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  • Epreuve sur dossier CAPES Mathmatiques

    G. Julia. 2017/2018 1

    ESD2017_08. Optimisation Mille pompons ! scria Fantmette

    1. Le sujet

    A. Exercice

    On considre la fonction f dfinie sur [ [+;0 par : ( ) 21 xxf = .

    On note sa courbe reprsentative dans un repre orthonorm ( )jiO , . La tangente la courbe au point M de coordonnes

    ( )( )afa ; , avec 10 < a , coupe laxe (Ox) en A et laxe (Oy) en B. Existe-t-il une position du point M sur la courbe rendant laire du triangle MBO maximale ?

    B. Les dmarches de trois lves de premire scientifique lve 1 Dans un logiciel de gomtrie dynamique, jai trac la courbe reprsentative de la fonction f. Jai cr un curseur de 0 1 puis plac le point M de coordonnes ( )( )afa ; Jai ensuite trac la tangente en M puis cr le triangle OBM. En faisant varier le curseur je constate que laire du triangle est maximale lorsque M est en A. lve 2 Laire dun triangle est gale la moiti de la base multiplie par la hauteur. Dans le triangle MBO, la hauteur associe la base OB est maximale lorsque M a pour abscisse 1.

    Laire du triangle OBM est donc maximale pour 1=a et vaut alors 75,05,1121 =

    lve 3 Lquation de la tangente au point dabscisse a est donne par ( )( ) ( )afaxafy += ' On a ( ) 21 aaf = et ( ) aaf 2' = ce qui donne 22 22 axay += . Pour 1=a , on obtient 22 += xy . Le point B a donc pour ordonne 2.

    Le triangle MBO a pour aire 12121 = , ce qui reprsente son aire maximale.

    C. Le travail exposer devant le jury 1. Analysez la production de chacun de ces lves en prcisant les comptences mises en jeu et en indiquant comment vous pourriez les aider corriger leurs erreurs ventuelles. 2. Proposez une correction de lexercice telle que vous lexposeriez devant une classe de premire scientifique. 3. Prsentez deux exercices sur le thme optimisation. Vous prendrez soin de motiver vos choix.

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    2. Elments de correction Chacun aura reconnu dans lexercice-jury le sujet de mathmatiques de la session 1993 du CAP de pizzaolo1.

    1. Analyse des travaux dlves

    Chouquerouste. Chouquerouste a labor une simulation gomtrique prenant appui sur la modlisation et utilisant un logiciel. Cette fois, il nous explique comment il a fait (il a donc en outre su communiquer sur ce point particulier, le bougre). Son programme de construction de figure dynamique est en effet correct. Toutefois, il ny a dans sa production aucune traduction mathmatique de la situation. Sa rponse est un constat , c'est--dire quelle se place au niveau de la conjecture. De plus, cette rponse nest pas recevable en ltat. Il faudrait en effet lui faire prciser ce quil entend par lorsque M est en A . Est-ce que pour lui le point A est le point fixe de coordonnes ( )0;1 et dans ce cas sa conjecture est correcte ? Est-ce que (plus probable) A est le point dintersection de la tangente avec laxe Ox, mais dans ce cas A est un point mobile et sa rponse est irrecevable ? (Il naurait donc pas su communiquer sur ce coup-l) On ne peut que linciter prciser sa conjecture, et lui proposer dexprimer puis dtudier laire du triangle en fonction de labscisse de M (c'est--dire adopter une dmarche mathmatique). Pour ma part, Chouquerouste, incapable de discerner que le jeu nen valait pas la chandelle, ne fait preuve daucune comptence en mettant en branle son logiciel de gomtrie pour finalement constater sans rien dmontrer. Elve 2. Selon cet lve pour maximiser laire dun triangle, on maximise sa hauteur . Il a sans doute peru que labscisse de M reprsente, lorsquelle est positive, la hauteur du triangle. Il faut donc la choisir la plus grande

    gjpossible.

    Son erreur est de ne pas prendre en compte la longueur de la base. Sans doute pense-t-il que le point B est fixe et que 5,1=OB est une donne. Cette erreur est induite par la figure qui accompagne lnonc o lenseignant, dcidment bien peu inspir, a fait le choix calamiteux dune tangente passant par un point remarquable du maillage. De ce fait, la rponse de cet lve nest pas recevable, mais la responsabilit pleine et entire en incombe lenseignant. Il faudrait lui ( llve, mais peut-tre aussi lenseignant qui a pos lexercice ) faire remarquer que laire dun triangle est, comme il le dit lui-mme, une grandeur produit, la moiti de la base multiplie par la hauteur , il faut donc prendre en compte la base. La figure dynamique de Chouquerouste pourrait au moins lui montrer que lorsque M se dplace, B aussi, la longueur de la base varie, ce nest pas toujours 1,5. Pour des comptences, utiliser une langue en bois de rose ramen de Formose. Elve 3. Cet lve en revanche fait preuve de comptences avres. Il a su traduire en langage mathmatique une situation relle laide dune fonction . On note quil a pris judicieusement la dcision de noter par une autre lettre que x labscisse de M pour viter un tlescopage de notations lorsquil crit une quation de la tangente

    gj.

    Il ne prend pas la peine de justifier la maximisation en A. Visiblement, la rponse lui parat vidente (on ne saurait lui donner

    gjtort).

    1 Que la corporation des pizzaolos, profession minemment respectable, me pardonne.

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    Il a su dautre part dvelopper une argumentation mathmatique crite , puisquil dtaille convenablement les diffrentes tapes de son calcul.

    gjulia

    Il commet une erreur dans lquation de la tangente. Lquation quil propose est lquation ( )( )axafy = ' mais il ne peut sapercevoir

    gjde son erreur car, pour 1=a , cette quation concide avec lquation correcte.

    On peut lui proposer dexpliciter laire du triangle OBM en fonction de a et de confronter son rsultat avec celui donn par la figure dynamique de Chouquerouste (on fait afficher laire de OBM). Pour 1=a , le rsultat est le mme mais pour dautres valeurs, non. Ou simplement lui demander de vrifier si, pour 0=a par exemple, lquation de sa tangente est ou non correcte. En rsum, lenseignant (que lon espre purement fictif ) a choisi pour illustrer le thme optimisation dans sa classe un exercice sans intrt quil na mme pas su prsenter correctement ses lves. Sil ne prvoit aucun prolongement, les lves de sa classe napprendront rien aujourdhui.

    2. Une correction de lexercice.

    Elle ne prsente aucun intrt si elle est utilise seule.

    On reprend le travail de llve 3 en corrigeant au passage lquation de la tangente, cest 12 2 ++= axay .

    Le point B a donc pour ordonne 122018

    +agjulia

    . Lorsque 10 < a , la longueur de la base du triangle OBM est

    12 +a et sa hauteur est gale a. Base et hauteur sont deux fonctions de a positives et strictement croissantes sur ] ]1;0 , donc leur demi-produit est une fonction strictement croissante sur ] ]1;0 . Laire est maximale quand 1=a et cette aire est gale 2. Voilivoilou btibta.

    3. Commentaires

    3.1. Voici un problme doptimisation catgorie Polichinelle.

    La mauvaise qualit manifeste de certains des exercices-jury de cette session 2017 minterpelle. Bizarrement (ou pas ), ce sont uniquement des sujets dans lesquels il est question dans lexercice-jury de comptences qui sont dans le collimateur. Celui daujourdhui est particulirement consternant par la pauvret crasse de son contenu. Je peux comprendre le dsarroi des candidats quand on exige deux des exercices complmentaires de bon niveau, alors mme quon leur a propos lanalyse dun exercice dune niaiserie exemplaire. Leur statut de candidat inhibe naturellement une critique trop acerbe, quils ne peuvent se permettre de leur propre chef.

    Trois sauces en effet me paraissent a priori possibles pour accommoder cette insipide pte pizza :

    Dzinguer lexercice faon kalachnikov. Cest objectivement ce quil mrite. Option raliste mais risque.

    Encenser lexercice faon tartufe et pipeau : lexercice va amener llve chercher , analyser le problme , observer et sengager dans une dmarche , exprimenter en utilisant ventuellement des outils logiciels ; puis lexercice amnera modliser , traduire en langage mathmatique une situation relle laide dune fonction. Aprs avoir exerc son intelligence de calcul sur la situation propose , llve devra communiquer ses rsultats . Lexercice permet ainsi la mise en uvre de nombreuses comptences . Difficile de tenir un tel discours sans se dessouder les ctes. Et peu probable quune commission de jury apprcie une telle prestation.

    Adopter une attitude mdiane de critique feutre : lexercice amne un cas doptimisation o cependant le recours la variation dune fonction nest pas utile. Sintresser au triangle OAB semble tre une autre option intressante . Quitte taler un peu plus de sauce si on sent que le jury est attentif cette critique et laccueille favorablement.

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    Je nai malheureusement pas dinformation sur les attentes des jurys actuels lorsquun tel exercice est en jeu. Faut-il cote que cote trouver des dveloppements de comptences et des objectifs dapprentissage l o il ny en a pas ? Je nai pas la rponse. On peut cependant conjecturer que les commissions du jury 2017 ont, ce jour 08 du CAPES, subi malgr eux lincroyable mdiocrit de lexercice propos la sagacit des candidats. 3.2. Dans cette mme situation, ce nest pas laire du triangle OBM qui a un certain intrt, mais celle du triangle OBA et lon cherche la minimiser.

    Le point B a pour ordonne 12 +a et le point A a pour abscisse a

    a

    212 +

    . De ce fait, laire du triangle OBA est

    gale ( )

    a

    aiagilbertjul 4

    122

    2018

    + ; elle est minimale lorsque

    33=a et elle vaut dans ce cas

    9