ��� ��������������������� ������ ��'��-'�����!1�

-�� ��������������������� ����� ����������������������� ����

D1M17?17717F17G17D�

2������� ���������� ������������ ������������� ���

F#�&����������� ����� ��!�������������� ����������������������� ���� ����� ��������� ���������������������

/ ������������� ������ ������ ������������������� ����� �����

Page 99: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

$� ��.�����((0��� ��.1/���*���(������+���<��/��((0%*���+�1/��((0%.� ���1/��.���%��<����.���%��<����> 4��0%�����1�6/6/��./�

2�� ��� ���� �������� ����� ��� ���� ��������� ��������� ��� ��'��-'�����!1�

���(�#��$#.��)���#3�$#�

/� ���������� ��������������� �������������� �����

/� ���������� ���������� ������������������ ���� �� ���� �������� ����.�=� ������0� ����� ������ ������� � �� ����� ����� ��� �� �� ���.�/� ���� ���������� � ��� �� ������� ����� ���� ���� ��.���� � ��� �� � �������������� ���0����������� ������������������������ ��������0��������� ������� ������������ � ��� �� ���� "��� �������� ��� ��� � ����� �����#� �0� �� ��� �� ��� �� �� ������ ��� �������� �� � ����0���� ������ ��������.�2�������������� � ��������.�2����������� ��� ���� ������� ����� ��� ��� ��0� ��� ����� �������� ��� �����.�H������ ����������������� �����

�����������O���*+L�����*2?���P ������(��C�6�����������'6�(�������������������������� ��(���������������������'�������(���������������������������)�����!����%����������������)����������������!�������������3+��%�()����3+��%�-�������� �+�������-�������������������������������� �+����!�'��������������-*'������������������ �+������'��������������-*'��������������������������������������##������!����������������3+��%�()���������������)�����!����%����6()��������+��������������% ��������+������������()*����6����������� ��������+����'*'���������

;���5�$"�*:$)�)��$*�*�).�$)��#�#��

/� ���� ����������� "�� �� ����� ���������0� � �� ��������� ��� ����������� ������ ���������� ���������������#�� ������ ������� ������ �� :������� ��� �� ��� �� ������ ��� �� ����� �� �� ���0� ����� ��� � ��� ������������������� �����������0������� ���� ��4������ ���.�5����0�����0� ��� � �� !� ��� ������� � ��� �� ���0� ��� ��� �� �� ������ !� ����� ��� �� ����� �� ������ �� ��� �� ������ ��� ���� �� ��� ��� ��������� ��� ����0� ����� ��� � ��� ��� �� ��������� ���� ������������ � ���

Page 100: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�� �������������� ����������� "��� �� ����������� �����0� �������� �������� ������������� ��������#.�I ��0�������������������������������������� ����0� ����� ��� � ��� ��� �� ��������� ���� ������������ � ��� �� ����������� ��� ����� � ���� "��� �� ����� � ���� ��� ��0� ����� ��� �� ���� �� ������������� ����������������������������#.�

���������������+�6����� ���(����������������������8)��������!���������������18�����!���������������+�6����� �����������������������()�����+������ ������������������!�18�����!�������������!�+�6����� ���������������������!�()�����+������ ����������

<�����("�3��*�.�)��$*.�*:$)��#�#��

$���� ������ �������������� ���0� ��� � ����0� ���� �� ����������������0� ��� ����� �� �� !� ��� !� � ����� ��� ��������� � � ����� ������������������ ������� ����������������������������.�2�������������0� ��� � ��� �� � � ��������� ��������� �� �� ���0� ������ ��� ��������� ��������������� ���� ������������������������ ��������������.�

��������������+������������� �����(��������(�����������������������)�����!����������������()0���������������������()*-������������� ����+����!��-������������� ����+��������������

=�����("�3��*�.�)�-��$��*:$)��#�#��

$���������������� �������� ���0����������� ����������������� ������ ����� � ���0� ������ ��� ��� ��� ��� ����� �����0� ��� ��� ��� ���� ��� ���� �� ���� �� ��0� ���� ����� ����� 70� � �� ��� � ��� ����� ����� ������� ����� �������������� ���������� �����.�)�����0� �������������� ���� ���� ���������� � � �4�.�/�����������������0������ ��� �?���� ��1����������������� ���.�/������� ������������������?0����������� � ����7����� ����� ������������������ "!�� ����� � � �4�#� ������� ���� ����������� �.�

��������������+��������������% �����(��������(����������������'���(�����������������������)�����!�����������������%()0�������������������()*-��������������% ����+����!���������()*-��������������% ����+�����������������8����!�����������������%()���������������������%()�����������������

>���9$����#�3��*:$)��#�#��

-�� ��������� ������������������������������������� ����� ����� ��4*�������0�����0�� ����� ����������� ��������������� �0������'� � ���������� ��� ��.�>���� ���������� ��������������!������ �����������0� ����������������'!��������

#�

Page 101: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�#�

I4����������������� �����������7D��� � ��� �������0��� ���� �� ����������������0�� ��������������� ��������������������������������� ��8�������0��0�� ����� ����������� ��������������� �0������'� � ���������� ��� ��.�

)���� ���0���������������� ���7F� � �������� ��� ��0���� �� ���� ������������������ ���.�

=���� ������ ����� � � �������� ���������� �� ����� ���� ��������� �� � ������������!�� ���������������������������������� ������������ �������� ���������.� >� � ����� ����� � �� � ������ ������ ������������� ������ �� ������ �������������.��

�����������

����'��� ��������'���������#����%���� ������� ��#����������� ��������

������'����

����'��������� ��+�>�B���� ������� ��%����������� ��������������'���

����'��������� ����>�*9���� ������� ��+����������� ��������������'���

-�� ����� ��� �� � ����� ��� � ��0� ��� � ��� ����� ��� ���� ���������� ' ��� �������0����������� ������!�?.�$������ 0������������������������������������ �� ������ ��� �� ���� ��� �� ��� ���� �� ����� � ���0� ��� � ��� ��� ���������������������������������������0������������������������������������ �� ��������� ���� ����� ��� ����.� =���� ������ ����� �� ������� ��

Page 102: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

� ��������������������"� ������ ���������������� �����������#0������ ����������"���������4����� ��!��������� ����� �������������#�������� ���������������������0����� ������������������ ����� ������ �����������������.�

������������������������ ��(�����������(������������������(������������������������������)����������!����%�����##����������������������������������������1��������!����������������������+����!�()�����+������ 0������������ ������������������������ �+����!�'���-*'��������������+������()�����+������ 0������������ ������������������������ �+������'���-*'��������������������������

I ���� ��������� �����������0����� ����������� ������� ����.�$������ 0� ��� � ��� ��� ����� ������� ������0� �������� � ��� � � �������������������������������� ��������� �������������������0������� ��������������0����� ������ ��!� � ������������������������������ �0������� �� ����� � ���������������������0���������������������������� ��� �� �� �����.� / � �������� �������� � ��� ��� ������� ������� �����!����������������������B����� ��� �� ���������� ��:���� � ����.�

���������������������� ��(��������������(���������������������������)�����!����%���������������� �+����!�'����������� ����������� �������E+����'�+������'��'����������������������� �+������'���������������������������������� ��(�������������'����'�����(�������������������*�(�����������������������������)*��!����������+������()���������������������������������*()*��������:!��������8�*�����*()�*4&���������������) �*�����&���!�������������+������()������������������������������1 �*�����&���!������������������� �+����!�'������'����'��������+������������� �+����!������������������������������ �+������'������'����$ �*�����&�'��������+������������� �+�����������������������������

@�����(�#��.�)�*��*�$���#�#�.�

/ ���� � ����������� �������� ������ �� :������� ����������� ������'���'���������� �������������� �������������� ���!����0������� ����������4���������� ��.�2��� �������� ��!�� ���� � ������������0�� ������4������� ����������������������.������������������ ����������������� ��� �������� "�4�� �����#0� ��� ����� ����� � ����� �������������� " �� ��������� ���� ��� ��� ���� �����#0� �� ��� ����� ��������������������������" ������������������ ������������#.�

��������������+������ �����&�(��������(������������������� ���)��������� �����&)������!������������()������������ ���18��������� �����&)���������

Page 103: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��� ���)��������� �����&18������������ ������18�����&+���������!������������()������������������()����!�+������ �����&+����!�������������+������ �����&+�����������������������������+������ �����&�(��������(������������������� ���)��������� �����&)������!���������()������������ ���)��������� �����&18������!���������()������������ ���18��������� �����&)������!���������()�������������������()����+������ �����&+�������

�����

Page 104: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27;�

�����*����#.��

)�������� ������������������ �������� ���0�������� ��������� ������������ ���������������� ��������������I���� ����� ������� ��.�� ������ ���������������� ������� ��� ��������*�!�g0� � ������������ ��������������D���� ��.�2��� ������������I����������������� �� ������ �� �� ������ �� ����� �� �5�� ��� ������� �� F� �������...�� �� �� �2�� �� ������ ������ �����.� 2�� ��������� ��� ��� ������ �������������� ����������� �������������0����������� �������������������������.�H������ ������� ������� ���������� ��������� ����� �� ����

=������������ ����������� ���������������� ���.�2�������������� ������ � ��������������(����������.�@��� ���� ���������� �� ���I���� �������� � ������������������� �����������0���������������� ������� ����������!������� ��.�>������������������������������������ ������� !� � D� ��� ��0� �� ����� ����� ����� ��� � � ������� ��� ���� ������ ��.�

$������ �������� ���0������������������ ��������������������� �������� ���������� �� ����� ���������� ��� ������� � ���� ����� ����������������!��� ������������ ������� � ������������� ��.�

/ � �� ��� �� � � ������ ��� ����0� �� ��������� ��� ������� �����0� � ����� �����

������������������A���)@5%H-,�*O/�h$f9=�+JX>iI;gV2���1�

/������������������������������������������ �����

��������)��������������������������(��!�������������!�'�������(������������������������������ ��(��!��������������������������,������������������������ ��'����(���������������������������������!�� %','��(������������������

Page 105: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���������)������������������������'��������(��������������������������������������� ��(��!��������������������������,������������������������!�� %','��(������������������������������������+������ ��(��!����������������()�������!�()����������()��������������������������+�����,���������������!�18�����!�������!�+�����,�����������18�����!���������+�����,�����������������������+�����!�� %','��(�����������������:��!�����*+�����*+�������+������+��������������������������� %','%-&G',-&G��������%�C�� %-G',-G'������������������!�18�����!��������������������������� %-2',-&0�������� %$ ������&�-*0',-Q0�������������!�+�����!�� %$ ������&�',-M0'������&��������������������������18�����!��������������������������� %-&&',-&0�������� %- ������&�-*0',-Q0���������������+�����!�� %- ������&�',-M0'������&�������������������������������������������+����� ��'����(�����������������(����������������������1G��!�������������������!�()�����+������ �.��-*/����������!�+����� ��-*'���-*�������()��- ����� �%� G$����4�� &���������������()�����+������ �.�/������������+����� �'���-*�����������������##$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$�����������������+������ ��(��!���������������()�����+������ �����������()���������������������������+�����,���������������()���������+�����,�����������������������+�����!�� %','��(���������������������+�����!�� %','����������##$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$��������������O���*+O���?����� ������(��C�6������������

Page 106: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

����()����������*+�������+������()�������+��������:��!������*+�������+����������������������:���!()M23�!���!�()G00���������������������������O���*+L�����*?���P ������(��C�6����������������()�����+������ ����������+����+����� *'*��������������������O���*+L�����&?���P ������(��C�6����������������+�����!�� �����*+:���!�����&�$*0'�*0'������*+:���!�����&��������

=���� �������������� ���� ���� ���� ��������� ���.�

/������������������� �.�

*�� ���������������� �� �������)����!�������� �������9�0������!�����������������8���7L���������� ������ � ����������.�8A7�7���7LA7�7K.�

*����� ������ ��0�!�� ��������)����� ��@����!��������*�0������!����� ������������F���7?���������� ������ � ������ ����.�I ���FA8�7���7?A8�M0��B�8����� ������������)��� �������.�

*����� ������ ��0�!�� �������@����� ��5����!��������-�0������!����� ��� ��������� G� �� L� �� ����� �� ��� �� � � ������ ����.� I ���GAF�7���LAF�G.�

2������� ������������������ ��������������!�� �� ����������������������7�"��� ������� � ���������������� ���� ��� ���������� �)��7A�@�1� �@��7A�5�#� �� ��� �� ����� ������ !� � � � ���� ��� ������������� �� 8D���� �.� 2�� ���� �� � �8� ����� !� � � ���� ��� "D���� �#�.�2�� � ���������� �� �������� �� ���� ��� ����� ��70������ � � ����� �)����� ����� ��81� �����������0� �� ��������������)�� �� � ���������� �� M0� � �� 8FAM.� �� �4�0� �� ����� ������ ����������� �������������7K0�� ��8D�7�A�8G�A�7K.�

Page 107: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27<�

��.��#�#�.���)��#�.�

j� �� ������������������ �����������

=���� ��������� �� ��� ��������� ������������ ����� �� ��� ��� � ����������������!� �������� ����������'������?0�70�80�F0�G0�D0�K0�L0�M0�N0��0��0�E0�P0�"0�#.�

/���������������������������������� ���������������� ����.�

>�� ���� ��������� ����� ���������� ����� �8��� "��� ����� �������������������������������8�?��#�����F�"K�G�.�=�������������� �����������������������������������������.�

-���������� ��������������4����������� ����� ������� ��.�

���."#$�"$#��*:�#�#����)��#��

/� �������������� ���� ���� ������������ ������������������������������ � ���� �� ��� ����� �����.� -�� ����� ���� ����� ��� ��� ����� �������������������'��������0��0�E����P��.�-������������������������������� ���0����������������� ���������������"����� ������������������ ���� � �� ��� �� � �� �� ����#.� / � �4�� �� �� ���� ��� ��� ����� ��� �������� ����� ���� ������ ������� ���B���������������������!��������.�

������F�"DE""�8#EKEMPG�GP8EKPFP8#EL#��

H����������������� ������� ����������� ���!���������������

Page 108: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

2������� ���������������������8��0��������� ������ ���0�!�� ���0������ � ��������������.�� ������ �����������������������"��������������������#���������� ������ ��0������������ �����������.�>��������������� ������ ������ ��� ��� ������������ �������0� ���������������� ������ ����� �� ���� �� ���0� ����� ��� ��� ����� ����� ����� ����� ���� ��� ��.� @�� � ��� ����� ��� �� � ���� �� ����� ���0� � � ����������� ������ ��������� �������������� ���� �������������0�����������������.� @��0�� ����������0������ ������������������������ �� ������ ���0������ ����������������������0����0����0� ������ ���������������!������.�

)�����0����������������� ���0����� ���� ��� �������� �������������������������.�

�.�F���M�G�G��

Page 109: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

2�� ����� � ��� ��� ���� ��� ���������� ����� 4��� ��� �� ������ !�� ���.�/����� ����!������0������������������ ���!��� ������������������������� ������ ���������� ���� ���� ��!�M.�

H������ ����� � ���������������" �� ���� �#���� ��������������������

X�����)������������������������������(�!����##������������������(�-'�$'�4'�#'����=�=����������������������������������������(����������##�����������������������'�������������������������O��W���!�'O��������(�X������������������������������������������������������������������,�����������;�X�����<���������)����������������������������'�������(�������������������������������������������������������������������,������������������������������ ������ (��������������������������������� �(������(������������������;�����<�

H��������3����� ������������� ��0����� ��������������������0���������������

���������������+�����,�����������O��W���!�18�����!���O��W���!�+�����,�����O�������18�����!���O�������+�����,����!������������,�������

)�����0�,���; ���.�����'����������� ��!�����.�����'�������,���; ���������������C����B�����������,���; ���aW���...�.�

�����)"�!-��$�#�$)��#�#����)��#��

$���� �� ���� �� ������ �� ����� ���0� ��� ����� ����� �������� � ������������ �����

������������!��� �������������������0��������� ������� ��!��������.�

�������0��������� ������� ��!���

����� ��",���; ���#� ��*�����'� � ��",��������#� �0� �B� ���� ����������������������� ������ ����������.�

Page 110: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

/ � �������� ���� ��� ���� ���� �� ������ �� �� ���������� ��� � ���������������������� �����

��������������+������ �(������(������������##�������'���������������������+��)�����!���##������������������=�!�����=����������()�+����������������������������##������������������������+��������������-�(�������()������ �+O��W���!��-������ �+O������������������$�(�������()������ �+O��W���!��$������ �+O������������������4�(�������()������ �+O��W���!��4������ �+O������������������#�(�������()������ �+O��W���!������������� �+O�����������������������������������

-�� ���� �� �� �� ���� �������� ��� ��-�*���.)� ��"-�*���.��#.�

�����)"���)."#$�#���:�#�#����)��#��

/��� � �������������� ����������� ������ �� ��������� ���0�� ���� �� :�������������!� �������� ��� ������ � ���������������������������!��� ���.�

>���� �� ������ ��� � � ������������� ����� ���� �� � �'�� �� ��������������.�

9� ������������������ ��� ���B������������������������������������ �������������������� �������"�� ����� ������#.�

/� �� ����� �� �� � � �������� �O������ �:���� ���������� ����������� � ����.�

/���������� ���������������� �" k�k�#A� �" k�#�k��.�

$���� ���� �������0� c� k�� d� ��� ��� �� ����� �� ���� ��� ����������.�=���������� ��������� ����� �����!����� �� ������������������������� ����� ����� ��� ����� �� "���� �� �����0� ���� ��������� ������������� ���#.�

=���� �����:���� �� ����� ����� � ���� !� ���� � �� � ���� �� �� � ������� ������ ������ ��� ������� ������� ��������������������������������������� ��������8��� � ����� ��������� ������� ����.�

)������������������������������������������������ ��������������������� !�� ���.�5����������� ��������� �0� �������� ��������������������!���������������� ����������"��������������������� ����������#.�

5����0� ����� ������� ���������� �� ���� "� ���� �� �����0� �� ��� ���� ����������� ����������#0������ �������� ����������� ������'�������� ���� �������������� ��������!��������� � �� ������ ������� ������!������0������������������������������������������������ �������� ��������������������� ����.�

=������������������������� ����!� ��������� ����.�

5��������������!��������0�����������"��������������������� ����������#.�

Page 111: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

5���� �������� ����� �� ������ ��� ��� ���0� ��� ����� ������� �� � ��������������� � � �������� O����� �� ���� �� ��� �� ����� ����� � ����.� =���� ������ �� �� � ��� � � ��� ������ �� ����� �� ��������� ��� �� ����� � ���� ����� ���� ��� �� ������ �� �� �� ���� ���������� ������������.�

H���� ����3� ��� ���� ������� ���� ���� ���� ��� ���� �������������������������������8�F0��� �0�MN0�D�NL�0�LM��D�������.�

>������������� ��������������������������� ���������� ���� �0� ����� �������������� ��������� ������� ��0���������������������������� ���� �������������������������������'�� ����.�

I ����������� ������������������������ ���� ���������� ������

���������������+ ������ (�����������##��������]]]������'��'���(�����������������!�'������(������������������##����������%�����������,�����^���^������������!�()����������()�����! ��������:!���� �80������ .�/18�-������� .�/18�$��������� �������������80��!����##���,�����������=-=��������=$=������������������������������������������������������!�()���, '*'�$*�����������������()���, '�-*'�����! �������������������+��().�/�����##����"��'�������������������������������������+O�������()�����+�����������������������+O�������+��()�����##��������=�!�����=������������������18����!����������������������+O�������+������()�����A�� ����������������������������������������+O�������+������()0��������������������������##�����,�����#�������=-=�������=$='����������������������������������������������������������+��()�����##��������=�!�����=������������18����!����������������������+������()�����A�� ����������������������������������+������()0�����������%����������������������##����������������!��������������+O��W���!�()�����+��������������������!�18����!��������������������������()�����! �����������:!���� �80������ .�/18�-������� .�/18�$��������� ����������������80��!���������������������������������������()�������+O��W���!�������������� ������ ����!����##������������������$$$888��JJ�D� _?Y �AO�������������������������������##���������������������������������������������+O��W���!�+��()�����##��������=�!�����=�������������������+O��W���!�+������()�����A�� ����!����������������%�����������������������������������������##����������N������������������������������������+O��W���!�+��()�����##��������=�!�����=������������������+O��W���!�+������()0����������������������

=���� ������ � ���� ��� �������� ������������ ���� �������� ���� ������ !� � � ��� ����� ����� ���� ��� ��� ����� �������� ����� ��� ��� �������.�

Page 112: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

9������ ���������� �������������� ������������R���������� � ������������ � ����������������� ���� ���� ���0�������� ����������������� �������� �������� ��� ��� �������� �������1� ��� ��� ������������������������ ��������� �����'���������������������81����������� ���� � ���� � �� ��� ���� ��� ��� � ���� ����� �� � �����1� ����0������������� �����������������0����������������8�F���D����� ��� ������������������� ������8�F�����D�.�

>��� ��������� ������ ����� � � ���� � ���� �� � � ���� ������ ������������0����B��������� �������������� ���0������������� ������ � ��������� ���������.�

)����������� ������������������� ������������ ������� ���"� ������ ������� ������8�F�����D�0������������������� �������#.�

=������������ ������� ���������� � ��������������������������0����������E�������P��������0�� �������������������������� ����!����������� � ����� ������� � ���������.��

5 �� ������ ��� ����������� ������ �������� �������0������ �������������������������� ���� ����������� ������������������������ ����������� �� ��� ����� ������ �������� � ��� ��� ��� "�� �� ���������� �� ���� �� � � ������ �� � ��� �� � � ������ ���� � � � ���0� ����� � ������� ������� ��������� ��4��� ��������� �� � ��� ��#� �������������� ���������������������� �������� ��.�

���������������� �(������������'��(�������*'&�(��!����������(��!����(���������������������(���������������'�����(����������������������##�����%��������������������!�����������'����������*����&��()�����! �-*���()0��##�����������������������%�������!��'�����,������������������� ����������.�/)� ���!������ �����������.�/)�����!������ ��������������() ��)0������ .�/)*����� .�/)&���������� �)*����� �������������8*��!����##����%�������������������������������������������������,������&��������������()���, '�-*'�����! ��������()���, '*'�$*��������().�/������������()&����������������##���������������������������()������()���������()I0������������()*���������������

=���� �������� ����� �� ������ ����� � � ����������� ���R� ��R ������������� � ������� ����� � �������������0������������ ��������������������� � �����"���0��������������E0�P��#.�

5������������������������������������������ ��� ����� ��������1� ������������� � �����������������������������������.�

=���� ������������������������ �0�������B���� ���������������������B�������� ���������

�������� ���������0� �������

Page 113: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�� ��� ���� �� ����� �����0� ��� � ��� ��� �� ��������� ��� � � ��������������� ���������� �� � � ���� ������ �� ��� ���� ���� ����� � ���������E��������P��.�

�� ������������������� � ���� � ������������� �� ����� ������l���

�� ��������������� ���������� ������ ����������� ���� ���������������������������������� � ����� ����

�������� ������������0� �������

�� ������������ � ���������� ����� ���������������0� ������ ������ ������ ����������� �������� � ������E�����P�.�

������������������������������������������������ ���������.�

H����� ����� ���� �������� ���� ���0� ������ ��� ��� ��������������������� ������

��� ���R� ��R ������"����70�������0���0���0� ���0�����0����#��

���������������������������!�� ��������(��������(�����������*'����&�(��!����������&'�&�(��������������&�(��!�������������������� '�&'�&'����*'����&'��&�)&��!����##����%���������������������������������+O�������()�����+����������������������������!�� �������+O�������'�&'�4�'�#��������������+��()��&������������+O��W���!�()�����+����������������������������!�� �������+O�������'�&'����*'����&��������������������������� '�&'�&'�4�'�#�'��&�)&��!��������������������������!�� �������''�4�'�#�����������������������������������+��()�����##��������=�!�����=��������������+������()����A�� �������������������

/�� ���� ��������� ��������� ����� �� ������� � ��� ����� ��������������� �������0� ���� � � �� ���� ��� �������� ����� ��� ��� �������.� H���� �� ����3� ��� �� ����� �� ���� �������� �������� �������� !� ����� �� � ��������� ��� ���R� ��R �������1� ���������������������������� ������������ ������������������������������.��

5�� ��� ����� ����� " �� � ���� ��� ������ �� ������ ��� ������ ���� � P� �0� ������������� �������� ������ ����������.�

5������� ��������������0����������������������������� ������ ������

�� ���������� � ��� ���� ���� �� � ���� !� ��� ��0� ����� � �� ��� � ��� ��� ����������� �������P��.�

������������ �������� ������0� ������ ������ ������ ����������� ����������������� � �������

������������ ��������������

Page 114: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���������������+ ������ �������(�������(�����������*'����&(�!����������*'�*��(��������������*���(��!������������������������� �(������������'��(�������*'&�(��!����������������������������(��!����(�������������������++++���������������������������������������!�� ��������(��������(�����������������������������*'����&�(��!��������������++++������������������������ '�*'�*'����*'����&'��*�)&��!����##����%���������������������������������+O�������()�����+������������������ �������+O�������'�*'�4�'�#��������������+��()��*������������+O��W���!�()�����+������������������ �������+O��W���!�'�*'����*'����&���������������##��������������������������� '�*'�*'�4�'�#�'��*�)&��!����##������������������������������������������� �������''�4�'�#������##��������������������������������(�&424 $G�������������������*.*/)� ���!�����##������������������������!��'��%�(� &-2���������������������������������+��()� �������������������+O�������()�����+������������������*()���, �*'&'�����! �*�$&����##���������������������!������������ ������ �������+O�������'�*'�-�'�$���������������������������������������##�������������������������������������������������!�� �������'�*'�-�'�$���������

/ �������������� �� ��������� ������� ����������������

��������������+������ �(������(������������##�������'��������������������������)�����!���������()0��������������+��)�����!���##������������������=�!�����=���������������()�+����������������������������##�������������������������������+���������������������� �(�������()������ �+O��������������������������-�(�������()������ �+O��W���!��-������ �+O��������������������������$�(�������()������ �+O��W���!��$������ �+O��������������������������4�(�������()������ �+O��W���!��4������ �+O��������������������������#�(�������()������ �+O��W���!������������� �+O����������������������������������������

=���� ������ ����� � ���� ��� ������� ��� ���������� ��� ���� ������ ���������������������������� ���� ���� ������������������������������'�� ����.�

�$"���"��*��-���*�"��)�*:$)����(#�..��)��#�"��!"�9$��

*� ��� �� �������� ��� �������� !� ����� � ������0� ����� ������ ���������� � � � ������� " �������� ���������� � ���� �� �� �Q�������'�� �����#.�

$������ 0������ ����������������� ���� �.�)��������������� ����

Page 115: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

2��� ������� ���7��!����� ���8�� ��������������������.�

>������ ������������������������ ���� ���������������������� ���� ������� ��� ����� �.�*���������� �� ��� ������ �� ����������������������� ����������������� � �������������������� ��� �������.��

/��� �� 7� ��� ��� ����� � ������� �� ��� ��� ������� ��� �� ��� ��������� ��.�

/���� ���F� ��G� ����� ���� ������ ���� ����� �� ����� ������� ���� �����������"���������#�� ���!��6��.�

/Q ���� �� �Q������� �� ���� �� ��� ��� �� ��0� � ��� �� ���� �� ������� ����� "�� � ���� !� �����#0� ��� � � ������ ���� ����������� � � �� ��� !�� ����.�

>�� ������ ���������������� ���������������������������0������� �����Q��� ��� ����� � ��� �� �4�� �� �� �� � ��� ��� ���� � � ������������������ �� ��� � ��� ���� �� �7�� !� ���� �� �7�� �� �"�� �� �� � ���������������� ������������� ������������ ������ ���������""�.�

*����������� ���� ���������������Q��������c�7�8�d����������.�

/� ����� � � ����� �� �Q�������� ��� c� 7� d.� =���� ���������� ��� � ����� !� �Q ���� �� ���� �� ������ ����� � ��� �Q�� �� �.� /� ������� �7���� ���������������?���N0��������������� ��� ���������������� ������� �����Q ���� ��� ����Q�� ���.�

/�� � ��������� ������c���d.�/Q ���� �� ���� ����Q�� ���.�

/�������� � ��������c�8�d.�/Q ���� �� ���� ����Q�� ���.�

>Q�������� ������� �0��Q������������ ����� ��������������.�

5���Q�������� � �������c�7��d0������������������� ����Q�� ���0������Q��� ������� �0����Q�������� �� ������������ ������������.�

5���Q�������� � �������c�7�P�d0�������Q ��������� ��������� ���������Q�� �� �� "��� �Q'� � ����� �� �������� ������� ����� �Q�� �� �� ��� ��� � �����c�P�d#����Q�������� �� ����� ��������� ������������.�

-���������������������������� �������� ����

���� ������� ������Q ���� ��� �������� ����������� ��

Page 116: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�������������� � ��������0�� �������� �������0���������� ������� �������.�

$�������������Q ���� �0�������������������� �� ��!�����������������

�����������)�G���##�����������������������������������������)�*M����##�*M���������������������������������������)��0*&25GMQK3-$4# �����##����*M���������������������(�����,.*++����'*++�����/������������)�����������##0�*�&�2�5�G�M�Q�K�3�-�$�4�#� ������������� 2'2'2'2'2'2'2'2'2'2'&'&'0'0'*'0�'��;�����*<������������ 2'2'2'2'2'2'2'2'2'2'0'0'0'0'*'0�'��;�����&<������������ 2'2'2'2'2'2'2'2'2'2'G'G'G'G'0'5�'��;�����2<������������ 0'0'0'0'0'0'0'0'0'0'G'G'G'G'0'5�'��;�����5<������������ 2'2'2'2'2'2'2'2'2'2'0'0'0'0'*'0����;�����G<�

>� ��� � �� ��� � �� �� ������� ���� �� �� ��� ���� �� � � �� ���������������� ����� � ��������������� �� ������Q�� ������ �������

� ���A� �� �T� �0� � ���U1�

5�0� �����0��Q ���� ����������� ������� ��8�"�����8����� �� �#��������� ���� ��� ������� ���� ��0� ����� �Q ���� �� ��� � ��� ���� �� 7�"����0����� ������ ���� � �������� ��� �� ��� � � �����7���� � �� �#.�5���Q ���� �� �� ������� ��� ���� ��7� ����Q��� ���� ���c� P�d0� ����� �Q ���� �� ���� ������� ��?�"���'� ��������#�������� ��4�.�

/��3����������������Q���� � �������������������� ������� ��������!� ������Q����� ��������"�� ��#.�

@�� �� ����� ���� ���� ��Q!� �������� !� ����� ���� �� �Q�������� !�� ����0�� � ����� ��� � ����.�

/ ��7.> �����A*���� �")���7.9��#1�

5�0� !� ��� ������ ��������� �� �� � �'�� �� ����� ��������� ���� ����0� � �A?0� ����� ����� ������ � ��� ��� �� ��0� ���Q������������������������.�

5�0�!�� ����0��Q ���� ������������ ��� ����Q�� ��F�����Q�� ��G�"���������� �������� ��#0��Q�������������������.�

=���� ����� ����� ��� � �� ��� c� �������� d0� �� ���� �� ������ � ���������� ���� �� ������ �� �������� ���� ���� �� �� ������ �� ����������� ���.�

)�����0������������� ���� �������������� ���� ������'����������� ����� ���������� ����� �� � ��� �� ����� ���� ��� � ���� �� ������ �.�@��� �������������� ���� ���!�����"����������������#.�/ �� �� ������������� ������6����������.�

*���������������A?�"���'� ���������0������Q����Q'� � ����� ������#.�

$���� �� ��� ������� ���� ��� ������0� ����� ������� 7� !� � � � �� ������������.�

$���� �� ��� ������� ��� ��� ������0� ����� ��� ������� 7� !� � �� �� ������������.�

Page 117: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

*����0�������� ������������������

7.� )����������� ��� ����0��������������������������� �������� ��������� ��� ����� ����� ��������� ���� �� ��� ���� ��� �Q���� ���.�@�������� ����������������Q�������������������.�

8.� )��������� ��� ����0��������������������������Q������� ���� ����� �� ��� �������0� ��� '� � �� ��� �Q���� ���� ��� �� ��� ���0� ������������� ��� �����Q������������.�)�����0��������������������� ����� ����Q������������0�����������������"##"�� �� ����� !������ �����!�� �������������������� ������ ����������� �� ��� ����.�5�����������������������0�������Q�������������������0����������������� ���Q���� ����� ������ �.�

F.� )�� ���� �� � ��� ����0� ���������� ��� ���������� ������� �� �� ��������� ��� ����� ����� ��������� ���� �Q���� ���� ��� �� ��� ���� ���Q�������������������.�

H������ ����������� ���� ������� ������

����������������� (������(�����������������)�G��������������)�*M����##�*M���������������������������������������)��0*&25GMQK3-$4# �����##����*M���������������������(�����,.*++����'*++�����/������������)�����������##0�*�&�2�5�G�M�Q�K�3�-�$�4�#� ������������� 2'2'2'2'2'2'2'2'2'2'&'&'0'0'*'0�'��;�����*<������������ 2'2'2'2'2'2'2'2'2'2'0'0'0'0'*'0�'��;�����&<������������ 2'2'2'2'2'2'2'2'2'2'G'G'G'G'0'5�'��;�����2<������������ 0'0'0'0'0'0'0'0'0'0'G'G'G'G'0'5�'��;�����5<������������ 2'2'2'2'2'2'2'2'2'2'0'0'0'0'*'0����;�����G<�������'�(������������(�!��������'�E�������(������������������)����!��������������������()�?!�S��������������%�������������E�������()0��##������������������!����()0��##�������������������������!�S��������()*���������������� �����������().�/���##����������������������������)� ���!������ �E��������������������)�����!������ �E������������������E�������8)0��!������������������������()�� ���'�������������##�����������������������������������������!�S����������������������������������80��!�������()���.����'�/��##������������������������������������������� �)�����! ������ �E�������10����� �)0����� ����)0�������E�������10��!������������()�A��,�������������!��������������������F�������������-������� ������������� �E�������80���!���������������()�A��,�������������!��������������������������������������)0��!������������������()�?��������������������F�������������-������� �����������������������������)0��!���������������������()��%������������������ �������F�������������-������� ��-�������������������������������� ����182������ ����185���!������������������������()��%������������������ ���������������������������������������������������������������()��%�����������������������

Page 118: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27=�

��.��#�#�.�)7��#�.�/���*�3��*:$)�*��"��))��#��

=���� ������ ������� � ��� �� >� ���� � � � :��� �� ����� ��� �������� ���� ������ ������ ���"�� ������������ �������������� ����#.�

�"#$�"$#��*�.�*�))!�.�

$�����������0������ �������������� �������������������.�2�������������������� ��������� ������0��������������������� ��������8K������� �������� ���� ��� ����.� +��� ��������0� ���� ��������� ���4��� �� ���� ��� ��� ���� ����� ����� �� ����� ��� ���������� �� ����������� ��� ����� �����.� =���� �������� ����� ������� �� ���� �� ��� !������ �� "���� ��� ���� ������ ��� ������� ������� ����#0� �� ���������������� �������� �� ������������!� ����� �0�� ���� ����� ������ ����������� �� �� '.� >� ��� ����� �������� ��� ����0� ����� ���� �� ������'��� �0������������������� ������������� �������� ������������������������������������������ �����0������������������������� �>*O9)�� � ��� ��� ���1� �� ���� �� � ����� D� ��� ��.� / � ������������������� "���)�#� �� ����� ����� �������� ������������!� ���.�$ �������0�� �������*���� �� � ����������� �������������0�� ���������>*������� �� ��� ���� ��� �������� ��.� / � ����� �O�� �� � ���� ����� �������������0� � �� �� ���� �>*O�� � ��� ���� ��� �������� ��� �� � � � ������ �: ��.�

-�������������������

��8K�����0���������������������*��!��g��

����������������"�0'#�������������������������� ����� ���� ��������� ����

����������

���������� �������� ��

X����)�������������������������������O������(�����,.���++�`�/����X�������##���������������������%',�(�����������##��������������������������D�������(��!����������##����������������������������������������������������������(��������������##���������E�����������������������������������������������������������������������������������������,����������;�X�����<�

)��������� ���� ���� ��������������� ���.�>����������� ������� !���0���� ����������������� ��� ��4�0��� ����� ����� �� ������������ ����� ���������� ���.�/����� �������� �����!���� ���������������� ������

�� ��������������

���� ������������������� ����� ������������ �������� ������� ����

Page 119: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�� ������ �� ������ �� ������ ����� ��� �� ����� ��� ����������������������������

�� �� ����� �� �� ����� �� �� ����� �� ���� "��� ����� ����� ����� ������������������ ��#�

������������������

� �����������0������ ��������������� �������7F��������D������� �� ���.� *� �� ��� �� � � ��������� ���� ����� �� ������ �������� ����� ��0� ��� ��� ����� ���� ������� �� ����� ��������� ���.��

##��������������&M�������)��������������������������������'��������(�����������������������������������������������������������������������,���������������������������������6��������� D�>���(������������������������������!����� X��O���(����������������������������������!� �'�����%�(��������������������������������� ��������(�����������'����%'����,�(������������������������������������� D�>��(��������(����������������������������������������������% ��������(��������(�����������������

=���� ������ ����0� ��� �� ��0� ������ ��� ��������� �������� ��������.�I ��� � � � ��0����������������������� ������ ����������������������� �� �������� F� ")I-0)$@#0� �� �������� G� ")I-)0�)I@50�)I)90�)$@)0� $O@5#� �� �� �������� D� ")$@)O0� )$O@5#0� ����� ������� ���� �������������!����0����������������������������� � ������������ ��������� � ��� �� ����� ��� � ��� �� � �� !� �����.�

���(#��!*$#��*:�5�$"�*:$)���"�

2�� ���������������� ���.�/ ��������������������0�����������������������������0���� ����������� ���"����� ��4�#.�2��� � ����� �� ���� � ��� �� ���� ����� �� ����0� �� ����� ��� � ����� ���� ����� ��� �� !� �� ��� ����.� /� ���� ��� ����� �� ������������������������������� ����.�

7#�/�������� ��4����� �������� �������� ������� ������!� ������ ����� ���.�� ������ �0������������������������ ���!����0���������������������������������������������� ��������.�

Page 120: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

8#�2�� ��������� ������ !� ������ ��� �� ���.�$������ �� � ����������)$@�.�2����� ������������ ���.�5��� �������)��������� !�� ����� ������� ������������������������0� �������

������� ��� �� ���� �� �)�1� �� ���� !� � ����� ������ �$@�� � ��� ��� � ��� ���������������)��

����������������������������)��

����������� ����"�����������#��������$@��

5��� �������)��������� �0� �������

���������������������������)��

��������������������� ����������.�

H����������� ����������� �����

���������������+��6��������� D�>���(��������������������(��!�������������D�>��)����!����������������������+������()����������%������������������()D�>��.*/������������+���.������/18�����!����##��������������%�����6F�����������()�������+���.������/���##�����������������������������������������������##���������������������������������������������������������������+���.������/()�����+������������������()�������+���.������/������������+������()���������##��������������������������������������������������� D�>��'*'*����##�������������������������������E�����������6F���������������6��������� D�>�����##���������6������������������

���(#��!*$#��*�����#3���)"�*:$)�+�����#�

/���������� ���������������������0������������������������ ����������� ����� ��������!������������������� ����� ���.��

���������������+�!����� X��O���(����������������(���������������!�����(��������##�����!���������������'��H�?���������!���������������(���%��������������!����()�%�����O���J��! �����������+�%�X����������O��� �'�!����-���O��������� ��������������������� �'��������������()�������##��������������������"��������������������6��������� ����##���������6��������������������� ��������O��� ���������

���("�3��*�.�)��$*.�"�#��)�$��

$�������������� ���0������ �������������������������.�)�����0���������� ���������������� ��0�� ���������!������ ���� � ����������������������"����� ������� ��������������� ����� �������0�������1���� �������������� ����������� ���������������������� �� �������������0�

Page 121: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��� �'�#.�>� � ��� � � ��� ����� ���� ������ ���� �� � �� ��������� �������� ����� ��0� � ��� ����� ��� ����� ��� ���������� �� ���.� @�� � ��� ����� �������� ������������ �� ����� ���� ����� �� ��� ��� �� ����� ���� ������� ������ ����� �������������� ��.��

-������������� ���� ����� ������

��� �������������������� ��� ' ������� ��4����������������������

��������� ��!�������������������������� � ���������"������� ��4�#�

��������� ��!�� �������������������� �������������������

I ��0�� ������ �0������������������������ ��4����� �����������������������������.�)�����0������ ����!� ������������������������������������� �0� ������ �� ����� �� �� ��� !� ���0� ���������� ����� ��� � �� ������ �� ������������������������ ��.�5�0�!�� ����0������ ������������� ��!�3���0� ����� ������������������������������������"������� ��4����� ������������#�������������� ����� �� �� ������ ��!�7����������.�

��������������+����������������% ��������(��������(��������������������(��!��������������(���������������������()0�������()��������`�������������������+���.�/18�����!������������� �����'����������������% �������+���.�/������������)0��!������ ������������������������%()������������

�++����3��3#�(��9$��*:$)��#�#��)7��#��

/ � �������� �� ����� �� ����� ���� �������0� ���� �������0� ����� �� �� ������ ������� ����� � ������ � ���� �����0� ����� ��� �������� ��� �� �������� ����� ������� �� �������� ��������������������� ��.�/ ������������!� � ��� ��� �������� ��������������������� ��� ����� ��� ��� ����� �� �����0� ���� �� ������� �B� ��� �� � � ����� �������0� ���� ����� �� ��� ����� �� � ����� �� ��� ����������.�)������������ ��������������0��������� �� ������ ����� �� ��� ��� !�������0������������ ����!��������� �������8� � ������"���R�0���R'#��� �'� �����.� 2�� ����� ��� �� ��� ����� ����� D?� ����� ��� �������M?���� ����.�*����0������������ �G�����0�� ����������� �!�� ����������GED?0��������"GED?#�����8�.�5������ ����8�����0������ �!���"8ED?#����� 8�.� I ��� ������� � ��� ���� ��� ��� ������ ����� �4�� ��� �� ����� ��������� �������S�)������� ��������������� ��0� ����� ��70������ �������������0�������� ' ���8����������� ������������������������������ ��.��

5����� ����� � � ���������������0� ����� ������������������ ��7���� ������ !� ���A"8ED?#P8�� "����� �AD?#� �� �� ������� ��� ������ !����A"FED?#P8�� "����� �ALD#.� 2�� ����� �� ����� ��� ��� ���� ������ ��

Page 122: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��� �����0� ������ ������� ��� ������ !��AD?��� ��� �����D?������" �����!� ���1� ��� �� ������� ��� ������ !� �ALD#.� ����0� !� �� ��� ����������� �������� ���0����� ����������������� �� ��������������������� � ������ � �����!���������0���� :���!�������������������������� ������ ��� ��� ��� � �� ���� � � � ���.� *����� � ��� ������ ��������0� �� ����� ����� �������� 7??� ����� "� �� ��� � ���� ���������� ��0�������������������!� �������� ���������?�#0��� �������������� �������� 7D?� ����� "� �� ��� � ������ ������ ����� ��0� ���� �������������� !� ����� �� � � �������� 7??#.� >��� ����� ���� !� ��� ���� �� � ����0� ��� ������� ���� ������� � � �������� !� ����� �� � ����� �������� ������� �� ����� ���� ��� ����� �� �����.� 2�� ������ ������ ������ ���������� ������

������ ������ �������������������������"����'#�

����������������!��������

����� ���������������������������� �������������������������������� ������������ ������ �� ������ ����������.�

���������������+����� ��������(�����������'����%'����,�(���������������%','���(���������������������(��!�����������##��()����������������% ����������##�������6������()����������������% ����������%()����- G04��������&��,()����,-K0������������18������!������:��!�����*+�����*+�������+������+�����������������������������%���� %','�������+����������������������+%()%��������+,(),�������������� %',$G�������� ����%'����,�������������������()��������`�������������������+���.�/18�����!�������������������������()����������������% �������+���.�/��������������� �������+���.�/'����'%',-&0��������������()����-��4G0�������������������

�++����3��*��"��"����#!�"��)�*:$)����."��*����".�*$�*��"��))��#���

$������ �������� ����� ��������������������� ���0������ ����!� ����������� ������ �� �� ��� ��� ����� !� ��� ����� ����� ������� ���� ���� �� ������������0���� ����������!��������.�)�����0���� ����������������������� ����� �� ������ �� � �� ��� ��� �� ��������.� >���� ��� ����� ������������� �� ���� �� !� ����� ������ ������ � ��� �� ���0� ��� ������� ��� � �����!�������.�

���������������+�����!� �(�����������������(��!����������%�(������������������������+��������!���O���*+>���*+D���+��� ���������()���������`�������������������+���.�/18�����!�������������������������%()�����������������������()�������+���.�/��������������!� �-������������������()��%��������������������

Page 123: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

4����#����*:$)���"�*�).��:�#�#��

/ � ������� �� � ��� �� ��� ������ ��������� � ��� �� ���1� !� �� ��������0������ ��������������������� ������������������������!�� ������������������.�5���������� �0� ���������� �������������������"� ������� ����#������������!� ������� � ������������� ��� ��������� ��.�5�0�!���������0��� ��������� ��������� ���0������������� ��� ��� ���� ���0� ����� �� ���� ������ !� �� ���.� *�������� �� �������������������� � ������������� ���������������������������� ��4���������.� 5����0� ��� � ��� � ����� ��� ���������� ������� ��0� �� �����<�������������.�

��������������+������ D�>���(��������(���������������������(��!�������������D�>��)����!������������()���������������������������()D�>��.*/����������� D�>��'*'*����������������+���.������/)�����!���������������()�������������������������������������()�������+���.������/��������������()������ D�>�����������������������������

Page 124: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�����������������������"������

���(�"#��278�

�!#!�$#.�+���"��)�*�����(#��!*$#��*��G���)�����

=���� ������ ����0� ���� �������0� ��� ���� ����� �������������� ����.� =���� ������ ����� ���� ���� � � ����� ��,���� ���0������������� ��������������

��"�7�#�A7�

��"�8�#�A7�

��"���#�A���"���7�#�����"���8�#0���������������� �������������������������!�8.�

5 ��� ����������� �� �������� �����������������

����������������� ��(����������(������������������� �12���!�����������()*����������������()�������� �$*�-�������� �$&��������

$���� �� �������� ���� �������� ��������� �� ��� �������� ���� ���0�������������� ������� ������������������� ����������������������������

707080F0D0M07F0870FG0DD0...�

�� ����� �����������0�������������� ���������� ������������������������������"�"��7#����"��8##.�

=���� ������ ����� ����� ���� � �� ���� � ��� ����� �������� ���� ���.�=���� ������ ��� ����7����8.�>�������������������� ����� ���������������������������.��

�..��.��"���.�#-�"��).�

7#�2������� �������"F#.��7A70��8A70��������A�7��8A81�

8#�2������� �������"G#1��7A71��8A81���"G#A7�8AF�

F#�2������� �������"D#����7A81��8AF1��"D#A8�FAD�

$�������� ��������������0��"�#A�7��81����� ��������� ������������� ��� � ���������� �������������������������� ���� ��������7����8.�

*������������ ��7#���������0���� � �����������������

Page 125: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���/����/�(��������

$������� ��8#������������� � ����������������

���/����/��''������������.���������<���/��''���������*��.��.������������.������������/���''�����������.��(0��1�(0��1������<��/��''���� ��������������.������ ����$ .���5��6�������������.������������� .�(�.�������*��.��.������

��A�7��8AF�

$������� ��F#������������� ���

���/����/��''������������.���������<���/��''���������*��.��.������������.������������/���''�����������.��(0�1�(0�1�(0�1������<��/��''���� ��������������.������ ����$ .���5��6�������������.������������� .�(�.�������*��.��.��������<���/��''���������*��.��.������������.������������/���''�����������.��(0 1�(0�1�(0�1������<��/��''���� ��������������.������ ����$ .���5��6�������������.������������� .�(�.�������*��.��.������

��A�7��8AD�

2���� ����������������F�������������������������������������� ������ ���� ����.� ����� ��� ��� � � ����� ����� �� ����� �������� ��1�� ������ ��������������������� ������� ����

���������������� ��(����������(���������������'��%'�*'�&�(�����������������*()*��&()*�������()2����*0��������������������%()�*-�&�������*()�&�������&()��%������������������()��%�������

>���������� ������� ��0� � ������������� �������� ������ ���������0���� ������ !� ��������������0� !� ������������ ��������� � ��� ��������!������������� ��� � �� ���� �� ������ �� �����������.� I ��� ������ ��� ������4����� ��������� !� ����� �� ����0� ����� ����� �� � �� ������� ������ �� �����������������% ��&.�

Page 126: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27;�

���*!#!�$#.�+���"��)�*�.�."#$�"$#�.�*��*�))!�.�

=����� ��������� ��������������� ������� ��������������.�=���� ����������� ������� ��� ��� ��������� ���� ��������� ��������� � ��� �������������� �����"�����!��������� �� ���� � �������#.�H������� ����� � �����������'� ��������� ������� ���"�������������� ��������� ������� �����������#���

�,���X����)����������������������������������������������O������(�����,.���++�`�/����X�������##��������������������������%',�(�����������##�������������������������������W���!�'�������(�X��������������������D�������(��!����������##���������������������������������������������������������������(��������������##���������E��������������������������������������������������������������������������������������������������������,���������������;�X�����<�

=���� ������ � ���� ��� �� �������� ���� ��������� �'� ����� �� �������������� ����0���������� ��.�$������ ������ ������������������ �� �0�������� ���� �� ��������������������� ����

��������������� �� ������'���� �����

�������� ������ �� ����� �'�������0�� ��� �������� ���� ������'�0�����������������������������

�� �������0�� ��� �� ��������� ��� ���� ����� � ���� �� ������ �� � �����������'� ����.�

�,��������)������������������������(��!������������������(��,�����������������������'���(��������������������������������������������)�������������������(�����,.*++G000/��������������������������������(�����������������������������������(���������������

=���� ����������������� �� ����D.???�� ��1�� ������������������� ����������� ��������� �� ���������R� ��0���� :���!���������� ����B������������������� ������ �� �������������� �������.�

=���� ������ �������� � ��� �� ���� ��� ����� ���� �� >�� ��� ����� �� � ��4�� �������0� � ��� �� ������0� ���� ������� �� ������ ����������� ������ ������ � �� �0��������������������������� ����������������.�H���������� ��������� ��� �� ����������'��������������������0� ����������������� �������������� ������ �����

Page 127: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

=���� ������ ������� ��������� ��� ������� �� ���� � ��� �� � �� �.�5������������������� ������� �������)$O@5�.�=��������� ������������� �� ��70����������� ������).�2���������������.�/���������!�� �� �� 8� �� ����� I.� I ��� ����0� ��� ������ � � ����� $0� ����� ��� � � �������������������������I�"I0F0N#��������!�� �� ��N.�>�����������$0���������������� ���� ��������������������������� ������!� � �� ��7?�"� ��$07?0?#.�2�����������)0�������������������� �0���������� ��������������)�������������!�� �� ��78�"� ��)077078#.�>�������@0������������������������ �������������������������������������������!�� �� ��7D�"� ��@07F07D#���������������O.�/��������O���������!�� �� ��7K�"� ��O07K0?#�����������@1����������@����!�� �� ��7L�����������5.�2�� ���������� �� ���� )$O@50� � �� ������� �� 5� ��� ��'� � ���� �� ����0� ������ �� ���� �� ��������������.�2��������� ������ �� �� ��������������������������������������0� ������ �������� ������� ������������������������"������)$@���)$@)O1����� ���@���O������ �� �� �������������������!�70���� �����!�?#.��

H������ �������������������������� ����������������

7#��������������������R���R���R����"������������1����������1� �������� �#1�

8#� �� ��������� �����������R���R����"����� �� �� �1���� ��� ���������1�� ������������������#����������1�

F#������������ ���R���"������������#1�

G#������������ �����"������������#������� �1�

Page 128: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

/ ��������� 7#� ���������� ������� "��� � � ���� ��������#� !� � � ���� ����������� ��.�)��� ��������� � ��������

��������!������������ ������ �� ��

�� � ���������!� �������� ������������������������� ������� ������� �� ��

������ �� ����������� ������ ������ �������� � ������������ � ������ ����� �� � � � �� �� ������ "����� ����� � � � �� �������� ���� �������� ����0� �� � �������� ��� !� � � ����� ���� ��� � ��� �����#� ���������� �����������"����������� �� ���� ��������� ������ ����#1��

�������� *� �� ��� �� ���� ���� ��� ������� <� �� 3=<3I� ��� ��� �� �����

���� ����� �������3=I<8�������� ��� �������I������ ���� �����>� ������

��<� �� �&������;58��������������������������������3=I<8��

�����'���������������������<���������������������������������

����� ��������������� ����������� ���I�������� ��<���� ��8��

��������#�������������� �����������3E<8����������������������������3�

����������������� ������������I�JF������������������I�������������

D'��D� ��3�� �� �&������;��

@��� ���� ��������� ������������ ���B��������������������������� ��������������"����������)$O@5������ ��������������O@50�� ��)$� � ������� ���������� ��� �� ���� )$))#0� ���� ��������� �� �� � ���� �������� !� � � ���� ��� � �� �� "����� !� ���� �!� �B� ��� '� � ���� ��� ���� �����#0� ����� !� ����� �� � � � �� �������������R� ��.�

������������������������������� ����(���������(������������(����������������'��������(��������������������������!�������+�.�/+��()����+������������������������+�.�/+������()����+���������������()�����! �����������������()*�������������:��!�����+�.����+������������-�������$*/������������������������������()���.�������/������������()0���������������()����+������������-������������������()0������������������+�.����+������������-�$*/+������()0���##�����������������������+�.����+������������-�$*/+���()*���##���������������� ����+������������'���������

/ ����������8#������������������������������0������!�����!��������� � � �� !� ����� �� � ����� ��� ���� �� � ���������� � ��� �� � �� �.� >������������ �F� � ��������

��� ����������� ������������������������

��� ���������!� �������� ���������������� ��������� ������� ���

��� ������������ ��������������������"��� ��)$))����������� �����)$O@51�� �����������������������$���� ���������� ������ �� ���� ��������0�� ������ �� ��������O���� �������������$#�

Page 129: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�������������������������������� �������(��!�����������(��������������������������(�����������(����������������(��!�����������()����+�.�������/+����������� �������80������ �)���������!����������()���������:!���� �������180������ �18������������������������������()����+�.�������/+��������()����+�.�������/+�������������� �������80������������� �)���������������!����������()����������##������������������������������������a��)������<��������������������������������()��������������

/ � �������� F#� ������� �� � ���� ����� ���� � ��� �� � �� �.� >������������������� ���������7#���� ����������8#.�/���������� ����������� ��� ����� � �� �0� ����� ������ �� ����� � ��� ������� ��� ��� ���������� �����

#� ����������������� ���� ������������ � � ����� ��� ��������!� � ������������������.�5�������������0� �������������������������������� �� � �� � ��� �� � �� �� �� ��������� ��� � � ��������� ��0� ������ ��� ����� �������� �� ������� �� � � � �� ���� �� ������� ��� �� ���������.�

���������� ��� ��� ��'����� ��������� ���������� ���������������

���� ����� ���������� ������ ����� ���� ����� 3EK3�3E<8�3E3L�� &��

�����'��� D ������-����D� ���� ��� �(���� >� A�� 8�� �� ����� ��C������

3=33���� ���� ���������� ���������#������=����� ��� ����� ��E�����

��������������A������������� �����������#���E�%�A��&�������A�����

�������������������#��

�#� �� ������� ���0� ����� ����� ��� ������ !� � ���� ��� ���� ����� ������������ �� ������ ��� ������ �� ���� ���� �� ��� �� !� � ��� �� � �� ��"����� )$� ���� )$))� �� )$O@5#� �� � ��� �� � �� � � � �� �������� ���� ��� ������0� ��� ���� ��� ����� � ����� �� ���� �� ����� ������ ��� �� �� �������� �����������.�

5�� ��� � ������� ��� ������ �� ���0� ����� ��� ��� ���� ��� � �������������� � �� ���� ��� � � � ��������� ���� � � � �����������������R� ��� �B� ����� � ���� � � � ����� ������� "���� �� ��� �� ������ �� ��������)$))����������� �����)$O@5.�/�$����������)� ��)� �� � �� �� ����0� ����� � � � �� ��� �� ��� � � ������ ����������R� ����B����� �����������������������0�!�� �����O@5#.�

H������� ����������������� ����������������6�������� ����(��������������'�'�������'�'���������'��������(��������������������(�����������������������()�����! ������������()*��()*��������()0���()����������������������� ���.*/'*'���������������()�������:!���� �1)������� �80������������ ����������������� �������80����������������� �1����+������������������������������������������������()����������������������� ���.�/'�������'�����������������80��!����������()����+�.�/+��������

Page 130: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������() �������-*�1����+�������������������� ����������������������80��!����##������)0���������������� �����������������)0��!����##�����������������������������������+������������)*�����������!������������������������ ���'*'��������������������������������##������������������������������������������������������������������������()������������������:!�����180������������������������������������()����+�.�/+��������������������80��!����������()�������������������������������������������������� ���'�������'�����������������������������������������������������-*)����+��������������!������������������.�/)����+�.�������/+��������!������������������������������������ ���, ���'�'��'�������'����������������������������������������������������� ���, ���'�'��'�������'��������������������������������##������������������������������������������������������������������������()������������������:!�����180�������������������������������������()����+�.�/+��������������������80��!����������()�������������������������������������������������� ���, ���'�'��'�������'���������������������������������##�������180������������������������� ���, ���'�'��'�������'�����������

)��� ���� ������������������������!�� ����������������� ��� �����������.�)�����������!��� ����1������0������� �������������������0�!� �������� ��������� �����!�� ����������� ���� �����������������������������������������1�����������������������!�������� ����0� ��������������������������������������� ��� ����������������������� ���������������������1���0� �������0���� �����!�� �����������0� �����������������������������������������"� �� �� �������������������!�7#.�

������������������� ����(��������(���������������'�'�������'��(����������������������(�����������������������()*��()*��()*��()�����! ������:!���� �1)������� �80������������������()����������������������� ���.�/'�������'�����������������80��!����������()����+�.�/+�������������� ����������������������() �8������� �80������ ����+�.�/+���)*��������

Page 131: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27<�

�!#!�$#.�+���"��)�*$�"#��)3���*�� �.����

2�������� �������� :������� ���������� ������� ����������� ������$ �� �.� 2�� ����� ���� �� � ��� ����� ������� ������� ������� 8D������0�������������������� �� ����8K������.�+�����������0���������������� �� �������������.�$���� ���������������������� ������$ �� �0��������� �����������������������0������� �������������������

������ ���� ������������ ��������������

��������� �����.��

2��� �����0������������������������0���� �� ������������������70���������� �������� ������ �������.�/ ������������ ��������� ���������.�/����� ����� ��������

��������.*/()*���������.&/()*�����������()&�������������������������������� ��������

2�� � ��� ��0� � ��� �� ��� ���� ��$ �� �0� �� ��� ���������� ��� �� �� !� � ������ ��� ������ ������ ����� �������� �� ��� ������ �� ������ !�� ���.��

0�(�*���������� �-��0�)�*��*�(�*�*�������� �-��*�)�*4��-�*4��&�(�*�&�*������ �-��&�)�*4�&�-�&4�4��-�*4�&�2�(�*�2�2�*���� �-��2�)�*4�2�-�24�T4��-�24�4�T�-�*4�2�5�(�*�5�M�5�*�� �-��5�)�*4�5�-�54�24��-�M4�T4�T�-�54�4�2�-�*4�5�

=���� �� ����� ���� ������ � �� �� !� ��� ��������� ��� ����� �������������������������.�2���������������� ������ ������70�������������� ������ � � �����8������ ����!�� ��������7�!�� ��������� �� ��"�������������!�� ��� ��� �#������������������������ �� ����� �� �������������������������.��

@��� ���� ��� ������������������������ ��� !�� ������� ������80�������������� ������ � � �����F.�/������������������ � �����F������ ��!� � �������������� ������� �� � � �����8� �� ���������� ������� �� � ������8.�2����� ���������������� ������ �� �0��������������7�F�7�7.�)���� ������� ����������������������0�����������7�F�G�7� ��������7�F�F�7.��

/��������������� ����������� � ������������ ������� �����8������ �� �0�� ���� ��������� �����F�����F�7AG�.�@��� �������� ����������� �� �������������.�)���������

����� �7�8�7.�

������ �������7�!�� �������7�8�7�7��

�� ��� ������� �� � �� �� �� ���� ������ !� ����� �� �� � ��� ���������������"� �����������������#���

������������.2/()��������.&/-��������.2/�)�2�����������*�&�2�*�

����� � ���������������"����������������#��

Page 132: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������.&/()��������.*/-��������.&/�)�2�����������*�2�2�*�

2���� �������� �� �������� �����.�=��������������� ��4����!�� �� ����80������� ��������� ���� ��������

���������()6���:����&����

H����� ����� �� ���� ��� ����� ��� �� ��� ���� �� $ �� �� �� � :������� �����

�����������O���*+L�����*?���P ������(��C�6����������������(�����������������������(�����,.*++&M/����������������������������������� 6�(��������������������(������������������(����������������������������.6-*/()*����������()6���:����&�������������������.�/()��������.�$*/-��������.�/�����()������������()*����6-*����()-������� ��������.�/�-�������������*+����+��� ��������������������������� ����*+��%��8&G��!���������������!�:>���� �D��������������"��������������F�&G�]��������%�����������������!�� ��������'�N��� ���������'I0�����������.*/()*���������.&/()*�����������()&����������� ����*+��%������������������ ��������

�����

Page 133: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27=�

�!#!�$#.�+���"��)�*�.�L"�$#.�*����)�?L�

=���� ������ �� ����� ��� ���� ��� ���� ���� ���� ��������������� ��������������������% ��&.�/ ��������������������� ������������ ��������������% ��&������������������ ����������� ������ � ������������������ ���� ������������������� ����������0�������� ���"����������������0���������#.�

=���� ����� ��� � ��� ��� >� ����� ��������� ��0� ���� ������� !� �������������������0��������� ���!�� �� ��������������������������0������ �� ��� ������ �� ���� ����� ���� �� ���� ���0� ������ �� ���� ���� �� ������������0� ����� ����� ��� ��� ����� ��������� ������������� �������!��������������������.�$����������������������������% ��&0����� �� ���� ��4������������� ��� �����!�� �� ����������������������������� ���F������0������� ��� '���� �������������������������������������0� ���������������� ������������� ���.�

O ������� ������ ������������������������ �����������

@�0�.�$�����������1����@�0���.�$����������.�����1����#�$�����0.�$�����������1����@�0���������.�������������1�

#!����)��#��

=���� ������ ����� %�� �� ��� ����� �� � ������� "%�� ��� �� � ��� ������ ��� ��������0� ���� �� ������ !� �� �� �� � � �������#.� 2���'���������� ���� �����0�� ������� ��� ������������� ���� �����.�

/ �������������������� �������

@�0.��1�

���@���0.��1�

���#�$�����0.��1�

���@���0���1�

H�������������� �����������������.�

2�� ������ ��0� ��� ��� � ��� ������ ��� �� ������� !� ��� ��0� ��� ������ �� �� 7� ���� F0� �� ��0� ��� ��� � ��� ������ �� ��� �� ������� !���� ��0���������� ����7�����8.�>� ������������ ���� ��������������������� � �0� �� ���0� ���� ��� ��� ����� ������� �� 7� ���� F0� �� ���� ��� � � ����������0� ��� ��� �� �� ��� ������� "������ ��#� �� 7�

Page 134: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

����80��������������"�������� ��#���7�����F����������������8�����F.�

2��������

��������������7�����8.�

��������������8�����7.�

��������������8�����F.�

'�������������F�����8.�

2�������������F�����7.�

��������������7�����F.�

2�������������������

������������������������������5.�

������������>�����������������*.�

����������������'�������������#.�

)������������������������������������

87�A�*�"��7�����8#�

88�A�*���+�"7�����81�7�����F1�8�����F#�

8F�A�*���+�*�>���*�

8G�A�*���+�*�>���*���+� �>�+�*���+�

2�� �� ���� ��� %�0� ���� �� �������� !� 80� ��� ���������� ����� �������������������������������'��?0�7���8.�)�����0���������������%����� ������0�����������*>+�*>+�*>+...0� �����������������*�!�� � ���0� � � ���������������������� ��� �� ���������� ��*����+�"�� ���� �� ��� ����� ����� ���� ���� � ��� ������ ��� � � ���������� �������� ����� ��������� ���� � ��������#.�

Page 135: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

=������;��� ��������������������%�0���� �� ��� ���� ���������������� ��� ����� "�� ���� ������ !� ����� ����� ��� ��������� ��� ������#���

;��A�*�>�+�*�>�+�*�>�+...�"��������� � ������� ������*��������� ��������+������� ��#���������������!�80���;7A*.�;������� �������%�� ��������� ������������ �����������"���������� ������ ���������������������#.�

)���������������� �������;����

97�A�*�

98�A�*�>�+�

9F�A�*�>�+�*�>�+�*�

9G�A�*�>�+�*�>�+�*�>�+�*�>�+�*�>�+�

�!"�#��)�"��)�*$�"�(��*$�E7�1�����$-���)"�

2������� ������

7#������� ��0�;���������������*>+�

8#��������� ��0�;���������������*>+�������� �����*�

=������(������������������������%�.�=�������������������������������������������?�" �����0�����%F0�������������������?�����0�������������������7�����0���.#.�

>���� ��� ��������� �� ������� ����� ��� ������ ��������0� �������� ���� �� �'� ��� (����� �������� �� 8�0� ��� ������� ��������������� ����� ���� ���������������������������� ������������(� ��F0� ��� ��� ���� �� ���� �� ��� ����� �� 74����� ��������� ��<� ����

�������7��� �%�������� ����� �������������� ��7�����%.�

3�������*�

V���������� ����������������8G�S�

@���� ����������������������F0�� �� ���������������������������!� �������?.�>����%��� �%�$�50� ���� ����������������;G���� ���4�� ��� �� �������� ������� ?0� ����� !� ���� ��� *.� /� �� ����������������%G�����������������������'�?.�=������� ����� ����������������������"*���� #.�

3�������#�

V�������������������������8G�S�

@���� ����������������������D0�� �� ���������������������������!� ����� �� ?.� >���� D� �� � %�$� #0� �� ������� �������� �� ;G� ��� ���4�� ��� �� �������� ������� 80� ����� !� ���� ��� +.� /� �����������������%G�����������������������'�8.�=������� ����� ����������������������"+�����#.�

Page 136: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�!"�#��)�"��)�*$�.�).�*$�*!(������)"�/�L�L��$�L�L�M�

2��� � � ��� ��� �� ����8�� ��9�� ����� �� ������� �� �� ���� ���� ������ ���� ������0���������������������� ������ � �����0������5�� ���������� �� ?� �� �� 70� ���� ������ � ��� 7� �� ��� ����� ������� ��������9���� ����������������80������?������/�

2����������������� ��� ���:�� ����

�������� �����:��A�5��?�

���������� ���:��A�5��7�

%7� A�*�"��7�����8#�

;7� A�*��

57� A�?��

-7� A�?�7�

%8�� A�*���+�"7�����81�7�����F1�8�����F#�

;8�� A�*�>�+���

58��� A�?�7�?���

-8��� A�?�7�?�?�

%F�� A�*���+�*�>���*�

;F�� A�*�>�+�*�>�+�*�

5F�� A�?�7�?�?�?�7�?��

-F�� A�?�7�?�?�?�7�?�7��

%G�� A�*���+�*�>���*���+� �>�+�*���+�

;G��� A�*�>�+�*�>�+�*�>�+�*�>�+�*�>�+��

5G��� A�?�7�?�?�?�7�?�7�?�7�?�?�?�7�?�

-G��� A�?�7�?�?�?�7�?�7�?�7�?�?�?�7�?�?�

>�� ������������������� �������-�.�

Page 137: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

5������� ����������������� ����

�"?#A?70��"7#A??����" �#A�" #�"�#.�

*��������������������� ���� �����������������-�.�

�"-7#�A��"?7#�A��"?#��"7#�A�?7�??��A�-8�

�"-8#�A��"?7??#�A��"?#��"7#��"?#��"?#�A�?7�??�?7�?7�A�-F�

�"-F#�A��"?7???7?7#�A��"?#��"7#��"?#��"?#��"?#��"7#��"?#��"7#�A�?7�??�?7�?7�?7�??�?7�??�A�-G�

2�� ����� �� ��� -�� A� �"-��7#� A� �"�"-��8##� A� �"�"�"-��F###� A��"�"...�"-7#...##.�

@���� �������������� � ���������������-����� ��� ��������?.�)�����0��"?#�A�?7�"���������������������?0������������ ���7#����"7#�A�??�"���� �� ����� ������� ��� ?0� �� ������� ?� ����#.� )�� ����� -�� ����������� !� 5�0� !� ��������� ��� ������ ������0� ��� �� ������� ������� � ����� ���� 8� �� 5�� ��� �� �� !� ?.� >���� ��� ����� �� ������ �����������!� �������?0� ��������������������������?0�80�G0�K0�M0...��� 5�� ����� ����� �� ��� !� ?.� @�� �� ������� ��� ��� ����������������� ���� � ��� %�� ���������� � ��� �� ���� �������� �� ���� ������.�

3�������*�

6����������������������������� ��M+�N�

2@���� ������������ @� ���� +�� ���� �� ������� >� ������� �� 5�� 2����� +�

�� � %� $� *�� ��� ��������� ���� �� ����� *� D2D� ��� D�D!� �������� ���

��������� ������ *� �� M+� ���� 2�� 2����� ��� %+� ��� ���������

������+� ���� ��5� ������������ ���� @� ��������!�� ������ ��� ���������

��������� ��M+�����2��������������

3�������#�

6���������������O�������������� ��M+�N�

2@���������������� @� ����*#���������������>�������� ��5��2�����*#�

�� � %� $� 5�� ��� ��������� ���� �� ����� 5� D�D� ��� D�D!� �������� ���

���������������5� ��M+��������2����� ���%+�������������������

*#� ���� �� 5� ��� ��������� ���� @� ���� ����!�� ������ ��� ����O�����

��������� ��M+��������������������

=����� ����������� ������������������������������������� ���"������ ���!� �������3���#.� @������� ���� !� �� ���� �� � ������������������������� ���.�, �������� ����������� � ������������:�����������.�

:7� ��������

:8� ����*�����

Page 138: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

:8��� ������*���������

:F�� ����*�������*������

:F�� ������*���������������*����������

Y ��� ����*�������*���*���*�������*�����

2�� �������:8�A�+":7#.�/��� ����������� � �������:7�" ���A?����A7#���������� ���:8�!�� ���������8������������ � ���������������8���8�7.�2��� ������:F�A�+":8#.�/��� ������ � ����������������:8���������� ���:F� ������������8���8�7.�

3�������

&@���(�� �� ���������� @� ���� 5� ���� � �� %#� ��� ������� ��� %%� ����

���������5����*� #�5$5����#�5.*$*!��&@���(�� ������������ @� ����*�����

� ��%#����������� ���%%��������������#����%� #�*$#����#�*.*$%!��

>������������������� ��� ���� �������4������� ����-�.�@������� ������ ���:������������������ � �������� ��!�������� �����8�"��������� ��������������������� � ������!��� ��� ��� ����#.�

3�������

2��� ������������������ @� ����5� ��%#� �@����5!��=����������'�����

5*����������������������������5����*� #�5$5����#�5.*$*!��&@���(�������

������������ @� ����*� ��%#� ����55������ ��� ��������������������#����%�

#�*$#����#�*.*$%!��

*����0�� ���� ��� ���:�0���� � �����������������!�� ���������8�������3���� "�������� �� � ���������������#0� �� ������������ !� � ���������8�7�������?�������7"�� ������������������� � ������������!� � ���������#���

����� ��� � �������������8�7���-��������?0� ����0�!� � ���������8����������� �������� ���??0��������������������� ��������� ����������70������!�� ������������� ����7.��

����� ��� � �������������8�7���-��������70� ����0�!� � ���������8���������� � �������� ���?70������� �������������� ��������� �� ���� ������?0������!�� ������������� ����?.��

=������:�TU���� � ����������������:�.��� ���������������0���� ���

:�T8UA?�

:�T8�7U�A�7����:�TU�A�?�

:�T8�7U�A�?����:�TU�A�7�

>���������������������������

Page 139: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

:�T8U�A�?�

:�T8�7U�A�7���:�TU�

=����������� �������������������� �����������������������8�"A8(#0� ����� ��� ������� �� ���� "8�7���8�F#� ����������G(�7���G(�F.�*����0�:�TG(�7U� A�7� ��:�T8(U� A�7�?�A�7� ��:�TG(�FU� A�:�T8�FU� A�:�T8"�7#�7U� A� 7� ��:�T�7U�A�7���:�T8(�7U�A�7�m�"7��:�T(U#�A�:�T(U.�

,�� �������

:�T8(U�A�?���������������������8(��������� �����?�� ���5�0��������������������������������� ���� ���%�������������� ������.�

:�TG(�7U�A�7�� ������������������G(�7��������� �����7�� ���5�0�������� �� ���� ��� �������� �������� ��� � ��� %�� ��� ��� ��������������.�

:�TG(�FU� A�:�T(U� �� ���� �� ����� ���� �� � ������ �� ����� �� ��������������� �������:�TG(�FU0�������������� ����� !�:�T(U�"(aG(�F#.�

I�������� ���������������(��������������� �������������������� ����������������������������:�T(U���

:�T?U����������"�����?#.�

5����������:�T(U���������������������������������������� ��!�(.�

(�70� ����� ����� ����� � ����0� ��� ����� ������ �� � � ����� G�0� ���G��70����G��80����G��F.�

5��(�7AG��������(�7AG��80�(�7���� ����������:�T(�7UA?0������������������.�

5��(�7AG��70�:�T(�7UA70������������������.�

5�� (�7AG��F0� :�T(�7UA:�T�U.� >���� (�7AG��F0� (AG��8� �� ����� �a(.�:�T�U����������� !�������������������'����������������.�>V,�.�

3�������

=����� ������ ���� ���� ����������������������������������� ��.�

V���������� ���3����"�������������7F#�����������%G�S�

>����*%��� �%�$�*0����� ���3��������������;G�������4����������������������70������!��������>.�/��� ���3��������������%G�����������������������'�7�">�����#.�V��������������S�

$������ � � �� ��� -G� �� ����������� ���� �� ���3���� � � ����0��������� ���!���������7F�"�� ��#.�

2�� �� GEF�7A7F0� ����� �� ���� ��� �� ������ �� ����� ���������0�:GTGEF�7U�A�7.�*����0������������������7F����������� �����7�� ���:G0�������� ������ ���5G���������������������������� ���� ���%G���� ��� ���� ����������.�,�� ����0� �� �� ���3��������������%G�����.�

Page 140: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

Y ��� ����*�������*���*���*�������*���

V �� ��A���B�A�C���A���B���C�B�A���

4!.$�!�

$������� ������������� �����������������������% ��&0����'� �8��7����������!��������"��������������������� ������������ ��� ���:�#.�

$����������������'��������������������(�"��������������� ' �����������?#0����� �������A�(�����F.�

5����A�?0�����������������'�?�"*���� #.�

5����A�70�����������������'�7�">�����#.�

5����A�80�����������������'�8�"+�����#.�

$��������������������������������

5��(AG�"(�A�?�����G#0������������ ������.�

5��(AG�7�"(�A�7�����G#0��������������������.�

5��(AG�8�"(�A�8�����G#0������������ ������.�

5��(AG�F�"(�A�F�����G#0� �� ������� �� �����������������������0������ �������� !������.�

��)��$.��)�

2������� ����� � ������������� �������� ��������% ��&����� ������� � �������� �Q��� ��������� ��������� �� ����� ��������.� >� � ��� ������������0� �������� � ��� ��� ���������� ���� ���������� �������� ������������0� �� ���� ��� ���� ������������ �� ������ ���� �� �������������� ����.�=� ������0����� ��� � ����Q������������ ���������������������4���������������.�

Page 141: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��27=�

�!#!�$#.�+���"��)�*$�(#���1���*�.�L)���#�.��)���""#�.L�

*���� ����� ����� ��� ���� ��� ��������� �� �� �������� �� �� �: ��� �Q��������������� ����� � � �������������� "�� ���� @H�7F#0������ ������� ���� ������������ :������� �������� ������� 0�� ������� �� �������� ��� ���������� �� ������� �� � :��� !� ������� ��Q��� ����� �Q ����������������� �� � ��� � � �4�� ����� "���� � ��� ��� ���� ���� ���0� ������������#.�

�(!��+���"!�*���I��3�#�"����

=���� ���������������� � ��� ������� ����� ����������!� ������� � ��������������� ���� ������� �����!����������� ����� ����������������� ���.�>������ ���� ����� � �� �����������!��� ����������������� �� ���� ��� ��� ����� ��� ��3� � ������� �������� !� � � ���������� ��� ���� �� ���� �� ��������� ��� � �� ���� ��� ����� ��� ������� ��������� "���#� 0� ��� �� �������������� ����� "����� 0� ����[� #� .�2���Q �� �������Q!�� ���� ����� ��� ����������������������� ���������.�$ �������0������� �� �������������� ������������������ �������� ����������������"�Q���!�������� ������������ �� ���#0��Q�����������!��� �������� �� ������ �������� ��� � ���� � �Q������ �������� ����� ����0��������0������ ��[�

��3�#�"����

$�����������0����� ���������� �� ��� �������� ������� � �����.�

2�� ���� ��� � �� �� ��� ������� ��� ��� ������� ���� �� ����� �� �������������3���0���0����0�[0���3�������������Q��������������������� ��� ������� �� ���� !� ��3.� /�� ������� ������0� ��������0� �������������� �� ��� !� ��� ���������� �� ����� �� ���� �� �� "c�����d� ���� ������������ ��#.�

2������ ��������� � �� �������3 �������� �������� ���������������0�����0� �� � ��0� ����� ��0� ���� ��0� �� ��������.� "����� �������� ����� ���������������Q'��������� �0��� ������� ������ ��#.���

2���������������� �� �������������� ������������� ���������0�����0��������0������ ��0���.���

2�������������������������.��

5������������� ������?� ��������������c�3����d.�

� ��"8-����. �� �� �����

�!�$"�*�������$����/�

Page 142: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

>��������������������������� ����������������8LD���FNM.�

2��� ��������������� �������F��������0�!� �������� ������������������������ ����Q!�����Q�������������!�� ������������������ ��"�����!����������#��� !� �� ��� �� ��� � ���������������� �������� ��7???0���������� � ������!�?��6������ ��0� ������ ������Q ��4�.�

=+��� ������������ ���0�����Q���� � ������� �������� ������ ���������������0������ �����Q��������[�

�7����� ���2����������Q �����������������������0������������� �����������������3 ���� �������� �������� ������ ������ �� ������ �: ��.�� �������)�&QG'��� � � ������)23K� � � �

����)G��'��������������)&Q�� ����)K'��������������)23������ ��N����)Q'��������������)�&�� ��N����)3'��������������)�2��� �

5�������������� �� ��� ����� ������'��� ��0�����������.�� �����()�[[��� � � � �����()�[[��� � � �

5����������������3 �������c�70L0N�d� ������������������������������������������7?�������������������.�� ��N����)M'�����)*G�� � ��N����)K'�����)*K�� �

5����������������3 ���������������!�70� ������������� �������� ���� �� ������������ ���"���� ������ �� �������3 ���#�� �����()[��%����[��� � � �����()[E�����������[���� � � �

5����� ���������������3 ���������������M��������� ����c����d����c���3�d� ������ �����������c���d��� C���[�����������������������+� C���[�����������������������+�

5�������������������������������!���30� ��������� �������� ����c�����d�!���������������������������������������7?.�2���������������� �����������������3 ����������������70��������������������������������7���7K.��� C���[�����������������������+� �����()[E��������������%[���

� �����()�����$*0�)�*K$*0�)�K���

5����������������������������� ������3���� ��������� ����!������ ��� ����������� ��� ���������.��� �����()[��%����[�-�[E���N�[�)��� �����()[E��������������%[�-�[!���[��)��

b��%�����E���N�[���� � � [E��������������%�!���[��� � �

2������������������ ��� ������ ����� �� ��.�� �����()�b��%�����E���N�[���� �����()[E��������������%�!���[��� �

�8����� ������������� ���� �����F���������!� �������� �������[�2������������������������ �������������������������� ��� ��7?.�� ?�()&�����������������()�0���� ?�()2�����������������()�0���

5����������������� ���������������!�70� ��������� ����������Q�������������� ������ �����()[���%[��� � � �����()[����[��� � � �

2��� ����n���Q�!������ �� ������ �����()[���%�����[��� � � �����()[���������[���� � �

5���������� �����������������0� ��������� �������n�Q������������� �������� C���[�����������������������+� C���[�����������������������+�

2�������������������� ������ �����()[���%�����[-��� � �����()[���������[�-� � �� [��%�����E���N�[�)�� � � [E��������������%�!���[�)� � �� [���%��������%�����E���N�[���� [����������E��������������%�!���[����

2���� ��������������� ���������0����������������� ��.�>������ ���!��Q ����Q���������� ����� ��������������������!��� ��� ����� ������.�� C���[�����������������������+� C���[�����������������������+�

G�)�*�������$����

Page 143: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���������#�������$��%������"��%���

���(�"#��678�

�����#(��)�K�"#��.�(��).�

$���� ������� � � ���� �� ����� ��� ��� �� ��������0� ����� �������� ������������� �������0���������� �������� �����.�

=���� ������ �������� �� ��� ��� ����� �����0� ������ ����� �� ���������� �����������������������������.�

/�������������������������� ������������������ �������������������������F�����F.�/� ���� ���!����.�>� ��� ������������������� ����������� ���� � ���� ���� ���� ��� ���� � � ���� "��� �����0� �������� ����� �J�� �� �2�#1� ����� ���� ������� !� ������F��� �������� �� ����0������������� ��� �0� �� ���.�

/������ ���� ������ �� ��������� � ��� ��� �� �� ��������0� �� ������ �� �� ������� �� ���� �� �� ���� ��0� ��� �4�� �������� ����� !��� � ��.�=���� ������ ������� ��4������������.�

/ ������������� ������� ��� ������������ ��������������� ������� ����� �����

����������� �����!������������������������������������� ���� ���

��������������������������� ���� ������� ������ ������

������������������������������ ������� �� �� ����� ���

������� ��� ������� ����������� �����!� ������� ��� � �� ��������� �B� �������� ��������������

�������������������

�� ��� ������ ��� ���� ��� ����� �� � �� ��� ��� �4��� �� �0� ������ ������������������������� ������ ������������ �����!��������� ��� ����������� ��� ���������������������� ���� ���

������� ���� ��������� ������������������ �� �����"�������������'� ����������������!�� ���� ������ ������������#�

��������������� � ����� ����'�� �� � � ������������� �� �������������������������� � ����

=���� ��������������������� ����������� ��� � ������ ������ ������� ����������0������������������������� ������� ���� ��������������������.�

Page 144: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

2��� ������� ������ �����������!�F��������� ������������������������������ ��0���������� ���� �������0�����������.�

����� � � ������������� �� �������� ����� � ����!� � ��������� �� �������� ������������ ���������� �� ���0���� ������������ �������� � ����������� ������� �������������� �������0������ ���� ��� ������������ ������� �������� ����.�

@������������������� �������� ����� ����� ��N0������!������������ �������� ��� ����� �����!� �� ��� ����������� ����� ����0� � �� �� � ���� ��� �����������0����� �� ���.�

>�������������4��� ��������������� ����� � ����������������������������������������������������� ���������������������� �� ���!������b��������� ������������0� ��������������� ����������������� ������� �������.�

5������� ������ �����

�����L�?��������������������L�?��������������������L�?���-$$$$$-����������������-$$$$$-����������������-$$$$$-��*R@R�R�R��D������������*R@R�RCR��D��6���������*R@R�RCR���������������-$-$-$R��6�������?*����-$-$-$R��6��������2����-$-$-$R�������������&R�RCR�R���������������&R�RCR�R���������������&R�RCR�R�E����������+���-$-$-$R����������������-$-$-$R����������������-$-$-$R��2R�R�R@R���������������2R�R�R@R���������������2R@R�R@R���-$$$$$-����������������-$$$$$-����������������-$$$$$-�

>�� ���� ����� ���� ���� � ���� �� ����� ������ ���������� ��������1������ �������������� �������������������������� ����� ������������.�

*� ����� ������>70�������� ���� ��� !��������� �����������������+71������ ���� ������>7� �������������0����4��������� *F.� *� ����� ��� ������ ��������0� ������� ���� � � ���������������������������������0�� ������0��������'����������J������ ���0�� ������0������� ��� �������C�>���������������� �������� ������� ��� ����� �����!� �� ��� ��� J� ���� ������ ����� ������.�

=� ������0����� ������������*F����������������� ����0������������� ��������� �����4������� ���1������������������������������������ ��������� ����"!�� �����>7#����� �� ��.�@�� � ��� ����� ������ �� �� ��� ���� ���� ���� ��� ��� ���� ����� ���0����� ���� ��������� ������������ �.�

=���� ������ �������� �� � �'��� �� ���� ��� ��� ������.�2�����������8� �������

����� ������ �����"������ �����������������0��������������������� ���� �������� ��������������������������������...#�

�� ��� ���� �� ����� ����0� �B� � ���� � � ���� �� ����� �� � ���������0�� ������ ������������� ������� ���0����� �� ����...�

/ � ������ ���� �� �� � �� ������� ���0� ��������� �� ��� � ���������.�

Page 145: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

H�'����� �������� ������

��� �������������� �� ������� ����0�������������� ����!�� ���� ������ �� �� ��� ������� �� ������� ��� J� �� 7� "f2-)-O� � ��� ������ ��#��� ���2� �� �7� "2O�@=*9)-O�� ��� ������ ��#������� ��� � ��� ��� ��������� ���� � ����� � � �������� �����0� ������������������ ��� �����������������!������������������������ �� �� !� F� ��� �F� ����� ����� ��� ����� �� ����0� ������������ ���0� � ������F�����.�>�������������� ������7�� ��������� ��.�

����� �� ��������� �������������������������� �� ����0������ ��� �� !� � � �����1� ���� ��������� �� ��� ���8.� )��� ����������� �������� ������� ������ �������������� �����

�����L�?���-$$$$$-��*R@R�R@R����?������%�@����6����������������%���������������-$-$-$R����������'���������������������E���E��������������������&RCRCR�R�����������������������������������������������������������-$-$-$R�����������������%��������"������'����������������������������2RCR�R@R�����������'����E���������������������������6����������%���+���-$$$$$-�

����� �� ��������� ��������������������� ������������ ����1���������������� ������ ����� ���������

�����L�?���-$$$$$-��*R@RCR@R����?������%�@����6����������������E������F�������������-$-$-$R�����&'�?&'��2'�L2'�?2+��&R�RCR�R����>������'������������������%������������������'����������-$-$-$R���������E�������,���E����������E������@���������������������$��2R�R�R�R����������������(�L2'���������"�!������C����������+�����'���c�����-$$$$$-����F����������������������������������������������������%���+�

�� ����� ����� ����� � � �������� ���� ������� �� ����� ������� ��0������ ���� ��1������������� ��������� � ������������������������������������������������ ��������� ��������� ��������������.�

� �������������������� ��������������������0�� �������� �� ����������� ���� �� �����������.�>����:���� ��� ������ ��������������� �� ������������������������"� �� ��!��������������#����������������� ��������������������T����0������U�Af2-)-O����� ��������������������T����0������U�A2O�@=*9)-O�1� ���� ������� ������ � ��� ��� �����������������0������������������������� ��������� ������������������������������� ���1��������������� ����������� ��������������� ������������� �������f2-)-O�A��712O�@=*9)-O�A��7��.*����0������ ��������������������������� ������� � ���������������� �������������!��7�� �� ��� ����� !� ��7�1� �� ���� � :��� �������������� ������� �����������T����0������U�A2O�@=*9)-O�� ������ �������������� ���� ��� ����T����0������U�Af2-)-OE����� ��� ���A�71� � �� �f2-)-OE���A�f2-)-O�� �� ��f2-)-OA2O�@=*9)-O�.@�� � �� ��� ����� �������� ���� ������� f2-)-O���2O�@=*9)-O��'��������� �� � ���� !� 3���.�$���� ������ ��� ���0� ��� � ��� ����������T����0������U�A$)O52==)�0� � �� ��� ��� �$)O52==)A?�� �� ��� �������� �� � � ���0� ����� ����������� ��� ���0� ����� �� ?� "������$)O52==)�#.�

)�������� ��� �� � � � :��� �� ����� �� �� ����'�� ��� ����.� 5������������������ ����� ��K0� �����.�5���������������!�������� ������ ������������ ������������������������� ���.�*����0���������� ��

Page 146: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��� �� D� ��� ���� �� �� !�I*-H*@5� ���� �������� �� ����� ��� ���������� ���� �� ��� �������� ����� ���� '����� ���1������ ��� �� � ��� ��������� �� ��� ��G� ���� �������� !� ������� ���� ��� �� ����� ��� ����������� ���� ��������� ���� ����� ��G�������1������� 0��������������� �� ���� ��� �� ������ � � �������� � ��1� ���� � �� ��� �� ����������.� )� ��� ������ ������ � ��� ���� �������� ���� ����'�� ���������+2=�����I*-H*@5�0��������������4���'��������������������������� ����+2=�!����� �������������I*-H*@5�!����������+2=0��� ���� � :��� ��� � +2=E���AI*-H*@5� ��� ���A�7.� �� �� ��� ������������� ����� �������7�"��������������������� ����� ��#.�

/� ������ � ����� �� � � �������� ��� ���� ��� ���� ������� !� ������� �� �� ��������� ��� ��� � ��� � � ��������0� ���� ��� ���������� !��� ��� ��������������� ��������.�

H�'���� ��� �� � ���� ��� ��� �� ���� ������ �� ���� �������1� ����� ������� ����� �!� ����������� ��������������

�����L�?���-$$$$$-��*R@RCR�R����?������%�@����6����������������E������F�������������-$-$-$R����?*'�?&'��2'�L2'�?2+��&R@RCR�R����>������'������������������%������������������'����������-$-$-$R���������E������@���������6���������2���������������������������2R�R�R�R�����!���E�������������������������������@��������������������-$$$$$-����������������F�6����������������������������+�

5�� ������� ��� �� ��� �0� ����� ��� � ������� ��������������� ������������������ ���� ��.�

5������� ������ �� ��� ���� � �� � ��1� ��� ����� ����� ���� ������������������� �����"���������� ���0����������������#���

�������'��� ���0� ������������������������ ������J�����

���� � ��� ������� ��� �� f2-)-O� � � ���� "�� � �� ��� ��� �� !� � ���������� ����7�1��� ����� �� � �0� ��� ����� �� ���� ��� ����� ���� ������3������������������������������ ����� ����������� ����� �I*-H*@5������ ��������!� ������� ������� ���������� ���� �� ��0��� ��������������� ������ �� �������� ����

���� �������������� ��2O�@=*9)-O��� � ��8���������������� ���0� ������ ������������� ��������0�� ����������� :���0��������� �� �� ������0� �� � ��� �� � �0� ��� ������ � � ���� �+2=�� ������������!�������� ����������������� ������0��� ������������������� ��������� ����

���� � ��� ����� �� ��� 8� � �� �� �� �����0� ����� ��� ���������������� ���������� ��0��������������� ������ ����..�

���������'��� � ����0� ���������������!����������� ������ ������������������������

��������������J������2�����������������

��������� ���� ����� ������������������ ����� ��!�����7��

Page 147: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

����� ����� �� �� �����+2=����� ������ ����� ���������������������� ����� ����������� �� �����I*-H*@5��

���� � � ���� � � � � ���� �I2i)=�� �� ��� � ��� ��� �� ��������� ����� ���������� �� ����� ��������������� ���������� ���� �� ������� � ���� �:�� ��� ����� �� � � �������� �� ������ ��� ��� ���� "��� ������� ������������������� ����������������� �������0����������������� ���� �� ���� ��.� @�� � ��� ����� ������ ��� ����� ����0������� '����� ���������� ���� ��������

���� � � ���� � � � � ���� �I*-H*@5�� �� ��� ����� �� ���� �� ������������������������������ ���.�

5����� ������������������������������������������������ ��0� ��������� �������'������������ ��� ���"���� ��� ��#� ����� ����������.�

�����LCX��������)�-*��������>Cd�X������)��0��������>�YH�A����)�$*��������C �AX���Y �)�$*��������eCY�Y �����)�-*��������J� �CXX����)��0���������������������(�����,.0++&'0++&/�������������������������������(����������������������������(������������������������* 6�(����������(����������������(�����,.0++Q/�������������������(�����������������.0/()�.0'0/-�.0'*/-�.0'&/��.*/()�.*'0/-�.*'*/-�.*'&/���.&/()�.&'0/-�.&'*/-�.&'&/��.2/()�.0'0/-�.*'0/-�.&'0/���.5/()�.0'*/-�.*'*/-�.&'*/��.G/()�.0'&/-�.*'&/-�.&'&/���.M/()�.0'0/-�.*'*/-�.&'&/��.Q/()�.0'&/-�.*'*/-�.&'0/������*()LCX����6()246�������()0����Q�������������.�/)6��!����%�����##$$$����E���������������������=���=�����*()>Cd�X����������������������& 6'���(����������(��������������%','����'��������(��������������������&()LCX���������()0������%()0����&��������,()0����&������������.%',/)J� �CXX���!������������������������.%',/()6�������������()����* 6�����������������)LCX��!������ ������������������.%',/()J� �CXX��������������������)����!����%�����##$$$����E���������������������=���=�����������������&()>Cd�X��������������������������������� 6�(����������(��������������%','�����(��������������������������������()$*������,()0����&��������%()0����&������������.%',/)J� �CXX���!������������������������.%',/()6�����()����* 6���.%',/()J� �CXX�����������������)LCX��!���������������������������������������������(),4*0-%�������������%����

Page 148: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�������������������������������������������6�� ����'�������(�����������������'��������(���������������%','N'���(�����������������������(�����������������������(�������������������'��������(��������������������()>Cd�X���������()0�����������)3��!����������()����* eCY�Y 4����������������������N()���������������� eCY�Y 4��������()*��������N)$*��!���������������������N()���������������� C �AX���Y 4���������������� ����������������������N8)0��!���������������������,()N�����*0��������%()N�����*0���������.%',/()eCY�Y 4�������������������* eCY�Y 4�����)LCX��!�������������������.%',/()J� �CXX������()>�YH�A�4������%���������������������& C �AX���Y 4����'���)LCX��!�������������������.%',/()J� �CXX������()LCX4������%��������������6�� $����'������-*'����'���������������.%',/()J� �CXX���������()0������������������������������������������()0��������()0������������,()0����&��������������%()0����&������������������.%',/)J� �CXX���!������������������������������������.%',/()eCY�Y 4�������� �����������������������������* eCY�Y 4������������������������LCX���(�������������������������������.%',/()J� �CXX������()>�YH�A�4������������������������������%����������������������������������������������>Cd�X�(������������������������������6�� $����'������-*'�������'��������������������������������������������������������������������-*�(�����������������������������������������������8>Cd�X��!������ ������������������������������������������� �������1>Cd�X������ �����1*���!����������������������������������������������������������������������������.%',/()J� �CXX������()��������������������������������������������� ��������������������������������������������%������������������������������������������������������������������������������������������������������$*�(�����������������������������������������������1>Cd�X��!������ ������������������������������������������� �������8>Cd�X������ �����1*���!����������������������������������������������������������������������������.%',/()J� �CXX������()$��������������������������������������������� ��������������������������������������������%������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������.%',/()J� �CXX������������������������������ �������80������ �������)��������!����������������()����4LCX��������������������������

Page 149: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������������������������������%','�����(�����������������������(����������������������(��������������������()$*���� �������������������������()$*������,()0����&��������%()0����&������������.%',/)J� �CXX���!������������������������.%',/()C �AX���Y �����������������* C �AX���Y ��������������LCX���(�������������������������.%',/()J� �CXX���������������������������������(),4*0-%��������������������%�����������������������������������>Cd�X�(������������������������6�� *'���������'�������'��������������������������.%',/()J� �CXX�������������������������������������������������������>�YH�A��(�����������������)$*��!����������������(),4*0-%����������������������>Cd�X���(��������������(),4*0-%����������������������LCX�����(��������������������������������������������������(),4*0-%���������������������������������%������������������������������������������������������������������������������������������������������������.%',/()J� �CXX�������������������������������������*+��������6��������%',�(�������������������������()0��:��!������*+�������+������+������������������������!+�,��()����������!+�����()��U!����������������� 0'0'30'30��������������� 20'0'M0'30���������!+�,��()�?�������##$$$$�������������������������=%=����=�=������������� 0'20'30'M0����������%()0����&�����������,()0����&������������.%',/()0�������������������������������*+�����!��6��������%',�(��������������������%()0����&��������,()0����&������������.%',/)eCY�Y ��!��������*+�������+������+�����+��%���� %420-K',420-K'�@�������������������.%',/)C �AX���Y ��!��������*+�������+������+�����+��%���� %420-K',420-K'�C���������������������O���*+A����*>���>��� ������(��C�6������!���(���!����������@'���d(�A���������������%()%�����20����%8&��!���%()&��,(),�����20����,8&��!���,()&������*+��%�()�@)�-������� *-%�-���d)�-������� *-,��������������������O���*+A����*>�����:� ������(��C�6�����L�����(��>���L����������!���(���!����������@'�d(�A���������������������������8K��!�������%����

Page 150: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������2+!�����%()%�����20����%8&��!���%()&��,(),�����20����,8&��!���,()&������.%',/180��!���������������!�:>���� �?����6F��������]��������%�������������.%',/()eCY�Y �������!��6������� ������������������������13��!��������������������,()������������������*0��%()������������������*0���.%',/()C �AX���Y �������!��6�����������* C �AX���Y �)LCX��!���������������!�:>���� �e����������]����������������()3������%�������������������* eCY�Y �)LCX��!���������������!�:>���� �H������N������]����������������()3������%������������������������)3��!���!�:>���� �>���!�����]���������

Page 151: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

���(�"#��67;�

���5�$�*:%"������

-�� �� ��3��� ��������� ����2�����.�=���� ������������������������!�� �� ����������� ������ �.�=���� ���������������������� ����� ����� � � � ����� �� ������ �� ���� ���� �� �� ��2�����0� ������� �������������� ������������ ����������� ��.�$����� ������������� ����� ����� ����������� �� ��� ���� �� ���� �� ���.�/� � �� �� ��� ����� �� �� ��� �� ���� ��� �� � � ��������� ���� �� ����� ��������� ��� ����� � ���� !� �� ����0� � �� ��� �������� !� � ��� �� ������� �������.� >���� ���� � �� ���� �� ����� ���� �� ������ ���� � � ���.� $ �������0� �� ������ ��� ������ �� ���� ���� ��������� ��� � ����� ������������� !� �� ����0� � �� ��� � ��� ����� ����� ��� ������ �� ����0� �� � �� ���� ��� � ��� "��� ���� � ��� ���� ��� ����� ��� ���� �� ��� ����� ����0� ����� ��� �����#0� �� � � �������� ��� ����� !� ��� ���� ��� �...� @��� ��� �������� ������� ������������� ���������2�����.�

��.�#�("��)�*�.�*�))!�.��"�*�.�(#��!*$#�.�

/�� � ����� ����2�������� ���� � �� ��!������������1��� � �� �� �� � 7??� � ��� �� �� � ��������� �� ?� !� NN.� *����0� ��� � ��� ��� � � �������� 770� 780...07M0� 870...08M0...� �����!� M70...0MM.� /� � �� �� �� ���� ��� ,��70� � ��0� �� ��� � � ��������0� ����� ��� � � !� ����������� ��� �� ��������0� ��� ��� ������� �� ��������� �������� � � ��.�$������ 0�������������� �� ����'-����0����������������7N���� ����� ��"� ��������������������� ��1������0��������� ������ ��������������������� � ����������������#.�

2������ ��������� ��?� �� ����� ���� ��8.�/�� � �������� ���������������� ����� ������M.�/��� ������������ ����� ��������������� ����������� ������N.�>��� ������ �������� ������������� ����� �.�)�����0� ��� ��� ��� �� ������ �� ���0� ��� �� � ��� �� ��� ����.� >���� � ���������� ��� � �� �� ��� ���� ��0� ����� ��� � ��� ���� ������ � ��� ��� �� �� �����!� �� ������ ������ ��� N.�2�� � ��� ����� ������ � �� ����� ������������������!���������.�5������� � ��� ������N0� ����0������� �������� ������������������� �� ��������������������������������� �������� ��� ���������.�

$��������� ���� ������M����������0��������������� �� ��!�M��������� ��� �������.�

$������ '�������� ��0���� ������������ ������������� ���������������������������������� ������ ������� ���0� ������������������� ����������� ���"����0����#1���� � �������� ����������� ����� �� ��� ,��75.� 5��� ��� �������0� ��� ������� ��� ����� ��� ����� ��8���������������� ���� ��?.2����������������������77������!� ���.� >���� ���� ���� � ����� ������ � ��� � �� ��� ���� ���0� ����������� �����!� ���� ��� �� ������� ���� ����� ������� �� ��� � ���������.�

=���� ������ ������� � ���� ��� ��� ���������� �� ��� ��������� ���� ���������!��������������� �����������.�

Page 152: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

'#�$-�N(�.�

$����������� ����������0����� ����� ���������������� ���B�� ����������.�/ ������������������������� ���� ���������-��������� ����� � ������ �� ������ �� C�����.� /� � ����� ������ ������� � ��� ������� ��"�� ���� ���������#����������������������.�5�0�!������ �0���� � ��� �� !� ���� ��� ���0� ��� � ��� ������� ��� ���� ���� !� ����� �� � ��������� �� �� ���� �� !� ���.� 2�� �������� ����� � � ������� � ���������� ������� �� �0� ���� ��������� ����������.�/� ����������� � ������������ ������ ��� ��������������N�� ��� ���������0���������� �������������������������0�� ��������������������0� ������ ����� �� N� ��� ��� ���� ����� �� ������� � ��� ���� ����� ��� � ��� ���� ��0� ������������������� ����!�� �� �������� ����N.�

-������������� ������������������0����� ����������� ���������� ���� �� �� �� �������� ��� ����� � ��� ������ ��� ���������� �������1� � �������������� ����� ��� ���/��.����.�

)� ��� ������ ��� ����� ������ �� ���� �� ���0� � � ������� � ��������� ���������������������������������������� ���.�$������ 0���� � ������ � � ��������������.��.��� �0� ���� ����� ���������������������� �������0��� �����������" ������������� ���#.�/� � ������������ ������� � �� ������� ���� � ��� �����.� @�� ������ ��� ����� �� ��� ��� �����������������!�?1�� ������� ������ ����� ��� ������������������ ����������������� ��.�

=���� ������ ����� � ���� ��� � � ����� �� �������� ��� ���� ��0�����.�>����� ��������������� �����!��������� �������������0� ���������� ��������������� ����������.�

5�������������� �!�F���� �������������.�*��� ������ �0���� ���������������������� ������0������� ������0����������� ����������������.�*��� ������ ����� �0������ ���� ����� ������������������������������� ����.�5������� ��8��� ��������� ����� ����0� ������ ����� ��������!������ ���� �� �������������������0�� ����������� ������������������ ������������ �������������������.�)���� ���0� ����� �� 70� ����� �� ������� ���0� ������� ���� ������� � �� ���� ���� ����� ���� � � ���� �� ��� ���.� >��� � :��� �������� ��� ���� �� �����������������0��������� ���������������������� ��������� ���0��� ��� ��������� �.�>������������������� ������������ ���0�� �������������� �� ��������� ��� �������������������������� ���.�

*��� ����� �������� ������������������� ������������� ����

$���������������������������������������������������$�����������������������������$������������=�������=���������$��������$��������������������

/�������������� �� ��������� ��� ���B� ��������������������� ����� �� ����1�� ������ �0����������� ���������� ������������ ���� ����� �� ���� ��� �� ' ��� ���� ����� ������������ � � ��������1� ��0� ����� ������ ��0������'� � ��������������0� ������������������� ������!�� �������� � ����������� ���� ����� ����.�

�����������$��!���!������������������$��������'������(�������������$�6�������������������������$�����������������������6���������������$��������������������������������������������������'������

Page 153: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

����������������������������!��������������$������������'�������������������������������������������6������������������������'���E�������������������F���������������������'������������������������%��������E�'���������������������'���������������+����$��������������������������������������������������%���E����������������������������������������������+�6�E��F����E�������,�����������������������+�

/ �������������� ����� � �����0� ������ "��� �0������ �����!�������� ������������������#�����"��������������� �������������� ����������� �� ����0� ����� ������� ���1���� ��� /��.����� ��� �� � �����*.�0� ���� � ��� ?� ��� 81� ��� �� � �� ������� ��� � ����� �'��������� ��� ����!�?��������� ������ ���������������0�� �����0���� ����� �� ���� 7??� �'��� �� ���� �� �����1� ��� ��� � ��� � ���� ��� ���� �� ��� � ���������0�� �����'� �� �������� ��� ������� � ��#.�

-�� ����� �� ���� ��� ������0� ��� �� ����� ���� � ���� ���!� ������ ���������������� �� ��������������� ����������������� ���������������� � :��� !� �� ������ �� ��� ���� �����.��.��� �0� � ��� ��� ����������������� �� �����"� �����������������������'� ����������������!�� ��#.�

=���� ������ ������� � ���� ��� ���� ��� ���� �� ���� �� ���� � ����� �� ����� ��� ��� �� ��������.� =���� ������ ����� � � �����������-�=���� "��� ��4���#� �� ����� ������� ��� ����� � ��� ��� �� � ��"����� ��� �� ����� ����� ���#0� ���� �� � ���� ��� ���� �� ��������� ����� ����� ���� "������ ����� �� �� �� ��������� ������ �� ����� ���#.�=���� ������ ������������� ���������������� "����� ����� ��� ����#.�

/ � ���� �� ����� �� � � ��������� ����� ����� ���� �� � ��� �� � � � ��������� ��� �� ������� ���� ������ ��� ���� ���� �� ����0� ������ ��� �����������0������������� ������� ������������ �����!��������� ������� ������������ ������ ���.�-�������������������� �����0������ ������ � ������������ �����������.�$������������� ���������������������������"�������������������#0�� �������������� �� ��������� ��� ���� ������� �������.�2��������� ������������ ��������870� F?0� 870�8K0�8G0�F70�FN0�F80�870�8D0�FL0�870�FK0�8M���8N.�9���������������������������� ������ �����������.�I ������� �������� ��������������� � �������� ����� S� V���� ���� � ������ �������� S� $���� �� ��� ����� ���� ���0�������������������!������� ���������� ��� ��������� �����"��� �� ���� ����#� ����� ����� � � ���� � � ���� �� ��� ���� ��� �������� ���� ��� ����� �� �� ����.�>���� �������0� �� ��� �� F0� ��� �� ������� ��������������� �����F?0�8K0�F70�FN0�870�FL0�FK0�8N.�$ �������0�����

Page 154: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������ ����������� ���� ����������������� ���0������� ������ ��������� ���� ��� �������0� �� ���� ������ ��� �� ��� �� 8� ��� �� ������� �����������8K0�870�FK0�8N.�I ��� ����� ��70��������� ������ ������� ��0����B���FK���� ������� ���0��������������������������������.�/������ ���� ����� ����� ���� �� ��������� ���.�>�� ��������� �� ��������4'���������4���0�� �0����������������0������� ������ ��� ��������� �������0� �0� ��� ����� �������0� � ���������� �.� @�� ������� ����� ������������������������������!� ���0� ������� ����������!����������� � ���� �� ����� ��� �� !� � ������� � � ����.� 2�� � ��� ��� ����� ������� ������������� �� ����X � ���� ���������" ���������� ������ ����������0������������F??�����������������!�� ������#.�

I ��0����������������������������������� ���������� ������ ����� �� S� =�'� �� ������ �� ��� ��'�� �� ������� ��� ���� �� ����� ���� ���0������ �����������S�>�������������� ������������ ���� ��0� ��� ����� ����� ���� � �.� H����� ��� ������ ������ ��� ��� ���0� ������������������������������������� ��8� ������������������.�2���������������������� ��8� ��������G��������

2�� ����� �� ����� �� ����� *� ��� ��� �� F.� 2�� ������ ���!� �� ��� ��������� ���� ������ !� � ������� � � ���� "��� �� ��� ����� ���� �� � ���������#.�/������*� �����������0������ ���������F?.�>������������������ �� ��� �� �������� �� ����� ����� � � ������ ���� !� 4����������0� ��������������� ������������������ ��8.�2��� ������ ����� �� 80� ��� ������ !� ��������� ��� ����� ��� ����.� /����� ����� ��������*��� ��� ����0� ������� ���� ������ ����� ��80� ������ ����������� ���������������� ��8.�I ���� ���������������� ����� ����������"���������� ������ � ������������������ ������ ����� ��������������������#.�

@�� ��������� �������+.�/������ �������+� � ����8K.�/�������� ������ ����FN.�>������������������!�F?�"������������� ���������#.�*����������� �������������+��� ��4�0��� ��������������.�)�����0��������+� ����������������!� � ����� ��������� ������.�)�������

Page 155: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�������������!���������� ��� ����0� ��� ������� � �������*.������!� �������� ���� ��0������������� ������������ ��������������+0����� ��� ��� ���� ��� ������� � �� ����� *0� ���B� ������������ �� ������ ����.�>��� ��� ����� �� � ����� �� ������ ����� ��� ������ ����� �� ����� � �0������������ ���� ����� ������������� ���� ������������������� ���.�>���������������� ��������� ���.�

*�������>0� ������ �������� ����� �������� � ��� ��� ��������� ��������������������!�����������"���� ����������� �����F?#.�V� ����������>� ��������������������0��������� ������ ����������������������� �� ���� ��1� ��� ��� ����� �������� �� ������ � � ������� ����������.�2�� �������� ���� ����������������.�

/� ����� ����� �� �� � ���� ��� ���� �� 8K.� >���� ���� ���� ����������� !� ���� �� ���� ��0� ������ ����� �� �� ��� ���������"�� � �#.�)�����0� ������� ���� �� �����������������������������!�8K0�� ������������ :���0��������������!���������0������ �� ����������������������>.��

2������������������������������ � ����

7#����������������� ������� ������� ��������������.�

������ ������������ �������������!�������������� �������� ��4�������� ������������������ ���������������.�

��� ��������������������0������������������ ������������.�

�� ������ � ������� ������ ����0��� ��� � �������� ���������!������� ������0� ������������������������������ ��������������� � ����� ������ ����������

8#����������������� ��������������� ���������������

Page 156: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������ ������������ ��������������!�������������� �������� ��4�������� ����������������� ���������������.�

��� �������������������0������������������ ������������.�

�� ������ � ������� ������ ����0��� ��� � �������� ���������!������� ������0� ������������������������������ ��������������� � ����� ������ ����������

H����������� ����������� ����"���� ������������� ���� ����?0���������� ��� ������������0�������� ����� ����81��������77�� ���!������������� �������������� ����!������������77�#���

���������������(�����,.*++K/������������)���������������� $**'�$*0'�$3'�$*'�*'�3'�*0'�**���������:��P0�(�����,.0++33/�����,���)���������������� K'�3'3'3'3'3'3'3'K'�K'�����������������K'�3'0'0'0'0'0'0'3'�3'�����������������3'�3'3'0'0'0'0'3'&'�3'�����������������3'�&'&'0'0'0'&'0'&'�3'�����������������3'�&'&'0'&'&'&'0'&'�3'�����������������3'�&'&'&'&'0'0'&'&'�3'�����������������3'�&'&'&'&'0'0'&'&'�3'�����������������3'�&'3'&'0'0'0'3'3'�3'�����������������3'�3'3'&'&'&'&'&'3'�3'�����������������3'�3'3'3'3'3'3'3'3'�3�����������?C�O�C �AX���Y ������)�$*���������C �AX���Y �����������)��0���������?C�O�eCY�Y ����������)��*���������eCY�Y ���������������)��&����,�������!������������������)�����,.0++33/�����,��������������������������������)�����,.0++*K/������������������������!���������������)�����,.0++*K/������!����������������:��P�����������������(���!�����������������������������������(������������������������������������(�����������������������������������(�����������������������������������(�����!������������������������������������(���������������������������������� ��������(����������(��������������%'�����������(����������������%()*0�����������()0�������������� %��������:��P.%/)���������!������ �������������������%)KK����������������()������������������������������������� ������'6������(���������(��������������'%%'%�'�������'������(����������������%%()�������.������/�����������()0���������()&$6��������������������������������� %%����������� :��P.%%/)3����� %%8KK�������������.������/()%%�������� *-%%������*08*������ %%1K3���!��������������()*����K�����������������������������������()���������.�/���������������:��P.%%-�����/)���������!�����������������������������������%�()%%-��������������������:!����:��P.%�/)�����������

Page 157: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

������������������� %�'������������������������:��P.%�/)6�������!��������������������������������������������������()%%�������������������%��������������������������������������������������������������� %%8KK��������������������6�������� ����������������'6�����(���������������'%%'�������'������(�����������������������()&$6������������()*����K�����������������������()���������.�/������%%()����������������-�����������:!����:��P.%%/)������������������������ %%'���������������:��P.%%/)6�������!������������������������������ %%'������������������:��P.%%/()6��������������������%%)��������������������������������()*����K�����������:��P.����������������-���������.�//)K��!����������:��P.����������������-���������.�//()3������������������������ �'�����(��������������%'��%�'����(�����������������������.�����/()0���������.�����/()*0��������.�����/��()�4&G000��������.�����-*/()$������.�����/����%������������()�����-*����������������()�����$*��������������� ��������.���/':��P'*00�����%()��������� �����'*-���������%80��!���������������������� �������.�����/��������6�������� %'*-������������� :��P'��������.�����/'*00���������������������18���������������!�������� $�'��%���������������������.��%�/()�������������� C �AX���Y ���������������������������������.�����/)0��!���������������������.���/)0�������������!���������.�����/()�������������� C �AX���Y ������������������������������������������� :��P'��������.�����/'*00���������������������� ���������������������������������� $�'��%����������������������� ������������������������������������������������$*�(������������������������.�����/1������.��%�/��!���������.�����/()������.��%�/�������������������.�����/8������.���/��!����%�����##$$$�������������������������*�(������������������������.�����/8������.��%�/��!���������.�����/()������.��%�/�������������������.�����/1������.���/��!����%�����##$$$�������������������������������������������.�����/8KK��������

Page 158: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

��������������������������%'�������������'������*�(�������������������� :��P'��������.0/'*00����������������()0���������.*/()0��������.*/()0���������.*/()*0������������()**��������������� ��������.0/':��P'*00�����%()��������� *'C �AX���Y ��������%80��!���������������������� �������.*/������������������.*/)*��!����������������()%�������6�������� %'&������������ :��P'��������.*/'*00������������� ?C�O�eCY�Y '&��������������*()������.*/����������������.*/1������.&/��!���������.*/()������.&/����������������.*/8������*����!����������������()�������.*/�������������������������.*/8KK������*+����*+����+��� �D���������������������������������-������� ���������������������*+����*+����+��� �A������������-������� ������.*/�-�����������������������������]��������������������������*+�����!��6��������%',�(��������������������%()*����K��������,()*����K�����������:��P.%-*04,/)eCY�Y ��!����������:��!������*+�������+������+��������������������������������������!+�����()��U!��������������������� %$*�420-G' ,$*�420-G' %$*�420-&G' ,$*�420-&G��������������������������������:��P.%-*04,/)C �AX���Y ��!����������:��!������*+�������+������+��������������������������������������!+�����()��L���P������������������ %$*�420-G' ,$*�420-G' %$*�420-&G' ,$*�420-&G�����������������������������������O���*+O����!�: ������(��C�6������������(���������������������*+�������+������()�������+��������:��!������*+�������+����������������������:���!()&50�����!���!�()&50����������+���!+�,��()����������������()*����Q�����������:��!������*+�������+������+����������������������������������������� �420'0�������� �420'&50������������������� 0'�420�������� &50'�420�������������������������������*+�����N�()���������� :��P0':��P'*00�������!�� ������'�N��� �������'I0��������!��6���������������������O���*+L�����*?���P ������(��C�6�����������������������

Page 159: La récursivité pas à pas - Axel Casadesus · 4# 1 78 n ??? . h ˙˘ ˇ 0*0&02050g0m0q0k 03*0***&*2*5*g*m *q*k*3&0&*&&&2&5 &g&m&q&k&3202*2& 22252g2m2q2k2350

�����