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La Teoria dell’Atomo di Bohr
Modello di Bohr dell’atomo di idrogeno:
Vedi documento “Atomo di Bohr.pdf” sul materiale didattico per la derivazione di queste equazioni
Livelli Energetici dell’Atomo di Idrogeno
Livelli Energetici dell’Atomo di Idrogeno
n E(H) (J) E(H) (Ry)
1 -218.0 x 10-20 1 Ry
2 -54.5 x 10-20 1/4 Ry
3 -24.2 x 10-20 1/9 Ry
4 -13.6 x 10-20 1/16 Ry
5 -8.72 x 10-20 1/25 Ry
6 -6.06 x 10-20 1/36 Ry
7 -4.45 x 10-20 1/49 Ry
8 -3.41 x 10-20 1/64 Ry
9 -2.69 x 10-20 1/81 Ry
10 -2.18 x 10-20 1/100 Ry
Livelli Energetici dell’Atomo di Idrogeno
Confronto fra la serie di Lyman calcolata e osservata
Transizione ΔE (J) Freq. (Hz)
L. onda
calcolata
(nm)
L. onda
sperimentale
(nm)
2 � 1 1.64 x 10-18 2.47 x 10-15 122 122 OK!
3 � 1 1.94 x 10-18 2.92 x 10-15 103 103 OK!
4 � 1 2.04 x 10-18 3.08 x 10-15 97.3 97.3 OK!
5 � 1 2.09 x 10-18 3.16 x 10-15 95.0 95.0 OK!
6 � 1 2.12 x 10-18 3.20 x 10-15 93.8 93.8 OK!
7 � 1 2.14 x 10-18 3.22 x 10-15 93.1 93.1 OK!
8 � 1 2.15 x 10-18 3.24 x 10-15 92.6 92.6 OK!
9 � 1 2.15 x 10-18 3.25 x 10-15 92.3 92.3 OK!
10 � 1 2.16 x 10-18 3.26 x 10-15 92.1 92.1 OK!
Livelli Energetici dell’Atomo di Elio
Confronto fra le bande di emissione dell’atomo di elio
calcolate e sperimentali.
Transizione ΔE (J) Freq. (Hz)
L. onda
calcolata
(nm)
L. onda
sperimentale
(nm)
5 � 4 1.96 x 10-19 2.96 x 10-14 1013 -
6 � 4 3.03 x 10-19 4.57 x 10-14 657 667 NO!
7 � 4 3.67 x 10-19 5.54 x 10-14 542 587 NO!
8 � 4 4.09 x 10-19 6.17 x 10-14 486 471 NO!
9 � 4 4.37 x 10-19 6.60 x 10-14 455 444 NO!
10 � 4 4.58 x 10-19 6.91 x 10-14 434 439 NO!
11 � 4 4.73 x 10-19 7.14 x 10-14 420 417 NO!
La Teoria dell’Atomo di Bohr
• Modello di Bohr vale anche per atomi idrogenoidi:
1 solo elettrone, numero di protoni >1
• Modello di Bohr non vale per atomi polielettronici
(non riesce a tener conto delle interazioni fra
elettroni).
• Modello di Bohr-Sommerfeld: considera orbite
ellittiche invece che circolari. Vale solo per atomo
di elio (2p + 2e).
La Teoria dell’Atomo di Bohr
Attrazione
nucleo - elettrone
Repulsione
elettrone - elettrone
Idrogeno Elio
Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg
∆� = incertezza sulla posizione
∆� = incertezza sulla velocità
∆� × ∆ �� ≥ �/� (� = 6,6 x 10-34 Kg m2 s-1)
Mondo macroscopico: � = 1 kg; ∆� = 1 m/s
∆� = �/ �� × ∆� ≅ ����� m
Mondo microscopico: �� ≅ 10-30 kg; ∆� = 1 m/s
∆� ≅ ���� m
∆� ca. 106 volte la dimensione atomica!!!
Non è possibile conoscere la traiettoria dell’elettrone.
Schroedinger...
La Teoria Probabilistica dell’Atomo
• Concetto di probabilità (P)
• Probabilità che l’elettrone si trovi in una certa
regione di spazio (orbitale)
• Si definisce una funzione matematica, ψ, che
descrive gli orbitali, tale per cui:
ψ2 = densità di probabilità = P / dV
La Teoria Probabilistica dell’Atomo
1) ψ(x,y,z) deve essere continua per ogni punto (x,y,z);
2) ψ(x,y,z) deve avere un valore singolo per ogni punto (x,y,z);
3) ψ(x,y,z) deve avere un valore finito per ogni punto (x,y,z);
4) La probabilità di trovare l’elettrone nello spazio totale = 1
(l’integrale di ψ(x,y,z) in tutto il volume = 1);
5) Ad ogni orbitale ψ è associata una certa energia E;
6) L’energia deve essere quantizzata.
L’Equazione di Schroedinger
Qualsiasi funzione ψ(x,y,z) tale per cui: �� � = ��
descrive un orbitale.
Vale la relazione:
�� è un operatore matematico (Hamiltoniano)
ψ è una funzione matematica
� è l’energia associata a ciascun orbitale ψ
�� = ���
2��� � !", $, %&
��' = ���
2(���' � ", $, % ' = )'
�� =*�
*"��
*�
*$��
*�
*%�
La Teoria Quantistica dell’Atomo
Le ψ(x,y,z) che soddisfano l’equazione di Schroedinger e le
condizioni sopra descritte dipendono matematicamente da una
serie di quattro numeri interi detti numeri quantici:
n = 1, 2, …, ∞
l = 0, 1, …, (n-1)
m = (-l), (-l+1), (-l+2), …, 0, …, (+l)s = +½, -½
n = numero quantico principale, indica l’energia;
l = numero quantico secondario, descrive la forma dell’orbitale;
m = numero quantico magnetico, descrive la orientazione
dell’orbitale;
s = numero quantico di spin, indica il senso di rotazione
dell’elettrone.
Lo Spin dell’Elettrone
La Teoria Quantistica dell’Atomo
• n = 1; l = 0; m = 0 ���� orbitale 1s
• n = 2; l = 0; m = 0 ���� orbitale 2s
• n = 2; l = 1; m = -1 ���� orbitale 2px
• n = 2; l = 1; m = 0 ���� orbitale 2py
• n = 2; l = 1; m = +1 ���� orbitale 2pz
La Teoria Quantistica dell’Atomo
• n = 3; l = 0; m = 0 ���� orbitale 3s
• n = 3; l = 1; m = -1 ���� orbitale 3px
• n = 3; l = 1; m = 0 ���� orbitale 3py
• n = 3; l = 1; m = +1 ���� orbitale 3pz
• n = 3; l = 2; m = -2 ���� orbitale 3dz2
• n = 3; l = 2; m = -1 ���� orbitale 3dx2-y2
• n = 3; l = 2; m = 0 ���� orbitale 3dxy
• n = 3; l = 2; m = +1 ���� orbitale 3dyz
• n = 3; l = 2; m = +2 ���� orbitale 3dxz
La Teoria Quantistica dell’Atomo
• Densità di probabilità per un orbitale 1s
La Teoria Quantistica dell’Atomo
La Teoria Quantistica dell’Atomo
La Teoria Quantistica dell’Atomo
La Teoria Quantistica dell’Atomo
La Teoria Quantistica dell’Atomo
Un piano nodale (o regione nodale) è una regione dello spazio in
cui ψ(x,y,z) = 0
Passando per un piano nodale ψ(x,y,z) cambia di segno.
La Teoria Quantistica dell’Atomo
La Teoria Quantistica dell’Atomo
Piani Nodali negli Orbitali s
La Teoria Quantistica dell’Atomo
1s 4s
2s
2p
3s
3p
3d
4d
4f
5s
5p
4p
Gli Orbitali 4f
Orbital Viewer
http://www.orbitals.com/orb/ov.htm
App per Android
App per Android
La funzione ψ(x,y,z,n,l,m) può essere scritta
in coordinate sferiche ψ(r,ϑ,ϕ,n,l,m):
La Teoria Quantistica dell’Atomo
Per l’atomo di idrogeno è possibile dimostrare che
ψ(r,ϑ,ϕ,n,l,m) è divisibile in due componenti:
ψ(r,ϑ,ϕ,n,l,m) = R(r,n,l) · Θ(ϑ,l,m) · Φ(ϕ,m) · Τ(ϑ,ϕ,l,m)
La Teoria Quantistica dell’Atomo
Componente
radiale
Componente
angolare
La Teoria Quantistica dell’Atomo
R(r, n, l) = componente radiale
n l ψ
1 0 1s
2 0 2s
2 1 2p
3 0 3s
3 1 3p
3 2 3d
Per gli orbitali s (l = 0) la densità di probabilità di trovare
l’elettrone è massima vicino al nucleo e decresce
esponenzialmente allontanandosi dal nucleo
La Funzione d’Onda 1s
Volume del guscio sferico di spessore � in funzione del raggio +:
«Probabilità» dalla «Densità di Probabilità»
Per ottenere la probabilità (P) di trovare l’elettrone ad ogni
distanza r dal nucleo, dobbiamo moltiplicare la densità di
probabilità ψ2 per il volume di un guscio sferico di spessore
infinitamente piccolo, ,- � :
Per uno spessore � infinitamente piccolo, vale che
«Probabilità» dalla «Densità di Probabilità»
dV(h) = 4πr2 + 8πhr + 4πh2
Moltiplicando il quadrato della funzione per 4πr2 otteniamo la
probabilità di trovare l’elettrone in un guscio sferico di raggio dr
La Funzione d’Onda 1s
l numero dei piani nodali è uguale a (n – 1).
Nell’orbitale 2s esiste una superficie nodale costituito
da una sfera a distanza ca. 2a0 dove la funzione cambia segno.
La Funzione d’Onda 2s
Per gli orbitali p (l = 1) la probabilità di trovare l’elettrone è zero
sul nucleo ed ha un andamento simmetrico nelle due direzioni
dell’asse, cambiando segno.
La Funzione d’Onda 2p
Il numero dei piani nodali è: (n - 1).
In corrispondenza di un piano nodale la funzione R(r, n, l)cambia segno.
Il Segno della Funzione d’Onda
Energie degli Orbitali negli Atomi Idrogenoidi
1s
2s 2px
2py
2pz
3s 3px
3py
3pz
3dxy
3dxz
3dyz
3dz2
3dx2-y2
La Struttura Elettronica dell’Atomo
• Le proprietà chimiche degli elementi dipendono
dalla posizione e dall’energia degli elettroni
(struttura elettronica)
• Per comprendere la struttura elettronica,
dovremo illustrare i concetti di:
1. Energia
2. Radiazione elettromagnetica
3. Teoria quantistica
4. L’atomo di idrogeno
5. Gli atomi polielettronici
Consideriamo un atomo con due elettroni e carica nucleare Z.
Il caso più semplice è l’atomo di Elio (Z = 2).
In questo caso non possiamo trascurare la repulsione
elettronica. Ne possiamo tenere conto assumendo che gli
elettroni “schermino” parzialmente la carica nucleare.
L’Atomo di Elio
Effetto Schermo degli Elettroni
• La carica nucleare netta sentita da un elettrone è definita
carica nucleare effettiva, Zeff.
• .�// = . � 0
• 0 è la costante di schermo:
• Energia atomi
idrogenoidi
• Energia atomi non
idrogenoidi
Carica Nucleare Effettiva
• A causa dell’effetto schermo, sottogusci elettronici
caratterizzati dallo stesso numero quantico principale
(ma diverso numero quantico secondario) hanno energie
diverse:
� 1 < � 3 < � 4 < �!/&
• L’energia dipende non solo da n ma anche da l.
• L’energia di un orbitale con lo stesso n ed l dipende dal
numero di cariche sul nucleo.
Energie degli Orbitali
Energie degli Orbitali
Energie degli Orbitali
• La configurazione elettronica di un atomo mostra il numero di
elettroni in ogni orbitale atomico.
• Principio di minima energia.
• Il Principio di esclusione di Pauli stabilisce che: “Due elettroni
in un atomo non possono avere gli stessi quattro numeri
quantici”.
• La conseguenza è che ogni orbitale può essere occupato da un
massimo di due elettroni.
• Regola di Hund: “quando due o più elettroni occupano orbitali
degeneri, essi si dispongono nel numero massimo possibile di
orbitali mantenendo gli spin paralleli”.
Struttura Elettronica degli Atomi Polielettronici
Energie degli Elettroni
Configurazioni Elettroniche
H: 1s1
Configurazioni Elettroniche
He: 1s2
Configurazioni Elettroniche
Li: 1s22s1 = [He]2s1
Configurazioni Elettroniche
Be: 1s22s2 = [He]2s2
Configurazioni Elettroniche
B: 1s22s22p1 = [He]2s22p1
Configurazioni Elettroniche
C: 1s22s22p2 = [He]2s22p2
Configurazioni Elettroniche
N: 1s22s22p3 = [He]2s22p3
Configurazioni Elettroniche
O: 1s22s22p4 = [He]2s22p4
Configurazioni Elettroniche
F: 1s22s22p5 = [He]2s22p5
Configurazioni Elettroniche
Ne: 1s22s22p6
