La Sezione Aurea Alcune applicazioni.

Dalla teoria finanziaria di Elliott alla musica di Bela Bartok

“…Il momento intuit ivo può essere uti l izzato e tuttavia ignorato

dall ’ indagatore matematico- f is ico, per insuff ic ienza di conoscenza

cognit iva: questa insuff i c ienza gradualmente smorza in lui la

possibi li tà intuitiva: egl i non riconosce la propria att ività nel

contenuto conseguito: crede che questo appartenga al costrutto

dialett i co o matematico mediante cui s i esprime. In tal modo la

Scienza procede bensì secondo svi luppo razionale matematico, ma in

forza di un automatismo che si sosti tuisce al pensiero originario: lo

svi luppo perde i l rapporto con i l Soggetto umano e diviene processo

tecnologico che prende i l sopravvento sulla Scienza…”.

Massimo Scaligero

Indice

1 LA SEZIONE AUREA .................................................................................... 4

1.1 BREVE STORIOGRAFIA: DALLE PRIME DEFINIZIONI AGLI UTILIZZI.......................................................................................................................... 4 1.2 UN’IDEA CHE SI PERPETUA FRA MISURA E MAGIA, DALLA MUSICA ALLA FINANZA........................................................................................... 8

2 LA SERIE DI FIBONACCI ....................................................................... 12

2.1 INTRODUZIONE ............................................................................................. 12 2.2 SERIE E SUA FUNZIONE .............................................................................. 14 2.3 PROPRIETÀ ELEMENTARI .......................................................................... 15

2.3.1 Somme ...................................................................................................... 15 2.3.2 Proprietà dei divisori ........................................................................ 15 2.3.3 Massimo comun divisore e primi relativi ................................. 16 2.3.4 La serie di Lucas ................................................................................. 17 2.3.5 Approccio induttivo alla formulazione esplicita ................... 17

2.4 LA MEDIA ....................................................................................................... 19 2.4.1 La “Successione Aurea”.................................................................. 21 2.4.2 La formula di de Moivre .................................................................. 22 2.4.3 Metodi geometrici per calcolare ϕ ............................................. 25

3 “DE LA CROISSANCE HARMONIEUSE”.................................... 31

3.1 ESTETICA DELLE PROPORZIONI NELL’OSSERVAZIONE DELLA NATURA........................................................................................................................ 31 3.2 LA CRESCITA ANALOGICA........................................................................ 34

3.2.1 La conchiglia e lo gnomone ........................................................... 37

4 LA FINANZA ..................................................................................................... 39

4.1 L’ANALISI TECNICA; ELLIOTT E GANN............................................... 39 4.1.1 Analisi Tecnica con Fibonacci...................................................... 40

4.2 ESEMPI DI APPLICAZIONI NELLA PREDIZIONE ................................. 43 4.2.1 I Ritracciamenti ................................................................................... 45 4.2.2 I Canali Paralleli ................................................................................ 46 4.2.3 La Pitchfork di Andrews .................................................................. 48

5 LA MUSICA......................................................................................................... 51

5.1 LA MEDIA AUREA NELLA MUSICA ...................................................... 51 5.1.1 Nelle Scale.............................................................................................. 52 5.1.2 Nel Ritmo ................................................................................................ 52 5.1.3 Nell’Arrangiamento ........................................................................... 53

5.2 ARMONIA ED EURITMIA: I NUMERI SUONANO ................................. 55

2

5.3 LE COMPOSIZIONI AUREE DI BELA BARTOK.................................... 60 5.3.1 L’assolo di bassoon della Dance Suite...................................... 63 5.3.2 Music for Strings, Percussion, and Celesta, mvt. 1 ............. 66 BIBLIOGRAFIA.................................................................................................. 71

3

1 La Sezione Aurea

1.1 Breve storiografia: dalle prime definizioni agli utilizzi

Nell’antico Egitto i sacerdoti del dio Ra, o dio del Sole, codificarono

all’interno della struttura della piramide di Cheope, e in particolare nel

disegno della tomba del faraone, alcuni numeri “cosmici” come il

rapporto ϕ uguale a 2

51+ , e il numero irrazionale π , che venivano

messi in semplice relazione nella geometria della tomba: 2

56 ϕπ = .

Questa eguaglianza descrive π con un’accuratezza di . %1052,1 3−⋅

Dunque, sembrerebbe che già gli Egizi conoscessero bene entrambi i

numeri1. Le definizioni di ϕ possono essere molteplici, e alcune

verranno date in vario modo in questa trattazione, utilizzando di volta in

volta le nozioni di limite, somma, rapporto, canone.

1 Accenniamo qui a un metodo per cercare una correlazione più profonda fra ϕ e π . Invochiamo la Serie di Fibonacci e prendiamo in considerazione la sua forma di serie di reciproci, la cosiddetta Serie di Carl. Manipolando la somma di questa nuova serie (un numero finito, contrariamente alla somma della serie originale nella quale non esiste alcun numero finito), giungiamo ai limiti superiori e inferiori. L’intervallo fra questi due limiti può essere ridotto al minimo con una qualsivoglia accuratezza. Quindi, usando il calcolo per le serie infinite, saremo in grado di migliorare le equazioni egiziane. Infine, impiegando il numero ϕ , nascosto sia nelle piramidi che nella serie di Fibonacci, e insieme a nozioni più recenti come la trasformazione affine, il triangolo di Serpinski e l’insieme di Mandelbrot (tutti strumenti utilissimi nella quantificazione del Caos), possiamo generare uno spazio frattale che in ultima analisi richiama proprio la forma piramidale.

4

Sarebbe impossibile tracciare qui la lunga storia della scoperta, anzi delle

scoperte di ϕ . Diciamo ‘scoperte’ perché dagli Egizi in poi, quasi ogni

civiltà, cimentandosi con la geometria e con la scienza delle proporzioni,

si è trovata di fronte alla necessità di codificare quella che oggi

chiamiamo Sezione Aurea (Golden Ratio, o Golden Mean)2.

Il filo storico che appare più interessante è quello legato allo studio del

Pentagono, e delle proprietà del numero 5. È proprio il numero 5, che

per i Pitagorici simbolizza la Salute quando rappresentato in forma di

Pentagramma (la stella a cinque punte) che sembra constituire il miglior

punto di partenza per lo studio di ϕ .

Lo scrittore greco del secondo secolo, il retorico Luciano, così scrive:

“Le missive che i Pitagorici indirizzavano ai compagni della Scuola

iniziavano sempre con ‘Salute a te’ , come incipit adatto sia al corpo che

all’anima, comprendendo così tutte le virtù umane. In effetti il

Pentagramma, il triplo triangolo incrociato che usavano come simbolo

della setta, era da loro denominato Salute”.

Fig.1 Il Pentagono e il Pentagramma in esso inscritto

Il Pentagramma è ovviamente strettamente legato al pentagono regolare;

collegando infatti i vertici del pentagono attraverso le sue diagonali, si

ottiene il Pentagramma. Le diagonali formano a loro volta un pentagono

2 Per un approfondimento sulla storia dei diversi approcci al mistero di ϕ rimandiamo a M. Livio, “The Golden Ratio”, Broadway Books 2002.

5

più piccolo al centro, le cui diagonali formano di nuovo un pentagramma

e un pentagono più piccoli.

L’impressionante proprietà di tutte queste figure nidificate è che se si

guardano i segmenti in ordine di lunghezza decrescente si può provare

molto semplicemente che ogni segmento è più piccolo del precedente di

un fattore costante, ϕ . Da cui fra l’altro si deriva facilmente che la

diagonale e il lato del pentagono sono incommensurabili, cioè il rapporto

reciproco delle loro lunghezze (ϕ ) è un numero irrazionale3.

Alcuni ricercatori attribuiscono la scoperta dell’incommensurabilità e

della Sezione Aurea proprio ai Pitagorici, nella metà del quinto secolo

a.C., e in particolare a Ippasio di Metaponto. Infatti secondo Iamblico,

fondatore della scuola siriana di Neoplatonismo, i Pitagorici eressero un

sepolcro a Ippasio proprio per celebrare la sua fondamentale scoperta;

anzi Iamblico afferma che a Ippasio si deve lo “studio della sfera

nascente dai dodici pentagoni”, cioè il dodecaedro, il più celebre solido

platonico, legato anch’esso strettamente alla magia della Sezione Aurea. 3 Proviamo qui che la diagonale e il lato di un pentagono sono fra loro incommensurabili, dimostrando l’assunto per assurdo.

Dalle proprietà del triangolo isoscele discende che AB=AH, e HC=HJ. Se l1 e d1 sono il lato e la diagonale del pentagono principale ABCDE, e l2 e d2 il lato e la diagonale del pentagono minore FGHIL si ottiene che AC=AH+HC=AB+HJ, da cui d1=l1+d2, o anche d1-l1=d2. Se d1 e l1 hanno una misura in comune, allora entrambi sono interi multipli di tale misura. Ne segue che tale misura è anche comune a d1-l1 e quindi a d2. Allo stesso modo per l’eguaglianza dei lati si ha l1=d2+l2, o anche l1-d2=l2. Se per ipotesi la misura comune a l1 e d1 è comune anche a d2, l’ultima eguaglianza mostra che essa è anche comune a s2. Per cui si può proseguire all’infinito con pentagoni sempre più piccoli. Si otterrebbe così che la stessa unità è misura comune per lato e diagonale del

6

Spostandosi poi nell’area del simbolismo, scopriamo pentagoni e

pentagrammi praticamente a ogni passo della civilizzazione umana, e

altrettanti sono stati nel tempo gli entusiasti estimatori del mistero della

Sezione Aurea: dagli scavi archeologici della antica città sumera di Uruk

in Mesopotamia, le cui rovine risalgono al quarto millennio a.C., alle steli

cuneiformi dei Babilonesi del secondo millennio a.C., all’antico Egitto

con le sue piramidi, agli astronomi arabi del nono secolo, e così via fino

ai sonetti di John Milton, poeta inglese del XVII secolo.

Di volta in volta i segni hanno destato ammirazioni profonde negli

studiosi, con coinvolgimenti che variano dal religioso all’occulto; nel

prossimo paragrafo discuteremo tali entusiasmanti approcci.

primo pentagono e per tutti gli altri, a prescindere dalla piccolezza. Poiché questo è evidentemente impossibile, l’ipotesi è falsa, e quindi l1 e d1 sono incommensurabili.

7

1.2 Un’idea che si perpetua fra Misura e Magia, dalla musica alla finanza.

La storia di ϕ nasce con l’uomo, allorché questo si pone con genuina

curiosità allo studio delle forme che lo circondano. E senz’altro il primo

approccio non può che essere geometrico, attraverso il linguaggio diretto

delle proporzioni: infatti agli Egizi non servirono nozioni sui numeri

irrazionali per intuire che delle quantità non misurabili come ϕ e π

potessero essere alla base di un utilizzo più proficuo delle leggi della

statica costruttiva.

È altresì noto che l’idea di un “numero magico”, di una numerologia

nascosta e potente, ha percorso i millenni ed ha accompagnato in vario

modo praticamente chiunque abbia affrontato il calcolo numerico: i

desiderata del ricercatore si polarizzano di volta in volta attorno ad un

“Sacro Graal”, o alla Pietra Filosofale, o alla Stele Babilonese, e via

dicendo. Ogni disciplina della ricerca umana ha il suo amuleto, la sua

teoria magica; è quasi una componente necessaria delle scienze

deterministiche, come a voler dimostrare per assurdo l’inutilità di assiomi

assoluti e fideistici nel processo razionale ipotesi-tesi.

E se da un lato è certamente vero che l’evoluzione iperveloce della

tecnica ha disgregato e messo da parte una dopo l’altra molte delle

domande senza risposta, i “misteri della scienza”, è altresì vero che

alcune suggestioni permangono ancora solide e affascinanti, e

probabilmente lo resteranno per sempre, catalizzando come da

tradizione sia la riverente curiosità degli “aficionados” che il cinismo

pragmatico dei denigratori.

8

La Sezione Aurea incarna probabilmente il meglio di entrambi i mondi;

durante i secoli sono stati ripresentati ogni volta con la stessa forza e

determinazione gli “incredibili poteri” della magica Media, e a ogni

successiva fase dell’evoluzione tecnica si è preteso di riprendere in

considerazione le analisi già fatte, sperando di poter aggiungere qualcosa

di nuovo. E libri e articoli si susseguono periodicamente descrivendo le

coincidenze, le strane convergenze, gli utilizzi esoterici dei simboli e dei

numeri legati alla Pentade.

Così come periodicamente si susseguono autori ed artisti che di

proposito inseriscono nei loro lavori (musicali, pittorici, architettonici)

misure e proporzioni derivanti in qualche modo da ϕ .

E ancora si raggiunge un ulteriore livello di complessità quando autori

come Mario Livio (op.cit.) spendono tempo e risorse per descrivere

l’affascinante storia della Sezione Aurea, per poi concludere che molto

probabilmente parliamo solo di suggestioni e di forzature alle tolleranze

di calcolo quando pretendiamo di ritrovare ϕ nelle piante delle piramidi,

nella geodesia, nell’architettura sacra dei greci e via dicendo.

In questa trattazione vogliamo dire la nostra, esprimendo la possibilità

che ϕ sia semplicemente l’espressione numerica di una “giustezza

naturale”, una misura “analogicamente umana”, quindi non descrivibile

con il rigore del calcolo moderno, ma solo osservabile e ripetibile. Altri

troveranno, come più volte è successo in passato, l’orma divina in questa

misteriosa misura, la prova che il Caos è ordinato, e che le vere monadi

del Creato ancora sfuggono al nostro disperato determinismo, svelandoci

soltanto gli effetti della bellezza del mondo, e lasciandoci solo intuire (o

idolatrare) le cause.

9

Le applicazioni scelte per valutare questa “giusta misura” sono infatti le

due estreme tipologie di approccio, chiamiamole attiva e passiva, al

mistero di ϕ .

Bela Bartok, compositore ungherese dei primi del ‘900, inserì di sua

spontanea volontà degli elementi numerici nelle sue composizioni, con

misure e proporzioni derivanti da ϕ e dalla Serie di Fibonacci, con la

motivazione che, essendo ϕ alla base delle strutture naturali, intendeva

esprimere la stessa forza bruta e primitiva attraverso l’utilizzo di tali

grandezze nella musica.

Ralph Nelson Elliott teorizzò negli anni ’30 che il mercato finanziario

seguisse tutto sommato le stesse regole non scritte che seguono gli esseri

viventi, dato che in fondo la collettività degli investitori è a tutti gli effetti

un essere vivente; pertanto l’armonia e la ciclicità che aveva osservato in

molti fenomeni naturali, dalla botanica alla fluidodinamica, doveva

necessariamente entrare in qualche modo anche nell’analisi finanziaria.

Bartok vuole riprodurre la natura attraverso l’introduzione forzata di una

ratio, Elliott pretende di poter riconoscere l’impronta della ratio dove

apparentemente è solo Caos.

Questi due approcci esamineremo in profondità nei capitoli 4 e 5, ma la

conclusione può essere pacificamente anticipata qui: se è vero che la

“giusta misura” di ϕ e le disposizioni pentagonali che ne derivano sono

riscontrabili così spesso in natura (forme a spirale logaritmica,

fluidodinamica, struttura molecolare delle materie organiche), e se è vero

che le azioni umane spontanee (la sezione di una barra in due parti non

uguali, la costruzione di un colonnato senza rudimenti di meccanica e di

statica, la compravendita di un titolo finanziario) tendono

incredibilmente ad aggregarsi intorno a valori derivanti dalla Pentade e da

ϕ , allora siamo senz’altro in presenza di una Ratio che esprime

10

spontaneamente il segno della vita, una Ratio che necessariamente è

incommensurabile e irrazionale in qualsivoglia sistema di calcolo,

essendo essa proprio il segno della non calcolabilità,

dell’approssimazione che genera quel “quid” che distingue un atto

spontaneo e naturale da un atto calcolato e riprodotto.

11

2 La serie di Fibonacci

2.1 Introduzione

Nel 1202 apparve ad opera di Leonardo Pisano detto il Fibonacci il

Liber Abbaci, un abbaco per “far di conto”, un capolavoro della

letteratura matematica che ebbe molta influenza nello sviluppo delle

scienze matematiche nell’Europa di quel periodo.

La prima edizione di quest’opera è andata persa, ma nel 1228 Fibonacci

ne elaborò una seconda, su richiesta del suo maestro, lo scozzese Michael

Scottas, astrologo di corte dell’imperatore Francesco II. Questa seconda

edizione è stata conservata e venne ristampata nel 1857 a Roma dalla

Tipografia delle Scienze Matematiche e Fisiche, in una serie di classici

scientifici a cura di Baldassarre Boncompagni.

Il libro è scritto in latino medievale, di difficile interpretazione anche per

dei validi latinisti. In una introduzione dettagliata l’autore raccomanda

caldamente, tra le altre cose, l’uso delle cifre arabe, che erano già state

introdotte dal monaco Gerberto, più tardi noto come papa Silvestro II

(999-1003), per le opere scientifiche nei conventi, al di fuori dei quali

erano però sconosciute. La particolarità del libro sta nel fatto che per

risolvere molti problemi della vita quotidiana si ricorre allo strumento

dell’algebra, che è di origine araba. Fra gli altri viene proposto il

problema dei conigli: se una coppia di conigli mette al mondo ogni mese

una coppia di piccoli, che dopo due mesi producono a loro volta una

nuova coppia di conigli, quante coppie di conigli avremo dopo un anno,

se tutti rimangono in vita? La risposta è la seguente:

12

Gennaio 1 Febbraio 2 Marzo 3 Aprile 5

Maggio 8 Giugno 13 Luglio 21 Agosto 34

Settembre 55 Ottobre 89 Novembre 144 Dicembre 233

Ci accingiamo a descrivere tale serie in modo rigoroso, osservando

subito - e sarà più chiaro nel resto della trattazione - come si incontrino

frequentemente nello studio quantitativo di un ente così semplice gli

elementi “meno lineari” dell’investigazione algebrica, come i concetti di

congruenza, modulo, proporzione, periodo e numeri irrazionali.

13

2.2 Serie e sua funzione

Definiamo la Serie di Fibonacci come

,...,, 321 FFF dove

1,1 21 == FF e

(2.1)11 −+ += nnn FFF

La Serie può quindi essere esplicitata nella forma 1,1,2,3,5,8,13,21,34…, e

si può subito definire qualche formula e identificare alcune delle

proprietà più interessanti.

14

2.3 Proprietà elementari

2.3.1 Somme

Sommando i primi n numeri di Fibonacci è immediato notare che

∑=

+ −=n

knk FF

12 1

con le notevoli somme, con k dispari

∑ =disparik

nk FF 2

e con k pari

∑ −= +parik

nk FF 112

Anche le fattorizzazioni mostrano somme molto compatte:

11

2+

=

=∑ nn

n

kk FFF

2.3.2 Proprietà dei divisori

Fra le proprietà affascinanti dei numeri di Fibonacci, troviamo la

regolarità dei loro divisori. Esaminiamo i resti che danno i numeri di

Fibonacci una volta divisi per una stessa quantità.

Ad esempio, per il divisore 13, i resti sono:

1,1,2,3,5,8,0,8,8,3,11,1,12,0,12,12,11,10,8,5,0,5,5,10,2,12,1,0,1,1,2,3,5,8,0,

…..

da cui notiamo che la sequenza si ripete con periodo 28. Ci chiediamo se

esistano proprietà persistenti di tale periodicità.

15

Utilizzeremo il concetto di congruenza, ricordando che a e b sono

congruenti modulo m quando divisi per m danno il medesimo resto r con

Supponendo quindi di avere due numeri c e d con .0 mr <≤

2211 ; rmqdrmqc +=+=

sommiamo

2121 )( rrmqqdc +++=+

da cui possiamo estrarre i resti per la somma c+d senza usare c e d. In

questo modo si lavorerà per i divisori dei termini della serie di Fibonacci.

Per fissare le idee consideriamo il divisore 87: i resti che otterremo

dividendo per 87 saranno 0,1,2,…86. Prendendo due di questi resti e

rendendoli i termini originanti di una serie di Fibonacci, modulo 87,

evidentemente si arriva a una successione finita. In altre parole, due resti in

un dato ordine determinano una successione di resti.

Avendo a disposizione 87 resti potremo ottenere un massimo di

coppie in successione (eventualmente eliminando la coppia 0,0 che

produce un’infinita successione di zeri), dunque 7568 coppie al massimo.

287

Continuando ora a scrivere i resti della successione, giungeremo prima o

poi a una coppia che abbiamo precedentemente già incontrato,

introducendo la periodicità cercata. Questo vale per l’esempio del

divisore 87 e per qualsiasi altro divisore, dunque per ogni modulo la

successione dei resti della serie di Fibonacci è periodica.

2.3.3 Massimo comun divisore e primi relativi

Due numeri a e b sono primi relativi fra loro quando il loro m.c.d. non è

maggiore di 1. Sommando ora due numeri che hanno un m.c.d. diverso

da 1, sia esso g, si ottiene un valore ancora divisibile per g.

)''(;';';),( bagbagbbgaagba +=+===

16

Nella serie di Fibonacci si nota che termini successivi non hanno divisori

comuni, in altre parole due termini consecutivi della serie di Fibonacci sono primi

fra loro.

2.3.4 La serie di Lucas

Notiamo che la serie di Fibonacci può essere sviluppata a partire da due

qualunque interi a e b, sommando i termini successivi secondo la (2.1).

Introduciamo quindi una sequenza molto legata a quella di Fibonacci, la

serie di Lucas così definita: kL

3,1 21 == LL .

Vediamo le due serie a confronto:

k kF kL

1 1 12 1 33 2 44 3 75 5 116 8 187 13 298 21 479 34 76

da cui

11 +− += nnn FFL

2.3.5 Approccio induttivo alla formulazione esplicita

Dopo aver definito ricorsivamente le serie di Fibonacci e Lucas,

esplicitiamo una formula unica per trovare e in funzione di n. nF nL

Partiamo dalle radici r e s dell’equazione

17

)2.2(012 =−− xx

251+

=r ; 2

51−=s

dove

1=+ sr ; 5=− sr .

La quantità r-s apparirà come denominatore nell’espressione cercata.

Intanto annotiamo i valori di r e del suo notevole reciproco:

..618033989.01/1;...618033989.1 =−== rrr

In termini di F:

11 =−−

=srsrF ; 1

22

2 =+=−−

= srsrsrF

Procedendo per induzione, assumiamo che fino a un dato n sia

srsrF

nn

n −−

= .

Le radici r e s della (2.2) soddisfano e , da cui

moltiplicando per una qualsiasi potenza di r o s, sia essa ad esempio n-1:

12 += rr 12 += ss

11 −+ += nnn rrr e . 11 −+ += nnn sss

Dato che per ipotesi è

srsrF

nn

n −−

=−−

−

11

1 e srsrF

nn

n −−

=

da cui per addizione, e per le proprietà indicate di r e s, si verifica per

induzione che

)3.2(11

1 srsrF

nn

n −−

=++

+

Si dimostra in modo analogo che nn

n srL += .

18

2.4 La Media

La proposizione 11 del libro II degli Elementi di Euclide recita così:

"Come dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati

l'intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per

lato la parte maggiore", ovvero come trovare la Sezione Aurea di un

segmento, cioè la parte media proporzionale tra l' intero segmento e la

parte rimanente. Utilizzando questo semplice problema geometrico,

cerchiamo un punto C su un segmento AB tale che , ossia

2ACCBAB =⋅

.// BCACACAB =

Sia , dunque Poiché

si ottiene la relazione

rACAB =/ .//;/ 2rABrACBCrABAC ===

2// rABrABBCACAB +=+=

22 /1/11;1 rrrr +=+=

che riscritta come equazione quadratica risolve in 012 =−− rr

...61803.12

51=

±=r ritrovando il valore della Golden Ratio r, ϕ o phi.

Leghiamo ora r alle serie di Fibonacci e di Lucas con

nnn

nn

n srLsrF +=−

= ;5

e con la ricerca del limite di . Si ha: nF

)()(limlim1

11 −∞→

−∞→ −

−= − n

nn

nn

n

n srsr

FF

n

da cui dividendo numeratore e denominatore per a destra si orriene 1−nr

19

1

1)1(/)(lim 1 −

−

∞→

−−− n

nn

n rs

rsr

n

che tende a r, definendo la Media

)4.2(lim1

ϕ=−

∞→n

n

n FF .

Qualunque coppia di termini si scelga per avviare una serie di FIbonacci,

il rapporto fra due termini successivi approssimerà a ϕ . Siano

:64,5 21 == FF

N nT 1/ −nn TT

1 5 12.82 64 1.0781253 69 1.9275362324 133 1.5187969925 202 1.6584158426 335 1.6029850757 537 1.6238361278 872 1.6158256889 1409 1.61887863710 2281 1.61771153

Vogliamo giungere a ϕ anche con l’interessante pattern delle frazioni

continue di Fibonacci:

1/213/22/315/33/518/55/81 13/8

8/13 1 21/1313/211 34/2121/34 1 55/34

+=+=+=+=

+=+=+=

e ricordando che è possibile rappresentare numeri irrazionali con le

frazioni continue troviamo2

1512

51 −+=

± che ritorna a

20

215

152 +

=−

, per affermare che la rappresentazione a frazioni continue di

ϕ è una frazione continua infinita con tutti gli elementi uguali a 1.

...11

11

11

11

11

++

++

+=ϕ

2.4.1 La “Successione Aurea”

Una serie di curiose proprietà si ricava dall’osservazione che ϕ è l’unico

numero positivo il cui quadrato si ottiene sommando 1: 21 ϕϕ =+

da cui ϕ è anche l’unico numero positivo il cui reciproco si ottiene

sottraendo 1

ϕϕ 11 =− .

Le due proprietà esposte sono casi particolari della successione infinita:

,...,,,,... 21012 ϕϕϕϕϕ −−

in cui ogni termine è la somma dei due termini precedenti: 21 −− += nnn ϕϕϕ

relazione che vale ∀n e, posto

)0(12 >−= +−+−− nperFFF nnn

in modo che

)0()1( 1 >−= +− nperFF n

nn

da cui

21

nFF nnn ∀+= −1ϕϕ

Scriviamo dunque una nuova successione di Fibonacci

,...12,1,,1 ++ ϕϕϕ

che si può scrivere anche

,...,,,1 32 ϕϕϕ .

Essa è chiamata successione aurea ed è la sola successione additiva il cui

rapporto tra due termini è costante, nello specifico esattamente ϕ .

n ϕ n ϕ -n

1 1.61803 0.61803

2 2.61803 0.38197

3 4.23607 0.23607

4 6.85410 0.14590

5 11.0902 0.09017

6 17.9443 0.05573

7 29.0344 0.03444

8 46.9787 0.02129

9 76.0132 0.01316

10 122.992 0.00813

11 199.005 0.00502

12 321.997 0.00311

13 521002 0.00192

2.4.2 La formula di de Moivre

La relazione ricorsiva che definisce i numeri di Fibonacci è

21 −− += nnn FFF

22

che si può scrivere anche come

021 =−− −− nnn FFF

rientra nella classe delle relazioni ricorsive del secondo ordine

(coinvolgenti cioè i termini con indice da n a n-2), lineari a coefficienti

costanti e omogenee. Per questa classe di relazioni ricorsive esiste una

regola per trasformarle, assieme alle condizioni iniziali, in definizioni

sostitutive. Applicando questa regola (Spiegel) si ottiene la seguente

formula che definisce direttamente l’n-esimo numero di Fibonacci.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

nn

nF2

512

515

1 (2.5)

espressione scoperta dal matematico francese A. de Moivre nel 1718,

dimostrata poi dieci anni dopo da Nicolas Bernoulli.

L’n-esimo numero di Fibonacci varia dunque come la potenza n-esima di

ϕ (che cresce geometricamente) alterata da un ε che è sempre minore di

½ e tende a 0 per n che va all’infinito:

;12

51;618.02

51<

−∀⇒−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −n

n

.21

251

5125 <⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⇒>

n

Riscriviamo dunque la formula di de Moivre:

21;

251

51

<−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= εε

n

nF

e tabelliamo i primi numeri calcolati:

23

n Fn

deMoivre

ε Fn-ε

0 0.447 0 0.447

1 0.724 1 -0.276

2 1.171 1 0.171

3 1.894 2 -0.106

4 3.065 3 0.065

5 4.960 5 -0.040

6 8.025 8 0.025

7 12.985 13 -0.015

8 21.010 21 0.010

9 33.994 34 -0.006

10 55.004 55 0.004

trovando un modo immediato di calcolare numericamente i componenti

della Serie.

24

2.4.3 Metodi geometrici per calcolare ϕ

Abbiamo accennato nel primo capitolo alla fondamentale ragione

geometrica di ϕ nel pentagono, e abbiamo definito nel secondo capitolo

la Sezione a partire dal metodo di frazionamento di un segmento.

Vediamo ora alcuni semplici modi in cui ϕ si presenta nelle forme

geometriche elementari, ripresentando il pentagono e aggiungendo una

semplice rappresentazione cartesiana.

RETTANGOLO AUREO

A A’ E B D F C

Fig. 2

Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla

sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo

aureo si disegni un quadrato di lato AE. Quindi dividere il segmento AE

in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e

puntando in A' disegnare un arco che da F intersechi il prolungamento

del segmento AE in B. Con una squadra disegnare il segmento BC

perpendicolare ad AB. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel

25

quale AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea:

AE:AB=EB:AE

TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°.

Fig. 3

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e

l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il

lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in due segmenti in modo

tale da creare una sezione aurea. Infatti il triangolo ABC è simile al

triangolo BCD. E da questo risulta che:

AC:BC=BD:DC

e dunque:

AC:AD=AD:DC

26

TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°.

Fig. 4

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e

l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e

il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è

simile al triangolo ABD della fig. 3.

PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI

Fig. 5

All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il

segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli

con misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni

lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un

triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in

precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una

27

sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna

di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.

SPIRALE AUREA

Fig. 6

Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato

uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà

anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno cinque

volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del

compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo

e si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei due lati che formano l'angolo

scelto. Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da

creare una linea continua.

28

PARABOLA AUREA

Fig. 7

In un diagramma cartesiano un retta di equazione: y=x + 1 rappresenta

una crescita lineare, cioè una crescita nella quale l' incremento si ottiene

"sommando" a quanto raggiunto sempre la stessa quantità. Una crescita

invece in cui l' incremento si ottiene moltiplicando quanto raggiunto per

una quantità a questo proporzionale si dice quadratica ed è rappresentato

da una parabola di equazione: y = x2.

I due diagrammi si incontrano in un punto P che determina con gli assi

cartesiani un rettangolo aureo, quasi a significare l'equilibrio tra una

crescita lineare ed una crescita quadratica. Proprio questo aspetto della

crescita sarà alla base della trattazione del capitolo 3, dove le diverse

29

manifestazioni augmentali mostrano varie facce dell’interpretazione del

processo accrescitivo, nelle materie organiche e in quelle inorganiche.

30

3 “De la croissance harmonieuse”

3.1 Estetica delle proporzioni nell’osservazione della natura

Tutti i sistemi fisico-chimici isolati tendono verso una posizione di

equilibrio stabile seguendo un’evoluzione dettata dal principio della

minima azione (principio di azione stazionaria della teoria della relatività);

in termini statistici, “Un sistema evolve costantemente dagli stati meno

probabili agli stati più probabili; la configurazione di massima probabilità

essendo quella di massima entropia, di maggiore degradazione di

energia”. Quando lo stato di equilibrio finale dà luogo a configurazioni

relativamente stabili, o anche rigide come nei cristalli, esso può risultare

in forme pressoché geometriche in cui i dettagli sono determinati in

egual misura da occorrenze speciali del principio generale sopra

enunciato: legge di equipartizione dell’energia, legge dell’energia

potenziale delle superfici minime, legge di ripartizione omogenea (o

simmetrica) di elementi molecolari e atomici.

Ora, combinando nello spazio queste leggi con la teoria delle partizioni

omogenee dello spazio, si trovano i solidi cubici ed esagonali insieme alle

loro possibili combinazioni reciproche, ma non si trova mai un

pentagono, né un sistema pentagonale. Allo stesso modo nelle

formazioni cristalline, o nelle manifestazioni geometriche della natura

inorganica, si incontrano il tetraedro, il cubo, l’ottaedro e tutti i loro

derivati e simmetrici, ma non si trovano mai i due corpi platonici a

struttura pentagonale, il dodecaedro ed il suo reciproco icosaedro, né

tantomeno alcuno dei loro derivati.

31

Uno studio sommario dei solidi isotropi fa subito prevedere una

preferenza dei sistemi in equilibrio nei confronti dei solidi cubici ed

esagonali, o di loro combinazioni. Una manifestazione caratteristica di

simmetria esagonale in natura è fornita rapidamente dall’osservazione

microscopica di un cristallo di neve.

Eppure il pentagono, ed il suo succedaneo platonico il dodecaedro, si

prende una rivincita inattesa quando si passa a studiare dei sistemi viventi

o contenenti vita. Basta sfogliare un testo di botanica o di zoologia per

accorgersi al contrario che le forme a simmetria pentagonale appaiono

continuamente, molto più spesso dei derivati di sistemi cubici o

esagonali. F.M.Jaeger in Lectures on the Principle of Symmetry: “Sembra

esistere una certa preferenza per la simmetria pentagonale, sia nel caso

degli animali che delle piante, una simmetria chiaramente legata

all’importante proporzione della sezione aurea, sconosciuta nel mondo

della materia inanimata…In effetti, dal punto di vista del ruolo giocato

dal principio di simmetria, è difficile negare che esista una linea di

demarcazione fra le forme della natura inorganica e le forme viventi: da

un lato abbiamo l’evoluzione graduale delle forme a partire da una

simmetria perfetta (sferica) verso una simmetria inferiore, e la preferenza

caratteristica per il rapporto incommensurabile della sectio aurea; dall’altro,

la tendenza verso una simmetria più perfetta, come condizione di una

stabilità meccanica più grande, e l’esclusione di tutti i rapporti irrazionali

nei periodi degli assi di simmetria”. Jaeger descrive la presenza dei cinque

poligoni regolari nella struttura della conchiglia radiolare, mentre non

trova traccia del dodecaedro regolare o dell’icosaedro nelle forme

cristalline minerali. “Queste due forme non si incontrano mai in

cristallografia… ed è stato dimostrato che esse non si possono

riprodurre, poiché i loro indici (i coefficienti che esprimono le relazioni

32

delle facce piane con i tre assi principali di simmetria) sono irrazionali;

ora, una delle leggi fondamentali della cristallografia, dedotta dalla teoria

matematica delle partizioni dello spazio, afferma che gli indici di una

qualunque faccia di un cristallo sono piccoli numeri interi… Il

dodecaedro pentagonale della radiolare è perfettamente regolare, e noi

dobbiamo presumere che non è il risultato degli stessi principi di

partizione stabiliti in cristallografia.”

33

3.2 La crescita analogica

Dice Ghyka4 “in sostanza, il principio della minima azione non esercita

più la sua dittatura nel mondo vivente come fa invece nei sistemi

inorganici. Si pensi a due scopi basilari con cui dobbiamo fare i conti nel

mondo naturale: la crescita e la riproduzione. Mentre in un sistema

puramente chimico-fisico, fosse anche grande quanto l’universo, il

principio di Hamilton permette in teoria di prevedere lo svolgimento del

futuro, in un sistema isolato nel quale ci sia un minimo di materia

vivente, animale o vegetale, sia esso il coniglio di Fibonacci o il

microscopico paramecio, non si osserverà più la spinta verso l’economia

del lavoro necessario, e si vedranno ignorate spesso e volentieri le rotte

geodesiche di azione… Questo per permettere alla vita, una volta

incarnata, di adattarsi e continuare…”. Al contrario, soprattutto nelle

specie viventi più avanzate, incontriamo l’economia della materia e della

sostanza, concetti sconosciuti al mondo inorganico. Già Culmann,

fondatore della Statica grafica, aveva osservato che gli scheletri animali si

presentano come un sistema che offre “massima resistenza a parità di

minima sostanza”: proprio la disposizione delle cellule delle parti

spugnose delle ossa più robuste, coincide con i diagrammi con cui la

Statica grafica riprodurrà le curve di resistenza alle trazioni e alle

flessioni. Ghyka conclude che se il principio della minima azione non si

può applicare rigorosamente a un sistema isolato contenente materia

vivente, questo implica che il sistema non si comporta da “sistema

isolato”, ma come sistema in balia di una forza esteriore: la vita. È questo

il punto di determinismo in cui cessa la rigorosità del principio di

4 “Esthétique des proportions dans la nature e dans les arts”, Gallimard 1927

34

Hamilton che non può più permettersi di prevedere il “divenire”;

dovremo obbligatoriamente completare la teoria con i principi di

statistica e probabilità, o quantomeno con coefficienti empirici. Una

trattazione molto interessante dei fenomeni naturali nei quali è possibile

applicare questi assunti è quella di Steven Strogatz, il quale esamina le

principali scoperte nel campo delle equazioni non lineari applicate alla

teoria delle reti di piccolo mondo5.

Ecco che le equazioni differenziali diventano approssimazioni, il

determinismo classico di Laplace e Lagrange viene rimpiazzato da un

determinismo statistico, e la fisica molecolare si avvicina alle “nuove

scienze esatte” come l’economia politica o la biometrica. Il calcolo delle

probabilità rimpiazza la causalità diretta introducendo la “legge dei grandi

numeri” quando le cause multiple sono microscopiche in rapporto al

sistema considerato.

Soffermiamoci sulla chimica vegetale, in contraddizione con la seconda

legge energetica più spesso della biologia animale: l’effetto del

metabolismo vegetale sull’atmosfera è, contrariamente al metabolismo

animale, di assorbire l’anidride carbonica e di emettere ossigeno, e la

fotosintesi continua delle piante costituisce una reazione endotermica

ancora più “improbabile” dello scambio carbonio-ossigeno, che il

chimico non potrà realizzare se non con un’aggiunta di energia. Ghyka

osserva che dal “principio della minima azione” si passa al “principio del

minimo sforzo compatibile con lo scopo”. In altri termini, M.W.

Brancroft nel 1912 riformulò in termini biologici la tendenza dei sistemi

inorganici all’equilibrio stabile: “Le modificazioni che intervengono in un

sistema (biologico) sono tali da rendere minima la perturbazione

5 “Sincronia”, Rizzoli 2003

35

proveniente dall’ambiente esterno”: esempio su tutti l’autoregolazione

della temperatura negli animali a sangue caldo.

Sul concetto di crescita dal punto di vista matematico, citiamo il trattato

Growth and Form, di M. d’Arcy Thompson: “…i cristalli inorganici

accrescono per “agglutinazione” … l’organismo vivente cresce invece

per “intussuscezione”; gli elementi molecolari di una materia inorganica,

una volta in equilibrio (rigido o oscillante), restano praticamente gli stessi

durante la durata dell’assemblaggio agglutinante … mentre gli elementi

costitutivi dei tessuti viventi si rinnovano continuamente per

combustione o eliminazione”6. O anche H. Guilleminot: “L’unità

cristallina formata non è che una collettività di piccole unità tutte

somiglianti fra loro, e tutte con i segni della simmetria d’insieme, i fattori

orientatori della forma generale. Al contrario le unità viventi hanno

forme che non sono solo la risultante di proprietà morfogeniche di

elementi costituenti, e non sono totalmente giustificate dai rapporti della

parte con il tutto. Queste forme sembrano procedere da una direttiva

interiore e proprie dell’aggregato, per il migliore espletamento di una

funzione” 7.

6 “Growth and Form”, Cambridge University Press, 1912 7 “La Matière et la Vie”, Flammarion, 1920

36

3.2.1 La conchiglia e lo gnomone

Descriviamo qui un semplice punto di contatto fra i due mondi, quello

della augmentazione geometrica e quello della crescita biologica.

La conchiglia conserva la sua forma immutata malgrado un evidente

processo di crescita asimmetrica: allo stesso modo delle corna degli

animali, essa cresce solamente da un estremità. E proprio questa

notevole proprietà di accrescimento teminale senza mutazioni dalla

forma del totale, è caratteristica della spirale logaritmica e di alcune altre

curve. D’Arcy Thompson ritrova nella crescita di una conchiglia o di un

guscio di lumaca il concetto aristotelico dello “gnomone” – una figura la

cui aggiunta a una forma data produce una forma risultante simile alla

forma iniziale.

Fig. 8

L’esempio classico in questo caso è il Nautilus, un mollusco dei mari

tropicali; la sua conchiglia, sezionata, è una spirale aurea. Tra l’ altro il

Nautilus viene considerato letteralmente un fossile vivente, essendo la

sua specie antichissima; ha avuto quindi tutto il tempo per perfezionarsi.

Estendendo la ricerca, dobbiamo annotare altri notevoli esempi.

Nel corpo umano troviamo rapporti aurei: l’ ombelico è posto ad un’

altezza che è in rapporto aureo con quella dell’ individuo con una

tolleranza di pochi punti percentuali.

37

Nei fiori, più che altrove, la natura ha voluto ricordarci la sua sapienza

matematica. Le varie specie di margherite e girasoli hanno petali in

numero della successione di Fibonacci che abbiamo visto legata al

rapporto aureo.

Le curve che si osservano in pigne ed ananas sono spirali logaritmiche,

legate anch’esse alla sezione aurea.

Ed ancora secondo spirali logaritmiche si succedono gli stami nelle

corolle di margherite e girasoli.

Nel firmamento molte galassie hanno forma a spirale. Osservando

attentamente le spirali queste risultano chiaramente logaritmiche; è

presumibile che tali siano le traiettorie delle stelle attratte al centro della

galassia. Ecco riproporsi il contributo misterioso di una forza che

imprime una traiettoria decisamente atipica, dal momento che le forze a

noi note comportano in genere solo traiettorie coniche (ellissi, parabole o

iperboli).

38

4 La Finanza

4.1 L’analisi tecnica; Elliott e Gann

John Murphy (op.cit.) definisce l’Analisi Tecnica come “lo studio

dell’andamento di un mercato basato sull’uso di grafici, allo scopo di

predire le future tendenze di prezzi”, tenendo ben presente che la storia

si ripete, e ripetendosi offre la possibilità di riconoscere, nel grafico, dei

“patterns”, delle formazioni che in qualche modo si ripresentano

preannunciando il comportamento futuro di quel grafico. Agli inizi del

secolo Charles H. Dow pubblicava sul Wall Street Journal quelli che

erano i fondamenti della sua teoria, basata proprio sull’osservazione

dell’andamento grafico del primo Indice borsistico, l’indice Dow,

appunto, che l’economista ideò incentrandosi su 11 titoli nel 1884. La

teoria di Dow enunciava dei punti fermi che tali sono rimasti fino ad

oggi: la valutazione dei prezzi in chiusura, come si definisce un “trend”,

come si costituisce un impulso di un trend, come incidono i volumi, e

così via. Si sviluppa così una “dottrina” vera e propria, fatta di paziente

lavoro manuale necessario a graficare l’andamento dei prezzi dei titoli, di

raccolta dei dati in un’epoca priva di reti e database, di formalizzazione

delle diverse possibilità grafiche. Negli anni sono messe nero su bianco le

figure, i patterns (flags, pennoni, triangoli, diamanti, testa e spalle...) che

numericamente sono andati aumentando nel tempo, fino a costituire il

bagaglio essenziale di ogni Analista Tecnico dei nostri giorni. Un mondo

“a due dimensioni” fatto di trendlines, supporti e resistenze, che acquista

una “terza dimensione” con R. N. Elliott, che nel 1938 enuncia la sua

“Wave Theory”. La Teoria delle Onde è basata sull’osservazione della

39

caoticità dei mercati, della loro “naturalità”, ed è confermata, secondo il

suo autore, dal fatto che nei grafici si possono scoprire le magiche forze

della serie di Fibonacci, con le sue “irregolari regolarità”, i prodromi di

quella che oggi definiamo Teoria Frattale: insomma, con Elliott il grafico

prende vita, acquista “personalità” nelle sue movenze, e diviene un

oggetto autonomo che come tale può essere osservato e studiato. A

questo tipo di “sguardo tridimensionale” daranno poi ulteriori

fondamentali studiosi come Gann, Dewey, Wilder.

4.1.1 Analisi Tecnica con Fibonacci

La prima applicazione dei numeri di Fibonacci in finanza si deve quindi a

Elliott che ha assunto la Serie come modello matematico generatore del

fenomeno di formazione e di tendenza del prezzo. Nell’Analisi Tecnica i

numeri di Fibonacci sono utilizzati quotidianamente per l’individuazione

di supporti e resistenze, nell’analisi dei cicli per la determinazione dei

periodi nei quali è probabile un’inversione della tendenza e in generale

come conferma dei segnali di buy/sell evidenziati dalla applicazione di

altre tecniche di analisi.

Elliott scompone il singolo ciclo di un’onda nei due movimenti

fondamentali di impulso e correzione:

impulso correzione

Fig. 9

Nel suo testo del 1938, “The Wave Principle”, e in una serie di articoli

pubblicati nel 1939, Elliott affermò che il mercato azionario si sviluppa

40

seguendo un ritmo di base: questo ritmo pulsa ciclicamente seguendo un

pattern di cinque onde crescenti e tre discendenti che formano un ciclo

completo di otto onde. Le tre onde discendenti costituiscono la

“correzione” delle precedenti cinque.

Fig. 10 - Il “Basic Pattern” di R.N.Elliott. Le fasi impulsive vengono contrassegnate da

numeri, e le fasi correttive da lettere.

Le onde 1, 3 e 5 sono denominate impulsive e la 2 e la 4 correttive. La 1

viene corretta dalla 2, la 3 dalla 4, e l’intera sequenza 1,2,3,4,5 è corretta

dalla sequenza a,b,c. Un ciclo completo è fatto di otto onde, ed è distinto

in due fasi – quella numerica e quella letterale.

Dopo questo ciclo inizia un secondo ciclo simile di 5 + 3 onde, ed un

terzo di cinque onde ascendenti. A questo punto si è completato un

movimento complessivo di cinque onde “superiori”, quindi comincerà

un ciclo “superiore” di tre onde discendenti che “correggeranno” l’intero

movimento ascendente di cinque onde. Quindi ogni “fase” è in sostanza

41

un’onda essa stessa, ma di un grado superiore rispetto alle onde che la

compongono.

Fig. 11 - Due onde di un dato grado si possono scomporre nelle 8 onde di grado

inferiore, e ancora fino alle 34 del grado successivo. Estendendo, le somme delle onde

ascendenti sommano a 5, 21, 89.. e le somme delle onde correttive a 3, 13, 55… In

totale, le onde che costituiscono un movimento completo superiore sommano a 8, 34,

144…

L’intero fenomeno è illustrato in fig. 11, e mostra come dividere in cicli e

forme di gradi diversi la storia grafica dell’andamento di un mercato.

La teoria si completa con lo studio delle anomalie, delle possibili

estensioni e delle forme ricorrenti di falso negativo e positivo, e giunge

anche a quantificare le proporzioni “più probabili” delle correzioni e

delle estensioni.

42

4.2 Esempi di Applicazioni nella predizione

Se si arriva a considerare che l’andamento di un grafico risponde a regole

naturali di proporzione e “giusta ratio”, si può comprendere che tale

grafico altro non è se non la rappresentazione della somma di

comportamenti della collettività degli investitori: un grafico di un titolo

azionario o di un cambio valutario mostra in ogni momento se le forze

compratrici sono superiori o inferiori alle forze venditrici, e ne storicizza

il comportamento. Non risulta azzardato, dunque, ipotizzare che la

distribuzione dei comportamenti e delle reazioni di un grande numero di

variabili irrazionali (gli investitori) si addensi nei punti e nei momenti in

cui appare più “naturale” per la maggior parte di variabili, manifestare un

dato comportamento o reazione.

Questa è l’idea alla base della teoria della predizione dei mercati

finanziari, laddove si formulano ipotesi sui “più probabili scenari” che si

manifesteranno in seguito a situazioni ricorrenti. Gli enunciati

dell’Analisi Tecnica in ambito finanziario (ma un esempio simile lo si

trova nella Meteorologia) sono nella forma di “In questo stato X le possibili

evoluzioni sono gli stati Y,Z e W. Se evolveremo allo stato Y, allora è molto

probabile che si evolva allo stato A; dallo stato Z l’andamento è incerto, verso gli stati

B, C e D; nello stato W è più probabile che accada…” costituendo infiniti (ma

similarmente ricorrenti) cicli di if…then…else…

E d’altronde, come accennato nel capitolo 1, una disciplina che si

propone di ipotizzare i futuri movimenti di un essere collettivo vivente

(l’insieme degli speculatori), non può che assumere la forma di una

ricerca ad albero sui possibili stati di un sistema complesso. Possiamo di

nuovo affermare che l’analisi tecnica e la sua evoluzione dovuta alle

43

nuove teorie sul Caos, altro non è che un tentativo di superare i limiti del

determinismo, introducendo regole apparentemente animiche, ma in

verità discendenti dalla semplice osservazione di quell’errore costante e

imprevedibile che non permette la valutazione empirica e tabellare in

microscala di un fenomeno naturale. Una prova tangibile del dualismo

irrisolubile che si combatte in questa disciplina è la semplice

constatazione del fenomeno della diffusione: i metodi previsionali che

esporremo nei prossimi paragrafi sono stati descritti per la prima volta

nella prima metà del XX secolo, e hanno “funzionato” con notevole

accuratezza fino alla massificazione dei mercati finanziari degli anni ’70.

Da questa data in poi, i metodi sembrano indebolirsi in modo

proporzionale alla loro diffusione di massa, lasciando spazio a nuovi

stratagemmi analitici che sono noti inizialmente solo a pochi, ma che si

auto-debilitano molto velocemente al crescere della notorietà dei

medesimi. Quello che accade è che se troppi investitori prevedono uno

stato X in seguito a uno stato Y, inconsciamente si muovono in senso

contrario all’avverarsi dello stato X, in quanto cercano di trarre profitto

dall’avverarsi di quello stato; così facendo lo rendono il meno probabile, e la

maggioranza delle previsioni si rivelerà errata, a vantaggio di uno stato

che inizialmente sembrava essere meno probabile.

È la dimostrazione che gli osservatori di un sistema complesso, prendendo

parte alla lotta per la sopravvivenza che si svolge all’interno del sistema, e

seguendo più o meno le stesse regole, diventano immediatamente attori

del sistema, e creano inconsapevolmente un comportamento collettivo

assolutamente diverso, se non contrario, all’ipotesi iniziale formulata da

osservatori, creando caos e imprevedibilità.

44

4.2.1 I Ritracciamenti

Dopo un impulso si ha una correzione. Come possiamo dire quando la

correzione terminerà? E a che punto lo scenario verrà negato e la correzione

sarà troppo profonda, quindi costituirà un’onda di impulso inverso?

Assumendo che la correzione è la fase di riposo necessaria dopo lo sforzo,

troveremo il più delle volte, nei grafici di mercato, che la fase di

correzione dura un tempo che sta in una “Golden Proportion” rispetto

al tempo di impulso: 618.0:1 =ϕ , ma anche 382.0:)1( =− ϕϕ .

Fig. 12 - Andamento del prezzo dell’oro alla fine del 2003.

In sostanza si prevede che molto probabilmente la durata di un

movimento in tendenza e quella della sua correzione tecnica siano fra esse in

proporzione pari a ϕ . Operativamente, dopo un movimento impulsivo

45

si terranno d’occhio i livelli di ritracciamento del 38,2% e del 61,8% del

movimento totale, livelli sui quali il mercato più probabilmente

“rimbalzerà” per proseguire il movimento impulsivo. Laddove i prezzi

scendessero al di sotto della base del movimento impulsivo, lo scenario

di rialzo (in questo caso, o di ribasso se gli impulsi sono discendenti) si

dirà negato e nuove valutazioni dovranno essere fatte.

4.2.2 I Canali Paralleli

Le linee di tendenza, o “trendlines”, si applicano a qualunque mercato

con qualunque orizzonte temporale. Un mercato in salita rimbalza dalle

sue trendlines di supporto e un mercato in discesa rimbalza dalle

trendlines di resistenza. Nel primo caso, la trendline fornisce un punto di

acquisto ad ogni rimbalzo. Se il mercato continua a salire (cioè non

“rompe” la trendline di “supporto”) non c’è apparentemente alcun

segnale che ci dica quando vendere e bloccare i profitti. Disegnando una

linea parallela alla trendline creiamo un “canale”, che conterrà tutti i brevi

movimenti di rialzo e correzione all’interno della tendenza generale. La

linea inferiore può essere usata per comprare e la superiore per prendere

temporaneamente profitto. Dopo aver venduto, il trader aspetterà che i

prezzi colpiscano di nuovo la trendline inferiore per comprare ancora.

Se si riesce ad inviduare lo “stem” di un canale, cioè la sua radice, l’unità

geometrica ripetuta, è possibile costruire in anticipo canali multipli, che si

compongono di trendlines parallele a livelli predefiniti dalle proporzioni

auree.

Per costruire un “Canale di Fibonacci” è necessario decidere qual è la

grandezza di riferimento, l’uno del sistema. Per far questo si dovrà

46

ricercare quello che sembra il canale base, di ampiezza ben proporzionata

a un multiplo, o a un sottomultiplo del movimento globale.

Dopo aver identificato l’unità, la si potrà scomporre nelle usuali

proporzioni (38,2% - 50% - 61,8%) o moltiplicare per gli stessi rappoti

aurei (138,2% - 161,8% e loro composizioni). Proprio questa seconda

operazione, di moltiplicazione, è quella che si è rivelata più produttiva nel

cercare possibili punti di inversione o di profitto nelle estensioni dei

trend al di fuori dei canali.

Fig. 13 – I Canali Paralleli

In altre parole si ha la sensazione che i prezzi oscillino seguendo una

sorta di “schema quantico” per i loro salti e le loro inversioni.

47

Frammentare o moltiplicare una tendenza secondo le proporzioni auree

è un’operazione che porta a visualizzare i livelli quantici, inquadrando di

conseguenza i movimenti più bruschi in una semplice ottica di “salto di

livello”.

4.2.3 La Pitchfork di Andrews

Disegnare una trendline parallela risulta comunque un’operazione

soggettiva, dato che per la maggior parte del tempo i mercati non

rispettano regole di ordine e pulizia grafica: il fenomeno del “rumore”

(volatilità) e della sovrapposizione di cicli a breve e a lungo termine

donano ai grafici il classico aspetto irregolare. Estendendo il concetto alla

base della ciclicità Elliottiana, si possono studiare le pulsazioni ritmiche

applicate anche ad altri parametri, come il tempo, l’ampiezza

dell’oscillazione, la ripetizione di massimi e minimi, ecc…

Agli albori dell’analisi tecnica, Alan Andrews sviluppò un sistema che

chiamò il “metodo della linea mediana”. Il metodo richiede di disegnare

una linea da un massimo o un minimo fino al prezzo medio di una

correzione successiva, e poi di aggiungere delle parallele partendo dai

massimi e i minimi della correzione (fig. 14). Sul grafico questo si

materializza in tre linee, di cui una centrale (la linea mediana), un canale

superiore ed un canale superiore. A causa della somiglianza con un

utensile di cucina, il metodo viene conosciuto come Pitchfork

(forchettone) di Andrews.

Per misurare al meglio l’ampiezza di una tendenza, si possono

moltiplicare e dividere i canali risultanti secondo proporzioni di

Fibonacci, e ottenere ampiezze di magnitudine inferiore o superiore. La

Pitchfork di Andrews viene spesso in aiuto come studio sulla tendenza

generale di un mercato, essendo costruita intorno all’attività reale e

48

oggettiva del prezzo. Si osserva che la Pitchfork risulta più affidabile e

precisa nei movimenti contrari di correzione.

Fig. 14 – La Pitchfork di Andrews

La figura 14 mostra l’andamento del cambio Sterlina/Dollaro negli ultimi

cinque anni. La Pitchfork disegnata ipotizza come base della struttura il

movimento A-B-C, e su di esso costruisce la griglia dei livelli per i canali.

Risulta evidente come il mercato tenda a rimanere in uno stesso livello,

per poi effettuare dei salti in accelerazione e stazionare in altri livelli.

Ogni rottura di una linea di livello implica un relativo segnale di

acquisto/vendita.

49

I comportamenti dei prezzi sulle linee sono molto diversi, e il rumore

abbonda; tuttavia resta intatta la tendenza generale e soprattutto sono

notevoli le previsioni relative agli “out-burst” al di fuori del canale

principale. In questo sta la caratteristica della Pitchfork di identificare le

tendenze prima di una trendine: utilizzando un movimento correttivo del

mercato già stabilito (ritracciamento) come larghezza base del canale, si

scopre che le linee della Pitchfork si situano preferibilmente agli usuali

valori di ritracciamento di Fibonacci, rendendo una Pitchfork più simile a

una “Raggiera di Fibonacci”.

50

5 La Musica

5.1 La Media Aurea nella Musica

Il suono viene captato dal nostro organo dell’udito, ossia vengono

sottoposti a vibrazioni gli organi di Corti, che possiamo paragonare alle

asticciole di un carillon. Siamo abituati a suddividere in sette note (DO,

RE, MI, FA, SOL, LA, SI, DO: una successione definita ottava) la

distanza fra due DO successivi: otto note successive ordinate secondo

una scala che terminano sempre con la prima nota dell’ottava superiore.

Una scala può cominciare con qualunque nota, per convenzione

parleremo della Scala Maggiore di DO. Essa, come qualunque altra, è

costruita con intervalli variabili fra le otto note:

DO RE MI FA SOL LA SI DO↑

1 tono 1 tono 1 semitono 1 tono 1 tono 1 tono 1

semitono

Raggruppando il numero di vibrazioni dei dodici semitoni che si

susseguono con una formula:

...;2;2 1223

1212 ⋅=⋅= TTTT

dalla quale risulta T13=2T1 e che il numero di vibrazioni dei semitoni

successivi forma una proporzione continua (v. frazioni continue).

...::: 433221 TTTTTT ==

Dove la ragione ammonta a 12 2 . Ora 12 82 è con approssimazione

uguale a ϕ , per cui:

618.1:: 17991 == TTTT .

51

Negli organi di Corti dell’apparato uditivo umano, nelle costruzioni di

organi a canne risonanti, nelle possibilità misteriose e indefinite di

vibrazione di un violino, gioca dunque senza dubbio un ruolo

fondamentale la sezione aurea.

Introduciamo brevemente gli ambiti tecnici compositivi in cui è

immediato immergere ϕ .

5.1.1 Nelle Scale

L’utilizzo di ϕ per creare armoniche e rapporti tonali ha un effetto

immediato e diretto sull’ascoltatore. “Stonare” le note di una scala è

permesso ovviamente agli strumenti che si intonano facilmente a mano

(archi), ma è molto difficile intervenire con un’operazione di de-tune su

un pianoforte o un ottone. Alcuni sintetizzatori moderni incorporano la

capacità di ri-intonare i tasti in progressione seguendo incrementi di

frequenza in sequenza di Fibonacci (sample audio 5.1.1). Ricordiamo che

il rapporto temperamentale più vicino a ϕ è una Sesta Minore – 5:8

(DO-LAb).

Dan Winter utilizza e suggerisce addirittura rapporti ulteriori: radice di ϕ

(1.272) e radice quinta di ϕ (1.101).

5.1.2 Nel Ritmo

Un semplice “loop” quantizzato secondo ϕ (fig. 15) offre subito un

gusto naturale al ritmo, ottenendo in modo empirico quello che viene

definito “groove” di un ritmo, cioè l’insieme di quelle spostature (offset)

di colpo che solo l’essere umano può organizzare mentalmente ed

eseguire con una sorta di errore controllato che caratterizza

inequivocabilmente il loop (sample audio 5.1.2).

52

Fig. 15 – Loop di Fibonacci. I punti grigi sono qantizzati su cadenze di ϕ .

ϕ

ϕ

1cassa

rullantecongas

hi hat

. 2 .

Per tener fede al verbo della stabilità e dell’equilibrio, notiamo che

l’effetto “groove” si rende interessante anche invertendo le parti: la

quarta riga si può eseguire al contrario, donando un accento più solido:

questo meccanismo è alla base dei sistemi automatici di grooving scelti

dalla Yamaha negli ultimi 2 anni per i sequencer/arrangiatori più evoluti.

Anche la velocità di esecuzione, volendo rapportarla in modo più

accurato ad un “ritmo naturale”, può essere pensata in sincrono con ϕ :

76 bpm è circa il battito cardiaco in stato di relax; 76 x 0.618 equivale a

circa 47 bpm, la velocità di pulsione della camera cardiaca secondaria.

Multipli e ϕ -multipli del “ritmo base” 76 offrono ritmi in rapporto aureo

con il cuore: 122 bpm (76 x 1.618) è il ritmo tipico della stragrande

maggioranza di musica commerciale da ballo degli ultimi 20 anni,

evidentemente perché ben si addice ai gusti di danza dei giovani.

5.1.3 Nell’Arrangiamento

Il pattern di crescita identificato da ϕ risulta uno schema molto efficace

nella stesura della struttura di una canzone: l’arrangiamento si svolge con

una progressione molto naturale, e lascia i giusti spazi di allargamento o

restringimento di sezioni che l’arrangiatore aggiunge agli schemi base di

cicli e battute equivalenti. Dividendo la durata totale secondo ϕ si può

53

scegliere il punto trovato come apice della canzone; questo risulterà

senz’altro il punto più ovvio e consono per la fine di un climax.

Fig.16

1 2 3 5 8

ϕ

54

5.2 Armonia ed euritmia: i numeri suonano

La parola ritmo è usualmente riferita a ciò che caratterizza la periodicità di

determinati eventi nel tempo, legando inevitabilmente il concetto a

musica e a poesia.

Ma proprio i Greci, che non ammettevano alcuna confusione di idee o di

definizioni in materia estetica, mischiano consapevolmente i termini

caratteristici dell’architettura e della musica: di più, i concetti

architetturali e la morfologia estetica sono da essi coscientemente

discussi e analizzati con analogie musicali; se in musica le nozioni di

accordo e di insieme di accordi armoniosi sono stabiliti in funzione di rapporti e

proporzioni numeriche o geometriche, i Greci daranno parallelamente il

nome di sinfonia alla connessione armoniosa delle proporzioni in un

insieme architettonico, e di euritmia all’effetto percepito.

MUSICA ARCHITETTURA

INTERVALLO (accordo

consonante o dissonante di due

note)

RAPPORTO (di due lunghezze,

due superfici...)

ACCORDO (combinazione di tre

o più note) PROPORZIONE

ARMONIA SIMMETRIA

EURITMIA melodica EURITMIA archittettonica

Non possiamo non citare il lavoro di Rudolf Steiner nella comprensione

degli effetti fisiologici, sul corpo e sull’anima, dell’utilizzo cosciente dei

55

principi dell’euritmia. Il maestro definisce nel 1924 l’euritmia come

“parola visibile”8, per poi estendere il concetto nelle successive

numerose conferenze sul tema: “L’euritmia è l’arte di rendere visibili la

parola e la musica”. Steiner giungerà ad affermare e dogmatizzare il

potere terapeutico dell’euritmia, laddove il corpo, in sintonia con i suoni

esterni ed interni, si ri-sincronizza con il mondo attraverso un gioco di

risonanze reciproche, dettate da rigide regole numeriche.

Non ci soffermeremo oltre sui numerosi punti di contatto fra le

discipline musicali (composizione, arrangiamento) e le scienze numeriche

e matematiche. Tratteremo l’opera a nostro avviso più significativa,

quella di Bela Bartok, nei paragrafi successivi, ma prima citiamo il lavoro

di Joseph Schillinger (1895-1943) nel campo della composizione

matematica. George Gershwin, Benny Goodman e Glenn Miller furono

fra gli studenti del professor Schillinger, laureato in matematica e

diplomato al conservatorio. Schillinger fu un fautore del punto di vista

Platonico nell’analisi delle relazioni fra matematica e musica, e sviluppò

probabilmente il primo Sistema di Composizione Musicale degno di

questo nome. Nel suo sistema egli combinava note successive intervallate

fra loro secondo la Serie di Fibonacci (considerando i semitoni).

Fig. 17 – La sequenza di Schillinger

8 Dornach, 4 agosto 1922 e Penmaenmawr, 26 agosto 1924

56

Secondo Schillinger questi “intervalli di Fibonacci” producevano lo

stesso senso di armonia che si ritrova nelle proporzioni della crescita

delle foglie su uno stelo. In un suo testo biografico9 Schillinger racconta

di aver ascoltato con stupore i ritmi causali e caotici della pioggia

battente e delle raffiche di vento durante un temporale, definendola “arte

inconscia”. Egli fu anche il primo a immaginare di mettere in musica

l’andamento di un grafico finanziario, musicando le curve dei mercati

azionari americani, e riscontrando in quella musicalità le impronte

compositive di J.S. Bach (cfr. Hofstadter, op.cit.). Parecchi software

gratuiti come MusiNum, AmusicalGenerator per piattaforme Windows,

o LoShuMusic e FibonacciBlues per Macintosh permettono con estrema

semplicità di ricreare questi esperimenti (sample audio 5.2).

Un altro spunto per l’utilizzo dei numeri di Fibonacci in strutture

ritmiche complesse lo si trova nella musica tradizionale indonesiana. Il

gamelan è un ensemble di strumenti (gong, metallofoni, percussioni,

archi e flauti) che viene suonato da un collettivo di musicisti

estremamente ligi al rituale della struttura. Sul gamelan è obbligatorio

camminare scalzi, facendo attenzione a non urtare o calpestare gli

strumenti, onde non offenderli; e l’accesso alla strumentazione è un atto

di consapevolezza riservato solo ai musicisti scelti. Il gamelan è

considerato un oggetto/luogo sacro e capace di evocare grandi energie

soprannaturali. Le due configurazioni più celebrate sono quelle tipiche di

Bali e di Java.

9 Joseph Schillinger: A Memoir, 1936

57

L’utilizzo del gamelan è oggi utilizzato per accompagnare eventi religiosi

o ufficiali, nei rituali dei villaggi, durante cerimonie pubbliche, oltre che

nelle rappresentazioni teatrali e tradizionali.

Fig. 18 – I Layers del Gamelan, in notazione pianistica

Da un punto di vista musicale, il gamelan esprime melodie fluide, scale

armoniose e molti strati sonori complementari. Si pensi a ogni strato

come un tessuto di strumenti intonati sulla stessa tonalità e allineati allo

stesso tempo. Lo strumento con toni più alti (voce, flauto,…) suona

delle note a una velocità di v bpm, quello che lo segue suona a una

velocità di v/2 bpm, quindi suonando una volta ogni due beat, e così via

fino ai gong più bassi che vengono percossi solo ogni 16 o 32 beat. La

fig. 18 illustra il concetto su una partitura di piano – in questo caso ogni

strumento (ogni strato) esegue la stessa melodia. Ogni strato rinforza gli

strati superiori, senza alcuna sincope; quando uno strumento più basso

suona, suonano anche tutti i sovrastanti.

L’idea del professor David Canright10 è di sovrapporre i layers

utilizzando intervalli proporzionali ai numeri di Fibonacci; in tal modo

l’esecuzione complessiva risuona con una potenza rinnovata e assoluta, e

l’andamento ritmico, seppure dettato da fredde successioni numeriche,

risulta incredibilmente naturale e toccante. Canright ha esplorato

10 http://www.redshift.com/%7Edcanright/

58

parecchi ambiti compositivi in cui la matematica e la numerologia

possono esprimere una forza e una credibilità indiscutibile. A tutt’oggi

esegue e diffonde le sue composizioni create con scale e intonazioni di

Fibonacci.

59

5.3 Le composizioni Auree di Bela Bartok

Bela Bartok fu un compositore che non solo realizzò una vasta opera

strutturata e variegata, ma costituì anche un punto di cambiamento per la

musica classica nel suo periodo.

Nato a Nagyszentmiklos, Ungheria (ora territorio di Romania) nel 1881,

imparò l’arte del pianoforte da giovanissimo dalla talentuosa madre.

Dopo aver studiato con Laszlo Erkel dal 1894 al 1899 entrò nella

Budapest Royal Academy of Music.

La folgorazione gli capitò con "Also sprach Zarathustra" di Strass,

dopodiché, racconta, di aver subito composto il poema “Kossuth” nel

1903.

Nel 1905, l’incontro fondamentale con la musica folk ungherese,

comprendente tutta la ricca tradizione musicale contadina. Insieme al suo

amico compositore Kodaly pubblicò 20 brani popolari nel 1906,

continuando con una fertilità unica nei 30 anni successivi. In questo

periodo compose "Music for Strings, Percussion and Celesta", i suoi

quartetti d’archi, musica da camera, composizioni per pianoforte, brani

corali e perfino alcune opere per il teatro.

Nel 1940 l’occupazione nazista in Ungheria lo spinse a fuggire negli Stati

Uniti, dove trova la leucemia che lo ferma in ospedale a New York

appena arrivato. Proprio in ospedale gli vengono commissionate le

ultime opere: "Concerto for Orchestra.", la sonata per violino e il

concerto per viola. Morì a 59 anni a New York nel 1945.

Porre un neofita musicale all’ascolto di un’opera di Bartok ottiene l’ovvio

commento di “una musica difficile da ascoltare”. La tecnica compositiva

di Bartok, seppure identificabile e leggibile a chiare lettere nell’ambito

60

della produzione classica di inizio ‘900, risulta eterogenea e infinitamente

varia, riuscendo a catturare il detto neofita su esecuzioni come “Concerto

for Orchestra” piuttosto che in “Bagattella n.4”. Ma per cogliere a pieno

il genio musicale di Bartok dobbiamo andare un po’ più a fondo.

Il processo di razionalizzazione dei metodi di scrittura musicale nei primi

anni ’20 passa abbastanza inosservato agli occhi di Bartok. In quel

periodo il compositore era fin troppo assorbito dal mondo naturista delle

performance folklorisriche e dagli stili musicali che secoli di tradizione

orale avevano pesantemente censurato imponendo costrutti teorici ai

suoni musicali. Furono queste esperienze folk a donare a Bartok una

sorgente di suoni poco familiari, stomacali, sia nel vigore che nella

mollezza: in definitiva un forte senso (perduto) di ordine armonico.

Nessuno di questi suoni e questi stili si combinava comunque con le

nette linee di sviluppo della musica classica Europea, sebbene qualche

elemento in comune esista, e questo si sente riflesso nella musica di

Bartok.

Negli anni ’50, quando i compositori raggiunsero sistemi e formule

ancora più rigorose, Bartok fu evitato ed escluso dall’avanguardia

occidentale. Allo stesso tempo la sua musica scivolò verso il repertorio

fondamentale delle orchestre sinfoniche. A questo punto Lendvai fece la

sua scoperta: Bartok usava un sistema. Egli si occupava dell’indagine dei

fenomeni naturali, e in particolare lavorava con le proporzioni in Media

Aurea, le serie di Fibonacci e con un sistema di rappresentazione per le

note che collega le note attraverso gli assi sul “circle of Fifths”, il cerchio

delle Quinte che arrangia visivamente le dodici note in intervalli di

quinta.

61

Fig. 19 - Il diagramma del “Circle of Fifths” rappresentato nel trattato di Heinichen

del 1728, Der Generalbass in der Composition. Le chiavi minori relative (‘moll’) sono

posizionate accanto alle maggiori (‘dur’), in modo da trovare l’intervallo di quinta fra

ogni segmento alternato.

Tale cerchio costituiva la rete di supporto della musica Barocca come

descritta per prima dal compositore tedesco Heinichen nel 1728; ogni

volta che sentiamo un pattern di frasi in un pezzo di Vivaldi, ad esempio,

inerpicarsi sicuro fra le tonalità, possiamo star sicuri che stia avvenendo

secondo l’ordine del cerchio. Bartok sembra invece scegliere una visione

a poli dello schema, creando tre gruppi di quattro note.

La fuga di apertura di Music for Strings, Percussion and Celesta sembra

confermare le idee di Lendvai: un tranquillo tema cromatico inzia in LA

(ore 12 sul cerchio), e ogni nuovo ingresso è alternato una quinta sopra o

una quinta sotto – ore una, ore sette, e così via. Ovviamente gli ingressi

si incontreranno culminando a ore sei (MI bemolle), dove il movimento

62

insiste in pulsanti MI bemolli. Questo culmine avviene temporalmente

intorno alla 55esima battuta di 89 totali, con 55 e 89 numeri di Fibonacci.

Fig. 20

Sia chiaro che non esiste prova scritta che Bartok abbia lavorato in

questo modo, e che Lendvai sia semplicemente riuscito a descrivere

analiticamente con la Media Aurea qualcosa che Bartok abbia realizzato

spontaneamente e naturalmente, ma questo innesca

un’autogiustificazione semantica della presenza di ϕ nella musica di

Bartok!

5.3.1 L’assolo di bassoon della Dance Suite

Il bilanciamento tonale, armonico e ritmico di questo tema musicale è

probabilmente uno degli esempi più chiari della coerenza compositiva di

63

Bartok, che qui mostra tutta la misteriosa disciplina stilistica che guida

l’autore.

Lendvai trova Fibonacci nella Dance Suite in questo modo:

“Il Primo Movimento parte dalle seconde maggiori (numero 2);

il Secondo è costruito sulle terze minori (numero 3);

il Terzo somma i precedenti (2+3+2+3+2) e introduce una scala

pentatonica pura (numero 5).

Le armonie dei movimenti sono tutte basate su uno schema 5+5.

Infine, la melodia del Quarto Movimento segue il pattern 8=5+3,

dove 5=3+2.”

Fig. 21

La sequenza di Fibonacci 2,3,5,8 è evidente e incidentale in tutta la Suite,

tuttavia il suo uso più significativo si trova senz’altro nell’organizzazione

tonale e ritmica presentata dai bassoon. La successione in semitoni degli

intervalli nella melodia delle misure dalla 2 alla 9 è (figura 22):

1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 0 1 2 3 2 0 1 2 5 3 3

cioè un pattern ondulatorio sulla sequenza di Fibonacci con ripetizioni

occasionali (punti di reset) del numero climatico 5 e della pausa 0.

64

All’ascolto non si nota altro che una regolarità armoniosa degli intervalli,

seppure infarciti di reset occasionali, con una logica ripetizione che in

qualche modo risulta piacevole e “musicalmente sensata”.

Fig. 22

Per quanto riguarda il ritmo, se consideriamo i gruppi di note

“inizializzati” all’avvio di un legato o di un tenuto, allora il numero di

membri in ogni gruppo è ordinato secondo una serie di Fibonacci (figura

23).

Nella misura 9 ignoriamo la “grace note” e contiamo il Sol come parte

del gruppo dato che si può considerare un punto di arrivo.

Il raggruppamento 1+4 delle misure dalla 5 alla 7 sono variazioni dei

raggruppamenti a 5 che iniziano alla misura 4, e si possono considerare

quindi a loro volta un raggruppamento a 5.

Nella figura 24 continua l’analisi di questi raggruppamenti articolati:

65

Fig. 23

I raggruppamenti 1+5 delle misure dalla 18 alla 20 sono un’ulteriore

variazione dei 5 gruppi della misura 4.

Gli ultimi due raggruppamenti a 4 potrebbero essere uniti come

componenti di un singolo gruppo di 8, successore di Fibonacci di 5.

La liason da ricercare a questo punto è fra l’ascolto e la norma,

ricercando la logica numerale nelle melodie dell’opera

5.3.2 Music for Strings, Percussion, and Celesta, mvt. 1

Il primo movimento di MSPC è una fuga. Come si può vedere da una

veloce analisi dello spartito, esso contiente frequenti cambi di metrica,

denominati a volte “metriche variabili”, oltre a metriche irregolari come

il 5/8, il 7/8 e il 10/8; in definitiva non c’è alcuna apparente metrica

regolare. Non c’è neanche la segnatura di chiave, ma il movimento è

66

centrato sulla tonalità di LA, tonalità in cui il movimento inizia e finisce.

L’intervallo significativo, comunque, resta il tritono LA-MIb.

Si noti la lunga linea melodica che, comunque, inizia come un breve

motivo germinale formato da 5 note (“stem” o “germ-motive”) che

ascende di una terza e ritorna con note diverse, poi sale di nuovo

crescendo fino a un tritono per poi ridiscendere.

La terza frase è una frase di climax, seguita da una quarta frase prima che

inizi la Risposta della misura numero 5. Anche dopo la Risposta, il

soggetto originale continua il suo modo indipendente di sviluppare il

motivo base con cui era iniziato.

È esattamente una “crescita armoniosa”, uno sviluppo a strati che parte

da un seme e impara la sua struttura dagli strati precedenti, proponendola

come base agli strati successivi.

Nel frattempo non si sottovaluti il modo particolare con cui sono

arrangiate le tonalità delle successive Entrata e Soggetto: la procedura

risulta simile a un cuneo in cui i Soggetti entrano in successione di quinte

ascendenti, quindi LA– MI – SI – FA# - DO# - LAb – MIb, mentre le

Risposte entrano in successione di quinte discendenti, LA – RE – SOL –

DO – FA – SIb – MIb. In questo modo c’è un Soggetto o una Risposta

in ognuna delle 12 chiavi di tonalità, e il climax del brano si raggiunge

quando il Soggetto e la Risposta incontrano entrambi il tritono in

opposte direzioni sul Mib (mis.56).

67

Il Cuneo:

• Eb

• Ab

• C#(Db)

• F#(Gb)

• B

• E

• A

• D

• G

• C

• F

• Bb

Eb

Fig. 24

Non tutti gli ingressi sono uguali, ma si trovano dislocati così: LA mis.1,

MI mis. 4, RE mis. 9, SI mis. 12, SOL mis. 16, FA# mis. 26, DO mis.

27, DO# mis. 28, FA mis. 33, LAb mis. 35, SIb mis. 37, MIb mis. 44,

giungendo al climax dinamico del MIb alla mis. 56 per poi tornare

indietro (con una qualche compressione) ritracciando gli intervalli

invertiti verso la tonalità originale di LA. Questo Cuneo comincia con gli

archi bassi, all’ingresso in MIb della misura 56.

Qui l’armonia si ritraccia, e in configurazione di “proporzione vivente”

cammina su e giù per le chiavi e le tonalità imponendo la musicalità dei

suoi intervalli. Proseguendo l’analogia con i concetti espressi nel capitolo

68

3 ci troviamo in presenza di una collettività di semi invece che con un

individuo in crescita.

Bartok impiega nei suoi movimenti solo alcune delle tecniche che imparò

dai suoi studi di musica folk: l’utilizzo di metriche irregolari, il loro tipo

di posizionamento delle liriche e delle melodie, lo stile del cantato che lui

definì “parlando-rubato”, e l’uso frequente di quarte e seconde (e delle

loro inversioni quinte e settime) sia nella melodia che nell’armonia, ben

differenti dall’armonia tradizionale europea di quel tempo. Inoltre, egli

utilizzò una sorta di cromatismo modale (che apparirà solo negli studi

jazz dopo il 1935) in cui la stessa scala o lo stesso modo poteva includere

due note della stessa “pitch-class”, come FA diesis e FA naturale (non

esiste alcun modo né alcuna scala minore o maggiore che contiene due

note con lo stesso nome base). Di certo la sua musica non risulta per

questo semplice o pop. Anzi, la sua musica costituisce un fondamentale e

importante passo avanti.

A questo punto della sua vita, Bartok sembra aver compiuto uno sforzo

supplementare e ulteriore per organizzare la sua musica, tale da far sì che

le parti costituenti cambiano o arrivano a un climax, o comunque

indicano che qualche evento distintivo ha avuto luogo. Ad esempio, le

misure del MSPC hanno dimensioni differenti, e la Sezione Aurea si può

ritrovare contando sempre le tradizionali otto note, per giungere alla

Golden Ratio esattamente all’accordo di culmine.

Questo movimento potrebbe sembrare grigio e misterioso a un primo

ascolto. È simile ad alcuni altri movimenti di Bartok chiamati “Night

Music”, nel senso che evocano e richiamano un tipo di musica che

potrebbe essere immaginata di notte.

Questi movimenti sono di solito i lenti movimenti interni dei quartetti

d’archi e delle sinfonie di Bartok, e sono rimasti famosi gli effetti e i

69

suoni atipici che li costituivano. Proprio il secondo ed il quarto

movimento di MSPC fanno parte del set di “Night Music”; vale la pena

ascoltarlo in silenzio.

70

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