La Regressione lineare in presenza di errori su x e su y studiata mediante Excel.

Pietro Romano Liceo Scientifico Statale “Leonardo – Giarre

1

1. Premessa In queste pagine viene discusso un approccio al problema della determinazione della retta di regressione quando sono presenti errori su entrambe le variabili x e y, che fa uso del foglio elettronico Excel..

2. La teoria della regressione lineare con errori sulla x e sulla y. Indichiamo con ( ) niyx ii ,....,1, = , n coppie di valori, risultato di una rilevazione sperimentale. Se le misure non fossero affette da errore e nell’ipotesi che relazione che lega i dati sia di tipo lineare, questi si disporranno su una retta. In realtà, la presenza inevitabile di errori fa sì che i dati sperimentali non si trovino su una stessa retta e il problema della regressione lineare consiste nella ricerca della retta di best fit, ossia di quella retta che meglio si adatta ad essi. Cominciamo con l’indicare con ( )ii YX , gli ipotetici dati “veri” (ossia i valori che si otterrebbero nel caso, ideale, in cui le misure delle due grandezze x e y non fossero affette da errore) e con qmxy += l’equazione della retta di best fit. I punti ( )ii YX , , per definizione, vi appartengono, ossia: iqmXY ii ∀+= , . Supponiamo che le misure

ix ( iy ) siano distribuite normalmente attorno ai valori veri iX ( iY ) con deviazioni standard pari a )( ixσ ( ))( iyσ . La probabilità che si realizzi il risultato sperimentale trovato, nell’ipotesi di indipendenza delle singole determinazioni ( )ii yx , , è pari a:

( ) ( )

( ) ( ) ( )2)(2)(2

2

2

2

2

2

12

1

2)(

1

2)(

1 χσσ

σσππσπσ−

−−

−−

∏∏ =��

�

�

��

�

�⋅= e

yxe

ye

xP

iii

ni

y

Yy

i

x

Xx

i

i

ii

i

ii

(1)

e risulta massima quando è minima l’espressione: ( )

( )( )

( ) ( ) ( )[ ]�� −⋅+−⋅=���

�

���

� −+

−=

iiiiiii

i i

ii

i

ii YyyWXxxWyYy

xXx 22

2

2

2

22 )()(

σσχ (2)

che rappresenta la somma dei quadrati degli scarti sulla x e sulla y (da qui la denominazione di metodo dei minimi quadrati), I vari termini di questa sommatoria

sono “pesati” attraverso le quantità )(

1)( 2i

i xxW σ= o

)(1)( 2

ii y

yW σ= , che per

tale ragione prendono la denominazione di pesi statistici associati alle variabili. La (2) non contiene i parametri m e q della retta di best fit; sono invece presenti le quantità incognite ( )ii YX , . Si procederà ora alla eliminazione di queste incognite a vantaggio dei parametri m e q della retta di best fit. A tale scopo, si fa uso del metodo dei moltiplicatori di Lagrange, applicato alla funzione, ( ) ( ) ( )[ ]� −++−⋅+−⋅=

iiiiiiiiiiii YqmXYyyWXxxWYXf λ22 )()(),( . (2’)

dove è esplicitamente presente il vincolo di appartenenza dei punti ( )ii YX , alla retta qmxy += .

2

Derivando rispetto a iX e iY e uguagliando a zero queste derivate, si ottiene1:

( )

( ) )()(1

0)(2

0)(2

i

i

ii

ii

iiiii

iiiii

yWxW

mXxYy

YyyWYf

mXxxWXf

−=−−

�

�

�

=−−⋅⋅−=∂∂

=+−⋅⋅−=∂∂

λ

λ (3)

Risolvendo il sistema costituito dalla (3) e dalla qmXY ii += , si trovano le espressioni per iX e per iY :

�

�

⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅

=

⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅

=

2

2

2

)()()()()(

)()()()()(

myWxWqxWxxWmyyWm

Y

myWxWqmyWxxWyyWm

X

ii

iiiiii

ii

iiiiii

(4)

che, sostituite nella (2), ci permettono di ottenere una espressione di 2χ in cui non sono più presenti i valori ( )ii YX , ma i parametri m e q della retta di best fit:

( ) ( )�� −−=−−⋅+

⋅=

iiii

iii

ii

ii qmxyWqmxymyWxW

yWxW 222

2

)()()()(χ (5)

avendo posto:

2)()()()(myWxW

yWxWW

ii

iii ⋅+

⋅= . (5’)

L’obiettivo diventa ora la ricerca del minimo (assoluto) della funzione (5) al variare dei parametri m e q. Osserviamo che le derivate:

( )

( ) ( )

�

�

��

���

�−−−−−−=

∂∂

−−−=∂

∂

�

�

iiiiiii

i

i

iiii

qmxyxWqmxyxW

mWm

qmxyWq

2)(

2

2

222

2

χ

χ

(6)

sono, assieme alla (5), funzioni continue rispetto a m e q. Ne segue che tra gli estremi

relativi della (5) c’è certamente il minimo assoluto. Da 02

=∂∂

qχ , segue:

1 Osservazione 1: la condizione espressa in (3) è legata ad un minimo delle funzione vincolata (2’), come si verifica facilmente col metodo delle derivate seconde. Osservazione 2: Il significato della (3) risulta più intuitivo se si considera il caso semplice in cui i pesi statistici sono tutti uguali oppure non sono noti (e vengono posti uguali a 1). La (3) diventa:

mXxYy

ii

ii 1−=−−

(I)

da cui si deduce che la condizione di minimo per la (2’), che in questa situazione particolare rappresenta la somma dei quadrati delle distanze tra i punti ( )ii yx , e ( )ii YX , , si ha quando il punto ( )ii YX , è il

piede della perpendicolare tracciata dal punto ( )ii yx , alla retta di regressione.

3

xy

ii

i iiiii

MmMW

xWmyWq ⋅−=

⋅−=

�

� � (7)

dove si è posto:

��=

i

iix W

xWM e

��=

i

iiy W

yWM (7’)

Abbiamo quindi una espressione di q in funzione del parametro m. Utilizzando questa espressione nella (5), la funzione 2χ assume la forma:

( ) ( )[ ]� −−−=i

xiyii MxmMyW 22χ (8)

che contiene la condizione di minimo rispetto a q ed è funzione solo di m. Questa fun-zione presenta un asintoto orizzontale, risultando: ( )[ ]� ∞−⋅=

∞→i

xiimMxxW 22 )()(lim χ .

Utilizzando la (7) nella seconda delle (6) e ponendo uguale a zero, si trova la forma: 0)( 01

22

33 =+⋅+⋅+⋅= AmAmAmAmF (9)

dove: ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )��

��

−−=��

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�−−

−−=

−−=

−−=

iiyii

iixi

i

yiii

i i

yixii

i i

xii

xMyWAxMxxW

MyWWA

xW

MyMxWA

xWMxW

A

2;)(

2

)(4;

)(2

0

2

1

2

2

22

3

(10)

La funzione )(mF è continua e risulta 0)(lim =∞→

mFm

. Dato che i coefficienti iA

dipendono da m, non è possibile dedurre dalla (9) una espressione analitica per m e le soluzioni di questa equazione possono essere ottenute solamente per via numerica. Queste soluzioni, come già detto, corrisponderanno agli estremi relativi di 2χ e, tra esse, quella associata al minimo assoluto è la soluzione del problema2. Gli errori sui parametri m e q sono conseguenza del fatto che le misure delle grandezze

ix e iy sono affette da errori e si valutano attraverso la formula di propagazione degli errori nelle misure indirette:

( ) ( )

( ) ( )

�

�

��

�

�

��

�

�

�

����

�

∂∂+

�

����

�

∂∂=

��

�

�

��

�

�

�

����

�

∂∂+

�

����

�

∂∂=

�

�

ii

ii

iq

ii

ii

im

yyq

xxq

yym

xxm

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

σσσ

σσσ

(11)

2 Quando si trascurano gli errori sulla x, il problema è di più semplice trattazione e si dimostra che la

funzione ( )� −⋅=i

iii YyyW 22 )(χ ha un solo estremo relativo, che è un minimo. E’ inoltre

possibile determinare le espressioni analitiche di m e di q, senza ricorrere al calcolo numerico.

4

Non essendo possibile dedurre una espressione analitica per m, le derivate parziali presenti in questa espressione dovranno essere determinate anch’esse per via numerica. Più avanti verrà descritto il metodo utilizzato.

3. Il problema delle regressione con errori sulla x e sulla y affrontato con Excel.

Il foglio elettronico Excel dispone di una molteplicità di strumenti di calcolo e di funzioni per la rappresentazione grafica dei dati che hanno permesso di affrontare questa problematica e di risolverla, passando attraverso le varie fasi che qui di seguito vengono descritte: a) Studio grafico delle funzioni 2χ e )(mF e prima stima dei valori di m che

sono estremi per la funzione 2χ . Le funzioni 2χ e )(mF sono espresse rispettivamente dalla (8) e dalle (9)-(10). Queste contengono le quantità iW (rel. (5’)), xM ed yM (rel. (7’)), a loro volta funzioni di m. Per rappresentare graficamente queste due funzioni, è necessario prima effettuarne il calcolo per un adeguato numero di valori di m. A tale scopo, è stata scritta una routine in codice V.B.A. (Visual Basic for Applications), che viene riprodotta in tab. I (Calcola_Funzioni). Tenendo conto del fatto che le due funzioni presentano entrambe un asintoto orizzontale, si fissa a piacere un intervallo di valori di m, [ ]maxmin ,mm , sufficientemente ampio da evidenziare questo comportamento asintotico; la routine suddivide questo intervallo in 5000 parti e calcola i valori di 2χ e di )(mF , inserendo i risultati del calcolo nel foglio di lavoro. Questi dati vengono quindi rappresentati graficamente. L’osservazione del grafico consente, a questo punto, di apportare eventuali modifiche all’intervallo [ ]maxmin ,mm , per poi ripetere la procedura di calcolo.

La routine, inoltre, determina gli estremi della funzione 2χ (e se si tratta di massimi o di minimi), il valore di 2χ ad essi associato, ed i relativi valori di m e di q. L’approssimazione in questa fase è legata al valore di dm, pari a

5000minmax mm −

.

b) Determinazione dei parametri m e q mediante lo strumento di analisi

Risolutore. Lo studio precedente ci permette di individuare una prima approssimazione del valore di m per cui 2χ presenta il minimo assoluto. Per una più precisa determinazione di m, si è fatto uso dello strumento di analisi Risolutore. Per comprendere il funzionamento del risolutore, supponiamo che un certo gruppo di celle di un foglio di lavoro (ad es., le celle A1, A2, A3) determini il risultato che viene calcolato in un’altra cella (ad es., A4). Denoteremo la cella A4 col nome cella obiettivo. Il risolutore consente di impostare in un certo numero di modi la cella obiettivo (ad es., a zero, ad un determinato valore, ad un valore minore di …., etc.) variando entro limiti definibili dall’utente una o più delle celle da cui esso è determinato. Oltre a ciò, è possibile impostare parametri quali la precisione, la tolleranza, etc. (Per informazioni più dettagliate, si rimanda

5

all’help in linea di Excel). In fig. 2, è possibile vedere una zona del foglio di lavoro predisposta per il calcolo delle funzioni )(mF (cella L2:M2) e 2χ (cella O5). La zona B8:G27 è riservata ai dati; la zona H8:H27, al calcolo dei contributi iW (rel. (5’)), la cui somma viene valutata in H5; la zona K8:K27 al calcolo dei contributi 3A (la prima delle (10)); e così via. Le frecce, che puntano sulle celle contenenti i valori calcolati di )(mF e di iW , indicano quali sono le celle direttamente coinvolte nel calcolo delle suddette quantità. Punto di partenza del calcolo è il valore di m, che và inserito nella cella H2. Il risolutore viene utilizzato impostando la cella L2 (cella obiettivo), che contiene il valore di

)(mF , al valore 0, variando il valore di m (cella H2). E’ opportuno inserire in H2 il valore di m individuato nella fase precedente. La ricerca mediante il Risolutore viene resa automatica mediante una routine in codice V.B.A. (tab. II):

c) Determinazione degli errori sui parametri mσ e qσ . Dalle (11) segue che, per valutare questi errori, è necessario conoscere le

variazioni dei parametri m e q al variare di ogni singolo ix e di ogni iy . Per valutare, ad esempio, la variazione di m al variare di 1x , si sostituisce questa

quantità una volta con 21

1xx ∆− ed una volta con 2

11

xx ∆+ . Utilizzando il

risolutore, si determinano i due valori di −m ed +m associati a queste due

situazioni, si calcola la quantità 1x

m∆

∆ , si calcola quindi ( )21

2

1xx

m σ ��

���

∆∆ . La

procedura si ripete per tutti i valori ix e iy . La somma di tutti i contributi così

determinati fornisce 2mσ . Una procedura analoga và seguita per determinare 2

qσ . L’utilizzo del Risolutore per il calcolo degli errori viene reso automatico attraverso la routine V.B.A. Calcola_errori_sui_parametri (tab. III).

4. Discussione di alcuni esempi. Esempio n. 1: Come primo esempio, prendiamo in considerazione i dati in tab. IV. In fig. 3 si riporta l’andamento di )(mF e di 2χ . Questa situazione è la più semplice possibile, in quanto la funzione 2χ presenta un solo estremo relativo, che è un minimo (evidenziato in grafico con un cerchio pieno), a cui è associato lo zero di )(mF . Le due funzioni mostrano poi il loro comportamento asintotico. L’equazione della retta di best fit è: [ ] [ ]018.00139.00358.06494.1 ±−+±= xy (E1) Il risultato è praticamente lo stesso di quello che si ottiene effettuando un best fit pesato con errori solo su y, e ciò deriva dal fatto che gli errori sulla x sono piccoli rispetto a quelli sulla y. In fig. 4, vengono rappresentati i dati con le relative barre di errore, la retta di best fit e le due rette limite. Si è scelto di rappresentare solo una parte dei dati

6

per consentire di apprezzare alcuni dettagli quali le barre di errore su x che, malgrado ciò, risultano solo appena visibili. Esempio n. 2: Prendiamo adesso in esame i dati di tab. V. In fig. 5, le funzioni )(mF e di 2χ vengono rappresentate per m variabile in [ ]5,25− . In questo intervallo, la funzione 2χ presenta quattro estremi relativi (evidenziati in figura con cerchi pieni). Per ±∞→m , si è verificato che le funzioni hanno il comportamento asintotico previsto. La tab. VI riporta la tipologia degli estremi e i valori che la funzione

2χ assume in essi. Da qui, si individua il minimo assoluto per 6802.0=m . L’analisi più approfondita condotta col risolutore fornisce la seguente retta di best fit:

[ ] [ ]3901.01481.10835.06843.0 ±+±= xy (E2) Per confronto, si fornisce l’equazione della retta di best fit che si ottiene effettuando una regressione pesata con errori solo su y, quindi una regressione pesata con errori solo su x, ed infine una media pesata dei parametri che si ottengono dai due passaggi precedenti3 (il calcolo degli errori viene effettuato con le formule di propagazione):

[ ] [ ]0624.06322.10246.05378.0 ±+±= xy (E3) In fig. 6, vengono rappresentati i dati con le relative barre di errore, la retta di best fit e le due rette limite. Esempio n. 3: Lasciando inalterati i dati ),( ii yx di tab. IV, modifichiamo le incertezze

assumendo ora iyx ii ∀=∆=∆ 2 . La fig. 7 mostra come l’andamento delle funzioni

)(mF e di 2χ sia molto diverso rispetto alla situazione precedente. In particolare, la

funzione 2χ mostra ora solo due estremi relativi, contro i quattro estremi che presentava prima. Il calcolo mediante il risolutore della retta di best fit e degli errori sui parametri fornisce (fig. 8):

[ ] [ ]6609.08445.12051.07565.0 ±+±= xy (E4) Come per l’esempio precedente, si fornisce, per confronto, l’equazione della retta di best fit che si ottiene effettuando una regressione pesata con errori solo su y, quindi una regressione pesata con errori solo su x, ed infine una media pesata dei parametri che si ottengono dai due passaggi precedenti:

[ ] [ ]1383.0899.11052.07875.0 ±+±= xy (E5)

3 il metodo ha però il difetto concettuale che non considera che i parametri della retta sono determinati dalla presenza contemporanea degli errori sulla x e sulla y.

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Bibliografia

[1]. G.L. Righetti, Determinazione della retta di regressione nel caso di incertezze su entrambe le variabili, La fisica nella scuola, n. 4, ott.-dic. 1998.

[2]. J.R. Taylor, Introduzione all’analisi degli errori, Zanichelli, Bologna, 1982. [3]. B.C. Reed, Linear least squares fits with errors in both coordinates, Am. J. Phys. 57, 642-

646 (1989). [4]. B.C. Reed, Linear least squares fits with errors in both coordinates II, Am. J. Phys. 60, 59-

62 (1992). [5]. Cambrige University Press, Numerical recipes in C: the art of scientific computing 1988-

1992.

8

Fig.1: Determinazione della posizione sulla retta di best fit del punto “vero” ),( YX rispetto al punto sperimentale ),( yx , nel caso in cui i pesi statistici sono tutti uguali oppure non sono noti.

x ∆∆∆∆x y ∆∆∆∆y 0,102 0,001 0,16 0,03

0,1531 0,001 0,24 0,03

0,204 0,001 0,32 0,03

0,2555 0,001 0,41 0,03

0,301 0,001 0,49 0,03

0,3593 0,001 0,57 0,03

0,406 0,001 0,65 0,03

0,4522 0,001 0,73 0,03

0,501 0,001 0,81 0,03

0,5509 0,001 0,89 0,03

0,6011 0,001 0,98 0,03

0,6549 0,001 1,06 0,03

0,7065 0,001 1,15 0,03

0,7522 0,001 1,24 0,03

0,8087 0,001 1,32 0,03

Tab. IV: dati relativi all’esempio 1.

9

Sub Calcola_Funzioni() Range("D8:E5008").ClearContents n_punti = Sheets(1).Range("A1") m_min = Range("C3") m_max = Range("C4") dm = (Range("C4")-Range("C3“))/5000 For i = 1 To n_punti X(i) = Sheets(1).Cells(i + 2, 2) Y(i) = Sheets(1).Cells(i + 2, 5) WX(i) = Sheets(1).Cells(i + 2, 4) WY(i) = Sheets(1).Cells(i + 2, 7) Next i scrivi_alla_riga = 7 For M = m_min To m_max Step dm scrivi_alla_riga = scrivi_alla_riga + 1 WI_tot = 0 M_x = 0 M_y = 0 For i = 1 To n_punti WI = WX(i) * WY(i) / (M ^ 2 * WY(i) + WX(i)) WI_tot = WI_tot + WI M_x = M_x + WI * X(i) M_y = M_y + WI * Y(i) Next i M_x = M_x / WI_tot M_y = M_y / WI_tot Q = M_y - M_x * M A_3 = 0: A_2 = 0: A_1 = 0: A_0 = 0 chi_quadro = 0 For i = 1 To n_punti WI = WX(i) * WY(i) / (M ^ 2 * WY(i) + WX(i)) A_3 = A_3 - 2 * WI ^ 2 * (X(i) - M_x) ^ 2 / WX(i) A_2 = A_2 + 4 * WI ^ 2 * (X(i) - M_x) * (Y(i) - M_y) / WX(i) A_1 = A_1 - 2 * WI * (WI * (Y(i) - M_y) ^ 2 / WX(i) - (X(i) - M_x) * X(i)) A_0 = A_0 - 2 * WI * (Y(i) - M_y) * X(i) chi_quadro = chi_quadro + WI * (Y(i) - M * X(i) - Q) ^ 2 Next i F = A_3 * M ^ 3 + A_2 * M ^ 2 + A_1 * M + A_0 Cells(scrivi_alla_riga, 4) = F Cells(scrivi_alla_riga, 5) = chi_quadro Next M Range("H8:K14").ClearContents scrivi_alla_riga = 7 conta_estremi = 0 For k = 8 To 5005 If Cells(k, 6) * Cells(k + 1, 6) < 0 Then If Cells(k, 6) < 0 Then conta_estremi = conta_estremi + 1 Cells(scrivi_alla_riga + conta_estremi, 8) = "minimo" Else conta_estremi = conta_estremi + 1 Cells(scrivi_alla_riga + conta_estremi, 8) = "massimo" End If Cells(scrivi_alla_riga + conta_estremi, 9) = (Cells(k, 5) + Cells(k + 1, 5)) / 2 Cells(scrivi_alla_riga + conta_estremi, 10) = (Cells(k, 3) + Cells(k + 1, 3)) / 2 Cells(scrivi_alla_riga + conta_estremi, 11) = M_y - M_x * (Cells(k, 3) + Cells(k + 1, 3)) / 2 End If Next k End Sub

Tab.I: Routine in codice V.B.A. per il calcolo dei valori delle funzioni 2χ ed )(mF .

10

Sub avvio_automatico_risolutore() * Lettura dati Sheets("Inserimento dati").Range("B3:G102").Copy Sheets("Regressione con errori su x e y").Range("B8").PasteSpecial Paste:=xlValues, Operation:=xlNone, SkipBlanks:=False, Transpose:=False * Opzioni di calcolo del risolutore SolverOptions MaxTime:=100, Iterations:=100, Precision:=0.0000000001, _ AssumeLinear:=False, StepThru:=False, Estimates:=1, Derivatives:=1, _ SearchOption:=1, IntTolerance:=5, Scaling:=False, Convergence:=0.0001, _ AssumeNonNeg:=False * Impostazione ed esecuzione del risolutore SolverOk SetCell:="L$2", MaxMinVal:=3, ValueOf:="0.00", ByChange:="$H$2" * Chiusura risolutore SolverSolve userfinish:=True End Sub Tab. II: Routine V.B.A. per l’avvio automatico del risolutore.

Sub Calcola_errori_sui_parametri() SolverOptions MaxTime:=100, Iterations:=100, Precision:=0.0000001, _ AssumeLinear:=False, StepThru:=False, Estimates:=1, Derivatives:=1, _ SearchOption:=1, IntTolerance:=5, Scaling:=False, Convergence:=0.0001, _ AssumeNonNeg:=False Range("AG8:AR107").ClearContents risolvi n_punti = Sheets(1).Range("A1") dd = 0.01 scrivi_alla_riga = 7 For i = 1 To n_punti WX(i) = Sheets(1).Cells(i + 2, 4) WY(i) = Sheets(1).Cells(i + 2, 7) Next i For k = 1 To 4 * n_punti For i = 1 To n_punti X(i) = Sheets(1).Cells(i + 2, 2) Y(i) = Sheets(1).Cells(i + 2, 5) Next i If k <= n_punti Then X(k) = X(k) - dd / Sqr(WX(k)) / X(k) ElseIf k > n_punti And k <= 2 * n_punti Then X(k - n_punti) = X(k - n_punti) + dd / Sqr(WX(k - n_punti)) / X(k - n_punti) ElseIf k > 2 * n_punti And k <= 3 * n_punti Then Y(k - 2 * n_punti) = Y(k - 2 * n_punti) - dd / Sqr(WY(k - 2 * n_punti)) / X(k - 2 * n_punti) Else Y(k - 3 * n_punti) = Y(k - 3 * n_punti) + dd / Sqr(WY(k - 3 * n_punti)) / X(k - 3 * n_punti) End If For i = 1 To n_punti Cells(7 + i, 18) = X(i) Cells(7 + i, 21) = Y(i) Next i SolverOk SetCell:="L$2", MaxMinVal:=3, ValueOf:="0", ByChange:="$H$2" SolverSolve userfinish:=True If k <= n_punti Then Cells(scrivi_alla_riga + k, 33) = X(k) Cells(scrivi_alla_riga + k, 34) = Range("H2") Cells(scrivi_alla_riga + k, 35) = Range("J2") ElseIf k > n_punti And k <= 2 * n_punti Then Cells(scrivi_alla_riga + k - n_punti, 36) = X(k - n_punti) Cells(scrivi_alla_riga + k - n_punti, 37) = Range("H2") Cells(scrivi_alla_riga + k - n_punti, 38) = Range("J2") ElseIf k > 2 * n_punti And k <= 3 * n_punti Then Cells(scrivi_alla_riga + k - 2 * n_punti, 39) = Y(k - 2 * n_punti) Cells(scrivi_alla_riga + k - 2 * n_punti, 40) = Range("H2") Cells(scrivi_alla_riga + k - 2 * n_punti, 41) = Range("J2") Else Cells(scrivi_alla_riga + k - 3 * n_punti, 42) = Y(k - 3 * n_punti) Cells(scrivi_alla_riga + k - 3 * n_punti, 43) = Range("H2") Cells(scrivi_alla_riga + k - 3 * n_punti, 44) = Range("J2") End If Next k End Sub

Tab. III: Routine V.B.A. per il calcolo degli errori sui parametri m e q.

11

Fig. 2: Calcolo mediante il Risolutore.

12

Fig. 3: rappresentazione grafica delle funzioni )(mF e 2χ per i dati di tab. IV.

χχχχ 2(m)

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

F(m)

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

13

Fig. 4: retta di best fit per i dati dell’esempio 1 (tab. IV).

x ∆∆∆∆x Y ∆∆∆∆y 0,51 1,125582 0,92 0,401283

2,068955 1,49165 3,24 2,637142

-0,83328 2,283086 1,247754 1,003666

-4,23 0,819377 1,05 2,633238

4,71 1,738091 6,17 1,664098

3,020192 0,423216 3,986632 2,740841

3,416251 2,033466 4,82283 2,433614

4,21 0,301044 3,97 0,156688

-3,83293 2,190338 -1,3 0,47159

-1,12162 1,943543 2,67 0,123607

-2,66 2,171876 0,977742 2,580489

0,586225 0,627135 4,519735 2,616487

-0,56709 0,725766 0,42952 2,156696

-7,04 0,378071 -3,71 1,544296

-2,18 2,670528 -1,75 2,164039

-1,8 1,884615 0,6 1,658093

-0,38 2,439429 3,08 0,769926

1,469306 0,263657 0,483576 2,072863

2,35 1,010662 1,75 0,217326

-5,14 2,34547 -1,9 1,990818

Tab. V: dati relativi all’esempio 2.

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

0,5 0,55 0,6 0,65

x

y

Dati sperimentali Regressione pesata

14

Fig. 5: Le funzioni )(mF e 2χ per i dati di tab. V e per [ ]5,25−∈m .

F(m)

-700

-500

-300

-100

100

-25 -20 -15 -10 -5 0 5

χχχχ 2(m)

0

100

200

300

400

500

600

700

-25 -20 -15 -10 -5 0 5

15

Tipo di estremo χχχχ2 m q

massimo 680,5550727 -20,8686 59,19684393

minimo 244,5303636 -0,495 4,348841133

massimo 258,1181048 -0,1674 3,466905406

minimo 11,75619156 0,6802 1,185071702

Equazione dell’asintoto orizzontale: 78.660=y

Tab. VI: Caratteristiche di 2χ (dati di tab. V).

Fig. 6: retta di best fit per i dati dell’esempio 2 (tab. V).

-8

-4

0

4

8

-8 -4 0 4 8x

y

Dati sperimentali

Regressione pesata

16

Fig. 7: Le funzioni )(mF e 2χ per i dati di tab. V con le incertezze modificate e per [ ]10,10−∈m .

F(m)

-70

-50

-30

-10

10

30

-10 -5 0 5 10

χχχχ 2(m)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-10 -5 0 5 10

17

Fig. 8: retta di best fit per i dati dell’esempio 3.

-8

-4

0

4

8

-8 -4 0 4 8x

y

Dati sperimentali

Regressione pesata